Pirámide invertida (Museo de Louvre, París, Francia) “Helicoide de Fibonacci" MATEMÁTICA INSTRUMENTAL Aplicaciones en biología 2020 APUNTE TEÓRICO Y PRÁCTICO DOCENTE: BIOING. PEDRO PABLO ESCOBAR MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA INTRODUCCIÓN Con frecuencia Matemáticas y Biología aparecen como polos opuestos del pensamiento humano: implacablemente rigurosa la primera, interesada en todo tipo de mutación y variabilidad la segunda. Al igual que tantos estudiosos de ayer y de hoy, podemos preguntarnos si alguna de las dos tiene algo que aportar a la otra. ¿No son los seres vivos demasiado complejos para que las ciencias cuantitativas (Matemáticas, Física,...) puedan contribuir de forma significativa a su conocimiento? Descendiendo a cuestiones concretas ¿es posible describir el crecimiento de un embrión (o el de un tumor), mediante ecuaciones matemáticas? ¿Tiene sentido plantearse la posibilidad de elaborar una teoría matemática de la consciencia? Esta es la cuestión que planteamos. VISIONES DIVERSAS EN UN RECORRIDO EN EL TIEMPO La fascinación por las Matemáticas está presente del pensamiento humano desde la Antigüedad. Un rasgo característico de esta ciencia, ya presente en los primeros textos que han llegado hasta nosotros, es el papel crucial que en ella juega el concepto de demostración, es decir, el establecimiento de verdades inmutables deducidas mediante un razonamiento lógico. Esta perennidad de las conclusiones contrasta de manera evidente con la idea de desarrollo, florecimiento y decadencia que caracteriza a los objetos del mundo real. Escuchemos a un viejo maestro: …Hay hombres que no admiten más demostraciones que las de las matemáticas, otros no quieren más que ejemplos: otros no encuentran mal que se invoque el testimonio de los poetas. Los hay, por último, que exigen que todo sea rigurosamente demostrado, mientras que otros encuentran este rigor insoportable, ya porque no pueden seguir la serie encadenada de las demostraciones, ya porque piensan que es perderse en futilidades… Es preciso que sepamos ante todo qué suerte de demostración conviene a cada objeto particular, porque sería un absurdo confundir y mezclar la indagación de la ciencia y la del método, dos cosas cuya adquisición presenta grandes dificultades. No debe exigirse rigor matemático en todo, sino tan sólo cuando se trata de objetos inmateriales. Y así, el método matemático no es el de los físicos, porque la materia es probablemente el fondo de toda la naturaleza. (Aristóteles) Nótese, que para Aristóteles la “física” consiste en el estudio de la naturaleza en general, incluyendo a los seres vivos. Esta desconfianza hacia las Matemáticas se presenta acompañada en el filósofo de un interés bien documentado por la Biología y la Medicina; de hecho, a Aristóteles, hijo de un médico, se le atribuye la realización de un considerable número de disecciones (principalmente en animales, pero también en humanos) en el curso de sus trabajos, que incluyen varias obras sobre Biología, pero de los que no ha sobrevivido ninguno sobre Matemáticas. El mismo año 1642 en que murió Galileo nació Isaac Newton, cuya influencia sobre el mundo contemporáneo es difícil de exagerar. En su gran obra Principia, Newton desarrolló un tipo de razonamiento mediante el que se obtiene información esencial acerca de problemas complejos a partir del estudio de ejemplos bien escogidos, relativamente simples, discutidos en términos matemáticos. Según esta visión, la matemática permitiría por si sola revelar los secretos más recónditos de la naturaleza, como es el caso del movimiento de los cuerpos celestes, imponiendo así la primacía de la razón sobre los hechos experimentales, confusos y cambiantes. Hemos empezado estas reflexiones recordando la opinión de un maestro antiguo. Veamos finalmente la de un maestro moderno, Eric Ponder: …Los matemáticos exageran un poco las dificultades de su sabiduría. Las matemáticas, aunque muy extensas, son después de todo, porotos contados. Si hoy parecen tan difíciles es porque falta la labor directamente dirigida a simplificar su enseñanza. Eso me sirve de ocasión para declarar por primera vez con cierta solemnidad que si no se fomenta ese género de labor intelectual, dedicada no tanto a aumentar la ciencia… cuanto a simplificarla… el porvenir de la ciencia misma será desastroso. He aquí, separadas por más de veinte siglos, dos visiones críticas sobre la utilidad de las matemáticas. La primera desafía su capacidad para abarcar, con sus rígidos métodos, la complejidad del mundo de los seres vivos, y el de la naturaleza en general. La historia ha demostrado fehacientemente 2 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA que al menos una parte de esta opinión era infundada, y el desarrollo, mutuamente benéfico pero no carente de alguna tensión, de la Física y las Matemáticas, así lo atestigua. Las Matemáticas pueden aportar mucho a la Biología y a la vez beneficiarse de su contacto con ésta. Cabe observar que el desarrollo de grandes áreas de las Matemáticas en el siglo XX (la estadística, la teoría de ecuaciones diferenciales, etc.) se ha visto en gran medida estimulado por la necesidad de comprender fenómenos biológicos relevantes. Por ejemplo, el estudio de los mecanismos de transmisión de señales en el sistema nervioso ha influido considerablemente en el desarrollo de la teoría de ondas viajeras en ecuaciones diferenciales. La Biología parece necesitar de métodos cuantitativos potentes, simples, robustos. Tal es así que las herramientas matemáticas le han proporcionado soluciones a la biología que van desde la ecuación de equilibrio de Hardy-Weinberg, la genética, las ciencias de la tierra, el metabolismo vegetal y animal, la evolución, y hasta la predicción de la capacidad de ciertas especies diferentes de coexistir en un mismo hábitat compitiendo por espacio, alimento y recursos empleando los modelos presadepredador de Lotka-Volterra y sus variaciones. Dadas estas relaciones, es probable que el espíritu de Aristóteles se vea obligado a reconocer, quien sabe si con oculta satisfacción, que el método matemático es capaz de arrojar luz en el estudio de cualquier parte de la naturaleza, y no solo en el mundo de los objetos inanimados. CONSEJOS - Traten de realizar las actividades de manera individual. - Utilicen libros personales, textos de la biblioteca de la institución o buscadores de Internet para obtener los datos. - Sea prolijo y anote cada dato/cálculo correctamente y empleando las unidades de medida. - Simplifiquen las expresiones siempre que se pueda. 3 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA La paradoja de los monos y los plátanos En un experimento se metieron cinco monos en una habitación. En el centro de la misma ubicaron una escalera, y en lo alto, unos plátanos. Cuando uno de los monos ascendía por la escalera para acceder a los plátanos, los experimentadores rociaban al resto de monos con un chorro de agua fría. Al cabo de un tiempo, los monos asimilaron la conexión entre el uso de la escalera y el chorro de agua fría, de modo que cuando uno de ellos se aventuraba a ascender en busca de un plátano, el resto de monos se lo impedían con violencia. Al final, e incluso ante la tentación del alimento, ningún mono se atrevía a subir por la escalera. En ese momento, los experimentadores extrajeron uno de los cinco monos iniciales e introdujeron uno nuevo en la habitación. El mono nuevo, naturalmente, trepó por la escalera en busca de los plátanos. En cuanto los demás observaron sus intenciones, se abalanzaron sobre él y lo bajaron a golpes antes de que el chorro de agua fría hiciera su aparición. Después de repetirse la experiencia varias veces, al final el nuevo mono comprendió que era mejor para su integridad renunciar a ascender por la escalera. Los experimentadores sustituyeron otra vez a uno de los monos del grupo inicial. El primer mono sustituido participó con especial interés en las palizas al nuevo mono trepador. Posteriormente se repitió el proceso con el tercer, cuarto y quinto mono, hasta que llegó un momento en que todos los monos del experimento inicial habían sido sustituidos. En ese momento, los experimentadores se encontraron con algo sorprendente. Ninguno de los monos que había en la habitación había recibido nunca el chorro de agua fría. Sin embargo, ninguno se atrevía a trepar para hacerse con los plátanos. Si hubieran podido preguntar a los primates por qué no subían para alcanzar el alimento, probablemente la respuesta hubiera sido esta: “No lo sé. Esto siempre ha sido así”. Texto incluido para ilustrar la necesidad de preguntarse el por qué de las cosas, la necesidad de cuestionarse sobre el origen de los conceptos, la necesidad de conocer las propias creencias y desafiarlas regularmente. 4 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA 1 FUNCIONES LINEALES Recibe el nombre de FUNCIÓN LINEAL toda función de la forma: y = f (x) = a x + b con a 0, a R, b R, …dónde: - x representa la variable independiente (puede tomar cualquier valor) y la variable dependiente. a es el coeficiente lineal (que llamaremos “la pendiente”) b es la ordenada al origen (punto donde la recta corta al eje Y) Son ejemplos de funciones lineales: y = 2x ; y = -3x + 2 ; y = -3x ; y = x – 4 ; y = 0,5x + 2 ; y = 2 Representemos en el plano de coordenadas cartesianas la función: y = x – 4 Cuando la abscisa (x) aumenta 1, la ordenada (y) aumenta 1; si la abscisa aumenta 2, la ordenada aumenta 2; etc. Observemos que los cocientes entre el aumento de la ordenada y el de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente: 1 2 3 = = =1=a 1 2 3 Ejemplo: y = - 3 x +2 Ejemplo: y = 2 Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada disminuye 3; si la abscisa aumenta 2, la ordenada disminuye 6; etc. Observemos que: Cuando la abscisa aumenta 1, la ordenada no aumenta ni disminuye. Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3,... etc. 3 6 9 .... 3 a 1 2 3 En este ejemplo resulta: 0 0 0 = 0 = a 1 2 3 5 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Observemos que: La ordenada al origen es el punto de intersección entre la recta y el eje y, es decir, es el valor de la ordenada para x = 0 La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y, y la variación de x. La pendiente a mide la inclinación de la recta respecto del eje x. Podemos hallar entonces, a partir de la misma, el ángulo que forma dicha recta con el eje x teniendo en cuenta que: a = tg () El ángulo de inclinación , se mide en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de la dirección positiva del eje x. Retomando el ejemplo: y = x - 4 Ahora bien, a= 1 = tg = 45º 1 En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales según el valor de la pendiente: y = ax + b a>0 y a<0 y x a=0 y x x CRECIENTE DECRECIENTE CONSTANTE creciente Si la ordenada al origen es 0, resulta y = ax. Este caso particular se llama función de proporcionalidad directa y su gráfica es una recta que pasa por el origen. Observemos que en y = 2x resulta y 2 4 1 ... 2 a x 1 2 1 2 La pendiente es la constante de proporcionalidad. 6 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Para a , b R fijos, podemos interpretar una función lineal y = ax + b como una ecuación lineal con dos incógnitas x e y que denominaremos ecuación de la recta. Veamos las formas que puede adoptar esta ecuación, según la información que poseamos de la recta: y = ax + b, donde a , b R fijos, la denominamos forma explícita de la ecuación de la A la expresión recta. A) FORMA EXPLÍCITA y = ax + b , B) FORMA IMPLÍCITA y - ax – b = 0, Ejemplo: y 2 8 x 3 3 Ejemplo: 2 x - 3 y + 8 = 0 Observemos que si b = 0 y a 0, la ecuación implícita de la recta se reduce a a x + c = 0 , que representa a la recta paralela al eje y , x = c/a, la cual no representa una función y = f (x) . Ejemplo: x = 2 Es la ecuación de la recta vertical cuyo gráfico se encuentra a la derecha. C) FORMA SEGMENTARIA: y x 1 n m donde m y n son, en esta forma, los segmentos determinados por la intersección de la función con cada uno de los ejes coordenados. Por ejemplo: En la función lineal del gráfico a la izquierda, los cortes de la misma con cada uno de los ejes coordenados son: - m Con el eje X: m = 3 Con el eje Y: n = -1 Entonces la forma segmentaria de la función quedaría: n y x 1 1 3 D) FORMA CON UN PUNTO Y PENDIENTE: Conociendo un punto P (x1, y1) y su pendiente, podemos recuperar la forma explícita mediante la siguiente forma: y y1 a.( x x1) 7 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA E) FORMA CON DOS PUNTOS: En este caso, conociendo dos puntos P: (x1, y1) y Q: (x2, y2), podemos reconstruir la forma explícita de la función empleando la siguiente forma: y 2 y1 y y1 x 2 x1 x x1 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Podemos conocer la posición de dos rectas r y s (cuyas ecuaciones están dadas en forma explícita o en forma implícita), sin necesidad de resolver el sistema que forman, teniendo en cuenta lo siguiente: Forma explícita r: y = ax + b s: y = a’x + b’ r y s secantes r y s paralelas no coincidentes r y s paralelas coincidentes a = a’ a = a’ a a’ ; b b’ ; b = b’ Además, existe una relación importante que permite hallar la pendiente m’ de una recta conociendo la pendiente m de otra recta perpendicular a ella. Ejemplo: En la gráfica se observa que las rectas y=3x-1 e y=- 1 x + 3 son perpendiculares. 3 Las pendientes de dichas rectas son: a=3 y a’ = - 1 3 Diremos que dos rectas de pendientes a y a’ que verifiquen la relación: a’ = - 1 , son rectas perpendiculares. a 8 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA RESUMEN DE FÓRMULAS CÓMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN LINEAL Sólo necesitamos dos puntos para poder trazar la gráfica de una función lineal, porque la misma es una recta. Desde el análisis es nuestro interés, conocer los dos puntos de corte con los ejes, es decir las intersecciones con Y y con X porque allí es donde una de las variables toma valor cero. Por ejemplo, en la intersección con el eje Y, el punto es (0;b) donde b es la ordenada al origen. Ya tenemos un punto de los dos que necesitamos. El segundo punto será cuando la gráfica corte al eje X, es decir cuando la coordenada Y del punto sea 0. Esto es: y = a.x + b Si y=0 tenemos 0 = a.x + b Ahora procedemos a despejar x para calcular su valor: - b = a.x -b/a = x Por lo tanto, ya tenemos nuestro segundo punto (-b/a; 0). Marcando esos dos puntos en el plano coordenado, ya podemos trazar la gráfica de la función lineal 9 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Ejemplo: Graficar y = 2x + 1 El punto P1: (0;b) lo obtenemos fácilmente por b es la ordenada al origen: P1; (0;1) El punto P2: (-b/a;0) lo obtenemos despejando x de la función lineal cuando y =0: 0 = 2x + 1 -1 = 2x -1/2 = x El punto P2 es entonces: (-1/2; 0). Si graficamos ambos puntos en el plano coordenado, obtenemos la función lineal CONSEJOS - Conozcan perfectamente TODAS las formas de la ecuación de la recta. Esto les permitirá utilizar la información de la función para comprender cómo es su forma y sus puntos críticos. - Sean prolijos y detallistas cuando analizan funciones, evitará equivocarse con frecuencia. - Aprendan a graficar las funciones lineales. - Grafiquen siempre, es sumamente valioso para verificar el desarrollo analítico y viceversa. 10 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Trabajo Practico N° 1 Funciones Lineales Ejercicio 1 : Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales: a) b) c) d) y=-4x+1 y=-5 x+y=0 3x -2y+1=0 x y 1 2 3 f) x = - 3 e) Ejercicio 2 : Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) (-2 , -1) b) (3 , 5) y y (-4 , -3) (7 , -2) Ejercicio 3 : Determinar si los puntos (0 , 2), (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados. Ejercicio 4 : a) Hallar la ecuación explícita de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2). 1 b) Hallar la ecuación explícita de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P (-4 , 7). 2 x y c) Hallar la ecuación explícita de la recta cuya forma segmentaria es: 1 2 3 Ejercicio 5 : Encontrar una recta paralela y una perpendicular a cada una de las siguientes rectas. a) y = -ax –b b) 2x = 3 – y x y c) 1 3 1/ 3 11 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Ejercicio 6 : Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación, basándose en la información que puede observar en cada una de ellas: 12 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Ejercicio 7 : a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que y = 3 x + 2. b) ¿Cuáles son paralelas a ella? y = 3x - 1 3 1 y 8 x 4 y=3(x+2) y = 7x + 2 y=4x+2 y = 3x + 4 Ejercicio 8 : Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las papas en función de los kilogramos comprados. Ejercicio 9: El costo (y) en dólares de reducir la emisión de gases tóxicos de un automóvil está relacionado con el porcentaje de reducción (x). La gráfica muestra la relación entre ambas variables. Encuentre el costo cuando el porcentaje de reducción es 90%. Ejercicio 10: Supongamos que sales del colegio y te diriges a tu casa, el número de Km que faltan para llegar a tu destino depende del número de minutos que has estado en movimiento. Supongamos que te encuentras a 11Km de tu casa cuando te has desplazado durante 10min, y a 8Km de casa cuando te has desplazado durante 15min. Considerando que la distancia varía linealmente con el tiempo: a) Encuentre la función y realice la gráfica b) Encuentra la ecuación expresando la distancia en términos del tiempo. c) Predice la distancia a tu casa cuando has estado desplazándote durante 20min. d) ¿Cuánto tiempo tienes que viajar para encontrarte a 7km de tu casa? e) Para obtener respuestas razonables, ¿cuál debe ser el dominio de esta función lineal? f) Cuáles son las unidades de la pendiente, como interpretas este cociente. 13 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA PROBLEMAS DE APLICACIONES EN BIOLOGÍA Ejercicio 11: En las víboras hembras Lampropeltis Polizona, se sabe que la longitud total casi varía linealmente respecto de la longitud de la cola. A partir de los siguientes datos experimentales: x y Longitud de la cola Longitud total 60 mm 455 mm 140 mm 1050 mm Hallar la ecuación de la recta que representa la longitud total en función de la longitud de la cola. Ejercicio 12: Un antropólogo puede utilizar las funciones lineales para estimar la altura de una persona, dada la longitud de alguno de sus huesos. El húmero es el hueso del brazo entre el hombro y el codo. La altura, en centímetros, de un hombre y de una mujer con un húmero de longitud x, esta dado por M(x) = 2,89 x +70,64 y F(x) = 2,75 x + 71,48 respectivamente. Se desea saber: a) si el hueso encontrado de 35 cm era de un hombre, cual sería su estatura? b) si hubiese sido de una mujer, ¿cuánto mediría? Ejercicio 13: Una persona “siente sed” cuando el contenido de agua intersticial desciende por debajo de cierto valor, al mismo tiempo que la función renal desciende para no seguir filtrando la sangre y eliminando agua por la orina, a fin de evitar la deshidratación. Si se ingiere agua, el cuerpo reactiva la función renal. Ahora, la cantidad de agua filtrada por los riñones es proporcional, en cierto rango, a la cantidad de agua ingerida, según la siguiente función: AFILT = 0,656 AING - 0,371 Hallar la gráfica de esta relación hasta el valor de 3 litros de AING, con un mínimo de 8 valores. Ejercicio 14: Se ha investigado que la frecuencia con que chirrían los grillos es una función lineal afín a la temperatura ambiental. La siguiente tabla muestra el número de chirridos por minuto, cuando varía la temperatura. X (Grados) f(x) (Chirridos por minuto) 41° 4 42° 43° 16 44° a) Hallar la función lineal que relaciona la temperatura con los chirridos de los grillos. b) Completar la tabla con los valores faltantes. Ejercicio 15: La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y del volumen del corazón. Supongamos que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de 850 ml, y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática. Ejercicio 16: Cuando la temperatura T (°C) de un gato es reducida, la frecuencia cardiaca m del gato (en latidos por minuto) disminuye. Bajo condiciones de laboratorio, un gato a temperatura de 37° tuvo una frecuencia cardiaca de 220, y a una temperatura de 32°C una frecuencia cardiaca de 150. a) Hallar la función lineal que vincula la frecuencia cardíaca m en función de T. b) Determinar la frecuencia cardiaca a una temperatura de 28°C 14 MATEMÁTICA INSTRUMENTAL I – PROFESORADO DE BIOLOGÍA Ejercicio 17: La cantidad de presas en un hábitat se reduce a medida que aumenta la cantidad de depredadores según la función: p = -3d + 11; donde d es la cantidad de depredadores y p la cantidad de presas. Se pide que encuentre la máxima cantidad de presas que puede haber en el hábitat y la cantidad de depredadores que logra extinguir a todas las presas. Ejercicio 18: La dosis en miligramos (mg) de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal de la masa del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40 mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcula la función que da la dosis de medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg? Ejercicio 19: La evolución de la pandemia en un país puede modelarse mediante una función lineal, conociendo al menos dos puntos de referencia. La siguiente tabla muestra valores de referencia para varios países de América del Sur. Hallar la función lineal de crecimiento de la pandemia para cada país y decir cuál crece más rápido que las otras, y cuál es la que crece más lentamente. PAÍS Brasil Argentina Chile Casos confirmados Día 8 10 18 20 Casos confirmados Día 14 40 60 100 CONSEJOS - Intenten resolver todos los ejercicios. Los problemas de aplicación son importantes para reconocer si el aprendizaje ha sido efectivo. ¡Además, los parciales siempre tienen problemas de aplicación!!!! - Sean prolijos y detallistas cuando analizan funciones, esto evitará equivocarse con frecuencia y hará más fácil la revisión de errores. - Grafiquen siempre, es sumamente valioso para verificar el desarrollo analítico y viceversa. 15
