Tema 4. Camp elèctric i potencial elèctric
Resum de conceptes i expressions fonamentals
T4-I. Camp elèctric
1. Camp elèctric
1.1. Concepte de camp elèctric
Sigui una distribució de càrregues qi en una regió de l’espai,
una càrrega de prova q0 col.locada en un punt rebrà una força neta F
(llei de Coulomb)
Def. Intensitat de camp elèctric en un punt P de l’espai:
𝐸=
𝐹 𝑁
𝐶
𝑞!
1.2. Càlcul del camp elèctric:
a) Camp creat per una distribució de càrregues puntuals en un punt P:
siguin càrregues: qi i=1…N
amb distàncies càrrega-punt: rio
Principi Superposició: 𝐸 =
!
! 𝐸!
=
!
𝑘 ! !! 𝑟!!
on: k constant de Coulomb 𝑘 ≈ 9×10!
!!
!!!
!!
!
Relació amb la permitivitat elèctrica del buit ε0 : 𝑘 = !!!
!
b) Camp creat per una distribució contínua de càrrega en P:
!"
𝐸 = 𝑘 !! 𝑟
Interpretació: integració a tota la distribució de càrrega (volum,
superfície, línia) on r distancia de cada element dq fins al punt P.
2. Flux del camp elèctric a través d’una superfície
- Definició:
𝜙=
𝐸 ∙ 𝑑𝐴
!!!
!
= 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟
on: 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴𝑛
amb 𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙′𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝐴
Interpretació: mesura del nombre de línies de camp a través
d’una superfície.
Notació en superfície tancada:
3. Teorema de Gauss
- T. Gauss estableix una relació general entre flux del camp i càrrega continguda a
l’interior d’una superfície tancada.
- Enunciat:
𝜙=
𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑘𝑄!"# =
!!"#
!!
Interpretació: Qint és la càrrega total continguda dins la superfície tancada
(anomenada superfície gaussiana) que considerem en la integral.
- Aplicabilitat: càlcul del camp creat per distribucions contínues de càrrega que
presenten alta simetria. Ex. fil infinit, cilindre infinit, esfera homogènia, pla infinit.
4. Propietats dels conductors en equilibri electrostàtic: càrrega i camp.
- Condició de conductor en equilibri electrostàtic: els portadors de càrrega del
conductor estan en repòs.
- Propietats (aplicant T. Gauss es demostren):
i)
Interior del conductor: E=0
ii)
Distribució neta de càrrega: només pot ser superficial.
iii)
Camp E al voltant del conductor: E perpendicular a la superfície.
T4-II. Potencial elèctric
1. Conceptes preliminars a recordar:
a) Treball fet per una força F en un desplaçament A-B
!
𝑊!" = ! 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
En general, depèn de la trajectòria
b) Força conservativa: treball i energia potencial
!
𝑊!" =
!
𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑈! − 𝑈!
F conservativa: existeix una funció energia potencial U associada a F que
permet determinar W en funció únicament de posició inicial A i final B.
2. Energia potencial electrostàtica
- Camp electrostàtic E actuant sobre una càrrega q0 : 𝐹 = 𝑞! 𝐸 és conservativa
- Definim (d’acord a 1-b), la variació d’energia potencial electrostàtica:
Δ𝑈 = 𝑈! − 𝑈! = −
!
𝐹
!
∙ 𝑑𝑟 = −
!
𝑞 𝐸
! !
∙ 𝑑𝑟
(Joule)
3. Diferència de potencial d.d.p. (o potencial elèctric)
- Def. d.d.p. (sovint diem directament potencial): variació d’energia potencial
electrostàtica per unitat de càrrega
Δ𝑉 =
!!
!!
= 𝑉! − 𝑉! = −
!
𝐸
!
∙ 𝑑𝑟
(Joule/Coulomb=Volt V)
Interpretació física: treball (canviat de signe) fet pel camp E sobre una càrrega
unitat positiva quan es desplaça des d’A fins a B.
- Atenció! És una diferència entre 2 punts. Per a establir valor de la funció V en un
punt caldrà assignar prèviament un punt de referència o origen de la funció V.
- En una regió de camp E uniforme:
Δ𝑉 = 𝑉! − 𝑉! = −
!
𝐸
!
∙ 𝑑𝑟 = −𝐸𝑑
- Propietat de continuïtat de la funció potencial: el potencial és una funció contínua
en tots els punts (excepte on hi hagi una càrrega puntual o una línia de càrrega).
4. Càlcul de potencial elèctric
4.1. Potencial creat per una càrrega puntual q
Sigui q puntual, en un punt P situat a distància r de la càrrega,
prenent origen V(r=∞)=0
A partir de l’exp. de la d.d.p. s’obté:
!
𝑉 𝑟 =𝑘!
(V)
Interpretació: treball necessari per a traslladar una càrrega +1C des de l’infinit fins
al punt P.
4.2. Potencial creat per un sistema de càrregues puntuals
siguin càrregues: qi i=1…N
amb distàncies càrrega-punt: ri
Potencial en punt P, principi de superposició:
𝑉=
𝑉! =
!
𝑘 !!
!
Observació: treball per a traslladar una càrrega q0 fins al punt P?
𝑊 = 𝑞! 𝑉
4.3. Potencial creat per distribucions contínues de càrrega
En general, el càlcul es pot fer per dues vies:
A. A partir del camp elèctric
Fent ús de la definició de d.d.p. (secció 3):
Δ𝑉 = 𝑉! − 𝑉! = −
!
𝐸
!
∙ 𝑑𝑟
Aplicació pràctica:
- Què implica? Calcular prèviament l’expressió del camp E.
- Útil? Sobretot quan podem calcular E mitjançant llei de Gauss.
- Problema: elecció de l’origen de la funció potencial? No hi ha recepta
general, podem considerar:
a) per distribucions d’extensió finita: V(r=∞)=0
b) per distribucions d’extensió infinita(*): V(r=∞)=0 NO!!! Normalment la
funció no tindrà un valor ben definit en r=∞.
Cal prendre un altre punt on la funció estigui ben definida.
(*)Atenció! Tenir-ho en compte quan tractem per ex. un fil “molt llarg”, un
cilindre “molt llarg” o un pla “il·limitat” per a poder aplicar T. Gauss pel
càlcul del camp.
B. Per integració: aplicant l’exp. de càrrega puntual als elements dq que
formen una distribució contínua de càrrega:
𝑑𝑞
𝑟
Interpretació: integració a la distribució de càrrega (volúmica,
superficial o lineal), r és la distància de cada element dq fins al
punt on calculem el potencial.
𝑉=
𝑘
5. Relació general entre camp elèctric i potencial
A. Coneixem la relació general que defineix la d.d.p. i permet obtenir V a partir d’E:
Δ𝑉 = 𝑉! − 𝑉! = −
!
𝐸
!
∙ 𝑑𝑟
B. En sentit contrari, es pot obtenir una expressió general del camp elèctric a partir
del potencial:
𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −
!"(!,!,!)
!"
𝚤−
!"(!,!,!)
!"
𝚥−
!"(!,!,!)
!"
𝑘
Interpretació: la component del camp en una direcció ve donada per la derivada
del potencial en aquesta direcció.
- Aplicat al cas d’una funció potencial que només depengui d’una coordenada:
sigui V(x) el potencial, el camp vindrà donat per:
!"(!)
𝐸! = − !"
- Ex. distribucions de càrrega amb simetria radial, dependència únicament de la
coordenada radial r
!"(!)
𝐸! = − !"
6. Propietats dels conductors en equilibri electrostàtic: potencial.
Propietats d’un conductor en equilibri electrostàtic en relació al potencial:
i)
ii)
La superfície del conductor és una superfície equipotencial (V constant).
Tot el conductor està al mateix valor de potencial que té la superfície.
Justificació:
Punts interiors: E=0 implica V=constant
0
