FACTOREO
Primer caso: Factor común
Este caso se aplica cuando en todos los términos de un polinomio figuran uno o varios factores
repetidos.
El resultado es el producto entre esos factores y el polinomio que resulta de dividir cada término
por ese factor.
Para encontrar los factores repetidos se aplica la siguiente regla:
De los coeficientes se busca el máximo común divisor.
De las letras se busca la que esté repetida en todos los términos con el menor exponente que
figura en el polinomio.
Ej:
P(x) = 3x 2 - 6x 4 + 9x 3 – 12 x
El máximo común divisor de los números es 3 y la letra repetida con el menor exponente es x, por
lo tanto el factor común es 3x.
Luego:
3x 2 - 6x 4 + 9x 3 – 12 x = 3x.( x - 2x 3 + 3x 2 – 4 )
Ej:
T(x) = 2/9 x 4 - 4/3x 3 + 8/3 x 2 = 2/3 x 2 ( 1/3 x 2 - 2 x + 4 )
Ej:
R(x) = 8x 5 + 6x 3 - 2x 2 = 2x 2 ( 4x 3 + 3x - 1 )
Segundo caso: Factor común en grupos de igual número de términos
Para factorear un polinomio que tiene factores comunes en grupos de igual número de términos,
se factorean dichos grupos y luego se factorean nuevamente con respecto a un nuevo factor
común que aparece entre paréntesis.
Ej:
P(x) = x 4 - 3x 3 + x – 3
Primero se arman los grupos y se encierran entre paréntesis:
( x 4 - 3x 3 ) + ( x – 3 )
En cada grupo se saca factor común
x 3 ( x - 3 ) + 1 ( x – 3)
Se vuelve a sacar factor común el paréntesis:
(x–3).(x3+1)
Obteniendo así el resultado final: x 4 - 3x 3 + x – 3 = ( x – 3 ) . ( x 3 + 1 )
Ej:
M(x) = x 3 + 2x - 3x 2 – 6
Primero se arman los grupos y se encierran entre paréntesis:
(x 3 + 2x ) + (- 3x 2 – 6 )
En cada grupo se saca factor común
x ( x 2 + 2 ) + ( - 3 ) ( x 2 + 2)
Se vuelve a sacar factor común el paréntesis:
(x2+2).(x -3)
Obteniendo así el resultado final: x 3 + 2x - 3x 2 – 6 = ( x 2 + 2 ) . ( x - 3 )
Si se resuelve la multiplicación aplicando propiedad distributiva se puede verificar si el resultado
es correcto.
Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto
Sabemos que al resolver el cuadrado de un binomio se obtiene un trinomio llamado trinomio
cuadrado perfecto: ( a+b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
- 1 -
De acuerdo con la definición de cuadrado de un binomio resulta que en el trinomio cuadrado
perfecto, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el término restante es el doble producto
de las bases de los cuadrados.
Si tenemos un polinomio de tres términos, y reconocemos en él el formato anterior, entonces se
puede factorear escribiéndolo nuevamente como potencia
Ej:
x 2 + 4x + 4
Para factorearlo debemos reconocer en él, el formato del trinomio cuadrado perfecto:
a 2 + 2ab + b 2
buscamos dos términos que sean cuadrados perfectos y le sacamos la raíz cuadrada
a2 =x2
entonces
a=x
2
b =4
entonces
b=2
verificamos ahora si el término restante es el doble producto de a por b:
2 a b = 2 x 2 = 4x
Esto significa que el polinomio dado sí tiene la forma de trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto
se puede factorear:
x 2 + 4x + 4 = ( x+2 ) 2
Ej:
4 x 2 - 12x + 9
buscamos dos términos que sean cuadrados perfectos y le sacamos la raíz cuadrada
a2 =4x2
entonces
a=
4 x2 = 2 x
b2 =9
entonces
b= 9=3
verificamos ahora si el término restante es el doble producto de a por b:
2 a b = 2 (2x) 3 = 12x
observamos que el término coincide, pero no el signo. Esto se debe a que el binomio que está
elevado al cuadrado es una resta, por lo tanto al factorearlo debemos escribirlo como resta.
4 x 2 - 12x + 9 = ( 2x – 3 ) 2
Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto
Recordemos que el cubo de un binomio da por resultado un cuatrinomio llamado cuatrinomio
cubo perfecto: ( a+b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Este caso es similar al anterior, sólo que el polinomio dado debe ser un cuatrinomio y el resultado
del factoreo debe ser el cubo de un binomio.
Ej:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
Debemos reconocer en el polinomio dado el formato a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 para ello
buscamos dos términos que sean cubos perfectos y les sacamos la raíz cúbica
a3 = x3
entonces a =
3
x3
= x
3
b3 = 8
entonces b = 8 = 2
Verificamos ahora si los dos términos restantes responden al formato 3 a 2 b y 3 a b 2
3 a 2b = 3 ( x ) 2 2 = 6 x 2
3 a b 2 = 3 x ( 2 ) 2 = 12x
Comprobamos que efectivamente sí tiene el formato indicado,por lo tanto:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = ( x + 2 ) 3
Ej:
x 6 - 3 x 4 + 3 x2 - 1
buscamos dos términos que sean cubos perfectos y les sacamos la raíz cúbica
a3 = x6
entonces a =
3
x6 = x 2
- 2 -
3
b3 =-1
entonces b = 1 = - 1
Verificamos ahora si los dos términos restantes responden al formato 3 a 2 b y 3 a b 2
3 a 2 b = 3 ( x 2 ) 2 ( -1 ) = - 3 x 4
3 a b 2 = 3 x 2 ( - 1 ) 2 = 3 x2
Comprobamos que efectivamente sí tiene el formato indicado, por lo tanto:
x 6 - 3 x 4 + 3 x2 - 1 = ( x 2 - 1 ) 3
Quinto caso : Diferencia de cuadrados
Recordemos que (a+b) .(a-b) = a 2 - b 2
Por el carácter recíproco de esta propiedad, si tenemos un binomio que tenga la forma a
podemos factorearlo escribiendo (a+b) .(a-b)
Ej:
P(x) = x 2 - 9
como a 2 = x 2 entonces a = x
b2= 9
entonces b = 3
este polinomio tiene la forma de diferencia de cuadrados por lo tanto su factoreo es:
x 2 - 9 = ( x + 3).( x – 3)
Ej:
M(x) = 4 x 2 - 25 = (2x + 5).( 2x – 5)
2
-b2
Sexto caso : Suma o diferencia de potencias de igual grado
Recordemos lo visto en el capítulo anterior respecto de la divisibilidad de la suma o diferencia de
potencias de igual grado por la suma o diferencia de las bases:
x n + a n es divisible por x+a si n es impar
x n + a n no es divisible por x - a
x n - a n es divisible por x+a si n es impar
x n - a n es divisible por x - a siempre
Esto significa que si dividimos por ejemplo x n + a n por x + a siendo n impar, el resto de la
división es cero.
Por lo tanto el polinomio x n + a n puede expresarse como el producto entre el divisor x+a y el
cociente de dicha división.
Es decir si P(x) : Q(x) = C(x)
con R(x) = 0
entonces P(x) = Q(x) . C(x)
Entonces por ejemplo, dado el polinomio x 3 + 8 = x 3 + 2 3 , sabemos que es divisible por la
suma de las bases (x+2). Por lo tanto se puede factorear multiplicando el divisor (x+2) por el
cociente de la división entre ellos.
Pero ahora debemos encontrar el cociente, para eso aplicamos la regla de Ruffini:
(x 3 + 8 ) : (x+2)
1
-2
0
0
8
-2
4
-8
1
-2
4
0
2
C(x) = x - 2 x + 4
Por lo tanto :
(x 3 + 8 ) = (x+2). (x 2 - 2 x + 4 )
- 3 -
Ej:
x 3 - 27 = x 3 - 3 3
Aplicando el criterio de divisibilidad sabemos que es divisible por la diferencia de sus bases es
decir (x-3).
Para encontrar el cociente aplicamos Ruffini:
1
0
0
- 27
3
3
9
27
1
3
9
0
Luego el cociente es C(x) = ( x 2 + 3 x + 9 )
x 3 - 27 = divisor . cociente = ( x- 3 ) . (x 2 + 3 x + 9 )
Ej:
x 5 - 32 = x 5 - 2 5
su divisor es ( x – 2)
aplicando Ruffini:
1
0
0
0
0
-32
2
1
2
4
8
16
32
2
4
8
16
0
C(x) = x 4 + 2x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16
x 5 - 32 = (x – 2) . (x 4 + 2x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16 )
TRABAJO PRÁCTICO
FACTOREO
1) Primer caso: Factor común
a) 4x2 - 12x4 + 20 x 3
1 4 1 2
1 6
b)
x - x +
x
6
2
12
2 6
8 4 10 3
4 5
c)
x x x –
x
27
15
9
21
d) 4x5 - 20 x7 + 8 x 4
e) 15x6 - 45 x 4 – 30
f) 2x 4 + 9 x 3 -7x 6
2)
a)
b)
c)
d)
Segundo caso: Factor común en grupo
8x4 - 3x3 - 16x + 6
e) x3 + x2 b - 2x – 2b
4
5
10 x -2 x + 15 - 3 x
f) x6+ 2 x 4 – 4 x 2 – 8
x3 + 1/2 x2 - 1/2 - x
g) p q 2 – 2 p – q 3 + 2 q
3
2
2
3
3x - y x +6 x y - 2 y
3)
a)
b)
c)
d)
Tercer caso: Trinomio cuadrado perfecto
1/9 x8 + x4 + 9/4
e) 25 x6 - 20 x4 + 4 x 2
3
6
2 - 8x + 8 x
f) 1/4 x 10 + 1/9 +1/3 x 5
x4 - 2 x2 + 1
g) 4/9 x 8 – 16/3 x 6 + 16 x 4
2
8
5
1/16 x + 1/4 x + 1/4 x
- 4 -
4)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Cuarto caso: Cuatrinomio cubo perfecto
-x6 + 9x4 - 27x 2 + 27
64 x9 - 48/3 x7 + 12/9 x 5 - 1/27 x3
8x6 +12x4 + 6x 2 +1
125 + 225 x3 + 135 x6 + 27 x9
x6 - 6x5 + 12 x 4 - 8x3
1/27 x 12 – 2/3 x 9 +4 x 6 – 8x3
- p 9 – 6 p6 x 4 – 12 p3 x 8 – 8 x 12
5)
a)
b)
c)
d)
Quinto caso: Diferencia de cuadrados
27/16 x4 - 4
e) 81 x12 - 36
6
4
0.01 x - 25 x
f) 64 x 10- 1/4 a 4
1/16 x10 - 64 x2
g) 2 x 4 – 9
4
8
–0.16 x + 1/4 x
6)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sexto caso: Suma o diferencia de potencias de igual grado
x3 +0.001
x7 - 128
x6 +1
x4 - 81
x5 +1/ 32
x6 – 8
- 5 -
- 6 -
0
