Tarea de ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
TAREA 1
FECHA DE ENTREGA: Jueves 6 de Febrero del 2020
Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales, establezca el orden de la ecuación y determine si
es lineal o no.
1.
2.
3.
4.
5.
𝑑𝑦
+ 𝑥 2 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
+ 𝜕𝑦2 = 0
𝜕2 𝑥 2
5
𝑑4 𝑦
𝑑2 𝑦
+
3
(
)
+ 5𝑦 = 0
4
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑2 𝑦
+ 𝑦 sin 𝑥 = 0
𝑑𝑥 2
6
𝑑 𝑥
𝑑4 𝑥
𝑑𝑥 3
+
(
)
(
)+𝑥 =𝑡
6
4
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 3
6.
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥 3
2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 4 𝑑𝑥 2 − 5 𝑑𝑥 + 3𝑦 = sin 𝑥
7. 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = 0
8.
9.
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
+ 2+ 2
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝑑2 𝑦
+ 𝑥 sin 𝑥 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑟 3
𝑑2 𝑟
+𝑢 =0
10. (𝑑𝑠) = √𝑑𝑠2 + 1
Determine si la ecuación diferencial dada de primer orden es lineal en la variable dependiente
indicada.
3. 𝑢𝑑𝑣 + (𝑣 + 𝑢𝑣 − 𝑢𝑒 𝑢 )𝑑𝑢 = 0, en 𝑣
4. 𝑢𝑑𝑣 + (𝑣 + 𝑢𝑣 − 𝑢𝑒 𝑢 )𝑑𝑢 = 0, en 𝑢
1. (𝑦 2 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0, en 𝑦
2. (𝑦 2 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0, en x
Muestre que la función definida en la primera columna es solución de la ecuación diferencial
correspondiente en la segunda columna.
Función
Ecuación diferencial
𝑑𝑦
+𝑦 =𝑥+1
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑒 −𝑥
𝑓(𝑥) = 2𝑒 3𝑥 − 5𝑒 4𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
−7
+ 12𝑦 = 0
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 2𝑥 2 + 6𝑥 + 7
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
−3
+ 2𝑦 = 4𝑥 2
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
(1 + 𝑥 2 )
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+ 4𝑥
+ 2𝑦 = 0
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
En los siguientes ejercicios muestre lo que se pide:
1. Muestra que 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 = 1 es una solución implícita de la ecuación diferencial
𝑑𝑦
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0.
2. Muestra que 5𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 3 𝑦 2 = 1 es una solución implícita de la ecuación diferencial
𝑑𝑥
5
𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 3 en el intervalo 0 < 𝑥 < 2.
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TEORÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
TAREA 1
3. Muestra que 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + 𝑐)𝑒 3𝑥 , donde 𝑐 es una constante arbitraria, es solución de la
𝑑𝑦
ecuación diferencial 𝑑𝑥 + 3𝑦 = 3𝑥 2 𝑒 −3𝑥 .
2
4. Muestra que 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑐𝑒 −2𝑥 , donde 𝑐 es una constante arbitraria, es solución de la
𝑑𝑦
ecuación diferencial 𝑑𝑥 + 4𝑥𝑦 = 8𝑥.
5. Muestra que 𝑓(𝑥) = 𝑐1 𝑒 4𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 , donde 𝑐1 , 𝑐2 son constantes arbitrarias, es solución
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
de la ecuación diferencial 𝑑𝑥 2 − 2 𝑑𝑥 − 8𝑦 = 0.
6. Para ciertos valores de 𝑛 la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒 n𝑥 es una solución de la
ecuación diferencial
𝑑3 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
−
3
−4
+ 12𝑦 = 0.
3
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Determine todos los valores de 𝑛.
7. Muestra que la función definida por 𝑓(𝑥) = (2𝑥 2 + 2𝑒 3𝑥 + 3)𝑒 −2𝑥 satisface la ecuación
diferencial
𝑑𝑦
+ 2𝑦 = 6𝑒 𝑥 + 4𝑥𝑒 −2𝑥
𝑑𝑥
y también la condición 𝑓(0) = 5.
8. Muestra que la función definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑒 2𝑥 − 2𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑐𝑜 𝑠(2𝑥) satisface la
ecuación diferencial
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
−4
+ 4𝑦 = −8 sin(2𝑥)
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
′ (0)
y también las condiciones 𝑓(0) = 2 y 𝑓
= 4.
Resuelva los siguientes Problemas de Valor Inicial usando el método de separación de variables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
′
= 2𝑥,
=
𝑥
−𝑦,
1/3
=𝑦
=
𝑦
,
√𝑥
2
𝑓(1) = 4
𝑦(3) = 4
,
𝑦(0) = 0
𝑦(1) = 2
= 𝑥 sin 𝑦 ,
=
7. 𝑦 =
𝑦(1) = −2
𝑦2
, 𝑦(1) = 0
𝑥−2
𝑥+𝑥𝑦 2
, 𝑦(1) = 0
4𝑦
8. sin2 𝑦𝑑𝑥 + cos 2 𝑥𝑑𝑦 = 0,
9. 2𝑦 cos 𝑥 𝑑𝑥 + 3 sin 𝑥 𝑑𝑦 = 0,
10.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 5𝑥 = 10,
𝑥(0) = 0
𝜋
𝑦 (4) =
𝜋
𝜋
4
𝑦 (2) = 2