integral dinamica

Conceptos iniciales
Integrales inmediatas
Integración por partes
Integración de funciones racionales
Instituto Tecnológico de Puebla
Dpto. de Ciencias Básicas
Métodos de Integración
M.C. Mario Alberto Lezama Rojas
Marzo de 2020
Métodos de Integración M.C. Mario Alberto Lezama Rojas
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Conceptos iniciales
Integrales inmediatas
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Integración de funciones racionales
Conceptos inicales
Primitiva: Una función F (x) se llama primitiva de otra función
f (x) si F 0 (x) = f (x).
Proposición: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene
infinitas funciones primitivas, que se diferencian entre sı́ en una
constante.
Integral indefinida: Se llama integral indefinida de una función
f (x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:
Z
f (x)dx = F (x) + C
(1)
De (1) podemos concluir que [F (x) + C ]0 = f (x).
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Integración por partes
Integración de funciones racionales
Ejemplos de integrales inmediatas
Integrales inmediatas
En realidad cuando integramos una función no obtenemos una
función, sino una familia de funciones, que son la solución de la
integral.
Es el método más sencillo; puesto que analizando la función a
integrar y localizando en la tabla la correspondiente se resuelve la
integral propuesta. En algunos casos es necesario realizar algunos
pasos algebraicos. En otras palabras; si se tiene una tabla de
derivadas, se tiene una tabla de integrales y viceversa.
Veamos lo antes dicho en una tabla tı́pica de derivadas:
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Ejemplos de integrales inmediatas
Integrales inmediatas. . .
f 0 (x) = F (x)
d(x n )
= nx n−1
dx
d(e cx )
= ce cx
dx
d(ln x)
1
=
dx
x
d(sen x)
= cos x
dx
d(tan x)
= sec2 x
dx
En consecuencia, si integramos con Instituto
respecto
a x ambas columnas
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Integración de funciones racionales
Z
Ejemplos de integrales inmediatas
Z
0
f (x) =
d(x n )
dx
Z
d(e cx )
dx
Z
d(ln x)
dx
Z
d(sen x)
dx
Z
d(tan x)
dx
Como la derivada y la integral
Z
Z
F (x) dx
Z
nx n−1 dx
Z
ce cx dx
Z
1
dx
x
=
=
=
Z
=
cos(x) dx
Z
=
sec2 (x) dx
son operadores inversos:
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Ejemplos de integrales inmediatas
Integrales inmediatas
En cada una de las integrales, primero se deben realizar los pasos
algebraicos, aritméticos correspondientes, o buscar identidades
trigonométricas, de tal forma que se lleve la función a integrar a
una que se r
encuentre en la tabla de integrales. Por ejemplo:
Z
q
qp
√
√
Integrar
x dx, ası́
x = x 1/8 de esta forma la
Z
integral anterior se convierte en
x 1/8 dx. Si n = 81 , aplicamos la
Z
x n+1
fórmula
x n dx =
+ C entonces
n+1
Z
8
• x 1/8 dx = x 9/8 + C
9
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Integración por partes
Integración de funciones racionales
Ejemplos de integrales inmediatas
Integrales inmediatas
e arc sen x
√
dx.
1 − x2
Si analizamos la función a integrar vemos que si u = arc sen x su
1
dx se encuentra como factor de la
derivada, que es du = √1−x
2
función exponencial, por lo que:
Z arc sen x
Z
e
• √
dx = e u du = e u + C = e arc sen x + C
1 − x2
Z
Otro ejemplo. Resolver la integral
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Integración de funciones racionales
Ejemplos de integrales inmediatas
Ejercicios propuestos de Integrales inmediatas
1
Z x+
√
x − 3 dx
Z
7
Z
2
3
4
5
6
x 3 dx
Z x 2 − 2 dx
Z √ 3 2
x − 3 3 x dx
Z 4
25x 2 − 1 dx
Z
e 5x dx
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8
9
10
11
sen 5x
dx
5
Z
dx
√
3
x
Z 2
x
√ dx
x
Z 1 4x 3 − √
dx
3
3x
Z 8
√
−
+ 2x dx
x
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Ejemplos de integrales inmediatas
Ejercicios propuestos de Integrales inmediatas
1
2
3
4
5
Z 2 2 √ x − x dx
3
Z √ 3 2
x + x 2 x dx
5
Z
1√
3
xdx
3
Z √
34 3
x dx
4
Z 2x 2 − 3 sen x + 3 dx
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Z
cos 7xdx
6
Z
sen(2x − 6)dx
7
Z
8
9
10
√
sen x cos xdx
Z x dx
1 + x2
Z x dx
x4 + 1
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Integración por partes
Recordemos la regla de la derivada de un producto de dos
funciones,u y v siendo éstas funciones de x :
(uv )0 = udv + vdu
aplicando el teorema fundamental de cálculo, se tiene
Z
Z
Z
0
(uv ) =
udv + vdu
Z
Z
uv =
udv + vdu
(2)
(3)
Despejando de (3) el primer sumando de miembro derecho, se tiene
R
R
u dv = uv − v du
(4)
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Integración por partes
Analizando (4) podemos concluir que con este método se integran
funciones con un integrando de la forma u dv , lo importante es
decidir quién es u y quién dv , una vez decidido también
necesitamos calcular du y v , para completar todos los elementos
necesarios para aplicar el método.
A modo de análisis examinemos la siguiente integral
Z
xe x dx
para aplicar el método de integración por partes debemos
reconocer y asignar los elementos mencionados.
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Regla general. . .
Integración por partes
u = x
du = dx
dv = e x dx
v = ex
O
bien por lax otra combinación:
u = e
du = e x dx
Y la pregunta obligada surge
2
dv = xdx
v = x2
¿cuál es la mejor la mejor opción? Designando A y B para cada
caso podemos emplear 4 y desarrollar
Z
Z
Z
A = |{z}
x e| x{zdx} = |{z}
x |{z}
e x − |{z}
e x |{z}
dx = xe x − e x dx = xe x −e x +C
Podemos decidir por
u
dv
u
v
v
du
Z
Z
Z
x2
x2 x
x 2e x
1
B = |{z}
e x |{z}
xdx = |{z}
ex
−
e| {zdx} =
−
x 2 e x dx
2
2
2
2
|{z} du
u
u |{z}
dv
v
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v
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Integración por partes
Es fácil observar que la integral A se resolvió inmediatamente,
mientras
R 2 x que la B presenta un nuevo problema; el de integrar
x e dx, lo que nos lleva a aplicar el método de integración por
partes nuevamente y ası́ indefinidamente.
En conclusión: no elegir adecuadamente u y dv lleva a que el
método no funcione o se vuelva infinito.
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Ejercicios propuestos. . .
Z
x 2 e 2x dx
Z
x 3 e 4x dx
Z
x 10 sen 5x dx
Z
x 2 e −2x dx
Z
x 5 sen 3x dx
Z
(2x + 1)10 cos 3x dx
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Z
x 3 cos x dx
Z
x 8 e x dx
Z
(x 2 − 3x)7 sen 6x dx
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Ejercicios propuestos . . .
Si el lector desarrolló todos los ejercicios anteriores se habrá dado
cuenta de algo, de que hay un patrón de comportamiento. ¿Ya lo
descubriste? Analiza cada sumando; y efectivamente ya podemos
establecer la siguiente regla de comportamiento. Sean p(x) y q(x),
polinomio en x y una función exponencial, coseinoidal o senoidal
respectivamente, entonces
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
ZZ
ZZZ
ZZZZ
q−p 0 q+p 00
q−p 000
q+· · ·+· · · (5)
lo podemos observar sumando a sumando en la siguiente
diapositiva. . .
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Regla general. . .
Z
Función a integrar
pq, regla general
Z
p(x)q(x)dx =
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Regla general. . .
Función p por integral de q, donde p es un polinomio y q
es una función exponencial, seno o coseno
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
q
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Regla general. . .
− primera derivada de p por segunda integral de q
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
ZZ
q − p0 q
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+ segunda derivada de p por tercera integral de q
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
ZZ
ZZZ
q − p 0 q + p 00
q
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− tercera derivada de p por cuarta integral de q
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
ZZ
ZZZ
ZZZZ
q − p 0 q + p 00
q − p 000
q
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+ cuarta derivada de p por quinta integral de q
Z
Z
p(x)q(x)dx = p
ZZ
ZZZ
ZZZZ
ZZZZZ
q−p 0 q+p 00
q−p 000
q+p iv
q−· · ·
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Z
Apliquemos lo anterior a la integral
Z
x 2 e −2x dx
x 2 e −2x dx =
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Regla general. . .
Z
Apliquemos lo anterior a la integral
Z
x 2 e −2x dx
1
x 2 e −2x dx = x 2 − e −2x
2
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Regla general. . .
Z
Apliquemos lo anterior a la integral
Z
x 2 e −2x dx
1
1
x 2 e −2x dx = x 2 − e −2x − 2x e −2x
2
4
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Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Z
Apliquemos lo anterior a la integral
Z
x 2 e −2x dx
1
1
1
x 2 e −2x dx = x 2 − e −2x − 2x e −2x + 2 − e −2x + C
2
4
8
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Integración por partes
Integración de funciones racionales
Ejercicios propuestos
Regla general. . .
Z
Apliquemos lo anterior a la integral
Z
x 2 e −2x dx
1
1
1
x 2 e −2x dx = x 2 − e −2x − 2x e −2x + 2 − e −2x + C
2
4
8
ahora si podemos reducir y factorizar
Z
e −2x 2
1
• x 2 e −2x dx = −
x +x +
+C
2
2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Integración de funciones racionales
(x)
Estas funciones son de la forma PQmn (x)
donde Pm (x) y Qn (x) son
polinomios en x de grado m y n respectivamente. Si m ≥ n,
entonces la fracción se denomina impropia, y si m < n se denomina
propia. En el primer caso se suguiere realizar la división de
polinomios hasta que no se pueda seguir dividiendo, entonces ésta
última se convertirá como el segundo caso; aquı́ se suguiere:
factorizar, completar binomios, fracciones parciales1 , y continuar
con la integración de las funciones resultantes. Una vez factorizado
el denominador, la función racional se descompone en fracciones
simples; según el grado del denominador es el número de sumandos
(fracciones) en que se descompone la fracción original.
1
Consultar Algebra Superior, Serie de Schuam
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Integración de funciones racionales
Se denominan fracciones simples (o elementales o parciales) a las
fracciones racionales de los cuatro tipos siguientes:
1
1
x−a
2
1
(x−a)n
3
Ax+B
x 2 +px+q
4
Ax+B
(x 2 +px+q)n
Donde x 2 + px + q es irreducible o no factorizable o sólo tiene
raices complejas. De lo anterior, al factorizar el denominador
pueden darse los siguientes casos:
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
x +1
=
x(x − 2)(x + 2)
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
A
x +1
=
x(x − 2)(x + 2)
x
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
A
B
x +1
= +
x(x − 2)(x + 2)
x
x −2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
A
B
C
x +1
= +
+
x(x − 2)(x + 2)
x
x −2 x +2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
La pregunta ahora es: ¿cómo se calculan los coeficientes
propuestos A, B, C , . . .? Si se recurre al aritmética elemental (de
primaria suma de quebrados o fracciones) se puede escribir
A(x − 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 2)
x +1
=
x(x − 2)(x + 2)
x(x − 2)(x + 2)
Si igualamos los numeradores de ambos miembros
x + 1 = A(x − 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x − 2)
(6)
se puede proceder de dos formas:
(i) Se dan valores a x (las raı́ces de denominador, de
preferencia)
(ii) Se desarrolla el miembro derecho, y se igualan los
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
De la manera (i). Para diferentes valores de x en (6) se tiene
x = 0 ; 1 = −4A ∴ A = − 14
x = 2 ; 3 = 8B ∴ B = − 38
x = −2 ; −1 = −8C ∴ C =
1
8
de lo anterior se puede escribir
1
−1
− 38
x +1
= 4 +
+ 8
x(x − 2)(x + 2)
x
x −2 x +2
finalmente
x +1
1 1 3
1
1
1
=− × − ×
+ ×
x(x − 2)(x + 2)
4 x
8 x −2 8 x +2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
De la manera (ii). Se desarrolla el polinomio de la expresión (6):
x + 1 = Ax 2 − 4A + Bx 2 + 2Bx + Cx 2 − 2Cx
se factorizan las potencias de x
x + 1 = x 2 (A + B + C ) + x(2B − 2C ) − 4A
igualando coeficientes, se genera un sistema de ecuaciones, donde
se encuentran los valores de A, B y C
A
+
B + C
2B − 2C
−4A
= 0
= 1
= 1
resolviendo, se tiene: A = − 41 B = − 83 y C =
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1
8
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
¿Que sucederı́a si esta fracción fuera una integral? Ya resuelto el
problema del cálculo de coeficientes podemos integrarla:
Z
Z
Z
Z
x +1
1
dx
3
dx
1
dx
dx = −
−
+
x(x − 2)(x + 2)
4
x
8
x −2 8
x +2
3
1
1
= − ln x − ln(x − 2) + ln(x + 2) + ln K
4
8
8
= ln x −1/4 + ln(x − 2)−3/8 + ln(x + 2)1/8 + ln K
Finalmente
Z
x +1
•
dx = ln[K x −1/4 (x − 2)−3/8 (x + 2)1/8 ]
x(x − 2)(x + 2)
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Un ejemplo más. Sea la integral de una fracción propia, donde el
polinomio del numerador P2 (x) es de menor grado que del
denominador Q3 (x).
Z
Z
P2 (x)
4x 2 + 13x − 9
dx =
dx
Q3 (x)
x 3 + 2x 2 − 3x
El denominador no está factorizado, ası́ que
Q3 (x) = x 3 + 2x 2 − 3x = x x 2 + 2x − 3 = x (x + 3) (x − 1)
Las tres raı́ces son reales y diferentes: x1 = 0, x2 = −3 y x3 = 1.
Entonces proponemos las fracciones parciales y los coeficientes
A, B y C por determinar.
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Caso 1
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Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Continuamos. . .
Z
Z
Z
4x 2 + 13x − 9
A
B
C
dx
=
dx
+
dx
+
dx
x 3 + 2x 2 − 3x
x
x +3
x −1
Sumamos las fracciones propuestas e igualamos los numeradores.
En cada renglón se hacen productos y factorizaciones necesarias.
Z
4x 2 + 13x − 9 = A (x + 3) (x − 1)
+ B (x) (x −
1) + C (x) (x + 3)
4x 2 + 13x − 9 = A x 2 + 2x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3x 4x 2 + 13x − 9 = A x 2 + 2x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3x
4x 2 + 13x − 9 = Ax 2 + 2Ax − 3A + Bx 2 − Bx + C x 2 + 3Cx
4x 2 + 13x − 9 = Ax 2 + 2Ax − 3A + Bx 2 − Bx + C x 2 + 3Cx
2 + 2Ax − Bx + 3Cx − 3A
4x 2 + 13x − 9 = Ax 2 + Bx 2 + C xInstituto
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Conceptos iniciales
Integrales inmediatas
Integración por partes
Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Continuamos. . . Agrupamos las potencias potencias de x, y
queda ası́
4x 2 + 13x − 9 = x 2 (A + B + C ) + x (2A − B + 3C ) − 3A
Igualamos los polinomios de segundo grado, los coeficientes
correspondientes generan un sistema de ecuaciones lineales de
3 × 3.
A
+ B + C = 4
2A − B + 3C = 13
−3A
= −9
Al resolver el sistema A = 3, B = −1 y C = 2. Ası́
Z
4x 2 + 13x − 9
dx =
x 3 + 2x 2 − 3x
Z
3
dx −
x
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Z
1
dx +
x +3
Z
2
dx
x −1
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Continuamos. . . Finalmente integramos cada sumando de las
fracciones parciales, y aplicamos propiedades de los logaritmos.
Z
•
4x 2 + 13x − 9
dx = 3 ln(x) − ln(x + 3) + 2 ln(x − 1) + ln(K ) =
x 3 + 2x 2 − 3x
h
i
= ln(x)3 +ln(x+3)−1 +ln(x−1)2 +ln(K ) = ln Kx 3 (x+3)−1 (x−1)2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
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Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otro ejemplo. Integrar la siguiente
Z fracción parcial SIN calcular
5x − 2
dx
los coeficientes indeterminados:
(x − 1)(x − 4)(x + 2)
Separamos en fracciones parciales, y sin calcular los coeficientes
indeterminados escribimos
5x − 2
A
B
C
=
+
+
, ası́:
(x − 1)(x − 4)(x + 2)
x −1 x −4 x +2
Z
5x − 2
dx =
(x − 1)(x − 4)(x + 2)
Z
Z
Z
A
B
C
dx+
dx+
dx =
x −1
x −4
x +2
= A ln(x − 1) + B ln(x − 4) + C ln(x + 2) + ln K
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otro ejemplo, continuamos. . . Finalmente:
Z
•
5x − 2
dx =
(x − 1)(x − 4)(x + 2)
= ln(x − 1)A + ln(x − 4)B + ln(x + 2)C + ln K =
h
i
= ln K (x − 1)A (x − 4)B (x + 2)C
Los coeficientes son: A = − 31 , B = 1 y C = − 23 .
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Ejercicios propuestos. Separar en fracciones simples o parciales
las siguientes funciones racionales. Y después resolver como si
fuera una integral.
x
1
(x + 2)(x − 3)(x + 1)
Se debe observar que el número de Instituto
fracciones
o sumandos debe ser
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Ejercicios propuestos. Separar en fracciones simples o parciales
las siguientes funciones racionales. Y después resolver como si
fuera una integral.
x
1
(x + 2)(x − 3)(x + 1)
3x 2 − x + 2
2
(2x − 1)(x + 1)(x − 5)
Se debe observar que el número de Instituto
fracciones
o sumandos debe ser
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Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Ejercicios propuestos. Separar en fracciones simples o parciales
las siguientes funciones racionales. Y después resolver como si
fuera una integral.
x
1
(x + 2)(x − 3)(x + 1)
3x 2 − x + 2
2
(2x − 1)(x + 1)(x − 5)
1
3
(x − a)(x + b)(x + c)
Se debe observar que el número de Instituto
fracciones
o sumandos debe ser
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Ejercicios propuestos. Separar en fracciones simples o parciales
las siguientes funciones racionales. Y después resolver como si
fuera una integral.
x
1
(x + 2)(x − 3)(x + 1)
3x 2 − x + 2
2
(2x − 1)(x + 1)(x − 5)
1
3
(x − a)(x + b)(x + c)
3x + 4
4
(x + 4)(x − 2)(x + 6)
Se debe observar que el número de Instituto
fracciones
o sumandos debe ser
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Caso 1
Caso 2
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Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Ejercicios propuestos. Separar en fracciones simples o parciales
las siguientes funciones racionales. Y después resolver como si
fuera una integral.
x
1
(x + 2)(x − 3)(x + 1)
3x 2 − x + 2
2
(2x − 1)(x + 1)(x − 5)
1
3
(x − a)(x + b)(x + c)
3x + 4
4
(x + 4)(x − 2)(x + 6)
x 2 + 2x − 5
5
(x − 1)(x + 2)(x − 1)(x − 7)
Se
debe
observar que el número de Instituto
fracciones
o sumandos debe ser
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
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Caso 1
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Caso 3
Caso 3
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Caso 4
Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
x − 29
2
(x − 4) (x + 1)
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Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
x − 29
2
(x − 4) (x + 1)
x + 34
3
2
x − 4x − 12
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Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
x − 29
2
(x − 4) (x + 1)
x + 34
3
2
x − 4x − 12
5x − 12
4
x 2 − 4x
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Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
x − 29
2
(x − 4) (x + 1)
x + 34
3
2
x − 4x − 12
5x − 12
4
x 2 − 4x
4x 2 − 15x − 1
5
(x − 1) (x + 2) (x − 3)
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Caso 1
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Caso 3
Caso 3
Caso 3
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Observaciones
Caso 1 El denominador tiene sólo raı́ces reales simples.
Otros ejercicios propuestos.
8x − 1
1
(x − 2) (x + 3)
x − 29
2
(x − 4) (x + 1)
x + 34
3
2
x − 4x − 12
5x − 12
4
x 2 − 4x
4x 2 − 15x − 1
5
(x − 1) (x + 2) (x − 3)
x 2 + 19x + 20
6
x (x + 2) (x − 5)
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Integración por partes
Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
x +1
=
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A
x +1
= 2
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A B
x +1
= 2+
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
x
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A B
C
x +1
= 2+ +
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
x (x − 2)3
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A B
C
x +1
D
= 2+ +
+
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
x (x − 2)3 (x − 2)2
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Integración por partes
Integración de funciones racionales
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A B
C
x +1
D
E
= 2+ +
+
+
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
x (x − 2)3 (x − 2)2 x − 2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 2 El denominador tiene sólo raı́ces reales, aunque
alguna de ellas es múltiple.
A B
C
F
x +1
D
E
= 2+ +
+
+
+
x 2 (x − 2)3 (x + 2)
x
x (x − 2)3 (x − 2)2 x − 2 x + 2
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 3 En esta caso asignar a x las raı́ces del
denominador no es suficiente para calcular los coeficientes
indeterminados.
x 2 (x
A B
C
D
E
F
x +1
= 2+ +
+
+
+
3
3
2
− 2) (x + 2)
x
x (x − 2)
(x − 2)
x −2 x +2
En este caso como hay raı́ces reales múltiples, éstas son:
x1 = x2 = 0, x3 = x4 = x5 = 2 y x6 = −2. Al asignar tres valores a
x, nos permitirá encontrar tres coeficientes ¿cómo calculamos los
otros tres? Aquı́ se sugiere asignar tres valores cualesquiera, sin
embargo es recomendable que sean valores fácil de calcular. Por
ejemplo: 1, −1 y 3. Esto nos llevará a un sistema de ecuaciones
lineales de 3 × 3.
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 3 En esta caso asignar a x las raı́ces del
denominador no es suficiente para calcular los coeficientes
indeterminados.
Desarrollamos la suma de fracciones e igualamos los numeradores,
y se tiene:
x + 1 = x 5 − 6 x 4 + 12x 3 − 8 x 2 F + x 5 − 2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 E + x 4 − 4 x 2 D + x 3 + 2x 2 C +
x 5 − 4 x 4 + 16 x 2 − 16 x B + x 4 − 4 x 3 + 16 x − 16 A
1
Si x = 0, por ejemplo se tiene 1 = −16A, por lo tanto A = − , y
16
1
3
11
31
1
los demás son B = − , C = , D = − , E =
yF =
8
16
64
256
256
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 3 En esta caso asignar a x las raı́ces del
denominador no es suficiente para calcular los coeficientes
indeterminados.
x +1
11
1
1
3
−
+
=−
−
+
3
3
2
− 2) (x + 2)
16 x
8x
16 (x − 2)
64 (x − 2)2
31
1
+
256 (x − 2) 256 (x + 2)
x 2 (x
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 3 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo
grado irreducible.
x2 − 2
Ax + B
= 2
2
2
(x + 1)(2x + x + 1)
x +1
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 3 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo
grado irreducible.
x2 − 2
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
2
2
(x + 1)(2x + x + 1)
x +1
2x + x + 1
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 4 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
múltiple, alguno de los factores es un polinomio de
segundo grado irreducible que se repite.
x2 − 2
=
(x 2 + 1)2 (2x 2 + x + 1)
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Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 4 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
múltiple, alguno de los factores es un polinomio de
segundo grado irreducible que se repite.
x2 − 2
Ax + B
= 2
(x 2 + 1)2 (2x 2 + x + 1)
(x + 1)2
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Caso 3
Caso 3
Caso 3
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Observaciones
Caso 4 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
múltiple, alguno de los factores es un polinomio de
segundo grado irreducible que se repite.
x2 − 2
Ax + B
Cx + D
= 2
+
+ 2
(x 2 + 1)2 (2x 2 + x + 1)
(x + 1)2
x +1
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Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 3
Caso 3
Caso 4
Observaciones
Caso 4 Entre las raı́ces del denominador las hay complejas
múltiple, alguno de los factores es un polinomio de
segundo grado irreducible que se repite.
x2 − 2
Ax + B
Ex + F
Cx + D
= 2
+ 2
+ 2
(x 2 + 1)2 (2x 2 + x + 1)
(x + 1)2
x +1
2x + x + 1
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Caso 3
Caso 3
Caso 3
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Observaciones
En el libro de texto se encuentran ejemplos resueltos de todos los
casos.
De la página 102 en adelante puedes seguir cada uno de los
ejemplos resueltos, y de ahı́ puedes resolver los ejercicios
propuesto, tanto en el libro con en este documento.
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