TEMA 7: Espacios vectoriales Matemáticas Grado en Estadı́stica Empresarial Grado en Administración y Dirección de Empresas Curso 2017-2018 Prof. Marı́a Victoria Herranz Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 1 / 30 1 Introducción Vectores. Operaciones con vectores Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales 2 Espacio vectorial Estructura de espacio vectorial Envoltura lineal. Sistema generador Independencia lineal Base y dimensión Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 2 / 30 Índice 1 Introducción Vectores. Operaciones con vectores Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales 2 Espacio vectorial Estructura de espacio vectorial Envoltura lineal. Sistema generador Independencia lineal Base y dimensión Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 3 / 30 Vectores Definición a2 . . . an es una matriz con una sola fila. a1 a2 Un vector columna . es una matriz con una sola columna. .. Un vector fila a1 an Notación Denotaremos a los vectores por letras negritas, por ejemplo, para denotar el vector fila a1 a2 . . . an , pondremos a = a1 a2 . . . an . Los números a1 , a2 , . . . , an se llaman las componentes o coordenadas del vector. El número ai se llama componente i-ésima o coordenada i-ésima. Si queremos subrayar que un vector tiene n componentes, le llamaremos un n-vector y diremos que tiene dimensión n. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 4 / 30 Intrepretación geométrica de los vectores La localización de un punto en el plano se realiza generalmente en términos de sus coordenadas respecto a un sistema de referencia. Por ejemplo, la figura (a) describe la localización del punto A(9, 6) en el plano mediante un sistema de coordenadas rectangular. Además, el punto A se encuentra a una cierta distancia en una determinada dirección del origen (0, 0). La distancia y la dirección están caracterizadas por la longitud y la dirección del segmento rectilı́neo que une O con A. Un segmento de estas caraterı́sticas se llama vector de posición y se denota por ~ (figura (b)), donde O es el punto inicial y A es el punto final. OA Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 5 / 30 Operaciones con vectores Como los vectores son, en particular, matrices, las operaciones con vectores se definen a partir de las operaciones con matrices. Igualdad de vectores Dos n-vectores a y b se dice que son iguales y denotaremos a = b si sus correspondientes componentes son iguales, es decir, si las componentes que ocupan los mismos lugares, son iguales. Ejemplo (x, y , z) = (−2, 5, 9) si y sólo si x = −2, y = 5 y z = 9. (1, −1, 2) 6= (−1, 1, 2). (2, −2, 7) 6= (2, −2, 7, 1) porque no tienen el mismo número de componentes. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 6 / 30 Operaciones con vectores Suma de vectores Si a y b son dos n-vectores, el vector suma de a y b es el n-vector que se obtiene sumando cada componente de a con cada la correspondiente componente de b que ocupa el mismo lugar. Por ejemplo (para vectores fila) a1 a2 . . . an + b1 b2 . . . bn = a1 + b1 a2 + b2 . . . an + bn Producto por un escalar Si a es un n-vector, y λ un número real, definimos el vector λa como el n-vector obtenido al multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector a. Por ejemplo (para vectores fila), λ a1 a2 . . . an = λa1 λa2 . . . λan Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 7 / 30 Operaciones con vectores Diferencia de vectores Si a y b son dos n-vectores, el vector diferencia de a y b es el n-vector que se obtiene por la relación a − b = a + (−1)b, es decir, a1 a2 . . . an − b1 b2 . . . bn = a1 − b1 a2 − b2 . . . an − bn Vector nulo Llamamos vector nulo al vector cuyas componentes son todas cero, 0 = 0 0 ... 0 Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 8 / 30 Operaciones con vectores Ejemplo √ Si a = (3, −2, 5) y b = (−2, 10, −3), calcular a + b, a − b, 5a, − 2b y 3a + 4b. Solución a + b = (1, 8, 2) a − b = (5, −12, 8) 5a = (15, −10, 25) √ √ √ √ − 2b = (2 2, −10 2, 3 2) 3a + 4b = (1, 34, 3) Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 9 / 30 Intrepretación geométrica de las operaciones vectoriales Suma de vectores (regla del paralelogramo) El vector suma u + v es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son u y v. Producto por un escalar Si α > 0, αu es el vector con la misma dirección que u y cuya longitud es λ multiplicado por la longitud de u. Si α < 0, se invierte el sentido y la longitud es |λ| multiplicado por la longitud de u. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 10 / 30 Intrepretación geométrica de las operaciones vectoriales Diferencia de vectores El vector diferencia u − v es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son u y −v. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 11 / 30 Índice 1 Introducción Vectores. Operaciones con vectores Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales 2 Espacio vectorial Estructura de espacio vectorial Envoltura lineal. Sistema generador Independencia lineal Base y dimensión Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 12 / 30 Espacio vectorial Sea V un conjunto en el que hay definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por un escalar. La adición es una regla que asigna a dos elementos u, v ∈ V un nuevo elemento u + v ∈ V , que llamamos suma de u y v. La multiplicación por un escalar es una regla que asigna a un escalar α ∈ R y a un elemento v ∈ V un nuevo elemento αv ∈ V , que llamamos producto de α y v. Decimos que V es un espacio vectorial, y llamamos vectores a los elementos de V , si se satisfacen las condiciones o axiomas siguientes: ∀ u, v, w ∈ V (propiedad asociativa). 1 (u + v) + w = u + (v + w), 2 u+v =v+u 3 Existe un único vector, que llamamos vector nulo y denotamos por 0, tal que u + 0 = u = 0 + u ∀ u ∈ V. 4 Para todo u ∈ V , existe un único vector, que llamamos opuesto de u y denotamos por −u, tal que u + (−u) = 0 = (−u) + u. 5 α(u + v) = αu + αv 6 (α + β)u) = αu + βu 7 α(βu) = (αβ)u 8 1u = u ∀ u, v ∈ V (propiedad conmutativa). ∀ α ∈ R y ∀ u, v ∈ V . ∀ α, β ∈ R y ∀ u ∈ V . ∀ α, β ∈ R y ∀ u ∈ V . ∀ u ∈ V. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 13 / 30 Espacio vectorial Ejemplo El conjunto R2 es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y multiplicación por un escalar. En efecto, 1 Propiedad asociativa: dados u = (x, y ), v = (z, t), w = (r , s) ∈ V se tiene que (u + v) + w = [(x, y ) + (z, t)] + (r , s) = (x + z, y + t) + (a, b) = = ((x + z) + a, (y + t) + b) = (x + (z + a), y + (t + b)) = = (x, y ) + [(z + a, t + b)] = (x, y ) + [(z, t) + (a, b)] = u + (v + w) 2 Propiedad conmutativa: dados u = (x, y ), v = (z, t) ∈ V , se tiene que u + v = (x, y ) + (z, t) = (x + z, y + t) = (z + x, t + y ) = (z, t) + (x, y ) = v + u 3 Vector nulo: 0 = (0, 0), pues dado u = (x, y ) ∈ V , se tiene que u + 0 = (x, y ) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y ) = u 4 Dado u = (x, y ) ∈ V , su opuesto es −u = (−x, −y ), ya que u + (−u) = (x, y ) + (−x, −y ) = (x − x, y − y ) = (0, 0) = 0 Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 14 / 30 Espacio vectorial Ejemplo 5 Dados u = (x, y ), v = (z, t) ∈ V y λ ∈ R, se tiene que: λ(u + v) = λ[(x, y ) + (z, t)] = λ(x + z, y + t) = [λ(x + z), λ(y + t)] = = (λx + λz, λy + λt) = (λx, λy ) + (λz, λt) = λ(x, y ) + λ(z, t) = λu + λv 6 Dados u = (x, y ) ∈ V y λ, µ ∈ R, se tiene que: (λ + µ)u = (λ + µ)(x, y ) = ((λ + µ)x, (λ + µ)y ) = (λx + µx, λy + µy ) = = (λx, λy ) + (µx, µy ) = λ(x, y ) + µ(x, y ) = λu + µv 7 Dados u = (x, y ) ∈ V y λ, µ ∈ R, se tiene que: (λ · µ)u = (λ · µ)(x, y ) = ((λ · µ)x, (λ · µ)y ) = [λ · (µ · x), λ · (µ · y )] = = λ · (µ · x, µ · y ) = λ · (µ · (x, y )) = λ · (µu) 8 Dado u = (x, y ) ∈ V , se tiene que: 1 · u = 1 · (x, y ) = (1 · x, 1 · y ) = (x, y ) = u Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 14 / 30 Subespacio vectorial Definición Sea S un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial V . Decimos que S es un subespacio vectorial de V si αu + βv ∈ S ∀ α, β ∈ R y ∀ u, v ∈ S Nota Si S es un subespacio vectorial de V, entonces 0 ∈ S. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 15 / 30 Subespacio vectorial Definición Sea S un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial V . Decimos que S es un subespacio vectorial de V si αu + βv ∈ S ∀ α, β ∈ R y ∀ u, v ∈ S Ejemplo El subconjunto S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0} de R3 es un subespacio vectorial de R3 . En efecto: Sean (x1 , x2 , x3 ) e (y1 , y2 , y3 ) dos elementos de S. Por tanto, verifican: x1 + x2 + x3 = 0 e y1 + y2 + y3 = 0 Ahora, dados dos números reales α, β ∈ R cualesquiera, tenemos que: α(x1 , x2 , x3 ) + β(y1 , y2 , y3 ) = (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ) Además, (αx1 + βy1 ) + (αx2 + βy2 ) + (αx3 + βy3 ) = α(x1 + x2 + x3 ) + β(y1 + y2 + y3 ) = 0, luego α(x1 , x2 , x3 ) + β(y1 , y2 , y3 ) ∈ S y, por tanto, S es un subespacio vectorial de R3 . Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 16 / 30 Combinación lineal En general, un subconjunto de un espacio vectorial no es subespacio vectorial. Pero, ¿cuál es el subespacio vectorial más pequeño que contiene a un subconjunto dado? En este epı́grafe tratamos de proporcionar la respuesta a esta preguntas e introducimos dos conceptos fundamentales relacionados, a saber, dependencia e independencia lineal. Definición Sea V un -espacio vectorial y U 6= ∅ un subconjunto de V . Se dice que v es una combinación lineal de elementos de U si es de la forma v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un , λi ∈, ui ∈ U 1 ≤ i ≤ n. Denotemos por L[U] el conjunto de todas las combinaciones lineales de U, esto es, L[U] = {v ∈ V : v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un , λi ∈, ui ∈ U}. También lo denotaremos por L[U] = h{u1 , u2 , . . . , un }i Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 17 / 30 Combinación lineal Proposición Sea V un espacio vectorial y U 6= ∅ un subconjunto de V . Entonces L[U] es el menor subespacio vectorial que contiene a U. Ejemplo En R3 , el vector (5, −3, 8) es combinación lineal de los vectores (4, −1, 3), (0, 5, 2), (−1, 7, −6) y (1, 2, 0) ya que (5, −3, 8) = 2(4, −1, 3) + 1(0, 5, 2) + 0(−1, 7, −6) − 3(1, 2, 0) Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 18 / 30 Sistema Generador Subespacio generador Se dice que L[U] es el subespacio vectorial generado por U. También se denomina clausura lineal o envolvente lineal de U. Para clarificar la idea, valga como ejemplo el espacio de los vectores en R3 . Si consideramos un vector cualquiera de R3 como subconjunto (en este caso de un solo elemento), entonces el subespacio generado es una recta que pasa por el origen en la dirección del vector prefijado. Si fijamos dos vectores no colineales, entonces el subespacio generado por estos dos vectores es un plano de R3 pasando por el origen. Sistema generador Sea V un espacio vectorial y G ⊂ V un subconjunto de V . Decimos que G es un sistema generador de V si L[G] = V . Es decir, si cualquier elemento de V es combinación lineal de de elementos de G. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 19 / 30 Sistema generador Ejemplo Sea V = R3 y G = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} ¿ Es G conjunto generador de V ? Sea v = (a, b, c) ∈ R3 un vector cualquiera de R3 para que G genere a R3 debemos poder escribir v como combinación lineal de elementos de G para cualesquiera a, b y c. Sea λ1 y λ2 reales tales que (a, b, c) = λ1 (1, 0, 0) + λ2 (0, 1, 0). Ahora bien, los vectores cuya última componente es no nula, no pueden obtenerse como combinación lineal de {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, por tanto el conjunto G no genera R3 . Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 20 / 30 Independencia lineal Definición Decimos que los vectores v1 , v2 , . . . , vp de un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen escalares α1 , α2 , . . . , αp , no todos nulos, tales que α1 v1 + α2 v2 + · · · + αp vp = 0 En caso contrario, decimos que los vectores v1 , v2 , . . . , vp son linealmente independientes Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 21 / 30 Independencia lineal Ejemplo Veamos que los vectores (0, 3, 4) y (1, 2, 3) de R3 son linealmente independientes. Para ello, supongamos que tenemos alguna combinación lineal nula de ellos, es decir, a(0, 3, 4) + b(1, 2, 3) = (0, 0, 0) para ciertos escapares a, b ∈ R. Entonces, tendremos: (0, 0, 0) = a(0, 3, 4) + b(1, 2, 3) = (b, 3a + 2b, 4a + 3b). De aquı́ deducimos el sistema de ecuaciones: b =0 3a + 2b = 0 4a + 3b = 0 en las incógnitas a y b, cuya única solución es a = b = 0. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 22 / 30 Independencia lineal Importante 1 Los vectores de un conjunto de vectores que contenga al vector nulo son linealmente dependientes. 2 Los vectores v1 , v2 , . . . , vp del espacio vectorial V son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores es combinación lineal de los restantes. 3 Si a un sistema generador de V le quitamos algún vector que sea combinación lineal del sistema (o le añadimos cualquier otro vector que sea combinación lineal del sistema), el sistema resultante es de nuevo un sistema generador de V . Dado que el rango de una matriz es el máximo número de vectores columna linealmente independientes, para analizar si los vectores v1 , v2 , . . . , vp son LI o LD, analizaremos el rango de la matriz A cuyas columnas son dichos vectores. 4 Si rg(A) = p, entonces v1 , v2 , . . . , vp son LI. Si rg(A) < p, entonces v1 , v2 , . . . , vp son LD. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 23 / 30 Dependencia e Independencia lineal Para cerrar este epı́grafe revisemos un importante resultado que relaciona el rango de una matriz con la independencia lineal de los vectores columna (o fila) que la forman. Teorema Sea A una matriz de tamaño m × n. Son equivalentes: (i) El rango de A es r . (ii) El tamaño de la mayor submatriz regular de A es r . (iii) El número máximo de columnas linealmente independientes de A es r . (iv) El número máximo de filas linealmente independientes de A es r . Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 24 / 30 Independencia lineal Ejemplo En el ejemplo anterior, hemos visto que los vectores (0, 3, 4) y (1, 2, 3) de R3 son linealmente independientes. Comprobémoslo analizando el rango de la matriz cuyas columnas son dichos vectores: 0 1 A = 3 2 4 3 0 1 = −3 6= 0, tenemos que rg(A) = 2, por tanto, los dos vectores 3 2 son linealmente independientes. Como Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 25 / 30 Base de un espacio vectorial Una base de un espacio vectorial es un cojunto de vectores minimal (de menor número) que genera todo el espacio vectorial. Definición Decimos que un conjunto {u1 , u2 , . . . , un } de vectores de V es una base de V si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1 Los vectores u1 , u2 , . . . , un son linealmente independientes. 2 {u1 , u2 , . . . , un } es un sistema generador de V . Nota Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V un subespacio de V . Sabemos que entonces S es (por sı́ solo) un espacio vectorial donde la suma + y el producto por escalares · son las operaciones que hereda de V . Una base del subespacio S es una base de S como espacio vectorial. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 26 / 30 Base de un espacio vectorial Ejemplo El conjunto de vectores {(1, 0), (0, 1)} forma una base del espacio vectorial R2 , llamada base canónica de R3 . Análogamente, el conjunto de vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forma una base del espacio vectorial R3 , llamada base canónica de R3 . Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 27 / 30 Dimensión de un espacio vectorial Definición Se llama dimensión de un espacio vectorial V , denotado por dim(V ), al número de elementos de cualquiera de sus bases. Ejemplo La dimensión del espacio vectorial R2 es 2, ya que la base canónica de R2 tiene dos elementos. Del mismo modo, la dimensión del espacio vectorial R3 es 3, ya que la base canónica de R3 tiene 3 elementos. Si V = {0}, se conviene en decir que V tiene dimensión 0. Naturalmente si S ⊂ V es un subespacio vectorial del espacio V entonces su dimensión es la dimensión de S como espacio vectorial. Esto es, el número de elementos de una base de S. Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 28 / 30 Base y dimensión de un espacio vectorial Teorema Sea V un espacio vectorial no nulo de dimensión n y B = {u1 , u2 , . . . , up } un sistema de vectores de V . Si p = n, entonces B es una base de V ⇐⇒ es un sistema generador de V ⇐⇒ es conjunto de vectores linealmente independientes. Es decir, si p = n, basta con comprobar que el conjunto B es un sistema generador o bien que sus vectores son linealmente independientes, no teniendo que comprobar ambas cosas. Importante La dimensión de un espacio vectorial V es el número máximo de vectores que puede tener un sistema linealmente independiente de vectores de V (cualquier sistema con más vectores que dim V es un sistema LD de vectores) el número mı́nimo de vectores que puede tener un sistema generador de V (ningún sistema con menos vectores que dim V puede ser sistema generador de V ). Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 29 / 30 Base y dimensión de un espacio vectorial Ejemplo Consideremos los vectores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, −1), u3 = (2, 1, 1), u4 = (0, −1, −5) de R3 . Como tenemos 4 vectores y dim(R3 ) = 3, estos vectores no pueden formar una base del espacio vectorial R3 . Para tener una base de R3 , tenemos que quedarnos con sólo 3 vectores de los anteriores, más concretamente, con 3 vectores linealmente independientes. Analicemos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores u1 , u2 , u3 , u4 : 1 1 2 0 A = 1 0 1 −1 1 −1 1 −5 1 1 2 1 0 1 = −1 6= 0, los vectores u1 , u2 y u3 son LI. Ahora, como 1 −1 1 dim R3 = 3, tenemos que el conjunto {u1 , u2 , u3 } es una base de R3 . Como Matemáticas TEMA 7 ADE-EE 30 / 30