Tema 7-EspVect

TEMA 7: Espacios vectoriales
Matemáticas
Grado en Estadı́stica Empresarial
Grado en Administración y Dirección de Empresas
Curso 2017-2018
Prof. Marı́a Victoria Herranz
Matemáticas
TEMA 7
ADE-EE
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1
Introducción
Vectores. Operaciones con vectores
Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales
2
Espacio vectorial
Estructura de espacio vectorial
Envoltura lineal. Sistema generador
Independencia lineal
Base y dimensión
Matemáticas
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Índice
1
Introducción
Vectores. Operaciones con vectores
Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales
2
Espacio vectorial
Estructura de espacio vectorial
Envoltura lineal. Sistema generador
Independencia lineal
Base y dimensión
Matemáticas
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Vectores
Definición
a2 . . . an es una matriz con una sola fila.
 
a1
a2 
 
Un vector columna  .  es una matriz con una sola columna.
 .. 
Un vector fila a1
an
Notación
Denotaremos a los vectores por
letras negritas, por ejemplo, para denotar el
vector fila a1 a2 . . . an , pondremos a = a1 a2 . . . an .
Los números a1 , a2 , . . . , an se llaman las componentes o coordenadas del
vector.
El número ai se llama componente i-ésima o coordenada i-ésima.
Si queremos subrayar que un vector tiene n componentes, le llamaremos un
n-vector y diremos que tiene dimensión n.
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Intrepretación geométrica de los vectores
La localización de un punto en el plano se realiza generalmente en términos de sus
coordenadas respecto a un sistema de referencia. Por ejemplo, la figura (a)
describe la localización del punto A(9, 6) en el plano mediante un sistema de
coordenadas rectangular. Además, el punto A se encuentra a una cierta distancia
en una determinada dirección del origen (0, 0). La distancia y la dirección están
caracterizadas por la longitud y la dirección del segmento rectilı́neo que une O con
A. Un segmento de estas caraterı́sticas se llama vector de posición y se denota por
~ (figura (b)), donde O es el punto inicial y A es el punto final.
OA
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Operaciones con vectores
Como los vectores son, en particular, matrices, las operaciones con vectores se
definen a partir de las operaciones con matrices.
Igualdad de vectores
Dos n-vectores a y b se dice que son iguales y denotaremos a = b si sus
correspondientes componentes son iguales, es decir, si las componentes que
ocupan los mismos lugares, son iguales.
Ejemplo
(x, y , z) = (−2, 5, 9) si y sólo si x = −2, y = 5 y z = 9.
(1, −1, 2) 6= (−1, 1, 2).
(2, −2, 7) 6= (2, −2, 7, 1) porque no tienen el mismo número de componentes.
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Operaciones con vectores
Suma de vectores
Si a y b son dos n-vectores, el vector suma de a y b es el n-vector que se obtiene
sumando cada componente de a con cada la correspondiente componente de b
que ocupa el mismo lugar. Por ejemplo (para vectores fila)
a1 a2 . . . an + b1 b2 . . . bn = a1 + b1 a2 + b2 . . . an + bn
Producto por un escalar
Si a es un n-vector, y λ un número real, definimos el vector λa como el n-vector
obtenido al multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector a.
Por ejemplo (para vectores fila),
λ a1 a2 . . . an = λa1 λa2 . . . λan
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Operaciones con vectores
Diferencia de vectores
Si a y b son dos n-vectores, el vector diferencia de a y b es el n-vector que se
obtiene por la relación a − b = a + (−1)b, es decir,
a1 a2 . . . an − b1 b2 . . . bn = a1 − b1 a2 − b2 . . . an − bn
Vector nulo
Llamamos vector nulo al vector cuyas componentes son todas cero,
0 = 0 0 ... 0
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Operaciones con vectores
Ejemplo
√
Si a = (3, −2, 5) y b = (−2, 10, −3), calcular a + b, a − b, 5a, − 2b y 3a + 4b.
Solución
a + b = (1, 8, 2)
a − b = (5, −12, 8)
5a = (15, −10, 25)
√
√ √
√
− 2b = (2 2, −10 2, 3 2)
3a + 4b = (1, 34, 3)
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Intrepretación geométrica de las operaciones vectoriales
Suma de vectores (regla del paralelogramo)
El vector suma u + v es la diagonal
del paralelogramo cuyos lados son u
y v.
Producto por un escalar
Si α > 0, αu es el vector con la misma dirección
que u y cuya longitud es λ multiplicado por la
longitud de u.
Si α < 0, se invierte el sentido y la longitud es
|λ| multiplicado por la longitud de u.
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Intrepretación geométrica de las operaciones vectoriales
Diferencia de vectores
El vector diferencia u − v es la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son u y −v.
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Índice
1
Introducción
Vectores. Operaciones con vectores
Interpretación geométrica de las operaciones vectoriales
2
Espacio vectorial
Estructura de espacio vectorial
Envoltura lineal. Sistema generador
Independencia lineal
Base y dimensión
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Espacio vectorial
Sea V un conjunto en el que hay definidas dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por un escalar.
La adición es una regla que asigna a dos elementos u, v ∈ V un nuevo elemento u + v ∈ V , que
llamamos suma de u y v.
La multiplicación por un escalar es una regla que asigna a un escalar α ∈ R y a un elemento v ∈ V un
nuevo elemento αv ∈ V , que llamamos producto de α y v.
Decimos que V es un espacio vectorial, y llamamos vectores a los elementos de V , si se
satisfacen las condiciones o axiomas siguientes:
∀ u, v, w ∈ V (propiedad asociativa).
1
(u + v) + w = u + (v + w),
2
u+v =v+u
3
Existe un único vector, que llamamos vector nulo y denotamos por 0, tal que
u + 0 = u = 0 + u ∀ u ∈ V.
4
Para todo u ∈ V , existe un único vector, que llamamos opuesto de u y denotamos
por −u, tal que u + (−u) = 0 = (−u) + u.
5
α(u + v) = αu + αv
6
(α + β)u) = αu + βu
7
α(βu) = (αβ)u
8
1u = u
∀ u, v ∈ V (propiedad conmutativa).
∀ α ∈ R y ∀ u, v ∈ V .
∀ α, β ∈ R y ∀ u ∈ V .
∀ α, β ∈ R y ∀ u ∈ V .
∀ u ∈ V.
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Espacio vectorial
Ejemplo
El conjunto R2 es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y multiplicación
por un escalar. En efecto,
1
Propiedad asociativa: dados u = (x, y ), v = (z, t), w = (r , s) ∈ V se tiene que
(u + v) + w = [(x, y ) + (z, t)] + (r , s) = (x + z, y + t) + (a, b) =
= ((x + z) + a, (y + t) + b) = (x + (z + a), y + (t + b)) =
= (x, y ) + [(z + a, t + b)] = (x, y ) + [(z, t) + (a, b)] = u + (v + w)
2
Propiedad conmutativa: dados u = (x, y ), v = (z, t) ∈ V , se tiene que
u + v = (x, y ) + (z, t) = (x + z, y + t) = (z + x, t + y ) = (z, t) + (x, y ) = v + u
3
Vector nulo: 0 = (0, 0), pues dado u = (x, y ) ∈ V , se tiene que
u + 0 = (x, y ) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y ) = u
4
Dado u = (x, y ) ∈ V , su opuesto es −u = (−x, −y ), ya que
u + (−u) = (x, y ) + (−x, −y ) = (x − x, y − y ) = (0, 0) = 0
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Espacio vectorial
Ejemplo
5
Dados u = (x, y ), v = (z, t) ∈ V y λ ∈ R, se tiene que:
λ(u + v) = λ[(x, y ) + (z, t)] = λ(x + z, y + t) = [λ(x + z), λ(y + t)] =
= (λx + λz, λy + λt) = (λx, λy ) + (λz, λt) = λ(x, y ) + λ(z, t) = λu + λv
6
Dados u = (x, y ) ∈ V y λ, µ ∈ R, se tiene que:
(λ + µ)u = (λ + µ)(x, y ) = ((λ + µ)x, (λ + µ)y ) = (λx + µx, λy + µy ) =
= (λx, λy ) + (µx, µy ) = λ(x, y ) + µ(x, y ) = λu + µv
7
Dados u = (x, y ) ∈ V y λ, µ ∈ R, se tiene que:
(λ · µ)u = (λ · µ)(x, y ) = ((λ · µ)x, (λ · µ)y ) = [λ · (µ · x), λ · (µ · y )] =
= λ · (µ · x, µ · y ) = λ · (µ · (x, y )) = λ · (µu)
8
Dado u = (x, y ) ∈ V , se tiene que:
1 · u = 1 · (x, y ) = (1 · x, 1 · y ) = (x, y ) = u
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Subespacio vectorial
Definición
Sea S un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial V . Decimos que S es un
subespacio vectorial de V si
αu + βv ∈ S
∀ α, β ∈ R y ∀ u, v ∈ S
Nota
Si S es un subespacio vectorial de V, entonces 0 ∈ S.
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Subespacio vectorial
Definición
Sea S un subconjunto no vacı́o de un espacio vectorial V . Decimos que S es un
subespacio vectorial de V si
αu + βv ∈ S
∀ α, β ∈ R y ∀ u, v ∈ S
Ejemplo
El subconjunto S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0} de R3 es un subespacio vectorial de R3 . En efecto:
Sean (x1 , x2 , x3 ) e (y1 , y2 , y3 ) dos elementos de S. Por tanto, verifican:
x1 + x2 + x3 = 0
e
y1 + y2 + y3 = 0
Ahora, dados dos números reales α, β ∈ R cualesquiera, tenemos que:
α(x1 , x2 , x3 ) + β(y1 , y2 , y3 ) = (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3 )
Además,
(αx1 + βy1 ) + (αx2 + βy2 ) + (αx3 + βy3 ) = α(x1 + x2 + x3 ) + β(y1 + y2 + y3 ) = 0,
luego α(x1 , x2 , x3 ) + β(y1 , y2 , y3 ) ∈ S y, por tanto, S es un subespacio vectorial de R3 .
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Combinación lineal
En general, un subconjunto de un espacio vectorial no es subespacio vectorial.
Pero, ¿cuál es el subespacio vectorial más pequeño que contiene a un subconjunto
dado? En este epı́grafe tratamos de proporcionar la respuesta a esta preguntas e
introducimos dos conceptos fundamentales relacionados, a saber, dependencia e
independencia lineal.
Definición
Sea V un -espacio vectorial y U 6= ∅ un subconjunto de V . Se dice que v es una
combinación lineal de elementos de U si es de la forma
v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un ,
λi ∈,
ui ∈ U
1 ≤ i ≤ n.
Denotemos por L[U] el conjunto de todas las combinaciones lineales de U, esto es,
L[U] = {v ∈ V : v = λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λn un ,
λi ∈, ui ∈ U}.
También lo denotaremos por
L[U] = h{u1 , u2 , . . . , un }i
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Combinación lineal
Proposición
Sea V un espacio vectorial y U 6= ∅ un subconjunto de V . Entonces L[U] es el
menor subespacio vectorial que contiene a U.
Ejemplo
En R3 , el vector (5, −3, 8) es combinación lineal de los vectores
(4, −1, 3),
(0, 5, 2),
(−1, 7, −6) y (1, 2, 0)
ya que
(5, −3, 8) = 2(4, −1, 3) + 1(0, 5, 2) + 0(−1, 7, −6) − 3(1, 2, 0)
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Sistema Generador
Subespacio generador
Se dice que L[U] es el subespacio vectorial generado por U. También se denomina
clausura lineal o envolvente lineal de U.
Para clarificar la idea, valga como ejemplo el espacio de los vectores en R3 . Si
consideramos un vector cualquiera de R3 como subconjunto (en este caso de un solo
elemento), entonces el subespacio generado es una recta que pasa por el origen en la
dirección del vector prefijado. Si fijamos dos vectores no colineales, entonces el
subespacio generado por estos dos vectores es un plano de R3 pasando por el origen.
Sistema generador
Sea V un espacio vectorial y G ⊂ V un subconjunto de V . Decimos que G es un sistema
generador de V si L[G] = V . Es decir, si cualquier elemento de V es combinación lineal
de de elementos de G.
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Sistema generador
Ejemplo
Sea V = R3 y G = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} ¿ Es G conjunto generador de V ? Sea
v = (a, b, c) ∈ R3 un vector cualquiera de R3 para que G genere a R3 debemos poder
escribir v como combinación lineal de elementos de G para cualesquiera a, b y c. Sea λ1
y λ2 reales tales que
(a, b, c) = λ1 (1, 0, 0) + λ2 (0, 1, 0).
Ahora bien, los vectores cuya última componente es no nula, no pueden obtenerse como
combinación lineal de {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, por tanto el conjunto G no genera R3 .
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Independencia lineal
Definición
Decimos que los vectores v1 , v2 , . . . , vp de un espacio vectorial V son linealmente
dependientes si existen escalares α1 , α2 , . . . , αp , no todos nulos, tales que
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αp vp = 0
En caso contrario, decimos que los vectores v1 , v2 , . . . , vp son linealmente
independientes
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Independencia lineal
Ejemplo
Veamos que los vectores (0, 3, 4) y (1, 2, 3) de R3 son linealmente independientes.
Para ello, supongamos que tenemos alguna combinación lineal nula de ellos, es
decir,
a(0, 3, 4) + b(1, 2, 3) = (0, 0, 0)
para ciertos escapares a, b ∈ R. Entonces, tendremos:
(0, 0, 0) = a(0, 3, 4) + b(1, 2, 3) = (b, 3a + 2b, 4a + 3b).
De aquı́ deducimos el sistema de ecuaciones:

b =0

3a + 2b = 0

4a + 3b = 0
en las incógnitas a y b, cuya única solución es a = b = 0.
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Independencia lineal
Importante
1
Los vectores de un conjunto de vectores que contenga al vector nulo son
linealmente dependientes.
2
Los vectores v1 , v2 , . . . , vp del espacio vectorial V son linealmente
dependientes si y sólo si al menos uno de los vectores es combinación lineal
de los restantes.
3
Si a un sistema generador de V le quitamos algún vector que sea
combinación lineal del sistema (o le añadimos cualquier otro vector que sea
combinación lineal del sistema), el sistema resultante es de nuevo un sistema
generador de V .
Dado que el rango de una matriz es el máximo número de vectores columna
linealmente independientes, para analizar si los vectores v1 , v2 , . . . , vp son LI
o LD, analizaremos el rango de la matriz A cuyas columnas son dichos
vectores.
4
Si rg(A) = p, entonces v1 , v2 , . . . , vp son LI.
Si rg(A) < p, entonces v1 , v2 , . . . , vp son LD.
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Dependencia e Independencia lineal
Para cerrar este epı́grafe revisemos un importante resultado que relaciona el rango
de una matriz con la independencia lineal de los vectores columna (o fila) que la
forman.
Teorema
Sea A una matriz de tamaño m × n. Son equivalentes:
(i)
El rango de A es r .
(ii)
El tamaño de la mayor submatriz regular de A es r .
(iii)
El número máximo de columnas linealmente independientes de A es r .
(iv)
El número máximo de filas linealmente independientes de A es r .
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Independencia lineal
Ejemplo
En el ejemplo anterior, hemos visto que los vectores (0, 3, 4) y (1, 2, 3) de R3 son
linealmente independientes. Comprobémoslo analizando el rango de la matriz
cuyas columnas son dichos vectores:


0 1
A = 3 2
4 3
0 1
= −3 6= 0, tenemos que rg(A) = 2, por tanto, los dos vectores
3 2
son linealmente independientes.
Como
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Base de un espacio vectorial
Una base de un espacio vectorial es un cojunto de vectores minimal (de menor
número) que genera todo el espacio vectorial.
Definición
Decimos que un conjunto {u1 , u2 , . . . , un } de vectores de V es una base de V si
se satisfacen las dos condiciones siguientes:
1
Los vectores u1 , u2 , . . . , un son linealmente independientes.
2
{u1 , u2 , . . . , un } es un sistema generador de V .
Nota
Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V un subespacio de V . Sabemos que entonces
S es (por sı́ solo) un espacio vectorial donde la suma + y el producto por escalares
· son las operaciones que hereda de V . Una base del subespacio S es una base de
S como espacio vectorial.
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Base de un espacio vectorial
Ejemplo
El conjunto de vectores {(1, 0), (0, 1)} forma una base del espacio vectorial
R2 , llamada base canónica de R3 .
Análogamente, el conjunto de vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forma una
base del espacio vectorial R3 , llamada base canónica de R3 .
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Dimensión de un espacio vectorial
Definición
Se llama dimensión de un espacio vectorial V , denotado por dim(V ), al número
de elementos de cualquiera de sus bases.
Ejemplo
La dimensión del espacio vectorial R2 es 2, ya que la base canónica de R2
tiene dos elementos.
Del mismo modo, la dimensión del espacio vectorial R3 es 3, ya que la base
canónica de R3 tiene 3 elementos.
Si V = {0}, se conviene en decir que V tiene dimensión 0.
Naturalmente si S ⊂ V es un subespacio vectorial del espacio V entonces su
dimensión es la dimensión de S como espacio vectorial. Esto es, el número de
elementos de una base de S.
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Base y dimensión de un espacio vectorial
Teorema
Sea V un espacio vectorial no nulo de dimensión n y B = {u1 , u2 , . . . , up } un
sistema de vectores de V . Si p = n, entonces
B es una base de V ⇐⇒ es un sistema generador de V
⇐⇒ es conjunto de vectores linealmente independientes.
Es decir, si p = n, basta con comprobar que el conjunto B es un sistema
generador o bien que sus vectores son linealmente independientes, no teniendo que
comprobar ambas cosas.
Importante
La dimensión de un espacio vectorial V es
el número máximo de vectores que puede tener un sistema linealmente
independiente de vectores de V (cualquier sistema con más vectores que dim V es
un sistema LD de vectores)
el número mı́nimo de vectores que puede tener un sistema generador de V (ningún
sistema con menos vectores que dim V puede ser sistema generador de V ).
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Base y dimensión de un espacio vectorial
Ejemplo
Consideremos los vectores
u1 = (1, 1, 1),
u2 = (1, 0, −1),
u3 = (2, 1, 1),
u4 = (0, −1, −5)
de R3 . Como tenemos 4 vectores y dim(R3 ) = 3, estos vectores no pueden formar
una base del espacio vectorial R3 . Para tener una base de R3 , tenemos que
quedarnos con sólo 3 vectores de los anteriores, más concretamente, con 3
vectores linealmente independientes. Analicemos el rango de la matriz cuyas
columnas son los vectores u1 , u2 , u3 , u4 :


1 1 2 0
A = 1 0 1 −1
1 −1 1 −5
1 1 2
1 0 1 = −1 6= 0, los vectores u1 , u2 y u3 son LI. Ahora, como
1 −1 1
dim R3 = 3, tenemos que el conjunto {u1 , u2 , u3 } es una base de R3 .
Como
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