Diseño Mecánico I CARGAS 1. Clases de carga Clase 1: Prensa de husillo Clase 2: Puente vehicular Cargas cuasi-estáticas: Cargas de Clase 3 con bajas aceleraciones. Clase 3: Cortadora de césped Clase 4: Motor de un automóvil Cargas externas variables vs. Cargas inerciales. 2. Análisis de carga La segunda ley Newton se puede aplicar a una parte o a todo el sistema, siempre respecto al Centro de Gravedad. Ecuaciones generales. Sumatoria de fuerzas y sumatoria de momentos. F: Vector de fuerzas externas m: Masa del sistema a: Vector de aceleración MG: Momento respecto al Centro de Gravedad 𝐻𝐺 : Razón de tiempo del cambiode momento angular Ecuaciones escalares para las fuerzas. Ecuaciones escalares para los momentos (Euler) Interacciones entre elementos de un subsistema o sistema Ecuaciones bidimensionales. Ecuaciones para carga estática. 3D: 2D: Ejemplo 1: Carga estática bidimensional (Caso1): • Palanca de freno • Manubrio-Mango • Cable Porción separada del manubrio Identificación de las partes del sistema Palanca de freno Fij: Fuerza aplicada por “i” sobre “j” Rij: Vector de posición de la fuerza Fij respecto al centroide Diagramas de cuerpo libre, identificación de cargas y ecuaciones de equilibrio (1) (2) (3) (4) Ecuación de restricción: La dirección de la fuerza del cable, ϴ, es conocida. Cable ϴ (5) (6) No hay momentos porque todas las fuerzas convergen en el centro de gravedad Manubrio-Mango (7) (8) (9) Ecuaciones de Acción y reacción (Tercera Ley de Newton): (10) (13) Ecuación de restricción: La fuerza ejercida por la palanca es igual a la ejercida por el mango Ecuación de restricción: Las fuerzas del cable y funda van en dirección horizontal. (11) (14) (17) (12) (19) (15) (18) (20) (16) Fuerza de compresión de la funda es igual a la fuerza de tensión en el cable Sistema Original de 21x21: 21 ecuaciones y 21 incógnitas. Ecuación de restricción: Ausencia de fricción en el cable. (21) Simplificación del Sistema: • Se reemplaza (4) en (1), (2) y (3) • Se sustituyen (10) y (13) en (5) y (6), y se usa la ecuación (4): (22) (25) (23) (24) • Se sustituyen (10) a (16) en (7), (8) y (9) : (27) (28) (29) • Se sustituyen (17) a (21) en (22) a (29) para llegar al sistema final de 8 x 8: (26) Sistema final de 8 x 8 en forma matricial: (30) Datos Resultados Se resuelve el sistema (30) Ejemplo 2: Carga dinámica bidimensional (Caso 4): mi: Masa de la barra i 𝐼𝐺𝑖 = 𝑟 2 𝑑𝑚 = respecto al CG 𝜌𝑟 2 𝑑𝑉: Momento de inercia la barra i 𝜔𝑖 = 𝑑𝜃𝑖 𝑑𝑡: Velocidad angular de la barra i respecto al CG 𝑣𝑖 𝑟 = 𝜔𝑖 . 𝑟: Velocidad tangencial de la barra i respecto al CG 𝛼𝑖 = 𝑑𝜔𝑖 𝑑𝑡: Aceleración angular de la barra i respecto al CG Suposiciones: No fricción, ni holgura en pernos; Fuerzas por el peso son insignificantes comparadas con fuerzas inerciales. Diagramas de Cuerpo Libre y ecuaciones de equilibrio: Manivela 𝑎𝑡𝑖 𝑟 = 𝑑𝑣𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝜔𝑖 𝑑𝑡 𝑟 = 𝛼𝑖 𝑟: Aceleración tangencial de la barra i respecto al CG 𝐴𝐺𝑖 : Aceleración lineal del Centro de gravedad Acoplador Balancín Ecuaciones de Acción-Reacción (Tercera Ley de Newton): Sistema de 13x13: 13 ecuaciones y 13 incógnitas. Datos Resultados Se resuelve el sistema 3. Cargas por vibración Elementos no son infinitamente rígidos, son elásticos por naturaleza Experimentan deflexiones que pueden causar • Fuerzas inerciales asociadas con movimientos vibratorios • Cargas por impacto por contacto entre elementos • Prototipos experimentales Análisis de vibración • Modelos computacionales OJO: Vibración implica deformación. No confundir este concepto con las cargas cíclicas de un cuerpo rígido. Frecuencia naturales: Frecuencias a las que un sistema mecánico seguirá vibrando, después que se quita la señal de excitación. Es conveniente conocer estas frecuencias para que el sistema no entre en resonancia con la frecuencia externa. Por lo general, la frecuencia natural mínima es la de mayor interés por ser la que produce mayor magnitud de vibración. Resonancia Cálculo general de la frecuencia natural, esencial o fundamental Frecuencia cíclica (f) y angular (ω) Frecuencia natural amortiguada (fd y ωd): [=] rad/s [=] ciclos/s=Hz • m: Masa efectiva del sistema (Sumatoria de las masas móviles) • k: Constante elástica efectiva del sistema, que da cuenta de las deflexiones del sistema al vibrar. • d: Constante de amortiguamiento del sistema, que da cuenta de la reducción de la vibración al disipar la energía cinética. Frecuencia angular Frecuencia y período natural sin amortiguamiento (fn y ωn) Frecuencia cíclica Período Ejemplo representativo: Sistema dinámico Masa-Amortiguador-Resorte Sumatoria de fuerzas verticales para el conjunto rodillo-seguidor Pérdidas por rozamiento Efecto de las vibraciones en el mecanismo de 4 barras Bastidor-Manivela-Acoplador-Balancín 4. Cargas por impacto Carga que experimenta un cambio repentino en el tiempo. Ejemplo: Cabezal del pistón de un motor, martillo neumático de pavimento, etc. Clasificación de cargas según tiempo de aplicación, T 𝑇 < 1/2 𝑇𝑛 : Carga de impacto (1/2)𝑇𝑛 ≤ 𝑇 ≤ 3𝑇𝑛 : Cargas con efectos dinámicos 𝑇 > 3𝑇𝑛 : Carga estática Tipos de impacto • Impacto por golpe: Colisión directa entre dos o más cuerpos. Ej: Choque entre dos vehículos. • Impacto por fuerza: Carga aplicada repentinamente sin implicar una colisión directa. Ej: Levantamiento súbito de un peso Método de energía: Si objeto que golpea no se deforma al impactar el objeto golpeado 𝐾: Energía cinética de objeto que golpea 𝐾≈𝐸 𝐸: Energía elástica de objeto golpeado Energía elástica global de objeto golpeado: Energía cinética global de objeto que golpea: 1 𝐾 = 𝑚𝑣𝑖2 2 Impacto horizontal. η: Factor de disipación (Depende el material golpeado) m: Masa del cuerpo que golpea Fi: Fuerza de impacto K: Constante efectiva del cuerpo golpeado Deflexión estática del cuerpo golpeado debido al peso de la masa que golpea 𝑊 𝑚𝑔 aplicado en la misma dirección y punto de la carga de impacto: 𝛿𝑠𝑡 = 𝑘 = 𝑘 Razón entre la deflexión estática y dinámica: Impacto vertical en caída libre. Conservación de energía en caída libre: 𝑣𝑖2 = 2𝑔ℎ Si 𝛿𝑖 ≪ ℎ 𝐸=𝐾 Si 𝛿𝑖 es significativa 𝐸= 𝑘 = 𝑊/𝛿𝑠𝑡 Cálculo del factor de disipación para impacto axial de varilla: 𝛿𝑖 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹𝑖 /𝑊 Solución m: Masa del objeto que golpea mb: Masa del objeto golpeado Importante: Si h=0, la fuerza de impacto, Fi, está presente porque se produce un impacto de fuerza (No hay colisión directa). Ejemplo: Carga de impacto horizontal sobre una varilla axial Cálculo de la deflexión estática: 𝜀= 𝛿𝑠𝑡 𝑙 Ley de Hooke 𝜎 𝐸 Factor de amortiguamiento: = 𝛿𝑠𝑡 𝑙 Razón entre la fuerza estática y la dinámica: 𝜎 𝐸 𝛿𝑠𝑡 = 𝑙 = 𝑊𝑙 𝐸𝐴 𝑘 = 𝑊/𝛿𝑠𝑡 𝑚 = 𝑊/𝑔 Masa de la varilla: 𝑚𝑏 = 𝜌𝐴𝑙 a) 𝑚 = 1𝐾𝑔, 𝑙 = 100 𝑚𝑚, 𝑙 𝜖 𝑑 [1,20] b) 𝑚 𝑚𝑏 𝜖 1,20 , 𝑙 = 100 𝑚𝑚, 𝑙 𝑑 = 10
