TEMA 5. LOS NÚMEROS RACIONALES.
1. Introducción.
Los números racionales, también denominados fraccionarios, son un conjunto de
números, que como veremos, amplían los números enteros. Su construcción formal la
desarrollaremos en el tema a partir de estos enteros, de los que supondremos conocidas sus
propiedades con la suma (grupo aditivo conmutativo) y con el producto (propiedad
cancelativa, elemento neutro, conmutativa, asociativa y distributiva con la suma).
Si nos ceñimos a su evolución histórica hay que destacar la paradoja de que su
conocimiento (el de las racionales positivos) y uso fue mucho anterior al de los números
negativos (enteros). Se tiene constancia del uso de fracciones antes del siglo XV a.C. en la
cultura egipcia en textos matemáticos que así lo muestran.
Los griegos, padres de las matemáticas modernas, utilizaron los números fraccionarios, de
los cuales eran grandes defensores, tal es esto que aunque en la Grecia clásica se tiene
constancia de una de las mayores aproximación del número π a una fracción. En la Grecia
clásica se utilizaron las fracciones desde un punto de vista más geométrico y no sólo
algebraico.
La aritmética y la notación utilizada en la actualidad mediante el concepto de fracción se
asienta en los siglos XV y XVI.
La necesidad de los números fraccionarios queda latente a la hora del reparto (división)
cuando el divisor no es múltiplo del dividendo y por tanto la división no da un número natural.
Es por esto que los números enteros con la operación del producto no sea un grupo, al sólo
tener elemento inverso los números 1 y -1 (que son ellos mismos). Si lo planteamos con una
ecuación algebraica sencilla “a·x=b” con a y b∈ ℤ la solución no es posible en este conjunto,
pues necesitamos para despejar la x la inversa de a, a-1. Los racionales solucionan este
problema pues como veremos incluyen entre otros a los enteros y a sus inversos (que no serán
enteros).
Aunque el concepto de número fraccionario desde el punto de vista de la educación
secundaria es sencillo: “todo número que pueda ponerse en forma de fracción”, en el tema
abordaremos la construcción de los racionales desde una visión mucho más formal, donde
quedará claro la diferencia de fracción, número fraccionario y expresión decimal de un número
fraccionario. Aunque no tiene lógica la formalidad empleada en el tema para las clases de
secundaria si deben tener claro nuestros alumnos de que las fracciones y las expresiones
decimales no son más dos formas distintas de representar un número fraccionario. Quiero
desde aquí llamar la atención de muchos libros de secundaria que hablan de “números
decimales” o “números en forma de fracción” siendo a toda vista una forma incorrecta de
agrupar los números, siendo decimales y fracciones no un tipo de números sino una
representación de los distintos números reales.
1
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)
2. Construcción formal de ℚ y sus operaciones. El cuerpo de (ℚ, +,·)
En este apartado construiremos formalmente los números fraccionarios así como sus
operaciones de la suma, producto y sus operaciones inversas (resta y división). Su construcción
se hará a partir de los números enteros que se supondrán bien conocidos y del concepto del
paso al cociente, propiedad algebraica que se aborda en el tema de estructuras algebraicas
(tema 11).
Demostraremos que con las operaciones suma (+) y producto (·) el conjunto de los
racionales tiene estructura de cuerpo conmutativo (ℚ, +,·) siendo (ℤ, +,·) el mayor anillo
contenido en ℚ.
2.1. Construcción de ℚ.
Definamos primero el concepto de fracción. Fracción: todo par ordenado
donde a,
ℤ
y b≠0 (también se puede poner b ℤ*. Al conjunto formado por todas las fracciones lo
denotaremos como el producto cartesiano ℤℤ*. Al número a se le denomina numerador y al b
denominador.
Para llegar a definir ℚ hay que definir una relación de equivalencia, , entre las
ℛ si se cumple a·d=b·c (siendo · el producto en ℤ). Es lo que
fracciones. Así dos fracciones
en secundaria denominamos “producto de medios igual al producto de extremos”.
Antes de avanzar veamos que ℛ es una relación binaria de equivalencia en ℤℤ*.
Demostración: ha de cumplir tres propiedades:
1. Reflexiva
ℛ
a·b=b·a que se cumple la cumplirse la propiedad conmutativa del
producto de enteros.
2. simétrica:
ℛ
entonces
ℛ
si se cumple a·d=b·c entonces c·b=d·a por la
misma propiedad conmutativa del producto en los enteros
3. Transitiva:
ℛ
y
ℛ
entonces se cumple
se cumple el siguiente sistema
ℛ si secumple las dos relaciones
(1) a·d = b·c
podemos multiplicar (1) por e y la
(2) c· f = d ·e
igualdad es la misma por la propiedad cancelativa del producto de enteros a·d·e=b·c·e.
Usando igualdad (2) tenemos que esta igualdad anterior será a·c·f=b·c·e, y volviendo a
utilizar la cancelativa y la conmutativa tendremos que se cumple la igualdad a·f=b·e y
por tanto
ℛ
c.q.d.
Al ser ℛ una relación de equivalencia entonces podemos hacer el paso al cociente y definir
así el conjunto cociente ℤℤ∗ / ℛ:
:
.
ℤℤ∗ ℤℤ∗ / ℛ
=
.
∗
∈ ℤℤ ∶
ℛ 2
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Donde ahora en ℤℤ/ ℛ la fracción
engloba a todas las fracciones equivalentes, y por tanto
"
$#
todas ellas son el mismo elemento. Lo que estamos diciendo es que, por ejemplo , , son
! # $%
el mismo elemento. Usaremos la fracción irreducible (denominador y numerador primos entre
sí) con denominador positivo como el representante canónico de todas las fracciones. Vamos a
ver una ´representación gráfica del paso al cociente:
numerador
4/2
3/3
2/1
2/2
4/6
2/3
1/1
denominador
-1/-1
-2/-3
-2/-2
-2-/1
-3/-3
2/3
-4/-6
-4/-2
1/1=1
2/1=2
Donde toda recta con pendiente fraccionaria (m∈ ℚ) que pase por el origen de
coordenadas representa un número fraccionario, siendo la pendiente el valor de dicho
número. Esta recta contendrá infinidad de fracciones, no tenemos más que buscar los puntos
de la recta que pasan por una posición con coordenadas enteras. Todo esto nos permite
definir de manera formal los números racionales:
Definición de números racionales: los números racionales son el conjunto cociente de
ℤℤ∗ &'( )* *&)+,*,+ó. ℛ
ℚ = ℤℤ∗ / ℛ
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Debida a la propiedad transitiva de ℛ podemos elegir el representante que deseemos que
como hemos dicho es la fracción irreducible, donde numerador y denominador son primos
entre sí y con denominador positivo.
Propiedades en ℚ: demostremos algunas propiedades de los números racionales que
aplicas en secundaria con asiduidad:
∈ ℤℤ∗ una fracción, se cumple que toda fracción de la forma
Propiedad 1: sea
h∈ ℤ∗ es equivalente a
/·
/·
con
por ℛ. Que en secundaria enunciaríamos como: “si multiplicamos
numerador y denominador por el mismo entero cual sea distinto de cero la fracción resultante
es equivalente”.
Demostración: demostremos dos cosas, primero que
/·
/·
es fracción y segundo que es
equivalente a .
-
Fracción: trivial pues al ser h∈ ℤ∗ entonces h·a y h·b son también enteros pues el
producto de enteros es otro entero, y además el denominador h·b≠0 pues tanto h
(por enunciado) y b (por ser a/b una fracción) no son cero.
-
Equivalente:
/·
/·
ℛ
si h·a·b=h·b·a que es cierto al cumplirse en ℤ la cancelativa y por
tanto a·b=b·a y la conmutativa.
Corolarios:
- C1: Todo número fraccionario tiene infinitos representantes equivalente con
numerador positivo o negativo.
- C2: Todo número fraccionario tiene infinitos representantes equivalente con
denominador positivo o negativo.
-
C3: Todo número fraccionario tiene un representante equivalente
0
0
con a’ y
b’ primos entre sí. (fracción irreducible)
a = d ·a ′
siendo a’ y b’
b = d ·b ′
Demostración: sea el entero d=mcd(a,b), entonces
· 0
primos entre sí. Entonces por Propiedad 1 se cumple que = · 0 =
0
0
Nota: a partir de ahora en vez de ℛ para relacionar dos fracciones
equivalentes usaremos la igualdad (=).
Propiedad 2: el conjunto de todas las fracciones con numerador 0 son equivalentes. Las
identificaremos todas como 0.
Demostración: veamos que son equivalentes
1
=
1
para cualquier b,c ∈ ℤ∗ . Se debe de
cumplir la igualdad 0·c=0·b que es cierto por ser el 0 el elemento neutro del producto de los
números enteros, por lo que la expresión se reduce a 0=0.
Propiedad 3: el conjunto de todas las fracciones con mismo numerador y denominador son
equivalentes. Las identificaremos todas como 1.
4
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Demostración: veamos que son equivalentes
= para cualquier b,c ∈ ℤ∗ . Se debe de
cumplir la igualdad b·c=c·b que es cierto por ser la propiedad conmutativa de los números
enteros.
Propiedad 4: sean dos números fraccionales cualesquiera x= , 2 =
equivalentes a = 2
existen dos fracciones
con mismo denominador (propiedad muy útil para la suma de números
fraccionarios).
Demostración: tendremos que buscar dos múltiplos comunes a ambos denominadores, por
ejemplo el producto de ellos (c·d) o como haremos en clase buscar el mínimo común múltiplo:
m=mcm(b,d) tal que m=k1·b
=
·36
5
y
m=k2·d con k1,2∈ ℤ∗ . Entonces se cumple que
=
·34
5
y
que son fracciones equivalentes a las iniciales con mismo denominador.
2.2.Suma en ℚ. El grupo aditivo (ℚ,+)
Ya hemos construido los números racionales, vamos ahora a ver las operaciones básicas.
Empecemos con la suma.
Suma de números racionales: la suma de dos números racionales x= , 2 =
número racional definido como x+y=
·7·
·
es otro
.
Nota: debe darse cuenta que la operación definida es la suma convencional de fracciones
pero donde en vez de buscar el mínimo común denominador, recomendable en secundaria, el
denominador es el múltiplo obtenido multiplicando ambos denominadores. Son por tanto la
solución de ambas dos fracciones equivalentes.
+:
ℚℚ
x= , 2 =
.
ℚ
x+y=
.
·7·
·
Propiedades: las propiedades de la suma hacen que (ℚ,+) sea grupo abeliano conmutativo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Suma bien definida y no depende representantes elegidos
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Conmutativa
Cancelativa
Grupo
Grupo abeliano
Veamos las demostraciones de las seis propiedades, todas ellas se hacen utilizando las
propiedades de la suma y producto de números enteros.
Nota: no hace falta hacer todas en examen
1. Bien definida y no depende del representante elegido: tenemos que demostrar que la
a) suma x+y ∈ ℚ , b) la suma es única, c) no depende de la fracción elegida de x e y.
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a) x+y=
·7·
·
, se cumple que a·d+c·b ∈ ℤ y b·d ∈ ℤ∗ al ser a,c∈ ℤ y b,d∈ ℤ∗ y ser el
producto y la suma de números enteros cerrados en la suma y el producto.
b) La unicidad de la suma: tal está definida a partir de suma y producto de números
enteros, que son operaciones bien definidas y hacen por tanto que la suma en
ℚ sea por tanto también única.
c) Veamos que no dependen del representante elegido: cogemos distintos
0
0
representantes de x e y, x= =
x+y=
·7·
·
, y= =
0
.
0
y con los otros representantes x+y=
0·070· 0
0·0
, veamos que son
fracciones equivalentes y por tanto se cumple (a·d+c·d)·b’·d’=b·d(a’·d’+c’·d’) (*)
usando que a·b’=a’·b (1) y c·d’=c’·d(2). Desarrollando (*) tenemos la igualdad:
a·d·b’·d’+c·d·b’·d’=b·d·a’·d’+b·d·c’·d’, utilizando la propiedad conmutativa y (1) la
igualdad se transforma en a’·d·b·d’+c·d·b’·d’= b·d·a’·d’+b·d·c’·d’ donde los
primeros sumandos son iguales y nos queda demostrar c·d·b’·d’= b·d·c’·d’ que por
la cancelativa en ℤ esta igualdad se transforma en c·b’=b·c’ que es la igualdad (2).
2. Asociativa
x+(y+z)= +
(x+y)+z=x+(y+z): (x+y)+z=
·7·
·
=
··7 ··7 ··
··
·7·
·
+ =
··7 ··7· ·
··
y por otro lado
que como vemos son la misma fracción aplicando la
propiedad conmutativa del producto de número enteros.
3. Elemento neutro x+0=x, siendo x= elegimos el representante de 0=
es el elemento neutro x+0= x=
· 71
=
·
x=
·
·
$8
·7·
·
(P2). Veamos que
= (en la última igualdad hemos usado P1).
4. Elemento opuesto x+(-x)=0, siendo -x= : x+(-x)= +
9
5. Conmutativa, x+y=y+x : x+y=
1
$
=
· $ ·
·
=
· 7 ·
·
por otro lado y+x=
1
·
=0
vemos de forma sencilla
aplicando la conmutativa del producto y la suma de los enteros que ambas fracciones son
la misma.
6. Cancelativa, x+y=x+z entonces y=z. x+y=
·7·
·
y x+z=
·7·
·
si las igualamos entonces
tenemos que se cumple (a·d+c·b)·b·f=b·d·(a·f+e·b) operando a·d·b·f+c·b·b·f=b·d·a·f+b·d·e·b
donde los dos primeros sumandos son iguales y tenemos c·b·b·f=b·d·e·b, aplicando
cancelativa del producto en los enteros tenemos c·f=d·e es decir que y= =z=
2.3.Resta en ℚ.
Para definir la resta en los racionales utilizaremos que la suma es grupo y por tanto cumple
tener elemento opuesto. Así la resta es muy sencilla de entender y de definir.
.
:
ℚℚ
x, 2
ℚ
.
x-y=x+(-y)
6
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Vemos que la resta de dos números racionales es equivalente a sumar el primer término
(minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
Ejemplo:
!
<
=
− = +
!
$<
=
=
<17($!)
<=
=
>
<=
2.4.Producto en ℚ. Grupo conmutativo del producto (ℚ,·)
Multiplicación o producto en ℚ: es una operación que relaciona dos números racionales
con otro número racional que llamaremos producto de ambos y que viene definido de la
siguiente manera:
·:
ℚℚ
x= , 2 =
.
ℚ
x·y=
.
·?
·
Propiedades: las propiedades de la suma hacen que (ℚ,+) sea grupo abeliano conmutativo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Suma bien definida y no depende representantes elegidos
Asociativa
Elemento neutro
Grupo
Grupo abeliano
Elemento opuesto
Conmutativa
Elemento absorvente
Veamos las demostraciones de las seis propiedades, todas ellas se hacen utilizando las
propiedades de la suma y producto de números enteros.
Nota: no hace falta hacer todas en examen
1. Bien definida y no depende del representante elegido: tenemos que demostrar que
a) el producto x·y ∈ ℚ , b) el producto es único, c) no depende de la fracción elegida de
x e y.
a) x·y=
·
,
·
se cumple que a·c ∈ ℤ y b·d ∈ ℤ∗ al ser a,c∈ ℤ y b,d∈ ℤ∗ y ser el producto
de números enteros cerrados en la suma y el producto.
b) La unicidad del producto: está definida a partir de producto de números enteros,
que es una operación bien definida y por tanto el producto en ℚ es por tanto
también único.
c) Veamos que no dependen del representante elegido: cogemos distintos
representantes de x e y, x= =
x·y=
·
·
0
0
0
, y= = 0.
y con los otros representantes x·y=
@ ·0
0·0
, veamos que son fracciones
equivalentes y por tanto se cumple la igualdad a·c·b’·d’=a’·c’·b·d (*) utilizando que
a·b’=a’·b (1) y c·d’=c’·d (2).
Si en el primer término de (*) usamos (1) y conmutativa del producto en ℤ
tenemos que la igualdad se transforma en a’·c·b·d’= a’·c’·b·d, usando ahora (2) en
7
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el primer término la igualdad es a’·c’·b·d= a’·c’·b·d, como queríamos demostrar las
dos fracciones son equivalentes.
2. Asociativa (x·y)·z=x·(y·z): (x·y)·z=
·(·)
·(·)
·
·
( ·)·
·)·
· =(
·
y por otro lado x·(y·z)= · · =
que como vemos son la misma fracción aplicando la propiedad asociativa del
producto de número enteros.
<
<
3. Elemento neutro x·1=x, siendo x= y 1= (ver P3). Veamos que es el elemento neutro
x·1=
en ℤ)
·<
·<
=
(en la última igualdad hemos usado que 1 elemento neutro del producto
8 $C
4. Elemento opuesto x·(x-1)=1 siendo x-1=A9B
9
8
= :
x·(x-1)= · =
·
·
= 1 (hemos
utilizado en la última igualdad la P3.
Vemos que todos los ℚ tienen inverso menos el 0, pues entonces el denominador de
0-1 sería 0 y por tanto no una fracción.
5. Conmutativa, x·y=y·x : x·y=
·
·
·
·
por otro lado y·x=
vemos de forma sencilla
aplicando la conmutativa del producto de los enteros que ambas fracciones son la
misma.
6. Elemento absorbente, x·0=0: x·0=
·1
·
=
1
·
= 0 donde hemos usado en la última
igualdad la definición de 0 visto en P2.
2.5.División en ℚ.
Al igual que hicimos con la diferencia y la suma para describir la división en los números
racionales no tenemos más que usar el producto y la operación inversa del mismo:
/:
.
ℚℚ*
x, 2
ℚ
x/y=x·(y-1)
.
Ejemplo:
=
/
! >
=
=
= ! : > = ! · A> B
$<
= >
=!· =
!=
<
2.6.El cuerpo de (ℚ, +,·). Subanillo de (ℤ, +,·)
Proposición: el conjunto de los números racionales con las operaciones de la suma y del
producto (vistas en puntos anteriores) tiene una estructura algebraica de Cuerpo Conmutativo
con elemento unidad.
Demostración: tenemos que ver que cumple que
1. (ℚ,+) es grupo conmutativo (demostrado en 2.2)
2. (ℚ,·) es grupo conmutativo (demostrado en 2.4)
3. Distributiva : (x+y)·z=x·z+y·z. Que lo demostraremos ahora:
8
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Por sencillez cogeremos las tres fracciones que relacionan x, y, z con mismo denominador
que vimos en P4 que siempre es posible, x= , 2 = , E = , calculemos ambos
miembros de la igualdad por separado y luego comprobemos el resultado igual :
(x+y)·z=A + B · =
7
·
· =
·
( 7 )·
·
x·z+y·z= · + · =· + · =
=
·7 ·
·
(hemos aplicado distributiva en ℤ)
·7 ·
·
Proposición: el conjunto de ℚ con las operaciones de la suma y producto son una
ampliación del anillo de (ℤ, +,·)
Demostración: definamos una aplicación F entre ℚ y ℤ
.
F: ℤ
m
ℚ
.
5
<
tres demostraciones
a) Todo entero tiene imagen ( ∀m ∈ Z existe ϕ ( m) =
la expresión
5
<
m
) que es fácil demostrar pues
1
es siempre una fracción pues m ∈ Z
b) F transforma la suma de ℤ en suma de ℚ: F( m+n ) =
57G 5
=
<
<
+
G
<
= F(H) + F(.)
suma en ℚ
suma en ℤ
c) F transforma el producto de ℤ en el de ℚ: F( m·n ) =
5·G
<
5
G
= < · < = F(H) · F(.)
producto en ℤ
producto en ℚ
3. Expresión decimal.
Expresión decimal: número que viene definido de la siguiente forma
a) Positivo x=E,C1 C2… Cn con E∈ ℤ+ y Ci={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} x = E +
n
Ci
∑ 10
i =1
b) Negativo x=-E,C1 C2… Cn con E∈ ℤ+ y Ci={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} x=-( E +
n
i
Ci
∑ 10
i =1
i
)
Notación E=parte entera, C1=parte decimal (décimas), C2=parte centesimal (centésimas)…
Proposición 1: Todo número racional se puede expresar como una expresión decimal de
forma única.
Demostración: sea x= (consideremos positivo, sino sólo habrá que cambiar el signo)
tenemos que demostrar la existencia y la unicidad.
Nota: lo que hacemos en la demostración es calcular la división con decimales.
a) Existencia:
· expresamos a con el cociente E de la división a:b , el resto r1 y b(divisor) a=b·E+r1
· Hacemos lo mismo de 10·r1 =b·C1+r2 con C1∈{0, 1, 2,…,9} pues r1≤ 9 y 10·r1< 10
· de igual forma 10r2=C2·b+r3 con C2∈{0, 1, 2,…,9}
9
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…. Repetimos proceso hasta que el cociente sea 0 o hasta el infinito (veremos luego
posibilidades)
Despejamos a: a=b·E+r1=b·E+
C
C
C1·b + r2
C
= b·E+b· 1 + b· 2 + ... + nn ·b
10
10
100
10
b) Unicidad: por construcción de son divisiones y por tanto cocientes y restos únicos.
Proposición 2: la expresión decimal de los racionales puede ser de tres tipos:a) exacta:
con número finito de decimales (ej 3,21), b) periódica pura: se repite la expresión decimal
desde la primera cifra (ej 3.434343…), c) periódica mixta: se repite expresión desde cifra
distinta a la décimas (ej: 3,5412412412…)
Demostración: los restos resultan de dividir entre b y por tanto ri ={0,1,2,…b-1}. A su
vez las cifras decimales se obtienen de ri y puede ocurrir tres opciones:
a) ri=0 y por tanto Ci=0 y todos los demás Cj=0 con j>i. Expresión decimal exacta.
b) se repita ri=r1 entonces los restos entre ri y r2i-1 son iguales que entre r1y ri, lo
mismo volverá ocurrir entre r2i y r3i-1. Por tanto expresión decimal periódica pura
c) se repita ri=rj con i≠ L y ambos distintos de 1. Será equivalente a b) pero no
repitiéndose desde C1. Por tanto la expresión será decimal periódica mixta.
Proposición 3: toda expresión decimal exacta, periódica pura o periódica mixta tiene
asociado un número racional.
Demostración: (hacer ejemplos)
M·<1N 7?4 ?6 …?P
<1P
a) exacta: x= E’C1C2…Cn 10nx=E·10n + C1C2…Cn∈ ℤ . Luego x=
b) Periódica pura: x= E’C1C2…CnC1C2…Cn…
10n·x=E·10n+ C1C2…Cn’C1C2…Cn…
- x=
E’ C1C2…Cn…
9……9·x= E·(10n-1)+ C1C2…Cn∈ ℤ
c)
Q·(<1N $<)7 R4 …RS
%….%
Luego x=
n
n
Periódica mixta. Si multiplicamos x periódica mixta por 10m con m número de cifras
del anteperiodo entonces y=10m·x es un número periódico y por tanto y se podrá
poner en forma de fracción, por lo que x=y/10m es otra fracción.
Ejemplos: a) Exacta x=3,11 :
!<<
100·x=311, despejando x=<11
b) Periódica pura x=21,343434… 100·x=2134’343434…
x= 21’343434…
99·x=2134-21
c) Periódica mixta x=2,21333…
x=
<<!
%%
1000·x=2213,333…
100·x= 221,333…
<%%
900·x=2213-221 x=
%11
4. Contexto secundaria.
Los número racionales se abordan en toda la ESO, desde 1º hasta 4º. En 1º se definen las
fracciones, operaciones básicas, en 2º se refuerza conceptos de 1º y se trabaja las operaciones
combinadas, en 3º se representan los racionales y se refuerzan conceptos de cursos
anteriores, por último en 4º se hace un repaso de todo lo visto desde 1º.
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