Subido por froggy2310

M13 S1 Funciones exponenciales

Anuncio
Módulo 13
Variación en procesos sociales
Funciones exponenciales
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales se presentan en las siguientes formas:
y = a · bx
Donde:
f(x) = a · bkx
b se conoce como base; es un número positivo y distinto a 1.
x es la variable independiente y se conoce como exponente.
k es una literal, que siempre representa una constante.
La función de Euler es un ejemplo de función exponencial; su expresión matemática es:
y = ex
La variable e es un número que suele llamarse número de Euler o constante de Napier. Es un número
racional, es decir, no puede ser representado por un numeral decimal exacto ni por un decimal periódico.
Su valor es e = 2.718281828459, sin embargo, sólo se expresa como 2.71.
Gráfica de una función exponencial
Al graficar una función, se realizan dos pasos: tabulación y localización de los puntos en el plano. Observa el
siguiente ejemplo:
Paso 1. Tabulación
Para hallar la gráfica de una función exponencial primero tabulamos, es decir, sustituimos el valor de x para
obtener el valor de y. En este caso, hay que elevar el número e al exponente que corresponde según el valor
de x, por ejemplo:
Si x vale −4 sustituimos en la función:
con lo que se obtiene:
y = ex
y = (2.71)−4
Al realizar la operación, el resultado es:
y = 0.01854
1
Módulo 13
Variación en procesos sociales
Funciones exponenciales
Las operaciones se pueden realizar con ayuda de una calculadora científica
introduciendo el valor aproximado de e (2.71) o bien, directamente con la tecla ex.
Para esta función la tabla que obtenemos es:
x
operaciones involucradas
−4
e-4 = (2.71)−4
0.01854
e-2 = (2.71)−2
0.13616
e0 = (2.71)0
1.00000
e2 = (2.71)2
7.34410
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
e-3 = (2.71)−3
0.05024
e-1 = (2.71)−1
0.36900
e1 = (2.71)1
2.71000
e3 = (2.71)3
19.90251
e4 = (2.71)4
53.93580
Antes de realizar la gráfica, observa el comportamiento de los valores de y y x, y responde:
•¿Qué ocurre con los valores de y cuando x adquiere valores negativos?
•¿Qué ocurre con los valores de y cuando x adquiere valores positivos?
•¿Qué ocurre en x = 0?
En las funciones exponenciales:
• Cuando x es negativa, los valores de y son muy pequeños.
• Los valores de y van creciendo conforme x crece, pero poco y despacio.
• Cuando x es igual 0, el valor de y es 1.
• Cuando x es positiva, los valores de y son cada vez más grandes y crecen muy rápido.
• Los valores de y son siempre positivos.
2
Módulo 13
Variación en procesos sociales
Funciones exponenciales
Paso 2. Localización de los puntos en el plano
Se localizan los puntos en el plano cartesiano y se unen. La gráfica de la función exponencial siempre presenta
la siguiente forma:
y
x
Ejemplo de crecimiento exponencial
¿Has oído de fenómenos que crezcan muy rápido? Uno de ellos es la población. Cuando una población crece
con rapidez, se dice que tiene un crecimiento exponencial.
Un ejemplo de este tipo de fenómeno se encuentra en el crecimiento poblacional de los conejos: supongamos que
tenemos un conejo macho y una hembra, y que producen cuatro crías (dos son machos y dos hembras), que a su
vez producen ocho. Si continúa esta tasa de aumento, la próxima generación producirá 16 conejos, la próxima 32,
la próxima 64, y así sucesivamente. Desde luego que en este modelo simple estamos suponiendo que el alimento
es infinito y ¡que los conejos están muy libres! En ese caso, la función exponencial es:
y = 2x
Si a la ecuación anterior se designa C como el número de conejos y a t como el tiempo, la ecuación se expresaría:
C = 2t
3
Módulo 13
Variación en procesos sociales
Funciones exponenciales
Al tabular y graficar esta función obtenemos:
x
y
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
7
128
8
256
9
512
10
1,024
Crecimiento poblacional de los conejos
En la tabla de valores y en la gráfica podemos ver cómo, efectivamente, los valores de y crecen muy rápido.
Resolver funciones exponenciales
con calculadora científica
Si bien puedes utilizar cualquier calculadora científica, aquí te mostramos las
formas de utilizar las funciones con la calculadora científica disponible en el sitio
http://web2.0calc.es/.
Para resolver operaciones de una función exponencial y = e, podemos utilizar el valor aproximado de e, o euler,
que ya conoces (2.71), o bien, directamente con la tecla "e":
En este ejemplo utilizaremos −4 como valor de x.
Opción A. Utilizando el valor aproximado de e:
1. Escribe el valor de e (2.71).
2. Oprime la tecla “xy”, que sirve para elevar a cualquier potencia; en la pantalla aparecerá ^.
3. Teclea la potencia a la que deseas elevar, es este caso, −4.
4. Finalmente, oprime la tecla “=” para obtener el resultado.
4
Módulo 13
Variación en procesos sociales
Funciones exponenciales
−4
(2.71)
Tecla para elevar a cualquier potencia.
Opción B. Opción B. Utilizando la tecla “e”:
1. Presiona la tecla de la exponencial; en la pantalla aparecerá “exp”.
2. Escribe entre paréntesis el valor de x; en este caso escribimos −4.
3. Oprime la tecla “=” para obtener el resultado.
En la pantalla de los cálculos, aparece
"exp" al presionar la tecla de la exponencial.
Entre paréntesis pondrás el valor de x.
Tecla de la exponencial.
Tu resultado está listo.
¡Prueba con diferentes valores!
5
Descargar