8. Humberto Gardea Villegas - Hidraulica de Canales

HIDRÁULICA DE CANALES
Humberto Gardea Villegas
GARDEA VILLEGAS, Humberto. Hidráulica de canales. 3a,
México, UNAM, Lacultad de Ingeniería, 1999,
217 p., ils.
Hidráulica de canales
Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial de esta obra por cualquier medio o sistema electrónico
mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de
mrormacion), sin consentimiento por escrito del editor.
Derechos reservados.
©
1995, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México.
Ciudad Universitaria, México, D. F.
©
1997, Fundación ICA, A.C.
Viaducto Río Becerra No. 27-2° piso, Col. Nápoles
03810 México, D.F.
Tercera edición, abril de 1999.
ISBN 968-36-5014-7
Impreso en México.
'
Liduska
PRÓLOGO
Los temas que se desarrollan en este libro siguen el programa vigente del curso Hidráulica de canales,
que se imparte en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Sin embargo, debo aclarar que en realidad se
trata de una versión basada en mi experiencia tanto profesional como académica y por tal motivo, no
necesariamente tendrá que coincidir en cada punto con la forma en que otros colegas profesores
prefieren exponer su cátedra. Por otra parte, 35 años en la actividad académica, siempre combinada con
la práctica, me inducen a creer que los temas presentados serán de utilidad tanto a los estudiantes como
a los profesionistas que deseen recordar algunos conceptos o realizar un proyecto específico.
El libro consta de siete capítulos en los cuales, los temas están descritos con la premisa de que el lector
ya conoce los conceptos básicos de la hidráulica y por tal razón no existe propiamente un capítulo
introductorio, sino que desde el principio se trata la problemática de los escurrimientos a superficie
libre. Todos los capítulos tienen una explicación teórica de los fenómenos descritos y enseguida se
exponen ejemplos que pretenden ser prácticos e ilustrativos.
Debo aclarar que se presentan algunos estudios, curiosamente desconocidos en occidente, y que, si bien
no es indispensable su conocimiento, es sin duda conveniente porque aumenta la comprensión en estos
temas. Tal es el caso de los estudios hechos por dos investigadores rusos: uno de ellos, Agroskin, quien
obtuvo una fórmula aproximada para calcular tirantes críticos en canales trapeciales y que, aunque tiene
sus limitaciones, su manejo me permitió proponer un camino para acelerar los cálculos cuando dicha
fórmula se encuentra fuera de rango. El otro investigador a quien me refiero es Zegzda, cuyas
experiencias ayudan a identificar los regímenes laminar y turbulento en canales.
Por lo que respecta a la organización de los capítulos, creo oportuno señalar que hice un cambio en el
orden acostumbrado que presentan la mayoría de los libros que se refieren a canales; este es el caso del
capítulo 4, que trata sobre el flujo gradualmente variado. Generalmente este tema se presenta después
del dedicado al salto hidráulico: Sin embargo, prefiero exponerlo antes, porque una de las razones por
las que se forma el salto hidráulico se apoya precisamente en la teoría del flujo gradualmente variado.
Además, me parece que este último tema tiene un alto significado teórico al igual que los tres primeros
capítulos que son: flujo permanente en canales, flujo uniforme y energía específica, por lo que unirlos
todos y después entrar a temas de aplicación más específica, me parece más didáctico.
Otro punto en el que no seguí la costumbre de muchos autores conocidos en nuestro ámbito, es el hecho
de que no hice la consideración de suponer que la pendiente hidráulica en un tramo de un canal con
régimen uniforme es igual a la pendiente longitudinal de su plantilla. Aunque esta suposición es
correcta cuando las pendientes longitudinales son pequeñas, y así lo aclaran los autores á quienes me
refiero, he notado que comúnmente se comete el error de confundir ambas pendientes haciendo caso
omiso de la magnitud de la pendiente longitudinal. Por este motivo, preferí respetar la definición
trigonométrica de pendiente, que además es la que usan los ingenieros topógrafos y aparecen en los
proyectos de ingeniería civil. Como sabemos, dicha definición nos dice que la pendiente de una línea es
la tangente del ángulo que ésta forma con la horizontal, mientras que en nuestro medio llamamos
desafortunadamente "pendiente" hidráulica al seno del ángulo de la línea de energía con la horizontal.
III
"pendiente" hidráulica al seno del ángulo de la línea de energía con la horizontal. No hay duda que la
mayoría de los canales tienen inclinaciones longitudinales tan pequeñas que justifican la simplificación
mencionada, sin embargo prefiero dejar al lector la decisión de considerarlas o no iguales cuando el caso
así lo permita.
Por lo que respecta a la designación de los perfiles en régimen gradualmente variado, aclaro que siendo
mi preocupación lograr que el lector identifique y distinga de manera precisa las características de cada
perfil y no que dé importancia a una denominación específica, no usé la convención de los países de habla
inglesa que anteponen las letras "m" y "s" (del inglés: mild y steep, respectivamente) a los números que
se refieren a cada perfil, sino que hice una designación totalmente arbitraria que no pretendo ni aconsejo
a nadie que se aprenda de memoria.
En el capítulo 6, flujo en canales no prismáticos, explico con cierta amplitud el diseño de alcantarillas,
incluyendo criterios interesantes desarrollados en algunos países europeos. El diseño adecuado de
alcantarillas es de gran importancia, ya que si se logra desalojar el agua evitando que se remanse o
brinque sobre los terraplenes de carreteras o vías férreas, se consiguen literalmente ahorros gigantescos.
No obstante, pese a la importancia del problema, en nuestro medio, no hay suficiente información para
resolverlo adecuadamente. Por esta razón, he pretendido despertar el interés por investigar más sobre el
tema ampliando la información hasta donde me fue posible, y señalando las dudas que, desde mi punto
de vista, aún presenta el problema.
En relación con el problema de arrastre de sedimentos que se desarrolla en el capítulo 7, Introducción
al estudio del flujo en cauces naturales, considero necesario señalar que debido a que existen muchos
enfoques para explicar el fenómeno, es fácil perderse en ellos si no se tiene una visión razonablemente
clara de sus fundamentos. Por este motivo, expongo la parte de estos fundamentos que me parece, serán
de utilidad a quienes deseen efectuar aplicaciones sencillas, profundizar sus estudios en lo que es ya de
sí una especialidad o realizar investigaciones, que sin duda siguen haciendo mucha falta.
La realización de este libro se debe sin duda a la colaboración de varias personas a quienes deseo hacer
patente miagradecimiento. Pidiendo de antemano disculpas por las omisiones involuntarias, quiero
mencionar a mis colegas, los señores profesores Ing.Uriel Mancebo del Castillo, Dr. Carlos
Cruickshank, M. en I. Ernesto Vázquez y M. en I. Lázaro Aguilar, por la revisión y los comentarios que
amablemente hicieron sobre algunas partes del manuscrito. Agradezco también a la M. en I. Rosío Ruiz
Urbano la revisión de algunos problemas y al Ing. Jesús Gallegos la realización de la primera versión de
los dibujos. También expreso mi reconocimiento al M. en I. Gilberto Sotelo por la concienzuda revisión
y los comentarios que hizo sobre la primera versión del libro publicada en nuestra Facultad.
No quisiera omitir mi reconocimiento a dos de mis más admirados maestros, los cuales han dejado una
huella imborrable en nuestra Facultad. Se trata del M. en I. José Luis Sánchez Bribiesca, Investigador
Emérito de la UNAM, quien marcó indiscutiblemente unanueva etapa en la enseñanza de la hidráulica
en México y del Dr. Enzo Levi, Profesor Emérito de la UNAM, ya desaparecido, quien brindó
generosamente sus conocimientos y amistad a los que tuvimos la suerte y el honor de ser sus alumnos.
IV
Por lo que se refiere a la edición de la obra, en primer lugar, hago patente mi agradecimiento al Sr. Ing. José
Manuel Covarrubias, director de la Facultad de Ingeniería, por el interés que ha demostrado en la realiza­
ción de este tipo de publicaciones. Hago extensivo mi agradecimiento al actual Director de la Facultad de
Ingeniería de la UNAM, M.C. Gerardo Ferrando Bravo, por apoyar decididamente la publicación de esta
2a. edición realizada en conjunto con la Fundación ICA, Institución que, por lo demás realiza una labor
editorial de gran mérito. Muy especialmente, debo mencionar la invaluable colaboración de dos excelentes
profesionistas que hacen de la Unidad de Apoyo Editorial de la Secretaría General de la Facultad de Inge­
niería de la UNAM, una importante dependencia. Ellas son: la Mtra. María Cuairán Ruidías, Jefa de la
Unidad, y la Lic. Amelia Guadalupe Fiel Rivera, quien tuvo directamente a su cargo la revisión temática y
cuyos consejos fueron de gran utilidad para mí. La Lic. Fiel, además muy fuera de sus atribuciones norma­
les, decidió y así lo hizo, reescribir todo el libro en la computadora para estar más segura de su aspecto
final Su interés y paciencia me animaron a hacer más correcciones, que siempre admitió con la mayor
disposición. Qué más puedo hacer para manifestar a estas damas mi profundo agradecimiento por su amis­
tad y por su trabajo. Agradezco también la participación de la Sra. Araceli Herrera Díaz, quien tuvo a su
cargo la captura de las correcciones de la segunda edición.
Asimismo, Antes de que se publicara esta edición, hubo necesidad de hacer otros dibujos y de ampliar
algunos de ellos. Esta tarea fue realizada por el Departamento de Publicaciones de la Secretaría de Servi­
cios Académicos de la facultad.
No hay razón más importante para escribir algo que el sincero interés de ser entendido y que la comunica­
ción entre el autor y el lector exista en realidad. Procuré nunca olvidar esto durante la elaboración del libro
y traté de expresar todo con la mayor sencillez sin menoscabo del rigor necesario. La aventura de escribir es
algo que sólo se debe hacer cuando se piensa que se puede servir si se es capaz de comunicar lo que se
desea, pero ¿esa capacidad es realmente cierta?... sólo los lectores podrán responder a esta pregunta. Por
este motivo y a fin de mejorar el contenido de esta obra, es de interés fundamental para mí conocer sus
comentarios, los cuales agradezco sinceramente de antemano.
Humberto Gardea Villegas
V
ÍNDICE
P R Ó L O G O ..............................................
CAPÍTULO 1.
III
ASPECTOS GENERALES SOBRE EL FLUJO
PERM A NEN TE EN CANALES
.. ......................................
1
1.1 Características generales del flujo en un c a n a l...................
1.2 Tipos de flujo p erm an en te................
1.3 Ecuaciones fundamentales para flujo permanente en
.........................................................................
escurrimientos a superficie libre
1.3.1 Principio de continuidad .........................................................................................
1.3.2 Teórema de Bernoulli. Ecuación de la energía.......................................................................
1.3.3 Ley del impulso o de la cantidad de movimiento .................................................
1.4 Distribución de velocidades en la sección de un canal.
Flujos laminar y tu rb u le n to ............................................................................
1.4.1 Coeficiente de C o rio lis ..............................: .........................
1.4.2 Coeficiente de B o u ssin esq ....................................................................................
1.5 Efecto de la pendiente longitudinal sobre la presión en el
fondo de un canal
................................................
Distribución de presiones en curvas verticales
.........................................................
Ejercicios propuestos . . . . .................................................................................................
18
21
25
CAPÍTULO 2.
27
FLU JO U NIFO RM E
.........................
2
3
6
6
6
9
10
13
15
Fórmula de C h é z y ........................... • • • .........................................................................................- 2 8
Cálculo del flujo uniforme. Problemas de diseño yde revisión...........................................................33
Velocidades permisibles en canales...........................................
36
Canales de sección compuesta ..............................................................
.3 7
Conductos circulares parcialmente ll e n o s .................................................................
40
Sección de máxima eficiencia en canales .............................................................................................42
Sección de máxima eficiencia cuando el talud noestá fijo .............................................
44
Ejercicios propuestos
.............................
45
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
CAPÍTULO 3.
ENERGÍA E S P E C Í F I C A ............................
47
3.1 Concepto de energía específica en un canal .......................................................... -.
47
3.2 Relación h = f(E) para un valor Co conocido
.............
48
3.2.1 Determinación de la sección crítica ..........................................................................................50
3.2.2 Cálculo del tirante crítico ......................................................................
53
3.2.3 Relación h = f(E) para diferentes gastos ...........................................
56
VII
3.3 Relación h - f(Q) para un valor E0 conocido
Principio del gasto m á x im o ...............................................................................................................57
Ejercicios propuestos......................................................................................................................................65
CAPÍTULO 4.
FLU JO GRADUALM ENTE V A R IA D O ...................................................... 67
4.1 Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado ............................................................................ 67
4.2 Concepto de pendiente hidráulica en flujo variado .....................
71
4.3 Características y clasificación de perfiles en flujo
gradualmente variado . ........................................................................................................................71
Caso 1. Pendiente longitudinal del canal S0 menor que la
pendiente crítica Sc del escurrimiento ................................................................................. 73
Caso 2. Pendiente longitudinal del canal S0 mayor que la pendiente
crítica Sc del escurrimiento.....................................................................................................78
Casó 3. Canal cuya plantilla es h o riz o n ta l......................................................................................... 82
Caso 4. Canal con pendiente c r ític a .................................................................................................... 83
Caso 5. Canal con pendiente negativa (S0 < 0 ) .................................................................................84
86
4.4 Secciones de c o n tro l.......................................................................................................
4.5 Integración de la ecuación d in á m ic a ......................................
88
Método de Bajmetev ............................................................................................................................. 90
4.6 Método de incrementos finitos................................................
92
...........................................................
101
Ejercicios propuestos
CAPÍTULO 5.
SALTO H ID R Á U L IC O ..............................................................................
107
5.1 Características del flujo bruscamente variado ...............................................................................
5.2 Características generales del salto hidráulico................
5.2.1 Tipos de salto h id ráu lico ............................................................................
5.3 Ecuación general del salto hidráulico ............................................................................................
5.3.1 Longitud del salto hidráulico. Tanque am ortiguador.........................................................
5.4 Cálculo del salto hidráulico para
secciones rectangulares
............................................................................................................ .
5.4.1 Pérdida de energía en el salto .............................................................................................
5.4.2 Salto ahogado y salto o n d u la d o .......................................................................................
5.5 Salto hidráulico al pie de estructuras de d e sc a rg a
............................................................
5.5.1 Salto al pie de un cimacio. Profundidad del tanque amortiguador .............
5.5.2 Salto hidráulico al pie de un canal de descarga .................................................................
5.2.3 Salto hidráulico después de una descarga de f o n d o ............................................................
5.6 Salto hidráulico en canales con pendiente .............
Ejercicios propuestos...................................... .
107
108
110
111
114
VIII
115
117
120
121
123
126
126
128
130
CAPÍTULO 6.
FLU JO EN CANALES NO P R IS M Á T IC O S .....................................
135
6.1 Flujo en transiciones graduales .........., . .............................
6.1.1 Reducciones................................
6.1.2 A m pliaciones..............................
6.2 Flujo cuando hay sobreelevaciones o depresiones graduales
en el fondo de un canal
■• •
6.2.1 Sobreelevación gradual en el fondo de un canal V i ...............................
6.2.2 Depresión gradual en el fondo de un c a n a l...................
6.3 Pérdidas de energía en transiciones
......................................................................................... •
6.4 Aforadores en canales
.........................................................
6.5 Aforador Parshall ..............................................................................................................................
6.6 Flujo entre pilas de puentes ................
6.7 A lcantarillas..............................
6.7.1 Estudios de F. W. B la is d e ll..................................................................................................
6.7.2 Enfoque de Patochka .............................................................................................................
Caso 1. Superficie libre en toda la alcantarilla ...........................................................................
Caso 2. Alcantarilla que trabaja a superficie
libre con toma sumergida y descarga libre ...................................................................
Caso 3. Alcantarilla con toma sumergida, bajo presión y
con descarga libre .............................................................................................................
Caso 4. Alcantarilla con toma sumergida bajo presión y
con descarga a h o g a d a .....................
Ejercicios propuestos..................... .
CAPÍTULO 7.
IN TRO DU CCIÓ N AL ESTUDIO DEL FLU JO
EN CAUCES NATURALES
...........................................
B IB L IO G R A F ÍA ..................
ÍN DICE ANALÍTICO
. . . . . . . . . . . .
145
145
149
152
156
157
159
161
163
165
167
174
178
179
181
185
7.1 Aspectos generales
•••
7.2 Mecánica del transporte_de sedimentos .................................................................
7.2.1 Conceptos y definiciones utilizados en el e s tu d io ...............................................................
7.2.2 Formación del lecho en cauces con materiales no cohesivos ............................................
7.2.3 Principio del movimiento...............................................................................................
Ejercicios propuestos
................................................................................................................
SOLUCIÓN D E LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
136
137
143
185
186
186
188
190
204
. 207
213
.......................................................... •
215
IX
CAPÍTULO 1
ASPECTOS GENERALES SOBRE E L FLUJO
PERM ANENTE E N CANALES
De manera elemental, podría definirse un canal como una estructura que conduce un líquido por
efecto exclusivo de la acción de la gravedad. Obsérvese que esta definición nada tiene que ver
con la form a geom étrica de la estructura.
Esto significa que, desde el punto de vista hidráulico, son canales aquellos conductos cuyas
secciones transversales sean como las mostradas en la figura 1. 1, y tubos aquellos como los
indicados en la figura 1.2 .
P re sión
a tm o s fé ric a
FIGURA 1.1 Canales
i
Presión
atm o sfé rica
FIGURA 1.2 Tubos
1
1.1 Características generales del flujo en un canal
Supóngase que un observador se encuentra inmóvil frente a una sección de un escurrim iento a
superficie libre. Si al transcurrir el tiempo, el área hidráulica A en esa sección no cambia, se
dice que el flujo es perm anente o estacionario.
Con base en esta definición, puede concluirse lo siguiente: si el área hidráulica de la sección es
constante, necesariamente el gasto Q será siempre el mismo y, por consiguiente, la velocidad
V y el tirante /?, en la sección tampoco variarán con el tiempo (figura 1.3.a).
Todas estas características se pueden representar en la siguiente forma:
,
dt
dr
= a r = dh = 0
dt
dt
(L L a )
es decir, los parám etros indicados son independientes del tiempo para cada sección.
D esde luego, como se explicará posteriorm ente, el hecho de que un flujo sea permanente no
implica que todas las secciones sean iguales entre sí. Cuando esto último sucede, en realidad se
trata de un caso particular del flujo permanente que se llama uniform e.
Cuando el flujo varía con el tiempo, se denomina no perm anente o no estacionario. En la figura
1.3
se representan los flujos permanente y no permanente, indicando con los números 1, 2 y 3
el perfil de la superficie libre en un canal en tres momentos diferentes.
2
a) Flujo permanente
FÍGURA 1.3
1.2 Tipos de flujo permanente
En flujo permanente en canales pueden presentarse dos tipos de escurrím ientos, a saber:
uniform e y no uniform e.
3
En el cuadro 1.1 se indica una clasificación de las posibilidades de flujo perm anente que puedan
presentarse y a continuación se hará una breve explicación de cada una de ellas.
Uniforme
FLUJO
Acelerado
PERMANENTE
O
ESTACIONARIO
Gradualmente
variado
No uniforme
0 ,
variado
Retardado
("remanso")
Bruscamente
variado
CUADRO 1.1
El flu jo uniform e es aquel en que todas las secciones del canal tienen exactamente iguales
características hidráulicas. Esto es factible sólo en canales prismáticos* de sección constante,
ya que si hay cambios geométricos de una sección a otra es imposible que todas las secciones
tengan la misma área hidráulica. Una consecuencia de esta condición es que, en un canal con
régimen uniform e, las trazas de la plantilla y de la superficie del agua con un plano vertical
alojado en la dirección del flujo son líneas paralelas, lo que sucede también con la línea de la
energía debido a que la velocidad media del agua en el canal es constante (figura 1.4.a).
El flu jo no uniform e o variado es aquel en que las condiciones hidráulicas son diferentes de una
sección a otra, y se subdivide en dos tipos: gradualm ente variado y bruscam ente variado.
Si la sección y la pendiente de la plantilla del canal son constantes, se puede form ar un flu jo
gradualm ente variado que se caracteriza porque sus tirantes cambian en forma continua a lo
largo del escurrimiento.
‘Canales prismáticos son aquellos cuya sección transversal y pendiente longitudinal son constantes
y además tanto su plantilla como sus paredes son planas y están formadas por generatrices longitudinales,
rectas y paralelas.
4
a) Flujo uniforme
c) Flujo gradualmente retardado o remanso
d) Flujo bruscamente variado (salto hidráulico)
FIGURA 1.4
Por otra parte, en algunas alteraciones bruscas de sección, de pendiente o simplemente cuando
existe contacto entre dos masas de agua diferentes, se presenta el flu jo bruscam ente variado que
es un fenómeno local, del que ef salto hidráulico es un caso típico (figura 1.4.d). Este fenómeno
se discutirá con detalle en el capítulo 5.
El flujo gradualmente variado puede ser acelerado o retardado. El prim ero se presenta cuando
los tirantes en la dirección del escurrimiento van disminuyendo (figura 1.4.b) y el segundo,
llamado también remanso existe cuando sucede el fenómeno contrario. Un caso muy típico de
remanso es el que se presenta aguas arriba de un vertedor o cualquier obstrucción semejante,
como se muestra en la figura 1.4.c.
5
1.3 Ecuaciones fundamentales para flujo permanente en escurrimientos a
superficie libre
Un flujo permanente se puede caracterizar con las siguientes tres leyes físicas:
- Principio de continuidad
- Ecuación de la energía
- Ley del impulso o de la cantidad de movimiento
Enseguida se expondrá una explicación de estas leyes.
1.3.1 Principio de continuidad
La velocidad media V en una sección de un escurrimiento es aquella que al multiplicarse por el
área hidráulica A da por resultado el gasto Q que pasa en ese instante por la sección, es decir:
VA = Q
Como se señaló anteriormente, en un flujo permanente el gasto Q es constante en cualquier
sección. Es decir en dos secciones, 1 y 2, escogidas al azar en un mismo escurrimiento, es
válida la relación:
v\ A¡ =
v 2 A 2
(1.3.a)
Asimismo, el concepto de flujo permanente implica también que el fluido pueda considerarse
incompresible, como sucede en los problemas de canales a que se enfrenta el ingeniero
hidráulico. Además, la ecuación 1.3.a se cumple sólo que no haya entradas o salidas entre las
secciones 1 y 2 , debido a que si eso sucediera, el gasto no sería el mismo entre dichas secciones.
1.3.2 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía
Supóngase que en un fluido perfecto en movimiento se toma un elemento diferencial de ancho
unitario cuyas dimensiones están referidas al plano "N-S", como se indica en la figura 1.5. El
elemento se desplaza en la dirección positiva del eje 5 con una velocidad instantánea V y está
sometido a la acción de su propio peso y de las presiones indicadas. En estas condiciones, la
segunda ley de Newton (E = ma) dice:
6
y
^
F s = 1 dn ds —
5
g
dt
siendo E F 9 , la suma de fuerzas en la dirección del eje S.
z
t
FIGURA 1.5
De acuerdo con la figura 1.5 y en la dirección mencionada, la expresión anterior conduce a:
T
1
[p - (p + d p )\ dn. +
7
^
dnds se n 6 = -L dnds —
que simplificando, queda:
dp
-L
ds
y según la figura 1.5:
sen 6 = -
n
+ 7 sen 6 -
y dV
n
— —— = 0
g dt
(1-3.b)
dz
ds
1
por lo que 1.3.b equivale a:
dp
dz
7 dV
„
que es. la ecuación de Euler.
P or otra parte, siendo que en general, la velocidad V del elemento es una función del tiempo t
y de su posición s, es decir V = f(t,s ), por definición de derivada total se tiene:
dt
dt
+
------- - = — + f —
ds dt
dt
ds
( 1 .3 . b ” )
y como el flujo es sólo en la dirección positiva del eje arbitrario S, se cumple:
dV = d V
ds
ds
tratándose de flujo permanente y, de acuerdo con 1. 1.a, la expresión 1.3 .b ” se reduce
a. dV /d t = V dV /ds , que sustituida en la ecuación 1.3.ó ’ y después de simplificar permite
escribir:
dp + 7 dz + 1 V d V = 0
8
al integrar esta ecuación diferencial se obtiene:
V 2
p + yz + 7 — : = ere.
2g
que puede escribirse:
p
V2
z + - +
= ere.
7
2g
( i . 3 .c)
y
Si se acepta, por ahora, que todas las partículas del escurrí miento se desplazan como el elemento
analizado, puede considerarse que esta expresión es válida para cualquier sección de un
escurrimiento permanente, ya que no ha sido demostrada para una en particular. Esto significa
que la suma de los tres términos indicados es igual en todas las secciones de un mismo
escurrim iento permanente. Así, para las secciones 1, 2, 3, ...i, la ecuación 1.3.c se escribe:
8
!í1 + £ i + V
7
2S
f t '.
V ,-ft + V . . „
y
2g ,
7
2£
fl
V'?
- = z- + — +— = cte.
y
2g
que es el teorema de Bernoulli, obtenido por el matemático suizo Daniel Bernoulli, en 1732.
A los términos de la expresión anterior se les llama respectivamente: carga de posición, carga
de presión y carga de velocidad. Como es fácil com probar, estas cargas corresponden,
respectivamente, a las energías: potencial, de presión y cinética por unidad de peso de la
partícula del fluido cuyo movimiento estudiamos.
Recuérdese que se ha supuesto un fluido perfecto, pero si se hace referencia a un líquido real,
es necesario considerar todas las pérdidas de carga hj
entre las secciones 1 y 2 , agregándolas
al segundo miembro de la ecuación en la forma:
z *a
]
7
+
21 ^
2£
, a ,
7
o .3 .d )
2á?
/l' 2
conocida como ecuación de la energía.
1.3.3
Ley del impulso o de la cantidad de movimiento
Si una partícula de masa m se mueve experimentando un cambio de velocidad d V
en un tiempo
dt, este fenómeno ha sido provocado por una fuerza F que, en general, es la resultante de un
sistema de fuerzas
que actúa sobre la partícula.
9
La segunda ley de Newton señala que los elementos anteriores están ligados por la expresión:
dV
m -----dt
_
F
o
F dt = m d V
Al prim er término se le llama im pulso y al segundo cantidad de m ovim iento. La ley del impulso
expresada por la ecuación anterior indica que ambos términos deben ser iguales cuando se
refieren a una partícula en movimiento.
Si se considera ahora un escurrim iento permanente con gasto Q y se escogen dos secciones, 1
y 2, de dicho escurrimiento, la masa que fluye por cualquiera de ellas en un tiempo At, es:
8
Y si A F es la diferencia de las velocidades medias de ambas secciones, la segunda ley de
Newton puede escribirse:
F = 1<? a F
8
(1.3.e)
o bien, separadamente:
- —
(A
- L )
( l - 3 . e ’)
Es im portante observar que el carácter vectorial de esta expresión exige que ambos miembros
tengan la misma dirección y sentido. Cuando
E Fl , K, y v2sean vectores
paralelos, pueden
manejarse como escalares, cuidando únicamente que elsigno seael mismo enlos dos miembros.
1.4 Distribución de velocidades en la sección de un canal. Flujos laminar y
turbulento
La distribución de velocidades, en un escurrimiento cualquiera, está relacionada íntimamente al
hecho de que la viscosidad de las partículas fluidas sea o no preponderante en el fenómeno.
10
La acción viscosa, tanto entre las mismas partículas fluidas como entre éstas y las paredes del
conducto, se manifiesta con números de Reynolds pequeños. Para calcular el número de
Reynolds en canales, se acostumbra utilizar como longitud característica el radio hidráulico R
d é la sección, por lo que Re = VR/v ( v es la viscosidad cinemática, para agua en condiciones
normales: v = 0.01 cm 2/s ).
Cuando Re es pequeño se presenta el llamado régimen lam inar, que se caracteriza porque el
líquido fluye en capas paralelas cuyas velocidades son sensiblemente diferentes entre sí y
aumentan a medida que los puntos se encuentran más alejados de las paredes.
Al aumentar la velocidad del fluido y, por consiguiente Re, llega un momento en que pierde
importancia el efecto de la viscosidad, rompiéndose así la cohesión entre las partículas en
movimiento y, en consecuencia, éstas se desplazan en forma caótica y provocan el llamado
régimen turbulento. .
Una característica muy im portante del régimen turbulento es que su coeficiente de fricción no
depende de Re, sino únicamente de la rugosidad relativa de las paredes del conducto. Esto lo
contrapone al régimen laminar en el que dicho coeficiente es función exclusiva del Re e
independiente del material de que está hecho el conducto.
Vista en dos dimensiones, la distribución de velocidades en un régimen laminar es de tipo
parabólico y en régimen turbulento se aproxima a un rectángulo. En la figura 1.6 se representan
las distribuciones de velocidades en canales para los regímenes mencionados, ambas curvas
pueden explicarse si se piensa en el mecanismo del flujo descrito anteriormente.
b) Régimen turbulento
a) Régimen laminar
FIGURA 1.6
11
El investigador ruso Zegzda, inspirado en los experimentos que hizo Nikuradse para tubos,
efectuó en 1938 una serie de ensayos tendientes a determinar las zonas laminar, de transición
y turbulenta en canales para distintas rugosidades y números de Reynolds.
La gráfica que obtuvo Zegzda (figura 1.7) es análoga a la de Nikuradse y claramente se observa
que para Re > 60,000 se está ya en la zona turbulenta. No se entrará en más detalles sobre lo
que ¿ería el flujo laminar en canales porque, como puede com probarse con facilidad, es
prácticam ente imposible que se presente un flujo laminar en los problemas que afronta el
ingeniero hidráulico que trabaja con canales.
FIGURA 1.7 Experimentos de Zegzda (Rusia, 1938)
Sin embargo, es importante conocer el tipo de distribución de velocidades que se tiene en una
sección, ya que siempre se habla de una sola velocidad representativa, que es la velocidad
media, y en general sólo se presenta en algunos puntos de dicha sección. Esta particularidad
hace necesario efectuar una corrección a la carga de velocidad calculada con la velocidad media
en la forma que se explicará a continuación.
12
1.4.1 Coeficiente de Coriolis
Observando la figura 1.6, considérese un elemento diferencial de fluido que pasa por un área
dA con una velocidad V, su gasto es dQ = V dA y, por definición, la energía cinética que
desarrolla este volumen, cuya masa es dm, tiene el valor:
dEr = — dm V 2
1
2
y como dm = ^ dQ dt , la energía cinética desarrollada en el tiempo dt es:
8
dEr =
C
7 dQ = 7
V dA = -JL V 3dA
2g
2g
(1.4.a)
y la energía cinética en toda el área A será entonces:
V 3 dA
Ec = ^
C
2g
(1.4.b)
A
Si se desea calcular la energía cinética con la velocidad media Vm , como se hace al aplicar la
ecuación de la energía, es necesario afectarla con un coeficiente que depende del tipo de
distribución de velocidades existente en la sección. A este factor correctivo se le llama
coeficiente de Coriolis y se designa con la letra griega a.
En esta forma se tiene, de acuerdo con la expresión 1.4.a, que la energía cinética en toda la
sección de área hidráulica A se puede determinar con la expresión:
Ec = o t J - V Í A
(1.4.C)
o
Igualando ahora 1.4.c con 1.4.b, para a se obtiene el siguiente valor:
V 3 dA
a
( 1 .4 .d)
entonces, la ecuación de la energía 1.3.d al aplicarse entre las secciones 1 y 2 debe escribirse
con todo rigor en la forma:
13
En que V1 y V2 son las velocidades m edias de las secciones correspondientes. En adelante se
designará con V (no con Vm) la velocidad media de una sección, a menos que se indique lo
contrario. Casi siempre a se omite, debido a que para el flujo turbulento (prácticamente el
único que se le presenta al ingeniero civil) su valor es muy cercano a 1 en la mayoría de los
casos y el grado de precisión que normalmente se tiene en los demás datos no justifica tanto
rigor. Ep efecto, en flujo turbulento para canales prismáticos rectos, a varía de 1.02 a 1.20
aproximadamente.
Desde luego, si se presentara un flujo laminar sería indispensable conocer el valor real de a
y tomarlo en cuenta, ya que sería mayor y nunca podría soslayarse sin com eter un error
importante.
Debe señalarse que, aun tratándose de flujo turbulento, e l coeficiente de Coriolis puede ser
im portante si se tienen secciones muy irregulares, porque en estos casos las velocidades cambian
también mucho en la misma sección. Un canal de este tipo es el de sección compuesta,
representado en la figura 1.8 .
FIGURA 1.8
En un caso como éste, puede dividirse la sección en zonas que tengan una velocidad constante
y calcularse a utilizando elementos finitos con la expresión 1.4 .d, es decir, en la forma:
a =
v \ A l + v ¡ a 2 ... - V ■ /i.
V 3m i
.
¿ =
At
i
siendo:
V
Q
=
Como se estudiará en el siguiente capítulo, las secciones compuestas del tipo mostrado en la
figura 1.8 se calculan generalmente como si fueran varios canales (cinco en el caso del ejemplo),
haciendo algunas consideraciones para definir el perím etro mojado de cada "canal".
1.4.2 Coeficiente de Boussinesq
U na idea análoga a la anterior es la del llamado coeficiente de Boussinesq, que se designa con
la letra griega (3 y sirve para corregir la cantidad de movimiento cuando se calcula con la
velocidad media de una sección.
En efecto, el impulso desarrollado por un escurrimiento en una sección de área hidráulica A
durante un tiempo dr, de acuerdo con 1.3.e y recordando que dQ = V dA, puede escribirse:
¡ yldA
^
y si se calcula con la velocidad media para toda la sección A, habrá que corregirlo con un
coeficiente /3 de manera que:
l ‘ 13 1 V ¡ , A
g
Después de igualar 1 .4 .f y 1.4.g, puede despejarse 0 y se obtiene:
í V 2 dA
13 = -L3_______
Vi A
(1.4.h)
15
Los valores de /3 son generalmente menores que los de a y para flujo turbulento en canales
prismáticos rectos varían de 1.01 a 1.15 aproximadamente.
Ejemplo 1.1
Para la sección del canal representado en la figura se tienen, además de los datos ahí mostrados, los
siguientes:
Vj = 3 mis,
V2 = 5 mis,
V3 = 2.75 mis,
v = 0.01 cm z/s
a) Determine si es régimen laminar o turbulento.
b) Calcule a (coeficiente de Coriolis).
c) Calcule ¡3 (coeficiente de Boussinesq).
Solución:
a) Cálculo del área de cada sección:
A,i =
xL =
16
¿>, + b1 + m hl
2
h -
b3 + b2 + 2m(hn - /i,)
'6 + 6 + 2.5 x 3.5"
2
3.5 = 36.312 m :
[K ~ /q) + [ ¿q + 2m (h^ - h J
10 + 10 + 2 x 2.5 x 6.5
A3 =
+
5
+
i
1
6.5 + (10 + 2 x 2.5 x 6.5) 3.5 = 319.375 m 2
hn \ ~
2
'4 + 4 + 2.5 x 3.5"
2
3.5 = 29.313 m 2
El área total es:
A t = v4j +
+ A3 = 385 m :
La velocidad media es:
Qt
...
(1)
donde:
QT = A i v 1 + a 2 v 2 + a 3v 3
Sustituyendo en esta expresión los valores indicados:
Qt = 36.312 x 3 + 319.375 x 5 + 29.313 x 2.75 = 1786, 42 m^ls
Por lo que en la ecuación (1)
V - — _6.:422 = 4.64 nüs
385
El perímetro mojado del canal es:
PT = bx +
+ b3 + 2 (m 2 + 1)1/2 hn
PT = 6 + 10 + 4 + 2 (2.52 + 1)1/2 x 10 = 73.852 n
donde:
R =
=
PT
385
73.852
5.213 m
entonces:
Re = ^ - R = 464(521 ~3) = 24 189 033.65
v
0.01
17
como Re > 60,000
el régimen es turbulento.
b)
a- -= f - 1
v. 3 E A,
sustituyendo valores:
a = 36.31 (3)3 + 319.375 (5)3 + 29.31 (2.75)3 = 1 m
4.643 x 3 85
E
^ a!. V.I
¡3 =
c)
--------
V- £ A.
m
"
i =1
,
p = 36.31 (3)2 + 319.375 (5)2 + 29.31 (2.75)2 _ ] mQ
4.642 x 3 85
1.5 Efecto de la pendiente longitudinal sobre la presión en el fondo de un
canal
La ecuación de Euler 1 .3 .b ’ puede escribirse, cuando no existe aceleración, en la forma:
as
Esto significa
sigue una
expresión:
(p + y z) = 0
que,en flujo uniforme, la distribución verticalde presiones en cualquier sección
ley linealy la presión
en el fondo de un canal,cuyo
p = yh
18
(1.5.a)
tirante es h, está
dada por la
(1 .5 .a ’)
Este valor es aplicable también a un líquido en reposo (V = 0 ) .
1.5.a’ corresponde a la presión ejercida por una columna vertical de sección transversal Aa y
altura h sobre la plantilla de un canal horizontal o que tenga una pendiente longitudinal tan
pequeña que pueda considerarse nula (figura 1.9).
Aa
—I K-
FIGURA 1.9
En efecto, el peso ae la columna es 7 h Aa y la presión que ejerce sobre el área Aa tiene el
valor
7 h Aa
,
p = A--------- = 7 /7
Aa
1
Sin embargo, a medida que aumenta la pendiente del canal se observa que la presión en el fondo
disminuye, lo que es fácil im aginar si se piensa en el caso extremo de un "canal" cuyo fondo
fuera vertical (S0 = 00) . En tal situación, todas las columnas de agua, como las indicadas en
la figura 1.9, son paralelas a la plantilla y, por lo tanto, no ejercen ninguna presión sobre ella.
Entonces, en casos intermedios a los señalados, es decir, cuando las pendientes longitudinales
son grandes, se deben establecer algunas consideraciones que tomen en cuenta el efecto de la
presión sobre el fondo.
En la figura 1.10 se representa un canal con régimen uniforme, ancho unitario y una pendiente
longitudinal muy pronunciada. Supóngase que el tirante se mide en el punto B del fondo. Por
costumbre, dicha magnitud se mide siempre perpendicular a la plantilla; luego el mencionado
tirante en B es la línea BC de la figura.
19
FIGURA 1.10
El peso de la columna B C es y h A a y la plantilla recibe la componente normal de dicho peso,
es decir: y h A a cosd, por lo que la presión real en el punto B está dada por
p = y h cosd
(1.5.b)
En la figura se observa que la otra componente y h Aa send es paralela a la plantilla y tiene la
misma dirección que el flujo, por lo que no ejerce ninguna presión sobre el fondo. De lo
anterior se desprende que la línea real de presiones no es la de la superficie, sino la indicada en
la figura con línea interrumpida, como si el tirante fuera h ’ en vez de h. Según la figura 1.10,
el valor de h ’ es:
h ' - h eos26
Y su proyección vertical, que debe usarse en la ecuación de la energía como tirante real, tiene
el valor:
y ' = h cosd = y eos2d
(1.5.c)
Además se concluye que la energía real E en la sección BC, medida a partir del punto B es, en
térm inos del teorema de Bernoulli, la dada por la expresión:
20
V2
E = h eos9 + a ——
2¿'
y así debe considerarse en la ecuación de la energía cuando la magnitud de la pendiente lo
requiera.
En la mayoría de los casos el ángulo 6 es muy pequeño y n o se justifica ninguna corrección,
pero cuando dicho ángulo sea mayor de 10°, lo que es muy común en canales de descarga en
las obras de excedencias, la corrección sí debe efectuarse. En general, el proyectista es el
responsable de tom ar esta decisión, de acuerdo con el caso particular que esté resolviendo.
Distribución de presiones en curvas verticales
Cuando el escurrim iento a superficie libre pasa sobre una curva vertical, la distribución de
presiones también se afecta por la fuerza centrífuga, según se indica en la figura 1. 11.
(b)
(a)
FIGURA 1.11
21
Aceptando que en el centro del flujo se tiene la velocidad media V, es decir, cuando el radio es
y , pueden presentarse los casos que se describirán a continuación:
a)
Si la curva es como en la figura 1.11.a y aceptamos que a = 1 , la
presión incrementada por la aceleración centrífuga V 2/r, que corresponde
a una fuerza Fc, que vale (F = m a):
F c = y h Aa
V
Por lo que, la presión resultante en el fondo, usando la expresión anterior y la
1.5.b, es:
p = y h cos<5 +
y h
b)
cos<5
Y
Yl
YY
(1.5.d)
Si la curva es como la indicada en la figura l . l l . b , la fuerza centrífuga
tiene efecto contrario al caso anterior y la presión en el fondo es entonces:
p =y h
cos<5
y 2
gr
(1-5.e)
El caso de la figura 1.11.a es común al pie de los cimacios cuando debe cambiar la curvatura
de la plantilla hasta llegar a la horizontal que da la posición del tanque am ortiguador, como se
verá posteriorm ente.
Una situación semejante sucede en las estructuras llamadas de salto de esquí, que se construyer
al final de algunos canales de descarga en obras de excedencias. En estos casos, la presión real
sobre el fondo corresponde a un tirante mayor que el aparente, según se indica en la expresión
1.5.d. Por otra parte, en el caso representado en la figura l . l l . b , la presión real es menor que
la correspondiente al tirante h, como se señala en la expresión 1.5 .e.
22
Obsérvese que el efecto de la presión debido a la fuerza centrífuga es el mismo en toda la curva
si su radio es constante, lo cual no sucede con la presión hidrostática en el fondo, y h cosd, que
obviamente alcanza su valor máximo en el punto B donde la tangente a la plantilla es horizontal
(figural.ll).
Ejemplo 1.2
Calcule la presión p en el fondo de los siguientes canales, si los datos comunes son:
h = 4 m,
b = 10 m,
Q = 450 m y/s
a) Sección rectangular, considerando un fondo plano con S0 = 0.001.
b) Sección rectangular con plantilla plana y S0 = 0.56.
c) CanaLde trazo circular cóncavo hacia arriba con r = 30 m (radio de curvatura) y 6 = 60°.
d) Canal de trazo circular cóncavo hacia abajo con r = 30 m y 8 = 60°.
Solución:
a)
5 = ang tan S0 = ang tan 0.001 - 0.057°.
La presión en el fondo según 1.5.b es:
p = y h cos<5 = 1000 x 4 x eos 0.057 = 4000 kglm2 .
23
b)
5 = ang tan S0 = ang tan 0.56 = 29.25c
p - y h cosb = 1 000 x 4 x eos 29.25° = 3490.02 kg/m2
c)
Siendo la velocidad media:
V
Q _
450
A
10 X 4
11.25 m/s
y según la expresión 1.5.d:
p = 1000 x 4
d)
11.25 2
1.81 x 30
= 3720.18 kglm-
Para trazo circular cóncavo hacia abajo, de 1.5.e se obtiene:
p = 1000 x 4.0
24
cos60c
cos60c
11.25 2
9.81 x 30
279.82 kglm :
Ejercicios propuestos
1.1
Considérese la sección de un canal como se muestra en la figura con los
siguientes datos:
Va = 2 . 1 5 m/s
V. o = 2.05 m is
V.a = 1.90 m/s
m =2
V
C
= 2.00 m/s
v = 0.01 cm 2/s
a) Determ ine si el tipo de régimen es laminar o turbulento.
b) Calcule el coeficiente de Coriolis a.
c) Calcule el coeficiente de Boussinesq J3.
1.2
Se desea que la presión sobre el fondo de un canal cóncavo hacia arriba no
exceda de 10 ton/m 2. Si <5 = 45°, V = 30 m /s y
h = 2.15 m, calcule el radio
de curvatura mínimo.
1.3
Calcule la velocidad máxima de un canal cuyo trazo longitudinal es convexo hacia
arriba, tal que en su fondo no existan depresiones, si: 5 = 35° y r = 40 m.
25
CAPÍTULO 2
FLUJO UNIFORME
Como se explicó en el capítulo anterior, el flujo uniform e se presenta únicamente en canales
prismáticos de sección constante y se caracteriza porque las condiciones hidráulicas de todas
y cada una de las secciones son iguales entre sí. Esto da por resultado que la plantilla y la
superficie libre sean planos paralelos y que la línea de la energía o "gradiente hidráulico"
también sea paralela a dichos planos.
Si se analiza el comportamiento físico de un canal con flujo uniform e, se concluye enseguida
que la única form a de que no ocurran cambios de velocidad a lo largo del escurrim iento, es
que no haya ninguna fuerza resultante en la dirección del flujo, es decir, que exista equilibrio
dinámico.
En efecto, consideremos un canal con flujo uniform e como el representado en la figura 2.1.
El volum en confinado entre las secciones 1 y 2 se mueve con una velocidad constante V que
sólo puede existir si la suma total de fuerzas que afectan el movimiento es cero.
FIG U R A 2.1
27
A hora bien, el volumen tiene un peso W y su componente Wx es la que lo hace moverse.
Pero si el flujo es uniform e, debe existir otra fuerza de igüal magnitud y dirección opuesta
de m anera que no haya ninguna resultante en la dirección del movimiento. Dicha fuerza es
la debida a la fricción Fx que, relacionada con Wx, permite plantear las siguientes
definiciones:
TIPO DE FLUJO
CONDICIÓN DE FUERZAS
ii
Uniforme
Gradualmente acelerado
Wx > Fx
Gradualmente retardado
(remanso)
.
WX < F X
Posteriorm ente se estudiará que cualquier flujo en canales siempre tiende a hacerse uniform e
y, por tal razón, al flujo uniform e se le llama también flu jo establecido o norm al.
2.1 Fórmula de Chézy
Considérese un canal con flujo uniform e como el representado en la figura 2.2.
FIGURA 2.2
28
En la figura se ha delimitado un tramo del canal por dos secciones, 1 y 2, de área hidráulica
A y separadas una distancia L.
La única fuerza que contribuye al movimiento del tramo de fluido analizado es la componente
del peso de dicho tramo en la dirección del movimiento, es decir:
y A L senO
(2.1.a)
Según se explicó al inicio de este capítulo, si no hay aceleración debe existir una fuerza
colineal con dirección opuesta y de igual magnitud para que el flujo sea uniform e. Dicha
fuerza es la debida a la fricción que ejerce el fluido con las paredes y el fondo del canal.
Por otra parte, los experimentos han demostrado que el esfuerzo de fricción / en régim en
turbulento es proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir, / = c V 2. Además, como
el área de contacto entre el fluido y el conducto es PL. siendo P el perím etro mojado y L la
distancia entre las secciones analizadas, tal como se indica en la figura 2 .2 , la fuerza de
fricción es:
cV 2 PL
(2-1-b)
y como la pendiente hidráulica es S = send y el radio hidráulico de la sección R = A /P ,
al igualar 2 .1 .a y 2.'1 .b, y despejar V\
y = f^ ic
\/r s
Llamando ahora C al térm ino \¡y/c , puede escribirse:
y = C y¡R S
(2-l x )
Y, según el principio de continuidad equivale a:
Q = CA \¡R S
(2.1.c’)
que es la fórm ula obtenida por Chézy en 1768. Esta expresión tiene una gran importancia
en la historia de la hidráulica, ya que de ella se derivan todas las fórmulas modernas para
el cálculo del flujo uniform e. Sin embargo, quedaba aún el problem a de saber cómo valuar
la constante C. Chézy sólo dijo que ese valor se encuentra entre 30 y 50.
U n siglo después (1869) en Berna, dos investigadores suizos Ganguillet y K utter obtuvieron
una expresión para determinar el valor de C en función del tipo de material y de otras
características del flujo. La fórmula de Ganguillet y Kutter es la siguiente:
29
23 + Un + 0.00155/5”
1 + n (23 + 0.00155/5”) ! <Jr
n es un coeficiente que depende exclusivamente del material y siempre se da en Sistema
M étrico, tal como se determinó originalmente por ser dicho sistema el vigente en Suiza. En
la tabla 2.1 se presentan algunos de los valores más comunes del coeficiente n.
M A T E R IA L
n
7
Paredes muy lisas (esmaltadas)
0.009
Cemento bien pulido
0.010
Acero bien acabado y pulido
0.011
0.06
Concreto acabado normal
0.014
0.46
Grava bien acomodada
0.023
Tierra bien limpia
0.028
1.30
Tierra con piedras y plantas (ríos)
0.040
1.75
TABLA 2.1 Valores de n para las fórmulas de Ganguillet-Kutter o de Manning.*
La fórm ula de Ganguillet y Kutter quedó muy simplifioada cuando M anning (irlandés)
observó en 1890 que:**
i
RJ
C = —
n
lo cual perm ite escribir la fórmula de Chézy en la forma:
E = - RJ
n
SJ
(2.1.d)
* Mayores detalles sobre la utilización del coeficiente n se indican en la tabla 2.2.
** F.M. Henderson atribuye la observación de que C es proporcional a R 1/6 a Gauckler (1868)
y a Hagen (1881), que la obtuvieron independientemente, y que fue Flamant quien equivocadamente
la atribuyó a Manning.
30
expresión conocida en América y en los países de habla inglesa como fó rm u la de M a n ning
y en Europa Continental como fó rm u la de Strickler.
La fórmula de Manning tiene el gran atractivo de que, para canales prismáticos, el
coeficiente de rugosidad depende exclusivamente del material de que esté hecho el conducto,
lo que no sucede en la fórmula original de Ganguillet y Kutter.
Por otra parte, los ingenieros ingleses probablemente pensaron que hacían justicia a sus
colegas suizos, Ganguillet y Kutter si no cambiaban en absoluto los valores del coeficiente
n que ellos obtuvieron. Por tal razón, dichos valores aparecen siempre en Sistema M étrico,
aun en la literatura inglesa, en la que se corrige la fórmula de M anning con un factor para
adaptar la ñ al Sistema Inglés.
La comodidad que implica el uso de la fórmula de M anning, sobre todo en épocas cuando
la regla de cálculo era el instrumento imprescindible del ingeniero (los exponentes que
aparecen son de fácil manejo con escalas logarítmicas) le dio tal popularidad a dicha
expresión que los técnicos olvidaron la paternidad del coeficiente n y aún en nuestros tiempos
se le llama erróneam ente coeficiente de M anning o n de M anning.
Desde luego no debe culparse a M anning por este error, porque nunca pretendió adjudicarse
la obtención de estos coeficientes.
Posteriorm ente apareció la fó rm u la de Bazin (1897) que tiene la forma:
c = 87
y + \¡R
en que y es u n coeficiente (no el peso específico del agua),
algunos de cuyos valores
aparecen en la tabla 2.1. Esta fórmula no es muy usada actualmente.
Enseguida se presentan otras dos fórmulas para determinar C:
Forchheim er (1923)
C
Agroskin (1949):
C
R 0.2
± + 17.72 log R
n
La sencillez de la fórmula de M anning la convierte en un elemento de cálculo muy usado,
por lo que será utilizada en este libro en la mayoría de los casos, tomando en cuenta además
que el grado de precisión obtenido con ella en canales prismáticos rectos es aceptable.
31
Cuando se trata de cálculos en ríos, algunos autores, entre ellos V. Kolar, proponen calcular
el coeficiente n en la siguiente forma:
n = (n 0 + n x + n2 + n3 + n4) k
(2 .1.e)
En la tabla 2.2 se indican los valores de estos parámetros y su significado.
Material
K)
Tierra
0.020
Roca
0.025
Arena 1-2 mm
0.024
Grava 2-20 mm
0.028
Liso
0.000
Irregularidades en el
fondo y las paredes del
cauce
Irregularidades pequeñas
0.005
Irregularidades medias
0.010
N
Irregularidades grandes
0.020
Perfil uniforme
0.000
Pocos cambios
0.005
Cambios frecuentes
0.010-0.015
Despreciables
0.000
Suaves
0.010-0.015
Notables
0.020-0.030
Bruscos
0.040-0.060
Poca
0.005-0.010
Mediana
0.010-0.025
Mucha
0.025-0.050
Demasiada
0.050-0.100
Aproximadamente recto
1.000
Curvas suaves
1.150
Curvas notables
1.200
Cambios en la forma del
área hidráulica a lo largo
del cauce
N
Obstáculos
\ 3/
Vegetación
\ 4I
Trazo longitudinal
(k)
TABLA 2.2. Coeficiente de rugosidad n en cauces naturales
32
2.2 Cálculo del flujo uniforme. Problemas de diseño y de revisión
El cálculo de este tipo de régim en puede plantearse con base en la fórmula 2 .1 .d , que el
principio de continuidad perm ite presentar en la forma:
A
Q
- R '
n
1
i
S2
(2.1 .d')
Como S = S0 en el caso com ún en que 0 < 10° (figura 2.1) en el flujo uniform e, puede
sustituirse en esta fórmula el valor de la pendiente longitudinal S0 del canal.
Podemos preguntarnos ahora qué tipo de problemas se plantean en ei proyecto de un canal
con flujo uniform e. El enfoque, llamado en ingeniería "de diseño", consiste en determinar
las características geométricas de la estructura que son necesarias para transportar un cierto
gasto, una vez conocida la pendiente longitudinal y el tipo de material que se utilizará. En
estas condiciones los datos son Q, n y S0 , y las incógnitas son A y R 2/3 que despejadas de
la fórmula 2 . 1.d ’ quedan:
A R J = Q l = cte.
<-,1/2
Es factible resolver por tanteos este problem a una vez definidos los elementos básicos de la
sección, que son el ancho de la plantilla y la inclinación de sus taludes. El talud depende
fundamentalmente del material usado en el canal (tabla 2.3). El ancho de la plantilla está
relacionado con otros factores, como son: la topografía, el gasto, la geología de la zona, el
procedimiento constructivo, etc. Existen, desde luego, gráficas para apresurar los tanteos
pero el procedimiento general es necesariamente el descrito.
Un problem a mucho más simple es el llamado "de revisión", que consiste en saber qué gasto
transporta un canal cuando se conocen la sección, la pendiente y el material usado en su
construcción, es decir, A, R, S0 y n. Otros problemas menos típicos se pueden plantear
simplemente escogiendo algunas de las variables de la fórmula como datos.
33
M A T E R IA L
m
Roca
0.0 (o valores cercanos)
Suelo rellenado
0.25
Arcilla consolidada
0.50-1.0.
Tierra
1.5
Tierra arenosa suelta
2.0 - 3.0
/
A \
NOTA: m es la designación del talud, definida según la figura.
TABLA 2.3. Taludes apropiados en canales
E jem plo 2.1
Se desea conocer el tirante normal h0 de un canal de sección trapecial que se construirá en el tramo
A-B, el ancho de la plantilla permanecerá constante b = 20 m y sus taludes: m = 1. Se quiere
transportar un gasto de 500 m3/s. El material será concreto de acabado normal.
A
34
i av. 2 7 0 0
Solución:
De la tabla 2.1:
h = 0.014
de la figura tenemos:
S0 = -27QQ________ = 0.0035
0
80000
Como es sección trapecial:
A = b h + m h 2 = 20 x h + 1 x h 2
i
P = b +2h (m2 + 1)2 = 2 0 + 2 h (l2 + l) 2
o
A
20 h + h 1
R = — =--------------------P
20 + 2.8284 h
(a)
... (b)
... (c)
De la fórmula de Manning:
2
Qn - A »3
sm =A R
500 x 0.014
0.00351/2
=
A
R
3
=
118 3216
... (d)
Iterando con las expresiones obtenidas encontramos A, P, R y los sustituimos en (d) hasta
cumplir la igualdad. En este ejemplo se presentan cuatro valores del tirante h usados en el
cálculo, tal como se indica en la siguiente tabla:
h(m)
A(mz)
P(m)
R(m)
ARm
3.00
69.0000
28.4852
2.4223
124.4558
2.90
66.4100
28.2024
2.3548
117.5469
2.92
66.9264
28.2589
2.3683
118.9153
2.91
66.6681
28.2306
2.3616
118.2303
Por lo tanto, el resultado es: h0 = 2.91 m.
35
2.3 Velocidades permisibles en canales
Existe un rango adecuado para la velocidad del agua en un canal. La razón es que después
de cierto tiempo de funcionamiento, el canal puede cambiar su forma geom étrica ya sea
debido a que materiales en suspensión se depositen cuando la velocidad del agua no es
suficientemente grande para arrastrarlos o porque las velocidades sean tan altas que causen
erosiones importantes. En ambos casos se tendrá un canal que después de operar por algún
tiempo, es en realidad otro distinto al que se calculó originalmente.
B. Boor (1963) recomienda los valores límites que se indican en la tabla 2.4 para las
velocidades máximas permisibles en algunos materiales y también para las velocidades
mínimas aceptables, según el tipo de material en suspensión y la profundidad del agua en el
canal (tabla 2.5).
M A T E R IA L
E (m /s)
Arena muy fina
0.15 - 0.25
Arena gruesa
0.45 - 0.60
Arcilla y tierra arcillosa suelta
0.60 - 0.90
Tierra arcillosa apisonada
1.20 - 1.80
Tierra apisonada con grava
1.50 - 2.10
Recubrimiento de piedra suave
1.80 - 2.40
Roca dura
< 5
M adera
< 6
Concreto
< 30
TABLA 2.4. Velocidades máximas permisibles en canales
D IÁ M E T R O
M E D IO
V ELO C ID A D M ÍN IM A (m/s) PA R A UN T IR A N T E
h
(mm)
h — 1m
h —2 m
h = 3 m
0.2 - 0.3
0.25 - 0.40
0.31 - 0.46
0.33 - 0.50
0.3 - 0.4
0.36 - 0.55
0.46 - 0.62
0.50 - 0.67
0.4 - 0.5
0.45 - 0.69
0.62 - 0.78
0.67 - 0.83
0.5 - 1 . 0
0.69 - 0.90
0.78 - 1.34
0.83 - 1.46
TABLA 2.5 Velocidades mínimas permisibles en canales según el tipo de m aterial en suspensión
36
2.4 Canales de sección compuesta
En un canal como el de la figura 2.3, se tienen en realidad tres escurrimientos definidos que
pueden considerarse como tres canales, a saber: los de los extremos 1 y 3, y el 2 en el centro
en que el volum en es mucho m ayor que el de los extremos. Por otra parte, la relación entre
las masas transportadas y sus respectivas áreas de contacto entre el fluido y el canal, son
menores en los extremos que en el centro o, dicho en otras palabras, el fluido pasa con
mayor facilidad por la sección 2 que por la 1 o 3.
FIGURA 2.3
De manera general, lo anterior redunda en que se tiene en el canal central 2 una velocidad
sustancialmente m ayor que en los laterales, por lo que para el cálculo de este tipo de
estructuras se aplica el siguiente artificio:
1.
Para el canal central se determina el perím etro mojado como si hubiera
una pared divisoria entre el canal 2 y los laterales 1 y 3.
2.
En los canales laterales se utiliza el perímetro mojado real. En la
figura 2.3, se indican estos valores como Pp P2 y P3.
Así, el gasto que pasa por este canal es el siguiente:
n
n.
Si por alguna razón es necesario aplicar la ecuación de la energía en un canal de este tipo,
utilizando toda la sección a la vez, no puede omitirse el uso del coeficiente de Coriolis, tal
como se explica en el subtema 1.4.1.
Ejemplo 2.2
Un canal de sección trapecial constante, cuyo talud es m = 2, tiene obstáculos suaves en su trazo
área hidráulica aproximadamente constante y además las siguientes características:
- Canal de tierra arcillosa suelta:
- Trazo recto:
(fio = 0 .020)
(k = 1)
- Fondo y paredes lisas:
(n¡ = 0)
- Poca vegetación:
(n4 = 0.007)
- Material en suspensión: dm = 0.35 mm
Tabla 2.2
b = 40 m, S0 = 0.0002 (constante), y de acuerdo con la tabla 2.2: n3 = 0.01 y n2 = 0
a) Determine el gasto máximo que puede pasar.
b) Si h — 1 m, ¿existe peligro de que se sedimente el material en suspensión?
Solución:
a)
En la tabla 2.4 se observa que Vmáx = 0.6 ~ 0.9 m/s. El gasto máximo corresponde
lógicamente al límite superior, por lo que éste se sustituye en la fórmula de Manning 2.1.d,
es decir:
1 0.9 = _ i? 3 (0.0002) 2
n
... (1)
Utilizando la fórmula 2.1.e y la tabla 2.4, se obtiene:
n = (0.02 + 0 + 0 + 0.01 + 0.007) 1 =0.037
Por otra parte, el área hidráulica y el perímetro mojado tienen los siguientes valores:
A
= bh + mh2 = 40h + 2/z2
1
P =b + 2 h(m 2 + l )2 = 40 + 2h(22 + l ) T
R =
P
38
A 40h + 2 h 2
40 + 4.4721 h
... (2)
^^
' " (4)
Y según la fórmula (1), el radio hidráulico tiene el valor:
R =
3
f 0.9 x 0.0371
0.0Ó021/2
3.613 m
Ahora la expresión (4) puede escribirse:
40 h + 2 h 2 = 3.613(40 + 4.4721 h)
que equivale a:
h 2 + 11.9212/1 - 72.2600 = 0
Las raíces de esta ecuación son las siguientes:
hl = 4.42 m
h2 = -16.36 m
Evidentemente sólo tiene sentido el valor:
hl = 4.42 m
que según la expresión (2) corresponde a un área hidráulica:
A = 215.87 m 2
por lo que el gasto buscado, de acuerdo con la fórmula de Manning, es:
2
1
= 215-87 (3.6l)T Í0.0002)t = 194.17 rrv’ls
0.037
b)
Para h = 1 m, las expresiones 2, 3 y 4 dan los siguientes resultados:
A = 42 m 2, P = 44.47 m, R = 0.94 m
y de acuerdo con la fórmula 2.1 .d, la velocidad del agua en el canal tiene el valor:
y=
1
-
-
1 .. (o.94)3 (0 .0002)2
0.037
y = 0.37 mis
Comparando esta
velocidad con el rango Vmin = 0 .3 6 -0 .5 5 m /s,queseñala latabla2.5para
los valores h = 1 m y dm = 0.35 mm, se concluye que la velocidadobtenida está enel límite
inferior del rango especificado, por lo que el material en suspensión sí se sedimentará.
39
2 .5 Conductos circulares parcialmente llenos
Ya se explicó en el capítulo anterior que independientemente de la form a de la sección, si
un conducto cerrado no trabaja sometido a diferencia de presiones es en realidad un canal
y debe tratarse como tal en el cálculo.
Es iñuy común que haya túneles, generalmente de sección circular que trabajan parcialmente
llenos, por ejemplo en obras de excedencias o de desvío. Se trata entonces de canales y, por
tal razón, su cálculo corresponde a este tipo de estructuras.
Por otra parte, aunque las primeras fórmulas se dedujeron para canales prismáticos, pueden
usarse para una sección circular una vez determinados los parámetros A y P, con expresiones
como las 2 .5 .a y 2 .5 .b , obtenidas de acuerdo con la figura 2.4.
c
r
B
K
FIGURA 2.4
180
eo s'1
---- 1
90
B = 2 J h (D - h )
40
r
r
- (r - h) s/h (D - h)
(2.5.a)
(2 .5 .b)
(2.5.C)
También puede aplicarse la fórmula de Kozeny, obtenida especialmente para este caso y que
es la siguiente:
i .______
y = (8.86 log h + N k ) {h /D )J j S D
(2 .5 .d)
Algunos valores del coeficiente NK son los consignados en la tabla 2.6 (Sistema M étrico).
M A T E R IA L
Fierro fundido nuevo
35
Fierro fundido viejo
30
Acero limpio
36
Barro vitrificado
34
Concreto bien acabado
38
TABLA 2.6 Valores del coeficiente de rugosidad para la fórmula de kozeny
Ejemplo 2.3
El conducto circular parcialmente lleno que se muestra en la figura tiene un flujo uniforme y está
fabricado con concreto. Los demás datos son los siguientes:
D = 8.00 m, S0 = 0.009, h0 = 5 m, n = 0.014, NK = 38
D= 8 m
h =5m
Calcule el gasto Q, utilizando las siguientes fórmulas:
a) Manning.
b) Kozeny.
41
Solución:
a)
De acuerdo con las expresiones 2.5.a y 2.5,b, se tiene respectivamente:
tt(4)2
180
eos'
ir(4) eos
Pp = —_
90
4 -5
4 - 5'
(4 - 5) ^5 (8 - 5)
= 33.0486 m 2
14.5878 m
p =—
A = ---------33.0486 = 02.2655 m
K
P
14.5878
Q =
b)
33.0486
(2.2655)3 (0.009)2 = 386.30 m 3/x
0.014
Sustituyendo valores en la fórmula 2.5.d:
V = (8.86 log 5 + 38) (5/8)6 (0.009 X 8)2 = 10.9647 mis
Q = A V = 33.0486 x 10.9647 = 362.37 m 3/s
2.6 Sección de máxima eficiencia en canales
Si se observa la fórmula de M anning en la forma 2.1 .d ’, podemos preguntarnos lo siguiente:
Para un canal en que se conozca A, n y S0 (A es en general una consecuencia del gasto
deseado y de la velocidad permisible), ¿cuál es la sección que permite que pase un gasto
máximo? En el miem bro de la derecha de la fórmula de Manning ha quedado como variable
únicamente R. Por consiguiente Qmáx sólo podrá presentarse cuando se tenga el valor máximo
posible de R. A la sección que cumple con esa condición se le llama sección de m áxim a
eficiencia.
Enseguida se examinará qué características debe tener una sección de máxima eficiencia para
un canal trapecial.
42
[•----- mh
mh
FIGURA 2.5
El radio hidráulico R es máximo cuando el perímetro mojado P es el m enor posible, ya que
por definición: i? = A /P y A se supone constante.
Según la figura 2.5, son válidas las expresiones siguientes:
A = bh + m h 2
(2.6.a)
P = b + 2h \]m 2 + 1
(2.6.b)
Si se sustituye b, despejado de la expresión 2 .6.a, en la 2.6.b:
P = i1 - mh + 2h <Jm2 + 1
h
(2.6.c)
derivando ahora con respecto a h, se tiene:
—
dh
= - — - m + 2 \¡m2
h2
1
+
al igualar este valor a cero se tiene el valor mínimo de P que sebusca (puede comprobarse
que la segunda derivada es positiva, lo que garantiza que se trata de un mínimo).
Después de igualar a cero la derivada anterior, y de sustituir en ella el valor de A, indicado
en 2 .6 .a, se obtiene:
— + m = - m + 2 Jm 2
h
+
1
equivalente a:
b = 2 h (•J m 2 + 1 - m )
(2 .6 .d)
que es la condición necesaria para que un canal funcione con máxima eficiencia hidráulica,
cuando se conoce la inclinación m de sus taludes.
43
Las secciones de máxima eficiencia en canales trapeciales implican anchos de plantilla b muy
pequeños y aún menores que el tirante cuando m > 0.75, que es un caso muy común en la
práctica. Esta característica significa normalmente problemas para la construcción, debido
a que el espacio para colocar la maquinaria no es suficiente y se requieren excavaciones muy
profundas. Por esta razón, las secciones de máxima eficiencia no se construyen a menudo
y sólo podrían convenir en casos en que el revestimiento sea demasiado caro, ya que el área
de contacto entre el agua y el canal es la mínima posible. En canales rectangulares, sí puede
convenir este tipo de sección en que: b = 2 h, según 2 .6 .d.
Sección de máxima eficiencia cuando el talud no está fijo
Si se desea conocer el ángulo de inclinación del talud para que un canal funcione con su
máxima eficiencia hidráulica, se debe considerar a m como variable y h como.constante. En
esta forma, derivando la expresión 2 .6 .c respecto de m, se tiene:
dP
dm
y el valor mínimo de P se encuentra al igualar la derivada anterior a cero, con lo que se
reconoce fácilmente que el valor de m para la sección de máxima eficiencia es:
m
1
(Véase la figura 2.5)
&
es decir, la sección buscada sería la parte inferior de un hexágono regular.
En form a semejante, se pueden determinar secciones más eficientes para otras figuras
geométricas, por ejemplo: para el círculo es un semicírculo y para el triángulo, la mitad de
un cuadrado apoyado en uno de sus vértices, por supuesto, y con un talud m = 1.
44
Ejercicios propuestos
2.1
Sea un canal de sección trapecial, construido en tierra, por el cual se quiere
transportar un gasto Q = 200 m 3/s, la pendiente de la plantilla es:
SQ = 0.0004,
m =2
y
n = 0.020
Determ ine el ancho de la plantilla b y el tirante normal h 0 si:
h
b=2h
2.2
Se desea transportar un gasto Q = 300 m 3/s por un canal de sección trapecial,
construido en tierra (n = 0.020), con una designación de talud m = 2.5 y S0 =
0.00008.
Determine:
a) El tirante h0 , si el ancho de la plantilla es b = 4 0 m.
b) El ancho de la plantilla, de la superficie libre y el tirante del canal, si la velocidad
es V = 1.20 m/s.
2.3
Calcule el valor del coeficiente N K de la fórmula de Kozeny para una sección circular
y diga a qué material corresponde si se tienen los siguientes datos:
D = 10 m ,
S0 = 0.0009,
h0 = 4.0 m ,
n = 0.014
45
2.4
Se desea transportar un gasto 2 = 1 0 0 m3/s por un canal trapecial con velocidad
V = 16 m /s, revestido con concreto (n = 0.014) y talud m = 0.25.
a) Calcule para la sección de máxima eficiencia el ancho de la plantilla b, el tirante
normal h y la pendiente longitudinal del canal S0.
b) Si b = 6.0 m y con la S0, calculada en el inciso anterior, ¿qué gasto puede llevar
la nueva sección de máxima eficiencia?
2.5
U n canal de sección rectangular con revestimiento de concreto de acabado normal
tiene sección de máxima eficiencia y debe transportar un gasto Q = 20 m 3/s con un
tirante normal h0 = 2.0 m.
a) Calcule la pendiente S0 necesaria para obtener las condiciones que se enuncian.
b) Si S0 = 0.001, ¿cuál es el nuevo gasto?
c) Calcule el gasto con la pendiente que se obtuvo en el inciso a y con un ancho de
plantilla b = 6.0 m.
46
CAPÍTULO 3
ENERGÍA ESPECÍFICA
3.1 Concepto de energía específica en un canal
En una sección cualquiera de un canal, se llama energía específica E a la suma del tirante más
la carga de velocidad en esa sección. De acuerdo con lo expuesto en el subtema 1.3.2 y lo
señalado en el 1.4.1 y en 1.5, la energía específica es entonces la suma de las energías de
presión y cinética por unidad de peso del conjunto de partículas del fluido que form an la sección
mencionada, es decir:
V 2
E = h eos Q + a ---2g
(3.1.a)
expresión que puede tam bién escribirse en la forma:
E = h eos 6 + a
R ..
2g A 2
(3.1.a’)
Es posible analizar la expresión anterior según dos puntos de vista, a saber:
1. Para un gasto constante Q0, estudiar la relación h = f (E) y
2. Para una energía específica constante E 0, estudiar la relación h = f (Q).
El prim er enfoque nos permite observar que para un gasto dado existen tres tipos de régimen,
que se denominan: crítico, subcrítico y supercrítico.
El segundo punto de vista es de utilidad cuando se desea estudiar el com portamiento hidráulico
de dossecciones de
un escurrim iento en que la energía específica sea constante (E0),
o pueda
considerarse como tal sin cometer error apreciable.
Enseguida se describirán cada uno de los tres tipos de régim en mencionados en el prim er
enfoque.
47
3.2 Relación h = / (E) para un valor Q0 conocido
El lugar geométrico de la expresión 3 .1 .a ’ es una curva con dos asíntotas que pueden precisarse
observando dicha expresión. En efecto:
Si h-*oo
Si h->0
£->00 , la asíntota es una línea a 45° con los ejes "E - h " .
oo , la asíntota es el eje
Lo anterior queda expresado en la figura 3.1.
FIGURA 3.1 Variación "h-E" para Q constante
Examinando la figura 3.1 pueden obtenerse algunas conclusiones importantes. Por ejemplo, para
una energía específica cualquiera E0, existen dos posibles tipos de escurrimiento: uno con un
tirante h¡ y una velocidad V¡, y otro con un tirante m ayor h2 y una velocidad m enor V2. Además,
existe un punto singular que corresponde a la energía específica m ínim a posible y que se
caracteriza porque está representada por un solo tirante (hc, en la figura) a diferencia de todos
los dem ás casos en los que
E ¿¿Em in,
~
48
Se llama sección crítica en un escurrimiento a superficie libre a aquella en que la energía
específica es la mínima posible para el gasto de dicho escurrimiento. Si el régim en está
establecido, se dice que es crítico cuando dicha energía es la mínima posible a lo largo de todo
el canal, y con ese nom bre se designan todas sus características hidráulicas "tirante crítico" (hc),
"pendiente hidráulica crítica" (Sc), "velocidad crítica" (Vc), etc.
Si el tirante es m ayor que el crítico (h2), el régim en se denomina subcrítico o lento, y cuando
es m enor (/z7), supercrítico o rápido.
El comportamiento de un escurrimiento está íntimamente relacionado al tipo de régim en a que
esté sometido y por esta razón es importante conocer dicho régim en. La form a más sencilla de
identificar un determinado régimen, es compararlo con las características que dicho régim en
tendría si fuera crítico. Es decir, una vez determinado el tirante crítico h c, se com para con el
disponible h y se concluye lo siguiente:
h > hc
h = hc
h < hc
régim en subcrítico o lento
régim en crítico
(3 .2 .a )
régim en supercrítico o rápido
Por otra parte, la sección crítica puede garantizarse siempre que en un canal con flujo uniforme
se pase de una pendiente menor que la crítica o una mayor, tal como se indica en la figura 3.2.
A estas secciones se les llama secciones de control.
re'
¡en sub crítico
C
FIGURA 3.2 Sección de control
49
En la figura 3.2 se ha designado con h0l al tirante normal a régim en subcrítico (con la pendiente
S01) y con h02 al tirante normal a régim en supercrítico, correspondiente a
Teóricam ente, en la cresta de un vertedor, cuando aguas arriba el flujo está en la zona
subcrítica, tam bién se presenta el tirante crítico, lo que puede com probarse con un análisis
semejante al anterior u observando que es precisamente en dicha cresta donde se presenta la
energía específica mínima, como se distingue claramente en la figura 3.3.
E¡ > E2 > E3 > E4 < E 5 < E 6 ;
E mínima = E4 (en la cresta)
FIGURA 3.3 Sección crítica en la cresta de un vertedor
3.2.1 Determinación de la sección crítica
Un escurrim iento se comporta en form a particular según el tipo de régim en a que esté sometido,
especialmente en casos de cambios de sección o de pendiente como se estudiará después.
Si la sección crítica, talcomo sedefinió en el
tema 3.2, se presenta cuando la energía específica
es la mínima posible para un gasto dado, pueden encontrarse
sus características aplicando el
criterio de la prim era derivada a la expresión 3 .1 .a ’. En efecto, derivando E con respecto a h,
se tiene:
dE = i _ a Q ^ dA
dh
g A 3 dh
50
^ 2 .b)
Ahora bien, en la figura 3.4 se observa que, para una sección cualquiera, si se llama B al ancho
de la superficie libre, se cumple:
dA = B dh
(3.2.b’)
— = B
dh
FIGURA 3.4
Al sustituir la expresión anterior en 3.2.b e igualarla a cero, se obtiene que en la sección donde
la energía específica es mínima, se cumple:
Esta igualdad nos perm ite calcular el tirante crítico para cualquier sección, si conocemos el gasto
y, desde luego, la geom etría de dicha sección.
Como el térm ino de la izquierda es constante, puede resolverse el problem a por tanteos o
dibujando una gráfica del tipo que se indica en la figura 3.5, en la cual se representa la curva
h
f (A /B) para la sección deseada y cuando este valor es igual a Q 2/g , se tiene hc en el eje
de las abscisas.
51
FIGURA 3.5
En realidad, el cálculo del tirante crítico por tanteos no es tan rápido como podría desearse, por
lo que en algunas secciones geométricas especiales se reduce la fórmula 3 .2 .c a expresiones
sencillas como se expondrá más adelante.
Por otra parte, si se llama tirante medio a la relación:
h
= -B
(3.2.d)
Y si nos referimos a la sección crítica, al sustituir esta expresión en la 3.2.C y aplicar el
principio de continuidad, se comprueba la validez de la relación:
^ mc = a
2
2g
(3.2.e)
Es decir, la carga de velocidad en una sección crítica es igual a la mitad del tirante medio en
dicha sección.
52
De la expresión anterior, puede también despejarse la velocidad crítica, cuyo valor es entonces.
y en form a semejante se obtienen otros parámetros para la sección crítica como es, por ejemplo,
la pendiente hidráulica crítica S c.
3.2.2 Cálculo del tirante crítico
La solución de este problem a parte siempre de la condición general 3 .2.c, pero en ocasiones
pueden evitarse los tanteos, como sucede en los siguientes casos:
a) Sección rectangular
Si la sección es rectangular: hmc = h c , por lo que las expresiones 3 .2 .d y 3 .2 .e son válidas para
el tirante crítico real.
Por otra parte, en las secciones rectangulares a menudo conviene usar el concepto de gasto por
unidad de ancho del canal, llamado gasto unitario y se designa con la letra q, luego su valor es:
(3.2.g)
que equivale a:
(3-2.g’)
Sustituyendo esta definición en 3 .2 .e (para canales rectangulares) se tiene que el tirante crítico
en un canal rectangular puede calcularse con la expresión:
(3.2.h)
hc = 3 a —
,
§
53
Otra característica de la sección crítica en ún canal rectangular es que en ella se cumple la
condición:
lo que puede comprobarse fácilmente con las relaciones 3.1.a y 3 .2 .e. Esto quiere decir que
teóricamente, este es el valor del tirante en la cresta de un vertedor, ya que ahí se tiene una
sección crítica, tal como se explicó anteriormente. En realidad, el tirante crítico se presenta
ligeramente aguas abajo de la cresta.
En ocasiones es conveniente referirse al número de Froude para saber qué tipo de régim en se
tiene, sobre todo en canales rectangulares. En efecto, el número de Froude es por definición:
{g h
y la condición 3 .2 .f para la sección crítica puede escribirse, aceptando que a = 1:
V 2
—c— = 1 ,
SK
o F r1 = 1 ,
o Fr = 1
lo que permite decir que una vez calculado el Fr para un caso específico, se cumple lo siguiente:
Si Fr > 1, el régim en es supercrítico o rápido
Si Fr = 1, el régim en es crítico
(3-2.j)
Si Fr < 1, el régim en es subcrítico o lento
Desde luego, es posible aplicar estas condiciones a una sección distinta de la rectangular, si se
refieren al tirante medio, tal como se definió en 3 .2 .d.
54
b) Sección triangular
Para una sección triangular, como la de la figura 3.6, la condición general 3.2.c toma la forma:
,Q2- _ (m fhi Ct)f _
i i 5c
= m2
g
2m h c
2
a{j
FIGURA 3.6
luego, el tirante crítico es:
hc
2a
5
y
8
(3.2.k)
Q
m
c) Sección trapecial
Para el caso de la sección trapecial, que quizá sea la más usada, el tirante crítico no puede
obtenerse explícitamente como en los dos casos anteriores. Sin embargo, en un gran número de
casos, puede reducirse el número de tanteos si se usa la fórmula aproximada de Agroskin (1944)
que dice:
hn ci
1 - -
+ 0 .1 0 5 a :
h CR
(3.2.1)
en que /zCT es el tirante crítico que se busca (canal trapecial) y hCR es el crítico que tendría un
canal rectangular de ancho igual al ancho de plantilla del canal en estudio con el gasto total Q.
55
Así, según la figura 3.7:
h CR = 3 a
Q1
(3.2.m )
gb‘
,
FIGURA 3.7
o es un coeficiente cuyo valor es:
b
Esta fórmula no es utilizable cuando o > 1 , además en el rango de o < 1 da resultados
generalmente un poco menores que los reales, por lo que es recomendable com probar siempre
con la expresión general 3.2.c. Pueden también usarse gráficas como la que presenta Chow
(1959). Cuando a > 1 , se recomienda empezar los tanteos (utilizando 3.2.c) con un 90% del
valor obtenido con la expresión 3.2.m .
3.2.3 Relación h = f (E) para diferentes gastos
De acuerdo con la expresión 3.2.c, para cada gasto que pase por un cierto canal, se tiene un
tirante crítico diferente. Una observación rápida de dicha expresión, nos llevará a la conclusión
de que mientras mayor sea el gasto en una sección, los tirantes críticos correspondientes serán
más grandes, y una serie de gastos haría que las funciones h = f (E) fueran una familia de
curvas, como la que se indica en la figura 3.8 para el caso de sección rectangular.
56
E
FIGURA 3.8
3.3 Relación h = f ( Q ) para un valor E 0 conocido. Principio del gasto máximo
Supongamos que en una sección se tiene una energía específica E 0 , (eos 6 ~ 1 ), es decir:
E no = h + a
Q2
á2
2g A '
(3 .1 .a” )
si se despeja Q se tiene:
Q =A
2g (En - h)
(3.3.a)
a
donde se observa que hay un valor distinto de Q para cada h. El lugar geométrico es una curva
de tipo parabólico, que para <2 = 0 implica:
h= E0
y
h =0
ya que en este último caso, el área hidráulica A es nula.
57
Además, la parábola tiene un valor de Q máximo que puede determinarse con el criterio de la
prim era derivada en la siguiente forma:
dQ _ dA
dh
dh
1/2
- h)
a
.
,
—
A
+ —
2
^
a
1/2
(E0 - h)
a
Simplificando y recordando que
dA
=B
dh
(3.2.b’)
se llega a:
dQ
dh
2 g B (E0 - h) - — A
a
a
a
(E0 - h)
e igualando a cero se obtiene el valor de Q máximo buscado, es decir:
2B (E0 - h) = A
Al sustituir el valor de E 0, según la definición 3.1.a, y aplicar el principio de continuidad, se
deduce que el gasto máximo se presenta cuando se cumple la condición:
es decir, cuando el régim en es el crítico, según se demostró en 3.2.1 (expresión 3.2.c).
Lo anterior significa que en las secciones críticas, además de que se tiene la energía específica
mínima para un gasto dado, dicho gasto es el máximo que puede pasar por esa sección,
propiedad conocida como principio del gasto m áxim o.
58
En la figura 3.9 se representa la parábola h - Q con las características señaladas.
FIGURA 3.9
Sección rectangular
Desde luego, si la sección transversal del canal es rectangular, siendo A = Bh, la expresión
3 .3.a puede escribirse usando la definición (3 .2 .g):
a.
(.E0h 2 - h 3)
(3.3.a’)
expresión que derivada respecto a h e igualada a cero conduce a la determinación del tirante h,
correspondiente al de q máximo posible para la energía específica constante E 0. Dicho tirante
es, entonces:
propiedad de la sección rectangular para una sección crítica que ya se había demostrado. En la
figura 3.10 se expresa la ley h - q para este caso:
59
FIGURA 3.10
Y al sustituir 3 .2 .i en 3 .3 .a ’ y realizar los cálculos indicados, se obtiene la expresión:
q mea, = 1.705
tí
Eo
—
a
(3.3.b)
Observando ahora las figuras 3.9 y 3.10, válidas para una energía específica E 0 fija, conviene
hacer los siguientes comentarios:
1.
Dado el gasto Q0 existen dos posibilidades de tirante h2 o h¡ , según sea
el régimen subcrítico o supercrítico, respectivamente.
2.
La excepción a lo anterior es cuando el régimen es el crítico en que hay
un solo tirante h c y E 0 es la mínima posible en la sección para el gasto Q0
dado.
3.
La parábola debe entonces interpretarse como válida en uno o dos puntos
(a y b o c), respectivamente en las figuras 3.9 y 3.10 para una E 0 y un Q0
dado, y se comete un grave error de concepto si se usa para calcular
tirantes críticos usando propiedades como la 3 .2 .i, ya que eso sería válido
sólo en el caso de que, tratándose de un canal rectangular, la E0 fuera la
mínima posible para el gasto Q0 (Véanse las figuras 3.1 y 3.8). Entonces,
los tirantes críticos deben calcularse únicamente como se explica en 3.2.2.
60
Para aclarar m ejor la tercera observación, se analizará el siguiente ejemplo numérico.
Ejemplo 3.1
Un canal rectangular tiene los siguientes datos:
Q = 20 m 3/s
h = 4 m
B - 16 m
Calcule:
a) La energía específica.
b) Las zonas de régimen subcrítico, crítico y supercrítico.
Solución:
a)
Para la energía específica habrá que calcular primero la velocidad, luego:
y =
20
16x4
= 0.3125 m/s ;
V i2
_ L = 0.00498 m
2g
E = h + — = 4.00498 m
28
b)
El tirante crítico está dado por la expresión 3.2.h:
1.5625
9.81
n _.
= 0.54 m ;
q = — = 1.25 m 3/s/m
H
16
Luego, si:
h > 0.54, el régimen es subcrítico
h < 0.54, el régimen es supercrítico
h = 0.54, el régimen es crítico
Comentarios:
1)
Como h = 4 m > 0.54, el régimen es subcrítico.
2)
El máximo de la parábola se presenta para h = 2/3 E, es decir,
para h = 2.67 m, pero este tirante de ninguna manera es el
crítico, ya que la energía específica no es la m ín im a posible
para ese gasto. En efecto, la energía específica m ín im a de que
se habla es:
20
16 x
3)
2
0 .5 4
Por otra parte, como puede deducirse usando la expresión 3 .3 .b
para a
= 1, el tirante h = 2.67 m
sólo sería crítico si el
gasto fuera q = 13.665 m3/s/m y no 1.25 m3/s/m , como es el
caso de este ejemplo (Véase el tercer comentario del tema 3.3
referido a las figuras 3.9 y 3.10). Con el fin de aclarar más las
propiedades de la energía específica, se presenta el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 3.2
El canal de la figura es de sección rectangular y ancho constante. Tiene un gasto unitario q = 2 m3/s/m.
Determine h2 si hf
62
= 0 y S0 = 0.
Solución:
La energía específica en la sección 1 es:/
2S
y según 3.2.g’:
=
= 1.25 mis
/z,
1.6
1.6
(1-25)2
2 (9.81)
E x = 1.679 m
Aplicando ahora la ecuación de la energía entre 1 y 2, se tiene:
h
V*
,
^
' * 2J ~ h^ 2 Í * A7- ’ < V 2 = °)
donde:
2
V2 = Th2 = Th2
y
E2 = i-679 - 0.18 = 1.499 m
Sustituyendo valores:
1.499 = hL + £ H _
2
2(9.81)
1.499 = E +
0.203
lh
Así:
h¡ - 1.499 h-2 + 0.203 = 0
Las raíces del polinomio son:
h2 = 0.4373
h2” = 1.3946
h ’” = - 0.3329
63
Para saber cuál es el valor correcto es necesario calcular el tirante crítico (canal
rectangular):
hc = 3 i !
C , g
hc < h, = 1.6 m
= 3 S -L
, 9.81
= 0.7415 m
es régimen subcrítico.
Desde luego, se descarta h ’” ya que se trata de un valor negativo. El valor correcto puede
definirse con ayuda de las curvas h - Q para las dos energías específicas E, y E2.
En efecto, en el dibujo se puede observar que si el nivel llegara hasta el tirante h2’ en la sección
2, en alguna sección intermedia de la sobreelevación el gasto unitario q tendría que ser mayor
que 2 m3/s/m, alcanzar el valor máximo y empezar a disminuir hasta llegar nuevamente en la
zona supercrítica a q = 2 m3/s/m. Esto no es posible, ya que el ancho es constante y por lo tanto
q también lo esi Entonces, la solución correcta es h2' = 1.39 ni.
Ei
E
o
<D
E = efe.
E2= 1.5 Om
hg = 1 3 9 m
h = l.60m
^maX| =
64
3.71 m’ /b /m
Ejercicios propuestos
3.1
En la figura se representa un canal rectangular de ancho constante e igual a 10 m.
Encuentre la altura máxima del escalón (Az) si se tiene un gasto de 25 m3/s y la energía
especifica en la sección 1 es igual a 1.50 m. Las pérdidas son despreciables.
1W//M
Vo
3.2
rVo
T/.-. =
Az =?
En los siguientes casos se presenta la energía específica m ínim a posible. Determ ine el
gasto correspondiente y el número de Froude para el inciso b.
a)
h = l.5m
b)
,l
V
—
h= l . 25m
-b = 5 m
65
CAPÍTULO 4
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
En el capítulo 2 se explicó que el flujo gradualmente variado es producto de un desequilibrio
entre las fuerzas de gravedad que provocan el escurrimiento y las de fricción que se oponen
a él. A continuación se hará referencia a flujos de este tipo en canales prismáticos (véase nota
al pie de la página 4).
Generalmente la existencia de un cambio de pendiente o de una alteración en alguna sección
de un canal es la causa de la formación del régim en gradualmente variado; aunque no se
presenta en la parte alterada sino en las zonas aguas arriba y aguas abajo de ella.
Las características atribuidas a los conductos, en donde típicamente se presenta el flujo que
nos ocupa, no son obviamente cauces naturales, sino necesariamente canales construidos por
el hombre. Esto hace que el conocimiento de las leyes a que está sometido el flujo
gradualmente variado sea de gran importancia para el ingeniero.
4.1 Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado
Consideremos dos secciones de un flujo gradualmente variado separadas una distancia dx tal
como se indica en la figura 4.1, y tomemos un eje vertical Y, medido a partir de la plantilla,
y otro longitudinal X alojado en el plano de dicha plantilla, de manera que el origen de
ambos ejes esté localizado en la sección a partir de la cual deseamos hacer el análisis.
De acuerdo con esto, en la figura se describe con la variable y, el desnivel entre la plantilla
y la superficie libre del agua y se indica su valor en las dos secciones mencionadas siguiendo
las leyes del cálculo diferencial.*
Respetando la costumbre, se considerarán las pendientes como positivas cuando están como las
que se indican en la figura 4.1, independientemente del signo que tengan de acuerdo con los ejes X-Y.
67
Si se desea aplicar la ecuación de la energía entre las dos secciones indicadas en la figura,
debe observarse que para cada desnivel y, la carga de presión real en la plantilla
es y cos20 como puede verse en la figura 4.1 y de acuerdo con lo señalado en el tema 1.5
(expresión 1.5.c). Con base en estas consideraciones, la ecuación de la energía adquiere la
forma:
V 2
V2
Sndx cosd + y cos20 + a
= (y + d y ) eos26 + oc—— + a d
0
J
2g
2g
V2
2g
que simplificado queda:
^-y cos2d + — — ( V 2)
dx
2 g dx
dhf
Sr. eos 8 - — 0
dx
(4.1.a)
ahora bien, el término — ( V 2) que equivale a:
dx
_^_(V 2) = —
dx
dx
y como:
68
Q
A
2Q
2 dA
dx
(4.1.b)
dA
dx
dA d y
dy dx
dA dh dy
dh d y d x
si 6 es pequeño de m anera que puedan confundirse su seno y su tangente, es posible aceptar
que h = y eos6 (véase figura 4.1), por lo que:
dh
a
— = eos6
dy
Utilizando esta consideración y la 3 .2 .b ’, la expresión anterior equivale a:
—
dx
= B cosd Q
dx
que sustituida en 4 .1 .b, da como resultado:
J L ( V 2) = - 2 ^ B cos6
dx
A3
dx
(4 .1 .b ’)
y como dhf /dx es, por definición, la pendiente hidráulica S en el tramo considerado, al
sustituir esta definición y la expresión 4 .1 .b ’ en la 4 .1.a, y al hacer las simplificaciones
convenientes, se tiene:
— cos20 - a ® ^ cose
dx
gA 3
dx
—
SQ cose - S
0
S0 cose - s
dy _
dx
=
1a - a —Q 2 B cosea
cos¿e
gA¿
(4.1.c)
-----------------
que es la ecuación del flujo gradualmente variado.
Si recordamos que el tirante medio es:
K = i
B
(3.2.d)
puede escribirse la expresión 4.1.c:
dy _
dx
S0 cose - S
2
Q 2cose
cos¿e - a —
A 2s hm
--------------------------
69
y expresando el número de Froude en la forma:
Fr
= _ L
,J-----
la ecuación del flujo puede escribirse:
dy
S0 cosd - S
(4.1. d)
eos 6 - a F rn cosd
y si 6 es m enor de 10°, cos0 = l y la ecuación se simplifica a:
dy
S0 ~ $
(4.1 .d ’)
1 - a.Fr„
Desde luego, si el canal es rectangular, h = hm y Frm = Fr
La ecuación del flujo variado, en su forma 4 .1 .d o 4 .1 .d ’, describe el perfil de la superficie
del agua según se com porten las variables Frm y S a lo largo del eje X, en relación con la
pendiente longitudinal constante S0. En efecto, observando la figura 4.1 y la ecuación 4 .1 .d ’
puede deducirse que los distintos tipos de flujo gradualmente variado son:
a)
Si
< 0 o flujo gradualmente acelerado.
b)
Si ^
> 0 o flujo gradualmente retardado.
c)
Si ~
~ 0> y = cte. y por consiguiente, también h
cte.
Se tiene un flujo uniform e, que con base en la ecuación 4.1 ,d ’,
puede concluirse que en realidad es un caso particular del flujo
gradualmente variado, en el que, además, S0 puede considerarse
igual a S, si su valor es menor de 10°, como se supuso al
escribir dicha expresión.
70
d)
Si - ^ - - > 0 0 se tendrá una discontinuidad en el perfil de la superficie
dx
libre, tendiendo ésta a hacerse vertical. Esto sucede cuando el
denom inador de la ecuación 4 .1 .d ’ se acerca a cero, es decir, cuando
el segundo térm ino del denominador es prácticamente 1, o lo que es
lo mismo, en el instante en que la sección se hace crítica, ya que allí
habrá de cumplirse la condición 3.2.j para que esto suceda (Fr = 1).
4.2 Concepto de pendiente hidráulica en flujo variado
Antes de analizar detenidamente la ecuación del flujo variado (4. l . d ’), obsérvese que en este
tipo de flujo los parám etros Frm y S cambian de una sección a otra. Por lo que respecta al
número de Froude Frm, no hay duda que es una característica de cada sección del
escurrim iento. Pero, ¿cuál es la pendiente hidráulica S en una sección determinada?
Recurriendo al cálculo diferencial podemos definir a la pendiente hidráulica como la
derivada de la pérdida por fricción con respecto a la variable que indica el desplazamiento
del flujo. Desde luego, para calcular dicha derivada habría que conocer de antemano la
función que relacione ambas variables. Como esta función generalmente no se conoce, sigue
la duda: ¿cómo calcular la pendiente hidráulica en una sección de un flujo variado, si sólo
se dispone de fórmulas para flujo uniforme?
Lo que se hace es suponer que, aunque de una sección a otra varíen los tirantes, si nos
referimos a un tramo suficientemente corto para que sus dos tirantes puedan considerarse
iguales, en ese pequeño tramo podemos aceptar que existe un flujo uniform e y calcular el
valor de S para la sección en estudio, aplicando fórmulas del tipo de las 2 .1 .c o 2 .l.d con
los valores de R y V que corresponden a dicha sección.
4.3 Características y clasificación de perfiles en flujo gradualmente variado
Cuando se conoce el tirante en una sección de un escurrimiento gradualmente variado y se
desea determinar todo el perfil de la superficie del flujo, partiendo de este tirante, el camino
más lógico es dividir el canal en tramos longitudinales y aplicar entre ellos la ecuación de
la energía en form a sucesiva. El procedimiento se describirá con detalle al final de este
capítulo, pero basta por ahora observar que a partir de una sección 1 conocida se puede
calcular el tirante de otra sección 2 resolviendo la ecuación (véase figura 4.2):
71
VS
.
V 2
+ h x + —— = h 2 + — + h
fl-2
2g
2g
que resulta aplicable para pendientes pequeñas (0 < 10°) donde se puede considerar
que h = y
La perdida por fricción hf¡ ¡ puede determinarse con los datos conocidos de la sección 1 y
si el tramo no es muy largo, prácticamente no difiere del valor real (después se m ostrará que
debe calcularse con los datos de ambas secciones). Esto reduce la ecuación anterior a:
i
Vi
h2 + —
= cte.
Ecuación que se satisface para dos valores positivos del tirante h2. Obviamente sólo uno de
estos tirantes es el correcto y habrá que definir cuál es.
Un análisis de la ecuación 4 .1 .d ’ nos muestra claramente el perfil que debe seguir la
superficie del agua a partir de la sección en estudio, cuyo tirante es h, , y con esta
inform ación podemos seleccionar fácilmente el tirante correcto entre las dos posibilidades que
se mencionan. Como se verá, la probabilidad de equivocarse en el cálculo de h2 , es tanto
m ayor cuanto se esté más cerca del tirante crítico h c.
A continuación se describen los tipos de perfiles que pueden presentarse en un escurrimiento
72
Caso 1. Pendiente longitudinal del canal S 0 menor que la pendiente crítica S c del
escurrimiento
Cuando u n canal funciona en estas condiciones, indicadas en la figura 4.3, es evidente que
si el régim en estuviera establecido sería subcrítico. En adelante, llamaremos h 0 al tirante
correspondiente a un régim en uniform e o establecido en un canal cuya pendiente longitudinal
. sea S0, tal como se hizo en el tema 3.2.
FIGURA 4.3
Como ya ha sido señalado, el régim en variado se caracteriza porque sus tirantes son
diferentes del norm al, por lo que pueden encontrarse en las siguientes tres posiciones:
P O S IC IO N E S :
(Figura 4.3)
Prim era
(perfil 1-a)
h > h0
Segunda
(perfil 1-b)
h0 > h > h c
Tercera
(perfil 1-c)
h < hc
73
Para valores pequeños de S0 (6 < 1 0 °), el escurrimiento puede analizarse con base en la
ecuación del flujo gradualmente variado que, para estas condiciones, tiene la forma (véase
tema 4.1):
dy _
dx
S0 - S
(4.1.d’)
1 - a F rí
En efecto, enseguida se determinará el tipo de perfil que tiene la superficie del agua para
cada posición del tirante.
a) Primera posición
En esta posición se tienen las siguientes características: h >h >h
0
Por consiguiente:
S < S0
Ya que la pendiente hidráulica, que tendría un canal con
flujo establecido y tirante h, sería forzosamente inferior a la
correspondiente al tirante h0 para el mismo caso.
-Frm < 1
Con el tirante h el flujo establecido sería subcrítico y debe
cumplirse esta condición (3.2.j).
Aceptando a = 1 , las dos conclusiones anteriores nos indican que tanto el numerador
como el denominador de la ecuación 4 .1 .d ’ son positivos y, por consiguiente, también lo
es la derivada, es decir:
dy = H ____ > = + (
dx
+( )
,
*
Esto significa que en la dirección del eje X (hacia la derecha del dibujo), el tirante h debe
ir aumentando. Ahora bien, ¿hasta dónde aumenta? Un razonamiento sencillo nos da la
respuesta. En efecto, si h aumenta, S y Frm van a disminuir y llegarán juntos a cero
cuando no haya movimiento (V = 0). En ese momento el perfil estará descrito por la
ecuación:
El paréntesis indica que el valor numérico no nos interesa, si sólo se desea conocer el signo de
la derivada.
74
^d x
=S„
0
es decir, el perfil se acerca asintóticamente a una línea horizontal, ya que el tirante
aumenta debido exclusivamente a lo que baja longitudinalmente la plantilla del canal (véase
figura 4.3).
El hecho de que la derivada sea positiva, significa también que hacia la izquierda de la
figura 4.3, en dirección opuesta al flujo, el tirante debe disminuir. Luego, esto implica que
aumente S y Frm, es decir, que S se acerque a Sn y Frm se aproxime a 1; pero, ¿qué sucede
prim ero? El tirante llega antes a la línea de los tirantes normales que a la de los críticos;
después, en el límite S llegará a ser igual a S0 antes de que Frm llegue a ser igual a 1 (lo
que no sucede nunca), y la ecuación tendrá la forma:
i l -o
dx
o h = cte. = h 0 (flujo uniform e), esto es, el flujo hacia la izquierda tiende a hacerse
uniform e, acercándose suavemente a la línea h = h0 y allí se establece el equilibrio que
lo convierte en flujo uniform e o establecido. El perfil para este caso se ha indicado en la
figura 4.3 con la curva 1-a y en la figura 4 .4 .a se indica para un caso real.
b) Segunda posición
Si h0 > h > h c, se cumple:
S > s0
Frm < 1
por lo tanto:
dy
dx
- -(
)
15
El tirante decrece hacia la derecha y cuando se acerca al nivel del tirante crítico:
Frm = 1 , la derivada se aproxima al valor infinito, es decir:
dx
lo que significa que existe una discontinuidad con tendencia a que el perfil sea vertical.
Hacia la izquierda, el nivel sube hasta que S = S 0 y el flujo tiende asintóticamente a
hacerse uniform e como en el caso anterior. El perfil descrito corresponde a la curva 1-b
de la figura 4.3, y un ejemplo real es el indicado en al figura 4.4.b.
c) Tercera posición
Si h < hc, el flujo tiene las siguientes propiedades:
S > S0
Frm > 1
por lo tanto:
El tirante aumenta hacia la derecha, cuando llega a la línea de los tirantes críticos: Frm =
1 y aparece una discontinuidad con tendencia a la vertical. Hacia la izquierda aum entan
Frm y S, alejándose cada vez más de sus límites. Este es el caso típico de perfil que se
forma a la salida de una descarga de fondo cuando el canal tiene pendiente subcrítica
(curva 1-c de la figura 4.3). En la figura 4 .4 .c se indican un perfil real para este caso.
76
FIGURA 4.4 Ejemplos de perfiles del caso 1 (S0 < Sc).
Caso 2. Pendiente longitudinal del canal S0 mayor que la pendiente crítica Sc del
escurrimiento
77
En este caso el flujo establecido sería supercrítico. Esto significa que el tirante normal h0 es
m enor que el crítico, lo que equivale a que la pendiente hidráulica a régim en establecido S0
es m ayor que la pendiente correspondiente a régim en crítico Sc.
FIGURA 4.5
Las posiciones que pueden presentarse son:
PO S IC IO N E S :
(Figura 4.5)
Primera
(perfil 2-a)
h > hc
Segunda
(perfil 2-b)
h c > h > hQ
Tercera _
(perfil 2-c)
h < h0
Al analizar cada posición se observa lo siguiente:
a) Primera posición, h > hc
En esta situación se tienen las características:
S< S0
Frm < 1
78
FIGURA 4.6. Ejemplos de perfiles del caso 2 (S0 > Sc )
79
Luego, la ecuación 4 . l . d ’ quedaría:
dx
=
+(
> = ♦(
)
>
El tirante aumenta hacia la derecha, lo que implica que en esa dirección disminuya S y
Frm. Estos valores llegan a ser nulos como en el caso del perfil 1-a, ya que, en el límite:
dy
dx
¿o ;
(S = Frm = 0 )
Hacia la izquierda el tirante baja y, cuando llega al nivel del tirante crítico, aparece una
discontinuidad con tendencia a hacerse vertical, tal como se indica en el perfil 2-a de la
figura 4.5 y en el caso real mostrado en la figura 4.6.a.
b) Segunda posición
Si h c > h > h0 , el flujo tiene las características:
S < So
Frm > 1
Luego, la ecuación 4 . l . d ’ queda:
lo cual significa que, hacia la derecha, el tirante debe bajar. Esto implica que en esta
dirección S aumenta y al llegar al valor de S0, la ecuación del flujo es:
— =0
dx
h = cte. = hn
es decir, el flujo tiende a hacerse uniform e de acuerdo con las características del canal.
De la sección en estudio hacia la izquierda, el tirante debe aumentar, lo cual significa que,
80
en cada sección sucesiva, Frm irá disminuyendo y al tocar la curva del tirante crítico tendrá
el valor 1, por lo que:
d yJ
dx
- >
00
y aparece una discontinuidad con tendencia a que el flujo se haga vertical (perfil 2-b de
la figura 4.5 y en el ejemplo señalado en el perfil b de la figura 4.6.b).
c) Tercera posición
Si h < h0 , se tiene:
S > S0
Frm > 1
por lo que la ecuación 4 .1 .d ’ tiene la form a:
Entonces, el tirante aumenta hacia la derecha y al llegar a la línea del tirante norm al S
alcanza el valor S0 , por lo que:
— =O
dx
h = cte. = h„
Luego, el flujo "se estabiliza" o se hace uniform e. A la izquierda los valores de Frm y S
aum entan constantemente. Este caso, que es también similar al anterior (figura 4.3, curva
1—
c ), es típico de una descarga de fondo, aunque la concavidad del perfil es contraria a la
vista antes. Este caso se representa con el perfil 2-c de la figura 4.5 y un ejemplo real se
indica en la figura 4 .6.c.
81
Caso 3. Canal cuya plantilla es horizontal
En este caso, figura 4.7, se tiene:
S0 = 0
La ecuación 4.1. d ’ queda:
dy
0 - S
dx
l - a F rl
Y el tirante puede estar en las siguientes posiciones:
la.
h > h Cr
2a.
h
3a.
h < h
=
- K
Frm < 1
F rm
Fr
=
1
> 1
dy
dx
y
J
dy
dx
y
- S
+ (
= - (
)
oo (posición inestable)
^y_
dx =
yv
)
- S
(
)
(
)
Y
FIGURA 4.7
Un análisis semejante a los anteriores llevará a que la prim era y tercera posiciones
correspondan a los perfiles 3-a y 3-c respectivamente, tal como se indican en la figura 4.7.
El perfil asociado a la segunda posición es claramente inexistente, lo que significa que si en
alguna sección se forzara este tirante, inmediatamente cambiaría su valor quedando en alguno
de los otros dos casos.
82
Como ejercicio se recomienda al lector dem ostrar que los perfiles correspondientes a los
casos 4 y 5, que se especifican a continuación, son los indicados en las figuras 4.8 y 4.9,
respectivamente.
Caso 4. Canal con pendiente crítica
En esta situación, el tirante normal h0 es igual al crítico hc y por consiguiente S0 = S c.
Y
FIGURA 4.8
En este caso, al acercarse h a h c, existen las dos tendencias, a saber: perfil vertical y asíntota
a la línea de los tirantes críticos. Lo que realmente sucede, es que en ese punto hay una
indeterminación que trae por consecuencia que esta zona sea inestable.
Se ha visto que el flujo variado se presenta siempre que S ^ S() , sin im portar los valores
que adquieran estos parám etros. En realidad, lo verdaderamente necesario para que el agua
fluya por una sección, es que la pendiente hidráulica S sea positiva ya que la pendiente
longitudinal S0 puede ser inclusive nula o aún negativa, como en los casos 3 y 5,
respectivamente.
83
Caso 5. Canal con pendiente negativa (S 0 < 0)
Y
Ejemplo 4.1
Identifique el tipo de perfil para cada uno de los siguientes casos si:
Q = 273.4 m 3ls,
84
n = 0.016,
B = b = 48 m
y
S0 = 0.02
c)
Solución:
a)
A = 81.6 m2; P = 51.40 m; R =
S =
Q n Y = 0.0015;
AR2
81.6
= 1.5875 m
51.40
^ ^ 5.70 m 3/slm
B
q
1/3
1.49 m\ A r = 71.52 m 2; Pr = 50.98 m
hc =
R
= 71.52 = L403 m
c
50.98
„ = 0 00238
c
Cálculo de hn
A = 48 h;
_
P = 48 + 2h;
Qn
C 1/2
R =
48h
48 + 2/z
( 1)
30.93
^0
Iterando hasta cumplir con la igualdad (1)
r
2/3
h0(m)
A(m2)
P (m)
AR2'3
0.50
24.00
49.00
0.62
14.91
0.80
38.40
49.60
0.84
32.38
0.78
37.44
49.56
0.83
31.06
= 30.93
Por.lo tanto hn — 0.78 m.
Entonces como S0 > Sc > S -> hn < hr < h; Fr < 1, nos encontramos en la zona
85
subcrítica del caso 2. Ahora, de la ecuación 4.1.d’ puede concluirse:
dy _ +
~
- + (Figura 4.5, curva 2-a)
dx
b)
Si h = 0.4 m, Ac = 1.49m y Sc = 0.00238, siendo hc > A; Sc < S, por io lanto
Fr > 1 (zona Hipercrítica) y como también S0 > Sc , h„ < k c y al ser h0 > h, S, < s.
que resumiendo, significa:
$c < S0 < S; Fr > 1 y los tirantes hc > h0 > h.
Valores que en la ecuación dinámica 4.1.d’ conducen a:
dy
c)
/r,.
~ — - + (Figura 4.5, curva 2-c)
Si h = 1.00 m:
como h < h c , S > Sc y siendo que h0 < h, S0 > S; luego, Sc < S < S0 y Fr > 1
(zona supercrítica) y la ecuación (4.1.d’) indicará el siguiente signo:
dy
+
=—= -
(Figura 4.5, curva 2-b)
4.4 Secciones de control
Cuando en un escurrimiento se presenta un cambio de régimen subcrítico a supercrítico, la
sección donde esto sucede es una sección crítica, ya que es la única que puede pertenecer
simultáneamente a los dos regímenes.
Según ya se explicó en el capítulo 3, esta sección se presenta, por ejemplo, en la cresta de
un vertedor o en casos como el de la figura 4.10 (sección C) provocada por un cambio
brusco de la pendiente longitudinal del canal, al pasar de un valor m enor que la pendiente
crítica Sc a otro mayor que ella.
86
Por las misiiias razones expuestas, la sección crítica también se presenta en la naturaleza, por
ejemplo, en el origen de las cascadas o en ríos en que haya cambios bruscos de pendiente.
C
FIGURA 4.10
La sección crítica se provoca artificialmente en algunas obras de ingeniería como sucede al
principio de los canales de descarga, comúnmente llamados "rápidas", los cuales trabajan a
régim en supercrítico y se usan con frecuencia en las obras de excedencia. En este tipo de
obras, a menudo se fuerza al flujo a cambiar bruscamente de subcrítico a supercrítico (al
em pezar la rápida propiam ente dicha) haciendo el cambio de pendiente necesario.
Es precisamente en estos casos cuando a estas secciones críticas se les llama "secciones de
control", nombre que se justifica por la razón que se expondrá a continuación.
La importancia de la sección de control radica en el hecho de que, sabiendo de antemano que
allí se va a tener siempre un tirante crítico, puede utilizarse como sección de aforos. En
efecto, si se pinta una escala lineal en las paredes de la sección de control de m anera que se
pueda leer el tirante en cualquier momento, para conocer el gasto basta sustituir el tirante y
las características geométricas de la sección en la fórmula 3 .2.c. O, inversamente, si se
conoce el gasto, puede determinarse el tirante correspondiente utilizando la misma fórmula
ya que sabemos de antemano que siempre será el tirante crítico el que se presente en esa
sección específica.
87
Un caso común donde se utilizan las secciones de control, es en las obras de excedencia
cuando se provoca un salto hidráulico (capítulo 5) y después se construye un canal de
descarga. En estos casos la sección de control se proyecta precisamente al empezar la rápida,
tal como se indica en la figura 4.11 (sección C).
;7 7 7 7
FIGURA 4.11
En estas estructuras, la sección de control puede utilizarse en el proyecto como sección
inicial en el cálculo de los tirantes a lo largo del canal de descarga, y disponer así de una
serie de perfiles de la superficie libre para distintos gastos, mismos que son necesarios tanto
para diseñar las estructuras finales de descarga, como para conocer la altura necesaria del
revestimiento a lo largo del canal.
4.5 Integración de la ecuación dinámica
El problem a consiste en obtener la función h = f(x) a lo largo de un canal prismático con
flujo gradualmente variado.
La ecuación dinámica del flujo gradualmente variado (4 .1 .c) para pendientes pequeñas
(eos 6 = 1, h = y) puede escribirse en la forma:
dh
dx
88
(4.5.a)
y siendo que:
S =
(coeficiente de rugosidad, R, V )*
y R, en un canal prismático varía sólo con el tirante h, que a su vez, en el flujo gradualmente
variado, es función únicamente de x. Por otra parte, para un caso dado, es válido el mismo
razonamiento para la velocidad V, es decir, también ésta es una función de x. Aceptando
además que en el canal en estudio, el coeficiente de rugosidad es constante, la expresión
anterior puede escribirse.
S = f 2(x)
1
y utilizando esta propiedad, se puede representar la expresión 4 .5 .a, en la forma:
dh = f(x) dx
(4.5.b)
que es una expresión teóricam ente integrable, aunque esto es posible sólo con base en ciertas
consideraciones especiales, tal como lo han hecho algunos investigadores según se explicará
a continuación.
Entre los métodos de integración de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado,
pueden mencionarse los debidos a Bresse (1860), Rühlmann (1880) y Bajmetev (1912). Estos
métodos tuvieron una gran importancia en su tiempo, ya que el otro camino es el de aplicar
sucesivamente la ecuación de la energía en tramos más o menos cortos (véase tema 4.6) y
esto implica hacer un número grande de operaciones. Sin embargo, en los últimos 25 años
ya no hay razón para detenerse ante este problema, debido a que el ingeniero tiene fácil
acceso a computadoras electrónicas y puede obtener la precisión que desee en sus resultados,
sin ninguna dificultad.
No obstante, se considera de interés presentar el razonamiento seguido al menos por uno de
los
investigadores mencionados,
ya que esto ayuda a com prender m ejor algunas
peculiaridades del fenómeno. Con este fin, se expondrá a continuación el método desarrollado
en Rusia por Boris Bajmetev. Se escogió este método, por considerarlo uno de los más
generales y porque algunas de sus hipótesis pueden ser útiles en otras aplicaciones.
* f¡, f 2 y/significan: "función de" ( _ , _ , _ )■
89
Método de Bajm etev
Entre dos secciones de un escurrimiento con flujo gradualmente variado en un canal, la
fórmula de Chézy (2 .1 .c ’) nos garantiza que se cumple la relación:
(4 .5 .C )
Bajmetev observó que para cualquier sección son válidas en forma aproximada las relaciones:
K
K
(4-5.d)
en que x, llamado por el autor "coeficiente hidráulico", depende del tipo de sección.
Por otra parte, la condición para sección crítica 3.2.C exige que se cumpla (usando 2 .1 .c ’):
A c _ Q 2 _ C 2 A q R 0 S(
Bc
8
(a = 1)
8
(los subíndices 0 se refieren a flujo establecido).
Si ahora se multiplica esta expresión por B/A3 y se recuerda que A = RP, puede escribirse:
A c B _ Q 2 B _ C 2 A 02 R0 S0
Bc ¿ 3
B
RPA:
8 A:
que, una vez multiplicado el último térm ino por C 2/C 2 y ordenando sus factores, equivale
a:
Q 2B _ A c B
gA3
Bc A 3
i
C 2 S0 B
c
2 a 02 r 0
8 P
c
2a 2 r
Llamando y al prim er factor y recordando la fórmula de Chézy (2. l . c ’), la expresión anterior
puede escribirse para el gasto Q en estudio:
Ac B
Tc
90
Q2B = . S
=1 %
ahora puede expresarse la ecuación original 4 .5 .a para a = 1
1 - 1
dh
dx
(4-5.e)
1 ~j
y según la propiedad 4.5.d:
dh _ „
~dx ~ 0
1
-
h
(4 .5 .f)
hn
1 -J
llamando:
h
r¡ = — ; d h = h0dr]
hn
al sustituir esta variable en la expresión 4 .5 .f, multiplicar su segundo miembro por (h/h0f
y despejar se tiene:
SQd x ^ yjx - j
1 ~ j dr]
rjx - 1
dr¡ = dt]
y al integrar entre dos secciones 1 y 2 del escurrimiento, queda:
2
dr]
(4-5.g)
rf - 1
en que /j_2 es la distancia entre las secciones cuyos tirantes son h, y h2.
La integral se encuentra en la literatura técnica para distintos valores de rj o puede
calcularse numéricamente.
El valor de j corresponde a la sección que es incógnita o, como recomiendan algunos autores,
debe calcularse con los valores medios de ambas secciones.
91
4 .6 Método de incrementos finitos
Si regresam os a la deducción de la ecuación dinámica, recordando que S = dhf /dx y
tomando
incrementos
(h = y ,
eos 6 = 1).
finitos,
la
ecuación
4 .1 .a
y2\
(S 0 - S ) A x = A a ---v 28
puede
escribirse
Ah
en
la
forma:
(4.6.a)
Esta expresión se refiere entonces a un tramo del escurrimiento y se interpreta de acuerdo
con la figura 4.12. El valor S corresponde a la pendiente hidráulica media del tramo de
longitud A x.
Es decir:
S =
í
h
fl-2
Ax
V
a ----
\
28
<*2V2 2 ~ « 1^1 2
j
y:
A h = h2 - h x
Aceptando que
= a 2 = 1 , al sustituir estas expresiones en 4 .6 .a y despejar, se tiene:
V2 2 - V
y\ 2
A x =
2g
(4.6.b)
S0 - 5
92
h2 - h x
FIGURA 4.12
La pendiente hidráulica m edia S , habrá que obtenerla en la forma:
2
El perfil puede calcularse con la ecuación 4 .6 .b , aplicada en tramos sucesivos. En efecto,
conocidas las características de la sección 1, se escoge una sección 2 y aplicando la ecuación
4 .6 .b se determ ina la distancia A x entre ambas secciones. Posteriorm ente, la sección 2 se
convierte en la 1 para el siguiente tramo y se continúa el procedimiento a lo largo del canal.
Desde luego, el procedimiento es tanto más preciso cuanto más cortos sean los tramos
escogidos. El criterio para seleccionar las secciones es entonces una decisión del proyectista,
pero como una regla general pueden escogerse secciones cuyas velocidades no varíen en más
de un 5%; además, tal como se dijo en el inciso anterior, el número de operaciones no es
un problem a, ya que norm almente se dispone de una computadora electrónica y basta
elaborar un sencillo program a para aplicar sucesivamente la expresión 4.6.b.
93
Debe aclararse que para orientar adecuadamente los cálculos es conveniente, antes de
empezarlos, hacer un análisis para determinar el tipo de perfil que se tendrá siguiendo los
lineamientos discutidos en 4.3, de m anera que/se sepa de antemano si los tirantes van a
aumentar o a dism inuir en la dirección que interese y además saber cuál será su lím ite
Por otra parte, obsérvese que el procedimiento descrito es totalmente general y puede
aplicarse inclusive a escurrimientos en cauces naturales, aunque en este caso la incógnita es
el tirante ya que los tramos Ax se seleccionan previamente de acuerdo con la m orfología
del cauce.
Ejemplo 4.2
Calcule la longitud necesaria desde la sección en que h = 0.3 m hasta la descarga libre. B = b =
0.245 m, n = 0.011, S0 = 0, Q = 0.06 m3/s. Utilice el método de incrementos finitos (use tramos
-contiguos cuyas diferencias de velocidades sean como máximo 10%).
©
Solución:
Cálculo de hc:
f
7 5 1/3
SI
g
' 0.06 ' 2 1
0.245
9.81
Como h > hc y S0 - 0, en la sección A - A el tirante debe ser crítico y se tendrá el caso de la
figura 4.7 (perfil 3-a).
94
De la ecuación 4.6.b y proponiendo h2 = 0.20 m y para hc = h¡ tenemos:
A c = 0.0448 m 2
Pc = 0.6108 m
p
0.0448
„
.
R = --------- = 0.0734 m
0.6108
v
c
Q_ = _ 0 06 = 1.3393 m/s
Ar
0.0448
Emín = 0.1829 +
1 33932
2 x 9.81
f 1.3393 x 0.011]
(0.0734) 2/3
= 0.2743 = E.
1
0.00706 = 5,
Para h7:
An = 0.245 x 0.2 = 0.0490 m 2
P2 = 0.6450 m
p
0.049
n
R0 = --------- = 0.0760 m
2 0.6450
V2 = 1.2245 mis ; (diferencia con Vc = 8.6% < 10%)
E2 = 0,2764 m
S2 = 0.00564
Ahora aplicando la fórmula
5 = Si + Si = 0.00706 + 0.00564
= 0.00635
por lo tanto, según (4.6.b), tomando en consideración que la dirección del cálculo es opuesta a
la del flujo:
Ax = f ¡ — g» = 02743 " »■” <*
S0 - s
0.0 - 0.00635
- 0,3306 m
El procedimiento es iterativo, por lo tanto, haremos una tabla con valores de h incrementándolos.
h (m)
A(m2)
P(m)
R(m)
V(m/s)
E(m)
S
0.1829
0.0448
0.6108
0.0734
1.3390
0.2743
0.00706
0.2000
0.0490
0.6450
0.0760
1.2245
0.2200
0.0539
0.6850
0.0787
1.1132
0.2832
0.00445
0.2400
0.0588
0.7250
0.0811
1.0204
0.2931
0.00359
0.2764
0.2600
0.0637
0.7650
0.0833
0.9419
0.3052
0.2800
0.0686 -
0.8050
0.0852
0.8746
0.3190
0.3000
0.0735
0.8450
0.0870
0.8163
0.3340
S
Ajc (m)
0.00635
0.3306
0.00504
1.3482
0.00402
2.4636
0.00327
3.6990
0.00271
5.0908
0.00228
6.5771
0.00564
0.00295
0.00247
0.00209
L = EA* = 19.5093
Por lo tanto la respuesta es:
L = 19.51 m.
Ejemplo 4.3
Se tiene un canal de sección rectangular donde:
B = 8.00 m,
n = 0.016,
S0 = 0.0014,
h0 = 2.00 m,
Calcule el tirante h2, si en la sección 1 se tienen los siguientes casos:
a) h, = 2.60 m
b) hj = 1.70 m
c) hj = 0.90 m
Se utilizará un solo tramo.
96
L = 20 m
c
a0
= 0.0014
,h2 =?
r 5 l l l t - I J I * l 1| W / l ) i:! ! IS II! S III= il! lS lliit ll! J i'/ II^ J II't íl! ! U I H s l l l V I I H I I
L =20m
Solución:
Cálculo del gasto:
A„ = 16 m 2
P0 = 12 m
Rn = 1.3333 m
16
(1.3333)273 (0.0014)172 = 45.3266 nFls
0.016
Q
hc =
45.32662
8 x 9.81
1/3
1.4846 m
a) h¡ = 2.6 m
como h, > h0 > hc -»■ S < S0 < Sc ; por lo tanto Fr < 1.
Luego, el signo de
dx
en la ecuación (4.1.d’) es:
dy
+
= — = + ; figura 4.3 (perfil 1-a)
Ecuación de la energía entre (1) y (2):
E, + S0L = E2 + hh 2
S. + S2
h-2
E^-lL-E^S'L-^L
Cálculo de A, P y R con el tirante h,:
A = 20.8 m2,
P =13.20 m
y
R = 1.576 m
= 45.3266 = 2 1?92 m/s
1
20.80
Vf
2.17922
E = h , + — = 2.60 +
2g
19.62
2.8420m
í 2.1792 x 0.01612
= 0.00066
1.576273
E, + SnL - — L = 2.842 + 0.028 - 0.0066 = 2.8634 m
1
0
2
$7
E. + — L = 2.8634 m
2
2
... (A)
Proponiendo tirantes en la sección 2 hasta cumplir con la ecuación A, se obtiene:
K
P2
s7
E- + — L
2 2
R™
3.00
24.00
14.00
1.4324
1.889
0.00045
3.1863
2.80
22.40
13.60
1.3947
2.024
0.00054
3.0141
2.70
21.60
13.40
1.3748
2.098
0.00060
2.9304
2.63
21.04
13.26
1.3604
2.154
0.00064
2.8730
2.62
20.96
13.24
1.3583
2.163
0.00065
2.8648
2.618
20.94
13.24
1.3579
2.164
0.00065
2.8632 = 2.8634
Por lo tanto, el resultado es:
h2 = 2.62 m (0.7% de diferencia de velocidades):
1 _ 2.164'
2,179
98
100
b) hj = 1.70 m
De manera similar al inciso anterior:
Aj = 13.60 m2
P¡ = 11.40 m
y = 453266 = 3
1
13.60
7?, = 1.1930 m
mjs
3.333 x 0.016'
(1.1930)273
= 0.00225 > S0
como h0 > h, > h c -*• S0 < S < Sc
Por lo tanto, Fr < 1.
Luego, el signo en la ecuación 4.1.d’ es:
^
= — = - ; Figura 4.3 (perfil 1-b)
e
1 + s 0l ~ ^ . l = e 2 + ^
l
L 7 + " r l l r + ° - 0 0 1 4 (20) ■ - ' ° 2225 ( 2° ) = 2 -2 7 2 2 m
entonces:
E2 + -1 L = 2. 2 7 2 2 m
... (B)
Proponiendo h para cumplir con la ecuación (B):
K
P2
r 22/s
V2
E2 + — L
2 2
1.50
12.00
11.00
1.0597
3.7772
0.00325
2.2597
1.55
12.40
11.10
1.0766
3.6554
0.00295
2.2605
1.60
12.80
11.20
1.0930
3.5411
0.00269
2.2660
1.63
13.04
11.26
1.1028
3.4760
0.00254
2.2713
1.635
13.08
11.27
1.1044
3.4653
0.00252
2.2723 ¿ 2.2722
h2 = 1.635 m (4% de diferencia de velocidades).
99
h¡ = 0.90 m
c)
A, = 7.20 m
P¡ = 9.80 m ¡
R} = 0.7347 m
Vj = 6.2954 mis
S, = 0.01530 > S0
como h0 > h c > h¡
S0 < Sc < S
luego Fr > 1, el signo en la ecuación dinámica es:
ÚZ. = _ = +
dx
-
e 1 + s, l
Figura 4.3 (perfil 1-c)
- s± l = e 2 + s1 l
6.2954? + Q 0Q14 (2Q) _ 0.0153 (2Q) = 2 7950 m
19.62
2
En2 + —
o L = 2.7950
... (C)
Proponiendo h2 para cumplir con la igualdad C:
h2
A
P
r 2/3
s,
E2 + — L
2
2
V2
1.00
8.00
10.00
0.8618
5.6658
0.01107
2.7468
0.95
7.60
9.90
0.8384
5.9640
0.01295
2.8925
0.97
7.76
9.94
0.8480
5.8411
0.01215
2.8304
0.98
7.84
9.96
0.8525
5.7815
0.01177
2.8014
0.984
7.87
9.97
0.8544
5.7580
0.01163
2.79008 = 2.7950
-------------------------------
Por lo tanto, el resultado es:
h2 = 0.984 m (8.5%' de diferencia de velocidades).
100
Ejercicios propuestos
4.1
U n canal tiene las siguientes características:
Q
=
273.4 m 3/s, B = b - 48 m, n - 0,016, S0 = 0.000121
Por medio del análisis de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, identifique
los siguientes perfiles:
a)
b)
h = 3.0 m
O'N
/ / ) '5 / J / + / S / ~ itJ • ti* • / / /
c)
T° 4 m
'0-N
101
4.2
Sea un canal de sección trapecial donde:
b = 5 m, S0 = 0.1759, Q = 10.60 m 3/s, n = 0.015, m = 1.
Calcule la longitud L desde h = 0.95 h c hasta 1.05 h 0, utilizando el método de
incrementos finitos, con diferencias de velocidades menores o iguales a 5%. Dibuje a
escala el perfil.
S° ^
L =P
4.3
Calcule la cota A en el embalse para que un canal de 150 m de longitud descargue
libremente como se muestra en la figura. El canal es de sección rectangular con b =
5 m, n = 0.014, S0 = - 0.0014 y Q = 10 m3/s (escoja tramos cuyas velocidades
difieran 5 % o m enos).
y 1 00.00 m.s.n.m
102
4.4
El canal que se muestra en la figura es de sección rectangular, de ancho constante
igual a 5.50 m, construido con un material que tiene un coeficiente de rugosidad
n = 0.015. Con los datos que se indican, calcule:
a) La pendiente de la plantilla S01.
b) El tirante h02 (donde S02 — 0.096).
c) Compruebe que el tirante hc es realmente el crítico.
4.5
En la figura se representa un tramo de un canal de sección rectangular, donde b —
■ 10 m, n = 0.014 y con las características que se indican, determine el valor de h0l
yV
4.6
Considere un canal trapecial con los siguientes datos:
m = 1, b = 10 m, h01 = 4.50 m, n = 0.015, S01 = 0.0002, S02 = 0.08.
Calcule:
a) El tirante en la sección A.
b) El tirante h02.
103
Se tiene un canal rectangular con los siguientes datos:
B = b = 12.00 m, n = 0.016, S01 = 0.0004, S02 = 0.04.
a) Calcule los tirantes h01 y h02, así como el gasto.
b) Si S02 = 0.0006, ¿se puede resolver el problema? Explique su respuesta.
4.8
En un canal circula un gasto de 1650 m 3/s con las siguientes características:
B — b = 30 m, h0 = 2.80 m y n = 0.018.
En una sección A del canal el tirante es h = 3.50 m.
a) Identifique el perfil explicando su razonamiento.
b) Calcule la posición del tirante hB aguas arriba de la sección, de tal manera que la
velocidad en ambas secciones difiera en un 10%.
4.9
Determ ine el rango de valores de S01 y S02 para que la sección C-C de un canal
trapecial con Q = 60 m3/s, m = 1, n = 0.018 y b = 8 m sea de control.
©
105
CAPÍTULO 5
SALTO HIDRÁULICO
5.1 Características del flujo bruscamente variado
Para com prender m ejor la formación del fenómeno llamado salto hidráulico, conviene observar
que algunos de los perfiles que se estudiaron en el capítulo anterior se caracterizan por estar
sujetos a discontinuidades o cambios bruscos como son los señalados en la figura 4.3, curvas
1-b y 1-c. En efecto, en el tramo pequeño en que se presenta una alteración brusca del perfil
longitudinal de la superficie libre del agua, se forma el llamado flujo bruscamente variado, y de
los casos que pueden presentarse, es sin duda el de m ayor interés para el ingeniero, el salto
hidráulico, que se caracteriza porque el flujo experimenta un cambio violento de régim en
supercrítico a subcrítico.
Si en el canal se tienen pendientes longitudinales S0 menores que la crítica, nulas o negativas
(correspondientes respectivamente a los casos 1, 3 y 5 estudiados en el tema 4.3) y por algún
motivo el nivel del agua se encuentra abajo del crítico, existe una tendencia a que el perfil se
eleve hasta encontrarse con una discontinuidad al llegar a la altura del tirante crítico, como se
observa en las figuras 4.3 (curva 1-c), 4.7 (curva 3-c) y 4.9 (curva 5-b). Son estos perfiles los
que corresponden a la prim era parte de un salto hidráulico que podría llamarse "natural", ya que
al encontrarse el escurrimiento con un tirante m enor que el crítico y en una zona en que S0 <
Sc, existe la tendencia á que el flujo se estabilice pasando a la zona subcrítica.
Ahora bien, ¿sucede esto en forma gradual o brusca? La intuición o la teoría no nos ayudan
suficientemente a contestar esta pregunta; sólo la experimentación muestra con claridad que el
cambio de que se habla, se realiza bruscamente. En efecto, se observa que el agua "salta" de
la zona supercrítica a la subcrítica, en medio de gran turbulencia y, por consiguiente, de fuerte
disipación de energía, y que dicho cambio se presenta en un tramo relativamente corto.
Desde luego, el salto hidráulico existirá siempre que, por algún motivo, se garantice un tirante
subcrítico aguas abajo de la zona supercrítica, aun cuando S0 fuera mayor que Sc, como
sucedería si aguas abajo se tuviera un remanso provocado por una compuerta, un lago, etc. Sin
embargo, este es un caso en que el salto queda forzado por dos tirantes fijos de antemano y se
trata realmente de una estabilización de dos niveles. No es, por lo tanto, el fenómeno al que se
referirá este capítulo, que como se dijo antes, se caracteriza por una tendencia natural que tiene
107
el tirante de la zona supercrítica a pasar a la subcrítica, aún cuando el tirante en esta últim a zona
no esté garantizado como estable.
5.2 Características generales del salto hidráulico
Supóngase que un canal descarga a un lago cuyo nivel corresponde a la zona de régim en
subcrítico en el canal. Si la descarga está controlada por una compuerta, como se observa en la
figura 5.1 y se abre dicha compuerta en las posiciones 1, 2 o 3, todas por debajo del tirante
crítico, en los tres casos el nivel del agua subirá hasta alcanzar el de la superficie del lago, ya
que supuestamente éste tiene una masa de agua mucho m ayor que la que fluye por el canal.
Ahora bien, ¿en qué forma se restablece el equilibrio? En el subtema 5.2.1 se estudiará que
pueden presentarse tres formas diferentes de transición del tirante h¡ al h2’ (figuras 5.1).
El paso de un régim en supercrítico a subcrítico en un tramo perfectamente definido es, como
ya se indicó, el fenómeno conocido como salto hidráulico. Este cambio brusco de régim en se
caracteriza por una alteración rápida de la curvatura de las trayectorias del flujo, que produce
vórtices de eje horizontal, lo que implica inclusive la aparición de velocidades en dirección
opuesta al flujo (tal como se ve en las figuras referidas), que propician choques entre partículas
en form a más o menos caótica, ocasionando una gran disipación de energía y una alteración
manifiesta de las presiones hidrostáticas.
Precisamente la gran pérdida de energía provocada en el salto, es lo que convierte al salto
hidráulico en un fenómeno deseable para el proyectista, ya que en muchas ocasiones se requiere
disminuir drásticamente la velocidad del escurrimiento en zonas en que no importa que sea
grande el tirante, pero sí conviene ahorrar en revestimiento al obtenerse velocidades no erosivas.
Un caso típico, y sin duda el más usado, es el de provocar el salto hidráulico al term inar una
obra de excedencias, ya sea al pie de u n cimacio o al final de una canal de descarga. Desde
luego, la zona donde se presenta el salto, debido a su gran turbulencia, debe protegerse
adecuadamente y por tal razón, se confina en una estructura reforzada llamada tanque
amortiguador, cuyas características se describirán en el subtema 5.3.1.
108
a)
Salto hidráulico ahogado
FIGURA 5.1
109
5.2.1. Tipos de salto hidráulico
La figura 5.1 muestra los tres tipos de salto que pueden presentarse, según sea el tirante h2
(después del salto): m enor, igual o m ayor al tirante fijo aguas abajo h2 .
El porqué de que exista un solo tirante h2 subcrítico correspondiente a u n h¡ supercrítico, se
explicará posteriorm ente. Por ahora, si se considera que no hay cambio en la energía específica,
mientras más pequeño sea h, más grande será el correspondiente h2, tal como puede verse en
la figura 3.1. En realidad, como sí hay pérdida E2 < E¡ y el tirante h2 será menor que el que
se ve en la figura 3.1.
En la figura 5.2 se indica la curva de posibles tirantes h2 en la zona subcrítica, correspondientes
a los hj en la zona supercrítica. A los tirantes h¡ y h2 se les llama tirantes conjugados, siendo
h¡ el conjugado "menor" y h2 el "mayor".
En la figura 5.2 sé señala también la pérdida en el salto E¡ - E2.
FIGURA 5.2
110
Observando la figura 5.1 estudiaremos la clasificación del salto hidráulico, el cual siempre se
encuentra en alguno de los tres siguientes casos:
Caso 1: S i h2 < h 2; salto ahogado
La energía en la sección 2 es m enor que en la sección 2 ’; luego, el empuje es m ayor hacia
la izquierda y se "ahoga" la zona del salto. Este salto es el más estable (figura 5.1.a).
Caso 2. S i h 2 = h 2 ; salto claro
Ambas secciones tienen la misma energía y existe un equilibrio total. Este salto es el más
eficiente* (figura 5.1.b).
Caso 3. S i h2 > h 2; salto corrido
La energía de la sección 2 es m ayor que la de la 2 ’. Sucede lo opuesto al prim er caso, el salto
se corre y sigue un perfil ondulado perdiendo energía hasta alcanzar el nivel correspondiente
al tirante h2 . Este tipo de salto es poco eficiente* y muy inestable, por lo que debe evitarse
siempre (figura 5 .l.c ).
5.3 Ecuación general del salto hidráulico
En la figura 5.3 se representa un salto hidráulico claro del tipo indicado en la figura 5.1.b.
Como ya se explicó, en este caso hay un equilibrio de energías entre las secciones 1 y 2. Si se
da por jiecho que el fenómeno ya se presentó, puede analizarse el sistema de fuerzas que hacen
posible su existencia.
Debido a que en el salto hidráulico se busca provocar una gran disipación de energía, se dice que
un salto es tanto mas eficiente cuanto mayor es la pérdida de energía que experimenta. Este concepto
es el opuesto al clasico de eficiencia" en ingeniería. Algunos investigadores aseguran que el salto
a ogado es mas eficiente que el claro. El autor no ha comprobado experimentalmente esta aseveración
por lo que se concreta a señalar la opinión generalmente aceptada.
111
©
©
777777777777777
y///////
L
FIGURA 5.3
En efecto, la ley del impulso permite calcular la fuerza generada debido al cambio de velocidad
media entre las secciones 1 y 2, y esta fuerza debe ser igual y de dirección opuesta al empuje
hidrostático sobre ambas secciones, de manera que pueda garantizarse el equilibrio.
Como se sabe, el empuje hidrostático en una superficie plana sumergida está dado por la
expresión:
F = 1 A ZG
en que A es el área y ZG la distancia al centro de gravedad de dicha área, medida verticalmente
desde la superficie del agua; luego, el empuje total de la masa de agua en contacto con las
secciones 1 y 2, si se toma como positiva la dirección del flujo, está dado por la expresión:
y A 1Z c x
yA 2Z G2
y debe ser igual a la fuerza que hizo posible este cambio de tirantes, que según la ley del
impulso es:
Es decir, debe cumplirse la expresión general:
112
y A ,Z G i - yA2ZC2 - 1 & . ( y
_ V) = 0
8
(5.3.a)
en que:
^
y zl2
Z Gy y Z G2
son las áreas hidráulicas en las secciones 1 y 2, respectivamente.
son las distancias verticales a los centros de gravedad de las áreas
respectivas, medidas desde la superficie del agua.
Vj y V2
son las velocidades medidas en las secciones 1 y 2, respectivamente.
Si utilizamos el principio de continuidad y dividimos entre y , la expresión anterior puede
ordenarse en la forma:
£
<53b>
que es la ecuación general del salto hidráulico.
Esta ecuación se puede resolver por tanteos cuando se conoce la geom etría de las secciones 1
y 2 cualesquiera que éstas sean. Basta partir de las características hidráulicas conocidas en una
de las secciones y apoyándose en ella, determinar las de la otra.
En estas condiciones, el miembro de la ecuación 5.3.b que corresponde a los datos de la sección
conocida es un valor constante, quedando realmente como incógnita el tirante de la otra. Es
decir, la ecuación es "reversible", ya que indistintamente se puede usar para determ inar la
sección subcrítica a partir de la supercrítica, o a la inversa, en un salto hidráulico claro.
Es interesante observar que esta expresión, desarrollada teóricamente, incluye la pérdida en el
salto. Pérdida, que por lo demás puede calcularse con una simple aplicación de la ecuación de
la energía entre las dos secciones antes y después del salto, una vez que dichas secciones fueron
determinadas.
113
5.3.1 Longitud del salto hidráulico. Tanque amortiguador
La zona donde las turbulencias son notables y susceptibles de producir daños al canal mientras
se estabiliza el flujo abarca una distancia conocida como longitud del salto y debe protegerse
con una estructura adecuada llamada tanque amortiguador.
Tanque a m o rtig u a d o r
FIGURA 5.4
Hasta ahora, no ha sido posible determinar teóricamente la longitud del salto, por lo que es
indispensable recurrir a fórmulas empíricas, de las cuales se presentan a continuación algunas
de las más usadas, obtenidas para canales rectangulares (véase figuras 5.3 y 5.4):
AUTOR
Smetana
(República Checa)
114
LONGITUD DEL
SALTO CLARO "L"
6
Safranez
(Alemania)
5.9 h¡ Fr¡
Einwachter
(Alemania)
8.3 h} {Fr1 - 1)
Wóycicki
(Polonia)
(h2 - h¡) (8-0.05 h2/hj)
Chertusov
(Rusia)
10.3 hj (Fr¡ - I)0 81
El salto se confina, como se ha dicho, en una estructura revestida que se denomina tanque
am ortiguador (figura 5.4). Es aconsejable que el fondo del tanque esté un poco abajo del terreno
natural y term ine en un escalón cuya altura A z puede ser, como recomienda Henderson:
6
La idea del escalón es que se forme una barrera de agua que ayude a estabilizar el salto.
En la práctica se recomienda, siempre que sea posible, construir un modelo hidráulico y con su
ayuda, definir las dimensiones más apropiadas del tanque. Es conveniente que la descarga se
localice perpendicularm ente al cauce principal, de manera que el choque en la ladera opuesta del
río ayude a sobreelevar el nivel del agua, contribuyendo así a la form ación de un salto estable.
5.4 Cálculo del salto hidráulico para secciones rectangulares
La sección más usual en canales es sin duda la trapecial; sin embargo, en muchas ocasiones se
proyecta el tanque amortiguador en sección rectangular, porque así se logra un salto estable con
m ayor facilidad y además esta sección simplifica los cálculos.
En el caso de una sección rectangular, se observa que los términos de la ecuación 5 .3 .b tienen
los siguientes valores:
Zc = ~
y
A = Bh
Si el ancho B es constante en las secciones 1 y 2, después de aplicar el principio de continuidad,
dicha ecuación se reduce a:
Bh\
B h .(
Bhl
Bh2
al dividir ambos miembros entre el ancho del canal B y ordenar los térm inos, se tiene:
115
I
[h¡ - h¡ ) + I [h .V i - /i2V ¡2 ) = o
8
Si se introduce ahora el concepto de gasto unitario (expresiones 3.2.g y 3 .2 .g ’), puede escribirse
la expresión anterior en la forma:
I (*í - hí) + ¿
1
'"2
h l - h2
(h l - h 2) (hl + h2) - 2 q 7
h l h2
que se reduce a la ecuación de segundo grado:
+ h x h2 - Í É . = 0
gh i
cuya raíz positiva es:
r
2
2
2
K
2
+
\
+ 2g2
gh i
equivalente a:
1 + 8í?2
- 1 +
\
116
i
h,
s-
h2 =
(5.4.a)
= 0
0
y si recordam os la definición del número de Froude (capítulo 3), puede verificarse fácilmente
la validez de la siguiente expresión:
1 + \¡l + 8 F r\
(5.4.b)
En la deducción anterior, se ha considerado como conocido el tirante de la sección 1 y como
incógnita el correspondiente h2\ pero podría haberse supuesto lo contrario y se llegaría a la
misma ecuación 5 .4 .b , pero con subíndices intercambiados, es decir, en la forma:
(5 .4 .b ’)
Esto significa que el salto hidráulico se puede resolver "en cualquier dirección", ya que basta
conocer una sección cualquiera 1 o 2 (figuras 5.3 y 5.4) para calcular la otra utilizando las
expresiones 5 .4 .b o 5 .4 .b ’, respectivaínente.
La presentación de la fórmula del salto claro en canales rectangulares usando el número de
Froude, tiene además la ventaja que al determinar este valor, que se utilizará en el cálculo, de
antemano se sabe si la sección conocida es la anterior al salto, es decir, la supercrítica en la que
F r > 1, o la posterior, subcrítica en que Fr < 1.
5.4.1 Pérdida de energía en el salto
La pérdida de carga entre las secciones antes y después del salto es, de acuerdo con la ecuación
de la energía, la siguiente:
(5.4.c)
117
Ahora bien, la expresión 5.4.a puede escribirse:
I
(hf - h¡) * 1 (V, - V2) = o
por lo que:
vt - v2 - x ¡a - hi)
V' ~ V í ‘ T q
' k¡) {h> + h ' )
que al sustituirse en la expresión 5 .4 .c y usar otra vez la propiedad q = Vh, queda:
h.% - 2
1
~
~
(K
~ K )
+
(h 2 ~ k l)
(K
+ K )
9
1 + 1
K
K
(K + K ) 2
Ahx h2
(h2 -
al desarrollar los términos y simplificar convenientemente, se llega a:
h
h-2
(h2 - /zj3
(5 .4 .C ’)
Obsérvese que se trata de una expresión que nos da la pérdida real debida a la turbulencia en
un salto hidráulico claro y ha sido calculada teóricamente. Esto sucede en hidráulica en otros
casos en que se usa la ley del impulso, como es sabido.
118
Ejemplo 5.1
Considere un canal rectangular de ancho B == b = 6.00 m, en el cual se presenta el salto hidráulico y
uno de sus tirantes es igual a 40 cm. Por el canal pasa un gasto Q = 50 rri/s. Calcule:
a) El otro tirante conjugado.
b) Las pérdidas hf
con la ecuación de la energía. Compruebe su resultado con la expresión
5.4.c’.
Solución:
a)
Para utilizar la fórmula 5.4.b, se determinarán los siguientes valores:
■V, = 9 l = — — = 20.83 mis
Ax
6 x 0.4
Fri = — —
=
2° '83
= 10.52 > 1,
0.4
lo que significa que h = 0.4 m es el conjugado menor
h2 = M
(v/1 + 8 (10.52)2 - 1 ) = 5.75 m
para verificar el régimen, calculemos
V- =
= 1.45 mis
2
6 x 5.75
y:
1 45
Fr2 = -------- :
^9.81 x 5.75
= 0 .1 9 < 1
régimen subcritico.
119
b)
De la ecuación 5.4.c se tiene:
V 2 = °-4 - 5-75 - _ J _ ( 20.832 - 1.452 ) = 16.66 m
utilizando la fórmula 5 .4 .c\ se tiene:
hf = - 5 75 ~ °-4
= 16 66 m
/[-2 4 X 0.4 X 5.75
5.4.2 Salto ahogado y salto ondulado
Como ya se explicó anteriormente, la fórmula del salto hidráulico es aplicable sólo cuando se
trata de un salto claro (figura 5.1.b); sin embargo, como sucede en todos los problemas de
ingeniería hidráulica, nunca se puede garantizar que la obra diseñada para un cierto gasto,
trabajará siempre precisamente con dicho gasto, sino que sería más correcto decir que en general
cam bian las condiciones de funcionamiento de manera constante.
Esto hace que las obras deban estudiarse para condiciones diferentes a las de diseño, y por tal
razón, se han hecho investigaciones sobre el comportamiento del salto en los dos casos distintos
al que se analizó teóricamente, a saber: salto ahogado (figura 5.1.a) y salto ondulado o corrido
(figura 5 .1 .c).
El salto ahogado (h2’ > h2) tiene la ventaja de que al subir el gasto aumenta h2, y se acerca a
la situación de un salto claro (figura 5.1.a). Por el contrario, si el gasto baja aumenta el
ahogamiento y a menos que dicho ahogamiento sea excesivo, puede garantizarse la formación
de un salto hidráulico estable en la zona deseada.
Esta propiedad hace que el salto ahogado sea muy estable, sobre todo cuando se esperan fuertes
variaciones en el gasto y, por consiguiente, en muchas ocasiones se provoca su form ación Por
lo demás, el ahogamiento no debe pasar de un 20% , es decir, h2 < 1.20 h2 porque si no se
cumple esta limitación, podría formarse una corriente de fondo de la zona subcrítica sin que
realmente aparezca el salto hasta muy lejos de la zona deseada.
120
Por lo que se refiere a la longitud (figuras 5.3 y 5.4) del salto ahogado, Pikalov señala que es
m enor que la del salto claro (lo que es otra ventaja) y que puede calcularse con la expre^ón:
L = 3h2’
Como ya se m ostró en la figura 5 .L e , el salto ondulado se presenta cuando h2’ < h2, lo que
en la práctica sucede fácilmente si:
Frx < 1.7
o
en este caso, la longitud del salto es bastante m ayor que en el salto claro y puede calcularse con
la fórmula:
L = 10.6 (h2 - h t)
Este tipo de salto hidráulico produce poca pérdida y es muy inestable, además de que requiere
un tanque am ortiguador muy costoso. En general, debe evitarse el salto ondulado, y en una
buena operación habrá que evadir los caudales que hagan que el salto se convierta en ondulado.
5.5 Salto hidráulico al pie de estructuras de descarga
Las estructuras de descarga más comunes en las que se presenta el salto hidráulico son:
cimacios, canales de descarga y compuertas. En la figura 5.5 se indican los tres casos a, b y
c en el orden mencionado. E n estos ejemplos se considera horizontal la plantilla del tanque
amortiguador.
En las estructuras que se indican, el salto está sujeto obviamente a las mismas leyes ya
estudiadas, y sólo es necesario hacer algunas aclaraciones respecto a la determinación del tirante
conjugado m enor h¡. En seguida se comentará cada caso.
121
a) Cimacio
b)
canal de Descarga
c)
Descarga de fondo
FIGURA 5.5
122
5.5.1 Salto hidráulico al pie de un cimacio. Profundidad del tanque amortiguador
Si se trata de un cimacio con descarga libre, las pérdidas son despreciables. Entonces el tirante
h¡ a una profundidad Z, desde la cresta del vertedor, se obtiene con la expresión (figura 5.5.a):
Vi
h. + — = Z + H
(5.5.a)
y desde luego, el gasto estará regido por la conocida fórmula:
Q = CD L H 3/2
en que CD y L son respectivamente el coeficiente de descarga y la longitud de cresta del cimacio.
Aquí debe resolverse también el problem a de definir la cota del fondo del tanque amortiguador
tomando en cuenta que son conocidas la posición del cimacio y la cota D de la superficie del
agua después del salto, que es un nivel fijo en la descarga deducido, en ocasiones, de la curva
de gastos en esa zona para el gasto de diseño. Es decir, según la figura 5.6, se tienen como
datos: las cotas A, B (cresta del vertedor) y la cota D , además, el gasto de diseño y las demás
características geométricas del cimacio.
El procedimiento para determinar el punto P (o la cota C) donde debe llegar el tanque
am ortiguador es el siguiente:
Supóngase que se escogen profundidades arbitrarias Za, Z b y Zc y para cada una de ellas se
calculan los tirantes hla, hlb y h]c respectivamente, con la expresión 5 .5.a. Estos son los tirantes
que tiene el cimacio a esas profundidades, y suponiendo que sean posibles conjugados menores
de un salto hidráulico, pueden calcularse los correspondientes conjugados mayores h2a, h2b y h2c,
con la expresión 5.4.b.
123
A
FIGURA 5.6
Si se dibuja la línea que une dichos conjugados mayores y se prolonga la correspondiente al
nivel D , tal como se ha hecho en la figura 5.6, se encontrará un punto 0 en donde se intersectan
estas líneas. Refiriendo verticalmente este punto hasta encontrar el perfil del cimacio, se tendrá
en el punto P la profundidad deseada del tanque amortiguador Z , y el salto tendrá los tirantes
conjugados: m enor h¡ y m ayor h2. Este procedimiento semigráfico debe ajustarse con el cálculo
una vez que se ha definido el valor Zp, de manera que se afinen los resultados a la precisión que
se requiera.
Ejemplo 5.2
En un canal rectangular de ancho constante se construirá un cimacio como el que se muestra en la figura.
El gasto es Q = 2000 m3/s, el coeficiente de descarga del vertedor es CD= 2.10. Determine la elevación
de la cota A (fondo del tanque amortiguador), suponiendo que se presenta un salto hidráulico claro.
124
Solución:
Longitud de la cresta:
Q = Cd L H V2 ; L =
Q
2000
CnH 312
- = 85.18 m
2.1 X 5 3/2
Tomando como plano horizontal de comparación el fondo del tanque amortiguador (cota A), la
aplicación de la ecuación de la energía entre las secciones 0 y 1 (h f = 0 ) , conduce a:
J0—
1
vr
Z + H = h. + - 1
2g
Z + 5 = h,
2000
85.18 h,
1
1^62
que equivale a:
h f - (Z + 5) h f + 28.10 = 0
125
A cada valor de Z que se proponga corresponde uno de h, que se obtiene con la ecuación
anterior; con este resultado se calcula el conjugado'mayor h2 con la expresión 5.4.b. Para cada
valor calculado de h, y h2 y con la Z correspondiente, se obtienen también las cotas A y B, y el pro­
ceso continúa hasta que Z y h2 combinados garanticen que se alcanza la cota 1270.00 m.s.n.m.
en la superficie del agua después del salto hidráulico claro.
A continuación se presentan los resultados obtenidos hasta llegar a la solución.
z
h,
10.00
1.440
15.00
h7
cota A
cota B
8.144
1265.00
1273.14
1.223
8.994
1260.00
1268.99
13.00
1.297
8.683
1262.00
1270.68
13.81
1.265
8.811
1261.19
1270.00 = 1270.00
.-. cota A = 1261A9 m.s.n.m.
5.5.2 Salto hidráulico al pie de un canal de descarga
En este caso, el problem a se reduce a calcular el perfil de la superficie libre del canal de
descarga indicado en la figura 5 .5.b, usando alguno de los procedimientos descritos en el
capítulo 4 y una vez conocido el tirante h0 al final de dicho canal, se determ ina el tirante h, al
pie de la caída* indicada en la figura, con el cuidado de no ignorar ahora la carga de velocidad
en la cresta, es decir, aplicando la ecuación de la energía en la forma:
'
vi
Z0 + hfí + — = h . +
°
° 2g
1
vi
2g
Una vez que se determ ina el tirante conjugado m enor h¡, se continúa el cálculo del salto en la
forma ya conocida.
5.5.3 Salto hidráulico después de una descarga de fondo
De acuerdo con la figura 5 .5.c, la aplicación de la ecuación de la energía entre las secciones 0-0
antes de la com puerta y la 1-1, escogida en la zona contracta del chorro, se tiene:
V 2
* La "caída" se proyecta como un perfil tipo Creager, tomando la energía total: H = h0 + yo
(véase figura 5.5.a).
126
en que <j>es el coeficiente de velocidad que varía de 0.85 a 0.97 para fondo horizontal y su valor
aumenta mientras m enor es la diferencia entre el ancho del canal y el de la compuerta. De la
expresión anterior se observa que la velocidad es:
V, = 0 sj2g (H q -
A hora bien, h 1 es una función de la apertura de la compuerta a y del coeficiente de contracción
Cc dada por la relación:
h 1 = Cca
Para compuertas rectangulares pueden usarse los coeficientes obtenidos por Yukovsky, que se
indican en la siguiente tabla para algunos valores de la relación a/H 0 (véase figura 5.5.c).
a/H 0 < 0.10
Cc
0.20
0.611. 0.620
0.30
0.40
0.50
0.60
0.65
0.75
0.625
0.630
0.645
0.660
0.675
0.705
De lo anterior se concluye que el gasto unitario q se puede calcular con la expresión:
Si se diseña un salto ahogado, aunque h1 tenga el mismo valor correspondiente a la descarga
libre, el gasto debe calcularse tomando como carga la diferencia de energías antes y después de
la com puerta, según lo indica la aplicación de la ecuación de la energía entre las secciones 0 y
1, en la form a ya conocida para descargas ahogadas. Una vez definidas h¡ y q, el salto se diseña
en la form a como se explicó anteriormente.
5.6 Salto hidráulico en canales con pendiente
En la figura 5.7 se ilustra un salto cuando la plantilla no es horizontal. E n este caso es necesario
considerar el térm ino Wx en la ecuación 5.3.a, que es la componente del peso del volum en del
salto en la dirección del flujo.
0
©
FIGURA 5.7
Por otra parte, si se quiere ser riguroso, debe recordarse que en el cálculo del empuje
hidrostático a cada sección, debe considerarse la carga de presión real al centro de gravedad
Z ’G eos 6 (ec. 1.5.b), aunque esta precisión normalmente no se justifica porque las pendientes
no son tan grandes.
Si se acepta que la variación de tirantes entre las secciones 1 y 2 es lineal:
128
En estas condiciones, la ecuación del salto cuando la plantilla está inclinada, queda:
y Ai Z ’G1 eos 9 + y — L_— i A z - y A 2 Z ’G2 eos 9 - —
2
8
(V
- V.) = 0
que como se hizo con la ecuación 5.3.b, puede reducirse a la form a general:
Ai Z ’G1 eos 9 + - *2
Az + J L
= Z 2 Z ’G2 eos 9 + J j l
(5.6.a)
que es la ecuación general del salto con pendiente.
Desde luego, el térm ino eos 9 puede despreciarse en la generalidad de los casos y por lo que se
refiere a la consideración de variación lineal de los tirantes de A j a A 2, Chow* introduce un
coeficiente de c o r r e c c i ó n e n el segundo término de la expresión 5 .6 .a que debe determinarse
de m anera experimental y que presumiblemente, es función de Frx\ sin embargo, este valor es
muy cercano a la unidad. En cuanto a la pérdida, Smetana afirma que es exactamente la misma
que cuando la plantilla es horizontal, por lo cual podría usarse la fórm ula 5 .4 .c ’ en caso de que
el salto sea en canal rectangular.
CHOW, Ven Te. Open Channel Hydraulics, p. 425.
Ejercicios propuestos
5.1
En la figura se indica el perfil de una canal rectangular que descarga transversalmente
a un río, siendo:
q — 6 m 3/s/m y h¡ — 50 cm
a) Calcule h2 y hf
si se presenta un salto hidráulico claro. Dimensione el tanque
am ortiguador.
b) Determ ine h¡ para que el salto tenga un 20% de ahogamiento.
5.2
En un canal rectangular en que se presenta un salto hidráulico claro, uno de los tirantes
conjugados es h = 3.0 m, el gasto es Q = 40 m3/s y el ancho, b = 10.0 m. Calcule:
a) El otro tirante. Verifique el régim en y las pérdidas que se presentan.
b) La longitud del tanque amortiguador.
5.3
Dado el siguiente canal donde B = b = 10 m y Q = 100 m 3/s, se desea confinar el salto
hidráulico de m anera que fuera del tanque amortiguador la velocidad en el canal no
sobrepase la velocidad límite Vmáx = 0.8 m /s, el escalón que se presenta mide h2/6.
Calcule el tirante h¡ considerando que el salto es claro (Suponga hf
130
= 0 ).
BW »
f 'a ifk)m s'» a¿¡»s)»e¡»shSí»m »a!m------
®
®
®
Dibuje la gráfica que describe la ley E = f(h ) y la h r h2 de los tirantes conjugados en un
salto claro, para un canal rectangular con b = 10 m y un gasto Q = 100 m 3/s.
Calcule los valores de los tirantes conjugados h¡ y h2 en el canal rectangular que se
m uestra en la figura, suponiendo que se presenta un salto hidráulico claro. Considere un
coeficiente de descarga CD = 2.15.
En el canal rectangular de la figura, se presenta un salto hidráulico claro. Determ ine las
cotas A y B.
COTA "A"
5.7
¿Qué tipo de salto se presenta en el siguiente canal rectangular?
5.8
Para la estructura indicada, suponiendo que hf
= 0 y con los siguientes datos:
L = B = b = 26 m, CD = 2.16 y hB = 10 m
Calcule:
a) hj y h2 (salto claro)
b) hA, H y Z
132
5.9
En u n canal rectangular se presenta un salto con un ahogamiento del 12%. CD = 2.12.
Cota B = 100.00 m.s.n.m.;
hi
1.12
(véase la figura 5.1)
Calcule la cota A.
5.10
Si en una estructura semejante a la del problema anterior, se mantienen fijas las cotas B
y la de la superficie libre del agua después del salto hidráulico y se presenta u n salto
claro con h¡ = 1.60 m (CD = 2.12), calcule:
a) La cota del tanque am ortiguador, la cota A y el gasto unitario.
133
b) La pérdida de carga en el salto hidráulico y la longitud del tanque amortiguador.
5.11
Calcule la cota B del canal que se muestra en la figura, en el cual se presenta un salto
hidráulico claro con un coeficiente de descarga CD = 2.12 y un q = 30 m 3/s/m . El canal
es de sección rectangular.
Figura del ejercicio 5.11 (archivo Ejer5-11).
_2
COTA "A"
1 0 0 .0 0 m .s.n .m .
134
CAPÍTULO 6
FLUJO E N CANALES NO PRISMÁTICOS
En contraposición con lo que se señaló en 1.2, un canal no prism ático es aquel en que sus
paredes, su plantilla o ambas no están formadas por generatrices rectas y paralelas. Esto
sucede en los tramos de canal formados por ampliaciones o reducciones de sección o en las
Sobreelevaciones o depresiones del fondo que pueden existir en algunos escurrimientos a
superficie libre.
U n caso com ún de reducción en una sección es el que se tiene bajo los puentes en que las
pilas y los estribos obstruyen el flujo normal por el canal o cauce natural. También existen
reducciones en las transiciones de entrada de un escurrimiento a superficie libre a un
conducto cerrado y muchas veces en la descarga de estos conductos se construyen
ampliaciones que constituyen la transición de salida. Esto es típico en las obras llamadas,
exclusivamente por su forma y no por su funcionamiento, sifones invertidos.
A menudo hay cambios de sección también en los tanques amortiguadores de las obras de
excedencia, con el propósito de confinar el salto hidráulico en una estructura que ofrezca
ventajas, tanto para la construcción como para el cálculo. Este es otro de los casos que crean
un flujo del tipo que ahora nos interesa estudiar.
Por lo que se refiere a las sobreelevaciones del fondo, éstas se presentarán siempre que haya
un obstáculo im previsto,en ese lugar, lo que sucede, por ejemplo, en el caso de vertedores
sumergidos.
Como se explicará en el desarrollo de este capítulo, el comportamiento del flujo en un canal
no prism ático, no va siempre de acuerdo con lo que sugiere la intuición, ya que no está
sujeto únicamente a los cambios geométricos de la estructura sino, además, al hecho de que
el escurrim iento se encuentre en la zona super o subcrítica. Por esta razón, es necesario
analizar en conjunto, tanto el tipo de flujo como la geometría del tramo en estudio.
El enfoque teórico del problem a se apoya, en general, en las tres ecuaciones fundamentales
de la hidráulica ya expuestas en el prim er capítulo, a saber: ecuación de la energía,
ecuación de continuidad y ley del im pulso. Esta última es útil específicamente en los casos
en que el cambio se presenta acompañado de una fuerte turbulencia, como sucede cuando el
flujo entra a una ampliación o reducción brusca de la sección; a menudo resulta indispensable
utilizar coeficientes empíricos para evaluar la pérdida local.
135
6.1 Flujo en transiciones graduales
En la figura 6.1 se representan las reducciones graduales (6.1.a) y bruscas (6.1.b), así como
las ampliaciones graduales (6.1.c) y bruscas (6 .l.d ). Por simplicidad se hará referencia a
secciones rectangulares, aunque sobre las mismas bases pueden analizarse otras geometrías.
(c)
(a)
B;
B,
B,
B,
( b)
(d )
FIGURA 6.1
Supóngase que para cualquiera de estas estructuras, se tiene una plantilla horizontal y se
llama sección 1 a la que se localiza aguas arriba del cambio y sección 2 a la que está después
de éste. Si se conoce el gasto y las geometrías de ambas secciones, de acuerdo con la figura
6.2, el problema puede plantearse de dos maneras: conocido el tirante en la sección 1,
¿cuánto valdrá el de la 2? La otra forma es el camino inverso.
0
0
I 1/2
V? / 2g
T
So=0
7 7
/
FIGURA 6.2
136
Al aplicar la ecuación de la energía entre ambas secciones, se tendrá:
y2
y,2
h. + —_ = h
1
2g
+ —
2
+ hf
2g
Aceptando por ahora que la pérdida de energía hf
(6.1.a)
/i-2
entre las secciones es despreciable o
2 ---
J\—
nula, la energía específica E 0 tendrá el mismo valor en las secciones 1 y 2, por lo que la
ecuación anterior puede escribirse:
y2
h7 + — = En = cte.
2
2g
0
(6.1.b)
Con esta ecuación y el principio de continuidad puede calcularse el valor del tirante en la
sección 2, pero la ecuación es de tercer grado y tiene dos raíces positivas, ambas correctas
desde el punto de vista matemático, aunque sólo una de ellas necesariamente tiene significado
real. ¿Cómo sabemos cuál raíz es la correcta? Este es el objetivo de lo que se explicará a
continuación.
6.1.1 R educciones
En la figura 6.3 se representa un tramo de un canal rectangular sujeto a una reducción
gradual desde el ancho B¡. Si tanto la pérdida por fricción entre las secciones indicadas 1 y
2 como el desnivel de su plantilla en ese tramo puede despreciarse, la energía específica en
ambas secciones será idéntica, es decir E 1 — E 2 = E 0 y por tal razón las parábolas h - q de
la figura 3.10 tam bién lo son, tal como se han dibujado en la elevación de la figura.
Como Bj > B2, entonces q, < q2. Ambos valores del gasto unitario q corresponden a un
tirante determinado por la parábola h - q; pero, como se aprecia en la figura 6.3, el
comportamiento de la superficie del agua depende exclusivamente del tipo de régim en que
se tenga en la sección 1.
En efecto, si h 1 > h c, es decir, si corresponde a u n régimen subcrítico, al aumentar el gasto
unitario de q, a q2 en la sección 2, q2 queda alojado en la parábola h - q, que es idéntica a
la de la sección 1, necesariamente más abajo que q, , por lo que en este caso el tirante debe
disminuir y por tal razón h2 < h¡. Pero existe otro valor h ’2 < h c que también corresponde
al gasto q2. Este es precisamente la otra raíz de la ecuación que debe desecharse y el
argumento para esto es el siguiente: para que el tirante llegara al valor h ’2, debido a que hay
continuidad en el flujo, tendría que haber pasado por el gasto máximo qmáx antes y esto no
es posible, ya que q2 < qmáx y q2 tiene un valor fijo.
137
©
©
FIGURA 6.3
A hora podría plantearse otra pregunta: ¿q2 puede ser igual a qm¿l?. ¡Claro que sí!, y esta
característica señala precisamente el valor mínimo posible del ancho B 2, que por cierto
implicaría que el tirante en la sección 2 fuera el crítico. Utilizando la expresión 3 .3 .b y la
definición de gasto unitario, se concluye fácilmente que para valores dados de E y Q, el
ancho mínimo posible en una sección rectangular es:
Bmín = ------1.705 y/El
(6.1.C)
Y si se construye la reducción con B2 m enor que el B2mín posible, ¿qué pasará? En este caso
se tendrá q2 mayor que el q2 máximo posible para la E0 del problem a y este nuevo gasto
unitario sólo puede alojarse en otra parábola con mayor energía específica que E0, lo que
implicaría elevación de todos los tirantes e imposibilidad de tener el h¡ original, es decir, se
crearía un remanso y el problema sería diferente.
En conclusión, para el caso de la reducción en régimen subcrítico, la raíz de la ecuación
6 .1 .b que debe seleccionarse es h2 y no h2‘ (figura 6.3), ya que la sección 2 sigue en la zona
subcrítica.
138
En la misma figura se muestra que sucede exactamente lo contrario cuando el régim en es
supercrítico, es decir, al entrar el agua a una reducción, su nivel se elevará sin pasar nunca
a la zona subcrítica, si se está aceptando que no hay disipación de energía en la transición.
Lo anterior muestra que antes de calcular cualquiera de los tirantes aguas abajo o aguas
arriba del cambio de sección, debe hacerse un análisis, investigando prim ero el tipo de
régim en existente y una vez conocido el perfil del agua, realizar los cálculos aplicando la
ecuación 6 .1.a-o la ó .l.b , según sean los datos o las simplificaciones que se consideran
aceptables.
Se recom ienda al lector analizar el siguiente caso: ¿Puede haber régim en crítico en la sección
1 (aguas arriba) de una reducción?
Ejemplo 6.1
De acuerdo con la figura 6.3 se tienen los siguientes datos para un canal rectangular:
B¡ = 6 m\
/z¡ = 1.5 m\
B2 = 5 m;
Q = 60 m3/s\
^
Sn = 0
hf
h-2
= 0
Calcule h2.
Solución:
Primero, conviene verificar si el problema está bien planteado de manera que q2 < q ^ , para
esto se calculará E0:
E0 = E X = E2
V = ____ __ = 6.67 mis1
6 x 1.5
V
_L = 2.27 m
2g
E„ = 2.27 + 1.5 = 3.77 m
Usando ahora la fórmula 3.3.b (a = 1):
139
Qm
= 12.46 m^lslm
m áx
á x ~ 1-705 /3.773
El gasto unitario en la sección 2 vale:
60
,, ,
<7>
.
¿= —
^ = 12 n rlslm < q
” max
lo que significa que B2 = 5 m es un ancho factible, si h, = 1.5 m.
Aplicando ahora la ecuación 6.1 .b y con ayuda del principio de continuidad, puede escribirse:
h7 +
_
h0
1
= 3.77
19.62
que equivale a:
h¡ - 3.77
+ 7.34 = 0
ecuación cuyas raíces son: + 2.89 m, + 2.09 m y -1.21 m.
Descartando el valor negativo, para saber cuál es el resultado correcto, habrá que ver en qué
régimen se encuentra el escurrimiento. Para esto, lo más fácil es calcular primero el tirante
crítico y compararlo con h, y h2 . En efecto, según 3.2.h:
y siendo q, = 60/6 = 10 rri/s/m:
hc^ = 2.17 m > hl = 1.5 m
y
140
ho
Luego, el flujo se encuentra en la zona supercrítica y el nivel se eleva en la sección 2, como
se indica en la figura 6.3 y debe encontrarse en la zona:
1.5 m < h2 < 1 3.77 (= 2.51 m)
Además, como 2/3 (3.77) > h c^ , E0
Emín y h2debe ser aún menor que hc^ (2.45 m) ,
por lo que la solución correcta es h2 = 2.09 m.
Ejemplo 6.2
En una reducción de un canal rectangular se tienen los siguientes datos:
Q = 100 ni!s\
a)
b)
S0 = hf
= 0;
B¡ = 8 m;
B2 = 2 m
Se desea saber si es posible que h, = 6 m. Si es así, calcule h2.
Si no es posible, calcule los mínimos valores reales de h¡ y h2.
Solución:
a)
q.
7Z1 =
q0 =
O = 12.5 m 2/s/m
2
E =6 +
= 50 m^lslm
12.5
19.62
= 6.22 m = E~
2
y según 3.3.b:
Qmáx = 1-^05 a/6.223 = 26.46 m^lslm < q2
Esto significa que con el gasto de 100 m3/s no es posible tener h¡ = 6 m, ya que la energía
específica resultante (6.22 m) es muy inferior a la necesaria para tener el valor del gasto
unitario obligado en la sección 2.
141
b)
Utilizando la misma expresión 3.3.b, puede obtenerse el menor valor requerido de la energía
específica para que qmM = 50 m3/s/m = q2, en efecto:
50
L705
2/3
= 9.51 m
Esta es la energía específica mínima necesaria para poder disponer de un gasto de 50 m3/s/m
en la sección 2, es decir, para que ésta tenga el ancho que se pide en el problema.
Cualquier valor de E > 9.51 m es factible, sólo que es precisamente con este valor con el
que se tendrán los mínimos tirantes que se piden en el enunciado del problema. Desde luego,
si E = 9.51 m, h2 será el crítico y su valor es h2 = hc = 6.34 m, como puede obtenerse
con la expresión 3.2.g.
Para calcular h¡, se recurre ahora a la ecuación de la energía en la forma:
12.5
19.62
= 9.51
equivalente a:
hi - 9.51 h\ + 7.96 = 0
y el valor que se busca en este caso puede ser teóricamente cualquiera de las dos raíces
positivas, ya sea la correspondiente a la zona subcrítica o a la supercrítica, como puede
deducirse al observar la figura 6.3. En realidad, el resultado estaría sujeto a las características
del canal antes de la sección 1, es decir, si el régimen es subcrítico h¡ > (2/3) (9.51) =
6.34 m y menor en caso contrario.
Las dos soluciones positivas de la ecuación son: 9.42 m y 0.97 m, por lo que la respuesta es:
h¡ = 9.42 m, si es régimen subcrítico (> 6.34 m)
y
h j’ = 0.97 m, si es régimen supercrítico (< 6.34 m)
siendo h2 = 6.34 m en ambos casos.
142
6.1.2 Ampliaciones
U n análisis igual al anterior permite concluir que en este caso en que q2 < q} va a suceder
exactamente lo contrario de lo que pasa en las reducciones. En la figura 6.4 se representan
los perfiles que se tienen en una ampliación bajo las mismas hipótesis hechas en el subtema
6 . 1 . 1.
Pueden ahora plantearse las siguientes preguntas:
1.
¿Puede haber tirante crítico después de una ampliación?
Si se observa la figura 6.4, se concluye que esto no es factible, porque en ese caso
<7/, el cual en la ampliación es m ayor que q2, tendría que ser m ayor que el qmáx,
correspondiente a la energía específica en el tramo y cuyo valor es el mismo en
ambas secciones.
2.
¿Puede haber tirante crítico en la sección 1, antes de la ampliación?
En este caso sí es posible, aunque al observar la figura 6.4, se concluye que no puede
predecirse si habrá tirante super o subcrítico en la sección 2, lo cual significa que la
sección 2 sería muy inestable y totalmente inconveniente proyectar una situación
semejante, es decir, habrá que exigir que el flujo se encuentre en una zona sub o
supercrítica muy claramente determinada.
(D
0
FIGURA 6.4
143
Ejemplo 6.3
En una ampliación de un canal rectangular se tienen los siguientes datos:
Q = 100 m3/s;
S0 = hfi_2 = 0 ;
5,=4m;
B2 = 8 m;
h¡ = 2 m
Calcule h2, si se sabe que h, está en la zona supercrítica (hl < h c^, lo que puede comprobarse fácil­
mente):
Solución:
Factibilidad del planteo:
q, =
4
= 25 m^lslm
Como q, deberá ser mayor que q2, debe revisarse que q¡ sea menor que qniáj, cuya magnitud
es, según 3.3.b:
Qmáx = 1-705 \f9.963
= 53.62 m 3lslm > 25
por lo tanto, el planteo está correcto.
Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2:
h2 +
100
JE
— = 9.96
2g
o
h¡ - 9.96
+ 7.96 = 0
Cuyas soluciones son: 0.94 m y 9.88 m.
Para escoger la correcta habrá que calcular el tirante crítico en la sección 2:
144
<loo"l2 1
—
= 2:52 m
hr 2 = a^ —
8 9.81
J
Y como, el flujo se encuentra en la zona supercrítica, el valor que se busca debe estar en el
rango (véase figura 6.4):
h2 < 2.52 m
Lo que significa que la solución es:
h9 = 0.94 m.
6.2 Flujo cuando hay sobreelevaciones o depresiones graduales en el fondo
de un canal
Supóngase que en la plantilla de un canal hayjuna obstrucción o una depresión y que pueda
despreciarse la pérdida que ocasiona, es decir, que entre la sección inalterada 1 y la alterada
2, hfi
sea nula; lo que implica, como se consideró en el análisis anterior, que la línea de
la energía sea horizontal. Pero el hecho de que la plantilla tenga una alteración, hace que la
energía específica no sea la misma en ambas secciones como puede apreciarse en las figuras
6.5 y 6.6, y por consiguiente, que tampoco las parábolas h - q sean iguales.
Esta característica debe tomarse en cuenta para estudiar el comportamiento del flujo.
6.2.1 Sobreelevación gradual en el fondo de un canal
Supóngase un canal con una sobreelevación en el fondo, tal como se indica en la figura 6.5.
A un cuando se acepte que la pérdida debida a dicha sobreelevación sea despreciable, de todas
maneras la energía específica en la sección alterada E2 tendrá que ser m enor que E¡, como
puede observarse en la misma figura. Además, la consecuencia inmediata de esta diferencia
de magnitudes entre las energías específicas, es que también la parábola h - q en la sección
2 resulta de m enor tamaño que la de la sección 1, tal como se deduce de la expresión 3.3.b.
En la figura 6.5 se ha representado el perfil de un escurrimiento en la zona en que aparece
la sobreelevación del fondo Az para el caso de un canal rectangular de ancho constante, por
lo que los gastos unitarios q, y q2 en ambas secciones son iguales.
145
©
©
h
h
S U B C R IT IC O
7
/_
z
E,
FIGURA 6.5
Con base en estas consideraciones, la sola observación de la figura 6.5 lleva a la conclusión
de que para "colocar" el mismo gasto q ( = q¡ = q2) en la parábola de la sección 2, que es
de m enor tamaño, tendrán que presentarse las variaciones del perfil de la superficie libre del
agua que se indican en dicha figura, a saber: el nivel baja en la sección 2 si el régim en es
subcrítico y sube si es supercrítico.
Ahora pueden proponerse las siguientes preguntas:
1.
¿Puede haber tirante crítico en la sección 2?
La observación de la figura 6.5 conduce a una respuesta positiva y puede decirse
además que ésta es una de las formas que puede utilizar un proyectista para crear una
sección de control.
2.
¿Puede haber tirante crítico en la sección 1?
Esto no es posible, ya que en este caso q¡ — qmáxl que es m ayor que qmáx2 y en la
parábola de la sección 2 no sería posible colocar el valor que se pide de qmáxl.
Ejemplo 6.4
Un canal tiene una sobreelevación en el fondo Az = 1.20 m y los siguientes datos adicionales (véase
figura 6.5):
B, = B2 = 6 m-
146
S0 = 0;
hf 2 = 0;
h, = 3.35 m;
Q = 32 m3/s
Calcule:
a)
b)
h2 si hj = 3.35 m
hj si h2 = 0.80 m
Solución:
a)
Primero conviene calcular el tirante crítico para saber en que zona de régimen se encuentra
el escurrimiento. Recuérdese que si el ancho es constante q, = q2 y por lo tanto el crítico
dado por la expresión 3.2.h es el mismo en ambas secciones y su valor es:
h rC i = h„O-} = h Cn
9.81
(32 / 6 )2 = 1.43 m < h 1
lo que significa que el flujo se encuentra en la zona subcrítica y que el valor buscado debe
estar entre h¡ y 2/3(E2), y como:
32
6 x 3.35
E, = 3.35 +
19.62
= 3.48 m
E 2 = £j - Az = 2.28 m
— E 0 = 1.52 m
3 2
Es decir, el valor buscado está en el rango:
3.35 > h, > 1.52
Planteada ahora la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2, se tiene:
3.48 = 1.2 + h2 +
32
6/z„
1
19.62
equivalente a:
h2 - 2.28 h22 + 1.45 = 0
147
cuyas raíces positivas son: 1.86 m y 1.12 m, y desde luego la solución es:
h2 = 1.86 m
b)
En este caso, el flujo se encuentra en la zona supercrítica, por lo que, observando la figura
6.5 y los datos, puede adelantarse que:
hj < h2 + Az = 2 m
y también
hj < hc = 1.43
por lo que es esta última condición la que prevalece.
La ecuación de la energía queda ahora:
hi +
32
6T ,
1
= Az +
19.62
+
32
6 x 0.8
1
19.62
que equivale a:
h,3 - 4.27 h,2 + 1.45 = 0
cuya solución es: h¡ = 0.63 m.
Ejemplo 6.5
Determine la altura Az máxima que puede tener el canal del ejemplo 6.4.
Solución:
El valor máximo de Az será aquel donde q sea igual a qmáx2, es decir, cuando en la sección
2 se tenga el tirante crítico, o lo que es lo mismo, cuando E2 corresponda a la energía
específica mínima posible para el gasto y las características geométricas del canal.
Entonces, de acuerdo con 3.2.h:
E m i.n . = E 2= -^ 1.43 = 2.14 m
148
o, con la expresión 3.3.b:
32
6 X 1.705
E,
2/3
= 2.14 m
por lo que el valor buscado es:
Az = Ej - E2 = 3.48 - 2.14 = 1.34 m
Ejercicio para el lector:
¿Qué sucede en el caso del ejemplo 6.5, si se construye una Az mayor de 1.34 mi
6.2.2 Depresión gradual en el fondo de un canal
Con las mismas hipótesis hechas en el subtema 6.2.1, si ahora existe una depresión en el
fondo de magnitud Az, el perfil de la superficie libre del agua según el tipo de régim en es
el indicado en la figura 6,6, como puede deducirse al realizar un análisis como el de los
casos anteriores.
En la misma figura se observa que no puede haber tirante crítico en la sección 2 y que sí es
posible que esto suceda en la sección 1, aunque es inconveniente porque crearía una situación
inestable aguas abajo al no poder precisarse cuál sería el tipo de régim en de esta sección. Por
tal motivo, el proyectista que se encuentre ante un caso como éste, debe garantizar que antes
de la depresión, el tipo de régim en esté claramente definido, lo que implica que h¡ no se
encuentre próxim o al crítico.
<D
hl
h
S U B C R IT IC O
FIGURA 6.6
149
Ejemplo 6.6
En el tramo 1-2 de un canal rectangular existe una depresión Az de 0.60 m (figura 6.6), las demás
características son:
q - qi = q2 = 20 m3/s/m;
h2 = 2 m;
hf
=0
7 1 .-2
La cota del fondo en la sección 1 es de 1,100 m.s.n.m.
Se desea conocer:
a)
El tirante h¡ en la sección anterior a la depresión.
b)
c)
Los tirantes posibles en el otro tipo de régimen para las mismas energías específicas.
Indique las cotas de la superficie del agua para los incisos a y b.
Solución:
Como E2 > Ev qmix/ debe ser mayor que q para que el problema tenga solución.
Ex = E2 - 0.60
E2 ~ 2 +
20
2
1
19.62
7.10 m
£j = 6.50 m
y según 3.3.b:
qmáxi ~ 1-705 \¡6.503
= 28.23 m3/s/m > 20
por lo que el problema sí tiene solución.
a)
Tipo de régimen:
A
202
= 3.44 m > h2 = 2 m
lo que significa que el flujo está en la zona supercrítica.
150
Aplicando ahora la ecuación de la energía entre las dos secciones:
hx +
20
~hf
19.62
6.50
equivalente a:
h f - 6.5 h f + 20.39 = 0
cuya solución es h x = 2.17 m
b)
( < hc)
En la zona subcrítica, los tirantes son simplemente la otra raíz positiva de la ecuación
anterior, es decir:
hx = 5.91 m
Para el valor correspondiente en la sección 2, la ecuación de la energía dice:
E 2 = 7.10 = h 2 +
20
X
19.62
equivalente a:
h f - 7.10 h f + 20.39 = 0
cuya raíz en la zona subcrítica es: h2 = 6.63 m.
c)
SUPERFICIE DEL AGUA
PLANTILLA
INCISO
SECCIÓN 1
SECCIÓN 2
SECCIÓN 1
SECCIÓN 2
a
1,100.00
1,099.40
1,102.17
1,101.40
b
1,100.00
1,099.40
1,105.91
0
1,106.03
151
6.3 Pérdidas de energía en transiciones
Las pérdidas de energía en transiciones pueden clasificarse en los dos tipos siguientes:
1. Pérdidas locales debidas al cambio de sección.
2. Pérdidas por fricción.
Estas últimas son despreciables en la mayoría de los casos, aunque cuando se consideren de
importancia, pueden calcularse dividiendo la transición en tramos longitudinales y aplicando
entre ellos la ecuación de la energía como se explicó en el tema 4.6.
En general, conviene calcular las pérdidas por fricción sólo en transiciones largas, es decir,
aquellas en que su longitud L es m ayor que el ancho de la plantilla del canal en su parte
más am plia (véase figura 6.1).
Cuando la transición no es muy gradual o es totalmente brusca, es necesario calcular la
pérdida local con coeficientes experimentales y substituirla en la ecuación 6.1.a.
Siempre que sea posible conviene no proyectar transiciones en régim en supercrítico porque
en este caso, aparecen ondas estacionarias que crean un problema mucho más importante que
el proveniente de las pérdidas que sólo afectan a los tirantes medios. En efecto, las ondas
mencionadas alteran la superficie libre del agua en forma tal que su efecto es la característica
preponderante para determinar la altura de las paredes del canal, pasando a segundo término
la influencia de las pérdidas de energía.
Por lo anterior, la m ayoría de las transiciones se proyectan en régim en subcrítico y debido
a esto, se ha enfatizado más la investigación en esta área. Las pérdidas locales son mayores
en las ampliaciones que en las reducciones debido a la turbulencia que ocasiona la separación
del flujo de las paredes del canal al entrar a la parte en que el ancho de la sección va
aumentando. Desde luego, es la geometría de la transición la que va a definir, en todos los
casos, la magnitud de la pérdida local.
Enseguida se presentan los criterios de varios investigadores para determ inar las pérdidas
locales en algunas de las transiciones más comunes sujetas a régim en subcrítico.
152
F O R M IC A
I
f \- 2
v 2f
K,
2g
hf = 0.10
/.-2
V2
_L
hf = 0.06
h- 2
2g
A LTSH U L
h.
h-2
= Ka
( ^ - v2y
2g
Ka
o
O
8
20°
> 30°
0.45
0.90
1.0
153
H IN D S
= K,
...
^1
y»
v i ­ ví
2g
s2
0.5 < Kh < 0.6 , para el rango: 0.1 < B2/B 1 < 0.5
P
Ejemplo 6.7
Un canal rectangular tiene una reducción brusca con las siguientes características:
B, = 6 m;
B2 = 5 m;
Q = 60 m3/s\
h¡ = 4.80 m\
S0 = 0.
Calcule h2
Solución:
Para saber si el problema está correctamente planteado, se determinará el valor mínimo necesario de
la energía específica en la sección 2, éste es, según 3.3.b:
2/3
w 2 m ín
154
1.705
60
y como £7. = —— = 12 m 3/s/m .
5
E-2min
. = 3.67 m
Ahora bien:
E, = 4.80 +
1
19.62
60
6 x 4.8
= 5.02 m
y aunque, debido a las pérdidas, E2 deberá ser menor que E¡, puede suponerse en un primer enfoque
que E2 > 3.67 m y, si es así, el problema sí tendrá solución, debido a que q2 = 12 m3/s/m sí queda
dentro de la parábola q2 - h2.
Para identificar el tipo de régimen, se determina el tirante crítico:
60f_L
6 J 9.81
= 2.17 m < 4.80
por lo que el flujo se encuentra en la zona subcrítica y puede utilizarse el criterio de Fórmica para
calcular la pérdida en la reducción, es decir:
V2
h
= 0.10 —
h-1
2g
Aplicando ahora la ecuación de la energía entre ambas secciones (el término 1.10 V212g es la suma de
la pérdida local y la carga de velocidad), se tiene:
£j = 5.02 = h2 + 1.10
60
5/ zT
1
19.62
equivalente a:
h¡ - 5.02 h2 + 8.07 = 0
155
y el tirante que se busca debe estar entre los valores:
- E 7 < h7 < 4.80
3 2
2
La solución buscada es, entonces:
h 2 = 4.65 m
lo que significa que:
= 4.65 +
60
5 x 4.65
y se comprueba así que h2 está en el rango adecuado.
6.4 Aforadores en canales
El gasto en un canal se puede m edir simplemente con un vertedor, ya que se conoce la
fórmula que relaciona la carga sobre su cresta con el gasto que pasa sobre él. Sin embargo,
el vertedor no es muy apropiado para medir gastos en canales grandes porque exige una
diferencia importante de niveles en la plantilla antes y después de la estructuradlo que trae
por consecuencia la necesidad de hacer grandes excavaciones.
Además, aguas arriba de un vertedor se forma una zona muerta donde se acumulan
sedimentos que term inan por azolvar toda la estructura. Sin embargo, los vertedores de pared
delgada sí son muy convenientes como aforadores para gastos pequeños del tipo de los usados
en los laboratorios de hidráulica o en canales de riego pequeños.
También pueden medirse gastos en canales construyendo secciones con geometría sencilla,
llamadas secciones de aforo, y a partir de mediciones cuidadosas, generalmente hechas con
molinete, elaborar curvas de gastos Q-h. La dificultad que encierra este procedimiento es que
la precisión obtenida no es a menudo la deseada y por eso se ha recurrido a otro tipo de
aforadores como el debido a ParshalT, quien se inspiró en el medidor que V enturi diseñó
para usarse en tuberías, caso en que se tiene la ventaja de que en un tubo es fácil lograr una
diferencia grande de presiones, lo que no sucede con las diferencias de tirantes que pueden
*PARSHALL, R.L. The improved Venturi flume. American Society of Civil Engineers, Vol 89
1926.
156
lograrse eh un tram o corto de canal a menos que se tom en providencias como las que planteó
el investigador mencionado (tema 6.5).
En general, el procedimiento para aforo en canales puede planearse en la siguiente forma:
Supóngase que se diseña un cambio geométrico en un canal de una sección 1 a otra 2,
construidas en un tram o pequeño del mismo canal. La ecuación de la energía 6 .1 .a puede
escribirse (para S0 = 0):
h, - h'2
y como:
en que Cf es un coeficiente que incluye la geometría del tram o.
La ecuación 6 .1 .a, utilizando el valor de hf 2 que se indica y el principio de continuidad,
conduce a una fórm ula del tipo:
(6.4.a)
Siendo Cd el coeficiente de descarga del dispositivo aforador.
Expresiones del tipo 6 .4 .a perm iten aforar el gasto de un canal; pero recuérdese que, en una
transición com ún, las diferencias de tirante son pequeñas y por tal razón difíciles de m edir
con precisión. Es por eso que algunos investigadores se han preocupado por diseñar
aforadores de m anera que las variaciones de tirante en el tram o analizado sean de magnitud
suficiente para su medición.
6.5 A f orador Parshall
R. L. Parshall, en 1926, propuso una estructura para m edir gastos en canales con régim en
subcrítico. El diseño se apoya en el hecho de que aguas arriba de un tirante crítico puede
mantenerse una sección hidráulicamente estable debido a que en la zona supercrítica no hay
alteraciones en sentido contrario al flujo.
157
Para lograr el tirante crítico en un tramo corto sin necesidad de hacer grandes excavaciones,
basta dism inuir el ancho del canal, según se explicó en 6.1.1. Apoyándose en esta propiedad,
Parshall diseñó el dispositivo que se representa en la figura 6.7. En efecto, al final del tramo
horizontal de longitud F indicado en la figura, se presenta el tirante crítico que además queda
garantizado, para un cierto rango de gastos, por la pendiente del tramo G que es supercrítica.
Una vez establecido este tipo de flujo, el gasto puede calcularse con una fórm ula semejante
a la de los vertedores de pared gruesa, como se explicará después de indicar los parám etros
para construir este aforador.
FIGURA 6.7
En la tabla 6.1 se indican valores del m edidor Parshall, en metros, para dos anchos de
canal*.
--------c
A
B
D
E
F
G
H
I
J
L
0.305
1.49
0.84
0.61
0.38
1.34
0.61
0.91
0.23
0.08
1.37
0.51
2.44
4.17
3.39
2.74
0.46
2.39
0.61
0.91
0.23
0.08
2.44
0.61
TABLA 6.1
* CHOW, Ven Te. Op. cit., pág. 73.
R
Según Azevedo y Acosta los rangos de gastos apropiados para estos aforadores son (l/s):
para C = 0.305 m: 3.11 < Q < 456 y para C = 2.44 m: 131 < Q < 3,950
Se observa en la figura que existe una contrapendiente en el tram o H cuyo fin es ayudar a
la form ación de un salto hidráulico que tiende a regularizar nuevamente el flujo.
La fórm ula propuesta por Parshall para m edir gastos en estructuras en que el ancho C está
entre 0.305 y 2.44 m, es en Sistema Inglés (Q e n /F /s , H a y C en ft)\
1 .5 2 2 C ° - 0 2 6
Q = 4C Ha
(Obsérvese su semejanza con la fórmula para vertedores).
Si se va a construir un aforador tipo Parshall fuera de los rangos señalados, lo recomendable
es elaborar u n modelo hidráulico de la estructura y calibrarlo de manera que se tenga una
curva de gastos fidedigna y, con base en ella, definir la fórmula apropiada.
6.6 Flujo entre pilas de puentes
La contracción provocada por las pilas de los puentes crea un perfil del tipo visto en la figura
6.3, aunque en régim en subcrítico, que es el más común, tiene la característica de que antes
de entrar en la reducción se form a un remanso Ah, como se muestra en la figura 6.8. Este
desnivel debe conocerse porque de él depende la altura tanto de los bordos del canal como
de la pila y por consiguiente, del puente mismo.
El valor de Ah está íntimamente ligado a la forma del frente y la parte posterior de la pila
y su valor ha sido obtenido experimentalmente por algunos investigadores como Nagler
(1918), Rehbock (1921), Yarnell (1934) y D ’Aubuisson (1940). Los experimentos se han
orientado al caso de pilas simétricas y paralelas al flujo y entre los estudios más conocidos
destacan el de D .L . Yarnell quien concluyó que Ah puede obtenerse con la expresión:
(6.6.a)
en que K es u n coeficiente que depende de la forma de las pilas y tiene los valores indicados
en la tabla 6.2, Fr0 es el número de Froude y a = 1 - B J B V
159
~ T
- .
1.
- t —
T
FIGURA 6.8
Por otra parte, Rehbock propuso utilizar la expresión:
Va
M = { í,
<6-6 'b>
en que £ es un coeficiente de forma cuyos valores también aparecen en la tabla mencionada.
160
Diseño del frente de la pila (fíg. 6.8)
K
£
0.9
1.3
Cuadrado
1.25
2.1
Triángulo de 90°
1.05
Semicircular
Curvo con
r = 1
2
0.90
r = 2t
1.0
TABLA 6.2
Debe advertirse que los valores de remansos, calculados con cualquiera de los procedimientos
propuestos por los autores mencionados, conducen a resultados distintos y a veces con
grandes diferencias.
Por esta razón, las fórmulas deben ser consideradas sólo como una orientación para el
proyecto y en casos de particular importancia es a todas luces recomendable estudiar el
problem a con un modelo hidráulico.
6.7 Alcantarillas
Se llama alcantarilla a la estructura que se usa para hacer pasar una corriente de agua por
debajo de un terraplén construido generalmente como base de una carretera, vía de
ferrocarril, etc.
Siendo la alcantarilla un conducto cerrado, puede trabajar totalmente llena y sometida a
presión, es decir, como tubo, o puede también funcionar como canal. En este último caso,
el com portamiento hidráulico del acceso a la alcantarilla es muy semejante al de un vertedor.
P or lo que se refiere al tipo de sección, generalmente las alcantarillas tienen sección circular
o rectangular, aunque también se usa la combinación de ambas: rectángulo-semicírculo,
llamada sección portal. En este capítulo se hará referencia únicamente a alcantarillas de
sección circular aunque se aclara que para otras secciones, también pueden obtenerse buenos
resultados utilizando las mismas fórmulas, si se hace una equivalencia del área en cuestión
a una sección circular con diámetro D . Desde luego la precisión de los resultados será tanto
m ayor cuanto la sección en estudio se parezca más a la circular.
161
El funcionamiento de la alcantarilla está muy ligado al nivel del agua, tanto en la entrada
como en la salida, así como a la form a de la toma y a las características físicas de la
estructura, principalmente: su diámetro, longitud y rugosidad.
En la figura 6.9 se representa una alcantarilla típica trabajando bajo diferentes cargas H. Se
observa que siempre hay un descenso del nivel al entrar el agua a la alcantarilla debido a la
contracción provocada por el cambio brusco de sección. Las posiciones a, b y c de la figura
indican un funcionamiento como canal. La posición c muestra la máxima carga I I posible sin
que la toma se ahogue. Sobre este nivel hay todavía zonas en que la alcantarilla sigue sin
trabajar a presión, como es el caso de la posición d. Para valores mayores de H la
alcantarilla empieza a trabajar a presión y si el tirante en la descarga h no alcanza a ahogarla,
la descarga será libre como lo indican las curvas a, b, c, d y e .
En caso contrario, es decir, cuando el tirante h es m ayor que el diámetro D de la alcantarilla
(figura 6.9), la descarga es sumergida como lo indica el n iv e l/.
FIGURA 6.9
El problem a consiste en determinar la curva de gastos H-Q de la alcantarilla, de m anera que
pueda garantizarse que para los gastos esperados no se sobrepase la altura del terraplén ni
la de los bordos cercanos. Si la alcantarilla descarga a una zona donde puede haber una
variación importante de tirantes, es necesario también disponer de la curva de gastos del
desfogue ya que el funcionamiento de la estructura estará sujeto a los niveles en esa zona,
sobre todo si éstos llegan a ahogar la descarga.
De lo anterior se desprende que, en form a muy general, el funcionamiento hidráulico de una
alcantarilla puede dividirse en dos categorías: estructuras que trabajan a superficie libre y
estructuras som etidas a presión.
162
Generalmente es preferible el prim er caso porque así las descargas requieren menores valores
de H, aunque el cálculo hidráulico ofrece mayores dificultades debido a que se presenta un
régim en no uniform e. Este tipo de régim en ha sido estudiado por algunos investigadores
siguiendo enfoques teóricos y apoyándose necesariamente en la experimentación.
En la tabla 6.3 se clasifican las posibilidades de funcionamiento de alcantarillas que se
analizarán a continuación, bajo dos enfoques diferentes.
CA SO
TO M A
A LC A N TA R ILLA
D ESC A R G A
1
no sumergida
a superficie libre
no ahogada
2
sumergida
a superficie libre
no ahogada
3
sumergida
bajo presión
no ahogada
4
sumergida
bajo presión
ahogada
TABLA 6.3
6.7.1 Estudios de F.W . Blaisdell
Blaisdell propone la estructura que se muestra en la figura 6.10 y especifica que la tom a se
ahoga cuando la relación H /D es m ayor de 1.25. Además, cuando la toma está sumergida
y la pendiente del conducto S0 no sobrepasa el valor 0.361, la alcantarilla trabaja totalmente
llena.
Blaisdell propone una de dos placas para eliminar la formación de vórtices, una vertical
rectangular colocada en la dirección del flujo y dividiéndolo geométricamente u otra colocada
sobre la clave de la alcantarilla y como una prolongación de ésta, que puede ser circular o
cuadrada, ambas se indican en la figura 6.10. Los vórtices deben evitarse porque si aparecen,
perm iten la entrada de aire y provocan un funcionamiento deficiente.
163
P or su parte, H enderson observa que existe una disminución del gastó obtenido en los
experimentos de Blaisdell debido a las contracciones en la toma y que dicha disminución es
más significativa mientras m enor sea la pendiente; para reducir este error, Henderson
propone corregir las fórmulas con el factor (S0 /0 .4 )°05 cuando 0.025 < S0 < 0.361. Si
S0 < 0.025 u horizontal, el funcionamiento depende básicamente del nivel en la descarga (h
en la figura 6.9), lo que presupone que el cálculo debe hacerse de aguas abajo hacia aguas
arriba, es decir, buscar el tirante en la salida de la alcantarilla que si tiene descarga libre
seguramente ésta será una sección crítica y si existe un valor de h superior al crítico, el
funcionamiento de toda la estructura estará íntimamente relacionado con ese tirante en la
descarga. Si S0 > 0.361 no debe hacerse ninguna corrección.
En estas condiciones, las fórmulas para las alcantarillas de Blaisdell, cuando la toma es no
sumergida y la pendiente de la alcantarilla S0 se encuentre en el rango 0.025 < S0 < 0.361,
son las siguientes:
Para 0 < H ID < 0 . 8
-
Q = 1.503 D 2.5
H
~D
0.05
1.9
0.4
(6.7.a)
equivalente a:
Q = 1.574 S00'05 D 0-6 H ' 9
164
(6 .7 .a ’)
y si 0.8 < H/ D < 1.2 *:
0.05
H
~D
1.5
So
0.4
(6.7.b)
= 1.443 .S00'05 D H 15
(6 .7 .b ’)
Q = 1.378 D 2 5
que se reduce a:
q
6.7.2 Enfoque de Patochka
En la República Checa, C. Patochka realizó investigaciones sobre alcantarillas de sección
circular utilizando dos tipos de toma, distintas pendientes longitudinales y varias condiciones
de ahogamiento tanto en la entrada como en la descarga. Por lo que respecta al valor del
tirante h aguas abajo necesario para que haya o no ahogamiento, el investigador mencionado
hace las siguientes consideraciones con relación a la figura 6.11:
FIGURA 6.11
*Aunque el límite máximo de los experimentos no alcanza el valor 1.25 que especifica Blaisdell,
es de suponerse que la expresión es válida para H/D = 1.25.
165
La ecuación de la energía entre las secciones A y B establece:
11
2g
2g
y
2g
Pa es la posible presión en la descarga, que tiene significado sólo si ésta es ahogada. Su valor
despejado de la expresión anterior, es:
y hay ahogamiento cuando Pa > 0, que equivale a decir que se cumpla la condición:
(6.7.c)
y si Vd = 0, la condición anterior se reduce a:
h > D
Los tipos de acceso que se estudiaron fueron la toma común sin ninguna transición y la toma
cónica propuesta por Andreyev, que se muestra en la figura 6.12. Ambos tipos de entrada
trabajan no sumergidos si la carga H, indicada en las figuras 6.9, 6.13 y 6.14, está en el
rango:
H < 1.20 D en tomas comunes
H < 1.40 D en tomas cónicas
(6.7.d)
I . 4D
D
D
FIGURA 6.12
166
Por lo que respecta a la contracción máxima h u que se indica en las figuras mencionadas,
Patochka comprobó que, para los dos tipos de toma, es aproximadamente un 10% inferior
al tirante crítico, es decir:
h x = 0.9 h c
(6.1.6)
Caso 1. Superficie libre en toda la alcantarilla
Este caso, señalado en la tabla 6.3, presenta varias posibilidades que se indican en la figura
6.13. Se trata sin duda de la opción de proyecto más conveniente, aunque también la que
ofrece mayores dificultades en el cálculo por lo que éste requiere especial atención.
En general, puede afirmarse que esta situación se presentará cuando se cumplan las
condiciones 6 .7 .d y la opuesta a la 6 .7 .c, es decir, cuando esta últim a sea:
h < D + — (V - V.)
S
( 6 .1 .6 )
o, h < D cuando Vd sea nula.
Sin embargo, además de estas características, es necesario tom ar algunas previsiones
relacionadas con la pendiente S0 y el nivel de la descarga h, y solamente así podrá
garantizarse que la estructura trabaje a superficie libre en su totalidad. Para esto se analizarán
los casos de pendiente subcrítica y supercrítica.
a) Pendiente longitudinal menor que la crítica (S0 < S c)
En la figura 6.13 puede observarse cómo después de la contracción en la sección 1, existe
tendencia a que se presente un salto hidráulico y si esto sucede, el proyectista debe
asegurarse que no será un salto ahogado porque, como se verá después, la base del cálculo
para este caso es garantizar que la sección contracta 1 esté totalmente libre.
Si se llama hs al tirante conjugado mayor del salto hidráulico, no hay ahogamiento cuando
éste es m ayor o igual al tirante normal h0 al que tiende, el flujo a superficie libre en la
alcantarilla. Tam bién se cumple la misma característica y condición respecto al tirante h de
la descarga, es decir:
167
h < hs > h0
En adición a lo anterior, el funcionamiento a superficie libre exige de m anera evidente que
hs < D , lo que en general se cumple, ya que si h, es cercano al crítico, hs no será mucho
más grande que h¡.
FIGURA 6.13
Por lo que respecta al tirante h2 , a la salida de la estructura que se indica en la figura 6.13,
su valor está relacionado con el exterior h, el normal h0 y el crítico hc y se tienen las
siguientes posibilidades:
h2 = h
si
h > hc
h2 = h c
si
h < hc
y
b) Pendiente longitudinal mayor que la crítica (S0 > S c)
Al tener la alcantarilla una pendiente supercrítica, la única exigencia para que trabaje a
superficie libre es que se cumplan las condiciones: 6 .7 .d y 6 . 7 .c ’. E n l a figura 6.14 puede
observarse que un proyecto de este tipo es el que m ejor garantiza el funcionamiento de la
estructura a superficie libre, aunque no debe olvidarse que cuanto m ayor sea la pendiente,
es necesario elevar más el terraplén.
168
c) Cálculo hidráulico del caso 1
Si se aplica la ecuación de la energía entre las secciones 0 y 1 de las figuras 6.13 y 6.14, y
se designa 0 al coeficiente de velocidad, se tiene:
H = h, + — _
1 ’ 2 g- 4>
k22
por lo que:
Vj = </> p g (H - hx)
y si Cc es el coeficiente de contracción, es decir, la relación del área hidráulica en la sección
contracta A¡ (figuras 6.13 o 6.14) al área total A de la sección transversal de la alcantarilla,
el gasto tiene el valor:
Q = CcA4> p g (H - hy)
(6-7.f)
Sin duda el gasto más importante es el máximo posible dentro del caso que se esté analizando
y para determ inar su valor, Patochka presenta las siguientes fórmulas:
Para tomas comunes:
Q . = 1.52 D 2
x^mnx
(6-7.g)
y para tomas cónicas:
Q ax
, = 2.17 D 2. 5
x^m
(6.7.h)
169
Pero es posible obtener expresiones para calcular gastos menores y así construir una curva
de gastos completa, si se procede como se indica a continuación:
Si llamamos a y (3 a las relaciones:
ol
H
=—
D
h,
(3 = —i ,
D
y
la expresión 6 .7 .f puede escribirse:
Q = Cc A <¡>Jl~g \¡D ~ J a - 0
Ahora bien, según Patochka, para secciones circulares
( 6 .7 .f )
4> — 0.85
en tomas comunes y
<t> = 0.95 para tomas cónicas, por lo que las expresiones generales son:
Q = 2.96 Cc J a - $ D 2 5
(6 .7 .i)
Q = 3.30 Cc J a - (3 D z 5
(6.7.j)
para tomas comunes, y
para tomas cónicas.
Por lo que respecta al coeficiente ¡3, el profesor Patochka proporciona su magnitud en
función de a y del tipo de toma, tal como se presenta en la tabla 6.4. U na vez conocida (3,
puede calcularse el tirante h¡ en la sección contracta y después el coeficiente dé contracción,
utilizando métodos trigonométricos como el usado en el tema 2.5, que conduce a la
expresión:
C
c
=
-
1 i18(T
W)
oU
~ (1
~
W ) 2 tan t 008"1 (1 "
7T
(6 ' 7 'k )
Recurriendo a la tabla mencionada, puede observarse que para los máximos valores de la
carga en tomas comunes no sumergidas cuando a
=
1.20, (3
=
0.65, y con este parám etro
al aplicar 6.7.k se obtiene el coeficiente de contracción: Cc = 0.69. Si ahora se substituyen
estos tres valores en la expresión 6 .7 .i se llega a la fórmula de Patochka 6.7.g.
Análogamente para tomas cónicas no sumergidas, se llega a la expresión 6 .7 .h si se substi­
tuyen en la 6.7.j los parámetros para la carga máxima sin ahogamiento, que son: a = 1.40,
(3
=
170
0.95 (tabla 6.4), y al aplicar 6 .7 .k se obtiene: Cc = 0.98.
a
~
H
D
h,
-1
D
(3 =
T O M A CO M Ú N
TO M A C Ó N IC A
0.39
0.36
0.23
0.47
0.43
0.28
0.54
0.50
0.32
0.62
0.57
0.36
0.68
0.63
0.40
0.75
0.69
0.43
0.81
0.75
0.46
0.88
0.80
0.49
0.93
0.85
0.52
0.99
0.90
0.54
1.05
0.95
0.56
1.10
1.01
0.59
1.16
1.05
0.61 (0.63)*
1.19
1.09
0.63 (0.67)
1.20
1.10
0.65 (0.68)
1.12
(0.70)
1.16
(0.73)
1.21
(0.77)
1.25
---------- (0.81)
1.30
(0 .86)
1.36
---------- (0.91)
1.40
---------- (0.95)
* Los valores entre paréntesis se refieren a las tomas cónicas.
TABLA 6.4
Ejemplo 6. 8
Alcantarilla de sección circular que trabaja a superficie libre:
S0 = 0.04;
D = 1.30 m;
h = 0
Tanto para la toma de Blaisdell como para la cónica de Andreyev, calcule:
a) Los gastos para H = 1 m.
b) Los gastos máximos cuando las tomas no estén sumergidas.
Solución:
a)
Como o: = H /D = 1 /1 .3 = 0.77 para ambos tipos de tomas la entrada es no sumergida.
En el caso de que ésta fuera tipo Blaisdell, como S0 se encuentra en el rango que requiere
corrección y H/D < 0.8 habrá que utilizar la expresión 6.7.a’:
Q = 1 .5 7 4 X 0 .0 4 ° 05 x 1.3o-6 X l 1-9 = 1.57 m 3/s
Para la toma cónica, aceptando por el tipo de datos que el funcionamiento corresponde al caso
1, se observa en la tabla 6.4 que para a = 0.77, (3 = 0.47 * y, según 6.7.k, Cc = 0.46, y
finalmente de acuerdo con 6 .7.j :
Q = 3.30 x 0.46 j O J l - 0.47
b)
x 1.3025 = 1.60 m 3/s
El gasto máximo se presenta en la toma tipo Blaisdell cuando a = 1.25, lo que implica que
la carga H sea:
H = 1.25 x 1.30 = 1.625 m
y según 6.7.b’:
Usando las expresiones 2.5.a, 2.5.c y la condición 3.2.c, puede comprobarse que
hc = 0.675 m, que coincide con la característica 6.7.e ( h l = 0.47 X 1.30 = 0.61 = 0.90 h c).
172
Q
*^max = 1.443
x 0 .0 4 005 X 1.30 X 1 .6 2 5 1,5 = 3.31 m Vs
Para la toma cónica, la expresión 6.7.h conduce a:
Q
, = 2.17 x 1.302 5 = 4.18 m 3ls
*~max
Recuérdese que en este último caso, la carga H = 1.4 X 1 .3 0 = 1 .8 2 m > 1 .6 2 5 en
la toma tipo Blaisdell, lo que explica un mayor gasto para la toma de tipo Andreyev.
Se recomienda al lector que calcule Sc y, si hay posibilidad de salto hidráulico, determine hs
para cerciorarse de que efectivamente se trata del caso 1.
Ejemplo 6.9
Usando las tomas de Blaisdell y la cónica de Andreyev, calcule el diámetro y la carga mínimos
necesarios de una alcantarilla de sección circular en que S0 = 0.45 para que su toma esté libre,
aceptando también que no habrá ahogamiento en la salida. El gasto deseado es Q = 2 m3/s.
Solución:
Dinín es aquel que permite el desalojo del gasto de proyecto en las condiciones límites de ahogamiento
de la toma.
Para la toma tipo Blaisdell, se usará la expresión 6.7.b sin la corrección de pendiente, ya que
S0 > 0.361 y para H/D = 1.25:
0.4
1 .3 7 8 x 1.25
1.5
1.02 m
H = 1.25 x 1.02 = 1.28 m
Para la toma cónica, con a
= 1.40, la expresión 6.7.h conduce a:
173
-
=
~
—= 2.17
0.4
= 0.97 m
y
H = 1.40 X 0 .9 7 = 1 .3 6 m
Caso 2. Alcantarilla que trabaja a superficie libre con toma sumergida y descarga
libre
Este caso está representado por la curva a de la figura 6.15.
De acuerdo con la condición 6 .7 .d y la definición de ce, la entrada a la alcantarilla está
sumergida cuando:
ce > 1.20 para tomas comunes
y
ce > 1.40 para tomas cónicas
(6.7.1)
Por lo que respecta al funcionamiento a superficie libre, que es el indicado en la figura 6.15,
ya se ha señalado que la condición 6 .7 .c ’ también debe cumplirse.
FIGURA 6.15
174
Pero además, es evidente que al aumentar la carga H, llegará un momento en que la
estructura trabajará completamente llena. Este momento no se ha podido determ inar con
precisión; sin embargo, Patochka sugiere que la estructura ya no podrá considerarse como
canal cuando el gasto Q (calculado como si trabajara a superficie libre) es m ayor que el gasto
máximo Q0 que se presentaría con régim en uniform e, es decir, con un tirante igual al
diámetro. En otras palabras, sólo si Q < Q0 se trata de una estructura cuyo funcionamiento
cae en el caso 2.
La condición anterior equivale a decir que para cualquier gasto existe una pendiente mínima
S0mín que corresponde a u n régim en uniform e con tirante igual al diámetro, ésta es, según la
fórm ula de M anning:
Q n
I d2
4
D'
4
2/3
o
s 0,„,„ = 10.29
16
(Q n f D ' ^
entonces, la alcantarilla no trabaja llena si para el gasto Q del proyecto:
16
S0 > 10.29
(Q n ) D ~ T
(6.7.m)
Cálculo hidráulico del caso 2
En este caso, según Patochka, el funcionamiento de la alcantarilla no está sujeto a la forma
de la entrada y para todos los casos de toma sumergida con funcionamiento a superficie libre
= 0.85 y /3 = 0.60, lo que según 6 .7 .k significa u n coeficiente de contracción:
Cc = 0.626.
Substituidos estos valores en 6 .7 .f se obtiene:
Q = 1.85 y]a - 0 .6 0 D 25
175
La fórmula publicada por Patochka es:
Q = 1.83 j a - 0 .6 0 D 25
(6.7.n)
y la diferencia en los coeficientes es sin duda la precisión que éltomó para 0.
En resumen, el cálculo para este caso puede hacerse en la siguiente forma:
Primero:
V erificar que se
cumplan las condiciones 6.7.1 y 6 .7 .c ’.
Segundo:
Calcular Q con 6.7.n.
Tercero:
Si se cumple la condición 6.7.m , el cálculo está correcto. Si no es así,
debe suponerse un funcionamiento sometido a presión que corresponde al
caso 3.
Ejemplo 6.10
Una alcantarilla debe trabajar con los siguientes datos:
H=3.80m;
n = 0.016;
D=1.15m;
S0 = 0.035;
Vd = 0;
h = 0.80 m
Calcule el gasto que desaloja.
Solución:
Siendo o; = 3 .8 0 /1 .1 5 = 3.3 , evidentemente la toma estará sumergida (condición 6.7.1). Por otra
parte, la descarga es libre al cumplirse la condición 6 .7 .c \
Ahora se puede suponer que trabajará toda la estructura a superficie libre y en tal caso es aplicable
la expresión 6.7.n:
Q = 1.83 \/3.3 - 0 .6 0 x 1.152 5 = 4 .2 6 m 3/s
Para comprobar que la estructura trabajará realmente a superficie libre, debe revisarse si es válida la
condición 6.7.m:
1 0 .2 9 (4 .2 6 x 0 .0 1 6 )2 x 1 .1 5 ~16/3 = 0 .0 2 2 7 < 0 .0 3 5
por lo que el cálculo estuvo correcto.
176
Ejemplo 6 11
Se desea desalojar 5.4 m3/s, utilizando alcantarillas circulares con una carga aproximada de 3.20 m
y diámetro de 0.55 m.
Los demás datos son:
n = 0.016;
S0 = 0.06;
h = 0.30 m
Vd = 0
y
Determine el número mínimo de estructuras.
Solución:
Como a = 3 .2 /0 .5 5 = 5.82 , las tomas estarán ahogadas, de acuerdo con 6.7.1 y según 6.7 .c’ la
descarga es libre.
El gasto que puede pasar por cada alcantarilla de acuerdo con 6.7.n, es:
Q = 1.83 j 5 J 2 ~ o J o
x 0 .5 5 25 = 0 .9 4 m 3/s
Por lo que el número necesario de estructuras es:
z ’ tr is
- 5 ' 74 ~ 6
Es decir, deben proyectarse como mínimo seis estructuras y cada una desalojará un gasto:
Q' =
= 0 .9 0 m 3/s
Desde luego, no habiéndose obtenido el número exacto, la carga tendrá que ser menor y su valor
despejado de 6.7.n y una vez hechas las substituciones necesarias tiene el valor:
H =
0.9 0
1.83 x 0.55 2 .5
+ 0 .6 0
0.55 = 2 .9 7 m
177
y ahora a = 2 .9 7 /0 .5 5 = 5.4 sigue cumpliendo con la condición de que la toma esté sumergida,
por lo que la fórmula es aplicable.
La última verificación es la de la expresión 6.7.m:
1 0 .2 9 (0 .9 0 X 0 .0 1 6 )2 x 0 .5 5 '16'3 = 0.052 < 0.06
lo que implica que las hipótesis de cálculo fueron las apropiadas.
El resultado final es el siguiente:
Se necesitan seis alcantarillas que trabajarán con una carga H = 2.97 m.
Caso 3. Alcantarilla con toma sumergida, bajo presión y con descarga libre
Esta situación se presenta cuando se cumplen las condiciones 6.7.1, 6 .7 .c ’ y Q > Q0. Este
últim o, tal como se definió en el caso 2.
La condición Q > Q0 es la opuesta a la 6.7.m , es decir, la alcantarilla trabajará a presión
si:
S0 < 10.29 (Q n)2 D ~1613
(6.7.m’)
Este caso está representado en la figura 6.15 por el perfil b.
Cálculo hidráulico del caso 3
Al aplicar la ecuación de la energía entre las secciones 0 y 2 de la figura 6.15, se tiene:
V2
lS n + H = D + _
+
2g
n
l K<
i
V2
2g
K¡ representa tanto los coeficientes de pérdidas locales como el de pérdida por fricción (n
coeficientes en total). Este último, si se usa la fórmula de M anning, vale:
178
n
2/3
D
~4
Los coeficientes de pérdida por entrada tienen los valores:
0.4 < K e < 0.5 para tomas comunes
y
K e = 0.10 para tomas cónicas.
De la ecuación de la energía se puede despejar la velocidad y, aplicando el principio de
continuidad, obtener la expresión para calcular el gasto:
IS0 + H - D
Q = 3.48 D
\
(6.7.n)
n
1 + £ K.
i
Caso 4. Alcantarilla con toma sumergida bajo presión y con descarga ahogada
Cuando tanto la toma como la descarga están ahogadas, la alcantarilla trabaja bajo presión
y estas dos condiciones señaladas como las 6.7.1 y la 6 .7 .c respectivamente, son las únicas
exigencias para que se presente el caso 4 que en la figura 6.15 corresponde al perfil c.
La ecuación de la energía entre 0 y 2 tiene ahora la forma-
n
SJ + H = h +
+
I
Ki
XI
2g
Análogamente al caso anterior, se llega a la siguiente expresión para el gasto:
179
Q = 3.48 D
IS0 + H - h
n
(6.7.ñ)
Este caso debe evitarse en lo posible, ya que es el que exige mayores cargas para desalojar
el gasto de diseño. En general se procura que la zona de la descarga sea lo más amplia
posible y con pendientes grandes, de m anera que no se presenten ahogamientos que redundan
en incrementos de la altura de los terraplenes.
Recuérdese que el caso 1 es el más conveniente y, por lo que respecta a los 2, 3 y 4, puede
decirse que en ese orden cada uno es más desventajoso que el anterior.
180
Ejercicios propuestos
6.1.
En un canal rectangular existe una ampliación de B r — 4 m a B2 = 6.50 m, los demás
datos son: Q = 50 m3/s; h¡ = 2.90 m; S0 = hf^
6.2
0. Calcule h2.
=
En la sección B2 aguas abajo de un tramo de canal rectangular se tiene el gasto
máximo posible. Si: B2 = 2 m; h2 = 3 m; h¡ = 3.50 m;
6.3
^ = 50 = 0. Calcule 5 ,.
En la sección 1, antes del cambio de ancho de una canal rectangular, se tiene el gasto
máximo posible, además:
hj = 5 m;
B¡ = 12 m;
h2 = 3.50 m;
hf^_ 2
= S0 = 0
Calcule B 2 y especifique el tipo de régim en en la sección 2.
6.4.
Se desea usar como aforador el tramo de un canal rectangular en el que hay un
cambio de sección de B¡ = 10 m a B2 = 14 m; S0 = 0 y hf^
= 0.
a) Determ ine una expresión para calcular el gasto en m3/s, en función de los tirantes
h } y h2.
b) Calcule el gasto si h¡ = 4 m y h2 = 5 m
6.5
En la sección 2 de un tramo de canal rectangular: B2 = 15 m, h2 = 2 m y q2 =
16.67 m 3/s/m .
Si Sn = K
u
6.6.
h-2
= 0 , determine el ancho mínimo posible en la sección 1.
Una alcantarilla de sección circular y toma común debe funcionar con tom a no
sumergida. Sus datos son los siguientes:
D = lm ;
S0 — 0.18;
n = 0.013;
h = 0
Calcule el gasto máximo que puede desalojar y compruebe que corresponde al caso
que usted supuso.
181
Una alcantarilla circular con toma común tiene los datos siguientes:
D = 1.10 m;
S0 = 0.025;
n = 0.013;
H = 2.00 m;
h = 0
Calcule su gasto y compruebe sus hipótesis.
6.8
Se desea hacer pasar un gasto de 4 m3/s con una carga de 3 m por una alcantarilla con
toma común sumergida y que trabaje a superficie libre. La topografía del lugar
garantiza que la descarga no será ahogada. Si n = 0.014, calcule el diámetro y la
pendiente mínimos.
6.9
Para la alcantarilla del problema anterior, calcule las cargas necesarias para los
gastos:
1.30 m3/s;
0.37 w'/.v:
2 m3/s;
3 m3/s
y
3.5 m 3/s
Dibuje la curva de gastos H-Q.
6.10
En una alcantarilla con toma cónica se tienen los siguientes datos:
D = 0.40 m;
S0 = 0.04;
n = 0.013;
h = 0.10 m;
Vd = 0
Calcule el gasto para:
a) H = 0.50 m
b) / / = 1.60 m
6.11
Se desean desalojar 6 m3/s a través de un terraplén utilizando alcantarillas circulares
con toma no sumergida. Los demás datos son: S0 = 0.25; n = 0.014; h = 0; bordo
libre = 0.60 m; D = 0.80 m.
Determine el número mínimo de alcantarillas z y la altura mínima del terraplén H t
para los siguientes casos:
a) Toma tipo Blaisdell.
b) Toma tipo Andreyev (verifique que S0 > Smín).
182
6.12
Si en el problem a 6.11 se coloca una alcantarilla más, ¿cuáles son los nuevos valores
de H t en ambos casos?
6.13
6.14
Calcule el gasto que desaloja la alcantarilla con toma común si:
D = 1.20 m;
H = 8.00 m;
h = 0.50 m;
Vd = 0;
K e = 0.5;
/ = 40 m;
n - 0.014;
S0 = 0.02
Calcule el gasto que desaloja una alcantarilla con toma cónica en las siguientes
condiciones:
D = 0.60 m;
H = 6.50 m;
h = 1.70 m;
l = 28 m;
n = 0.014;
S0 = 0.04
Vd = 0;
183
CAPÍTULO 7
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DEL FLUJO
E N CAUCES NATURALES
7.1 Aspectos generales
Los cauces cuyo fondo y paredes están formados por materiales sueltos, o aun los canales
revestidos que transportan agua con substancias sólidas en suspensión, presentan la característica
de que están sometidos a cambios constantes en su forma y, por consiguiente, en su
funcionamiento hidráulico. Los cambios morfológicos se deben fundamentalmente a dos
fenómenos: la erosión y el depósito.
En el terna 2.3 se señaló que si el canal no es revestido, tiene una cierta velocidad máxima
permisible para no erosionar sus paredes y si lleva material en suspensión también existe una
velocidad mínima necesaria para que dicho material no se sedimente. Sin embargo, como se
explicará posteriorm ente, no son sólo las velocidades límites los factores que deben considerarse
sino tam bién otros parámetros.
La posibilidad de alteración del cauce puede presentarse inclusive en canales con paredes y fondo
no erosionables. Esto sucede cuando el flujo arrastra material en suspensión y hay zonas o
momentos en donde la velocidad es tan baja que dicho material se deposita en el cauce.
Son muchas las obras de ingeniería que están supeditadas a escurrimientos de este tipo, por
ejemplo, los puentes, los vados, las alcantarillas, las cortinas de las presas, etc. Cualquier
alteración que provoque cambios de forma en el cauce afecta seriamente a las estructuras que
fueron proyectadas para ciertas condiciones que, al no presentarse, pueden implicar la necesidad
de encauzar o rectificar un río o sobreelevar las paredes de un canal y, en el caso de un vaso
de almacenamiento, una previsión escasa sobre la cantidad del material arrastrado por el río,
puede inclusive acortar la vida útil de la obra debido a que, dicha vida útil en las grandes presas
es el tiempo que tardan los azolves en alcanzar la obra de toma.
Es evidente que son muy graves los problemas económicos que puede acarrear un proyecto en
que se haya desestimado la importancia de cuantificar adecuadamente el transporte de sedimentos
y es por ello que varios investigadores se han dedicado a estudiar este fenómeno, por cierto muy
complejo, razón por la que hasta ahora no ha sido posible aclarar con suficiente amplitud todas
185
las dudas aunque sí se han logrado avances que permiten entender m ejor el problem a y disponer
de criterios para el diseño. En este capítulo se presentan algunos de los enfoques existentes para
el estudio del transporte de sedimentos y también procedimientos para diseñar estructuras sujetas
a dicho fenómeno.
7.2 Mecánica del transporte de sedimentos
7.2.1 Conceptos y definiciones utilizados en el estudio
a) Velocidad de caída de una partícula
Cuando una partícula sólida se deposita en la superficie de un líquido en reposo, empieza a
descender acelerándose hasta alcanzar una velocidad uniforme que se debe al equilibrio entre su
propio peso sumergido y la fuerza de fricción que experimenta al m overse en contacto con dicho
líquido. A esta velocidad uniform e se le llama velocidad de caída, cuando el descenso de la
partícula no está sujeto a la influencia de las paredes del recipiente ni es afectado por la vecindad
de otras partículas. Además si el líquido es agua, la norma dice que ésta debe encontrarse a la
tem peratura de 24° C:
b) Esfuerzo cortante en el lecho de un cauce
Supóngase que el canal representado en la figura 2.2 es el de un cauce natural cualquiera, pero
que sus secciones 1 y 2 están lo suficientemente cercanas para aceptar que entre ellas el flujo
se puede considerar uniforme. Si además, se acepta que en el canal la relación B/h es
suficientemente grande como sucede en la mayoría de los cauces naturales, puede decirse que
es la fricción en el fondo la que realmente se opone al flujo y ésta no es otra cosa que un
esfuerzo cortante que se designará r 0 . Con base en esta consideración y de acuerdo con la
figura 2.2 puede escribirse la igualdad:
y
AL sen 6
=
t 0
pL
que equivale a:
t0
186
= y RS
(7.2.a)
c) Velocidad al esfuerzo cortante
Si p es la masa específica del fluido, se define como velocidad al esfuerzo cortante F* a la
expresión:
V. =
(7-2.b)
Se le llama "velocidad" únicamente por sus unidades, no por su significado real.
Combinando 7 .2 .a y 7 .2 .b , y recordando que y = Pg ■ se obtiene la relación:
y* = g R s
(7.2.C)
Para calcular V* basta referirse a la velocidad del flujo V y al coeficiente de rugosidad. Por
ejemplo, si se hace referencia a la fórmula de Darcy, deducida para secciones circulares de
diámetro D y que puede escribirse en la forma:
f V2
S = L —
D 2g
y utilizando 7 .2 .c, sin olvidar que R = DIA , se concluye que:
V*
/
(7.2.d)
Análogamente, si se usa el coeficiente de rugosidad n de la fórmula de M anning, se obtiene la
equivalencia:
V.
_
g n l ; (Sistema MKS)
R 1/3
(7-2.e)
El coeficiente de rugosidad de Manning para diferentes granulometrías del lecho puede calcularse
con expresiones como las que se indican a continuación:
187
Strikler (1923)
n = 0.042 (d65) 1/6
(7.2.f)
n = 0.038 (d75) 1/6
(7.2.g)
n = 0.038 (¿?90) 1/6
(7.2.h)
Williamson (1951)
Meyer-Peter y Müller (1948)
En estas fórmulas,
eldiámetro representativo del grano
dp está en metros
y como es sabido p
es elporcentaje en peso dela muestra granulométrica del material, cuyo diámetro
igual a dp.
es m enor o
d) Número de Reynolds de la partícula
Si d es el diámetro de una partícula sólida sumergida en un líquido en movimiento cuya
viscosidad cinemática sea v , se llama número de Reynolds de la partícula a:
V. d
Re* = —
(7 .2 .i)
7.2.2 Formación del lecho en cauces con materiales no cohesivos
El material sólido transportado por una corriente puede ir simplemente rodando por el fondo o
saltando, caso en que se habla de arrastre de fo n d o , o también puede ser arrastrado por la
corriente sin tener ningún contacto con el fondo, que es cuando se habla de gasto sólido del
material de lavado. En adelante se hará referencia únicamente al arrastre de fondo.
Simons y Richardson estudiaron el comportamiento del fondo en materiales no cohesivos y
diámetros máximos del orden de 0.5 mm. En la figura 7.1 se m uestran las diferentes
formaciones del lecho al ir aumentando el número de Froude.
188
Fr «
0)
FO NDO
'
'.'•f-Áy
D U N AS
O NDAS
b)
I
DUN AS CON
AR R U G A S
PEQ U E Ñ A S
'•i'
Fr «
e)
Fr «
P L A N O CON
ARRUGAS
C)
I
I
Fr <
L IM P IA S
d )
E S T A C IO N A R IA S
( Fra <
f )
Frb <
Frc <
FM <
F' e <
FO NDO
I
P LA N O
A N T I D U N AS
F' l )
FIGURA 7.1
189
Partiendo de un fondo totalmente plano para un número de Froude Fr = 0 (definido en 3.2.2),
al em pezar a aum entar la velocidad del flujo aparecen pequeñas arrugas que se desplazan en el
sentido de la corriente (figura 7.1.a). Si se aumenta el número de Froude, se form an dunas que
tienen más suave el talud aguas arriba que el posterior. Estas dunas aún con rugosidades (figura
7.1.b) se desplazan también en el sentido del flujo y para mayores velocidades dichas
rugosidades desaparecen (figura 7.1.c).
Obsérvese que en estos dos últimos casos, el perfil del agua tiene las características típicas de
la zona subcrítica descritas en 6.2. Para m ayor velocidad el fondo se hace otra vez plano (figura
7 .1.d); después, cuando Fr = 1 , aparecen ondas prácticamente paralelas entre el fondo y la
superficie (figura 7 .1 .e ); y por último, ya en la zona supercrítica, se form an antidunas que se
desplazan en sentido contrario al flujo (figura 7.1.f).
Ni las dunas ni las rugosidades se extienden a todo el ancho del cauce, sino sólo en tramos más
o menos irregulares; el material asciende por la parte anterior y se deposita en la posterior,
creando así el mecanismo de desplazamiento en la dirección de la corriente. Según Henderson,
las rugosidades no se presentan si el diámetro medio de los granos es m ayor de 2 mm
o la
velocidad de caída es m ayor de 8 m m/s. Por su parte, Kolar señala 0.6 mm de diámetro máximo
para que se form en las arrugas y dice que éstas miden hasta 60 cm de longitud y tienen una
altura máxima de 6 cm. Estas formaciones pueden observarse en los fondos de los ríos con baja
velocidad o en las playas y también son ocasionadas por el viento, como es común ver en los
desiertos.
7.2.3 Principio del movimiento
Un cauce natural se altera y cambia su funcionamiento cuando los granos que lo forman
empiezan a desplazarse. M ientras no se ha llegado a este punto, los granos del lecho están en
reposo y el cauce no se deforma; algo que es generalmente una característica buscada en el
diseño. Es por eso que es muy importante el concepto llamado principio del m ovim iento que
señala el momento en que empiezan a producirse deformaciones, como las descritas en el tema
anterior.
El momento en que un grano empieza a moverse no es totalmente claro, aunque podría definirse
com o el instante en que cada partícula sólida empieza a perder su equilibrio estático. Sin
em bargo, como los granos son de diferente tamaño y forma, es necesario tomar en cuenta por
lo menos la curva granulom étrica del material del cauce y considerar que el desplazamiento de
éste comienza cuando la energía del agua es suficiente para que todo el lecho entre en
movimiento.
P or otra parte, como muchas fórmulas se relacionan con un diámetro d que pueda considerarse
representativo del material del lecho del río, existen diferentes opiniones sobre cuál deba ser esa
dim ensión característica. Henderson recomienda usar d 75 como diámetro representativo,
aclarando que probablemente dicho valor sea un poco m ayor en la mayoría de los cauces
naturales, por lo que tal suposición está del lado de la seguridad en el análisis. Como puede
verse, las fórmulas 7 .2 .f, 7 .2 .g y 7 .2 .h están en función de la granulom etría del m aterial, según
los criterios de los autores correspondientes.
A. Shields (Berlín, 1936) hizo estudios experimentales en cauces formados con granos no
cohesivos de diámetro uniform e d y determinó en ellos el momento en que su lecho empieza a
desplazarse. Este fenómeno que llamó "principio del m ovimiento", es función, según concluyó
el mencionado investigador, del R e* y del parámetro adimensional Fs que denominó "factor de
transporte" y que tiene la siguiente forma:
T
V2
Fs = -------- 2------- =______ L
5
y(S s - 1) d
{Ss - 1)gd
(7.2.j)
en que Ss es la relación del peso específico de la partícula sólida al peso específico del agua en
que se encuentra sumergida, es decir, si y s es el peso específico del grano y 7 el del
agua: Ss = y s/ y .
Shields detectó experimentalmente el principio del movimiento y otros fenómenos como la
form ación de arrugas en el lecho, de dunas, así como el momento en que los granos "saltan" y,
por últim o, cuando éstos quedan totalmente suspendidos en la corriente.
Este investigador gráfico sus resultados en la forma indicada en la figura 7.2, en donde resalta
la curva límite arriba de la cual empiezan los granos a moverse causando la deform ación del
lecho. La zona inferior a la curva corresponde entonces a un lecho en total reposo.
191
*-0.056
2
4
6 8 10
20
40
60
100
200
400
1000
R - V*d
e* - p
ZONA LAMINAR: 0 < R e<^ 2
ZONA DE TRANSICIÓN: 2 < Re# ^ 4 0 0
ZONA TURBULENTA: Re^ 4 0 0 (Fs=0.056)
SIN MOVIMIENTO: Fs mín= 0.032
FIGURA 7.2
Se observa en la figura 7.2 que en la línea límite de inicio del movimiento existe una parte en
que la relación F s = f(Re*) es lineal hasta un valor aproximado de Re* = 2. En esta zona los
granos de arena de diámetro d están cubiertos por una capa laminar cuyo espesor es:
5 = 11.6 —
(el coeficiente 11.6 es adimensional)
(7.2.k)
*
y por tal razón, el flujo se comporta como si las paredes estuvieran lisas, es decir, se trata de
un flujo laminar en el lecho del cauce. Posteriormente aparece un tram o curvo que tiene un
punto abajo del cual en ningún caso hay movimiento. Este punto corresponde aproximadamente
al valor de Fs = 0.03 y finalmente en el extremo derecho de la curva, cuando Re t > 400, los
granos son de mayor tamaño que el espesor de la capa laminar, es decir, d > 5, ya que dicho
192
espesor ha disminuido al aum entar V* y desaparece así la influencia de la viscosidad a partir de
ese mom ento, haciéndose además el fenómeno independiente del número de Reynolds de la
partícula, por lo que se tiene un régim en turbulento en el lecho del cauce. En dicho régimen,
Fs alcanza un valor constante e igual a 0.056.
Por otra parte, en un gran número de casos, el material no cohesivo que form a el lecho de los
ríos es cuarzo con un peso específico medio, tal que Ss = 2.65, y si se supone que el lecho está
formado por granos de este tipo y el flujo es turbulento (Fs = 0.056), de la expresión 7.2.j
puede despejarse la velocidad al esfuerzo cortante en cm/s, quedando:
V i = 0.056 x 1.65 x 981 d = 90.64 d
(7.2.1)
y como en la zona turbulenta:
E d
R e x = _ J _ > 400
v
y para el agua
v = 0.01 cm 2/s ,
la condición anterior implica que:
V
> —
d
o
Vi > —
d 2
expresión, que combinada con la 7.2.1, implica que para que haya régim en turbulento en el lecho
es necesario que el grano tenga un diámetro mínimo de 0.56 cm (en la literatura inglesa se
especifica esta condición como: d > 1/4"
). Esto significa que si en la zona turbulenta en el
lecho d < 0 .5 6 cm, necesariamente habrá deformación en el cauce.
Partiendo tam bién de la expresión 7.2.1 y de la definición 7 .2 .i, se llega a la conclusión de que
en la zona turbulenta para el m aterial en que Ss = 2.65, se cumple:
d = 0.0103 R e í 3 ;
[cm]
(7.2.m )
Lo que significa que un aumento del número de Reynolds de la partícula implica necesariamente
un diámetro m ayor de los granos para que éstos se encuentren en la frontera del movimiento si
el flujo en el lecho es turbulento. Además, puede decirse que el lecho se encuentra en reposo
193
si para un cierto Re* > 400, el diámetro de los granos cumple con la condición:
d > 0.0103 R e f ;
[cm]
(7.2.n)
ya que en tal caso, según 7.2.j , Fs sería menor de 0.056. Recíprocamente, si d es m enor que
el indicado en 7 .2 .m , el material se encuentra en movimiento siempre que Re* >
400.
Henderson presenta la curva límite de principio del movimiento de Shields relacionando el
diámetro d, representativo de la partícula, con el producto R S para cuando Ss = 2.65
y v - 0.01 cm 2ls . Esta representación, indicada en la figura 7.3, facilita mucho los cálculos
cuando el material sea del tipo señalado, lo que sucede como ya se ha dicho, en un gran número
de casos. Si se trata de otro material puede ser útil estructurar la curva correspondiente sobre
todo cuando hay necesidad de hacer un mayor número de cálculos.
DIAMETRO DEL GRANO
d,
FIGURA 7.3
194
EN PULGADAS
La factibilidad de graficar d - f(R S) puede demostrarse con base en las definiciones de Fs, V*
y Re*. Se deja al lector la com probación del procedimiento.
P or otra parte, en muchos cauces naturales se acepta, con fines prácticos, que la sección es
rectangular y como el radio hidráulico R es un factor determinante en este tipo de estudios,
conviene recordar que estas secciones son factibles sólo si:
B > 2R
(7.2.Ü)
R < h
(7.2.o)
y'
Además, en los cauces naturales es común que B > > > h, lo que permite aceptar la
aproximación:
R = h
Estas tres características pueden demostrarse fácilmente a partir de la definición de R.
Como los experimentos de Shields fueron hechos con granos de diámetro uniform e d y esto no
es lo que sucede en la naturaleza, Eguiazarov propuso en 1965 la siguiente expresión para
principio del movimiento únicamente en la zona turbulenta:
Fs = --------------[ l o g l 9 (d50 / d ) f
(7.2.p)
En que d es el diámetro medio de los granos de la muestra.
Expresiones derivadas de la 7 .2 .n, que garantizan el reposo en la zona turbulenta, son las
siguientes:
d > 0.011
y,2 ; [cm]
(7 .2 .n ’)
y, según 7.2.c:
d > 10.82 R S ; (unidades: las de R)
(7 .2 .n ” )
195
Ejemplo 7.1
Un canal rectangular con fondo arenoso tiene las siguientes características:
d = d 75 = 2 mm;
S¡
=
2.65; B = 10 m;
h
=
1.5 m; Q
=
6 m 3/s
;
V
=
0.01 cm2/s
Se desea saber lo siguiente:
a)
b)
c)
¿Hay arrastre de fondo?
¿Cuáles son Q y S0 máximos para que el lecho se mantenga en reposo?
Determine el gasto máximo sin que haya arrastre para la pendiente S0 original.
Solución:
a)
Para calcular Fs con la expresión 7.2.j es necesario primero conocer V* que puede obtenerse con
7.2.e una vez definido el coeficiente n de Manning, que según la fórmula de Williamson 1.2.% es:
n = 0.038 (.002)1/6 = 0.013
y siendo:
V = — = 0.4 mis
15
y
R = — = 1.15 m
13
y de acuerdo con 7.2.e, se tiene:
y
= 1.59
L
= 0.4 x 0.013 \[9
y * í =
cm/s
1.151/6
luego:
Fc =
1,59 2______ = 0.0078 < < 0.03
5
1.65 x 981 x 0.2
Este valor de Fs garantiza la ausencia de arrastre sin que haya necesidad de calcular Re. para
llegar a esta conclusión. Puede obtenerse el mismo resultado usando la curva de la figura 7.3.
Para esto, debe antes calcularse el valor original de S0, que es:
196
So =
Í0.4
X
1.15
0.013
0.000022
2/3
y siendo d = 2 mm = 0.08", en la figura 7.3 se ve que (RS) máximo es, aproximadamente:
(RS)
. = 4.5 x 10“4 Jf t = 0.00014 m
v ' max
y en este ejemplo:
R S = 1.15 x 0.000022 = 0.000025 m < (RS)n
b)
Re
= L59
= 31.80
0.01
Para este valor de Re* el movimiento del lecho empieza, según la curva de Shields (figura 7.2),
aproximadamente cuando Fs = 0.035, y V* vale ahora, utilizando 7.2.j :
= sj0.035 x 1.65 x 981 x 0.2 = 3.37 cm/s
por lo que, de acuerdo con 7.2 .i:
Re
= 3 3 7 X ° '2 = 67.40
0.01
que corresponde- en la curva a Fs = 0.042. Como este valor es diferente del anterior (0.035),
debe hacerse un ajuste. Para el nuevo valor de Fs , calculando en la misma forma que como se
hizo anteriormente, se obtiene V* = 3.69 cm/s y Re* = 73.80. Este último parámetro
prácticamente corresponde en la curva de Schields al mismo Fs = 0.042, lo que significa que
puede ya aceptarse. Utilizando otra vez la expresión 7.2.e, se tiene que la velocidad máxima del
flujo sin que haya arrastre es:
V
0.0369
0.013
1.15 1/3
9.81
0.93 m is,
O
, = 0.93 x 15 = 13.95 m 3ls
¿z-'mnx
0.93 x 0.013
1.15
2/3
= 0.00012
197
El problema puede resolverse sin tanteos con ayuda de la figura 7.3. En efecto, en dicha figura
se lee que, para d = 0.08", (RS)máx = 4.5 x 10 ' 4ft, equivalente a 0.00014 m, que es el valor
obtenido antes, por lo que:
0.00014
1.15
c)
'
=
0.00012
Para determinar el gasto máximo sin que se presente el arrástre de fondo, pueden hacerse las
siguientes consideraciones:
El valor máximo de Fs corresponde según su definición 7.2.j , a aquel en que V,
sea máxima.
Asimismo, de acuerdo con 7.2.c, V, es máxima cuando R también lo es, si S es
fija como en este ejemplo.
Por otra parte, el valor máximo de R, según 7.2.ñ, es siempre menor que
B / 2 = 5 m y en el límite, si R tuviera este valor, de acuerdo,con 7.2.c:
P , = v/9 81 x 5 x 0.000022 = 0.0328 mis
y utilizando 7.2.j:
5
1.65 x 981 x 0.2
= 0.03
que coincide con el mínimo que en todos los casos garantiza el reposo. Si además se comprueba
que Re, = 65.60, puede asegurarse que, según la figura 7.2, en este canal no habrá arrastre de
fondo sea cual fuere su gasto mientras que S0 y B mantengan los valores señalados.
Como en los casos anteriores se puede obtener el mismo resultado con ayuda de la figura 7.3,
ya que para los datos del ejemplo, el límite máximo al que podría acercarse el producto RS es:
R S = 5 x 0.000022 = 0.00011 m ,
y este valor es menor que el máximo que señala el principio del movimiento (0.00014 m).
Ejemplo 7.2
Un cauce arenoso tiene las siguientes características:
Ss = 2.65;
198
d = d65 = 0.9 cm\
B = 40 m; h = 2 m;
S0 = 0.0013
a)
¿Hay arrastre de fondo?
b)
Calcule hmáx y Qmáx para que no haya arrastre.
Solución:
Según 7.2.f: n = 0.042 (0.009)1/6 = 0.019 ; R = 1.818 m;
V = — '— 1.8182/3 x 0.0013,/2 = 2.80 m / s
0.019
y utilizando 7.2.e:
9 81
V, = 2.80'x 0.019J . „ ; „ 1/3- = 15.23 cm/ s ,
1.818
= 2^23 x 09 = i 37o 46
0.01
Como Re* > 400, el flujo en el lecho del cauce está en la zona turbulenta.
El diámetro mínimo para que haya reposo es, según 7.2.m:
| d = 0 .0103x 1,370.462/3 = \ . 21 cm > 0.9 cm,
V
por lo que sí hay arrastre. Si se calcula Fs con la expresión 7.2.j, se obtiene Fs = 0.16 ( > >
0.056).
Desde luego, con sólo observar que d > 0.56 cm, podría ya asegurarse que el régimen en el
lecho es turbulento y utilizando las expresiones 7.2.n’ o 7.2.n” se obtiene la misma conclusión.
b)
Como Re* > 400, para que no haya arrastre, el máximo valor aceptable de Fs es 0.056, que de
acuerdo con 7 .2.j, corresponde a:
V
= 9.03 cmls
y según 7 .2 .c, el valor máximo aceptable del radio hidráulico es:
R
=
máx
0.0903
= q 64 m
9.81 x 0.0013
y de la expresión para calcular el radio hidráulico en secciones rectangulares, se tiene.
199
h
=
m ax
0-64 x 40
40 - (2 x 0.64)
0.66 m
que corresponde a un gasto de:
Qmáx = — qX01°9 66 0 642/3 x °-0013 1/2 = 37.21 m 3ls
Se recomienda al lector resolver este inciso basándose en el comentario que aparece al final de
\ la solución del inciso a de este mismo ejemplo.
C. M. W hite (Londres, 1940) a su vez planteó un procedimiento que explica el comportamiento
de las partículas en el momento en que pierden su equilibrio estático. Este investigador consideró
que el esfuerzo cortante en el lecho del cauce r 0 se debe al promedio de las fuerzas de arrastre
experimentadas por los granos más expuestos al flujo y que dichas fuerzas no son significativas
en los granos alojados en capas inferiores, aunque estos granos sí influyen en el fenómeno,
obstaculizando en cierta medida el movimiento.
W hite tomó en cuenta este efecto al introducir un coeficiente experimental k que llamó fa c to r
de em paque y que vale:
k = d 2IA
En que A es el área equivalente que expondría un solo grano del lecho a la acción de la energía
del agua como si estuviera aislado, simulando así efectos tales como los ya señalados, a saber:
obstáculos presentados por las partículas sólidas menos expuestas, las irregularidades de dichas
partículas, la subpresión a que están sometidas, el hecho de que la fuerza de arrastre no incida
exactamente en su centro de gravedad que es lo que sucede al no estar expuestos enteramente
al flujo, etc. Lo anterior significa que A es bastante mayor que el área que un grano expone
realmente a la acción del agua.
Con este artificio, el investigador mencionado hace su análisis refiriéndose a un solo grano, en
la siguiente forma:
Si Fa es la fuerza de arrastre actuante sobre el grano en cuestión, el esfuerzo cortante en el
lecho, será:
Fa
A
200
Fa k
d
por lo que:
Fa =
r0 d 2
___
k
W hite describe el principio del movimiento como el resultado de igualar esta fuerza con la
resistente de la partícula sólida al desplazamiento sobre el lecho. Esta última es su peso real
dentro del líquido, multiplicado por la tangente de su ángulo de reposo <£ , es decir:
?0 d 2
TT d 3 ,
,
,
— :— = —2— (Y, - Y) tan </>
k
6
= l A l y ( S s - 1) tan </>
por lo que:
t
0 =
—
6
k
d
y (S s -
1)
tan
</>
que puede escribirse en la forma:
To
d y ( S s - 1)
k ir tan <£
6
(7-2.q)
El miem bro de la izquierda es precisamente la función Fs de Shields. Recurriendo ahora a sus
resultados experimentales y para un valor de <j> = 35° , considerado como el ángulo de reposo
típico en un gran número de casos, puede calcularse el factor de empaque. E n efecto, si se
despeja
k
de la expresión 7 .2.q, para la zona turbulenta en que, como ya se sabe, Fs = 0.056,
se obtiene:
k
= 0.15.
Ejemplo 7.3
Un canal rectangular, con lecho de grava d 75 = 5 cm y Ss = 2.65, tiene una pendiente longitudinal
S0 = 0.004.
a)
b)
c)
Calcule la velocidad máxima para que su lecho no se deforme.
Determine si es posible que h = 2 m, y si es así, calcule Bmáx y Qmáx para que no haya
movimiento del lecho. Verifique con 7.2.i, 7.2.j, 7 .2 .k y 7.2.n, que los criterios utilizados fueron
los correctos.
Si B = 8 m, ¿h puede valer 2 m sin que haya arrastre de fondo? Si no es así, calcule para este
caso h y Q máximos.
201
Solución:
a)
Como d > 0.56 cm, el régimen en el lecho es turbulento y según 7.2.n” :
R
-
máx
0 0 5
-
1
10.82 x 0.004
7 y de acuerdo con 7.2.g:
n = 0.038 (0.05) 1/6 = 0.023
por lo que:
= q-¿23 x L 16 M x °-004 1/2 = 3-04 m/s
b)
Como 1í = 2 m > R = 1.16 m, según la propiedad de lá sección rectangular 7.2.0, sí es posible
este tirante.
t>
o,
2 hR
2 X 2 X 1.16
= ----- _ =:------------- = 5.52 m ;
h - R
2 - 1.16
Un ancho mayor haría que R sobrepasara el máximo posible = 1.16 m.
Y, finalmente:
Qmáx = 3.04 x 5.52 x 2 = 33.56 m 3/s
Según las expresiones:
7.2.e, V* = 21.36 cm/s,
7.2.i, 7?e* = 10,680 > 400, régimen turbulento,
7.2.j, Fs = 0.056, principio del movimiento,
7.2.k,
5 = 0.005 cm < < d, régimen turbulento y
7.2.n, dmín = 5 cm = d. límite del movimiento.
202
c)
B = 8m >
= 5.52 m, por lo que con el tirante de 2 m no sería posible mantener el lecho
en reposo. Los valores máximos posibles de h y Q, son:
8 h
! 1£
. ,
8 x 1.16
1
_______ = 1.16 m .. h . =
= 1.63 m
8+2 h
8 - 2.32
\ y:
= 8 X 1-63 :
0.023
1 6 2/3
x 0 004 1/2 = 39.59 m 3/s
203
E jercicios propu estos
7.1
Se desea que un canal rectangular formado con arena suelta funcione sin deform ar su
cauce con las siguientes características:
d75 = 0.0008 m; B = 110 m; V = 0.80 m/s\ S0 = 0.0002; Ss = 2.65
a) ¿Hay arrastre de fondo?
b) Calcule h y V máximos para que no haya arrastre.
7.2
Un canal rectangular formado con arena suelta tiene las siguientes características:
Ss = 2.65; h = 2.50; S 0
=
0.0004 y d — d75 — 0.005 m
Calcule B y Q máximos para que no haya arrastre en el fondo.
7.3
U n canal rectangular de ancho igual a 18 m y tirante de 1.50 m tiene en su lecho
arena con Ss = 2.65 y d7S = 0.003 m. Se desea saber si puede transportar un gasto de
35 m 3/s sin que se presente arrastre en el fondo.
7.4
Un cauce rectangular tiene en su lecho material arenoso no cohesivo las siguientes
características:
d75 = 2 cm; S0 = 0.002; B = 8 m; h = 1 m; Ss = 2.65
Determine:
a) Si existe arrastre de fondo.
b) Q y h máximos para el ancho original, sin que haya arrastre.
c) B y Q máximos para el tirante original, sin que haya arrastre.
204
7.5
Un cauce arenoso de sección rectangular tiene las siguientes características:
d 75 = 1 mm\ B = 4 m;/h = 1.5 m; S0 = 0.0004; Ss = 2.65
a) ¿El lecho se deforma?
b) ¿Cuál es la velocidad y el tirante máximos para que no haya arrastre de fondo?
7.6
U n canal con fondo de arena debe transportar un gasto de 30 m 3/s con una pendiente
longitudinal de S0 = 0.01. El material del lecho es tal que d75 = 4 cm y se desea que R
sea lo más próxim o posible a h.
a) Calcule B mínima posible para el tirante que se pide.
b) Determ ine, usando el cálculo diferencial, el valor de B que hace máximo el radio
hidráulico para el área mínima aceptable.
205
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
CAPÍTULO 1
1.1
a) Re = 5,063,500
> 60,000
régim en turbulento.
b) a = 1.005
c) (5 = 1.002
1-2
rmín = 23.26 m
CAPÍTULO 2
2.1
b = 9.78 m, h = 4.89 m
2.2
a) 5.07 m
b) h0 = 6.63 m, b = 21.14 m, B — 54.29 m
2.3
N k = 38.37, concreto bien acabado.
2.4
a) b = 2.90 m, h0 = 1.86 m,
= 0.0553
b) 694.27 m3/s
2.5
a) 0.001225
b) 18.07 m 3/s
c) 58.96 m 3/s
CAPÍTULO 3
3.1
3.2
A z = 0.21 m
a) Qmáx = 42.12 m 7s
b) Q = 21.89 m 7s, F r = 1
207
CAPÍTULO 4
4.1
a) h0 = 3.77 m, por lo que: h > h0 > h c, luego S < S0 < Sc ; F r < 1 (zona
subcrítica) de la ecuación dinámica Í L = — = + , el perfil será el de la figura 4 3
dx
+
(perfil 1-a).
b) Sc > S > S0, por lo tanto, hc < h < h0
Fr < 1 (zona subcrítica). De la ecuación dinámica — = _ = - , el perfil será el de
dx
+
la figura 4.3 (perfil 1-b), (hc = 1.49 ni).
c) h < hc < h 0, luego S > Sc > S0 ; Fr > 1 (zona supercrítica); por lo tanto, en la
ecuación dinámica ^
= _ = + , el perfil será el de la figura 4.3 (perfil 1-c).
4.2
h0 = 0.22 m, L = 38.84 m
4.3
Cota A = 101.14 m .s.n.m .
4.4
a) S0J = 0.0007
b) h02 = 0.71 m
c) h c es crítico porque:
h01 > h c > h02
4.5
h 0¡ = 8.30 m, h 02 = 1.57 m
4.6
hA = 2.31 m, h 02 = 0.78 m
4.7
a) h 01 = 3.97 m, h 02 = 0.86 m,
Q = 106.31 m 3/s
b) No, porque si S02 < Sc , el tirante h = 2 m no es crítico y con la inform ación dada
no se puede calcular el gasto.
4.8
a) Perfil de la figura 4.5 (perfil 2-b).
b) L = 88.37 m
4.9
208
a) S0} < 0.00322 ; S02 > 0.00322
CAPÍTULO 5
5.1
a) h2 = 3.59 m
h.
h-2
= 4.11 m
A u to r
Smetana
Safranez
Einwachter
W óycicki
Chertusov
L o n g itu d (m)
18.54
15.98
18.34
23.61
17.16
b) h 1 = 0.67 m
5.2
a) hj = 0.33 m; régim en subcrítico
h,
= 4.87 m
J1—
2
b) Con la fórmula de Smetana: L = 16.04 m
5.3
h¡ = 0.090 m
5.5
h1 = 1.32 m, h2 = 6.14 m
5.6
Cota A = 55.53 m .s.n.m .
Cota B = 50.95 m .s.n.m .
5.7
Salto con 8% de ahogamiento.
5.8
a) h 1 = 1.63 m, h2 = 8.07 m
b) hA = 1.15 m, H = 5.13 m, Z = 20.22 m
5.9
Cota A = 105.28 m .s.n.m .
Cota B = 100.00 m .s.n.m .
5.10
a) 89.00 m .s.n .m ., cota A = 105.50 m.s.n.m.-, q = 27.36 m 3/s/m
b) hf^ 2 = 7.04 m; L = 44.40 m (Smetana)
5.11
Cota B = 88.70 m
CAPÍTULO 6
6.1
h2 = 3.62 m
6.2
B¡ = 2.10 m
6.3
fi2 = 13.55 m ; régim en supercrítico.
6.4
a)
(2 =
h f ( hf - hx hf )
1962
b)
3845.52
Q = 215.90 m 3/s
6.5
5 , = 11.24 m
6.6
Q = 1.52 m 3/s, caso 1.
H = 1.20 m ; a = 1.20 ; toma no sumergida.
S0 = 0.18 > S0mln = 0.004 ; superficie libre.
h = 0 ; descarga libre.
6.7
Q = 2.57 otVs ; caso 2.
a = 1.82 ; toma sumergida.
S0 = 0.025 > S0mín = 0.007 ;superficie
libre.
h = 0 ; descarga libre.
6.8
D = 1.20 m ; S0mí-„ = 0.012
6.9
0.50 m, 1.00 m,
6.10
a) <2 = 1 9 2 .2 /A
b)
210
Q = 341.5 l/s
1.30 m, 2.02 m, 2.48 m, respectivamente.
6.11
6.12
a) Z =
6 ; Ht
= 1.55 m
b) Z =
5; H t
= 1.68 m ; S 0mín = 0.0095 < 0.25
a) Z =
7 ; Ht
= 1.46 m
b) Z =
6 ; Ht =
6.13
Q = 9.18 m 3/s
6.14
Q — 1.95
1.55 m
C A PÍT U L O 7
7.1
a) Sí hay arrastre de fondo.
b) hmáx = 0-20 m: Vmáx = 0.41 m /s
7.2
B = 4.75 m; Q = 17.24
7 .3 S
No es posible.
7.4
a) No hay arrastre en el fondo.
b) Q = 20.36 raVs; /z = 1.20 m
c ) B = 24.32 m;
7.5
Q = 51.59 m 3/s
a) Sí hay deform ación en el lecho.
b) V = 0.43 m /s\ h = 0.14 m
7.6
a) B = 33.96 m
b) B = 5.06 m
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214
ÍNDICE ANALÍTICO
A
E
Aforadores, 156
Agroskin
fórmula de, 31
Alcantarillas, 161
Andreyev, 166
arrastre de fondo, 188
Eguiazarov, 195
Energía
ecuación de la, 6, 9, 13, 20, 21, 37, 63, 68,
71, 89, 97, 113, 117, 119, 125, 127, 135,
137, 142, 144, 147, 151, 152, 155, 157,
166, 169, 178, 179
específica, 47
Erosión, 185
Esfuerzo cortante en el lecho, 186
Euler
ecuación de, 8
B
Bajmetev
método de, 90
Bazin
fórmula de, 31
Bernoulli
teorema de, 6, 9, 20
Blaisdell
diseño de, para alcantarillas, 163
Boussinesq
coeficiente de, 15
C
Canal, 1
Cantidad de movimiento
ley de la, 6,9,10
Chézy
fórmula de, 28
Continuidad
principio de, 6
Control
sección de, 49, 86
Coriolis
coeficiente de, 13
D
Flujo
bruscamente variado, 4, 5
en canales no prismáticos, 135
en cauces naturales, 185
ecuaciones del, 6
gradualmente, variado 4, 5, 67
acelerado, 4, 5
ecuación del, 67, 69, 70
integración de la ecuación del, 88
perfiles, 71
retardado o remanso 4,5
laminar, 10, 11
no permanente o no estacionario, 2
permanente o estacionario, 2
no uniforme, 3, 4, 5
uniforme, 2, 3, 4, 5, 27, 33
en pilas de puentes, 159
en transiciones, 136
ampliaciones, 143
depresiones graduales en el fondo, 149
reducciones, 137
sobreelevaciones en el fondo, 145
turbulento, 10, 11
Depósito, 185
Diámetro de la partícula, 175, 194
215
Fórmula de
Altshul, 153
Blaisdell, 164, 165
Forchheimer, 31
Fórmica, 153
Hinds, 154
Meyer-Peter y Müller, 188
Rehbock, 160
Strikler, 188
Williamson, 188
Froude
número de, 54
G
Ganguillet y Kuttler, 31
Gasto
máximo,
principio'del, 57
unitario, 53
H
Hender son, 191, 194
I
Impulso
ley del, 6, 9, 10
Incrementos finitos
método de, 92
K
Kozeny
fórmula de, 41
M
Manning
fórmula de, 31
Meyer-Peter y Müller, 188
216
Movimiento
principio dél, 190
Parshall, 156, 157
Patochka, 165"
Pendiente
en flujo variado, 71
hidráulica crítica, 49, 53
Presión
en curvas verticales, 21
en el fondo de un canal, 18
pendientes grandes, 19, 20, 21
Principio del movimiento, 190
Régimen
crítico, 47, 49
subcrítico, 47, 49
supercrítico, 47, 49
Reynolds
número de, 11
de la partícula, 188
Rugosidad
coeficientes de, 30, 31, 32, 41
S
Salto hidráulico, 107, 108
ahogado, 111, 120
en canales con pendiente
características generales del, 108
claro, 111
corrido, 111, 120
después de una descarga de fondo, 126
ecuaciones del, 115
longitud del, 111, 114
pérdida en el, 117, 118
al pie de un canal de descarga, 126
al pie de un cimacio, 123
tipos, 110
Secciones
circulares, 40
compuestas, 37
de control, 49, 86, 87
crítica, 49, 50, 54
de máxima eficiencia, 42, 44
Shields, 191, 195, 197
Sifón invertido, 135
Strikler
fórmula de, 31, 188
T
Taludes en canales, 34
Tanque amortiguador, 114
profundidad del, 123
Tirantes
conjugados, 110
críticos, 51, 53
en secciones rectangulares, 53
en secciones trapeciales, 55
en secciones triangulares, 55
Transiciones
pérdidas de energía en, 152
Transporte de sedimentos, 186
Tubo, 1
Velocidades
de caída de una partícula, 186
crítica, 49, 53
distribución de, 10
al esfuerzo cortante, 187
permisibles en canales, 36
W
White, 200
Williamson
fórmula de, 188
Z
Zegzda
experimentos de, 12
Consejo Directivo de la Fundación ICA.
Presidente.
Ing.
B ernardo Quintana.
Vicepresidentes.
Dr. Francisco Barnés de Castro
Dr. Daniel Resendiz Núñez
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D irector Ejecutivo.
Ing.
Fernando O. Luna Rojas
C uerpos C olegiados de los Program as O perativos.
Com ité de Becas.
Dr.
Juan Casillas García de León
Dr.
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Ing.
Miguel Angel Parra Mena
C om ité de Prem ios.
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Com ité de P ublicaciones.
Dr.
O scar González Cuevas
Dr.
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M. en I. G abriel Moreno Pecero
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Ing.
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Comité de Investigación.
Dr.
José Luis Fernández Zayas
Dr.
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Dr.
Ramón Padilla Mora
Dr.
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Secretario General
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Jefe de la D ivisión de E studios de Posgrado
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H iz o s u s e s lu d io s e n la F a c u lta d d e In g e n ie ría d e la U N A M . d o n d e
s e g r a d u ó d e I n g e n ie r o C iv il e n 1961 y d e m a e s tr o e n H id rá u lic a
e n 19 65 . D u r a n t e lo s a ñ o s 1962 y 1963 o b t u v o u n a b e c a p a ra
re a liz a r in v e s tig a c ió n s o b re m o d e l o s a e r o d in á m i c o s e n e l Instituto
d e I n v e s tig a c io n e s H id rá u lic a s d e P ra g a , e n la a c tu a l R e p ú b l ic a
C h e c a . A s u r e g r e s o , d e s a r r o l ló su te s i s d e M a e s t r í a s o b r e la
in v e s t ig a c ió n q u e r e a liz ó e n a q u e l p a ís . F u e in v e s t i g a d o r del
In s titu to d e In g e n ie ría d e la U N A M d u r a n t e 3 a ñ o s . E s p r o f e s o r
d e la F a c u lta d d e In g e n ie ría , e n e l á r e a d e H id rá u lic a d e s d e 1960
h a s ta la fe c h a y h a s i d o j e f e d e l l a b o r a to r io d e H id r á u lic a d e la
F a c u lta d d e 1972 a 19HI y j e f e d e l D e p a r t a m e n t o d e In g e n ie ría
H i d r á u l i c a d e 1984 a 1987 H a r e a l i z a d o o t r o s v ia je s d e e s tu d i o
y c o n f in e s a c a d é m i c o s a E s t a d o s U n i d o s . V e n e z u e la . B rasil.
A r g e n tin a y C o l o m b i a . S u s a c tiv id a d e s n o a c a d é m i c a s s c han
d e s a rro lla d o p rin c ip a lm e n te e n la S c c ic ta iía d e R e c u rs o s
H id r á u lic o s d u r a n te 3 a ñ o s , e n la C o m is ió n F e d e r a l de
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