cálculo del tirante normal en un canal rectangular de forma directa

INGENIERÍA HIDRÁULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXII, No. 3, 2001
Noviembre del 2000
CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL
EN UN CANAL RECTANGULAR
DE FORMA DIRECTA
INTRODUCCIÓN
Para el cálculo del régimen uniforme en canales con
secciones transversales, se propone en este artículo, una
fórmula, la cual se ilustrará al final del desarrollo del
artículo, con un ejemplo práctico.
CÁLCULO
En el cálculo del régimen uniforme, la determinación
de la profundidad normal de circulación para un
determinado caudal que circula por un canal dado viene
expresada por la ecuación de Manning, Chow, Streeter,
Luaces, King y Bakhmeteff entre otros. 1-7
2
1
1
AR 3 SO 2
n
la que se puede plantear como:
Q =
Qn
SO
= AR
2
3
=3
...(1)
A5
Conociendo que para la sección rectangular:
A = by
...(3)
P = b + 2y
entonces se puede plantear que:
...(4)
= by
5
33
1
[b + 2y ]2
Se propone una fórmula para el cálculo del régimen
uniforme en canales con secciones rectangulares cuyo
error no supera el 2,5 % y la misma se ilustra a través de
un ejemplo práctico.
Palabras clave: tirante normal, régimen uniforme,
secciones anchas, sección rectangular.
It is intends a formula for the calculation of the uniform
regime in rectangular channels whose error doesn't
overcome 25 % and the same one is showed through a
practical example.
Key words: normal depth; uniform flow; wide rectangular
channel; rectangular section.
...(2)
P2
Qn
[by ]5 =
=3
SO
[b + 2y ]2 3
Resumen / Abstract
[by ]5
b 1+ 2y b 


2
de donde finalmente se tiene que:
Qn
SO
2
=
b 3y 5
3
1+ 2y 
b 

2
=
=y
5
3
1
3
1 + 2y 

b 
2
ecuación esta que no se puede resolver de forma
directa, 1,4,5,8 y 9 sino haciendo uso de gráficos, ábacos o de
algún método iterativo de solución de ecuaciones, como:
Método de Newton, Bisección, Método de la secante,
etcétera.
Carlos A. Luaces Socarrás, Máster en Ciencias, Ingeniero Hidráulico, Centro de Investigaciones Hidráulicas, Instituto Superior
Politécnico José A. Echeverría, Ciudad de La Habana
e-mail : [email protected]
40
...(5)
entonces, la ecuación (10) se puede plantear como:
Pero para una sección ancha, donde: R ≈ y ,
5
2
Qn
= byy 3 = by A3
SO
...(6)
siendo por lo tanto,
= y A3
b SO
...(7)
Sustituyendo la ecuación (7) en (5) se tiene:
5
y A3 = y
y
5
3
5
5
1
3
1 + 2y 

b 
...(9)
1 + 2y 

b 
2
5
 y 
 2y 


 y  = 1 + b 


 A
(
− 4 a + 16 a 2 − 16 a 2 1 − a 5
8a 2
)
...(15)
Entonces si le dan valores a, a se puede obtener
valores de β y así hacer la tabla 1 de a, β y b/y,
b
1
=
y a * β . (tabla 1)
y
como: a = y
A
β = yA
donde si se eleva al cubo se llega a:
...(14)
y resolviendo para β, se llega a:
donde:
1
3
resolviendo el cuadrado y ordenando el polinomio para β,
se tiene que:
β1,2 =
...(8)
2
1
=
y A3
3
...(13)
4 a 2 β 2 + 4aβ + 1 − a 5 = 0
5
Qn
a 5 = [1 + 2aβ ]2
está entre [1 − ∞]
b está entre [0 − ∞]
Haciendo un nuevo cambio de variables para disminuir
2
...(10)
Si se llama a:
el intervalo del dominio de α y β entre [0 − 1] como el
propuesto por Velazco y León10-11 para el tirante crítico en
canales trapeciales, se obtiene (ver tabla 2 y gráfico 1).
K =
a=
y
yA
...(11)
β =
yA
b
...(12)
1
a
está entre [0 − 1] ,
G = 1
1 + β está entre [0 − 1]
Tabla 1
Valores de a, b y b/y
a
1,00
1,20
1,40
1.60
1,80
2,00
5,00
10,00
50,00 100,00
β
0,00
0,24
0,47
0,70
0,93
1,16
5,49
15,76
176,77 500,00
b/y
∞
3,47
1,52
0,89
0,60
0,43
0,04
0,006
41
Lo que si se ajusta la misma a una ecuación potencial
del tipo K = CGB se llega a:
C = 0,978 224 81
B = 0,834 135 312
Con un coeficiente de correlación r = 0,998 866 99 y
cuyo gráfico de error absoluto vs b/y se muestra en el
gráfico 2, donde se puede observar los errores cometidos
por el empleo de esta expresión no exceden el 2 %.
Sustituyendo las variables por su valores originales,
1
 1 
=C

a
1 + β 
B
...(16)

1
=C 

y
1+ y A
yA
b

1
B




...(17)
y
y A  1+ A b 
yA


y =
=


C


1
C

B
1 + y A  
 
b  
B
...(18)
Tabla 2
Valores de K y G
K
1,00
0,83
0,71
0,63
0,56
0,50
0,33
0,20
0,14
0,11
0,05
0,03
0,02
G
1,00
0,81
0,68
0,59
0,52
0,46
0,29
0,15
0,10
0,07
0,02
0,01
0,00
GRÁFICO 1 Curva de ajuste.
GRÁFICO 2 Error absoluto modular vs
b/y de la ecuación ajustada.
42
Donde si se sustituyen los valores de C y B, se tiene
que:
 y 
y = 1,022 22y A 1+ A 
b 

0, 834 135
...(19)
2
Qn
= AR 3
S0
Resolviendo esta igualdad con ayuda del EXCEL
(solve) se tiene que el tirante es:
o aproximadamente:
5
3. Comprobación:
y = y A 1 + y A 
...(20)
b

donde C = 1,0 y B = 5/6 y un gráfico de error absoluto
modular vs b/y como el que se muestra (gráfico 3).
6
y solve = 0,793 092 m
donde el módulo del error absoluto será:
Error= |y solve - y n| *100 = 0,098 %
R/ El valor del tirante normal es de 0,794 m.
CONCLUSIONES
Se desarrolló una fórmula para el cálculo del tirante
normal en un canal rectangular, la cual tiene un error
máximo de aproximadamente un 2,5% y su empleo permite
realizar los cálculos de forma directa sin tener necesidad
de iterar.
REFERENCIAS
GRÁFICO 3 Error de k vs b/y para C = 1 y B = 5/6.
De lo anterior se tiene que ahora el error mayor es de
2,5 % y el mismo se encuentra desplazado hacia la zona
de b/y entre 0 a 3 y no como la ecuación anterior donde
los errores (2%) se encontraban en casi toda la relación
de b/y, por lo que se recomienda el empleo de esta última
para el cálculo del tirante en canales con secciones
rectangulares.
EJEMPLO PRÁCTICO
Por un canal de sección rectangular con ancho de fondo
de 12 m, coeficiente de rugosidad de Manning de 0,013 y
una pendiente longitudinal de 0,000 3, circulan 10 m3 de
agua. ¿Cuál es el tirante normal de circulación?
Datos: b = 12 m, m = 0, n = 0,013, S0 = 0,000 3,
Q = 10 m3/s.
1. Calcular y A:
 Qn
yA = 
 b SO



3
5
 10 ⋅ 0,013 
=

12 ⋅ 0,000 3 
3
5
= 0,755
1. CHOW, V.T AND R. MAIDMENT DAVID: Hidrología
aplicada, McGraw-Hill, 1994.
2. CHOW, V.T.: Hidráulica de canales, Editorial Diana,
México, 1985.
3. STREETER, V. L.: Mecánica de los fluidos, Editorial
Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, Cuba, 1989.
4. LUACES SOCARRAS, C.A.: "Conducciones libres",
Jornada Cientifica Estudiantil de la CUJAE, Instituto
Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Ciudad
de La Habana, 1994.
5. LUACES SOCARRÁS, C.A.: "Cálculo hidráulico de
canales en parámetros adimensionales", Instituto
Superior Politécnico José Antonio Echeverría, Ciudad
de La Habana, 1995.
6. KING, H. W.: Manual de hidráulica, t. I, Edición
Revolucionaria,1986.
7. BAKHMETEFF, B. A.: Hydraulics of Open Channel,
McGraw-Hill Book Co. Inc, 1932.
8. FRENCH, R. H.: Hidráulica de los canales abiertos,
México, 1989.
9. Henderson, F.M.: Open channel flow, New York, 1966.
10. VELAZCO DAVIS, E.: "Una fórmula práctica para el
tirante crítico en canales trapeciales", Revista Ingeniería
Hidráulica, Vol. XIX, No. 3, Instituto Superior Politécnico
José Antonio Echeverría, Ciudad de La Habana, 1990.
11. LEÓN, M. A. Y ARMANDO ESTOPIÑAN: Hidráulica
de canales, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de
La Habana, Cuba, 1989.
2. Cálculo de y N:
yN
 y 
= y A 1 + A 
b 

5
6
 0,755 
= 0,755 * 1+

12 

5
6
= 0,794
NOVIEMBRE DEL 2000
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