inferencia Estadistica

Tema 10
Estimación puntual. Inferencia
estadı́stica sobre los parámetros de
poblaciones normales
10.1
Conceptos generales
• Población: es el conjunto de todos los individuos o elementos objeto de
estudio.
• Muestra: es un subconjunto representativo de la población.
• Tamaño muestral: es el número de elementos que forman la muestra.
Se llama muestreo al proceso por el cual extraemos una muestra de una población.
Dependiendo del tipo de muestreo utilizado para extraer la muestra se distinguen
distintos tipos de muestreo. Citaremos, a continuación, algunos de ellos:
• Muestreo aleatorio simple: Una muestra aleatoria simple de tamaño n se
consigue eligiendo n elementos de la población al azar y sin reposición, esto es,
se elige uno, de los que quedan se elige otro, y ası́ sucesivamente hasta obtener
los n elementos que forman la muestra.
• Muestreo aleatorio con reposición: Similar al muestreo aleatorio simple,
pero introduciendo de nuevo el elemento elegido entre los seleccionables. Como
consecuencia, un mismo elemento puede estar repetido en la muestra.
• Muestreo estratificado: Cuando la población se encuentra dividida de alguna forma en varios estratos o grupos, se hace un muestreo aleatorio simple
en cada uno de ellos.
Se llama afijación al criterio en función del cual elegimos el número de elementos de cada estrato. Algunos de estos criterios son:
– Uniforme: igual número de elementos de cada grupo.
1
– Proporcional: se elige de cada grupo una cantidad de elementos proporcional al número total de elementos del grupo.
– Proporcional y óptima: se elige de cada grupo una cantidad de elementos
proporcional a la varianza del grupo y al número de elementos que lo
componen.
• Muestreo sistemático: El primer elemento se elige al azar, y los demás en
cierto orden predeterminado.
En lo que sigue trabajaremos bajo las hipótesis del muestreo aleatorio simple.
10.2
Distribuciones asociadas al muestreo en poblaciones Normales
Definición 10.2.1.– Una variable aleatoria X se dice que sigue una distribución
normal de parámetros µ y σ 2 , µ ∈ R, σ 2 > 0, y se denota por X ∼ N (µ, σ 2 ), si su
función de densidad es:
1 x−µ 2
1
f (x) = √ e− 2 ( σ )
σ 2π
∀x∈R
•Propiedades:
1. f es simétrica respecto a x = µ.
2. Se verifica que si Z =
X−µ
,
σ
entonces Z ∼ N (0, 1).
3. E[X] = µ y V ar[X] = σ 2 .
4. P [Z ≤ −z] = 1 − P [Z ≤ z] para cualquier z ∈ R.
Se denota por z1−α al valor tal que P [Z ≤ z1−α ] = 1 − α y recibe el nombre de
cuantil 1 − α de la distribución.
Definición 10.2.2.– Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, según una distribución N (0, 1), entonces X = X12 + . . . + Xn2
es una variable aleatoria que sigue una distribución Chi-cuadrado con n grados de
libertad. Lo denotaremos X ∼ χ2n
Denotaremos por χ2n,1−α al valor tal que P [X ≤ χ2n,1−α ] = 1 − α
Definición 10.2.3.– Sean X ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ2n , X e Y independientes, entonces
la variable T = √X sigue una distribución T-Student con n grados de libertad.
Y /n
Lo denotaremos como T ∼ tn .
2
• Propiedades:
• Denotaremos por tn,1−α a aquel valor tal que P [T ≤ tn,1−α ] = 1−α. Se verifica
que, tn,1−α = −tn,α .
• Si T ∼ tn , entonces lim T ∼ N (0, 1). La aproximación es buena para n ≥ 30.
n→+∞
Definición 10.2.4.– Sean X ∼ χ2n e Y ∼ χ2m , X e Y independientes, entonces
sigue una distribución F-Snedecor con n y m grados de libertad. Lo
F = YX/n
/m
denotaremos como F ∼ Fn,m
Denotaremos por fn,m,1−α al valor tal que P [F ≤ fn,m,1−α ] = 1 − α. Se verifica
que fn,m,α = 1/fm,n,1−α .
10.2.1
Distribución de la media muestral
Definición 10.2.5.– Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de
una variable aleatoria X. Se define la media muestral como:
X=
X1 + . . . + X n
n
Teorema 10.2.6.– Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria simple procedente de
una variable aleatoria X con media µ y varianza σ 2 , se tiene que: E[X] = µ y
2
V ar[X] = σn .
Definición 10.2.7.–q Se define la desviación tı́pica de la muestra (error estándar
de la media) como
V ar(X) = √σn .
Teorema 10.2.8.– Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de una
variable aleatoria X ∼ N (µ, σ 2 ). Entonces
σ2
X ∼ N µ,
n
En consecuencia:
Z=
X − µ√
n ∼ N (0, 1)
σ
Teorema 10.2.9.– (Teorema Central del Lı́mite). Si X1 , . . . , Xn es una muestra
aleatoria simple de una variable aleatoria X, de distribución no especificada, con
media µ y varianza σ 2 finita, entonces:
X −µ
lim p
∼ N (0, 1)
n→∞
σ 2 /n
Una consecuencia de este resultado es que si n es suficientemente grande, sea
cual sea la distribución de X, se verifica que X ≈ N (µ, σ 2 /n). Usualmente la
aproximación es buena para valores de n mayores que 30.
3
10.2.2
Distribución de la varianza muestral
Definición 10.2.10.– Si X1 . . . Xn es una muestra aleatoria simple procedente de
una variable aleatoria X, se define la varianza muestral como
Pn
(Xi − X)2
2
S = i=1
n
y la cuasivarianza muestral como
Pn
(Xi − X)2
2
Sc = i=1
n−1
Se definen también la√desviaciónptı́pica muestral y la cuasidesviación tı́pica
muestral como S = S 2 y Sc = Sc2 , respectivamente.
Se verifica que (n − 1)Sc2 = nS 2
S2 =
y
Pn
i=1
n
Xi2
−X
2
Teorema 10.2.11.– Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de
una población N (µ, σ 2 ) de media y varianzas desconocidas. Entonces:
1. X y Sc2 son independientes.
2. Si Y =
(n−1)Sc2
,
σ2
3. Si Y =
nS 2
,
σ2
entonces Y ∼ χ2n−1
entonces Y ∼ χ2n−1
Proposición 10.2.12.– Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente
de una población N (µ, σ 2 ) de media y varianzas desconocidas. Entonces:
1.
X−µ √
n
Sc
2.
X−µ
S
10.2.3
√
∼ tn−1
n − 1 ∼ tn−1
Distribución de la diferencia de medias muestrales
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de una variable aleatoria X
e Y1 , . . . , Ym una muestra aleatoria simple procedente de una variable aleatoria Y ,
2
tales que X e Y son independientes y X ∼ N (µX , σX
) e Y ∼ N (µY , σY2 ). Entonces,
2
si σX
= σY2 (ambas desconocidas)
(X − Y ) − (µX − µY )
q
(n−1)Sc2 +(m−1)Sc2
X
Y
n+m−2
4
1
n
+
1
m
∼ tn+m−2
2
si σX
6= σY2 (ambas desconocidas)
(X − Y ) − (µX − µY )
q 2
∼ tg
Sc2
Sc
Y
X
+ m
n
siendo
S2
cX
g=
10.2.4
n
(Sc2 /n)2
X
n+1
2
+
Sc2
Y
m
+
(Sc2 /m)2
Y
m+1
−2
Distribución del cociente de varianzas muestrales
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de una variable aleatoria
X e Y1 , . . . , Ym una muestra aleatoria simple procedente de una variable aleatoria
2
Y , tales que X e Y son independientes y además X ∼ N (µX , σX
) e Y ∼ N (µY , σY2 ).
Entonces:
2
Sc2X /σX
∼ Fn−1,m−1
Sc2Y /σY2
2
= σY2 , entonces:
En el caso en que σX
Sc2X
∼ Fn−1,m−1
Sc2Y
10.3
Estadı́sticos y estimadores
Definición 10.3.1.– Dada una variable aleatoria X que mide una caracterı́stica
en una población, un parámetro es una caracterización numérica de la distribución
de la población que determina total o parcialmente la función de densidad (o de
probabilidad) de la variable aleatoria X.
Ejemplo 10.3.2.–
• Si X ∼ P(λ), la distribución está determinada cuando se conoce el valor de λ.
• Si X ∼ N (µ, σ 2 ), es necesario conocer los valores de µ y de σ 2 para determinar
la distribución.
Definición 10.3.3.– Dado un parámetro θ, se llama espacio paramétrico al
conjunto de valores admisibles para el parámetro. Lo denotaremos por Θ.
Definición 10.3.4.– Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad o de
probabilidad es f (x; θ) y X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple procedente de X.
Un estadı́stico es una función de la muestra que no depende del parámetro θ. Lo
denotaremos por T (X1 , . . . , Xn ).
5
Ejemplo 10.3.5.– Si X ∼ N (µ, σ 2 ) con µ y σ 2 desconocidas, las siguientes funciones son estadı́sticos:
T1 (X1 , . . . , Xn ) =
X1 +···+Xn
n
T2 (X1 , . . . , Xn ) =
X12 +···+Xn2
n
T3 (X1 , . . . , Xn ) = max{X1 , . . . , Xn }
Sin embargo T4 (X1 , . . . , Xn ) =
X1 + · · · + X n
no es un estadı́stico.
nσ
Nótese que un estadı́stico es función de la muestra y por lo tanto una variable
aleatoria.
Definición 10.3.6.– Un estadı́stico T (X1 , . . . , Xn ) se dice que es un estimador de
θ si toma valores en el espacio paramétrico de θ. Para una realización concreta de
la muestra x1 , . . . , xn , el valor T (x1 , . . . , xn ) se llama estimación de θ.
Ejemplo 10.3.7.– Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución
N (µ, σ 2 ) y X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria simple de X, entonces:
Θ ≡ {(µ, σ 2 )|µ ∈ R, σ 2 ∈ R+ − {0}}
n
• X = X1 +···+X
es un estimador de µ, pero no de σ 2 porque puede tomar
n
valores negativos.
n
X
(Xi − X)2
es un estimador de σ 2 , y también de µ si bien, en el
• S 2 = i=1 n
segundo caso, se puede intuir que serı́a un estimador bastante malo.
10.3.1
Propiedades deseables en los estimadores
Entre las propiedades deseables de un buen estimador se encuentran las siguientes:
Carencia de sesgo, Consistencia, Eficiencia y Suficiencia
• Carencia de Sesgo
Un buen estimador deberı́a, en promedio, determinar el verdadero valor del parámetro.
Definición 10.3.8.– Se dice que T es un estimador insesgado de θ si E[T ] = θ.
En otro caso se dice que T es un estimador sesgado y se llama sesgo de T a |E[T ]−θ|.
Ejemplo 10.3.9.– Sea X una variable aleatoria de la que sabemos que E[X] = µ
y V ar(X) = σ 2 . Entonces:
• X es un estimador insesgado de µ.
• S 2 es un estimador sesgado de σ 2 .
• Sc2 es un estimador insesgado de σ 2 .
6
• Consistencia
Es deseable que a medida que aumente el tamaño de la muestra mejoren las estimaciones obtenidas.
Definición 10.3.10.– Diremos que T es un estimador consistente de cara a
estimar el parámetro θ si
∀ > 0
lim P (|T − θ| < ε) = 1
n→∞
Teorema 10.3.11.– Sea T un estimador del parámetro θ. Si se verifica que
lim E[T ] = θ
n→∞
y
lim V ar(T ) = 0
n→∞
entonces T es un estimador consistente para θ.
Ejemplo 10.3.12.–
• Si X es una variable aleatoria tal que E(X) = µ, entonces X es un estimador
consistente de µ.
• Si X ∼ N (µ, σ 2 ) entonces S 2 y Sc2 son estimadores consistentes de σ 2 .
• Eficiencia
Definición 10.3.13.– Sean T1 y T2 dos estimadores insesgados de θ. Diremos que
T1 es más eficiente que T2 si V ar(T1 ) < V ar(T2 ).
Entre los estimadores insesgados de θ, será preferible tomar el de menor varianza.
• Suficiencia
Un estadı́stico sintetiza en un número toda la información contenida en la muestra.
Serı́a pues interesante que en ese proceso de sı́ntesis no se perdiera la información
que la muestra contiene acerca del valor del parámetro.
Ejemplo 10.3.14.– Si X ∼ Be(p) y tomamos una muestra aleatoria simple de
tamaño tres, X1 , X2 , X3 el conjunto de los posibles valores muestrales es:
Λ = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
Al aplicar el estadı́stico T (X1 , X2 , X3 ) = X1 + X2 + X3 a cada una de estas muestras
se obtiene el valor 0, 1, 2 ó 3. Puesto que p representa la probabilidad de éxito
en cada realización de X parece razonable estimar p como la proporción de éxitos
obtenidos en las n realizaciones del experimento, y para ello necesitamos conocer el
número de éxitos que aparecen en la muestra. Si consideramos el anterior estadı́stico
T = X1 + X2 + X3 podemos observar que si conocemos su valor sabremos inmediatamente el número de éxitos que hay en la muestra. En cambio esto no ocurre si
7
consideramos el estadı́stico T1 = X1 · X2 · X3 , por lo que no podrı́amos utilizarlo
si lo que queremos hacer es estimar el valor de p. Esto se debe a que, mientras T
conserva la información que la muestra posee acerca de p, no ocurre lo mismo con T1 .
La cuestión fundamental está en si, de cara a estimar un parámetro determinado,
el estadı́stico con el que estemos trabajando conserva la información que la muestra
contiene acerca de dicho parámetro. Esto se recoge en la siguiente definición.
Definición 10.3.15.– Diremos que un estadı́stico T (X1 , . . . , Xn ) es suficiente de
cara a estimar el parámetro θ si la distribución conjunta de la muestra, condicionada
al valor del estadı́stico, no depende de θ. Esto es, si la variable de la que procede la
muestra es discreta entonces
P (X1 = x1 ; X2 = x2 ; . . . ; Xn = xn |T =t )
no depende de θ para ningún valor de t y si es continua entonces
f (x1 , . . . , xn |T =t )
no depende de θ para ningún valor de t.
Teorema 10.3.16.– Sea X una variable aleatoria continua (discreta) con función
de densidad f (x, θ) (o de probabilidad P [X = x, θ], si X es discreta) y X1 , . . . , Xn
una muestra aleatoria simple procedente de X. El estadı́stico T = T (X1 , . . . , Xn ) es
un estadı́stico suficiente de cara a estimar el parámetro θ, si la función de densidad
(probabilidad) conjunta de la muestra se puede descomponer como:
f (X1 , . . . , Xn ; θ) = g(T, θ) · h(X1 , . . . , Xn )
ó
P [X1 = x1 , X2 = x2 . . . , Xn = xn ; θ] = g(T, θ) · h(X1 , X2 , . . . , Xn ),
donde g depende de θ y del estadı́stico T , y h depende sólo de la muestra o bien es
una constante.
Ejemplo 10.3.17.– Si X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria simple de una variable
X, entonces
P
• Si X ∼ Be(p), el estadı́stico T = Xi es suficiente para estimar p.
• Si X ∼ P(λ), entonces T (X1 , X2 , . . . , Xn ) =
n
X
Xi es suficiente para estimar
i=1
λ.
2
• Si X ∼ N (0, σ ), entonces T (X1 , . . . , Xn ) =
n
X
Xi2 es suficiente para estimar
i=1
σ2.
10.3.2
Métodos de construcción de estimadores
• Método de Máxima Verosimilitud.
Ejemplo 10.3.18.– Se realizan cinco lanzamientos de una moneda obteniendose
(cccxc). Sabemos que El número de cruces obtenido sigue una distribución B(5, p)
8
y deseamos estimar el valor de p.
El valor que le asignamos es aquel que haga más factible el resultado obtenido
que, en este caso, podemos intuir que serı́a p = 1/5.
Analı́ticamente, sea Xi el resultado obtenido en la tirada i-ésima. Entonces:
P [X1 = c, X2 = c, X3 = c, X4 = x, X5 = c] =
P [X1 = c] · P [X2 = c] · P [X3 = c] · P [X4 = x] · P [X5 = c] = p · (1 − p)4
Para hacerlo máximo derivamos respecto a p, igualamos a cero y obtenemos p = 1/5.
Ejemplo 10.3.19.– En unas elecciones queremos estimar la proporción p de
votantes que votarán por una determinada candidatura A.
El hecho de que un elector vote o no a dicha candidatura se puede modelar
mediante una variable aleatoria X que vale 1 si el elector vota A y 0 si no le vota.
Se tiene entonces que X ∼ Be(p), siendo p la probabilidad de votar a A, luego
P [X = k] = pk (1 − p)1−k k = 0, 1
. Para realizar la estimación elegiremos una muestra de 15 votantes; para una tal
muestra, la función de probabilidad conjunta es
P [X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , X15 = x15 ; p] =
15
Y
pxi (1 − p)1−xi = p
P
xi
· (1 − p)15−
P
xi
i=1
Supongamos
P15que de los 15 votantes, 3 manifiestan su intención de votar por A
y, por tanto, i=1 xi = 3. Buscamos el valor de p que hace máxima la probabilidad
de obtener la muestra observada, esto es, que haga máximo p3 (1 − p)12 . Derivando
e igualando a cero, se obtiene como estimación p̂ = 00 2.
Formalizamos ahora estas ideas para el caso general:
Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x; θ) o distribución de
probabilidad P [X = x; θ] y sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple. La
distribución conjunta de X1 , X2 , . . . , Xn será:
f (x1 , x2 , . . . , xn ; θ) =
n
Y
f (xi ; θ)
i=n
ó
P [X1 = x1 , . . . , Xn = xn ; θ] =
n
Y
P [Xi = xi ; θ]
i=1
según se trate de una variable aleatoria continua o discreta.
En ambos casos, esta función puede considerarse como una función de θ para
cada realización concreta, x1 , x2 , . . . , xn , de la muestra. Desde esta perspectiva, la
llamaremos función de verosimilitud, y para referirnos a ella la denotaremos como
V (x1 , x2 , . . . , xn ; θ).
9
Definición 10.3.20.– Llamaremos estimador de máxima verosimilitud para el
parámetro θ a aquel estadı́stico que maximiza la función de verosimilitud.
Como maximizar V (x1 , x2 , . . . , xn ; θ) es equivalente a maximizar LnV (x1 , x2 , . . . , xn ; θ)
y suele ser más cómodo esta última expresión, elegiremos un estimador θ̂ tal que
d
dθ
LnV = 0
y
θ=θ̂
d2
dθ2
LnV < 0
θ=θ̂
Propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud
• Son consistentes.
• Son asintóticamente normales, esto es:
T̂ − E[T̂ ] n→∞
q
−→ N (0, 1)
V ar(T̂ )
• Si T es un estimador suficiente de θ, el estimador de máxima verosimilitud de
θ es función de T
• (Teorema de Zehna). Si θ̂ es un estimador de máxima verosimilitud de θ,
entonces g(θ̂) es un estimador de máxima verosimilitud de g(θ).
• No son en general insesgados.
• Son asintóticamente eficientes, de varianza mı́nima.
Ejemplo 10.3.21.–
• Dada X ∼ Be(p) y X1 , . . . , Xn una m.a.s. procedente de X, el estimador de
máxima verosimilitud de p viene dado por p̂ = X.
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple.
Como P [X = k] = pk (1 − p)1−k si k = 0, 1, entonces:
V (x1 , . . . , xn ; p) =
n
Y
P [Xi = xi ] = p
P
xi
(1 − p)
P
(1−xi )
,
i=1
hX
i
xi Ln(p) +
(1 − xi ) Ln(1 − p),
P
P
P
d
xi
(1 − xi )
xi
LnV =
−
= 0 ⇐⇒ p =
= X.
dp
p
1−p
n
LnV =
X
Luego p̂ = X.
10
• Dada X ∼ P(λ) y X1 , . . . , Xn una m.a.s. procedente de X, el estimador de
máxima verosimilitud de λ viene dado por λ̂ = X
Al ser P [X = k] =
e−λ λk
,
k!
V (x1 , . . . , xn ; p) =
n
Y
P [Xi = xi ] =
i=1
n
Y
e−λ λxi
i=1
X
xi !
P
λ
= Q
xi Lnλ − Ln
Y
X 1
d
LnV = −n +
xi = 0 ⇐⇒ λ̂ =
dλ
λ
P
LnV = −nλ +
xi
xi !
e−nλ ,
xi !,
xi
= X.
n
• Dada X ∼ Exp(λ) y X1 , . . . , Xn una m.a.s. procedente de X, el estimador de
máxima verosimilitud de λ viene dado por λ̂ = 1/X
En el caso de la distribución exponencial, f (x, λ) = λe−λx x > 0 busquemos un estimador de máxima verosimilitud (E.M.V.) para λ. Partimos de
X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple (m.a.s) entonces:
V (x1 , . . . , xn ; λ) =
n
Y
f (xi ) =
i=1
n
Y
λe−λxi = λn e−λ
P
xi
,
i=1
LnV = nLnλ − λ
X
xi ,
d
n X
1
LnV = −
xi = 0 ⇐⇒ λ̂ = .
dλ
λ
X
• Dada X ∼ N (µ, σ 2 ) con µ, σ 2 desconocidos y X1 , . . . , Xn una m.a.s. procedente de X, el estimador de máxima verosimilitud de (µ, σ 2 ) viene dado por
!
n
X
(µ̂, σˆ2 ) = X ,
(xi − X)2 /n
i=1
(x − µ)2
2σ 2
e
busquemos un estimador de máxima verosimili−
1
Como f (x) = √
σ 2π
tud (E.M.V.) para µ y σ 2 . Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple (m.a.s)
entonces:
V (x1 , . . . , xn ; µ, σ) =
n
Y
i=1
f (xi ) =
n
Y
i=1
1
√
σ 2π
(xi − µ)2
−
2σ 2
e
=
1
√
(σ 2π)n
n
n
n
1 X
LnV = − Ln2π − Lnσ 2 − 2
(xi − µ)2 ,
2
2
2σ i=1
11
1 X
(xi − µ)n
2
e 2σ
,
−
n
X
1 X
d
LnV = − 2
(xi − µ) = 0 ⇐⇒
(xi − µ) = 0 =⇒ µ̂ = X,
dµ
σ i=1
n
d
n
1 X
(xi − µ)2 = 0,
LnV = − 2 + 4
dσ 2
2σ
2σ i=1
⇐⇒ sustituyendo µ por su valor X
n
X
n
1 X
n
(xi − X)2 = 2 =⇒ σ̂ 2 =
4
2σ i=1
2σ
(xi − X)2
i=1
n
.
• Método de los Momentos
Definición 10.3.22.– Dada una variable aleatoria X cuya distribución depende de
un parámetro θ, se define el momento poblacional de orden j de X como
mj (θ) = Eθ [X j ]
Definición 10.3.23.– Dada una variable aleatoria X y una muestra aleatoria
X1 , . . . , Xn procedente de X, se define el momento muestral de orden j de X como
m̂j =
n
X
Xj
i
i=1
n
Supongamos que tenemos una variable aleatoria X cuya distribución depende de
un parámetro θ. Si queremos estimar una función q(θ) del parámetro, el método de
los momentos consiste en expresar q(θ) como una función continua de los r primeros
momentos poblacionales, esto es,
q(θ) = g(m1 (θ), . . . , mr (θ))
una vez hecho esto, se sustituyen en dicha función los momentos poblacionales
por los correspondientes momentos muestrales, resultando
q̂M (θ) = g(m̂1 , . . . , m̂r )
•Propiedades: Los estimadores obtenidos mediante el método de los momentos:
1. Son asintóticamente normales, esto es:
T̂ − E[T̂ ] n→∞
q
−→ N (0, 1)
V ar(T̂ )
2. Son consistentes.
3. No son, en general, insesgados.
12
10.3.3
Algunos estimadores usuales
La siguiente tabla recoge estimadores para los parámetros de algunas de las distribuciones más usuales.
Distribución
Estimador
Be(p)
p̂ = X
Ge(p)
p̂ = 1/X
P(λ)
λ̂ = X
N (µ, σ 2 )
µ̂ = X
Exp(λ)
10.4
σˆ2 = S 2
(No insesgado)
σˆ2 = Sc2
(Insesgado)
λ̂ = 1/X
Estimación por intervalos
Nuestro objetivo en esta sección es encontrar un intervalo aleatorio del que podamos afirmar, con una probabilidad prefijada, que contiene el verdadero valor del
e esto es,
parámetro bajo estudio. En lo que sigue denotaremos a la muestra por X,
e
X = (X1 , . . . , Xn ).
Definición 10.4.1.– Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución
e ≤ l2 (X)
e para
depende de un parámetro θ, y l1 , l2 dos estadı́sticos
tales que l1 (X)
e Un intervalo l1 (X),
e l2 (X)
e se dice que es un intervalo aleatocualquier muestra X.
rio de lı́mite inferior l1 y lı́mite superior l2 .
e
e
Definición 10.4.2.– Un intervalo aleatorio l1 (X), l2 (X) se dice que es un intervalo de confianza para θ a nivel de confianza (1 − α) · 100% con 0 < α < 1
si
h
i
e < θ < l2 (X)
e = 1 − α.
P l1 (X)
10.4.1
Construcción de intervalos de confianza
El procedimiento general para la construcción de un intervalo de confianza para un
parámetro θ es el siguiente:
• Buscamos una función T que dependa de la muestra y del parámetro θ, que
sea continua y monótona en θ, pero que su distribución no dependa de θ.
13
• Determinamos dos números reales 1 y 2 tales que P [1 < T < 2 ] = 1 − α.
• A partir del intervalo
mediante transformaciones
algebraicas
obtene (1 , 2 ) y h
i
e l2 (X)
e tal que P l1 (X)
e < θ < l2 (X)
e = 1 − α, con
mos un intervalo l1 (X),
e l2 (X)
e es un intervalo de confianza, al (1 − α)100%, para θ.
lo cual l1 (X),
Análogamente
se definen
los intervalos de confianza unilaterales, esto es, intervae
e ∞ como aquellos que verifican P [θ < l2 ] = 1 − α
los de la forma −∞, l2 (X) ó l1 (X),
ó P [θ > l1 ] = 1 − α.
La siguiente tabla recoge los intervalos de confianza más usuales para los parámetros de una y/o dos poblaciones normales. En el caso de intervalos para una
población, el tamaño muestral se denota por n mientras que en el caso de intervalos
para dos poblaciones, el tamaño de la muestra obtenida de la primera población se
denota por nx y el tamaño de la muestra de la segunda población se denota por
ny . Supondremos también que las varianzas de las poblaciones bajo estudio son
desconocidas y por lo tanto se estiman a partir de la cuasivarianza muestral.
Intervalos de confianza, en poblaciones normales, al
100(1 − α)%
Parámetro
Casos
Intervalo
σ
Sc
√
n
X±
µ
2
· tn−1,1− α2
(n−1)Sc2
χ2n−1,1− α
(n−1)Sc2
χ2n−1, α
,
2
µx − µy
σx = σy desconocidas
∗
µx − µy
σx 6= σy desconocidas
∗∗
(X − Y ) ±
q
1
nx
(X − Y ) ±
σy2 /σx2
Sc2y
+
q
2
∗
Sp2 =
(nx −1)Sc2x +(ny −1)Sc2y
nx +ny −2
∗∗
g=
+
1
ny
· Sp · tnx +ny −2,1− α2
+
Sc2y
ny
Sc2y
Sc2x fny −1,nx −1,1− α
2
Sc
x
nx
2
Sc2x
nx
1
2
Sc
y
ny
· tg,1−α/2
, S 2 fnx −1,ny −1,1− α2
cx
!2
2 /n )2
2 /n )2
(Sc
y
(Sc
x
x
+ ny +1
nx +1
y
−2
Nota: El valor de g que se obtiene con la expresión al pie de tabla no será, en
14
general, un valor entero. Por este motivo, en la práctica, se suele redondear el valor
obtenido al entero más próximo.
10.5
Contrastes de hipótesis estadı́sticas
Se sospecha acerca de un posible vertido de una sustancia contaminante en un
rı́o por lo que es necesario estudiar si la concentración en el agua de dicha sustancia
supera los lı́mites admisibles. Como no es posible analizar la totalidad del agua se
toman varias muestras en puntos repartidos uniformemente a lo largo del rı́o midiendo, a continuación, la concentración de la sustancia contaminante en las muestras
recogidas.
Nótese que no interesa estimar la concentración media, sino conocer si dicha
concentración supera los lı́mites admisibles. Para responder a la pregunta anterior
necesitaremos plantear y resolver un contraste de hipótesis adecuado.
Hipótesis estadı́stica: es una afirmación con respecto a alguna caracterı́stica
desconocida de la población.
Definición: se llama hipótesis nula, y se denota por H0 , a la hipótesis bajo
estudio. La realización de un contraste sobre H0 supone la contraposición de esta
hipótesis frente a otra hipótesis alternativa que se denota H1 .
Definición: Una hipótesis se dice que es simple cuando asigna valor a todos los
parámetros implicados, no dejando ningún grado de libertad. En caso contrario, se
dice que la hipótesis es compuesta.
Ejemplos: sea X ∼ N (µ, σ 2 )
Hipótesis simples Hipótesis compuestas
µ = 10
µ ≤ 10
σ2 = 9
µ 6= 10
X ∼ N (4, 9)
X ∼ N (4, σ 2 )
Definición: un contraste de hipótesis consiste en el establecimiento de una
hipótesis nula y una hipótesis alternativa.
Por ejemplo, dada una variable aleatoria X ∼ N (µ, σ 2 ), podemos plantear el
contraste
H0 : µ = 10
H1 : µ < 10
La resolución de un contraste, que posteriormente veremos cómo se realiza, da
como resultado una de las dos decisiones siguientes:
• Rechazar H0 : cuando, a partir de los datos experimentales, se tiene evidencia
significativa de que H1 es cierta.
15
• No rechazar H0 : cuando, a partir de los datos experimentales, no se tiene
evidencia significativa de que H1 sea cierta.
Ahora bien, como la decisión se toma a partir de una muestra podemos equivocarnos, siendo posibles cada una de las siguientes situaciones:
No rechazar H0
Rechazar H0
H0 cierta
Correcto
Error de Tipo I
H0 falsa
Error de Tipo II
Correcto
Se denota por α a la probabilidad de cometer un Error de Tipo I y se denota
por β a la probabilidad de cometer un Error de Tipo II; esto es:
i
h
P No rechazar H0 |H0 es falsa = β
P Rechazar H0 |H0 es cierta = α
¿Se pueden controlar los errores? Lo ideal serı́a que ambas probabilidades fueran
cero o estuvieran muy próximas a cero. Aunque una probabilidad no es complementaria de la otra, esto es, en general α + β 6= 1, suele ocurrir que cuando una
disminuye la otra aumenta por lo que, en general, no podremos lograr que ambas
sean tan pequeñas como queramos.
En la práctica lo que se suele hacer es fijar α como un valor pequeño. De este
modo, la probabilidad de cometer un error de tipo I será pequeña y estará controlada.
Definición: se llama test de hipótesis a un estadı́stico T unido a una regla de
decisión, que dependerá del α fijado, y permitirá rechazar o no H0 .
La regla de decisión será: Rechazo H0 ⇔ “T verifica una condición”. El recorrido
de T queda dividido en dos partes:
Región de aceptación: valores de T que hacen que se no se rechace H0 .
Región crı́tica o de rechazo: valores de T que hacen que se rechace H0 .
Definición: Una hipótesis alternativa unilateral es aquella de la forma θ < θ0 o
bien de la forma θ > θ0 mientras que una hipótesis bilateral es de la forma θ 6= θ0 ,
siendo θ el parámetro sobre el cual se realiza el contraste y θ0 el valor de prueba.
Generalmente se toma como H0 una hipótesis simple y como H1 una hipótesis
compuesta (unilateral o bilateral).
Si H1 es compuesta la probabilidad de cometer un Error de Tipo II, β, depende
del parámetro θ, esto es, β = β(θ) y representa la probabilidad de cometer un Error
de Tipo II para cada valor θ de la hipótesis alternativa. Esto nos lleva a la siguiente
definición:
Definición: Se define la función potencia del test como ρ(θ) = 1 − β(θ). Representa la probabilidad de rechazar H0 cuando es falsa y conviene que sea lo mayor
posible.
16
Contrastes de hipótesis, sobre poblaciones normales,
a nivel de significación α
Contrastes sobre una población
Contrastes sobre µ con σ desconocida
Hipótesis
Región Crı́tica
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
|X − µ0 | ≥
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
X ≥ µ0 +
Sc
√
n
· tn−1,1−α
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
X ≤ µ0 −
Sc
√
n
· tn−1,1−α
Hipótesis
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 6= σ02
Sc
√
n
· tn−1,1− α2
Contrastes sobre σ 2
Región Crı́tica
Sc2 ≥
σ02 χ2n−1,1− α
ó Sc2 ≤
2
n−1
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 > σ02
Sc2 ≥
H0 : σ 2 = σ02
H1 : σ 2 < σ02
σ02 χ2n−1,1−α
n−1
Sc2 ≤
17
σ02 χ2n−1,α
n−1
σ02 χ2n−1, α
2
n−1
Contrastes de hipótesis, sobre poblaciones normales,
a nivel de significación α
Contrastes sobre dos poblaciónes independientes
2 = σ 2 desconocidas∗
Contrastes sobre diferencias de medias con σX
Y
Hipótesis
Región Crı́tica∗
q
H0 : µx − µy = δ0
|X − Y − δ0 | ≥ Sp · n1x + n1y · tnx +ny −2,1− α2
H1 : µx − µy 6= δ0
H0 : µx − µy = δ0
H1 : µx − µy > δ0
X − Y ≥ δ0 + Sp ·
q
1
nx
+
1
ny
· tnx +ny −2,1−α
H0 : µx − µy = δ0
H1 : µx − µy < δ0
X − Y ≤ δ0 − Sp ·
q
1
nx
+
1
ny
· tnx +ny −2,1−α
2 6= σ 2 desconocidas∗∗
Contrastes sobre diferencias de medias con σX
Y
Hipótesis
Región Crı́tica∗
r
H0 : µx − µy = δ0
H1 : µx − µy 6= δ0
|X − Y − δ0 | ≥
r
H0 : µx − µy = δ0
H1 : µx − µy > δ0
X − Y ≥ δ0 +
r
H0 : µx − µy = δ0
H1 : µx − µy < δ0
X − Y ≤ δ0 −
+
Sc2y
ny
· tg,1−α/2
Sc2x
nx
+
Sc2y
ny
· tg,1−α
Sc2x
nx
+
Sc2y
ny
· tg,1−α
Sc2x
nx
Contrastes sobre varianzas de dos poblaciones
Hipótesis
Región Crı́tica
∗S2
p
H0 : σx2 = σy2
H1 : σx2 6= σy2
Sc2x
Sc2y
≥ fnx −1,ny −1,1− α2 o bien
H0 : σx2 = σy2
H1 : σx2 > σy2
Sc2x
Sc2y
H0 : σx2 = σy2
H1 : σx2 < σy2
=
(nx −1)Sc2x +(ny −1)Sc2y
nx +ny −2
Sc2x
Sc2y
∗∗ g
2
Sc
x
nx
=
≤
≥ fnx −1,ny −1,1−α
≤
+
1
fny −1,nx −1,1−α
2
Sc
y
ny
!2
2 /n )2
2 /n )2
(Sc
y
(Sc
x
x
+ ny +1
nx +1
y
18
Sc2x
Sc2y
−2
1
fny −1,nx −1,1− α
2
10.6
Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis
en poblaciones grandes
Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X, con E(X) = µ
y V ar(X) = σ 2 , que no necesariamente se ajusta a una distribución normal. El Teorema
Central del Lı́mite nos asegura que, si el tamaño muestral n es muy grande, la variable X
sigue una distribución que es aproximadamente normal con media E(X) = µ y varianza
√
V ar(X) = σ 2 / n.
En esta situación, un intervalo de confianza para el parámetro µ, con nivel de signifiX − µ√
n ∼ N (0, 1), vendrı́a
cación (1 − α) · 100%, que se obtiene a partir del estadı́stico
σ
dado por
Sc
Sc
X − √ · z1−α/2 , X + √ · z1−α/2
n
n
.
De manera similar, si se desea resolver el contraste
Ho : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
con nivel de significación α se rechazará la hipótesis nula si |X − µ0 | ≥
10.7
Sc
√
n
· z1−α/2 .
Uso del p-valor en la resolución de contrastes
Cuando resolvemos un contraste de hipótesis mediante un paquete de software, la decisión
sobre la hipótesis nula se toma a partir de un parámetro denominado p-valor. De manera
general, se rechaza la hipótesis nula nula cuando el p-valor proporcionado con el programa
es inferior a la significación del contraste.
¿Qué es realmente el p-valor y por qué debemos rechazar la hipótesis nula cuando el
p-valor es inferior a la significación del contraste? Vamos a ver un ejemplo para entenderlo
mejor.
Supongamos que un amigo nos dice que tiene poderes de adivinación y es capaz de
acertar, en el 90% de los casos, el resultado que se va a obtener al lanzar una moneda.
Como es amigo nuestro, le concedemos el beneficio de la duda pero decidimos ponerle
a prueba: vamos a lanzar una moneda 50 veces y le pedimos que, previamente a cada
lanzamiento, haga una predicción sobre el resultado que se va a obtener. Tras hacer los
50 lanzamientos, encontramos que su predicción ha sido acertada únicamente en 30 de los
50 lanzamientos.
Si realmente tuviera fuera capaz de acertar el resultado del lanzamiento en el 90% de
las ocasiones, el número de aciertos en los 50 lanzamientos serı́a una variable aleatoria
X ∼ B(50, 0.9). ¿Cuál serı́a entonces la probabilidad de que, al hacer los 50 lanzamientos,
acertara como mucho el resultado de 30 lanzamientos? Para responder a la pregunta
tenemos que calcular P (X ≤ 30) que resulta ser igual a 0.00000002. Ası́ pues, si realmente
19
es cierto que puede adivinar el resultado en el 90% de las ocasiones, la probabilidad de que
al hacer nuestro experimento acierte como mucho en 30 acasiones serı́a extremadamente
pequeña, tanto que debemos concluir que su afirmación no es cierta. Lo que hemos hecho,
en realidad, es plantear el contraste de hipótesis:
H0 : p = 0.9
H1 : p < 0.9
El p-valor correspondiente a este contraste para la muestra recogida, en la que se
han producido 30 aciertos de 50 lanzamientos, es la probabilidad de obtener un resultado
tan desfavorable a H0 , al menos, como el observado en la muestra. En nuestro caso,
0.00000002. Si la significación del contraste es α = 0.05, al ser el p-valor obtenido inferior
a la significación podemos decir que tenemos evidencia para rechazar la hipótesis nula,
esto es, podemos afirmar que no es cierto que pueda predecir el resultado del lanzamiento
con una eficacia del 90%.
Ahora bien, ¿y si hubiera acertado el resultado de 44 de los 50 lanzamientos? En ese
caso, si estuviera diciendo la verdad, que acierte a lo más 44 de los lanzamientos es algo
bastante probable (nótese que P (X ≤ 44) = 0.383877) por lo que no tendrı́amos evidencia
para negar su afirmación.
Por tanto, como ya se ha dicho antes, de manera general al resolver un contraste
de hipótesis tendremos evidencia para afirmar que la hipótesis alternativa es cierta, para
un nivel de significación α, cuando el p-valor obtenido sea menor o igual que la significación del contraste. En caso contrario, no podremos afirmar que la hipótesis alternativa
es correcta.
20
10.8
Ejercicios
1. Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en (0, β), donde β es desconocido, y sea X1 , . . . , Xn una m.a.s. de X. Consideremos el estimador U =
max{X1 , . . . , Xn } cuya función de densidad viene dada por
i. Comprobar que es un estimador sesgado de β.
ii. Estimar β, utilizando un estimador insesgado, a partir de la muestra:
0.53 0.73 1.54 2.48 1.3 0.2
iii. Demostrar que el estimador U es consistente para β.
(
fU (x) =
nxn−1
βn
0
si
si
x ∈ (0, β)
x∈
/ (0, β)
2. Sea X1 , X2 , X3 , X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una población cuya
distribución es exponencial de parámetro θ desconocido. De los siguientes estadı́sticos, ¿cuáles son insesgados de θ−1 ?
T1 = 61 (X1 + X2 ) + 31 (X3 + X4 ) T2 =
X1 +2X2 +3X3 +4X4
5
T3 =
X1 +X2 +X3 +X4
4
¿Cuál tiene varianza mı́nima?
3. Los resultados que se muestran a continuación son relativos a las temperaturas de
funcionamiento de dos procesadores:
procesador 1
procesador 2
tamaño muestral
10
9
media
44.67
47.24
varianza
2.87
8.94
Supuesto que las caracterı́sticas bajo estudio siguen distribuciones normales independientes con distintas varianzas, calcular un intervalo de confianza al 90% para la
diferencia de temperaturas medias de ambos procesadores.
4. Se quiere probar la efectividad de un antitérmico (reductor de la fiebre). Con tal
fin se tomó la temperatura a 10 niños afectados de gripe, antes y después de la
administración del antitérmico resultando una media de las diferencias de temperaturas (antes-después) de D = 1.58 y una cuasidesviación tı́pica de las diferencias
Scd = 0.71. Suponiendo que la caracterı́stica bajo estudio sigue una distribución
normal, calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias.
5. El Ayuntamiento de una ciudad se encuentra interesado en estimar la cantidad
promedio de dinero que la población se gasta, al cabo del mes, en espectáculos.
Se realizó una encuesta a 16 personas elegidas al azar obteniéndose (en euros) los
siguientes datos: 15.00, 17.50, 16.30, 14.80, 14.20, 18.90, 13.50, 17.40, 16.80, 15.20,
15.80, 18.40, 13.40, 14.60, 15.50, 16.30. Si se supone que la cantidad de dinero
gastada en un mes es una variable aleatoria que sigue una distribución normal,
obtener los intervalos de confianza para la cantidad promedio real al 90%, 95% y
98%. Obtener un intervalo de confianza para la varianza con nivel de confianza del
98%.
21
6. Un laboratorio afirma que un calmante de su fabricación quita la jaqueca en 14
minutos (o menos), en los casos corrientes. Con el fin de comprobar estadı́sticamente
esta afirmación, se eligen al azar 18 pacientes con jaqueca y se toma como variable
de respuesta en el experimento el tiempo transcurrido entre la administración del
calmante y el momento en que desaparece la jaqueca. Los resultados observados en
la muestra de pacientes han sido X = 19 y S = 7. ¿Se puede rechazar, al 5% de
significación, la afirmación del laboratorio?. (Suponer normalidad)
7. El voltaje de salida en cierto circuito eléctrico debe ser igual a 130, según se especifica en las instrucciones. Una muestra de 40 lecturas independientes para este
circuito reflejó una media muestral de 128.6 y una desviación tı́pica de 2.1. ¿Se encuentra dicho circuito en perfecto estado? (Suponer normalidad y utilizar un nivel
de significación del 5%).
8. De los datos experimentales se deduce que la duración de una pila sigue una distribución normal. El fabricante asegura que el tiempo medio de vida es de 15 horas
de duración. Temiendo que la duración pueda ser menor, se toma una muestra de
10 pilas, obteniendo los siguientes datos (duración en horas)
14, 14.5, 15, 15.5, 13, 16.5, 10, 15.5, 14, 14
Decidir si, en base a los datos muestrales, debemos rechazar o no la afirmación del
comerciante con un nivel de significación de 0.05.
9. Distintas mediciones de la cantidad de cierto producto obtenidas para dos tipos de
suelo dieron los siguientes resultados:
Suelo tipo A
nA = 30
YA = 1.65
SA = 0.26
Suelo tipo B
nB = 35
YB = 1.43
SB = 0.22
¿Difieren los dos suelos con respecto a la cantidad promedio del producto? (Suponer
normalidad y un nivel de significación del 1%).
10. Una compañı́a farmacéutica realizó un experimento para comprobar los tiempos
promedio (en dı́as) necesarios para recuperarse del resfriado común. En este experimento se compararon personas que tomaron una dosis diaria de vitamina C con
personas que tomaron un placebo. El estudio se hizo a 35 personas en cada grupo,
obteniéndose los siguientes datos:
Tratamiento
Media
Desviación
Con placebo
7.3
2.9
Con vitamina C
4.6
1.2
Supuesto normalidad, y con un nivel de significación de 1%, ¿se puede afirmar que
el tiempo de recuperación promedio cuando se toma placebo supera en más de un
dı́a al tiempo de recuperación promedio cuando se ingiere vitamina C?
11. Los siguientes datos fueron recabados para verificar si existe diferencia sistemática
en los pesos obtenidos con dos balanzas diferentes:
22
Peso en gramos
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
Muestra de roca
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Balanza I
11.23
14.36
8.33
10.50
23.42
9.15
13.47
6.47
12.40
19.38
Balanza II
11.27
14.41
8.35
10.52
23.41
9.17
13.52
6.46
12.45
19.35
Suponiendo normalidad probar, con nivel de significación α = 0.05, si la diferencia
de medias de los pesos obtenidos es significativa.
12. Se obtienen los siguientes datos con respecto a la resistencia de dos dispositivos
diferentes:
Dispositivo A: 15.8, 12.7, 13.2, 16.9, 10.6, 18.8, 11.1, 14.3, 17.0, 12.5
Dispositivo B: 24.9, 23.6, 19.8, 22.1, 20.4, 21.6, 21.8, 22.5
Probar si es razonable suponer que las muestras provienen de poblaciones (normales)
con la misma varianza. (Utilizar α = 0.05)
13. Se requiere determinar si existe menos variabilidad en el plateado realizado por
la compañı́a A que en el efectuado por la compañı́a B. Si dos muestras aleatorias
independientes de tamaño 12 del trabajo desempeñado por ambas compañı́as presentaron desviaciones tı́picas SA = 0.035 mm. y SB = 0.062 mm., comprobar la
hipótesis nula de que σA = σB contra la hipótesis alternativa de que σA < σB con
un nivel de significación de 0.05. (Suponer normalidad)
14. Jugando 10 rondas de golf en su campo privado, un golfista profesional promedió
71.3 golpes con una desviación tı́pica de 1.32. Probar la hipótesis nula de que la
consistencia de su juego, en su campo privado, en realidad está dada por σ = 1.20,
contra la hipótesis alternativa de que es menos consistente. (Suponer normalidad y
emplear un nivel de significación α = 0.05)
15. Dos técnicas de alumbrado se comparan midiendo la intensidad de la luz en puntos
determinados situados en áreas iluminadas por cada uno de los dos métodos. Si
15 mediciones en el primer área dieron una desviación tı́pica de 2.7 bujı́as por pie
cuadrado, y 27 mediciones en la segunda área dieron una desviación de 4.2 bujı́as
por pie cuadrado, ¿puede concluirse que el alumbrado en la segunda área es menos
uniforme?. (Suponer normalidad y utilizar un nivel de significación α = 0.01)
16. Los ingresos mensuales (en euros) de un grupo de 9 personas seleccionadas al azar
entre un gran número de individuos, han resultado ser: 1570, 1550, 1530, 1520, 1560,
1500, 1510, 1540, 1580. ¿Debe rechazarse la hipótesis de que la muestra procede
de una población normal cuyos ingresos mensuales medios son de 1557 euros, para
un nivel de significaciń del 5%? Calcular un intervalo de confianza al 95% para la
media poblacional.
23
17. Un proceso quı́mico debe producir cada dı́a una cantidad media de 800 toneladas de
un producto. El encargado de vigilar el buen funcionamiento del proceso sospecha
que se está produciendo menos de esa cantidad y por ello ha observado las producciones diarias durante los últimos 5 dı́as, que son: 802, 795, 752, 810, 783. ¿Hay
evidencia para afirmar, al 5% de significación, que la sospecha es correcta?
18. Se llevó a cabo un estudio para determinar el grado en el cual el alcohol entorpece
la habilidad de pensamiento para llevar a cabo determinada tarea. Se seleccionaron
al azar diez personas de distintas caracterı́sticas y se les pidió que participaran en
el experimento. Inicialmente, cada persona llevó a cabo la tarea sin nada de alcohol
en su organismo y se midió el tiempo (en minutos) necesario para realizarla. Posteriormente, la tarea volvió a llevarse a cabo, después de que cada persona habı́a
consumido una cantidad sufciente de alcohol para tener un contenido en su organismo del 0.1%. Los datos recogidos fueron los siguientes:
Sujeto
Tiempo antes
Tiempo después
1
28
29
2
22
35
3
55
57
4
45
51
5
32
36
6
35
58
7
40
51
8
25
34
9
37
48
10
20
30
¿Puede concluirse, al 5% de significación, que el consumo de alcohol incrementa el
tiempo necesario para realizar la tarea?
19. Dividimos aleatoriamente un conjunto de pacientes afectados por cierto virus en
dos grupos a los que se administra respectivamente un placebo y un tratamiento en
estudio para combatir la afección vı́rica. Después de tratar a los pacientes durante 2
meses se mide la concentración de virus de cada uno de ellos. Las medidas obtenidas
en los pacientes que fueron tratados con el placebo son: 23, 26, 26, 22, 27, 25, 24,
24, 25, 25. Las medidas de los pacientes que recibieron el tratamiento fueron: 22,
22, 19, 21, 22, 23, 24, 20, 23, 23.
¿Puede decirse, al 5% de significación, que el tratamiento hace el efecto deseado en
la infección, es decir, que disminuye el nivel de virus?
20. Una muestra de 2000 personas tiene una estatura media de 1.72 m. y varianza 0.12
m. Obtener un intervalo de confianza para la media al 98%. ¿Podemos afirmar,
con una significación de α = 0.05 que la altura media de la población es distinta de
1.75m?
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