Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencias de la ingeniería
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Tarea N°5- Dominios atracción y conjuntos
límites. Transformación Poncairé e
identificación de tipos de soluciones.
Integrante
Efraín Ibaceta Valenzuela
Diego Verdugo
Profesora
Adelheid Ingeborg Mahla
Fecha de realización: 27 de diciembre de 2019
Fecha de entrega: 27 de diciembre de 2019
Santiago, Chile
i
1. Defina conjunto límite atractor.
2. Defina dominio o cuenca de atracción (del inglés, "basin").
Un atractor es una variedad del espacio de las fases que atrae órbitas cercanas. En particular, los
limites variable omega son atractores (revise anexo).
Definición. El conjunto de todos los puntos w ∈ Rn que pertenecen a un conjunto limite omega
ω (x0 ) de la condición inicial x0 es un conjunto atractor, y el conjunto de condiciones iniciales x0
que son atraidas por el limite omega se llama cuenca de atracción o Basin.
3. Para un sistema de orden 2 que tenga al menos un punto de equilibrio estable,
a partir de una simulación grafique el dominio de atracción resaltado con un color
distintivo.
4. Defina sección transversa (del inglés, "transverse").
5. Defina Transformación de Poincaré de primer retorno.
6. Indique a qué tipo de conjunto límite en el espacio continuo, corresponden los
siguientes conjuntos límites generados mediante la Transformación de Poincaré:
7. Defina atractor extraño.
8. Escoja un ejemplo desarrollado en la literatura, de un tipo de solución y su
transformación de Poincaré, representados gráficamente.
Anexo
Definición. Un punto w ∈ Rn está en el conjunto limite omega ω (x0 ) de la solución x(t) correspondiente a la condición inicial x0 si existe una sucesión no acotada de tiempos {tn } tales
que
lı́m x (tn ) = w
n→∞
Esto es, si uno espera un tiempo suficientemente largo, la solución del sistema dinámico x (t, x0 )
consistirá en puntos que pertenecen al conjunto ω (x0 ) Ciertamente este conjunto puede constar de
puntos en el infinito, tal como sucede con los sistemas lineales ( 2.3) cuya matriz A tenga al menos
un autovalor con parte real positiva. Sin embargo, como ya hemos discutido, estamos intere sados
en sistemas cuyas órbitas están acotadas.
Tarea N°5
11502-0-M-44 Sistemas dinámicos no lineales
ii
Referencias
[1] Página oficial de Yalmip. Revisión de comandos mas comunes del solver YALMIP
https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothness
[2] Valores propios y vectores propios. Revisión de comando eig()
https://la.mathworks.com/help/matlab/ref/eig.html
[3] Complemento de Schur. Permite la reestructuración de un problema no LMI.
https://www.researchgate.net/publication/279648633_Modelo_simulacion_y_control_
de_un_brazo_robotico_mediante_matlab_y_simulink_para_soldadura_de_arco
[4] Enumaración de los casos del item E3. Matrices A de entrada de sistemas dinámicos continuos.
http://www.udesantiagovirtual.cl/moodle2/mod/resource/view.php?id=58005
[5] Clase de estabilidad de LMI. Correlación de estabilidad de sistema a través de autovalores de
Matriz A y P>0.
http://www.udesantiagovirtual.cl/moodle2/mod/resource/view.php?id=57432
[6] Shah, Tirth; Chattopadhyay, Rohitashwa; Vaidya, Kedar; Chakraborty, Sagar (2015). Çonservative perturbation theory for nonconservative systems". Physical Review E. 92 (6): 062927.
arXiv:1512.06758. Bibcode:2015PhRvE..92f2927S. doi:10.1103/physreve.92.062927.
[7] Chattopadhyay, Rohitashwa; Shah, Tirth; Chakraborty, Sagar (2018). "Finding the Hannay
angle in dissipative oscillatory systems via conservative perturbation theory". Physical Review
E. 97 (6): 062209. arXiv:1610.05218. doi:10.1103/PhysRevE.97.062209.
Tarea N°5
11502-0-M-44 Sistemas dinámicos no lineales
