MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B 18-5-2012 OPCIÓN A 1.- a) Lnx x2 Estudia su monotonía y calcula sus extremos relativos b) Calcula Dada la función f : ( 0, +∞ ) → definida por f ( x ) = e ∫ f ( x )dx 1 Solución: a) Calculamos su función derivada: 1 2 x − 2 xLnx x 1 − 2 Lnx ( ) 1 − 2 Lnx = = f '( x ) x = 4 4 x x x3 Obtenemos los puntos críticos igualando a 0: 1 − 2 Lnx = 0 ⇒ Lnx = Como el dominio es ( 0,+∞ ) , los intervalos de monotonía serán: 1 1 ⇒ x = e2 = e 2 ( 0, e ) ⇒ f '( 1 ) =1 > 0 ⇒ f es creciente ( e ,+∞ ) ⇒ f '( 2 ) < 0 ⇒ f es decreciente A la vista de la monotonía, podemos además afirmar que la función tendrá un máximo en el 1 punto e , f e = e , 2e ( ( )) b) Calculamos por partes la integral indefinida: 1 u = Lnx ⇒ du = dx Lnx 1 1 1 1 x =− Lnx − ∫ − 2 dx =− Lnx − ∫ x 2 dx = 1 1 1 x x x x dv =2 ⇒ v = dx = − 2 ∫ x x x Si ahora aplicamos la regla de Barrow: 1 1 1 1 2 Lnx e−2 ∫1 x 2 dx =− x Lnx − x 1 =− e − e − ( −1) =− e + 1 = e e 2.- e 1 0 3 Dadas las matrices: A = − 2 1 x 3 x 0 ; 1 0 B = 0 1 −1 0 ; 1 0 C = 0 − 1 a) Calcular razonadamente los valores de x para los que la matriz A no tiene inversa b) Para x = - 2, resolver, si es posible, la ecuación AX = 4BC Solución: a) Los valores de x que hacen que A no tengan inversa, son aquellos para los que su determinante vale 0. Calculamos entonces su determinante: 1 0 3 A =−2 1 x =−6 x − 9 − x 2 =− x 2 − 6 x − 9 3 x 0 Si igualamos a 0 y resolvemos: − x 2 − 6 x − 9 =0 ⇒ x =−3 Luego la matriz A no tendrá inversa cuando x valga -3 b) Despejamos en la ecuación matricial: AX= 4 BC ⇒ A−1 AX= A−1 4 BC ⇒ X= A−1 4 BC (el 4 se puede poner delante al ser un número, pero lo haremos así para no liar) 1 0 3 Si x = - 2, la matriz A es A = −2 1 −2 3 −2 0 Su determinante es -1 y es fácil (queda como ejercicio) ver que su matriz adjunta es −4 −6 1 * A =− 6 −9 2 −3 −4 1 −4 −6 −3 −6 −9 −4 t 4 6 3 1 A* ) 2 1 ( −1 −1 , se= obtiene: A Como A = = 6 9 4 A −1 −1 −2 −1 4 0 4 0 1 0 = 4 BC 0 4 = Por otra parte: 0 −4 0 − 1 −4 0 −4 0 4 6 3 4 0 4 −24 −1 Luego X= A 4 BC= 6 9 4 0 −4 = 8 −36 −1 −2 −1 −4 0 0 8 3.- a) Discute el siguiente sistema según los valores de k: x + y + kz = k kx + y + z = k2 x + y + 2kz = k b) Para k = 0, resuélvelo e interpreta geométricamente el resultado obtenido Solución: a) Vamos a discutir el sistema utilizando el Teorema de Rouché. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: 1 1 k A= −k 2 + k k 1 1 ⇒ A = 1 1 2k Igualando a 0 obtendremos los valores que hacen que dicha matriz no tenga rango 3: −k 2 + k = 0 ⇒ k = 0 , k = 1 Tenemos entonces tres posibilidades: Si k ≠ 0 ,1 , el Rango de A será 3 y también el de la ampliada (que la incluye). Por tanto: RgA= RgA'= 3= nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible determinado Si k = 0, calculamos el rango de la matriz de los coeficientes y de la ampliada: 1 1 0 1 0 A = 0 1 1 ⇒ 1 ≠ 0 ⇒ RgA =2 = 1 1 1 1 0 1 1 0 0 A' = 0 1 1 0 1 1 0 0 Como la última columna de la ampliada es toda 0, todos los menores de orden 3 serán nulos y por tanto su rango también será 2. Por tanto: RgA = RgA' = 2 < nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible Indeterminado, pero como podemos observar es un sistema homogéneo, y por tanto, al tener infinitas soluciones, se trata de un Sistema Homogéneo Compatible Si k = 1, 1 1 1 1 1 1 ≠ 0 ⇒ RgA =2 A =1 1 1 ⇒ = 1 2 1 1 2 1 1 1 1 A' = 1 1 1 1 1 1 2 1 Como las dos primeras filas de la matriz ampliada son iguales, todos los menores de orden 3 serán nulos y por tanto su rango también será 2. Por tanto: RgA = RgA' = 2 < nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible Indeterminado b) Para k = 0, ya hemos visto que se trata de un sistema homogéneo compatible, con infinitas soluciones, y como la tercera ecuación es igual que la primera, podemos eliminarla y resolver directamente: x=λ x+ y = 0 ⇒ y = −λ y+z = 0 z=λ x+ y = 0 Geométricamente, como el sistema quedaría y + z = 0 , son tres planos en el que dos son x+ y = 0 coincidentes (primero y tercero) y otro que los corta en una recta (de ecuaciones paramétricas las soluciones del sistema) 4.- y−2 = z +1 −1 Calcular razonadamente la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P Calcular razonadamente el simétrico del punto A(1,-1,-2) respecto al plano calculado en el apartado anterior Dado el punto P(-1,2,0) y la recta r ≡ x = a) b) Solución: a) Como el plano contiene a r, un vector director del plano puede ser el vector director de la recta. El otro vector director del plano es el que une un punto de la recta con el punto P: y−2 r≡x= = z + 1 ⇒ ur = (1, −1,1) , Q ( 0 , 2 , −1) ⇒ PQ = (1, 0, −1) −1 Calculamos con ambos vectores y el punto P la ecuación general del plano. x +1 y − 2 z −1 1 1 = 0 ⇒ π ≡ x + 2y + z −3 = 0 −1 1 0 b) Calculamos la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano anterior. Para ello usamos su vector normal nπ = (1, 2 ,1) como vector director de la recta, por lo que sus ecuaciones x= 1+ λ paramétricas serán: y =−1 + 2λ z =−2 + λ Si sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano podemos calcular el punto de corte entre ambos: 1 + λ + 2 ( −1 + 2λ ) − 2 + λ − 3 = 0 ⇒ 6λ − 6 = 0 ⇒ λ = 1 Y sustituyendo en la recta tenemos el punto B ( 2 ,1,−1) Ese será el punto medio entre A y su simétrico respecto al plano, A’(x,y,z) y usando la fórmula del punto medio obtendremos: x +1 = ⇒= x 3 2 2 y −1 = ⇒= y 3 1 2 z−2 = −1 ⇒ = z 0 2 Luego el punto simétrico que buscábamos es A' ( 3,3, 0 ) 5. Dados los puntos A ( 0 ,1, 0 ) ,B (1, 2 ,3) ,C ( 0 , 2 ,1) ,D ( k + 1,k ,1) a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C b) Calcula razonadamente el/los valor/es de k para que los cuatro puntos sean coplanarios y calcula la ecuación del plano que los contiene c) Calcula razonadamente el/los valor/es de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 2u 3 Solución: a) Usando el producto vectorial: AB × AC Área = 2 i j k Como AB =(1,1,3) , AC =( 0,1,1) ⇒ AB × AC =1 1 3 =−2i − j + k =− ( 2, −1,1) 0 1 1 A Luego el área pedida será:= ( −2, −1,1) = 2 6 2 u 2 b) Para que los cuatro puntos sean coplanarios, los tres vectores que forman deben ser linealmente independientes, lo que significa que el rango de la matriz cuadrada que forman debe ser 2 y por tanto su determinante ha de ser 0 (es lo mismo que decir que su producto mixto debe ser 0): Usando los dos vectores del apartado anterior y el vector AD =( k + 1,k − 1,1) : k +1 k −1 1 1 1 3= −3k = 0 ⇒ k= 0 0 1 1 Luego para que los cuatro puntos estén en el mismo plano k debe ser 0 y sería D(1,0,1) 1 AB, AC , AD y el producto mixto 6 es justamente el determinante calculado en el apartado anterior, se obtiene la ecuación −3k =2 ⇒ −3k =12 ⇒ k =±4 6 Luego formarán un tetraedro de volumen 2 si k vale 4 ó -4 c) Como la fórmula del volumen de un tetraedro es: ( V= ) OPCIÓN B 1.- Representa el recinto limitado por la gráfica de la función f ( x= ) x3 − 3 x (calcula lo que necesites), su recta tangente en x = -1 y la recta y = x. Calcula el área de dicho recinto. Solución: Para representar la función (polinómica) bastará con calcular sus puntos de corte con los ejes y sus extremos. f ( x ) = x3 − 3 x = 0 ⇒ x ( x 2 − 3) = 0 ⇒ x = 0 ,x = ± 3 f '( x ) =3 x 2 − 3 ⇒ 3 x 2 − 3 =0 ⇒ x =±1 f ''( x ) =6 x ⇒ f ''( x ) =6 > 0 ; f ''( −1 ) =−6 < 0 Luego tiene un mínimo en el punto (1,-2) y un máximo en (-1,2) La recta tangente en x = -1 (que es un extremo) es y = 2 Con todo esto podemos dibujar el recinto cuya área tenemos que calcular: A la vista del dibujo, el área se calculará como: ∫( 0 A= −1 2.- 0 2 x 4 3x 2 x2 3 11 + 2x − = + 2 = u2 2 − ( x − 3 x ) dx + ∫ ( 2 − x ) dx = 2 x − + 4 2 −1 2 0 4 4 0 3 ) 2 0 3 4 Dada la matriz A= 1 −4 −5 −1 3 4 a) Justifica que es invertible y calcula su inversa b) Calcula A3 y A100 Solución: 0 3 4 a) Como A = 1 −4 −5 =−1 ≠ 0 , la matriz tiene inversa. −1 3 4 −1 1 −1 = A 0 4 −3 Calculamos su matriz adjunta (se deja como ejercicio) 1 4 −3 t 1 0 −1 A* ) ( −1 =− 1 −4 −4 Y por tanto su matriz inversa será: A = A 1 3 3 * 0 3 4 0 3 4 −1 0 1 b) Calculo primero A= 1 −4 −5 ⋅ 1 −4 −5 = 1 4 4 −1 3 4 −1 3 4 −1 −3 −3 2 Multiplicando de nuevo obtenemos: −1 0 1 0 3 4 −1 0 0 A = A ⋅ A = 1 4 4 ⋅ 1 −4 −5 = 0 −1 0 −1 −3 −3 −1 3 4 0 0 −1 3 2 Como se observa, se cumple que A3 = − I , lo que permite calcular cualquier potencia de A. En particular: A100 = ( I ) ⋅ A =− I ⋅ A =− A ( A3 ) ⋅ A =− 33 3.- 33 Discute y resuelve según los valores de m el sistema: x + 2 y + mz =m − 1 m x + ( m + 1) y + ( 2m + 1) z = − x − 2 y + z =2 Razona si existe algún valor de m para que el sistema represente geométricamente tres planos que se cortan en el punto (3,-2,1) Solución: Vamos a discutir el sistema utilizando el Teorema de Rouché. Para ello calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: 2 m 1 A = 1 m + 1 2m + 1 ⇒ A =m 2 − 1 −1 −2 1 Igualando a 0 obtendremos los valores que hacen que dicha matriz no tenga rango 3: m 2 − 1 =0 ⇒ m =±1 Tenemos entonces tres posibilidades: Si m ≠ ±1 , el Rango de A será 3 y también el de la ampliada (que la incluye). Por tanto: RgA= RgA'= 3= nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible determinado Si m = 1 1 A = 1 −1 1 A' = 1 −1 Por tanto: 1 2 1 2 3 ⇒ =4 ≠ 0 ⇒ RgA =2 2 3 −2 1 2 1 0 2 1 0 2 3 1 ⇒ 2 3 1 =4 ≠ 0 ⇒ RgA' =3 −2 1 2 −2 1 2 RgA ≠ RgA' ⇒ Sistema Incompatible 2 Si m = -1 1 2 −1 2 −1 =−2 ≠ 0 ⇒ RgA =2 A = 1 0 −1 ⇒ 0 −1 −1 −2 1 1 2 −1 −2 = A' 1 0 −1 −1 −1 −2 1 2 Como la primera y la tercera filas de la matriz ampliada son proporcionales, todos los menores de orden 3 serán nulos y por tanto su rango también será 2. Por tanto: RgA = RgA' = 2 < nº incógnitas ⇒ Sistema Compatible Indeterminado Si m ≠ ±1 , como es un sistema Compatible Determinado, podemos resolverlo por Cramer: m −1 2 m m m + 1 2m + 1 2 2 −2 1 m 2 + 2m + 1 ( m + 1) m +1 = x = = = 2 2 2 m −1 m −1 m −1 m −1 = y = z 1 m −1 m 1 m 2m + 1 −1 2 1 −m ( m + 1) −m = = 2 m −1 m2 − 1 m −1 1 2 m −1 1 m +1 m 2 −1 −2 m2 − 1 = = 1 m2 − 1 m2 − 1 Si m = -1, es Compatible Indeterminado y podemos eliminar la tercera ecuación al ser proporcional a la primera: x + 2 y − z =−2 1 1 ⇒ Sol −1 + λ , − , λ , z =λ ⇒ x =−1 + λ , y =− x − z =−1 2 2 Para que sean tres planos que se cortan en un punto, el sistema tiene que ser Compatible determinado. Como queremos que la solución sea (3,-2,1), igualamos las soluciones que nos han salido en este caso: x= m +1 = 3 ⇒ m + 1 = 3m − 3 ⇒ m = 2 m −1 −m −2 Si m = 2 ⇒ y= = = −2 m −1 1 z =1 Luego si m = 2, la solución es precisamente la que buscamos y por tanto en este caso son tres planos que se cortan en dicho punto. 4. x=λ 0 x − 2 y − 5 = Dadas las rectas r ≡ y= 2 + λ , s≡ 0 y−z+4= z= 2 − λ a) Halla razonadamente la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas b) Halla razonadamente la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s Solución: a) x =−3 + 2 µ Pasamos a paramétricas la recta s ≡ y =−4 + µ z=µ Es fácil ver que ambas rectas se cruzan (hacerlo como ejercicio) Queremos un vector que tenga su origen en un punto de r y su extremos en uno de s, y que además sea perpendicular a ambas rectas (y por tanto a ambos vectores directores). Todos los puntos de r serán de la forma: R ( λ , 2 + λ , 2 − λ ) Y los de s: S ( −3 + 2 µ , − 4 + µ , µ ) Luego todos los vectores buscados serán del tipo: RS ( −3 + 2 µ − λ , − 6 + µ − λ , − 2 + µ + λ ) Como debe ser perpendicular a ambas rectas, su producto escalar con los vectores directores de r y s debe ser 0: 0 RS ⋅ (1,1, −1) = 0 RS ⋅ ur = −3λ + 2 µ − 7 = 0 ⇒ ⇒ ⇒ λ= 1 , µ= 2 −2λ + 6 µ − 14 = 0 0 RS ⋅ ( 2 ,1,1) = 0 RS ⋅ us = Luego sustituyendo en cada recta, los puntos son R (1,3,1) , S (1, −2 , 2 ) ⇒ RS =( 0 , −5,1) , que es el vector director de la recta buscada. Por tanto, la ecuación de dicha recta será (por ejemplo en continua) x −1 y − 3 t≡ = = z −1 0 −5 b) Para calcular un plano que contiene a r y es paralelo a s, usamos un punto de r, (0,2,2), y los vectores directores de ambas rectas: x y−2 z−2 π≡1 2 1 1 −1 = 0 ⇒ π ≡ 2 x − 3 y − z + 8= 0 1 5.- Dados los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1) a) b) c) Halla un punto C de la recta de ecuación r ≡ x −1 y == z que verifica que el triángulo de 3 2 vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D donde D es el punto de corte del plano de ecuación π ≡ 2 x − y + 3 x − 6 = 0 con el eje OX Razona si los puntos A, B, C y D están en el mismo plano Solución: a) El punto buscado C(x,y,z) está en la recta, luego cumple sus ecuaciones generales. Por otro lado, para que el triángulo sea rectángulo en B, los vectores AB y BC tienen que ser perpendiculares (producto escalar 0) 1 x − 3z = Pasamos r a ecuaciones generales: r ≡ 0 y − 2z = Calculamos los vectores: AB ( 0 , 2 , −3) , BC ( x − 1, y − 2 ,z + 1) Luego AB ⋅ BC = 0 ⇒ 2 y − 3z − 7 = 0 Formamos un sistema con esta ecuación y las generales de r y obtendremos el punto buscado: x − 3z = 1 y − 2z = 0 ⇒ x = 22 , y = 14 , z = 7 ⇒ C ( 22 ,14 , 7 ) 2 y − 3z − 7 = 0 b) Calculamos el punto de corte del plano dado con el eje OX: = y 0 OX ≡ ⇒ D ( 3, 0 , 0 ) z = 0 0 π ≡ 2 x − y + 3x − 6 = Usando el producto vectorial: AB × AD Área = 2 i j k Como AB × AD =( 0, 2, −3) × ( 2, 0, −2 ) =0 2 −3 =−4i − 6 j − 4k =− ( 4, −6, −4 ) 2 0 −2 A Luego el área pedida= será: ( −4, −6, −4 ) 68 2 u 2 = 2 c) Para que los cuatro puntos estén en el mismo plano, los tres vectores que forman deben ser linealmente independientes, lo que significa que el rango de la matriz cuadrada que forman debe ser 2 y por tanto su determinante ha de ser 0 (es lo mismo que decir que su producto mixto debe ser 0): 0 2 −3 AB ( 0, 2, −3) , AC ( 21,14,5 ) , AD ( 2, 0, −2 ) ⇒ 21 14 5 = 188 ≠ 0 2 0 −2 Luego los cuatro puntos anteriores no están en el mismo plano.
