Libro rojo de las Matemáticas

Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
PROPOSICIONES
OPERADORES LÓGICOS
PROPOSICIONES MOLECULARES
FORMAS PROPOSICIONALES
BICONDICIONAL. EQUIVALENCIAS LÓGICAS
ALGEBRA DE PROPOSICIONES
RAZONAMIENTOS
Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente. Nuestras acciones están
dirigidas a que sean o parezcan coherentes. Pero para situaciones formales un tanto
complicadas, nuestros argumentos elementales no nos ayudan a resolverlas. Es aquí donde
entra la necesidad de considerar mecanismos abstractos para el análisis formal. La lógica
matemática nos permite hacer estos análisis, haciendo que todas las verdades de la razón
sean reducidas a una especie de cálculo.
Con la lógica matemática podemos precisar la equivalencia entre expresiones
abstractas, podemos analizar la validez de argumentos o razonamientos, podemos realizar
demostraciones formales,...
1
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
1.1 PROPOSICIONES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina proposición.
• Conozca la notación para proposiciones.
• Reconozca proposiciones.
• Dé ejemplos de proposiciones.
• Dé ejemplos de enunciados que no sean proposiciones.
La Lógica Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que
manifiestan o una verdad o una falsedad. A estas expresiones se las
llaman PROPOSICIONES.
Entonces:
PROPOSICIONES son afirmaciones
a las que
se les puede asignar o bien un valor de
verdad de VERDADERO o bien un valor de
verdad de FALSO.
Ejemplos
1. "Hoy es Lunes" (suponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta
expresión será una afirmación VERDADERA).
2. "Estoy en la clase de matemáticas" (suponga que la persona que emite esta afirmación,
efectivamente está presenciando la clase de
matemáticas; en este caso esta expresión será una
afirmación también VERDADERA).
3. "Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite ésta frase se encuentra en Ecuador y no
en España, entonces esta afirmación será una proposición FALSA).
Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos
o mandatos; no son consideradas como proposiciones por la Lógica
Matemática.
Ejemplos:
1.¡Ojalá Llueva!
2.¿Hiciste el deber de Matemáticas?
3.Siéntate y estate quieto.
1.1.1 NOTACIÓN
De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para el
VALOR DE VERDAD de una proposición:
VERDADE
1
2
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Lógica Matemática
RO
FALSO
0
Los SÍMBOLOS que se adoptan para las proposiciones
PRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIO en minúscula.
suelen ser las
Ejercicio Propuesto 1.1
Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:
a) Esta fruta está verde.
b) ¿Estás contenta?
c) Siéntate y estate quieto
d) 3 +7= 10
e) El ratón trepó a la mesa.
f) Mañana se acabará el mundo.
g) Ramón Ramírez debe pagar sus deudas a menos que quiera ir a la cárcel.
h) ¿Es feo Juan?
i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años.
j) ¡Márchate!
Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente
proposiciones más extensas como:




No hice el deber de Matemáticas.
Estoy en Ecuador y estoy feliz.
Estudio ó juego fútbol.
Si estudio entonces sacaré buena calificación en el examen.
Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas
proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lógicos.
1.2 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Conozca la notación para los operadores lógicos.
• Deduzca, con ejemplos, la esencia de los operadores lógicos y la tabla de verdad para
las operaciones lógicas.
• Analice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una
condicional.
• Comprenda e interprete la recíproca, la inversa y la contrarecíproca de una condicional.
• Traduzca del lenguaje común al lenguaje formal
1.2.1 NEGACIÓN
La negación se presenta con los términos:
El
SÍMBOLO LÓGICO
•
•
•
No
No es verdad que
No es cierto que
que se emplea para traducirla es:
¬
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Lógica Matemática
Aunque también se suele emplear:
~
Analicemos lo siguiente.
Ejemplos
1.
SUPONGA QUE ESTAMOS EN EL DÍA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:
2.
(será una proposición VERDADERA).
(en cambio esta proposición será FALSA).
SUPONGA QUE NO ESTÉ LLOVIENDO, entonces al decir:
¬a : "Hoy no es Lunes "
a : "Hoy es Lunes"
¬a : "No está lloviendo"
a : "Está lloviendo"
(será una proposición FALSA)
(en cambio esta proposición será VERDADERA)
Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique
todas estas posibilidades formamos la llamada TABLA DE VERDAD.
Que para la negación sería:
a
1
0
¬a
0
1
Observe que:
El operador NEGACIÓN
VERDAD
CAMBIA EL VALOR DE
de una proposición.
1.2.2 CONJUNCIÓN
Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el
término
y
En lenguaje formal se lo traduce con el
SÍMBOLO:
∧
Ejemplo
CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo"
b : "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo"
LA CONJUNCIÓN DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA:
a ∧ b : "Tengo una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo"
Entonces al suponer que:
1.
En verdad se tiene las dos monedas ( a ≡ 1 ; b ≡ 1 ) entonces decir "Tengo una moneda de 50 y una de
25 centavos en el bolsillo", será una VERDAD.
2.
Si se tiene la moneda de 50 centavos y no la de 25 centavos ( a ≡ 1 ; b ≡ 0 ), la proposición "Tengo una
moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", será FALSA.
4
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Si no se tiene la moneda de 50 centavos y si la de 25 centavos ( a ≡ 0 ; b ≡ 1 ), la proposición "Tengo
3.
una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", será también FALSA.
Si no se tienen las dos monedas ( a ≡ 0 ; b ≡ 0 ), la proposición "Tengo una moneda de 50 y una de 25
4.
centavos en el bolsillo", también será FALSA.
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjunción sería:
a
b
a∧b
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
Observe que:
La
CONJUNCIÓN de dos proposiciones es
VERDADERA
siempre
y
cuando
ambas
proposiciones sean verdaderas.
1.2.3 DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción inclusiva aparece cuando enlazamos proposiciones
con el término:
O
Se lo traduce con el
SÍMBOLO LÓGICO:
∨
Ejemplo
Considerando las mismas proposiciones anteriores:
a : "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo"
b : "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo"
LA DISYUNCION DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA:
a ∨ b : "Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo"
Entonces al suponer que:
1.
En verdad se tenga las dos monedas ( a ≡ 1 ; b ≡ 1 )entonces decir "Tengo una moneda de 50 o una
de 25 centavos en el bolsillo", será una VERDAD.
2.
Si se tiene la moneda de 50 centavos y no la de 25 centavos ( a ≡ 1 ; b ≡ 0 ), la proposición "Tengo una
moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", será también una VERDAD.
3.
Si no se tiene la moneda de 50 centavos y si la de 25 centavos ( a ≡ 0 ; b ≡ 1 ), la proposición "Tengo
una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", será también una VERDAD.
4.
Si no se tienen las dos monedas ( a ≡ 0 ; b ≡ 0 ), la proposición "Tengo una moneda de 50 o una de 25
centavos en el bolsillo", será una FALSEDAD.
5
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sería:
Lógica Matemática
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyunción inclusiva
a
1
1
0
0
a∨b
1
1
1
0
b
1
0
1
0
Note que:
La
DISYUNCIÓN
proposiciones
es
INCLUSIVA
FALSA
siempre
de
y
dos
cuando
ambas proposiciones sean falsas.
1.2.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite,
lo uno ó lo otro pero no ambas cosas.
Ejemplos
1."Daniel está en España o Italia"
2."Jessica tiene una altura de 1.70 m. o 1.65 m."
3."El motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"
Estos ejemplos se los puede interpretar como:
 "Daniel está en España o está en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez"
 "Jessica tiene una altura de 1.70 m. o una altura de 1.65 m., pero no puede tener ambas
estaturas a la vez"
 "El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza"
En el último ejemplo, con el término "sólo" desechamos la idea de
que el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.
Entonces el término en lenguaje común sería:
también el término
EL
"o bien……o bien…..".
SÍMBOLO LÓGICO
"ó…ó…".
que se emplea para traducirla es:
también se emplea el símbolo
⊕
Como
∨ . Aunque
Sin embargo, la disyunción exclusiva se la traduce en término de
la disyunción inclusiva de la forma:
(a ∨ b ) ∧ ¬(a ∧ b )
LA TABLA DE VERDAD para la disyunción exclusiva sería:
a
b
a∨ b
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1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Por lo tanto, se podría decir que:
La
DISYUNCIÓN
proposiciones
es
EXCLUSIVA
FALSA
siempre
de
y
dos
cuando
ambas proposiciones sean falsas y también
cuando ambas sean verdaderas.
1.2.5 ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA
Este es el conector lógico más importante. Llamado también
condicional o implicación.
Aparece cuando enlazamos dos proposiciones a y b de la forma:
"Si a entonces b " ,
Se traduce con el
SÍMBOLO LÓGICO:
a→b
Antecedente
Hipótesis
Premisa
Consecuente
Tesis
Conclusión.
En este caso a la proposición " a " se la llama:
y a la proposición " b " se la llama:
Existen OTROS L ENGUAJES
hipotética. Estos son:
RELACIONADOS
con la enunciación
 " a implica b "
 "Basta a para que
b"
 " a sólo si b "
 " a solamente si b "
 " b si a "
 " b cada vez que a "
 " b siempre que a
"
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 " b puesto que a "
 " b ya que a "
 " b cuando a "
 " b debido a que a "
 " b porque a "
Ejemplo
Supóngase que un padre le dice a su hijo:
"Si apruebas el preuniversitario entonces te regalaré un carro".
Bien, ahora piense que:
1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le regala el carro. Entonces el
padre ha dicho una VERDAD.
2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. Entonces el padre ha
dicho una MENTIRA (FALSEDAD).
3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le regala el carro, aunque no
está obligado a hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.
4. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le regala el carro. El padre tampoco ha
dicho una MENTIRA.
sería:
Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciación hipotética
a
1
1
0
0
b
1
0
1
0
a→b
1
0
1
1
Por lo tanto, se podría decir que:
La ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA es FALSA sólo
cuando
el
antecedente
es
verdadero
y
el
consecuente falso.
Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relación
causal entre la proposición " a " y la proposición " b ". El valor de verdad
de la nueva proposición depende de los valores de verdad de cada una
de las proposiciones.
1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientes
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En ocasiones, una enunciación hipotética verdadera, en donde
existe relación causal entre el antecedente a y el consecuente b , se
interpreta como:
" a es condición suficiente para b "
" b es condición necesaria para a "
Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para
la enunciación hipotética.
Ejemplo
"Si un número es divisible para 4 entonces es divisible para 2"
Este enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de la siguiente manera:
 "Es SUFICIENTE que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2"
O también:

"Es NECESARIO que un número sea divisible para 2, para que sea divisible para 4" (también: "si un
número es divisible para 4, necesariamente será divisible para 2")
Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente
con el consecuente la enunciación hipotética cambia.
Ejemplo
Considerando el ejemplo anterior, al enunciar la proposición de la siguiente forma:
" Si un número es divisible para 2 entonces es divisible para 4"
es FALSA; porque es indudable que existen números divisibles para 2 que no son divisibles
para 4 (6 por ejemplo).
El enunciado anterior también puede ser parafraseado de las
siguientes formas:
• " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 "
• " Un número es divisible para 4 sólo si es divisible 2"
• " Basta que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2".
• " Un número es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 si es divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 puesto que es divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 ya que es divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 cuando es divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 debido a que es divisible para 4"
• " Un número es divisible para 2 porque es divisible para 4"
1.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL
Para la implicación a → b se define:
LA RECÍPROCA:: b → a
LA INVERSA:: ¬a → ¬b
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LA CONTRARRECÍPROCA::
¬b → ¬a
Ejemplo
Sea la proposición:
“Iré el sábado, si me pagan”
Primero identifiquemos el antecedente
a : Me pagan
b : iré el sábado
y el consecuente
Luego tenemos:
“Si me pagan, entonces iré el sábado”
De aquí:
RECÍPROCA: “Si voy el sábado, entonces me pagan”
INVERSA: “Si no me pagan, entonces no iré el sábado”
CONTRARRECÍPROCA: “Si no voy el sábado, entonces no me pagan”
Ejercicios Propuestos 1.2
1.
En las siguientes proposiciones, identifique el ANTECEDENTE y el CONSECUENTE.
a) Si no se ama a primera vista, no se ama como es debido.
b) Para ser secretaria se necesita enseñar la rodilla.
c) El que roba un dolar, roba un millón.
d) Pienso, luego existo.
e) Quien siembre vientos, cosecha tempestades.
f) Para que un polígono sea rectángulo, es suficiente que sea cuadrado.
g) No somos débiles si hacemos uso apropiado de los medios que el Dios de la Naturaleza ha puesto bajo
nuestro dominio.
h) Tendrás éxito solamente si aprecias la opinión de los demás.
i) Únicamente mediante el error auténtico y el trabajo espontáneo y creativo puede el ser humano superar
su angustia y soledad.
2.
Considerando las proposiciones:
a : Yo terminé mi deber antes de comer.
b : Yo juego tenis por la tarde.
c : Hoy hace sol.
d : Hoy hay poca humedad.
Escribir en LENGUAJE SIMBÓLICO :
a) Es necesario que termine de hacer mi deber antes de comer y que haya poca humedad para que si
hace sol yo juegue tenis por la tarde.
b) Para mí es suficiente que no haya sol y haya poca humedad para que no salga a jugar tenis por la
tarde.
3.
Sean las proposiciones:
a : Te gustan las matemáticas
b : Te gusta este deber
TRADUZCA las siguientes proposiciones al lenguaje común:
a) a → b
b)
c)
d)
4.
¬a ∨ b
¬b → ¬a
(a ∨ ¬a ) → b
Dada la proposición:
"Si un triángulo está circunscrito en un semicírculo, entonces es rectángulo"
Escriba la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca.
1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES
OBJETIVOS:
10
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SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina proposiciones atómicas y moleculares.
• Establezca el valor de verdad de una proposición molecular.
Las
PROPOSICIONES
MOLECULARES
son
expresiones que están compuestas por varias
proposiciones
conectadas
por
operadores
lógicos. A las proposiciones simples, en las que
no
aparecen
operadores
lógicos,
se
las
denominan PROPOSICIONES ATÓMICAS.
Ejemplo
((a ∨ b ) ∧ ¬c ) → (a ∧ b )
Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían a , b y c .
El valor de verdad de la proposición molecular depende del valor
de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Suponga que: a ≡ 1 ; b ≡ 0 y c ≡ 1 , entonces la proposición
molecular anterior es VERDADERA, porque:






  a ∨ b  ∧ ¬c  →  a ∧ b 
  
   
0 
1
0
 1 
 1 
0
1
0


0
1
.
Ejercicios Propuestos 1.3
Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones atómicas a , b , c , d , e , y
f son respectivamente 0,0,1,1,0,1; determinar el VALOR DE VERDAD de cada una de las proposiciones
moleculares siguientes:
2.
[(a → b ) ∧ (b → a )] → c
{[a → (b ∨ ¬a )] ∧ (c → d ) ∧ (e ∨ [d → f ])} → (a → b )
3.
{[a ∧ (¬b ∧ a )] ∧ (c ∧ ¬d )} ∧ {[¬e ∧ (d ∧ ¬f )] → (a → f )}
1.
1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
OBJETIVOS:
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SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina formas proposicionales.
• Defina tautologías, falacias y contradicciones.
• Aplique la definición de tautología y la de falacia para clasificar formas proposicionales dadas.
• Defina formas equivalentes
• Determine si formas proposicionales dadas son equivalentes o no
FORMA
Una
expresión
PROPOSICIONAL
constituida
por
es
una
símbolos
que
representan o conectores lógicos o variables
proposicionales.
Ejemplo
(( p ∨ q ) ∧ ¬r ) → ( p ∧ q )
Donde p, q, r son VARIABLES PROPOSICIONALES, que pueden
representar proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.
por proposiciones falsas y
Si reemplazamos a p , q y r
verdaderas los resultados son proposiciones moleculares.
El número de proposiciones moleculares que se generan es igual
a
2 n , donde
n es el número de variables proposicionales.
Para el ejemplo anterior, como la forma proposicional tiene 3
23 = 8 proposiciones
variables proposicionales, entonces hay
moleculares, cuyos valores de verdad se muestran en la siguiente tabla:
p
q
r
p∨q
¬r
( p ∨ q ) ∧ ¬r
p∧q
(( p ∨ q ) ∧ ¬r ) → ( p ∧ q )
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
Observe que con tres variables, para no repetir casos, las dos
últimas variables q y r mantienen las cuatros combinaciones básicas
12
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Lógica Matemática
(ambas verdaderas, una de ellas verdadera mientras la otra falsa y
ambas falsas) y la primera variable p es verdadera. Luego, lo mismo
para las dos últimas variables, pero con la primera falsa.
Si hubiesen 4 variables proposicionales, se hacen las ocho
combinaciones anteriores con las últimas tres variables y la primera
variable verdadera; luego, lo mismo que lo anterior pero con la primera
falsa, es decir:
p q
r
s
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Para más variables repetir el proceso de forma análoga.
Existen formas proposicionales muy singulares y que van a ser de
mucho interés para nuestras necesidades.
TAUTOLOGÍA:
Forma
estructura lógica da
VERDADERAS
proposicional
cuya
lugar a proposiciones
para todos los casos de valores de
verdad de las variables proposicionales que las
componen.
Cuando una forma proposicional
FALACIA.
NO ES TAUTOLÓGICA
CONTRADICCION: Forma proposicional
estructura lógica da
se la llama
cuya
lugar a proposiciones
13
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Lógica Matemática
FALSAS,
sin importar el valor de verdad de sus
variables.
Ejemplo
Al observar la tabla de verdad de la forma proposicional
( p → q ) ⇒ (¬p ∨ q )
p
q
¬p
p→q
¬p ∨ q
( p → q ) ⇒ (¬p ∨ q )
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sim importar el
valor de verdad de las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGÍA.
Si al menos, fuese falsa en un caso, entonces sería una FALACIA.
1.4.1 IMPLICACIONES LÓGICAS
Sean
A
y
B
dos
formas
proposicionales.
implica lógicamente a
Decimos que
A
sólo sí
es una tautología.
A→ B
En este caso se escribe
B
si y
A⇒ B.
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
p ⇒ [ p ∨ q]
[ p ∧ q] ⇒ p
[ p ∧ ( p → q )] ⇒ q
[( p → q ) ∧ ¬q ] ⇒ ¬p
[( p ∨ q ) ∧ ¬p ] ⇒ q
p ⇒ [q → ( p ∧ q )]
[( p → q ) ∧ (q → r )] ⇒ [ p → r ]
[ p → q ] ⇒ [( p ∨ r ) → (q ∨ r )]
[ p → q ] ⇒ [( p ∧ r ) → (q ∧ r )]
[ p → q ] ⇒ [(q → r ) → ( p → r )]
[( p → q ) ∧ (r → s )] ⇒ [( p ∨ r ) → (q ∨ s )]
[( p → q ) ∧ (r → s )] ⇒ [( p ∧ r ) → (q ∧ s )]
[( p → q ) ∧ (r → s )] ⇒ [(¬q ∨ ¬s ) → (¬p ∨ ¬r )]
[( p → q ) ∧ (r → s )] ⇒ [(¬q ∧ ¬s ) → (¬p ∧ ¬r )]
Adición
Simplificación
Modus Ponens
Modus Tollens
Silogismo Disyuntivo
Silogismo Hipotético
Dilemas constructivos
Dilemas
constructivos
Ejercicios Propuestos 1.4
1.
DEMUESTRE las Implicaciones Lógicas anteriores.
14
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Lógica Matemática
2.
3.
Escriba la TABLA DE VERDAD de las siguientes formas proposicionales:
a)
p → ( ¬p → p )
b)
c)
( p ∧ q ) ∧ ( p → ¬q )
(( p → q ) ∧ (¬p → q )) → q
d)
( p ∨ q ) → ( p ∨ (¬p ∧ q ))
¿Cuál de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA?
a) ( p ∧ q ) ⇒ p
d)
( p ∧ ( p → q )) ⇒ p
( p ∧ q) ⇒ ( p ∨ q)
(¬p ∧ ( p → q)) ⇒ ¬q
e)
¬( p ∨ q ) ⇒ (¬p ∧ ¬q )
b)
c)
4.
Una de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a) [ p ∧ ( p → ¬q )] ⇒ ¬q
b)
c)
d)
e)
5.
Sean p, q, r variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES TAUTOLÓGICA es:
a)
b)
c)
d)
e)
6.
[¬p ∧ (q ∨ ¬p )] ⇒ ¬p
[¬p ∧ ( p → ¬q )] ⇒ ¬q
[(q → r ) ∧ ( p → q )] ⇒ ( p → r )
[(¬p ∨ q ) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
¬( p ∨ q ) ⇒ (q → ¬p )
[( p → q ) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
[( p ∧ q ) → r ] ⇒ [( p → r ) ∨ (q → r )]
[( p → q ) ∧ (¬q → r )] ⇒ ( p → ¬r )
[( p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [( p ∨ q ) → r ]
La expresión B para que la forma proposicional:
NO SEA TAUTOLÓGICA es:
a)
b)
c)
d)
e)
7.
{{¬[¬p ∨ (¬p ∧ q )] → ¬q} ∧ q} ⇒ B
¬( p ∧ q )
¬p ∨ q
q
p
¬p
HALLAR el operador “ ∇ ” para que la forma proposicional sea tautológica:
[( p → q ) ∧ (r → s )] ⇒ [(¬q ∇ s ) → (¬q ∨ ¬r )]
1.5 BICONDICIONAL
Un nuevo operador lógico es la doble implicación, llamado
también BICONDICIONAL.
El símbolo empleado es: ↔ . Que enlazando dos proposiciones
sería a ↔ b . Que significa (a → b ) ∧ (b → a ) y se lee “ a sí y sólo sí
b ”.
Su tabla de verdad sería:
a
b
a↔b
1
1
1
15
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Observamos que:
La BICONDICIONAL es VERDADERA cuando
ambas proposiciones son verdaderas o ambas
falsas, es decir cuando tienen el mismo valor
de verdad. Caso contrario es falsa.
1.5.1 EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean
y
A
Decimos
B
dos
formas
proposicionales.
A
es
LÓGICAMENTE
que
EQUIVALENTE a
B
si y sólo sí
es una
A↔ B
tautología.
En este caso se escribe A ⇔ B . Como también A ≡ B
Analicemos la tabla de verdad de las siguientes dos formas
proposicionales: p → q y ¬p ∨ q
p
q
A

p→q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
¬p
0
0
1
1
B

¬p ∨ q
A



B



B



A



( p → q ) ⇒ (¬p ∨ q ) (¬p ∨ q ) ⇒ ( p → q )
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
En ambos sentidos la implicación con estas dos formas
proposicionales es tautológica, lo cual quiere decir que son formas
Lógicamente Equivalentes. Es decir, p → q ≡ ¬p ∨ q
Como conclusión se puede decir que:
16
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
Dos formas proposicionales son LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES si
tienen el MISMO VALOR
DE VERDAD bajo iguales condiciones de valores
de verdad de las variables intervinientes.
Aquí se puede observar la importancia de la lógica de símbolos.
Es muy difícil precisar con nuestros sentidos que la expresión “Si
estudio entonces aprenderé” es Lógicamente Equivalente a “ No estudio o
aprendo”.
Ejemplo
Al decir: “Una matriz tiene inversa, si y sólo si su determinante es diferente de
cero”.
Se deberá entender que es equivalente que una matriz
sea diferente de cero.
A
tenga inversa a que su determinante
Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales
y ¬q → ¬p
p
q
¬p
¬q
p→q
¬q → ¬p
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
Por lo tanto,
p→q
contrarrecíproca ¬q → ¬p
es
Lógicamente
Equivalente
p→q
a
su
Ejercicios Propuestos 1.5
Investigue si las siguientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:
a) ( p → q ) ∨ r ≡ p → (q ∨ r )
]
[
] [
[( p → q ) ∧ r ] ≡ [ p → (q ∧ r )]
c) [( p ∧ q ) ∨ r ] ≡ [ p ∧ (q ∨ r )]
d) [( p ∧ q ) → r ] ≡ [ p ∧ (q → r )]
e) [( p ∨ q ) ∧ r ] ≡ [ p ∨ (q ∧ r )]
f) [( p ∨ q ) → r ] ≡ [ p ∨ (q → r )]
b)
1.6 ALGEBRA DE PROPOSICIONES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Traduzca del lenguaje común al lenguaje formal.
• Aplique lEquivalencias Lógicas para encontrar traducciones equivalentes.
17
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
Clasificando algunas Equivalencias Lógicas, resulta:
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
( p ∧ q ) ≡ (q ∧ p )
( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
( p ∧ p) ≡ p
( p ∧ 1) ≡ p
( p ∧ 0) ≡ 0
Conmutativa
Asociativa
Idempotencia
Identidad
Absorción
( p ∨ q ) ≡ (q ∨ p )
( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
( p ∨ p) ≡ p
( p ∨ 0) ≡ p
( p ∨ 1) ≡ 1
LEYES DISTRIBUTIVAS
NEGACIÓN
p ∨ (q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
p ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
¬0 ≡ 1
¬1 ≡ 0
¬(¬p ) ≡ p doble negación
OTRAS:
¬( p ∧ q ) ≡ ¬p ∨ ¬q 
Leyes de De Morgan

¬( p ∨ q ) ≡ ¬p ∧ ¬q 
Ley del tercer excluído
( p ∨ ¬p ) ≡ 1
Ley de la contradicción
( p ∧ ¬p ) ≡ 0
( p → q ) ≡ (¬q → ¬p ) Contrapositiva o Contrarrecíproca
Implicación
( p → q ) ≡ (¬p ∨ q )
( p ∨ q ) ≡ (¬p → q )
( p ∧ q ) ≡ ¬( p → ¬q )
[( p → r ) ∧ (q → r )] ≡ [( p ∨ q ) → r ]
[( p → q ) ∧ ( p → r )] ≡ [ p → (q ∧ r )]
[( p ∧ q ) → r ] ≡ [ p → (q → r )] Ley de exportación
( p → q ) ≡ [( p ∧ ¬q ) → 0] Reducción al absurdo
( p ↔ q ) ≡ [( p → q ) ∧ (q → p )] Equivalencia
( p ↔ q ) ≡ (q ↔ p )
No olvide demostrarlas.
Una utilidad
continuación.
de las
Equivalencias
Lógicas la observamos
a
Ejemplo 1
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la siguiente proposición:
“Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la
materia ”
Siendo: m : tú eres inteligente
n : tú actúas con prudencia
p : tú eres un ignorante en la materia
Es:
SOLUCIÓN:
La traducción sería: (m ∧ ¬n ) → p . Pero tiene apariencia diferente
a las opciones de respuestas, entonces empleando el álgebra de
18
proposiciones obtenemos:
¬(m ∧ ¬n ) ∨ p
¬m ∨ n ∨ p
¬m ∨ (n ∨ p )
m → (n ∨ p )
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
a) m → (n ∨ p )
b) p → (m ∧ ¬n)
c) m ∨ (n ∨ p )
d) (m ∧ ¬p ) → ¬n
e) m → ¬(n ∨ p )
Ejemplo 2
Dada la proposición molecular: “Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si
hay huelga, entonces no voy a la Politécnica”, y las proposiciones atómicas:
a : Hoy es jueves.
b : Tengo que dar un examen.
c : Hay huelga.
d : Me voy a la Politécnica.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición molecular es:
a) (a ∧ b ∧ c ) → d
b) (d → ¬c ) ∧ (a ∧ b )
c) (a ∧ b ) → (c ∨ ¬d )
e) (c → d ) ∧ (a ∧ b )
d) (a ∧ b ) ∧ (¬c → d )
(a ∧ b ) ∧ (c → ¬d ) , por la contrarecíproca
(a ∧ b ) ∧ (¬(¬d ) → ¬c ) entonces
(a ∧ b ) ∧ (d → ¬c ) que es lo mismo que (d → ¬c ) ∧ (a ∧ b )
Traduciendo tenemos
SOLUCIÓN:
RESPUESTA: Opción "b".
Analicemos este otro tipo de ejercicio.
Ejemplo 3
[
] [
]
Si la proposición: ¬( p → ¬q ) → (r ∧ ¬s ) ∧ p ∧ (¬r ∧ s ) es
entonces es VERDAD que:
a) p ∨ q ≡ 0
b) q ∧ s ≡ 1
c) (r ∨ s ) ∧ q ≡ 0
d) q ≡ 1
VERDADERA,
e) p ∧ r ≡ 1
19
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
SOLUCIÓN:
atómicas.
Debemos ir analizando desde la proposición molecular hasta llegar a las proposiciones
[ ¬p → ¬q → r ∧ ¬s ] ∧ [ p ∧ ¬r ∧ s ] ≡ 1
0
1
1
0 1
1
0
1 
0
1





1
0
1




1
0 


1
p ≡1
s ≡1
Del análisis se concluye que:
r≡0
q≡0
Ahora que hemos encontrado los valores de verdad de cada una de las proposiciones, , podemos
analizar una a una las opciones proporcionadas:
a)
p ∨ q ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1 mas no 0 como se indica
q ∧ s ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0 mas no 1 como se indica
(r ∨ s ) ∧ q ≡ (0 ∨ 1) ∧ 0 ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0 tal como se indica y por tanto esta sería la
b)
c)
respuesta.
Ejercicios Propuestos 1.6
1.
Seleccione la TRADUCCIÓN correcta de la siguiente afirmación:
“Si retiro el dinero del banco, compro un carro o una casa”
Considerando las proposiciones atómicas :
p : Retiro el dinero del banco
q : Compro un carro
r : Compro una casa
a) ( p → q ) ∨ r
b) ( p → q ) → r
c) ¬p ∨ (q ∧ r )
d) ( p ∨ q ) → r
e) p → (q ∧ r )
2.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición :
"Si me voy a casa, me voy de compras y si no me voy a casa, entonces voy al cine"
siendo las proposiciones atómicas:
a : Me voy a casa
c : Voy al cine
b : Me voy de compras
es:
c) (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ c )
a) (a ∨ b) ∧ (a ∨ c )
b) (¬a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c )
d) (¬b → ¬a ) ∧ (¬c → a )
e) (b → a ) ∧ (c → ¬a )
3.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: "Si se es estudioso o dedicado, entonces se
aprueba el Prepolitécnico". Siendo las proposiciones atómicas:
a : Se es estudioso.
es:
4.
a) ¬a → (¬b ∧ ¬c )
c) (a → c ) ∧ ¬b
b : Se es dedicado.
c : Se aprueba el Prepolitécnico.
b) (a → c ) ∧ (b → c )
d) a → (b ∨ c )
e) a ∨ (b → c )
Dada la proposición:
"Si hay huelgas y paro de transportistas, entonces las pérdidas serán cuantiosas"
Entonces es EQUIVALENTE a la siguiente proposición:
20
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
a)
b)
c)
d)
e)
5.
Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas.
Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas.
Si no hay pérdidas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas.
Si no hay huelgas ni paro de transportistas entonces no hay pérdidas cuantiosas.
Si no hay huelgas entonces no hay paro de transportistas ni pérdidas cuantiosas.
La proposición:
( a ∨ b ) → ( c ∧ ¬a )
es EQUIVALENTE a:
a) (a ∨ b) → ¬c
b) a → (b ∧ ¬c )
c) ¬a ∧ (¬b ∨ c )
d) (a ∨ b) → c
[
] [
] [
e) ((a ∧ b) ∨ c ) → ¬a
]
6.
La forma proposicional: ( p ∨ q ) ∧ p ∧ (¬p → q ) ∧ ¬q ∧ ( p → q ) ∧ (q → p ) es EQUIVALENTE
a:
a) q → p
b) ¬p
c) q
d) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre falsa.
e) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre verdadera.
7.
Sea la proposición: “El autobús llega tarde, siempre que el conductor se haya desviado”. Suponiendo
que la proposición es verdadera. Entonces una proposición EQUIVALENTE a la anterior, es:
a) Que el autobús llegue tarde es una condición suficiente para que el conductor se haya desviado.
b) Una condición suficiente para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
c) Una condición necesaria para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
d) Si el autobús llega tarde, el conductor se ha desviado.
e) El autobús no llega tarde o el conductor se ha desviado.
8. La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si EL NIÑO es un fenómeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un mal
pasajero” es:
a) Si EL NIÑO es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenómeno ni un desastre natural.
b) EL NIÑO no es un fenómeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia.
c) EL NIÑO es un fenómeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.
d) EL NIÑO no es un fenómeno ni desastre natural, si es una simple lluvia y un mal pasajero.
e) EL NIÑO no es una simple lluvia o un mal pasajero solo si no es un fenómeno.
8.
Si se da la proposición:
"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis
padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARRECÍPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y
daré un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.
10. Dadas las proposiciones atómicas:
p : Me estoy bañando.
r : Quiero dormir.
q : Me voy a una fiesta.
s : Estoy cansado.
Entonces, la CONTRARRECÍPROCA de la proposición ( p ∧ ¬r ) → (q ∨ ¬s ) es:
a) Si me estoy bañando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado.
b) No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy bañando o quiero dormir.
c) Si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy bañando o quiero dormir.
d) Si no me estoy bañando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado.
e) Si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy bañando y no quiero dormir.
[(a ∧ ¬b ) → d ]∨ ¬(d ∨ e ) es FALSA, entonces es VERDAD que:
11. Si la proposición:
a) (b ∨ a ) ≡ 0
b) (¬e ∨ ¬d ) ≡ 0
c) (d ∨ a ) ≡ 0
d) (a → b ) ≡ 0
e) (e → a ) ≡ 0
12. Si la proposición
[( p ∧ ¬q ) → (r ∨ q )] es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a) [( p → q ) ∧ (r ∧ ¬q )] ≡ 0
b) [(q ∧ r ) ∨ (¬p ∨ q )] ≡ 0
c)
d)
[(¬r → p ) ∧ (¬r → ¬q )] ≡ 1
[( p ∨ r ) ∨ (q → ¬r )] ≡ 1
21
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
e) [(r → q ) ∧ (r → p )] ≡ 0
[
] [
]
13. Si la proposición ( p → q ) ∧ r → r → q es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) El valor de verdad de p es verdadero.
b) El valor de verdad de q es verdadero.
c) El valor de verdad de p es falso.
d) El valor de verdad de r es falso.
e) El valor de verdad de p no puede ser definido.
1.7. RAZONAMIENTOS
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defiina razonamiento.
 Defina razonamiento válido.
 Determine la validez de un razonamiento suponiendo que éste es falso.
 Infiriera una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis.
 Justifique la validez de un razonamiento.
 Replantee un razonamiento cambiando la conclusión para que sea válido en el caso de que no lo sea.
Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lógica muy
importante, que es el objetivo que nos habíamos propuesto.
El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará
constituido por una enunciación hipotética que tiene como antecedente
una conjunción de hipótesis o premisas. Es decir, su estructura lógica
será de la forma:
PREMISAS O HIPOTESIS



[H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ∧  H n ]

C
CONCLUSIÓN
⇒

 

OPERADOR
PRINCIPAL
Estamos interesados en saber si un razonamiento es válido o no,
es decir si la conclusión es lógicamente inferida de las hipótesis.
1.7.1. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma
proposicional que se obtiene de la proposición
molecular que lo define, es
TAUTOLÓGICA.
Es
decir una Implicación Lógica.
Como la estructura lógica de los razonamientos presenta la forma
H ⇒ C , entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce el
siguiente caso H ≡ 1 y C ≡ 0 que es el único caso cuando la implicación
sería falsa, entonces no sería una tautología y por tanto el razonamiento
no es válido.
22
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
Ejemplo 1
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Si soy estudioso , aprobaré el curso ; si soy bailarín, no aprobaré el curso.
Por lo tanto, no puedo ser estudioso y bailarín al mismo tiempo"
SOLUCIÓN:
Considerando las proposiciones atómicas:
El
razonamiento
se
traduce
al
a : Soy estudioso
b : Aprobaré el curso.
c : Soy bailarín.
lenguaje
formal
por
la
proposición
[(a → b ) ∧ (c → ¬b )] ⇒ ¬(a ∧ c ) .
Entonces la forma proposicional correspondiente sería [( p → q ) ∧ (r → ¬q )] ⇒ ¬( p ∧ r )
molecular:
Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero
para evitar tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.


 



 








 p → q ∧ r → ¬q  ⇒ ¬ p ∧ r 
 
 
 
 

1 
1   1
? 
1 1
 




  

 1  
1


1

0



0
Para que la enunciación hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el
consecuente es falso, para lo cual ¬( p ∧ r ) ≡ 0 entonces ( p ∧ r ) ≡ 1 ; esto significa que p ≡ 1 y
r ≡ 1 . Ahora examinando el antecedente, observamos que para que la primera hipótesis sea verdadera se
requiera que q ≡ 1 , pero la segunda hipótesis se hace falsa porque ¬q ≡ 0 . Esto nos hace pensar que no
va a existir por lo menos una proposición falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.
Ejemplo 2
Dadas las siguientes hipótesis:
H 1 : La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes.
H 2 : Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) La Lógica es difícil.
b) La Matemática es fácil.
c) Si la Matemática no es fácil, a muchos estudiantes no les gusta la lógica.
d) Si a muchos estudiantes les gusta la lógica, la Matemática no es fácil.
e) La Matemática no es fácil o la lógica es difícil.
SOLUCIÓN:
Definamos las proposiciones:
a : La lógica es difícil.
b : La lógica les gusta a muchos estudiantes.
c : La Matemática es fácil.
Entonces la traducción de las hipótesis dadas serían:
H1 : a ∨ ¬b
H 2 : c → ¬a
Cada opción dada sería una posible conclusión, analicemos con cada una:
a) [(
p ∨ ¬q ) ∧ ( r → ¬p )] ⇒ p
1
0
0
0
0
1
1




1
No válido
1
23
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
b) (
p ∨ ¬q ∧ r → ¬p ⇒ r )
0
1
1
0 0
0
1




1
1



No válido
1
c) [(
p ∨ ¬q ) ∧ ( r → ¬p )] ⇒ [ ¬r → ¬q ] No válido
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0






1
1
d)
[(
p ∨ ¬q ) ∧ ( r → ¬p )] ⇒ [ q → ¬r ]
1
1
1
1
1
1
0
0
0







e) [(
p ∨ ¬q ) ∧ ( r → ¬p )] ⇒ [ ¬r ∨ p ]
1
0
1 0
0
0
0 
1
1





1
1
(Respuesta)
0
0
1
VÁLIDO
No válido
0
Ejercicios Propuestos 1.7
1. Con las proposiciones:
m : Yo gano las elecciones.
n : Guayaquil tiene autobuses articulados
p : Ustedes tienen transporte.
Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos NO es válido.
a)
(m → n ) ∧ (n → p ) → (m → p )
b)
c)
d)
e)
[
]
[(m → ¬n ) ∧ (n → p )] → ( p ∨ ¬n )
[(m → n ) ∧ ¬m] → ¬n
[¬m ∧ (¬n → m )] → n
[(m → n ) ∧ (n → p ) ∧ ¬p] → ¬m
2. Dadas las siguientes premisas:
H 1 : Si veo mucha TV, entonces no tengo que estudiar.
H 2 : Veo mucha TV.
p : Veo mucha TV y
considerando las proposiciones:
Entonces una conclusión para un RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) ¬p
b) q
c) ¬p ∧ q
d) ¬p ∨ q
e) p ∨ ¬q
3. Dado el razonamiento P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ⇒ C ; donde:
q : Tengo tiempo para estudiar.
P1 : Si estudio, aprenderé.
P2 : Si aprendo, aprobaré el curso.
P3 : O practico tenis o no practico tenis.
P4 : No apruebo el curso.
Entonces una conclusión C que hace el RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) Estudio
b) No estudio
c) Apruebo el curso
d) Aprendo
e) N.A.
4. Analice la VALIDEZ de los siguientes razonamientos:
24
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
a) Si tú muestras la verdad, revelarás lo ridículo de las pretensiones del hombre. Si el hombre es
prepotente, es porque no se ha revelado lo ridículo de sus pretensiones. El hombre es prepotente. Por
consiguiente, tú no muestras la verdad.
b) Si Genaro tomó el tren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el accidente, entonces
no asistió a la reunión. Genaro tomó el tren especial o no asistió a la reunión. Luego, Genaro estuvo en
el accidente.
c) O Calderón tiene enemigos en la administración o, si excede su cuota, recibirá un ascenso. Calderón no
recibirá un ascenso. Luego, Calderón tiene enemigos en la administración o no excederá su cuota.
d) Si pago al sastre no me quedará dinero. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. Si
no la llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregará el traje, y sin el
traje no puedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novia tendrá que
sentirse desdichada.
5. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
H 1 : Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará
H 2 : Si el coche se revisó, entonces no falla el freno.
H 3 : Pero el coche no se revisó.
a)
b)
c)
d)
e)
Una conclusión que lo hace VÁLIDO es:
El coche no parará.
El freno falla y el camino no está helado.
Si no falla el freno y el camino no está helado, el coche parará.
El coche no parará o el camino no está helado.
Ninguna de las conclusiones es válida.
6. Considere las siguientes hipótesis:
H 1 : El Banco del Progreso cerró sus puertas y sus clientes recuperarán su dinero.
H 2 : Si los clientes del Banco del Progreso recuperarán su dinero entonces no existe intranquilidad.
H 3 : El Banco del Progreso no cerró sus puertas o no existe intranquilidad.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento, es:
a) Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Progreso no recuperarán su dinero.
b) El Banco del Progreso no cerró sus puertas.
c) No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Progreso recuperarán su dinero.
d) Ni el Banco del Progreso cerró sus puertas, ni sus clientes recuperarán su dinero.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.
7. Considere las siguientes hipótesis:
H 1 : Ecuador adoptó el sistema de sistema de dolarización y pretende mejorar su economía.
H 2 : Si Ecuador pretende mejorar su economía entonces no habrá descontento social.
H 3 : Ecuador no adoptó el sistema de dolarización o no habrá descontento social
Entonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento es:
a) No habrá descontento social y Ecuador pretende mejorar su Economía.
b) Ni Ecuador adoptó el sistema de dolarización, ni pretende mejorar su Economía.
c) Ecuador no adoptó el sistema de dolarización.
d) Si no hay descontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economía.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.
Misceláneos
[
]
1.
Si la forma proposicional ( p → q ) ∧ r → (r → q ) es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) p es verdadera.
b) p es falsa y r es verdadera.
c) r es falsa.
d) El valor de verdad de p no puede ser definido.
e) q es verdadera.
2.
Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( p → q ) ∨ r ≡ p → (q ∨ r )
b) ( p → q ) ∧ r
≡ p → (q ∧ r )
c) ( p ∧ q ) → r ≡ p ∧ (q → r )
d) (¬p ∨ ¬q ) ≡ p → q
e). (¬q ∨ p ) ≡ p → q
3.
Sean las proposiciones:
p : Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones.
25
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
q : Todos los alumnos aprueban el examen.
r : El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje simbólico de la proposición:
“Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor
los recompensará con una semana de vacaciones; pero, si algún alumno resultara reprobado,
el profesor no adoptará esa medida”;
es:
a)
q ∧ r → r ∧ q ∨ ¬r
b)
c)
d)
e)
[ ]
[
]
[(q ∧ ¬p ) → r ] ∧ [¬q ∨ r ]
[q ∧ ¬r ] ↔ [ p ∧ q ∧ r ]
[r → q] ∧ [( p ∧ q ) → r ]
[( p ∧ q ) → r ] ∧ [¬r → ¬q]
4.
La NEGACIÓN de la proposición: p → ¬q es:
a) ¬p → q
b) q → ¬p
c)
p∧q
d) ¬p ∨ ¬q
e) ¬p ∧ ¬q
5.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: “Si resuelvo bien el examen y no está difícil,
mis padres me felicitarán.”
Siendo las proposiciones:
a: Yo resuelvo bien el examen.
b: El examen está difícil.
c: Mis padres me felicitarán.
Es:
a) a → (b ∨ c )
b)
c)
d)
e)
(a ∧ ¬c )
a ∨ (b ∨ c )
a → ¬(b ∨ c )
a → (b ∧ ¬c )
6.
La proposición:
“Junior es débil, siempre que no coma pescado”
es EQUIVALENTE a:
a) Junior es fuerte o come pescado.
b) Junior es débil y come pescado.
c) Junior es débil cuando come pescado.
d) Junior es fuerte o no come pescado.
e) Junior es débil o come pescado.
7.
La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si estudio y apruebo el Prepolitécnico, entonces estaré alegre”, es:
a) Si estoy alegre, entonces estudié y aprobé el Prepolitécnico.
b) Estudio y estoy alegre, entonces aprobaré el Prepolitécnico.
c) Si no estoy alegre, entonces no estudié o no aprobé el Prepolitécnico.
d) Apruebo el Prepolitécnico y estoy alegre, porque estudié.
e) Si no he estudiado, entonces no aprobaré el Prepolitécnico.
8.
¬ p∨q
Considerando la forma proposicional
proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) La recíproca es (r ∨ s ) → (¬p ∧ ¬q ) .
(
b)
c)
d)
e)
9.
) → (r ∨ s ) .
Entonces una de las siguientes
La contrarrecíproca es (¬r ∧ ¬s ) → ( p ∨ q ) .
( p ∨ q ) → (¬r ∧ ¬s ) .
( p ∨ q ) ∨ (r ∨ s ) .
La forma proposicional dada es equivalente a ( p ∨ q ) ∨ (r ∨ s ) .
La inversa es
La inversa es equivalente a
Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a)
( p → q ) ∧ (q → r ) → ( p → r )
b)
c)
d)
e)
[
]
( p → q ) → [( p ∨ r ) → (q ∨ r )]
[(q ↔ r ) ∧ ( p ↔ q )] → (r ↔ p )
p → [q → (q ∧ p )]
( p ∧ q ∧ r ) → ¬(r ∨ q )
26
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
10.
Considerando las siguientes proposiciones:
p : Daniel es feliz
q : Daniel estudia todos los días.
r : Daniel aprueba el prepolitécnico
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de: “Daniel es feliz sólo si estudia todos los días y aprueba
el prepolitécnico”
Es:
a) r → ( p ∧ q )
(q ∧ r ) → p
(q ∧ r ) ∨ ¬p
¬(q ∧ r ) ∨ p
¬p → ¬(q ∧ r )
b)
c)
d)
e)
11. La siguiente proposición: “La empresa no hace publicidad y no cambia su producción siempre que la
demanda aumente” es EQUIVALENTE a:
a) Si la empresa no hace publicidad y no cambia su producción, entonces la demanda aumenta.
b) Si la empresa hace publicidad o cambia su producción, entonces la demanda no aumenta.
c) Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su producción.
d) La empresa hace publicidad y cambia su producción, o la demanda aumenta.
e) La empresa hace publicidad o, si cambia su producción entonces la demanda no aumenta.
12. Dadas las siguientes premisas:
P1 : Si se paga el rescate, entonces los técnicos petroleros aparecerán vivos y retornarán a sus países
de origen.
P2 : Si la policía interviene, entonces los técnicos petroleros no retornarán a sus países de origen.
P3 : Se paga el rescate.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento es:
a) Los técnicos petroleros no aparecen vivos.
b) No se paga el rescate.
c) Si los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen, entonces la policía interviene.
d) La policía interviene.
e) Los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen.
13.
Dadas las proposiciones atómicas:
p : Voy a rendir el examen.
q : Me presento al examen.
r : Reprobaré.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición "Voy a rendir el examen porque si no me
presento al examen entonces reprobaré"
es:
a) (q ∨ r ) → p
b)
c)
d)
e)
¬(q ∨ r ) ∨ p
p → (q ∨ r )
r → (¬p ∧ q )
r → ¬( p ∧ q )
14. Dada la proposición:
"Juan asiste a clases de Matemáticas siempre y cuando no tenga otras ocupaciones"
Entonces, su proposición CONTRARECÍPROCA es:
a) Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.
b) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases.
c) Si Juan no asiste a clases, entonces tiene otras ocupaciones.
d) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces no asiste a clases.
e) Si Juan no asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.
15. Dadas las siguientes premisas:
H1 : Si estudio mucha Lógica, entonces no reprobaré el curso.
H 2 : Estudio mucha Lógica.
Entonces, la CONCLUSIÓN para un razonamiento válido, es:
a) No estudio mucha Lógica.
b) Reprobaré el curso.
c) Estudio mucha Lógica ó no reprobaré el curso.
d) No estudio mucha lógica y estudio mucha Lógica.
e) No estudio mucha Lógica ó reprobaré el curso.
27
Moisés Villena Muñoz
Lógica Matemática
[
]
16. Si la forma proposicional (¬p ∨ q ) → (¬r ∧ p ) → (s ∨ t )
siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( p → 1) ≡ 0
b)
c)
d)
e)
es FALSA. Entonces una de las
(¬s ∧ t ) ≡ 1
(¬r ∧ p ) ≡ 0
[( p ∧ ¬t ) ∨ s ] ≡ 1
(s ∨ t ) ≡ 1
17. Considere las proposiciones:
a: La dolarización es un proceso adecuado para el país.
b: El país debe salir de la crisis económica.
c: Las personas mantienen una mentalidad positiva.
La TRADUCCION al lenguaje formal de la siguiente proposición:
"La dolarización es un proceso adecuado para el país si las personas mantienen una mentalidad
positiva, pero si las personas no mantienen una mentalidad positiva, el país no sale de la crisis
económica."
Es:
a) (c → ¬a ) ∧ (¬a → ¬b )
b)
c)
d)
e)
(c → a ) ∧ (¬a → ¬c )
a ∧ (¬c → ¬b )
(¬c ∨ a ) ∧ (c ∨ ¬b )
a → (¬b → ¬c )
18. Considere la proposición molecular:
" Es suficiente que Lulú no quiera a Andrés para que si Lulú termina con Juan entonces a ella no le
gustan los hombres feos".
Entonces una proposición EQUIVALENTE es:
a) Es necesario que Lulú termine con Juan o que le gusten los hombres feos para que no quiera a Andrés.
b) Lulú quiere a Andrés pero no es verdad que terminó con Juan o le gusten los hombres feos.
c) Es suficiente que Lulú termine con Juan y le gusten los hombres feos para que quiera a Andrés.
d) Es suficiente que a Lulú le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrés.
e) Es necesario que Lulú termine con Juan para que a Lulú le gusten los hombres feos y quiera a Andrés.
19. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
H 1 :La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas.
H 2 :Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil.
Una CONCLUSION que lo hace válido, es:
a) La dolarización es difícil.
b) Las medidas económicas son viables.
c) Si las medidas económicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarización.
d) Si a muchas personas les gusta la dolarización, las medidas económicas no son viables.
e) Las medidas económicas no son viables o la dolarización es difícil.
20.
Si se da la proposición:
"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis
padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARECIPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y
daré un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.
28
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
DEFINICIÓN
NOTACIÓN
CARDINALIDAD
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
IGUALDAD
SUBCONJUNTOS
OPERACIONES
ALGEBRA DE CONJUNTOS
CONJUNTO REFERENCIAL
PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro cotidiano vivir. Por
ejemplo, cuando nos referimos a la especie que pertenecemos, a la sociedad donde vivimos,
a la universidad en la cual estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ...
Más aún, los problemas matemáticos se solucionan referidos a conjuntos.
28
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina conjunto.
• Clasifique y categorice conjuntos.
• Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado.
• Obtenga conjunto potencia.
• Opere conjuntos.
• Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas en un diagrama de Venn.
• Resuelva problemas planteando conjuntos.
2.1 DEFINICIÓN
Un
CONJUNTO
es
una
agrupación
bien
definida de objetos llamados elementos.
2.2 NOTACIÓN
Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras
letras del abecedario, en mayúscula.
Podemos referirnos a un conjunto indicando cada uno de sus
elementos.
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada
vocal, es decir:
A = {a, e, i, o, u}
Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por
extensión o tabulación.
También podemos referirnos
características de sus elementos.
a
un
conjunto
indicando
las
Ejemplo
Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:
A = {x / x es una vocal}
Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por
comprensión.
Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos
elementos.
29
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión,
es decir:
B = {x / x es un número real}
Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el
símbolo ∈ .
Ejemplo
Para decir que la vocal a pertenece al conjunto A , lo haremos así:
a∈ A
2.3 CARDINALIDAD
Para denotar al número de elementos de un conjunto A , se emplea
la simbología N ( A)
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
N ( A) = 5
N (B ) = ∞ ; donde el símbolo ∞ (Infinito) denota una cantidad muy grande.
De aquí surgen las siguientes definiciones:
Sea A un conjunto. Entonces:
1. A es un CONJUNTO FINITO
cantidad
determinada
si tiene una
(contable)
de
elementos. Tiene principio y tiene fin.
2. A
es un CONJUNTO INFINITO si tiene
una cantidad indeterminada (no contable)
de elementos. Tiene principio y no tiene
fin.
30
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
3. Si A tiene un sólo elemento se lo llama
CONJUNTO UNITARIO .
4. Si A no tiene elemento, se dice que A es
el CONJUNTO VACÍO.
Para este caso se
Φ.
emplea la notación:
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
A los conjuntos se los suele representar gráficamente mediante los
llamados DIAGRAMA DE VENN.
A
Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear
cualquier otra figura geométrica.
2.5 IGUALDAD
Sean A y B dos conjuntos. Entonces
A=B
sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es
decir:
( A = B ) ≡ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Gráficamente, tenemos:
A=B
x
2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS.
31
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Dos conjuntos A y B son DISYUNTOS si y
sólo si, no tienen elementos en común. Es decir,
son conjuntos diferentes, A ≠ B
Gráficamente tenemos:
A
B
32
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
2.6 SUBCONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. Se dice que
es SUBCONJUNTO de A sí y sólo sí
B
los
elementos de B están contenidos en A . Es
decir: B ⊆ A ≡ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Gráficamente tenemos:
A
B
x
Puede ocurrir lo contrario.
Suponga que los elementos de
A
estén
contenidos en B , en este caso se dice que
A
es
SUBCONJUNTO de
A ⊆ B ≡ (x ∈ A ⇒ x ∈ B )
B.
Es
decir:
dice
que
Gráficamente tenemos:
B
x
A
Si se cumple que (B ⊆ A) ∧ ¬( A ⊆ B ) , se
SUBCONJUNTO PROPIO de A . Y se escribe B ⊂ A .
Además se cumple que, para cualquier conjunto A :
B
es
A⊆ A
Φ⊆ A
33
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
En este caso a los conjunto A y Φ se los denomina SUBCONJUNTO
NO PROPIOS.
Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda
de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Ejemplo
Sea el conjunto A = {1, ∗, ∇} , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los
elementos de A , serían:
S1 = {1}
S 4 = {1,∗}
S 7 = {1,∗, ∇} = A
S 2 = {∗}
S 5 = {1, ∇}
S 3 = {∇}
S 6 = {∗, ∇}
con cada elemento
con dos elementos
con tres elementos (ya es el conjunto A )
y obviamente S 8 = Φ
Note que: N ( A) = 3 , y que el número total de subconjuntos es 8 = 2 3 .
Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto A ,
sería:
CANTIDAD
DE
SUBCONJUNTOS
= 2 N ( A)
2.6.1 CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. Entonces el CONJUNTO
POTENCIA de A , denotado por P( A) , es el
conjunto que tiene como elementos a todos
los subconjuntos de A .
Ejemplo
Para el caso anterior tenemos que:
P ( A) = {{1},{∗},{∇},{1,∗},{1, ∇},{∗, ∇}, A , Φ}
34
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Observe que es correcto decir que:
El
1∈ A
{1} ⊂ A
{1}∈ P( A)
NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA
está dado por:
N ( P ( A)) = 2
de un conjunto A
N ( A)
Ejemplo 2
Sea el conjunto B = {1, {⊗, Ω}} . Hallar P (B ) .
SOLUCIÓN:
S1 = {1}
entonces
Hallemos todos los subconjuntos del conjunto
S 2 = {{⊗, Ω}}
B.
S3 = B
P ( B ) = {{1}, {{⊗, Ω}}, B, Φ}
S4 = Φ
Ejercicios Propuestos 2.1
1.
Sea el conjunto
S = {{3}, {1,4}} entonces el CONJUNTO POTENCIA de S , es:
a) P ( S ) = {{3}, {1}, {φ}, S , {1,4}, {3,4}, {1,3}, φ}
b) P ( S ) = {{{3}}, S , {{1,4}}, φ}
c) P ( S ) = {{3}, S , {1,4}, {1,3,4}, φ}
d) P ( S ) = {{3}, S , {1,4}, {φ}}
e) P ( S ) = {{3}, {1,4}}
2.
Sea el conjunto
B = {a, {b}} , entonces es VERDAD que:
a) a ⊂ B
3.
b)
{b} ⊂ B
A = {a, {b}, c}
Dados los conjuntos
d) N (P (B )) = 2
c) {b}∈ B
y
B = {1,2} .
e)
2 N (P (B )) = 4
Determine ¿cuál de las
siguientes proposiciones es FALSA?
a)
d)
N (P( A)) N (P(B )) = 6
b) N (P (P (B ))) = 16
{{b}}∈ P( A)
c)
e) N (P ( A)) N (P (B )) = 32
{{a}} ⊂ P( A)
2.7 OPERACIONES
Los conjuntos
conjuntos.
pueden
ser
operados,
dando a lugar
nuevos
2.7.1 INTERSECCIÓN
Sean
A
y
B
dos conjuntos. Entonces la
INTERSECCIÓN de
A
con B , denotada por
A ∩ B , es el conjunto constituido por los
35
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
elementos comunes tanto a
A
como a B . Es
decir:
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente tenemos:
Para tres conjuntos sería: A ∩ B ∩ C = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C }
Para otros casos tenemos:
A∩ B = B
A∩ B = A
A∩ B = Φ
2.7.2 UNIÓN
36
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Sean
A
y
B
dos conjuntos. Entonces la
UNIÓN de A con B , denotada por A ∪ B , es
el conjunto constituido por elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a
ambos. Es decir: A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Gráficamente tenemos:
37
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
La unión de tres conjuntos sería:
A ∪ B ∪ C = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C}
Observe que se podría decir que: N ( A ∪ B) = N ( A) + N ( B) − N ( A ∩ B)
y que
N ( A ∪ B ∪ C ) = N ( A) + N ( B) + N (C ) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C ) − N (B ∩ C ) + N ( A ∩ B ∩ C )
Para otros casos tenemos:
A∪ B = B
A∪ B = A
A∪ B
2.7.3 DIFERENCIA
Sean
y
A
B dos
conjuntos.
DIFERENCIA de
A
A− B,
conjunto
es
el
con
Entonces
la
B , denotada por
constituido
por
elementos que pertenecen al conjunto A y no
38
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
pertenecen
al
conjunto
A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
B.
Es
decir:
Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto A .
En cambio,
La DIFERENCIA de B con A , denotada por
B − A,
es
el
conjunto
constituido
por
elementos que pertenecen al conjunto B y no
pertenecen al conjunto A . Es decir:
B − A = {x / x ∈ B ∧ x ∉ A}
Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto B .
2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA
39
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
La
DIFERENCIA
SIMÉTRICA
A• B
A • B = ( A − B ) ∪ ( B − A)
denotado
por
se
de A
define
con
B,
como
40
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Ejemplo
Sean los conjuntos A = {1, ∗, ⊗, ∇, Ω} y
A ∪ B = {1, ∗, ⊗, ∇, Ω, a, ?}
B = {a, ?, ⊗, ∇} entonces
A ∩ B = {⊗, ∇}
A − B = {1, ∗, Ω} el conjunto A menos los elementos del conjunto B .
B − A = {a, ?} el conjunto B menos los elementos del conjunto A .
A • B = {1,∗, Ω, a, ?}
2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos cumplen ciertas propiedades.
UNION
A∪ B = B ∪ A
A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
A∪ A = A
A∪Φ = A
Propiedades distributivas
INTERSECCIÓN
Conmutatividad
Asociatividad
Identidad
A∩ B = B ∩ A
A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
A∩ A = A
Absorción
A∩Φ = Φ
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
A − (B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C )
A − (B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C )
A ∪ (B − A) = A ∪ B
A − (A ∩ B) = A − B
(OPCIONAL)Ejercicio Propuesto 2.2
Demuestre las propiedades anteriores.
41
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
2.9 CONJUNTO REFERENCIAL
En muchas ocasiones un conjunto A estará referido a otro conjunto
que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.
Ahora surge la siguiente definición:
2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO
Sea A un conjunto. Entonces el complemento
de A , denotado como AC , se define como:
AC = Re− A
C
Es decir, A
está constituido por los elementos que le faltan al
conjunto A para llegar a ser el referencial.
A ∪ A C = Re
Además se cumple que: A ∩ A C = Φ
(A )
C C
(A ∪ B)
( A ∩ B )C
C
DE DEMORGAN
= A ∩B
C
y se pueden verificar las LEYES
=A
C
= AC ∪ B C
Ejemplo 1
Determine los conjuntos A, B , y C , conociendo que el conjunto referencial es
Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y
A ∩ B = {1,2,3,4}
(A ∪ B ∪ C )
C
SOLUCIÓN:
= {5,6}
A − C = {1,2,7}
(B − C ) − A = {8,9}
N ( A ) = N (B ) = 6
Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta:
42
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Entonces:
A = {1,2,3,4,7,10}
B = {1,2,3,4,8,9}
C = {3,4,10}
Ejemplo 2
La región sombreada de la figura mostrada corresponde a:
a) ( A ∩ B ) − B
b) (B − A)C
d)
(A
(A
e)
( A − C )C ∩ (B − C )C
c)
)
)∩ B
C
∪ C C ∩ (B ∩ A )
C
∩C
C
SOLUCIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría:
(NOTA: no importa el orden de asignación)
Entonces, los conjuntos se definirían de la
siguiente manera:
Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
B = {4,5,6,9,10}
C = {2,5,7,11,12,13}
Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, encontramos a la “ c ” como respuesta, es decir al
hacer
(A
C
)
∪ C C ∩ (B ∩ A) se obtiene
{4,6}
que corresponde a los números dados a las regiones
sombreadas.
Ejercicios Propuestos 2.3
1.
Si
Re = {a, b, c, d , e, f , g } y A = {a, b, c, d } , B = {e, f , g , b}, C = {g , f , e}
Entonces el conjunto
a) Re
2.
b) φ
[(A − B) ∪ (A
C
c) {g , f , e}
C
)]
∪ BC
d) {a}
C
, es:
e) {a, b, g }
Sea Re = {1,2,3,4,5,6} y los conjuntos A y B no vacíos, tal que:
43
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
A − B = {2,3};
Entonces ES VERDAD que:
a) N (B − A) = 2
d) N (P ( A)) = 2
3.
A ∪ B C = {2,3,5};
A C = {4,5,1,6}
(
b) N ( A ∩ B ) = 5
e) N (B ) = 1
Considere el conjunto Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} y los conjuntos A , B y C no
(
)
vacíos, tales que: A C ∩ B C − C = {12}
( A ∪ C ) − B = {1,2,3,10,11}
Entonces el conjunto C es:
a) {1,6,7,10,11} b) {1,2,3,4,5}
c) {1,7,10,11}
4.
Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
C − (A ∪ B) = φ
Entonces el conjunto B − ( A ∩ B ) es:
e) {1}
Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A ∩ B = {1,6},
(A ∪ B ∪ C )
= {10},
A − C = {2,3,6},
B ∩ C = {3,7,8,9}
(B − C ) − A = {4,5},
C − ( A ∪ B ) = {7,8,9}
Entonces es VERDAD que:
b) B = {1,4,5,6,9}
a) C − A = {7,8,9}
d) C − B = {1,7,8}
c) A ∩ B ∩ C = {1,9}
e) (B ∪ C ) = {2,3}
C
Sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re ; entonces el conjunto:
[( A ∩ (B ∪ A))] ∩ A C ,
a) A
b) B
es igual a:
c) A C
d) Re
e) φ
Una expresión que representa a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:
a)
b)
c)
d)
e)
8.
e) {4,5,8,9,7}
c) {1,3,5,6,7,8,9}
Dados los conjuntos:
C
7.
d) {4,5,6,7,8,9}
A = {2,3,4,5,6,10,11,12}
B − ( A ∪ C ) = {1}
b) {1,5,6}
d) {1,5,6,7,8,9}
6.
( A ∪ B ) − C = {2,3,4,5,8,9}
(B ∪ C ) − A = {7,8,9,10,11}
Sean A , B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:
a) {1,7,8,9}
5.
)
c) N B ∪ A C = 4
[( A ∩ B )
∩ ( A ∪ B )]∪ [C − ( A ∩ B )]
( A ∪ B ∪ C ) − [( A ∩ B ) ∪ (C − ( A ∪ B ))]
[( A ∩ B )C ∩ ( A ∪ B ∪ C )]− [C ∩ ( A ∪ B )]
[( A ∪ B )C ∩ ( A ∪ B )]C ∩ ( A ∪ B ∪ C )
C
[( A − B ) ∪ (B − A)] ∪ [C − ( A ∩ B )]
Si A , B y C son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto entonces la
región sombreada corresponde a:
a)
b)
c)
d)
e)
{[A ∩ (B ∪ C )]∪ [A − (B ∪ C )]}
(B ∩ A )∪ (C ∩ A )∪ [A − (B ∪ C )]
C
C
C
C
(B ∩ A) ∪ (C ∩ A) ∪ [A ∩ (B ∪ C )C ]
[(B ∩ C ) ∪ AC ]∪ [A − (B ∪ C )]
(B
C
) {[ (
)] (
∩ A ∩ A ∩ B ∪ C C ∪ C C ∩ AC
)}
44
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
9.
Dados los conjuntos no vacíos
corresponde a:
a) ( A − B ) ∩ (C ∩ B )
b)
c)
d)
e)
( A ∩ B ∩ C )C
[(C − A) ∩ B] ∪ ( A − B )
(C ∩ A)− B
[(A − C ) ∩ (B − C )]∪ (B ∩ C )
C
C
10. Dados los conjuntos
parte sombreada es:
a)
b)
c)
d)
e)
A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
A , B y C , no vacíos, entonces la EXPRESIÓN CORRESPONDIENTE a la
[(A − B) ∩ C ]− A
[C ∩ (A ∪ B )]∪ (A ∩ B )
C
C
( A − C ) ∪ (BC − C )
A ∩ (B − C )C
(A ∪ B ∪ C ) − C
11. Dados los conjuntos no vacíos
A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a) [( A − B ) ∪ (B − A)] ∪ [( A − B ) ∪ (B − A) − C ]
b) [( A ∩ B ) − C ] ∪ [[( A − B ) ∪ (B − A)] ∩ C ]
c)
d)
e)
12.
[(A ∩ B ) ∩ C ]∪ [(A ∩ B ) ∩ C ]
[(A ∪ B )∩ C ]∪ [(A ∪ B ) ∩ C ]
C
C
C
C
C
[[( A − B ) ∪ (B − A)] − C ] ∪ [C − ( A ∩ B )]
Sean los conjuntos A, B y C no vacíos, como se muestra en la figura; entonces la región
sombreada está representada por:
a)
b)
c)
d)
e)
( A ∪ B ∪ C ) ∩ ( A ∩ B )C
[(B − A) ∩ C ] ∪ (B − C )
[(B ∩ C ) − A] ∪ (AC ∪ C )
C
(A
) (
[(B − C ) ∪ A] − (A
C
)
∩B )
∩ B ∩ C ∪ A ∩ BC
C
C
13. Dados los conjuntos
A , B y C , no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a) [( A ∩ B ) − C ] ∪ [C − (B ∪ A)]
b)
c)
d)
e)
[(A ∪ B ) ∩ C ]∪ (A ∩ B )
[(A ∩ B ∩ C ) ∩ C ]∪ [(B ∩ A) − C ]
[(A ∩ B ) ∩ C ]∪ [(A ∩ B ) − C ]
C
C
C
[(B ∩ C ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ B )]C
45
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere
plantear conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
De los 180 maestros de una universidad 135 tienen su doctorado, 145 son
investigadores, de los doctores 114 son investigadores. Entonces es VERDAD que:
a) 31 maestros no son doctores.
b) 167 son investigadores o doctores.
c) 22 doctores no son investigadores.
d) 14 profesores no son investigadores ni doctores.
e) 21 maestros no son investigadores.
SOLUCIÓN: primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn:
Analizando
cada
proposición dada nos
damos cuenta que la
única verdadera es la “d”
Ejemplo 2
En un curso preuniversitario, ocurrió que, de 1600 estudiantes:
• 801 aprobaron Matemática
• 900 aprobaron Economía
•
752 aprobaron Contabilidad
•
435 aprobaron Matemática y Economía
• 398 aprobaron Matemática y Contabilidad
•
412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,
• 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad
Determinar cuántos de estos 1600 estudiantes aprobaron:
a) Sólo una materia
d) Al menos una materia
b) Exactamente 2 materias
e) Cuando mucho 2 materias.
c) Ninguna materia
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente, sería:
Entonces, las respuestas a
los literales sería:
a) 893, b) 315, c) 82
d) 1518 d) 1208
46
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
Ejemplo 3
Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad
60 . El resto de artículos tuvieron fallas del tipo A , tipo B y tipo C , y se repartieron
del modo siguiente:
• 8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
• 12 artículos con sólo falla de tipo A
• 3 artículos con fallas de los 3 tipos
• 5 artículos con fallas de tipo A y C
•
2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B
•
El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo
B fue el mismo.
Determine:
a) ¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B ?
b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente sería:
Vemos que
x + x + 12 + 5 + 3 + 2 + 2 = 40
resolviendo se obtiene que x = 8 lo que
nos permite responder a lo solicitado:
a) 18 y b) 28
Ejercicios Propuestos 2.4
1.
Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Prepolitécnico y se obtiene que 350 estudian Matemáticas, 450
estudian Química, 350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias, 200 estudian Matemáticas y Química, 250
estudian Física y Química, 210 estudian Física o Matemáticas pero no Química. Determinar :
a) ¿Cuántos estudian SÓLO MATEMÁTICAS?
b) ¿Cuántos estudian POR LO MENOS una materia?
c) ¿Cuántos estudian CUANDO MAS dos materias?
d) ¿Cuántos estudian SOLO una materia?
e) ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?
2.
Un curso de 40 alumnos que tienen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres deportes:
fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El número de
alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y
volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que ELIGEN
VOLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FÚTBOL y el número de alumnos que ELIGEN SÓLO BÁSQUET
ES, respectivamente:
a) 15, 20 y 10
b) 10, 20 y 15
c)10, 10 y 10
d) 15, 15 y 15
e)20, 10 y 15
3.
En una entrevista a 40 estudiantes del Prepolitécnico acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se obtiene
que: 12 gustan jugar básquet, 14 volley y 16 fútbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y volley, 4
practican básquet y fútbol, 20 practican volley o fútbol pero no básquet. Entonces el NÚMERO DE
ESTUDIANTES QUE NO PRACTICAN DEPORTE ALGUNO es:
47
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
a)
8
b) 0
c)1
d) 3
e)5
4.
En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 estudian
Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120
estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces LOS QUE ESTUDIAN SOLO LÓGICA SON:
a) 20
b) 100
c) 60
d) 30
e) 150
5.
En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de “El Niño”, se encuentra que 30
de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25 perdieron sus
cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 sólo sus cultivos. Entonces EL NÚMERO
DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVIENDAS O SÓLO SUS REBAÑOS ES IGUAL A:
a) 60
b) 15
c) 25
d) 30
e) 10
6.
Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:
- 57 tenían transmisión automática
- 77 tenían aire acondicionado
- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado
- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo
- 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo
- 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas
- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo
Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES:
a) 22
b) 1
c) 91
d) 30
e) 21
7.
Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta
(70)
estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18)
prefieren nadar o
escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las tres actividades durante su
estancia en el campamento.
De todos ellos doce (12) se enfermaron al llegar al campamento y no
pueden hacer ninguna actividad,
entonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDICAN A PESCAR Y NADAR, PERO NO A ESCALAR
SON:
a) 15
b) 10
c) 20
c) 30
d) 25
8.
En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de
América, se obtuvieron los siguientes resultados :
- 50 opinan que es el Nacional
- 50 opinan que es el Emelec
- 40 opinan que es el Palmeiras
- 20 opinan que es Nacional y Emelec
- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras
- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras
- 10 opinan que ninguno juega bien
¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?
a) 0
b) 30
c) 10
d) 20
e) 25
9.
En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente:
- 5 sólo poseen acciones
- 15 poseen solamente valores
- 70 son propietario de bonos
- 13 poseen acciones y valores
- 23 tienen valores y bonos
- 10 son propietarios de acciones y bonos
- Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo.
Entonces, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL :
a) 40
b) 45
c) 67
d) 30
e) 27
10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto
alguna de las tres películas, la mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al número
de personas que han visto la película C, el número de personas que han visto las películas A y B es igual a la
tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la película A y 5
personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras películas.
Determine:
a) El número de personas que han visto las películas A y B.
b) El número de personas que han visto la película A o la película B.
c) El número de personas que ven sólo una película.
d) El número de personas que no ven la película B.
11. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270
resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (A y B) o (A y
personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al
consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos.
Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es:
a)
530
b) 370
c) 700
d) 180
consumidores; los
C) o (B y C), 370
de personas que
e) 350
48
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de juguetes para Navidad,
arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón; 11 personas
compraron sólo en Juguetón, 9 personas compraron sólo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los tres
lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de
personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón compraron
3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron en mi
Juguetería. Entonces el NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON EN CUALQUIERA DE ESTOS TRES
LUGARES, es:
a) 93
b) 58
c) 13
d) 28
e) 15
13. En una encuesta realizada por PACIFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una
llamada, sea ésta, local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:
• 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.
• 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
• 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
• El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de
personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.
Entonces EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES es:
a) 10
b)4
c) 6
d) 2
e) 14
14. Los estudiantes que están en el Prepolitécnico de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos A, B y
C . En el paralelo A hay 35 estudiantes, en el paralelo B hay 41 estudiantes y en el paralelo C hay 49
estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a los paralelos A y
C , y 11 estudiantes asisten a los paralelos B y C . Entonces, el NÚMERO DE ESTUDIANTES que asisten
SÓLO al
a) 8
paralelo C es:
b) 36
c) 30
d) 38
e) 49
15. De un conjunto de 1200 estudiantes del ICHE se determinó que hay 400 estudiantes que hablan inglés, 600 que
hablan francés, 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan francés y alemán, 50
hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán, por tanto EL NÚMERO
DE ESTUDIANTES QUE HABLAN INGLÉS Y ALEMÁN PERO NO FRANCÉS ES:
a)100
b) 50
c) 150
d) 180
e)270
Misceláneos
1.
Dados los conjuntos no vacíos A, B, C y D ; entonces la REGIÓN SOMBREADA del gráfico adjunto corresponde
a:
a)
b)
c)
d)
e)
2.
( A ∩ B ) ∩ (C ∪ D )
( A ∪ B ) ∪ (C ∪ D )C
( A ∪ C )C ∩ (D ∪ B )
( A ∪ C ) ∪ (B ∪ D )C
( A ∪ B )C ∪ (C ∪ D )C
Considere el conjunto Re = {1,2,3,  ,15} y los conjuntos A, B y C no vacíos, tales que:
(A − C ) = {3,7,11}
C
(B − A) = {5,6,8,9}
[C ∩ (B − A)] = {6,8}
A ∩ B ∩ C = {11}
(A ∩ B ) − C = Φ
Entonces el CONJUNTO B es:
a) {5,6,7,8,9}
b) {1,2,3,4,5}
3.
c) {1,5,9,13,15}
d) {6,8}
e) {5,6,8,9,11}
En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecón 2000, se obtuvo lo siguiente:
49
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
• A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.
• A 480 personas les gusta sólo conversar.
• El número de personas que les gusta sólo pasear es igual al número de personas que les gusta sólo
comer.
• A 30 personas les gusta hacer las tres actividades.
• Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados.
Entonces, el NÚMERO DE PERSONAS que les gusta sólo pasear es:
b) 530
c) 700
d) 180
e) 925
a) 910
4.
Sea el conjunto A = {2, {2,3}, {3}} . Entonces es FALSO que:
a)
d)
{2,3}∈ A
{{2, {3}}}∉ P ( P ( A))
b) {2, {3}}∈ P ( A)
e) {2, {2,3}} ∈ P ( A)
c) {{2,3}} ⊆ A
5.
Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del prepolitécnico y se obtiene la siguiente información:
•
110 estudian Matemáticas.
•
110 estudian Contabilidad.
•
115 estudian Economía.
•
40 estudian Matemáticas y Economía.
•
25 estudian las tres materias.
•
60 estudian Contabilidad y Economía.
•
90 estudian Matemáticas o Contabilidad, pero no Economía.
Entonces, el número de estudiantes que estudian SÓLO MATEMATICAS, es:
a) 20
b)40
c)15
d) 25
e) 70
6.
Sean A , B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a)
b)
c)
d)
e)
7.
8.
(A
)
C
∪ BC = A ∪ B
( A ∩ B = Φ ) ⇒ A ∧ B no son conjuntos disyuntos .
C
A − (B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C )
Se hizo una entrevista a 885 estudiantes del Prepolitécnico de Ingeniería y se obtuvo la siguiente información
respecto a las materias que más les gustan.
 A 600 les gusta Matemáticas.
 A 400 les gusta Física.
 A 620 les gusta Química.
 A 195 les gusta Matemáticas y Física.
 A 190 les gusta Física y Química.
 A 400 les gusta Matemáticas y Química.
 A todos los entrevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.
Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES MATERIAS, es:
a) 5
b) 25
c) 35
d) 50
e) 0
Sea el conjunto S = {1,2, {3}} . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)
b)
c)
d)
e)
9.
A ⊆ B ⇒ AC ⊆ B C
( A ⊆ B ∧ B ⊆ C ) ⇒ (C ⊆ A)
N (P ( S ) ) = 8
{3}∉ P ( S )
{{3}}∈ S
{1}∈ P ( S )
{1,2, {3}}∈ P ( S )
Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)
A∩φ = φ
b)
( A ∪ B )C = AC ∩ B C
A − (B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C )
c)
d)
e)
(A ) − A = [(A − A) ]


(A ) ∪ B  ∩ A ≠ φ
C C
C C
C C
C
C
50
Moisés Villena Muñoz
Conjuntos
10. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos, además en dicha feria se obtuvo la
siguiente información:
 30 personas compraron autos Volswagen y Chevrolet.
 40 personas compraron autos Volswagen y Hyundai.
 El número de personas que compraron los 3 carros es igual a la mitad del número de personas que no
compraron ningún automóvil.
 El número de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del número de las personas
que compraron sólo Chevrolet.
 50 personas compraron autos Hyundai.
 48 personas compraron Chevrolet o Volswagen pero no Hyundai.
 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet.
Entonces EL NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON SÓLO UNA CLASE DE AUTO fue:
a) 27
b) 28
c) 98
d)14
e)58
11. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el conjunto referencial Re = {1,2,3,4,5,6} tales que:
( A ∪ B ) − C = {3,4,5}
( A ∩ B ∩ C ) = {2}
[( A − B) ∪ (B − A)] ∩ C = {1,6}
Entonces el conjunto C es:
a) C = {3,4,5,6,}
b) C = Re
c) C = {1,6}
d) C = φ
e) C = {1,2,6}
12. Sea el conjunto S = {b, {a}, a} . Entonces es VERDAD que:
a)
d)
a ∈ P (S )
b) φ ∉ P ( S ) ∨ {b}∈ S
{{a}, a}∈ P ( S )
e)
c) N ( P ( S )) = 9
{{a}}∈ S
13. La expresión que representa la región sombreada es:
a)
b)
c)
d)
e)
(C − B ) ∪ ( A − C ) ∪ (B − A)
( B ∩ C ) ∪ (B − A )
[(B − A)C ∩ C ]∪ (A − B )
[(B − A) ∩ C ]∪ ( A − B )
[(C ∩ A) − B ]C ∪ B
14. Sea Re un conjunto referencial, tal que Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sean A, B y C tres conjuntos
no vacíos, tales que:
( A ∩ B ) − C = {2}
A − B = {1,4,10}
A ∩ C = {4,5}
-
B C ∩ C C = {1,8,10}
C ∩ B = {3,2}
Entonces es VERDAD que:
a) C = {2,3,5,6}
-
( A ∩ B ) ∪ (B ∩ C ) ∪ (C ∩ A) = {2,4,5,6}
-
C
d)
A = {4,5,6,7,9}
B = {1,2,4,5,10}
( A − B ) ∪ (B − C ) = {1,4,10,2,3}
e)
AC = {3,6,7,9}
b)
c)
51
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
PREDICADOS
CONJUNTO DE VERDAD
PREDICADOS COMPUESTOS
CUANTIFICADORES
NEGACIÓN
OTRAS CONSIDERACIONES
PREDICADOS DE DOS VARIABLES
RAZONAMIENTOS
En nuestro lenguaje común mucha veces hemos utilizados frases como "Todos los días
tenemos clase", "Algunos días llueve", ...
Estos enunciados pueden formar estructuras lógicas de una nueva forma. Por tanto
merecen nuestro estudio.
49
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina predicados de una y más variables.
• Conozca la notación para predicado de una y más variables y la notación para el conjunto de verdad.
• Obtenga conjuntos de verdad de predicados compuestos
• Conozca la notación de los cuantificadores universal y existencial.
• Aplique leyes lógicas para negar predicados.
• Comprenda e interprete traducciones con cuantificadores en diagramas de Venn.
• Infiera directamente una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis, empleando diagramas de Venn o círculos de
Euler.
• Justifique la validez de un razonamiento empleando diagramas de Venn.
3.1 PREDICADOS
Sea Re un conjunto referencial y sea p(x) una
expresión que contiene “ x ”. Entonces p(x) es
un PREDICADO
si al reemplazar a “ x ” por
un elemento cualquiera
de Re , se convierte
en proposición.
Informalmente se podría decir que un predicado es enunciado
abierto
Ejemplo 1
p(x) : “ x es mayor a tres” o simplemente “ x > 3 ” (una desigualdad)
Suponga que Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , entonces para el caso de que
x = 2 tenemos
p (2) : “ 2 es mayor a 3 ”, que es una PROPOSICIÓN FALSA.. Pero, para el caso de que x = 5
tenemos
p (5) : “ 5 es mayor a 3 ”, en cambio es una PROPOSICIÓN VERDADERA.
Podemos tener muchas otras proposiciones para otros
x.
Ejemplo 2
q (x) : “ 2 x − 1 = 3 ” (una ecuación)
Suponga que Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , entonces para el caso de que x = 2 tenemos
q (2) : “ 2(2) − 1 = 3 ” que es una PROPOSICIÓN VERDADERA. Pero, para el caso de que
x = 5 tenemos q (5) : “ 2(5) − 1 = 3 ”, en cambio es una PROPOSICIÓN FALSA.
50
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
3.2 CONJUNTO DE VERDAD
Sea Re el conjunto referencial de un predicado
p (x) . Entonces el CONJUNTO DE VERDAD de
p(x) , denotado como Ap(x) , está constituido
por los elementos de Re que satisfacen a p(x) .
Es
decir,
convierten
por
los elementos
p(x) en una
a
de
Re que
PROPOSICIÓN
VERDADERA.
Ejemplos
Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad serían:
1.
Ap( x ) = {4,5,6,7,8,9,10} (todos los elementos del referencial que son mayores a 3 )
2.
Aq ( x ) = {2} (todos los elementos del referencial que al multiplicarlos por 2 y luego restarles 1 ,de como
resultado
3)
3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
Si conectamos predicados haciendo uso de operadores lógicos
obtenemos predicados más extensos.
Ejemplo
Suponga que Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y que se tienen los predicados
p( x ) : “ x es divisible para dos”
y
q ( x ) : “ x es mayor a tres”
Por consiguiente sus conjuntos de verdad son:
Ap( x ) = {2,4,6,8,10} y Aq ( x ) = {4,5,6,7,8,9,10}
Ahora formemos los siguientes predicados:
1. ¬p( x ) : “ x
no es divisible para dos” , entonces
A¬p( x ) = {1,3,5,7,9}
Note que es igual
a A p( x ) .
C
51
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
2. p( x ) ∧ q( x ) : “ x
es divisible para dos y mayor a tres”, entonces A( p( x ) ∧ q ( x ) ) = {4,6,8,10} . Note
que es igual a Ap( x ) ∩ Aq ( x ) .
3. p( x ) ∨ q( x ) :
“
es
x
divisible
para
dos
A( p( x ) ∨ q ( x ) ) = {2,4,5,6,7,8,9,10} que es igual a
4. p( x ) → q( x ) :
“Si
x
es
divisible
para
dos,
o
mayor
a
tres”
entonces
Ap( x ) ∪ Aq ( x ) .
entonces
es
mayor
a
tres”,
entonces
A( p( x ) → q ( x ) ) = A(¬p( x ) ∨ q ( x ) ) = A p( x ) ∪ Aq ( x ) = {1,3,4,5,6,7,8,9,10} .
C
52
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
3.4 CUANTIFICADORES
Tenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y el existencial
3.4.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término
TODOS, queriendo dar a entender para todos y cada uno.
El
SÍMBOLO LÓGICO
empleado para este cuantificador es
∀
3.4.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
En cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el
término ALGÚN, queriendo dar a entender que existe por lo menos uno.
El
SÍMBOLO LÓGICO
empleado para este cuantificador es
∃
Se observa que al cuantificar a un predicado, éste se convierte en
proposición.
Ejemplo
Considerando Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el predicado p( x ) : “ x es divisible para 2 ”
podemos decir:
∀xp( x ) : “Todos los números son divisibles para dos”, que es una proposición FALSA.
∃xp( x ) : “ Existe un número divisible para dos”, que es una proposición VERDADERA.
OBSERVACIONES:
1. Si se cumple que ∀xp( x) ≡ 1 significa que Ap( x) = Re
2. En cambio, si sólo se cumple que ∃xp( x) ≡ 1 significa que
Ap(x) ≠ Φ
Ejercicio resuelto 1
Sea el conjunto Re = {1,2,3,4,5}. Entonces es VERDAD que:
a) ∃x( x + 3 = 1)
b) ∀x( x + 3 < 5)
d) ∃x( x + 3 < 5)
e) ∀x x 2 − 4 x + 3 = 0
(
)
c) ∀x( x > 1)
53
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
SOLUCIÓN: Analizando cada opción tenemos:
a) Falsa
d) Verdadera (RESPUESTA)
b) Falsa
e) Falsa
c) Falsa
Ejercicio resuelto 2
Sea el conjunto referencial Re = {10,15,20,25,30,35,40,45,50} y los predicados:
p(x) : “ x es múltiplo de 10 ”
q (x) : “ x es divisible para 3 ”
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?
a) A( p( x ) ∧ q( x )) = {45}
c) A[ p( x ) ∨ ¬q( x )) = {10,15,20,25,30,35}
d) A( p( x ) → q( x )) = {15,25,30,35,45}
b) A(( px) ∨ q( x)) = {10,20,30,45,50}
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
SOLUCIÓN:
Los conjuntos de verdad de los predicados dados son: Ap( x ) = {10,20,30,40,50} y
entonces analizando cada opción:
Aq ( x ) = {15,30,45}
a) FALSA, porque A( p( x ) ∧ q ( x )) = {30}
b) FALSA, porque A(( px ) ∨ q ( x )) = {10,15,20,30,40,50}
c) FALSA, porque A[ p( x ) ∨ ¬q ( x )) = Ap( x ) ∪ AC q ( x ) = {10,20,25,30,35,40,50}
d) VERDADERA (RESPUESTA), porque
A( p( x) → q( x)) = A(¬p( x) ∨ q( x)) = AC p ( x) ∪ Aq( x) = {15,25,30,35,45}
Ejercicios Propuestos 3.1
1. Sea el conjunto Re = {1,2,3,4,5} . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a) (∃x ∈ Re ) (x + 3 = 10 )
(
b) (∀x ∈ Re ) x − 4 x + 3 = 0
2.
2
Sean los predicados
)
d) (∀x ∈ Re ) (x + 3 < 7 )
e) Elija esta opción si ninguna proposición es verdadera.
p ( x) : x come rábanos
y
q ( x) : x es vegetariano, donde el
Re = {Los seres humanos} . Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones:
[
]
d) ∀x[ p ( x) ∨ ¬q ( x)]
a) ∀x p ( x) → q ( x)
3.
c) (∀x ∈ Re ) (x + 3 < 10 )
[
]
e) ∀x[¬q ( x) ∨ ¬p ( x)]
b) ∃x p ( x) ∧ q ( x)
[
c) ∃x¬ q ( x) → p ( x)
]
Re = {1,2,3,4, } y los predicados:
p ( x) : x es un número impar
q ( x) : x es un número par
Sea
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
4.
a) A( p ( x) → q ( x) ) ⊆ Aq ( x)
c) Ap ( x) = AC q ( x)
b) Re = Ap ( x) ∪ Aq ( x)
d) Aq ( x) − Ap ( x) = φ
e) A( p ( x) → q ( x) ) = A C p ( x)
Dado el conjunto referencial Re = {2,3,5,7,8,9,10} y los predicados
p( x) : x
q( x) : x
es múltiplo de 2 y mayor a 3
es múltiplo de 5
54
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
[
]
Entonces el conjunto A q ( x) → ¬p ( x) es:
a) {2,3,5,7,8,9}
d)
5.
b)
{2,3,5,7,9}
e)
φ
{2,8,10}
{5,8,10}
Dado el conjunto referencial Re = {−3,−2,−1,1,2,3} y los predicados
p ( x) : x( x + 2) = 0
Entonces, es VERDAD que:
a) −1 ∈ A p ( x) ∧ q ( x)
[
[
]
]
q( x) : x 2 > 0
y
[
[
]
b) A p ( x) ∨ q ( x) = φ
d) A ¬q ( x) = {−3,−2,−1}
6.
c)
]
[
]
c) A p ( x) → q ( x) = Re
e) A q ( x) → q ( x) = φ
Sea Re = {1,2,3,4, } y los predicados
p ( x) : x es un número impar
q ( x) : x es un número par
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
b)
A( p (x ) → q (x )) ⊆ Aq(x )
Aq( x) − Ap( x) = φ
c)
A( p (x ) → q (x )) = A p (x)
a)
7.
d) Ap( x) = AC q ( x)
e) Re = Ap ( x) ∪ Aq ( x)
C
Dado el conjunto referencial
Re = {2,3,5,7,11,13,17}
( x + 2)
=2
2
Entonces el conjunto A[ p ( x) ∨ q ( x)] es:
a) Re
b) 2
c) Re − Ap ( x)
p( x) :
y
y los predicados
q ( x) : x es un número primo
d) Ap (x)
e) Re − Aq ( x)
Ahora puntualicemos lo siguiente:
Suponga que a ∈ Re entonces la expresión ∀xp( x ) → p(a ) (Si todos
elementos del referencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente “ a ” satisface el predicado) es VERDADERA.
También es VERDADERA la expresión
los
p (a ) → ∃xp( x) (Si “ a ” satisface el predicado,
entonces se podrá decir que necesariamente existirá un elemento del referencial que satisface el predicado)
En cambio la expresión
p (a ) → ∀xp( x) es FALSA ¿por qué?
(RESPUESTA: Si “ a ” satisface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el
predicado)
Veamos el valor de verdad para ∀xp(x)
diferentes referenciales:
y ∃xp(x) considerando
1. Si Re = Φ entonces ∀xp( x) ≡ 1 (debido a que Ap( x) = Φ = Re ) y ∃xp( x) ≡ 0 ,
por lo tanto ∃xp( x) → ∀xp( x) es VERDADERO. (¿POR QUÉ?).
En cambio el reciproco ∀xp( x) → ∃xp( x) es FALSO. (¿POR QUÉ?)
55
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
2. Si Re = {a} (formado por un sólo elemento) y además p (a ) ≡ 1 , entonces aquí
∀xp( x) ≡ 1 y ∃xp( x) ≡ 1 , por lo tanto ∃xp( x) → ∀xp( x) es verdadera
como también ∀xp( x) → ∃xp( x) es verdadera. Entonces se puede
concluir que ∀xp( x) ≡ ∃xp( x)
3. Si Re ≠ Φ (formado por más de un elemento, que sería lo que se presenta generalmente), aquí sólo
tenemos como verdadera a la expresión ∀xp( x) → ∃xp( x) . (¿POR
QUÉ?)
Ejercicio resuelto
Identifique la proposición FALSA
a) Si Re = {a} , entonces ∀x p( x) ≡ ∃x p( x)
b) (x ∈ φ) → (x ∈ A)
c) A − A = φ
d) Si Re = φ , entonces ∀x p ( x) ≡ 1
e) ¬(φ ⊆ A)
SOLUCIÓN: Analizando cada opción, encontramos que sólo la opción “e” es FALSA
¿por qué?
Ejercicio Propuesto 3.2
1.
Dado el conjunto referencial
Re = {1,2,3,4,5} y
p( x) : x + 1 = 2 x
y
los predicados:
q( x) : x + 1 = x + 1
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ∃xp( x) → ∀xq( x)
d) A¬p ( x) ∪ Aq ( x) = Re
b)
e) Ap ( x) ⊆ Aq ( x)
c)
[ ∀xp( x) ∨ ∀xq( x) ] → ∀x[ p( x) ∧ q( x)]
[ ∀xp( x) ∨ ∀xq( x) ] → ∀x[ p( x) ∨ q( x)]
3.5 NEGACIÓN
De acuerdo a De Morgan:
1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfagan
un predicado, es equivalente a que, existe por lo menos un
elemento del referencial que no satisface el predicado, lo cual
simbólicamente sería:
¬(∀xp( x) ) ≡ ∃x(¬p( x) )
2. No es verdad que exista un elemento del referencial que satisfaga
el predicado, significa que, todos los elementos del referencial no
satisfacen el predicado, es decir:
¬(∃xp( x) ) ≡ ∀x(¬p( x) )
56
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
Ejemplo
La NEGACIÓN de la proposición “ Para todo número natural n, n + 2 > 8 ” , es :
a) Para algunos n, n + 2 < 8
d) Ningún n cumple con n+2 > 8
e) Existe un n tal que n + 2 > 8
b) Existe un n tal que n + 2 ≤ 8
c) Existe un n tal que n + 2 ≥ 8
SOLUCIÓN:
La traducción formal de la negación de la proposición es: ¬(∀n(n + 2 > 8))
∃n[¬(n + 2 > 8)] ≡
∃n[n + 2 ≤ 8]
y aplicando lo anterior tenemos:
(RESPUESTA la “b”)
3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
∀x( p( x) ∧ q( x) ) ≡ ∀xp( x) ∧ ∀xq( x)
Observe que
∃x( p( x) ∨ q ( x) ) ≡ ∃xp( x) ∨ ∃xq( x)
y también que
Además las implicaciones siguientes son VERDADERAS:
∀xp( x) ∨ ∀xq( x) → ∀x[ p( x) ∨ q( x)]
∃x[ p( x) ∧ q ( x)] → ∃xp( x) ∧ ∃xq( x)
en cambio sus recíprocos serían FALSOS. ¿por qué?
Lo anterior puede aclarecerse ahora.
Ejemplo
Considere Re = {1,2,3,4,5,...} y los predicados p( x ) : “ x es par” y q( x ) : “ x es impar”
entonces:
∀xp( x ) ≡ 0
∃xp( x ) ≡ 1
1. ∀xq( x ) ≡ 0
2. ∃xq( x ) ≡ 1
∀x[ p( x ) ∨ q ( x )] ≡ 1
∃x[ p( x ) ∧ q ( x )] ≡ 0
por lo tanto:
∀xp( x) ∨ ∀xq( x) → ∀x[ p ( x) ∨ q ( x)] es VERDADERA,
 

0
y también
0
1
∃x[ p ( x) ∧ q ( x)] → ∃xp( x) ∧ ∃xq( x) es VERDADERA,

 
0
1
1
(¿qué pasa con sus recíprocos?)
57
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
Ejercicios Propuestos 3.3
1.
Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a)
∀x p( x) ≡ 1 ≡ ¬ Ap ( x) = Re
[
b)
c)
d)
e)
2.
Sea
a) Si
b) Si
c) Si
d) Si
]
[
]
∀x [ p( x) ∨ q( x)] → [∀x p( x)] ∨ [∀x q ( x)]
∃x[ p( x) ∧ q( x)] → [∃x p( x)] ∧ [∃x q ( x)]
∃x[ p ( x) → q ( x)] → [∀x ¬p ( x)] ∨ [∀x q ( x)]
∃x ¬p( x) ≡ ¬[∃x p ( x)]
Re
un conjunto referencial y
p (x) un predicado, determine la proposición CORRECTA:
p (a ) ≡ 1 ; ∃x p ( x) ≡ 1 ∧ ∀x p ( x) ≡ 0
Re = {a} y
Re = {0} y p (0) ≡ 1 ; ∃x p( x) ≡ ¬[∀x p ( x)]
Re = φ , ¬[∀x p( x)] ≡ ∃x ¬p( x)
Re = φ , ∃x p ( x) ≡ 1
e) Elija esta opción si ninguna de las anteriores es correcta.
3.
Escriba la NEGACIÓN de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Todos los matemáticos son vegetarianos
b) Todas las mujeres son inteligentes
c) Ningún entero par es divisible para 5
d) Algunos rectángulos son cuadrados
e) Algunas personas no comen carne
3.7 PREDICADOS DE DOS VARIABLES
Sean Re x y Re y dos conjuntos referenciales, no
necesariamente
diferentes,
y
sea
p ( x, y )
una
expresión que contiene “ x ” y “ y ”. Entonces
p ( x, y ) es un
PREDICADO DOS VARIABLES
si al
reemplazar a “ x ” por un elemento cualquiera de
Re x y a “ y ” por un elemento cualquiera de Re y ,
se convierte en proposición.
Ejemplo
Sea p ( x, y ) : “ x es una letra ubicada en el abecedario antes que y ”
Considere Re x = {a, v, e, z} y Re y = {b, i, p, t , z}. Entonces es VERDAD, que:
a) ∃x∀yp( x, y ) ≡ 0
58
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
b) ∀x∀yp( x, y ) ≡ 1
c) ∀y∃xp( x, y ) ≡ 0
d) ∃x∃y[¬p( x, y )] ≡ 1
e) ¬(∃x∃yp( x, y ) ) ≡ 1
SOLUCIÓN: Analicemos una a una las proposiciones dadas:
a) No es verdad, porque ∃x∀yp( x , y ) ≡ 1
b)
No es verdad, porque ∀x∀yp( x , y ) ≡ 0
c)
No es verdad, porque ∀y∃xp( x , y ) ≡ 1
∃x∃y[¬p( x , y )] es equivalente a ¬(∀x∀yp( x , y ) ) ≡ ¬(0 ) ≡ 1 . Si es VERDAD
e) No es verdad, porque ¬(∃x∃yp( x , y ) ) ≡ 0 debido que ∃x∃yp( x , y ) ≡ 1 y ¬(1) ≡ 0
d)
PREGUNTA: ¿CÓMO
VARIABLES,…?
SE DEFINIRÍAN PREDICADOS DE TRES VARIABLES, DE CUATROS
Ejercicios Propuestos 3.4
1.
2.
3.
p ( x, y ) : “ x es divisible para y ” con los siguientes
,
TRADUZCA
al lenguaje común las siguientes proposiciones:
Re x = Re y = {1,2,3, }
Dado el predicado de dos variables
a)
∃x∀y p( x, y )
c) ∀x∃y p ( x, y )
e) ∀x p ( x, y )
b)
∃x∃y p ( x, y )
d) ∀x∀y p ( x, y )
f) ∃x p ( x, y )
Dado p ( x, y ) :" x > y" , donde Re x = {0,1,2} y el Re y = {−1,−3,1,0} . Entonces es VERDAD que:
a) ∀y∃x p ( x, y )
c) ∃x∀y p ( x, y )
b) ∀y∀x p ( x, y )
d) ∃y∀x p ( x, y )
e) ∃x∀y ¬p (x)
Sean los conjuntos Re x = {1,2,3} , Re y = {a , b, c , d } y los predicados "
x es el número
y en el abecedario" . Entonces es VERDAD que:
que indica el lugar que ocupa
[
[
4.
referenciales
]
]
[
[
a) ∀x∀y p ( x, y )
b) ∃x∀y p ( x, y )
d) ∀y∃x p ( x, y )
e) ∃y∀x p ( x, y )
La NEGACIÓN lógica del siguiente enunciado:
[
]
d) ∀y∀x [¬q ( y ) → p ( x)]
a) ∃x∃y¬ p ( x) → ¬q ( y )
]
]
[
c) ∀x∃y p ( x, y )
∃y∃x[ p ( x) → ¬q ( y )] es:
[
]
e) ∀y∀x [¬q ( y ) ∨ p ( x)]
b) ∀y∀x p ( x) ∧ q ( y )
]
[
c) ∀y∀x¬ p ( x) ∧ q ( y )
]
59
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
3.8 RAZONAMIENTOS
Las definiciones de ciertas interpretaciones, van a ser útiles para
analizar razonamientos formados por predicados cuantificados.
“Todo p es q ” puede ser interpretado de dos maneras:
“Algunos p son q ” puede ser interpretado sólo de una manera:
“Ningún p es q ” puede ser interpretado sólo de una manera:
“Algunos
p no son q ” puede ser interpretado de tres maneras:
60
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
Recordemos que para que un razonamiento sea válido la conclusión
debe ser lógicamente inferida de las premisas, es decir teniendo premisas
verdaderas la conclusión debe también ser verdadera para todo referencial.
Ejemplo 1
Determine la validez del siguiente razonamiento:
P1 : Todos los hombres son mortales
P2 : Daniel es hombre
Por lo tanto
C : Daniel es mortal
SOLUCIÓN: primero hagamos el diagrama de Venn correspondiente, asumiendo premisas verdaderas
Observe que la conclusión de que Daniel
sea mortal se cumple por tanto el
razonamiento es VÁLIDO
Ejemplo 2
Considere las siguientes premisas de un razonamiento:
P1 : Todos los números racionales son reales.
P2 : Ningún número imaginario es real.
P3 : Algunos números complejos son reales.
Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es:
a)
b)
c)
d)
e)
Ningún número racional es complejo
Ningún número complejo es real
Existen números complejos que son imaginarios
Ningún número imaginario es racional
Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn para este caso sería:
Observe que puede haber más de una
interpretación para los complejos.
Analizando cada conclusión dada,
deducimos que la “d” es la única que
valida al razonamiento, por que sería
verdadera siempre, cumpliendo para
todas las consideraciones.
61
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
Ejercicios Propuestos 3.5
1. Comprobar si el siguiente razonamiento es VÁLIDO.
H 1 : Todos los números enteros son racionales.
H2 :
C:
2.
Algunos números reales son enteros.
Algunos números reales son racionales.
a) Válido
b) Falacia
Considere las siguientes hipótesis:
H 1 : Todas las funciones son relaciones.
H2 :
No toda relación es función.
H 3 : Algunas funciones son inyectivas.
Entonces una conclusión que se puede inferir lógicamente a partir de ellas es:
a) Algunas relaciones no son inyectivas.
b) Ninguna función es relación.
c) Algunas funciones no son inyectivas.
d) Algunas relaciones son inyectivas.
e) Elija esta opción si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.
3.
Considerando las siguientes premisas
H 1 : Todo niño es travieso.
H 2 : Ningún travieso es ordenado.
H 3 : Algunos adultos son traviesos.
Una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a)
b)
c)
d)
e)
Algunos niños son traviesos.
Todo travieso es adulto.
Todo travieso es ordenado.
Algunos adultos son niños.
Algunos adultos no son ordenados.
4.
Considerando el siguiente razonamiento:
“ Todos los que estudian Lógica estudian Matemáticas. Todos los que estudian Ingeniería Comercial
estudian Lógica. Gilda estudia Ingeniería Comercial”
Entonces es VERDAD que:
a) Gilda no estudia Matemáticas.
c) Gilda no estudia Lógica.
b) Gilda estudia Matemáticas pero no Lógica.
d) Gilda estudia Matemáticas.
e) Gilda o estudia Matemáticas o estudia Lógica.
5.
Dadas las siguientes hipótesis:
H 1 : Todo profesional tiene título.
H 2 : Ningún irresponsable tiene título.
H 3 : Algunos profesores tienen título.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es:
a) Ningún profesional es profesor.
b) Ningún profesor tiene título.
c) Existen profesores que son irresponsables.
d) Ningún irresponsable es profesional.
e) Elija esta opción Todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.
6.
En el planeta Kriptón se cumple que:
H 1 : Todo Krip es Kron.
H2 :
Algunos Krip son Krap.
H 3 : Todo Krap es Kron.
H 4 : Ningún Kron es Krun.
H 5 : Fernanda es Krip.
Entonces una conclusión no válida es:
a) Ningún Krap es krun
b) Fernanda es Kron
c) Ningún Krip es Krun
d) Fernanda no es Krap
e) Fernanda no es Krun
62
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
7.
Dadas las siguientes premisa:
P1 : Todos los economistas son racionales.
P2 : Algunos ingenieros no son economistas.
Entonces una conclusión que hace válido el razonamiento es:
a) Algunos ingenieros son racionales.
b) Todos los economistas no son ingenieros.
c) No todos los ingenieros son economistas.
d) No todos los ingenieros son racionales.
e) Algunos ingenieros no son racionales.
8.
Uno de los siguientes razonamientos NO ES VÁLIDO. Identifíquelo.
a) Ningún abogado es rico. Tú eres rico. Por lo tanto tú no eres abogado.
b) Todos los hombres inteligentes son trabajadores. Todos los trabajadores son responsables. Por lo tanto,
los hombres inteligentes son responsables.
c) Ningún profesor es ignorante. Todas las personas ignorantes son inútiles. Por consiguiente ningún profesor
es inútil.
d) Si deseas la paz, prepárate para la guerra. Tú no te preparas para la guerra. Por lo tanto, no deseas la paz.
e) Elija esta opción si todos los razonamientos son válidos.
9.
Dadas las siguientes premisas:
P1 : Todos los contribuyentes son honestos.
P2 : Todos los honestos son especiales.
Entonces una CONCLUSIÓN LÓGICAMENTE INFERIDA de las premisas es:
a) Algunos contribuyentes no son especiales.
b) Todas las personas especiales son contribuyentes.
c) Todos los contribuyentes son especiales.
d) Ningún contribuyente es especial.
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infieren de las premisas dadas.
Misceláneos
1.
Sean las premisas:
P1 : Todos los artistas son bohemios.
P2 : Algunos ingenieros son artistas.
P3 : Ningún científico es bohemio.
Entonces una CONCLUSIÓN para un razonamiento válido, es:
a) Ningún ingeniero es bohemio.
b) Algunos científicos son ingenieros
c) Ningún artista es científico
d) Todos los ingenieros son bohemios.
e) Ningún científico es ingeniero.
2.
Sea Re ≠ φ y los predicados p( x ) y q ( x ) . Identifique, ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)
b)
c)
d)
e)
3.
¬∃x[ p ( x) ⇒ q ( x)] ≡ ∀x[ p ( x) ∧ ¬q ( x)]
¬∀x p ( x) ≡ ∃x ¬p ( x)
∀x[ p( x) ∨ q( x)] ≡ (∀x p( x) ) ∨ (∀x q( x) )
∃x[ p( x) ∨ q( x)] ≡ (∃x p ( x) ) ∨ (∃x q ( x) )
∀x[ p( x) ∧ q( x)] ≡ (∀x p( x) ) ∧ (∀x q( x) )
Sean los conjuntos A = {−1,0,1} y B = {0,1} . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) ∀x ∈ A, ∃y ∈ B x + y = 3
[
b)
c)
d)
e)
]
∀x ∈ A, ∃y ∈ B [x + y ∈ N ]
∃x ∈ A, ∀y ∈ B [x + y = y ]
∃x ∈ A, ∃y ∈ B [ y = 2 x ]
∀x ∈ A, ∃y ∈ B [x = y ]
63
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
4.
Sean las premisas para un razonamiento:
P1 : Todos los estudiantes son jóvenes.
P2 : Ningún joven es pesimista.
P3 : Manuel es estudiante.
Entonces una CONCLUSIÓN que lo hace válido, es:
a) Manuel es pesimista.
b) Algunos estudiantes son pesimistas.
c) Todos los estudiantes son optimistas.
d) No todos los jóvenes son pesimistas.
e) Manuel no es joven.
5.
Si N (Re ) = 0 , entonces es VERDAD que:
a)
b)
c)
d)
e)
6.
∀x[ p ( x) ∧ q ( x)] ≡ (∀xp( x) ) ∧ (∀xq( x) )
¬∃xp( x) ≡ ¬∀xp( x)
∃x[ p ( x) ∨ q ( x)] ≡ (∃xp( x) ) ∧ (∃xq( x) )
¬( Ap( x) = Re ) para cualquier predicado p (x)
Re ≠ Φ
Sea el conjunto Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y los predicados
p ( x) : x es un número impar .
q ( x) : x es múltiplo de 2 .
Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
c)
A( p ( x) ∧ q ( x) ) = {3,5}
A( p( x) ∧ ¬q ( x) ) = {4,6,8,9,10}
A( p ( x) → q ( x) ) = {1,2,4,6,8,9,10}
d)
A C p ( x) − Aq( x) = φ
e)
A C q ( x) = Re
a)
b)
7.
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) Si Re = φ , entonces ∃xp( x) → ∀xp( x) ≡ 1
b)
c)
d)
e)
8.
[
]
¬[∀x( p ( x) ∨ q ( x) )] ≡ ∃x( p ( x) ∧ q ( x) )
Si Re = {a} y p ( a ) ≡ 1 , entonces [∃xp( x) ≡ ∀xp( x)]
∃x¬( p( x) ∧ q( x) ) ≡ ∃x( p ( x) → ¬q ( x) )
∀xp( x) ≡ ( Ap( x) = Re )
Dadas las siguientes hipótesis:
H 1 : Todos los bancos nacionales están en quiebra.
H 2 : Ningún banco internacional está en quiebra.
H 3 : Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos internacionales.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir para un razonamiento válido es:
a) Ningún banco nacional está en quiebra.
b) Ningún negocio está en quiebra.
c) Todos los negocios están en quiebra.
d) Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos nacionales.
e) Algunos negocios no tienen su dinero depositado en bancos nacionales.
9.
Sean las hipótesis:
H 1 : Ningún futbolista juega bien.
H 2 : Algunos profesionales son futbolistas.
H 3 : Algunos que juegan bien son profesionales.
H 4 : Robert es profesional.
Entonces una conclusión que hace VÁLIDO un razonamiento es:
a) Robert juega bien.
b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas.
64
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
c)
d)
e)
Algunos que juegan bien son futbolistas.
Robert no es futbolista.
Todos los que no son futbolistas ni juegan bien ni son profesionales.
10. La NEGACIÓN de la proposición:
∀x ∈ N , ∃y ∈ N (si “ x + y ” es par entonces “
x ” es par o “ y ” es impar)
es:
a) ∀x ∉ N , ∃y ∈ N (si “ x + y ” no es par entonces “
x ” no es par
o “
y ” es impar)
b)
∀x ∈ N , ∃y ∈ N (si “ x + y ” no es par entonces “ x ” no es par y “ y ” es impar)
c)
∃x ∈ N , ∀y ∈ N (“ x + y ” no es par o “ x ” no es par o “ y ” es impar)
d)
∃x ∈ N , ∀y ∈ N (si “ x ” no es par y “ y ” no es impar entonces “ x + y ” no es par)
∃x ∈ N , ∀y ∈ N ( “ x + y ” es par y “ x ” no es par y “ y ” no es impar)
e)
11. Sean el conjunto Re = {2,4,5,7,8,9,10,11} y los predicados:
p (x ) : x es un número primo.
q (x ) : x es un número impar.
Entonces, es FALSO que:
a) A¬p (x ) = {4,8,9,10}
b)
c)
d)
e)
A[ p(x ) ∧ q(x )] = {5,7,11}
A[ p(x ) ⇒ q(x )] = {4,5,7,8,9,10,11}
A[ p(x ) ∨ q (x )] = {2,5,7,9,11}
A[q(x ) ⇒ p (x )] = {2,4,5,7,8}
12. Una de las siguientes expresiones es FALSA, identifíquela:
a) La negación de ∃x ∀y p ( x, y ) es ∀x ∃y ¬p ( x, y ) .
b)
c)
d)
e)
∀x p( x) = ∃ p ( x) cuando Re = {a} ∧ p (a ) ≡ 1 .
¬[∃x ∃y ∀z p ( x, y, z )] = ∀x ∀y ∃z ¬p ( x, y, z ) .
¬[∃y ∃x ( p ( x) ∧ q ( y ) )] = ∀y ∀x (¬p ( x) ∧ ¬q ( y ) ) .
¬[∃x ∃y ( p ( x, y ) ⇒ q ( x, y ) )] = ∀x ∀y ( p ( x, y ) ∧ ¬q ( x, y ) )
13. Dadas las siguientes premisas:
P1 : Todos los analistas son economistas.
P2 : Todos los economistas son profesionales.
Entonces, una CONCLUSIÓN lógicamente inferida de las premisas es:
a) Algunos analistas no son profesionales.
b) Todos los profesionales son analistas.
c) Todos los analistas son profesionales.
d) Ningún analista es profesional.
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infiere de las premisas dadas.
14. Considere las siguientes premisas para un razonamiento:
H 1 : Todos los que estudian Lógica, estudian Matemáticas.
H 2 : Nadie que estudie Matemáticas es irracional.
H 3 : Juan es matemático.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) Juan es irracional
b) Todo el que estudia Lógica es irracional.
c) Algunos lógicos son irracionales.
d) Juan no es irracional.
e) Todo matemático es irracional.
15. Sea Re = {1,2,3,4, } y los predicados
p ( x) : x es un número impar
q ( x) : x es un número par
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) A( p (x ) → q (x )) ⊆ Aq (x )
b) Ap( x) = A C q ( x)
a) Aq ( x) − Ap ( x) = φ
c)
65
Moisés Villena Muñoz
Lógica y Conjuntos
d) Re = Ap ( x) ∪ Aq ( x)
e) A( p (x ) → q (x )) = AC p (x)
16. Dadas las siguientes hipótesis:
H 1 : Todo profesional tiene título.
H 2 : Ningún irresponsable tiene título.
H 3 : Algunos profesores tienen título.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es:
a) Ningún profesional es profesor.
b) Ningún profesor tiene título.
c) Existen profesores que son irresponsables.
d) Ningún irresponsable es profesional.
e) Elija esta opción si las todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.
17. Indique la alternativa incorrecta:
a)
b)
La Negación de ∀x ∈ Re; ( x + 3 = 10)
La Negación de ∃x ∈ Re; ( x + 3 < 10)
es
es
c)
La Negación de ∀x ∈ Re; ( x + 3 ≤ 10)
es
d)
La Negación de
e)
La Negación de ∀xp( x) ∧ ∃yq( y)
∀x ∈ Re; ( x + 3 < 10)
∃x ∈ Re; ( x + 3 ≠ 10)
∀x ∈ Re; ( x + 3 ≥ 10)
∃x ∈ Re; ( x + 3 > 10)
es
∃x ∈ Re; ( x + 3 ≥ 10)
es
∃xp( x) ∨ ∀y¬q( y)
66
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
PARES ORDENADOS
PRODUCTO CARTESIANO
REPRESENTACIÓN
RELACIONES
FUNCIONES
Uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas es el de FUNCIÓN. Los cursos
de Matemáticas Universitarias requieren como base que, el estudiante tenga nociones de las
definiciones, propiedades y operaciones que giran en torno al concepto de función.
66
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina conjuntos ordenados de dos, tres, cuatro y más componentes ( n componentes).
• Obtenga producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Represente en diagramas de flechas el producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Defina relaciones, funciones, dominio e imagen.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para distinguir las funciones de las relaciones y para obtener dominios e imágenes.
• Encuentre relaciones entre elementos de dos conjuntos y determine la regla de correspondencia de ser posible.
• Defina funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para clasificar las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Construya con conjuntos finitos funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función inversa de una función dada.
• Infiera condiciones para la existencia de la función inversa.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función compuesta de una, dos, tres, etc. funciones.
• Infiera condiciones para la existencia de la función compuesta.
4.1 PARES ORDENADOS
Un PAR ORDENADO es un conjunto de dos
elementos, llamados
COMPONENTES,
en donde
importa el orden de dichas componentes. Es
decir (x, y ) donde
x ≡ primera componente
y ≡ segunda componente
También existen:
 Conjuntos ordenados de 3 componentes (TERNAS ORDENADAS): ( x, y, z ) .
 Conjuntos ordenados de 4 componentes: ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) .
 En general, conjuntos ordenados de “n” componentes: ( x1 , x 2 , x3 ,..., x n ) .
4.2 PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces
el producto cartesiano A con B , denotado por
A × B , se define como:
A × B = {( x, y ) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su primera
componente la tomamos del conjunto A y la segunda componente la
tomamos del conjunto B .
Ejemplo
Sean los conjuntos A = {1,∗, ?} y B = {a,⊗}, entonces
67
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
A × B = {(1, a ), (1,⊗ ), (∗, a ), (∗,⊗ ), (?, a ), (?,⊗ )}
N ( A × B ) = N ( A)N (B )
Note que
El producto cartesiano de B con A sería:
B × A = {(x, y ) / x ∈ B ∧ y ∈ A}
Ejemplo
Para los conjuntos anteriores A = {1,∗, ?} y B = {a,⊗} tenemos:
B × A = {(a,1), (a,∗), (a, ?), (⊗,1), (⊗,∗), (⊗, ?)}
PREGUNTA: ¿CÓMO Y CÚALES SERÍAN A × A
Y
B×B?
La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es:
A × B × C = {( x, y, z ) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C}
Ejemplo
Sean los conjuntos A = {1,∗, ?} y B = {a,⊗}, y C = {∇, ¡} entonces:
(1, a, ∇ ), (1, a, ¡), (1,⊗, ∇ ), (1,⊗, ¡), (∗, a, ∇ ), (∗, a, ¡), (∗,⊗, ∇ ), (∗,⊗, ¡),
A× B × C = 

(?, a, ∇ ), (?, a, ¡), (?,⊗, ∇ ), (?,⊗, ¡)

Note que: N ( A × B × C ) = N ( A)N (B )N (C )
También se pueden obtener: A × A × B , A × C × B , ... ¿ENCUÉNTRELOS?
4.3 REPRESENTACIÓN
A los pares ordenados se los suele representar gráficamente es
un sistema bidimensional, lo cual trataremos con mayor
profundidad más adelante.
Ejercicios Propuestos 4.1
1.
Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.
a) {1}∈ {1,2,3}
b) 1 ⊂ {1} c) {1} ⊂ {2,3}
d) {(2,3)} ⊆ {1,3}× {2,3}
e) (3,4 ) ∈ {2,3}× {1,3,4}
2.
Dados los conjuntos A = {1,2}, B = {x, y , z}, C = {3,4} , entonces es VERDAD que:
a)
El producto cartesiano A × B × C tiene 7 elementos.
68
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
b)
c)
El producto cartesiano A × B × C contiene 17 elementos.
El producto cartesiano A × B × C contiene una terna (1,1,3) .
d)
e)
El producto cartesiano A × B × C posee 12 elementos.
El producto cartesiano A × B × C es imposible realizarlo.
4.4 RELACIONES
Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a
todos los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro
conjunto. Nace el concepto de relación o asociación.
Podemos también relacionar sólo ciertos elementos de un conjunto
con algunos elementos de otro conjunto. Es decir vamos a considerar los
subconjuntos de A × B .
Entonces formalmente podríamos definir a una relación de la
siguiente manera:
Sean A y B
dos conjuntos. Una RELACIÓN
r de A en B , denotada por r : A  B , es una
asociación de elementos (no necesariamente
todos) de un conjunto A con elementos de un
conjunto B . Es decir, tenemos que
r ⊆ A× B .
Note que no necesariamente B ≠ A , es decir que podrán existir:
 Relaciones de A en A ( r : A  A ) donde r ⊆ A × A .
 Relaciones de B en A ( r : B  A ) donde r ⊆ B × A .
 Relaciones de B en B ( r : B  B ) donde r ⊆ B × B .
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Suponga que con los conjuntos A = {1,∗, ?} y B = {a,⊗} formamos la relación
r1 = {(1, a ), (∗, a ), (∗,⊗)}, la cual la podemos representar en un diagrama de flechas de la
siguiente manera:
OBSERVE QUE:
1.
2.
r1 : A  B
r1 ⊆ A × B
69
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejemplo 2
Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos otra relación r2 : A  B
tal que, r2 = {(1, a ), (1,⊗)(∗, a ), (?, a )} . Que representada en un diagrama de flechas,
tendríamos:
En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones.
Una regla para el número total de relaciones de A en B , que se
pueden construir, es:
CANTIDAD DE
RELACIONES DE A  B
= 2 N ( A×B ) = 2 N ( A) N ( B )
Es decir, todos los subconjuntos de A × B , serían una relación.
Para el caso anterior tendríamos 2 3×2 = 2 6 = 64 relaciones en total. No
olvide de considerar la relación vacía r = Φ y la relación r = A × B
4.4.1 DOMINIO DE UNA RELACIÓN
70
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Sea r : A  B una relación. El DOMINIO de
Dom r , es el conjunto
r , denotado por
constituido por los elementos del conjunto
A que estén considerados en la relación. Es
decir:
Dom r = {x ∈ A / x r y , para algún y ∈ B}
Entonces Dom r ⊆ A .
Algunos autores le llaman CONJUNTO DE PARTIDA. En un diagrama de
flechas sería cuestión de determinar a cuales elementos les salen las
flechas.
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
1.
2.
Dom r1 = {1,∗} ⊂ A
Dom r2 = {1,∗, ?} = A
4.4.2 RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea
r : A  B una relación. El
RANGO de r ,
denotado por rg r , es el conjunto constituido
por los elementos del conjunto B que están
relacionados con los elementos de su dominio.
rg r = {y ∈ B / x r y , para ∀x ∈ Domr}
Es decir:
Entonces rg r ⊆ B .
Es llamado también CONJUNTO DE LLEGADA. En un diagrama de
flechas sería cuestión de determinar los elementos a los cuales les están
llegando flechas.
Ejemplo 1
Para los casos anteriores, tenemos:
1. rg r1 = {a,⊗} = B
2.
rg r2 = {a,⊗} = B
71
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejemplo 2
Suponga ahora que tenemos la relación r : B  A , tal que, r = {(a,1), (a ∗)}.
Realizando su diagrama de flechas tenemos:
El diagrama de flechas nos permite establecer
rápidamente por inspección su dominio y su rango.
1.
Dom r = {a} ⊂ B
rg r = {1,∗} ⊂ A
2.
Note además que: r ⊂ B × A
Ejercicio propuesto 4.2
1.
Sean los conjuntos A = {2,3,4,5,6} y B = {0,2,3,4,5} y sea R una relación de A en B definida por
R = {(a, b ) / b = a − 1 donde a ∈ A} . Entonces el número de pares ordenados que pertenecen a la relación
R es:
a) 4
b) 3
c) 0
d) 5
e) 2
4.5 FUNCIONES
El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado
frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más
importantes de las Matemáticas
4.5.1 DEFINICIÓN
Una relación de A en B , es una FUNCIÓN sí
y sólo sí, cumple las dos condiciones siguientes:
1.
Dom r = A
2. Existe una
CORRESPONDENCIA ÚNICA.
a un elemento del conjunto
A
Es decir,
no le debe
corresponder dos o más elementos del
conjunto
B.
corresponder,
Sólo
no
uno
debe
le
existir
debe
esta
72
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
ambigüedad
de
correspondencia.
Simbólicamente
sería:
[(x r y1 ∧ x r y 2 ) ⇒ y1 = y 2 ] .
4.5.2 NOTACIÓN
Lo más usual para denotar a una función es la letra “ f ”. Aunque se
pueden emplear las letras “ g ”, “ h ”, y otras.
Ejemplo 1
Sean los conjuntos
f = {(1, a ), (⊗,0, (?,!))} .
A = {1,⊗, ?}
y
B = {a,∗,0, !}
y sea
f :A B
tal que,
Realizando el diagrama de flechas, observamos que:
De acuerdo a las definiciones,
f
es una función.
Ejemplo 2
Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como g : A → B
tal que g = {(1, a ), (⊗, a ), (?,!)} , cuyo diagrama de flechas sería:
Observamos que:
1.
Dom g = A ; y,
2.
Existe correspondencia única. De todos y cada uno
de los elementos del conjunto A le sale sólo una
flecha.
Por tanto g también es función.
NOTA: No importa que a algún elemento de B le llegue
más de una flecha.
Ejercicio Resuelto
Dados los conjuntos A = {2,4,6,8} y B = {1,3,5,7,9,11,13}. Identifique ¿cuál de las
siguientes relaciones de A en B es una función de A en B :
c) R3 = {( x, y ) ∈ A × B / x = 2}
a) R1 = {( x, y ) ∈ A × B / y > x}
d) R4 = {( x, y ) ∈ A × B / y = 3}
b) R2 = {( x, y ) ∈ A × B / y = 2 x − 1}
73
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
e) Ninguna de las anteriores relaciones es una función.
SOLUCIÓN: Interpretemos cada opción con su respectivo diagrama de flechas.
a)
R1 = {(x, y ) ∈ A × B / x < y}
= {(2,3), (2,5), (2,7),, (4,7),(8,13)}
b)
No es Función
No es Función
c)
R2 = {(x, y ) ∈ A × B / y = 2 x − 1}
= {(2,3), (4,7 ), (6,11)}
R3 = {(x, y ) ∈ A × B / x = 2}
= {(2,1), (2,3), (2,5), (2,7 ), (2,9), (2.11), (2,13)}
d)
R4 = {(x, y ) ∈ A × B / y = 3}
= {(2,3), (4,3), (6,3), (8,3)}
Si es FUNCIÓN, por tanto esta es la
RESPUESTA
No es Función
Ejercicios propuestos 4 .3
1.
Sean los conjuntos A = {2,4,6,8} y B = {3,5,7,9,11,13} . Una de las siguientes relaciones determina una
función. Identifíquela:
a) r1 = {(b, a ) ∈ B × A / b = 2}
b) r2 = {(b, a ) ∈ B × A / a > b}
c)
r3 = {(b, a ) ∈ B × A / a = 2b − 1}
d) r4 = {( a, b) ∈ A × B / b = 7}
e) r5 = {(b, a ) ∈ B × A / a = 8}
2.
Sean los conjuntos A = {1,2,3,4,5,6,7} y B = {∆, Π ,*, @, ?} . Si r1 , r2 y r3 son relaciones de A en
B , tales que:
r1 = {(5, ∆ ), (6, Π ), (7,*)}, r2 = {(1, @ ), (2,*), (3, Π ), (4, ∆ )}, r3 = {(4, ∆ ), (3, Π )}
3.
Entonces es VERDAD que:
a) r1 − r2 es una función.
b) r1 ∪ r2 es una función.
c) r1 ∪ r2 = r1
d) r2 − r3 = r2
e) (r1 ∪ r2 ) − r3 es una función.
Sean los conjuntos A = {−3,−2,−1,0,1,2,3} y B = {0,1,2,3,4} . Si r1 , r2 y r3 relaciones de A en
B , tales que:
r3 = {(0,0), (−1,1)}
r1 = {( x, y ) / y = x + 1}
Entonces es VERDAD que:
a) r1 ∪ r2 es una función
c) (r1 ∪ r2 ) − r3 es función
r2 = {( x, y ) / x + y = 0}
b) r1 − r2 es una función
d) r1 ∪ r3 = r1
74
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
e) r2 − r3 = r2
4.
Si se tiene la siguiente tabla de datos:
Edad en
años
12
11
16
14
11
17
Alumnos
Karla
Washington
Consuelo
Edison
Fernando
Margarita
y se definen los conjuntos:
X = {x / x es una alumna y está en la tabla anterior
Y = {y / y es un alumno y está en la tabla anterior
}
}
Diga ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?:
a) r1 = {( x, y ) / x es de mayor edad que y}
b)
c)
d)
r2 = {( x, y ) / x es igual en edad que y}
r3 = {( x, y ) / x es de menor o igual edad que y}
r4 = {( x, y ) / x es de mayor o igual edad que y}
e) Elija esta opción si niinguna de las relaciones anteriores representa una función.
75
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
4.5.3 TIPOS DE FUNCIONES
4.5.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA
Sea
f :A B
una función. Entonces
INYECTIVA si y sólo si
cumple
que
f
es
∀x1 ∈ A ∧ ∀x 2 ∈ A
se
donde
x1 ≠ x2 ⇒ y1 ≠ y 2
y1 = f ( x1 ) ∧ y 2 = f ( x 2 ) .
Es decir son funciones con correspondencia de
UNO A UNO.
Ejemplo
Sean los conjuntos A = {1, Π, ?} y B = {a,∗,⊗, !} y sea f : A  B una función tal que:
f = {(1, a ), (Π ,⊗ ), (?,∗)} . Entonces su diagrama de flechas sería:
Como a los elementos del rango de f les llega
una y sólo una flecha, entonces existe
correspondencia uno a uno. Por lo tanto esta
función es INYECTIVA..
NOTE QUE: para construir funciones inyectivas se
tiene que cumplir: N ( A) ≤ N (B ) . ¿POR QUÉ?
4.5.3.2
Sea
FUNCIÓN SOBREYECTIVA
f :A B
una función. Entonces
f
es
SOBREYECTIVA si y sólo si se cumple que
rg f = B .
Ejemplo
Sean los conjuntos A = {1, Π, ?} y B = {a,∗} y sea f : A  B una función tal que:
f = {(1, a ), (Π , a ), (?,∗)} . Entonces su diagrama de flechas es:
Esta
función
rg f = B .
NOTE QUE:
sobreyectivas
es
SOBREYECTIVA
porque
para construir funciones
se tiene que cumplir:
N ( A ) ≥ N (B )
¿POR QUÉ?
76
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es BIYECTIVA, si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1, Π, ?} y B = {a,∗,⊗} y sea f : A  B una función tal que:
f = {(1, a ), (Π ,∗), (?,⊗)} . Entonces su diagrama de flechas es:
Observe que:
1.
Existe correspondencia uno a uno.
2.
rg f = B
Por tanto esta función es BIYECTIVA.
NOTE QUE: para construir funciones biyectivas se
tiene que cumplir: N A = N B ¿POR QUÉ?
( )
Finalmente, podríamos representar
diagrama de Venn de la siguiente manera:
esta
( )
clasificación
en
un
4.5.4 FUNCIÓN INVERSA
77
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Sea
f :A B
una
función.
Entonces
la
INVERSA de f , denotada como f −1 , si existe,
es de B en A . Es decir f −1 : B  A
Teorema
f
−1
existe, sí y sólo sí f es biyectiva.
Ejemplo
Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos:
f:
f
A→B
−1
:B→ A
⇒
f −1 = {(a,1); (∗, Π ); (⊗, ?)}
Note que:
Dom f
rg f
−1
−1
= rg f
= Dom f
Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino de
regreso.
4.5.5 FUNCIÓN COMPUESTA (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)
Se pueden construir funciones a partir de otras funciones.
Ejemplo 1
Sean las funciones f : A  B y g : B ∗  C cuyos diagramas de flechas son:
78
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto C , empleando
las correspondencias de las funciones f y g . Entonces obtendríamos:
La operación que hemos realizado se llama COMPOSICIÓN DE FUNCIONES y se obtuvo una nueva función, la función
compuesta g  f , debido a que:
a = f (1)
⊗ = f ( ◊)
∗ = f (?)
1
◊
?
@ = g (a ) = g ( f (1) )
∆ = g (⊗) = g ( f ( ◊) )
@ = g (∗) = g ( f (?))
g  f ( x) = g( f ( x))
NOTE QUE:
COMPOSICIÓN
2.
(g  f ) : A  C
(g  f )( x) = g ( f ( x) )
3.
Dom g  f = Dom f
1.
4.
rg f ⊆ Dom g , en este ejemplo tenemos {a,∗,⊗} ⊂ {a,∗,⊗, Π , b} . ¿QUÉ
PASARÍA SI ÉSTO NO
OCURRIERA?
EN OCASIONES también se puede encontrar la función compuesta
f g
( f  g )( x ) = f ( g ( x ) )
Aquí en cambio se cumple que:
1. ( f  g )( x) = f (g ( x) )
2. Dom ( f  g ) = Dom g
3. rg g ⊆ Dom f . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA?
79
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejemplo 2
Suponga que f y g son funciones, tales que:
Obteniendo la función compuesta f  g , tenemos:
NOTE QUE:
1.
2.
3.
f  g : B∗  B
4 = f (g (a ) ) = f (g (∗) )
5 = f (g (⊗) ) = f (g ( ) ) = f (g (b) )
Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUNCIÓN
BIYECTIVA CON SU INVERSA.
Ejemplo 3
Suponga que f y f −1 son funciones, tales que, sus diagramas de flechas son:
Entonces f  f −1 es:
f f
−1
= {(a, a ), (∗,∗), (⊗,⊗)} , ésta es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN B :
ff
−1
= IB
80
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejemplo 4
Ahora hallemos f −1  f , para el mismo ejemplo anterior:
Entonces:
f
−1
 f = {(1,1), (◊, ◊), (?, ?)} , esta en cambio es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN A :
f
−1
 f = IA
También hay momentos en que se puede realizar la COMPOSICIÓN
DE MÁS DE DOS FUNCIONES.
Ejemplo 5
h  ( g  f ) , la cual esquemáticamente sería:
(h  g  f )( x ) = h( g ( f ( x )))
Entonces: (h  ( g  f ) )(x ) = h( g ( f ( x)))
Analicemos ejercicios que globalice todo lo mencionado.
81
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejercicio Resuelto 1
Dados los conjuntos A = {⊕, ∆, Π, @}
B = {?,!,*} y las funciones f : B → A
g : A → B , tales que: f = {(?, ∆ ), (!, Π ), (*,⊕ )} y g : {(⊕, ?), (∆,!), (Π,*), (@,*)}
Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA
a) g  f es inyectiva.
b) g es sobreyectiva ∧ f es sobreyectiva.
c) g  f es sobreyectiva.
d) f es inyectiva ∧ g no es biyectiva .
e) f  g no es inyectiva.
SOLUCIÓN:
y
Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos:
a) Encontremos g  f
Observe que g  f es inyectiva, por
tanto esta opción es VERDADERA.
b) (RESPUESTA) Esta opción es FALSA porque g SI es sobreyectiva ∧ f
NO es sobreyectiva de
acuerdo a lo que se observa en sus diagramas de flechas respectivos.
c) Esta opción es VERDADERA, porque g  f SI es sobreyectiva.
d) Esta opción también es VERDADERA, porque f SI es inyectiva ∧ g NO es biyectiva ( g no es
inyectiva)
.
e) Encontremos f  g
Observe que
f  g no es
inyectiva. Por tanto esta opción
también es VERDADERA.
82
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejercicio Resuelto 2
Sean los conjuntos A = {2,3,4} y B = {1,2,3,4,6,8} y sean f : A → B y g : B → A
funciones tales que: f = {(a, b )∈ A × B / b = 2a} y
g = {(1,2), (2,2), (3,3), (4,3), (6,4), (8,4 )}
Entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva.
b) f es inyectiva.
d) ( f  g )(3) = 3
e) ( f  g  f )(2) = 6
c) (g  f )(3) = 4
SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos:
a)
Observamos que g SI es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
b)
Observamos que f SI es inyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
c)
Para hallar
(g  f )(3) , hagamos lo siguiente:
Empezamos con 3 . Hallamos su correspondiente en f vemos que es 6 . Luego a este
resultado le hallamos su correspondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta
opción también es VERDADERA.
d)
Hallemos
(f
 g )(3) igual que en la opción anterior.
Observe que se obtiene como resultado final 6 , más no 3 , como indica la opción. Por
tanto esta es la FALSA (RESPUESTA)
e)
Esta opción es VERDADERA, porque:
( f  g  f )(2) = 6
83
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejercicio resuelto 3
Dados los conjuntos V = {a, e, i, o, u} y C = {m, n, l , r , s, t} y las funciones:
f = {(a, m), (e, n), (i, l ), (o, r ), (u , s )} y g = {(m, a ), (n, a ), (l , e), (r , i ), ( s, o), (t , u )}
siendo f : V → C y g : C → V , una de las siguientes proposiciones es
identifíquela.:
a) ( f  g )(t ) = n
b) No es posible construir g  f
c)
d) f y g son biyectivas
f es inversa de g
e) rg ( f  g ) = {m, n, l , r , s}
SOLUCIÓN:
VERDADERA,
Primero, los diagramas de flechas respectivos serían:
Analizando cada opción, tenemos:.
a) Hallemos ( f  g )(t ) , para lo cual el siguiente diagrama ayuda
La correspondencia final para “ t ”
es “ s ” y no “ n ” como indica la
opción. Por tanto esta opción es
FALSA.
b) Hallemos g  f
Observe que, sí es posible construir
g  f . Por Tanto esta opción
también es FALSA.
c) Observe que f no es biyectiva (¿POR QUÉ?), por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna
función. Entonces esta opción también es FALSA.
d) Ni f ni g son biyectivas (¿POR QUÉ?) Por tanto esta opción también es FALSA.
e) Hallemos f  g
Observe que rg f  g = {m, n, l , r , s} Por tanto
esta opción es la VERDADERA.
84
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Ejercicio resuelto 4
Sean los conjuntos A = {x, y, z}, B = {s, t , r} , C = {1,2,3} y D = {a, b, c} . Y f : A  B
h : C  D y g : D  A funciones tales que:
g = {(a, y ), (b, x), (c, z )}
Entonces f  g  h corresponde a:
a)
b) {(1, x), (2, y ), (3, z )}
{(1, s), (2, t ), (3, t )}
d) {(1, x), (2, z ), (3, y )}
e) {(a, y ), (b, z ), (c, r )}
c) {( s,1), (t ,2), (r ,3)}
SOLUCIÓN:
Note que h = {(1, b),
(2, a ), (3, a )} . El dominio de f  g  h va a ser el dominio de h , entonces
partiendo de estos elementos (1,2,3) le determinamos la respectiva correspondencia primero en g y luego sus
resultados
le
determinamos
su
respectiva
correspondencia
f  g  h = {(1, s ), (2, t ), (3, t )}. Por tanto la opción “a” es la VERDADERA.
en
f .
Obteniendo
Ejercicios Propuestos 4.4
1.
Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) Si N ( A) ≤ N ( B ), no existe función alguna de A en B que sea inyectiva.
b)
Si N ( A) > N ( B ), no existe funciones sobreyectivas de A en B .
c)
Si f : A → B es una función inyectiva, entonces N ( A) > N ( B ).
d)
Si N ( A) y N (B ) son finitos y N ( A) = N ( B ), existen más funciones inyecitvas que funciones
sobreyectivas.
Si A ⊂ B y N ( A) = 1 y N ( B ) = 2 , existen más funciones de A en B que funciones de B
e)
en A .
2.
Dados los conjuntos: A = {Ω, ∆, Π , Ο} , B = {?,*,+} , C = {1,2,3,4,5} y las relaciones r1, r2 , r3 , r4 y
r5 definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?
a)
b)
c)
d)
r1 = {(Ω,1), (∆,2 ), (Π ,4 ), (Ο,5)} ; Rg r1 = C .
r2 = {(1,*), (3,+ ), (4, ?)} ; Dom r2 = C .
r3 = {(Ω, ?), (∆,*), (Π ,*), (Ο,+ )} es una función biyectiva.
Si r4 = {(Ω,1), (∆,2 ), (Π ,3), (Ο,5)} y r5 = {(1, ?), (2,*), (3,*), (4,*), (5,+ )} entonces r5  r4 es
una función inyectiva.
e) Si r6 = {(1, Ω ), (2, ∆ ), (3, Π ), (4, Ο )(5, Π )} y r7 = {(Ω, ?), (∆,*), (Π ,*), (Ο,+ )}
r7  r6 es función sobreyectiva.
3.
Dado los conjuntos:
entonces
A = {p, q, r , s} y B = {m, n, o, p} y las funciones A en B .
y
f = {( p, m), (q, p ), ( r , m), ( s, n)}
g = {( p, p ), (q, m), (r , n), ( s, o)}
entonces es CIERTO que:
85
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
a) f ∪ g es una función inyectiva.
b) g es sobreyectiva pero no inyectiva.
c) f es inyectiva pero no sobreyectiva.
d) g es una función biyectiva.
e) f es una función biyectiva.
4.
Sea el conjunto A = {Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan} y f una función tal que f : A → A con la siguiente
definición: f (Elena) = Hessel, f (Hessel) = Elsi, f (Elsi) = Angel,
f (Angel) = Elena, f (Juan) = Elena
entonces, será verdad que:
b) ( f  f ) (Juan) = Hessel
c) f es sobreyectiva
a) f  f es inyectiva
d)
rg f = dom f  f
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
5.
Considere los conjuntos A = {β,b,*, ?}
y B = {a,α,*,!} .
c) f  g = {(β, a ), (b, α), (∗, a ), (?, ρ)}
y
g : B → A dos
d) f  g = {(α, β), ( a, ?), (∗, β), (!, ?)}
e) f  g = {(α, a ), ( a, ?), (∗, a ), (!, ?)}
6.
Sea f : A → B
funciones tales que: f = {(β, a ), (b, α), (∗, a ), (?,∗)} y g = {(α, β), ( a, ?), (∗, β), (!, ?)} . Entonces es
VERDAD que:
a) f  g = {(β, ?), (b, β), (∗, ?), (?, β)}
b) f  g = {(α, a ), ( a,∗), (∗, a ), (!,∗)}
Sea V = {a, e, i, o, u} y se define una función f : V → V por: f ( a ) = u ;
f (e) = i ;
f (i ) = a ;
f (o) = o y f (u ) = i .
El rango de f  f es:
a) {a, e, i, o, u}
b) {a, i, o, u}
7.
c) {a, o, u}
d) {a, i, o}
e) {a, e, i, u}
Las gráficas:
D
g
3
2
1
a
b
representan las funciones f : A → B y g : C → D donde C = {a, b, c}
Determine ¿cuál de las siguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar?
a) f  g
8.
9.
b) g  f
c) f −1  f
d) g  g −1
C
c
y
D = {1,2,3} .
e) f −1  g −1
Dadas las funciones:
Entonces es VERDAD que:
a)
f y g son sobreyectivas
b)
d)
e) El rango de g  f es igual al rango de f .
El rango de f  g es igual a B .
f  g es inyectiva
c) g  f es biyectiva
Si f es una función de A en B y g es una función de B en C , entonces es VERDAD que:
a)
Dom g  f = Dom g
86
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
b)
Si f es inyectiva, entonces g  f también lo es.
c)
Si f y g son sobreyectivas, entonces g  f también lo es.
d)
Si g  f es sobreyectiva entonces f también lo es.
e)
Rg ( g  f ) = Rg ( f )
10. Sean los conjuntos A = {?,$,1,*}
y B = {1,2,3,*} , y sea f : A → B
y g : B → A dos funciones
tales que: i f = {(?,1), ($,∗), (1,∗), (∗,1)} y g = {(1, ?), ( 2,$), (∗,1), (3,∗)} . Determine ¿cuál de las
siguientes proposiciones es FALSA?
a) g es una función inyectiva pero f no lo es.
El dominio de g  f es {?,$,1,∗} .
b)
El rango de f  g es {1,∗} .
c)
d)
(1,1) ∈ ( f  g )
e)
El rango de g  f es igual al rango de g .
11. Sean las funciones g = {(1,2), ( 2,3), (3,4), ( 4,5)} y h = {( 2,3), (3,4), ( 4,5), (5,6), (6,7)}
Entonces el valor de ( h  g )(1) es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12. Dado el conjunto A = {Tania, Hilda, Mario, María, Julio} y las funciones:
f :A→ A y
g : A → A , definidas por:
f (Tania ) = María; f (Hilda ) = Julio; f (María ) = María; f (Mario ) = Tania;
f (Julio ) = Hilda.
g (Tania ) = Mario; g (Hilda ) = Tania; g (María ) = Tania; g (Mario ) = Hilda;
Entonces
g (Julio ) = María
una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( f  g ) (Mario ) = Julio
b) g es inyectiva ∨ f es sobreyectiva
13. Dado el conjunto A = {1,2,3,4,5} y las funciones f : A → A y g :
f (1) = 3; f (2) = 5; f (3) = 3; f (4) = 1; f (5) = 2
g (1) = 4; g (2) = 1; g (3) = 1; g (4 ) = 2; g (5) = 3
¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) ( f  g )(2 ) = 3
b) (g  f )(5) = 1
d)
( f  g )(1) = 3 ó ( f  g )(3) = 3
e) (g  f
d) (g  f )(Hilda ) = María
c) f es inyectiva ∨ f es función.
A → A , tales que:
c) f es inyectiva ó g es inyectiva.
(g  f )(4) = 5
e)
) (Tania ) = Tania
∨
( f  g )(1) = 2
∨
(g  f )(1) = 1
14. Dado el conjunto A = {a, b, c, d } y las funciones biyectivas f : A → A y g : A → A , donde
f = {(a, d ), (b, c), (c, b), ( d , a)}
y
entonces la FUNCIÓN g es:
b) g = {(a, d ), (b, c ), (c, d ), (d , a )}
a) g = {(a, a ), (b, b ), (c, c ), (d , d )}
c) g = {(a, b ), (b, c ), (c, d ), (d , a )}
d) g = {(a, c ), (b, d ), (c, a ), (d , b )}
e) g = {(a, a ), (b, d ), (c, c ), (d , b )}
15. Sean A y B conjuntos no vacíos, tal que:
g : B → A dos funciones, tales que:
entonces, es FALSO que:
a) g = {(Σ, β ), (Ω, γ ), (Ψ , α )}
c)
f g
sí existe.
g  f = {(a, d ), (b, c ), (c, b ), (d , a )}
A = {α, β, γ} y B = {Σ, Ω, Ψ} y f : A → B
f = {(α, Ω ), (β, Ψ ), (γ, Σ )}
g (Σ ) = β, g −1 (γ ) = Ω,
b)
f
y
d) (g  f )(α ) = γ
y
(g  f )(β) = α
g son funciones biyectivas.
e) g −1 (α ) = Ω
87
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
Miscelaneos
1.
Sea el conjunto A = {1,2,3,4,5} y las funciones f y g de A en A tales que
f = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5)} y g = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} . Entonces es FALSO que:
( f  g) = g
b) rg ( f  g ) = {5}
c) ( f  g ) = f
d) ( f  g ) = (g  f )
e) rg (g  f ) = {5}
a)
2.
3.
Se tiene el conjunto A = {a, e, i, o, u} y la función f definida de A en A , tal que
f = {(a, e ), (e, a ), (i, o ), (o, i ), (u , u )} , entonces es FALSO que:
a) ( f  f )  f es inyectiva.
b) ( f  f ) es la función identidad.
c) ( f  f )  f ≠ f
d)
f es inyectiva.
e)
f es sobreyectiva.
Sean los conjuntos A = {n / n ∈ IN ∧ n ≤ 8} , B = {n / n ∈ IN ∧ n ≤ 4} y sea f una función de A en
B ; entonces es FALSO que:
f no puede ser sobreyectiva.
b)
f no puede ser biyectiva.
c)
f no puede ser inyectiva.
d)
f no tiene inversa.
a)
e)
4.
Sean A y B dos conjuntos tales que: A = {a, b, c, d } y B = {e, f } , entonces es VERDAD que:
a)
b)
c)
d)
e)
5.
Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son verdaderas.
(b, d ) ∈ A × B
(a, a ) ∈ B × A
(c, c ) ∈ A × B
(a, e ) ∈ A × B
(a, e ) ∈ B × A
Sean los conjuntos A = {1,2,3,4} y B = {a, b, c} y las relaciones R1 : A  B y R2 : A  B tales
que
R1 = {(1, a ), (3, a ), (2, c ), (3, c ), (4, b )} y
VERDAD que:
a)
b)
6.
R1 y
R2
R2 = {(4, c ), (2, c ), (1, a ), (3, a )} . Entonces es
son funciones.
N (R1 ∩ R2 ) = 3
c)
(R1 − R2 ) es una función
d)
Si Re = A × B entonces R2 ∩ R1
e)
R1 ∪ R2 = A × B
C
⊂ R2
Sean los conjuntos A = {∆, Ω, Π , Θ,} y B = {∑, ◊, ∞} y las funciones f : B  A y g : A  B
tales que f = {(∑, Ω ), (◊, Π ), (∞, ∆ )}
y
g = {(∆, ∑ ), (Π , ∞ ), (Ω, ◊ ), (Θ, ∞ )}
g  f es:
= {(◊, ∑ ), (∞, ◊ ), (∑, ∞ )}
= {(∆, Ω ), (Π , ∆ ), (Ω, Π ), (Θ, ∆ )}
= {(∑, ◊ ), (◊, ∞ ), (∞, ∑ )}
= {(Ω, ∆ ), (∆, Π ), (Π , Ω ), (∆, Θ )}
Entonces la FUNCIÓN
a)
b)
c)
d)
e)
g
g
g
g
f
f
f
f
No es posible construir g  f
88
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
7.
Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {a, b, c, d } y las funciones f : A  B y g : B  A tales que
f (1) = a , f (2) = b , f (3) = c
g (a ) = 2 , g (b) = 2 , g (c) = 2 y g (d ) = 3
Entonces es FALSO que:
a) f es inyectiva o g es sobreyectiva.
b) rg f ⊆ B
c)
d)
e)
8.
rg g ⊆ A
f  g es biyectiva
Sean A, B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a)
b)
c)
9.
Si g es sobreyectiva entonces f es inyectiva.
Si N ( A) = 3 , N (B ) = 2 y N (C ) = 3 , entonces N ( A × B × C ) = 218
Si N ( A) = 3 y N (B ) = 2 , entonces N (P ( A × B ) ) = 32
Si N ( A) = 3 , entonces N (P ( A) ) = 4
d)
Si N ( A) = 2 , entonces N (P ( A) ) = 8
e)
Si N ( A) = 3 , N (B ) = 3 y N (C ) = 2 entonces N (P( A × B × C )) = 218
b)
( f  g )(m ) = m
( f  g  g )(n ) = m
Sean los conjuntos A = {a, e, i, o, u} y B = {m, n, l , r} y las funciones f : A → B y g : B → A
tales que
f = {(a, m ), (e, n ), (i, l ), (o, r ), (u , m )} y g = {(m, a ), (n, a ), (l , e ), (r , i )}
Entonces es FALSO que:
a) Si es posible construir f  g .
c)
d)
e)
f y g no tienen inversa.
f no es una función inyectiva.
10. Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {2,4,6} . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de A → B
es una FUNCIÓN?
a) r1 = {( x, y ) ∈ A × B / y = x}
b)
r2 = {( x, y ) ∈ A × B / 2 x − y = 0}
c)
r3 = {( x, y ) ∈ A × B / y > x}
d)
r4 = ( x, y ) ∈ A × B / y 2 = − x 2 + 1
e)
{
r5 = {( x, y ) ∈ A × B / y = 3 x}
}
11. Dados los conjuntos A = {3,6,9,12} y B = {1,2,3,4,5,6} . Indique ¿cuál de las siguientes relaciones de A
en B es una FUNCIÓN de A en B ?
a)
b)
c)
d)
e)
{
r5 = ( x, y ) ∈ A × B / y = x 2
r2 = {( x, y ) ∈ A × B / y > x}
}
r3 = {( x, y ) ∈ A × B / x = 9}
2x 

r4 = ( x, y ) ∈ A × B / y =

3

r1 = {( x, y ) ∈ A × B / y = 3}
12. Sean los conjuntos A = {1,2,3,4} , B = {a, b, c, d } y C = {1,2,3} , las funciones f : A → B
g : B → C tales que
f = {(1, b ), (2, c ), (3, a ), (4, d )} y
y
g = {(a,1), (b,2), (c,2 ), (d ,3)}
entonces es FALSO que:
a)
( f  f )(d ) = d
−1
b)
f  g = {(a, b ), (b, c ), (c, c ), (d , a )}
c)
( f  g )−1 no existe.
Dom(g  f ) = {1,2,3,4}
d)
89
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
e)
( f  g  g )(a ) = 3
13. Dados los conjuntos A = {♥, ♠, ♦} y B = {α, β, δ, γ} y las funciones f de A en B y g de B en A, tales que:
f = {(♥, β), (♠, α), (♦, γ)}
y
g = {(α, ♥), (β,♠), (δ,♦),(γ,♦)}
Entonces es VERDAD que:
a) g no es sobreyectiva
b) f es una función biyectiva
c) g es una función biyectiva
d) f es inyectiva y g es sobreyectiva.
e) f no es sobreyectiva y g es inyectiva
14. Sean los conjuntos A = {a, b, c},
B = {1,2,3}, C = {r , s, t} y D = {x, y, z} . Y sean f: A  B, g :B 
C y h: C  D ,funciones tales que:
Entonces es VERDAD que:
D
C
a)
( f  g  h )(b ) = y
b)
No es posible construir f  g
c)
d)
e)
g  h = {(1, y), (2, x), (3, z)}
La función inversa de f  h existe
(g  f )(c ) = r
15. Si se dan los conjuntos A = {1,2}, B = {3,4}, C = {5,6,7} , entonces es VERDAD que:
a)
b)
c)
d)
e)
El producto cartesiano A × B × C contiene a la terna (1,3,4 ) .
El producto cartesiano A× C contiene a la terna (1,3,6 ) .
El producto cartesiano B × C contiene a la terna (5,4 ) .
El producto cartesiano A × B × C contiene a la terna (7,4,2 ) .
El producto cartesiano A × B × C contiene a la terna (2,4,7 ) .
16. Sean los conjuntos A ={2,3,4} y B ={1,2,3,4,5,6,8} y sean f : A → B y g : B → A funciones tales que:
f = {(a, b )∈ A × B / b = 2a}
g = {(1,2), (2,2), (3,3), (4,3), (6,4 ), (8,4 )}
entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva
b) f es inyectiva
c) (g  f )(3) = 4
d)
e)
( f  g )(3) = 3
( f  g  f )(2) = 6
17. Sean A y B conjuntos tales que: A = {1,2,3,4} y B = {a, b, c} y sean las relaciones T y S : A  B tales
que:
T = {(1, a ), (2, c ), (3, c ), (3, a ), (4, b )}
Entonces es VERDAD que:
a) T y S son funciones.
b) T ∪ S = A × B .
c) T-S es una función.
d) T es una función y S no lo es.
e) S es función y T no lo es.
y
S = {(4, c ), (2, c ), (1, a ), (3, a )}
90
Moisés Villena Muñoz
Relaciones y Funciones
18. Sean los conjuntos A = {a, e, i, o, u} y B = {m, n, r , s} y las funciones f : A → B y g : B → A
tales que:
f = {(a, m ), (e, n ), (i, r ), (o, s ), (u , s )} y g = {(m, a ), (n, e ), (r , o ), (s, i )}
Entonces es VERDAD que:
a) f y g son sobreyectivas.
b) ( f  g )(s ) = s
c)
d)
e)
(g  f )(o ) = a
( f  g ) es inyectiva.
Dom (g  f ) = B
La función
91
Moisés Villena Muñoz
Números
5
5.1 CLASIFICACIÓN
5.2 NÚMEROS REALES
• PROPIEDADES
• OPERACIONES
• EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando interaccionamos con
los números. Si queremos contar, mencionar nuestra edad, nuestro peso, la cantidad de
dinero que poseemos,..., necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para
estudios más formales, debemos definirlos, clasificarlos, estudiar sus propiedades…
91
Moisés Villena Muñoz
Números
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Clasifique a los números
• Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales.
• Defina operación binaria.
• Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada es binaria o no.
• Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del elemento idéntico,
existencia del elemento inverso.
• Construya ejemplos de operaciones binarias.
• Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes, radicales, producto
notable, factorización.
5.1 CLASIFICACIÓN
La clasificación de los números la observamos en el
cuadro:
siguiente



 Positivos : Naturales : IN






 Enteros : Z Cero : 0




−



negativos : Z




 Racionales : Q 

Re ales : IR 

 Fraccionarios +




COMPLEJOS : C 
−











 Irracionales : I +


−



+
Im aginarios 

−
Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los
números complejos C . Todo número complejo tiene la forma:
a + bi
Es decir, se compone de dos partes:
1. Parte real “ a ”
2. Parte imaginaria “ b ”
Si a = 0 tenemos a los números imaginarios.
Si b = 0 tenemos a los números reales.
5.2 NUMEROS REALES: IR
Los números reales están clasificados en dos grandes grupos:
1. Los números Racionales: Q .
2. Los números Irracionales: I .
92
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.1 NÚMEROS RACIONALES. Q
Los números racionales son todos aquellos que pueden ser
p
expresados como una fracción
, donde p ∧ q ∈ Z .
q
Por tanto a este conjunto pertenecen:
 Los ENTEROS (Z ) . Estos números no tienen parte decimal, por
ejemplo:
2=
4 10 6
=
= = ...
2 5 3
 Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por
ejemplo:
31
10
523
5.23 =
100
3.1 =
 Los números que tienen una cantidad infinita de decimales
periódicos, por ejemplo:
a = 3.131313...
b = 2.42535353...
Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN
CORRESPONDIENTE?.
Para lo cual, tenemos la siguiente regla:
REGLA PARA CONVERTIR UN DECIMAL
PERIÓDICO EN FRACCIÓN.
1. Identificar el primer período.
2. Encontrar dos números. Uno, cuyo punto
decimal aparezca después del primer período
y el otro, cuyo punto decimal aparezca
antes del primer período.
93
Moisés Villena Muñoz
Números
3. Restar
estos
números.
Observe
que
el
número resultante es un entero.
4. Encontrar el número.
Bien, apliquemos la regla para convertir los dos últimos números
anteriores en sus respectivas fracciones:
Ejemplo 1

Para el número a = 3.131313... los números a restar serían:
por lo tanto
a=
100a = 313.131313...
− a = 3.131313...
99a = 310.000000
310
99
Ejemplo 2
Para
el
número

b = 2.42535353...
10000b = 24253.535353...
− 100b = 242.535353...
9900b = 24011.00000
por lo tanto
los
b=
números
a
restar
serían:
24011
9900
Finalmente hallemos la fracción equivalente para este otro número
racional.
Ejemplo 3

Si c = 3.0512512512... los números a restar serían:
lo tanto
c=
30482
9990
10000c = 30512.512512...
− 10c =
30.512512... por
9990c = 30482.000000...
¿SE PUEDE SIMPLIFICAR? ¿CÓMO QUEDARÍA?
Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se
obtiene el número en forma decimal.
Ejercicios Propuestos 5.1
94
Moisés Villena Muñoz
Números
1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números:
a) 2.02
b) 0.0101010101
c) 3.14161616
95
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALES I
Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción.
Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.
Existen infinita cantidad de números irracionales, pero los típicos,
usados frecuentemente, son:
e = 2.718281...
π = 3.1415926...
2 = 1.41421356...
PREGUNTA: Los números
π
2
2
,
, e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES?
2
2
etc.
¿POR QUÉ?
5.2.3 REPRESENTACIÓN
Los números reales se pueden representar sobre la RECTA
NUMÉRICA.
Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los
otros números reales no se los pueda ubicar sobre la recta numérica, es
cuestión de observarlos como decimales.
Ejercicio Propuesto 5.2
Ubique en la recta numérica los siguientes números:
a) 3.14
b) 4
c) 7
5
6
d) −2.1
e) − 3
f) − 9
4
4
5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN
En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números
que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que
quedan a la derecha serán mayores que este número.
96
Moisés Villena Muñoz
Números
Esquemáticamente sería:
Se puede decir que m > n ó lo que es lo mismo que n < m .
Además, todos los números que están a la izquierda de m son
menores que éste, y los que están a la derecha son mayores.
Ejercicios Propuestos 5.3
1.
Si Re = IR el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el
conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA:
b) (Q ∪ Z ) ∪ I = IR
c) Q ∩ I = φ
d) IR − I = Z
a) IR ∩ I = I
e) ( I ∩ Z ) ∪ Q = Q
2.
Si se consideran los siguientes conjuntos de números:
N : Naturales
IR : Reales
Z : Enteros
I : Irracionales
Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela.
b) I ∩ Q = IR
c) Z ⊆ Q
a) ( N ∪ Q ) ⊆ IR
Q : Racionales
d) N ⊆ Z
e) N ⊆ (Q ∪ I )
3.
Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:
a) Q ∩ I = φ
b) Q ∪ N = Q
c) ( N ∩ I )C = IR
d) IR − Q = I ∩ IR
e) Q − N = Q
4.
Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales,
I = números irracionales
y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA:
a) N ⊂ IR
b) Q ∩ I = φ
c) ( N ∪ I ) ⊂ IR
d) IR = (Q ∪ I )
e) N ⊂ Z ⊂ I ⊂ IR
5.
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)
b)
4 = −2 siempre que −2π es un número racional.
 10 
5 +   = 3 ó (− 15)−2 es un número negativo.
 5
(2e)
es racional.
e
d) Si 1 es irracional, entonces −3 = 1 − 4 .
c)
El número
e)
Una de las proposiciones anteriores es falsa.
97
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.5 OPERACIONES
Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros
números reales. Existen las operaciones convencionales como son la
ADICIÓN y la MULTIPLICACIÓN (R ESTA Y DIVISIÓN)
5.2.5.1 ADICIÓN
Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de
estos números se la denota como a + b y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. a + b = b + a , CONMUTATIVA
2. a + (b + c) = (a + b) + c , ASOCIATIVA
3. a + 0 = a , donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO”
4. a + (−a ) = 0 , donde − a es llamado “INVERSO ADITIVO DE
a”
La operación RESTA a − b se la considera como una suma de
a con el inverso aditivo de b , es decir: a + (− b ) .
5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN
Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de
estos números se la denota como a ⋅ b y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. a ⋅ b = b ⋅ a ; CONMUTATIVA
2. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c ; ASOCIATIVA
donde 1 es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO”
3. a ⋅1 = a
1
4.
a ⋅ ( ) = 1 donde 1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” ( a ≠ 0 )
a
a
La operación DIVISIÓN a ÷ b se la considera como una
multiplicación de a con el inverso multiplicativo de b , es decir:
1
a ⋅  ,
b
donde b ≠ 0 .
NOTA: La división entre cero no se define.
98
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS
Además de las operaciones anteriores, se pueden definir otras,
ya no convencionales, sobre los números reales o sobre cualquier
otro conjunto.
Sea
S
un
conjunto
cualquiera
y
sea
a ∈ S ∧ b ∈ S . Suponga que se define la operación
“ ∗ ”. Esta operación será BINARIA si y sólo si
al par (a, b ) le asignamos un único elemento de
S , es decir el resultado de
(a ∗ b ) debe ser un
elemento de S .
Simbólicamente:
"∗": S × S  S
(a, b )  a ∗ b
Ejemplo 1
Sea el conjunto S = IR y “ ∗ ” una operación definida de la siguiente manera:
a ∗ b = a + 2b .
Es decir que si a = 2 y b = 3 , entonces 2 ∗ 3 = 2 + 2(3) = 8 en otro caso, si a = −3 y b = 4 , entonces
(−3)∗ 4 = −3 + 2(4) = 5 . En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos de S ,
no necesariamente diferentes.
Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.
Ejemplo 2
En cambio , si tomamos al conjunto S = IR + y “ ∗ ” la operación definida de la siguiente
manera: a ∗ b = a − 2b .
NO ES BINARIA, porque si a = 2 y b = 4 entonces
2 ∗ 4 = 2 − 2(4) = −6 ∉ R +
Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario,
pero en el conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de
disyunción y conjunción son ejemplos de operaciones binarias.
También lo serían las operaciones de Unión e Intersección
sobre el Conjunto de todos los conjuntos.
Una
operación
Binaria
podría
cumplir
con
las
siguientes propiedades:
99
Moisés Villena Muñoz
Números
1. CONMUTATIVA si,
2.
∀a ∈ S , ∀b ∈ S [a ∗ b = b ∗ a ]
ASOCIATIVA si,
∀a ∈ S , ∀b ∈ S , ∀c ∈ S [a ∗ (b ∗ c ) = (a ∗ b ) ∗ c ]
3.
PROPIEDAD
DEL
NEUTRO
si, ∃n ∈ S , ∀a ∈ S [a ∗ n = a ] , n es llamado el elemento
neutro, idéntico o nulo.
4.
PROPIEDAD
DEL
INVERSO
si
∀a ∈ S , ∃I ∈ S [a ∗ I = n] , I es llamado el inverso de
a.
Ejemplo 3
La operación binaria a ∗ b = a + 2b definida sobre S = IR .
1.
NO ES CONMUTATIVA, porque b ∗ a = b + 2a ≠ a ∗ b
2.
TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque
es diferente a
(a ∗ b )∗ c = (a + 2b )∗ c
= a + 2b + 2c
a ∗ (b ∗ c ) = a ∗ (b + 2c )
= a + 2(b + 2c )
= a + 2b + 4c
3.
EL NEUTRO sería: ???????
4.
El INVERSO sería: ???????
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio Resuelto 1
Si “ ∗ ” es una operación binaria definida sobre Z de la manera a ∗ b = a 2 + b 2 − 2ab ,
identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?:
b) La operación “ ∗ ” es asociativa
a) (2 ∗ 5) ∗ 3 = 6
d) La operación “ ∗ ” es conmutativa
c) 0 ∗1 = 0
e) 2 ∗ 5 ≥ 2 ∗ 6
SOLUCIÓN:
a)
Calculemos
(2 ∗ 5) ∗ 3 = (22 + 52 − 2(2)(5))∗ 3
= (9 ) ∗ 3
= 92 + 32 − 2(9 )(3)
más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.
= 36
100
Moisés Villena Muñoz
Números
b)
Para que la operación sea asociativa
(a ∗ b )∗ c = (a
(
)
+ b − 2ab ∗ c
2
2
= a + b − 2ab
2
2
(
)
2
(a ∗ b )∗ c = a ∗ (b ∗ c ) ,
(
)
entonces hallemos
+ c 2 − 2 a 2 + b 2 − 2ab c
a ∗ (b ∗ c ) = a ∗ b 2 + c 2 − 2bc
y
debe cumplir
(
)
= a 2 + b 2 + c 2 − 2bc
)
2
(
− 2a b 2 + c 2 − 2bc
)
los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.
c) 0 ∗ 1 = 0 2 + 12 − 2(0)(1) = 1
d)
mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA
Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que a ∗ b = b ∗ a , entonces
como a ∗ b = a + b − 2ab y
por tanto esta es la opción VERDADERA .
2
e)
2
como b ∗ a = b + a − 2ba la operación si es conmutativa,
2
2
Es FALSA ¿POR QUÉ?
Ejercicio Resuelto 2
Sea S = {∆, Ο, Π} un conjunto sobre el que se define una operación binaria
representada en el siguiente cuadro:
∗
∆
Ο
Π
∆
Ο
Π
∆
Ο
Π
∆
Ο
SOLUCIÓN: Analicemos cada
“∗ ”
Entonces es FALSO que:
a) Π ∗ (Ο ∗ ∆) = (Π ∗ Ο) ∗ ∆
b) El neutro de la operación es Π
c) Π ∗ (Ο ∗ Ο) = ∆
d) Π ∗ (Ο ∗ ∆) = Ο
e) La operación es conmutativa
Π
∆
Ο
Π
opción:
a)
De acuerdo al cuadro Π ∗ (Ο ∗ ∆ ) = Π ∗ (Π ) = Π y como (Π ∗ Ο ) ∗ ∆ = (Ο ) ∗ ∆ = Π , por lo tanto esta
opción es VERDADERA.
b)
De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con Π se obtiene los mismos
elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es
VERDADERA.
c)
Π ∗ (Ο ∗ Ο ) = Π ∗ (∆ ) = ∆ Esta opción también es VERDADERA.
d)
Π ∗ (Ο ∗ ∆ ) = Π ∗ (Π ) = Π que es diferente de Ο , por tanto esta es la opción FALSA.
e)
Es VERDADERA ¿POR QUÉ?
Ejercicios Propuestos 5.4
1.
2.
Sea la siguiente operación: * : Z × Z → Z ,
Entonces es VERDAD que:
a) ∗ no es una operación binaria.
c) La operación es conmutativa.
e) ( 2 ∗ 1) ∗ 0 = 0
Sea
tal que
x * y = x2 + y
b) (1 ∗ 0) ∗ 2 = 1 ∗ (0 ∗ 2)
d) La operación es asociativa.
S = {a, b, c} ; sobre este conjunto se define la operación binaria " ∆ " por medio de la tabla:
∆
a
b
c
a
b
b
a
b
a
c
b
c
a
Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA:
a)
(a∆a ) = c
b
c
b)
c)
d)
e)
La operación binaria “ ∆ ” es conmutativa
(a∆a ) = [(b∆c)∆a ]
(b∆b) = [(b∆c)∆c ]
[(a∆b)∆(a∆c)] ≠ (c∆b)
101
Moisés Villena Muñoz
Números
102
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros
números. Combinando las operaciones para diversos números puede ser
necesario expresarlas para luego obtener su resultado.
Ejemplo 1
3
1−
4−
5
1+
4
3
Sin embargo en ocasiones pueden aparecer además letras y no sólo
números. Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Debemos precisar
compuesta por:
que
una expresión
algebraica simple está
Parte Literal


3
a 2
bc
3

Coeficiente
Término
Existen expresiones algebraicas compuestas por:
 Sólo un término, se llaman MONOMIOS.
 Dos términos, se llaman BINOMIOS.
 Tres términos, se llaman TRINOMIOS.
 Más de un término ó también n términos, se llaman
POLINOMIOS.
103
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.6.1 FRACCIONES
Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos
definiciones sobre las fracciones algebraicas.
Una fracción está compuesta por:
5.2.6.1.1
A
Numerador
→
B
Denominador
Operaciones
Usted puede realizar las siguientes operaciones con las
fracciones:
1. SUMA:
A C AD + CB
+ =
B D
BD
A C
AC
2. MULTIPLICACIÓN:    =
 B  D 
3. DIVISIÓN:
BD
A
B =  A  D  = AD
C
 B  C  BC
D
No olvide que la división entre cero no está definida.
Con estas operaciones, en ocasiones es necesario reducir una
expresión algebraica a la mínima expresión.
Ejemplo 1
Si x ∈ IR ∧¬( x = 0 ) ∧¬( x = 1) , la siguiente expresión algebraica: 1 −
1
1
1−
1−
1
1−
se REDUCE a:
a) x ( x − 1)
b) ( x − 1) / x
c) x
d) 1 / x
1
x
e) 1 + (1 x )
SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose
las operaciones desde la más interna hasta la externa:
104
Moisés Villena Muñoz
Números
1
1−
1
= 1−
1
= 1−
1
1−
1
x
1−
1−
1−
1
x −1
x −1
1−
x
x
1
1
1
1 x −1
= 1−
= 1− =
= 1−
= 1−
1
1
1+ x −1
x
x
1−
1−
x −1− x
−1
x −1
x −1
1
1−
1
1−
1
Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.
Ejercicios Propuestos 5.5
1
x −1
x+
1.
x
Si se simplifica la expresión
se obtiene:
1
x2
a)
b)
1
c) 1 x
x
w−
3.
u
w
v
u
b)
c)
x+2−
4.
a) 8 x + 5
5.
6.
b) 4 x
Al SIMPLIFICAR la expresión:
se obtiene: a)
2
se obtiene:
u
+1
v
u
v
d)
v
w
e) 1
x −1
Al SIMPLIFICAR:
se obtiene:
u
v
w
1+
Al simplificar la expresión algebraica:
a)
e) x − x
x2
u
u−
2.
d) 1
x2 + 2
x−2
x−
x +1
 a +1
 ab + 1 +

 a +1
 ab + 1 −

( a + b)
(ab + 1)
c) 5 x − 1
d) 3 x + 2
e) x − 1
ab + a 
−1
ab + 1 
ab + a 
+1
ab + 1 
b) a
c) a − b
d)
1
a
e) 1
1+ x 1− x
−
Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 1 − x 1 + x , se obtiene:
1
1
−
1+ x 1− x
a) 1
b) 1 + x
c) 1 − x
d) −2
e) 2
Al SIMPLIFICAR la expresión:
a)
(x − 2)(x + 1)
2x
(
x − 2 )(1 − x )
d)
2x
b)
e)
(
2x
x−
1
1
1−
x
(x − 2)(x + 1)
)÷ (
c)
x
x
−
x +1 1− x
) Se obtiene:
(x + 2)(x − 1)
2x
x−2
105
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.6.2 EXPONENTES
Existen expresiones algebraicas que poseen exponentes:
a n = a
.a
.a
...

a
donde
n veces
a ≡ base y n ≡ exponente
Entonces para simplificar estas expresiones habrá que hacer uso de
las leyes de los exponentes, es decir:
1. a n .a m = a n + m
an
2.
= a n−m
am
3. a n b n = (ab )n
4.
an  a 
= 
bn  b 
5.
(a )
n m
Además considere
que:
1
= a −1
a
a0 = 1
1.
n
2.
y
= a nm
5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios)
Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los
radicales.
1
n
=na
Entonces:
a
a
donde a ≥ 0 cuando
m
= n am =
n
n es par.
( a)
n
m
La utilidad de esto último observamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Queremos calcular
5
3
8 3 = 85
, entonces es mejor observarlo como
(3 8 )5 = 25 = 32 .
Bien, analicemos los siguientes ejercicios.
106
Moisés Villena Muñoz
Números
Ejercicio Resuelto 1
Si a ∈ IR ∧ ¬(a = 0) , entonces la expresión:




es equivalente a: a) 4
SOLUCIÓN:
a a
6
b) 2
−2
3
6
+
a5
3
c) 8
a
 3 2
2 a
−1

3
 a
e) 2a
a
a2
a
1
2
d) 4a
a
Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:





−2
a a
6
a5
3
6
+
3
a
1
a2
a
2
1
 3 2
 12 − 2 3
a
a 6
2 a
a
=
+
−1
5
2
1


3
a 3a 2
a 6



 a
2

3
 2a
 − 13

 a
1
 − 16
a
a 6
= 5
+ 7

6
a 6

 a
 −6
= a 6

[
[
2

3
 2a
 − 13

 a
3
−6 
+ a 6  2a 3

]
= a −1 + a −1 2a
]
= 2a −1 2a
=4
Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.
Ejercicio Resuelto 2
m
La expresión:
4 m 27 3 125 m 6 2 m
m
8 39
es equivalente a:
SOLUCIÓN:
tenemos:
a) 2 3
m
2m
3m
2 10 3m
b) 2
5 3m
c) 1
m
d) 3
e) 5
m
m
Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes,
4 m 27
m
8
3
m
3
125 m 6 2 m
3m
9
2
3m
2 2m3
=
3m
103m
2
=
33
2 2 m 3 m 53m 2 2 m 3 2 m
2 m 33m 53m 23m
2
4 m 3m 3m
2
=1
4 m 3m 3m
=
(2 × 3)2 m
2 (5 × 2 )3m
3 53m
6m
3
3
5
5
Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”.
Ejercicio Resuelto 3
3
La expresión:
Se reduce a:
SOLUCIÓN:
8 2 −3 8 


 16 32  +


5
a) − 1
8
b) − 15
8
27 − 75
3
c) − 2
8
d)
1
8
e) 15
8
107
Moisés Villena Muñoz
Números
5
8 2 −3 8 


 16 32 


3
+
27 −
8 2 − 3 4× 2
=5 
 16 16 × 2





8 2 −3 4 2 

=5 
 16 16 2



3
75
3
8 2 −6 2 

=5 


64 2


3
+
3
9×3 −
+
25 × 3
3
9 3−
+
25 3
3
3 3 −5 3
3
3
 2 2 
 + −2 3
=5
 64 2 
3


3
 1 
 −2
= 5
 32 


3
1
=  −2
2
1
= −2
8
15
=−
8
Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.
Ejercicios Propuestos 5.6
1
1.
Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica:
se obtiene:
2.
3
a
a)  
b
b) 3ab
ab
La siguiente expresión: m −1 m
a) m (ab )m −1
b)m (ab
)
c) m −1 (ab )m
Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión:
2
a)
m 3
b) m
5
−1
c) b 3
d) a 3 b 2
m n2
3
5
4n 6
d )m
1
(ab )
m3n m n 2
m2n
c) m
m n3
−1
3
4n 4
e) m −1 (ab )
se obtiene:
d)
n 6
4.
e) b −1
es EQUIVALENTE a:
ab
3
3.
 3



 27 −1 a −1b 2 


  1  −3 
  3a 3  b 5 


 



−
e) m 4 n 6
3
1
1
5
5
m 4n 6
1 4 9 x2 y2
1 6 27 x 3 y 3
+
2
2
3
z
z3
Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica:
se obtiene:
a)
d)
5 3
3 xyz
6z
5 6
3 xyz
6z
b)
e)
5
3 xyz
6z
5 4
3 xyz
6z
c)
5 8
3 xyz
6z
108
Moisés Villena Muñoz
Números
−1
5.
6.
1 

−
 3 27 a b −3 a 3 b 

Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica 


−1
2
16a
b




a)
7.
2
a b
3
x
x +1
)
(
2 a
3 b
3
2
c)
x
x +1
b) −
−1
a
b
se obtiene:
d)
3 b
2 a
d)
c) 4
−1
1
2+ x
e)
1
1− x
2

 se obtiene:


e) −4
d) 1
−1
+b
y el resultado se lo multiplica con
a+b
5ab + 2a − ( 4ab + 2a ) , entonces el resultado final es:
Si se SIMPLIFICA la expresión:
a) 1
a
a
b) ab
3 a
2 b
+ 2 , se obtiene:
c) x − 1
b) −1
e)
−1
 a a +b b
 a + b
Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica: 
− ab  
 a+ b
  a −b


a) 0
9.
b)



2x −1 

 −x+
2− x 
Al SIMPLIFICAR la expresión 
−1

 x−2 
 + 2x 


  5x − 1 
a)
8.
−1
 x −1 + y −1 
 y −1 + x −1 
0
Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: 
 +
 + x −3 + y −3
−
−
1
1
 x − y 
 y −1 − x −1 
se obtiene:
1
1
b) −
c) ( x + y ) −1 + 1
d) 1
e) −1
a)
( x + y)
( x + y)
c) 1
d) a + b
la expresión
e) 2ab
−2
10. La expresión:
a) 2
27
 1
5 


 2 −2 2


3
3
3
2 4
2 + 16
(
b) 4
9
)
se REDUCE a:
c) − 2
d) − 4
27
9
e) 1
9
Para otros tipos de expresiones algebraicas es necesario emplear el
producto notable y la factorización.
5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE
Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar
sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente:
1.
(x + a )(x + b ) = x 2 + bx + ax + ab
= x 2 + (a + b )x + ab
2
Si b = a tenemos ( x + a )( x + a ) = ( x + a ) = x 2 + 2ax + a 2
Observe también que ( x − a ) = x 2 − 2ax + a 2
2
109
Moisés Villena Muñoz
Números
Si b = −a tenemos ( x + a )( x − a ) = x 2 − a 2
2. Otros productos notables a considerar son:
(x − a )3 = x 3 − 3x 2 a + 3xa 2 − a 3
(x + a )3 = x 3 + 3x 2 a + 3xa 2 + a 3
5.2.6.4 FACTORIZACIÓN
En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la
mínima expresión, es necesario expresarla en factores.
La factorización es el proceso contrario del producto notable.
5.2.6.4.1 Factor Común
Cuando existe un factor común en todos los términos de la
expresión.
Ejemplo
        
6ab 2 c 3 + 6a 2 b 2 c 2 + 18a 3 bc 2 = 6abbc 2 + 6a abbc 2 + 6(3)a a 2 bc 2
(
)(
= 6abc 2 bc + ab + 3a 2
)
5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados
Del producto notable, tenemos que:
a 2 − b 2 = (a − b )(a + b )
Ejemplo 1
( x 2 − 9) = ( x + 3)( x − 3)
Ejemplo 2
5 x 4 − 80 y 4 = 5( x 4 − 16 y 4 )
= 5( x 2 + 4 y 2 )( x 2 − 4 y 2 )
= 5( x 2 + 4 y 2 )( x + 2 y )( x − 2 y )
110
Moisés Villena Muñoz
Números
Ejemplo 3
( x 2 − 8) = ( x + 8 )( x − 8 )
Ejemplo 4
( x − 5) =
(
x+ 5
)(
x− 5
)
5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos
DIFERENCIA
(a
3
− b 3 = (a − b) a 2 + ab + b 2
)
(
)
SUMA
(a
3
+ b 3 = (a + b) a 2 − ab + b 2
)
(
)
Demuestre que es verdad lo anterior.
5.2.6.4.4 Trinomios
De acuerdo al producto notable
a + b )x + ab
( x + a) ( x + b) = x 2 + (
 
p
q
= x 2 + px + q
Observamos que todo trinomio de la forma x + px + q puede
y a ⋅b = q
ser expresado como el producto (x + a )(x + b ) donde: a + b = p
2
Ejemplo
Factoricemos el trinomio x − 5 x + 6 .
2
Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den −5 –5 y
multiplicados, 6. Estos números son –3 y –2. Entonces:
x 2 − 5 x + 6 = (x − 3)(x − 2 )
NOTA: al primer factor le puede asignar el mismo signo del término lineal x , y al segundo factor el resultado de
aplicar la ley de los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.
111
Moisés Villena Muñoz
Números
5.2.6.4.4.1 Trinomio General
Un trinomio de forma general mx 2 + px + q
expresado en factores siguiendo el siguiente proceso:
puede
ser
1. Multiplicamos y dividimos para “ m ”
m(mx 2 + px + q ) m 2 x 2 + pmx + mq
=
m
m
2
(mx) + p (mx) + mq
=
m
2. Factorizamos el numerador para “ mx ” de la misma
forma que el caso anterior.
Ejemplo
(3 x) 2 + 11(3 x) + 18
3
(3/ x + 9/ )(3 x + 2)
=
3/
= ( x + 3)(3 x + 2)
3 x 2 + 11x + 6 =
112
Moisés Villena Muñoz
Números
Ejercicio Resuelto 1
 2 x 2 − 5 x − 3   x 2 + 6 x + 9   x 2 − 9 
 
 ÷

Al SIMPLIFICAR la expresión: 
2
 
  2

 x − 9   1 + 2 x   x + 4 x + 3 
se obtiene:
a)
x−3
x +1
(2 x + 1)(x + 3)
b)
c)
x−3
x 2 + 3x − 9
x−3
d)
x+3
x−3
e)
(x + 1)(x + 3)
x−3
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos suceptibles de factorizar.
(2 x − 6)(2 x + 1)
 (x + 3)2  ( x + 3)( x − 3) 
2
÷


=
( x + 3)( x − 3)  (1 + 2 x)  ( x + 3)( x + 1) 


=
( x − 3)(2 x + 1)  ( x + 3)( x + 3) ( x + 1) 
( x + 3)( x + 1)
⋅

 =
( x + 3)( x − 3)  (1 + 2 x)
( x − 3) 
( x − 3)
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”
Ejercicio Resuelto 2


3
 1− 2

Al SIMPLIFICAR la expresión:  2 x + 2 x 
 2x + 5x − 3 
 2

 x − x−6 
x −1
1
a)
b)
c) x
x
x
−1
 2x − 1 
÷ 2
 se obtiene:
 x − 4x + 3 
d)
x
x −1
e) x − 1
SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.


3
 1− 2

=  2 x + 2x 
 2x + 5x − 3 

 2
 x − x−6 



=




−1
 2x − 1 
÷ 2

 x − 4x + 3 
−1



 . (x − 3)(x − 1) 
  (2 x − 1) 



x(x + 2 ) − 3
x(x + 2 )
(2 x + 6)(2 x − 1)
2
(x − 3)(x + 2)
 x2 + 2 x − 3 


x(x + 2 ) 
=
 (x + 3)(2 x − 1) 

(x − 3)(x + 2) 

−1
•
(x − 3)(x − 1)
(2 x − 1)
 (x + 3)(x − 1) (x − 3)(x + 2 ) 
=
•
(x + 3)(2 x − 1) 
 x(x + 2 )
−1
•
(x − 3)(x − 1)
(2 x − 1)
−1
 (x − 1)(x − 3) 
(x − 3)(x − 1)
=
 •
(2 x − 1)
 x(2 x − 1) 
(
x(2 x − 1)
x − 3)(x − 1)
=
•
(x − 1)(x − 3) (2 x − 1)
=x
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”
113
Moisés Villena Muñoz
Números
Por otro lado, tenemos:
(a
n
− b n = (a − b ) a n −1 + a n − 2 b + a n −3 b 2 + a n − 4 b 3 + ... + b n
)
(
)
(a
n
+ b n = (a + b ) a n −1 − a n − 2 b + a n −3 b 2 − a n − 4 b 3 + ... − b n
)
(
)
Sin embargo, factorizar el binomio de una forma u otra depende del
ejercicio que se esté resolviendo.
Ejemplo 1
x 6 − y 6 puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o
usando la regla general.
Es decir:
( ) ( ) = (x − y )(x + y )
= (x ) − (y ) = (x − y )(x + x y + y )
= (x − y )(x + x y + x y + x y + xy + y )
2
1.
x 6 − y 6 = x3 − y 3
2.
x6 − y6
3.
x6 − y6
2 3
2
3
2 3
5
3
2
4
3
2
3
2
3
4
2
2
2
3
4
4
5
Ejemplo 2
En cambio, x 9 − y 9 puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o
usando la regla general. Es decir:
( ) ( ) = (x
3
3
)(
x9 − y 9 = x3 − y 3
2.
x 9 − y 9 = (x − y ) x 8 + x 7 y + x 6 y 2 + x 5 y 3 + x 4 y 4 + x 3 y 5 + x 2 y 6 + xy 7 + y 8
3
− y 3 x 6 + x3 y 3 + y 6
)
1.
(
)
Ejercicio Resuelto
Al SIMPLIFICAR la expresión:
a) x 3 − y 3
x6 + x3 y3 + y 6
x9 − y9
b) x 2 + y 2
(x
6
− y6
)
c) x 3 + y 3
se obtiene :
d) x 2 − y 2
e) x − y
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.
x 6 + x3 y 3 + y 6
x9 − y 9
(x
6
)
− y6 =
( ) ( )
x 6 + x3 y 3 + y 6  3 2
3 2
x − y 
3
3

x3 − y 3 
( ) ( )
=
x 6 + x3 y 3 + y 6
(x − y )(x
3
3
6
+ x3 y 3 + y 6
) • (x − y )(x + y )
3
3
3
3
= x3 + y 3
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”
114
Moisés Villena Muñoz
Números
Finalmente, para RACIONALIZAR una fracción, expresar la fracción
sin radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente:
Ejemplo 1
3
Si tenemos una fracción simple, como
3
por 2 es decir
2
•
2
2
=
, se puede multiplicar numerador y denominador
2
3 2
.
2
Ejemplo 2
Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de radicales, multiplique tanto al
numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes con
signo contrario).
1
3− 5
3+ 5
•
=
3+
5
3+ 5
(3)
2
−
( 5)
2
=
3+ 5 3+ 5
=
9−5
4
conjugado
Ejercicios Propuestos 5.7
1.
SIMPLIFICANDO la expresión algebraica
a) x 2 + y 2
2.
b) y 2 − x 2
4.
(a
2
− 3a
(3 + a )
Al SIMPLIFICAR la expresión:
a) x
b)
x−2
x −1
x −1 − y −1 
 se obtiene:
x −1 + y −1 
(
e) 2 x 2 + y 2
)
d) (a − b )2
e) (a − b )
)
2
 2
3 

 a − 3a   27 − a

 9 − a 2   (a + 3)2 − 3a 

 

a 4 − 9a 2
b) a 3 − 3a 2
+
se obtiene:
c) a
(a
)
y
−1
d) x 2 − y 2
(a 2 − b 2 )−1 (a 3 − b 3 )(a + b)
(
a)
y −1
c) 2 xy
b) b
Al SIMPLIFICAR la expresión:
)
 x −1 +
− x2 
 x −1 −
2
a 3 + a 2 b + ab 2
Al SIMPLIFICAR la expresión:
a) (a + b )2
3.
(y
c)
2
+ 3a
(a
2
)
se obtiene:
2
+ 3a
(3 + a )
2 x2 − x − 6
x −1
2
(3x + 4) − x x+−22
x−
x +1
3
c) cuando x = 2
4
)
d) a 3 + 3a 2
e)
3+ a
a2
Se obtiene:
d)
5− x
2+ x
e) 2 cuando x = 1
115
Moisés Villena Muñoz
Números
5.

x2
a − x +
a+x


a2
 a2 −
a+x

Al simplificar:
a) a + x
6.
d) x − a
b) 10
e) (a − x )−1
c)
x +1
10
e) (x + 1)
d) 10(x + 1)
4
3
2
Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: x − x + x − x se obtiene:
1− x4
b) x + 1
Al SIMPLIFICAR la expresión:
(
a) a 2 − 2b 2
9.
c) (a − x )
x
2
−
2
x
−
3
x − 4 x + 3 se obtiene:
Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica
5
5
+
x −1
x−3
a) x
8.
se obtiene:
b) a + x − 1
a) 2
7.


  [(a + x ) − 1](a + x ) 

a2 − x2



(
)
c)
a 4 − 2a 2 b 2 + 4b 4
b) a 2 + 2b 2
)
a 6 + 8b 6
c)
d) −
x
x +1
a−x
b 2c
a+x
bcd
a−x
b)
b 2c
1
d)
a 2 + 2b 2
c) 3 a + x
d)
a) a
b) b
a)
x3 + 5 x 2
2
6x + 7x − 3
13. SIMPLIFICANDO
x
x+ y
b) −
2
a
b
+ 5x2 y
se obtiene:
(2 x + 3)(3x − 1)
x 2 y (x + 5)
(m3 + 8a3x3 ) a(m + 2ax)
(m + 2ax )2 (− m2 + 2amx − 4a 2 x 2 )
se obtiene:
(2 x + 3)(3x − 1)
x 2 (x + 5)
c) 8a3
(4 y2 − x2 ) (x + y ) x
c)
3
1
se obtiene:
x3 y + 4 x 2 y
xy − x + 4 y − 4
c)
)3
− 2b 2
e) (a + x ) 2
d)
6 x 2 y + 7 xy − 3 y
xy − x + 5 y − 5
(a
1
2

2 
  bcd b c  se obtiene:
 a − x 


b
a
d)
x3 y − x 2 y 2 − 2 xy3
y
x + 2y
)
e)
b) a
a) m + 2ax
− 2b
e)
2 2
2
 a 2 − 1   2a  2

 +

 a 2 + 1   a 2 + 1 


b) (2 x + 3)(3 x − 1)
12. Al SIMPLIFICAR la expresión: −
a)
 a +b   a −b 

 −

 2   2 
c) ab
11. Al SIMPLIFICAR la expresión
(a
1
2
bcd (a + x )
2
10. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
x
x −1
se obtiene:
 3
a − ax 2 − a 2 x + x 3
Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 

b5c 3d

a)
e)
x
x +1
e)
(x
)
2
6x + 7x − 3
e) (m + 2ax )−1
d) a 2
se obtiene:
2x
x + 2y
14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica
d) −
2y
x+ y
a 3 + 2a 2 b − ab 2 − 2b 3
2a 2 + 6ab + 4b 2
e)
x
x− y
se obtiene:
116
Moisés Villena Muñoz
Números
a+b
2
a)
b)
b−a
2
a − 2b
2
c)
d)
a + 2b
2
e)
a−b
2
15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad?
a) (x + y )3 = x 2 (x + 3 y ) + y 2 ( y + 3 x )
b) x 2 − y 2 = (x − y )(x + y )
( a − b )( a + b )
c) (a − b ) =
(
d) (x + y ) = x 2 + 2 xy + y 2
4
e) (x − y )2 = x 2 − y (2 x + y )
)
2
16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
2
2
a) 4(x − y ) + 4 + (x − y ) = (2 + x − y )
b)
6 x 2 − x − 2 = (3 x − 2 )(2 x + 1)
c)
20 − x − x 2 = (5 + x )(4 − x )
2
1 
1
= x + 
9 
3
3
3
2
2
e) x − y + x − y = (x − y ) x + xy + y + 1
x2 +
d)
)
(
5− 3
17. Al SIMPLIFICAR :
a) 5
5+ 3
b) 8
)
(
+
5 + 3 Se obtiene:
5− 3
c) 4
d) 2
e) 1
18. Indicar ¿cual de las siguientes igualdades es FALSA?
a)
1
3− 5
b) x 3 +
c)
=
8
x3
1
3 a −b
3+ 5
4
2 
4 


=  x +  x 2 − 2 +
x 

x2 
=
3 2
a +b
a − b2
1
2
d)
+
=
2 −1
3 +1
2+ 3
e)( p + q )2 + 3( p + q ) − 4 = ( p + q + 4 )( p + q − 1)
19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
2
a)  x −1 + y −1  = x − 2 + y − 2;




b) x − 4 + 3
=
x −1
x −1
c) 2 = 2 + 2 ;
x+ y x y
d) 3 84
2 5
4
>
x + 1;
x≠0
x ≥ 0∧ x ≠1
x ≠ 0∧ y ≠ 0
5
6
e) x −1 + x = 1; x ≠ 0
20. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
y
x
−
x+ y x− y
a)
=x
x
y
−
x+ y x− y
b)
3
x 2 + 4 x −1 − 5 x 0 = 4 , si x = 4
117
Moisés Villena Muñoz
Números
c)
20 − 2−2
2 − 2(2 )− 2
=
3
2
1
d)
e)
 25 xy −1  2 5

 = x4 y −2
 16 x −3y −5 
4


Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
21. Al SIMPLIFICAR la expresión
a) x 2 y 2
x3 + y3
2 x 2 + xy − y 2
÷
x 3 y − x 2 y 2 + xy 3
2x3 y 2 − x 2 y 3
c) x + y
b) 1
22. En la expresión algebraica
d)
x5 − x 2 − x3 + 1
x2 − 1
entonces se obtiene como resultado:
a) Un número entero positivo.
b) Un número fraccionario menor que 1 .
c) Un número fraccionario menor que −1 .
d) Un número entero negativo.
e) El número cero.
. Si se reemplaza a "
se obtiene:
1
xy
e) xy
x " por un número entero mayor que
1
Misceláneos
1.
Sea el conjunto
S = {∆, Ο,∗, ?}. Y la operación binaria “ ⊕ ” en
⊕
∆
Ο
∗
?
∆
∆
∗
Ο
∆
Ο
∗
Ο
∆
Ο
∗
Ο
∆
∗
∗
tal que
?
∆
Ο
∗
?
Entonces es FALSO, que:
a) La operación es conmutativa.
b) El elemento neutro de la operación es “?”
c) ∆ ⊕ Ο = ∗ ⊕ ∗
d)
e)
2.
(Ο ⊕ ?) ⊕ ? = Ο
(∗ ⊕ ∆ ) ⊕ Ο = ∗ ⊕ (∆ ⊕ Ο )
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)
Si Q ∩ I = R entonces
2 ∈Z
Q⊆Z oN ⊆R
N ⊆I y Z ⊆Q
d) Si N ⊆ Z entonces Q ⊆ R
e) [(Q ∪ I = R ) ∧ (N ∪ Z = Z )]
b)
c)
3.
Al SIMPLIFICAR
a)
x2 +1
x −1 − x +1
x −1 + x +1
b)
x2 −1
+ x ; se obtiene:
c) x 2 +
x
d) x 2 −
x
e)
x2 −1
x
118
Moisés Villena Muñoz
Números
4.
1
1−
Si se SIMPLIFICA
, se obtiene:
1
2a − 1
3−
2a + 1
2a − 3
b) −
6a + 7
2−
a+7
6a + 3
a)
5.
1
Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para
9 + 3 12 − 3 2
7
a)
d)
3
e)
d)
9 − 3 12 − 23 2
7
9
1
2
+ 12
1
7
2a + 3
6a + 7
e) 2a
, es:
3 +3 4
3
b)
9 − 3 12 + 23 2
7
2a + 3
7
c)
1
c)
9
1
2
− 12
7
1
1
2
2
2
2
x − 5x + 6
2
6.
Al SIMPLIFICAR
x 2 + 7 x − 8 ⋅ 1 ⋅ 3 + x , se obtiene:
8− x 3− x
9 − x2
64 − x 2
a)
7.
x−2
x−2
x −1
b) −
x − 4x + 3
2
512
b)256
c)260


8. Al S IMPLIFICAR la expresión   x x


( )
a)
9.
b) x
x
Sea el conjunto
(x − 2)(8 − x )
(x − 1)(3 + x )
2 n+ 2 + 2 n+ 4 + 2 n+6
2 n − 2 + 2 n − 4 + 2 n −6
El RESULTADO de simplificar
a)
c) −
d)181
x x +1 
x x −1 
−1
x −1
x+2
e)
(x − 2)(8 − x )
x −1
, es:
e)502
x −2 x





d)
, es:
c) x
x −1
d) x
x
e) x
x +1
S = {1,2,3}. y sea “ ⊕ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:
⊕
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
3
1
3
1
Entonces es VERDAD que:
a) La operación ⊕ no es binaria.
b) La operación es conmutativa.
c)
(2 ⊕ 3) ⊕ 1 ∉ S .
[
d)
e)
]
La operación ⊕ tiene el elemento neutro.
[(1 ⊕ 2) ⊕ 3] = 2
10. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a)
2 ∈ IN
b)
O bien 0 ∈ Z o bien 0 ∈ IR
∧
c)
Si π ∈ I , entonces 3 ∉ Q
4
d)
0.2323... ∈ Q
e)
0.5 ∈ Q
∧
2 ∈Z
∨
( 3 + 2 )∈ Z
π
∉I
2
119
Moisés Villena Muñoz
Números
2 3 27 + 2 3 −
11. Al REDUCIR la expresión:
a)
4+
3
2
2ab + b 2
a (a − b )
b)
c)1
m−n
13. Al SIMPLIFICAR la expresión
a
a)
1
3
1+
1+
15. Sea la expresión
1
x
d) − x
c) x − 2
7 x 2 − 7 y 2 + 11xy − 56 3 . Si x =
tiene un VALOR numérico igual a:
a)
11
b)10
c)9
16. Al SIMPLIFICAR la expresión :
a)
(x
)
x −y
2
4 x 3 (x − y )
17. Sean los conjuntos
d)12
− 9 (x − y )
2
b)
m − a (a + n )
e)
se obtiene:
3
1−
b)2
x
1
−1+
1
x
1
se obtiene:
n
−
2
d) 
+
1
e) 3 + 2 2
2
1 1
+  m−n
a n
c) 
14. Al SIMPLIFICAR
a)
n
 1 1
− a
m n
b)m-n
3+8 6
2
e) 2a + b
d)0
m
+
2
d)
a + b   a 2 − ab 

 se obtiene:
a   b(2a + b ) 
 a + 2b
ab + b 2
3− 2
3
c)
12. Al SIMPLIFICAR la expresión: 
−
 a−b
a)
se obtiene:
12 − 8
3+ 2
2
b)
6
+ 2
0.6
1
10
2
e)
1
2− 3
y y=
2
x
1
2+ 3
, entonces la expresión
e)13
×
4x 2 y 3
x − 27
3
4x3
x− y
(x
÷
y3
3
)
+ 3 x + 9 x (x + y )
2
e) 4 x 3 (x + 3)
d) x + y
c)1
. Se obtiene:
R = Números Reales
Q = Números Racionales
I = Números Irracionales
Z = Números Enteros
N = Números Naturales
Entonces una de la siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
b) R − Q = N
c) Q ∪ Z ⊆ I
a) (N ∩ Z ) ⊂ R
d)
e) Z ⊆ (Q ∩ N )
I ∩Q = R
mn n 2
18. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)
8
19. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)
(
)
2 x(x − 1) x 2 + x + 1
se obtiene:
m mn
b) 8 m n
m
m
c)
8
m
d)
n
( )(
)
(x − x)(x − 3)
2x 2 x3 −1 x 2 − 2x − 3
m
3
e) 3 m
se obtiene:
3
(
n
8
)
b) 2 x x 2 + x + 1
c) 2 x(x − 2 )
120
Moisés Villena Muñoz
Números
d)
(
)
2 x x 2 + x + 1 (x − 2 )
x +1
(
20. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)
 x 4 − x 3 + x 2 − x   1  −1



1− x 4
  − 1 − x 

x +1
x
b) −
x
 x−2
−
 x − x
4
b)2
22. Al SIMPLIFICAR la expresión
2x + 1
2x + 2
a)
b)
d) −
x+3
x 2 + 3x − 4
1
x −1
c)
x − x2
x +1
c)
21. Al SIMPLIFICAR la expresión 
2
a)
)
e) 2 x(x + 2 ) x 2 + x + 1
+
se obtiene:
x
x +1
e) −x − 1
[
]
x 2 + 12 x + 16  2
 x (x − 1) se obtiene:
x 4 + 3 x 3 − 4 x 2 
d) x − 1
e) x − 1
2
1
1−
2−
1
2x − 1
3−
2x + 1
1 + 2x
3
se obtiene:
c)1
d)
2x + 3
6x + 7
e) 2 x − 1
23. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
x −1
a)
x −1
= (x − 1)
1
2
a a −a = a a −1
1
1
+
= −1
p −q
1+ x
1 + x q− p
2
a
b)
c)
m
n
d)

1 
1
 x +   x − 
y
y
x m+ n

 
=
m
n
y m+ n
1 
1

y+  y− 
x 
x

e)
3
(0.004)4 (0.0036) = 4 × 10 −8
(120000)2
24. Al SIMPLIFICAR
a)
1 1
 

 +
  1+ 1

x − xy + x + 1 se obtiene:
 y xy + y + 1 − 1 ÷ 

 
1
1
1 xy + 1

y+
 1+
  y+

xy
x
x




b) x
y
c) xy
( )
x + y − 4 xy
25. Al TRANSFORMAR la expresión
a)
1
4
x−
1
4
y
b)
x+
d) y 2 x
y
c) x
1
4
−y
1
e) x 2 y
se obtiene:
4
d)
1
4
x+y
1
2
e)
x+y
1
4
26. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela:
a)
x+ y =
x+
b)
x x x =x 8,
1
y,
x > 0, y > 0
x>0
121
Moisés Villena Muñoz
Números
c)
3
85
<
15
1
d)
e)
2− 7
4
16
81
12 x 2 y 2 + axy − 20a 2 = (3 xy − 4a )(4 xy + 5a )
27. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)

7 x 2 + 7 x + 7  4 
x3 −1
÷

 2
 2
7 x 3 +7
 2 x − 2 x + 2
 x − 1 
b) 2 x
2
28. Al SIMPLIFICAR la expresión:
a)
2
7
−
5
5
− 2 = −2 −
2
x −2 − 2(xy )−1 + y −2
y

x
b) 1
x
d) x − 1
c) 3



( )− 2x
−2
c)
+xy
se obtiene:
−1
e)
x2 −1
2
se obtiene:
0
x+ y
d)
x [x + 2 y ]
2
x− y
e) ( y − x )
2
x [x + 2 y ]
2
29. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)
π
∈ I ∨ 0∈ N
2
b) R − Q = I ∪ φ
d)
(2π)2 ∈ Q
e)Si 1 ∈ I entonces −3 = 1−4
48 − 2
30. Al SIMPLIFICAR la expresión:
7
21 + 14
b)
2
7
c)
9+ 8
( )
21 − 14
7
d)
7− 2
7
e)
d)
a = c2 x2 − b
c=
(a + b )
1
b) b = c x − a
10
a
5
b
3
a)
3
4 4
2 2
2
c2
3
9
a 2b 3
3
2
−
3
a 2b 3
a 2b 3
10
5
b) a 10 b 5
50 −
33. Si se SIMPLIFICA
2
a+b
e) x 2 =
2
x
9
2− 3
c) b = c x − ac x + a
2 2
32. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)
1
a+b
, entonces es FALSO, que.
c
31. Sean a, b y c números reales para los cuales se define la expresión x =
a)
2e
∈Q
e
se obtiene:
1 4 14
−
+ 4 49
4 4
7
28 + 21
a)
4
c)
c) a 2 b 9
se obtiene:
1
1
d) a 3 b 2
1
1
e) a 2 b 3
9
2
2
se obtendrá:
1
2
−
+ 12
3
3
b)
2
c)
3
2
d)
2
3
e)
1
2
y
34. Al SIMPLIFICAR la expresión
x2
x 2 + 3 xy
2 x 2 + 5 xy − 3 y 2
÷
x3 − x 2 y
tenemos:
2 x 2 − 3 xy + y 2
122
Moisés Villena Muñoz
Números
a) y 2
b) x



35. Al SIMPLIFICAR la expresión  2 − p +
a)
d)
c) p + 2
( )
SIMPLIFICAR
d)
la expresión
e)
x
p
a
 p


4  27 3  125 p 6 2 p




,
p
  3 p 
 3  2  3 p
 8  9  10

 
y2
x2
e)
x( p − 2)
a
( )( )
p
36. Al
y2
x
2 p 2   4a + ap 2 
se obtiene:
÷
2 + p   p 2 x − 4 x 
b) p − 2
1
y
x
c)
p ∈ IR
( )
y MULTIPLICARLA por
15 + 14 p − 8 p 2
, se obtiene como resultado:
4p +3
a)
c) (1 + p )
b) 4 p + 3
5−2p
d) (1 − p )
2
2
e) p
37. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)
x8 − 6 x 4 y 4 + y 8 = ( x 4 − y 4 − 2 x 2 y 2 ) ( x 4 − y 4 + 2 x 2 y 2 )
b)
6 x 2 + 19 x − 20 = ( x + 4) (6 x − 5)
c)
x2 −
d)
18a 2 − 13a − 5 = (1 − a )(18a + 5)
e)
4a 4 + 8a 2b 2 + 9b 4 = 2a 2 + 2ab + 3b 2 2a 2 − 2ab + 3b 2
2
1 
1
1
x+ = x− x− 
3
9 
3 
3
(
+
+
)(
+
38. Sea la operación * : Ζ × Ζ → Ζ , tal que:
a) * no es una operación binaria.
b) (3 * 2) * (4 ) = 169
c) La operación no es Conmutativa.
d) (1* 2 )*1 = 25
e)
)
x * y = x 2 + y 2 , entonces es VERDAD que:
(1*1) = 2
39. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
(
)(
a)
x 2 − 23 x +
b)
6 x + 19 x − 20 =
c)
4−23 2 +3 4
1
=
3
10
2+ 2
d)
e)
1
9
= x − 13 x − 13
3 +4 2 −5 8
2
3
5+ 2
(
=
)(
)
x +4 6 x −5
)
6 − 12
2
= 5 −2


 x −4 − y −4 x −2 − 1 
1
1 −
40. Al SIMPLIFICAR la expresión 
+
 x −2 − y −2 x −2 − 1 
y2


1
+

1− y2

a)
x2 + y2 + x2 y2
y2
b) 4 y 2
c)



 se obtiene:



− x2 + y2 + x2 y2
x2
123
Moisés Villena Muñoz
Números
b)
2b 2
x2 + y 2 + x2 y 2
e)
x2
 1 
m a 2   1 1
 ÷  3n 2 a 3

41. Al SIMPLIFICAR la expresión

9nb
 b − 12

a)
1
ma
1
b) m
2
42. Al SIMPLIFICAR la expresión
a)
x+ y
−2
se obtiene:
7
d) a + m
c) a 2
x−





e) ma 6
x2 + y2
y
x3 + y3
se obtiene:
÷
1 1
x2 − y2
−
x y
c) x − y
b) x
e) − x
d) x 2 + y 2
 2 x + 3 3x − 1  6 x − 6 y


−
3 x − 3 y x + y  7 ax − 11ay − 6a

se obtiene:
43. Al SIMPLIFICAR la expresión:
x 2 − xy
2
a)
−
2(x + y )
a
b) −
2
x 2 − 2 xy + y 2
(x − y )
c)
2a
2(x − y )
a
d)
(x + y )
e) 2 x − 2 y
2a
x4
x3
x2
44. Al REDUCIR la expresión:
a)
x
− 18
se obtiene:
x −1
b) x
− 12
c) x
−8
d) x
− 14
e) x
1
8
x + 2y x + y
−
x− y
x
45. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
se obtiene:
2x − y
y
+
x − y 4x − y
a)
1
b)
4 xy − y 2
x
c)
2
46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica
a) −
x +1
x
b) x
x+ y
x3 −1
x2 −1
d) −
c) 1
d)
x− y
e)
y (4 x − 1)
− ( x + 1) se obtiene:
x
x +1
e) −1


2x + y
x + 4y
x −7y
47. Al simplificar la expresión 
− 2
− 2
2
2
2
2
x − 4 xy + 3 y
x − 5 xy + 6 y 
 x − 3 xy + 2 y
se obtiene:
a)
d)
x− y
x − 3y
x− y
y
b)
y
c)
(x − y )(x − 3 y )
x − 3y
e)
y
(
 (x
x2
)(
− y )(x
−1
(x − y )(x − 3 y )
y
) − x − y  . Se obtiene:
)

 x 3 − y 3 x 2 + 2 xy + y 2
48. Al SIMPLIFICAR la expresión: 
a) 0
b) x + y
2
2
2
c) xy
+ xy + y
2
d) 1
e) x + y − 1
124
Moisés Villena Muñoz
Números
49. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a c
si ad = bc ; b, d ∈ IR +
=
b d
b) Si a = b y c ∈ IR entonces ac = bc ; a, b ∈ IR
a)
−n
n
b
a
  =   ; a, b ∈ IR + , n ∈ IN
a
b
a c ad + bc
; b, d ∈ IR +
+ =
b d
bd
c)
d)
Si a > b y c ∈ IR entonces ac > bc ; a, b ∈ IR +
e)
1
50. Al RESOLVER
1+
a) 1
b)
c)
2
 xy + y 2

a) x 2 ( x − y )
b)
1−
1
1+
2
2
13
 x − xy
51. Al SIMPLIFICAR 
÷
c)
(x − y )2




−1
27 y 3
2x
13
5
d) x(x − y )
2
x 2 ( x − y)
e)
5
13
e)
y 2 ( x + y)
x− y
se obtiene:
c) b
 (2 x )3 y −5

b)
(x + y )2
(a + b )2
0 −2
3
d)
a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3
 27 x y
53. Si se SIMPLIFICA la expresión 
 3y 

 2x 
13
2
 x 2 − 2 xy + y 2
÷
se obtiene:
x 2 + 2 xy + y 2 
x 2 y + xy 2
b) a + b
a) 
1
4
x2 − y2
x 2 (x + y )
52. Al SIMPLIFICAR la expresión
a) a
1
1−
1
se obtiene:
1
1−
1
1+
1+
1
×
1
 27 x −1 y

 4 x 2 y −2

c)
3
d)
e) a − b
2

 se obtiene:


y3
x
a−b
a+b
d)
3
y3
2x
e)
3
27 y 3
x3
2
2
54. Si se define la operación binaria a * b = a + ab + b en el conjunto de los números naturales,
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) a * b = b * a
b) 4 * 6 = 76
c)
d)
e)
1 + (1*1) = 4
a *0 ≠ a
La operación binaria * es asociativa.
55. Al SIMPLIFICAR la expresión:
a) y (x − y )
b) 2
2 x 3 − 2 x 2 y + 2 xy 2
x 3 y − xy 3
c)
2
x− y
÷
x3 + y 3
x 2 + 2 xy + y 2
d)
2
y
se obtiene:
e)
2
y (x − y )
125
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
6
6.1 INTERVALOS
6.2 VALOR ABSOLUTO
6.3 ECUACIONES EN UNA INCOGNITA
• ECUACIONES LINEALES
• ECUACIONES CUADRÁTICAS
• ECUACIONES CON RADICALES
• ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
• PROBLEMAS.
La solución de ciertas situaciones problémicas conducen a plantear ecuaciones para
resolverlas. Por tanto, es importante que aprendamos a encontrar los conjuntos solución de
diversos tipos de ecuaciones.
En los problemas de cardinalidad de conjuntos ya se empleaban ecuaciones.
124
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina diversos tipos de intervalos
 Represente intervalos en la recta real.
 Defina valor absoluto de un número real.
 Aplique las propiedades del valor absoluto.
 Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas, con radicales, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones.
6.1 INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de números reales.
Tenemos los siguientes tipos de intervalos:
INTERVALO CERRADO
INTERVALO ABIERTO
I = [a b] = {x / a ≤ x ≤ b donde x ∈ R}
I = (a, b ) = {x / a < x < b
donde x ∈ R}
INTERVALOS SEMIABIERTOS
I = [a, b ) = {x / a ≤ x < b donde x ∈ R}
I = (a, b] = {x / a < x ≤ b donde x ∈ R}
OTROS INTERVALOS
I = (− ∞, a ] = {x / x ≤ a donde x ∈ R}
I = [b, ∞ ) = {x / x ≥ b donde x ∈ R}
6.2 VALOR ABSOLUTO
Si a ∈ R , entonces el VALOR ABSOLUTO de a
a,
denotado
como
se
define
como:
 a si a ≥ 0
a =
− a si a < 0
Es decir, si a es un NÚMERO POSITIVO o CERO su valor absoluto
es el mismo número. Si a ES NEGATIVO su valor absoluto es el número
cambiado de signo (lo hacemos positivo).
125
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Ejemplo 1
2 =2
Ejemplo 2
−2 = −(−2 ) = 2
Ejemplo 3
−
1 1
=
5 5
6.2.1 PROPIEDADES
Si a ∧ b ∈ R , entonces:
1. a ⋅ b = a ⋅ b
2.
a
a
=
b
b
;
b≠0
3. a + b ≤ a + b
4. a − b ≥ a − b
No olvide demostrarlas.
Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros
tipos de intervalos.
6.2.2 INTERVALOS SIMÉTRICOS
I = [− a, a ] = {x / − a ≤ x ≤ a donde x ∈ R} = {x / x ≤ a}
PREGUNTA: ¿A QUÉ INTERVALO SE REFIERE EL CONJUNTO?
{
}
I = x / x ≥ a donde x ∈ R
Bien empecemos a tratar a las ecuaciones o igualdades.
6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA
126
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que
tienen una incógnita “ x ”, y usualmente están estructuradas de la
siguiente manera:
Expresión
Expresión
algebraic
algebraic
=
a en “ x ”
a en “ x ”
MIEMBROS
6.3.1 LEYES
En una igualdad, sin alterarla, usted puede:
1. Sumar o restar una misma cantidad a
ambos miembros. Es decir:
Si a = b , entonces a + c = b + c ; para todo
c∈R
2. Multiplicar una misma cantidad a ambos
miembros. Es decir:
Si
a=b
entonces
a⋅c = b⋅c ;
para
todo c ∈ R
3. Dividir una misma cantidad (diferente
de cero) a ambos miembros. Es decir:
Si a = b entonces
a b
= ;
c c
para todo
c∈R ∧c≠0
6.3.2. E CUACIONES DE P RIMER G RADO (ECUACIONES LINEALES)
Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya
expresión algebraica una vez simplificada presenta la forma:
p ( x) : ax + b = 0
conjunto solución Ap( x) = ?
a≠0
Determinemos
su
ax
a/
a/
x
127
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
 b
entonces Ap ( x) = − 
 a
Despejando “ x ” tenemos:
Prueba: si reemplazamos el valor de “ x ” en la ecuación dada, entonces:
 b
a/  −  + b = 0
 a/ 
0=0
Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo
elemento, es decir existe un sólo valor para x que satisface la
ecuación. Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa.
Ejercicio resuelto
El valor de " x " que se obtiene al RESOLVER la ecuación :
5 x − 22
11
5
− 2
− =0
x − 6 x + 9 x − 3x x
b) −4
c) 4
d) 26
e) 12
2
es:
a) −26
SOLUCIÓN:
Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego " x "
5 x − 22
x − 6x + 9
2
−
11
x − 3x
2
−
5
5 x − 22
11
5
=0≡
−
− =0
x
( x − 3)( x − 3) x( x − 3) x
≡
5 x 2 − 22 x − 11( x − 3) − 5( x − 3) 2
=0
x( x − 3)( x − 3)
≡ 5/ x 2 − 22 x − 11x + 33 − 5/ x 2 + 30 x − 45 = 0
≡ −3x − 12 = 0
≡ −3x = 12
≡ x = −4
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “b”
Ejercicios Propuestos 6.1
1.
2.
Si Re = IR , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
[
]
a)
1
2
1
1 + 1 (3 x − 1) = x −
4
2
3
2
b)
(1 + x)3 − (1 − x)3 = 2 x3
Un valor de " x " que satisface a la igualdad:
x + 17
x − 6x + 8
2
es:
a) 0
b) 1
+
x−2 x−4
,
=
x−4 x−2
c) −1
d) 2
Re = IR ,
e) −2
128
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
3. Sea el predicado
SOLUCIÓN
p( x) :
Ap(x) es:
{ } b) {78 }
a) 8
7
x
x −1
10
. ; Re = IR . Entonces su
=
+
x − 2 x + 5 x 2 + 3x − 10
{}
c) 3
2
{}
d) 2
3
CONJUNTO
{}
8
e) 3
6.3.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (ECUACIONES CUADRÁTICAS)
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado,
que una vez que haya sido simplificado, presenta la forma:
p( x ) : ax 2 + bx + c = 0 ,
Su conjunto
siguientes métodos:
donde a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0
solución se lo puede determinar por los
1. FACTORIZANDO el trinomio, siempre y cuando sea posible.
Entonces tendríamos:
( x − x1 )( x − x 2 ) = 0





a
b
Por lo tanto, como ab = 0 si y sólo si a = 0 ∨ b = 0 , entonces:
Ejemplo
2
Para la ecuación 6 x + x − 7 = 0
FACTORIZANDO
Prueba:
1.
Con
x =1
6(1) + 1 − 7 = 0
2
tenemos:
(6 x + 7)(6 x − 6)
=0
6
( x − 1)(6 x + 7) = 0
x −1 = 0 ∨
6x + 7 = 0
x =1 ∨
6 x = −7
7
x=−
6
Tiene 2 soluciones reales
2.
Con
x =−7
6
2
 7  7
6 −  +  −  − 7 = 0
 6  6
 49   7 
6/   +  −  − 7 = 0
 36   6 
6
49 7
− −7=0
6 6
2. Empleando la Fórmula GENERAL. En cualquier caso se podría
completar cuadrados, para de allí encontrar x , entonces
obtendríamos:
x1 , x 2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
¿Dedúzcala?
129
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Ejemplo
Aplicando la fórmula general, encontremos las raíces de la ecuación cuadrática
2
del ejemplo anterior: 6 x + x − 7 = 0
a=6
Tenemos que:
−1 ±
x1, x2 =
=
por lo tanto:
b =1
c = −7
(1)2 − 4(6)(− 7 )
2(6 )
− 1 ± 1 + 168
12
− 1 + 13

 x1 = 12 = 1
− 1 ± 13
x1, x2 =
entonces 
12
 x = − 1 − 13 = − 14 = − 7
 2
12
12
6
6.3.3.1 Discriminante
A la expresión dentro del radical de la fórmula general se
la
llama DISCRIMINANTE y se la denota con la letra D
Entonces:
D = b 2 − 4ac
 CASO I: Si D > 0 , entonces las raíces serán reales y
diferentes. Es decir:
x1 =
− b + b 2 − 4ac
2a
y
x2 =
− b − b 2 − 4ac
2a
Observe el ejemplo anterior.
 CASO II: Si D = 0 , entonces las raíces serán reales e
iguales. Es decir: x1 = x2 = −
b
.
2a
Ejemplo
Encontrando las raíces, aplicando la fórmula general, de la ecuación
2
cuadrática: 4 x + 4 x + 1 = 0
Para esta ecuación, tenemos que: a = 4
x1, x2 =
por lo tanto:
−4±
=
b=4
c =1
(4)2 − 4(4)(1)
2(4)
− 4 ± 16 − 16
8
−4+0
4
1

 x1 = 8 = − 8 = − 2
−4±0
x1, x2 =
entonces 
8
x = − 4 − 0 = − 4 = − 1
2
8
8
2

130
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
 CASO III: Si D < 0 , entonces las raíces son complejas
conjugadas. Como nuestro campo será sólo los
números reales, en este caso se dirá que el conjunto
solución de la ecuación cuadrática es vacío. Es decir
no existen valores reales para x que satisfagan la
ecuación.
Ejemplo
Para la ecuación cuadrática:
Tenemos que: a = 4
x1, x2 =
x 2 + 6 x + 13 = 0
b=4
−6±
c =1
(6)2 − 4(1)(13)
2(1)
− 6 ± 36 − 52
2
− 6 ± − 16 − 6 ± (16)(−1) − 6 ± 16 − 1
=
=
por lo tanto: x1, x2 =
2
2
2
llamando
− 1 = i tenemos :
=
x1, x2 =
− 6 ± 4i
= −3 ± 2i
2
Bien, ahora revisemos el siguiente ejercicio resuelto:
Ejercicio Resuelto
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente ecuación:
x −3
32
; Re = IR
−3 =
2
x +1
x + 3x + 2
b) {−4,−2}
e) {−1}
a) {4,−2}
d) {−4,2}
, es:
c) {4,2}
SOLUCIÓN: Hay que empezar simplificando, todo lo que sea posible, las expresiones algebraicas
presentes en la ecuación dada.
32
x + 3x + 2
2
−3 =
x−3
x +1
x−3
32
−3−
=0
x +1
( x + 2)( x + 1)
32 − 3( x + 2)( x + 1) − ( x − 3)( x + 2)
≡
=0
( x + 2)( x + 1)
≡
≡ 32 − 3 x 2 − 9 x − 6 − ( x 2 + 2 x − 3 x − 6) = 0
≡ 32 − 3 x 2 − 9 x − 6 − x 2 − 2 x + 3 x + 6 = 0
≡ −4 x 2 − 8 x + 32 = 0
≡ 4( x 2 + 2 x − 8) = 0
≡ ( x + 4)( x − 2) = 0
≡ x1 = −4 ∨ x2 = 2
131
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”
Ejercicios Propuestos 6.2
1.
La ecuación :
a) 5
2.
16
x 2 + 2x − 8
+
= x 2 ;∧ x ∈ IR se satisface con x
x−2
x−4
b) −1
c) −4
e) −5
d) 1
2 x + 1 3x − 1
=
3x + 4 9 x − 8
Para la ecuación:
igual a:
, donde x ∈ IR .
Es CIERTO que:
a) No tiene solución
b) Tiene una solución
c) Tiene dos soluciones
d) Tiene más de dos soluciones
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
3.
Sean las ecuaciones 10 x − 11x + 3 = 0
2
6x2 − 7 x + k = 0
y
El valor que debe tomar k para que la raíz de menor valor de la primera ecuación sea también raíz
de la segunda ecuación es:
b) −3
c) 1
d) 2
e) −2
a) 3
6.3.3.2 Propiedades de las raíces de la ecuación
cuadrática
Ya sabemos que la ecuación cuadrática
− b + b 2 − 4ac
2a
tiene por raices a: x1 =
∧
x2 =
ax 2 + bx + c = 0
− b − b 2 − 4ac
, veamos
2a
ahora ¿qué sucede si las sumamos? y ¿qué sucede si las
multiplicamos?
6.3.3.2.1 Suma de las raíces
x1 + x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
+
2a
2a
x1 + x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − 2b
=
2a
2a
Entonces: x1 + x 2 = −
b
a
6.3.3.2.2 Producto de las raíces
 − b + b 2 − 4ac
x1 ⋅ x 2 = 
2a


x1 ⋅ x 2 =
x1 ⋅ x 2 =
x1 ⋅ x 2 =
 − b − b 2 − 4ac

2a


b 2 − 4ac 


(− b )2 − 
(
4a 2
b 2 − b 2 − 4ac




2
)
4a 2
4ac
4a 2
132
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Entonces: x1 ⋅ x 2 =
c
a
Ejemplo
La ecuación cuadrática 6 x 2 + x − 7 = 0 , que fue resuelta anteriormente, se obtuvo
como solución a x1 = 1 y x 2 = −
7
.
6
1
 7
 = − , que es el mismo valor que se
6
 6
Si las sumamos directamente se obtiene: x1 + x2 = 1 +  −
obtiene aplicando la propiedad x1 + x 2 = −
b
1
=− .
a
6
7
 7
x1 ⋅ x 2 = (1) −  = − , que es el
6
6


c −7
x1 ⋅ x 2 = =
a
6
Por otro lado, si las multiplicamos directamente se obtiene
mismo valor que se obtiene aplicando la propiedad
Ahora analicemos lo siguiente
Ejercicio Resuelto 1
En la ecuación: 3 x 2 + 11x = 3 x − k , el valor de " k " para el cual la suma de
las soluciones es igual a dos veces su producto, es:
a) −1 b) −2 c) −3 d) −4 e) −5
SOLUCIÓN: Para la ecuación 3x 2 + 11x = 3x − k , queremos que sus raíces x1 y x 2 cumplan
con: x1 + x 2 = 2 x1 ⋅ x 2 .
Agrupando términos tenemos:
tenemos a = 3 b = 8
3x 2 + 11x − 3x + k = 0
3x 2 + 8 x + k = 0
. Para esta última ecuación simplificada
c=k
x1 + x 2 = 2 x1 ⋅ x 2
b
c
= 2 
a
a
Y empleando la condición dada, obtenemos lo pedido: − 8 = 2 k 
3/
 3/ 
2k = −8
k = −4
−
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”
Ejercicio Resuelto 2
El valor positivo de k para el cual, la suma de las raíces de la ecuación:
k 2 − 5 x 2 + 2k (k − 2 x ) − 2 = 0 ; es igual a 1 ; se encuentra en el intervalo:
a) [6, 10]
b) [15, 20]
c) [0, 6]
d) [8,10]
e) [−2, 0)
(
)
(
)
SOLUCIÓN: queremos que las raíces de la ecuación k 2 − 5 x 2 + 2k (k − 2 x ) − 2 = 0 sumen 1 ,
es decir x1 + x 2 = 1
Entonces, destruyendo paréntesis y agrupando términos para darle la forma cuadrática, nos queda:
a
c






b

2
2
2
k − 5 x − 4k x + 2k − 2 = 0
(
)
(
)
133
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
x1 + x 2 = 1
x1 + x 2 = −
− 4k
(k
)
−5 ⇒ −
2
Aplicando la condición tenemos:
− 4k
(k
2
−5
) =1
≡ 4k = k 2 − 5
≡ k 2 − 4k − 5 = 0
≡ (k − 5)(k + 1) = 0
≡ k1 = 5
∨ k 2 = −1
Tomando sólo el valor positivo k = 5 , observamos que este valor se encuentra en el intervalo
por tanto la opción “c” es la RESPUESTA correcta.
[0,6] ,
Ejercicios Propuestos 6.3
1.
2 2
  x + 5x − 9 = 0
3
La suma y el producto de las raíces de la ecuación:
son
respectivamente:
15
25
; −
2
2
27 15
b) −
;
2
2
15 27
;
2
2
15
27
d) −
; −
2
2
a) −
2.
El valor de
k
c)
para que la ecuación:
e) −
10
18
; −
3
3
8
3
x 2 − 8kx − 9 = 0 tenga raíces cuya suma sea igual a
es:
b) −
a) 3
3.
1
3
1
3
c)
d) −3
En la ecuación: 8 x 2 − ( m − 1) x + ( m − 7) = 0 , encuentre el valor que debe tomar m para que
la suma de las soluciones de la ecuación dada sea igual a
b) −7
a) 7
4.
5.
c)
3
.
4
1
7
d) −
1
7
e)
2
7
La ecuación cuadrática cuya suma de raíces sea 7 y cuyo producto sea 10 , es:
a)
x 2 − 7 x + 10 = 0
b)
x 2 + 10 x − 7 = 0
c)
x 2 − 7 x − 10 = 0
d)
x 2 − 10 x + 7 = 0
e)
x + 7 x − 10 = 0
2
Encuentre la ecuación de segundo grado que tenga como coeficiente de x
coeficiente de x una de las raíces y por término independiente la raíz restante.
a) x + x + 2
c) x − x + 2
b) x − x − 2
d) x + x − 2
2
2
la unidad, como
2
2
6.
e) 0
e) x + x + 1
2
Encuentre el valor de
k
2
para el cual la suma de las soluciones de la ecuación
5 x + 6 x + k = 0 sea dos veces su producto.
a) −3
b) 3
c) 7
2
7.
d) −7
e) 0
Considere la ecuación: mx 2 − nx + x 2 + 2 = − x − 1 . Los VALORES de m y n para que la
suma de sus soluciones sea 2 y su multiplicación sea −6 , son:
a)
m=0
d)
m=−
3
2
n = −1
b) m =
1
2
n=0
e) m =
3
2
n=0
c) m = −
1
2
n =1
n = −1
134
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
6.3.4 ECUACIONES CON RADICALES
Otros tipos de ecuaciones son aquellas que en sus expresiones
algebraicas iniciales presentan radicales, entonces el objetivo inicial
debe ser deshacerse de los radicales.
Ejemplo 1
Considere el predicado p( x) : x + 13 − 7 − x = 2
y Re = IR
Despejando un radical y elevando al cuadrado para destruirlo:
x + 13 − 7 − x = 2
≡
(
x + 13
)2/ = (2 +
7−x
)2
≡ x + 13 = 4 + 4 7 − x + 7 − x
≡ 2x + 2 = 4 7 − x
≡ 2( x + 1) = 4 7 − x
≡ x +1= 2 7 − x
(
≡ (x + 1)2 = 2 7 − x
)2
≡ x 2 + 2 x + 1 = 4(7 − x)
≡ x 2 + 2 x + 1 = 28 − 4 x
≡ x 2 + 6 x − 27 = 0
≡ ( x + 9)( x − 3) = 0
≡ x1 = −9 ∨ x2 = 3
En las ecuaciones con radicales aparecen las llamadas SOLUCIONES EXTRAÑAS.
Para precisar las soluciones se hace imprescindible reemplazar los valores de x obtenidos para ver si en
verdad satisfacen o no el predicado original. Sólo los valores de x que satisfagan el predicado en la
forma inicial dada, serán soluciones de la ecuación.
Entonces para la ecuación anterior:
− 9 + 13 − 7 − (9) = 2
1.
Con
x = −9
tenemos:
4 − 16 = 2
2−4 = 2
−2 ≠ 2
NO satisface
3 + 13 − 7 − 3 = 2
2.
Con
x=3
tenemos:
16 − 4 = 2
4−2 = 2
2=2
SI
satisface
Por lo tanto Ap ( x) = {3}
Ejemplo 2
Sea p( x) :
x + 2 = 2 x − 4 y Re = R . Entonces el conjunto solución está
contenido en el intervalo:
a) [0,5]C
b) [2,3]
c) [3,∞ )
d) [0,3]
e) [2,5]C
SOLUCIÓN: Procedemos de forma semejante al ejemplo anterior.
135
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
(
x +2
) = ( 2x − 4)
2
2
x + 2 = 2x − 4
x = 2x − 4 − 2
( x )2 = (2 x − 6)2
x = 4 x 2 − 24 x + 36
4 x 2 − 25 x + 36 = 0
4 


 4/ x − 16 (4 x − 9 )




=0
4/
( x − 4)(4 x − 9) = 0
9
x1 = 4
x2 =
4
Reemplazando:
4 + 2 = 2(4) − 4
Con x = 4 tenemos: 2 + 2 = 8 − 4
4= 4
2 = 2 SI
con
x=
9
4
satisface
9
9
+ 2 = 2  − 4
4
4
tenemos:
3
9
+2=
−4
2
2
7
≠
2
1
2
NO
satisface
Entonces Ap ( x) = {4} . Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”
Ejercicios Propuestos 6.4
1.
Sea Re = IR , encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación:
x + 14 − x − 7 =
2.
La SUMA DE LAS SOLUCIONES reales de la ecuación:
a)
3.
4.
6
x−7
3
Dada ecuación:
SOLUCIÓN es:
a) {0 , 1}
b) -
3
2
x+ 2− x
c) 2 3
7
3
+
2
x − 2 − x2
d) − 2 3
= x es:
e) 0
x + x + 1 = 2 x + 1 ; Si Re = [0, ∞ ) ; entonces el CONJUNTO
b) {1 , − 1}
c) {0 , − 1}
El valor de la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación:
a)
2
b) 2
c) 0
d) {0}
e) {−1}
5 − 2 x − x + 6 = x + 3 , es:
d) −
1
3
e) −2
Existen ciertos tipos de ecuaciones muy singulares:
136
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
1.
p( x) : x + 2 = x + 2
x− x = 2−2
0 = 0 Verdadero
2.
p( x) : x + 2 = x + 1
x − x = −2 + 1
0 = −1 Falso
entonces
Ap( x) = Re
entonces Ap (x) = φ
6.3.5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
La definición de valor absoluto para un número real, ya fue
proporcionada. Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que
tienen expresiones algebraicas afectadas por valor absoluto.
En casi todas las situaciones la expresión de la forma x − a es
la que aparecerá en este tipo de ecuaciones. En otras situaciones
será de la forma mx − a .
Dediquémonos en primera instancia a la primera forma.
El objetivo estará en destruir el valor absoluto. Se lo podrá
hacer de la siguiente manera:
 x − a cuando x − a ≥ 0
La expresión x − a = 
− ( x − a ) cuando x − a < 0
Lo cual es equivalente a:
 x − a cuando x ≥ a
x−a = 
a − x cuando x < a
Recuerde que en la recta numérica, los x > a son los que están
a la derecha de a y los x < a son los que están a la izquierda de a .
Entonces, se determina primero dónde se hace cero x − a , esto
será en x = a ; al cual llamaremos punto crítico. A partir de allí,
cuando se reemplaza a la x por un número que esté a la derecha de
a , el valor numérico de la expresión x − a será positivo y al
reemplazar a la x por un número a la izquierda de a ahora el valor
numérico de la expresión x − a será negativo.
Esquemáticamente, tendríamos:
x<a x>a
x − a < 0← →
x−a > 0
(−)
(+)
                  
→
a
137
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Para el caso de mx − a , lo anterior se cumple para x =
Veamos situaciones específicas:
a
.
m
Ejemplo 1
Si quisiéramos destruir x − 2 entonces:
− (x − 2) ← → x − 2
Ejemplo 2
     

→
2
Si quisiéramos destruir x + 2 entonces:
− (x + 2) ← → x + 2
     
     →
−2
Ejemplo 3
Si quisiéramos destruir 2 x − 1 entonces:
− (x −
1
2
)← →
x−
1
2
     
→
1 
2
En todos los ejercicios consideraremos Re = IR , salvo que se diga
lo contrario.
Ejercicio Resuelto 1
Sea p( x) : x = 2 Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la
ecuación son 2 y −2 . Entonces Ap( x) = {2,−2} .
Ejercicio Resuelto 2
Sea p( x) : x − 1 = 2 Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la
ecuación son 3 y −1 . Entonces Ap( x) = {3,−1} .
Ejercicio Resuelto 3
Sea p( x) : x − 1 = 2 x + 3 . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Ahora en cambio, sí necesitamos destruir el valor absoluto (¿POR QUÉ?) y lo vamos a
hacer empleando el método anterior. Para lo cual en una recta numérica, tenemos:
.
− (x − 1) = 2 x + 3 ← → x − 1 = 2 x + 3
-2/3
Buscamos
x < 1 que
1
138
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Observe que
x = −4
no es mayor que 1 , por tanto no es solución, en cambio
x=−
2
3
sí es
 2
.
 3
menor que 1 , por tanto sí es solución. Entonces Ap (x) = −
Ejercicio Resuelto 4
Sea p( x) : x x − 1 = 2 . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Destruimos el valor absoluto de la misma forma anterior.
− x( x − 1) = 2 ← → x( x − 1) = 2
.
2
1
− x2 + x − 2 = 0
x2 − x − 2 = 0
( x − 2)( x + 1) = 0
x = 2 ∨ x = −1
x −x+2=0
NO hay solución
real
2
Entonces Ap ( x) = {2}
Ejercicio Resuelto 5
Sea p( x) : 2 x − 1 = 4 x + 3 Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Debemos destruir ambos valores absolutos simultáneamente. Observe que 2 x − 1 arrojará
valores positivos cuando reemplazamos x > 1 (a la derecha de 1 ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos
2
2
1
1
x < 2 (a la izquierda de 2 ). De manera análoga, observamos que 4 x + 3 arrojará valores positivos cuando
reemplazamos x > − 3 (a la derecha de − 3 ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos x < − 3 (a la
4
4
4
3
izquierda de − ). Combinando todo esto, tenemos:
4
2x − 1 < 0
4x + 3 < 0
2x − 1 > 0
4x + 3 > 0
− (2 x − 1) = −(4 x + 3) ← → − (2 x − 1) = 4 x + 3 ← → (2 x − 1) = 4 x + 3
.
(−)
(+ )
(+ )
                                        
→
3
1
1
0
−2
−
−
4
3
2
− (2 x − 1) = −(4 x + 3)
− 2x + 4x = 3 − 1
2 x = −4
x = −2 SI
2x −1 = 4x + 3
2x − 4x = 3 + 1
x = −2 NO
−(2 x − 1) = 4 x + 3
− 2x − 4x = 3 − 1
− 6x = 2
x=−
1
3
SI
139
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Entonces Ap( x ) = − 2,− 1 
3

140
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Ejercicio Resuelto 6
3x − 1
= 1 Determine su conjunto solución.
2x + 3
SOLUCIÓN: Note que es semejante al anterior, una vez que se haga lo siguiente:
3x − 1
3x − 1
a
=1 ≡
=1
por la propiedad a =
2x + 3
2x + 3
Sea p(x) :
b
≡ 3x − 1 = 2 x + 3 ∧ x ≠ − 3
−
b
2
+
−
+
− (3 x − 1) = −(2 x + 3) ← → − (3 x − 1) = 2 x + 3 ← → (3 x − 1) = 2 x + 3
                                         
→
3
2
1
0
4
−
−
2
5
3
−(3 x − 1) = −(2 x + 3)
− (3x − 1) = (2 x + 3)
− 3x + 1 = 2 x + 3
− 3x − 2 x = 3 − 1
2
x=−
SI
5
− 3 x + 1 = −2 x − 3
− 3 x + 2 x = −3 − 1
x=4
NO
{
Entonces Ap( x ) = 4,− 2
5
3x − 1 = 2 x + 3
3x − 2 x = 3 + 1
x = 4 SI
}
Ejercicio Resuelto 7
3x − 1
= −1 Determine su conjunto solución.
2x + 3
Sea p(x) :
SOLUCIÓN: Es obvio que su conjunto solución
Ap(x) = φ ¿POR QUÉ?
Ejercicio Resuelto 8
Sea p( x ) : x 2 − x = x x − 1 Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Análogamente, debemos destruimos los valores absolutos presentes:
x 2 − (− x) = x(−( x − 1)) ← → x 2 − x = x(−( x − 1)) ← → x 2 − x = x(x − 1)
.
.


→
0
1
x 2 − (− x) = x[− ( x − 1)]
x 2 − x = x[− ( x − 1)]
x 2 + x = x(− x + 1)
x 2 − x = x(− x + 1)
x2 + x = x − x2
x2 − x = x − x2
2x2 = 0
x=0
Entonces
2x2 − 2x = 0
2 x( x − 1) = 0
x=0
∨ x =1
x2 − x = x2 − x
0 = 0 Verdadero
Todo x > 1 satisface
Ap( x ) = {0} ∪ [1, ∞ )
141
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Ejercicios Propuestos 6.5
1.
Sea Re = IR , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a)
3− x = 2
b)
x − 3 = 2x
c)
2x2 − 3 x = x
d)
x −1 = 3 x
e)
x −1 = 3 + 2 x + 2
f)
x − 5 + x + 2 = −3
g)
x − x − a 2 − 4 x 2 + 4ax − a 2
h)
2x + 1 + x = x − 3
i)
6 − x − x = x x −1
= −a 2
142
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
6.3.6 PROBLEMAS DE PLANTEO DE ECUACIONES
En el proceso de resolución de un problema, en el cual se
requiere plantear ecuaciones para llegar a su solución, usted puede
seguir los siguientes pasos:
PRIMERO: Lea todo el problema. Para familiarizarse con su
contenido y su posible vía de solución.
SEGUNDO: Defina la incógnita. Esta puede ser una
INCOGNITA
DIRECTA, que es la que solicita el problema; o INCOGNITAS
INDIRECTAS, que se determinan en primera instancia para luego
determinar la incógnita directa.
TERCERO:
Interprete los datos.
CUARTO:
Interprete la condición.
QUINTO:
SEXTO:
De acuerdo al planteamiento de la condición del problema,
realice el desarrollo, en busca de la incógnita.
Proporcione la respuesta respectiva a lo solicitado en el
problema.
Problema Resuelto 1
Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de
la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora el hombre? ¿Cuántos años tiene
ahora la esposa?
SOLUCIÓN:
x≡
INCÓGNITA:
La edad ACTUAL de la esposa es
DATOS:
CONDICIÓN
Edad ACTUAL del hombre.
x−7
≡ Edad hom bre
 x − 10
HACE 10 AÑOS 

 x − 7 − 10 ≡ Edad esposa
EDAD DEL HOMBRE HACE 10 AÑOS = 2 (EDAD DE LA MUJER HACE 10 AÑOS)
DESARROLLO:


x − 10 = 2[x − 17]
x − 10 = 2 x − 34
x − 2 x = −34 + 10
− x = −24
x = 24
RESPUESTA: El hombre tiene 24 años. Entonces la esposa tiene:
x − 7 = 24 − 7
= 17 años
143
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Problema Resuelto 2
En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores
de edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numerosa. Este
beneficio consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños,
medio pasaje cada uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colectivo, en cuyo
caso, cada miembro de la familia paga pasaje entero, pero, a su vez, cada pasaje
cuesta las dos terceras partes del pasaje del tren.
Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea igual a lo
que se paga en colectivo es:
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 1
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
DATOS:
DESARROLLO:
TREN



 COLECTIVO



x
2
2 
 x 2
x + + n  = x + x + n x 
2
3
3 
2 3
dividiendo para x, tenemos :
n : # niños
x = Pasaje en tren
2
x = pasaje colectivo
3
1 n 2 2 2
+ = + + n
2 2 3 3 3
2 + 1 + n 2 + 2 + 2n
=
2
3
3 + n 4 + 2n
=
2
3
3(3 + n) = 2(4 + 2n)
9 + 3n = 8 + 4n
3n − 4n = 8 − 9
n = 1 niño
1+
CONDICIÓN:
PAGO FAMILIAR EN TREN = P AGO FAMILIAR COLECTIVO
RESPUESTA: Debe haber un niño para cumplir con la condición. Por lo tanto la opción “a” es correcta.
Problema Resuelto 3
Un pelotón de 180 personas esta dispuesto en filas. El número de personas de cada
fila es 8 más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántos personas en cada
fila?
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
DATOS:
CONDICIÓN:
DESARROLLO:
x=
cantidad de filas
Total de personas = 180
Cantidad de personas por fila = x + 8
(CANT. FILAS).(CANT. DE PERSONAS POR FILA) = TOTAL DE PERSONAS
x( x + 8) = 180
x 2 + 8 x = 180
x 2 + 8 x − 180 = 0
( x + 18)( x − 10) = 0
x = −18 NO
x = 10 SI
RESPUESTA:
Por tanto hay 10 filas y
x + 8 = 10 + 8
= 18 personas en cada fila
144
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Problema Resuelto 4
La Sra. Cordero va invertir $70000 . Ella quiere recibir una utilidad de $5000 . Puede
invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% , o con un riesgo mayor, al 8.5%
de los bonos hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que
minimice los riesgos y obtenga los $5000 ?
SOLUCIÓN:
DATOS:
El resto 70000 − x es invertido al 8.5%
Rentabilidad Total = $5000
INCOGNITA:
x = cantidad invertida al 6%
CONDICIÓN:
RENT. DE LA CANT. AL 6%
+ RENT. DE LA CANT. AL
8.5% = RENT. TOTAL
DESARROLLO:
rent . al 6%
rent . al 8.5%


 rent. Total

6
8.5
(70000 − x ) = 5000
x +
100
100
6 x + 8.5(70000 − x) = 500000
6 x + 595000 − 8.5 x = 500000
6 x − 8.5 x = 500000 − 595000
− 2.5 x = −95000
x = $38000 al 6%
RESPUESTA:
La señora Cordero debe invertir $38000 al 6% y el resto $32000 al 8.5%
Problema Resuelto 5
Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en $29000 en
total. Vende el Toyota y obtiene una ganancia del 10% y en el otro pierde el 5% ; y
aún así, obtuvo una ganancia de $1850 , por la transacción completa. Entonces el
costo inicial del Toyota y del Skoda es:
b) $22000 y $7000
c) $18000 y $11000
a) $20000 y $9000
d) $21500 y $7500
e) $22500 y $6500
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Precio de compra del Toyota
DATOS:
Precio de compra del Skoda = 29000 − x
Ganancia total = $1850
CONDICIÓN:
GANANCIA EN EL TOYOTA – PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA
TOTAL
DESARROLLO:
Gan. Toy.
Pérd . Skoda
 
 Gan. Total

10
5
(29000 − x ) = 1850
x −
100
100
10 x − 145000 + 5 x = 185000
10 x + 5 x = 185000 + 145000
15 x = 330000
x = $22000 el Toyota
RESPUESTA:
El precio de compra del Toyota fue de $22000 y el del Skoda $7000 . Por tanto la opción “b” es
t
145
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Para los siguientes tipos de problemas se emplean las
siguientes definiciones:
INGRESOS POR VENTAS: I = (PRECIO VENTA).(CANTIDAD VENDIDA)
COSTOS FIJOS: CF (Alquiler, personal, luz, teléfono)
COSTOS VARIABLES: CV = (COSTO UNITARIO)(CANTIDAD PRODUCIDA)
COSTOS TOTALES = CF + CV
UTILIDAD: U = INGRESOS – COSTOS
Problema Resuelto 6
José vende pilas de teléfonos celulares a $5 dólares cada uno. Si los COSTOS FIJOS
de producir las baterías es de $300 dólares y los COSTOS VARIABLES es de $1 dólar
por unidades, entonces la cantidad de pilas x que debería de producir y vender para
obtener una UTILIDAD igual a $500 dólares es:
a) 500
b) 400
c) 600
d) 300
e) 200
SOLUCIÓN:
INCOGNITA
x = cantidad de pilas
DATOS:
Precio venta p = $5
CF = $300
CV = $1 / unidad
DESARROLLO:
U = I −C
U = px − [CF + CV ]
500 = 5 x − [300 + 1( x)]
500 = 5 x − 300 − x
800 = 4 x
x = 200 pilas
CONDICIÓN:
OBTENER UNA UTILIDAD DE $500
RESPUESTA:
José debe vender 200 pilas para obtener las utilidades deseadas. Por tanto la opción “e” es
correcta.
146
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Problema Resuelto 7
Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El
puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de $180 al mes, al subir el
alquiler algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada
incremento de $5 , una habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse.
Encuentre el alquiler que debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total
de $11475 .
SOLUCIÓN:
DESARROLLO:
INCOGNITA:
x = Números de incrementos de $5 en el precio de alq.
cant . hab
precio





I = (180 + 5 x )(60 − (1)x )
11475 = (180 + 5 x )(60 − x )
DATOS:
Total de habitaciones = 60
Precio para alquilar todas las habitaciones = $180
11475 = 10800 − 180 x + 300 x − 5 x 2
11475 = 10800 + 120 x − 5 x 2
5 x 2 − 120 x + 11475 − 10800 = 0
5 x 2 − 120 x + 675 = 0
CONDICIÓN:
OBTENER INGRESOS DE $11475
Donde INGRESO por alquiler = (PRECIO alquiler)(CANT. de habit. alquil
x 2 − 24 x + 135 = 0
(x − 15)(x − 9) = 0
x = 15 ∨ x = 9
RESPUESTA:
Esteban debe hacer 15 ó 9 incrementos de $5 en el precio de alquiler de las habitaciones para así obtener los $11475 de
 p = 180 + 5(15) = $255
 p = 180 + 5(9) = $225
ingreso. Es decir que el PRECIO DE ALQUILER de cada habitación podrá ser: p = 180 + 5 x ⇒ 
Problema Resuelto 8
Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede
rentar cada una de ellas en $400 mensuales. Sin embargo se conoce que por cada
$20 de aumento por mes, dos suites quedarán desocupadas sin posibilidad de
rentarlas. Entonces el precio por cada suite, obteniendo los mismos ingresos pero
quedando algunas suites sin alquilar, es:
b) $480
c) $520
d) $460
e) $500
a) $400
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Números de incrementos de $20 en el precio de
alq.
CONDICIÓN:
Que los ingresos se mantengan aunque se
incremente el precio de renta de las oficinas, es
decir:
Ingresos = (50 of .) ($400 c / u ) = $20000
DATOS:
Total de oficinas = 60
Precio para alquilar todas las oficinas = $400
DESARROLLO:
I = ( prec.)(Cant.)
20000 = (400 + 20 x)(50 − 2 x)
20000 = 20000 − 800 x + 1000 x − 40 x 2
40 x 2 − 200 x = 0
4 x ( x − 5) = 0
x=0 ∨ x=5
RESPUESTA:
La empresa debe hacer 5 5 incrementos de $20 en el precio de la renta, es decir aumentar en $100 , lo que
significa que el nuevo precio, para cumplir con la condición debe ser: Pr ecio = 400 + 20(5) = $500 .
Por tanto la opción “e” es correcta.
147
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Problema Resuelto 9
El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 centavos. El
ingreso del distribuidor es de 24 centavos por copia y por lo que respecta a la
publicidad es del 20% de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. ¿Cuántas
copias deben publicarse y venderse cada semana a fin de recoger utilidades
semanales por $1000 ?
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Cantidad de ejemplares producidos y vendidos
DATOS:
COSTO U NIT. DE LOS EJEMPLARES = $0.28
PRECIO VENTA DE CADA EJEMPLAR = $0.24
INGRESOS = INGRESOS VENTAS + INGRESOS PUBLICIDAD
INGRESOS PUBLICIDAD = 20% (Ingresos sobre la venta de
3000 )
CONDICIÓN:
OBTENER UTILIDADES DE $1000
DESARROLLO:
Utilidad = Ingresos − Costos



20  0.24(x − 3000 ) − 0.28 x
1000 = 0.24 x + 100

 





20
(0.24 x − 720) − 0.28 x
100
1000 = 0.24 x + 0.048 x − 144 − 0.28 x
1144 = 0.008 x
1144
x=
= 143000 ejemplares
0.008
1000 = 0.24 x +
RESPUESTA:
El distribuidor debe vender 143000 ejemplares.
Problema Resuelto 10
Un comerciante vende un par de zapatos en $75 . Si su utilidad porcentual fue igual al
precio de costo en dólares, entonces el PRECIO DE COSTO del par de zapatos es:
a) $75
b) $60
c) $55
d) $50
e) $65
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Precio de costo de los zapatos
DATOS:
Precio venta = $75
Utilidad
100
prec. cos t.
Utilidad Porcentual:
75 − x
100
%U =
x
%U =
CONDICIÓN:
UTILIDAD PORCENTUAL = PRECIO DE COSTO
DESARROLLO:
%U = precio cos to
75 − x
100 = x
x
7500 − 100 x = x 2
x 2 + 100 x − 7500 = 0
(x + 150)(x − 50) = 0
x = −150 ∨ x = 50
RESPUESTA:
EL precio de costo de los zapatos es de $50
148
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
Ejercicios Propuestos 6.6
1.
Si hace 18 años Pedro era exactamente tres veces más viejo que su hijo y hoy día, él es sólo dos veces
más viejo que su hijo. Entonces la suma de los años que ahora tienen Pedro y su hijo juntos es:
a) mayor que 120 años
c) igual a 102 años
b) igual a 108 años
d) menor que 100 años
e) igual a 114 años
2.
En cierta ocasión, Eduardo consiguió un trabajo por 3 días, ganando en total $700 . Si el segundo día
ganó la mitad de lo que ganó el primer día, y el tercer día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior,
entonces el primer día ganó:
b) $200
c) $300
d) $400
e) $500
a) $100
3.
El reloj del Congreso da las horas exactas con campanadas y cada media hora da una campanada. Por
ejemplo: a las 8 da 8 campanadas; y a las 8 : 30 da una campanada. Si a las nueve de la noche
terminó una de las sesiones del congreso, y en el tiempo que duró la sesión el reloj dió 48 campanadas,
entonces la sesión empezó a las :
b) 6 p.m.
c) 3 p.m.
d) 5 p.m. e) 3 : 30 p.m.
a) 9 a.m.
4.
Los miembros de un club van a pagar una cuenta de 300 dólares en partes iguales. Si hubiera habido 10
miembros más, el costo por cada miembro hubiera sido 1 dólar menos. Determine el número de
miembros.
5.
Tres ( 3 ) hermanos participaron en un sorteo, en el cual resultaron ganadores De acuerdo a la
cooperación en la compra del boleto, el premio se repartió de la siguiente manera. El mayor recibió
$45000 ; el menor las tres séptimas partes del premio y el otro recibe una cuarta parte del premio.
Entonces el premio consistió en:
b) $110000
c) $150000 d) $100000 e) $160.000
a) $140000
6.
Susana tiene tres (3) monedas más de cinco centavos (x) que de diez (10) centavos (y) y cinco (5)
monedas más de diez (10) centavos que monedas de veinticinco (25) centavos (z). En total tiene $2,10.
Cuantas monedas de cada una tiene?
a) x=2; y=5; z=6
c) x=4; y=9; z=10
b) x=11; y=8; z=3
d) x=5; y=10; z=12
e) x=6; y=6; z=8
7.
Un padre le presta a su hijo $350. Al cabo de una semana el padre le pregunta a su hijo: ¿cuánto
gastaste?, a lo que el hijo le contesta: "las ¾ partes de lo que no gasté". Entonces el hijo GASTÓ:
a) $250
b) $350
c) $262.5
d) $300
e)$150
8.
Un colegio dispone de $60.000, y los invertirá a fin de obtener ingresos anuales de $5.000 para becas.
Parte de estos $60.000 se invertirán en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a
un 10,5% . Cuánto deberá invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?
9.
Si los miembros de una fundación desean invertir $ 18.000 en dos tipos de seguros A y B que pagan
dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente, entonces para que el ingreso sea equivalente al que
produciría la inversión total al 8% , la inversión en A y en B es respectivamente.
a) $12.000; $6.000
c) $8.000; $10.000
b) $ 6.000; $12.000
d) $10.000; $8.000
e) $11.000; $7.000
10. La cuarta parte de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco A y la restante en el Banco B. Si
el Banco A paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que paga anualmente el Banco B.
Si el rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el depositar la cantidad completa
de dinero a una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL QUE PAGA EL BANCO A y
la que PAGA EL BANCO B son, respectivamente:
a) 3% y 8%
b) 12% y 36% c) 8% y 24%
d) 7% y 21%
e) 6% y 18%
11. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos
de $12.000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. Cuántas unidades debe producir y
vender al mes la compañía para mantener el equilibrio?
12. La compañía Sandalias Cómodas fabrica sandalias, para las cuales el costo del material es de $0.80 por
par y el costo de mano de obra es de $0.90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos
fijos son de $70000. Si cada par se vende a $2.50, entonces el NÚMERO DE PARES QUE DEBE
VENDERSE para que la compañía llegue al EQUILIBRIO es:
a) 140000
b) 35000
c) 70000
d) 90000 e)80000
13. El administrador de cierta empresa tiene como política, no invertir dinero en fabricar un nuevo producto a
menos que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede
vender todo lo que produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de
149
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
$6 y los costos fijos son de $40000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de
modo que obtenga la ganancia requerida, es:
a) 6000
b)7500
c)8500
d)11500
e)12500
14. Un granjero compra 10 vacas pagando en total $ 150.000 y vende las primeras 4 teniendo ganancia del
20% de lo que le costó cada una. Si la utilidad por el lote completo que desea ganar el granjero es de $
75.000, entonces el PRECIO, en dólares, al que debe vender cada una de las 6 vacas restantes es:
a) 3.000
b)18.000
c)25.500
d)63.000
e)72.000
15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B.
Los costos de producción de A y B son $1500 y $1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más de
A que de B. Entonces el número de unidades del producto A que se pueden fabricar , es:
a) 75 ∨ 100
b)100 ∨ 125
c) 125 ∨ 150
d) 150 ∨ 175
e)175
∨ 200
16. Una cantidad de dinero invertida al 15% produce $14,4 más que invertida al 12% . Entonces dicha
CANTIDAD es:
a) $ 480
b)$ 500 c)$ 20
d)$ 75
e)$ 100
17. Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de conjuntos deportivos
con un costo para el distribuidor de $ 80 por conjunto. Por conveniencia del distribuidor la fábrica colocará
la etiqueta con el precio a cada conjunto. ¿QUÉ CANTIDAD DEBE SER MARCADA EN LAS ETIQUETAS
de modo que el distribuidor pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener
una ganancia del 15% sobre el precio de costo?.
a) $ 115
b)$ 100
c) $ 105
d) $ 110 e) $ 95
18. Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en
ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió
$8.500 por ventas de $175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos
porcentajes son:
a) 6% en los primeros $100.000, 4% en el resto.
b) 8% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
c) 4% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
d) 4% en los primeros $100.000, 8% en el resto.
e) 8% en los primeros $100.000, 4% en el resto.
Misceláneos.
1.
Un valor de “ k ” para que la SUMA DE LAS RAÍCES de la ecuación kx − 2kx + 4 = x
2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
2
sea 4 , es:
e) 5
2. La SUMA de tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo
número, es igual a:
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
a) 9
3. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación
a) 7
b)25
c)16
d)9
c) {49, 36}
b) {36}
x
= 7 , es:
e)4
4. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación
a) {49}
12
x+
x + x+2 =3
{49 }
d) 36
, es:
{36 }
e) 49
5. Un VALOR de “k” para que la suma de las raíces de la ecuación kx 2 + 4kx + 3 = x 2 sea 10, es:
a)
8
3
b)
7
5
c)
5
7
d)
1
3
e)
3
8
6. Suponga que en una granja se tienen vacas y gallinas solamente. Si en total hay 80 cabezas y 240 patas
entonces la cantidad de VACAS que hay en la granja es:
a) 40
b)60
c)70
d)80
e)90
7. Considerando Re = R , entonces el conjunto solución del predicado p ( x) : x −
intervalo:
b) (5,8) c) (1,5)
d) (8, ∞ )
e) (−∞,4
a) (−5,0 )
x − 3 = 5 está en el
]
8. Un valor de "k" para que la ecuación kx + x + k = 0 tenga SOLUCIÓN REAL REPETIDA, es:
2
a) 0
b) − 1
2
c) −1
d)1
e)-2
150
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
9. Un trabajador tiene una tarifa por cada hora regular de trabajo y tarifa y media por cada hora extra que
trabaja después de las 40 horas. Si tuvo un salario total semanal de $442 por 48 horas de trabajo.
Entonces el SALARIO REGULAR POR HORA es:
a) $ 8.50 b)$ 8.00 c)$ 5.00 d)$ 4.50 e)$ 2.50
10. Para que la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación
VALOR de "
a) 1
k " es:
b)2
c)3
d)4
3k 2 x
−
= 1 sea igual a -1, entonces el
x
k
e)5
11. Un trabajador recibió $435 como pago por el trabajo de una semana, laborando en total 52 horas, de las
3
cuales 40 horas fueron normales y el resto horas extras. El valor de cada hora extra es 2 veces el valor
de la hora normal. Entonces el VALOR DE LA HORA NORMAL, es:
a) $2
b)$7.50
c)$4
d)$1
e)$6
12. En la ecuación 2kx 2 − (12k + 1) x + 12 = 0 , para que la SUMA de sus raíces sea 7, el valor de k es:
a) 2
b) 7
c) 18
d) 112
e) 12
13. Un joven universitario cuenta con cierta cantidad de dinero. Si se comprara 10 lápices le quedará $10, si
se comprara 4 cuadernos le quedará $20; y, si comprara 4 lápices y 3 cuadernos le quedará $10.
Entonces, la CANTIDAD DE DINERO con que cuenta es:
a) $20 b) $40
c) $60
d) $80
e) $100
14. Sea Re = IR y p ( x) : 1 +
a) {25} b) {9}
c) {36}
2 + x = 2 , entonces su conjunto solución
d) {64}
Ap(x) es:
e) {49}
15. Sea Re = R y los predicados p ( x) : 3 − x − 2 = 0 y q ( x) : 2 x 2 − 3 x − x = 0 . Entonces el
CONJUNTO SOLUCIÓN del predicado
a) {−1}
b) {− 1,0}
Ap( x) ∧ q ( x) , es:
c) {2,0}
d) {2,−1}
e) {2}
16. Se han comprado dos tipos de autos: un KIA y un TOYOTA. El KIA cuesta $20000 menos que el doble de
lo que cuesta el TOYOTA. Y el TOYOTA le costó $1000 más de lo que cuesta el KIA. Entonces el VALOR
del auto KIA y el valor del TOYOTA, son respectivamente:
a) $17000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA.
b) $19000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA.
c) $19000 el auto KIA y $20000 el TOYOTA.
d) $18000 el auto KIA y $19000 el TOYOTA.
e) $16000 el auto KIA y $17000 el TOYOTA.
17. Dos NÚMEROS POSITIVOS suman 30 y además su diferencia de cuadrados es igual a 120, entonces
estos números son:
a) 17 y 13
b)15 y 15
c)14 y 16
d)18 y 12
e)19 y 11
18.
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 4 x − 37 x + 9 = 0 es:
{4 }
a) 1 ,9
b)
{− 12 }
4
{
c) 3,− 1
2
}
2
{
d) 3,−3,− 1 , 1
2 2
}
{ }
e) 1 ,3
2
19. Dos números están en relación de 3 a 4. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9 la
relación es de 4 a 3. Entonces los NÚMEROS son:
a) 3 y 4
b)24 y 18
c)9 y 18
d)3 y 24
e)8 y 4
20. Un reloj da un número de campanadas igual a las horas que marca. Entonces en 24 horas habrá dado un
TOTAL de:
a) 150 campanadas
b) 78 campanadas
c) 156 campanadas
d) 24 campanadas
e) 48 campanadas
2
21.
Sea la ecuación − x − x = 0 , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es:
a) {0}
b) φ
c) {0,1} d) {0,−1, 1}
e) {0,−1}
22. Hace 18 años Roberto era exactamente tres veces más viejo que su hijo. Si en la actualidad Roberto es
dos veces más viejo que su hijo, entonces Roberto y su hijo tienen:
a) Hijo 30 años, Roberto 60 años.
b) Hijo 20 años, Roberto 40 años.
c) Hijo 15 años, Roberto 30 años.
d) Hijo 36 años, Roberto 72 años.
e) Hijo 18 años, Roberto 36 años
151
Moisés Villena Muñoz
Ecuaciones
23. El número de soluciones reales de la ecuación:
2
a) 1
b)2
x+ 2− x
c)3
2
d)4
Re = IR y el predicado
SOLUCIÓN Ap (x) es:
24. Sea
b) {−1}
a) Φ
+
{ 5}
c) 1
2
x − 2 − x2
= x , es:
e)5
p ( x) : 2 x + 6 − 2 x + 3 = 1 . Entonces su CONJUNTO
{ 2}
d) 3
{
e) 29 , 1
5
2
}
25. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20
miembros más el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Entonces el NÚMERO DE MIEMBROS
del club, es:
a) 100 b)20
c)30
d)40
e)50
26.
A un profesor del Prepolitécnico se le preguntó sobre la edad que tiene, y éste respondió diciendo:
"Consideren tres veces los años que tendré dentro de 3 años, réstenle tres veces los años que
tenía hace 3 años y resultará los años que tengo ahora". Entonces la EDAD ACTUAL del profesor es:
a) 17 años
b)19 años
c)18 años
e)21 años
e) Elija esta opción si no se puede determinar la edad del profesor.
27. La SUMA de los valores de "x" que satisfacen la ecuación
es:
a) − 3
2
b)3
c) 3
2
d)2
x+2
x2
x −1
−
= 1−
2
3− x
x+3 x −9
e)-6
28. Ignacio compró un juguete. Luego lo vendió en $126. Obteniendo una ganancia igual al 14% del precio de
compra más el 5% del precio de venta. Entonces el PRECIO DE COMPRA del juguete fue de:
a) $105 b)$126
c)$135
d)$145
e)$108
29. Un valor de “ x ” que satisface la ecuación
x 2 + 2 x + 4 x 2 + 15 x + 11 + x 2 + 11x = x + 2
es: a)2
b)5
c)25
d)0
e)15
30. Un vendedor de naranjas en una primera instancia vende la mitad del total de naranjas que tiene más la
mitad de una naranja. Luego vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja. Finalmente
vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja y se da cuenta que ya no le queda
ninguna naranja. Entonces el número de naranjas que TENÍA INICIALMENTE es:
a) 7
b)21
c)31
d)41
e)100
152
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
<
>
≤
≥
LEYES
DESIGUALDADES LINEALES
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
PROBLEMAS.
Los términos "a lo mucho" y "por lo menos" ya nos daban una idea de las desigualdades
o inecuaciones, la relación de orden de los números, también.
.
152
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Resuelva desigualdades: lineales, cuadráticas, con fracciones, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas que requieren plantear desigualdades
Las desigualdades también como las ecuaciones constan de dos
miembros, pero dichos miembros están separados por los símbolos de
MAYOR QUÉ, MENOR QUÉ, MAYOR O IGUAL QUÉ, MENOR O IGUAL QUÉ.
Esquemáticamente sería:
<
>
≤
≥
EXPRESION
ALGEBRAICA
EXPRESION
ALGEBRAICA
A los términos de MAYOR QUÉ y MENOR QUÉ, se los puede mencionar en
sentido relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos ( 5 > 2 ) o
dos MENOR QUE cinco ( 2 < 5 )
7.1 LEYES
1. Si se suma (resta) una misma cantidad a
ambos miembros de
una desigualdad, esta no
se altera. Es decir:
Si a > b entonces
a+c >b+c
para ∀c ∈ R
Ejemplo
Si
5>2
2. Si
entonces
se
5+3 > 2+3
multiplica
y también
(divide)
5−3> 2−3
una
misma
cantidad positiva a ambos miembros de una
desigualdad, esta no se altera. Es decir:
Si a > b entonces
a ⋅ c > b ⋅ c para
∀c ∈ R +
Ejemplo
Si
5>2
entonces
5(3) > 2(3)
153
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
3. En
cambio, si
se multiplica (divide)
a
ambos miembros una misma cantidad negativa,
la desigualdad se invierte (cambia de sentido).
Es decir:
Si
a>b
entonces
a ⋅ c < b ⋅ c para ∀c ∈ R −
Ejemplo
Si
5>2
entonces
5(−3) < 2(−3) ≡ −15 < −6
Por lo tanto, cuando se cambia de signo a ambos miembros de una
desigualdad se debe cambiar el sentido de la desigualdad porque lo que se
ha hecho es multiplicar por − 1 a ambos miembros.
Ejemplo
Si
5>2
entonces
[(−1)5 < (−1)2] ≡ [− 5 < −2]
Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes
tipos de desigualdades.
El conjunto solución de una desigualdad casi siempre es un
intervalo. Pero puede ocurrir otros casos.
7.2 DESIGUALDADES LINEALES
El asunto aquí es muy sencillo. Una vez simplificadas las
expresiones algebraicas que definen a la desigualdad, ésta presenta una
las siguientes formas: ax + b > 0 , ax + b < 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 .
Ejemplo
Dada la desigualdad:
1
(2 x − 1) − x < x − 1 donde x ∈ IR entonces el INTERVALO
2
6 3
SOLUCIÓN es:
a) [− 1,0]C
b) (−∞,−1)
c)) (−1,0)
d) (−1,+∞)
e) IR − {4}
SOLUCIÓN: Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros por su m.c.m. : 6 para
eliminar todos los denominadores y luego despejamos “ x ”.
154
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
x 1
1
6  (2 x − 1) − x < −  ≡ 3( 2 x − 1) − 6 x < x − 2
6 3
2
≡ 6x − 3 − 6x < x − 2
(///////////////////
-1
≡−3+ 2< x
≡ x > −1
Lo cual quiere decir que los números mayores que −1 satisfacen la desigualdad dada. ENTONCES la opción “d” es
la correcta
Ejercicio propuesto 7.1
1. Encuentre el conjunto solución para
5
2x − 1 3 x + 1 4x + 3 1
−
≤
−
3
4
2
3
, si x ∈ IR
7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Las desigualdades cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una
expresión de la forma:
>
ax 2 + bx + c
<
≥
≤
0
Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el
trinomio en sus factores, tendríamos:
(x − x1 )(x − x2 )
>
<
≥
≤
0
Suponga que x1 y x 2 son diferentes. Con la ley de los signos,
concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo
donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo),
mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que:
(x − x1 )(x − x2 ) > 0
+
+
−
−
(x − x1 )(x − x2 ) < 0
+
−
Un producto de dos términos es positivo, cuando
los factores tienen el mismo signo.
Un producto de dos términos es negativo cuando
los factores tienen signos diferentes.
−
+
155
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
En la recta numérica podemos representar el signo resultante del
producto. Primero ubicamos los valores críticos de x , valores para los
cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para
definir los intervalos a considerar. Es decir:
x < x1
x1 < x < x 2
x > x2
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 )
+++++++++++ −−−−−−−−−−−−− ++++++++++
x1
x2
Para ∀x[x > x 2 ] (a la derecha de x 2 ) tenemos que (x − x1 ) > 0 ∧ (x − x 2 ) > 0 ; por tanto (x − x1 )(x − x 2 ) > 0
Para ∀x[x1 < x < x 2 ] (entre x1 y x 2 ) tenemos que (x − x1 ) > 0 ∧ (x − x 2 ) < 0 ; por tanto (x − x1 )(x − x 2 ) < 0
Para ∀x[x < x1 ] (a la izquierda de x1 ) tenemos que (x − x1 ) < 0 ∧ (x − x 2 ) < 0 ; por tanto (x − x1 )(x − x 2 ) > 0
156
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejemplo 1
Para la desigualdad
p( x) : x 2 − x − 6 > 0
Factorizando tenemos: ( x − 3)( x + 2) > 0 .
Queremos saber ¿para qué valores de “ x “ el producto ( x − 3)( x + 2) es positivo?
PASOS:
1. Ubique los puntos críticos −2 y 3 en
la recta numérica. Los cuales definen
los intervalos generados.
2. Reemplace a “ x ” en la expresión
( x − 3)( x + 2) por un número cualquiera
x < −2
−2 < x < 3
( x − 3)( x + 2)
x>3
( x − 3)( x + 2)
>3
( x − 3)( x + 2)
+ + + + + + + +  − − − − − − − −   + + + + + + + +

  ////////// ///////
////////// ///////  

-2
mayor a 3 , por un número cualquiera
entre −2 y 3 ; y por un número
cualquiera
menor a −2 ,
para
determinar el signo resultante en
todos los intervalos.
3
Por tanto:
Ap( x) = (−∞,−2) ∪ (3, ∞) = [− 2,3]C
3. Escoga los intervalos donde el
producto es positivo.
Ejemplo 2
Si tuviésemos la desigualdad en forma estricta, es decir:
p ( x) : ( x − 3)( x + 2) ≥ 0
Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir a −2 y a 3 porque se quiere también
que la expresión sea cero; entonces:
C
Ap ( x) = (−∞,−2] ∪ [3, ∞) = (− 2,3)
Ejemplo 3
En cambio, si tuviésemos la desigualdad en sentido negativo
p( x) : ( x − 3)( x + 2) < 0
Ahora escogemos el intervalo donde el producto ( x − 3)( x + 2) es negativo.
+
−




 ////////// ////////// / 
-2
+
Entonces su conjunto solución sería:
Ap( x) = (−2,3)
3
157
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejemplo 4
Veamos ahora , qué pasa si tuviésemos la desigualdad en esta forma:
p( x) : (3 − x)( x + 2) > 0
Para encontrar el conjunto solución disponemos de los siguientes dos métodos:
PRIMER MÉTODO
Directamente, dándole valores a “ x ”, números en los respectivos intervalos, tenemos que el signo del producto
(3 − x)( x + 2) es:
(3 − x)( x + 2)
(3 − x)( x + 2)
Escogemos el intervalo donde el producto
(3 − x)( x + 2) sea positivo. Entonces el
(3 − x)( x + 2)
− − − − − + + + + − − − − −
 ////////// ////////// / 


-2
conjunto solución sería: Ap ( x) = ( −2,3)
3
SEGUNDO MÉTODO
Cambiando de signo a la desigualdad −(3 − x)( x + 2) < 0 ≡ ( x − 3)( x + 2) < 0
intervalo donde este producto sea negativo
( x − 3)( x + 2)
+
( x − 3)( x + 2)
( x − 3)( x + 2)
−




 ////////// ////////// / 
-2
Buscamos, ahora el
Entonces su conjunto solución sería:
Ap( x) = (−2,3)
+
3
Ejemplo 5
Sea la desigualdad: 2 x − 16 x + 32 > 0
2
2 x 2 − 16 x + 32 > 0
Dividiendo para 2 y factorizando tenemos:
x 2 − 8 x + 16 > 0
( x − 4) 2 > 0
( x − 4)( x − 4) > 0
+
+


////////// /////  ////////// ////
Observe que:
Por tanto su conjunto solución es:
Ap( x) = IR − {4} = (−∞,4 ) ∪ (4, ∞ )
4
PREGUNTA:
¿Cómo
se
obtendrían
(x + 2)(x − 3)(x − 5) > 0
lo explicado anteriormente?
los
y
conjuntos
solución
de
las
desigualdades:
(x + 2)(x − 3) (x − 5) > 0 ? ¿Qué analogía hay con
2
Cuando tenemos desigualdades con fracciones, procedemos de igual
manera que para producto, ya que la ley de los signos también es válida
para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división entre cero
no se define.
158
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejemplo 1
x −3
≥0
x+2
x−3
Queremos saber para que valores de “ x ”, el cociente de
x+2
Consideremos la desigualdad p( x ) :
es positivo o cero. Entonces sobre una recta
numérica representamos los puntos críticos −2 y 3 , y luego determinamos el signo del cociente dándole valores a
“ x ”, números mayores a 3 , números entre −2 y 3 ; y finalmente, números menores a −2 .
Por tanto:
x−3
x+2
x−3
x+2
Ap( x ) = (−∞,−2) ∪ [3, ∞ )
x−3
x+2
Ap( x ) = [− 2,3)C
+
−
+


 
 
////////// /////   ////////// ////////// //////   ////////// ////
−2
3
PREGUNTA: ¿Cómo proceder con la desigualdad
NOTE QUE no escogemos a −2
porque se produciría división entre cero
para este valor de x .
x−3
≥1 ?
x+2
Ejemplo 2
Finalmente consideremos la desigualdad
x2 − x −2
≥0
x 2 − 4x + 3
( x − 2)( x + 1)
Factorizando numerador y denominador tenemos
≥0
( x − 3)( x − 1)
Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar x , de tal forma que
nos garantice que la expresión sea
positiva o cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores críticos. En los intervalos que se generan,
evalúe “ x ” para un número para cualquiera, y determine el signo resultante de la expresión. Lo cual le resultará:
+

////////// / 
+
−
−
 + 


 ////////// 
1
2
−1
 +

 ////////// /
3
Por lo tanto:
Ap( x ) = (−∞,−1] ∪ (1,2] ∪ (3, ∞ )
Se ha observado que:
Si los valores críticos son diferentes entonces
el
signo
resultante
de
la
expresión
será
alternado en los intervalos que se generen.
159
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejercicios Propuestos 7.2
1.
Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
a) x 2 + 5 x − 6 < 0
b) x 2 + 6 < 5 x
d) x (x + 1) > 0
e) x + x ≤ 2
2.
El conjunto solución de la siguiente desigualdad:
d) [− 3,0 ) ∪ [5, ∞ )
1
Dada la desigualdad 2
es el intervalo:
a) (− ∞ ,0] ∪ [4 , ∞ )
x 2 − 2x
x−2
≥ 0 , donde
Sea la desigualdad
e)
b)
≥ 0, Re = R. Es el intervalo:
c) (− 3,0] ∪ [5, ∞ )
¬( x = 2 )
y
x ∈ IR , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN
c) [0 ,2 ) ∪ [4 , ∞ )
(− ∞ ,0] ∪ (0,2)
(−∞ ,1]
c)
El conjunto solución de la siguiente desigualdad:
a) (−8, −2) ∪ (1, +∞)
d) {x/(x < −1) ∨ (2 <x <8)}
7.
[3, ∞ )
x 2 + 15 x + 11
>5
x −1
b) {x/(2<x<8) ∨ (x >1)}
e) ∅
El CONJUNTO SOLUCION de la siguiente desigualdad
d) (− ∞,−1] ∪ [0,2) ∪ [5, ∞ )
e) (− ∞,1] ∪ [5, ∞ )
b) (-4, 4)
c) [0, 4]
(1, ∞]
Re = R.
Es:
x 3 − 4x 2 − 5x
≤ 0 es el intervalo:
x−2
b) (− 1,0 ) ∪ (2,5)
El INTERVALO SOLUCIÓN de la desigualdad
d)
c) (-∞, −8) ∪ (−2, 1)
a) [− 1,0] ∪ (2,5]
a) (0,4)
+9>0
− 2x + 8x − 6
≤ 0 , considerando Re = IR, entonces el conjunto solución es:
x −3
(−∞ ,1] ∪ [3, ∞ )
e) [1,3) ∪ (3, ∞ )
6.
2
2
a)
5.
2
b) (− ∞ ,0] ∪ [4 , ∞ )
d) [0 ,2 ) ∪ (2 ,4]
4.
x−5
x + 3x
b) (− 3,0 ) ∪ [5, ∞ )
e) [− 3,0] ∪ (5, ∞ )
a) (− ∞ ,−3) ∪ (0,5]
3.
c) − x
2
2
c) [1,0] ∪ (− 2,−5]
x − 2 x + 2 , si Re = R ,
>
x−4
x
d) [-4, 4]c
es:
e) [0, 4]c
160
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una
desigualdad es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para
encontrar el conjunto solución de una desigualdad que contenga valor
absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor
absoluto.
Es decir, podemos destruir los valores absolutos considerando que
en los valores críticos de las expresiones con valor absoluto, a la izquierda
es negativo y a la derecha es positivo.
En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Para la desigualdad
x<2 ∧
x < 2 podemos observar rápidamente que:
decir −2 < x < 2
−x<2
x<2 ∧
x > −2
es
(//////////// )
−2
2
Ejemplo 2
Si tuviésemos a la desigualdad en este otro sentido x > 2
Aquí en cambio se cumple que
x>2 ∨
x>2 ∨
////////// // )
−2
−x>2
x < −2
(////////////
2
Ejemplo 3
Considere ahora la desigualdad x − 1 > 2
− 2 > x −1 > 2
Usted puede destruir el valor absoluto rápidamente de la siguiente forma: − 2 + 1 > x − 1 + 1 > 2 + 1
−1 > x > 3
Es decir:
x>3 ∨
x < −1
////////// / )
−1
(/////////
3
Ejemplo 4
Para esta desigualdad 3 x − 1 ≤ 5 procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, es
decir:
− 5 ≤ 3x − 1 ≤ 5
− 5 + 1 ≤ 3x − 1 + 1 ≤ 5 + 1
− 4 ≤ 3x < 6
4 3x 6
− ≤
<
3
3
3
4
− ≤x≤2
3
[////////////// ]
−4
3
2
161
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Existen desigualdades triviales como las siguientes:
Ejemplo 5
Para p( x) : 3 x − 1 < 0
Es obvio que su conjunto solución es Ap (x) = φ ¿POR QUÉ?
Ejemplo 6
En cambio para p ( x) : 3 x − 1 ≤ 0
1 
3
Su conjunto solución es Ap (x) =   ¿POR QUÉ?
Ejemplo 7
Si la desigualdad es p ( x) : 3 x − 1 ≥ 0
Entonces su conjunto solución es Ap ( x) = IR ¿POR QUÉ?
PREGUNTA: ¿Cúal es el conjunto solución para la desigualdad 3 x − 1 > 0 ?
Ejemplo 8
La desigualdad
3 x − 1 ≤ 5 fue resuelta de una manera directa, pero podemos destruir el
valor absoluto igual como lo hacíamos para las ecuaciones
x< 1
3
x>1
3
−(3 x − 1) ≤ 5
3x − 1 ≤ 5
[///////////////////////////// ]
1
−4
2
3
3
−3 x + 1 ≤ 5
− 4 ≤ 3x
4
x≥−
3
3x − 1 ≤ 5
3x ≤ 6
x≤2
En cambio existen desigualdades con valor absoluto en donde ya no
se pueden destruir los valores absolutos de la manera directa y podemos
emplear lo explicado anteriormente.
162
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejercicio resuelto 1
x−3
Si Re = R , entonces el conjunto solución de la desigualdad
a) ∅
b) (−∞, −1) ∩ (1,3)
SOLUCIÓN:
x −1
d) (−∞, −1) ∪ (1, 3)
c) [3, +∞)c
e) (1, 5/3]
Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
−( x − 3)
≥2
x −1
x−3
≥2
x −1
3
−( x − 3)
≥2
x −1
− ( x − 3) − 2( x − 1)
≥0
x −1
− x + 3 − 2x + 2
≥0
x −1
− 3x + 5
≥0
x −1
3x − 5
≥0
−
x −1
3x − 5
≤0
x −1
+
≥ 2 es :
 − 


 ///////// 
5
1
x−3
≥2
x −1
x − 3 − 2( x − 1)
≥0
x −1
x − 3 − 2x + 2
≥0
x −1
− x −1
≥0
x −1
x +1
−
≥0
x −1
x +1
≤0
x −1
+
3
+
3
SI son menores a 3
 − 


 ////////// 
−1
1
+
3
NO son mayores a 3
( 3]
Entonces su conjunto solución sería Ap ( x) = 1, 5 . Por tanto la opción “e” es la correcta
Ejercicio resuelto 2
El intervalo solución de la siguiente desigualdad: x + 6 < 1 Re = R , es:
2x − 3
a) (− ∞,+1) ∪ (9, ∞ )
e) (− ∞, 3
2
b) (−∞,−1) ∪ (9, ∞ )
)∪ (9, ∞ )
c) (− ∞,−1) ∪ (3
2
,∞
)
d) (− ∞,−1) ∪ (− 9, ∞ )
SOLUCIÓN: Por la propiedad de valor absoluto, la desigualdad dada es equivalente a:
x+6
2x − 3
<1
x + 6 < 2x − 3
¿Por qué?
;x ≠ 3
2
Entonces, procediendo de la manera ya explicada, tenemos:
163
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
−6< x< 3
2
x < −6
x> 3
2
− ( x + 6) < −( 2 x − 3)
x + 6 < −( 2 x − 3)
////////// ////////// ////////// /////// ) ////////// ////////// )
−6
−1
x + 6 < 2x − 3
(/////////////////// //////
3
x + 6 < −(2 x − 3)
x + 6 < −2 x + 3
x + 2x < 3 − 6
−( x + 6) < −(2 x − 3)
− x − 6 < −2 x + 3
− x + 2x < 3 + 6
9
2
x + 6 < 2x − 3
x − 2 x < −3 − 6
− x < −9
x>9
3 x < −3
x < −1
x<9
Entonces el conjunto solución es:
Ap( x) = (−∞,−1) ∪ (9, ∞)
opción “b”
Ejercicio resuelto 3
El conjunto solución de la siguiente desigualdad:
a) ∅
b) R+
c) R−
d) (−1, 1)
x+2
x 2 −1
<0
, Re = R
es:
e) R − {1}
SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
−( x + 2 )
<0
( x + 1)( x − 1)
x+2
<0
( x + 1)( x − 1)
(//////////////////)
−1
1
−2
(x + 2 ) > 0
(x + 1)(x − 1)
La expresión
La expresión nunca
es positiva para
este intervalo.
Entonces el conjunto solución es:
(x + 2) es
(x + 1)(x − 1)
negativa para −1 < x < 1 ¿POR QUÉ?
Ap ( x) = (−1,1)
Por tanto la opción “d” es la correcta.
164
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejercicio resuelto 4
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: x − 2 + 1 ≥ 0 es el intervalo:
x2 +1
a) (− 1,1)
b) (− ∞,+∞ )
c) [2,+∞ )
d) (0,+∞ )
e) (− 1,2]
SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:
−( x − 2) + 1
x − 2 +1
≥0
≥0
x +1
x2 +1
////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ///
2
−( x − 2) + 1
≥0
x − 2 +1
2 1
≥0
x +
x2 +
− x + 2 +1
x −1
≥0
≥0
x 2 +1
x 2 +1
− x+3
Esta expresión
≥0
2
es siempre
x +1
positiva o cero
x −3
≤0
para toda x ≥ 2
x 2 +1
Esta expresión
siempre es
negativa para
toda x ≤ 2
2
Entonces su conjunto solución es:
correcta.
Por lo tanto la opción “b” es la
Ap ( x) = IR = (−∞, ∞)
Ejercicios propuestos 7.3
1.
Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
a) 3 x + 1 ≥ 3
b) 2 x − 1 ≤ 4
c) 3 − x ≤ −1
d) x + 3 − 2 x ≤ 0
e) x − 1 + 2 x ≤ 0
f) 4 x − x + 6 < 8
g) x − 3 < 2 x + 1
h) x ≥ 3 − 5 x
i) 2 − x < 4 − x
k)
j). 1 − 4 x ≥ −3 x
2.
b) (−5, 5)
l)
x +1
x+2
>0
Re = R.
c) (−∞, −2) ∪ (5, +∞)
d) [−2, 5]
e) [−5, 2]
Sea Re = R y la desigualdad 3 x − 3 > 9 , entonces su conjunto solución es:
a) (-∞, −2] ∪ [4, +∞)
d) (−∞, −4) ∪ (2, +∞)
4.
x +1
≤0
x −1
El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 3 − 2 x ≤ 7
Es el intervalo:
a) (-∞, −2] ∪ [5, +∞)
3.
2
b) ( −2, 4)
e) [−2, 4]c
Si el conjunto solución de la desigualdad: 2 x − b < 5
a) 3
b) 4
c) 1
c) (4, +∞)
es el intervalo (−1,4) entonces el valor de "b" es:
d) 2
e) 5
165
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
5.
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad:
a) 
3
 − ∞, − 
2

6.
b)  3
C
c) 
3
 − ∞, 

− 2 , ∞ 

Dada la desigualdad
c) {x/x>1 ∨ x<0}
d) (−∞, 0) ∪ (1,2)
x+3
x
el intervalo:
a)
d)
(− ∞,−2]
x +1
x
<2
es :
e) (-1/3, 1)
b)
(0, ∞ )
c)  − ∞, 3  ∪ (0, ∞ )
2

e)  − ∞, 3  ∪ (2,0 )


8.
a)
3
 − ∞, 
2

d) 
2
Dada la desigualdad
intervalo:
[5, ∞ )
> 1 , donde x ∈ IR y ¬( x = 0 ) , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es
3

 ,∞
2


e)
2
Si Re = R, entonces el conjunto solución de la desigualdad
a) {x/x>1 ∨ x< -1/2}
b) (−∞, 0) ∪ (1/2, 2)
7.
2 + x ≥ x − 5 es el intervalo:
(−7,−3)
1− x
< 2 , donde x ∈ IR y ¬(x = −3) , entonces el conjunto solución es el
x+3
[
]
b) − 7,− 5 C
3
(
c) − 3,− 5
3
)
[
d) − 3,− 5
]
C
3
e) [− 3,−3]C
166
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
7.5 PROBLEMAS DE PLANTEOS DE DESIGUALDADES
Para interpretar problemas que involucran plantear desigualdades,
debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:
 A lo menos
 Por lo menos
 Como mínimo
≡
 A lo mucho
 Cuando mucho
 A lo máximo
≡
Mayor o igual
≥
Menor o igual
≤
Y el resto del planteamiento igual como el de las ecuaciones (¿CUÁL ES?
REVÍSELO ).
Problema resuelto 1
La señora Ruiz quiere invertir $60.000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el
gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios
con un 10% de interés. Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de
modo que reciba un GANANCIA anual de al menos $5.500?
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios
DESARROLLO:
DATOS:
60000-x =Cant. de dinero invertida en Bonos del
gobierno.
60000
BH
BG
8%
60000 − x
CONDICIÓN :
GANANCIA ≥ 5500
10%
x
Re nt . al 10%
Re nt . al 8%



10
8
(60000 − x ) ≥ 5500
x +
100
100
10
480000 − 8 x
≥ 5500
x +
100
100
10 x + 480000 − 8 x
≥ 5500
100
2 x + 480000 ≥ 550000
2 x ≥ 70000
x ≥ $ 35000
RESPUESTA:
La señora Ruíz debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir
la ganancia deseada.
167
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Problema resuelto 2
Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde p + 3x = 100 que
tienen un costo de (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que
deben producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es:
e) x ≤36
a) 10 ≤ x ≤ 20 b) x ≥ 20 c) 5 ≤ x ≤ 25 d) 15 ≤ x ≤ 25
SOLUCIÓN:
DESARROLLO:
Ingresos − Costos ≥ 350
INCOGNITA.
x = Cant. unidades producidas y rendidas
( precio × Cant.) − Costos ≥ 350
(100 − 3x )( x) − (250 + 10 x) ≥ 350
100 x − 3 x 2 − 250 − 10 x ≥ 350
90 x − 3 x 2 − 250 − 350 ≥ 0
DATOS:
p ≡ precio unitario de venta
p + 3 x = 100 entonces
Costo: C = 250 + 10 x
− 3 x 2 + 90 x − 600 ≥ 0
p = 100 − 3 x
(− 1)
2
3 x − 90 x + 600 ≤ 0 ÷ 3
x 2 − 30 x + 200 ≤ 0
( x − 20)( x − 10) ≤ 0
CONDICIÓN:
UTILIDAD ≥ 350
+
−


 /////////// 


10
20
+
RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre 10 y 20 unidades, es decir 10 ≤ x ≤ 20 .
Po tanto la opción “a” es correcta.
Problema resuelto 3
Un peluquero atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte.
Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qué
precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520 ?
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
x = Núm. de incrementos de 50 centavos
DESARROLLO:
Ingresos = (Precio de corte) × (# clientes)
I = (4 + 0.50 x)(120 − 8 x)
(4 + 0.50 x)(120 − 8 x) ≥ 520
480 − 32 x + 60 x − 4 x 2 ≥ 520
DATOS:
Núm. Total clientes = 120
Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4
480 − 32 x + 60 x − 4 x 2 − 520 ≥ 0
− 4 x 2 + 28 x − 40 ≥ 0
[4x
2
− 28 x + 40 ≤ 0
]
(− 1)
÷4
x 2 − 7 x + 10 ≤ 0
( x − 5)( x − 2) ≤ 0
CONDICIÓN:
INGRESOS I ≥ $520
+
−




 ////////// // 
2
5
+
RESPUESTA: Como se ha determinado que hay que realizar entre 2 y 5 incrementos de $0.5 ( 2 ≤ x ≤ 5 )
en el precio de corte. Escogemos x = 5 , el máximo incremento para obtener el precio máximo Por lo tanto:
PRECIO MÁXIMO = 4 + 0.5 x = 4 + 0.5(5)
= $6.5
168
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Problema resuelto 4
La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor
recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por
publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000
copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener
pérdidas?
a) Al menos 100.000
b) Al menos 120.000
c)Al menos 150.000
d) Al menos 300.000
e) Al menos 60.000
DESARROLLO:
SOLUCIÓN:
INCOGNITA
x = Núm. ejemplares
I −C ≥0
I ≥C
publicidad
DATOS:
COST. DE C/EJEMPLAR = 25 ¢ = $ 0.25
PREC. VENT. DE C/EJEMPLAR = 20¢= $ 0.20
ventas
tos
  cos

0.20 x + 30 [0.20(x − 20000 )] ≥ 0.25 x
100
(100)
20 x + 6(x − 20000 ) ≥ 25 x
20 x + 6 x − 120000 − 25 x ≥ 0
x ≥ 120000
CONDICIÓN:
UTILIDAD: U ≥ 0
RESPUESTA:
Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. Por tanto, la opción “b” es correcta.
Problema resuelto 5
El Vicerrector de asuntos estudiantiles de la ESPOL , está planeando que un grupo
musical realice un concierto en el Campus Universitario. El pago del costo del
concierto lo puede realizar con un pago único de $2440 o un pago $1000 más el 40% de
lo que se obtenga por la venta de las entradas. El calcula que asistirán 800 estudiantes.
¿Cuánto podría cobrar por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más
elevada que el pago único?.
a) A lo más $3 b) A lo más $3.5
c) A lo más $4
d) A lo más $4.5 e)A lo más $5
SOLUCIÓN:
INCOGNITA:
p = Precio de la entrada
DESARROLLO:
40
[(800) p] ≤ 2440
100
[100000 + 32000 p ≤ 244000 ]
1000 +
DATOS:
PAGO ÚNICO = $2440
SEGUNDA FORMA PAGO = 1000 +
40
[(800) p]
100
CONDICIÓN:
SEGUNDA FORMA PAGO ≤ PAGO ÚNICO
÷ 1000
100 + 32 p ≤ 244
32 p ≤ 244 − 100
32 p ≤ 144
p ≤ $4.50
RESPUESTA:
La entrada debe valer a lo mucho $4.50
169
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Ejercicios Propuestos 7.4
1.
Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietario y de rentar un
automóvil. Puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles por milla recorrida de
$0,05. Si se comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $1.000 mientras que $0,10 sería el costo por milla
recorrida. Por lo tanto el número de millas que tendrá que recorrer el auto al año para justificar el rentar en lugar
de comprar será:
a) inferior a 17.300
d) inferior a 12.400
b) superior a 17.300
e) siempre será mejor comprar que rentar.
c) superior a 12.400
2.
El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo.
Gasta $40
en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la
semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería producir y vender para
obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana.
3.
Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano
de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4.000 por semana. ¿Cuántas unidades x
deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3.000?
4.
Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde p=60−x, y tienen un costo de
(260 + 12x)
dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse diariamente para obtener una
utilidad de al menos $300 es:
a) 20 ≤ x ≤ 28
b) 23 ≤ x ≤ 30
c) 25 ≤ x ≤ 35
d) 15 ≤ x ≤ 40
e) 22 ≤ x ≤ 34
5.
Un artículo se vende a " 300 − x " dólares, donde "x" es el número de artículos producidos y vendidos en un mes.
Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler y otros servicios se deben pagar $500,
entonces el número de ARTÍCULOS "x" que deben producirse y venderse para generar una utilidad de por lo
menos $7000, es:
a) x ≤ 50
b) 50 ≤ x ≤ 150
c) x ≥ 150
d) x ≤ 150
e) x ≥ 50
6.
Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas
x (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24 − 2p cuando el precio es p.
a)
¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? .
b)
¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?
7.
El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler es de $150
al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará
vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso
mensual de al menos $8.000 ?
8.
Bienes Raíces Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. Se sabe por
experiencia que si fija un alquiler mensual de $120 por apartamento todos ellos serán ocupados pero por cada
$5 de incremento en el alquiler un apartamento quedará vacante. El valor que deberá fijar por apartamento con
el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo menos de $6.000, es:
a) $ 260
c) $ 180
e) $ 250
b) $ 265
d) $ 200
9.
La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe 20
centavos por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30%
de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. Cuántos ejemplares deberá vender el editor si
desea por lo menos una ganancia de $1.000 por edición del periódico.
10. La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 18¢. El editor recibe 15¢ por ejemplar por
concepto de ventas y, si además, ingresos por publicidad equivalente al 25% de los ingresos sobre ventas más
allá de las 1.000 copias. Entonces el NÚMERO DE EJEMPLARES (x) que deberá vender el editor si al menos
no desea tener pérdidas es:
a) x ≥ 5.000
b) x ≥ 500.000
c) x ≥ 50.000
d) x ≥ 375.000
e) x ≥ 75.000
170
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
Misceláneos
1.
x+2
≥ 1 es el intervalo:
3x − 1
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad
a) (− ∞, 1 ) ∪ [ 3 , ∞ )
3
2
[32 , ∞ )
b)
c) (− ∞, 1 )
(3 2 ]
[3 2 ]
d) 1 , 3
3
e) 1 , 3
2.
Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha
estado adquiriendo de proveedores externos a $2.50 cada unidad. La fabricación de las bandas por la
empresa incrementará sus costos fijos en $1500 al mes, pero, sólo le costará $1.70 fabricar cada banda.
¿CUÁNTAS BANDAS debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas?
a) Más de 1875 .
b) Más de 2315 .
c) Más de 1530 .
d) Más de 1231 .
e) Más de 1923 .
3.
Sea Re = IR y los predicados
)
(
p (n) : n + 2 ≤ 6 y q (n) : n 2 − 4 (n − 4) < 0
Entonces el CONJUNTO DE VERDAD del predicado p ( n) ∧ q ( n) es:
a)
4.
b) Aq (n)
Ap(n)
c) [− 8,−2) ∪ (2,4)
d) (4,−4 )
Considerando Re = R , entonces el conjunto solución del predicado p ( x) :
a) Ap ( x) = {0}
b) Ap ( x) = (−∞,0
]
c) Ap (x) = φ
e) (−∞,−2)
x2 +1
≤ 0 es:
x −1
d) Ap ( x) = R
[
e) Ap (x) = 0, ∞ )
5.
El ingreso mensual obtenido por la venta de "x" relojes de pulsera será x(40 − 0.2 x ) dólares. El costo al
mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número "x" de relojes que deben venderse cada mes para
obtener una ganancia de al menos $100, es.
b) x ≤ 50
c) x ≥ 10
d) x ≥ 50
e) 10 ≥ x ≥ 50
a) 10 ≤ x ≤ 50
6.
Sea el predicado: p ( x) :
x 2 + x −1
2
x − 3x + 2
+
3
2
≥
;
x − 2 x −1
Re = IR . Entonces su
CONJUNTO SOLUCIÓN
Ap(x) es el intervalo:
a) [−2,0] ∪ (1,2)
7.
b) [− 2,0]C
Sea el predicado: p ( x) :
[ )C
a) 0, 1
2
b)
x −1
x
c) [0,1) ∪ (2, ∞ )
≤1 ;
e) (− ∞,−2] ∪ [0,1) ∪ (2, ∞ )
d) (−∞,−2)
Re = IR . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN Ap(x) es el intervalo:
[0, 12 ]
c)
(− ∞, 0]
d)
[12 , ∞ )
e)
(0, 12 )
8.
Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la semana
cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $1 en el precio del alquiler, deja de alquilar 10 videos.
Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obtiene con la tarifa de $5,
entonces EL PRECIO MAXIMO DE ALQUILER QUE DEBERÁ FIJAR, es:
a) $5
b)$7.50
c)$15
d)$10
e)$20
9.
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad
a)
d))
(− 12 ,2]
[− 1,− 12 )
(
b) − ∞,− 1 ∪ [2, ∞ )
2
(2 ,1]
Entonces
es el intervalo:
(
c) (− ∞,−1] ∪ − 1 , ∞
2
)
e) 1
10. Sean Re = R y los predicados:
a) [− 4,7]
)
x−2
≥3
2x + 1
A( p ( x ) ∧ q ( x ) )
b) [−1,7]
p ( x) : x − 3 ≤ 4
y
q ( x) : x 2 + 4 x ≤ 0
es el intervalo:
c) [−1,0]
d) (− ∞,−4) ∪ [7, ∞ )
e) (−1,0)
171
Moisés Villena Muñoz
Desigualdades
11. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2.50
y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40,
entonces el NÚMERO MÍNIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑÍA NO
TENGA PÉRDIDAS es:
a) 5000
b)900
c)500
d)4500
e)9000
12. Sea Re = IR y los predicados p ( x) : x 2 − 3 x ≤ 0 y
VERDAD
a)
A( p ( x )∧ q ( x ) ) es el intervalo:
(− ∞,0] ∪ [3, ∞ )
b) (1,3]
[ ] [
d) (0,1) ∪ (2, ∞ )
14.
d)
[1,3]
e)
(1, ∞ )
2
(− ∞,0] ∪ [1, ∞ )
(x − 2)2
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad
a) (−∞,4 )
[1,3)
x − 2x
> 0 es el intervalo:
x −1
b) (− 2,0 ) ∪ (1, ∞ )
c) (0, ∞ )
13. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad
a) 0, 1 ∪ 2, ∞ )
c)
q ( x) : x − 3 < 2 x entonces el CONJUNTO DE
e)
b) {2} ∪ (−∞,−4 )
4− x
≤ 0 es el intervalo:
c) (− ∞,2] ∪ (4, ∞ )
d)
(− 4, ∞ )
e) {2} ∪ (4, ∞ )
15. Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es C = 300 + 1.5 x y su ecuación
de rendimiento o ingresos es R = 2 x , donde x es el número de discos vendidos en una semana. Entonces
el NÚMERO DE DISCOS que debe vender dicha empresa para OBTENER GANANCIAS, es:
a) Al menos 100 discos.
b) Al menos 150 discos.
c) Al menos 300 discos.
d) Al menos 400 discos.
e) Al menos 600 discos.
172
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
AXIOMAS DE PEANO
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
FACTORIAL
TEOREMA DEL BINOMIO
SUCESIONES ARITMÉTICAS Y
GEOMÉTRICAS
Seguramente, los números naturales fueron los primeros en definirse, debido a que
desde un principio el hombre naturalmente habrá tenido la necesidad de contar.
172
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8.1 AXIOMAS DE PEANO
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Conozca propiedades de los Números Naturales.
Los números naturales se construyen a partir de los AXIOMAS
PEANO:
DE
1. 1 ∈ N
2. ∀n ∈ N , ∃n o ∈ N tal que n o = n + 1 ; donde n o es
llamado SUCESOR de n
3. ∀n ∈ N ¬(n o = 1)
4. ∀n ∈ N ∧ ∀m ∈ N [n o = m o ⇒ n = m ]
5. ∀A(1 ∈ A ∧ ∀n ∈ A[n o ∈ A ⇒ N ⊆ A])
Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas.
A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números
naturales, que podrían ser útiles.
 p(n) : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n + 1)
2
La suma de los n
números naturales
n(n + 1)(2n + 1)
6
 p(n) : 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 =
n
2
La suma de los
números naturales
 p(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n 2
La suma de los números
impares
 p(n) : 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n + 1)
La suma de los
números pares
 n(n + 1) 

 2 
 p(n) : 13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + ... + n 3 = 
n
3
2
La suma de los
números naturales
173
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se
puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN
MATEMÁTICA.
174
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8.2 (OPCIONAL) INDUCCIÓN MATEMÁTICA
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones.
La Inducción Matemática consiste de dos pasos:
1. Verificar que se cumple para el primer o los
primeros números, es decir comprobar que
p (1) ≡ verdadero .
2. Asumir que, si se cumple para todo
número n, entonces se deberá cumplir
también para su sucesor n+1; es decir,
∀n[ p (n) ⇒ p (n + 1)] .
Ejemplo
Demostrar, empleando el método de inducción matemática, que:
n(n + 1)
p (n) : 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
2
PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3)
1(1 + 1)
se cumple
p (1) : 1 =
2
PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para
cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros n + 1
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + (n + 1) =
n , entonces deberá ser válida para sus sucesor, para lo
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(
n + 1)(n + 2 )
=
2
0

n   
n0

  
(n + 1)(n + 1) + 2




=
= p (n + 1)
2
Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor
propiedad es válida para todos los naturales.
n 0 = n + 1 , por tanto la
175
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicio propuesto 8.1
Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionadas
176
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8.3 FACTORIAL
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y calcule factorial de un número natural y del cero.
 Defina y calcule coeficiente binomial.
Sea n ∈ N ∧ 0 ∈ Z , entonces el FACTORIAL de
denotado
n,
0!= 1

n!= n[(n − 1)!]
Entonces:
por
n!,
se
define
como:
0!= 1
1!= 1[(1 − 1)!] = 1(0!) = 1
2!= 2[(2 − 1)!] = 2(1!) = 2 × 1 = 2
3!= 3[(3 − 1)!] = 3(2!) = 3 × 2 × 1 = 6
4!= 4[(4 − 1)!] = 4(3!) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
...
y así sucesivamente.
8.4 TEOREMA DEL BINOMIO
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton.
 Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio.
 Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio dado y para resolver otras
situaciones diversas.
Para obtener el desarrollo del binomio (a + b ) tenemos dos opciones:
El teorema de PASCAL y el teorema NEWTON.
n
8.4.1 TEOREMA
DE
PASCAL
Los coeficientes del desarrollo del binomio
acuerdo al siguiente esquema:
1
1
1
1
4
5
1
2
3
n =1
1
3
6
están de
n=0
1
1
(a + b )n ,
n=2
1
4
10
10
.......................
n=3
1
5
n=4
1
n=5
177
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande.
8.4.2 TEOREMA
DE
NEWTON
(a + b )n , está dado
El desarrollo del binomio
por:
er térm
1

do
er
2
térm
n º
térm

 3
 térm




n
n
n
n








(a + b) n =  a n +  a n−1b +  a n− 2 b 2 +  +  b n
0
1
 2
 n
Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los
términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande.
Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción
Matemática.
Note que:
1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma:
 n  n−i i
 a
b TÉRMINO GENERAL
i
Donde:
n = exponente del binomio
a = primer término
b = segundo término
i = # término –1
n 
2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma   . La
m
cual se la calcula mediante la siguiente definición:
n 
n!
  =
 m  m! (n − m )!
donde n ≥ m
¿POR QUÉ?
Ejemplo
5!
5 × 4 × 3 × 2 ×1
Si n = 5 y m = 3 tenemos  5  =
 3  3!(5 − 3)! = (3 × 2 × 1)(2 × 1) = 10
 
Además, si m = 0 entonces
 n
n!
n!
  =
= =1
 0  0!(n − 0 )! n!
178
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
m = n tenemos
Y si
 n
n!
n!
  =
= =1
 n  n!(n − n )! n!
3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es
n + 1 . ¿POR QUÉ?
Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.
Ejercicios resuelto 1
Hallar el TÉRMINO CUARTO en el desarrollo del binomio de (1 − 2 x )7
SOLUCIÓN:
(1 − 2 x )7
=
(1 + (−2 x) )7
Entonces
n=7
i=3
a =1
(
b = −2 x
)
 7  7 −3
7!
 1 (−2 x)3 =
− 8 x3
3
3
!
4
!
 
 n  n−i i
7 × 6 × 5 × 4/ !
Reemplazando en   a
b tenemos:
− 8 x3
=
/
3
2
4
!
×
i
 
(
)
= −280 x3
Ejercicios resuelto 2


12
El COEFICIENTE del término x en el desarrollo de  x +
3
a) 492
b) 592
SOLUCIÓN:
c) 692
2
1
 es:
x
d) 792
e) 892
Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del
12
 2 1
+ 
x

binomio  x
Además conocemos que
tiene como parte literal a
x3
n = 12, a = x 2 , b = x −1 , i = ?
Reemplazando y simplificando en
 n  n−i i
  a
b , tenemos:
i
( )
12  2
  x
i 
i
12 
  =   x 24− 2i x −i
x  i 
12 
=   x 24−3i
i 
12 −i  1 
Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces: 24 − 3i = 3 P OR TANTO ES EL OCTAVO TÉRMINO.
i=7
Ahora calculamos el coeficiente del octavo término:
12  12 !
  =
 7  7 ! 5!
12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 !
=
7! 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 792
RESPUESTA: la opción “d”
179
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicios resuelto 3
El valor del exponente " k " que hace posible que el sexto término del desarrollo del
10
 x 2yk 
3
binomio  2 + 3  contenga y , es:
x 
y
a) − 1
b) 5
c) 0
d) 1
e) 13
5
SOLUCIÓN:
Término = sexto → i = 5
n = 10
DATOS: a =
b=
 n
x
. Reemplazando en   a n− i b i tenemos:
i
y2
2yk
5
10   x   2 y k
 
2
3
 5   y   x
x3
y 5k −10 = y 3
5k − 10 = 3
13
k=
5
Empleando la condición:
5
5 5k
5

 = 10  x 2 y


10

x15
5 y

10 
=   x −10 2 5 y 5k −10
5
RESPUESTA: Opción “e”
Ejercicios resuelto 4
 a

Encontrar " a " y " b " del binomio  x 6 − 2 y b 


−4
sea igual a 13440x y
SOLUCIÓN:
(
Para el binomio x
a
6
− 2yb
)
de tal forma que el séptimo término
Séptimo término → i = 6
n = 10
6
10
10
a=x
tenemos que:
a
6
b = −2 y b
Reemplanzando,tenemos:
( ) (− 2 y )
10  a 6
  x
6
4
b 6
2a
10 
=   (− 2 )6 x 3 y 6b
6
 
Como la condición es que el término sea 13440 x −4 y 6 entonces:
2a
x
3
= x−4
2a
= −4
3
a = −6
y 6b = y 6
y 6b = 6
b =1
180
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicios Propuestos 8.2
(
)
1.
Encuentre el SÉPTIMO TÉRMINO del desarrollo de 1 u − 2v 10
2
2.
12
1 
 1
Encuentre el TÉRMINO CENTRAL en el desarrollo de  x 3 + y 3 




3.
El COEFICIENTE de
y −1 en el desarrollo del binomio
a) -20
b)-15
c)-10
x −4
4.
Encontrar el COEFICIENTE del término
5.
El COEFICIENTE del término que contiene
 20 
a)  
6 
6.

π 
en el desarrollo de  x −


x2 

x 36
 20 
b)  
10 
6


 3 x − 1  es igual a:
3 2 xy 



d) 10
1

en  x3 − 
x

20
 20 
c) −  
6 
(
5
, acorde con el teorema del binomio es:
 20 
d) −  
10 
 20 
e)  
7 
)
10
El COEFICIENTE de x 4 y18 en 3 x − y 3 es:
a)1701
b)17010
c)
10!
4!6!
d)
10! 9
3
4!
e)
10! 9
3
6!4!
10
7.
1 

Encuentre el TÉRMINO QUE NO CONTIENE X en el desarrollo de  6 x −

2x 

8.
El COEFICIENTE del término que no contiene "
9.
e)20
y " en el desarrollo del binomio
a) 21
b) 70
c) 84
2
3
3
El COEFICIENTE del término que contiene a
a)
100a 7
b) 110a 7
10. El COEFICIENTE del término que contiene
a) 7
b)14
x2
9

1  es:
 2 xy 2 −

2 y 

d) − 84
e) − 21
2
3
10
a

en el desarrollo de  x 3 + 
x

c) 140a 7
d) 150a 7
8
 2
x3 
es:
x9 en el desarrollo de 
−
 x2
2 


c) -7
d) -14


11. El término que es INDEPENDIENTE DE X en la expresión: 


a) cuarto
b) quinto
c)décimo

1
12. El VALOR que debe tener "n" en el binomio  x +
x2

120 x , es:
a) 10
b)12
c)14




es:
e) 120a 7
e)0
16
1 
y 3 
+
 es el:
3
2
y 3 x 2 
d) duodécimo
1
x 2
e)décimo quinto
n
, para que el cuarto término de su desarrollo sea:
d)16
e)18
10

1 

13. ¿Cuál es el COEFICIENTE del término que no contiene la variable z en el desarrollo del binomio  z 3 +

z2 

a) 58
b)210
c)1680
d)630
e)100
181
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
14. ¿Qué valor debe tener "n" para que el cuarto término del desarrollo del binomio
(y
2
−x
)
n
contenga a
y10 ?
15. Si el quinto término del desarrollo del binomio (a + b )5 es igual a 160x12 ,y el cociente de sus términos
x 2 , entonces "b" es igual a:
4
b) x
c) x −2
centrales (en orden) es
a) 2x 4
d) 2x 2
(1 + kx )8 , k ∈ IR
16. Si el tercer término en el desarrollo del binomio:
es
e) x 2
7x 2 , entonces un valor de "k"
es:
a)
3
2
b) 7
c)
1
2
d)
7
2
e)
4
7
17. Encuentre el valor de "k" para que el coeficiente del octavo término en el desarrollo del binomio
x 
 kπ
 x + kπ 


a) 1
11
330
sea
b)2
π3
c)3
d) 4
18. La suma de los coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del binomio
a) 35
b)-35
c)120
d)-280
e) 5
(2x − y)
2
7
es:
e)840
10

x k 
19. Dado el siguiente Binomio:  x 2 y 3 +
los valores de "k" y "j" para que las potencias de x y la potencia

y j 

de y , del tercer término sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de y del octavo
término, son:
a) k=2 y j=-3
b)k=2 y j=3
c)k=3 y j=2
d)k=-2 y j=3
e)k=4 y j=2
8.5 SUCESIONES
Si en una función se emplea como dominio a los números naturales,
entonces tenemos una función de variable natural, es decir f : N  R . Esta
función se la llama SUCESIÓN
Ejemplo
Sea f : N  R tal que :
Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad
182
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales


4to térm
2 do térm


↓
↓










1
1
1
,
,
f ( n) = a n ⇒ a n =  1 ,
, 



2
3
4



 ↑

 1er térm

↑


3er térm


1
1
1
1
1
a1 = f (1) = , a 2 = f (2) = , a3 = f (3) = , a 4 = f (4) = , a5 = f (5) =
1
2
3
4
5
1
el cual llamaremos TÉRMINO “ n − ésimo ”, TÉRMINO GENERAL O
entonces: a n = f (n) =
n
SIMPLEMENTE LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE LA SUCESIÓN.
Habrá muchas sucesiones, con tantas reglas de correspondencias
como expresiones algebraicas en n podamos imaginar.
Sin embargo, ahora sólo estudiaremos dos tipos de sucesiones.
Aquellas cuyos términos presentan una secuencia muy singular, las
Aritméticas y las Geométricas.
Estas sucesiones son también llamadas progresiones.
8.5.1. SUCESIÓN (PROGRESIÓN) ARITMÉTICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones aritméticas para resolver problemas de aplicación.
Observe la secuencia de números {2,5,8,11,14,17, } .
Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de
términos consecutivos se forman sumándole 3 a cada término.
Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a
17) bastaría con sumarle 3 a 17 y ya; pero si se trata de determinar el
término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de
formular.
Para lo cual, lo anterior lo podemos tratar de generalizar de la
siguiente manera:
Empezando con “ a ” como primer término, luego le sumamos a este
término una constante “ a ” para formar el segundo término, luego a éste
183
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
segundo término le sumamos la misma constante “ a ” para formar el tercer
término, y así sucesivamente. Es decir:
2 tér
3 tér
4 tér
1 tér

    

,
+
,
+
2
,
+
3
,


a
a
d
a
d
a
d






Entonces el
TÉRMINO
n-ésimo O TÉRMINO
GENERAL
es:
a n = a + (n − 1)d
donde
a = 1er término
d = diferencia
Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos
términos consecutivos cualesquiera, es decir:
d = Térm. Posterior − Térm. Anterior
Ejemplo 1
Sea la sucesión {2,5,8,11,14,17, } . Hallar el término 100.
SOLUCIÓN:
Como tenemos que: a = 2 , d = 3 y n = 100 , al reemplazar en
a n = a + (n − 1)d tenemos:
a100 = 2 + (100 − 1)3
a100 = 2 + (99)3
a100 = 2 + 297
a100 = 299
(
)
Note que el término general de esta particular progresión aritmética es: a n = 2 + n − 1 3 . El cual nos
permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la sucesión.
Ejemplo 2
Para la sucesión
SOLUCIÓN:
anterior {2,5,8,11,14,17, } . Hallar el término 500.
Como tenemos ahora que n = 500 , al reemplazar en
an = 2 + (n − 1)3
a 500 = 2 + (500 − 1)3
tenemos:
a 500 = 2 + (499)3
a 500 = 2 + 1497
a 500 = 1499
184
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejemplo 3
Para la sucesión {5,3,1,−1,−3,−5, } . Hallar el término general.
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos que:
Reemplazando:
a=5
d = 3 − 5 = −3 − (−1) ⇒ d = −2
a n = 5 + (n − 1)(−2)
a n = 5 − 2(n − 1)
8.5.1.1 SUMA DE
LOS
“n” PRIMEROS TÉRMINOS
Sería importante disponer de una fórmula que nos permita
hallar la suma de los n primeros términos de una progresión
aritmética. Para lo cual:
S n = a + (a + d ) + (a + 2d ) + (a + 3d ) + 
= na +
Por lo tanto
n(n − 1)d
2


n
S n = 2a + (n − 1)d 
2


En ocasiones, se la emplea de esta otra forma:
Ultimo


Término


 

n
S n =  a + a + (n − 1)d 
2 Pr im.

Térm.

Sn =
n  Pr imer

2 término
+
último 
término
Ejemplo
Para la sucesión {2,5,8,11,14,17, } . Hallar la suma de los primeros 100 términos.
SOLUCIÓN:


100 

2
(
2
)
(
100
1
)
3
+
−
S100 =

2 


S100 = 50[4 + (99)3]
Aplicando la fórmula tenemos: S100
= 50[4 + 297]
S100 = 50(301)
S100 = 15050
185
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ahora analicemos los siguientes ejercicios:
Ejercicio resuelto 1
Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener
el sexto término
a) 12
b) -11
c) -12
d) 11
e) 6
SOLUCIÓN:
DATOS: a 4 = 5
a 9 = 20
Empleamos a n = a + (n − 1)d
para hallar a = ? y d = ?
a 9 = 20 = a + (9 − 1)d
a4 = 5 = a + (4 − 1)d
1.
20 = a + 8d
20 − 8d = a
2.
5 = a + 3d
5 − 3d = a
5 − 3d = 20 − 8d
8d − 3d = 20 − 5
Igualando, tenemos:
, entonces:
5d = 15
d =3
a = 5 − 3d
a = 5 − 3(3)
a = 5−9
a = −4
a 6 = −4 + (6 − 1)3
Por lo tanto el sexto término a 6 = −4 + 15
a 6 = 11
Ejercicio resuelto 2
¿Cuantos términos de la sucesión {9,12,15, } es necesario considerar de modo
que su suma sea 306?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13 e) 14
SOLUCIÓN:
DATOS:
Progresión aritmética con
CONDICIÓN:
a=9
y
d =3
(¿por qué?)
S ? = 306
DESARROLLO: Empleamos S n =


n

(
)
2
1
a
+
n
−
d

2


para hallar
n=?


n

2
(
9
)
(
1
)
3
+
n
−

2


n
306 = [2(9) + (n − 1)3]
2
n
Reemplazando y simplificando, resulta: 306 = (18 + 3n − 3)
2
n
306 = (15 + 3n)
2
306 =
612 = 15n + 3n 2
186
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
3n 2 + 15n − 612 = 0 ÷ 3
2
Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: n + 5n − 204 = 0
(n + 17)(n − 12) = 0
n = −17
n = 12
RESPUESTA: Escogemos
n = 12
(¿por qué?)
Ejercicio resuelto 3
En una progresión aritmética finita, el primer término es igual a k-2, el último término
es igual a 6-3k y la suma de todos los términos es igual a 10-5k. Entonces el número n
de términos de la progresión es igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
SOLUCIÓN:
DATOS:
Progresión aritmética con
a1 = k − 2
a n = 6 − 3k
DESARROLLO: Empleamos S n =
S n = 10 − 5k
n  Pr imer último 
+

 para hallar n = ?
2 término término


n

)
(
6
3
)
k
k
(
2
−
+
−

2


n
10 − 5k = (k − 2 + 6 − 3k )
2
n
Reemplazando: 10 − 5k = (4 − 2k )
2
n
5(2 − k ) = [2/ (2 − k )]
2/
n=5
10 − 5k =
RESPUESTA: La progresión tiene 5 términos.
Ejercicio resuelto 4
Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se
desprecia anualmente en . $150 y su valor se desecho es de $200. ¿Cuál es la vida de
la máquina?
SOLUCIÓN:
DATOS:
La máquina tiene: COSTO INICIAL = $1700 y luego cada año tendrá un valor de menos $150
que el año anterior, hasta llegar a un COSTO F INAL = $200
Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento
año 1 año 2





1550, 1400,  , 200




Resulta una progresión aritmética con a = 1550 y d = −150
DESARROLLO:
Empleamos a n = a + (n − 1)d
para hallar n = ?
187
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
a n = 1550 + (n − 1)(−150)
a n = 1550 − 150( n − 1)
200 = 1550 − 150n + 150
150n = 1550 + 150 − 200
150n = 1500
n = 10
RESPUESTA: La vida útil de la máquina es de 10 años.
Ejercicios Propuestos 8.3
1.
200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda y así sucesivamente;
el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es:
a) 5 y 6
b) 16 y 5
c) 20 y 10
d) 10 y 20
e) 16 y 6
2.
Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente
hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuentre ¿CUÁNTOS TRONCOS HAY EN TOTAL?
a) 200
b) 255
c) 230
d) 400
e) 300
3.
Si el décimo término de una progresión aritmética es 42 y el término vigésimo primero es 75, entonces el
término trigésimo primero es:
a) 105
b) 108
c) 104
d) 103
e) 100
4.
La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es:
a) 1470
b) 1460
c) 1473
5.
Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el
tercer con el quinto término de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. Entonces la suma de los
cinco primeros términos de esta progresión es:
a) 0
b) 10
c) 20
d) 24
e) 40
6.
La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, entonces el
DÉCIMO TÉRMINO es:
a) 2
b) 125
c)10
d)53
e)100
7.
La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es:
a)2x-49
b) 2x-81
c) 2x-82
d) 2x+82
e) 2x+49
8.
Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual a 16640, siendo el menor 20, entonces la suma
de los otros dos números es:
a) 60
b) 58
c) -65
d) 80
e) -68
9.
Si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es igual a 45360, siendo el mayor 42, entonces
la SUMA DE LOS OTROS 2 NÚMEROS es:
a) 70
b) 60
c) 78
d) 66
e) 84
d) 1465
e) 147
10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12.950, propone al banco acreedor pagarle $600
al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda la deuda en:
a) 1 año
b) 14 meses
c) 10 meses
d) 16 meses
e) 18 meses
11. Una máquina tiene un valor inicial de $2000 y se desprecia anualmente en $160. Si el valor de desecho de la
máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a:
a) 8 años
b) 12 años
c) 11 años
d) 10 años
e) 13 años
12. Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de . $1500. Al cabo de 9 años, la máquina tiene
un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual.
13. La oficina de Ingreso compró un televisor nuevo al precio de $1000. Si se supone una depreciación lineal del
20% del costo original, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del televisor, en
años, es:
a) 5
b) 3.5
c) 4
d) 4.5
e) 5.5
14. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión aritmética.
Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente, entonces el vigésimo pago es:
a) $202
b) $220
c) $201
d) $210
e) $200
188
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
15. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efectivo. La suma total
de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos, entonces el PRIMER
PREMIO fue de:
a) $12
b) $120
c) $1200
d) $2800
e)$12000
16. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada
uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $
100, calcule cuantos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda.
17. Se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $5000, el segundo se paga $5300 y cada año se
pagan $300 más, entonces la deuda total es:
a) $215000
b) $220000
c) $225000
d) $230000
e) $235000
18. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos
(empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos serán
necesarios de modo que salde la deuda?
19. El salario de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año ganó
$440 mensuales, y el vigésimo tercer año ganó $1160 mensuales, entonces su salario mensual inicial fue:
a) $120
b) $140
c) $280
d) $ 360
e) $110
20. Una mujer desea pagar un préstamo libre de interés de $1300 cancelando $10 el primer mes y aumentando
su pago en $15 cada mes. La cantidad del último pago es de:
a) $150
b) $160
c) $170
d) $180
e) $190
21. El término central de una progresión aritmética de "n" términos cuyo primer término es a 1 y su diferencia es d,
siendo "n" impar y S n la suma de los "n" términos, es:
S
S
2S n
n
Sn
a)
b) n
c)
d) n
e)
n
d
(n − 1)
Sn
(n + 1)d
189
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones geométricas para resolver problemas de aplicación.
Supongamos
primer término sea
una constante “r”,
misma constante r;
ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo
“a”; el segundo término sea el primero multiplicado por
el tercer término sea el segundo multiplicado por la
y así sucesivamente. Es decir:


2
3
,
,
,

ar
ar
 a , ar
   
1 tér 2 tér 3 tér 4 tér 
Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe
que el
TÉRMINO“n-ÉSIMO” O GENERAL
es de la forma:
Donde:
a n = ar n −1
a ≡ 1er término
Tér.Posterior
r ≡ razón =
Tér. Anterior
Ejemplo 1
Sea la sucesión de números {2,6,18,54, } . Hallar el término cincuenta.
SOLUCIÓN:
Observe que el primer término es a = 2 y luego cada término se forma multiplicando por 3
6 54
=3
anterior, es decir r = =
2 18
a cada término
Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario aplicar la formula
a n = ar n −1
Reemplazando, tenemos
a 50 = 2(3) 50−1
a 50 = 2(3) 49
Ejemplo 2
 3 3 3 3

Para esta progresión geométrica 3, , , , , 
2
4
8
16


3
n −1
1
1
Tenemos:
. Entonces su término general sería : a n = 3 
a=3 y r = 2 =
3
2
2
que le
permite calcular cualquier término de la progresión.
190
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
8.5.2.1 SUMA “n-ÉSIMA”
sería:
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + 
[
]
S n = a 1 + r 2 + r 3 + 
Entonces
1 − r n 
S n = a

 1 − r 
ó también
 r n − 1
S n = a

 r − 1 
Ejemplo 1
Para la progresión geométrica {2,6,18,54, } . Hallar la suma de los cincuenta primeros
términos
SOLUCIÓN:
 r n − 1

 r − 1 
Reemplazando en S n = a 
tenemos
(
)
 3 50 − 1 
50
S 50 = 2 
 = 3 −1
3
1
−


Ejemplo 2
 3 3 3 3

Para la progresión geométrica 3, , , , ,  . Hallar la suma de los cincuenta
 2 4 8 16

primeros términos
SOLUCIÓN:
Reemplazando, tenemos S 50
  1  50 
1 −   
  1  50 
 2 
1 −   
S
6
= 3
⇒
=
50
1 
  2  
 1−

2


8.5.2.2 SUMA INFINITA
Algo interesante ocurre cuando determinamos la suma de una
cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica con r < 1
0
1 − r ∞ 
a
≈
S∞ = a 
 1− r  1− r


donde ∞ ≡ cantidad muy grande
S∞ ≈
a
1 − r si r < 1
PREGUNTA: ¿ QUÉ SUCEDE CON S ∞
SI r > 1
?
191
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejemplo 1
Sea una progresión geométrica infinita con a = 2 y r = 3 , hallar el valor aproximado
de
4
S∞ .
SOLUCIÓN:
Reemplazando en S ∞ ≈
a
1− r
S∞ ≈
tenemos
2
1− 3
4
=
2
=8
1
4
RESUMEN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA


n

(
)
2
1
a
+
n
−
d

2


Pr imer último 
+
también: S n = n 

2 término término
a n = a + (n − 1)d
Sn =
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1 − r n 
S n = a

 1 − r 
a n = ar n −1
S∞ ≈
si
a
1− r
r <1
Ejercicio Resuelto 1
En una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y
12. Entonces el valor del décimo término es:
a) 36
b) 40
c) 38
d) 42
e) 34
SOLUCIÓN:
DATOS:
a 4 = 4 y a 7 = 12
INCOGNITA: a10 = ?
DESARROLLO:
n −1
Empleemos a n = ar
para hallar primero a y r
12 = ar 7 −1
4 = ar 4−1
1. 4 = ar
a=
2. 12 = ar
3
4
r
a=
3
4
igualando, tenemos
r
3
r
6
=
6
12
r6
12
r6
3/
3/
=3
12
r
3
entonces
3
3
4
r
r= 3
3
r =3
=
4
a=
( 3 )3/
a=
4
3
por lo tanto
3/
192
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ahora, hallemos el DÉCIMO TÉRMINO:
a10
a10
a10
( )
( )
4 3 10−1
3
3
9
4
= 33
3
4
= (3)3
3
= 36
a10 =
RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicio Resuelto 2
Sea la sucesión { 96, 48, 24, 12,.....} Entonces el lugar que ocupa el término 3 es:
16
a) cuarto lugar
b) quinto lugar c) sexto lugar d) octavo lugar e) décimo lugar
SOLUCIÓN:
DATOS:
Progresión geométrica con a = 96 y r = 48 = 1
96
2
a? = 3
16
DESARROLLO: Empleemos
3
1
= 96 
16
2
a n = ar n −1 para hallar
n=?
n −1
1
= 
4
5
2 ×2 ×2  2
n
1
1
= 
210  2 
10
n
1
1
  = 
2
2
n = 10
1
n
n
−1
3
1 1
=   
16 × 96  2   2 
Reemplazando:
n
1
1
=   (2)
16 × 32  2 
n
1
1
= 
16 × 32 × 2  2 
3 ocupa el décimo lugar en la progresión dada. Opción “e”
RESPUESTA:
16
193
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicio Resuelto 3
En una progresión geométrica, si se conoce que el primer término es igual a 160, la
razón igual a 3 y la suma de sus “n” primeros términos es 2110, entonces el número
2
de términos es igual a:
a) 9
b) 6
c) 7
d) 8
e) 5
SOLUCIÓN:
DATOS: a1 = 160 ,
r=
S n = 2110
3
,
2


1 − rn 
S n = 160 
 1− r 


INCOGNITA: n = ?

n
 1 −  3  

2 
2110/ = 160/    
 1− 3 

2 


DESARROLLO:
Reemplazando
en
−
1 − r n 
S n = a

 1 − r 

n
 1 −  3  
 2 
211 = 16 

 −1 

2 


tenemos:

n
3
211 = −32 1 −   
 2 


n
211
3
= 1−  
32
2
n
211
3
  = 1+
32
2
n 32 + 211
3
  =
32
2
n 243
3
  =
2
32
 
n 35
3
  =
2
25
n  3 5
3
  = 
2
2
RESPUESTA: n = 5 . Opción “e”
Ejercicio Resuelto 4
Una progresión geométrica finita tiene en total diez términos. Si el primer término es 1
y el quinto 1 , entonces la suma de los cinco últimos términos de la progresión es
16
igual a:
a) 33/512
b) 32/512
c) 31/512
d) 30/512
e) 55/512
SOLUCIÓN:
1
, n = 10
16
INCÓGNITA: S = suma de los 5 últimos
a 5 = 1(r )5−1
DESARROLLO: Encontremos primero la razón:
1
= r4
16
DATOS: a = 1 , a5 =
4/
r 4/ = 4
r=
PRIMER MÉTODO:
{2
1
16
1
2
Desarrollando los términos de la progresión 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1
4 8 16 32 64 128 256 512
16 + 8 + 4 + 2 + 1 31
los cinco últimos términos 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
=
32 64 128 256 512
512
512
} y luego sumando
194
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
SEGUNDO MÉTODO:
Obteniendo S10 y S5 y luego restarlos. Entonces:
10


1
1 − 210
  1  − 1 
−1
10
10
 2
 2
1 − 210 2 210 − 1
S10 = 1  
=−
= 2
. =
=
1
1
1
210 1
29

−1 
−
−
2
2
 2



5


1

  1  − 1  
− 1
5
5
  25
 2 
 = −1− 2 . 2 = 2 −1
=
S5 = 1

1
1 

25 1
24

−1   −
2 
 
 2


210 − 1 − 25  25 − 1
10
10 5
5
210 − 1 25 − 1

 = 2 − 1 − 2 + 2 = 2 − 1 = 31
=
S10 − S5 =
−
512
29
24
29
29
29
TERCER MÉTODO:
Considere una sucesión con a = 1 y r = 1 , es decir
32
2
{321 , 641 , 1281 , 2561 , 5121 } .
1 − r n 
.
 1 − r 
Luego obtenga S5 aplicando S n = a 
 25 − 1 
5

 1 −  1   1  5 
 31  31
31
2
Entonces reemplazando tenemos: S5 = 1   2   =
= 1  .2 =
=
32  1 − 1  25  1  25  25  29 512



2 
 2 




NOTA:
 El primer método no sería práctico si tuviésemos una muy grande cantidad de términos.
 El tercer método sería el más adecuado, porque se hacen menos cálculos que en el segundo
método.
Ejercicio Resuelto 5
El valor aproximado de
a) 1
b) 3
c) 9
91 / 3 ⋅ 91 / 9 ⋅ 91 / 27 ⋅ .....
d) 92
es:
e) 31/3
SOLUCIÓN:
Por la ley de los exponentes 9
una
1
3
1− 1
9 3
progresión
=
1
3
2
93
1
3
⋅9
1
9
⋅9
1
geométrica infinita con
27
1 + 1 + 1 ...
9 27
⋅ = 9 3
a = 13
y
. El exponente, no es más que
r=
1
9
1
3
=
1
, por lo tanto:
3
1
= 92 = 3
La conversión de un número decimal periódico en su fracción
correspondiente, puede también ser realizada considerando el criterio de la
progresión geométrica infinita.
195
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicio Resuelto 6
El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se
reduce a su expresión mínima ( sin factores comunes ) la suma del numerador y del
denominador es igual a:
7
b) 29
c) 141
d) 349
e) 204
SOLUCIÓN:
2.52525252  = 2 + 0.525252 
= 2 + 0.52 + 0.0052 + 0.000052 + 
52
52
52
52
+
+
+
+
100 100 2 100 3 100 4
 1

1
1
1
= 2 + 52 
+
+
+
+ 
2
3
4
100
100
100 100

=2+
La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con
y
1
a = 100
1
r = 100
.
Por tanto al aproximar su suma, tenemos:
 1 
 1 
 100 
 100 
 1  198 + 52 250
2 + 52 
=
 = 2 + 52  =
 = 2 + 52
1
99
99
99
 99 

1 −


 100 
 100 
RESPUESTA: Como la fracción es 250 ; entonces al sumar numerador con denominador, tenemos
99
250 + 99 = 349 . Opción “d”.
Ejercicio Resuelto 7
Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que
cada negocio y cada individuo ahorra el 25% de lo que recibe y gasta el resto, de modo
que de los $1000 millones iniciales el 75% es vuelto a gastar por individuos y negocios.
De esa cantidad, el 75% es gastado y así sucesivamente. Incluyendo los $1000 millones
originales, el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es:
a)$1000 millones b)$2000 millones
c)$3000 millones
d)$4000
millones
e) $5000 millones
SOLUCIÓN:
Planteemos la situación para los gastos
1000 +
75  75
75

(1000) +
(1000) + 
100 100
100

1000 +
75
 75 
 75 
(1000) + 
 (1000) + 
 (1000) + 
100
 100 
 100 
2
3
 3  3  2  3 3

1000 1 + +   +   + 
 4  4 

4
Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con a = 1 y r = 3 :
4
  

 1   1 
a
=
S∞ ≈
 =   = 4
1 − r 1 − 3   1 
 
 4   4 
entonces 1000[4] = 4000
RESPUESTA: Opción “d”
196
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Ejercicios Propuestos 8.4
1.
Determine si las siguientes reglas de correspondencias definen una progresión aritmética o una progresión
geométrica o ninguna.
a) f (n) = 2 − n
d) f (n) =
2.
2n!
(n + 1)!
b) f (n) =
2
n + 5n + 6
(n + 2)
e)
f (n) = (− 1)n
c)
n!(n 2 + 3n + 2)
3 n (n + 2)!
f (n) = 3n
1
En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son respectivamente 2 2 y
1
2 6 , entonces el quinto término es:
3
a)
2
b) 2 3
2 2
c) 2
−1
6
5
d) 2 6
e) 2
3.
Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en esta
progresión así formada es:
e) 1/3
a) 5/3
b) 4/3
c) 3/2
d) 1
4.
2
64
Si el noveno término de una progresión geométrica es
y la razón es
; entonces el primer término es:
2187
3
a) 3/4
b) 9/8
c) 4/3
d) 8/9
e) 2/3
5.
El décimo tercer (13º) elemento de una progresión geométrica es 16 y el undécimo (11º) es 8, entonces el
QUINTO TÉRMINO es igual a:
2
9
a)
6.
1
b)
4
1
2
d) 4
e) 2 2
Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco
primeros términos es:
a) 120 + 3
7.
c) 1
b) 240
c) 100
d) 117 + 36 3
Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es
e)220
1
24
de la suma de los términos segundo y
tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:
a) 1
b) 3
c) 1
d) 3
64
32
16
e)
16
3
32
8.
En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del primer
término. Si la suma de los dos primeros términos es 24. Encuentre los términos de la progresión .
Resp.: 8, 16, 32, 64, 128
9.
En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos
términos siguientes. Entonces la razón es:
a) 1
b)
5
2
c)
31
8
2 +1+
b)
5
b) 6
c) 7
1
1
+  + 2 
2
2
63
16
11. El valor de la suma infinita de 2 +
a)
d)
5
10. La suma de la serie:
a)
5 −1
2
d) 8
c)
1− 5
2
e)
2
5
es:
63
8
d) 63
e)
1
16
3 9 27
+ +
+ .... es:
2 8 32
e) 9
1 
1 1 1 1 1  1

12. El valor de la suma 1 +  +  +  +  +  + 
+  + ....... es:
2   3 4   9 8   27 16 

a) 2
b) 9/4
c) 5/2
d) 3
e) 2
13. El valor de:
a)
4
41 / 3 ⋅ 4−1 / 9 ⋅ 41 / 27 ⋅ 4−1 / 81 ⋅ ........es :
b) 2 3
c)
2
d) 2 2
e) 4
197
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
14. La suma de la progresión geométrica infinita: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... es igual a:
a)
1000
b)1111.11 c)111.11
d)111
e)120
15. Sea i, a ∈R, 0< i < 1, entonces, el valor de la SUMA INFINITA de: a + a (1 + i )−1 + a (1 + i )
es:
a) a(1 + i )i
b) a
c) ai
d) a
e) a
i
(1 + i )
1 + (1 + i )−1
[
−2
+ .....
]
a
a
a
16. Si a, i ∈R, 0 < i < 1 y
,
,
,.... son los términos de una progresión geométrica infinita,
(1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )3
entonces la suma de todos sus términos es:
a) 2a
b) a
c) a
d) ai
e) ∞
i
(1 + i )
17. La expresión:
a) 1
 1

1
1
1 − +
−
+ ...  , 0 < x < 1 ;
 x
x 2 x3


b)
x
c) x + 1
es equivalente a:
d)
x
x +1
e)
x
x −1
18. Dada la crisis actual, el Sr. Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los ecuatorianos
más afectados. Entonces a la primera persona le da $1000, al segundo $500, al tercero $250, al cuarto $125 y
así sucesivamente. El Sr. Generositis repartirá, en total, aproximadamente:
a)$1500
b)$2000
c)$2500
d)$3000
e)$3500
19. Tres personas Maricela, Gonzalo y Meure dividen una manzana de la siguiente manera. Primero la dividen en
cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien toma
su parte, siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obtiene:
a) Un cuarto de la manzana
d) Dos tercios de la manzana
b) La mitad de la manzana
e) Un octavo de la manzana.
c) Un tercio de la manzana
20. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. Para ello, y con el
fin de hacerlo ordenadamente, pidió que se alinearan (los mendigos) uno tras otros para darle al primero 1 dólar;
al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte de un dólar y así sucesivamente. ¿Cuántos dólares
necesita el millonario como mínimo para ayudar a los mendigos?
a)$1000
b)$2000
c)$2
d)$4
e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido.
21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo
sucesivo es de aproximadamente cinco sexto de la longitud anterior entonces la distancia total aproximada que
recorre antes de detenerse, es:
a) 120 cm.
b) 116 cm.
c)140 cm.
d) 144 cm.
e) 160 cm.
22. Una pelota de goma cae desde un altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En cada
rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por la
pelota, expresada en metros, es igual a:
a) 180
b) 260
c) 300
d) 420
e) 500
23. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de 10% de su valor. El costo original fue
de $10000 y el valor de desecho de $5314,41. Calcule la vida efectiva de la máquina,. esto es, el número de
años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho
24. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original fue
de $10000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la máquina.
198
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
Miscelaneos
8
1.

x3 y 
El VALOR de “ k ” para que el término central del binomio  k 2 xy +
tenga como coeficiente a 70 es:

k 

a) 5
b) −2
d) −1
c) 1
e) 0
10
2.
 k2 x 
Para que el término central del binomio 
+  tenga un coeficiente igual a 252, el VALOR de “k” debe
 x k


ser:
a)2
b)1
c)–2
x ” tal que
d)–1
e)3
23 + 25 + 27 + 29 + ... + x = 1248 , es:
3.
El VALOR de “
a)70
b)71
4.
Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inferior requiere de 100 ladrillos y cada
escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS que se
necesitan para el escalón superior (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para construir
la escalera completa, son respectivamente:
a)42 y 630
b)42 y 2130
c)38 y 570
d)2 y 800
e)10 y 700
5.
Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729, entonces su RAZÓN es:
a)3
b)–3
c)5
d)–9
e)9
6.
La SUMA APROXIMADA de los elementos de la progresión: 1,
c)72
d)73
e)74
1
2
,
1
1
1
,
, , ..........
2 2 2 4
es:
a)2 +
2
b)
1
c)
1+ 2
2+ 2
2
d) 2 − 1
e)2 -
2
9
7.
1

El término que es independiente de "x" en el desarrollo del binomio  x 2 −  ; es:
x

a)80
b)30
c)10
d)40
e)84
8.
El valor de la SUMA 5+9+13+...+49 , es:
a)49
b)76
c)243
d)324
9.
El pago por un trabajo de $1000 se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la
primera recibe $20 menos que la precedente, entonces cada persona recibe
a)$ 280, $300, $320, $340
b)$ 280, $260, $240, $220
c)$ 220, $200, $180, $160
d)$ 260, $240, $220, $200
e)$ 240, $220, $200, $180
e)1260
10. En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer término.
Si la suma de los 2 primeros términos es 12 entonces el CUARTO TÉRMINO es:
a)32
b)512
c)12
d)162
e)603
11. El VALOR de "x" de modo que x − 1 , x , x + 2 sean los términos de una sucesión geométrica, es:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
10

2 
4
12. El COEFICIENTE del término que contiene a x en el desarrollo de  x −
x 

a)-13440
b) 13440
c)3360
d)-1800
{
es:
e)-3360
}
13. Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA.
Identifíquela.
a)
La sucesión es una Progresión Aritmética.
b)
La diferencia de los términos de la sucesión es d = 2 .
an = 2 n − 1
c)
El término n -ésimo es:
d)
El décimo término es: a10 = 20
e)
La Suma n -ésima es:
Sn = n2
199
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
14. Patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año aumenta sus
pagos en $50 más. Entonces EL NÚMERO DE AÑOS que demora en pagar la deuda es:
a) 10 años
b) 20 años
c)12 años
d)15 años
e)16 años
15. Si el tercer término de una progresión geométrica es −2 y es sexto término es 54 , entonces su RAZÓN es:
a)2
b)-2
c) 3
d)-3
e) − 1
3
16. El VALOR APROXIMADO de la suma infinita
a) − 3
2
8
b) −
3
S = −4 + 2 − 1 + 1 − 1 ... es igual a:
2
c)
4
−4
d) − 2
a

17. El TÉRMINO que contiene a 7 en el desarrollo del binomio  + 9b 
3

a) 10a 7 b 3
b) 9a 7 b 3
c) 40a 7 b 3
e) −8
3
10
es:
d) 4a 7 b 3
e) 90a 7 b
18. Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde $100, entonces
después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente:
a)$50
b)$150
c)$200
d)$250
e)$300
19. En el desarrollo del binomio (4 x − 1) 6 , la SUMA de los coeficientes correspondientes a los dos últimos términos
es:
a) 25
|b) 24
c)-23
d) 21
e)-26
1
de la suma de los términos segundo y
20. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es
24
tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:
3
3
1
3
1
a)
b)
c)
d)
e)
32
32
16
64
16
21. Un insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un hombre
al venado. Si sólo el 20% de la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la CANTIDAD DE
CALORÍAS SUMINISTRADA POR LA PLANTA para que la carne del venado proporcione 2.000 calorías al
hombre, es:
a) 500.000
b)750.000
c)1'250.000
d)1'000.000
e)1'500.000
22. Un jornalero gana actualmente $5 por día. Cada día que pasa recibe un aumento de $0.10. ¿CUÁNTO TIEMPO
tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10?
a)49 días
b)50 días
c)51 días
d)2 meses
e)4 semanas
y el predicado
23. Sea Re = IR
SOLUCIÓN es el intervalo:
a)
(− ∞,0]
b) (− 4,4]
p ( x) : (1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 x − 1)) ≤ 4 x . Entonces su CONJUNTO
c) [4, ∞ )
d)
[0,4]
e)
(1, ∞ )
e)
63
16
1 1 1 1 
24. La SUMA de los 6 primeros términos de la progresión  , , , ,... es:
16 8 4 2 
a)3
b)
62
6
25. El valor aproximado de la suma de
a) 10
b) 9
64
16
1
1
+
+
2+
2 2 2
c)
c) 2 2
26. La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión
es:
a)
19
4
( 3 + 2)
b)
65 2 + 38 3
8
c)
53 2 + 21 3
8
d)10
es:
d) 2
2 , 3,
d)
e) 2
3 2
,...
2
2+ 3
3
e)
3 2 +2 3
27
10

2 
27. El COEFICIENTE del término que no contiene a la variable "y" en el desarrollo del binomio  y 3 +

y 2 

a)1260
b)13440
c)840
d)630
e)210
es:
200
Moisés Villena Muñoz
Números Naturales
28. En una progresión geométrica de 8 términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer
término. Si la suma de los dos primeros términos es 15 entonces el CUARTO TÉRMINO de la progresión es:
2
a) 81
8
b) 3
2
c) 9
d) 27
2
e)3
4
de la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo y
3
rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que recorrerá antes de quedar en reposo es:
a) 180 m.
b) 320 m.
c) 360 m.
d)220 m.
e) 240 m.
29. Si una pelota cae de una altura de 48 m. y rebota 2
30. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y el décimo término es 50 , entonces LA DIFERENCIA
común es:
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
a) 5
31. Si se suman el tercer y el quinto término de una progresión aritmética se obtiene 38 y si se suman el cuarto y
el sexto término de la misma progresión se obtiene 44 , entonces EL QUINTO TÉRMINO de la progresión es:
b) 32
c) 24
d) 12
e) 25
a) 22
32. La SUMA aproximada de los elementos de la progresión
a) 3
b)
3+3 3
2
c)
3 ,1,
1
1 1
,  es:
, ,
3 3 3 3
3 3 +1
2
d)
3 +1
2
e) 1 + 3

2
33. El COEFICIENTE del término que no contiene " y " en el desarrollo del binomio  2 xy −

21
a)
2
b)
70
3
c)
84
3
84
d) −
3
9
1 
 es:
2 y 
e) −
21
2
7
y

34. El QUINTO TÉRMINO en el desarrollo del binomio  x +  es:
2

a)
35 3 4
x y
8
b)
35 3 4
x y
16
c)
35 4 3
x y
16
d)
35 4 3
x y
4
e)
16 3 4
x y
5
35. La SUMA de los 26 primeros términos de la progresión aritmética: {−7,−4,−1, 2, 5, ...}
es:
a) 793
b) 832
c) 182
d)975
e)973
201
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
9
9.1 DEFINICIÓN
9.2 DOMINIO
9.3 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE
9.4
9.5
9.6
CORRESPONDENCIAS
OPERACIONES
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE
REAL.
CLASES DE FUNCIONES
Las funciones de variable real son de trascendental importancia para los cursos de
matemáticas universitarias y por tanto merece un capítulo aparte. El concepto de función ya
fue definido anteriormente, ahora lo haremos sobre subconjuntos de números reales.
200
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina función de una variable real.
 Aplique la definición de función, para que dadas reglas de correspondencia, determinen si son funciones o no.
 Plantee restricciones de las operaciones con números reales, para obtener el máximo dominio de funciones de una
variable real dada su regla de correspondencia.
 Sume, reste, multiplique y divida funciones de una variable real.
 Obtenga rango de funciones de una variable real.
 Defina gráfico de funciones de una variable real.
 Defina función de una variable real creciente, decreciente, par, impar, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. Y aplicarlos en
gráficas dadas para determinar sus características.
 Defina y caracterice la función lineal.
 Grafique funciones lineales.
 Determine e interprete pendiente de una recta.
 Obtenga la ecuación de la recta dada la pendiente y un punto de la recta; y dados dos puntos.
 Defina y caracterice a la función cuadrática.
 Grafique funciones cuadráticas.
 Defina y determine los ceros de una función.
 Obtenga la ecuación de una parábola.
 Defina y grafique función valor absoluto, función potencial.
 Defina función inversa y obtenga funciones inversas.
 Justifique la existencia de la función inversa.
 Construya funciones inversibles.
 Defina función compuesta y obtenga funciones compuestas.
9.1 DEFINICIÓN
Cuando
en
dominio
a
una
función
números
empleamos
reales,
como
haciéndoles
corresponder un único número real, tenemos
una función de variable
f : X ⊆ IR  Y ⊆ IR
real.
Es
decir:
Ejemplo 1
Sea f una función, tal que:
IR
−2
−1
0
1
2
3

f
IR
f = {(0,0); (1,1); (2,4); (3,9); (− 1,1); (− 2,4); (− 3,9);}
0
1
4
Observando la segunda componente de los
pares ordenados, nos hace pensar que es
el cuadrado de la primera componente.
9
201
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por
comprensión. Para el ejemplo anterior, sería:
f = ( x, y ) / y = x 2 ∧ x ∈ IR
{
O más simplemente, denotar
siguiente forma:
f ( x) = x 2
}
su regla de correspondencia de la
Las reglas de correspondencia,
algebraicas en “x”, [ y = f (x) ].
Donde:
“x” es la
usualmente
son
expresiones
VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE,
y
“y” la VARIABLE DEPENDIENTE.
Se dice, entonces que el valor de “y” depende del valor de “x” (o “y” es
función de “x”)
Ejemplo 2
Sea f , una función de variable real con regla de correspondencia
f ( x) = 2 x − 1
f
Algunos valores de esta función
serían:
f (0) = 2(0) − 1 = −1
f (2) = 2(2) − 1 = 3
IR
0
IR
2

3=

−1 = f (0)
f (2)
En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones.
Pero, dada la regla de correspondencia de una función, sería importante
determinar para qué valores de “x”, se define o tiene sentido esta regla de
correspondencia, es decir determinar el dominio de la función.
9.2 DOMINIO
También llamado conjunto de partida.
Sea
f
una función tal que
f : X ⊆ R Y ⊆ R,
entonces su DOMINIO es el conjunto X. Es
decir:
Dom f = X
202
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Dada la regla de correspondencia, un trabajo interesante es
Es decir el conjunto X
DETERMINAR SU MAYOR POSIBLE DOMINIO.
Como las reglas de correspondencia de las funciones son
expresiones algebraicas, normalmente en la variable x ; entonces, para
obtener un valor de la variable dependiente “y” basta con reemplazar el
valor de la variable independiente “x”, luego se tendría que calcular (POR
AHORA) una operación aritmética de suma, resta, multiplicación o división,
para lo cual se deberá tener en cuenta lo siguiente:
RESTRICCIONES:
1. DIVISIÓN
ENTRE CERO.
No está definida
2. RAÍCES
PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS.
No se
define para números reales
Ejemplo 1
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) = x 2
SOLUCIÓN :
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom
f = IR
Este mayor posible dominio nos permite definir el dominio de la
función a donde queramos, pero dentro de este intervalo, por ejemplo para
el caso anterior f ( x) = x 2 ; x ≥ 0
Ejemplo 2
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) = 2 x − 1
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Dom
f = IR
Ejemplo 3
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) =
SOLUCIÓN:
3x − 2
x −1
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si x = 1 se produciría una división
entre cero, por lo tanto Dom
f = IR − {1}= (−∞,1) ∪ (1, ∞ )
Ejemplo 4
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) = x − 4
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si x − 4 < 0 no se puede calcular la
raíz cuadrada, entonces x − 4 ≥ 0 ≡ x ≥ 4 , por lo tanto
Dom f = [4, ∞ ) = {x ∈ IR / x ≥ 4}
203
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 5
3x − 2
x +1
Hallar el máximo dominio posible. f ( x) =
SOLUCIÓN:
Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que
tenemos una desigualdad cuyo conjunto solución es:
+
−


////////// // 
POR TANTO
 +

 ////////// //
−1
3x − 2
≥ 0 . Entonces
x +1
2
3

Dom f = (− ∞,−1) ∪  , ∞ 
2
3

Ejemplo 6
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) = x − 4 +
3x − 2
x +1
SOLUCIÓN:
Ahora debemos resolver simultáneamente: x − 4 ≥ 0
+


////////// // 
−
−1
∧
3x − 2
≥0
x +1
+
+


 ////////// ////////// × × × × × × × × × × × ×


2
3
POR LO TANTO
Dom f = [4, ∞ )
4
Ejemplo 7
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) =
1− x2 + x
x−2 −3
SOLUCIÓN:
De manera semejante al ejemplo anterior, al considerar simultáneamente que :
2
1− x ≥ 0
x −2 −3 ≠ 0
∧
Tenemos:
1− x 2 ≥ 0
1.
(
− 1− x
2
x−2 −3 ≠ 0
) ≤ −0
x−2 ≠ 3
2.
x−2 ≠ 3
x≠5
x −1 ≤ 0
(x + 1)(x − 1) ≤ 0
2
+
−


× × × × × × ×


−1
∧ − (x − 2) ≠ 3
x ≠ −1
∧
+
1
5
204
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
POR LO TANTO Dom
f = (− 1,1]
Ejemplo 8
x − 2 + 3x
Hallar el máximo dominio posible para f ( x) =
1+ x − 2
SOLUCIÓN:
Debemos considerar simultáneamente que:
1+ x ≥ 0
x ≥ −1
∧
Entonces interceptando, tenemos:
//////// ]
−2
Por lo tanto
∧
x −2≥ 0
x ≥2
−2≥ x ≥ 2
1+ x − 2 ≠ 0
( 1 + x )2/ ≠ (2)2
1+ x ≠ 4 ⇒ x ≠ 3
[///////////////// [× × × × × × × ×
−1
2
3
Dom f = [2,3) ∪ (3, ∞ )
Ejercicios Propuestos 9.1
1.
¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una función de variable real?
a) r = ( x , y ) / y = 1 − x 2 ∧ x ∈ IR
d) r = ( x , y ) / x − 1 = y
{
b) r = {( x , y ) / y − 1 = x
c) r = {( x , y ) / y = x − 1
2
2.
3.
e) r =
{(x , y ) / 2 x − y = 1
}
∧ x≥0
∧ x ∈ IR}
.Si f (0) = 2 ; f (−3) = 5 ; f (1) = −1 ,
entonces el VALOR de f (−2) es:
a) 5
b) 6
d)–4
c)–1
e) 2
Sea f una función de variable real tal que: f (x ) = x − 2 x − 3 el MAYOR DOMINIO de f es el intervalo:
b) [1,3]
c) (− ∞,1) ∪ [3, ∞ )
d)
[1,3]C
e) (1,3)C
El MÁXIMO DOMINIO posible de la función f , con regla de correspondencia f (x ) =
intervalo:
a)
5.
{
Sea f una función de variable real tal que f ( x) = ax 2 + bx + c
a) (1,3)
4.
}
∧ x ∈ IR}
∧ x ≥ 1}
[0, ∞ )
Dada la función
a) (− ∞ ,−4]
d) {-4}
b) [− 4,2]
f (x ) =
c) IR − {− 1}
x+4
d) (−4,2)
x
3 − x +1
es el
e) [4,3) ∪ (−3,1) ∪ (1,2]
, entonces el MÁXIMO DOMINIO posible de f es el intervalo:
8 − 2 x − x 2 − 16
b) (− ∞ ,−6 ) ∪ (− 6 ,−4 )
c) [−4,4)
e) No existe ningún valor de x en el cual se defina la función f.
205
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
6.
Sea f una función de variable tal que f ( x) =
f es el intervalo:
a) [3, ∞ ) ∪ (− ∞,−3]
d) (− ∞,3]
x+3
, entonces el MAXIMO DOMINIO posible de
6 − 2x + 9 − x
b) (− ∞, ∞ )
e) (− ∞,−3)
[
]
c) − 3,3
206
Moisés Villena Muñoz
9.3
Función de una Variable Real
FUNCIONES
CON
CORRESPONDENCIA
VARIAS
REGLAS
DE
Ya hemos mencionado que las reglas de correspondencias de las
funciones pueden ser definidas para sólo cierto intervalo, subconjunto de
su mayor dominio; entonces podemos definir funciones con reglas de
correspondencias para diferentes intervalos.
Ejemplo 1
Podemos considerar dos reglas de correspondencias y = x 2 ; x ≥ 0 y y = 2 x − 1 ;
 x 2
; x≥0
x < 0 para definir la función f ( x) = 
2 x − 1 ; x < 0
En la recta numérica al representar a f, tenemos:
f

 
 
2x −1
x2
0
Es decir, para calcular f (2 ) como 2 > 0 usamos f ( x) = x 2 entonces f (2) = 2 2 = 4
En cambio, para calcular f (−1) como −1 < 0 usamos f ( x) = 2 x − 1 entonces
f (−1) = 2(−1) − 1 = −3
PREGUNTA: f (0) = 0 ¿Si ó no? ¿Por qué?
Ejemplo 2
Sea
f
una
función
de
variable
real
con
regla
de
correspondencia
x < −1
3 x + 2 ;

f ( x) = 1 − x 2 ; 2 > x ≥ −1
 x
x≥2
;

Representando a f sobre la recta numérica, tenemos:
f
3x + 2

 
 
1 − x2
−1

 
 
x
Note que
Dom f = IR
2
Entonces:
f ( 0) = 1 − 0 2 = 1
f (−1) = 1 − (−1) 2 = 0
f (2) = 2
f (4) = 4 = 2
f (−2) = 3(−2) + 2 = −4
207
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 3
Sea
una
función
de
variable
real
con
regla
de
correspondencia
 x 2
; x ≥ 1 ≡ −1 ≥ x ≥ 1
f ( x) = 
1 − 3 x ; x < 1 ≡ − 1 < x < 1
Representando a f sobre la recta numérica, tenemos:
x2
f



1 − 3x
−1

 
 
x2
1
9.4 OPERACIONES
Como las reglas de correspondencias de las funciones son
expresiones algebraicas entonces para S UMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR
funciones habrá que realizar las operaciones algebraicas de sus reglas de
correspondencias en los respectivos intervalos.
Ejemplo 1
Sean f y g funciones de variable real, tales que f ( x) = x 2 − 1 ; x ∈ IR
y
; x ∈ IR . Hallar ( f + g )( x) .
g ( x) = 2 x 2 − 3x + 2
SOLUCIÓN: Como tanto f y g están definidas con sólo una regla de correspondencia para todo R, para
obtener
( f + g )( x) bastaría con sumar su regla de correspondencia; es decir,
(
) (
f ( x) + g ( x) = x 2 − 1 + 2 x 2 − 3x + 2
(f
+ g )( x ) = 3 x 2 − 3 x + 1
)
Note que para obtener f (2) + g (2) se lo puede hacer empleando la regla
de correspondencia de ( f + g )(x ) es decir ( f + g )(2) = 3(2) 2 − 3(2) + 1 = 7 . O también
calculando f (2) y g (2) y luego sumarlos; es decir f (2) + g (2) = (3) + (4) = 7 .
En cambio, para obtener f (2) + g (−3) habrá que necesariamente
calcular f (2) y g (−3) , y luego sumarlos; es decir, f (2) + g (−3) = 3 + 29 = 32
Para el caso de tener funciones que se definan con diferentes reglas
de correspondencia para intervalos diferentes, se deberá proceder de
acuerdo a lo mostrado en los siguientes ejemplos.
208
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 2
Sean f y g funciones de variable real, tales que
;
f ( x) = x 2 − 1
x≥0
g ( x) = 2 x − 3x + 2 ; x < 1
SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir
los respectivos intervalos para operar las regla de correspondencias.
2

No está definida 
f
x < 0 y que
g NO ESTÁ DEFINIDA para x ≥ 1 .
Note f
x2 − 1
 ////////// //////////
0
ENTONCES:
 No está definida
2 x 2 − 3x + 2

////////// ////////// //////// 
g
NO ESTÁ DEFINIDA PARA
(
)(
( f + g )( x) = x 2 − 1 + 2 x 2 − 3 x + 2
)
= 3 x − 3 x + 1 ;0 ≤ x < 1
2
1
PREGUNTA: ( f + g )(2) = no existe ¿Sí o no? Y ¿POR QUÉ?
Ejemplo 3
Sean f y g funciones de variable real, tales que:
f ( x) = x 2 − 1 ; x ≥ 0
Hallar ( f .g )( x) .
g ( x) = 2 x 2 − 3x + 2 ; x < 2
y
SOLUCIÓN: Semejante al ejemplo anterior. Procedemos de igual forma.

x 2 −1

 ////////// ////////// ////////// //
f
0

2 x 2 − 3x + 2

////////// ////////// ////////// ////////// ////////// 
g
2
Por lo tanto
( f + g )( x) = (x 2 − 1)(2 x 2 − 3x + 2) = 2 x 4 − 3x 3 + 3x − 2 ;
0≤ x<2
209
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 4
 2
 2
x<0
x≥0
Sean f y g , funciones de variable real tales que f ( x) =  x − 1 ;
y g ( x) = 2 x − 3x + 2 ;
3 x + 1 ; x < 0

2x + 3
; x≥0
Hallar ( f + g )( x) .
SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los respectivos
intervalos para operar las regla de correspondencias.

x2 − 1
 
////////// ////////// ////////   ////////// ////////// ////////
3x + 1
f
0
g

2x + 3
2 x 2 − 3x + 2


//////////
////////// ////////
////////// ////////// ////////  
0
Por lo tanto
f +g
(3x + 1) + (2 x 2 − 3x + 2)
(
)

x 2 − 1 + (2 x + 3)

////////// ////////// ////////// /////////   ////////// ////////// ////////// /////
0
(f
 2 x 2 + 3
; x<0
+ g )(x ) = 
2
 x + 2 x + 2 ; x ≥ 0
Ejemplo 5
 x 2 − 1; x ≥ 0
2 x 2 − 3 x + 2;
Sean f y g , funciones de variable real tales que f ( x) = 
g ( x) = 
2 x + 1; x < 0
 x + 3 ;
Hallar ( f + g )( x)
SOLUCIÓN:
f
g

x 2 −1
 
////////// ////////// ////////// /////////   ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// //////
0
2x +1

x+3
2 x 2 − 3x + 2


////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// //   ////////// ////////// /////////
2
Por lo tanto
f +g
x<2
x≥2
(2 x + 1) + (2 x 2 − 3x + 2)
(
)(
)

x 2 − 1 + 2 x 2 − 3x + 2

////////// ////////// ////////// /////////   ////////// ////////// ////////// /////////
0
(
)

x 2 − 1 + ( x + 3)

  ////////// ////////// ////////// /

2
 2x 2 − x + 3 ;
x<0
 2
( f + g )(x ) = 3x − 3x + 1 ; 0 ≤ x < 2
 x2 + x + 2 ;
x≥2

210
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 6
 x 2 + 1 ;
Sean f y g , funciones de variable real tales que f (x ) = 
 x − 1 ;
Hallar ( f .g )( x)
SOLUCIÓN:
 x +1 ;
x < −1
g (x ) = 
x ≥ −1
− x − 1 ;
x≤0
x>0

x −1
x 2 +1

////////// ////////// ///   ////////// ////////// ////////// ////////// ////////// ////////
f
−1
0
x +1
− x −1



////////// ////////// ////////// ////////// ////////// //////  ////////// ////////// /////
g
−1
0
Por lo tanto
f ⋅g
(x
)
(x + 1)(x − 1)
 (x − 1)(− x − 1)
+ 1 (x + 1)  
 ////////// ////////// ////////// /////  ////////// ////////// ///

////////// ////////// ///  

2
−1
0
(
)
 x 2 + 1 (x + 1) ;
x < −1

2
( f ⋅ g )(x ) =  x − 1
; −1≤ x ≤ 0
 1 − x2
;
x>0

En conclusión. Si
(
(
)
)
y
f :X Y
g:X Y
entonces:
1. ( f + g ) : X  Y donde ( f + g )( x) =
2.
3.
4.
f ( x) + g ( x)
( f − g ) : X  Y donde ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x)
( f .g ) : X  Y donde ( f .g )( x) = f ( x).g ( x)
f
  : X *  Y donde  f

g
Es decir
( x ) = f ( x )
g 
g (x )
y
g ( x) ≠ 0 .
X * = X − {x / g ( x) = 0}
Ejercicios propuestos 9.2
1. Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:
211
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
x − 5

g ( x ) = 2 x 2
x − 2

 x + 1 ; x < −1

f ( x ) = 3x
;−1 ≤ x ≤ 5
 2
x
;x > 5

Entonces la regla de correspondencia de
2 x − 4

4 x − 5
a)

h( x ) = 2 x 2 + 3x
 2
3x
x 2 + x − 2

h( x ) = ( f + g )( x )
; x < −1
;−1 ≤ x < 0
;x < 0
;0 ≤ x ≤ 6
;x > 6
es:
2 x − 4
; x ≤ −1

4
−
5
−1 < x ≤ 0
x
;

b)
 2
h( x ) = 2 x + 3 x ;0 < x < 5
 2
;5 ≤ x < 6
3 x
x 2 + x − 2 ; x ≥ 6

;0 ≤ x ≤ 5
;5 < x ≤ 6
;x > 6
;x < 0
x − 6
 2
d) h( x) = 2 x + 3x ;0 ≤ x ≤ 6
 2
 x + x − 2 ; x > 6
; x < −1
x − 6
 2
c) h( x ) = 2 x + 3 x ;−1 ≤ x ≤ 5
 2
x + x − 2 ; x > 5
e) Elija esta opción si h(x) no existe
2.
Sean
f
Entonces
y
1 − 3 x;
x >2
2
x ≤2
g funciones de variable real , tales que: f (x ) = 
( f − g )(x )
 x + 2;
; x>2
3
g (x ) = 
1
; x≤2
x
−

es:
− 3 x − 2

a)
( f − g )(x ) =  x 2 − x + 3
− 4 x + 2

− 3 x − 2
c) ( f − g )(x ) =  x 2 − x + 3

− 4 x + 2

− 3 x − 2
e) ( f − g )(x ) = 
 2
 x − x + 3
; x≥2
b)
;−2 ≤ x < 2
; x < −2
; x>2
− 3 x − 2 ; x > 2

( f − g )(x ) = x 2 − x + 3 ; x ≤ 2

− 4 x + 2 ; x < −2
− 3 x − 2
; x≥2
− 4 x + 2

; x ≤ −2
d) ( f − g )(x ) =  x 2 − x + 3 ;−2 < x < 2

;−2 < x ≤ 2
; x ≤ −2
; x>2
; x≤2
3. Sean f y g funciones de una variable real, tales que
f ( x) = 1 +
 g ( x ) , es:


1 y
1
g ( x) = 1 − , entonces el MAXIMO
x
x
DOMINIO posible de la función  f
a) IR − {}
1
b) IR
c) IR − {−1}
d) IR − {0,1}
e) IR − {0}
9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
Los pares ordenados pueden ser representados como puntos en el
PLANO CARTESIANO.
Ejemplo
Ubicando los pares
(−2,4) , (3,2)
y
(4,−2)
tenemos:
212
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Dada la regla de correspondencia de una función de variable real
o
más
formalmente
dada
tal
que
f : X ⊆ IR  Y ⊆ IR
y = f (x) ,
f = {(x, y ) / y = f ( x) ∧ x ∈ X } ; podemos obtener una TABLA DE VALORES:
x
x1
x2
x3
y1
y2
y3

y
= f ( x1 )
= f (x2 )
= f ( x3 )

También, a la variable independiente " x " se la llama ABCISA y a la
variable dependiente " y " se la llama ORDENADA. Así que, ( x, y ) serán las
COORDENADAS de un punto
El GRÁFICO de una función es el conjunto de
puntos, representados en el plano cartesiano,
correspondientes a los pares ordenados de la
función.
(x2 , y2 )
(x1, y1 )
(x3 , y3 )
y = f (x )
9.5.1 UTILIDAD DEL GRAFICO
Con el gráfico, podemos:
1. DETERMINAR EL RANGO DE UNA RELACIÓN. El rango será el
intervalo que sea la proyección de la gráfica de la relación
sobre el eje " y ".
y = f (x)
Rango
213
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
2. DETERMINAR SI UN LUGAR GEOMÉTRICO ES FUNCIÓN O NO .
Considere lo siguiente:
PARA
TODA FUNCIÓN,
“CUALQUIER
RECTA VERTICAL
DEBERÁ CORTAR A SU GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO”.
No es función
y1
x1
y2
3. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O NO
Recuerde que:
f ES INYECTIVA ≡ f (x1 ) = f (x 2 ) ⇒ x1 = x 2
∀x1 , x 2 ∈ Dom f
O lo que es lo mismo:
f ES INYECTIVA ≡ x1 ≠ x 2 ⇒ f (x1 ) ≠ f (x 2 ) ∀x1 , x 2 ∈ Dom f
Gráficamente, tendríamos que para una función inyectiva:
“TODA RECTA HORIZONTAL DEBERÁ CORTAR A SU
GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO”
y
y = f (x)
214
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Una función no inyectiva sería:
y = f (x)
No es INYECTIVA
x1
x2
4. DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA O
NO
Recuerde que una función f ES SOBREYECTIVA si y sólo sí
rango f = Y para
f : X ⊆ IR → Y ⊆ IR
Entonces al hallar el rango de la función, inmediatamente
se podrá establecer si es sobreyectiva o nó.
5. DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES BIYECTIVA.
Determinando si es inyectiva o nó y si es sobreyectiva o nó,
entonces se podrá establecer si la función es biyectiva o nó
Ejemplo 1
Considere una función de variable real, tal que f ( x) = 2 x − 1; x ∈ IR . Trazar su
gráfica.
SOLUCIÓN
Hallemos primero la TABLA
correspondencia dada:
x
y
−3
−2
−1
0
1
2
3
−7
−5
−3
−1
1
3
5
DE VALORES
calculando algunos pares ordenados empleando la regla de
Representamos los pares ordenados como puntos en el plano cartesiano.
Y Luego trazamos la gráfica, siguiendo estos puntos
215
OBSERVACIONES:
1. La gráfica es una recta.
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 2
Considere una función de variable real, tal que f ( x) = x 2 ; x ∈ IR . Trazar su gráfica.
TABLA DE VALORES
x
y
−3
−2
−1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
GRÁFICA
Conclusiones:
1. La gráfica es una parábola.
2. rg f = [0, ∞ )
3. f no es inyectiva.
4. Si f : IR → IR entonces f no es sobreyectiva.
5.
Por tanto f no es biyectiva.
PREGUNTA:
¿En que cambian las conclusiones
si se define a la función :
1.
f : R  R+
2.
f : R+  R
3.
f : R+  R+
?
9.6 CLASES DE FUNCIONES
9.6.1 FUNCIÓN CRECIENTE
Sea f una función de variable real definida en
un
intervalo
I.
Entonces
f
ES
ESTRICTAMENTE CRECIENTE en I , si y sólo
si ∀x1 , x 2 ∈ I se cumple que [x2 > x1 ⇒ f (x2 ) > f (x1 )]
216
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Por tanto la gráfica de una función estrictamente creciente podría
tener el siguiente comportamiento:
f (x2 )
y = f (x)
f ( x1 )
x1
x2
217
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplos
y = 2x − 1
y = x2
Esta otra función, en cambio no es creciente en
todo su dominio, pero podríamos decir que es
Esta función es
estrictamente creciente
en todo su dominio
creciente en el intervalo
[0, ∞ )
Cuando una función crece en ciertos intervalos y se mantiene
constante en otros intervalos se dirá que la FUNCIÓN ES CRECIENTE. Entonces
se cumplirá que: ∀x1 , x 2 ∈ I [x 2 > x1 ⇒ f ( x 2 ) ≥ f ( x1 )]
Por ejemplo, una gráfica sería:
9.6.2 FUNCIÓN DECRECIENTE
Sea f una función de variable real definida en
un
intervalo
I.
Entonces
ESTRICTAMENTE DECRECIENTE
f
ES
en I , si y
218
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
sólo
si
∀x1 , x 2 ∈ I se
cumple
que
[x2 > x1 ⇒ f (x2 ) < f (x1 )]
La gráfica de una función
ESTRICTAMENTE DECRECIENTE
sería:
y
f (x1 )
f (x 2 )
x
x1
Defina
x2
FUNCIÓN DECRECIENTE.
9.6.3 MON0TONÍA
Determinar la monotonía de una función, significará determinar los
intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimientos.
9.6.4 FUNCIÓN PAR
Sea
una función de variable real.
f :X Y
Entonces
f
ES PAR, si y sólo si ∀x ∈ X se
cumple que f (− x) = f ( x)
Para una función
PAR
su gráfica será simétrica al eje y :
y
f (− x )
f (x )
x
−x
x
219
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 1
La función con regla de correspondencia f (x ) = x 2 es par, como lo podemos observar en su
gráfica que ya fue presentada, además f (− x ) = (− x )2 = x 2 ⇒ f (x ) = f (− x )
Ejemplo 2
Sea la función con regla de correspondencia f (x ) =
x 4 +1
(x − 1)
2
(− x )4 + 1
((− x)2 − 1)2
Entonces f (− x ) =
=
x 4 +1
(x − 1)
2
2
2
⇒ f (x ) = f (− x ) por tanto también es par
9.6.5 FUNCIÓN IMPAR
Sea
f :X Y
una función de variable real.
Entonces f ES IMPAR, si y sólo si ∀x ∈ X se
cumple que f (− x) = − f ( x)
Para una función
PAR
su gráfica será simétrica al origen
Ejemplo
Sea la función con regla de correspondencia f (x ) = x 3
Realicemos su gráfica punto a punto, para lo cual:
x
y
−2
−1
0
1
2
8
1
0
1
8
Además f (− x ) = (− x )3 = − x 3 = − f ( x) , por tanto es impar
220
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejercicio resuelto 1
Determine si la función con regla de correspondencia f ( x) = (x + 1)2 es par o impar
Hallamos f (− x) = [(− x ) + 1]2 = (− x + 1)2 ≠ f ( x) por tanto no es par, ni impar.
Ejercicio resuelto 2
Determine si la función con regla de correspondencia g ( x) = x 4 − 3 x + 2 es par o
impar.
Hallamos g (− x) = (− x )4 − 3(− x) + 2 = x 4 + 3 x + 2 ≠ g (x) por tanto no es par, ni impar.
Ejercicio resuelto 3
Determine si la función con regla de correspondencia h( x) = x 4 + 3 x 2 + 4 es par o
impar
Hallamos h(− x) = (− x )4 + 3(− x) 2 + 4 = x 4 + 3 x 2 + 4 = h( x) ; por tanto es par.
Ejercicio propuesto 9.3
1. Determine ¿cuál de las siguientes funciones es una FUNCIÓN PAR?:
a)
x − 1 ;
f (x ) = 
1 − x ;
c)
e)
x ≥1
x <1
f ( x ) = x 3 ; x ∈ IR
f ( x ) = 2 x − 1 ; x ∈ IR
b) f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ;
d)
x ∈ IR
f ( x ) = x 2 + 2 ; x ∈ IR
9.6.6 DESPLAZAMIENTOS
9.6.6.1 HORIZONTALES
Suponga que
f
es una función de variable real, cuyo gráfico es
f ( x1 )
x1
Entonces al desplazarla horizontalmente, tenemos
DERECHA
IZQUIERDA
221
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
9.7.6.2 VERTICALES
Y al desplazarla verticalmente, tenemos:
ARRIBA
ABAJO
f(x) -
a
f ( x1 )
a
f ( x1 ) − a
x
x1
Ejemplo
Sea f ( x) = x 2 cuya gráfica es:
f(x)
8
222
6
4
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Entonces la gráfica de f ( x) = (x − 2 )2 es:
f(x)
8
6
4
2
x
0
-4
-2
0
2
4
La gráfica de f ( x) = (x + 2 )2 es:
f(x)
8
6
4
2
x
0
-2
-4
2
0
4
La gráfica de f ( x) = x 2 + 2 es:
f(x)
8
6
4
2
x
0
-4
-2
0
2
4
223
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
La gráfica de f ( x) = x 2 − 2 es:
6 f(x)
4
2
x
0
-4
-2
0
2
4
-2
Finalmente, combinando los tipos de desplazamiento, la gráfica de f ( x) = (x − 2 )2 + 2
será:
f(x)
8
6
4
2
x
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
9.6.6.3 OTRAS CONSIDERACIONES
CAMBIO
DE SIGNO
Si una función f tiene por gráfica
f(x)
x
Entonces la gráfica de − f es:
224
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
La parte positiva de la gráfica de f ( la
que está arriba del eje x) se la hace
negativa dibujandola simétricamente
abajo del eje x.
Y la parte negativa, la que está bajo el
eje x, se la hace postiva dibujandola
simétricamente encima del eje x.
f(x)
− f (x)
x
Ejemplo
La gráfica de la función
f ( x) = − x 2 sería:
f(x)
x
Por otro lado
La gráfica de y = 2x 2 sería
f(x)
y = 2x 2
La parábola es más cerrada
y = x2
x
225
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejercicio resuelto
Considere las funciones f y g de IR en IR cuyas gráficas son:
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
b) f (x ) = 2 − 2 g (x − 1)
a) g (x ) = 2 −
1
f (x + 1)
2
d) f (0) − g (−2) = g (2)
c) g (− x ) = g (x )
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son Verdaderas.
Solución:
Analicemos cada opción:
a) Debemos llagar hasta el gráfico de g a partir del gráfico de f
f (x + 1)
2
-2
-1
1
2
1
f (x + 1)
2
1
-2
-1
1
−
2
1
f (x + 1)
2
226
-2
-1
1
2
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
2−
1
f (x + 1)
2
2
1
-2
-1
1
2
Por tanto esta es la opción incorrecta
Sin embargo analicemos las otras opciones.
b) Hallemos la gráfica de
f
a partir de la gráfica de
g
g (x − 1)
1
-2
-1
1
2
227
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
2 g (x − 1)
2
-2
-1
1
2
−2 g (x − 1)
-2
-1
2
-2
2 − 2 g (x − 1) = f ( x)
2
-2
-1
2
Por tanto esta opción es correcta
228
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
c) Esta opción también es correcta, porque de acuerdo al gráfico de g se observa que es simétrica al
eje y, por tanto g es una función par y se cumplirá que g (− x) = g ( x) .
d) Para calcular f (0) − g (−2) , del gráfico obtenemos f (0) = 2 y g ( −2) = 1 y luego los restamos.
Es decir:
2 − (1) = 1 . Ahora del gráfico de g , observamos que g (2) = 1 ; por lo tanto esta
opción también es correcta.
229
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejercicio Propuesto 9.4
1. Con respecto al gráfico de la función f .
1
Una de las siguientes reglas de correspondencia tiene GRÁFICO asociado
CORRECTO, Identifíquelo:
a ) g(x) = -f(x)
c ) g(x) = f(x) + 1
b ) g( x ) = f ( x + 1 )
2
1
1
1
1
d ) g(x) = f(x) - 1
e ) g(x) = -f(x) + 1
1
-1
9.6.7 FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal tiene las siguientes características:
1. La regla de correspondencia en su expresión simplificada,
es una ecuación lineal, de la forma: y = mx + b .
2. “ m ” se la denomina PENDIENTE (medida de la inclinación) de
la recta.
“ b ” es el intercepto de la recta con el eje “ y ”.
230
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
3. El gráfico es una recta. Si “ m ” es positivo ( m > 0 ) la recta es
creciente.
y = mx + b;
m>0
Ejemplo
La gráfica de f ( x) = 2 x − 1 es:
y = 2x −1
4. Si “ m ” es negativo ( m < 0 ) la recta es decreciente.
y = mx + b;
m<0
Ejemplo
La gráfica de f ( x) = −3 x + 1 es:
y = −3 x + 1
231
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
5. Si m = 0 , la ecuación de la recta queda de la forma y = b . Su
gráfica son RECTAS HORIZONTALES. Se la llama FUNCIÓN CONSTANTE.
y=b
Ejemplo
La gráfica de f ( x) = 1 es:
y =1
Note:
f ( 2) = 1
f (5) = 1
f (−100) = 1
Entonces la ecuación del eje “ x ” sería y = 0 .
Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, aunque no son
funciones (¿POR QUÉ?), son las RECTAS VERTICALES
x=a
a
Ejemplo
La gráfica de x = −1 es:
232
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
x = −1
Estas rectas tienen pendiente infinita. ¿POR QUÉ?
La ecuación del eje “ y ” sería x = 0 .
6. Si b = 0 , tenemos a las rectas que contienen el origen
y
y = mx
x
Si m = 1 y b = 0 , tenemos a la
FUNCIÓN IDENTIDAD.
y
y=x
x
233
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
7. Dos puntos definen una recta.
(x2 , y2 )
Elevación
y 2 − y1
( x1 , y1 )
Recorrido
x 2 − x1
Conociendo dos puntos de la recta, se podrá encontrar
su ecuación empleando la fórmula:
y − y1 =
y 2 − y1
(x − x1 )
x 2 − x1
DEDÚZCALA
Donde la pendiente es:
es decir: m =
m=
y 2 − y1
x 2 − x1
ó m=
y1 − y 2
x1 − x 2
elevación
recorrido
Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos P1 (0,1) y P2 (−2,7 )
Solución:
y − y1
(x − x1 )
Debemos emplear y − y1 = 2
x 2 − x1
para lo cual x1 = 0 , y1 = 1 , x 2 = −2 , y 2 = 7
Reemplazando, tenemos:
7 −1
(x − 0 )
y −1 =
−2−0
3
6/
y −1 =
x
− 2/
1
y − 1 = −3 x
y = −3 x + 1
Note que el orden en que se tomen los puntos P1 y P2 no importa.
234
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 2
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos P1 : (2,1) y P2 : (−2,1)
Solución:
y − y1
(x − x1 )
Debemos emplear y − y1 = 2
x 2 − x1
para lo cual x1 = 2 , y1 = 1 , x 2 = −2 , y 2 = 1
y =1
Reemplazando, tenemos:
1−1
(x − 2)
y −1 =
−2−2
y −1 = 0
y =1
Ejemplo 3
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos P1 : (1,2 ) y P2 : (1,−2 )
Solución:
y − y1
(x − x1 )
Debemos emplear y − y1 = 2
x 2 − x1
para lo cual x1 = 1 , y1 = 2 , x 2 = 1 , y 2 = −2
Reemplazando, tenemos:
x =1
−2 − 2
(x − 1)
1−1
−4
(x − 1)
y−2 =
0
y−2 =
0
0
( y − 2) = (x − 1)
−4
x =1
235
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
9.6.8 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Las características de una función cuadrática son:
1. La REGLA DE CORRESPONDENCIA, en su expresión simplificada,
es una ecuación cuadrática de la forma: y = f ( x) = ax 2 + bx + c ,
donde a, b, c ∈ R ∧ a ≠ 0
Ejemplo
f ( x) = x 2 es una función cuadrática. Su gráfica ya fue realizada y habíamos determinado que
es la siguiente:
y
y = x2
x
2. La
GRÁFICA
es una parábola.
3. Si a > 0 (positiva), la parábola es cóncava hacia arriba.
4. Si a < 0 (negativa), la parábola es cóncava hacia abajo.
5. El
VÉRTICE
de la parábola se produce en x = −
b
, por lo tanto
2a
 b 
y = f −
 . (¿DEMUÉSTRELO?)
 2a 
6. La parábola es simétrica a la recta x = −
b
.
2a
7. Los interceptos de la parábola con el eje “ x ” (si fuese el
caso), llamados también CEROS DE LA FUNCIÓN, se los
encuentra resolviendo la ecuación ax 2 + bx + c = 0 (¿POR QUÉ?)
x1
x2
236
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejemplo 1
Sea la función f ( x) = 2 x 2 − x + 1
Entonces, para esta función a = 2 , b = −1 , c = 1 .
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la gráfica es una PARÁBOLA ABIERTA HACIA ARRIBA
porque a > 0 y lo será a partir de su VÉRTICE , cuyas coordenadas son:
x=−
−1
b
x=−
2(2)
2a
x=
y
1
4
2
y = 2x 2 − x + 1
1
1
y = 2  − + 1
4
4
 
1 1
y = 2  − + 1
 16  4
7
y=
8
7
8
V
x
1
4
Esta función no tiene ceros.
Otra manera de tratar a la función cuadrática es llevarla a la forma
f ( x) = a( x − x0 ) 2 + y 0 . En este caso las coordenadas del vértice serían
V ( x0 , y 0 ) . REALÍCELO PARA EL EJEMPLO ANTERIOR.
Ejemplo 2
Sea la función f ( x) = −3x 2 + 4 x + 2
Como a = −3 < 0 entonces su gráfica es una parábola abierta hacia abajo a partir de su
vértice:
4
2
b
⇒x=
x=−
⇒ x=−
2a
2(−3)
3
2
2
2
y = −3  + 4  + 2
3
3
 
 
4 8
y = −3/   + + 2
 9/  3
3
4 8
por lo tanto y = − + + 2
3 3
4
y = +2
3
10
y=
3
y = −3x 2 + 4 x + 2
237
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
− 3x 2 + 4 x + 2 = 0
3x 2 − 4 x − 2 = 0
Los interceptos con el eje “x” serían:
x1,2 =
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
4 ± 16 − 4(3)(−2)
6
x1 =
2 + 10
⇒ x1 = 1,7
3
x2 =
2 − 10
⇒ x 2 = −0,3
3
Ejercicio propuesto 9.5
Graficar
1.- f ( x) = − x 2 + 4 x + 2
2.- f ( x) = x 2 + 2 x + 1
3.- f ( x) = x 2 − x
9.6.9 GRÁFICOS DE FUNCIONES CON VARIAS REGLAS
DE CORRESPONDENCIA
Para obtener la gráfica de una función de variable real que esté
definida con más de una regla de correspondencia, se debería graficar
cada regla de correspondencia en los respectivos intervalos donde estén
definidas.
Ejemplo
Sea
f ,
una
 x
;

f ( x) = 
2 x + 1 ;

2
función
de
variable
real,
con
regla
de
correspondencia
x≥0
Entonces su gráfica es:
x<0
y = x2
1
y = 2x + 1
Note que:
f (0) = 0
f (−2) = −3
f (2) = 4
238
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
9.6.10 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
 x ;
− x ;
La regla de correspondencia es: y = f ( x) = x = 
x≥0
x<0
Su Gráfico, sería:
y = −x
y=x
Las definiciones anteriores también serían aplicables a esta función.
Ejemplo 1
Para obtener la gráfica de f ( x) = x − 1 + 1 , se podría pensar en la gráfica de y = x
desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba.
y=x
y = −x + 2
1
1
Para obtener la regla de correspondencia de cada recta, debemos pensar en destruir el valor
absoluto y = x − 1 + 1 para lo cual:
y = −x + 2
y = ( x − 1) + 1
1
;
 x
f ( x) = 
− x + 2 ;
x ≥1
x <1
239
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
También se podrían presentar casos en que las funciones estén
afectadas por valor absoluto.
Suponga, que la gráfica de una función de variable real es la
siguiente:
x1
x2
Entonces, la gráfica de y = f (x) sería:
f (x)
y = − f (x)
y = f (x)
y = f (x)
x1
x2
Por lo tanto, la gráfica de f es la gráfica de f hecha positiva,
es decir:
 f ( x) cuando f (x ) ≥ 0
f ( x) = 
− f ( x) cuando f ( x) < 0
Ejemplo 2
Para obtener la gráfica de y = x + 1 − 2 , podemos pensar en la gráfica de y = x
desplazada una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo y de allí hacerla positiva,
obteniendo su valor absoluto.
240
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
y = x+3
y = −((x + 1) − 2 ) = − x + 1
y = ((x + 1) − 2) = x − 1
y = (− (x + 1) − 2 ) = − x − 3
-3
1
0 = x +1 − 2
Los interceptos con el eje x :
Es decir:
-1
x +1 − 2 = 0
x +1 = 2
x = 2 −1
x =1
y
−( x + 1) = 2
− x −1 = 2
x = −3
Analicemos los siguientes ejercicios:
Ejercicio resuelto 1
 x 2 − 4x + 2 ; x ≥ 2

Sea f : IR → IR una función tal que: f (x ) =  x − 4
; 0 < x < 2 , entonces el
 −4
; x≤0


RANGO de f es el intervalo:
b) [− 4,−2) ∪ [0, ∞ )
a) [− 4, ∞ )
e) (− 4,−2] ∪ [0, ∞ )
c) [− 2,4) ∪ (4, ∞ )
d) (− 4,2] ∪ [0, ∞ )
Solución:
1. y = x 2 − 4 x + 2 para x ≥ 2
1. y = x 2 − 4 x + 2 tiene
2. y = x − 4 para 0 < x < 2
3. y = −4 para x ≤ 0
Debemos graficar cada regla de correspondencia en sus respectivos intervalos, es decir:
CEROS:
VÉRTICE
b
x=−
2a
x=2
y = 4−8+ 2
y = −2
x 2 − 4x + 2 = 0
x1, 2 =
4 ± 16 − 4(2)
2
4±2 2
x1, 2 =
2
x1 = 2 + 2 ⇒ x1 = 3.41
y = x 2 − 4 x + 2 para x ∈ R
x 2 = 2 − 2 ⇒ x 2 = 0.59
241
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Entonces la gráfica sería:
y = x 2 − 4x + 2
y = x−4
y = −4
Observando el gráfico, tenemos que rg f = [−4,−2 ) ∪ [0, ∞ ) . Por lo tanto la opción “b” es correcta
Ejercicio resuelto 2
Graficar f ( x) = x − 1 − x ;
x ∈ IR
Primero obtengamos su regla de correspondencia en forma explícita, para lo cual destruimos
los valores absolutos, es decir:
y = −( x − 1) − (− x)
y = −( x − 1) − x
0
y = −x +1+ x
y =1
Entonces, su gráfica es:
y =1
y = x −1 − x
1
y = −2 x + 1
y = −1
 −1 ; x ≥ 1

f ( x ) = − 2 x + 1 ; 0 ≤ x < 1
 1
; x<0

y = −2 x + 1
y = −1
242
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
9.6.10.3 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES
Función cúbica
y = x3
; x∈R
Función raíz cuadrada
y = x; x ≥ 0
Entonces:
y = x +1
y = x +1
243
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
y=− x
y= −x
y = − x − 1 = − (x + 1)
244
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA
y=
1
x
Entonces:
y=
1
x +1
y=
1
+1
x
245
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejercicio resuelto
Sea f : IR → IR una función con regla de correspondencia:
 −2− x


f (x ) =  x 2 − 4

x−2


x ≤ −2
−2< x < 2
x≥2
entonces una de las siguientes afirmaciones es CORRECTA, identifíquela:
a) La función es biyectiva.
b) La función es sobreyectiva.
c) La función es inyectiva.
d) La función es impar.
e) La función es par
SOLUCIÓN: Debemos graficar f para así determinar sus características.
Note que y = − 2 − x debe ser considerado de la siguiente forma y = − ( x + 2)
y = x−2
y = − (x + 2 )
y = x2 − 4
Entonces, de acuerdo al gráfico, f es una función par. Por lo tanto la opción “e” es correcta
Ejercicios propuestos 9.6
1.
entonces el RANGO de f es:
b) (− ∞ ,15)
a) (−1,∞ )
2.
(x − 2 )2 − 1

f ( x) =  3
- 3x - 2

Si f es una función de variable real tal que:
c) (− ∞ ,15]
[
)
c) (7 , ∞ )
; x < -2
[
e) 15,+∞ )
d) (− 8,15]
Sea f una función de variable real con regla de correspondencia:
entonces el RANGO de f, es el intervalo:
b) − 7, ∞
a) (10 ,∞ )
;-2 ≤ x < 2
; x≥2
10


f ( x ) = 2 − x 2
2 x − 4


d) (10,7 )
x < −3
−3 ≤ x < 3
x≥3
e) (− 7 ,∞ )
 9
;x > 6

3. Sea f : R → R una función tal que f ( x) =  x − 3 ;0 ≤ x ≤ 6 Entonces es VERDAD que:
 2
 x + 1 ; x < 0
a) f es par
c)f no es sobreyectiva
4.
b) f (50) = 9
∧
f (−8) = 65 ∧
f (6) = −3
d) f es inyectiva
e) f es impar
;x >0
 x − 2
Sea f : IR → IR , una función tal que: f ( x) = 
− (x + 2 )2 + 4 ; x ≤ 0
246
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Para que f ( x) > 4 , se requiere que:
a)
5.
x>6
b)
e) x > −2
Sea
f
x<6
una
x + 2x − 3

f (x ) =  x − 3

2
( x − 3)
2
función
c) x
de
x < −1
−1 ≤ x < 3
>0
variable
d)
real
cuya
−2 < x < 0 ∨
regla
de
x>6
correspondencia
es:
entonces su gráfica es:
x≥3
a)
b)
(3,0)
(3,0)
(-1, -3)
(-1, -4)
c)
(1, 4)
d)
(3, 0)
(3, 0)
(-1, -4)
e)
(3, 0)
(-1, -4)
;
x ≤ −4
x + 6

2
6. Considerando la función f , con regla de correspondencia: f (x ) = 16 − x ; − 4 < x < 4
6 − x
;
x≥4

Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.
b) El rango de f es el intervalo (−∞,4 ) .
a) f es una función impar.
d) El dominio de f es el intervalo (0,+∞ ) .
c) f es creciente en el intervalo (−4,1) .
e) f es una función par.
7.
5 − x ; x < −5
entonces es VERDAD que:
 2
x
f (x ) =  + 5 ; − 5 ≤ x < 5
5

x + 5 ; x ≥ 5
a) f es creciente en el intervalo (− ∞,0] d) f es decreciente en el intervalo [0, ∞ ) .
Dada la función:
b) f es una función par.
8.
e) f es una función impar.
c) f no es función.
La regla de correspondencia de la función: f : IR → IR cuyo gráfico se muestra, tiene la forma :
f (x ) = ax 2 + bx + c
247
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Entonces el valor de b es:
a) 4
b)1
9.
c)2
d)-4
e)-1/2
Sea f una función de variable real, cuya gráfica es:
Entonces su regla de correspondencia es:
x < −2
;
2
a)
− x + 2
;−2≤ x<0

f (x ) = 
; 0≤ x<2
− x − 2
2

x
x
x>2
−
4
;

x < −2
;
2
c)
x + 2
;−2≤ x<0

f (x ) = 
; 0≤ x≤2
− x + 2
2

x>2
x − 4x ;
e)
2 x
;

f ( x ) = − x + 2 ;
x 2 − 4x ;

b)
d)
− 2
;

f ( x ) = − x + 2 ;
x 2 + 4x ;

;
2
− x + 2
;

f (x ) = 
;
x − 2
2

x − 4x ;
x < −2
−2≤ x≤ 2
x>2
x ≤ −2
−2≤ x≤0
0< x≤2
x≥2
x < −2
−2≤ x≤ 2
x>2
10. Considere el gráfico de una función de variable real:
Entonces su REGLA DE CORRESPONDENCIA es:
248
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
,
x≤0
− x

2
a) f (x ) = (1 − x ) + 2 , 0 < x ≤ 2
x + 3
,
x>2

− x
x≤0
,


2
c) f (x ) = 2(x − 1) + 2 , 0 < x ≤ 2
x − 1
x>2
,

x≤0
,
− x

2
b) f (x ) = (x − 1) − 2 , 0 < x ≤ 2
x − 3
x>2
,

x≤0
,
 x

2
e) f (x ) = 2(1 − x ) − 2 , 0 < x ≤ 2
x − 3
x>2
,

,
x≤0
 x

2
d) f (x ) = 2 − 2(1 − x ) , 0 < x ≤ 2
x − 3
,
x>2

11. Realizar las gráficas de las funciones con reglas de correspondencias:
2 x + 5 ; x < 0

b) f ( x ) = 2 x − 1 + 2 x − 1 ; x ∈ R
a)
f ( x ) =  x2 + 1 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; x ∈ R
1
;x>2

2
d) f ( x ) = 2 x − 6 − 4
c) f ( x ) = (x − 2) − 3
2 x − 1
12. Si f es una función de variable real tal que: f ( x ) = 


x − 2 x + 1 , 1 < x < 3
entonces el GRÁFICO de f es:
a)
, x-2 ≥1
2
b)
2
4
2
1
2
3
c)
d)
-2
-2
2
2
-4
-4
e) Elija esta opción si ninguno es el gráfico.
13. Sean
GRAFICAR:
f(x)=  x − 1
a ) f (x )
; x -2 ≥1
 2
x − 3x + 2 ; 1 < x < 3
b) g ( x )
y
g( x ) =
c) - f ( x )
x −x
2
; x∈R
d) - g ( x - 2 )
249
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
14. Uno de los siguientes gráficos corresponde a la función f tal que f(x)= [2 − g ( x )] + x 2 , x ∈ R
1

g( x ) = 0
- 1

a)
, sabiendo
;x>0
;x=0
;x<0
b)
3
3
2
1
2
1
c)
d)
3
2
3
2
1
e) Elija esta opción si ningún gráfico corresponde.
f ( x) = 1 − x (x − 1) ; x ∈ R es :
15. La gráfica de la función
a)
b)
c)
d)
1
-1
1
1
e) Seleccione esta opción si ninguna de las anteriores es el gráfico.
16. Considere el siguiente gráfico para una función
Entonces el GRÁFICO DE f , tal que
g de variable real:
f (x ) = 1 − 2 g (x − 1) ,es:
250
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
a)
b)
c)
d)
e)
17. ¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f de variable real ?
− ( x + 2 ) 2 ; x < -1


f ( x ) =  x -1
; x≥1
 3
x
;-1 ≤ x <1

a) f es creciente en el intervalo (-1,1)
c) f es par en el intervalo (1,+∞)
e) f es creciente en el intervalo (1,+∞)
b) f es impar en el intervalo (-1,1)
d) f es decreciente en el intervalo (-2,-1)
18. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia

1
; x < −1

; x ≤1 .
f (x ) = 
x
 2
 x − 4 x + 4 ; x > 1
a)
b)
c)
rg f = [0, ∞ )
f no es una función par.
f es decreciente en el intervalo [0,1] .
Entonces es FALSO, que:
d) f es creciente en el intervalo [2, ∞ ) .
e) f no es una función impar.
19. Sea f una función de una variable real, con regla de correspondencia:
(x + 2 )2 + 2

 1
f ( x ) = − ( x + 2 ) 2 + 2
 8
 x−2

entonces el RANGO de la función es el intervalo:
b) [0 , ∞ )
a) (− ∞ ,−2]
e)
[2,∞ )
20. Sea x∈R y x ≤ 4 ; f ( x) =
x < −2
−2≤ x ≤ 2
x>2
c) [− 2 , ∞ )
d) (− ∞ , ∞ )
4 − x + 2 , entonces es FALSO que:
251
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Si la función es impar, entonces la función no es par
c) La función es decreciente
e) El Rango de la función es [2,+∞ )
b) El vértice de la parábola está en (4,2)
d) La función es par
a)
21. La GRÁFICA de la función f, con regla de correspondencia
a)
b)
c)
d)


2x − 2
;

f ( x ) = + 2 − x + 2 ;

− 1 x 2 − 2 x − 2 ;
 2
x≥2
x <2
es:
x ≤ −2
e)
22. Si se define la función f con regla de correspondencia f ( x) = x 2 x ; x∈R, entonces, una de las siguientes
afirmaciones es FALSA, identifíquela.
a) f es una función PAR
b) Para x=-2, el valor de la función es 8
c) f ( x) = x 3
d) En el intervalo (0,+∞), f es estrictamente creciente
e) El rango de f es (0,+∞)
9.6.11 FUNCIÓN INVERSA
Ya hemos mencionado que una función es inversible si y sólo si es
biyectiva.
Con conjuntos finitos, determinar inversas es muy sencillo. Para
hallar la función inversa f −1 de una función biyectiva f , bastaba con
tomar el camino de regreso; entonces, obteníamos el rango de f como
dominio f −1 y al dominio f como rango de f −1 . En los pares ordenados, la
primera componente pasa a ser la segunda componente y la segunda
componente pasa a ser la primera componente.
252
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Para lograr esto, con una función de variable real f con regla de
correspondencia dada, deberíamos realizar lo siguiente:
1. Si tenemos y = f (x) deberíamos hacer x = f ( y ) . [Cambiar
“x” por “y” y “y”
por “x”]
2. Despejar “ y ”.
Entonces la regla de correspondencia de la inversa y = f −1 (x ) , sería la
ecuación obtenida
Ejemplo 1
Sea f ( x) = 2 x + 1 , hallar f −1
SOLUCIÓN:
En y = 2 x + 1 , cambiando “x” por “y” y “y” por “x”, tenemos x = 2 y + 1
x = 2 y +1
2 y = x −1
1
1
x −1
−1
entonces f ( x) = x −
Despejando “y”,
y=
2
2
2
x 1
y= −
2 2
Ocurre algo interesante cuando trazamos tanto la gráfica de f como
de su inversa f −1 en un mismo plano cartesiano.
A saber:
y=x
y = f ( x) = 2 x + 1
y = f −1 ( x) =
Los gráficos de
f
y
f
recta
−1
1
1
x−
2
2
son simétricos a la
y = x.
253
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
No olvide que
(f )
−1 −1
= f
Ejemplo 2
Sea f ( x) = x 2 ; x ≥ 0 hallar f
−1
y graficarlas en un mismo plano.
SOLUCIÓN: Como tenemos y = x , entonces x = y 2 . Donde y ≥ 0
2
Por lo tanto f −1 =
x
y = x2
y=+ x
Ejemplo 3
Sea f ( x) = x 2 ;
x < 0 , hallar f −1 y graficarlas en un mismo plano.
SOLUCIÓN: Como tenemos y = x 2 , entonces x = y 2 donde y < 0 .
Por lo tanto f −1 = − x
y = x2
y=− x
Ejemplo 4
254
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Sea f ( x) =
1 2
−1
y graficarlas en un mismo plano.
x − 2 ; x ≤ 0 . Hallar f
2
SOLUCIÓN:
y=
x=
1 2
x −2;x ≤ 0
2
1 2
y − 2; y ≤ 0
2
2x = y2 − 4
y2 = 2x + 4
y = − 2 x + 4 ; x ≥ −2
y = 2x + 4
f −1 = − 2 x + 4 ; x ≥ −2
Ejemplo 5
 x2 − 4
;
− (2 x + 4) ;
x < −2
x ≥ −2
Sea f ( x) = 
. Hallar f −1 y graficarla
SOLUCIÓN: Encontramos la inversa para cada una de las reglas de correspondencia de f .
Observe que, la gráfica de f es:
y = x 2 − 4; x < −2
Primero:
y = −2 x − 4; x ≥ −2
Para y = x 2 − 4; x < −2 tenemos:
x = y2 − 4;
y < −2
x+4= y ;
y < −2
2
x+4 =
y2 ;
y = ± x+ 4;
f −1 = − x + 4 ;
Por tanto:
y < −2
y < −2
− x + 4 ;

f −1 =  1
− 2 x − 2 ;
x>0
x≤0
x>0
Note que y < −2 cuando
x>0
f
Segundo:
−1
y = − 1 x − 2; x ≤ 0
2
Para y = −(2 x + 4); x ≥ −2 tenemos:
x = −(2 y + 4); y ≥ −2
x = −2 y − 4; y ≥ −2
2 y = − x − 4; y ≥ −2
1
y = − x − 2; y ≥ −2
2
1
−1
f = − x − 2; x ≤ 0
2
Note que y ≥ −2 cuando x ≤ 0
y = − x + 4; x > 0
255
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Ejercicios Propuestos 9.7
1.
Si f es una función cuyo dominio es el intervalo [5,+∞), y su regla de correspondencia es
f ( x) = x − 5 − 5 . Entonces, el dominio de f −1( x) , es:
a) [5,+∞ )
2.
c) [− 5, 0 ]
b) [− 5, 0 ]
[− 5,+∞ )
e) [− 5, 5 ) ∪ (5, + ∞ )
La función inversa de la función de variable real f ( x) = x − 2 − 2 siendo x ≥ 2, es:
a ) f -1 ( x) = (x − 2 )2 + 2 ; x ≥ -2
d) f -1 ( x) = x 2 − 4
;x ≥ 2
3.
d)
b) f -1 ( x) = ( x − 2) 2 − 2 ; x ≥ -1
e) f -1 ( x) = x 2 + 2 x + 4 ; x ≥ 1
c) f -1 ( x) = ( x + 2) 2 + 2 ; x ≥ -2
Sea f −1( x) la regla de correspondencia de una función que es inversa de otra función de variable real f y
 x3

f −1 ( x) =  2
− 2 x
que está definida así:
; x ≥2
; x <2
entonces el valor de la suma f (−2) − f (−4) es igual:
a)
4.
1
b) -1
c) 3
d ) -3
e) 2
d) (−2,+∞ )
e) (−∞, - 1)
Si f es una función invertible, tal que:
 x 2 − 8 x + 15 ; x ≥ 4
f ( x) = 
2(x - 6)
; x<4
−1
Entonces el dominio de
a) R
5.
b) [− 4, - 1)c
f
(x)
es:
c) [− 4, - 1]C
Sea f una función de una variable real, que tiene una función inversa cuya regla de correspondencia es:
1
f −1(x ) = 2 1 + 3 x − 1 ; x ≥ − , entonces la regla de correspondencia de f , es:
3
(x + 1)2 − 1 ; x ≥ −1
(
x + 1)2 1
1
b) f (x ) =
a) f (x ) =
−
; x≥−
6
3
6
3
3
2
2
(x − 1) − 1 ; x ≥ − 1
(x + 1) + 1 ; x ≥ − 1
d) f (x ) =
c) f (x ) =
3
12
3
3
3
3
(
x + 1)2 1
e) f (x ) =
; x ≥ −1
−
12
3
9.6.12 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
El concepto de componer funciones ya lo hemos mencionado, sin
embargo recuerde que para obtener g  f , empezando con “ x ” como
dominio de f obtenemos su rango y = f (x) , y luego este rango lo hacemos
dominio de g para obtener y = g ( f ( x)) . Lo cual esquemáticamente, sería:
x
f
y = f (x)
g
y = g [ f (x)]
(g  f )( x) = g [ f ( x)]
256
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Algo similar se haría para el caso de obtener f  g
x
g
y = g (x)
y = f [g (x)]
f
( f  g )( x) = f [g ( x)]
Si f y g son funciones de variable real, se trabajaría con las reglas
de correspondencia.
Ejemplo 1
Sean f ( x) = 2 x − 1;
x ∈ IR y
g ( x) = 3x 2 − x + 2;
x ∈ IR . Hallar ( f  g )(x)
SOLUCIÓN: Por definición ( f  g )( x) = f [g ( x)] ( f evaluada en g )
x
g
y = 3x 2 − x + 2
y = f [g (x)]
f
2x − 1
( f  g )( x) = f [g ( x)]
( f  g )( x) = 2[g ( x)] − 1
( f  g )( x) = 2(3x 2 − x + 2) − 1
( f  g )( x) = 6 x 2 − 2 x + 3
Ejemplo 2
Para el ejemplo anterior obtener g  f
SOLUCIÓN: Por definición (g  f )( x) = g [ f ( x)] ( g evaluada en f), entonces:
(g  f )( x) = 3[ f ( x)]2 − f ( x) + 2
(g  f )( x) = 3(2 x − 1)2 − (2 x − 1) + 2
(g  f )( x) = 3(4 x 2 − 4 x + 1) − 2 x + 1 + 2
(g  f )( x) = 12 x 2 − 12 x + 3 − 2 x + 3
(g  f )( x) = 12 x 2 − 14 x + 6
Analicemos ahora los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio resuelto 1
Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:
257
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
f ( x ) = x 2 + 1 , x ∈ IR
, x ∈ IR
g( x ) = 2 − x
Entonces es VERDAD que:
a) El rango de f  g es el intervalo [0 , ∞ )
b) El rango de g  f es el intervalo (− ∞,1]
d) (g  f  g )( 1 ) = 2
c) ( f  g  f )( 1 ) =0
SOLUCIÓN:
(
)
e) g  g −1 ( 1 ) =0
Analizando una a una las opciones:
a) Obtengamos primero ( f  g )( x) = f [g ( x)]
y = (2 − x )2 + 1
y = ( x − 2 )2 + 1
. Entonces rg ( f  g ) = [1, ∞ ) (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es falsa.
b) Obtengamos ahora (g  f )( x) = g [ f ( x)]
(
)
y = 2 − x 2 +1
y = 2 − x −1
2
y = −x 2 +1
c) Caculemos
falsa
.Entonces rg ( g  f ) = (−∞,1] (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es correcta.
( f  g  f )(1) = f [g [ f (1)]] =
f ( g (2)) = f (0) = 1 . Por tanto esta opción es
d) Calculemos (g  f  g )(1) = g [ f [g (1)]] = g ( f (1)) = g (2) = 0 . Por tanto esta opción es falsa.
(
)
(g  g )(x) = x . Por tanto esta opción es falsa.
(g  g )(x) = x
(g  g )(x) = g [g ( x)]
entonces (g  g )(x ) = 2 − (2 − x) y también
(g  g )(x) = x
−1
e) Al calcular g  g −1 (1) = 1 por que
Veamos
−1
g ( x) = 2 − x
Si x = 2 − y
−1
−1
−1
−1
g −1 ( x) = 2 − x
(g
(g
−1
)
 g )(x ) = x
−1
 g (x ) = 2 − (2 − x)
Ejercicio resuelto 2
2 − x ; x ≤ 1
Si f ( x) = 
y g ( x) = x ; x ∈ IR
 x +1 ; x > 1
Entonces la composición (g o f)(x) está dada por la regla de correspondencia:
a) ( gof )( x) = 2 − x ; x ≤ 1
c) ( gof )( x) = 2 − x
; x <1
x + 1 ; x ≥ 1
−2+ x ; x ≤1
d) ( gof )( x) = 
- x - 1 ; x > 1
x + 1 ; x > 1
b)
− (2 − x ) ; x ≤ 1
( gof )( x) = 
; x >1
x + 1
e) ( gof )( x) = 2 − x
x + 1
;x ≤ 0
;x > 0
SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (g  f )( x) = g [ f ( x)] tenemos (g  f )( x) = f ( x) .
258
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Con la gráfica de f nos podemos ayudar.
y = x +1
y = 2− x
Ejercicios Propuestos 9.8
 x +1

 x + 1 ; x > 2

1. Sean f y g dos funciones de variable real tal que: f ( x) = 
g ( x) =  x 2
; x ≤2
 x

 x − 1
Entonces es FALSO que:
a) ( f + g )(−2) = 3
b) ( f / g )(1) = 1
c) ( f  g )(−2) = 1
d)
2. Si
3
f (−2) + g (−2)
=
16
g ( 4)
f
y
; x ≤ −2
;−2 < x < 4
;x ≥ 4
e) (g  f )(2) = 4
g son dos funciones de IR en IR tales que:
f ( x) = x + 1
siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
3
a) (g  f  g )(x ) =  x3 + 1
b) ( f  g  f )(0) = 2


d) ( f  g  f )(x ) = x3 + 1
e) ( f  f  f )(x ) = x + 3
y
g ( x) = x3 . Entonces, una de las
c) (g  f  g )(0 ) = 1
259
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Misceláneos
1.
es:
b) (−∞,0 ) ∪ (2, ∞ )
a) IR
2.
3.
x+ x−2
Sea f una función de variable real, tal que f ( x) =
x 2 − 2x
c) (0,2)C
, entonces el MAYOR DOMINIO de la función
d) (0, ∞ )
e) IR − {0,2}
Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) Una función f es par, si y sólo si ∀x[ f ( x) = f (− x)] .
b)
Una función f es impar, si y sólo si ∀x[ f (− x) = − f ( x)] .
c)
Siempre se cumple que ∀x x < a ⇒ − a < x < a .
[
]
d)
Una función es estrictamente decreciente, si y sólo si ∀x1 , x 2 [ x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ].
e)
Una función es estrictamente creciente, si y sólo si ∀x1 , x 2 [ x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ].
Dadas las funciones de variable real f y g cuyas reglas de correspondencia son
4− x ; x ≤ 4
f ( x) = 
2 x − 8 ; x > 4
entonces (g + f )(x ) es:
y
g ( x) = x
 4 ; x≤4
a) (g + f )(x ) = 
3x − 8; x > 4
 4; x ≤ 4
b) (g + f )(x ) = 
 x − 8; x > 4
3x − 8; x > 4

c) (g + f )(x ) =  4 ; 0 ≤ x ≤ 4
4 − 2 x; x < 0

 3x ; x > 4

d) (g + f )(x ) =  4 ; 0 ≤ x ≤ 4
 − 2 x; x < 0

3x − 8; x < 0

e) (g + f )(x ) =  4 ; 0 ≤ x ≤ 4
4 − 2 x; x > 4

4.
Sean f y g funciones de variable real, tales que
 x − 1 ; x > 1
 2x − 1 ; x < 1
y g ( x) = 
, entonces
f ( x) =  2
x
x
x
+
2
;
≥
1
 3 x − 2 ; x ≤ 1

a) 4
5.
c) 3
d) 2
e) −1
 x − 4
Sea f : IR  IR una función, tal que f ( x) = 
 8 − 2 x
a) La función no es par.
b) La función no es impar.
c) La función es decreciente en el intervalo (− ∞,0] .
d)
e)
6.
b) 1
( f  g )(1) es:
; x≥4
, entonces es FALSO que:
; x<4
La función es sobreyectiva.
La función no tiene inversa.
 2 − x
Sea f : IR → IR , tal que f ( x) = 
− x − 2
INVERSA es:
; x≤2
, entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA DE SU
; x>2
 x 2 − 2 ; x ≤ 2
a) f −1 ( x) = 
2 − x 2 ; x > 2
2 − x 2 ; x ≥ 0
b) f −1 ( x) = 
 x 2 − 2 ; x < 0
 x 2 − 2 ; x > 0
c) f −1 ( x) = 
2 − x 2 ; x ≤ 0
2 − x 2 ; x ≥ 0
d) f −1 ( x) = 
 x 2 + 2 ; x < 0
 x 2 − 2 ; x ≥ 0
e) f −1 ( x) = 
2 − x 2 ; x < 0
260
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
7.
Sean f y g funciones de variable real, tales que: f ( x) = 3x 3 + 2 x 2 y
Entonces ( g  f )( x) es:
a) ( g  f )( x) = 6 x 3 + 2 x 2 − 2
b) ( g  f )( x) = 6 x 3 + 4 x 2 − 2
c) ( g  f )( x) = 3(2 x − 3) 3 + 2(2 x − 2)2
d) 3x 2 + 2 x 2 + 2 x − 2
e) ( g  f )( x) =
8.
3
3x + 2 x
2x − 2
2
Sean f y g funciones de variable real tales que: f ( x) = 2 x − x − 2
Entonces el MAYOR DOMINIO posible de la función
[3 ]
a) 2 ,2
9.
g ( x) = 2 x − 2
b)
[32 ,2]∪ [3, ∞ )
c)
f
g
y
g ( x) = x 2 − 9
es el intervalo:
[32 ,2)∪ (2, ∞ )
d)
[32 , ∞ )
e)
[32 ,3)∪ (3, ∞ )
Sea f una función de variable real, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) Si f es sobreyectiva entonces f es impar.
b) Si f es biyectiva entonces f es decreciente.
c) Si f es par entonces f no es inyectiva.
d) Si f es impar entonces f es creciente.
e) Si f es estrictamente creciente entonces f es sobreyectiva
10. Sean f y g funciones de variable real tales que:
3x + 1 ; x < 1
f ( x) =  2
 x
;x ≥1
y
5

g ( x) =  x + 3
 2
2 x
;x < 2
;2 ≤ x < 5
;x ≥ 5
Entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función ( f + g )(x) es:
3 x + 6
 2
x + 5
a) ( f + g )( x) = 
2
x + x + 3
 2
3 x
3x + 6
 2
 x + 5
b) ( f + g )( x) =  2
x + x + 3
 2
3x
;x <1
;1 ≤ x < 2
;2 ≤ x < 5
;x ≥ 5
3x + 6
 2
 x + 5
(
)
f
g
x
(
)
+
=
c)
 2
x + x + 3
 2
3x
;x <1
3x + 6
 2
 x + 5
e) ( f + g )( x) =  2
x + x + 3
 4
2 x
;x <1
;x <1
;1 ≤ x ≤ 2
;2 < x < 5
;x ≥ 5
;x <1
3 x + 6
 2
;1 ≤ x < 2
x
d) ( f + g )( x) = 
 x + 3 ;2 ≤ x < 5
 2
;x ≥ 5
2 x
;1 ≤ x < 2
;2 ≤ x ≤ 5
;x > 5
;1 ≤ x < 2
;2 ≤ x < 5
;x ≥ 5
11. Sea f una función de variable real tal que: f (x ) = − x 2 + 4 x − 3 . Para que f ( x) > 0 entonces “ x ” debe
pertenecer al intervalo:
a) (−2,0 )
b) (−∞,−1) ∪ (0, ∞ )
c) (1,3)
d) (−∞,1) ∪ (3, ∞ )
e) (−4,3)
; x < −2
3

;−2 ≤ x ≤ 0
 x + 2
12. Sea f una función de variable real tal que f ( x) =  1
− x + 1 ;0 < x ≤ 2
 2
 2
 x − 4 x ; x > 2
Entonces en RANGO de f es el intervalo:
a) [−4,3]
b) [− 4, ∞ )
c) (− 4, ∞ )
d) (− 4,3)
e) [0, ∞ )
261
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
− x − 1 ; x ≥ 1

13. Sea f : IR  IR tal que f ( x) = − x 2 + 1 ;0 ≤ x < 1 entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de su
− x + 1 ; x < 0

inversa es:
x 2 + 1 ; x ≤ 0


a) f −1 ( x) =  1 − x ;0 < x ≤ 1
1 − x
;x >1

 x 2 − 1 ; x ≤ 0
−1
b) f ( x) = 
2 x + 1 ; x > 0
x 2 + 1 ; x ≥ 0


d) f −1 ( x) =  1 − x ;0 < x < 1
1 − x
;x <1

4 x ; x ≥ 1
c) f −1 ( x) = 
 3 x 2 + 1 ; x < 1
 1 − x
e) f −1 ( x) = 
 x − 1
;x ≥1
;x <1
14. Sean f y g funciones de variable real tales que: f ( x) = 3x 2 + 1 y g ( x) = 2 x 3 − x
Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) f es impar pero g es par
b)
c)
d)
e)
( f  g )(2) = −1
(g  f ) no existe
f es inyectiva o g es impar
Si f es par entonces g no es impar
15. El MAYOR DOMINIO posible de una función f , con regla de correspondencia f ( x) =
el intervalo:
a) [1,2 )C
b) [1,2)
c) (− ∞,−1]
d) [2, ∞ )
16. Considere una función de variable real, tal que:
x=
x−2
+ x 2 − x − 2 , es
x −1
e) (− ∞,−1] ∪ [2, ∞ )
1
− 3 . Una de las siguientes afirmaciones es
− y+5
FALSA, identifíquela:
b)
c)
El dominio de la función es el intervalo (− ∞,−3) ∪ (− 3, ∞ )
La función es inyectiva en su dominio natural
La función intercepta al eje "x" en − 14
d)
La función es decreciente en su dominio natural
e)
La función intercepta al eje "y" en 14
a)
5
3
 x 2
x − 2 ; x ≥ 1
17. Sean f y g funciones de variable real tal que f ( x) = 
∧ ( f + 2 g )(x ) = 
3
x
;
x
<
1
− x

Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función g es:
x 2 − x + 2 ; x ≥ 1

 x 2 − x − 2 ; x > 0
a) g ( x) =  x 2 − 3x
b)
; 0 ≤ x <1
g( x) = 
− 4 x
; x<0
; x≤0
 4 x

 x2 x
−
− +1 ; x ≥ 1
 2 2
c)
 2
g ( x) =  x − 3 x
; 0 ≤ x <1
− 4 x
; x<0



; x>0
; x≤0
d) g ( x) = x 2 + x
262
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
 x2

−
 2
 2
e) g ( x) =  x −

 2
− 2 x


x
+1 ; x ≥ 1
2
3
x
2
; 0 < x <1
; x≤0
18. Considere las funciones f y g tales que f ( x) = 2 x − 10 ; x ∈ R
3
RANGO de la función
f + g es el intervalo:
a) [− 3, ∞ )
b)
[3, ∞ )
c) (− ∞,−3]
y g (x ) = −3 x 2
; x ∈ R . Entonces el
d) [− 3,3]
e)R
19. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
1
a) La función y =
es inyectiva.
−1
x −3
(
)
b)
La función y = x − 3 es par
c)
La función y = − − x − 3 es decreciente en su dominio natural
d)
La función y = x 3 es creciente para todos los reales
La función y = −4 x es impar
e)
2
20. Sea f una función de variable real tal que f ( x) = x + 2 − 1 ; x ≥ −2 , entonces la FUNCIÓN INVERSA es:
a) f −1 ( x) = (x + 1)2 − 2 ; x ≥ 1
b) f −1 ( x) = (x + 1)2 + 2 ; x ≥ −2
c) f ( x) = (x − 1) − 2 ; x ≥ −1
e) i f no tiene inversa
d) f −1 ( x) = (x + 1)2 − 2 ; x ≥ −1
−1
2
21. Sea f una función de variable real tal que f ( x) =
3x − 1
entonces es FALSO que:
4x + 2
 x − 1  2x − 5
a) f 
=
6x
 x+2
b)f no es par
c)f no es impar
d)f está definida para x = − 1
2
(3 )
e) f 1 = 0
22. Sea f una función de variable real tal que f ( x) = − − x + 1 − 3 . Entonces una de las siguientes proposiciones
correcta, identifíquela:
a) La gráfica de f se dibuja en el primer cuadrante y segundo cuadrante.
b) El rango de f es el intervalo (−∞,3)
c) El rango de f es el intervalo (− ∞,−3]
d)
e)
f es una función impar
f es una función par
23. Sea la recta con ecuación 3 x − 5 y = 2 . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA es:
a)
La pendiente de la recta es − 5
b)
La recta intercepta al eje y en 2
c)
La recta es paralela a la recta y = 3 x + 21
d)
El punto 0, 2 pertenece a la recta.
e)
La recta es decreciente.
3
( 5)
5
5
24. Sea f −1 ( x) = x 2 − 2 x ; x ≤ 1 , la regla de correspondencia de la función inversa de una función f .
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a) f ( x) = x + 1 + 1 ; x ≥ −1
b) f ( x) = − x − 1 + 1 ; x ≥ 1
c) f ( x) = x + 1 − 1 ; x ≥ −1
d) f ( x) = x − 1 − 1 ; x ≥ 1
263
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
e) f ( x) = − x + 1 + 1 ; x ≥ −1
25. Sean f
y g funciones de variable real tal que: f ( x) = 3 + x y g ( x) =
DOMINIO posible de
Entonces el MÁXIMO
( f + g )( x) es el intervalo:
c) [−3,3]
b) (−3,3)
a) φ
1
x2 − 9
e) [− 3,3]C
d) (− 3,3)C
26. Sea f : IR → IR una función tal que f ( x) = x 2 − x − 12 . Entonces su GRÁFICA es:
a)
b)
f(x)
f(x)
10
x
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
5
b)
-5
x
0
-10
-7
c)
-6
-5
-4
-3
-2
d)
f(x)
-6
-5
-3
-4
-2
-3
-2
-1
7
2
1
3
4
5
6
7
-5
-10
x
0
-4
6
x
0
-1
5
-5
5
4
0
-7
-6
3
2
1
f(x)
10
-7
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
e)
10
5
x
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
27. Sea g : IR → IR una función tal que g ( x) = x − 3 − 4 . Entonces una de las siguientes afirmaciones es
FALSA, identifíquela.
a)
b)
c)
d)
e)
g (3) = −4
El rango de g es el intervalo [− 4,+∞ )
g es decreciente en el intervalo (− ∞,−3]
g es creciente en el intervalo (0,+∞ )
g (0) = −1 y g (2) = −3
28. Sean f : IR → IR y g : IR → IR , funciones tales que: f ( x) = 3 2 x − 3 y g ( x) = 4 x 6 (3x − 1)3
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de ( f  g )( x) es:
a) ( f  g )( x) = 6 x 3 − 2 x 2 − 3
b) ( f  g )( x) = 3 x 3 − x 2 − 3
c) ( f  g )( x) = 4 x − 1
d) ( f  g )( x) = 3 3x − 2 − 3
e) ( f  g )( x) = 3 2 x − 1 + 3
264
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
29. Sea la función f ( x) = 2 x + 1 −
1
x−3
a) (− 1,5)C
x−2 −3
, entonces su máximo DOMINIO posible es el intervalo:
c) (− ∞,5)
b) [− 1,5]C
30. Considerando la función de variable real g ( x) = (x − 2)

 x − 2
2
x ≥ 2 , es FALSO que:
x<2
g (1) − g (3)
=3
g (0)
a) g es inyectiva.
b)
d) g tiene inversa.
e) g no es impar.
e) (1,5]C
d) (1,+∞ )
c) g es creciente para x ≥ 2 .
x ≥1
2 x + 1 ;
; x≥0
 1
31. Sean las funciones f ( x) = 3x + 1 ; 0 ≤ x < 1 , y g ( x) = 
, entonces es VERDAD que:
x
−
2
; x<0

 − x2 ;
x<0

a)El rango de g es (−∞,−2 ) .
b) g tiene inversa.
d) [ f (1) − g (2)] = ( g  f )(1) .
32. Sean las funciones
CORRESPONDENCIA de
c) ( f  g )(1) = 3 .
e) g es decreciente en el intervalo (−∞,0) .
;
x < −5
 3

f ( x) =  x + 1 ; − 5 ≤ x ≤ 5
 x ;
x>5

y
2

g ( x) = 
x

;
x≥0
;
x<0
, entonces LA REGLA DE
( f − g )( x) es:
 3− x

1
a) ( f − g )( x) = 
 x −1
 x − 2
 3+ x

b) ( f − g )( x) =  1
 x −1
 x − 2
;
x < −5
; −5≤ x < 0
; 0≤ x≤5
;
x>5
;
x < −5
; −5≤ x<0
; 0≤ x≤5
;
x>5
 3+ x

2
d) ( f − g )( x) = 
 x −1
 x − 2
 3− x

1
e) ( f − g )( x) = 
 x −1
 x − 2
;
x < −5
; −5≤ x < 0
;
;
0≤ x≤5
x>5
;
x < −5
; −5< x ≤ 0
;
;
0< x≤5
x>5
;
x≥2
 5
c) ( f − g )( x) =  2 x + 1 ; 0 ≤ x ≤ 2
 x −x ;
x<0

33. Sean f
y g funciones de variable real, tales que f ( x) =
x + 2 x − 1 y g ( x) = 2 − x 2 , entonces la
regla de correspondencia para f  g es:
a) ( f  g )( x) = 2 − x 2 + 2 x − 1
b) ( f  g )( x) = x + 1 − x 2
c) ( f  g )( x) = 2 − x 2 + x + 1
d) ( f  g )( x) = 2 −
(
)2
x + 2x − 1
e) ( f  g )( x) = 2 − x 2 − 2 x 2 + 3
34. Sea g una función de variable real, tal que:
265
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
Entonces el GRÁFICO de f ( x) = −2 + g ( x − 2) es:
a)
b)
c)
d)
e)
( x − 3) 2

;
x≥3
 x−3

;
x<3
35. Con respecto a la función de variable real f ( x) = 
VERDADERA, identifíquela:
− x + 3
;
x≥0
 x+3

;
x<0
a) f −1 ( x) = 
 x+3
;
x<0
− x + 3 ;

x≥0
b) f −1 ( x) = 
− x + 3 ;
x≥0
 x+3

x<0
c) f −1 ( x) = 
;
, una de las siguientes proposiciones es
 x +3 ;
x≥0
 x+3

x<0
d) f −1 ( x) = 
;
e) f no tiene inversa.
266
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
36. Con respecto a la gráfica y = −4 +
3
, una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
x
a)
La función tiene asíntota horizontal en y = 0 .
b)
c)
d)
La función tiene asíntota vertical en x = −4 .
La función es creciente para x > 0 .
La función corta al eje y en -4.
e)
La función es decreciente para x ∈ (−∞,0) .
37. Sea f una función de variable real tal que f ( x) = ax 2 − 2 x + 4 . El VALOR que debe tener " a " de tal
[3 ]
manera que Rango f = 2 , ∞ , es:
3
b) − 10
a) 10
3
d) − 23
3
c) 10
1
38. Sea f una función de variable real, tal que f ( x) = − x +
c) {0}
b) [5,+∞ )
a) Φ
x+5
e) 4
. Entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es:
d) (−∞,0 )
e) (− 5,0]
39. Sea f una función de variable real, tal que f ( x) = − x + 4 − 2 . Entonces una de las siguientes
afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) El par ordenado (4,−2) pertenece a f .
b)
c)
d)
e)
El mayor dominio posible de f es el intervalo (− ∞,−4].
El rango de f es el intervalo [− 2, ∞ ) .
]
El mayor dominio posible de f es el intervalo (− ∞,4 .
f es decreciente en su dominio.
x
;x ≥ 2

 2
40. Sea f una función de variable real, tal que f ( x) =  x + 1 ;−2 ≤ x < 2

− x + 3 ; x < −2
Entonces es VERDAD que:
b) f (0) + f (2) = f (−2)
c) rg f = IR
a) f es par
e) f es biyectiva.
d) f es inyectiva.
41. Sean f , g y h funciones de variable real, tales que: f ( x) = x 3 , g ( x) = x 2 − 2 ,
Entonces es FALSO que:
a) ( fg ) es una función impar.
d) f + g no es par ni impar.
b) h  f es una función impar.
e) h  g es par.
42. Sea f una función de variable real tal que f ( x) =
intervalo:
a) (0,2]
b) [− 1,0 ) ∪ [2, ∞ )
h( x ) = x
c) f es creciente en todo IR .
(x − 2) x + 1 , entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE es el
x
c) (− ∞,0 ) ∪ [2, ∞ )
d)
(− ∞,0)
e) [2, ∞ )
 2

43. Sean f y g funciones de variable real tales que f ( x) = 3x − 1; x ≥ 2 y g ( x) =  x ; x ≥ 0
2 x;
es VERDAD que:
a) ( f − g )(2) = 3
b)Dom f (x ) = R +
d) ( f .g )(1) = 1
e) (2,5) ∉ f (x )
44. Sea la función de variable real
a)
[0, 5]
b) [− 1, 5]
x <2
− x 2 ;
Entonces
x<0
 f 
c)  (0 ) = no está definida
g
 x +1 ;
x≤0

f ( x) =  x 2 + 1 ; 0 < x ≤ 2 , entonces su RANGO es el intervalo:
 5
;
x≥2

c) [0, ∞ )
d)
[1, 5]
e) (− ∞, ∞ )
267
Moisés Villena Muñoz
Función de una Variable Real
45. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia f ( x) = − x − 2 + 3 . Entonces es FALSO que:
a) El punto (2,3) pertenece a la gráfica de f.
b) La función f es decreciente
c) La gráfica de f corta al eje x en x=11.
d) La gráfica de f no corta al eje y.
e) f es creciente.
46. Dadas las siguientes funciones de variable real, determine cuál de ellas corresponde a una FUNCIÓN PAR.
a) k ( x) = (x + 1)2
b) g ( x) = x 4 − 3 x + 2
d) h( x) = x 4 + 3 x 2 + 4
e) f ( x) = x 3 + 2 x − 2
47. El MAYOR DOMINIO posible de la función
f ( x) = −
c) j ( x) = x 2 − x + 6
de variable real, con regla de correspondencia
f
2
2 x − 3 x − 20 , es el intervalo:
x+3
[
a) (− ∞,−3] ∪ − 5 ,4
2
[
]
d) (− ∞,−3) ∪ − 5 ,4
2
b) (− ∞,3) ∪ (3, ∞ )
]
(
e) (− ∞,−3) ∪ − 5 ,4
2
[
c) (− ∞,−3) ∪ − 5 ,4 )
2
)
2


48. Sea f una función de variable real tal que: f ( x) = (a + 1) 2 x + 6  . Si a ∈ IR entonces el VALOR de
4
2
 x + a − 5 


f  a 2 +1  es:


2
a) + 1
a
2
−1
a
b)
c)
a +1
d) a − 1
a2 +1
e)
49. Sean f y g funciones de variable real tales que: f ( x) = x + 2 − 2 x
DOMINIO de la función g  f es el intervalo:
a) [−2, ∞ )
b) [2, ∞ )
[
c) − 1 , ∞
3
50. Sea f una función de variable real, tal que f ( x) =
que tiene la función, es:
a) (− 3,4 )
b) ∞,4
(
)
)
y
g ( x) = − x . Entonces el
[ 3]
d) 0, 1
(4 − x)( x + 3)
c) (− 3,0 ) ∪ (0,4]
x
2
a −1
(
)
e) − 1 ,1
3
, entonces el MAYOR POSIBLE DOMINIO
d) [− 3,0 ) ∪ (0,4]
e) (− 3,4]C
51. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia f ( x) = − x − 2 , entonces una de las
siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) Domf = {x / x < 2}
b) rgf = [0,+∞ )
c)
d)
e)
f es decreciente en su dominio
f no es inyectiva en su dominio
f es par
52. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia f ( x) = − x 2 + 4 x − 3 . Entonces el RANGO
de f es el intervalo:
a) (− ∞,1
b) [0,1]
c) (1, ∞ )
d) [0, ∞ )
e) (− ∞,0]
]
53. El MAXIMO DOMINIO posible de una función de variable real con regla de correspondencia
f ( x) =
a) (−1,1)
x2 − x +1
−1
2− x
es el intervalo:
b) (− ∞,−1] ∪ [1,2 )
c) (− ∞,−1] ∪ [1,2]
d) (2, ∞ )
e) [1,2)
268
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS
ECUACIONES EXPONENCIALES
ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Otras funciones de variable real importantes que merecen un
capítulo aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también
las propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no
sólo aquí sino también en otros cursos.
266
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas dadas sus reglas de
correspondencia.
 Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas..
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos.
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una
función
f
, de variable real,
denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL
se la
si y sólo
si su regla de correspondencia es de la forma:
EXPONENTE
f ( x) = a x donde a > 0 ∧ a ≠ 1
BASE
Ejemplo 1
Sea f ( x) = 2 . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores
x
TABLA DE VALORES
x
y
−3
1
8
1
4
1
2
−2
−1
0
1
1
2
2
4
3
8
y = 2x
Conclusiones:
En la función exponencial y = a donde a > 1 , se cumple que:
 Es una función CRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?)
 Dom ( f ) = IR
x

Rg ( f ) = (0, ∞ )
267
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es
de la forma básica.
Observe que:
2 ∞ = ∞ donde ∞ ≡ cantidad muy grande; y por lo tanto
2 −∞ =
1
2∞
≈0
Ejemplo 2
x
1
−x
 = 2 . Con la ayuda de una tabla de valores
2
Tracemos ahora la gráfica de y = 
TABLA DE VALORES
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
y
(12 )−3 = 8
(12 )−2 = 4
(12 )−1 = 2
(12 )0 = 1
(12 )1 = 0.5
(12 )2 = 0.25
(12 )3 = 0.75
x
1
y =   = 2−x
2
Conclusiones:
En la función exponencial y = a donde 0 < a < 1 , se cumple que:
 Es una función DECRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ x ”
 Dom ( f ) = IR
x

Rg ( f ) = (0, ∞ )
Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base a = e .
Algunas gráficas, empleando esta base son:
y = ex
y = e −x
268
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos:
y = e x −1
y = e x −1 − 1
y = e x −1 − 1
y=e
x
 e x
=  −x
e
y=e
−x
;x ≥ 0
;x < 0
y = ex
269
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
y=e
y=e
−x
− x −1
Ejemplo
1
Graficar: f ( x) =  
2
Considere la gráfica de
x +1
−3
y = (12 )
x
Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor
absoluto. Es decir:
270
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio Propuesto 10.1
Graficar:
1. y = 2− x −1
(e )
− x −1
2. y = 1
3. y = 2
− x −1
4. y = 21− x
5. y = 2
1− x
271
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
272
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
A la función inversa de la función exponencial,
definida biyectiva ( a x : R  R + ), se la llama
FUNCION
LOGARITMICA..
Y
su
regla
de
correspondencia en su expresión básica es de la
forma:
f ( x) = log a x
donde
a > 0∧a ≠1
Con respecto a su gráfica tenemos:
y = ax; a > 1
y = log a ( x); a > 1
log a (1) = 0
Conclusiones:
La función logarítmica f ( x) = log a x donde a > 1
 Es una función CRECIENTE
 Dom (log a x ) = (0, ∞ ) . Aquí surge una nueva restricción: x > 0
 rg (log a x ) = IR
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “ y ”
(logarítmo de números negativos no se define)
En cambio,
y = ax; 0 < a <1
y = log a x; 0 < a < 1
273
Moisés Villena Muñoz
Esta es una función
Función Exponencial y Función Logarítmica
DECRECIENTE.
274
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Si a = e tenemos la función LOGARITMO NATURAL
y = log e x = ln x
Si a = 10 , tenemos:
y = log10 x = log x
Pero la gráfica para a = 1
e
sería:
y = log 1e x
275
Moisés Villena Muñoz
Aplicando definiciones
horizontal, tenemos:
Función Exponencial y Función Logarítmica
anteriores,
por
ejemplo
desplazamiento
y = ln( x + 1)
Observemos una grafica interesante:
y = ln(− x)
Entonces la gráfica de y = ln x sería:
 ln x ; x > 0
y = ln x = 
ln(− x) ; x < 0
276
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio Propuesto 10.2
Graficar:
1.
y = log 1 (2 − x )
2.
y = log(2 − x )
3.
y = log 1 (2 − x )
2
2
4.
y = log x − 2
5.
y = log 1 x − 2
2
Analicemos ahora el siguiente ejercicio:
Ejercicio Resuelto
1
x 2
Sea f ( x) =
. Hallar su máximo dominio posible.
log(3 − x)
SOLUCIÓN:
La regla de correspondencia f ( x) =
x≥0
Entonces:
x
presenta las restricciones:
log(3 − x)
∧ log(3 − x) ≠ 0
∧ (3 − x) > 0
///////////////// [× × × × × × × × ×
O× × × ×) ////////////
0
1
2
3
Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo [0,2 ) ∪ (2,3)
Ejercicios Propuestos 10.3
1.
Graficar :
a) f ( x) = log3 (x - 2 ) + 1 ; x>2
b) f ( x) = 2 − log 2 (x + 1) ; x>-1
c) f ( x) = − ln (2 - x ) + 1
2.
−x
El rango de la función: f ( x) = 4 − 2 ;
a) (−∞, 0 )
3.
4.
b) (4,+∞ )
Si f es una función tal que f ( x) = 2
a) (−3,−2]
b) R+
x∈R
c) (0,+∞ )
− x +1
c) (−3,+∞ )
es el intervalo:
d) (−∞, 4 )
e) (−1, 4 )
− 3 , con x∈R, entonces el rango de f es:
d) (−∞,−3)
e) (−3,0 )
Dada la función de variable real f (x ) = log 10 − x , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es:
a) (10, ∞ )
b) (−∞,10)
c) (−10, ∞ )
d) [10, ∞ )
e) (−∞,10]
277
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
 log(− x )
5.
 2
Sea la función f : R → R con regla de correspondencia : f (x ) =  x − 1
− (x + 1)

x ≤ −1
−1 < x ≤ 0
x>0
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
b) f es biyectiva.
c) f es una función decreciente.
a) f es sobreyectiva.
d) f (3) = −4 .
e) f es una función impar.
6.
Sea

x2 − 1 ; x ≥ 1
f (x ) = 

1 − x ; x < 1
a) g ( f (1)) = 1
y
g (x ) = 3 x , x ∈ IR
entonces es FALSO que:
c) g ( f (g (1))) = 8
b) f (g (1)) = 8
e) f (g (0 )) = 0
d) f (g ( f (1))) = 0
10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para
simplificarlas debemos considerar sus propiedades.
1. log a 1 = 0
log x
2. a a = x donde x > 0
Ejemplos:

2 log 2 (x

e ln (2 x +1) = 2 x + 1
2
) = x 2 + 3x + 1 para
+3 x +1
para
x 2 + 3x + 1 > 0
2x + 1 > 0
3. log a (a x ) = x
4. log a a = 1
( )
5. log a M α = α [log a M ]
Ejemplo : Para calcular log 2 8 ; a 8
poder aplicar las propiedades. Es decir:
lo expresamos en término de
2 , para
log 2 8 = log 2 2 = 3 log 2 2 = 3
3
6. log a (MN ) = log a M + log a N
Ejemplo: log a 10 = log a (2 × 5) = log a 2 + log a 5
M 
7. log a   = log a M − log a N
N
278
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
log a M =
8. Cambio de base
log b M
log b a
No olvide de justificar todas estas propiedades.
Ejercicio resuelto 1
Despejar “ x ” si y = log 1 ( − x)
2
Solución:
Poniendo cada miembro como exponente de la base 12 y aplicando propiedades,
y = log 1 (− x)
2
y
1
1
tenemos   =  
2
2
 
log 1 ( − x )
Entonces: x = −
2
(12 )y
y
1
  = −x
2
Ejercicio resuelto 2
Despejar “ x ” si y = 3
x
SOLUCIÓN:
Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros
y = 3x
( )
tenemos log 3 y = log 3 3 x
y luego aplicando propiedades,
Entonces x = log 3 y
log 3 y = x log 3 3
Ejercicio resuelto 3
Calcular:
3
 36 
 6 
 16 
3 log  + log  − 2 log

 25 
 27 
 125 
Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos:
3
 36 
2
 16 
 6 
3 log  + log  − 2 log
 = 3(log 36 − log 25) + 3 log  − 2(log16 − log125)
 25 
9
 125 
 27 
(
)
(
= 3 log 62 − log 52 + 3(log 2 − log 9) − 2 log 24 − log 53
(
)
)
= 3(2 log 6 − 2 log 5) + 3 log 2 − log 32 − 2(4 log 2 − 3 log 5)
= 6 log 6 − 6 log 5 + 3 log 2 − 6 log 3 − 8 log 2 + 6 log 5
= 6(log(2 × 3) ) − 6 log 5 + 3 log 2 − 6 log 3 − 8 log 2 + 6 log 5
= 6 log 2 + 6 log 3 − 6 log 5 + 3 log 2 − 6 log 3 − 8 log 2 + 6 log 5
= log 2
279
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio resuelto 4
Si
log a x = 2 ,
entonces al SIMPLIFICAR la expresión:
)
(

1
log a 2 x 4 y 6 + 2 log a 
 y3 x

a) -1
b) -2
( )
c)-3
x
log 

 y
−3

log a

se obtiene:
d) -4
e) -5
Solución: Aplicando propiedades, tenemos:
x
log10  
4 6


1
 y  = log a x y + 2 log 1 − log y 3
−3
log a 2 x 4 y 6 + 2 log a 
a
a
 y3 x 
log10 a
log a a 2


( )
( ) [
( )
=

x
 log a   

 y
 log 10 
a

x − 3
 log a a 
 log 10 
a




( )]
1
log a x 4 + log a y 6
− 2 log a y 3 + log a (x ) 2  − 3[log a x − log a y ]


2 log a a
4 log a x + 6 log a y
− 6 log a y − log a x − 3 log a x + 3 log a y
2
= 2 log a x + 3 log a y − 6 log a y − log a x − 3 log a x + 3 log a y
=
= −2 log a x
= −2(2)
= −4
Por lo tanto la opción “d” es correcta.
Ejercicio resuelto 5
Despejar "t" en la ecuación

zt 2
x
y = 1 − e w
z 






SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo

zt 2
y 
= 1 − e w
x 

z 





zt 2
yz
− 1 = −e w
x
zt 2
zy
e w = 1−
entonces:
x
zt 2
x − zy
ln e w = ln
x
zt 2
 x − zy 
ln e = ln

w
 x 
zt 2
= [ln (x − zy ) − ln x ]
w
[ln(x − zy ) − ln x]
t2 =
z
w
t2 =
t=
w
[ln(x − zy ) − ln x]
z
w
[ln(x − zy ) − ln x]
z
280
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicios Propuestos 10.4
1.
2.
3 x−2 4 3 y
a
a =1 ;a ≠ 0
Al simplificar la expresión algebraica:
se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que:
a) su pendiente es 4
d) el punto (2,1) pertenece a la recta
b) su pendiente es 4/9
e) su pendiente es -4/9
c) la intersección con el eje de las “Y” es 8
a) log 3
3.
Si
b) log 5
log a x = 4
Si
es:
e) 0
 4 x y5 
 es:
entonces el valor de: log a 
 (3 x )(2 y )4 


c) 6 − log a 48
d) 0
e) 6
log a y = 3 + log a 48 ,
y
a) 6 + 2 log a 48
4.
 16 
 25 
 81 
7 log  + 5 log  + 3 log 
 15 
 24 
 80 
c) 1
d) log 2
El resultado de la operación:
b) 2 log a 48
log b 2 = a / 4 ;
log b 7 = 3a / 2,
el valor de logb  28b1− 2a , es:


siendo b ∈ R−{1}, a∈R+,
a) a
b) 2 a
entonces
c) 4 a
d) 1
e) 1−2 a
5.
Si ln 2= 0,693 y ln 3 = 1,099 calcule:
a) ln (1,5)
b) ln (48)
c) log 9 (24)
6.
Para la expresión: log x 2 − 2 log(xy ) − log y 2 + 1, con x,y∈R−{0} una expresión equivalente
es:
b) 1 − log y 4
a) log( x / y 4 )
7.
Hallar el log 5 6
8.
Al despejar el valor de "k" en la expresión:
 3
a) k = 10c 
si
log100 3 = α
Al despejar "n" de la ecuación:
y
e) log y 4  − 1
 
log100 2 = β
10 = k
a 2b
c3
se obtiene:
c) k = log a 2 − log b − log c 3
 a 2b 




d) k = 2 log a + 2log b − 3log c
b) k = 2 log a + log b − 3log c
9.
d) log10 y −4 


c) 10
R 

M = C 1 +

100k 

nk
e) k = log a − 2log b + 3log c
se obtiene si R>0, k>0, C>0, M>0
a) n =
log M − log C
k[log(100k + R ) − log k ]
d) n =
log M − log C
k[log k + log R ]
b) n =
log M − log C
k[log (100k ) + log R − log k ]
e) n =
log M − log C
k[log(100k + R ) − log k + 2]
c) n =
log M − log C
k[log(100k + R ) − log k − 2]
2
10. Sea x, y ∈ R. Al despejar y en la siguiente ecuación:
ex
= e y se obtiene:
e − (2 x +1)
a) y = x + 1
b) y = (x + 2)2
c) y = (x + 1)2
e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y.
d) y = x2 + 3x +2
281
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ahora analicemos lo siguiente:
Ejercicio Resuelto
Sea
x ≤ −1
log 1 (− x) ;
 2
. Hallar la regla de correspondencia de su inversa
; −1 < x < 0
f ( x) =  x + 1
 3x
;
x≥0

y graficar.
SOLUCIÓN:
A cada regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo sus
respectivos intervalos de existencia:
x = log 1 (− y );
1: Para
y = log 1 (− x);
x ≤ −1
Tenemos :
2
2: Para
y = x + 1;
−1 < x < 0
3: Para
y = 3x ;
x≥0
Tenemos:
Tenemos:
x

1
f −1 = −   ;
 2  


x≥0
x = y + 1; − 1 < y < 0
f −1 = x − 1; 0 < x < 1
x = 3y; y ≥ 0
f −1 = log3 x; x ≥ 1
x

−  1 
 2

f −1( x) =  x − 1
 log x
3


Por lo tanto:
y ≤ −1
2
;
x≤0
; 0 < x <1
;
x ≥1
Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa f −1
y = f (x)
y = 3x
y = f −1 ( x)
y = x +1
(0,1)
y = log 3 x
(−1,0)
y = log 1 (− x)
(1,0)
2
(0,−1)
y = x −1
y = − 1 
2
x
282
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicios propuestos 10.5
1.
Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia:
3 x
;x > 0
f ( x) = 
x + 1 ; x ≤ 0
Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a:
log x
a) f −1( x) =  3
log3 x ; x > 1
x - 1 ; x ≤ 1
;x>0
d) f −1( x) = 
;x ≤0
- x + 1
log 3 x
b) f −1 ( x ) = 
;x≤0
x - 1
log 3 x
c) f −1 ( x) = 

x
b) f −1 ( x) = log e x 2
a) f −1 ( x) = 2 2
x
Sea f: R →
,
c) f −1( x) = log x
una función exponencial y f −1(8) = 3, entonces la regla de correspondencia de f es:
a) f ( x) = 8 x
4.
ln (log 2 x )
e) La función f no tiene inversa
d) f −1( x) = e 2
3.
;x≤1
; x>1
Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: f (x ) = 3 log 2 x − e
entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es:
R+
; x>1
- x - 1
;x≤1
- x + 1
2.
log 3 x
e) f −1 ( x) = 
; x >0
b) f ( x) = 3 x
3− x
Dada la función f ( x) = 2
a) f −1( x) =2 ln (3-x)
c) f ( x) = 5 x
d) f ( x) = 2 x
e) f ( x) = e x
donde x∈R. Entonces la regla de correspondencia de f −1( x)
c) f −1( x) =− log 2 (x) + 3
b) f −1( x) = log 2 (x) − 3
es:
d) f −1( x) =log 2 (x) + 3
e) f −1( x) =3 log 2 (x)
5.
Dada la función f (x) : (0,+∞ ) → (0,+∞ )
correspondencia de la función inversa de f es:
a) f −1( x) =2(10x−1)
d) f −1( x) =
6.
b) f −1( x) =
2
e) f −1( x) =
10 x
b)
2 + log 2 ( x − 1) ; x > 2
f −1( x) = 
2 - 2 - x
;x ≤ 2
2 + log 2 ( x + 1) ; x > 2
f −1 ( x) = 
2 + 2 - x
;x ≤ 2
2 + log 2 ( x + 1)
e) −1
f ( x) = 
2 + x - 2
8.
(10
(10
1
x
2
x
c) f −1( x) =
)
−1
(10
2
−x
)
−1
)
−1
 2
Si se define f ( x) = − x + 4 x − 2 ; x ≤ 2 , x ∈ R ; entonces, la regla de correspondencia de f −1 ( x) es:
2 x -2 + 1
;x > 2
a)
7.
f ( x) = log(x + 2 ) − log x , entonces la regla de
tal que
c)
2 + log 2 ( x − 1)
f −1 ( x) = 
2 - 2 + x
d) f −1( x) = 2 − log 2 (x + 1)

2 - 2 - x
;x>2
;x ≤ 2
;x>2
;x ≤ 2
;x>2
;x ≤ 2

; x < -1 . De ser posible, encontrar la regla de
Sea f una función de variable, tal que: f ( x) = log x
 -( x+1)
2
− 1 ; x ≥ −1
correspondencia de su función inversa
1−
1
Sea f una función de variable real tal que f ( x) = − 2 2 ; x ∈ R ,entonces la regla de correspondencia
x
de su función inversa es:
a) f −1( x) = 2 log 2  x − 1  − 2 ; x > 1

2
2
c) f −1( x) = 2 − 2 log 2  1 − x  ; x < 1
2

2
2
b) f −1( x) = 2 − 2 log2  x − 1  ; x > 1

2
2
d) f −1( x) = 1 − log 2  1 − x  ; x < 1
2
2

2
283
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
e) f −1( x) = 2 − 2 log 2  x − 1  ; x < 1

9.
2
2
Sea f una función de variable real , tal que
de su inversa
f
−1
f (x ) = − logb (1 + x ),
, entonces la regla de correspondencia
(x ) es:
1 + b− x
b) f −1(x ) =
b x+2
1+ bx
e) f −1(x ) = −
bx
bx +1
a) f −1(x ) =
bx
1+ bx
d) f −1(x ) =
b− x
1− b
c) f −1(x ) =
bx
x
10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
 log 1 (x − 1); x > 2

2
1
−
entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
f (x ) = 
x −2
1
 
− 1; x ≤ 2
 2 
x

1
 x
; x<0
a) f (x ) =  2 + 1
2 + log (x + 1); x ≥ 0
1



b) f (x ) =  2  + 1
 log 1 (x + 1) − 2;

2
2
x

1

c) f (x ) =  2  + 1
; x<0
 2 − log 1 (x + 1);
2

x

1
e) f (x ) =  2  + 1
 
 2 + log 1 (x + 1);
2

x≥0
; x<0
x≥0
 2 x −1
; x<0
2 + log 1 (x + 1); x ≥ 0

2

d) f (x ) = 
; x<0
x≥0
10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en su
expresión funciones exponenciales.
Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación
de los ceros de una función, por ejemplo:
Ejercicio resuelto 1
Los valores para los cuales: f ( x) = x 2 2 x − 2 x ; x ∈ R , se intercepta con el eje X son:
a) 2 y -2
b) 3 y -3
c) 0
d) 1 y -1
e) 4 y -4
SOLUCIÓN:
0 = x2 2x − 2x
0 = 2 x ( x 2 − 1)
Igualando a cero, tenemos: 2 x ( x 2 − 1) = 0
2 x ( x + 1)( x − 1) = 0
x = 1 x = −1
Por tanto la opción “d” es correcta.
284
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Otras situaciones, serían:
Ejercicio resuelto 2
Si x∈R, entonces el conjunto solución de la ecuación 4 = 2 x 4 (x -1/2 ) es:
a) {1/2}
b) {0}
c) {1}
d) {-1}
e) {-3, 1}
Solución:
Poniendo 4 en término de 2, tenemos:
2
2
22 = 2 x 2
( )
2 x − 12
22 = 2 x 22 x −1
2
22 = 2 x
2
+ 2 x −1
x2 + 2 x − 1 = 2
x2 + 2 x − 3 = 0
( x + 3)( x − 1) = 0
x = −3
x =1
Por tanto la opción “e” es correcta.
Ejercicio resuelto 3
2(25) x − 5 x +1 = 3
Sea x∈R. El conjunto solución de:
a) {0, 1}
b) {log 5 (1/2)}
c) {log 5 3}
d) {log 3 5}
Solución:
es:
e) {log 5 2}
x
2 5 2  − 5 x +1 − 3 = 0
 
Primero pongamos a 25 en términos de 5:
2

2 5 x  − 5 x 5 − 3 = 0
 
Luego hagamos el siguiente cambio de variable: 5 x = u y resolvemos para “ u ”:
2u 2 − 5u − 3 = 0
(2u )2 − 5(2u ) − 6 = 0
3
1
 2/ u − 6/ (2u + 1)




=0
2/
Entonces:
1
(u − 3)(2u + 1) = 0
u =3
∨ u=−
1
2
Ahora regresamos a “ x ” , para lo cual 5 x = 3 ∨ 5 x = −
log5 5 x = log5 3
1
2
 1
 2
Aplicando logaritmo tenemos: x log5 5 = log5 3 , en cambiolog5 5 x = log5  − 
x = log5 3
NO es POSIBLE
Por tanto la opción “c” es correcta.
285
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicios Propuestos 10.6
1.
2.
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re=R
(
)
a)
2
9 x + 4 x − 4,5 = 3
b)
16 x − 6(4) x = −8
c)
( 2)
d)
x
e −e
x−2
−x
=
( 16 )
2− x
=1
e)
42x +3 = 5 x + 2
f)
3 x +1 + 3 x − 2 − 3 x − 3 + 3 x − 4 = 750
g)
(2 )
h)
e 2x − e −x =
x x
= 41− x
1
ex
2
La suma de las soluciones de la ecuación:
4 ( x −1) = 2 −1 , x ∈ R ;
a) 1/2
b) 1
c) 0
d) -1/2
e) 1/9
es :
( )
5.
La SUMA de los valores de x ∈ IR , que satisfacen la ecuación: 2 x − 21−x + 20 = 0
es:
a) -1
b) 1
c) -2
d) 0
e) 2
2x
− 5e x + 6 = 0 , siendo x∈R, es igual a:
La suma de las soluciones de la ecuación: e
a) ln 6
b) ln 20
c) ln 16
d) ln 14
e) ln 8
x
−x
− 1 = 0 es igual a:
Sea Re=R, entonces la suma de las soluciones de la ecuación: e − 2e
6.
a) ln 1
b) ln 2
c) 1
d) ln 2
e) ln 2 − ln 2
La SUMA de las soluciones de la ecuación 34 x +1 − 10 32 x  + 3 = 0 , es:
3.
4.

a)
1
2
b) 0
c) − 1

d) 1
2
e) 2
1
7.
x +5 4 x
La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 2
= 4 es:
16 x +1
a)1
b)0
c)2
d)–1
e)–2
10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Analicemos los siguientes ejercicios.
Ejercicio resuelto 1
Al resolver la ecuación: log(5 x − 1) − log( x − 3) = 3 ,
se obtiene:
a)1 b) 2999/995
c) 299/95
d) 2/95
e) 95/299
SOLUCIÓN:
Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos:
log
5x − 1
=3
x −3
log
5 x −1
10 x −3 = 103
5x − 1
= 103
x −3
5 x − 1 = 1000 x − 3000
995 x = 2999
x = 2999
Opción “b”.
995
286
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio resuelto 2
2
log 2 x + 3 log 2 2 = log 2  
x
d) {-2, ½}
e) {1/2}
El conjunto solución de la ecuación:
a) {2, -2}
SOLUCIÓN:
b) {2}
c) {1/2, -1/2}
2
log 2 x + log 2 8 = log 2  
x
2
log 2 (8 x ) = log 2  
x
Aplicando propiedades, tenemos: 2/ log 2/ (8 x) = 2/
2
log 2/  
x
2
8x =  
x
1
x2 =
4
x2 =
x=±
x=
es:
1
4
1
2
1
2
x=−
1
2
La opción correcta es la “e”
NO satisface
la ecuación
original
Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con
radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los
valores de “ x ” satisfagan el predicado dado.
Ejercicio resuelto 3
Dada la ecuación:
log x (2 x − 3) = 1
a) log 3
b) log (2/3)
c) 2
d) 3
SOLUCIÓN:
el valor de “ x “ es:
e) No hay valor posible de x
log (2 x −3)
x/ x/
= x1
Poniendo cada miembro como exponente de la base “ x ”, tenemos: 2 x − 3 = x
x=3
Opción “d”.
Ejercicio resuelto 4
(
)
La solución de la ecuación: log log x x10 = x − 9 es un valor que se encuentra
entre:
a)1 y 4
b) 5 y 7
c) 8 y 11
d) 12 y 14
e) 15 y 18
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades tenemos:
log(10 log x x ) = x − 9
log10 = x − 9
1= x−9
x = 10
Por tanto la opción “c” es correcta.
287
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio resuelto 5
La solución de la ecuación:
a) x no existe
b) x=10
Solución:
es:
e) x=0
(log 5 x )2 − 4 log 5 x + 4 = 0
c) x=1/25
d) x=25
u 2 − 4u + 4 = 0
Haciendo cambio de variable u = log 5 x , tenemos: (u − 2) 2 = 0
u=2
Pero, como u = log5 x = 2
5/ log 5/ x = 5 2
entonces: x = 5 2
x = 25
Por tanto la opción “d” es correcta.
Ejercicio resuelto 6
Sea Re= R, la suma de las soluciones de la ecuación:
a:
a) 2
b) 1
c) 100
d) 101
e) −1
SOLUCIÓN:
log( x 2 ) = (log x) 2
es igual
Aplicando propiedades, tenemos: 2 log x = (log x )2 . Haciendo cambio de variable: y = log x
2y = y2
log x = 0
2
y
−
2
y
=
0
Tenemos:
entonces 10 log x = 10 0
y ( y − 2) = 0
x =1
y=0
y=2
log x = 2
y 10 log x = 10 2
x = 100
Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d”
Ejercicio resuelto 7
La suma de los valores de "x" , tal que:
a) -2
b) 3
c) -4
d) 5
e) -6
25
log 5 x +1
− 2 log 4 9 + 1 = 0
es:
SOLUCIÓN:
Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos:
 52 
 
 
log5 x +1
− 4
log 4 9
+1 = 0
2
1
log x +1
5/ 5/
− (4 ) 2 log 4 9 + 1 = 0
1
2
2
x + 1 − 4/ log 4/ 9 + 1 = 0
(x + 1)2 − 3 + 1 = 0
x2 + 2 x + 1
288
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
x 2 + 2x − 1 = 0
x1,2 =
− 2 ± 4 − (4)(−1)
2
−2±2 2
Las soluciones de la última ecuación son: x1,2 =
2
que al sumarlas se obtiene:
x1,2 = −1 ± 2
x1 = −1 + 2
x 2 = −1 − 2
x1 + x 2 = −1 + 2 − 1 − 2 = −2 . Por tanto la opción “a” es correcta.
Ejercicio resuelto 8
Sea


p (x ) : (log x 2 )  log x 2  + log x 2 = 0 ,


2 
16

a) Ap( x ) = φ
b) Ap (x ) ⊆ [0,10]
d) (9,10) ⊆ Ap(x )
e) Ap(x ) ⊆ [0,10]C
SOLUCIÓN:
x ∈ IR , entonces es VERDAD que:
c) Ap(x ) ⊆ (10, ∞ )
Expresando todos los logaritmos presentes, en base “ x ”, tenemos:


 
 log 2   log 2 
x  
x
=0

(log x 2)
+
x 
x 

 log x   log x

2 
16 

Resolviendo, tenemos:
(log x 2)2
1
log x x − log x 2
(log x 2)2
1 − log x 2
+
log x 2
+
1
log x x − log x 2 4
log x 2
=0
1 − 4 log x 2
x log x 2 = x 0
2 ≠ 1 ⇒ NO
1
2
1
v2
v
+
=0
1 − v 1 − 4v
x log x 2 = x 2
2= x
x=4
v 2 (1 − 4v) + v(1 − v)
=0
(1 − v)(1 − 4v)
v/ 2 − 4v 3 + v − v/ 2 = 0
v − 4v 3 = 0
v(1 − 4v ) = 0
v(1 + 2v)(1 − 2v) = 0
2
1
2
log x 2 = 0
log x 2 =
Si v = log x 2 entonces :
v=0 ∨ v=−
=0
∨ v=
1
2
log x 2 = −
1
2
x log x 2 = x
1
2=
x
1
x=
4
− 12
Las soluciones son 4 y 14 , por tanto la opción “b” es correcta.
289
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Ejercicio resuelto 9
log x
log x
25
3
4
+ 
Dado el predicado p ( x) :  
y Re=R, entonces es verdad que:
=
4
3
12
 
 
a) Ap(x)= φ b) Ap(x) ⊆ [1, 10] c) Ap(x) ⊆ [-10,10-1]
d) ∀xp(x) e) Ap(x) ⊆ [101,10]
SOLUCIÖN:
3
Expresando en una misma base, tenemos:  
4
log x
 3  log x 

+  
 4 

−1
=
25
luego hacemos cambio
12
25
12
1 25
y+ =
y 12
y + y −1 =
12 y 2 + 12 = 25 y
3
4
12 y 2 − 25 y + 12 = 0
log x
2
y reemplazando nos queda: (12 y ) − 25(12 y ) + 144 = 0
de variable: y =  
4  4
3
3
12 y − 16 12 y − 9/ 






=0
4/ × 3/
1 1
(3 y − 4)(4 y − 3) = 0
y=
3
 
4
log x
3
Entonces:  4 
 
log x
=
4
3
3
= 
4
−1
10 log x = 10 −1
1
x=
10
3
 
4
log x
y  3 
4
log x
=
4
3
y=
3
4
3
4
3
= 
4
10 log x = 101
x = 10
Opción “e”.
Ejercicios Propuestos 10.6
log 4 x + log 4 2
=3
1.
4
En la ecuación:
a) 64
b) log (2/3)
2.
El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:
log x 2 + 3 x − 6  − log(1 / x ) = log(2 x + 6 ) + log x es:


a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3.
Sea Re= R y sea el predicado
p ( x) : log(2 x − 1) − log(x − 2 ) − log(x + 2 ) = 0
Entonces el conjunto solución de p(x) es:
a){−1, 3}
b) {−1}
c) {3}
d) {1}
c) 2
d) 3/2
el valor de “ x ” que la satisface es:
e) No hay valor posible de x
e) {−3}
290
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
4.
El conjunto solución de la ecuación
a)
R+
b) R− {0}
c) (−∞,0]
e
x
+
1
2
[
]
log x (1 + x )5 − 1 log1 = 0 es:
d) { 0 }
e) φ
5.
El conjunto solución de:
log (2x−1) − log (x) = 2; x∈ R
a) R
b) R+
c) { −1/98}
d) φ
e) {1/98}
6.
La solución de la ecuaciòn: log3 ( x + 2) + log3 (2 x + 7) = 3 es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7.
La suma de las soluciones de la ecuación:
a) 2
b) 33
c) 5
d) 6
8.
La SUMA de las soluciones de la ecuación:
a) 0
b) 1
9.
es:
25 log 5 x − 3log 3 5 x + 10 log 6 = 0
e) 10
log(x − 2 ) + log(x + 2 ) = log(30 x ) − 1 es:
c) 2
d) 3
es:
e) 4
Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: log 2  x 2 + 2  = log 1  x 2 − 2  + 2



2
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 10 x 2 log x = x3 es:
a)10
b)110
c) 10 + 100
d) 100 + 10
e) 10 + 10
10.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Analicemos los siguientes problemas.
Problema resuelto 1
Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos
modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente:
y
C1 ( x) = 3 + log(2 x + 40,5)
C 2 ( x) = 2 + log(60 x + 5)
donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos
tienen el mismo costo es:
a)15
b) 10 c) 20
d) -15
e) -20
SOLUCIÓN:
Igualando costos, determinamos el valor de “ x ” buscado:
C1 ( x) = C 2 ( x)
3 + log(2 x + 40.5) = 2 + log(60 x + 5)
log(60 x + 5) − log(2 x + 40.5) = 3 − 2
60 x + 5
=1
2 x + 40.5
60 x + 5
= 10
2 x + 40.5
60 x + 5 = 10(2 x + 40.5)
60 x − 20 x = 405 − 5
40 x = 400
x = 10
log
Opción “b”
291
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Los siguientes problemas son modelos de crecimiento y de
decrecimiento exponencial.
Problema resuelto 2 (calculadora)
La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2%
anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿ cuándo alcanzará la población los 10
mil millones.
SOLUCIÓN:
En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976.
Año
1976
POBLACIÓN (
1978
1979
3
P0 (1+ 0.02 )3
...
...
...
t
P (t ) = P0 (1 + 0.02) t
1977
P)
P0 = 4 mil millones
0
1
2
P0 + 0.02 P0 = P0 (1 + 0.02)
P0 (1 + 0.02) + 0.02[P0 (1 + 0.02)] = P0 (1 + 0.02)(1 + 0.02) = P0 (1 + 0.02) 2
Entonces la función P (t ) = 4(1.02) nos permite calcular la población del planeta, en miles de
millones de habitantes, en cualquier año a partir de 1976.
Para hallar “ t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo
t
10 = 4(1.02)t
2.5 = (1.02)t
log(2.5) = log(1.02)t
siguiente: log(2.5) = t log(1.02)
log(2.5)
t=
log(1.02)
t = 46.3 años
Un modelo de
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
t
función: y (t ) = Y0 (1 + r ) donde Y0 ≡ valor inicial
y
está dado por la siguiente
r ≡ tasa de crecimiento.
y (t ) = y 0 (1 + r )t
y0
292
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Si tuviésemos un
modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su
ecuación sería y (t ) = Y0 (1 − r ) (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?)
t
Problema resuelto 3 (calculadora)
Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones,
respectivamente. Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que
la circulación del segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir
antes de que las circulaciones sean iguales.
SOLUCIÓN:
Llamemos y (t ) a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos.
La información del primer periódico es: Y0 = 1 y su tasa de crecimiento es r = 0.02 . Entonces su
función circulación, es: y (t ) = 1(1 + 0.02)t = 1(1.02)t
La información del segundo periódico es: Y0 = 2 y su tasa de decrecimiento es r = 0.01 . Entonces
su función circulación, es: y (t ) = 2(1 − 0.01)t = 2(0.99)t .
Igualando las circulaciones, tenemos:
(1.02)t = 2(0.99)t
(1.02)t = 2
(0.99)t
t
 1.02 

 =2
 0.99 
y = (1 + 0.02)t → y = (1.02)t
t
 1.02 
log
 = log 2
 0.99 
log 2
t=
= 23.2
 1.02 
log

 0.99 
y = 2(1 − 0.01)t → y = 2(0.99 )t
RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses
Problemas Propuestos 10.7
1.
2.
(Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña
publicitaria de acuerdo a la fórmula V (t ) = 750(1,3)− t , donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña
está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo
debe pasar entre dos campañas sucesivas?
()
t −3
Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función f x = A.e
,
donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta cantidad inicial de bacterias se
duplicará para:
ln 2
a) t = 6
b) t =
c) t = ln 2 − 3
d) t = 2
e) t = ln 2 + 3
3
293
t
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
Misceláneos
1.
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación
a) {0}
2.
3.
b) {}
1
3
c)  
2
log(3 x − 1) + 3 x − 2
2
d)  
3
x3 − 2x − 1
e) Φ
Sea f una función de variable real, tal que f ( x) = 2
a) rg f = (−∞, ∞ )
b) rg f = (0, ∞ )
= −1 , es:
−x
− 1 , entonces es VERDAD que:
d) rg f = (0,1)
c) rg f = (− 1,0]
e) rg f = (−1,0 )

2x−2
;
x>4

Sea f una función de variable real, tal que f ( x) = 
; − 4 < x ≤ 4 , entonces la regla de
x
− − 4 − x − 4 ;
x ≤ −4

correspondencia de y = f (x) es:
 2x−2;
x>4

0≤ x≤4
 x ;
a) f ( x) = 
 −x ; −4< x <0

 − 4 − x + 4; x ≤ −4
 2x−2;
x>4

0≤ x≤4
 x ;
b) f ( x) = 
 −x ; −4< x<0

 4 + x + 4; x ≤ −4

x>4
2x−2
;

c) f ( x) = 
x
; −4< x≤ 4
− − 4 − x − 4 ;
x ≤ −4

 − 2x−2;
x>4

d) f ( x) =  − x ; − 4 < x ≤ 4

 − 4 − x + 4; x ≤ −4



e) f ( x) = 


−
4.
− 2 x−2;
x>4
−x ;
0≤ x≤4
x ; −4< x<0
− 4 − x − 4; x ≤ −4
La regla de correspondencia de la función f
es:
a) f ( x) = log 2 x
b) f ( x) = log 2 x
c) f ( x) = − log 1 x
d) f ( x) = log 1 x
5.
e) f ( x) = log 2 x
2
2
Sea f una función de variable real tal que f ( x) = 2 x − 3 − 1 , entonces es VERDAD que:
a) rg f = [1, ∞ )
d) f −1 (3) = 6 + f (0)
b) Dom f = (− 1, ∞ )
c) f
−1
(3) =
f (3)
e) f −1 (3) = 5
294
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
6.
La regla de correspondencia de la función f
es:
a) f ( x) = log ( x − 3)
1
b) f ( x) = log ( x + 3)
1
2
2
d) f ( x) = log 1 ( x + 3)
e) f ( x) = log 1 x + 3
2
2
7.
c) f ( x) = log 2 ( x + 3)
Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela:
a) f (x ) =
log 2 x + 1
b) f ( x) = 2 x−1 + 1
c)
f ( x) = log 2 (x − 1)
d) f ( x) = 2 −x − 1
e) f (x ) = 2 −x + 1
8.
Sea el predicado p ( x) :
a) {}
1
9.
Si
a) 5
8
b) {−1}
2 x +1
4 x +3
c) {−5}
= 16 −1 , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN Ap(x) es:
d) {−2}
log a 2 = 5 y log a 3 = 1 ; a > 0 ∧ a ≠ 1 . Entonces el VALOR de
2
b) 6
3
c)3
d) 3
4
10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 2
Es:
a) 4
e) {2}
b) 6
c) 5
2
d) 3
4
log a 2
( 108 )
es:
e) 3
2
log x (2 )
=x
;x >1
e) 3
11. La SUMA de las soluciones de la ecuación (log 3 x )2 = log 3 x 2 , es:
a)2
b)10
c)8
d)5
e)9
12. El VALOR de “ x ” que satisface la ecuación:
a)2
b)e
c)2e
d)22
ln (log x 2 ) = −1 , es:
e)2-e
13. Sean f y g funciones de variable real tal que, f ( x) = e 2 x + 3 y g ( x) = ln 3 x . Entonces la REGLA DE
CORRESPONDENCIA de ( f  g ) es:
a) ( f  g )( x) = x 2 + 3 ; x > 0
b) ( f  g )( x) = x + 3
; x>0
295
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
c) ( f  g )( x) = 9 x 2 + 3 ; x > 0
e) ( f  g )( x) = ln 3 x + 3 ; x > 0
14.
d) ( f  g )( x) = 8 x
Sí log 4 3 = m y log 2 7 = n ; entonces
a) 2m(n + 1)
c)2n (m + 1)
b) 2mn + 1
15. Sea las funciones de variable real
correspondencia de
a) ( f  g )( x) = 2
( f  g )(x)
log 2 21
es igual a:
d) 2m + n
b) ( f  g )( x) = log 2 2 2 x + 2
d) ( f  g )( x) = log 2 x 2 + 2 − 1
16. El MAYOR POSIBLE DOMINIO de la función de variable real f ( x) =
es el intervalo:
a) [3, ∞ )
b) (− 2,−1) ∪ (3, ∞ )
c) (− ∞,2 ) ∪ [1,3]
)
(
log x 2 − 2 x − 3
x+2
e) (− 2,−1) ∪ (0,3)
d) [− 1, ∞ )
Sea el predicado p ( x) : 9 x − 3 x − 6 = 0 . Entonces su conjunto solución Ap (x) es:
a) {}
1
b) {3,−2}
c) {1,−2}
log(3x) 2 x
log x + 1
b)
d) {+2}
e) {−1,1}
1
2 log x + x log 3 − log( x + 1) es:
2
Una expresión equivalente para
a)
19.
y, entonces la regla de
es:
x2 +2
e) No es posible encontrar ( f  g )(x)
18.
e) 2 + m
f ( x) = 2 x y g (x ) = log 2 x 2 + 2
c) ( f  g )( x) = x 2 + 2
17.
; x>0
log 3 x x 2
c) log
log x + 1
3x x2
x +1
d) log
(3x) 2 x
x +1
e)
log 3 x log x 2
log x + 1
Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia f ( x) = 2 x −1 + 2 ; entonces la regla de
correspondencia de la función inversa f −1 es:
a) f −1 ( x) = log 2 ( x − 1) − 2 ; x > 1
b) f −1 ( x) = log 2 ( x + 1) − 2 ; x > −1
c) f −1 ( x) = log 2 ( x − 1) 2
d) f
−1
;x >1
( x) = log 2 ( x − 2) + 1 ; x > 2
e) f −1 ( x) = log 2 ( x − 2) − 1 ; x > 2
x
20. Sean f y g funciones tales que : f ( x) =  1  − 2 y g ( x) = x + 2 , entonces es FALSO que:
2
a) f (2) + g (−1) = −
 f 
d)  (−2) = 1
g
21.
22.
3
4
b) ( f  g )(−1) = −
3
2
c) ( f ⋅ g )(−2) = 0
e) ( g  f )(0) = 3
Dada la función de variable real f (x ) = log 10 − x , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es:
a) (10, ∞ )
b) (− ∞,10 )
c) (− 10, ∞ )
d) [10, ∞ )
e) (− ∞,10]
x ≤ −1
 log(− x )

Sea la función f : R → R con regla de correspondencia : f (x ) =  x 2 − 1 − 1 < x ≤ 0
− (x + 1)
x>0

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) f (x ) es sobreyectiva.
b) f (x ) es biyectiva.
c) f (x ) es una función decreciente.
d) f (3) = −4 .
e) f (x ) es una función impar.
296
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
23. Sea f
GRÁFICO
una función de variable real con regla de correspondencia
f (x ) = log 1 2 − x , entonces su
2
es:
a)
b)
c)
d)
e)
24.
Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia
f
−1
 log 1 (x − 1); x > 2
2

, entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
(x ) =  1  x−2
− 1; x ≤ 2
 
 2 
 1  x
  + 1
; x<0
b) f (x ) =  2 
 log 1 (x + 1) − 2; x ≥ 0
2

 2x +1
; x<0

a) f (x ) = 
2
+
log
x≥0
1 (x + 1);

2
 1  x
  + 1
; x<0
c) f (x ) =  2 
 2 − log 1 (x + 1); x ≥ 0

2
 2x −1
; x<0

d) f (x ) = 
2
+
log
x≥0
1 (x + 1);

2
 1  x
  + 1
; x<0
e) f (x ) =  2 
 2 + log 1 (x + 1); x ≥ 0

2
3
es:
4
d)24
25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 2 log x = log 192 + log
a)–12
b)12
c)0
e)144
297
Moisés Villena Muñoz
Función Exponencial y Función Logarítmica
26. Si
a)
log a m = x y log a n = y . Entonces la expresión:
x− y
3x
b)
2 2
x y
3
c)
2
x −y
2
( )
log m 2 mn3 es EQUIVALENTE a:
3
d)
x + 3y
2x
e)
2x − 3y
y
27. Sea f una función de variable real, tal que f ( x) = 2 x − 3 − 1 , entonces es VERDAD que:
a) Dom f = (−1, ∞ )
b)f es decreciente.
28.
c)f no es inyectiva.
e) rg f = (−1, ∞ )
d) f es par.
t
Una población de bacterias crece según la fórmula P = P0 (8) 18 , donde P0 es la población inicial y t el
tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al:
a) Cuarto día.
b) Tercer día.
c) Segundo día
c) Quinto día
e) Sexto día.
29.
El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el
actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 100 unidades es:
25 1
1 1
2
a) t =
b) t = ln años
c) t = ln 2 años
ln años
3
3 5
5
3
3
e) t = 2 años
d) t = ln 2 años
4
30. La SUMA de las solucio nes de la ecuación
a) −5
b) −3
log(x + 3) + log x = 1
c) 0
es:
d) 2
e) 3
298
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
11
11.1 DEFINICIÓN
11.2 DOMINIO
11.3 RANGO
11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
11.7 TEOREMA DEL FACTOR
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
11.9 MULTIPLICIDAD
Los polinomios presentan propiedades importantes y pueden ser expresiones
algebraicas que conforman reglas de correspondencia de funciones de variable real, por lo
tanto le dedicamos este capítulo para su estudio. Aunque no lo vamos a terminar
completamente, pero sí vamos a dar nociones básicas que con ayudada del cálculo
diferencial se logrará un análisis completo.
297
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice a la función polinomial.
 Aplique el teorema del residuo, el teorema de factor y el teorema fundamental del álgebra.
 Obtenga los ceros de una función polinomial.
 Aplique el procedimiento de división sintética para obtener de ser posible las raíces de un polinomio.
11.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de variable real. Entonces
f
es una FUNCIÓN POLINOMIAL,
si y sólo
si tiene como regla de correspondencia un
polinomio de grado " n ", es decir:
f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 +  + a1 x + a 0
donde an , an −1, an − 2 ,  a1, a0 ∈ IR ∧ an ≠ 0 ∧ n ∈ N ∪ {0}
En este grupo entrarían las funciones lineales ( y = mx + b ), las
funciones cuadráticas ( y = ax 2 + bx + c ) y la función cúbica ( y = x 3 ), que ya
estudiamos anteriormente.
Ejemplos
f ( x) = x + 1
1
f ( x ) = x 2 − 8 x + 14
x1
f ( x) = x 3 − 3x 2 − x + 3
298
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
Por ahora, sólo podríamos justificar la gráfica de una función
polinómica de hasta grado 2 ( n ≤ 2 ). Para funciones polinómicas de
grado mayor a 2 ( n ≥ 3 ), se requieren otros criterios; los cuales se los
tratará en cursos posteriores.
Sin embargo, podemos desde ya ir estableciendo preliminares
útiles para funciones polinomiales.
11.2 DOMINIO
El mayor posible dominio para una función polinomial
todos los números reales, es decir: Dom f = IR
f , es
11.3 RANGO
 Si n es IMPAR, entonces el rango de una función polinomial f ,
es todos los números reales, es decir: rg f = IR .
 En cambio, si n es par, entonces el rango de una función
polinomial f , es un intervalo de la forma rg f = [b, ∞ ) o de la forma
rg f = (− ∞, b]
11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
Los interceptos de la gráfica de una función polinomial
eje “ x ”, son las raíces reales de la ecuación f ( x) = 0
f con el
Ahora veamos ciertas nociones que nos permitirá fundamentar
temas en torno a lo anterior.
Recuerde que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir
polinomios. Pero, en especial la división de polinomios nos ofrece
resultados interesantes.
11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
299
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
Suponga que dividimos el polinomio f ( x ) : x 3 − 3 x 2 + x + 5 entre el
polinomio g ( x ) : x − 2 , entonces tenemos:
Dividendo: f ( x )
Divisor: g ( x )
x − 3x + x + 5
3
2
− x3 + 2x2
x−2
x2 − x −1
Cociente: C ( x )
// − x 2 + x + 5
x2 − 2x + 5
// − x + 5
x −2
//
3
R esiduo: r
Es decir:
x 3 − 3x 2 + x + 5
3
= x2 − x −1 +
x−2
x−2
(
)
En general, se podría precisar que:
f ( x)
r
= c( x) +
g( x)
g( x)
O lo que es lo mismo: f ( x ) = c ( x ) g ( x ) + r
Que para el ejemplo sería:
x 3 − 3 x 2 + x + 5 = ( x 2 − x − 1)( x − 2) + 3
"Si el residuo es igual a cero, se dice entonces
que f ( x ) es divisible para g ( x ) "
g ( x ) puede ser cualquier polinomio de grado menor o igual al de
f ( x ) para poder expresar la división como de la forma anterior.
Cuando g ( x ) es un polinomio lineal de la forma " x − a ", surgen
algunas particularidades muy singulares.
El residuo se lo puede calcular rápidamente empleando el
siguiente teorema.
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
300
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
Si un polinomio
f ( x ) se divide entre " x − a ",
entonces el residuo es f (a ) . Es decir r = f (a ) .
DEMOSTRACIÓN:
Se acabó de mencionar que la división de un polinomio f ( x ) entre otro polinomio
g ( x ) se la puede expresar de la forma: f ( x ) = c ( x ) g ( x ) + r . Supongamos que
g ( x ) = x − a , entonces f ( x ) = c ( x )[x − a ] + r .
[
]
Calculemos ahora f (a ) . Entonces f (a ) = c (a ) a − a + r = 0 + r = r
Por lo tanto r = f (a ) . L.q.q.d.
Ejemplo
Para el ejercicio anterior:
r = p(2) = (2) 3 − 3(2) 2 + 2 + 5
= 8 − 12 + 2 + 5
=3
Por otro lado, si quisiéramos saber a que es igual el residuo al
dividirlo ahora para x + 1 , bastaría con calcular f (−1) . Es decir,
r = f (−1) = (−1) 3 − 3(−1) 2 + (−1) + 5 = −1 − 3 − 1 + 5 = 0 .
Lo cual se puede comprobar realizando la división:
x 3 − 3x 2 + x + 5
−x −x
3
x +1
x2 − 4x + 5
2
// − 4 x 2 + x + 5
4x2 + 4x
//
5x + 5
− 5x − 5
//
//
Por el resultado anterior, decimos que “ x 3 − 3 x 2 + x + 5 ” es divisible
para “ x + 1 ”.
Esto último nos sugiere presentar ahora el siguiente teorema:
301
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
11.7 TEOREMA DEL FACTOR
Un polinomio f ( x ) tiene un factor “ x − a ” si y sólo
si, f (a ) = 0 .
Ejemplo
Como el residuo de la división de x 3 − 3 x 2 + x + 5 entre x + 1 , es igual a cero,
entonces decimos que x + 1 es un factor del polimonio x 3 − 3 x 2 + x + 5 .
Además, esto quiere decir que x 3 − 3 x 2 + x + 5 puede ser expresado
de la forma factorada siguiente: x 3 − 3 x 2 + x + 5 = ( x + 1)( x 2 −4 x + 5)
Revise el método de división sintética para factorizar un polinomio
de grado mayor o igual a 3 y asegúrese de que los resultados anteriores
coincidan.
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA.
Toda ecuación polinomial f ( x ) = 0 de grado " n " tiene
exactamente " n " raíces reales y complejas.
O sea:
f ( x ) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n− 2 x n− 2 +  + a1 x + a 0 = 0
= ( x − x1 )( x − x 2 )  ( x − x n ) = 0
Entonces x1 , x 2 ,..., x n son las raíces de la ecuación polinómica
f ( x ) = 0 , no necesariamente diferentes; es decir, que pueden ser
diferentes o iguales.
11.9. MULTIPLICIDAD.
Si un factor “ x − a ”
está presente “ k ” veces
en la forma factorada de un polinomio, se dice
que “ a ” es una raíz de multiplicidad “ k ”.
Las raíces reales indican los ceros de la función.
302
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
RESUMEN:
Sea f ( x ) un polinomio. En la operación
1.
El residuo r = f (a )
2.
Si r = 0 entonces decimos que:
 f ( x ) es divisible para " x − a ".
f ( x)
x−a
x − a " es un factor de f ( x ) .
 " a " es una raíz de f ( x ) = 0 ,
 El polinomio se anula cuando x = a , es decir f (a ) = 0
 "
Ejercicio Resuelto 1
El valor de "k", tal que al dividir el polinomio P ( x ) = 2 x 3 + kx 2 − x − 3 para x − 1
se obtenga como residuo -1, es:
a) 2
b) 1
c) -1
d) 0
e) -5
SOLUCION:
residuo = p(1) = −1
2(1) 3 + k (1) 2 − (1) − 3 = −1
2 + k − 1 − 3 = −1
Aplicando el teorema del residuo, tenemos:
− 2 + k = −1
k =1
RESPUESTA: Opción “b”.
Ejercicio Resuelto 2
Para que el polinomio: P ( x ) = 2 x 4 − (3m − 2 )x 3 + 5mx 2 − (m − 1)x + m sea
divisible para ( x − 2 ), entonces "m" debe ser igual a:
a) 2
b) -2
c) 10
d) -10
e)0
Solución:
Divisibilidad, en este caso, significa que el residuo r = 0 es decir p(2) = r = 0 .
Entonces:
p(2) = 2(2) 4 − (3m − 2)(2) 3 + 5m (2) 2 − (m − 1)2 + m = 0
2(2) 4 − (3m − 2)(2) 3 + 5m (2) 2 − (m − 1)2 + m = 0
32 − (3m − 2)8 + 20m − 2m − 2 + m = 0
32 − 24m + 16 + 20m − 2m + 2 + m = 0
− 5m + 50 = 0
− 5m = −50
m = 10
RESPUESTA: Opción “c”
Ejercicio Resuelto 3
El polinomio de grado 5, que tiene como raíces a 1 con multiplicidad 2; a 3 con
multiplicidad 2; y, a 0 , es:
303
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
a) x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 24 x + 9
b) x 5 − 8 x 4 + 22 x 3 − 24 x 2 + 9 x
d) ( x − 1)3 ( x − 3)1 x
e) ( x − 1)( x − 3)x
c) ( x − 5)2 ( x − 2)2 x
SOLUCIÓN:
Recuerde que multiplicidad, significa la cantidad de veces que está presente una raíz, entonces:
p( x ) = ( x − 1) 2 ( x − 3) 2 ( x − 0)
= ( x 2 − 2 x + 1)( x 2 − 6 x + 9) x
= ( x 4 − 6 x 3 + 9 x 2 − 2 x 3 + 12 x 2 − 18 x + x 2 − 6 x + 9) x
= ( x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 24 x + 9) x
= x 5 − 8 x 4 + 22 x 3 − 24 x 2 + 9 x
RESPUESTA: Opción “b”
Aquí podemos mencionar una aplicación.
quisiéramos obtener los ceros de la función polinomial
Piense
que
si
f ( x ) = x 5 − 8 x 4 + 22 x 3 − 24 x 2 + 9 x
habría que plantearse la situación: f ( x ) = 0 , y de allí, encontrar las
raíces reales de la ecuación polinómica
x 5 − 8 x 4 + 22 x 3 − 24 x 2 + 9 x = 0 .
Una opción sería que por inspección primero determinemos de ser
posible, un valor de “ x ” para el cual se anule el polinomio, para
establecer un factor “ x − a ” del polinomio. Luego realizamos la división
para este factor.
Ahora trabajamos con el cociente. Inspeccionamos para
determinar el valor para el cual se anule y luego realizamos la división
respectiva.
Y así sucesivamente, hasta lograr establecer todos factores del
polinomio.
Las
operaciones
anteriores
4
3
2
x − 8 x + 22 x − 24 x + 9 x , serían:
para
el
polinomio
5
x ( x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 24 x + 9)
x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 24 x + 9
−x + x
4
x −1
x − 7 x 2 + 15 x − 9
3
3
// − 7 x + 22 x − 24 x + 9 − x + 3 x
3
2
3
7 x3 − 7 x 2
//
x −3
x 2 − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1)
2
// − 4 x 2 + 15 x − 9
15 x 2 − 24 x + 9
− 15 x 2 + 15 x
// − 9 x + 9
9x + 9
4 x 2 − 12 x
//
3x − 9
− 3x + 9
//
//
304
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
Otra opción sería la siguiente. Primero sacamos factor común:
x 5 − 8 x 4 + 22 x 3 − 24 x 2 + 9 x = x ( x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 24 x + 9)
para el segundo factor, por división sintética, tenemos:
1 −8
1
1 −7
22 −24
−7
15
15 − 9
9
−9
1
0
3
3 − 12
9
El último factor es
− 4 trinomio
0 que ya puede ser factorizado por el
1 un
3
método convencional y por tanto,
nos
queda:
3
2
x ( x − 1)( x − 7 x + 15 x − 9) = x ( x − 1)( x − 3)( x 2 − 4 x + 3)
f ( x ) = x ( x − 1)( x − 3)( x − 3)( x − 1) = x ( x − 1) 2 ( x − 3) 2 = 0
Entonces las raíces serán x1 = 0 con multiplicidad 1 , x 2 = 1 con
multiplicidad 2 ; y, x 3 = 3 con multiplicidad 2.
Ejercicio Resuelto 4
Para que el polinomio
q( x ) : 3 x 2 + 3 x − 6 sea un factor del polinomio
p( x ) : (m − 1)x 4 − 2nx 3 + (m − n )x 2 + (2n + 1)x , los valores de
a)
−
1
y −1
2
d) −
1
2
y1
b) −2 y −1
e)
c)
m y n son:
1
y −1
2
1
y1
2
SOLUCIÓN:
Observe que: q ( x ) : 3 x 2 + 3 x − 6 = 3( x 2 + x − 2) = 3( x + 2)( x − 1)
Entonces, decir que el polinomio p( x ) es divisible para q ( x ) : 3 x 2 + 3 x − 6 es lo mismo decir
que es divisible tanto para x + 2 como para x − 1
Lo anterior, quiere decir que p(−2) = 0 ∧ p(1) = 0
p( −2) = ( m − 1)(−2) 4 − 2n( −2) 3 + ( m − n)(−2) 2 + (2n + 1)(−2) = 0
16m − 16 + 16n + 4m − 4n − 4n − 2 = 0
20m + 8n − 18 = 0
10m + 4n − 9 = 0
p(1) = (m − 1)(1) 4 − 2n(1) 3 + (m − n)(1) 2 + (2n + 1)(1) = 0
m − 1 − 2n + m − n + 2n + 1 = 0
2m − n = 0
10m + 4n = 9
deben ser consideradas simultáneamente
2 m − n = 0
Las dos condiciones 
305
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
En
la
segunda
ecuación
se
obtiene
n = 2m ; reemplazándola en la primera,
10m + 4(2m ) = 9
18m = 9 Por tanto n = 1 .
m = 12
tenemos:
RESPUESTA: Opción “e”
Ejercicio Resuelto 5
Si
r1 , r2 , r3 son raíces de x 3 − a1 x 2 + a 2 x − a3 = 0
r1 + r2 + r3 es igual a:
a)
0
b) a1 + a 2 + a3
c) 3 a1 a 2 a3
−a1 + a 2 − a3
SOLUCION:
(a3 ≠ 0) .
Entonces
d) a1
e)
El polinomio dado puede ser expresado en términos de sus raíces, de la siguiente forma:
x 3 − a1 x 2 + a1 x − a 3 = ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )
Desarrollando el miembro de la derecha, tenemos:
x3 − a1x 2 + a2 x − a3 = ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )
= ( x 2 − r2 x − r1x + r1r2 )( x − r3 )
= x3 − r3 x 2 − r2 x 2 + r2 r3 x − r1x 2 + r1r3 x + r1r2 x − r1r2 r3
Empleando el
x3 − a1x 2 + a1x − a3 = x3 − (r3 + r2 + r1 ) x 2 + (r2 r3 + r1r3 + r1r2 ) x − r1r2 r3
criterio de que si los polinomios son iguales, los coeficientes, respectivamente deben ser iguales,
entonces:
−a1 = −(r3 + r2 + r1 )
a1 = r3 + r2 + r1
.
RESPUESTA: Opción “d”.
Ejercicios Propuestos 11.1
1. Dado el polinomio:
kx 4 − (k + 2 )x 3 − k 2 x 2 + 6kx + (k + 1)(k − 1) ; k ∈ IR . Un valor de "k", para
que el polinomio sea divisible para ( x − 2 ) es:
a) 17/3
b) 34/3
c) 51/3
d) 68/3
e) 11/3
k ∈ IR para que el polinomio p( x ) : x 4 + 3 x 3 + 2 x 2 + k x − 10
para el binomio x + 2 , es:
2. El valor de
a) 10
b) -5
c) 0
d) -10
sea divisible
e) 5
3. El valor de k para que el polinomio p( x ) : kx 4 − 2 x 3 + (k − 1)x 2 − 3 x sea divisible para el binomio
x + 1 , siendo k ∈ IR , es:
a) -3
b) -2
c) -4
d) -1
e) 3
4. Dada la función polinómica: p( x ) : x 4 + ma 2 x 2 − 5a 3 x + a 4 ,
x ∈ IR , el valor de m para que el valor
de a sea una raíz de la ecuación p( x ) = 0 , es:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
5. Dado el polinomio: p( x ) : 2 x 5 − x 4 + 3 x − k . El valor de
p( x ) = 0 sea igual a 2 es:
a) 55
b) 39
c) 48
k
e) 4
para que una de las raíces de la ecuación:
d) 53
e) 54
6. Si ( x − 3) es un factor del polinomio p( x ) : 2 x 3 − 11x 2 + 2kx + k + 3 , entonces el valor de
a) 2
b) -3
c) 6
d)4
k
es:
e) -6
306
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
7. Para que el polinomio kx 4 − (k + 2 )x 3 − k 2 x 2 + 6kx + (k + 1)(k − 1)
x − 2 , hay dos valores para "k". La SUMA de estos valores es:
17
20
c) −1
d)
a) 1
b)
3
3
8. Sea el polinomio p( x ) : 6 x 4 − 7 x 2 + 3 x − 5 , entonces es verdad que:
Si x ≥ 1 , entonces p( x ) > 0
a)
p(2 ) = −29
b)
c) p(1) + p(2 ) > 0
d) p(2 ) − p(1) = 32
sea divisible para
e) 20
e) p(1). p(2 ) > 0
9. Los valores de p y q que hacen al polinomio: x 4 + px 2 + q divisible para el polinomio x 2 − 6 x + 5 ;
son respectivamente:
a) 26 y -25
b) 10 y 15
c) -26 y 25
d) 20 y 10
e) -10 y -15
10. La suma k1 + k2 para que el polinomio p( x ) : x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 + k1x + k2 sea divisible para el
trinomio q( x ) : x 2 − 5 x + 6 , es igual a:
a) -2
b) -1
c) -5
d) -3
e) -4
11. Sea la función polinomial f ( x ) = x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x , entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a)
b)
c)
d)
e)
f(x) es divisible para el polinomio x 3 − x
Una de las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 es 0.
f tiene una raíz de multiplicidad 2.
f tiene 4 raíces reales.
Una de las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 es 2.
12. Una de las siguientes ecuaciones polinomiales tiene raíz 2 de multiplicidad 3 identifíquela:
d) p( x ) : 4 x 6 − 5 x 4 + 3 x 2 − 2 = 0
a) p( x ) : 4 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 = 0
b)
p( x ) : 5 x 5 + 6 x 4 − 2 x 3 + 3 x − 1 = 0
c)
p( x ) : 2 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6 = 0
e) p( x ) : x 4 − 5 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 8 = 0
Misceláneos
1.
El VALOR de n para que " a " sea una raíz del polinomio p ( x) = x 4 + na 2 x 2 − 5a 3 x + a 4
es:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
2.
Los interceptos de la función f ( x) = x(x + 2 )2 (x + 5) + x(x + 2 )3 con el eje x , son:
a)–2 y –5
c)0, -2 y
7
2
7
2
IDENTIFIQUE la ecuación polinómica que contiene a “3” como raíz con multiplicidad dos.
d) 0, 2 y 5
3.
b)2 y 5
e) 0, -2 y −
a) x 3 − 5 x 2 + 2 x − 1 = 0
b) x 3 − 5 x 2 + 3 x + 9 = 0
c) x 3 − 5 x 2 − x − 9 = 0
d) x 3 + 5 x 2 + x + 1 = 0
e) x 3 + x 2 + 3 x + 3 = 0
4.
Sea el polinomio p( x) = x 4 − ax 3 + 2b . Determine los valores de " a " y " b " tal que x = −1 sea una
raíz del polinomio y al dividir el polinomio para ( x − 1) el residuo sea igual a 1.
1
1
y a=−
4
2
1
1
b) b = −
y a=−
2
4
a) b = −
307
Moisés Villena Muñoz
Funciones Polinomiales
1
1
y a=
4
2
1
1
d) b =
y a=−
4
2
e) No existen valores para a y b que cumplan tales condiciones
c) b =
5.
Dado el polinomio p( x) : x 4 − 9 x 2 + 4 x + 12 , es verdad que:
a) El polinomio es divisible para x 2 + 4 x − 3 .
b) El polinomio tiene una raíz 2 de multiplicidad 2 .
c) El polinomio no tiene raíces reales.
d) Una de las raíces del polinomio es 3 .
e) El polinomio es divisible para ( x − 1) .
6.
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide el polinomio p ( x) : x 2 − 7 x + 6 para x − 4 ; el residuo es –6.
(
)
b) La ecuación x 2 − 1
4
= 0 tiene como raíz a 1 con multiplicidad 4.
c) Si se divide el polinomio p (a ) : a 4 − 9a 2 − 3a + 2 entre a + 2 ; el residuo es −2 .
d) Si se divide el polinomio p( x) : x 3 − 2 x 2 + x para x el residuo es 0.
e) Un factor del polinomio p( x) : x 3 − 2 x 2 + x es x − 1 .
7.
Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide x 2 − 7 x + 6 para x − 4 se obtiene como residuo −6 .
b) El polinomio p( x) = (x − 1)2 (x + 1)2 = 0 tiene raíz a "1" de multiplicidad 4.
c) Si se divide a 4 − 9a 2 − 3a + 2 para a − 2 se obtiene como residuo -24.
d) El polinomio
p( x) = (x − 0 )3 x
es de grado 4.
e) El polinomio p( x) = x − 2 x + x = 0 tiene a "0" como una raíz.
3
8.
2
En valor de m , para que la ecuación (2m − 1)x 2 + 2(1 − m )x + 3m = 0 tenga una raíz igual a −1 , es:
a) 7
3
b) 3
7
c) 6
7
d) 2
7
e) 1
7
308
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
12
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
DEFINICIÓN
IGUALDAD
OPERACIONES
MAGNITUD
VECTORES UNITARIOS
VECTORES ORTOGONALES
VECTORES ORTONORMALES
COMBINACIÓN LINEAL
Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de
IR 2 . Pero el interés ahora es ser más generales.
309
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina vectores en IR², IR³, ... IR n.
 Opere (sume, reste, multiplique por escalarares) Vectores en IR², IR³, ... IRn
 Defina norma de un vector, vectores unitarios.
 Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado.
 Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados.
 Defina vectores ortogonales.
 Determine si dos vectores son ortogonales o no.
12.1 DEFINICIÓN
Los vectores en IR 2 , IR 3 ,…, IR n , son conjuntos ordenados de
números reales de:
2
• 2 componentes: ( x , y ) → Par ordenado. Vector en IR .
•
3 componentes: ( x , y, z ) → Vector en IR .
•
4 componentes: ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) → Vector en IR .
•
" n " componentes: ( x1 , x 2 , x 3 ,  , x n ) → Vector en IR .
Y así,
3
4
n
12.2 IGUALDAD
Sean V1 = ( x1 , x 2 , x 3 ,, x n ) y V2 = ( y1 , y 2 , y 3 ,, y n )
vectores de IR n . Entonces V1 = V2 , si y sólo si:
( x1 = y1 ) ∧ ( x 2 = y 2 ) ∧ ( x 3 = y 3 ) ∧  ∧ ( x n = y n )
12.3 OPERACIONES
12.3.1. SUMA Y RESTA
Sean V1 = ( x1 , x 2 , x 3 ,, x n ) y V2 = ( y1 , y 2 , y 3 ,, y n )
vectores de IR n . Entonces:
V1 + V2 = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 , , x n + y n )
V1 − V2 = ( x1 − y1 , x 2 − y 2 , x 3 − y 3 ,  , x n − y n )
Ejemplo
Sean V1 = (− 5,2,1) y V 2 = (3,0,−2 ) , dos vectores de IR 3 , hallar V1 + V 2 y
V1 − V2
SOLUCIÓN:
310
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:
V1 + V2 = (−5 + 3, 2 + 0, 1 + (−2) ) = (−2,2,−1)
V1 −V2 = (− 5 − 3, 2 − 0, 1 − (−2) ) = (− 8,2,3)
12.3.1.1. Propiedades
Sean V1 ,V2 ,V3 vectores de IR n , entonces:
1. V1 + V2 = V2 + V1
2. V1 + (V2 + V3 ) = (V1 + V2 ) + V3
3. V1 + 0 = V1 , donde 0 = (0,0,0, ) .
4. V1 + (− V1 ) = 0
12.3.2. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Sea
α ∈ IR
y sea
V = ( x1 , x 2 , x3 ,  , x n )
un vector de
IR n . Entonces:
αV = α( x1 , x 2 , x 3 ,  , x n )
αV = (αx1 , αx 2 , αx 3 , , αx n )
Ejemplo
Sea V = (−5,2,1) un vector de IR3 , hallar 3V
RESOLUCIÓN:
3V = 3(−5,2,1)
3V = (− 15,6,3)
12.3.2.1. Propiedades
Sean V1 ,V2 vectores de IR n y α, β ∈ IR , entonces:
1. α(V1 + V2 ) = αV1 + αV2
2. (αβ )(V1 ) = α(βV1 ) = β(αV1 )
Ejemplo
Sean V1 y V2 dos vectores de IR3 tales que: V1 = (3,0,−2) y V2 = (−5,2,1) , Hallar
el vector V = 2V1 − 3V2
SOLUCIÓN:
V = 2V1 − 3V2
V = (6,0,−4) − (− 15,6,3)
V = (21,−6,−7 )
311
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
Ejercicio Propuesto 12.1
Sean u = (1,−2,3), v = (− 3,2,5), w = (2,−4,1) . Calcular:
a) u − v
c) u − w − w − v
b) 3v + 5w
d) 2u − 4v + 7 w
12.3.3. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)
Sean
V1 = ( x1 , x 2 , x 3 ,  , x n )
y
V2 = ( y1 , y 2 , y 3 ,  , y n )
vectores de IR n . Entonces el producto punto
de V1 y V2 , denotado como V1 • V2 , se define
como:
V1 • V2 = ( x1 , x 2 , x 3 ,  , x n ) ⋅ •( y1 , y 2 , y 3 ,  , y n )
V1 • V2 = x1 y1 + x 2 y1 + x 3 y 3 +  + x n y n
∈ IR
Note que el resultado del producto punto es un número real.
Ejemplo 1
Hallar V1 • V2 para V1 = (3,0,−2) y V2 = (−5,2,1) .
SOLUCIÓN:
V1 • V2 = (3,0,−2) • (−5,2,1)
V1 • V2 = (3)(−5) + (0)(2) + (−2)(1)
V1 • V2 = −15 + 0 − 2
V1 • V2 = −17
Ejemplo 2
Sean V1 y V2 dos vectores de IR 4 tales que: V1 = (−2,1,3,−1) y V 2 = (3,0,−1,2) .
Hallar V1 • V2
SOLUCIÖN:
V1 • V2 = (−2)(3) + (1)(0) + (3)(−1) + (−1)(2)
V1 • V2 = −11
12.3.3.1. Propiedades
Sean V1 ,V2 ,V3 vectores de IR n , entonces:
1. V1 • V2 = V2 • V1
312
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
2. V1 • (V2 + V3 ) = V1 • V2 + V1 • V3
3. α (V1 • ⋅ V2 ) = (αV1 ) • V2 = V1 • (αV2 ) , donde
α ∈ IR
Ejercicio Propuesto 12.2
1. Dados los vectores: V 1 =(1, 2, -1) y V 2 =(2, 0, 1 ), el resultado de la operación:
(3V 1 -2V 2 ).(V 2 -2V 1 ) es:
a) 13
b) -39
c) -68
d) 39
e) -13
12.4 MAGNITUD (NORMA) DE UN VECTOR
Si V = ( x1, x2 , x3 ,, xn ) ∈ IRn , entonces la NORMA del
vector V , denotada V , es:
V =
x1 + x 2 + x 3 +  + x n
2
2
2
2
Ejemplo
La norma del vector V = (1,2,3) sería:
V = 12 + 2 2 + 3 2
V = 14
V
Veamos que sucede si realizamos el producto punto de un vector
consigo mismo
V • V = ( x1 , x 2 , x 3 , , x n ) • ( x1 , x 2 , x 3 ,  , x n )
V • V = x1 + x 2 + x 3 +  + x n
2
V •V = V
2
2
2
2
12.5 VECTORES UNITARIOS
Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su
u =1
norma es igual a 1, es decir:
puede ser expresado de la siguiente
V
forma V = V u por tanto u =
V
Un vector cualquiera V
Ejemplo
Hallar un vector unitario u para el vector V = (1,2,3)
313
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula u =
u=
V
V
tenemos:
(1,2,3)
u =
14
1
(1,2,3)
u=
14
comprobando u =
1
4
9
+
+
14 14 14
14
14
u =1
 1
2
3 

,
,
u = 
14
14
14


12.6 VECTORES ORTOGONALES
Sean
V1 ,V2 dos vectores de IR n . Entonces V1
y V2 son ortogonales si y sólo si:
V1 •V2 = 0
Ejemplo
Los vectores V1 = (1,2,−1) y V2 = (−3,2,1) son ortogonales, porque
V1 •V2 = (1)(−3) + (2)(2) + (−1)(1) = 0
Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el
siguiente:
Ejercicio resuelto
(
)
(
)
Dados los vectores V1 = a 2 − 1,2,3 y V2 = − 2,−a, 5 , encontrar los valores
24
de "a" para que sean ortogonales.
SOLUCIÓN:
Para que V1 ∧ V 2 sean ortogonales se debe cumplir que V1 •V2 = 0 , entonces
(
)
5 ) = −2a 2 + 2 − 2a +
V1 • V2 = a 2 − 1,2,3 • (−2,−a , 24
− 2a − 2a +
2
21
8
5
8
por lo tanto
=0
16a 2 + 16a − 21 = 0
7
3
a=−
∨ a=
4
4
Ejercicios Propuestos 12.3
1.
Sean los vectores A = (1,−2,3), B = (4,−1,2 ) y C = (2,0,−3) encontrar el valor de t , tal que A + tB
sea ortogonal a C.
314
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
Si se tienen los vectores V1 = (−1, 2, 0 ) y V 2 = (b − 1, 2a , − 3) , si V 1 y V2 son ortogonales y
2.
3

V1 = V2 − 2 a , a − 1, −  , entonces los valores de
2

a) 2 y
3
2
b)
1 y -2
2
c) -1 y
1
2
a
d) -
y
b , respectivamente son:.
1
y -1
2
e) -
1
2
y1
12.7 VECTORES ORTONORMALES
Sean V1 ,V2 ,...,Vn vectores de IR n . Entonces V1 ,
,…, Vn son ORTONORMALES si y sólo si:
V2
V i • V i = 1 cuando i = j

V i • V i = 0 cuando i ≠ j
Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está
constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.
Ejemplo
ˆj = (0,1,0) ,
Los vectores iˆ = (1,0,0) ,
kˆ = (0,0,1) son ortonormales, porque
i • j = i • k = j • k = 0 y además i = j = k = 1
12.8 COMBINACIÓN LINEAL
Algo interesante ocurre cuando
V = ( x , y, z ) de la siguiente manera:
descomponemos
al
vector
V = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)
V = xi+ y j+zk
Es decir que el vector V = (2,−5,3) también se lo puede denotar de la forma V = 2 i − 5 j + 3 k
Sean V1 ,V2 ,V3 ,,Vn vectores de IR n , entonces
una combinación lineal de estos vectores es
una
expresión
de
la
forma:
a1V1 + a 2 V2 + a 3 V3 +  + a n V n
donde a1 , a 2 , a 3 ,..., a n ∈ IR
315
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
IR 2 , IR3 ,, IR n
Ejercicios propuestos 12.4
1.
Sean los vectores V1 = (1,3,0), V2 = (2,3,1), V3 = (4,−1,−7 ) , entonces los valores de a y b para que
la combinación V3 = aV1 + bV 2 sea verdadera:
a) a = 20 . b = 7
3
b) a = 18. b = −7
2.
d) a = − 14 . b = 13
3
3
e) Elija esta opción si a y b no existe
c) a = 20 . b = −7
3
Dados los vectores
V1 = (1,−2,2 ); V 2 = (2,−2,0 );V3 = (0,1,7 ); V = (−2,5,3) , entonces
para que se cumpla que k1V1 + k 2V2 + k 3V3 = V ; el valor de
a) -2
b) -5
c) -1
d) 5
k1 + k 2 + k 3 debe ser:
e) 2
Misceláneos
1.
Sean los vectores de R 3 , v1 = (−1,2,1) ,
2(v1 • v 2 ) v 2
2
− 2[(v1 + v 2 ) • v3 ]
a) (0,−24,0 )
2.
c) (24,0,0)
b)-24
d)12
e)24
Sean V1 , V2 vectores de R 2 , tales que: V1 = (5,2) y V2 = (7,−2) . Entonces un vector V3 tal que:
V1 •V3 = 38 y V3 • V2 = 34 es:
a) V3 = (4,6)
d) V3 = (6,0)
3.
v 2 = (−1,−2,1) y v3 = (0,−1,0 ) . Entonces el valor de
c) V3 = (6,4)
b) V3 = (6,9 )
e) V3 = (4,9)
Sean V1 ,V2 y V3 vectores de R 3 tales que: V1 = (3,1,2) , V2 = (2,1,−1) y V3 = bV1 + 2V2 .
Entonces el VALOR de “ b ” para que V3 sea ortogonal a V2 es:
a) − 5
b) − 2
7
c) 12
7
5
d) − 5
12
e) − 12
5
4.
Sea los vectores de: V1 = (k , 3, k − 1) y V2 = (3, − 1, k ) . Determine los valores de k tales que V1 y
V2 sean ORTOGONALES.
a)3 y 1
b)3 y -1
c)-3 y -1
d)-3 y 1
e)0 y -3
5.
Dados los vectores V1 = −3,4,−2
V2 = 3,4,−6
V3 = 4,−1,5 . Halle un
vector V4 tal que
V1 + V2 + V3 + V4 = −1,4,5
6.
a) −5,−3,−8
b) −5,3,−8
d) 5,−3,−8
e) −5,−3,−6
Sean
c) −5,−3,8
V1 , V2 y V3 vectores de IR 3 tales que: V1 = (3,−2,1) , V2 = (−5,1,0) y V3 = (0.4,0 ) .
Entonces al efectuar la operación 3 V1 − 4(V1 • V2 ) − 6(V2 • V3 ) − 2 V3
resultado:
a)54
b)110
c)84
d)184
e)52
2
7.
se obtiene como
Sean los vectores de R 3 , V1 = (2,−3,4 ) , V2 = (2,3,−1) , V3 = (4,8,2 ) , V4 = (1,0,0 ) . Entonces un
vector V tal que V1 − 2V2 − V3 + V = V4 , es:
a) V = (7,17,−4 )
d) V = (−7,17,4)
8.
2
b) V = (6,8,9 )
e) V = (7,−17,−4 )
c) V = (6,8,9 )
Sean V1 y V2 vectores en IR 3 , tales que V1 = 2,1,1 y V2 = 1,1,1 . Una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA identifíquela:
a) V1 y V2 son ortogonales.
b)
V1 y V2 son paralelos.
316
Moisés Villena Muñoz
Vectores en
9.
c)
2V2 − 3V1 = 3 2 .
d)
2V2 − 3V1 = 1,0,−1
e)
2V2 − 3V1 = 3 .
IR 2 , IR3 ,, IR n
La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores V1 = 1 − a,3a,1 y V2 = a,−1,3
SEAN ORTOGONALES, es:
a)-3
b)-1
c)-2
d) 0
e) 3
317
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
DEFINICIÓN
DIMENSIÓN
CLASES DE MATRICES
IGUALDAD DE MATRICES
OPERACIONES
DETERMINANTE
MATRIZ INVERSA
Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos matemáticos. De allí su
importancia de estudio en este capítulo.
317
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina arreglo matricial.
 Defina matrices cuadradas, matriz identidad, matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices
simétricas.
 Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices.
 Halle determinantes de matrices.
 Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.
 Justifique la existencia de la inversa de una matriz
 Determine, de existir, la inversa de una matriz.
13.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en
mayúscula.
Columna
↓



A=




C1
C2
C3

Cn
a11
a 21
a 31

a12
a 22
a 32

a13
a 23
a 33



a1n
a 2n
a 3n

a m1
a m2
a m3


a mn
 → R1
 R
2

 R3



 Rm

Re nglón
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número aij se lo denomina elemento de la matriz, donde " i " (el
primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra el
elemento y " j " (el segundo número del subíndice) indica la columna en
que se encuentra el elemento, es decir:
13.2 DIMENSIÓN
La dimensión de una matriz está dada por la cantidad de filas y la
cantidad de columnas que posea. Al decir Am×n , se indica que A es una
matriz que tiene m filas y n columnas.
318
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
319
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
Ejemplos
 2
A=
1
−1
0
3
→ A es una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas.

− 2 2×3
 − 1 2 − 3


→ B es una matriz que tiene 3 filas y 3 columnas.
B =  0 1 − 2
 1 2 3 
3×3
Ejercicio Propuesto 13.1
1. Determine la matriz
A4×3 = (aij ) para la cual
aij = i + j − 2 . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular a21 , haga i = 2 y j = 1 en la fórmula a21 = 2 + 1 − 2 = 1 ].
13.3 CLASES DE MATRICES
13.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz Am×n es cuadrada si y sólo
sí m = n .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de
columnas y se lo denota como An×n .
An×n
 a11

 a21
=  a31

 
a
 n1
a12
a22
a32

an 2
a13
a23
a33

a n3




a1n 

a2 n 
a3n 

 
ann 
Diagonal
Principal
Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal
Principal para los elementos a ij donde i = j .
Así como también aparecen las siguientes clases de matrices:
13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los
elementos que están bajo la diagonal principal son todos ceros.
An×n
 a11

 0
= 0

 
 0

a12
a13

a22
0
a23
a33



0

0

a1n 

a2 n 
a3n 

 
ann 
320
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los
elementos que están sobre la diagonal principal son todos ceros.
An×n
 a11

 a21
=  a31

 
a
 n1
0





 
ann 



0
0
a22
a32

an 2
a33

a n3
0
0
0

13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando los elementos que
están sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.
An×n
 a11

 0
= 0

 
 0

0
a22
0
0


0

0
a33

0


0 

0 
0 

 
ann 
13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la
diagonal principal.
An×n = I n×n
1

0
= 0


0

0
0
1
0

0
0
1

0




0

0
0


1 
13.3.1.5 MATRIZ CERO
Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser
cuadrada como puede no serlo.
321
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices
Am×n
y Bm×n son iguales si y
sólo si:
aij = bij
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.
Ejercicios propuestos 13.2
1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:
 x 2  1 2
3 y  = 3 4

 

4  1
x 3
b)  2 − 1 y  +  3

 
1 z − 3 u
a)
− 1 2
7
v + 1


4 x  = 5 w − 2
3 
y 2  0
5
− 1 
t
2k1 + k 2
2


3
2. Dadas las matrices: A = 
3 − 2k 3 + 4k 2 
 2 3 2
 y
2 1 0 entonces el valor de
0
B
=



k 3 + 2 
3 4 0
1
4
k1 + k2 + k3 , tal que A = B , es:
a) −
5
4
b) −
2
3
c) 3
d)
1
2
e)
3
2
13.5 OPERACIONES
13.5.1 SUMA
Sean
A ∧ B dos matrices de
m×n,
Am×n + Bm×n = C m×n , donde
entonces:
c ij = a ij + bij
Los elementos de la matriz C se los obtiene sumando
algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos
elementos de la matriz B .
Ejemplo
Sean las matrices
 2 −1 1 

A = 
 1 2 3  2×3
hallar C = A + B .
y
 −1
B = 
− 2
0
1
1 

− 3  2×3
SOLUCIÓN:
322
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
2
C = A + B = 
1
−1
2
 2 + (−1)
C = 
 1 + (−2)
1
 −1
 + 
3  2×3  − 2
−1+ 0
2 +1
0
1
1 

− 3  2×3
1+1   1 −1
=
3 + (−3)   − 1 3
2

0  2×3
13.5.1.1 PROPIEDADES
Sean
Am×n , Bm×n
y
C m×n ,
matrices.
Entonces:
1. A + B = B + A
2. ( A + B ) + C = A + (B + C )
3.
A+ 0 = A,
0m×n ≡ Matriz
donde
Cero
4. A + (− A) = 0
13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea α ∈ IR y la matriz Am×n , entonces:
αAm×n = C m×n ,
donde
c ij = αa ij
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la
constante α a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
2
−1
2
0
3
 
 = 
 
Si tenemos la matriz A = 
1
2
C = 2A = 2
1
−1
2

 , entonces:

2(2) −1(2) 0(2)
1(2)
2(2) 3(2)
0
3
  4 −2 0 
 = 

  2 4 6
13.5.2.1 PROPIEDADES
Sean
Am×n
y
B m×n
matrices;
y
α, β ∈ IR , entonces:
1. α( A + B ) = αA + αB
2.
(αβ )A = α(βA) = β(αA)
323
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES
Sea
A
una matriz de
matriz de
matriz B
y sea
m×n
B
una
n × q ( la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la
) entonces:
Am×n Bn×q = C m×q
donde c ij = a i1b1 j + a i 2 b2 j + a i 3 b3 j +  + a in bnj
Es decir, el elemento c ij se lo obtiene sumando algebraicamente
los resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la
matriz A con los respectivos elementos de la columna j de B .
Ejemplo
Para las matrices
2
A = 
1
−1
2
1
3


 2×3
1 
 −1 1


B =  0 − 2 − 3
1
1
1  3×3

y
Obtengamos la matriz C = AB
Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3
columnas y la matriz B tiene 3 filas.
Entonces:
c
c
A2×3 B3×3 = C2×3 =  11 12
c
c
 21 22
c13 

c23  2×3
c11 = (2)(−1) + (−1)(0) + (1)(1) = −1
c12 = (2)(1) + ( −1)(−2) + (1)(1) = 5
c13 = (2)(1) + (−1)(−3) + (1)(1) = 6
c 21 = (1)(−1) + (2)(0) + (3)(1) = 2
c 22 = (1)(1) + (2)(−2) + (3)(1) = 0
c 23 = (1)(1) + (2)(−3) + (3)(1) = −2
Por lo tanto:
 −1
C 2×3 = 
 2
5
0
6 

− 2 
13.5.3.1 PROPIEDADES
Sea
α ∈ IR
y
A, B, C
matrices.
Entonces:
1. A(B + C ) = AB + AC
2.
AI = A
3.
αAB = (αA)B = A(αB )
324
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
( AB )C = A(BC )
4.
Las dimensiones de las matrices A, B, C deben ser
tales que se puedan realizar las operaciones
indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿PORQUÉ?
Ejercicio Resuelto


 −2 −10 1 
0 − 2
 −1


k3


Si se tienen las matrices A =
y B = − k −
k 5  , entonces el valor
 k2 −k 3 
3


− k
− 3 − 2
 − 1 − 2k 3 
 2

de " k " para que la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es
a) −1
b) 0
c) 3
d) −2
e) 1
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz A3×3 con la matriz B3×3 resulta una matriz C3×3 . El asunto es que
C3×3 sea triangular superior, entonces c21 = 0 ∧ c31 = 0 ∧ c32 = 0 . Es decir:
 c11 c12

A3×3 B3×3 = C3×3 =  0 c22
 0
0

c13 

c23 
c33 3×3
c 21 = (k )(−2) + (− k )(− k ) + (3)(−1) = k 2 − 2k − 3 = 0
2
c31 =  − k2 (−2) + (−3)(− k ) + (−2)(−1) = k 2 + 3k + 2 = 0


2
3
k

c32 =  − 2 (−10) + (−3)(− k3 ) + (−2)(−2k ) = 5k 2 + k 3 + 4k = 0


Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
k 2 − 2k − 3 = 0
1. (k − 3)(k + 1) = 0
k = 3 ∨ k = −1
k 2 + 3k + 2 = 0
2. (k + 2 )(k + 1) = 0
k = −2 ∨ k = −1
k 3 + 5k 2 + 4 k = 0
2
3. k ( k + 5k + 4) = 0
k (k + 4 )(k + 1) = 0
k = 0 ∨ k = −4 ∨ k = −1
Observe que sólo k = −1 satisface las tres condiciones, por tanto
RESPUESTA: Opción "a"
Ejercicios Propuestos 13.3
1.
Efectuar las operaciones:
 2 1 3 0 −1 2 
a) 
+

− 1 4 7  1 2 − 8
1
b) 2 2

4
2 3
 0 −1 2 



− 1 0  + 3 3
2 − 4
− 1 0
5 6
3 
2
3
 4
5
c) − 1 2

1
d) 

4
2
5
1  1 
 
− 3 2
6  3
− 1 0
3 
 3
 2 4 
−2
6 
 0 3 
− 1

1
325
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
2.
3.
1 2 

 2 3
a b 
3 −3
Al multiplicar la matriz A = 
 por la matriz B = 
 se obtiene la matriz
c
d


4 0 
 −1 −3 
C=
 , entonces la SUMA de a + b + c + d es:
− 2 − 6
Calcule A + 2 A − 3 I para A = 
2
a) 0
4.
b) 6
c) 2
d) 4
e) 3
Considerando las siguientes matrices:
1 −1
A = 
0 3
2
;
4 
 4
B = 
 −1
0
−2
− 3
;
3 
¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
 5 −1
 −1 1
a) A + B = 

 2
 
C =  − 1;
 3
 
 8
−1

7 
b) CD =  − 4

 12

d) AD =  9 
9
 
c) A + C no está definida
0
0
0
D = (4 0 3) .
Determine
6 

− 3
9 
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5.
1 2
 2 −1 
 y B=

3 4
 − 3 − 2
Dadas las matrices: A = 
a) ( A + B )
2
6.
encuentre:
b) A2 + 2 AB + B 2
1 −1
B=

2 − 1
p 1 
 y
 q − 1
Sean las matrices: A = 
encuentre " p " y " q " para que
( A + B )2 = A2 + B 2 .
13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea A = (aij ) una matriz de
m×n.
Entonces su
matriz transpuesta, denotada como At = (a ji ),
es de
matriz
n×m
A
y se obtiene tomando las filas de la
como columnas para la matriz
por ende las columnas de la matriz
las filas de la matriz
At
A
At
y
serán
.
Ejemplo
2
La matriz transpuesta para la matriz A = 
1

−1
2
1
3


es
 2×3
 2 1


At =  − 1 2 
 1 3
3×2

326
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
13.5.4.1 PROPIEDADES
Sean
Am×n
y
matrices,
B m×n
entonces:
t
1. (At ) = A
2. ( A + B )t = At + B t
3. ( AB )t = B t At
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz An×n es simétrica si y sólo si
At = A
Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que aij = a ji
Ejemplo
2 − 3
 1 2 − 3



0 1  es simétrica porque At =  2 0 1  = A
 − 3 1 − 2
 − 3 1 − 2




 1

La matriz A =  2
Ejercicio Propuesto 13.4
1. Sea la matriz
(
2
A = 8
0
4 2 A − At
a) 36
)
4
3
1
6
5 , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz
4
es:
b) 12
c) 16
d) 8
e) 9
13.6 DETERMINANTE
327
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
Sea A una matriz de n × n . El DETERMINANTE de
A , denotado por A o también det A , se define de la
siguiente manera:
1.
Si A1×1 = [a11 ] → A = a11
 a11
2. Si A2×2 = 
a 21
3. Si
A3×3

 a11 a12

= a21 a22

a31 a32

a12 
→ A = a11 a 22 − a12 a 21
a 22 

a13 

a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

a33 

Donde Aij se llama cofactor y se define como:
Entonces
A = a11
a 22
a32
a 23
a
− a12 21
a33
a31
a 23
a
+ a13 21
a33
a31
a 22
a32
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna.
¿Cómo sería el determinante?
La forma mencionada para hallar el determinante se llama
MÉTODO DE MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían
emplearse. Este método es general. Sirve para matrices de mayor orden,
4× 4
Ejemplo
2 1

4

1 0

0 
Hallar el determinante de la matriz A =  3 5 − 1
SOLUCIÓN:
Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces
328
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
2 1 4
1 4
2 4
2 1
A = 3 5 −1 = 1
−0
+0
5 −1
3 −1
3 5
1 0 0
A =1
1 4
+0+0
5 −1
A = 1[(1)(−1) − (4)(5)] = −21
13.6.1. P ROPIEDADES
Sean
1. AB
y
An×n
Bn×n
matrices, entonces:
= AB
2.
At = A
Pregunta: A + B = A + B ¿Si o no? Justifique su respuesta.
13.6.2 OTRAS PROPIEDADES
1. Si
una
matriz
es
triangular
superior,
triangular inferior o diagonal entonces su
determinante es igual a la multiplicación de
los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
 2 10

Para la matriz triangular superior A =  0 − 1
0

0
− 5

4  calculando su determinante
3 
por el método de menores, empleando la primera columna, tenemos:
A =2
−1 4
− 0 + 0 = 2[(−1)(3) − (4)(0)] = (2)(−1)(3) = −6 .
0 3
¡Generalícelo!
2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas
iguales
o
múltiplos
entonces
su
determinante es igual a "0".
Ejemplo
329
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
 1
3 
 cuya segunda fila es −2
Al hallar el determinante de la matriz A = 
 − 2 − 6
veces la primera, encontramos que:
A = (1)(−6) − (3)(−2)
A =0
3
6
5
 −1 2


0 −1 0
2
 1
Lo mismo ocurre con esta matriz A =  − 2 1 2 3 − 1 , note que la


 1 −2 1 −6 0 


0
9 − 1
 −1 3
cuarta columna es el triplo de la segunda, por lo tanto A = 0
¡Generalícelo!
3.
Si se intercambian 2 filas o columnas en
una matriz entonces su determinante cambia
de signo.
Ejemplo
 −1 3 
 entonces A = 5 − 12 = −7
 4 − 5
 4 −5 
 (intercambiamos las filas de la matriz A )
Si formamos la matriz B = 
 −1 3 
Suponga que se tiene la matriz A = 
entonces B = 12 − 5 = 7 .
¡Generalícelo!
4.
Si a todos los elementos de una fila o
columna de una matriz A los multiplicamos
por
una
constante
k ≠ 0,
entonces
el
determinante de la nueva matriz es k veces el
determinante de la matriz A .
Ejemplo
Suponga
que
se
tiene
la
matriz
a
A =  11
 a 21
a12 

a 22 
entonces
A = a11 a 22 − a12 a 22
330
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
 ka
Si formamos la matriz B =  11
 a 21
la primera fila de la matriz A )
ka12 

a 22 
(multiplicamos por k a todos los elementos de
entonces
B = ka11a22 − ka12 a21 = k (a11a22 − a12 a21 ) = k A
.
En cambio el kA = k n A ¿POR QUÉ?
5.
Si a todos los elementos de una fila o
columna
de
una
matriz
les
A
sumamos
respectivamente k veces otra fila o columna,
entonces el determinante no varía.
Ejemplo
Suponga
que
se
tiene
la
a
A =  11
 a 21
matriz
a12 

a 22 
entonces
A = a11 a 22 − a12 a 22

a
a

11
12
 (a los elementos de la segunda
Si formamos la matriz B = 
+
+
a
ka
a
ka12 
21
11
22

fila le adicionamos respectivamente k veces la primera fila)
entonces
B = a11 (a22 + ka12 ) − a12 (a21 + ka11 )
= a11a22 + ka11a12 − a12 a21 − ka12 a11
= a11a22 − a12 a21 = A
Ejercicios Propuestos 13.5
1.
 1 2 0
1 2 −1
Dadas las matrices: A = 
 entonces el valor de:
 y B=
− 1 1 1
0 2 3 
( ) es:
det AB t
a) 15
2.
c) 5
d) 45
0 −1 0
1
0 3
0 −2 1 1
1 2
0 −1
1
2 1 4
3 5 −1
1 0 0
Sean las matrices:
valor del
a) −44
[
b) 2
1 0
 3 2 − 1
1 1 1
3 − 2 , entonces el
A =  0 1 4 ; B = 0 1; C = 
; D =  2 3 
1
1
1




0 1
− 1 0 5 
]
T
det ( A.B ) .C T − D es:
b) 38
c) −38
d) 39
3
4.
e) 25
Calcule los siguientes determinantes:
a)
3.
b) 35
Los valores de x ∈ IR que satisfacen la ecuación: 0
0
x
x
0
e) 44
2x
99 = 60
x −1
son:
331
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
5 y −4
a)
b) 5 y 4
c) −5 y 4
1
5.
Los valores de x que satisfacen la ecuación: x 2
x
a) 3 y 6
b) 6 y 0
2
6.
0
0
x−2 3 =3,
x +1 x
c) -1 y 0
e) 0 y 1
son:
d) 6 y -1
e) 3 y 0
x−2 1
Al calcular 1
2 > 0 , se obtiene:
0
x
4
a)
d) −5 y −4
x=0
b)
3
x>5
c) x > 0
d) x > 3
e) x < 2


ln 1
 log 2 8 e − 1 log10 1
El valor del determinante de la matriz A =  x 3 − 2 x
log 3
2  es:


 1
1
0 
 x − 2

7.
a) 0
b) 2
c) -6
d) 6
e) -4
13.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de n × n . Si existe una
matriz An×n −1 tal que
AA −1 = A −1 A = I , se dice
que A es inversible
En este caso a la matriz An×n
−1
se la llama la matriz inversa de A .
Si A −1 existe se dice que A es una matriz no singular. Caso
contrario, es decir que A −1 no exista, se dice que A es una matriz
singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí
solo lo vamos a hacer empleando la siguiente formula:
A −1 =
1 ˆ t
(A) , donde A ≡ Matriz de Cofactores.
A
Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la
existencia de la matriz inversa)
Teorema.
A −1
existe si y sólo si
A ≠0
Ejercicio resuelto 1
332
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
 −1 3 

 4 − 5
De existir, hallar la inversa de la matriz A = 
SOLUCIÓN:
Primero empecemos hallando: A = −7 . Este resultado nos indica que si va a existir la
matriz inversa.
A continuación hallamos la matriz de cofactores
Entonces:
  A11
A =  21
A

A−1 =
A12   + (−5) − (4)   − 5 − 4 
 = 

= 
A22   − (3) + (−1)   − 3 − 1 
t
− 5 − 4
1 t
1  − 5 − 3
 = − 

(A) = 1 
A
− 7  − 3 −1
7  − 4 − 1 
5
A−1 =  74

7
Comprobando
3
7
1
7
 −1 3  1  5 3  1  7 0   1 0 
 
 = 
 = 

AA −1 = 
 4 − 5 7  4 1 7  0 7   0 1 
Ejercicio resuelto 2
1 0 2


De existir, hallar la inversa de la matriz A =  0 3 1 
 2 −1 0


El determinante de la matriz es: A = 1(1) − 0 + 2(−6) = −11

 + (1)

− (−2) + (−6) 

+ (−4) − (−1)  =
 + (−6) − (1)
+ (3) 

Y su matriz de cofactores: A =  − (2)
Entonces su matriz inversa es:
2 − 6
 1


− 2 − 4 1 
− 6 −1 3 


t
A−1
6 
2 − 6
 1 − 2 − 6
 −1 2
 1
 1


1 
1 
1 
=
 2 − 4 −1 =  − 2 4
− 2 − 4 1  =
11 
− 11 
− 11 


3 
− 6 1
 6 − 1 − 3
 − 6 −1 3 
Comprobando
6 
11 0 0   1 0 0 
1 0 2  −1 2

 
 1
1

AA−1 =  0 3 1   − 2 4
1  =  0 11 0  =  0 1 0 
 2 − 1 0  11  6 − 1 − 3  11  0 0 11  0 0 1 

 


 

13.7.1. Propiedades
Sean
An×n
y
Bn×n
matrices
inversibles,
entonces:
−1
1. (A −1 ) = A
333
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
1
A
2.
A −1 =
3.
(A ) = (A )
4.
( AB )−1 = B −1 A−1
t −1
−1 t
Ejercicio resuelto 3
2 3
1
Sea X una matriz tal que: 
X = 
2
7
2
1 
6
a) 

0 − 4 0
d) 7 − 4


2 3
 . Entonces X es igual a:
0
4 0
−

 4 8
 2 0
b)  7 6


− 4 0
2
c) 
7
6

−
1
−
4
−
3

e) 2 −7 6
1 − 4 3 
6 − 3
SOLUCIÓN:
Una manera es despejar la matriz x, multiplicando por la inversa a ambos miembros
A

2
3
2 3

−1 1
A−1 
X = A 

−
4
8
0
4 0



1 2
Ix = A−1
0 − 4
1 2
x = A−1
0 − 4
Hallemos la inversa de A = 
2 3
,
 4 8
A = 16 − 12 = 4
Por lo tanto
3

0 
3

0 
para lo cual
t
+8 −4 
− 4
−1 1  8
y  = 
 entonces A = 

4 − 3 2 
− 3 + 2
 8 −3  1 2 3 

 =
x = 14 
 − 4 2  0 − 4 0 
1  8
4 − 4
Respuesta: Opción "c"

 2 − 34 
=

− 1 12 
28
24   2
7
6 
=

− 16 − 12   − 1 − 4 − 3 
Ejercicio resuelto 4
1
0
k
− 1 − 3k
Dada la matriz A =  3

− 1
4  los valores de "k" que hacen que la matriz A
k
k 
no tenga inversa, son:
a) 2 y 6 b) -2 y 6
c) ±2 y ±6 d) 2 y -6
e) -2 y -6
Solución:
Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
334
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
1
3
−1
0
k
− 1 − 3k
(
)
4
k
=0
k
1 k 2 + 12 − 0 − (−9k + k ) = 0
k + 12 + 9k − k = 0
2
k 2 + 8k + 12 = 0
(k + 6)(k + 2) = 0
k = −6 ∨ k = −2
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 13.6
 2 − 1 3
1. Dada la matriz A= 0 2 0 , la matriz inversa de A es igual a:


2 1 1
−1
−1
 0

1
 2
1
a)  4
1
2
2
2
 −1
3 
4
0 

−1 
2
b) − 1
4

 2
3
 4
1 
0
2
1
1 
2
2
0 −1 
2
0 − 4
2
c)  4 − 4 − 4


4 
− 6 0
4 − 6
 2
e)  0 − 4 0 


− 4 − 4 4 
2 − 3
1
d)  0 − 2 0 


− 2 − 2 2 
1 3 
 2 −1
 y B=
 verifique que
 2 4
− 3 1 
2. Dadas las matrices: A = 
( AB )−1 = B −1 A−1
 2 3 4


3. Dada la matriz A = 1 2 0  , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
4 5 6
4 6 8 
b) A + A = 2 4 0 


8 10 12
a) A = −6
4 
− 2 − 1
3
3 

c) A−1 =  1
2
−2 
3
3

1
−1 −1 
3
6
 2
1 
 −2
1
2 
d) A −1 = − 1
2
− 1  e) A + A = −48
3
3
3

 4 3 − 2 3 − 16 
4.
Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:
− 1 2 − 3
 3 2
b)  2 − 1 1 
a) 



− 1 1 
 3 1
2 
1 2 3
d) 4 5 6


7 8 9
5. Dada la matriz
1 −1 1

e) 2 − 3 0
1 1
1

3 0 − 1
1 0 0 
c) 0 2 1


2 1 0
2

3
1

2


 log 8
log 2 4 − 1  . Entonces su MATRIZ INVERSA es:
2


A =  log 2 1
3
− 1


1
2
− 4
log  

 2  2 
335
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
a)
 10 − 1 − 3
1 

− 6 13 8 
31 
 − 1 − 3 − 9
 10 − 6 − 1
1 

A−1 =  − 1 13 − 3
31
− 3 8 − 9
d)
6. Sea la matríz
a)
d)
b)
A−1 = −
 10 − 6 − 1
1 

− 1 13 − 3
31 
− 3 8 − 9
c)
A−1 =
 10 − 1 − 3
1 

− 6 13 8 
31 
 − 1 − 3 − 9
e) A no tiene inversa
 2 1 3

 , entonces su MATRIZ INVERSA, es:
A = 0 3 2
1 2 0
 4
1 
−2
15 
 3
 4
1 
A−1 =
−2
15 
 3
A−1 = −
A−1 = −
b)
7
−6

3
4
3 − 6
7
−6

3
4
3 − 6
A−1 =
3
 4 −2
1 

3
3
−6

15
 7
4 − 6
c)
A−1 = −
3
 4 −2
1 

3
3
−6

15
 7
4 − 6
e) A no tiene inversa
6 0 
2 0 
7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial: 1 − 1 A = 3 − 1




0 1 
0 1 
8. Sea A una matriz tal que A = 1 2 . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:


 2 3
b) A = 1
d) A2 + 2 A − 3I =  4 12


12 16
1
e) A−1 = 
1
 2

9.

1
4
1
4
1
9 
1
2
1
3 
−2 −3
−1 a b  , entonces el valor de (b − c ) , es:

 , y además, A = 
3
4
(a − d )
c d 


10. Dada la matriz
b) -1
c) 1
 − 1 − 2 4


A=0
β 2
− 1 4 0
INVERSA es:
a) 0
b) -3
d) -3
e) 3
entonces el valor de β ∈ IR para que la matriz NO TENGA
c) -1
d) 2
e)-2
2
 2 −3
 1
1 2 3 
Sean las matrices A = 
, B = 
 y C=
 , entonces es cierto que:
− 4 5 
 − 2 − 4
1 − 1 0
1 2
a) B −1 = 

0 1 
 5
−
d) A −1 =  2

 − 2
12.

Si A = 
a) 0
11.
c) A−1 = − 1
a) A2 = 1 4


4 9
−3 −6
b) CB = 

 3 6
3
2


− 1 
−
e)
A
−1
1

= 
1


 − 1 − 2 0
 entonces es verdad que:
6 1
− 5 0 3
−4 16 
c) AB = 

−
 10 20
−1 

1
− 

5
Sea A la matriz: 
4
a) det(A)=12
e) det(AT A-1)=1
b) det(A2)=1
c) det (AT)=1/16
d) det (A-1)=1/10
Misceláneos
1.
4 −2 
 −4 1 
Sean las matrices A = 
 y B=
 . El valor de " k " para que det A = det B
1
−
5

− 2 k 

336
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
a) 5
2.
b) 4
c)3
d)2
1 1 
3 4 2
La matriz X que satisface la ecuación 
X = 

0 2 
1 0 3
1 0
a)  2
 2 4
3 
2
1
2 
1
b)  2
 0
5 4
c)  2
 12 0
0

2 0
0
1
1 
2
3 
2 
−5 4 −1 
2
e)  2
1
 2 0 0 
1 1 1
d) 

0 1 1
3.
e)1
 7 0 −2 


Sea la matriz A =  0 1
0
− 3 0
1
Entonces su MATRIZ INVERSA es:
 −1

b) A −1 =  0
 − 3
1 0 2


a) A −1 = 0 1 0
3 0 7 
c) A
−1
e) La matriz
4.
0
1

1
0
2

0 7 
2
1
 2
= 0

 3 2
0
−1
0
−2 

0
− 7 
 7 0 −2 


d) A =  0 1
0
− 3 0
1
A no tiene inversa.
0 2
 −2
−1
Sean las matrices A = 
 , B=
 3 − 1 1
 1
[
]
1 2
0
2


y
C
=

0 4 
1 − 2
5 0
Entonces el VALOR del Det (( A − 2 B )C )T es:
a)74
b) 200
c)-100
d)10
e)100
5.
6.
7.
5 0 0 
1 2 5 
0 2 6 






Sean A, B y C matrices tales que, A = 0 1 − 1 , B = 6 2 0 y C = 0 0 3 . Entonces
3 2 1 
5 4 1
1 4 2
es VERDAD que:
2
a)
 det A 

 − det C = −6
 det B 
b)
c)
det AT = det C
det ( AB ) = 5
d)
e)
det B = det C T
A no tiene inversa o B si tiene inversa.
 4 2
Sea la matriz A = 
 . Entonces los VALORES de “ λ ” tal que
 3 3
a) 1 y 6
b)–1 y –6
c)1 y –6
d)–6 y 1
e) 7 y 6
det ( A − λI ) = 0 , son:
 2 −1 0 


Dada la matriz A =  3
1
2  , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de
 − 4 0 − 3


A −1 es:
a) − 90
343
180
d) −
343
b) − 90
7
e) − 90
441
c) 90
343
337
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
8.
9.
2 1
Sea la matriz A = 
 ; entonces es VERDAD que:
1 0 
5 1
a) A 2 = 

2 1
2 1 0
d) A −1 = 

0 1 
2
b) A −1 = 
1
1
e) A ⋅ I = 
2
[ ]
10.
2 5

1 6
3 7 es:

4 2
0 1 
1
2 2

1
1
0

El DETERMINANTE de la matriz A = 3 − 1 1

4 0 − 2
0 1
2

a) -2
b)0
c)-1
d)1
e)5
La matriz X , tal que:
 2 −5
a) X = 

− 3 4 
1 −5 
d) X = 

 2 − 4
0

0
12 5
c) A3 = 

 5 2
1

0
1 1 
2 −1

 X =
 es:
3
4


3 1 
 5 −5
b) X = 

− 3 4 
1 −1
e) X = 

0 2 
2 1
c) X = 

1 0 
 1 2
1 3 1 


11. Dadas las matrices: A =  − 1 0 y B = 
 y C = AB . Entonces La MATRIZ INVERSA
 4 1 0
 0 2
C −1 , es:
1
2 5


a) C −1 = 0 − 3 − 1
2 2
0 
c) C
−1
5
1
8
 4
=0 −3
8

1
 14
4

e) La matriz
2

b) C −1 = 5
1
1 
8
−1 
8
0 

d) C
−1
0
−3
−1
1
 4
= 5
 8
 18
2

2
0
0
−3
8
−1
8
1 
4
1 
4
0

C no tiene inversa.
12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que:
a) La Matriz A tiene inversa.
b) La matriz A es una matriz cuadrada.
c) La matriz A tiene 2 filas iguales.
d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.
e)
El determinante de la matriz inversa A −1 es igual a 1 .
16
1 −1 1 


13. Sea la matriz A = 0 2 − 1 entonces su MATRIZ INVERSA A −1 es:
2 3 0 
0 2
1


a) A −1 = − 1 2 3 
 1 − 1 0 
3

b) A −1 = − 2
− 4
−2 − 4
3


c) A −1 =  3
− 2 − 5
− 1 1
2 
e) La matriz A no tiene inversa.
1

d) A −1 = 0
0
3
−2
−5
− 1

1 
2 
0 0

1 0
0 1 
338
Moisés Villena Muñoz
Matrices y Determinantes
14.
 1 −1 2 


Sean A y B matrices tales que: A =  0
1 − 1 y
− 2 1 2 


de Det ( AB ) es:
a)-35
b)7
c)-7
d)-5
1 2 3 


B =  1 0 − 2  , entonces el valor
−1 1 1 


e)35
339
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
DEFINICIÓN
CONJUNTO SOLUCIÓN
MÉTODO DE GAUSS
REPRESENTACIÓN MATRICIAL
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Ya nos enfrentados a sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas. El objetivo
ahora es ser más generales, y definir métodos para hallar conjunto solución, incluso de
sistemas con más ecuaciones que incógnitas. Y además hacer análisis de las soluciones.
337
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina sistema de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos.
 Defina Conjunto Solución de sistemas de ecuaciones lineales, sistemas consistentes con solución única, sistemas
consistentes con infinitas soluciones, sistemas inconsistentes.
 Aplique el método de eliminación de Gauss para determinar conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales.
 Justifique la consistencia o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales.
 Cree sistemas de ecuaciones que tengan solución única, infinitas soluciones o que sean inconsistentes.
Una ECUACIÓN LINEAL
en las incógnitas
x1 , x 2 , x3 ,  , x n es de la forma:
a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +  + a n x n = b1
donde
a1, a2 , a3 ,, an , b1 ∈ IR
Ya se han resueltos sistemas lineales de dos o tres incógnitas.
Por ejemplo:
 2x − y = 1
3 x + 4 y = 2
Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: 

x+ y+z=0
Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:  x + 2 y + 3z = 1
− x + 3 y − 5 z = −2

Definiremos ahora sistemas con más ecuaciones y con más
incógnitas. Y no necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que
incógnitas.
14.1 DEFINICIÓN
Un SISTEMA LINEAL de " m " ecuaciones con
" n " incógnitas es de la forma:
 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 +  + a1n x n = b1
 a x + a x + a x ++ a x = b
22 2
21 3
2n n
2
 21 1
 a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 +  + a3n x n = b3
 




a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x3 +  + a mn x n = bm
donde aij ∧ b j ∈ IR para i = 1,2,3,...m; j = 1,2,3,..., n
Si b1 = b2 = b3 =  = bm = 0 (todos iguales a cero) se llama "Sistema
homogéneo". Caso contrario se llama "Sistema no homogéneo"
338
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
14.2 CONJUNTO SOLUCIÓN
El conjunto solución de un sistema lineal está constituido por
vectores de IR n , X = ( x1 , x 2 , x3 ,...x n ) . Donde los valores de x1 , x 2 , x 3 ,  , x n
satisfacen a las ecuaciones simultáneamente.
Este conjunto tendrá una de las siguientes tres características:
CASO I. Estar constituido por únicos valores para x1 , x 2 , x 3 ,  , x n .
En tal caso se dirá que el sistema tiene solución única.
S = {( x1 , x 2 , x 3 ,..., x n )}
CASO
II.
Estar constituído por infinitos valores para
x1 , x 2 , x 3 ,  , x n . En tal caso se dirá que el sistema
tiene infinitas soluciones.
{(
)(
) }
S = x11 , x 12 , x 31 ,..., x 1n , x12 , x 22 , x 32 ,..., x n2 ,...
CASO
III.
No tener elementos. No existen valores para
x1 , x 2 , x 3 ,  , x n que satisfagan a las ecuaciones al
mismo tiempo. En tal caso se dirá que el sistema no
tiene solución.
s = φ.
Cuando el sistema tiene solución, se dice que es un SISTEMA
CONSISTENTE. Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se
dice que es un SISTEMA INCONSISTENTE.
En conclusión los sistemas lineales
pueden ser:
SISTEMA CONSISTENTE
• Con Solución única, o
• Con Infinitas soluciones
SISTEMA INCONSISTENTE
• No tienen solución.
339
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de
sistemas lineales, pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el
método general que le permitirá no sólo hallar el conjunto solución, sino
también analizar consistencia e inconsistencia de sistemas.
14.3. MÉTODO DE GAUSS
La esencia del método consiste en ir estableciendo sistemas
equivalentes que tendrán el mismo conjunto solución, hasta llegar a un
sistema simple que nos permita deducir rápidamente su conjunto
solución.
PASO 1. Plantear la matriz aumentada del sistema. Esta
es, la matriz de coeficientes de las incógnitas aumentando
los términos independientes. Es decir:
 a11 a12 a13  a1n b1 


 a 21 a 22 a 23  a 2 n b2 
 a 31 a 32 a 33  a 3n b 3 





 
 

a
 m1 a m 2 a m 3  a mn bm 
PASO 2. Reducir por renglones a la matriz aumentada
hasta obtener una matriz escalonada (tratar de formar un sistema
triangular superior)
c11 c12 c13  c1n d 1 


 0 c 22 c 23  c 2 n d 2 
0
0 c 33  c 3n d 3 





 

0
0
0  c mn d m 

utilizando a necesidad una de las siguientes operaciones
(operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo conjunto
solución):
 Intercambiar filas.
 Multiplicar una fila por una constante diferente de cero
Ejemplo 1
 4x + y − z = 4
Para el sistema:  x − 2 y + 3z = 11
2 x − y + 3z = 10

340
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
1 −1 4 
 4


PASO I: Su matriz aumentada es:  1 − 2 3 11 
 2 − 1 3 10 


PASO II: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones
permitidas.
Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener "1" en el primer elemento
de la primera fila.
 1 − 2 3 11 


1 −1 4 
 4
 2 − 1 3 10 


Luego de esto, será posible obtener los "0" en los primeros elementos de la segunda y tercera fila,
bastaría con adicionar a la segunda fila respectivamente -4 veces la primera fila (o lo que es lo
mismo, multiplicar por -4 a la primera fila y se la sumarla algebraicamente a la segunda). En el
mismo paso se puede adicionar a la tercera fila -2 veces la primera fila
(−2) (−4)  1 − 2 3 11 
3
11 
−2
 1




1 −1 4  ≈  0
9
− 13 − 40 
 4
 0
 2 − 1 3 10 
3
− 3 − 12 



Podemos ahora multiplicar por
1
3
a la tercera fila
−2
3
11   1
 1
 

9
− 13 − 40  ≈  0
 0
1  0
3
− 3 − 12   0
3 
Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila
−2
3
 1

1
−1
 0
 0
9
−
13

Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda
superior:
3
11 
−2
 1
 1



( −9)  0
1
−1 − 4  ≈  0
 0
 0
9
− 13 − 40 


()
−2
9
1
3
11 

− 13 − 40 
− 1 − 4 
11 

−4 
− 40 
fila, conseguimos el sistema triangular
−2
1
0
11 

−1 − 4
− 4 − 4 
3
Podemos multiplicar por − 14 a la tercera fila
 1 − 2 3 11   1 − 2 3 11 

 

1 −1 4  ≈  0
1 −1 − 4
 0
0 − 4 − 4   0
0
− 14  0
1
1 
El sistema equivalente, finalmente sería
x
y
z
− 2 y + 3z
=
11
 x
1
2
3 11 
−




y
−
z
=
−
4

1 −1 − 4 ⇒ 
 0
z
=
1

 0
0
1
1 

La última ecuación nos dice que z = 1 . Reemplazando este valor en la segunda ecuación
tenemos: y − 1 = −4 ⇒ y = −3 . Y finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera
ecuación, tenemos:
x − 2(−3) + 3(1) = 11
x + 6 + 3 = 11 ⇒ x = 2
( )
 x 

 

Por lo tanto el Conjunto solución sería S =  y  / x = 2; y = −3; z = 1 . O simplemente
 z 

 

341
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
 2 
 
S =  − 3  .
 1 
 
Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO I, es decir es un sistema consistente con
solución única.
El procedimiento anterior no es rígido, es decir se pueden hacer
otros pasos diferentes si fuese conveniente, pero el objetivo debe ser el
mismo, llegar a un sistema triangular superior. Y por ende se debe
llegar al mismo conjunto solución.
Ejemplo 2
 x+ y−z =4
Sea el sistema: 3 x − 2 y + 4 z = 9
9 x − y + 5z = 30

1 −1 4 
 1


La matriz aumentada para este sistema es:  3 − 2 4
9 
 9 − 1 5 30 


Realizando reducción de filas, tenemos:
(−9) (−3)  1
1 −1 4 
1
 1



−5
9  ≈ (−2)  0
 3 −2 4
 0
 9 − 1 5 30 
− 10



−1
7
14
4 

−3 
− 6 
1 −1 4 
 1


≈  0 − 5 7 − 3
 0
0
0
0 

Siguiendo la técnica anterior, el sistema equivalente sería:
+ y −z
=
4
 x

− 5 y + 7z
=
−3


0z
=
0

La última ecuación se satisface para cualquier valor de " z ", es decir z ∈ IR . Por esto, " z "
recibe el nombre de variable libre o independiente o arbitraria.
7z + 3
. Ahora, en la primera ecuación al despejar
Despejando " y "en la segunda resulta y =
5
" x " tenemos
x = 4− y+z
Reemplazando y por su expresión respectiva y simplificando resulta: x =
el conjunto solución sería:
17 − 2 z
. Por lo tanto
5
 x 

17 − 2 z
7z + 3
 

∧y=
∧ z ∈ IR 
S =  y  / x =
5
5
 z 

 

Esto nos permite pensar que estamos en el CASO II, es decir un Sistema Consistente con infinitas
soluciones.
Existirían infinitos valores para las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones. Para obtener
algunos de estos valores, se le daría valores a " z ", por ejemplo: si z = 1 . Entonces,
17 − 2(1) 15
7(1) + 3 10
x=
=
=3 y y=
=
=2
5
5
5
5
342
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Se puede comprobar que esta es una solución del sistema para lo cual sólo habría que reemplazar
3 + 2 −1 = 4
 x+ y−z =4

en 3 x − 2 y + 4 z = 9 ⇒ 3(3) − 2(2) + 4(1) = 9 .
9 x − y + 5z = 30
9(3) − (2) + 5(1) = 30


Si se desea otra solución, le damos otro valor a " z ". Ahora puede ser z = −4 . Entonces,
7( −4) + 3 −25
17 − 2(−4) 25
=
= −5 . Note que también estos valores
x=
=
=5 y y=
5
5
5
5
 (5) + (−5) − (−4) = 4
satisfacen al sistema: 3(5) − 2(−5) + 4(−4) = 9
9(5) − (−5) + 5(−4) = 30

 3   5  
    
El conjunto solución puede ser expresado también de la siguiente forma: S =  2 ,  − 5 ,...
 1   − 4  
    
Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente:
Ejemplo 3
 x+ y−z =4
Sea el sistema:  2 x + 2 y − 2 z = 8
3 x + 3 y − 3z = 12

1 −1
 1

La matriz aumentada del sistema es:  2
2 −2
 3
3 −3

Reduciendo renglones, resulta:
(−2) (−3)  1
1 −1 4   1
 

2 −2 8 ≈ 0
 2
 3
3 − 3 12   0

4 

8 
12 
1
0
0
−1
0
0
4
0
0





Lo cual da lugar al siguiente sistema:
x




+ y −z
0 y 0z
0z
=
=
=
4
0
0
→x=4− y+z
y ∈ IR
z ∈ IR
y
 son llamadas Variables libres o Independientes o arbitrarias
z
Por tanto, el conjunto solución sería:
Aquí a
 x 
  4   3  
 
     
S =  y  / x = 4 − y + z ∧ y ∈ IR ∧ z ∈ IR  =  1 ,  1 , 
 z 
  1   0  
 
     
Se le da valores arbitrarios tanto a " z " como a " y " para obtener valores para " x ".
Ahora analicemos un sistema inconsistente.
343
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplo 4
 x + y − 2z = 4
Sea el sistema 2 x + 3 y − 2 z = 0
3 x + 4 y − 4 z = 2

 1

La matriz aumentada es:  2
 3

Reduciendo renglones, resulta:
( −2) ( −3)  1

 2
 3

 1

≈ 0
 0

−2
−2
−4
1
3
4
−2
−2
−4
1
3
4
4
0
2
4
0
2
1
−2
1
0
2
0





 1



 ≈ (−1)  0
 0



4 

−8
− 2 
1
1
1
−2
2
2
4 

−8 
− 10 
x + y − z = 4
Lo cual da lugar al siguiente sistema:  y + 2 z = −8

0 = −2 FALSO

La última ecuación es una proposición falsa, esto indica una inconsistencia. Por tanto, éste es un
sistema que no tiene solución. Por lo tanto su conjunto solución es:
S =φ
No existe algún valor para x , y y z que satisfaga al sistema.
PREGUNTA: ¿Qué se puede decir de un sistema si al reducirlo se
obtiene
 1

 0
 0

−2
0
0
3
0
0
11 

− 4
0 
No olvide de justificar su respuesta.
Analicemos ahora sistemas rectangulares.
Ejemplo 5
 2x − y = 3
Sea el sistema 3 x + 2 y = −1 .Hallar su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
5 x + 4 y = −2

Planteando la matriz aumentada, y haciendo las reducciones de filas convenientes:
344
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
 2

(2)  3
(2)  5


≈ (−13) 


− 1 3  (−3)(−5)  2 − 1 3 
 2




2 −1 ≈
4 − 2 ≈
 0
 6
 10 8 − 4  (7)  0
4 − 2 



−1
−1
2
3   2
3 

 
− 11  ≈  0
0
7
7 − 11
0
91 − 133   0
0
10 
El último renglón nos da una inconsistencia. Por tanto
−1
7
13
3 

− 11 
− 19 
S =φ
Ejemplo 6
 x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 5
Hallar el conjunto solución para el sistema: 2 x1 − 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 2
− x + x + 2x + x = 4
2
3
4
 1
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones, tenemos:
(−2)  1 − 1

 2 −2
 −1 1

 1

 0
 0

−1
 1

 0
 0

−1
0
0
0
0
1
1
−1
2
1
3
1 −1 5 

− 1 5 − 8 ≈
1
0
3 
5 

2 ≈
4 
−1
 1

 0
 0

0
(13 )
 1

 0
 0

0
−1
(15 )
0
0
=
=
=
5
−8
−1
1 −1 5 

− 1 5 − 8
3
0
9 
1 −1 5 

− 1 5 − 8 ≈
0
5 − 5 
1 −1 5 

− 1 5 − 8
0
1 − 1 
El sistema equivalente resultante es:
 x1




− x2
+ x3
− x3
− x4
+ 5x4
x4
De la última ecuación tenemos que: x 4 = −1 , reemplazándolo en la segunda tenemos:
− x 3 + 5(−1) = −8
x3 = 8 − 5 ⇒ x3 = 3
encontrados
. En
la primera ecuación
x1 − x 2 + 3 + 1 = 5
x1 = x 2 + 1
reemplazamos
los valores
, entonces podemos decir que x 2 ∈ IR . Aunque lo
mismo podríamos decir de x1 y despejar x2 . Estamos ante un sistema consistente
con infinitas soluciones, cuyo conjunto solución puede ser expresado de la siguiente
forma:
 x1 
  1   3  
 
     
x
 
  0   2  
S =  2  / x1 = x2 + 1 ∧ x2 ∈ IR ∧ x3 = 3 ∧ x4 = −1 =  ,  ,
 x3 
  3   3  
 x4 
  − 1  − 1 


 
Ahora veamos un sistema homogéneo.
Ejemplo 7
2 x − 3 y + 4 z = 0
Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo: 3 x + 2 y + 5z = 0
6 x + 3 y + 7 z = 0

345
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones, tenemos:
 2

(2)  3
 6

 2

 0
(13)  0


(−12) 


0  (−3)  2


2
5
0 ≈
 6
 6
3
7
0 

−3 4
0 
 2


13 − 2 0  ≈  0
 0
12 − 5 0 

−3
2
4
0  
 
−2
0
13
0 ≈
0
156 − 65
0  
−3
4
−3
0 

4 10 0  ≈
3
7
0 
−3
4
0 

−2
13
0 ≈
156 − 65
0 
4
2
−3
0
13
0
0
4
−2
− 41
El sistema equivalente sería:

 2x





− 3y
+ 4z
=
13 y
− 2z
=
− 41z
=
0 

0 
0 
0
→ x=0
0 → y=0
→z=0
0
Este tipo de solución es llamada Solución Trivial.
Este es un sistema consistente con solución única.
Los sistemas homogéneos tienen una característica especial, son
sistemas consistentes, por simple inspección se puede comprobar que
por lo menos la solución trivial los satisface.
Ejercicios Propuestos 14.1
1.
2.
Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:
 x + 3 y + 11z = −5

a) 2 x + 3 y + 8 z = 4
− x + 2 y + 3z = −9

 x + y + 2z = 9

b) 3 x − 2 y + 7 z = 20
2 x + 7 y + 3z = 27

x + y + z = 3

c) − x − y + z = −1
3 x + 3 y + 4 z = 8

x + y − z = 4

3 x − y + 2 z = −1
d) 
2 x + 3 y + z = 7
 x + 2 y + 3z = 2
x + y − z = 4

e) 3 x − 2 y + z = 9
9 x − y + 5z = 30

2 x + 3 y + z = 0

f)  x + y + z = 0
− x + 3 y − z = 0

Sea el sistema de ecuaciones:
satisface es:
a)1
b) -1
c) ½
4 1 2
 + + =4
x y z

2 3 1
 + − =1
x y z
1 1 1
 + + =4
x y z

d) -1/2
entonces el valor de "
y"
que lo
e) 1/3
2 x − 3 y + 4 z = 0

3. Con respecto al sistema 3 x + 2 y + 5 z = 0 , una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA,
6 x + 3 y + 7 z = 0

identifíquela:
a) El sistema tiene como solución x = 2, y = −1, z = 0 .
346
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
b)
c)
d)
e)
4.
El sistema sólo tiene solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0 .
El sistema es inconsistente.
Además de la solución trivial, el sistema tiene como solución x = 2, y = −1, z = 4 .
Todas las proposiciones anteriores son falsas.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
a)
b)
c)
d)
e)
 − x1 + 2 x2 − 3 x3 = 0

 − 2 x1 − x2 − x3 = 0 entonces es VERDAD que:

+ x2 + x3 = 0

Una de las soluciones del sistema es: x 1 =-3; x 2 =3; x 3 =-3
El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo.
El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la trivial.
El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones.
Todas las proposiciones anteriores son falsas.
Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el
conjunto solución sino de diseñar el sistema
Ejercicio resuelto 1
Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones:
 x1 + x 2
− x3 = 2

+ x3 = 6
 x1 + 2 x 2

 x1 + x 2 + (c 2 − 5) x3 = c
El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es:
a) -2
b) 2
c) 0
d) 1
SOLUCIÓN :
e) 4
Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones de la misma forma que en
los ejercicios anteriores:
( −1) 






≈



1
1
1
−1
1
c2 − 5
1
2
1
1
0
0
1
1
0
(
−1
2
2
c −4
(
)
2
6
c
)
2
4
c−2


≈





≈



−1
1
1


0
1
2


(
)(
c
0
0
−
2
(c + 2 )

Analizando el último renglón
Si c = 2 ⇒ (0 0 0 0 ) Infinitas soluciones.
Si c = −2 ⇒
(0
Si c ≠ 2 ∧ c ≠ −2 ⇒
0
(
0
0
− 4 ) Inconsistente.
0
k1 ≠ 0
2
4
c−2





k 2 ≠ 0 ) solución única.
RESPUESTA: Opción "a".
Ejercicio resuelto 2
− x + 2 y − az = −1
Sea el siguiente sistema  x + (a − 2) y + 3z = −a + 1
(
)

2
− 2 x + (4 − 2a ) y + a − 10 z = 3a
, donde a ∈ IR , indique
¿cuál de las afirmaciones siguientes es VERDADERA?
347
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
a) a = 2 el sistema tiene infinitas soluciones
b) a = −2 el sistema tiene solución única
c) a = 2 el sistema tiene solución única
d) a = 2 ∨ a = −2 el sistema tiene solución única
e) a = 2 el sistema es inconsistente
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones
(−2) 






(2) 









−1
1
(a − 2)
−2
( 4 − 2a )
2
−1
2
0
0
a
− 2a
−1
0
0
2
a
0
(a
-
Si a = −2 ⇒
(0
2
− 10
(a
−a
3−a
a2 − 4
(
2
−1


0
a


0
0

Analizando el último renglón
Si a = 2 ⇒ (0 0 0 4 ) Inconsistente.
-
−a
3
)
−1
− a +1
3a
)
−a
3−a
2
+ 2 − 10


≈



−1
−a
)
3a + 2


≈



−a
3− a
(a + 2)(a − 2)


≈



−1
−a
a+2
−1
−a
a+2





0 0 0 ) Infinitas soluciones.
Si a ≠ 2 ∧ a ≠ −2 ⇒ Solución única.
RESPUESTA: Opción "e".
Ejercicio resuelto 3
 x + 2y
− 2z = 3
Sea el sistema de ecuaciones − 2 x − 3 y
(
k )z = 2 k − 6
+
4
−

 x + 3 y + (k 2 − k − 3)z = 3k + 2

para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es:
a)
− 23
b) − 1
c)0
d)1
El valor de "k"
e)2
S0LUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada del sistema y reduciendo renglones

(−1) (2) 
1
2
−2
3


−2
−3
(4 − k )
2k − 6  ≈



1
3
k2 − k − 3
3k + 2 




1
2
3
−2



≈
(−1)
0
1
2k
−k


2

0
1
3k − 1 
k − k −1


 1
2
−2
3 

 0
1
−k
2k  ≈


2
 0
0
k −1
k −1 


(
(
(
)
)
)
348
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales


≈


Analizando el último renglón
Si k = 1 ⇒ (0 0 0
(0
1
0
0
2
1
0
3
2k
k −1





0 ) Infinitas soluciones.
− 2 ) Inconsistente.
-
Si k = −1 ⇒
-
Si k ≠ 1 ∧ k ≠ −1 ⇒ Solución única.
RESPUESTA: Opción "d".
0
−2
−k
(k − 1)(k + 1)
0
Ejercicios Propuestos 14.2
 2 x1 − x2 + 3 x3 = a

1. Considere el sistema de ecuaciones lineales:  3 x1 + x2 − 5 x3 = b entonces es CIERTO que:
− 5 x − 5 x + 21x = c
1
2
3

a)
b)
c)
d)
e)
La matriz de coeficientes del sistema es invertible.
Para cualquier valor de a, b y c, el sistema es consistente.
Si a=b=c=0 el sistema tiene solución única
El sistema es inconsistente sólo si c ≠ 2a-3b
Todas las proposiciones anteriores son falsas.
=3
 x1 − x2

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales:  3 x1 − 2 x2
+ ax3 = 7 , entonces una de las siguientes
 − x + 3 x + (3a − 1) x = 0
1
2
3

proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si a=1, el sistema tiene infinitas soluciones.
b) Si ¬(a=1), el sistema tiene solución única.
c) Si a=1, el sistema no tiene solución única.
d) No existe un número real a ≠ 1 tal que el sistema sea inconsistente.
e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.
3. El sistema de ecuaciones lineales
a) b = a + c
d) c ≠ a + b
2 x − y − 3 z = a

,
x + y − z = b
− x + 2 y + 2 z = c

b) b ≠ a + c
e) a = b + c
es CONSISTENTE si:
c) a ≠ b + c
 x = −2 z − 3 y

4. Los valores de la constante "a" para los cuales el sistema a y + x = −4 z
2 y + a z = 0

tiene un número infinito de soluciones, es:
a) -4 y 1
b) -4 y -1
c) 4 y 1
d) 4 y -1
e) 4
3 x + y + z = 2

entonces es VERDAD que:
5. Considere el sistema de ecuaciones:  y + k 2 z = 2
2 x + 2 y + z = 1

a) El sistema tiene infinitas soluciones si k ∈ IR .
1
b) El sistema es consistente si k =
2
5
c) Si k = 2 entonces z =
2
1
d) Si k = − el sistema es inconsistente.
2
e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.
349
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
kx − 4 y + z = 0
6. Los VALORES de k para que el siguiente sistema lineal 2 x − 2 y − kz = 0 tenga INFINITAS SOLUCIONES, son:
a) -1 y -5
b)1 y -5
 x + 2 y − 2z = 0

c)1 y 5
d)2 y -5
e)-1 y 5
14.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL.
El sistema lineal de ecuaciones:
 a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 +  + a1n x n = b1
 a x + a x + a x ++ a x = b
22 2
21 3
21n n
2
 21 1
 a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +  + a 3n x n = b3
 





a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 +  + a mn x n = bm
puede ser representado mediante una multiplicación de matrices de la
siguiente forma
 a11 a12 a13  a1n   x1   b1 
   
a
 21 a 22 a 23  a 2 n   x 2   b2 
 a 31 a 32 a 33  a 3n   x 3  =  b 3 
   



      
 
a m1 a m 2 a m 3  a mn   x n  bm 
Lo que esquemáticamente sería:
Ejemplo 1
 2 x − y + z = −1
Para el sistema  x − 2 y + 3z = 2 la representación matricial sería:
 x + 2 y − 3z = −3

 2 − 1 1   x   − 1
   

1 − 2 3  y =  2 
 1 2 − 3  z   − 3
   

Ejemplo 2
 2x − y = 1
La representación matricial del sistema  x + 3 y = −1 es:
2 x − 2 y = 3

350
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
 2

 1
 2

−1
1
 x  
3    =  − 1
y
− 2     3 
Ejercicio Propuesto 14.3
1.
Con respecto al siguiente sistema
a) Tiene infinitas soluciones
b) Tiene solución única
c) Tiene dos variables libres
 0 −2 −3   x1   5 
    

3
3   x2  = 15 , es verdad que:
 1
− 1 − 2 − 2  x3  31
d) No tiene solución
e) Tiene una variable libre
14.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Problemas con
una ecuación, que
arreglos matriciales
planteamiento rápido
más de una incógnita amerita plantear más de
deben ser consideradas simultáneamente. Los
van a ser de mucha utilidad para hacer un
de los problemas de aplicación.
Ejercicio resuelto 1
La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos
máquinas I, II,. Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la
máquina I y cuatro horas de la máquina II. Para los artículos del tipo B se requiere
utilizar una hora de la máquina I y dos horas de la máquina II. Si el tiempo total
disponible de la máquina I es de cinco horas al día y de la máquina II es de ocho
horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden fabricar respectivamente
son:
a) 1 y 2
b) 2 y 4
c) 3 y 6
d) 4 y 2
e) 3 y 2
SOLUCIÓN:
Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera:
( x)
( y)
A
B
Tiempo total
I
3
1
5
II
4
2
8
Art
Maq
Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva.
Para el primer renglón:
3 horas de MaqI
(" x" unidades de A) + 1 hora deMaqI (" y" unidades de B ) = 5 horas MI
1 unidad de A
1 unidad de B
Esto quiere decir que: 3 x + y = 5
351
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Para el segundo renglón:
4 horas de MaqII
(" x" unidades de A) + 2 hora deMaqII (" y" unidades de B ) = 8 horas MI
1 unidad de A
1 unidad de B
Esto
quiere decir que: 4 x + 2 y = 8
Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas:
 3x + y = 5

4 x + 2 y = 8
Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos
hacer lo siguiente:
Despejar " x
" en ambas ecuaciones y luego igualar
4x + 2 y = 8
3x + y = 5
4x = 8 − 2 y
8 − 2y
x=
4
3x = 5 − y
5− y
x=
3
8 − 2y 5 − y
=
4
3
3(8 − 2 y ) = 4(5 − y )
24 − 6 y = 20 − 4 y
2 y = 24 − 20
y=2
Respuesta:
Entonces:
5−2
3
x =1
x=
x = 1 unidad de A
y = 2 unidades de B
Ejercicio resuelto 2
Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida
de A, B y C es $1, $2 y $3 , respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por
año y los costos de producción por cada unidad son de $4, $5 y $7,
respectivamente. El año siguiente serán producidas y vendidas un total de 11000
unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25000. Si el
costo total será de $80000, entonces el número de unidades del producto B es:
a) 1000
b) 2000
c) 3000
d) 4000
e) 5000
SOLUCIÓN:
Tabulando la información:
Art
Utilidad
A
B
C
Totales
1
2
3
$25,000
Cost . Fij.
17,000
$80,000
Cost . Var.
4
5
7
Pr oduc
x
y
z
11,000
352
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
x + 2 y + 3z = 25,000


Entonces el sistema para este problema es: 4 x + 5 y + 7 z + 17,000 = 80,000

x + y + z = 11,000

Que al resolverlo, tenemos:
 1

 4
 1

( −1) 

( −4) 





(−1) 
Por lo tanto:





2
5
3
7
1
1
25,000 

63,000  ≈
11,000 
1
11,000 

3
25,000  ≈
7
63,000 
1
1
1
4
2
5
1
1
1
0
1
2
0
1
1
1
1
0
0
1
0
2
1
11,000 

14,000  ≈
3
19,000 
11,000 

14,000 
5,000 
z = 5,000 unid . C
y + 2 z = 14,000 ⇒ y = 4,000 unid . B
x + 4,000 + 5,000 = 11,000 ⇒ x = 2,000 unid . A
RESPUESTA: Opción "d"
SEGUNDO M ÉTODO:
1 11,000 1
1 25,000 3
Aplicando la regla de Cramer: y =
4 63,000 7
= 4000
1 1 1
1 2 3
4 5 7
Ejercicio resuelto 3
Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El
ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces
el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión?
Solución:
Planteando el sistema en forma directa tenemos:


x + y + z = 20,000

8
10
 6
x+
y+
z = 1624 entonces

100
100
100

10
 6 

z = 2
x

100
 100 


 x + y + z = 20,000

6 x + 8 y + 10 z = 162400

12
6
z=
x= x

10
5

Reemplazando " z " en la segunda ecuación:
 12 
6 x + 8 y + 10 x  = 162400
 10 
162400 − 18 x
y=
8
Reemplazando " z " y " y "
353
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
162400 − 18 x 6
+ x = 20000
8
5
40 x + 812000 − 90 x + 48 x = 800000
2 x = 12000
x+
x = $6000 al 6%
Entonces
162400 − 18(6000)
8
y = $6800 al 8%
y=
y
6
6000
5
z = $7200 al 10%
z=
Ejercicio resuelto 4
Una compañía paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de
ensamblado. Trabajadores semicalificados en ese mismo departamento ganan $9
por hora. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un
incremento en los pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70
trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará un total de
$760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, debe
emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores
calificados. Entonces EL NÚMERO DE TRABAJADORES CALIFICADOS que
contratará la compañía es:
a)10
b)20
c)30
d)40
e)50
SOLUCIÓN:
Tabulando la información:
Trab
Pago × h
Calif .
Semicf
Envío
Total
15
9
10
760
x
y
z
70
Y considerando la condición:
2x
↓
Califica
=
y
↓
Semicalifica
Resulta el sistema:
15 x + 9 y + 10 z = 760

 x + y + z = 70

y = 2x

Reemplazando " y " en la segunda ecuación:
x + 2 x + z = 70
3 x + z = 70
z = 70 − 3 x
y
z
Reemplazando " " y " " en la primera ecuación:
15 x + 9(2 x ) + 10(70 − 3 x ) = 760
15 x + 18 x + 700 − 30 x = 760
3 x = 760 − 700
x = 20 trab. calf .
RESPUESTA: Opción "b"
354
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejercicios Propuesto 14.4
1. Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M 1 , M 2 , M 3 en la elaboración de 2 productos P 1 y P 2 . El
número de unidades de M 1 , M 2 y M 3 usados por cada unidad de P 1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada
unidad de P 2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de P 1 y 30 unidades de P 2 a
la semana, y los costos por unidad de M 1 ,M 2 y M 3 son $1, $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad
gastada en materia prima a la semana en la producción de P 1 y P 2 , es:
a) $730
b) $420
c) $550
d) $880
e) 990
2. Una industria fabrica 3 clases de artículos: x 1 , x 2 , x 3 , en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir
igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados
por la matriz:
x1
x2
x3
Fábrica A 0,50 0,10 0,20


Fábrica B 0,40 0,20 0,40
Fábrica C 0,60 0,30 0,30 
Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica
C, entonces el número de unidades del artículo x 2 que se producen en cada fábrica es igual a:
a) 25
b) 50
c) 100
d) 125
e) 150
3. Una empresa produce 3 productos A, B y C, los que procesa en 3 máquinas. El tiempo en horas requeridas
para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por:
A
B
C
MAQ I  3

MAQ II  1
MAQ III  2
1
2
1
2

4
1 
Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas.
¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible
de las máquinas?
4. Una compañía produce tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de
madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla:
Silla
Madera  1 unidad

Plástico  1 unidad
Aluminio  2 unidad
Mecedora
Sillones
1 unidad
1 unidad
1 unidades 

2 unidades 
5 unidades 
3 unidades
La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de
aluminio. Entonces el NÚMERO DE MECEDORAS que debe fabricar la compañía con objeto de emplear todo el
material existente, es:
a) 100
b) 120
c)150
d)200
e)250
5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos, A, B y C . Los costos
por hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si
el número de horas-hombre para el proyecto C es igual a la suma de las
horas-hombre requeridas
por los proyectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para:
a) El proyecto C es 2500
d) El proyecto B es 1500
b) Los proyectos A y B es 2500
c) Los proyectos B y C es 4500
e) Los proyectos A y C es 3500
Misceláneos
1.
Con respecto al sistema
x + y = 3

2 x − y = 4 .
 x + ay = 5

Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela.
a) Si a = 2 entonces el sistema tiene solución única.
b) Si a ∈ R , el sistema tiene infinitas soluciones.
c)
Si
d)
Si
a ∈ R , el sistema es inconsistente.
a ≠ 4 es inconsistente.
355
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
e)
2.
3.
Si
a=5
entonces el sistema tiene solución única.
Una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies
de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1
unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un
promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio
semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del C. Cada semana se vierte al lago
25000 unidades del alimento A, 20000 del alimento B y 55000 del C. Suponga que los peces se comen
todo el alimento. Si hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían:
a) 10000 peces de la especie1 y 1000 de la especie 2.
b) 1000 peces de la especie1 y 10000 de la especie 2.
c) 6000 peces de la especie1 y 5000 de la especie 2.
d) 8000 peces de la especie1 y 6000 de la especie 2.
e) 6000 peces de la especie1 y 8000 de la especie 2.
Con respecto al sistema
2 x + 3 y = −1

2 x + y = 5
x + y = 1

Es VERDAD que :
a) El sistema tiene infinitas soluciones.
b) El sistema es inconsistente.
c) El sistema tiene como única solución a
x = −3 y y = 4 .
d) El sistema tiene como única solución a x = 4 y y = −3 .
e) El sistema tiene como única solución a x = −4 y y = 3 .
4.
El valor de “
a)3
5.
6.
Sea el sistema
b)7
Sea el sistema
a)
b)
c)
d)
e)
8.
b)0
c)–4
d)–3
sea INCONSISTENTE, es:
e)–1
El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Una cierta clase de platos cuesta $25 el
juego y otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente sólo desea gastar $7400, ENTONCES EL NÚMERO
DE JUEGOS DE CADA CLASE DE PLATOS QUE DEBE ALQUILAR es:
a) 120 platos de $25 el juego y 80 platos de $45 el juego.
b) 100 platos de $25 el juego y 60 platos de $45 el juego.
c) 60 platos de $25 el juego y 100 platos de $45 el juego.
d) 90 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.
e) 80 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.
es:
a)1
7.
k ” para que el sistema
− 5z = 0
2 x − y

+ z = −8
 −x+ y
− x + y + (k − 2 )z = 25 − k

x − y + 2z = 5

2 x + 3 y − z = 4
3 x + 2 y + z = a

c)9
d)4
. Entonces el VALOR de “
a ” para que el sistema sea CONSISTENTE
e)0
 x + y + z + u = 10
2 x − y + 3 z − 4u = 9

,

3 x + 2 y − z − 5u = 3
 x − 3 y + 2 z − 4u = −3
entonces es VERDAD que:
El sistema es inconsistente.
El sistema tiene infinitas soluciones.
El sistema tiene solución trivial.
El sistema tiene solución única.
Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
Un turista que viaje al Mundial de Fútbol de Japón y Corea gastará $30 al día por hospedaje en la ciudad
de Tokio, $20 al día en la ciudad de Seúl y $20 al día en la ciudad de Kobe. En cuanto a alimentos, el
turista gastará $20 diarios en Tokio, $30 diarios en Seúl y $20 diarios en Kobe. Además por conceptos
varios el turista gastará $10 en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de
$340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Entonces el NÚMERO DE DÍAS que el
turista podrá estar en Tokio, Seúl y Kobe, respectivamente es:
a) 6, 4 y 4 días
b) 3, 2 y 2 días
c) 1 días en las tres ciudades
d) 8, 4 y 4 días
356
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
e)
9.
10, 4 y 4 días
Con respecto al sistema de ecuaciones
Es VERDAD que:
a) x + y = −5
 2x − y + z = 1

− 3 x + y − 2 z = −3
 − x + y − 5z = 6

b) El sistema es inconsistente.
c) El determinante de la matriz de coeficiente es 1.
d) El sistema tiene solución única
e) El sistema tiene infinitas soluciones
10. Con respecto al sistema lineal:
Es VERDAD que:
a) Tiene única solución
b) Una de sus soluciones es
c)
d)
e)
11.
3x − 2 y − 2 z + w = 0

 x + y + z − 2w = 0
x = 0 , y = 0 , w =1, z =1
Su conjunto solución tiene 1 variable libre.
Su conjunto solución tiene 2 variables libres.
El sistema es inconsistente
El valor de
a
para que el sistema
a) 3
b)
identifíquela:
a)
Si
Si
c)
Si
d)
Si
e)
Si
c)
2
12. Con respecto al sistema
b)
2 x + 3 y + z = 2

3 x + (a − 1) y + 6 z = 9
x − y + 2z = 3

x + y = 3

2 x − y = 4
 x + ky = 5

1
tenga infinitas soluciones es:
d)
0
e)
−2
Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
k = 2 entonces el sistema tiene única solución.
k ∈ IR el sistema tiene infinitas soluciones.
k ∈ IR el sistema es inconsistente.
k = 4 entonces el sistema tiene única solución.
k = 5 entonces el sistema es consistente.
13. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra
para pintarse y 1 hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para
2
cada uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100
horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el
NÚMERO DE AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas
las horas de mano de obra, es:
a) 60 automóviles del modelo A y 40 del modelo B.
b) 40 automóviles del modelo A y 60 del modelo B.
c) 45 automóviles del modelo A y 50 del modelo B.
d) 20 automóviles del modelo A y 80 del modelo B.
e) 80 automóviles del modelo A y 20 del modelo B.
14.
Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su
parte sea igual a las 23 de la parte que le corresponde a su primer socio y que la parte de su primer
socio sea igual a los
5
6
de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al
microempresario, a su primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente:
a) $1500, $3500, $3600
b) $2000, $4000, $2600
c) $2000, $3000, $3600
d) $3000, $3000, $2600
e) $1000, $4000, $3600
357
Moisés Villena Muñoz
Sistemas de Ecuaciones Lineales
15. Sea el sistema:
6 x − 19

= −y
z − 4 + 5

x − 20

= 2y − z
10 −
8

4 z + 3 y = 3 x − y


Entonces es VERDAD que:
a) El sistema es homogéneo y tiene solución trivial.
b) El sistema es inconsistente.
c) La única solución del sistema es x = 4; y = 5;
d)
e)
z = −2 .
No es un sistema lineal
El sistema tiene infinitas soluciones.
358
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
15
15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
15.2 CIRCUNFERENCIA
15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Un lugar geométrico de interesante estudio que puede proporcionar
planteamientos diferentes a los que hasta aquí se han presentado, es la
circunferencia.
359
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina circunferencia.
• Represente en el plano cartesiano el gráfico de una ecuación de circunferencia dada.
• Aplique la definición de circunferencia para resolver problemas de aplicación
15.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P1 ( x1 , y1 )
y
d=
P2 ( x 2 , y 2 ) ,
está
dada
por:
( x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2
Si los puntos estuviesen en dirección de una misma vertical,
entonces:
d = y 2 − y1
O en dirección horizontal:
d = x 2 − x1
360
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
15.2 CIRCUNFERENCIA
La CIRCUNFERENCIA se define como el lugar
geométrico de todos aquellos puntos ( x, y ) tales
que su distancia a un punto O (h, k ) (centro) es
constante. Es decir:
{
C = ( x , y ) / ( x − h) + ( y − k ) = r 2
2
2
}
donde
r ≡ radio
r=
( x − h )2 + ( y − k )2
( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
{
O (0,0) , entonces tendríamos:
o más simplemente la ecuación: x 2 + y 2 = r 2
Si el centro fuese el
C = ( x, y) / x + y = r
2
2
2
}
ECUACIÓN
CANÓNICA DE LA
CIRCUNFERENCIA
origen
r = ( x − 0) 2 + ( y − 0) 2
Ejemplo
La ecuación x + y = 4 representa una circunferencia centrada en el origen y radio
de medida igual a 2 unidades.
2
2
Observe que la circunferencia no es una función, pero tomando
sólo la semicircunferencia superior o sólo la semicircunferencia inferior,
sí lo serían.
361
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
y = + 4 − x2
y = − 4 − x2
Ejercicio resuelto 1
Encuentre la ecuación canónica de la circunferencia con centro O (2,5) y radio
r =3
SOLUCIÓN:
2
2
Reemplazando h = 2 , k = 5 y r = 3 en ( x − h) + ( y − k ) = r 2 tenemos:
( x − 2) 2 + ( y − 5) 2 = 3 2
Ocurre algo interesante cuando desarrollamos los cuadrados y
simplificamos:
( x − 2) 2 + ( y − 5) 2 = 3 2
x 2 − 4 x + 4 + y 2 − 10 x + 25 = 9
x 2 − 4 x + y 2 − 10 y + 20 = 0
Al final se obtiene una ecuación de la forma:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
A la cual se la llama Ecuación General de la circunferencia,
siempre y cuando A = B y C 2 + D 2 − 4 AE > 0 (¿POR QUÉ?)
Para elaborar la gráfica de una circunferencia se necesita tener
definido su centro y su radio, por tanto su ecuación canónica sería muy
útil. Entonces si disponemos de la ecuación general es necesario
transformarla a la ecuación canónica.
362
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
Ejemplo 2
Trazar la gráfica de 2 x + 2 y − 5 x + 4 y − 1 = 0
2
2
SOLUCIÓN:
Primero transformamos la ecuación general dada en su ecuación canónica.
(2 x
2
)+ (2 y

 + 2( y
− 5x
2
+ 4y
)
)=1
←
agrupamos para "x" y para "y"
5

2
2 x 2 − x
+2y
= 1 ← Factor común " 2"
2


El tercer término que hace falta para completar el
trinomio cuadrado perfecto se lo obtiene dividiendo
25 
25
 2 5
2
2 x − x +  + 2 y + 2 y + 1 = 1 +
+ 2 ← para 2 a los coeficientes de los términos lineales
2
16
8


y se los eleva al cuadrado.
(
)
2
5
49

2 x −  + 2( y + 1)2 =
4
8

2
5
49

2
 x −  + ( y + 1) =
4
16

7

5
Por tanto es una circunferencia con centro O ,−1 y radio r =
4

4
No siempre el lugar geométrico de la ecuación de una cónica es
una circunferencia. Suponga que se hubiese obtenido la ecuación
2
5
49
49
, por tanto esta ecuación
canónica  x −  + ( y + 1)2 = − . Entonces r = −

4
16
16
no representa lugar geométrico alguno.
CONCLUSIONES:
En la ecuación canónica ( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2 :
1. Si r 2 > 0 , representa una circunferencia con
centro
O = (h, k )
y radio
r
.
2. Si r 2 < 0 , no representa lugar geométrico
alguno.
363
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
3. Si
r = 0,
representa
al
punto
centro
O = (h, k ) .
Ejercicios propuestos 15.1
1.
Encuentre la ecuación general de las circunferencias, con:
a) Centro (-2,5) y radio 2
b) Centro (-3,0) y radio 4
c) Centro (0,-2) y radio 3
2.
Investigue si la gráfica de 2 x 2 + 2 y 2 − 5 x + 4 y − 1 = 0 es una circunferencia. Si es así, encuentre su
centro y su radio.
3.
Encuentre la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro (1,-3) y pasa por el punto (2,-1).
4.
El centro "O" y radio "r" de la circunferencia que tiene por ecuación 3 x 2 + 3 y 2 + 2 x − 4 y − 1 = 0 , son
respectivamente:
a) O  1 ,− 2  ∧ r =
3
8
3
3
1 2
8
d) O − ,  ∧ r =
3
 3 3
c) O 1 ,− 2  ∧ r = 8
3
3
b) O 1 , 2  ∧ r = 8
3
3 3
9
e) O − 1 , 2  ∧ r = 8

3 3
9
15.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
En algunos problemas de aplicación las variables están
relacionadas con ecuaciones de circunferencias. La diferencia es que
casi siempre los lugares geométricos son considerados sólo en el primer
cuadrante.
Problema resuelto 1
La industria de patines LUX y ANKA, fabrica dos modelos: el veloz modelo LUX de
patines con ruedas en línea ( x ) y el clásico modelo ANKA de patines con ruedas
en pares ( y ) , donde las letras x , y representan las cantidades en decenas de
miles de patines del respectivo modelo que se producen por año, y que están
relacionadas entre sí por la ecuación de la circunferencia:
x 2 + y 2 + 12 x + 10 y = 39 . Entonces el máximo número de patines del modelo
clásico ANKA, denotado por y (en decenas de miles), que se pueden producir
anualmente es igual a:
a) 5
b) 4
c) 10
d) 3
e) 6
SOLUCIÓN:
La ecuación que representa la relación entre las dos clases de patines, es la de una
circunferencia, que en su forma canónica sería:
364
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
x 2 + y 2 + 12 x + 10 y = 39
(x
(x
2
2
)+ (y
+ 12 x + 36 ) + ( y
+ 12 x
2
2
) = 39
+ 10 y + 25) = 39 + 36 + 25
+ 10 y
( x + 6)2 + ( y + 5)2 = 100
Una circunferencia con centro O (−6,−5) y radio r = 10
Note que como es un problema de
aplicación
x>0
. Entonces en el
y>0
primer cuadrante se cumple que
x max → y = 0
y max → x = 0
Por tanto, como queremos y max hacemos x = 0 en ( x + 6 ) + ( y + 5) = 100 .
2
Es decir:
2
(0 + 6)2 + ( y max + 5)2 = 100
( y max + 5)2 = 100 − 36
( y max + 5)2 = 64
y max + 5 = 8
y max = 3 patines ANKA
RESPUESTA: Opción "d"
Problema resuelto 2
Un fabricante de zapatos puede vender "x" unidades de su producto a "p" dólares
por unidad. Con "x" y "p" relacionados entre sí por la ecuación:
x 2 + p 2 + 20 p − 3500 = 0
Entonces el PRECIO MÁS ALTO por encima del cual no hay posibilidad de
venta es:
a)$10
b) $20
c) $30
d) $40
e) $50
SOLUCIÓN:
De manera semejante al problema anterior , primero transformamos la ecuación a su forma
canónica para de allí determinar su p max , que sería cuando x = 0
x 2 + p 2 + 20 p − 3500 = 0
(
)
x 2 + p 2 + 20 p + 100 = 3500 + 100
x + ( p + 10 ) = 3600
2
Entonces:
2
Circunferencia de centro O (0,−10) y
radio r = 60
365
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
0 2 + ( p max + 10 )2 = 3600
( p max + 10)2
= 3600
p max + 10 = 60
p max = 60 − 10
p max = $50
Segundo método: Directamente, en la ecuación general dada se puede reemplazar
x = 0 para obtener el p max , es decir:
p max 2 + 20 p max − 3500 = 0
( p + 70)( p − 50) = 0
p max = $50
RESPUESTA: Opción "e".
Ejercicios propuestos 15.2
1.
Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el
proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la
ecuación: x 2 + y 2 + 40 x + 30 y = 975 . Dibuje la curva de transformación de productos de esta
empresa. ¿Cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que pueden producirse?
2.
El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la
fermentación. Las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kilogramos) y y de sidra (en
litros) están relacionadas por la ecuación: x 2 + y 2 + 8 x + 250 y = 6859 . Dibuje la gráfica de esta
relación y determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse.
3.
(CALCULADORA) Las industrias de bicicletas Coronado fabrican dos tipos de bicicletas denominadas
Coronado y Estrella del Este. Las cantidades posibles x y y (en miles) que puede producir al año están
relacionadas por: x 2 + y 2 + 6 x + 10 y = 47 . Bosqueje la curva de esta empresa. ¿Cuáles son los
números máximos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse?
Misceláneos
1.
2.
La ecuación 4 x 2 + 4 y 2 − 12 x + 8 y − 23 = 0 , representa:
a) Una circunferencia de radio 6.
b) Una circunferencia de longitud 18π . (SUGERENCIA: l = 2πR )
c)
Una circunferencia que encierra una región de área 9π . (SUGERENCIA: A = πR )
d)
Una circunferencia de centro − 3 ,1 .
e)
La ecuación dada no representa una circunferencia.
(
2
)
Sea la ecuación 3 x 2 + 3 y 2 − 2 x − 4 y − 5 = 0 . Entonces es VERDAD que:
a)
 1 2
Representa una circunferencia de centro  − ,−  y radio
 3 3
b)
Representa una circunferencia de centro (1,2) y radio
c)
1 2
Representa una circunferencia de centro  ,  y radio
3 3
20 .
d)
1 2
Representa una circunferencia de centro  ,  y radio
3 3
La ecuación no representa lugar geométrico alguno.
20
.
3
e)
3.
2
20
.
3
20 .
Sea la circunferencia cuya ecuación es 16 x 2 + 16 y 2 − 48 x + 32 y − 92 = 0 . Entonces es VERDAD que:
366
Moisés Villena Muñoz
Circunferencia
4.
a)
b)
El radio de la circunferencia es 6.
El área del círculo limitado por la circunferencia es 6π .
c)
La longitud de la circunferencia es 6π .
d)
El centro de la circunferencia es − 3 ,1
e)
Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
(
2
)
Una empresa produce 2 artículos A y B . Las cantidades de producción de los artículos A y B , en
miles, son m y n respectivamente; y están relacionadas por la ecuación: m 2 + n 2 + 4m + 6n = 32 .
Entonces la cantidad de producción máxima de A sobre el cual no se registra producción de B , en
miles , es:
b) 6
c) 7
d) 4
e) 2
a) 5
5.
El VALOR
2
de "
D"
para que el radio de la circunferencia que tiene por ecuación
2
x + y + 3x − 2 y + D = 0
4
a)
3
6.
4
b) −
3
sea igual a 2 es:
c)4
d) −
3
4
e)0
La ECUACIÓN GENERAL de la circunferencia que tiene como centro al punto (4,3) y que contiene al
punto (6,1) , es:
7.
a)
2 x 2 + 2 y 2 − 8 x − 6 y + 17 = 0
b)
x 2 + y 2 − 8 x + 6 y + 12 = 0
c)
x 2 + y 2 + 8 x + 6 y − 17 = 0
d)
x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 17 = 0
e)
x 2 + y 2 + 8 x + 6 y + 17 = 0
Con respecto a la ecuación x 2 + y 2 + 4 x + 6 y − 23 = 0 , es VERDAD que:
a)
b)
c)
d)
e)
Representa una circunferencia con centro (2,3)
Representa una circunferencia con centro (−2,−3)
Representa una circunferencia de radio 36
Representa una circunferencia de longitud 72π
La ecuación dada no representa lugar geométrico.
367
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
ANGULO
FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
FUNCIÓN TANGENTE
VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.
Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para
simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.
368
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
 Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
 Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son
identidades o no.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
16.1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2
semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:
Se lo puede denotar de
la siguiente manera
También se suele emplear
letras del alfabeto griego
16.1.1 PATRÓN DE MEDIDA
La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas
del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en
sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
 GRADOS (patrón referencial); y/o
 RADIANES (patrón de números reales)
369
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
180  = π
R adianes
A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia
tenemos:
GRADOS
RADIANES

π

π

60
π
90
π
150
5π
6
180
π
7π
6
3π
2
5π
30
6
45
4
3
2

210
270
300
3

330
11π
6
360
2π
135 
Completar
120
225
315
16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es f ( x ) = sen x , y
para la función coseno f ( x ) = cos x , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Note que aquí
la variable
independiente “ x ” representa a un
ángulo
En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO y la ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿P OR QUÉ?
370
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos
(posición) estratégicos tenemos:
x
sen x
0 = sen 0
π 
1 = sen 
2
0 = sen π
 3π 
− 1 = sen 
 2 
0 = sen 2π
0
π
2
π
3π
2
2π
x
cos x
1 = cos 0
π 
0 = cos 
2
− 1 = cos π
 3π 
0 = cos 
 2 
1 = cos 2π
0
π
2
π
3π
2
2π
CONCLUSIONES:

Dom (sen x ) = Dom (cos x ) = IR
 Las gráficas son
ONDAS SENOIDALES.
 Sus gráficas presentan
SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto sen(− x) = − sen x
El coseno es una función par. Por tanto cos(− x ) = cos x
 Son
FUNCIONES PERIÓDICAS,
con período T = 2π .
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si f ( x ± T ) = f ( x )
Por tanto sen( x ± T ) = sen( x ) y cos( x ± T ) = cos( x )
 Son FUNCIONES ACOTADAS.
371
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si ∀x[n ≤ f ( x ) ≤ m ]
[
]
Note que rg = (sen x ) = rg cos x = − 1,1 , es decir:
−1 ≤ sen x ≤ 1 ∧ −1 ≤ cos x ≤ 1
OPCIONAL
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales
serían las características de las gráficas de:

y = 2 sen x .
Generalice

y = A sen x
y = sen( x − π6 ) .
Generalice para

donde
A ≡ amplitud
y = sen( x ± Φ )
donde
Φ ≡ desfase
y = sen(2 x ) .
Generalice para
y = sen ω x
donde
ω ≡ frecuenci a angular
Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden
ser generalizadas de la siguiente forma:
y = A sen(ω ( x ± Φ )) donde
ω=
2π
2π entonces
T=
ω
T
y = A cos(ω ( x ± Φ ))
Ejercicios Propuestos 16.1
GRAFIQUE:
1. y = 2 sen(2 x − π3 ) + 1
2.
3.
y = sen x
4.
y = 2 sen 2 x − π + 1
5.
y = cos x − π − 1
3
y = sen(− x)
3
16.3 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como y =
sen x
= tg x
cos x
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en cos x = 0 . Es decir
en
x = ±(2n − 1)
π
2
; n = 0,1,2,...
372
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
CONCLUSIONES:


 Dom (tg x ) = IR − ± ( 2n − 1)
π
2

; n = 0,1,2,...

 rg (tg x ) = IR . Por tanto, no es una función acotada
 Es una función periódica, con período T = π . Entonces
 Es una función impar. Por tanto tg( − x ) = − tg x
ω=
π
T
 En general, la regla de correspondencia sería y = A tg(ω ( x ± Φ ))
OPCIONAL:
GRAFICAR:
1.
2.
Ejercicio Propuesto 16.2
y = tg 2 x
y = tg x
2
3.
y = tg( − x + π )
4.
y = 2 tg(2 x − π )
5.
y = tg x
6.
y = tg x
3
3
2
373
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
16.4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
ÁNGULOS CONOCIDOS.
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas
para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos
preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una
calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para
los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los
ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.
π
6
π
4
π
3
π
x
0
= 30 
= 45 
= 60 
= 90 
2
π = 180 
3π
= 270 
2
2π = 360 
2
2
3
2
1
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
tg x
0
3
3
1
0
−1
−1
0
0
∞
0
1
0
sen x
0
1
2
3
∞
La trigonometría está íntimamente ligada a la geométrica. Para
obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°
empleamos un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras sería de mucha ayuda.
16.4.1 Teorema de Pitágoras
374
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
En todo triángulo rectángulo (triángulo que
tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual a la suma del
cuadrado de las longitudes sus catetos.
Es decir: c 2 = a 2 + b 2
16.4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo
rectángulo
Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
Lado opuesto
Hipotenusa
Lado adyacente
cos x =
Hipotenusa
Lado opuesto
tg x =
Lado adyacente
sen x =



a
c
b
cos x =
c
a
tg x =
b
sen x =
También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:
1
c
COSECANTE : csc x =
=
sen x a
SECANTE :
sec x =
1
c
=
cos x b
375
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
COTANGENTE:
cot x =
1
b
=
tg x a
16.4.3 Funciones trigonométricas para los ángulos 45  ,
30  y 60  .
Para 45  empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.
Digamos a = b = 1 , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos
que c = 12 + 12 = 2
376
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
2
1
ó sen 45  =
2
2
2
1
ó cos 45  =
cos 45  =
2
2
sen 45°
tg 45  =
=1
cos 45°
sen 45  =
Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual
medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos l = 2
sen 30  =
cos 30  =
⇒
tg 30  =
3
2
1
cos 60  =
2
1
2
sen 60  =
3
2
1
3
=
3
3
tg 60  = 3
Ejercicio resuelto
La operación sen 2 60  + 2
resultado:
a) 9
4
SOLUCIÓN:
b) − 9
4
tg 30 
csc 60

(
− 4 tg 45  − sen 30  + sen 45  cos 45 
c) 1
d) 0
)
da como
e) -1
Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:
 3 
2
 

 3



 + 2 3  − 41 − 1 +  2  2
 2 
 2   2  2  2





 
 3 
 
 1 
3 1   3/  
3
3 − 12
9
−4 = −3=
=−
= + 2/ 
 6/  
4
4
4
4
  2/  
1





 3

 
  = + 2 3 ⋅ 3  − 41 − 1 +
 4
 3
2   2



1
2/ 
=
4/ 
2
RESPUESTA: Opción "b"
377
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Para ÁNGULOS
lo siguiente:
90°
MAYORES A
Y MENORES A
360°, podemos considerar
1. Regla del cuadrante:
Cuadrante
x
0 < x < π2
I
II
III
IV
π
2
f ( x) = f ( x)
< x <π
π < x<32
3 π2 < x < 2π
π
Donde
f = sen, cos, tg
f ( x ) = ± f (π − x )
= csc, sec, c tg
f ( x) = ± f ( x − π )
f ( x ) = ± f (2π − x )
El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:
2. Regla de los signos
Cuadrante
x
I
0 < x < π2
II
III
IV
π
2
< x <π
π < x < 3 π2
3 π2 < x < 2π
sen x , csc x
+
+
-
cos x , sec x
+
-
tg x , c tg x
+
-
+
+
-
-
Entonces las funciones trigonométricas
respectivos cuadrantes son:
POSITIVAS
-
en los
378
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Ejemplo 1
Para calcular sen 135  , debemos considerar que:
1. En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. sen 135  = sen(180° − 135°) = sen 45  =
2
2
Ejemplo 2
Para calcular cos 210  , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2.
cos 210  = − cos(210° − 180°) = − cos(30  ) = −
3
2
Ejemplo 3
Para calcular tg 300° , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.
2.
tg 300  = − tg(360° − 300°) = − tg(60  ) = − 3
Ejercicios Propuestos 16.3
Calcular:
1. cos 120°
2. tg150°
3. sen 225°
4. tg 240°
5. cos 315°
379
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la
función periódica, es decir: f ( x ) = f ( x − n2π ) . Donde " n " es un número
natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y
luego aplicar las reglas anteriores.
Ejemplo 1
Para calcular sen 405° , debemos considerar que:
(
)
sen 405  = sen 405  − 360  = sen 45  ⇒ sen 405  = sen 45 
sen 405  =
2
2
Ejemplo 2
Para calcular tg 1125° , debemos considerar que:
tg 1125  = tg(1125° − 3(360°)) = tg 45  ⇒ tg 1125  = 1
Ejemplo 3
Para calcular cos 480° , debemos considerar que:
1. cos(480° − 360°) = cos 120° .
2.
cos 120° = − cos(180° − 120°) = − cos 60° = − 12
Ejercicios propuestos 16.4
Calcular:
1.
2.
3.
Si el
métodos:
cos 1080°
tg 495°
sen 1050°
ÁNGULO ES NEGATIVO
se puede emplear uno de los siguientes
1. El criterio de simetría, es decir sen(− x ) = − sen( x ) ,
cos(− x ) = cos x y tg(− x) = − tg x . Y el resto de manera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, f (− x ) = f (− x + n2π )
Ejemplo
Para calcular sen(−30) , podemos considerar que:
 sen(−30°) = − sen 30° = − 12 ;
o considerar que,
 sen(−30°) = sen(−30° + 360°) = sen 330° = − 12
380
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier
valor de x .
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a
la función coseno, tenemos que:
sen 2 x + cos 2 x = 1 ¿POR QUÉ?
De aquí, al despejar tenemos que:
sen 2 x = 1 − cos 2 x
cos 2 x = 1 − sen 2 x
Además se puede demostrar que:
sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y
cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
cos( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y
De aquí se deriva que:
tg( x + y ) =
sen( x + y ) tg x + tg y
=
cos( x + y ) 1 − tg x tg y
tg( x − y ) =
tg x − tg y
1 + tg x tg y
Si hacemos y = x
sen 2 x = 2 sen x cos x
cos 2 x − sen 2 x

cos 2 x = 2 cos 2 x − 1
1 − 2 sen 2 x

381
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Si hacemos
x=
x
2
en cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 y en cos 2 x = 1 − 2 sen 2 x ; y luego
despejamos, entonces resulta que:
x
1 + cos x
=±
2
2
x
1 − cos x
sen = ±
2
2
cos
Ejercicio resuelto 1
Calcular sen(75  )
SOLUCIÓN :
Una opción sería emplear la identidad sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
sen(75 ) = sen(45 + 30 ) = sen 45 cos 30 + cos 45 sen 30
=
2 3
2 2
=
2
(
+
)
2 1
2 2
3 +1
4
Ejercicio resuelto 2
a) sen x
1 + sen x − cos 2 x
se obtiene:
cos x(1 + sen x )
b) cos x
c) tg x
d) 1
SOLUCIÓN
:
Al simplificar la expresión:
e) 0
Reemplazando la identidad 1 = sen x + cos x en la expresión dada, tenemos:
2
2
1 + sen x − cos 2 x sen 2 x + cos 2 x + sen x − cos 2 x
=
cos x (1 + sen x )
cos x (1 + sen x )
sen x (sen x + 1)
=
cos x (1 + sen x )
sen x
=
cos x
= tg x
R ESPUESTA: opción "c"
382
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
Ejercicio resuelto 3
¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que:
cos A
cos A
2
+
=
1 + sen A 1 − sen A x
se convierta en una identidad?
a) csc A
c) sen A
e) cos A
b) sen A cos A
d) tg A
SOLUCIÓN:
Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:
cos A
cos A
2
+
=
1 + sen A 1 − sen A x
cos A(1 − sen A) + cos A(1 + sen A) 2
=
x
(1 + sen A)(1 − sen A)
cos A − cos A sen A + cos A + sen A cos A 2
=
x
(1 + sen A)(1 − sen A)
2/ cos A
2/
=
(1 + sen A)(1 − sen A) x
x=
1 − sen 2 A
cos A
cos 2 A
cos A
x = cos A
x=
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 16.5
1.
La expresión
tg x + c tg x
, es idéntica a:
c tg x − tg x
a) csc 2 x
2.
b) sec 2 x
Una expresión idéntica a
sen 2 x sen x + cos 2 x − 1
La expresión
a)
4.
1 − cos 2 x
1
sec x
2
b) 3 tg x
c) 2 csc x
2(cos x − sen x )
La expresión:
a) 2 tg α
d) 1
es:
sen x
1 + cos x
es equivalente a:
+
1 + cos x
sen x
d)
d) 2(sen x + cos x )
 1 − c tg α 
2 cos α sen α + 

 csc α 
b) -1
e) tg α
cos x
π

8 cos x +  ?
4

c) 2(1 + sen x )
b) 2(sen x − cos x )
5.
e) tg 2 x
e) sen 2 x − cos x
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a
a)
d) cos 2 x
c) 1− cos 2 x
d) 2 cos x − 1
a) sen x + cos x
b) 2 sen x
3.
c) sen 2 x
e) 4 c tg x
e) 2(1 − cos x )
2
es idéntica a:
c) 2 c tg α
383
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
6.
Una expresión idéntica a
sen 2 x cos x + sen 2 x − 1
a) sen x + cos x
d) sen 2 x − cos x
7.
es:
1 − sen 2 x
b) 1− sen 2 x
e) 2 sen x − 1
¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
x
a) cos2 x − sen 2 x = cos 
2
x
c) 1 + cos x = 2 cos 2  
2
c) 2 sen x
b) tg 2 x = 1 − sec2 x
d) 2 sen 2 x = sen x cos x
π

e) sen x = cos x + 
2

Misceláneos
1.
2.
Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a)
cos 5π = 1
b)
tg 7 π = 3
6
3
c)
cos 0 = cos 8π
d)
sen π = cos π
e)
∀x[cos x(tg x + cot g x ) = cos x ]
3
2
3
6
La expresión
a) sen x
3.
4.
Sean “
c) sec x
a)
Sen(x + y ) = SenxCosy − CosySenx
b)
Sen2 x =
c)
Cos 2 x = 1 + Sen 2 x
d)
Sen
e)
Cos 2 x = Cos 2 x − Sen 2 x
d) cot x
e) tg x
SenxCosy
2
1 + cos 2 x
x
=
2
x
El valor de
∆
La expresión
a) sen x
6.
es IDÉNTICA a:
x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) cos x
5.
1 + sen 2 x + cos 2 x
1 + sen 2 x − cos 2 x
b) cos x
para que la expresión
∆ + tg x
= cos x sea una IDENTIDAD es:
1
1 − sen x
b) sec x
c) sen x
1 + sen 2 x + cos 2 x
es idéntica a:
1 + sen 2 x − cos 2 x
b) cos x
c) tg x
d) cos 2 x
d) cot gx
e)1
e) sec x
π
π 
π
π

 sen − cos  sen + cos 
6
4 
6
4

es:
El valor de la expresión:
−1
2
 
π

1 +  cot  
3 
 


384
Moisés Villena Muñoz
Funciones Trigonométricas
a) −
7.
1
3
b) −12
SIMPLIFICANDO
a) sen x + cos x
c) −3
3 cos x − 4 cos 3 x
, se obtiene:
sen 2 x − cos x
b) 1− 2 cos x
d) 2 − sen x
8.
La expresión
a) tg x
d) −
3
12
e)
3
12
c) 2 sen x + 1
e) cos x − sen x
 tg x + 1 


 sen x + cos x  cos x es idéntica a:


b) tg x +1
c) ctgx
d)ctgx - 1
e)1
d) sen 2 x
e) cos 2 x
d) sen x
e) − cos x
d) 2 3
e)
2
9.
 sec x + csc x 
 es IDÉNTICA a:
La expresión 
 1 + tg x 
a) cot 2 x
10. La expresión
a) − sen x
11.
El VALOR de
a) 6
b) sec 2 x
c) csc 2 x
[(1 − cos x )(csc x + cot x )]
b) csc x
sen 45. tg 60 . sec 30 
tg 45 . cot 60 
b)
2 3
3
es IDÉNTICA a:
c) − csc x
, es:
c)
7
3
1
3
385
17
17.1 ANGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
17.2 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS,
CORRESPONDIENTES.
17.3 FIGURA PLANA.
17.4 TRIÁNGULOS.
17.5 CUADRILATEROS.
17.6 FIGURAS CIRCULARES
La trigonometría con la Geometría Plana están íntimamente relacionadas. Se requiere
el uso de conceptos y procedimientos geométricos para resolver situaciones prácticas, de
allí su importancia de estudio.
385
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulos y figura plana.
• Resuelva triángulos.
• Encuentre el área de regiones planas.
• Resuelva problemas de aplicación.
En trigonometría ya se dieron ciertas definiciones y criterios que
van a ser útiles en este capítulo. Sin embargo otros criterios básicos
serían:
17.1 ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Suponga que dos rectas tienen un mismo punto (vértice) de
intersección
Los pares de ángulos " x "-" φ " y " y "-" β " se los denomina
"ángulos opuestos por el vértice". Observe que los ángulos opuestos
por el vértice son de igual medida
17.2
ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
EXTERNOS, CORESPONDIENTES.
ALTERNOS
Suponga ahora que se tiene dos rectas paralelas ( l1 // l 2 )y además
otra recta ( l 3 ) que las corta, entonces se forman pares de ángulos de
igual medida.
¡Determine qué ángulos
tienen igual medida!
Los pares de ángulos:
• φ y a , β y b se denominan Alternos Internos.
386
•
•
x y θ , y y λ se denominan Alternos Externos.
y y b , x y a , φ y θ , β y λ se denominan
Correspondientes.
17.3 FIGURA PLANA
Todo
subconjunto
no
vacío
del
plano
se
denomina FIGURA PLANA.
Supongamos que tenemos una figura plana cerrada
Entonces surgen las siguientes definiciones:
Poligonal. Definida por todos los puntos ( x, y )
pertenecen a la frontera de la figura plana.
del plano que
La poligonal divide al plano en dos regiones: la interior a la
poligonal y la exterior a la poligonal.
Polígono. Definido por todos los puntos ( x, y) del plano que
pertenecen tanto a lo poligonal como a la región interior de la poligonal.
Si los lados del polígono son de igual medida, se dice que es un
polígono regular; caso contrario se dice que es un polígono irregular.
Trataremos ciertos polígonos de interés.
387
17.4 TRIÁNGULO
El triángulo es considerado un polígono de tres lados.
17.4.1 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DE ACUERDO A
SUS LADOS
17.4.1.1 Equilátero
Todos sus lados y ángulos tienen igual medida.
Por tanto sus ángulos interiores miden 60°. ¿PORQUÉ?
17.4.1.2 Isósceles
Tienen sólo dos lados y sus respectivos ángulos adyacentes
de igual medida
17.4.1.3 Escaleno
Tienen sus lados y ángulos de diferentes medidas
El siguiente teorema es de gran utilidad.
388
17.4.2 TEOREMA
En todo triángulo la suma de las medidas de
sus ángulos interiores es igual a 180  ."
DEMUÉSTRELO (opcional)
17.4.3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
La resolución de un triángulo consiste en establecer las medidas
de todos sus lados y ángulos. Para lo cual existen procedimientos
diferentes dependiendo si el triángulo es rectángulo o si es un triángulo
cualquiera.
17.4.3.1 Triángulo rectángulo
Si tenemos un triángulo rectángulo
para determinar la medida de uno de sus lados conociendo
las medidas de los otros dos lados podemos hacer uso del
Teorema de Pitágoras, es decir que c 2 = a 2 + b 2 de donde:
c = a2 + b2
a = c2 − b2
b = c2 −a2
Si conocemos al menos la medida de dos de sus lados
podemos hacer uso de las funciones trigonométricas para
los ángulos agudos A y B :
a
c
b
cos A =
c
a
tg A =
b
sen A =
b
c
a
cos B =
c
b
tg B =
a
sen B =
389
Puede ocurrir también que si conocemos las medidas de los
ángulos y la medida de un lado entonces podemos emplear las
funciones trigonométricas anteriores para determinar las medidas de
los otros lados.
Para problemas de aplicaciones, las siguientes definiciones
resultan útiles.
torre
Suponga que desde el suelo observamos hacia la cúspide de una
Al ángulo " x " se lo llama "Angulo de elevación"
Si cambiamos la óptica, suponga ahora que hacemos la
observación desde la cúspide de la torre hacia un objetivo en el suelo.
Entonces al ángulo " y " se lo llama "Angulo de depresión"
Ejercicio resuelto 1
Desde un punto O, el ángulo de elevación a la cúspide de una torres es de 45°.
Alejándose 100m el ángulo de elevación es de 30°. Determinar la altura de la torre.
SOLUCIÓN:
Un esquema del planteamiento del problema sería:
390
La altura " x " de la torre se la determina empleando funciones trigonométricas para
los ángulos de los triángulos que se forman:
tg 30  =
Para el triángulo:
x
100 + y
x
3
=
3
100 + y
Por otro lado:
tg 45 =
1=
x
y
x
⇒x= y
y
Por lo tanto:
3
x
=
3 100 + x
3 (100 + x ) = 3 x
100 3 + 3 x = 3 x
3 x − 3 x = 100 3
x=
100 3
3− 3
Ejercicio resuelto 2
Una chimenea tiene 30m. de altura más que otra. Un observador que está a 100m.
De distancia de la más baja observa que sus cúspides están en una recta inclinada
respecto al horizonte un ángulo de 30º ; hállese las alturas de las chimeneas.
SOLUCIÓN:
Un esquema del planteamiento del problema es:
Aplicando funciones trigonométricas a los ángulos del triángulo rectángulo que se forma,
tenemos:
tg 30  =
x
100
x = 100 tg 30 
h= x=
100 3
m
3
H = x + 30
100 3
+ 30
3
100 3 + 90
H=
m
3
H=
391
17.4.3.2 Triángulo en general
Si tenemos un triángulo cualquiera
Dependiendo de la información que dispongamos
podemos hacer uso de las siguientes leyes:
Ley del Seno
sen A sen B sen C
=
=
a
b
c
Ley del Coseno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
a 2 = c 2 + b 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ac cos B
Ejercicio resuelto 1
C = 60  , b = 4 . Encuentre las
Sea un triángulo ABC tal que
A = 105 ,
medidas de los lados c y a y la del ángulo B
SOLUCIÓN:
Esquematizando la información, tenemos:

La medida del ángulo B sería:
∠B = 180° − ∠C − ∠A
∠B = 180° − 60° − 105°
∠B = 15°
Obtengamos sen 15° y sen 105° :
sen 15 = sen(45 − 30 )
= sen 45 cos 30 − cos 45 sen 30
 2  3   2  1 
 
−

= 

 

 2  2   2  2 
sen 15 =
2
4
(
)
3 −1
sen 105  = sen(60  + 45  )
= sen 60  cos 45  + cos 60  sen 45 
 3  2   1  2 

 +  

= 




 2  2   2  2 
(
)
 2
 3 +1
= 

 4 
392
Aplicando la ley de los senos determinamos las medidas de los lados "c" y "a":
c
b
=
sen C sen B
4
c
=
sen 60  sen 15 
4 sen 60 
c=
sen 15 
 3

4

 2 
c=
2
3 −1
4
(
a
b
=
sen A sen B
b sen A
a=
sen B
4 sen 105 
sen 15
 2
 3 +1
4

 4 
a=
 2


 4  3 −1


a=
)
a=
(
)
(
)
( )
( 3 − 1)
4 3 +1
Piense cuál sería el procedimiento para resolver el problema, aplicando la ley de los cosenos.
Ejercicio resuelto 2
Sea un triángulo ABC tal que a = 5, b = 5 3 , c = 5 . Encontrar las medidas de los
ángulos internos.
SOLUCIÓN:
Esquemáticamente tenemos:
Aplicando la ley del coseno:
cos A =
cos A =
c 2 + b2 − a 2
2bc
(5/ )2 + (5
)
3 − (5/ )2
2(5) 5 3
2
( )
( )
( )
2
cos A =
cos A =
5 3
2(5) 5 3
3
⇒ A = 30
2
La medida de uno de los otros dos ángulos, se la puede determinar aplicando también la ley del
coseno o aplicando la ley de los senos.
sen A
sen C =
c
a
sen 30°
sen C sen A
5
=
=
Aplicando la ley de los senos:
tenemos:
5
c
a
1
sen C = ⇒ C = 30°
2
Este último resultado también lo podemos obtener directamente. Observe que el
triángulo es isósceles, por tanto sus ángulos adyacentes son iguales.
La medida del tercer ángulo se lo obtiene por diferencia, es decir:
∠B = 180° − 30° − 30°
∠B = 120°
393
Ejercicio resuelto 3
Los
ángulos
internos
de
un triángulo
a = 2 m ; b = 2 m ; c = 3 − 1 m ; son:
(
)
cuyos
lados
miden:
a) A = 45 ; B = 75 ; C = 60 
b) A = 60  ; B = 45 ; C = 75
c) A = 15 ; B = 60  ; C = 105


d) A = 30  ; B = 135 ; C = 15
e) A = 150  ; B = 45 ; C = 30 
SOLUCIÓN:
Semejante al problema anterior, conocemos las medidas de todos los lados del triángulo.
cos B =
a 2 + c2 − b2
2ac
( 2 ) + ( 3 − 1) − 4
2( 2 )( 3 − 1)
2
cos B =
cos B =
2
2 + 3 − 2 3 +1− 4
( )( 3 − 1)
− 2( 3 − 1)
cos B =
⇒ cos B = −
2( 2 )( 3 − 1)
2 2
2
2
B = 135 
Aplicamos ahora la ley del seno para encontrar la medida del ángulo A, aunque también
la podemos encontrar con la ley del coseno
sen A sen B
=
a
b
a sen B
sen A =
b
2 sen 135
sen A =
2
2 2 2
=
sen A =
2 2
4
1
sen A = ⇒ A = 30°
2
La medida del ángulo C la encontramos por
diferencia de ángulos:
∠C = 180° − 135° − 30° = 15°
Finalmente, nos queda:
394
Ejercicios propuestos 17.1
1.
En el triángulo de la figura, el valor de la medida del ángulo
a) 30º
b) 75º
c) 45º
d) 90º
e) 60º
2.
φ
es:
a
3 +1
a
2
Los lados de un triángulo miden respectivamente: a = 3 + 1;
interiores del triángulo son:
a) 30º, 50º, 100º
b) 15º, 45º, 120º
c) 15º, 75º, 90º
d) 45º, 60º, 75º
e) 45º, 30º, 105º
b = 2; c = 6 . Entonces los ángulos
17.4.4 PERÍMETRO Y AREA DE UN TRIÁNGULO.
Sea un triángulo ABC . Cualquiera de los tres lados se definen
como bases del triángulo. Como altura (h) del triángulo se define a la
longitud de la perpendicular trazada desde un vértice hacia una de sus
bases o a la prolongación de estas bases:
Por lo tanto:
Perímetro = a + b + c
Area
=
Base × altura b × h1 c × h2 a × h3
=
=
=
2
2
2
2
Para triángulos particulares, tenemos:
Área =
b×h
2
395
Observe que en los triángulos anteriores se cumple que:
sen A =
Por tanto A =
h
⇒ h = c sen A
c
´b × h bc sen A
=
2
2
Conociendo la medida de uno de sus ángulos interiores y las
medidas de los lados que constituyen a este ángulo, el área sería:
Área =
bc sen A ab sen C ac sen B
=
=
2
2
2
Los triángulos son polígonos básicos, porque los demás polígonos
pueden ser divididos en triángulos, lo cual permite resolver otras
situaciones.
17.5 CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Entre los más
conocidos, tenemos:
Rectángulo
Área = b × h
Cuadrado
Área = l 2
Paralelogramo
Área = b × h
396
Trapecio
Área =
( B + b) × h
2
17.6 FIGURAS CIRCULARES
Círculo
Perímetro = l = 2πr
Área = πr 2
Sector circular
Área =
( )
1
θ r2
2
Donde: θ =
s
r
Corona Circular
[
A = π (r1 ) − (r2 )
2
2
]
397
Ejercicio resuelto 1
En la figura adjunta RS es la altura correspondiente al lado PQ, PT es la altura
correspondiente al lado RQ, si PQ = 8, RS = 9 y PT = 6 , entonces la longitud
QR es:
a) 16
3
b)
3
16
c) 12
d) 27
e)
4
4
27
SOLUCIÓN:
Ubicando la información en el diagrama dado, tenemos:
El área del triángulo PQR se la puede determinar, en este caso, de dos maneras:
1.
A=
2.
entonces su altura sería RS , por tanto el área es:
Tomando coma base a PQ
(8)(9)
2
Tomando coma base a RQ entonces su altura sería PT , por tanto el área es
A=
x (6)
2
Finalmente igualando las áreas A =
RESPUESTA: Opción "c"
6 x = 72
(8)(9) x (6)
=
entonces:
2
2
x = 12
Ejercicio resuelto 2
Hallar el área de la región sombreada de la figura:
Area sombreada =
A sector circular − A triángulo
1 2
θr
2
1
A∆ = r 2 sen θ
2
A∠ =
A = Asc − At
A=
1 2
r (θ − sen θ)
2
398
Ejercicio resuelto 3
En la figura adjunta, q es un triángulo isósceles de área igual a 6 ; t es un
triángulo equilátero de lado de medida igual a 2. Entonces la medida de la
hipotenusa del triángulo p es igual a:
a) 6
b) 3
c) 3( 3 − 1)
d) 3
e) 6 3
SOLUCIÓN:
Interpretando la información proporcionada, tenemos:
x2
=6
2
( x )( x )
2
= 6 entonces: x = 12
El área del triángulo "q" es: Aq =
2
x 2 = 12
x=2 3
" y " es la altura del triángulo equilatero "t", entonces y = 3
x+ y 2 3+ 3
=
l
l
3 3

sen 60 =
l
Y para el triángulo "p" tenemos:
3 3
l=
sen 60 
3 3
l=
⇒l =6
3
2
RESPUESTA: Opción "a"
sen 60  =
399
Ejercicio resuelto 4
El triángulo ABC es equilátero, OA = 12 cm. Determine el área de la parte
sombreada.
a) 245.32 cm 2
b) 265.32 cm 2
c) 345.32 cm 2
d) 365.32 cm 2
e) 325.32 cm 2
SOLUCIÓN:
Ubicando la información en la figura dada:
El área de la región sombreada es:
A = Acírculo − Atriángulo
Acírculo = πr 2
El área del círculo es: Acírculo = π (12) 2
Acírculo = 144π
Para hallar el área del triángulo, primero necesitamos hallar la longitud de su lado
l
2
cos 30  = 2
12 3 sen 60 
12
A triángulo =
2
l

12 cos 30 =
3
2
144(3)
2
l = 24 cos 30  entonces: A triángulo =
2
 3
A triángulo = 108 3

l = 24

2


(
)
l = 12 3
Por lo tanto:
A = 144π − 108 3
A = 265.32 cm 2
RESPUESTA: opción "b"
400
Ejercicios Propuestos 17.2
1.
Si un triángulo equilátero tiene igual perímetro que un cuadrado, entonces es VERDAD que:
a) El área del triángulo es igual que el área del cuadrado.
b) El lado del cuadrado es más grande que el lado del triángulo.
c) El área del cuadrado es mayor que el área del triángulo.
d) La diagonal del cuadrado tiene igual longitud que la altura del triángulo.
e) El lado del cuadrado es mayor que la altura del triángulo.
2.
Encuentre el perímetro y la diagonal de un cuadrado cuya área es la tercera parte del área de un cuadrado
de lado igual a 9 cm.
3.
Si se aumenta 2 m. al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 m 2 . El lado del cuadrado inicial es:
a) 4 m.
4.
b) 6 m.
c) 8 m.
d) 16 m.
e) 32 m.
La longitud de la circunferencia centrada en P0 es:
8π
9π
c) 10π
d) 18π
e) 11π
a)
b)
5.
6.
El valor del área sombreada de la figura adjunta es:
a) (25π − 24) cm 2
b)
(25π − 12) cm 2
c)
(12.5π − 24) cm 2
d)
(25π + 24) cm 2
e)
(2.5π − 24) cm 2
El porcentaje de fracción 2 × 9 está gráficamente representado por cualquiera de las siguientes figuras
3 8
sombreadas. Identifíquela.
a)
b)
c)
π
d)
4
e)
401
7.
8.
9.
Si el área del cuadrado ABCD es
rayada es:
a)
(π + 4) u 2
b)
4 u2
c)
(4 − π ) u 2
d)
(3π + 4) u 2
e)
(π − 4) u 2
16u 2
y se divide en
16
cuadrados iguales, el área de la parte
Encuentre el área de la región sombreada de la figura en términos del radio
Si los lados del cuadrado
r.
ABCD miden 4 cm. Entonces el área de la parte sombreada de la figura
es:
a)
16 cm 2
b)
8π cm 2
c)
16π cm 2
d)
2π cm 2
e)
4π cm 2
10. En el triángulo equilátero de la figura adjunta se construyen seis arcos de circunferencia ubicando sus
centros en los vértices A, B, C o en los puntos medios de los lados D, E , F . Entonces el área de
la región sombreada es:
a) a 2 2π − 3 3
(
)
b)

3 3 
a 2  π −
2 

c)
a 2 3π − 3 3
d)

3 2

a 2  π −
2 

e)
3

a2π − 
2

(
)
2a
402
11. El área del triángulo equilátero circunscrito en la figura que se muestra es
triángulo
a)
b)
c)
d)
e)
OAB
3 3
2
2 2
3
4 3
. Al calcular el área del
se obtiene:
9π
2
2
3
π
3
12. Si el diámetro de la circunferencia de la figura adjunta es
10 cm.
y la longitud de la cuerda
AB
es
5 3 , entonces el área de la región sombreada es:
a)
π 1 
25 − 
 3 2
b)
π
3 
25 −

3
4


c)
25π
3
d)
π
3 
100 −

3
4


e)
π 1 
100 − 
 3 2
13. En la figura adjunta
ABC
es un triángulo equilátero y su lado mide
10 cm. ; P, M y N
son los
puntos medios de cada lado; MN , PN y PM son arcos de circunferencia cuyos centros son los
vértices del triángulo. Entonces el área de la región sombreada es en centímetros cuadrados igual a:
a) 100 3 − 25π
b)
(
1
  50 3 − 25π
2
(
)
)
c)
2 50 3 − 25π
d)
1
  100 3 − 25π
2
e)
1
  50 3 + 25π
2
(
)
(
)
403
Misceláneos
1.
a)
b)
El perímetro de la región sombreada es:
(π + 2)
(r + 2)
(π
)
e)
+2
π(π + 2 )
2(π + 2 )
2.
En la siguiente figura:
c)
d)
2
AB = BC = CD = AD
r = 4cm
Entonces el área de la región sombreada es:
a) 32 cm2
b) 8 cm2
c)
5 cm2
d) 6 cm2
e) 16 cm2
3.
El perímetro de la región sombreada:
a) 3π cm
b)
c)
d)
e)
(3π + 1) cm
3 cm
(3π + 2) cm
4 cm
404