MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN. C SILVA VIVANCO KIYOSHI EMANUEL. 3.1 POLINOMIOS • SON LLAMADAS POLINOMIOS EN X. ASI EN PUES, UN POLINOMIO EN X ES UNA EXPRESION ALGEBRAICA DE LA FORMA: AXn + BXn + CXn-2 + … + px + q Los números a, b, c y q se llaman coeficientes del polinomio. Las expresiones algebraicas tales como: 3x + y, x2 + 3xy + y2, x2y + y3 + 5 Son conocidas como polinomios en X y Y. Cuando los coeficientes de un polinomio dado pertenecen a un conjunto de númerico particular, decimos que este polinomio es un polinomio SOBRE ese conjunto de números. Por ejemplo, 2x + 3 es un polinomio sobre el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto de los números racionales, y el conjunto de los números reales; 5x2 + /2x – 1 es un polinomio SOBRE el conjunto de los números racionales. EJERCICIOS TEMA 3.1 • 1. 15aby – 9b2y • 2. c2 – 2C + 3c + 6 • 3. a – ab – ac • 4. Y2k – Yk • 5. 18x2y – 10xy + 5xy2 • 6. ax + bx + ay + by • 7. a2h + b2h + c2h • 8. 2ª4 – a3 + 4ª - 2 • 9. 2x4 – a3 + 4ª - 2 • 10. 2x4 + 4x3y – 6x2y2 + 8y3 3.2 FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. • ESTE METODO SIRVE PARA FACTORIZAR UNA “DIFERENCIA DE CUADRADOS” • EN ALGUNOS CASOS PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO CONVIENE PRIMERO VER SI TIENE FACTOR COMUN. • el modelo matemático para el producto notable de dos binomios conjugados del que se obtiene la fórmula: • (x + y)(x - y) = x2 – y2 • Ésta nos proporciona una diferencia de cuadrados. • Aplicando la propiedad de identidad, se puede observar que una diferencia de cuadrados también se representa como un producto de dos binomios conjugados: • x2 – y2 = (x + y)(x - y) EJERCICIOS TEMA 3.2 • 1. a2 – b4 • 2. 25x2 – 16y2 • 3. 100 – 81b2 • 4. 2x2 – 8 • 5. 1 – z4 3.3 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO. • UN METODO PARA FACTORIZAR TRINOMIOS SE REDUCE OBSERVANDO LOS RESULTADOS DE CIERTAS MULTIPLICACIONES. • (x+3)2 = (x+3) (x+3) = x2+2*3x +3 2 = x2 +6x+9 • PODEMOS RECONOCER QUE UN TRINOMIO ES EL CUADRADO DE UN BINOMIO (TRINOMIO CUADRADO PERFECTO) SI: • EL PRIMERO Y EL ULTIMO TERMINOS DEL TRINOMIO SON CUADRADOS PERFECTOS • EL SEGUNDO TERMINO DEL TRINOMIO ES EL DOBLE DE LA RAIZ CUADRADA DEL PRODUCTO DE LOS OTROS DOS TERMINOS DEL TRINOMIO. FACTORIZAR 4ª2-12ab+9b2 4ª2 – 12ab +9b2=(2ª)2+2(2ª)(-3b)+(-3b)2 =(2ª-3b)2 EJERCICIOS TEMA 3.3 • 1. X2 + 2X + 1 • 2. Y2 +6Y + 9 • 3. 4ª2 +4ª + 1 • 4. 9x2 – 12x + 4 • 5. 2x2 – 12x + 18 3.4 FACTORIZACION DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS. • LOS RESULTADOS DE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES NOS DAN DOS METODOS PARA DESCOMPONER EN FACTORES. • (a+b)(a2-ab+b2)=a3 + b3 • ASI LOS BINOMIOS QUE SEAN EN UNA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CUBOS PUEDEN DESCOMPONERSE EN FACTORES. X3+27y3=(x+3y)*(x2-(x)(3y)+(3y)2) EJERCICIOS TEMA 3.4 • 1. x3+y3 • 2. c3-d3 • 3. x3+1 • 4. y3-1 • 5. 8x3+y3 3.5 EXPRECIONES RACIONALES; REDUCCION A SU MAS SIMPLE EXPRESION. • UNA EXPRESION RACIONAL ES UN COCIENTE DE DOS POLINOMIOS. SON EJEMPLOS DE EXPRESIONES RACIONALES. • EL TERMINO RACIONAL SE APLICA A LAS VARIABLES, NO A LAS CONSTANTES. DECIMOS QUE UNA EXPRESION RACIONAL ESTA REDUCIDA A SU MAS SIMPLE EXPRESION CUANDO EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR NO TIENEN MAS FACTOR COMUN QUE 1. AL OPERAR CON EXPRESIONES RACIONALES, TENDREMOS OCASIÓN DE USAR LA PROPIEDAD MULTIPLICATIVA DEL NUMERO UNO. EJERCICIOS TEMA 3.5 • 1. 5 / x3-3 • 2. 3y+7 / y2 • 3. x2 + x – 2 / 2x2 + 5x – 3 • 4. 5x – 7 / 2x3 + 7x2 – 30x • 5. 1 / 2 – 72y2 3.6 FACTORIZACION POR AGRUPAMIEMTO • Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar. Factorizar ac + bc + ad + bd. • Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es «c» y en el segundo es «d». De esa manera se agrupan y separan los dos términos • Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que: • ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b). EJERCICIOS TEMA 3.6 • 1. x6– 3x5 + 2x2– 6x • 2. ax3 – 2x2 + 3ax – 6 • 3. x3 – 4x+ x2 – 4 ; • 4. 4x3+8x2 – x – 2 • 5. 5(x+1)4(x + 3 )3 – 3 3.7 PRODUCTOS NOTABLES. • Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo. • Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de los productos notables y así el proceso se hace más simple. • Factorizar 16x2 + 40x + 252 • En este caso se tiene un cuadrado perfecto de una suma, porque se pueden identificar dos términos elevados al cuadrado, y el término que sobra es el resultado de multiplicar dos por la raíz cuadrada del primer término, por la raíz cuadrada del segundo término. • a2 + 2ab +b2 = (a + b)2 EJERCICIOS TEMA 3.7 • 1. x8 – 4x3 = • 2. 4x5 – 8x3 + 6x2 = • 3. x2 + 8x = • 4. p(x)= x2+2*-3 • 5. a2+b2-c2+2cb 3.8 FACTORIZACION CON LA REGLA DE RUFFINI. • Este método es usado cuando se tiene un polinomio de grado mayor a dos, para así simplificar la expresión a varios polinomios de menor grado. • Factorice Q(x) = x4 – 9x2 + 4x + 12 • Primero se buscan los números que sean divisores de 12, que es el término independiente; estos son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. • Luego se sustituye la x por estos valores, de menor a mayor, y así se determina con cuál de los valores la división será exacta; es decir, que el resto debe ser 0: EJERCICIOS TEMA 3.8 • 1. x3 – 3x – 2 • 2. x3 – 5x2 – 9x + 45 • 3. –x3 + 9x2 – 26x + 24 • 4. 7x5 – 28x3 – 7x2 + 28 • 5. x2 – 3x + x2 3.9 FACTORIZACION POR FACTOR COMUN. • En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización. • 24xy - 18xz • Aplicamos el máximo común divisor de cada coeficiente:24 = 2·2·2·318 = 2·3·3 • El MCD = 2·3 = 6 • La variable común a los dos términos es: x Por lo tanto: 24xy - 18xz = 6x · (4y - 3z) EJERCICIOS TEMA 3.9 • 1. 5×2 + 10 x + 2x + 4 • 2. 5×2 + 10 x: 5x • 3. 2x + 4: 2 • 4. 5x (x + 2) + 2 (x + 2) • 5. 5x (x + 2) + 2 (x + 2) 3.10 FACTORIZACION EN NUMEROS PRIMOS. • Un número primo es un número entero que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad. El número uno no se considera número primo. • Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11… etc. No existe hasta hoy día una fórmula para calcular un número primo, así que para saber si un número es primo o no, debe intentar descomponerse en factores y probar. • Factorizar un número en números primos es encontrar los números que, multiplicados y sumados, nos den el número dado. Por ejemplo, si tenemos el número 132, lo descomponemos. EJERCICIOS TEMA 3.10 • • • • • 1. x³ + x² 2. 2x4 + 4x² 3. x² − 4 4. x4 − 16 5. 9 + 6x + x² 3.11FACTORIZACION DE MONOMIOS • Factorizar un monomio significa expresarlo como un producto de dos o más monomios. • Para factorizar un monomio por completo, escribimos el coeficiente como un producto de primos y desarrollamos la parte variable. • Por ejemplo, para factorizar por completo 10x310x^310x310, x, start superscript, 3, end superscript, podemos escribir la factorización en primos de 10101010 como 2⋅52\cdot 52⋅52, dot, 5 y escribir x3x^3x3x, start superscript, 3, end superscript como x⋅x⋅xx\cdot x\cdot xx⋅x⋅xx, dot, x, dot, x. Por lo tanto, esta es la factorización completa de 10x310x^310x310, x, start superscript, 3, end superscript: EJERCICIOS TEMA 3.11 • 1. x³ + x² • 2. 2x4 + 4x² • 3. x² − 4. • 4. x4 − 16 • 5. 7x5y5 – 2x3y3 3.12 FACTORIZACION POR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION. • Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados. EJERCICIOS TEMA 3.12 • 1. (4a4 + 9b4) - 4a2 b2 • 2. (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 • 3. (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 • 4. (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 • 5. 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 3.13 TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c • Que cumplen las condiciones siguientes: • El coeficiente del primer término es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. • El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa EJERCICIOS TEMA 3.13 • 1. x2 + 5x + 6 • 2. a2 – 2a – 15 • 3. m2 + 5m – 14 • 4. y2 – 8y + 15 • 5. c2 + 5c – 24 3.14 FACTORIZACION DE TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C • Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c: • El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa. • El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos. EJERCICIOS TEMA 3.14 • 1. x² + 2x - 15 • 2. x² - 8x + 11 = 0 • 3. 3 × [(x² + 8x/3 + 9) +5 • 4. x - y² + 8y = 0x • 5. 20y2+y-1
