Matemática Secundario Nivel 2 Módulo 2 Factorización de polinomios ¿Qué significa factorizar un polinomio? Hay que recordar que la palabra factor se refiere a los números que intervienen en una multiplicación, por ejemplo: 4 . 7 = 28, donde 4 y 7 son los factores y 28 el producto. Volviendo a los polinomios: Cuando se presenta: 4x + 7 y (4x + 7). (3x + 2x3) 3x + 2x 3 Son los factores de la multiplicación Entonces, para factorizar un polinomio hay que expresarlo como producto entre polinomios. Entonces, ¿Cómo se factoriza un polinomio? Hay varias formas de realizar esto, sólo veremos 3 de ellas: Factor común Como el nombre lo indica, quiere decir que entre todos los términos de un polinomio hay factor común (puede ser número, variable o ambas). Ejemplos: a) Sólo factor común entre los coeficientes 35x4 – 55m + 15p = entre los coeficientes 35, 55 y 15 el dcm es 5 Luego escribimos el polinomio como producto entre 2 factores, el primero será el dcm entre los coeficientes y el segundo será el polinomio resultante de dividir cada coeficiente por el dcm hallado: 35x4 – 55m + 15p = 5. (7x4 – 11m + 3p) 1er factor 1 2do factor Matemática Secundario Nivel 2 Módulo 2 b) Sólo factor común entre las variables 2 7 x6 – 9x3 + x2 = los coeficientes no tienen entre sí dcm El factor común entre las variables es la que aparece con menor exponente en este caso es x2 Luego la factorización será el producto entre la variable x2 y el polinomio que resulta de dividir cada término por la variable elegida. Recorda que se aplica el cociente de potencias de igual base (restar los exponentes). 2 7 2 x2 . ( 7 x4 – 9x + 1 ) x6 – 9x3 + x2 = 1er factor 2do factor c) Factor común entre coeficientes y variables El dcm entre los coeficientes es 4 20x4 + 12x3 – 40x6 = La variable común con menor exponente es x3 Se combinan los casos a) y b) vistos anteriormente: 20x4 + 12x3 – 40x6 = 4 x3 (5x + 3 – 40x3) 1er factor 2do factor 3er factor Ejercicio 1 Factoriza los siguientes polinomios: a) 10x – 2p3 – 4c6 = b) 2x – 34= c) 5 x3 + 12x10 – 7x8= d) 5 3 x5+ x7 + 12x4 + 7x6 = e) 24x2 - 2x3 + 4x5 = f) 21x5 + 18x4= g) 16 15 x5 - 8 25 x6 + 24 3 x 5 = h) x8 – 100= 2 Matemática Secundario Nivel 2 Módulo 2 Diferencia de cuadrados Para factorizar polinomios aplicando este caso de factoreo, tenés que recordar uno de los productos especiales: producto de una suma por una diferencia, ya que es proceso contrario a ese caso especial de producto. Se te presenta una diferencia (resta) entre monomios que provienen de elevar “algo” al cuadrado, por ejemplo: 9x2 proviene de elevar 3x al cuadrado 9x2 – 16x6 = 16x6 proviene de elevar 4x3 al cuadrado A los términos 3x y 4x3 los llamaremos bases Entonces la factorización se hará multiplicando la suma por la diferencia de las bases: 9x2 – 16x6 = (3x + 4x3) . (3x - 4x3) 1er factor 2do factor Otro ejemplo: x2 - 1 1 1 2 2 = (x + ). (x - 4 ) Ejercicio 2 Analiza cuáles de los siguientes polinomios son diferencias de cuadrados, a los que sí lo sean, factorízalos, los que no, explica por qué: a) 12x2 – m4 = b) 25 – x4 = c) x2 - 16 81 = d) x10 – 100 = e) x – 25= Ejercicio 3 Completa cada a) de manera tal que la identidad sea verdadera. - 16 = ( x3 + 4) (x3 – 4) b) x4 c) x14 - = (x =(x + 2) (x 3 - 2) +5)(x - 3 5 ) 3 Matemática Secundario Nivel 2 Módulo 2 Trinomio cuadrado perfecto También este caso de factoreo se puede relacionar con un producto especial: el cuadrado de un binomio, ya que es el desarrollo de dicho cuadrado. Se aplica este caso cuando el polinomio a factorizar tiene ciertas características: 1. Es un trinomio (tiene tres términos) 2. Dos de los términos son cuadrados de monomios (bases) 3. El tercer término es el duplo de las bases. Ejemplo: 25x2 + 30x + 9 = (5x)2 32 5x y 3 son las bases El duplo de las bases es 2.(5x). 3 = 30x Entonces la factorización será 25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)2 Para el caso en que el tercer término aparezca negativo, se escribe la resta de las bases por ejemplo: 25x2 - 30x + 9 = (5x -3)2 Si se presenta: 1. P= x2 + 15 x + 9 Las bases serían x y 3, pero al efectuar el duplo de las bases 2.x.3 = 6x que no es 15x, por lo tanto no es un trinomio cuadrado perfecto. 2. Q= x4 + 8x2 – 16 No es un trinomio, porque -16 no es cuadrado. 3. T= 9x3 + 6x2 + 1 no es trinomio porque x3 no es cuadrado 4 Matemática Secundario Nivel 2 Módulo 2 Ejercicio 4 Explica por qué siguientes trinomios no son trinomios cuadrados perfectos. a) 4x2 + 4x + 25 = b) x6 + 6x3 – 9 = c) 16x2 + 24x6 + 36x4 = Ejercicio 5 Factoriza: a) x6 – 4x3 + 4 = b) x4 + 2 3 1 x2+ 9 = c) 16x2 – 8x + 1 = 5