Momento para Comprender a. (a + b)

Momento para Comprender
En parejas realizar los siguientes productos, reduciendo términos semejantes.
a.
b.
c.
d.
e.
(a + b)2
(x – 2y)2
(x2 – 3)2
(2x + 3y)2
(xy + 2m)2
Con ayuda del algebra geometrica construir un cuadrado de área (a+b) 2, como
el de la figura
Expresar el área del cuadrado como la suma de las áreas de las piezas que
conforman la figura. Comparar este resultado con los obtenidos en los
ejercicios anteriores, ¿qué se puede concluir?
Realizar los productos indicados
a.
b.
c.
d.
(2a + 1)(2a – 1)
(m -9)(m + 9)
(x2 + 3y)(3y – x2)
(xy – 2y)(xy + 2y)
De acuerdo con los resultados obtenidos, cual es el resultado de (a + b)(a – b)
Ahora nuevamente realizar los siguientes productos
1.1 (x + 2)(x + 6)
1.2 (n + 10)(n – 19)
1.3 (ab – 1)(ab + 2)
1.4 (xy2 – 6)(xy2 – 8)
1.5 (xy + 5)(xy – 10)
1.1 (2x + 3)3
1.2 (3a – 2b)3
1.3 (xy – 8z)3
¿Es posible generalizar los resultados obtenidos en los primeros cinco
productos y en los cuatro ultimos?
Momento para Aprender
De los ejercicios de la forma (a + b)2 se puede concluir que el cuadrado de la
suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble
producto de ambos, mas el cuadrado del segundo. Si es una diferencia el
segundo término es negativo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Cuando tenemos productos de la forma (a + b)(a – b) obtenemos: el cuadrado
del primer término menos el cuadrado del segundo término.
(a + b)(a – b) = a2 – b2
El producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) donde los primeros
terminos son los mismos, de coeficiente uno y los segundos términos, dos
números reales cualquieram es otro producto notable y es igual al primer
término al cuadrado, más la suma algebraica de los segundos términos pro el
primero, más el producto de los segundos términos.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
El cubo de un binomio (a + b)3 es igual a el cubo del primer término, mas tres
veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. En una diferncia los signos
van intercalados
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
Usando las fichas del algebra geométrica: b2, a2, ab construir un cuadrado de
lado a + b como el de la figura
Igualmente se puede construir un rectangulo de base (x + a) y altura (x + b)
Con los solidos a3, b3, a2b, ab2, se puede construir un cubo de arista (a + b)
La representación del cuadrado de la diferencia de dos términos es la
siguiente, la parte rayada es la parte que se retira del cuadrado de lado a + b
El área del rectángulo (a + b) por (a – b) se representa como sigue:
BINOMIO A LA n-ÉSIMA POTENCIA
Es posible determinar el resultado de elevar un binomio a una potencia n, en la
que n es cualquier entero positivo, sin realizar el producto consecutivo n veces.
El triángulo de Pascal y el binomio de Newton son mecanismos de resolución
de expresiones como (a + b)n, por medio de las cuales se puede encontrar la
solución siguiendo reglas par construir la respuesta evitando hacer las
multiplicaciones. Por ejemplo
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Algunas regularidades para estos binomios (a + b)n



La expresión tiene n+1 términos
El primer término es an y el último término bn
La suma de los exponentes de a y b, en cada término, es n


El exponente de a decrece en 1 en cada término y el exponente de b
crece en 1
Los coeficientes de los términos se asignan de acuerdo al triángulo de
Pascal.
TRIÁNGULO DE PASCAL
Momento para Aplicar
Aplicando los productos notables, hallar los siguientes productos sin realizar las
multiplicaciones, luego seleccionar la respuesta en el siguiente cuadro
a4
x4
9y2
8y3
8x3
8xy2
8x2y

(2x – 4y)2
-3ª
-6x2y
6x2y
Xz
3
4a2
a4
-18
-2x2z
x4
z2
-18x
8ab
4x2
a2
-y4
a4
8z3
9b2c2
12abc
4a2
-x
-2x2z
4x2
-12z2x
16y2
3xy2
a4
x2
x4
16xy
6zx2
18a
-16xy
3
- (a2 + 3)(a2 + 1)
-6
-z2
16y2
-x3
4ab
12bc
4x2





(x – 3)(x + 2)
(x2 + 3y)2
(2a + 3bc)2
(2x + 4y)
(z – x2)2
- (a + 3)(a – 6)
- (4x -2x)2
- ( x2 –y2)(x2 + y2)
- (2z – x)3
Dibujar un cuadrilatero para cada una de las siguientes expresiones de área


a2 – 3a – 18
4x2 + 16xy + 16y2
Desarrollar los siguientes binomios
(x – y)7
(m + n)9
Encontrar la combinación entre animal y color, basados en diferentes
expresiones algebraicas como se muestra en la siguiente tabla
Animal
Guacamaya: 2x + y
Mono: x y
Iguana: 3y + 2x
Sapo: 2x – 3y
Color
Verde: 2x + 3y
Café: 2x + y
Negro: 2x – 3y
Gris: x + 2y
Para obtener como resultado una diferencia de cuadrados, la combinación es
a.
b.
c.
d.
Guacamaya, café
Iguana, verde
Sapo, verde
Mono, gris
La expresión 4x2 + 4xy + y2 se obtiene como resultado de la combinación
a.
b.
c.
d.
Mono, verde
Iguana, gris
Sapo, negro
Guacamaya, café
Determinar el área de
multiplicaciones
los siguientes cuadrilateros,
sin realizar las
4x – 2y
a- 6
2y + 4x
a+4
Los términos que corresponden a la expresión (2a – 2b)3 son:
a.
b.
c.
d.
8a3, -8b3, 24ab2, -24a2b
8a3, 8b3, 24ab2, 24a2b
8a3, -8b3, -24ab2, -24a2b
8a3, -8b3, -24ab2, 24a2b
De la tabla que aparece al final del tema, cortar rectángulos por las lineas en
negrilla, para formar un dominó de productos notables, luego identificar cada
producto con su solución para poder jugar
Bibligrafía
http://catedu.es/matematicas_mundo/JUEGOS/DOMINO%20productos%20notables.pdf
http://es.scribd.com/doc/111701748/Prueba-Productos-Notables-Fila-A
Dueñas P. Wilmar Hernando y otros. Aciertos Matemáticos 8, Grupo editorial
Educar, Bogotá 2007
Factorización
Dado un polinomio, cada uno de los polinomios que multiplicados entre sí dan
como resultado el primero, se llama factor del polinomio.
Factorizar un polinomio dado es expresarlo como un producto de dos o más
polinomios. Así como en los enteros hay números primos, en los polinomios
hay polinomios primos: Un polinomio p de grado mayor o igual que 1 se llama
primo si p no se puede expresar como producto de polinomios, cada uno de
ellos de grado menor que el de p.
Ejemplo: 2x + 3 es primo porque no se puede expresar como un producto de
polinomios de grado menor que 1, es decir, como un producto de polinomios
constantes.
El polinomio x2 -2 es primo en el conjunto de los enteros y también en el de los
racionales, pero no lo es en el conjunto de los reales, puesto que en dicho
conjunto x2 – 2 se factoriza como (x - √2)(x + √2) y √2 es un número irracional.
Los principales métodos de factorización de polinomios son los siguientes:

Factor Común
El factor común de un polinomio es el monomio con el mayor coeficiente,
que es factor de todos los términos del polinomio. Es posible expresar
un polinomio como el producto de dos factores, utilizando el factor
común así:
(Factor común) (Cociente entre el polinomio y el factor común)
Ejemplo: Factorizar el polinomio 4x3 + 8x2 – 24x
El m.c.d de 4, 8 y 24 es 4 y de la parte literal es x. El máximo común divisor o
factor común del polinomio anterior es 4x
El polinomio 4x3 + 8x2 – 24x se puede expresar como el producto
(4x) (x2 + 2x – 6)
De igual forma el polinomio – 4xy3 + 3xzy = (xy) (-4y3 + 3z)
El factor común tambien puede ser un pollinomio, por ejemplo
(a + 1) x + 3(a + 1)
Los dos términos del polinomio tienen en común el binomio (x + 1); luego se
puede expresar como (a + 1)(x + 3)
(3x + 2)(x + y –z) – (3x + 2) – (x + y – 1)(3x + 2)
(x + y – z – 1 – x –y + 1)(3x + 2) los términos tienen como factor común (3x + 2)
(3x + 2)(-z) se reducen términos semejantes

Factor común por agrupación de términos
Un polinomio para el cual no existe un factor común a todos sus términos, se
divide en dos o más polinomios para factorizar, aplicando la propiedad
asociativa de la suma.
Se deben agrupar convenientemente los términos de tal manera que cada
grupo tenga un factor que sea el mismo en todos ellos, se factoriza
nuevamente teniendo en cuenta que el factor común ahora es un polinomio.
Ejemplos, factorizar las siguientes expresiones
x(a + 1) – a – 1
x(a + 1) – (a + 1) agrupando los términos
(a + 1)(x – 1) el factor es a + 1
3a – b2 + 2b2x – 6ax
(3a – 6ax) + (2b2x – b2) agrupando los términos
3a(1 – 2x) + b2(2x – 1) las expresiones que se obtienen al sacar el factor
común en cada uno de ellos, deben ser iguales
3a(1 – 2x) – b2(1 – 2x)
(1 – 2x)(3a – b2)
2x3 – nx2 + 2xz2 – nz2 – 3ny2 + 6xy2
(2x3 + 2xz2 + 6xy2) – (nx2 + nz2 + 3ny2)
2x(x2 + z2 + 3y2) – n(x2 +z2 + 3y2)
(2x –n)( x2 +z2 + 3y2)

Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el que resulta de elevar un binomio al
cuadrado, (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2.
Las características de un trinomio cuadrado perfecto son:
-Dos de sus términos son cuadrados perfectos con signo positvo
-El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos
con signo positivo o negativo. Si el signo es positivo el trinomio se factoriza (a +
b)2 y si es negativo se factoriza (a - b)2
Ejemplo, factorizar el trinomio 16x4 + 40x2y3 + 25y6
16x4 es cuadrado perfecto y su raíz es 4x2
25y6 es cuadrado perfecto y su raíz es 5y3
2 (4x2)(5y3) = 40x2y3
El trinomio es cuadrado perfecto y se factoriza como (4x2 + 5y3)2
Factorizar el trinomio 9b2 – 15a2b + 25a4. El polinomio esta ordenado con
respecto a la letra b
√9𝑏 2 = 3b
√25𝑎4 = 5a2 y el doble producto 2(3b)(5a2) = 30a2b
El trinomio no es cuadrado perfecto

Diferencia de Cuadrados
Cuando el polinomio tiene solo dos términos y corresponde a una diferencia de
dos cuadrados perfectos de la forma a2 – b2, se factoriz como el producto de la
suma de sus raíces cuadradas por la diferencia de las raíces de los términos,
así: (a + b)(a – b).
Ejemplos:
Factorizar 1 – 36x6
√1 = 1
√36𝑥 6 = 6x3 luego,
1 – 36x6 = (1 – 6x3) (1 + 6x3)
Factorizar x4- (x + y)2
√𝑥 4 = x2
√(𝑥 + 𝑦)2 = x + y
Luego x4 – (x + y)2 = (x2 + x + y)(x2 – x – y)

Factorización de Trinomios de la forma x2 + bx +c
Estos trinomios se originan en el producto de dos binomios de la forma
(x+m)(x+n) = x2 + (m+n)x + mn. Al comparar los dos polinomios se tiene:
m+n=b
mn = c
La factorización consiste en hallar los valores de m y n que cumplan esas
condiciones.
Ejemplo: factorizar el polinomio x2 + 8x + 15
Se deben hallar dos números m y n tales que sumados sean igual a 8 y
multiplicados den 15.
Los números son m = 5 y n = 3, luego
x2 + 8x +15 = (x + 5)(x + 3)
Para factorizar estos trinomios,
- Se debe organizar el polinomio con respecto a una de las variables
-El primer término de cada paréntesis corresponde a la raíz cuadrada del
primer término del trinomio
-El signo del primer paréntesis será el signo del segundo término del trinomio
-El signo del segundo paréntesis coresponde al producto de los signos del
segundo y tercer término del trinomio
Otro ejemplo. Factorizar x4 – x2 – 6
Los signos de los paréntesis son negativo para el primero y positivo para el
segundo, luego los números buscados multiplicados deben ser igual a 6 y
restados deben dar 1. Estos números son -3 y 2
x4 – x2 – 6 = (x2 – 3)(x2 + 2)
Factorización de Trinomios de la forma ax2 + bx + c
Para factorizar estos trinomios se procede asi:
-Se hallan dos números m y n tales que mn = ac y m+n = b
-Se expresa b como m + n
-Se agrupan y se factoriza en cada binomio factor común
Ejemplos: Factorizar
6x2 + 23x + 20
Solución. a) m.n = 6 x 20 = 120 y m + n = 23
120 = 2x2x2x3x5
expresar como:
Los números buscados son 8 y 15, el trinomio se puede
6x2 + 8x + 15x + 20 = (6x2 + 8x) + (15x + 20)
2x(3x + 4) + 5(3x + 4)
(2x + 5)(3x + 4)
Hallar la dimensiones de un rectángulo cuya área es 3x2 – 5x – 2
Lo que equivale a factorizar el trinomio dado
Los números buscados son tales que m n = -6 y m + n = -5
6=3x2x1
y -6 + 1 = -5
3x2 – 6x + x - 2 = (3x2 – 6x) + (x - 2)
3x(x – 2) – (x – 2) = (3x – 1)(x – 2)
Factorización de Suma o Diferencia de Cubos
𝑎3 +𝑏3
se obtiene como cociente a2 – ab + b2, luego la
𝑎+𝑏
suma de cubos a3 + b3 se puede expresar como:
Al realizar la división
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
𝑎3 −𝑏3
se obtiene como cocientes a2 + ab
𝑎−𝑏
+ b2, por lo tanto una diferencia de cubos se puede expresar como:
De igual forma al realizar la división
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Ejemplos:
Factoriazar los binomios a) 8a3 + 27b6
b) 343x9 – 512y12
Solución:
3
-Hallamos las raíces cubicas de los sumandos √8𝑎3 = 2a y
8a3 + 27b6
3
√27𝑏 6
= (2a + 3b2)(4a2 – 6ab2 + 9b4)
3
-Hallamos las raíces cúbicas de √343𝑥 9 = 7x3
3
√512𝑦12 = 8y4
343x9 – 512y12 = (7x3 – 8y4)(49x6 + 56x3y4 + 64y8)
Momento para Aplicar
Expresar los siguientes polinomios con el máximo número de factores
1) 64x3 – 36xy2
2) 3x3 + 4y3 + 2x2 – 8y2 – 12xy2 – x2y
3) 10x4 – 5x3 – 15x2
4) y4 - 3y2 – 4
5) x2(x + 1) – x – 1
6) a2 – c2 – 2ab + b2
7) 2x4 + 5x3 – 54x – 135
8) 2a3 + a4 – a2 – 2ª
9) 3abm2 – 3ab
10) 3x3 – 21x2 – 54x
11) 4m4 - 20m2 – 16n2 + 16n – 4 + 25
= 3b2
Bibliografía
http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/revistamatematica/Secciones/Temas_de_Matematica/S_Schmi
dt_V12N1_2011/Scrn_S_Schmidt_V12N1_2011.pdf
Guzmán Pineda Luis Eduardo, Desafíos Matemáticos 8.
Norma, Bogotá 2001
Grupo Editorial