guia 2 de noveno 2011 2012

UNIDAD EDUCATIVA SANTANA
GUÍA DE TRABAJO
UNIDAD 2
2011 - 2012
1. DATOS INFORMATIVOS:
ÁREA: Ciencias exactas
ASIGNATURA: Matemática
FECHA DE INICIO: Miércoles 4 de enero de 2012
FECHA DE FINALIZACIÓN:______________________________
ALUMNO/A: _______________________________
PROFESOR: Paúl Fárez
CURSO: Novenos de básica
E-MAIL: [email protected]
TÓPICOS:
1. DESCOMPOSICIÓN
FACTORIAL
1.1.
Polinomios
1.2.
Binomios
1.3.
Trinomios
1.4.
Por evaluación
HILOS CONDUCTORES
Los alumnos(as) comprenderán:
o Aplicando el conocimiento científico en la solución y argumentación de
problemas por medio del uso flexible de las reglas y modelos
matemáticos, demostrando eficacia, eficiencia, contextualización, respeto y
capacidad de transferencia, advertirán los aspectos, conceptos y
dimensiones matemáticas del mundo social, cultural y natural.
o La creación de modelos matemáticos, con el uso de todos los datos
disponibles, les permitirá la resolución de problemas de la vida cotidiana.
o La valoración de actitudes de orden, perseverancia, capacidades de
investigación desarrollarán el gusto por la Matemática y contribuirán al
desarrollo del entorno social y natural.
o El uso del vocabulario matemático y técnico adecuados les facilitará
comunicar ideas, razonamientos y hallazgos matemáticos de manera
adecuada y accesible.
METAS DE COMPRENSIÓN:
Los alumnos(as) comprenderán:
1. ¿Qué papel fundamental ocupa el
factoreo dentro del algebra?
2. ¿Cómo se reconocen los distintos casos
de factoreo?
3. ¿Por qué se debe conocer y dominar las
raíces tanto de números como de literales
dentro del factoreo?
4. ¿Qué importancia tiene el saber las
particularidades de cada caso de
factoreo?
ORIENTACIONES GENERALES DE TRABAJO:
Es importante que para el desarrollo de esta guía de trabajo puedas tener en cuenta los siguientes aspectos que te ayudarán al desarrollo
correcto de la misma:



Todo trabajo y deber que se pida presentar y desarrollar debe ser aseado y sobre todo con una excelente presentación ya que
tendrá un valor cuantitativo significativo en cada trabajo.
Con un previo acuerdo entre el maestro y los alumnos se determinará una fecha de entrega de cada deber p trabajo, mismo
que se tiene que cumplir a cabalidad y sin justificación alguna.
El maestro es un guía que no puede dejar vacíos en los conocimientos que imparte, así que busca siempre la ayuda de una
manera oportuna y concreta para que el desarrollo de la guía sea lo más perfecta posible.
DESEMPEÑOS DE COMPRENSIÓN:
EXPLORACIÓN: Sesión 1
Al igual que la columna vertebral en el ser humano resulta así el factoreo en el álgebra, es de vital importancia que el conocimiento y
aplicación de cada caso sea perfectamente dominado, previo al estudio de los mismos es necesario que recordemos algunos
conocimientos previos, aprendidos el año anterior. A continuación se plantea una tabla con las raíces más importantes la cual tienes que
resolver:
3
3
3
4
4
√ = 19𝑎
√ = 𝑟5
√ = 4𝑑𝑎2
√196𝑎2 =
√−1𝑎3 =
√16𝑠 8 =
√1 =
√−216 =
√81 =
√49𝑎4 =
√25𝑎2 =
√4 =
√16𝑎6
√100 =
√64 =
√9 =
√121 =
√625 =
=
√36𝑎8 =
√144𝑎2 =
√169𝑥 4 =
√400𝑥 6 =
√
√
√
√
√
= 17𝑥
= 15𝑎
=𝑎
3
3
√8𝑥 6 =
3
√−27𝑐 9 =
√
3
√
3
√125𝑐 3
2
= 16𝑎
3
= 18𝑎
4
√441𝑎10 =
√484𝑎8 =
=
√1728𝑥 6 =
3
√1000 =
3
3
√64𝑥 3 𝑦 6 =
3
√1 =
= −1𝑎
3
√−64 =
3
3
√
= 2𝑥 2
√
= 3𝑐
√343 =
4
3
3
√
√
3
√
√
= 10𝑎
√729 =
3
= 𝑑4
√
= −5𝑒
√
3
√625𝑎12 =
4
√81𝑟 8 =
4
√
= 6𝑠
5
√−1024 =
4
√1296 =
5
√
= 10𝑥𝑦
√−1 =
√27 = 3
5
√−32𝑑 5 =
6
√64 =
4
2
3
= 3𝑎
= 9𝑥
= −7𝑓
3
√1331 =
3
3
3
4
= 𝑠3
5
5
√
= −2𝑎2
√𝑎 4 =
6
√1 =
7
√−1 =
INVESTIGACIÓN GUIADA
Construcción del conocimiento: Para entender lo que es la descomposición en factores aplicaremos una comparación simple que nos
ayude a entender lo que es la factorización:
10 = 5 × 2
12 = 2 × 2 × 3
10 + 7 + 3 = 5 × 2 × 2
20 + 5 − 1 = (4 + 2)(5 − 1)
Como pudimos observar en los ejemplos anteriores, las sumas y restas pueden ser suplantadas o convertidas a multiplicaciones en el
caso de los números enteros. Dentro del álgebra sucede de la misma manera, como se indica a continuación:
𝑥 2 − 16 = (𝑥 + 4)(𝑥 − 4)
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑥 2 + 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
En consecuencia la factorización no es más que convertir un polinomio en factores primos.
FACTORIZACIÓN: Factorizar un polinomio es transformarlo en el producto de dos o más polinomios de menor grado, tomando en
cuenta que estos tienen que ser primos.
La complejidad de este tema está netamente en el reconocimiento de cada caso de factoreo, para esto hemos dividido el estudio de la
factorización de acuerdo a la forma en que estos se presentan, polinomios, binomios, trinomios y por evaluación.
POLINOMIOS
FACTOR COMÚN: Como su nombre lo dice, es extraer el factor que tiene en común o que se repite en todos los términos del
polinomio, teniendo en cuenta que estos pueden ser números, literales o ambos, existen casos en los que conviene incluso extraer el
factor común de los signos.
Partiremos del producto:
𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧
Que invirtiendo tenemos:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
Al segundo miembro que se encuentra a la derecha de la última expresión 𝑎(𝑥 + 𝑦 + 𝑧), es la resolución del caso de factoreo conocido
como factor común; que se obtiene extrayendo el factor 𝑎 que se repite en los tres términos del polinomio y el otro polinomio se
obtiene dividiendo cada término de la expresión por el factor común.
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 2
Ejemplo 1:
Descomponer en factores la siguiente expresión: 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧
Observamos que en el polinomio dado podemos extraer el factor común tanto en números como en literales; en cuanto a los números
es el 2 ya que este es el máximo valor que se puede dividir para cada coeficiente numérico de todos los términos del polinomio
(máximo común divisor); en cuanto a los literales solo la 𝑥 es el factor común que se repite en todos los términos, pero tomando en
cuenta que tiene que ser con el menor exponente. Tenemos entonces como factor común de toda la expresión tenemos que es:
Factor común: 2𝑥
Como ya conocemos el factor común tiene que ser dividido para cada uno de los términos de la expresión:
2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧
= 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
2𝑥
Entonces expresamos el resultado de la siguiente manera:
El factor común de la expresión: 2𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 6𝑥𝑧 es: 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛)
Ejemplo 2:
Factorizar la siguiente expresión:7𝑎2 𝑏 3 − 2𝑎3 𝑏 2 + 5𝑎4 𝑏 4 − 3𝑎6 𝑏 2
Para la resolución de este ejercicio debemos recurrir a la teoría del factor común, donde nos explica que el factor común puede darse
en números en literales o en ambos, como podemos observar en este caso solo podemos extraer el factor común en los literales,
entonces tenemos :
El factor común es: 𝑎2 𝑏 2 , recordando que deben ser los literales con menor exponente que se repitan en todos los términos del
polinomio, resolviendo el ejercicio tenemos:
El factor común de la expresión 7𝑎2 𝑏 3 − 2𝑎3 𝑏 2 + 5𝑎4 𝑏 4 − 3𝑎6 𝑏 2 es 𝑎2 𝑏 2 (7𝑏 − 2𝑎 + 5𝑎2 𝑏 2 − 3𝑎4 )
Ejemplo 3:
Factorar el siguiente polinomio: 9𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥𝑦 + 27𝑥 3 𝑦 3
9𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥𝑦 + 27𝑥 3 𝑦 3 = 3𝑥𝑦(3𝑥𝑦 − 1 + 9𝑥 2 𝑦 2 )
Observemos que el segundo término de la respuesta es 1, ya que la división del factor común por el segundo término es1, por ser
iguales.
Ejemplo 4:
Descomponer en factores el siguiente polinomio 32𝑥 2 𝑦 3 + 24𝑥𝑧 2 − 36𝑦 2 𝑧 3
32𝑥 2 𝑦 3 + 24𝑥𝑧 2 − 36𝑦 2 𝑧 3 = 4(8𝑥 2 𝑦 3 + 6𝑥𝑧 2 − 9𝑦 2 𝑧 3 )
Ejemplo 5:
Factorizar el siguiente polinomio (𝑥 + 𝑦)𝑎 + 𝑏(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)𝑐
(𝑥 + 𝑦)𝑎 + 𝑏(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)𝑐 = (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
En este ejercicio el factor que se repite en los tres términos de la expresión es (𝑥 + 𝑦), notando que un polinomio también puede ser
un factor común.
APLICACIÓN Nº1:
En el aula:
Descomponer en factores:
1. 𝑎2 − 2𝑎 =
7. 𝑎4 𝑏𝑥 2 + 2𝑎3 𝑏 3 𝑥 3 − 𝑎2 𝑏 4 𝑥 3 =
2 3
3 2
3 4
2. 7𝑚 𝑛 + 14𝑚 𝑛 − 21𝑚 𝑛 =
8. 𝑎2 − 𝑎4 + 𝑎6 − 𝑎8 =
5
4
3
2
3. 30𝑥 + 24𝑥 − 18𝑥 − 12𝑥 =
9. 18𝑥 2 + 12𝑥 6 𝑦 − 24𝑥 10 𝑦 2 =
𝑚+2
𝑚−1
𝑚−3
4. 16𝑥
− 8𝑥
− 4𝑥
=
10. (𝑥 − 1)𝑦 3 + 2(𝑥 − 1)𝑦 4 − (𝑥 − 1)𝑦 =
2𝑚 2
𝑚 3
4𝑚
5. 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 =
11. 27(𝑥 − 1)2 − 9(𝑥 − 1) =
2
2
3 3
2 2
6. 48𝑥𝑦 − 16𝑥 𝑦 + 32𝑥 𝑦 − 12𝑥 𝑦 =
12. Si la expresión 3𝑥 2 (6 + 4𝑥 2 − 5𝑥 3 ) es el factor común de un polinomio, escriba el polinomio original.
13. Plantea dos polinomios con factor común y luego factorizalos.
14. Escribe con tus propias palabras el algoritmo para aplicar el factor común.
15. La factorización es un proceso para obtener_________________.
En casa:
Descomponer en factores:
1. 𝑎𝑥 + 5𝑥 =
7. 4𝑎6 𝑏 2 𝑐 4 + 8𝑎5 𝑏 3 𝑐 4 + 12𝑎6 𝑏 4 𝑐 3 =
2
2 3
3 2
2. 10𝑎𝑏 + 15𝑎 𝑏 + 12𝑎 𝑏 − 40𝑎 𝑏 =
8. 2𝑎4 𝑏 3 + 3𝑏 2 𝑐 3 − 4𝑎2 𝑐 2 =
2
3
2 3
3 2
3. 8𝑥 + 20𝑥𝑦 + 12𝑥 𝑦 + 80𝑥 𝑦 =
9. 18𝑥 2 𝑦 3 𝑧 4 − 2𝑥𝑦 2 𝑧 2 + 3𝑦 2 𝑧 3 =
𝑚
𝑚+1
𝑚+2
4. 𝑥 + 2𝑥
+ 3𝑥
=
10. (𝑥 − 𝑎)𝑧 2 − 3(𝑥 − 𝑎) =
3𝑚
𝑚
2𝑚
5. 27𝑥 − 9𝑥 + 36𝑥 =
11. 2𝑥(2𝑥 − 5)2 + 𝑥 2 (2𝑥 − 5) =
3
2
6. 3𝑥 − 4𝑥 + 5𝑥 =
12. Si la expresión 3𝑥 2 𝑦(2𝑥 + 1 − 3𝑦) es el factor común de un polinomio, escriba el polinomio original.
13. Plantea dos polinomios con factor común y luego factorizalos.
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 3
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: continuando con el estudio de los casos de factoreo, nos encontramos
con el factor común por agrupación de términos, en donde no existe un factor que se repite en todos los términos, es por eso que se
tiene que agrupar por partes, para que tal manera se pueda extraer el factor común de dichas agrupaciones, y conseguir un nuevo factor
común. Cabe recalcar que el polinomio que puede ser resuelto mediante agrupación de términos, tiene que ser un polinomio de 4, 6, 8,
etc. términos; y su agrupación puede ser en parejas o grupos de tres.
Ejemplo 1:
Factorizar la siguiente expresión: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 =
Agrupamos los términos, teniendo en cuenta que en cada paréntesis debe existir un factor común que se pueda extraer, para este
ejercicio agrupamos el primer y segundo término y el tercer y cuarto término; es importante aclarar que al agrupar los términos estos
deberán estar definidos con el uso del paréntesis y por un signo entre ellos, asi:
(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦) =
Extraemos el factor común en cada paréntesis:
𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) =
Observamos que tenemos un nuevo factor común (𝑎 + 𝑏), entonces extraemos nuevamente el factor común:
(𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) =
Diremos que el polinomio dado 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦, descompuesto en factores es (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦)
Ejemplo 2:
Descomponer en factores el siguiente polinomio: 2𝑎4 − 2𝑎3 − 𝑎 + 1 =
(2𝑎4 − 2𝑎3 ) − (𝑎 − 1) =
Al realizar la agrupación de términos observamos que el signo que divide a los dos paréntesis es el signo menos − es por eso que
cambiamos los signos del interior. Es por eso que el (𝑎 + 1) es sustituido por (𝑎 − 1)
2𝑎3 (𝑎 − 1) − (𝑎 − 1) =
(𝑎 − 1)(2𝑎3 − 1)
Ejemplo 3:
Factorar el siguiente polinomio: 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 + 2𝑏𝑥 =
(2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥) − (𝑏𝑦 + 𝑎𝑦) =
Con este ejercicio podemos entender que la agrupación puede ser con cualquiera de los términos que escojamos.
2𝑥(𝑎 + 𝑏) − (𝑏 + 𝑎) =
El primer paréntesis y el segundo difieren en el orden pero al ser ambos positivos no afecta el ordenar uno de los dos paréntesis, pero la
situación cambiara si existiese un signo menos, para esto tendría que buscarse otra manera de agrupar.
2𝑥(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 𝑏) =
(𝑎 + 𝑏)(2𝑥 − 1)
Ejemplo 4:
Descomponer en factores la siguiente expresión:𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 − 𝑐𝑦 =
Este caso puede ser resuelto de dos maneras que nos llevaran a la misma respuesta:
Agrupación en parejas:
(𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) + (𝑏𝑥 − 𝑏𝑦) + (𝑐𝑥 − 𝑐𝑦) =
𝑎(𝑥 − 𝑦) + 𝑏(𝑥 − 𝑦) + 𝑐(𝑥 − 𝑦) =
(𝑥 − 𝑦)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
Agrupación en tríos:
(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥) − (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦) =
𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − 𝑦(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) =
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 − 𝑦)
Este ejercicio nos demuestra que la agrupación de términos en cualquier polinomio dado puede ser de cualquier manera, tomando en
cuenta que los términos contenidos en los paréntesis deben ser idénticos.
APLICACIÓN Nº2
En el aula:
1. 4𝑥 3 − 16𝑥 2 + 3𝑥 − 12 =
6. 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑥 4 =
7. 𝑥 2𝑛−1 − 3𝑥 𝑛 𝑦 + 𝑥 𝑛−1 𝑦 − 3𝑦 2 =
2. – 𝑥 2 + 3𝑥 − 2𝑥𝑦 − 6𝑦 =
8. 𝑎3 − 𝑎5 + 𝑎7 − 𝑎8 + 𝑎 − 𝑎4 =
3. 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 − 3𝑥 + 3𝑦 =
9. 4𝑎𝑥 2 − 6𝑏𝑥 + 2𝑥 − 4𝑎𝑥 − 6𝑏 − 2 =
4. 𝑎𝑧 4 + 𝑏𝑧 3 − 2𝑎𝑧 − 2𝑏 =
5. 3𝑎2 − 7𝑏 2 − 9𝑎3 + 21𝑎𝑏 2 =
10. Resolver el siguiente polinomio agrupando de dos maneras distintas: 3𝑎𝑚 + 2𝑏𝑚 − 𝑚2 − 6𝑎𝑛 − 4𝑏𝑛 + 2𝑚𝑛
11. Escribe tres características que debe tener el polinomio para aplicar “el factor común por agrupación de términos”
12. Sintetiza los pasos a seguir para aplicar el factor común por agrupamiento.
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 4
En casa:
1.
2.
3.
4.
5.
10.
2𝑏𝑥 − 5𝑏 + 15𝑛 − 6𝑛𝑥 =
6. 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 4𝑥 + 8 =
2
3𝑥 + 6𝑦 − 9𝑥𝑦 − 2𝑥 =
7. 𝑎𝑏𝑥 2 + 𝑎𝑏 2 𝑐 − 𝑥 2 𝑐𝑦 − 𝑏𝑐 2 𝑦 =
3
2
2
2
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑦 + 𝑥𝑦 =
8. 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 + 20 =
2
2
3 3
40𝑥𝑦 − 60𝑥 𝑦 − 50𝑥𝑦 + 20𝑥 𝑦 =
9. 2𝑥(𝑎 − 1) − 3𝑎2 + 3𝑎 =
2
40𝑥 + 16𝑥 + 5𝑥𝑦 + 2𝑦 =
Realizar el ejemplo número uno con una posibilidad diferente de agrupación.
BINOMIOS
DIFERENCIA DE CUADRADOS Y DIFERENCIA DE POTENCIAS PARES: como su nombre lo dice es la diferencia, por lo tanto
llevará siempre el signo menos (−) entre sus dos términos y además deberán estar elevados ya sea al cuadrado o a una potencia par.
Para resolver este caso se descompone en el producto de dos factores, en el primero se escribe la suma y en el segundo la diferencia de
sus raíces cuadradas.
Ejemplo 1:
Factorizar: 𝑎2 − 𝑏 2 =
Primero se extrae las raíces cuadradas de los dos términos, para saber si efectivamente son o no cuadrados perfectos.
√𝑎 2 = 𝑎
√𝑏 2 = 𝑏
Luego se colocan las raíces en los paréntesis, el primer factor está dado por la suma y el segundo factor está dado por la diferencia de las
raíces cuadradas.
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Entonces diremos que la descomposición en factores de 𝑎2 − 𝑏 2 es (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Ejemplo 2:
Descomponer en factores el siguiente binomio: 4𝑥 4 − 9𝑦 2 =
Extraemos las raíces cuadradas de cada término tanto en números como en literales ya que debemos recordar que deben ser cuadrados
perfectos:
√4𝑥 4 = 2𝑥 2
√9𝑦 2 = 3𝑦
Resolvemos según lo indicado, pero es importante redundar en que se puede resolver este caso siempre y cuando existan raíces
cuadradas perfectas en su totalidad.
4𝑥 4 − 9𝑦 2 = (2𝑥 2 + 3𝑦)(2𝑥 2 − 3𝑦)
Ejemplo 3:
Factorar el siguiente binomio: 16𝑎2 − 1 =
√16𝑎2 = 4𝑎
√1 = 1
Recordemos que el 1 es un número muy especial ya que este puede estar elevado a cualquier potencia y su resultado será siempre el
mismo.
16𝑎2 − 1 = (4𝑎 + 1)(4𝑎 − 1)
Ejemplo 4:
Descomponer en factores: (𝑎 − 2𝑏)2 − (2𝑎 + 𝑏)2 =
√(𝑎 − 2𝑏)2 = (𝑎 − 2𝑏)
√(2𝑎 + 𝑏)2 = (2𝑎 + 𝑏)
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 5
Con este ejercicio podemos entender que dos polinomios elevados al cuadrado, pueden formar una diferencia de cuadrados.
(𝑎 − 2𝑏)2 − (2𝑎 + 𝑏)2 = [(𝑎 − 2𝑏) + (2𝑎 + 𝑏)][(𝑎 − 2𝑏) − (2𝑎 + 𝑏)] =
En caso de tener reducción de términos semejantes y reducción de signos de agrupación lo hacemos, caso contrario la respuesta estaría
incompleta:
(𝑎 − 2𝑏 + 2𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 2𝑏 − 2𝑎 − 𝑏) =
(3𝑎 − 𝑏)(−𝑎 − 3𝑏) =
La descomposición en factores de (𝑎 − 2𝑏)2 − (2𝑎 + 𝑏)2 es (3𝑎 − 𝑏)(−𝑎 − 3𝑏)
Ejemplo 5:
Factorizar la siguiente expresión: 5𝑥 3 − 45𝑥 =
De inmediato podemos notar que este caso no es una diferencia de cuadrados, ya que ninguno de los dos términos tienen raíces
cuadradas exactas, por lo general dentro del álgebra nos encontraremos con casos como estos en los que existen dos o mas casos de
factoreo en un mismo polinomio.
Así tenemos en este binomio un factor común inicialmente:
5𝑥(𝑥 2 − 9) =
En el segundo factor podemos visualizar que se trata de una diferencia de cuadrados por lo que resolvemos asi:
5𝑥 3 − 45𝑥 = 5𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Ejemplo 6:
Factorizar: 𝑎8 − 𝑏 8 =
Nos encontramos frente a un caso de diferencia de potencias pares que tiene algunas particularidades:
𝑎8 − 𝑏 8 = (𝑎4 + 𝑏 4 )(𝑎4 − 𝑏 4 )
En el segundo factor se puede observar que existe nuevamente un caso de diferencia de cuadrados, por lo que resolvemos solamente la
diferencia ya que la suma de cuadrados no se puede descomponer en factores.
(𝑎4 + 𝑏 4 )(𝑎4 − 𝑏 4 ) = (𝑎4 + 𝑏 4 )(𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎2 − 𝑏 2 )
Recordemos que la descomposición de factores se la hace hasta encontrar los factores primos, asi que basándonos en esto debemos
resolver hasta su más mínima expresión.
(𝑎4 + 𝑏 4 )(𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎2 − 𝑏 2 ) = (𝑎4 + 𝑏 4 )(𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
APLICACIÓN Nº 3
En el aula:
Descomponer en factores:
1. 25𝑥 2 − 64𝑦 2 =
9. (𝑥 − 2)2 − (𝑎 + 𝑥 − 3)2 =
6
4
2. 𝑎 − 𝑏 =
10. (2𝑥)16 − (3𝑦)8 =
6
12
3. 121𝑚 − 900𝑛 =
11. 𝑥 4 + 𝑦 4 =
8
6
4. 𝑥 − 49𝑦 =
12. 4𝑥 4𝑛 − 𝑦 6𝑛 =
1
8 10 6
12 4 2
5. 169𝑎 𝑏 𝑐 − 144𝑎 𝑏 𝑐 =
13. 𝑥 4 − 25𝑦 4 =
9
2
2
6. (𝑎 + 𝑏) − 𝑐 =
14. 2𝑎2 − 9𝑏 2 =
7. 3𝑥 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 3𝑦 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑥 =
15. 3𝑚𝑥 2𝑘 − 75𝑚𝑦 4𝑘 =
8. 𝑎16 − 1 =
16. Explique con un ejemplo como se puede verificar que la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las
raíces cuadradas.
17. Escribe con tus propias palabras como reconocerías el caso “diferencia de cuadrados”.
En casa
Descomponer en factores:
9
1.
− 𝑥4 =
25
2.
3.
4.
5.
6.
7.
14.
25𝑎2 − 36𝑐 2 =
1 − 𝑦 2𝑛 =
1 − 𝑥8 =
(2𝑥 + 𝑦)2 − (2𝑥 − 3𝑦)2 =
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 − 6 =
36𝑥 2 − 8𝑦 2 =
Plantea y resuelve cuatro ejemplos de la diferencia de cuadrados.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
𝑎12 − 81 =
(𝑥 − 𝑦 + 𝑧)2 − (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2 =
10𝑥 5 − 1000𝑥 =
1 2−𝑘
1
𝑥
− 𝑥𝑘 =
5
5
𝑥 2 + 𝑦2 =
9
𝑡 4𝑚 − =
4
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS Y SUMA Y DIFERENCIA DE EXPONENTES IMPARES IGUALES
Al referirnos a la suma y diferencia de cubos se descompone en dos factores, el primero esta compuesto por la suma o diferencia
dependiendo del signo original, de las raíces cúbicas de los términos del binomio, y el segundo factor está formado por la primera raíz al
cuadrado (más o menos) el producto de la primera raíz por la segundo raíz y más el cuadrado de la segunda raíz, ejemplificando para
que se aclare tenemos:
𝑥 3 + 𝑦 3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 6
En cuanto a la suma o diferencia de exponentes impar se descompone de igual manera en dos factores, el primero está compuesto por
las raíces de las potencias a las que están elevados con el signo original, y el segundo factor está compuesto por el cociente de la división
entre el binomio original para el primer factor, ejemplificando tenemos:
𝑎5 + 𝑏 5 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎4 − 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 − 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )
𝑎5 − 𝑏 5 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )
Si nos fijamos bien en los dos ejemplos, podemos notar el papel que desempeñan los signos, si el primer factor tiene el signo más el
segundo factor tendrá los signos alternados y caso contrario si el primer factor tiene signo menos el segundo factor tiene todos los signos
positivos.
Ejemplo 1:
Descomponer en factores el siguiente binomio 𝑦 3 − 1 =
Extraemos las raíces cúbicas de los dos términos que tienen que ser exactos:
3
√𝑦 3 = 𝑦
3
√1 = 1
Resolvemos de la manera indicada:
𝑦 3 − 1 = (𝑦 − 1)(𝑦 2 + 𝑦 + 1)
Hay que tomar en cuenta que el 1 puede estar elevado a cualquier potencia ya que su resultado siempre será el mismo.
Ejemplo 2:
Factorizar 27𝑥 3 + (𝑥 − 𝑦)3 =
Extraemos las raíces cúbicas de los términos:
3
√27𝑥 3 = 3𝑥
√(𝑥 − 𝑦)3 = (𝑥 − 𝑦)
3
Aplicamos la descomposición de factores:
27𝑥 3 + (𝑥 − 𝑦)3 = [3𝑥 + (𝑥 − 𝑦)][9𝑥 2 − 3𝑥(𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)2 ]
Recordemos que tenemos que reducir los factores hasta su mínima expresión
[3𝑥 + 𝑥 − 𝑦][9𝑥 2 − 3𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ]
(4𝑥 − 𝑦)(7𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
La respuesta de la factorización del término 27𝑥 3 + (𝑥 − 𝑦)3 es (4𝑥 − 𝑦)(7𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
Ejemplo 3:
Factorar 243𝑎5 − 32𝑏 5 =
Como se indicó tenemos que extraer las raíces de las potencias a las que estén elevadas, en este caso sería la raíz quinta así:
5
√243𝑎5 = 3𝑎
5
√32𝑏 5 = 2𝑏
Entonces aplicamos lo aprendido:
243𝑎5 − 32𝑏 5 = (3𝑎 − 2𝑏)[(3𝑎)4 + (3𝑎)3 (2𝑏) + (3𝑎)2 (2𝑏)2 + (3𝑎)(2𝑏)3 + (2𝑏)4 ] =
(3𝑎 − 2𝑏)[81𝑎4 + (27𝑎3 )(2𝑏) + (9𝑎2 )(4𝑏 2 ) + (3𝑎)(8𝑏 3 ) + 16𝑏 4 ]
(3𝑎 − 2𝑏)(81𝑎4 + 54𝑎3 𝑏 + 36𝑎2 𝑏 2 + 24𝑎𝑏 3 + 16𝑏 4 )
La descomposición en factores del binomio 243𝑎5 − 32𝑏 5 es (3𝑎 − 2𝑏)(81𝑎4 + 54𝑎3 𝑏 + 36𝑎2 𝑏 2 + 24𝑎𝑏 3 + 16𝑏 4 )
Ejemplo 4:
Descomponer en factores el siguiente binomio 8(𝑎 + 𝑏)3 + (𝑎 − 𝑏)3 =
[2(𝑎 + 𝑏) + (𝑎 − 𝑏)]{[2(𝑎 + 𝑏)]2 − 2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 𝑏)2 }
(2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎 − 𝑏)[4(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) − (2𝑎 + 2𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ]
(3𝑎 + 𝑏)[4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 4𝑏 2 − (2𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 − 2𝑏 2 ) + 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ]
(3𝑎 + 𝑏)[4𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 4𝑏 2 − 2𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 + 2𝑏 2 +𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ]
(3𝑎 + 𝑏)(3𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 7𝑏 2 )
La respuesta de la factorización del binomio 8(𝑎 + 𝑏)3 + (𝑎 − 𝑏)3 es (3𝑎 + 𝑏)(3𝑎2 + 10𝑎𝑏 + 7𝑏 2 )
Ejemplo 5:
Factorizar el siguiente binomio 24𝑥 4 − 3𝑥 =
Inicialmente si nos fijamos no existe diferencia de cubos, pero si tenemos que resolver el factor común:
24𝑥 4 − 3𝑥 = 3𝑥(8𝑥 3 − 1)
Dentro del segundo término nos encontramos con el caso de diferencia de cubos y resolvemos así:
3𝑥(2𝑥 − 1)(4𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
Entonces tenemos que la factorización del binomio 24𝑥 4 − 3𝑥 es 3𝑥(2𝑥 − 1)(4𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
APLICACIÓN Nº4
En el aula:
Descomponer en factores:
1. 𝑥 3 + 𝑦 3 =
4. 𝑎3 𝑏 3 𝑐 3 − 𝑥 3 𝑦 3 =
3
3
2. 𝑚 − 𝑛 =
5. 8𝑎3 + 3𝑏 3 =
3
3. 1000𝑥 − 1 =
6. (𝑚 − 2)3 + (𝑚 − 3)3 =
Paúl Fárez
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Guía de trabajo N°2
Página 7
7.
8.
9.
10.
15.
16.
64(𝑚 + 𝑛)3 − 125 =
11. 𝑎5 + 𝑏 5 𝑐 5 =
6
6
𝑎 −𝑏 =
12. 1 − 243𝑥 5 =
3
2
4𝑎𝑚 − 12𝑎𝑚𝑛 − 𝑚 + 3𝑛 =
13. 𝑎5 − 1 =
7
7
𝑚 −𝑛 =
14. 128 + 𝑦 7𝑚 =
Escribe con tu creatividad, dos ejemplos de la “suma de potencias con exponente impar”
Escribe tres características del segundo factor de la “diferencia de exponentes impar”
En casa:
Descomponer en factores:
1. 32𝑎5 + 243𝑏 5 =
2. 8𝑥 3 − 125𝑦 3 =
3. 𝑥 7 − 1 =
4. 16807 + 32𝑥 5 =
5. 𝑥 7 + 128 =
6. 𝑥 5𝑚 + 1 =
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1
8𝑥 3 + =
64
2𝑎3 + 16𝑏 3 =
(𝑥 + 2)3 − (𝑥 − 1)3 =
6𝑥 3 + 125𝑦 3 =
4𝑥 4𝑛 − 𝑦 6𝑛 =
3𝑦 + 12𝑎2 − 4𝑎2 𝑥 3 − 𝑦𝑥 3 =
TRINOMIOS
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Para reconocer que un trinomio responde al caso del “Trinomio cuadrado perfecto”, el
trinomio debe cumplir las siguientes características: dos de sus términos son cuadrados perfectos y positivos, el término restante es el
doble producto de las raíces cuadradas de los términos al cuadrado y puede ser positivo o negativo. El trinomio se dice que está
ordenado cuando sus términos cuadráticos están en los extremos del trinomio, así:
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 =
Su forma de resolución no es más que el factor compuesto por la raíz del primer término, el signo del segundo término y la raíz del
tercer término y todo este factor elevado al cuadrado. Previo a la resolución se tiene que hacer una comprobación del trinomio, para
saber si efectivamente se trata del trinomio cuadrado perfecto, la misma consiste en extraer las raíces cuadradas de los extremos y
multiplicarlos por dos en caso de coincidir con el término central diremos entonces que nos encontramos frente a un caso de trinomio
cuadrado perfecto y procederemos a la resolución.
Ejemplo 1:
Descomponer en factores la siguiente expresión: 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 =
Como conocemos previo a la resolución tenemos que comprobar si se trata o no de un trinomio cuadrado perfecto.
√𝑎 2 = 𝑎
√𝑏 2 = 𝑏
Ahora multiplicamos por 2 a las raíces de los extremos, para comprobar si es o no igual al término del centro siempre que éste sea
ordenado:
2 × 𝑎 × 𝑏 = 2𝑎𝑏
Efectivamente se trata de un trinomio cuadrado perfecto y pasamos a la resolución:
𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2
Ejemplo 2:
Factorizar: 25x 2 + 60x𝑦 2 + 36y 4 =
√25𝑥 2 = 5𝑥
√36𝑦 4 = 6𝑦 2
2 × 5𝑥 × 6𝑦 2 = 60𝑥𝑦 2
2
25x + 60x𝑦 2 + 36y 4 = (5x + 6y 2 )2
Ejemplo 3:
Factorar el siguiente trinomio: (1 − 𝑥)2 − 2(1 − 𝑥)(1 − 𝑦) + (1 − 𝑦)2 =
√(1 − 𝑥)2 = (1 − 𝑥)
√(1 − 𝑦)2 = (1 − 𝑦)
(1
2 × − 𝑥) × (1 − 𝑦) = 2(1 − 𝑥)(1 − 𝑦)
2
(1 − 𝑥) − 2(1 − 𝑥)(1 − 𝑦) + (1 − 𝑦)2 = [(1 − 𝑥) − (1 − 𝑦)]2 =
(1 − 𝑥 − 1 + 𝑦)2 = (𝑦 − 𝑥)2
Ejemplo 4:
Descomponer en factores el siguiente trinomio: 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 =
√9𝑥 2 = 3𝑥
√1 = 1
2 × 3𝑥 × 1 = 6𝑥
9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = (3𝑥 − 1)2
Ejemplo 5:
Descomponer en factores:𝑎2 + 4𝑚2 + 4𝑎𝑚 =
El trinomio planteado, no responde a la forma del trinomio cuadrado perfecto, para esto tenemos que ordenar:
Paúl Fárez
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𝑎2 + 4𝑎𝑚 + 4𝑚2 = (𝑎 + 2𝑚)2
APLICACIÓN Nº 5
En el aula:
Descomponer en factores:
1
1. 25𝑥 2 − 20𝑥𝑦 + 4𝑦 2 =
6. 𝑚𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 𝑚 =
4
4
2 2
4
2. 81𝑥 − 18𝑥 𝑦 + 𝑦 =
7. 𝑥 3 + 1 =
2
3. 1 + 6𝑥 + 9𝑥 =
8. 8𝑥 2 + 48𝑥𝑦 + 72𝑦 2 =
1
2
4. 𝑎2 + + 𝑎 =
9. 𝑦 4 − 𝑦 3 − 𝑦 + 1 =
9
3
2
2
10. 16𝑎2 + 8𝑎𝑏 + 2𝑏 2 =
5. (𝑥 + 𝑦) + 2(𝑥 + 𝑦)𝑧 + 𝑧 =
11. Recuerda las características y completa los trinomios cuadrados perfectos:
49𝑥 2 + _______ + 100𝑦 2 =
25𝑚2 − _______ + 36𝑛2 =
12. En base a la respuesta del trinomio cuadrado perfecto, desarrolla el trinomio original:
(𝑥 + 3)2 =
(5𝑥 − 7𝑦)2 =
2
13. Determina el lado del cuadrado cuya área es: 9𝑥 + 24𝑥𝑦 + 16𝑦 2 . Sigue las instrucciones:
El área (A) del cuadrado es igual al cuadrado del lado: 𝐴 = 𝑙 2
Factorizar el trinomio dado, equivalente al área:
En el binomio elevado al cuadrado obtenido, descubre cual es el lado 𝑙
𝐴 = 𝑙2
En casa:
Descomponer en factores:
1. 121𝑎2 + 88𝑎𝑥 + 16𝑥 2 =
6. (𝑥 + 𝑦)2 + 6(𝑥 + 𝑦) + 9 =
6
3 3
6
2. 𝑎 − 4𝑎 𝑥 + 4𝑥 =
7. 𝑎4 𝑏 6 − 2𝑎2 𝑏 3 𝑐 + 𝑐 2 =
2
3. 1 − 12𝑚 + 36𝑚 =
8. 400𝑎4 − 𝑏 2 =
2
2
4. 24𝑎 + 144𝑎𝑏 + 216𝑏 =
9. 2𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 + 6𝑥 2 − 9𝑥 =
2
5. 4𝑡 − 12𝑡 + 9 =
10. 1 − 𝑡 5 =
11. Escribe el término que falta en los trinomios cuadrados perfectos propuestos:
25𝑥 4 − 30𝑥 2 𝑦 3 + ________ =
25𝑚2 − ________ + 36𝑛2 =
12. Escriba el proceso para resolver el trinomio cuadrado perfecto.
13. Plantea y desarrolla 2 ejemplos de trinomio cuadrado perfecto.
14. Determina el lado del cuadrado cuya área es: 49𝑥 2 + 42𝑥𝑦 + 9𝑦 2 . Sigue las instrucciones:
El área (A) del cuadrado es igual al cuadrado del lado: 𝐴 = 𝑙 2
Factorizar el trinomio dado, equivalente al área:
En el binomio elevado al cuadrado obtenido, descubre cual es el lado 𝑙
𝐴 = 𝑙2
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄: Como su nombre lo dice responde a la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, siempre que
esté ordenado con la particularidad que el coeficiente numérico del término cuadrático es siempre1, caso contrario tiene otra forma de
resolución, ilustraremos con un ejemplo: 𝑥 2 + 9𝑥 + 20
La manera de resolver el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se descompone en dos factores compuestos por la raíz del término
cuadrático en ambos factores, el signo del segundo término se escribe directamente en el primer factor y la multiplicación de los signos
del segundo por el tercer término en el segundo factor, de inmediato se busca dos números que multiplicados den el coeficiente 𝑐 y que
sumados o restados dependiendo de los signos den el coeficiente 𝑏, colocando siempre el número mayor en el primer factor.
Ejemplo 1:
Descomponer en factores el siguiente trinomio 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 =
Escribimos los 2 factores en los que se descomponen el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Paúl Fárez
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(𝑥 + )(𝑥+ )
Buscamos los dos números que cumplan la condición inicial para que sean un trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, es importante notar
que los dos signos de los factores son positivos por lo que tendremos que hallar dos números que sumados den 𝑏
5 × 2 = 10 = 𝑐
5+2=7=𝑏
Resolvemos tomando en cuenta que el número mayor siempre va en el primer factor
𝑥 2 + 7𝑥 + 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
Ejemplo 2:
Factorizar 𝑥 2 − 𝑥 − 6
(𝑥 − )(𝑥+ )
Hay que notar que el coeficiente 𝑏 es uno y que esta vez al ser signos diferentes necesitamos hallar dos números que restados den 𝑏
3×2 =6= 𝑐
3−2=1=𝑏
La descomposición de factores del trinomio 𝑥 2 − 𝑥 − 6 es (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
Ejemplo 3:
Factorar el siguiente trinomio 𝑥 2𝑛 − 19𝑥 𝑛 − 120
(𝑥 𝑛 − )(𝑥 𝑛 + )
Cuando los números a encontrar son muy complejos se aconseja descomponer en sus números primos al término 𝑐, en este caso el 120
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
El 120 se descompone en: 23 × 3 × 5, con estos valores se busca las posibles combinaciones que nos ayude a encontrar el término 𝑏,
en este caso los números buscados son 24 y 5
La respuesta al ejercicio propuesto 𝑥 2𝑛 − 19𝑥 𝑛 − 120 = (𝑥 𝑛 − 24)(𝑥 𝑛 + 5)
Ejemplo 4:
Descomponer en factores 𝑎6 − 3𝑎3 𝑏 − 180𝑏 2
Inicialmente tiene la apariencia de ser un trinomio cuadrado perfecto, pero si hacemos la comprobación resulta que no cumple la
condición, además de que no existe la raíz cuadrada exacta de 180, así que procedemos a resolver mediante el trinomio de la forma
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
(𝑎3 − 𝑏)(𝑎3 + 𝑏)
Si nos podemos fijar inicialmente se nos plantea un ejercicio en el que se encuentra un literal acompañado del término 𝑐, así que
procedemos simplemente a colocar la raíz cuadrada del término 𝑐 como se indicó antes.
𝑎6 − 3𝑎3 𝑏 − 180𝑏 2 = (𝑎3 − 15𝑏)(𝑎3 + 12𝑏)
APLICACIÓN N°6
En el aula:
Descomponer en factores:
1. 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 =
8. 𝑝𝑞𝑟 − 𝑝2 𝑞𝑟 + 𝑝𝑞𝑟 2 =
2. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 =
9. 1 + 8𝑥 3 =
3. 𝑥 2 − 3𝑥 − 28 =
10. 𝑥 2 − 9𝑦 2 =
4. 𝑥 4 − 28𝑥 2 + 115 =
11. 3𝑎2 − 7𝑏 2 − 9𝑎3 + 21𝑎𝑏 2 =
5. 𝑐 6 − 20𝑐 3 + 64 =
12. 𝑥 4 − 20𝑥 2 𝑦 2 − 96𝑦 4 =
6. 𝑥 2𝑚 − 11𝑥 𝑚 + 30 =
13. 𝑎2 − 20𝑎𝑥 + 51𝑥 2 =
7. 𝑎4 − 10𝑎2 𝑏 2 + 25𝑏 4 =
14. El área de un rectángulo esta dada por el trinomio 𝑎2 + 9𝑎𝑏 + 14𝑏 2 . Determina los binomios que representan los lados.
𝐴 =𝑏×ℎ
ℎ
𝑏
15. Escribe dos trinomios de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Paúl Fárez
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En casa:
Descomponer en factores:
1. 𝑚2 + 13𝑚 − 90 =
7. 1 − 12𝑚 + 36𝑚2 =
2
2. 𝑐 − 7𝑐 − 120 =
8. 𝑎5 − 32 =
2
2
3. 𝑚 − 56𝑛 + 𝑚𝑛 =
9. (𝑥 − 𝑦)2 + 2(𝑥 − 𝑦) − 24 =
2
4. −15 − 2𝑦 + 𝑦 =
10. 𝑥 10 + 𝑥 5 − 20 =
2
5. 𝑦 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏 =
11. 𝑥 4 𝑦 4 + 𝑥 2 𝑦 2 − 132 =
8
6. 1 − 𝑥 =
12. 𝑎4 − 𝑎2 𝑏 2 − 156𝑏 4 =
2
13. Plantea y factoriza dos trinomios de la forma 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
14. Un trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ¿Puede ser un trinomio cuadrado perfecto?, ilustra con un ejemplo y resuelve.
15. El área de un rectángulo esta dada por el trinomio 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 48𝑦 2 . Determina los binomios que representan los lados.
𝐴 =𝑏×ℎ
ℎ
𝑏
TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Como ya hemos visto, con lo que se refiere a trinomios, existe el trinomio cuadrado perfecto, el trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, cada
uno de estos con su respectiva solución, pero además hay otro tipo de trinomio, que se denomina trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Este trinomio se caracteriza porque el primer término puede ser positivo o negativo, su coeficiente 𝑎 es diferente de 1, y contiene una
variable elevada a un exponente par; el segundo término puede ser positivo o negativo y contiene la raíz cuadrada de la potencia del
primer término; finalmente el tercer término, por lo general, es un número positivo o negativo, que en algunos casos suele estar
acompañado de una parte literal elevada a una potencia par.
Algunos ejemplos de trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 son los siguientes:
3𝑥 2 + 5𝑥 + 2
𝑎=3 𝑏=5 𝑐=2
4𝑥 𝟐 − 7𝑥 + 2
𝑎 = 4 𝑏 = −7 𝑐 = 2
30𝑦 4 − 7𝑦 2 − 15
𝑎 = 30 𝑏 = −7 𝑐 = −15
6𝑥 2 − 7𝑎𝑥 − 3𝑎2
𝑎 = 6 𝑏 = −7𝑎 𝑐 = −3𝑎2
Entonces, para factorizar un trinomio 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se procede de la siguiente manera:
Ejemplo 1:
Factorizar 4𝑥 2 + 8𝑥 + 3
Primero se debe reconocer las características del trinomio, es evidente que no es un trinomio cuadrado perfecto, tampoco es un
trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , pues el coeficiente numérico que acompaña al término cuadrático no es1, luego de este análisis
determinamos que es un trinomio de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, pues cumple las condiciones ya mencionadas.
4𝑥 2 + 8𝑥 + 3

𝑎=4 𝑏=8 𝑐=3
El método de resolución para estos trinomios es muy parecido al del trinomio 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, por lo tanto, primero el coeficiente 𝑎
debera miltiplicarse por el último término para hallar un nuevo término que lo llamaremos 𝑝, es decir:
𝑝 =𝑎×𝑐
Para este caso tenemos:
𝑝 = 4×3
𝑝 = 12
Luego, se abren dos paréntesis de los cuales, el primer término de cada paréntesis tendrá al coeficiente numérico 𝑎 que deberá estar
acompañado de la raíz del término elevado a la potencia par del trinomio, el signo en el primer paréntesis estará dado por el signo del
segundo término del trinomio y el signo en el segundo paréntesis será el resultante de la multiplicación de signos que se realiza entre el
segundo y tercer términos del trinomio (igual al de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐), el segundo término de cada paréntesis se busca entre dos
números que multiplicados den el término que encontramos anteriormente, es decir 𝑝 y que sumados o restados den como resultado el
coeficiente numérico del segundo término del trinomio
El termino 𝑎, acompañado de la raíz de la variable elevada a una potencia
par
2
4𝑥 + 8𝑥 + 3 = (4𝑥 + 6)(4𝑥 + 2)  𝑝 = 12
4𝑥 2 + 8𝑥 + 3 =
(4𝑥+6)(4𝑥+2)
⏟
4
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
Paúl Fárez
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Guía de trabajo N°2
Números que multiplicados dan el término 𝑝, y a su vez
sumados dan como resultado el coeficiente numérico del
segundo término
Estos dos paréntesis deben tener como denominador al
coeficiente 𝑎:
Página 11
Por lo general al realizar este paso, existe siempre, en los paréntesis un factor común de números, se lo extrae:
2(2𝑥 + 3)2(2𝑥 + 1)
4𝑥 2 + 8𝑥 + 3 =
4
Finalmente, se simplifica si es posible:
4𝑥 2 + 8𝑥 + 3 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)
Entonces (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 1) son los factores del trinomio.
En la pizarra, realiza la comprobación para que el producto de los factores obtenidos sean igual al trinomio inicial.
Ejemplo 2:
Factorizar el siguiente trinomio 12𝑥 2 + 17𝑥 + 6
Entonces:
𝑎 = 12 𝑏 = 17 𝑐 = 6
Determinamos 𝑝 y tenemos:
𝑝 = 12 × 6
𝑝 = 72
Aplicando la regla ya mencionada:
Dividiendo para el coeficiente 𝑎:
12𝑥 2 + 17𝑥 + 6 = (12𝑥 + 9)(12𝑥 + 8)
12𝑥 2 + 17𝑥 + 6 =
(12𝑥 + 9)(12𝑥 + 8)
12
12𝑥 2 + 17𝑥 + 6 =
3(4𝑥 + 3)4(3𝑥 + 2)
12
Extraemos el factor común de los paréntesis:
Simplificando lo posible resulta:
12𝑥 2 + 17𝑥 + 6 = (4𝑥 + 3)(3𝑥 + 2)
Que son los factores buscados.
Ejemplo 3:
Descomponer en factores el siguiente trinomio 10𝑥 2 − 23𝑥𝑦 − 5𝑦 2
Entonces:
𝑎 = 10 𝑏 = 23𝑦 𝑐 = 5𝑦 2
Determinamos el término 𝑝 y tenemos:
𝑝 =𝑎 ×𝑐
𝑝 = 10 × (5𝑦 2 )
𝑝 = 50𝑦 2
Para hallar 𝑝, se debe considerar solo el valor absoluto de los coeficientes, pues los signos se determinan con las reglas antes expuestas.
Aplicando los pasos anteriores:
10𝑥 2 − 23𝑥𝑦 − 5𝑦 2 = (10𝑥 − 25𝑦)(10𝑥 + 2𝑦)
Para este caso, tenemos que el segundo término de cada paréntesis está acompañado de una parte literal, si observamos 𝑦 es la raíz de
la variable que está elevada a una potencia par en el término encontrado, es decir 𝑝; generalizando podríamos decir que cuando 𝑐 tiene
un coeficiente numérico con una parte literal, al momento de buscar los números que satisfacen la condición de que al ser
multiplicados den el término 𝑝, se tomará en cuenta que se deberá extraer la raíz de la parte literal que está elevada también a una
potencia par.
Dividiendo por 𝑎:
(10𝑥 − 25𝑦)(10𝑥 + 2𝑦)
10𝑥 2 − 23𝑥𝑦 − 5𝑦 2 =
10
5(2𝑥 − 5𝑦)2(5𝑥 + 𝑦)
=
10
2
10𝑥 − 23𝑥𝑦 − 5𝑦 2 = (2𝑥 − 5𝑦)(5𝑥 + 𝑦)
Por lo tanto, estos son los factores del trinomio.
APLICACIÓN Nº7
EN CLASE:
Factorizar completamente los siguientes ejercicios, tomando en cuenta que
poder describir de manera escrita el desarrollo del caso estudiado:
1. 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 =
2. 4𝑥 2 − 16𝑥 + 15 =
3. 2𝑥 2 + 5𝑥 + 2 =
4. 𝑥 3 − 27 =
5. 𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 10𝑦 2 =
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
debes escoger 4 de los siguientes ejercicios planteados para
6.
7.
8.
9.
10.
𝑎4 + 2𝑎2 𝑏 2 + 𝑏 4 =
16 − 𝑥 4 =
1 + 𝑥 − 𝑥 2 𝑦𝑧 − 𝑥 3 𝑦𝑧 =
30𝑥 2 − 7𝑥𝑦 − 15𝑦 2 =
6𝑥 2 + 49𝑥 − 45 =
Página 12
11.
12.
13.
16.
6𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 1 =
14. 20𝑥 2 − 𝑥 − 12 =
2
8𝑥 + 22𝑥 + 5 =
15. 𝑎4𝑡+4 + 23𝑎2𝑡+2 + 22 =
2
21𝑥 + 10𝑥 + 9 =
Factoriza el trinomio 8𝑥 2 − 37𝑥 − 15 y luego comprueba la respuesta.
EN CASA:
Factorizar completamente los siguientes ejercicios, tomando en cuenta que debes escoger 4 de los siguientes ejercicios planteados para
poder describir de manera escrita el desarrollo del caso estudiado:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
13.
𝑚2 − 9𝑚 + 18 =
7. 𝑥 7 + 𝑦14 =
2𝑛
𝑛
𝑥 + 15𝑥 + 54 =
8. 6𝑥 2 − 29𝑥 + 35 =
4
3
2 2
81𝑦 − 36𝑥𝑦 + 4𝑦 𝑥 =
9. 15𝑎2 + 8𝑥 2 − 26𝑎𝑥 =
2
5𝑥 + 7𝑦 − 10𝑥 − 14𝑥𝑦 =
10. 4𝑎2 + 13𝑎 + 3 =
2
9𝑚 − 64 =
11. 8𝑦 2 − 37𝑦 − 15
3
3
7𝑤(𝑤 + 1) − 9(𝑤 + 1) =
12. 2𝑎𝑏 − 24𝑎2 + 15𝑏 2 =
Relaciona cada trinomio con el coeficiente que completa el trinomio para que se pueda factorizar.
a.
2𝑥 2 + ____𝑥 + 3 =

10
b.
3𝑦 2 + _____𝑦 + 6 =

5
c.
7𝑎2 + ____𝑎 + 3 =

11
d.
6𝑚2 + ____𝑚 + 2 =

13
e.
5𝑝2 − _____𝑝 − 8 =

6
POLINOMIOS QUE CONTIENEN FACTORES LINEALES
Existen ciertos polinomios con coeficientes enteros que pueden descomponerse en dos o más factores lineales (factores que contengan
como máximo exponente la unidad), uno de los cuales es un binomio de la forma (𝑥 + 𝑎) .En general, en el polinomio dado no existe
un caso de factoreo anterior y suele tener entre cuatro a seis términos todos ellos con coeficientes enteros. Para encontrar estos factores
lineales, aplicamos la REGLA DE RUFFINI
Los polinomios para este tipo de ejercicio tienen la forma:
𝑘𝑥 3 + 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑝
El polinomio dado debe ser divisible por un binomio de primer grado de la forma (𝑥 + 𝑎) tomando en cuenta que 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑝 son los
coeficientes enteros. Al ser un polinomio divisible para (𝑥 + 𝑎) el número 𝑎 debe ser un factor de 𝑝, es decir el término independiente
del polinomio, cabe recalcar que el polinomio deberá estar ordenado.
Por lo tanto, el número 𝑎 habrá que buscarlo entre los divisores (positivos y negativos) de 𝑝, luego mediante varios ensayos a través de la
“division sintética” (teniendo presente que la división deberá hacerse para – 𝑎), hallamos el divisor para el cual el polinomio tiene
residuo cero.
Para factorizar estos polinomios, se expone a continuación el siguiente algoritmo:
Ejemplo 1:
Factorizar 𝑥 4 − 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 2𝑥 − 4
En este caso el polinomio esta ordenado, por lo tanto el término independiente es 4, entonces se buscan los divisores de 4, entre ellos
tenemos: ±1, ±2, ±4, por lo tanto, los posibles factores (𝑥 + 𝑎) del polinomio son: (𝑥 + 1),(𝑥 − 1),(𝑥 + 2),(𝑥 − 2),(𝑥 + 4),(𝑥 − 4).
Luego de esto, debemos realizar diferentes ensayos, hasta determinar el divisor para el cual, el polinomio tiene residuo cero. Se extraen
los coeficientes numéricos del polinomio, para la división, que se deberá realizar para −𝑎 y se tienen:
Para (𝑥 + 1) tenemos:
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Para (𝑥 − 1) tenemos:
Página 13
1 − 1 − 6 − 2 − 4 −1
−1 + 2 + 4 − 2
1 −2 −4 +2 −6
≠0
1 − 1 − 6 − 2 − 4 +1
1 0 −6 −8
1 0 − 6 − 8 − 12
≠0
Para (𝑥 + 2) tenemos:
1 − 1 − 6 − 2 − 4 −2
−2 + 6 0 + 4
1 −3 0 −2 0
=0
Para −2 el polinomio tiene residuo cero. Por lo tanto (𝑥 + 2) es el factor (𝑥 + 𝑥) buscado. El otro factor es 𝑥3 − 3𝑥2 − 2, este último,
esta dado por los coeficientes numéricos resultantes de la división acompañados de sus respectivos literales, se debe observar que el
primer coeficiente numérico siempre deberá tener su parte literal elevada a un exponente menor en una unidad al mayor exponente del
polinomio inicial, pues se realizó una división sintética.
El término con mayor exponente del polinomio inicial es 𝑥4 , por lo tanto el primer exponente de la parte literal del otro factor resultante
es 𝑥3 , Entonces:
Para (𝑥 + 2) tenemos:
1 − 1 − 6 − 2 − 4 −2
−2 + 6 0 + 4
1 −3 0 −2 0
𝑥3 − 3𝑥2 + 0𝑥 − 2
Por lo tanto:
𝑥4 − 𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 − 4 = (𝑥 + 2)(𝑥3 − 3𝑥2 − 2)
Hay que tomar en cuenta que el factor (𝑥 − 3𝑥2 − 2) ya no es factorizable por ningún método
3
Ejemplo 2:
Factorizar 16𝑥 − 5 − 8𝑥2 + 𝑥3 =
Primeramente debemos ordenar el polinomio:
𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥 − 5 =
En este ejercicio el término independiente es 5 como ya lo habíamos mencionado, el número 𝑥 buscado tendrá que ser un divisor de
este número, considerando divisores positivos y negativos; entre los divisores de 5 tenemos ±1, ±5.
Ahora se extraen los coeficientes numéricos del polinomio:
Para (𝑥 + 1) tenemos:
Para (𝑥 − 1) tenemos:
1 − 8 + 16 − 5 −1
−1 + 9 − 25
1 − 9 + 25 − 30
≠0
1 − 8 + 16 − 5 +1
+1 − 7 + 9
1 −7 +9 +4
≠0
Para (𝑥 + 5) tenemos:
Para (𝑥 − 5) tenemos:
1 − 8 + 16 − 5 −5
−5 + 65 − 405
1 − 13 + 81 − 410
≠0
1 − 8 + 16 − 5 +5
+5 − 15 + 5
1 −3 +1
0
= 0
El factor lineal, en
el
cual
el
polinomio que se
convierte en cero,
es (𝑥 − 5), el otro
factor es:
Para (𝑥 − 5) tenemos:
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 14
1 − 8 + 16 − 5 +5
+5 − 15 + 5
1 −3 +1
0
= 0
𝑥2 − 3𝑥 + 1
Por lo tanto:
𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥 − 5 = (𝑥 − 5)(𝑥2 − 3𝑥 + 1)
Al igual que en el ejemplo anterior no es factorizable el factor (𝑥2 − 3𝑥 + 1)
Ejercicio 3:
Factorizar 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6
El término independiente es 6, y sus divisores son ±1,±2,±3,±6, las divisiones correspondientes son:
Para (𝑥 + 1) tenemos:
1 − 6 + 11 − 6
−1 + 7 − 18
1 − 7 + 18 − 24
Para (𝑥 − 1) tenemos:
−1
1 − 6 + 11 − 6 +1
+1 − 5 + 6
1 −5 +6
0
=0
≠0
El factor lineal es (𝑥 − 1) y de acuerdo a los coeficientes numericos resultantes de la division sintética, es:
Para (𝑥 − 1) tenemos:
1 − 6 + 11 − 6 +1
+1 − 5 + 6
1 −5 +6
0
=0
𝑥 2 − 5𝑥 + 6
Entonces:
𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 5𝑥 + 6)
Ahora bien, el factor (𝑥 − 5𝑥 + 6)que es un trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 admite a su vez la descomposicion (𝑥 − 2)(𝑥 − 3).
Luego los factores están definidos por:
𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
Del mismo modo, existen algunos ejercicios que luego de haber aplicado la regla de Ruffini, uno de sus factores, se puede
descomponer mediante cualquier caso de factoreo mencionado anteriormente.
2
Ejemplo 4:
Descomponer en factores el siguiente polinomio 𝑥 3 − 12𝑥 + 16
Los divisores de 16 son ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, haciendo las divisiones respectivas determinamos la división para la cual el polinomio se
convierte en cero:
Para (𝑥 − 2) tenemos:
1
0 − 12 + 16 +2
+2 + 4 − 16
1 +2 −8
0
=0
𝑥 2 + 2𝑥 − 8
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 15
Cuando en el polinomio falta algún termino, su lugar se reemplaza con un cero como en el caso anterior, en ese polinomio no existe el
termino 𝑥 2 , es por esto que fue reemplazado con 0.
Los factores buscados son:
𝑥 3 − 12𝑥 + 16 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 − 8)
En el segundo factor existe un caso de factoreo, desarrollándolo tenemos:
𝑥 3 − 12𝑥 + 16 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)
Esto se reduce a:
𝑥 3 − 12𝑥 + 16 = (𝑥 − 2)2 (𝑥 + 4)
APLICACIÓN N°8
EN CLASE:
Factorizar completamente los siguientes ejercicios, tomando en cuenta que debes escoger 4 de los siguientes ejercicios planteados para
poder describir de manera escrita el desarrollo del caso estudiado:
1. 𝑥 3 − 8𝑥 + 3 =
8. 32𝑐 5 − 𝑑 5 =
3
2
2. 2𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 =
9. 𝑥 2 + 𝑥 − 2 =
2
2
3. 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 =
10. 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 14𝑥 + 5 =
2
2
4. (𝑥 − 2) − (𝑎 + 𝑥 − 3) =
11. 2𝑥 4 − 2𝑥 3 − 25𝑥 2 + 𝑥 + 12 =
2
5. 𝑚 + 13𝑚 − 90 =
12. 𝑥 3 − 24𝑥 + 5 =
2
2
6. 𝑎 − 20𝑎𝑥 + 51𝑥 =
13. 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2𝑥 − 6 =
3
7. 27𝑥 + 1 =
14. 𝑥 3 + 𝑥 − 𝑎𝑥 2 − 𝑎 =
15. Escribe el proceso para factorizar polinomios que contienen factores lineales.
16. ¿Cuál es la condición que deben cumplir los coeficientes numéricos para la aplicación de la regla de Ruffini?
EN CASA:
Factorizar completamente los siguientes ejercicios, tomando en cuenta que debes escoger 4 de los siguientes ejercicios planteados para
poder describir de manera escrita el desarrollo del caso estudiado:
1. 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 12𝑥 − 8 =
7. 5𝑚4 − 5𝑚 =
2
3
2
2. 𝑥 − 5𝑥 − 3𝑥 + 17𝑥 − 10 =
8. 𝑟 4 − (𝑟 − 2)2 =
2
2
(𝑎
3. 𝑥 − + 𝑏) =
9. ℎ6 𝑘 6 − 1 =
2
2
4. 4𝑥 − 8𝑎𝑥 + 4𝑎 =
10. 3𝑥 4 − 5𝑥 3 + 2𝑥 2 + 3𝑥 − 3 =
2
5. 𝑥 + 2𝑥 − 24 =
11. 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 + 20 =
2
6. 9𝑚 − 36𝑚 + 36 =
12. 𝑥 5 − 8𝑥 4 + 8𝑥 3 − 8𝑥 2 + 9𝑥 − 14 =
13. Encuentra el perímetro en cada figura. Luego factoriza cada expresión.
𝑥3
2𝑥 2
𝑥3
𝑥3
−14𝑥
−4𝑥 2
𝑥
9
8
6
PUESTA EN COMÚN: Para evidenciar de manera creativa que todos hayan entendido jugaremos BINGO ALGEBRAICO, como
una muestra de nuestro conocimiento
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 16
Es hora de poner nuestros conocimientos en manifiesto
Con la ayuda de tu maestro vamos a desarrollar el siguiente cuestionario que es el resumen de todo lo aprendido durante esta unidad.
En el presente trabajo se evaluará los siguientes criterios que deberás tomar en cuenta para un correcto desarrollo de tu trabajo, para ello
puedes consultar al final de cada guía didáctica en qué consiste cada criterio.
CRITERIO A (4 puntos)
CRITERIO B (6 puntos)
CRITERIO C (6 puntos)
CRITERIO D (4 puntos)
1.
2.
Una de las clases de vasos sanguíneos son las arterias, que se encargan de llevar la sangre desde el corazón a los distintos
órganos del cuerpo. Sus gruesas paredes elásticas les permite cambiar su diámetro en función de la cantidad de sangre que
transporten en ese momento.
El polinomio que expresa la velocidad de la sangre en centímetros por segundo es 𝐶𝑅2 − 𝐶𝑟 2 , donde 𝑅 es el radio mayor,
𝑟 corresponde al radio menor y 𝐶 es el flujo sanguíneo.
a) Analiza la expresión y luego factorízala.
b) Si, en una arteria 𝑅 = 0,3 𝑐𝑚 y 𝑟 = 0,1𝑐𝑚, ¿Qué expresión representa la velocidad de la sangre en ese momento?
En una carrera de autos, existen 6 competidores, de los cuales 2 pertenecen al equipo local, (AZUAY) y se les identifica con la
letra 𝑎, seguida de las letras 𝑦, y 𝑧, de donde (el exponente de la letra 𝑦 depende del número de carreras que haya ganado) y
de donde (el exponente de la letra 𝑧 expresa el número de accidentes que ha tenido). Cuando pertenecen a otra provincia de
cualquier parte del país, se los identifica con 𝑏, y por último cuando es extranjero, el equipo se identifica con la letra 𝑐.
a) Forma las expresiones algebraicas que identifican a cada jugador
b) Unir a manera de suma cada expresión para formar un polinomio.
c) Factoriza el polinomio
Piloto
1
2
3
4
5
6
3.
Equipo (provincia)
AZUAY
AZUAY
GUAYAS
PICHINCHA
BOGOTÁ
BUENOS AIRES
Carreras ganadas (𝒚)
1
2
1
3
4
3
Número de accidentes (𝒛)
5
2
4
3
8
3
En la construcción de proyectos urbanos, los arquitectos presentan sus propuestas utilizando diagramas de los planos de sus
construcciones, para que sus clientes comprendan fácilmente los proyectos. Para explicar a un cliente cómo es la ubicación de
la sala, del espacio para colocar el equipo de sonido, se realizó es siguiente diagrama.
Tomando en cuenta que la sala es cuadrada, y conociendo que tiene de lado 5𝑥 y el lugar para colocar los equipos de sonido
tiene de lado 3𝑥, como indica la figura.
a) Calcular el área que resulta de la diferencia del área mayor del área menor.
b) Factoriza la expresión
3𝑥
4.
5.
6.
Expresión algebraica
𝑎𝑦1 𝑧 5
5𝑥
Formar con cualquier material disponible, dos cubos perfectos, el primero de 3 cm por cada uno de sus aristas, y un segundo
de 2 cm por cada una de sus aristas, presenta en clases en la fecha acordada con tu profesor.
Acompañando a este trabajo manual, en una cartulina tamaño A4 y con ayuda de los cubos formados, realiza la diferencia de
volúmenes entre el cubo mayor al que llamaremos de arista 3𝑥 y la diferencia del cubo menor que tendrá de arista 2𝑦, y una
vez encontrada la diferencia, factorizar.
El producto de dos números es 𝑛2 + 3𝑛 + 2 ¿qué relación hay entre los dos números?
Observa cada gráfico y determina la base y la altura de cada cuadrilátero
𝐴 = 𝑚4 + 4
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
𝐴 = 4𝑝4 + 1
Página 17
7.
8.
En el campeonato ecuatoriano de fútbol se dieron los siguientes resultados en la tabla de goleadores, el número de de goles del
jugador Julio Angulo, es de 𝑥, el producto de los goles que anotó, Maximiliano Bevaqua y Hernán Barcos, dan como resultado
el polinomio 𝑥 2 + 3𝑥 + 2, si se sabe que el goleador del campeonato es Hernán Barcos, responder las siguientes preguntas.
a) Resolver el polinomio propuesto
b) Comparar el número de goles anotados por cada goleador y colocar en orden con sus respectivos goles.
c) Reemplazar el valor de 𝑥 por 𝑥 = 20 y decir cuántos goles anotó cada goleador.
d) Averiguar e investigar cuáles son los nombres de los verdaderos goleadores del campeonato ecuatoriano en el año 2011,
con sus respectivos goles (los tres primeros).
Para construir un joyero, se utilizó una cartulina cuadrada cuya área es 64𝑥 2 + 192𝑥 + 144; luego, se cortaron los cuadrados
de las esquinas como se muestra la figura. Escribe una expresión que permita calcular el área de la base del joyero. Además de
hallar el volumen que tiene el joyero.
𝐴 = 4𝑥 2 − 20𝑥 + 25
9.
Hallar el perímetro de la siguiente figura y luego factoriza la expresión
16𝑥
15
𝑥2
10. El volumen de la pecera del colegio está representado por el polinomio 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 3𝑥 − 10. Factoriza el polinomio y
encuentra las dimensiones de la pecera. Una vez hallada las dimensiones reemplazar por 𝑥 = 8𝑐𝑚 y decir las medidas reales
de la pecera.
RECURSOS:
o Cartulina tamaño A4
o Marcadores
o Pinturas
o Juego geométrico
o Cuaderno
o Hojas perforadas
VALORACIÓN CONTINUA:
Al momento de desarrollar tus trabajos y tareas toma en cuenta las siguientes escalas de valoración para tener un desarrollo
excelente de esta guía:
CRITERIO A
Comunicación matemática: (máximo 6 puntos):
Nivel
0
1-2
3-4
5-6
Descriptor del Nivel
El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación.
El alumno muestra un uso básico del lenguaje matemático o de las formas de representación matemática, o ambos. Las
líneas de razonamiento son difíciles de seguir.
El alumno muestra un uso suficiente del lenguaje matemático y de las formas de representación matemática. Las líneas de
razonamiento son claras, pero no siempre lógicas o completas. El alumno cambia de unas formas de representación
matemática a otras con cierta eficacia.
El alumno muestra un buen uso del lenguaje matemático y de las formas de representación matemática. Las líneas de
razonamiento son concisas, lógicas y completas. El alumno cambia de unas formas de representación matemática a otras
de forma eficaz.
Paúl Fárez
Novenos de básica
Guía de trabajo N°2
Página 18
CRITERIO B
Conocimiento y comprensión: (máximo 8 puntos)
Nivel
0
1-2
3-4
5-6
7-8
Descriptor del Nivel
El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación.
El alumno intenta hacer deducciones al resolver problemas sencillos en contextos conocidos.
En ocasiones, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas sencillos y de carácter más complejo
en contextos conocidos.
Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas que plantean un desafío en una
variedad de contextos conocidos.
El alumno hace deducciones adecuadas en todo momento al resolver problemas que plantean un desafío en una
variedad de contextos, incluidas situaciones desconocidas.
CRITERIO C
Investigación de patrones: (máximo 8 puntos)
Nivel
0
1-2
3-4
5-6
7-8
Descriptor del Nivel
El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación.
El alumno aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones sencillos, aunque
necesita cierta orientación por parte del profesor.
El alumno selecciona y aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones y sugiere
relaciones o reglas generales.
El alumno selecciona y aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones, describe
los patrones como relaciones o reglas generales y saca conclusiones de acuerdo con los hallazgos.
El alumno selecciona y aplica técnicas matemáticas de resolución de problemas para reconocer patrones, describe
los patrones como relaciones o reglas generales, saca conclusiones de acuerdo con los hallazgos y proporciona
justificaciones o demostraciones.
CRITERIO D
Reflexión en matemáticas: (máximo 6 puntos)
Nivel
0
1-2
3-4
5-6
Descriptor del Nivel
El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación.
El alumno intenta explicar si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema. El alumno intenta
describir la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real.
El alumno explica de forma correcta, aunque breve, si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema y
describe la importancia de los hallazgos en relación con la vida real. El alumno intenta justificar el grado de
precisión de sus resultados, cuando corresponde.
El alumno explica de forma razonada si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema y proporciona
una explicación detallada de la importancia de sus hallazgos en relación con la vida real. El alumno justifica el
grado de precisión de sus resultados, cuando corresponde. El alumno sugiere mejoras para el método cuando es
necesario.
LISTA DE TEXTOS CONSULTADOS:

Charles Lehmann, Algebra. Limusa Noriega editores

Grupo Océano. Manual de juegos, Editorial Océano

Almeida. Nicola. Matemática 10. 2003, Quito, Ed. Holos

Grupo Santillana. Competencias 10. Quito, 2008.

Holguín, Orlando. Evidencia Matemática 10. 2006, Guayaquil, Ed. Holguín
Paúl Fárez
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Guía de trabajo N°2
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