Para poder especificar el teorema de Clausius, sería de gran utilidad e importancia especificar como como es posible que en un proceso reversible se es posible calcular la entropía, puesto que DS>0 es una puta que determina el desplazamiento en el cambio en algún proceso, considérese entonces la razón de cambio de la energía interna U en un proceso que solo involucre Presión y Volumen desde un punto de vista reversible: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 − 𝑃 𝑑𝑉 Este modelo matemático debería explicar mediante un proceso presión-volumen el cambio de energía interna U, sin embargo, no propone las variables que se involucran en un proceso aislado. Se especifica ahora el cambio de energía interna en el mismo proceso presión-volumen proponiendo como variable flujo de calor y la presión externa 𝑑𝑈 = 𝑑𝑞 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉 Ahora se busca relacionar estas 2 ecuaciones: 𝑑𝑞 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉 = 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 − 𝑃 𝑑𝑉 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 = 𝑃 𝑑𝑉 + 𝑑𝑞 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 = 𝑃 𝑑𝑉 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑉 + 𝑑𝑞 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 = (𝑃 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 )𝑑𝑉 + 𝑑𝑞 Ergo elaboramos una ecuación más que, en términos de calor, especifique un cambio en el proceso presión-volumen 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 − 𝑑𝑞 = (𝑃 − 𝑃𝑒𝑥𝑡 ) 𝑑𝑉 En el paso siguiente analizaremos expansión y contracción del sistema; si ΔP >0 el sistema reduce su espontaneidad, mientras que si ΔP<0 el sistema aumenta su espontaneidad. En términos de entropía escogeremos las variables que nuevamente se involucren en un proceso presión -volumen 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑃 𝑑𝑉 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 − 𝑃 𝑑𝑉 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑃 𝑑𝑉 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 = 𝑇 𝑑𝑆 En este último paso se busca la relación de la entropía 𝑑𝑆 = 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 𝑇 Con esta última ecuación se busca entender la entropía para procesos irreversibles, es decir cuando el sistema aumenta du espontaneidad o sencillamente ΔP<0 𝑑𝑆 > 𝑑𝑞 𝑇 Esta última es la desigualdad de Clausius que cumple que para un sistema aislado ΔS>0 Ya se puede dimensionar la entropía en un proceso cíclico en el que ocurre un cambio en el estado inicial al estado final es reversible, más no es un camino reversible del estado final a la inicial. La relación que se plantea para un proceso cíclico es un integral que dimensiona la cantidad de entropía generada en la variación del cambio generado. Dado que: 𝑑𝑆 = 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑞 ∮ = 𝑇 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 𝑇 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 ∫ + ∫ 𝑇 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑞𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 𝑇 De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, la primera integral puede invertir su sentido, convirtiéndose negativa, de manera que: 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑞 ∮ =− ∫ 𝑇 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑞𝑟𝑒𝑣 + ∫ 𝑇 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑞𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣 𝑇 Este diagrama presión – volumen representa en un ciclo de Carnot una función que cambia de un estado inicial a un estado final
