metodos de linealizacion de sistemas

Proyecto de Grado
Presentado ante la ilustre Universidad de Los Andes como requisito final para
obtener el Tı́tulo de Ingeniero de Sistemas
La linealización basada en la velocidad: Un
análisis comparativo
Por
Br. John Harold Rodrı́guez Castaño
Tutor: Dr. Addison Rı́os Bolı́var
Octubre 2016
c 2016 Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela
La linealización basada en la velocidad: Un análisis
comparativo
Br. John Harold Rodrı́guez Castaño
Proyecto de Grado — Control y Automatización, 112 páginas
Resumen: En el presente trabajo de grado se realiza un análisis comparativo de los
diferentes métodos de linealización (aproximada, extendida, exacta y basada en la
velocidad), donde se establecen las condiciones, los requerimientos y las caracterı́sticas
para cada método, ası́ como el desempeño del sistema.
La linealización es una
herramienta que permite analizar caracterı́sticas del sistema no lineal, en una región,
también permite realizar el diseño de controladores. Esto debido a que la teorı́a de los
sistemas lineales está muy bien desarrollada, en comparación a la de los sistemas no
lineales, donde aún existen carencias.
La linealización aproximada está fundamentada en la serie Taylor, truncada en los
términos de primer orden y evaluada alrededor de un punto de equilibrio.
La linealización extendida está basada en la aproximada, con la diferencia que se diseña
para un conjunto de puntos de equilibrio parametrizados por la señal de entrada, de
manera que el controlador lineal coincida con el controlador no lineal.
La linealización exacta es una técnica basada en la geometrı́a diferencial, donde se
realiza la transformación del sistema no lineal, con la finalidad de obtener la forma
canónica controlable, donde el controlador sea capaz de ”cancelar las no linealidades
del sistema”.
La linealización basada en la velocidad (LBV), está basada en la aproximada, pero
el sistema adopta la estructura de los sistemas lineales a parámetros variantes (LPV),
donde los parámetros variantes determinan las trayectorias del sistema, además la LBV
no se limita a la región de los puntos de equilibrio solamente, sino que puede operar
en cualquier punto que no sea de equilibrio, debe señalarse, que los puntos fuera del
equilibrio, carecen de significado fundamental para el sistema, esto porque son puntos
transitorios.
Una de las limitaciones es la clase de sistemas no lineales que soportan, para la
linealización exacta, el sistema no lineal debe ser afines a la entrada, para las demás
linealizaciones (aproximada, extendida y basada en la velocidad), el sistema no lineal es
general. También se tiene que el error de la LBV, la extendida y la exacta es pequeño en
comparación a la aproximada, esto porque sus regiones de operación son más amplias
con respecto a la aproximada, asegurando un buen seguimiento de referencia, incluso
cuando el parámetro variante va cambiando.
Palabras clave: Sistemas no lineales, Linealización, Linealización basada en la
velocidad, Sistemas lineales, Sistemas LPV.
A Dios por todas las bendiciones recibidas
y a todos los seres amados que con su cariño hacen que
todo sea posible.
Índice
Índice de Tablas
viii
Índice de Figuras
ix
1 Introducción
1
1.1
Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.1
Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.2
Objetivos especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Metodologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Estructura del Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.7
Fundamentos Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7.1
Sistema No Lineal (SNL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.7.2
Campo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7.3
Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7.4
Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7.5
Estabilidad en el sentido Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7.6
Controlabilidad y Observabilidad de Sistemas No Lineales . . .
10
1.7.7
Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7.8
Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.7.9
Sistemas Lineales a Parámetros Variantes (SLPV) . . . . . . . .
16
1.7.10 Controlabilidad de Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . .
20
v
1.7.11 Observabilidad de Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7.12 Control por Realimentación del Vector Estados (RVE) . . . . .
21
1.7.13 Observador de Estados
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Linealización Aproximada
25
2.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
Punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3
Linealización de Sistemas No Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Requerimientos y Condiciones de la linealización Aproximada
. . . . .
29
2.5
Ejemplo de un tanque cónico por linealización aproximada . . . . . . .
30
3 Linealización Extendida
33
3.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2
Control por Realimentación de Estados por linealización Extendida . .
34
3.3
Requerimientos y Condiciones de la linealización Extendida . . . . . . .
36
3.4
Ejemplo de un péndulo simple por linealización extendida . . . . . . . .
38
4 Linealización Exacta
4.1
42
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.1.1
Difeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2
Linealización Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3
Requerimientos y Condiciones de la linealización Exacta . . . . . . . .
49
4.4
Ejemplo de un sistema de tanques interconectados . . . . . . . . . . . .
50
5 Linealización Basada en la Velocidad
55
5.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2
Linealización Fuera del Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.3
Linealización Basada en la Velocidad (LBV) . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.4
Requerimientos y Condiciones de la LVB . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.5
Ejemplo de un manipulador robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6 Análisis Comparativo
6.1
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
66
6.2
Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones . . . . . . . . . . .
66
6.3
Linealización de un Sistema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.4
Desempeño del sistema controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.4.1
86
6.4.2
Respuesta del sistema ante variación del parámetro V (t)
. . .
Respuesta del sistema para V(t) constante con valor nominal
cuando la referencia cambia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3
6.4.4
Respuesta del sistema ante variación del parámetro V (t) cuando
la referencia cambia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Desempeño del sistema ante criterios de error . . . . . . . . . .
89
7 Conclusiones y recomendaciones
7.1
86
93
Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografı́a
94
95
A Criterios de Desempeño para cada método de linealización
100
B Fundamentos de Control Robusto
105
B.1 Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.1.1 Calculo de la norma H2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B.2 LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B.3 Control por Realimentación de Estados por H2 . . . . . . . . . . . . . . 107
C Algunas Definiciones
109
C.0.1 Función Implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C.0.2 Función definida positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.1 Representación de los Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Índice de Tablas
1.1
Análisis comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6.1
Tipos de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.2
Condiciones y requerimientos para la linealización . . . . . . . . . . . .
71
6.3
Caracterı́sticas para la linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
6.4
Combinación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.5
Criterios de desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
viii
Índice de Figuras
1.1
Tipos de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Diagrama de Bloque de un sistema LPV (u entradas, y salidas y ρ el
15
parámetro variante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3
Esquema del controlador por RVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4
Observador de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1
Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2
Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3
Tanque cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4
Respuesta del tanque cónico no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.5
Tanque cónico por lin. Aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6
Comparación del sistema no lineal con el linealizado . . . . . . . . . . .
32
3.1
Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2
Péndulo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3
Péndulo por linealización Extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.1
Tanques interconectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2
Tanques interconectados no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3
Tanque interconectados por linealización exacta . . . . . . . . . . . . .
54
5.1
Puntos de validez de la linealización aproximada y fuera del equilibrio
58
5.2
Manipulador Robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.3
Sistema no lineal del brazo robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.4
Manipulador Robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
ix
6.1
Respuesta del sistema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6.2
Respuesta del sistema linealizado de manera aproximada . . . . . . . .
78
6.3
Respuesta del sistema por linealización extendida . . . . . . . . . . . .
80
6.4
Respuesta del sistema por linealización exacta . . . . . . . . . . . . . .
82
6.5
Controlador robusto mediante H2 para el sistema en estudio . . . . . .
85
6.6
Respuesta del sistema con V (t) variante, para una referencia de
6.7
Respuesta del sistema con V (to ) nominal ante cambios en la referencia
π
4
. . .
del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8
86
87
Respuesta del sistema con V (t) variante ante cambios en la referencia
del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Error del sistema ante cambios en la referencia cuando V (t) es variante
89
6.10 Desempeño del sistema con criterio ISE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.11 Desempeño del sistema con criterio IAE . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.9
A.1 Desempeño de la lin. Aproximada con el criterio IAE . . . . . . . . . . 101
A.2 Desempeño de la lin. Aproximada con el criterio ISE . . . . . . . . . . 101
A.3 Desempeño de la lin. Extendida con el criterio IAE . . . . . . . . . . . 102
A.4 Desempeño de la lin. Extendida con el criterio ISE . . . . . . . . . . . 102
A.5 Desempeño de la lin. Exacta con el criterio IAE . . . . . . . . . . . . . 103
A.6 Desempeño de la lin. Exacta con el criterio ISE . . . . . . . . . . . . . 103
A.7 Desempeño de la lin. B. Velocidad con el criterio IAE . . . . . . . . . . 104
A.8 Desempeño de la lin. B. Velocidad con el criterio IAE . . . . . . . . . . 104
C.1 Bloque para LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Capı́tulo 1
Introducción
1.1
Antecedentes
Una de las primeras referencias que se encuentra sobre la linealización basada en la
velocidad es la de Leith y Leithead (1998a), donde un miembro de la familia de esta
linealización es válida alrededor de cualquier punto de operación, inclusive, fuera del
equilibrio. Por lo tanto, permite que el comportamiento transitorio del sistema no lineal
sea investigado, además si cada uno de los modelos obtenidos debido a la variación de
los parámetros actúan como una sola pieza en conjunto, se aproxima a la solución de
un sistema no lineal (dado que la linealización Jacobiana está confinada a un análisis
para una trayectoria), que depende de que tan distantes están los puntos de operación
uno del otro.
En Leith (1999) la linealización basada en la velocidad es una descripción alternativa
de un sistema no lineal, en términos de una familia de sistemas lineales, permite aplicar
la estrategia divide y vencerás, donde el diseño del controlador para el sistema por
asignación de ganancia, para cada miembro de la familia actuando en conjunto, permite
incorporar los puntos de operación fuera del equilibrio, ası́ como la dinámica transitoria
entre los puntos de operación y los que se encuentra fuera del equilibrio.
Esta metodologı́a de linealización basada en la velocidad requiere de la medida
de los parámetros variantes o estimación de los mismos, donde el parámetro variante
depende de algunos estados y/o el vector de entradas del sistema. Además, se hace
1.1 Antecedentes
2
énfasis en que la metodologı́a basada en la velocidad no requiere de una variación lenta
(cambio mı́nimo entre valores del parámetro variante). Finalmente, la dinámica de
la linealización basada en la velocidad y la linealización exacta, son complementarias
en ciertos aspectos. En particular, la primera es dinámica y se reduce a la inversión
del lazo abierto, en el caso lineal, mientras que la segunda es estática y utiliza la
realimentación de estados completo.
Como se dice en Leith y Leithead (1999a), el estudio de los métodos por asignación
de ganancia para sistemas LPV es una tema de gran interés, estos métodos están
relacionados con varios tipos de representaciones LPV / causi-LPV, sin embargo,
algunos sistemas no lineales requieren de esa representación; ası́ como hay bastantes
métodos de aproximaciones para alcanzar la representación de sistemas a parámetros
variantes, como lo son; la familia de linealización aproximada, las aproximaciones
basadas en el teorema del valor medio y la reformulación dependiente de la salida
para sistemas cuasi-LPV. Sin embargo, es notable la existencia de restricciones en la
clase de sistemas no lineales que soportan esta representación y/o permiten una región
de operación. Es por ello, que la linealización basada en la velocidad para sistemas no
lineales, permite una representación bastante amplia de sistemas cuasi-LPV, además
esta representación LPV no tiene restricciones en la vecindad de los puntos de equilibrio.
Al lograr la transformación cuasi-LPV del sistema no lineal, es posible aplicar
los métodos para el diseño de controladores LPV por asignación de ganancia. De
esta manera, la representación cuasi-LPV obtenida a través de la linealización basada
en la velocidad (utilizando los métodos de diseño de controladores por asignación de
ganancia), tiene una relación entre, el sistema cuasi-LPV no lineal y el sistema lineal
obtenido para un valor particular del parámetro. Esta relación es válida para los puntos
de equilibrio, incluyendo aquellos que están fuera de él.
Tomando Reberga y Vary (2005) donde se realiza la representación lineal del motor
de un turbo ventilador, utilizando dos metodologı́as diferentes, la representación basada
en la velocidad y la linealización aproximada, donde la linealización basada en la
velocidad tiene como caracterı́stica general, que produce una representación de sistemas
cuasi-LPV, por lo cual, una familia de él aproxima la dinámica de todo el sistema no
lineal; además amplı́a el grado del sistema gracias al integrador que aparece a la salida,
1.2 Planteamiento del problema
3
que elimina el error en estado estable, donde se enfatizan las ventajas y desventajas
que presentan cada método.
En Gao y Coyle (2004) se muestra la metodologı́a para diseñar un controlador
por realimentación de estados utilizando la linealización basada en la velocidad.
Esta representación, genera una acción integral al sistema, presentando un excelente
desempeño en el seguimiento de trayectoria y una fuerte robustez al sistema.
En Cai y Hu (2011) el diseño de controladores para sistemas LPV, se realiza
utilizando la metodologı́a de la linealización basada en la velocidad, donde se lleva
a cabo el diseño de un controlador de vuelo para un vehı́culo hipersónico, el cual,
debido a la ventaja que ofrece la linealización basada en la velocidad (es válida fuera
de los puntos de equilibrio), permite obtener un seguimiento asintótico de los estados
del sistema, se resumen los pasos para obtener un modelo por linealización basada en
la velocidad, ası́ como el diseño del controlador por medio de una LMI (desigualdades
matriciales lineales), que garantiza la zona de operación del sistema.
1.2
Planteamiento del problema
Dadas las técnicas de linealización de sistemas no lineales, se desea realizar un análisis
comparativo de la linealización basada en la velocidad con los métodos de linealización;
aproximada, extendida y exacta, que permita establecer las diferencias de cada una de
las técnicas, en cuanto a implementación, requerimientos, caracterı́sticas y desempe?o.
1.3
Justificación
Representar la complejidad de los sistemas no lineales, mediante equivalentes lineales
alrededor de una región, donde se puedan estudiar las caracterı́sticas del sistema no
lineal, o llevar acciones de control, han llevado al desarrollo de técnicas de linealización
tales como: la aproximada, la extendida, la exacta y la basada en la velocidad. Es por
esta razón que es necesario conocer las caracterı́sticas y limitaciones, de cada una de
las técnicas de linealización, con el fin de observar las ventajas y desventajas de cada
método.
1.4 Objetivos
1.4
4
Objetivos
1.4.1
Objetivos generales
Realizar un análisis comparativo de la linealización basada en la velocidad con los
métodos de linealización aproximada, exacta y extendida, para sistemas no lineales
utilizando como criterios las caracterı́sticas del sistema linealizado, los requerimientos
y condiciones para la linealización, el tipo del sistema a linealizar y el desempeño del
sistema bajo un criterio de sı́ntesis (ver Tabla de comparación 1.1).
Tipo
de
Tipo
linealización sistema
Linealizar
a
Requerimientos
Caracterı́sticas Criterio de
Desempeño
y
del
sı́ntesis de
del sistema
control
controlado
Condiciones
para
la
sistema
Linealizado
linealización
Tabla 1.1: Análisis comparativo
1.4.2
Objetivos especı́ficos
• Estudiar los métodos de linealización aproximada, exacta y extendida.
• Estudiar la linealización basada en la velocidad.
• Realizar la linealización aproximada, exacta y extendida del sistema no lineal en
estudio.
• Realizar la linealización basada en la velocidad del sistema en estudio.
• Investigar el comportamiento de los sistemas LPV.
• Realizar un análisis comparativo de los métodos de linealización, utilizando
como criterios las caracterı́sticas del sistema linealizado, los requerimientos y
condiciones para la linealización, el tipo del sistema a linealizar y el desempeño
del sistema bajo un criterio de sı́ntesis.
• Analizar los resultados obtenidos mediante el análisis comparativo.
1.5 Metodologı́a
1.5
5
Metodologı́a
Se desea realizar un análisis comparativo entre los diferentes métodos de linealización
(aproximada, exacta y extendida), con el método de linealización basada en la
velocidad. Se parte de un sistema no lineal, donde se revisan las caracterı́sticas de
Controlabilidad y Observabilidad para aplicar cada método al sistema no lineal.
Como la linealización basada en la velocidad es la principal técnica en el trabajo a
desarrollar, se estudian todos los pormenores para aplicarla a un sistema no lineal, al
igual que con las demás técnicas de linealización. Dado que, la representación basada
en la velocidad tiene parámetros variantes, es por ello, que se estudian los sistemas
lineales a parámetros variantes (LPV).
Teniendo el sistema linealizado, se realiza la comparación de cada método de
linealización, con el objeto de realizar un análisis de los resultados obtenidos, producto
de las comparaciones realizadas, con la finalidad de observar las carácterı́sticas,
condiciones y requerimientos del sistema, ası́ como el desempeño que tiene.
1.6
Estructura del Documento
El documento se divide en 7 capı́tulos que se estructuran de la siguiente manera:
En el Capt́ulo 1: se hace una descripción sobre el trabajo a realizar a lo largo del
documento, ası́ como también se dan los fundamentos teóricos.
En el Capı́tulo 2: se estudia el método de linealización Aproximada, donde se dan
las pautas para su realización, ası́ como se muestra un ejemplo de la misma.
En el Capı́tulo 3: se realiza el estudio para la linealización Extendida, al igual que
el caso anterior, se realiza un ejemplo de esta implementación.
En el Capı́tulo 4: se hace un estudio de la linealización Exacta, método basado
en la geometrı́a diferencial, se da un ejemplo donde se expone la implementación del
mismo.
En el Capı́tulo 5: se realiza el estudio de la linealización basada en la Velocidad,
método que genera una representación cuasi-LPV del sistema no lineal, se expone un
ejemplo de esta implementación.
1.7 Fundamentos Teóricos
6
En el Capı́tulo 6: se hace el análisis comparativo de todos los métodos de
linealización anteriormente mencionados.
Finalmente en el Capı́tulo 7: se realiza las conclusiones de todo el trabajo realizado
y se hacen recomendaciones para futuros trabajos.
1.7
Fundamentos Teóricos
En esta sección se desarrollan los conceptos teóricos fundamentales, que son necesarios
para el desarrollo de todo el trabajo grado.
1.7.1
Sistema No Lineal (SNL)
Dada la gran complejidad que representan los sistemas no lineales, debido a sus
comportamientos y caracterı́sticas, y lo difı́cil de trabajar con ellos, es por tanto, que
se recurre a las representaciones lineales en una región (linealización), con el propósito
de estudiar su comportamiento y realizar acciones de control.
Sea el sistema dado en la Ec. (1.1) como
ẋ = f (t, x, u),
(1.1)
y = h(t, x, u),
donde t el tiempo, x ∈ Rn estados, u ∈ Rm , entradas, y ∈ Rp salidas y f, h son
funciones suaves. Se suele utilizar la notación de vectores para escribir (1.1) en una
forma más compacta, como ecuaciones diferenciales n-dimensionales de primer orden
(Khalil y Grizzle, 2000).
La representación (1.1) describe de manera general, a los sistemas no lineales. Hay
otras representaciones, pero no son tan generales, tales como la de Ec. (1.2).
ẋ = f (x) + g(x)u
.
(1.2)
y = h(x)
La representación (1.2) es un sistema no lineal afines a la entrada caracterizado
por ser lineal en la función de entrada u y las funciones f, g son funciones suaves,
h : Rn → Rp es una transformación suave.
1.7 Fundamentos Teóricos
7
El sistema (1.1) se dice que es forzado o tiene una entrada en contraste al sistema
descrito en la Ec. (1.3) de la forma
ẋ = f (t, x),
(1.3)
para este caso, el sistema es no forzado (Vidyasagar, 2002).
Un caso especial, ocurre cuando la función no depende explı́citamente del tiempo,
ẋ = f (x),
(1.4)
en este caso, se dice que el sistema (1.4) es autónomo o invariante en el tiempo,
es decir, que la variable t no afecta el lado derecho de la ecuación de estados, en caso
contrario el sistema es no autónomo o variante en el tiempo (Khalil y Grizzle, 2000).
1.7.2
Campo Vectorial
Definición 1.1. Un campo vectorial en Rn es una función F : D ⊆ Rn → Rn ,
que asigna a cada punto X = (x1 , x2 , · · · , xn ) de su dominio D un vector F (X) =
(F1 (X), F2 (X), · · · , Fn (X)).
Definición 1.2. Sea un conjunto abierto en R y una función f definida en ese conjunto
y sea i ∈ Z + un entero no negativo, la función es de clase C ∞ o función suave si sus
derivadas f 0 , f 00 . . . , f i existen y son continuas.
1.7.3
Derivada de Lie
Sea h : Rn → Rn una función escalar suave y f : Rn → Rn un campo vectorial suave
en Rn , entonces, la derivada de Lie (Lf h)de h con respecto de f es una función escalar
definida como la derivada direccional de h en la dirección de f , dada como esta en la
Ec. (1.5).
Lf h = ∇ h f =
∂h
f (x)
∂x
De manera recursiva se expresa como la Ec. (1.6),
(1.5)
1.7 Fundamentos Teóricos
8
L0f h =
h,
L1f h =
..
.
∇h f,
(1.6)
Lif h = Lf Lfi−1 h = ∇hi−1 f,
Para i = 0, 1, · · · , n. Además si g es otro campo vectorial entonces se tiene la Ec.
(1.7),
Lg Lf h = Lg (Lf h) = ∇(Lf h)g.
1.7.4
(1.7)
Corchete de Lie
Sea f y g campos vectoriales suaves en Rn , se define el corchete de Lie [f, g] de f y g,
como un tercer campo vectorial dado por Ec. (1.8),
[f, g] = ∇f g − ∇g f,
∂g
∂f
g−
f.
=
∂x
∂x
(1.8)
Otra notación para el corchete de Lie es [f, g] = adf g.
Al igual que la derivada de Lie, también se tiene de manera recursiva como en la
Ec. (1.9).
ad0f g =
g,
ad1f g =
..
.
∇f g
− ∇g f,
(1.9)
adif g = [f, adi−1
f g],
Para i = 0, 1, · · · , n.
1.7.5
Estabilidad en el sentido Lyapunov
Sea BR una región esférica (o bola), definida por kxk < R en el espacio de estados y
SR la esfera misma, definida por kxk = R.
Donde kxk es la norma del vector (Slotine et al., 1991).
1.7 Fundamentos Teóricos
9
Definición 1.3. El equilibrio de los estados x = 0 se dice que es estable si para
cualquier R > 0 existe un r > 0, tal que, si kx(0)k < r, entonces kxk < R para todo
t ≥ 0, de lo contrario, el punto de equilibrio es inestable.
R el radio de la esfera SR y r es el radio de la esfera Sr . Este concepto de estabilidad
en el sentido Lyapunov está definido para sistemas autónomos dado en la Ec. (1.4),
donde el punto de equilibrio es el origen x(0) = 0.
En este sentido, la estabilidad según Lyapunov, significa que la trayectoria del
sistema se puede mantener arbitrariamente cerca del origen, para cualquier condición
inicial lo suficientemente cerca del origen.
Definición 1.4. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable y si
existe un r > 0 tal que, kx(0)k < r implica que, x(t) → 0, cuando t → ∞.
Definición 1.5. Un punto de equilibrio es exponencialmente estable si existe α ∈ R+
y β ∈ R+ , tal que
kx(t)k ≤ αkx(0)ke−βt ,
(1.10)
x(0) ∈ Br , alrededor del origen, β es la tasa de convergencia exponencial.
Esto puede entenderse,
como que el vector de estados de un sistema
exponencialmente estable, converge al origen tan rápido como una función exponencial
(Slotine et al., 1991).
Se dice que un sistema es estable si la energı́a total es continuamente decreciente,
hasta que alcanza un estado de equilibrio. Por lo tanto, la función de energı́a debe ser
definida positiva y su derivada definida negativa.
No existe una manera sencilla de definir una función de energı́a para un sistema
puramente matemático, Lyapunov, propuso una función de energı́a ficticia, llamada
función de Lyapunov (Ogata, 1998).
Definición 1.6. Sea V (x) una función escalar donde x es un vector de dimensión n,
es definida positiva si los estados x satisfacen:
V (x) = c
(1.11)
1.7 Fundamentos Teóricos
10
Donde c es una constante positiva y se encuentra en una hipersuperficie cerrada
en el espacio de estados de n dimensiones, al menos en la cercanı́a del origen, cuando
V (x) → ∞, conforme kxk → ∞, entonces las superficies cerradas se extienden sobre
el espacio de estados completo.
Por lo tanto, si se encuentra una función escalar V (x) definida positiva, tal que,
su derivada con respecto del tiempo, es definida negativa a lo largo de una trayectoria,
el sistema es estable en el sentido Lyapunov.
Finalmente, se tiene que si V (x) es una función continuamente diferenciable, tal
que:
1. V (x) > 0 y V (0) = 0 en un dominio que no contiene al origen.
2. V (x) < 0 en un dominio que contiene al origen
Indica que el sistema debe converger al origen. Se entiende, que esto aplica para
sistemas autónomos dado en la Ec. (1.4).
1.7.6
Controlabilidad y Observabilidad de Sistemas No
Lineales
Sea M una variedad suave de dimensión n denotada por u en una vecindad abierta de
x ∈ M . Considérese un sistema de control κ, descrito por coordenadas locales como:
κ=
(
Pm
ẋ(t) = f (x(t)) +
i=1 gi (x(t))ui (t)
y(t) = h(x(t))
x(0) = x0
(1.12)
Donde ui es una función de control, con valores en un conjunto convexo ω ⊂ R, con
x ∈ M el estado de trayectoria y y(t) ∈ Rp la salida. Dado el sistema κ, inicialmente
en x0 , el mapa entrada-salida es
Sx0 : {t → u(t), t ∈ [0, T ]} → {t → y(t), t ∈ [0, T ]} .
(M.R., 1987; Abderrahman, 2004; Hermann y Krener, 1977).
(1.13)
1.7 Fundamentos Teóricos
11
Controlabilidad
Definición 1.7. El sistema κ es controlable de xo si para cualquier xf ∈ Rn existe
T > 0 y u : [0, T ] → u, tal que, la solución del sistema κ comienza en xo en t = 0,
con control u que satisface x(T ) = xf . Si él solo se mantiene para un estado xf , en la
vecindad de xo , entonces podemos decir que el sistema es localmente controlable desde
xo .
Para cada valor de control u ∈ U , sea X u el vector de campo correspondiente al
control constante u, entonces si tenemos una familia ε = {X u , u ∈ U } de vectores de
campos parametrizados por el valor de control. Tomando el criterio de accesibilidad
para el sistema (1.12), se introduce unos nuevos vectores de campo generados por los
elementos de M para cualquier vector de funciones X y Y , es posible definir el llamado
corchete de Lie, dado como
∂X(x)
∂Y (x)
X(x) −
Y (x),
∀; x ∈ Rn .
(1.14)
∂x
∂x
Definición 1.8. Sea A(t, xo ), el conjunto de estados alcanzables a partir de xo en el
[X, Y ](x) =
tiempo xf , se dice que, el sistema es fuertemente accesible si para todo xo ∈ Rn y para
todo tf > 0, el conjunto A(t, xo ) tiene interior no vacı́o. Si la dim(C(xo )) = n.
El sistema de control (1.12) y la familia de vectores de funciones ε, asociado al
conjunto de funciones, es llamada el algebra de Lie de la accesibilidad del sistema
(1.12) y denotada como L (ε). El conjunto L (ε) es el algebra de Lie del vector de
funciones, generado por la familia ε, para cada elemento de L (ε), es la combinación
del corchete de Lie repetido de la forma
k
k−1
[X u , [X u
2
1
, · · · , [X u , X u ], · · · ]],
i
ui ∈ U, X u ∈ ε.
(1.15)
Teorema 1.7.1. El sistema de control analı́tico (1.12) es accesible del punto xo si y
solo si la condición del rango de accesibilidad se mantiene en xo .
Sea el sistema dado de la Ec. (1.16)
x˙1 = − 21 x2 + u
x˙2 =
1
x
2 1
(1.16)
1.7 Fundamentos Teóricos
12
Donde se rescribe el sistema de la forma (1.12).
"
f=
− 12 x2
#
g=
1
x
2 1
" #
1
(1.17)
0
Aplicando el corchete de Lie.
[f, g] =
" #
0
1
2
,
(1.18)
donde la matriz de Controlabilidad es
"
C = [g, [f, g]] =
1
0
0
1
.
2
#
(1.19)
Para que sea controlable el sistema, se tiene que la dim(C) = 2, por lo tanto, el
sistema es controlable.
Observabilidad
Su definicion se basa en la indistinguibilidad de estados.
Dos estados x1 , x2 ∈ Rn , se dice que son indistinguibles (x1 Ix2 ) si para cada función
de entrada u en lazo abierto admisible, la función de salida t → y(t, x1 , u) del sistema,
con estado inicial x(0) = x1 y la función de salida t → y(t, x2 , u) del sistema, con
estado inicial x(0) = x2 , son idénticas en su dominio común de definición. El sistema es
observable si (x1 Ix2 ), implica que x1 = x2 (M.R., 1987; Abderrahman, 2004; Hermann
y Krener, 1977; Rı́os, 2003).
Definición 1.9. El sistema κ se dice observable si para todos x1 , x2 ∈ ε, ellos son
distinguibles (x1 6= x2 ), o el conjunto de estados indistinguibles O = ∅.
Definición 1.10. El sistema κ es localmente observable en xo , si existe una vecindad
W de xo tal que, en cualquier vecindad V de xo , contenida en W; la relación x1 Ix2
implica x1 = x2 . Si el sistema es localmente observable a cada xo , entonces el sistema
es localmente observable.
1.7 Fundamentos Teóricos
13
Se dice que el sistema (1.12). El espacio de observación O, es el espacio lineal en R
de las funciones sobre W, el cual, contiene las h1 , h2 , · · · , hj y todas las derivadas de
Lie dadas como;
Lx1 Lx2 · · · Lxk hj
(1.20)
Con j = 1, 2, · · · , p y todo xi que pertenece al conjunto {f, g1 , g2 , · · · , gm } , k =
1, 2, · · · . De forma, que contiene las funciones de salidas y todas sus derivadas a lo
largo de las trayectorias del sistema.
Teorema 1.7.2. Si las derivadas del conjunto de estados indistinguibles es de
dimensión n correspondiente al orden del sistema (si dim(O(x)) = n), se dice que
el sistema es localmente observable en to .
Sea el sistema
x˙1 = x22
u,
x˙2 =
y
(1.21)
= x1
aplicando la derivada de Lie a la salida, se tiene
ẏ =
x˙1
=
x22
(1.22)
ÿ = 2x2 x˙2 = 2x2 u
donde la matriz de Observabilidad O está dada como
O=
" #
y
ẏ
"
=
x1
0
0
x22
#
(1.23)
El sistema es observable, dado que la dimensión es 2, se debe acotar que para
x1 , x2 = 0 es indistinguible los estados.
1.7.7
Linealización
La linealización es una aproximación alrededor de una vecindad de un punto de
operación, por lo cual, solo puede predecir el comportamiento local del sistema no lineal,
1.7 Fundamentos Teóricos
14
en la vecindad de ese punto. De otra manera, no puede predecir el comportamiento no
local, lejos de la vecindad de ese punto de operación (Khalil y Grizzle, 2000).
Serie de Taylor
La serie de Taylor representa una función como una suma infinita de términos, que son
calculados con los valores de la función derivada en un solo punto, definida en la Ec.
(1.24) como
∞
X
1 dk f (x)
f (x) =
k! dxk
k=0
donde xo corresponde al punto de interés,
xo
(x − xo )k
dk f (x)
dxk
(1.24)
, corresponde a la derivada de
xo
orden k de la función f (x) evaluada en xo .
Linealización Fuera del equilibrio
En este contexto, nos referimos a este tipo de linealización para un conjunto de puntos
y no sobre una trayectoria, como lo es la linealización por expansión de series de
Taylor. Además, el punto de operación necesariamente no es un punto de equilibrio,
en tal sentido, esta linealización es una combinación de modelos lineales, evaluados en
el conjunto de puntos, parametrizado por una variable, adoptando ası́, un sistema que
es variante en el tiempo, el cual se caracteriza por definirse para cualquier trayectoria
(Johansen et al., 1998; Johansen y Murray-Smith, 2000; Murray-Smith y Shorten,
1999).
La linealización basada en la velocidad es una alternativa a esta tipo de linealización
fuera del equilibrio. En el Capitulo 5 se profundiza acerca de este tema.
1.7.8
Sistemas Lineales
Sea un sistema de m entradas y p salidas, descrito por un conjunto de ecuaciones
diferenciales de primer orden como
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
,
(1.25)
1.7 Fundamentos Teóricos
15
donde x ∈ Rn son los estados, u ∈ Rm las entradas, y ∈ Rp las salidas, y las
matrices A,B,C son matrices de números reales, de dimensiones propias (Isidori, 2000).
En la clasificación de sistemas lineales encontramos 3 tipos, donde el LPV es una
generalización de un sistema LTI, cuando la trayectoria admisible es constante; y un
sistema LTV para una trayectoria dada, dentro de un conjunto ya establecido. En la
Figura 1.1 se ilustra la relación de los sistemas lineales Tóth (2008).
Figura 1.1: Tipos de sistemas lineales
LTI (Linear Time Invariant): sistemas lineales invariantes en el tiempo,
caracterizados por su estructura fija (única trayectoria), además, es la clase de sistemas
lineales más utilizadas y se define en la Ec. (1.26).
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
(1.26)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
LTV (Linear Time Varying ): sistemas lineales variantes en el tiempo, no
tienen asociada una teorı́a de análisis y sı́ntesis como la encontrada en los sistemas
LTI, por lo cual, las aplicaciones están restringidas a problemas con una estructura
dada. La descripción en variables de estado es completamente dependiente del tiempo,
se describe en la Ec. (1.27).
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
(1.27)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
LPV (Linear Parameter Varying ): sistemas lineales a parámetros variantes,
1.7 Fundamentos Teóricos
16
dependen explı́citamente de un parámetro o un de vector de parámetros ρ(t), variables
en el tiempo, está descrito en la Ec. (1.28).
ẋ(t) = A(ρ(t))x(t) + B(ρ(t))u(t)
(1.28)
y(t) = C(ρ(t))x(t) + D(ρ(t))u(t)
Donde x(t) ∈ Rn los estados, u(t) ∈ Rm las entradas y ρ ∈ R` el parámetro variante,
las matrices A, B, C, D son de dimensión conocidas.
Estabilidad de Sistemas Lineales
Definición 1.11. Sea K ∈ R o K ∈ C un cuerpo y A una matriz cuadrada ndimensional sobre K, también llamada matriz de transición de estados, que define
el comportamiento de los estados del sistema lineal, dado en (1.25). El polinomio
caracterı́stico de A denotado por Pc A(t), es el polinomio definido como
Pc A(λ) = Det(A − λI),
(1.29)
donde I es la matriz identidad n × n.
Si las raı́ces del polinomio caracterı́stico del sistema, se ubican en el semiplano
izquierdo complejo (si los polos son negativos), el sistema es estable, si las raı́ces se
encuentran en el origen, el sistema es asintóticamente estable y si sus raı́ces están en
el semiplano derecho complejo es inestable.
1.7.9
Sistemas Lineales a Parámetros Variantes (SLPV)
Introducción a los sistemas LPV
Surge de la evolución de la técnica de programación de ganancia, la cual, consiste en
obtener modelos lineales invariantes en el tiempo (LTI), partiendo del modelo no lineal
del sistema. El número de modelos depende de la cantidad de puntos de operación
a trabajar, con la desventaja que no garantiza la estabilidad fuera de los puntos de
operación Reyes (2012); González (2012); Osorio G. (2011).
La idea básica es linealizar el modelo del sistema no lineal, en diferentes puntos
de operación, resultando, en una colección local de sistemas LTI, los controladores
1.7 Fundamentos Teóricos
17
diseñados para cada punto de operación. La función de interpolación es llamada función
de programación y es dependiente del punto de operación actual de la planta. Para
describir los cambios del punto de operación, una señal es introducida, la cual es
llamada; señal de programación y se denota con ρ, de manera que, los parámetros del
sistema resultan dependientes de esta señal. En la Figura 1.2 se muestra el esquema
de las señales actuantes en un sistema LPV Tóth (2008).
r
y
u
LPV
Figura 1.2: Diagrama de Bloque de un sistema LPV (u entradas, y salidas y ρ el
parámetro variante).
Definición 1.12. Los sistemas donde ρ es una variable interna como los estados, las
entradas o las salidas, se suelen llamar sistemas quasi-LPV. Ası́ que los sistemas con
variable de programación externa son LPV.
Sistemas LPV
Un sistema LPV es aquel que depende explı́citamente de un vector de parámetros
variables medibles y esta descrito como en la Ec. (1.30).
ẋ =
A(ρ)x
+
B(ρ)u
+ E(ρ)w,
z =
C(ρ)x
+
D(ρ)u
+ F (ρ)w,
(1.30)
y = Cy (ρ)x + Fy (ρ)w,
donde A, B, C, D y F son matrices conocidas, x ∈ Rn , u ∈ Rm , w ∈ Rp , z ∈ Rq
y y ∈ Rg , son el vector de estados, las entradas de control, las entradas exógenas, las
salidas controladas y las salidas medidas.
Se asume que ρ pertenece al conjunto convexo Ω Ec. (1.31).
Ω =
Ω : ρi ≤ ρi (t) ≤ ρi
∀i = 1, 2, · · · .` ,
(1.31)
1.7 Fundamentos Teóricos
18
donde ρi y ρi son las cota inferior y superior de ρi (t).
El modelo evoluciona en función de una trayectoria paramétrica admisible, de
manera que los puntos pertenecen al conjunto compacto Ω ∈ R` Corentin (2008);
González (2012).
Los parámetros ρ son medibles para todo instante de tiempo t ≥ 0 y cada parámetro
ρi (t), varı́a en un rango de valores extremos conocidos Reyes (2012).
Una manera de obtener un modelo LPV es a través de la linealización de sistemas
no lineales, de la forma Ec. (1.1). Trabajando con la linealización basada en la
expansión de series de Taylor o linealización aproximada, se obtienen M = 2k modelos
locales, siendo k el numero de parámetros variantes, evaluando cada una de las M
combinaciones de los lı́mites de los parámetros variantes en el sistema lineal de la
forma Ec. (1.28). Se obtienen los M modelos locales, donde se formula el modelo LPV
como en la Ec. (1.32):
ẋ(t) =
y(t) =
M
X
i=1
M
X
εi (ρ(t))Ai x +
εi (ρ(t))Ci x +
i=1
M
X
i=1
M
X
εi (ρ(t))Bi u − ∆x (ρ(t)),
(1.32)
εi (ρ(t))Di u − ∆y (ρ(t)),
(1.33)
i=1
donde εi (ρ(t)) funciones de ponderación para cada uno de los i-modelos locales LTI,
debido a la variación de los parámetros, evaluados en el punto de operación Pφ (xφ , uφ )
Osorio G. (2011) y
∆x (ρ(t)) =
PM
∆y (ρ(t)) =
PM
i=1 εi (ρ(t))(Ai xφ
+ Bi uφ ),
(1.34)
i=1 εi (ρ(t))(Ci xφ
+
Di uφ
− g(ρiφ )).
Formulación Politópica
Según Corentin (2008) hay tres formulaciones para los sistemas LPV, solo se aborda
la representación politópica, la otras dos representaciones ver C.1.
Un sistema politópico variante en el tiempo, es un sistema gobernado por la
expresión de la Ec. (1.35)
1.7 Fundamentos Teóricos
19
ẋ(t) = A(ρ(t))x(t) + E(ρ(t))w(t),
(1.35)
z(t) = C(ρ(t))x(t) + F (ρ(t))w(t)
donde (Ec. (1.36))
"
A(ρ(t))E(ρ(t))
#
=
C(ρ(t))F (ρ(t))
N
X
"
ρi (t)
i=1
Ai Ei
#
.
(1.36)
Ci F i
El término politópico (Ec. (1.37)) viene dado por el vector rho(t), correspondiente
a la función de ponderación, N = 2k , que es la cantidad de combinaciones de los k
parámetros ρi . Corentin (2008); Osorio G. (2011); Reyes (2012).
N
X
ρi (t)
∀ ρi (t) ≥ 0.
(1.37)
i=1
Un politopo es un polı́gono convexo, por lo cual, la estabilidad del sistema poli
tópico está dada por la estabilidad de los valores de los vértices en el sistema.
Para obtener las funciones de ponderación se realiza el siguiente procedimiento (Ec.
(1.38))
1
1
1
,
··· ,
∗ diag{α(i)} ∗ [f (α(i) , ρi , ρi ) − ρ]}, (1.38)
ε(ρ(t)) = ϕ{diag
δ1 δ2
δk
donde ϕ es el producto de todos los elementos del vector v = [v1 , v2 , · · · , vs ]T . Se
tiene que la Ec. (1.39) corresponde a ϕ(v) dado como
s
ϕ(v) = v1 v2 · · · vs = Π vi .
(1.39)
i=1
Y δi = ρi − ρi , α(i) es un vector binario auxiliar, que asigna -1 y 1 al lı́mite
inferior y superior respectivamente, dado como
α(1)
= [ −1 −1 −1 · · · −1 −1 ]
α(2)
= [
α(3)
..
.
= [ −1
1
=
α(2k − 1) = [ −1
k
α(2 )
= [
1
−1 −1 · · · −1 −1 ]
1
..
.
−1 · · · −1 −1 ]
.
..
..
.
.
1
1
···
1
1
]
1
1
···
1
1
]
(1.40)
1.7 Fundamentos Teóricos
20
Y f (α(i), ρ, ρ) dada como:
f (α(i), ρ, ρ) =
1
ρ + ρ + diag{α(i)} ∗ [ρ − ρ]
2
(1.41)
Se resume el procedimiento para la obtención del modelo LPV del sistema no lineal:
1. Se definen los k parámetros variantes del sistema, al igual que las entradas.
2. Se definen los vértices del politopo, a partir del número de parámetros variantes
del sistema.
3. Se linealiza el sistema de manera aproximada, y se asume que los parámetros
varı́an lentamente, por lo tanto, el término ρ − ρo es despreciable.
4. Se evalúa el sistema linealizado en los vértices del politopo.
5. Se proponen 2k funciones de ponderación que cumplan con la restricción de ε(ρ) ≥
Pk
0 ∀t 2i=1 ε(ρ) = 1
6. Se pondera cada modelo obtenido al evaluar el modelo linealizado en cada vértice
del politopo por su respectiva función de ponderación, de tal forma que se obtiene
un sistema equivalente a (1.32).
1.7.10
Controlabilidad de Sistemas Lineales
Se dice que el sistema lineal (1.25) es controlable si es posible llegar a un estado final
en un tiempo finito, a partir del conocimiento de la señal de entrada, dado un estado
inicial.
la matriz de Controlabilidad de un sistema lineal, esta dado en (1.42).
h
i
2
n−1
C = B AB A B · · · A B
(1.42)
Se tiene como criterio, la condición del rango de la matriz de Controlabilidad,
establecida como dim(C) = n.
1.7 Fundamentos Teóricos
1.7.11
21
Observabilidad de Sistemas Lineales
Un sistema lineal dado en (1.25), se dice que es observable si a partir del conocimiento
de la salida del sistema y de la entrada, es posible obtener un estado inicial en tiempo
finito.
La matriz de Observabilidad, está dada en (1.43) como

C



 CA 




2 

O =  CA 
 . 
 .. 


n−1
CA
(1.43)
La condición para la observabilidad se establece como el rango de la matriz de
observabilidad (dim(O) = n).
1.7.12
Control por Realimentación del Vector Estados (RVE)
Se aborda esta estrategia de control para sistemas lineales, para los sistemas no lineales
debido a su complejidad, es difı́cil modificar el comportamiento, ası́ como manipular
los estados. Por lo tanto, el enfoque solo será tratado en los sistemas lineales.
Estrategia de control que se basa en la manipulación de los estados para realizar una
modificación del comportamiento del sistema. La idea principal consiste en formular
una ley, dada como
u = −Kx,
(1.44)
donde u ∈ R es la entrada de control al sistema, x ∈ Rn los estados del sistema y K
las ganancias del sistema, que permiten modificar el sistema a controlar Ogata (1998).
Una de las condiciones necesarias para llevar esta estrategia de control, es que el
sistema sea controlable y observable, ya que se necesita que los estados del sistema
sean medibles (condición de Controlabilidad y Observabilidad).
Reemplazando (1.44) en (1.25) se tiene
1.7 Fundamentos Teóricos
22
ẋ = Ax + B(−Kx)
=
(A − BK)x
(1.45)
En la Figura 1.3 se muestra el esquema del controlador por RVE
Figura 1.3: Esquema del controlador por RVE
El polinomio caracterı́stico determina el nuevo comportamiento del sistema en
lazo cerrado. Además, este nuevo polinomio caracterı́stico, está conformado por el
polinomio del sistema en lazo abierto y las ganancias, que permiten ubicar el polinomio
caracterı́stico en la posición deseada.
Cuando todos los estados del sistema no son medibles (observables), es necesario
construir un observador, para los estados no medibles del sistema.
1.7.13
Observador de Estados
Tomando el sistema en espacio de estados descrito en (1.25) y sea el sistema
x˙e = F xe + Gu + Hy,
(1.46)
donde xe ∈ Rn describe los estados del sistema estimado, y ∈ Rp salidas y u ∈ Rm la
entrada del sistema de la Ec. (1.25). La Ec. (1.46) describe un estimador (observador)
del sistema 1.25 y además de cumplir con las siguientes condiciones.
1. Los estados de ambos sistemas coinciden en un instante de tiempo t0 , tal que
xe (t0 ) = x(t0 ), de manera que, los estados coinciden para cualquier instante de
tiempo y para cualquier entrada u(t) suministrada al sistema.
1.7 Fundamentos Teóricos
23
2. xe (t) debe converger asintóticamente al estado x(t) para cualquier entrada u(t)
y para cualquiera de los estados inı́ciales xe (t0 ) y x(t0 )
lim (xe (t) − x(t)) = 0
t→∞
(1.47)
que corresponde al error de estimación de los estados del sistema de la Ec. (1.25).
Sea x̃ = xe − x el error que se incurre al estimar los estados, se tiene que
x˙e (t) − ẋ(t) = F xe − Ax + (G − B)u + HCx.
(1.48)
Como la entrada no debe influir en los estados, se tiene que G = B, el sistema
queda
x˙e (t) − ẋ(t) = F xe − Ax + HCx.
(1.49)
Y además F = A − HC, quedando
˙ = (A − HC)(xe − x),
xe˙(t) − x(t)
(1.50)
representa el observador de estados del sistema, donde H es la ganancia del sistema.
Para que estime los estados rápidamente, la dinámica del observador debe ser más
rápida en comparación a la del controlador Domı́nguez (2002).
En la Figura 1.4 se muestra el esquema del observador de estados.
1.7 Fundamentos Teóricos
Figura 1.4: Observador de estados
24
Capı́tulo 2
Linealización Aproximada
2.1
Introducción
La mayorı́a de sistemas en la naturaleza tienen dinámicas no lineales, cuyo estudio
podrı́a ser de una complejidad muy alta. Por lo tanto, reducir la complejidad permite
estudiar de manera más sencilla los sistemas dinámicos no lineales, por la cual, se
aproxima el sistema no lineal (linealización), por medio de la recta tangente o plano
tangente (dependiendo de la dimensión del sistema), a un sistema lineal alrededor de
un punto de equilibrio.
2.2
Punto de equilibrio
Un punto de equilibrio representa las condiciones de las variables del sistema, en donde
este se encuentra en estado estacionario.
Definición 2.1. Sea x = x∗ un punto en el espacio de estados, se dice que es un punto
de equilibrio del sistema (1.3), si para cualquier estado del sistema que empieza en x∗,
permanece en x∗ para todo tiempo futuro. Para un sistema autónomo (1.4), los puntos
de equilibrio son las raı́ces reales de f (x) = 0.
Un sistema lineal puede tener sólo un punto de equilibrio, por lo tanto, puede tener
un punto de funcionamiento en estado estacionario que atrae el estado del sistema,
independientemente del estado inicial, mientras que un sistema no lineal, puede tener
2.3 Linealización de Sistemas No Lineales
26
más de un punto de equilibrio. El estado puede converger a uno de los varios puntos
de funcionamiento en estado estacionario, dependiendo del estado inicial del sistema
(Khalil y Grizzle, 2000).
si aplicamos cierto control al que llamaremos control nominal, el sistema dinámico
se moverá y generará una trayectoria de estado Xn . El funcionamiento para este
control Un , será un llamado punto nominal, el cual también se conoce como su punto
de operación.
2.3
Linealización de Sistemas No Lineales
Sea la función no lineal de la Ec. (2.1).
y = f (x),
(2.1)
función dependiente de los estados, tal que f : R → R y tomando la serie de Taylor
(1.24), truncada en los términos de primer orden,
y = f (x) = f (xo ) +
donde y = y − yo
dk f (xo )
df (xo )
(x − xo ) + · · · +
(x − xo )k ,
dx
dxko
(2.2)
x = x − xo . Reescribiendo el sistema como
y − y0 =
y
=
df (xo )
(x − xo ),
dx
df (xo )
x.
dx
(2.3)
Definición 2.2. Se define a la derivada como la pendiente de la función que pasa en
un punto, como observa claramente en la Figura 2.1 que el sistema resultante obedece
a la función de una recta.
2.3 Linealización de Sistemas No Lineales
27
y= f’(x) (x- xe)
y = f(x)
xe
Figura 2.1: Recta tangente
Si la función depende de un vector de estados, entonces f : Rn → R, esta extensión
se entiende como el plano tangente sobre una superficie no lineal (ver Figura 2.2).
Figura 2.2: Plano tangente
Por lo que, el sistema se escribe como
y = f (xo ) + ∇f (x)T (x − xo ) + · · · +
dk f (xo )
(x − xo )k ,
dxko
(2.4)
donde ∇f (x) corresponde al gradiente de la función f (x), y está definido como,
∇f (x) =
h
∂f
∂x1
···
∂f
∂xn
i
.
(2.5)
Para mostrar el proceso de linealización de sistemas no lineales, hacemos uso de la
matriz Jacobiana Jf (x1 , · · · , xn ) definida como,
2.3 Linealización de Sistemas No Lineales
28

∂f1
∂x1
 .
.
Jf (x1 , · · · , xn ) = 
 .
∂fn
∂x1
···
···
···
∂f1
∂xn

.. 
. 
,
(2.6)
∂fn
∂xn
donde f ∈ Rn funciones de derivadas de primer orden, x ∈ Rm variables
independientes, por lo tanto, el jacobiano está conformado por la derivadas parciales
de primer orden de una función multivariable. El Jacobiano permite representar de
manera más general el proceso de linealización.
Aplicando el Jacobiano para cada función y cada variable independiente, se tiene

∂f1
∂x1
 .
∂f (xo , uo )
.
=
 .
∂x
∂fn
∂x1
···
···
∂f1
∂xn


.. 
. 

···
∂fn
∂xn
···
∂hp
∂xn
;
∂f1
∂u1
 .
∂f (xo , uo )
.
=
 .
∂u
∂fn
∂x1
(xo ,uo )
···
···
∂f1
∂um

.. 
. 

···
∂fn
∂un
···
∂hp
∂um
;
(xo ,uo )
(2.7)

∂h1
∂x1
 .
∂h(xo , uo )
.
=
 .
∂x
∂h1
∂x1
···
···


.. 
. 

∂hp
∂xn
;
∂h1
∂u1
 .
∂h(xo , uo )
.
=
 .
∂u
(xo ,uo )
∂hp
∂u1
···
···

.. 
. 

∂hp
∂um
,
(xo ,uo )
(2.8)
donde el sistema linealizado queda
∂f (xo , uo )
∂f (xo , uo )
x+
u,
∂x
∂u
∂h(xo , uo )
∂h(xo , uo )
y=
x+
u,
∂x
∂u
ẋ =
(2.9)
(2.10)
Reescribiendo el sistema en forma matricial para A, B, C y D, que representan
el Jacobiano para cada función respecto de los estados y las entradas, el sistema
linealizado de manera aproximada es:
ẋ = Ax + Bu,
y = Cx + Du,
correspondiente a la estructura de un sistema lineal, donde
(2.11)
2.4 Requerimientos y Condiciones de la linealización Aproximada
∂f (xo , uo )
;
∂x
∂h(xo , uo )
C=
;
∂x
A=
tal que x = x − xo ,
2.4
u = u − uo ,
Requerimientos
29
∂f (xo , uo )
;
∂u
∂h(xo , uo )
D=
,
∂u
B=
y = y − yo .
y
Condiciones
de
la
linealización Aproximada
En esta sección se describe las condiciones, caracterı́sticas y requerimientos necesarios
para realizar la linealización.
Caracterı́sticas
• Soporta cualquier tipo de sistema no lineal (Ec. 1.1) que tenga primera derivada
continúa.
• Se aproxima al sistema no lineal en cercanı́as del punto de equilibrio.
• La representación es lineal en el punto de equilibrio.
• Facilita el análisis del sistema no lineal, mediante el modelo lineal aproximado
alrededor de un punto de equilibrio.
• El sistema no lineal puede tener múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).
• El diseño del controlador se realiza solo para la vecindad de un punto de equilibrio.
Requerimientos y Condiciones
• El sistema no lineal debe ser diferenciable con primera derivada continua de
Lipschitz.
• Si el sistema tiene punto de equilibrio diferente de cero, el sistema debe ser
trasladado mediante variables incrementales.
2.5 Ejemplo de un tanque cónico por linealización aproximada
30
• Al trabajar lejos del punto de equilibrio la aproximación no representa al sistema
no lineal.
• No es aplicable a sistemas que exhiban no linealidades carentes de derivadas.
2.5
Ejemplo de un tanque cónico por linealización
aproximada
Sea un tanque cónico como se muestra en la Figura 2.3.
Figura 2.3: Tanque cónico
Donde la ecuación que representa la dinámica está dada como,
ḣ = −
0.05
u
√ +
√ ,
2
π tan (θ) h3 π tan (θ) h
2
(2.12)
donde h : Altura del Tanque, θ : ángulo del cono con un valor de 20 grados.
En la Figura 2.4 se observa la respuesta del tanque cónico para un caudal qi =
0.0707, correspondiente a una altura de h = 2m, donde la condición inicial es para una
altura de ho = 0.01m.
2.5 Ejemplo de un tanque cónico por linealización aproximada
31
tanque no lineal
tanque no lineal
2
Altura del Tanque (m)
X: 771.4
Y: 2
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
Figura 2.4: Respuesta del tanque cónico no lineal
El punto de equilibrio del sistema está dado como
0=−
0.05
u
√ +
√ ,
2
π tan2 (θ) h3 π tan (θ) h
h = H,
(2.13)
√
U = 0.05 H,
(2.14)
linealizando el sistema se tiene
h˙ =
2U
0.075
√
−
2
5
π tan2 (θ)H 3
π tan (θ) H
!
h+
U
√ u.
π tan (θ) H
2
(2.15)
Evaluando el sistema linealizado en el punto de equilibrio, obtenemos
h˙ =
!
√
√
0.075
2(0.05 H)
0.05 H
√
√ (u − U ).
−
(h − H) +
π tan2 (θ) H
π tan2 (θ) H 5 π tan2 (θ)H 3
(2.16)
Se evalúa H = 2m como punto de operación del sistema, por lo tanto, la respuesta
del sistema se muestra en la Figura 2.5.
2.5 Ejemplo de un tanque cónico por linealización aproximada
32
tanque por linealizacion aproximada
tanque lin. aprox.
2
Altura del Tanque (m)
X: 789.8
Y: 2
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
Figura 2.5: Tanque cónico por lin. Aproximada
Finalmente, se realiza la comparación del sistema no lineal con el aproximado, para
observar cuánto se aproxima el sistema linealizado al no lineal (ver Figura 2.6).
comparacion del sistema no lineal con la lin. aprox
X: 129
Y: 1.882
2
Altura del Tanque (m)
X: 784.4
Y: 2
X: 129.2
Y: 1.495
tanque no lineal
tanque lin. aprox.
1.5
1
0.5
0
0
100
200
300
400
500
Tiempo (s)
600
700
800
Figura 2.6: Comparación del sistema no lineal con el linealizado
Capı́tulo 3
Linealización Extendida
3.1
Introducción
La linealización extendida es un método propuesto Baumann y Rugh (1986), para el
control de sistemás dinámicos no lineales. Está basado en la linealización aproximada
alrededor de un punto de equilibrio, pero en este caso, el punto de equilibrio es implı́cito,
lo cual permite la obtención de un modelo parametrizado de carácter lineal. Dicho
punto de equilibrio, puede considerarse que es correspondiente a cada valor del punto
de referencia constante del sistema en lazo cerrado.
Esta aproximación está basada en la obtención de una familia de modelos lineales,
parametrizado por puntos de equilibrios constantes. Las ganancias de realimentación
de estados no lineales, están calculadas para que los autovalores del sistema linealizado
en lazo cerrado, se localicen en valores especı́ficos, los cuales son invariantes para todos
los puntos de operación, en una vecindad del punto de operación constante nominal.
La principal caracterı́stica del método, es la propuesta de un controlador no lineal,
cuya linealización alrededor del punto de equilibrio coincide con el controlador lineal,
que se ha diseñado para la familia de modelos lineales parametrizados por el punto de
equilibrio. Las soluciones del controlador no lineal, son infinitas, por lo cual, la solución
que se adopta será aquella que produzca un efecto linealizante sobre el sistema en lazo
cerrado Sira Ramirez (1994b).
3.2 Control por Realimentación de Estados por linealización Extendida
3.2
34
Control por Realimentación de Estados por
linealización Extendida
Sea el sistema no lineal definido como
ẋ = f (x, u),
(3.1)
donde x ∈ Rn estados y u ∈ Rm las entradas, f : Rn × Rm → Rn , es una
función analı́tica en una vecindad del origen con f (0, 0) = 0. Los puntos de operación
constantes corresponden a entradas constantes diferentes de cero, u(t) = U . Se asume
que la linealización de (3.1) alrededor de cero, tiene autovalores diferentes de cero, esto
es D1 f (0, 0) es invertible. Entonces por el teorema de la función implı́cita
ẋ = f (x, U ) = 0.
(3.2)
Tiene solución única para x como una función analı́tica de U .
Si la ley de realimentación de estados se escribe de la forma:
u = −k(x),
(3.3)
donde k : Rn → Rm es analı́tica, k(0) = 0. Esto produce la ecuación de estado
ẋ = f (x, −k(x)).
(3.4)
Además si el sistema en lazo cerrado tiene el mismo punto de operación que el
sistema (3.1) debe cumplirse que
f (X(U ), −k(X(U ))) = 0.
(3.5)
En virtud del teorema de la función implı́cita, si existe la solución X(U ) de (3.5)
la misma es única, si y solamente si, el sistema linealizado en lazo cerrado en el punto
de operación constante, es invertible.
La linealización del sistema en lazo cerrado alrededor de un punto de operación,
produce la ecuación de estado lineal dada por
3.2 Control por Realimentación de Estados por linealización Extendida
∂f (X(U ), −k(X(U )))
∂f (X(U ), U ) ∂f (X(U ), U ) ∂k(X(U ))
=
−
,
∂X(U )
∂X(U )
∂U
∂X(U )
donde X(U ) y U corresponde al punto de operación constante.
35
(3.6)
Se cumple que
−k(X(U )) = U y la solución de X(U ) obtenida en (3.5) coincida con la que se obtiene
en (3.2). La cual conduce a que la linealización del sistema en lazo cerrado alrededor de
su punto de operación, tenga autovalores en el semiplano izquierdo complejo diferentes
de cero. Además se asume que el sistema linealizado es completamente controlable.
Reescribiendo el sistema mediante A(U ), B(U ) y K(U ) como los Jacobianos de:
A(U ) =
∂f (X(U ), U )
∂k(X(U ))
∂f (X(U ), U )
; B(U ) =
; K(U ) =
.
∂X(U )
∂U
∂X(U )
(3.7)
Teorema 3.2.1. Supóngase que el sistema analı́tico (3.1), tal que, el par (A, B) es
controlable. Entonces, existe una ganancia de realimentación k(· ) : Rn → Rm con
k(0) = 0 tal que, los autovalores del sistema linealizado en lazo cerrado [A(U ) −
B(U )K(U )] tienen valores pre-especı́ficados y son localmente invariantes con respecto
de U , en el entorno de operación implı́cito.
Prueba 1. Primero demostraremos que x satisface a ẋ(0) 6= 0. Se supone que f˙(0, 0)
es invertible y si no lo es, mediante la realimentación previa del vector de estados
podemos hacer todos los autovalores de
∂f
∂x
=
∂f (x,u)
∂x
−
∂f ∂k
∂x ∂x
distintos de cero, por lo
tanto, la matriz es invertible.
Considérese
f (X(U ), U ) = 0,
(3.8)
entonces
df (X(U ), U )
∂f (X(U ), U ) dX(U ) ∂f (X(U ), U )
=
+
= 0,
dU
∂X(U )
dU
∂U
por lo tanto,
dX(U ), U )
∂f (X(U ), U ) −1 dX(U )
=
6= 0.
dU
∂X(U )
dU
(3.9)
(3.10)
3.3 Requerimientos y Condiciones de la linealización Extendida
36
Por conveniencia se asume que la primera componente de x1 , de x satisface
dX1
dU
6=
0. Entonces, por el teorema de la función inversa hay una función inversa analı́tica
X1−1 (x1 ) = U . Haciendo k̃(U ) = k(X(U )) y usando
k(X(U ))
dX(U )
= K(U ), diferenciando
tenemos que k̃(U ) satisface
dX(U )
∂ k̃(X(U ))
= K(U )
.
∂X(U )
dU
(3.11)
Utilizando el método de separación de variables, para ecuaciones diferenciales
parciales, tenemos
Z
Z
X1−1 (x1 )
dk(X(U )) =
K(U )
U
dX(U )
dX(U ) + µ(xi ).
dU
(3.12)
Como son Ki variables, repetimos el proceso, tal que, µ(xi ) es una función
dependiente de los estados xi asociada a ki y a la condición de contorno, dada como
−k(X(U ), U ) = U .
Donde requerimos que k(0) = 0. Ası́ que el lado derecho es conocido, k(U ) está
dado por la integración. La prueba se completa verificando que
Z
X1−1 (x1 )
k(x) =
n
K(σ)
U
X
dX(σ)
dσ +
Kj (X1−1 (x1 ))[xj − Xj (X1−1 (x1 )),
dσ
j=2
(3.13)
donde Kj (U ) es la j-ésima componente de K(U ). Para j = 2, ..., n.
3.3
Requerimientos
y
Condiciones
de
la
linealización Extendida
En esta sección se dan las bases para poder realizar la linealización extendida, ası́ como
las caracterı́sticas que posee.
Caracterı́sticas
• Soporta cualquier tipo de sistema no lineal, como el de la Ec. 1.1, con primera
derivada continúa.
3.3 Requerimientos y Condiciones de la linealización Extendida
37
• Basada en la linealización aproximada en un punto de equilibrio parametrizado
(genérico), para el cual, se le diseña un controlador por realimentación de estados
que estabiliza el sistema en el punto de equilibrio.
• El sistema soporta múltiples entradas y múltiples salidas.
• Las soluciones del controlador no lineal son múltiples.
• Las variables del sistema retienen el significado fı́sico ya que no hay
transformaciones de dichas variables.
• La solución del controlador no lineal es obtenida por la solución de ecuaciones
diferenciales parciales.
• El método propone un compensador de carácter no lineal, cuya linealización
alrededor del punto de equilibrio, coincide con el compensador lineal que se
ha diseñado para la familia de modelos lineales parametrizado por el punto de
operación.
Requerimientos y Condiciones
• El sistema no lineal debe ser diferenciable con primera derivada continua de
Lipschitz.
• El controlador no lineal debe coincidir con el controlador lineal obtenido mediante
la linealización del sistema en el punto de operación.
• Las ganancias de realimentación de estados se colocan en valores especı́ficos del
semi-plano izquierdo complejo, tales que, al mismo tiempo sean invariantes para
todos los puntos de operación constantes en lazo cerrado, en una vecindad del
punto de operación constante nominal en lazo cerrado.
• El sistema linealizado en lazo cerrado no debe tener auto-valores en el origen.
3.4 Ejemplo de un péndulo simple por linealización extendida
3.4
38
Ejemplo de un péndulo simple por linealización
extendida
Sea el sistema no lineal de un péndulo simple, que se muestra en la Figura 3.1.
Figura 3.1: Péndulo simple
Donde la ecuaciones dinámicas que rigen el movimiento están dadas como
x˙1 =
x2 ,
1)
+
x˙2 = − mgl cos(x
J
y
=
u
,
J
(3.14)
x1 .
El punto de equilibrio del sistema está dado como
U
x2 = 0, u = U, x1 = cos
mgl
Linealizando el sistema de manera aproximada se tiene
−1
.
(3.15)
" # "
#" # " #
x˜˙1
0
1 x˜1
0
= mgl
+
ũ.
1
x˜˙2
sin(X
)
0
x
˜
1
2
J
J
(3.16)
Utilizando una ley de control por realimentación de estados, dada como
u = −k1 x˜1 − k2 x˜2 .
(3.17)
Realimentando el sistema con el controlador, se tiene
" # "
x˜˙1
0
= mgl
x˜˙2
sin(X1 ) −
J
1
k1
J
− kJ2
#" #
x˜1
x˜2
.
(3.18)
3.4 Ejemplo de un péndulo simple por linealización extendida
39
Se obtiene el polinomio caracterı́stico del sistema, dado por P c = det(sI − A), que
resulta como
P c = s2 +
k1 mgl sin(X1 )
k2
s+
−
.
J
J
J
(3.19)
Tomando un polinomio deseado de segundo orden como
P d = s2 + 2ωnζs + ωn2 .
(3.20)
Igualando y hallando las ganancias para k1 y k2 se tiene :
k1 = Jωn2 + mgl sin(x1 ),
k2 = 2Jωnζ.
(3.21)
Para hallar el controlador no lineal, se integran ambas ecuaciones. Para k2 se tiene
Z
k2 =
x2
2Jωnζdσ = 2Jωnζx2 + µ(x1 ).
(3.22)
0
Y para k1
Z
x1
(Jωn2 + mgl sin(σ))dσ = Jωn2 x1 − mgl cos(x1 ) + K.
(3.23)
0
Finalmente, el controlador está dado como u = −k(x),
u = −Jωn2 x1 + mgl cos(x1 ) − 2Jωnζx2 − K.
(3.24)
Para hallar K se utiliza la condición de contorno U = K(X1 , 0, U ), entonces K es
K = −Jωn2 X1 .
(3.25)
El controlador no lineal queda como
u = −Jωn2 (x1 − X1 ) + mgl cos(x1 ) − 2Jωnζx2 .
(3.26)
Reemplazando el controlador en el sistema no lineal, se tiene
x˙1 =
x2 ,
x˙2 = −ωn2 (x1 − X1 ) − 2ωnζx2 .
(3.27)
3.4 Ejemplo de un péndulo simple por linealización extendida
40
Se observa que el controlador tiene un efecto linealizante sobre el sistema. En la
Figura 3.2 se muestra la respuesta del sistema no lineal.
sistema no lineal de un pendulo
0.5
Angulo (rad)
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0
200
400
600
800
1000
Tiempo (s)
Figura 3.2: Péndulo no lineal
Para realizar la simulación se utilizaron los siguientes valores de los parámetros del
sistema m = 0.16,
g = 9.8,
l = 0.5,
J = 0.0043,
ωn = 0.04,
ζ = 0.3, con un
valor de la entrada u = 0.4 alrededor del punto X1 = 1.035.
Como se observa, la respuesta es bastante oscilatoria debido a la localización de
los polos del sistema en el origen. Realizando la linealización extendida del sistema, la
respuesta está dada como se muestra en la Figura 3.3.
3.4 Ejemplo de un péndulo simple por linealización extendida
lin. extendida de un pendulo
controlador por linealizacion extendida
0.8
1.5
error
0.6
X: 676.6
Y: 1.035
X: 513.8
Y: 0.4013
0.4
0.2
Angulo (rad)
1
Velocidad Angular (rad)
0
0.5
0
41
0
500
Tiempo (s)
1000
0
500
1000
Tiempo (s)
lin. extendida de un pendulo
0.04
0.02
0
X: 632.2
Y: −1.685e−05
−0.02
0
500
Tiempo (s)
1000
Figura 3.3: Péndulo por linealización Extendida
Se observa que el sistema cumple con las condiciones y caracterı́sticas descritas
para llevar acabo la linealización extendida, el controlador no lineal tiene un efecto
linealizante sobre el sistema.
Al realizar la linealización extendida al sistema, se consigue cambiar la respuesta
oscilatoria y además se logra obtener un seguimiento de la trayectoria y una
estabilización del sistema rápida. Esto es posible, debido a que los polos del sistema
en lazo cerrado, se ubican en el semiplano izquierdo y son diferentes de cero.
Capı́tulo 4
Linealización Exacta
4.1
Introducción
La linealización exacta es un método propuesto por Isidori (2000), basado en la
geometrı́a diferencial. Consiste en realizar una transformación de coordenadas del
sistema, de manera que éste pueda escribirse en la forma canónica controlable. Luego
se diseña un controlador por realimentación de estados, que linealiza el sistema en un
entorno. El controlador debe tener la capacidad de ubicar los polos del sistema en
el semiplano izquierdo (el controlador por realimentación es estable) Khalil y Grizzle
(2000).
El diseño de la ley de control por realimentación de estados no lineal, se hace para
obtener un entorno lineal y sobre este se diseña el control, por lo tanto, la validez
del método es local; es decir que solo se puede garantizar la estabilidad asintótica, de
ninguna manera global. La zona de atracción es determinada por las caracterı́sticas
del sistema no lineal, resaltando que el sistema en lazo cerrado debe estabilizarse en el
punto de operación deseado.
Sin embargo, en la definición de la ley de control linealizante, pueden aparecer
valores para los cuales no están definidos los estados (singularidades), que limitan el
entorno de operación, lo que trae como consecuencia que para dichos valores donde
ocurren las singularidades, el sistema no puede realizar una acción de control. Además
resulta difı́cil saber si para ciertas condiciones inı́ciales dadas, la trayectoria del sistema
4.1 Introducción
43
se acerca a tales singularidades, lo que conlleva a ciertas restricciones en la ley de control
linealizante Sira Ramirez (1994a).
4.1.1
Difeomorfismo
Definición 4.1. Una función φ : Rn → Rn definida en una región Ω de Rn se llama
Difeomorfismo, si es suave y su inversa Ω−1 , existe y es suave.
Sea una función suave φ definida en una región Ω de Rn . Si el Jacobiano de la
matriz φ dado como Jφ (x), es no singular en un punto x0 de Ω, entonces φ(x) es un
difeomorfismo local en una subregión de Ω.
Definición 4.2. El grado relativo r se define como el número de veces que se debe
derivar la salida y(t) en t = t0 para que el valor u(t0 ) de la entrada explı́cita aparezca.
Teorema 4.1.1. El sistema (1.2) tiene grado relativo r en un punto x0 , si:
1. Lg Lkf h(x) = 0 para todo x en una vecindad de x0 y todo k < r − 1.
2. Lg Lk−1
f h(x) 6= 0.
Existen puntos donde el grado relativo no puede ser definido, esto ocurre cuando la
primera función de la secuencia
Lg h(x), Lg Lf h(x), · · · , Lg Lkf h(x), . . . ,
(4.1)
no es idénticamente a cero (en una vecindad de x0 ), pero tiene un cero exactamente
en x = x0 . Sin embargo, el conjunto de puntos donde el grado relativo puede ser
definido, es un abierto y un subconjunto denso del conjunto U , donde el sistema (1.2)
es definido.
Nótese que si la condición de:
Lg Lk−1
f h(x) = 0.
(4.2)
Para todo x en una vecindad de x0 y todo k > 0. En este caso, el grado relativo no
puede ser definido en ningún punto alrededor de x0 , entonces la salida del sistema no
es afectada por la entrada para todo t cerca de t0 .
4.2 Linealización Exacta
4.2
44
Linealización Exacta
La linealización por realimentación, es una aproximación al diseño del control no
lineal, cuya idea principal es transformar algebraicamente el sistema no lineal en
uno lineal, alrededor de un entorno de operación, para luego aplicarle las técnicas
de control lineal Slotine et al. (1991). Esta linealización es completamente diferente
a la linealización Jacobiana, dado que en la linealización por realimentación se logra
por una transformación exacta de los estados y un controlador por realimentación de
estados. El objetivo principal es cancelar las no linealidades del sistema, imponiendo
una dinámica lineal deseada, la cual se limita a una clase especı́fica de sistemas no
lineales, descritos por la llamada forma canónica controlable.
Tomando el sistema no lineal a fines al control en (1.2). Si ẏ se define como
ẏ =
=
∂h
ẋ,
∂x
∂h
f (x)
∂x
+
∂h
g(x)u,
∂x
(4.3)
= Lf h(x) + Lg h(x)u,
donde Lf h(x) =
∂h
f (x)
∂x
es la derivada de Lie de h con respecto a f , esta notación es
conveniente cuando se repite el cálculo de la derivada con respecto a la misma dirección
del campo, o en uno nuevo. Repitiendo el proceso hasta la n-ésima derivada de y se
tiene la Ec. (4.4),
y
=
h(x),
ẏ
= Lf h(x) +
Lg h(x)u,
ÿ
= L2f h(x) +
Lg Lf h(x)u,
para
n = 1, 2, · · · , k.
(4.4)
:
:
h(x)u,
y (n) = Lnf h(x) + Lg Ln−1
f
Tomando z como los nuevos estados en la nueva coordenada, se tiene la Ec. (4.5).
4.2 Linealización Exacta
45
z0 =
h(x),
z1 = Lf h(x),
z2 = L2f h(x),
(4.5)
:
:
zn = Lnf h(x).
El estado z se denomina el estado linealizante.
Definición 4.3. Un conjunto de vectores de campo linealmente independientes
f1 , f2 , · · · , fm ∈ Rn , se dice que es completamente integrable si y solo si existe n − m
funciones escalares h1 (x), h2 (x), · · · , hn−m (x), que satisfacen el sistema de ecuaciones
diferenciales parciales
∇hi fj = 0,
(4.6)
donde 1 ≤ i ≤ n − m, 1 ≤ j ≤ m, y el gradiente ∇hi es linealmente independiente.
Definición 4.4. Un conjunto de vectores de campo linealmente independientes
f1 , f2 , · · · , fm , se dice que es involutivo si y solo si, hay αijk : Rn → R funciones
escalares tal que
[fi , fj ](x) =
m
X
∀i, j.
αijk (x)fk (x),
(4.7)
k=1
Involutividad, significa que si se forma el Corchete de Lie de un par de vectores
de campo del conjunto f1 , f2 , · · · , fm , entonces el vector de campo resultante puede
expresarse como una combinación lineal del conjunto de vectores de campo original.
Vectores de campo constantes, siempre son involutivos, dado que el Corchete de Lie
de dos vectores constantes es cero (Slotine et al., 1991).
Teorema 4.2.1. El sistema (1.2) para que sea linealizable de manera exacta en una
región Ω debe cumplir con las siguientes condiciones:
1. Los campos vectoriales
(Controlabilidad).
g, adf g, . . . , adfn−1 g
son linealmente independientes
4.2 Linealización Exacta
46
2. El conjunto g, adf g, . . . , adn−2
g es involutivo.
f
Para que el sistema sea lineal, se toma una ley de control no lineal, como la Ec.
(4.8),
u=
1
(v
Lg Lfn−1 h(x)
− Lnf h(x)).
(4.8)
Reemplazando la Ec. (4.8) en y n , el mapa entrada-salida se reduce a la Ec. (4.9)
y n = v.
(4.9)
Logrando ası́ una relación lineal donde n es la cadena de integradores.
Finalmente, dado que el nuevo sistema transformado incluye polos en el origen, se
debe diseñar una ley de control v, para que el sistema tenga autovalores en el semiplano
izquierdo, además debe seguir la trayectoria del sistema, por lo tanto, la nueva ley de
control está dada como:
v = −k1 x1 − k2 x2 − · · · − kn xn ,
(4.10)
donde el estado de la salida del sistema original para esta ley de control, se da como
x = x − Xo . El controlador no lineal del sistema es el de la Ec. (4.11):
u=
1
((−k1 x1
Lg Ln−1
h(x)
f
− k2 x2 + · · · − kn xn ) − Lnf h(x)).
(4.11)
Grado Relativo definido
Cuando el grado relativo es igual al grado del sistema, se puede linealizar el sistema en
la región Ω, por lo tanto, la elección de la variable de salida h(x) determina si el grado
relativo es menor o igual al grado del sistema.
Tal que, se cumple la condición Lg Lfk−1 h(x) 6= 0, la cual refleja que la entrada u,
aparece en la última ecuación, quedando en la forma canónica controlable.
Entonces la ley de control linealizante del sistema queda como:
u=
v − Lrf h
Lg Lr−1
f h
.
(4.12)
4.2 Linealización Exacta
47
Grado Relativo no definido
En este caso, la salida h(x) no cumple con la condición del grado relativo, ocasionando
que el sistema sea parcialmente linealizable en la región Ω, apareciendo la dinámica
de los ceros o la dinámica interna, por lo cual, se estudia la estabilidad de los puntos
que quedan libres dentro del sistema y que dependen de la ubicación de los ceros de la
función de transferencia. Donde el número de ceros es igual al orden del sistema (n)
menos el grado relativo del sistema (r).
Tomando de nuevo a la Ec. (4.13):
u=
u − b(z)
.
a(z)
(4.13)
La forma normal de las ecuaciones se obtiene si r < n, un sistema como el de la
Ec. (4.14)
z˙1
=
z2 ,
z˙2
..
.
=
z3 ,
zr−1
˙
=
zr
z˙r
=
(4.14)
v,
zr+1
˙
= qr+1 (z),
..
.
z˙n
=
qn (z),
y
=
z1.
Es descompuesto en un subsistema lineal de dimensión r y un posible subsistema
no lineal de dimensión n − r, pero éste no afecta la salida.
Considerando un sistema no lineal que tiene grado relativo r en un punto x0 . La
realimentación de estados Ec. (4.15).
u=
v − Lrf h(x)
Lg Lr−1
f h(x)
.
(4.15)
Transforma al sistema en un sistema lineal, que tiene función de transferencia
H(s) =
1
.
sr
Cuando r < n, el sistema tiene ceros en la función de transferencia.
4.2 Linealización Exacta
48
Considerando un sistema no lineal con r < n, podemos representar todo el conjunto
como en la Ec. (4.16)


zr+1
 . 
. 
η=
 . ,
zn
 
z1
.
.
ξ=
 . .
zr
(4.16)
Con lo anterior, reescribimos el sistema no lineal como en la Ec. (4.17)
z˙1
=
z2 ,
z˙2
..
.
=
z3 ,
zr−1
˙
=
zr ,
(4.17)
z˙r
= b(ξ, η) + a(ξ, η)u,
η̇
= q(ξ, η).
Si x0 , tal que f (x0 ) = 0 y h(x0 ) = 0, entonces necesariamente la primera rcoordenada nueva zi , es 0 en x0 .
Se puede asumir que η = 0 y ξ = 0 en x0 .
Si x0 era un equilibrio del sistema en las coordenadas originales, el correspondiente
(ξ, η) = (0, 0), es un equilibrio para el sistema en las nuevas coordenadas y se establece
que b(ξ, η) = q(ξ, η) = 0, en (ξ, η) = (0, 0).
Si cualquier par consiste de un estado inicial t0 y de una función de entrada u0 ,
definida para todo t en una vecindad de t = 0, tal que, la correspondiente salida y(t)
del sistema es idénticamente a cero, para todo t en una vecindad de t = 0 (no solamente
se considera al sistema en el reposo, si no todos los pares (x, u) que hacen y = 0). Por
lo tanto Ec. (4.18)
y(t) = z1 (t).
(4.18)
Esta restricción y(t) = 0 para todo t implica Ec. (4.19).
z˙1 (t) = z˙2 (t) = · · · = z˙r (t) = 0.
(4.19)
Esto es, ξ(t) = 0 para todo t. Por lo tanto, la entrada u necesariamente debe ser la
única solución de la ecuación (4.20)
4.3 Requerimientos y Condiciones de la linealización Exacta
49
0 = b(0, η(t)) + a(0, η(t))u(t).
(4.20)
Nótese que a(0, η(t)) 6= 0 si η → 0. Por lo tanto, ξ(t) comienza en cero, el
comportamiento se rige por la ecuación diferencial (4.21)
˙ = q(0, η(t)).
η(t)
(4.21)
Si la salida y(t) tiene que ser cero, entonces necesariamente el estado inicial del
sistema debe ser ξ(0) = 0, donde η(0) = η0 pueda ser elegido arbitrariamente de
acuerdo al valor de η0 , la entrada debe ser puesta como en la Ec. (4.22)
−b(0, η(t))
,
a(0, η(t))
donde η(t) denota la solución de la ecuación diferencial (4.23)
(4.22)
u(t) =
η̇ = q(0, η(t))
para
η(0) = η0 .
(4.23)
Para cada conjunto de datos inı́ciales ξ = 0 y η = η0 , la entrada es la única capaz
de mantener y(t) idénticamente en cero, para todo instante de tiempo.
La dinámica de (4.23), corresponde a la dinámica interna del comportamiento del
sistema, cuando la entrada y las condiciones inı́ciales han sido elegidas de manera que la
restricción de la salida, permanezca idénticamente a cero. Esa dinámica es la llamada
dinámica cero del sistema.
4.3
Requerimientos
y
Condiciones
de
la
linealización Exacta
En esta sección se describen la condiciones y caracterı́sticas para realizar la linealización
exacta.
Caracterı́sticas
• Soporta solamente sistemas no lineales que sean afines a la entrada u (lineales en
la entrada) y además que tengan una sola salida, Ec. (1.2).
4.4 Ejemplo de un sistema de tanques interconectados
50
• Está basado en la geometrı́a diferencial (derivada de Lie, Corchete de Lie,
gradiente, derivada direccional, Jacobiano).
• El sistema admite múltiples entradas, pero solo debe haber una salida.
• Se puede perder el significado de las variables de estado debido a la transformación
del sistema para obtener la forma canónica controlable.
• Es válida en un entorno determinado por las caracterı́sticas del sistema no lineal.
Requerimientos y Condiciones
• El sistema debe ser continuamente diferenciable.
• El sistema se debe poder transformar a la forma canónica controlable.
• Se debe poder hallar una función de salida de las variables de estado, cuyas n1 derivadas respecto del tiempo, sean funcionalmente independientes entre sı́, e
independientes de la variable de control u.
• El sistema linealizado en lazo cerrado, debe ser asintóticamente estable a cero.
• La linealización es local. Determinada por la dirección de los campos vectoriales.
• La n-ésima derivada de la función de salida respecto del tiempo, debe depender
únicamente de la función del controlador.
• Se debe estudiar la estabilidad de la dinámica remanente o dinámica de los ceros
si el grado relativo (r) es menor al grado del sistema (n), por lo cual hay n-r ceros.
4.4
Ejemplo
de
un
sistema
de
tanques
interconectados
Sea el sistema de tanques interconectados, que se muestra en la Figura 4.1
4.4 Ejemplo de un sistema de tanques interconectados
51
Figura 4.1: Tanques interconectados
x˙1 =
√
− c2 x 1 − x 2 ,
√
−
c2 x 2 ,
c1 u
√
x˙2 = c2 x1 − x2
y
=
(4.24)
x2 .
Reescribiendo el sistema de la forma ẋ = f (x) + g(x)u y para la salida y = h(x), se
tiene (4.25)
#
√
−c2 x1 − x2
;
f (x) =
√
√
c2 x 1 − x 2 − c2 x 2
"
g(x) =
" #
c1
0
;
h(x) = x2 .
Para verificar que el sistema cumple con las condiciones dadas,
g, adf g, . . . , adn−1
g
f
(4.25)
para
tal que, el sistema sea linealmente independiente e involutivo.
Utilizando el corchete de Lie para (4.26).

adf g =

√c2 c1
 2 x1 −x2  .
1
− 2√cx21c−x
2
La matriz de Controlabilidad es la de (4.27)
(4.26)
4.4 Ejemplo de un sistema de tanques interconectados
52


c
c
2
1
√
c
 1 2 x1 −x2  .
1
0 − 2√cx21c−x
2
(4.27)
Como se observa, el determinante de la matriz es diferente de cero, por lo tanto, es
linealmente independiente.
Para la transformación de coordenadas Ec. (4.28)
"
ϕ=
h
#
,
(4.28)
Lf h
asignando z como la nueva variable, se tiene la Ec. (4.29).
z1 =
z2
x2 ,
√
√
= c2 x 1 − x 2 − c2 x 2 .
(4.29)
Como se observa al hacer la transformación de coordenadas, las variables no pierden
su sentido fı́sico, El sistema en las nuevas coordenadas es el de la Ec. (4.30)
√
z˙1 = c2 x1 − x2 −
z˙2 =
√ c2
x˙
2 x1 −x2 1
+
√
c2 x 2
− 2√xc12−x2
−
c2
√
4 x2
x˙2
(4.30)
Sustituyendo y acomodando para que todo quede en función de z, el sistema en las
nuevas coordenadas es el de la Ec. (4.31):
z˙1 =
z˙2 =
z2 ,
c2 c1
√2
c2 z1 +z2
u +
√
c2 (−3 z1 c2 z2 −c22 z1 −z22 )
√
√
.
(c2 z1 +z2 ) z1
(4.31)
Para calcular la ley de control, se utiliza la derivada de Lie en otro campo vectorial,
de manera que se tiene la Ec. (4.32)
c2 c1
Lg Lf h = √
,
2 x1 − x2
(4.32)
donde la ley de control está dada por (4.8), teniendo la Ec. (4.33).
L2f h
√
√ c2
1 2
c2
= − c2 + − √
− √
c2 x 1 − x 2 − c2 x 2 .
2
2 x 1 − x2 2 x2
Por lo tanto, el controlador es
(4.33)
4.4 Ejemplo de un sistema de tanques interconectados
53
√
√
√
c2 x1 − x2 2c2 x2
c2 x 1
2 x1 − x2
u=
−
+ √ +
v.
c1
c1
c1 x 2
c1 c2
(4.34)
Utilizando (4.29) obtenemos el controlador en función de z
√
√
3z2 z1 c22 + c32 z1 + z22 c2
2 z1 z2 + 2c2 z1
v+
.
u=
√
√
z1 c1 c22
z1 c1 c22
(4.35)
Utilizando una ley de control por realimentación de estados, dada como la Ec.
(4.36).
v = −k1 z1 − k2 z2 .
(4.36)
Reemplazando el controlador en (4.31), para comprobar que el sistema queda en la
forma canónica controlable, se tiene la Ec. (4.37)
z˙1 =
z2 ,
(4.37)
z˙2 = −k1 z1 − k2 z2 ,
por lo tanto, es claro decir que; el sistema cumple con las condiciones para realizar
la linealización exacta.
Utilizando los valores de los parámetros c1 = 7.957,
0.6,
c2 = 0.01,
u = 0.0002, para un valor de referencia del estado X2 = 0.24.
La respuesta del sistema no lineal se observa en la Figura 4.2.
k1 = 1,
k2 =
4.4 Ejemplo de un sistema de tanques interconectados
54
Sistema no lineal
0.03
altura tanque h2
0.025
altura (m)
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
500
1000
tiempo (s)
1500
2000
Figura 4.2: Tanques interconectados no lineal
Aplicando el controlador obtenido por linealización exacta, se tiene la respuesta que
se muestra en la Figura 4.3.
sistema por linealizacion Exacta
0.03
altura del tanque h2
0.025
altura (m)
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
500
1000
tiempo (s)
1500
2000
Figura 4.3: Tanque interconectados por linealización exacta
Capı́tulo 5
Linealización Basada en la
Velocidad
5.1
Introducción
Leith y Leithead propusieron una representación llamada linealización basada en
la velocidad, la cual consiste en la extensión de la linealización por expansión de
series de Taylor, donde la representación es válida alrededor de cualquier punto de
operación, incluso los que no son de equilibrio Leith y Leithead (1998a); Leith (1999);
Leith y Leithead (1999b), para ello, la representación se compone de una familia de
sistemas lineales, una variable que contiene la variación de los parámetros del sistema
(estados y entradas); por lo cual, solo con variar los estados y entradas se obtiene
una representación cuasi-LPV del sistema, que permite obtener una zona de operación
amplia del sistema Leith y Leithead (1998a); Leith (1999); Dı́ez Ruano (2003).
La selección de una representación apropiada para el análisis y diseño de sistemas
integrados, basados en la linealización, muestra que en contraste a la linealización
convencional, la representación basada en la velocidad, soporta el análisis y diseño
modular. Tradicionalmente, la representación por linealización es empleada para el
análisis y diseño de sistemas no lineales. Por lo general, la representación basada
en la linealización aproximada (series de Taylor), aproxima al sistema no lineal en la
vecindad del punto de equilibrio, por lo que, el análisis es válido solo localmente Leith
5.2 Linealización Fuera del Equilibrio
56
y Leithead (1999b, 2001, 1999b).
5.2
Linealización Fuera del Equilibrio
Un modelo local fuera del equilibrio tiene por definición, un punto que no es de
equilibrio en su región de validez, a pesar de que tienen puntos de equilibrio, pero estos
no son validos, dado que este tipo de modelos fuera del equilibrio no tiene significado
fundamental para el sistema no lineal Johansen et al. (1998).
En el diseño convencional de controladores, por asignación de ganancia, la
linealización de un sistema LTI y el diseño del controlador local, para un conjunto
resultante de sistemas LTI, es desarrollado en un conjunto de puntos de equilibrios.
Hecho que es válido solo en cercanı́as del equilibrio, tal que el diseño resulta en un
pobre desempeño en el transitorio. Para resolver este problema se realiza el diseño del
controlador en base a una linealización dinámica, sobre alguna trayectoria nominal,
sin embargo, una desventaja con esta aproximación, es que el diseño del control para
sistemas LTV, es por lo general, un problema difı́cil de resolver Johansen et al. (1998).
Supongamos, que la dinámica del sistema no lineal se aproxima en el entorno de
un punto de operación (x0 , uo ) ∈ Rn+m , el cual no necesariamente es un punto de
equilibrio, estos puntos de operación están dados por la Ec. (5.1):
ψ = {(x , u) ∈ Rn+m }.
(5.1)
Con lo cual el sistema linealizado alrededor del punto (x0 , uo ), es Ec. (5.2) y Ec.
(5.3):
ẋ = ∇x f (xo , uo )xδ + ∇u f (xo , uo )uδ + df (xo , uo ),
(5.2)
y = ∇x g(xo , uo )xδ + ∇u g(xo , uo )uδ + dg(xo , uo ),
(5.3)
df (xo , uo ) = f (xo , uo ) − ∇x f (xo , uo )xo − ∇u f (xo , uo )uo ,
(5.4)
dg(xo , uo ) = g(xo , uo ) − ∇x g(xo , uo )xo − ∇u g(xo , uo )uo .
(5.5)
donde
5.2 Linealización Fuera del Equilibrio
57
Como se observa en la Ec. (5.4) y Ec. (5.5),corresponde a la aproximación de la
función f por el plano tangente en el punto (xo , uo ). Sin embargo, la interpretación es
diferente, debido a que (xo , uo ) no es punto de equilibrio. La interpretación del sistema
(5.2) y (5.3), correspondiente a (xo , uo ), solo puede ser un estado transitorio y nunca
un punto de equilibrio, se puede extender a un conjunto de puntos ψ del tipo (5.1),
donde estos puntos de operación se pueden parametrizar en función de una variable
de planificación φ, que incluye todas las variables medibles del sistema (internas o
externas estén en ψ o no), siempre que φ(t) esté disponible, obteniendo ası́, un sistema
LTV que forma una familia de linealizaciones en el entorno de los puntos de operación
Dı́ez Ruano (2003), como en la Ec. (5.6) y Ec. (5.7).
ẋ = ∇x f (xo (φ), uo (φ)xδ + ∇u f (xo (φ), uo (φ)uδ + df (xo (φ), uo (φ),
(5.6)
y = ∇x g(xo (φ), uo (φ)xδ + ∇u g(xo (φ), uo (φ)uδ + dg(xo (φ), uo (φ).
(5.7)
La diferencia entre la linealización dinámica (sobre una trayectoria) y la linealización
fuera del equilibrio (sobre un conjunto de puntos), se observa en la dependencia de la
especificación del conjunto de puntos (ver Figura 5.1). La razón para esto, es que
el sistema LTV resultante de la linealización dinámica, depende solo del punto de la
trayectoria que pasa a través de un tiempo dado. Por lo tanto, la linealización fuera
del equilibrio conduce a una aproximación arbitrariamente cerrada de un sistema LTV,
en términos de un conjunto de sistemas LTI, dado que existe un sistema LTI cerrado,
para cualquier punto de la trayectoria nominal del sistema LTV y el sistema LTI es
interpolado utilizando un esquema de interpolación sensible.
5.3 Linealización Basada en la Velocidad (LBV)
58
Figura 5.1: Puntos de validez de la linealización aproximada y fuera del equilibrio
Una posible desventaja de la linealización fuera del equilibrio es que la variable de
planificación, deberı́a ser de dimensión superior respecto a la linealización aproximada,
esto presenta dificultades adicionales cuando el estado completo no es medible; lo que
conduce al diseño de un observador Johansen y Murray-Smith (2000).
5.3
Linealización Basada en la Velocidad (LBV)
El método se basa en derivar el sistema no lineal, o derivar nuevamente el modelo de
linealización fuera del equilibrio dado en (5.6) y (5.7). Entonces el modelo obtenido es
cuasi-LPV, por lo tanto, la variable de programación (función), es dependiente de los
estados y las entradas.
Sea el sistema no lineal dado (1.1). Reformulando el sistema como
ẋ = Ax + Bu + f (ρ),
(5.8)
y = Cx + Du + g(ρ),
tal que, A, B, C y D son matrices constantes con dimensiones apropiadas, f y g son
funciones no lineales y ρ una función de x y u tal que, ρ(x, u) ∈ Rq , donde q ≤ m + n.
Derivando el sistema de la Ec. (5.8) se tiene
ẍ = Aẋ + B u̇ + ∇f (ρ)∇x (ρ)ẋ + ∇f (ρ)∇u (ρ)u̇,
ẏ = C ẋ + Du̇ + ∇g(ρ)∇x (ρ)ẋ + ∇g(ρ)∇u (ρ)u̇,
(5.9)
5.4 Requerimientos y Condiciones de la LVB
59
que envuelve la dependencia no lineal de la dinámica de los estados y la entrada,
con ∇x ρ, ∇u ρ constantes.
Agrupando y haciendo el cambio de variable ẋ = w para la Ec. (5.9),por lo que el
sistema queda como
ẋ =
w,
ẇ = (A + ∇f (ρ)∇x (ρ))w + (B + ∇f (ρ)∇u (ρ))u̇,
(5.10)
ẏ = (C + ∇g(ρ)∇x (ρ))w + (D + ∇g(ρ)∇u (ρ))u̇.
Por conveniencia se realizan los siguientes cambios v = u̇ z = ẏ para la Ec. (5.10).
Se tiene
An = A + ∇f (ρ)∇x (ρ),
Bn = B + ∇f (ρ)∇u (ρ),
(5.11)
Cn = C + ∇g(ρ)∇x (ρ),
Dn = D + ∇g(ρ)∇u (ρ).
Finalmente, el sistema queda como
ẇ = An (xo , uo , ρ)w + Bn (xo , uo , ρ)v,
(5.12)
z = Cn (xo , uo , ρ)w + Dn (xo , uo , ρ)v.
Como se observa el sistema depende de xo , uo (punto de operación) y ρ. Por lo
tanto, la representación obtenida es LPV. Dado que es un conjunto y no un solo valor
el modelo, por la variación del parámetro ρ, el sistema queda como.
ẇ =
Pm
Pm
z =
Pm
Pm
n=1 An (xo , uo , ρ)w +
n=1
Bn (xo , uo , ρ)v,
(5.13)
n=1
Cn (xo , uo , ρ)w +
n=1
Dn (xo , uo , ρ)v.
Donde m corresponde a la cantidad de combinaciones del parámetro variante.
5.4
Requerimientos y Condiciones de la LVB
En esta sección se describen las condiciones, caracterı́sticas y requerimientos
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
60
Caracterı́sticas
• El sistema no lineal es general Ec. (1.1) y debe tener primera derivada continua.
• La linealización es válida en cualquier punto de operación (incluyendo los que no
son de equilibrio).
• Adopta la forma de los sistemas LPV o cuasi LPV (los parámetros variantes son
función de los estados y las entradas).
• El sistema puede tener múltiples entradas y múltiples salidas.
Requerimientos y Condiciones la linealización
• El sistema no lineal debe ser diferenciable con primera derivada continua de
Lipschitz.
• La linealización basada en la velocidad aproxima localmente al sistema no lineal
en un punto de operación genérico (cualquier punto, incluso los que no son
equilibrios).
• La no linealidad del sistema es absorbida por el parámetro variante del sistema,
por lo que, su rango dependerá de la estabilidad del sistema para el nuevo sistema
resultante.
5.5
Ejemplo de un manipulador robótico
En esta sección se desarrolla un ejemplo donde se utilice la linealización basada en la
velocidad.
Sea el sistema de un manipulador robótico dado como se muestra en la Figura 5.2:
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
61
Figura 5.2: Manipulador Robótico
Las ecuaciones dinámicas del sistema están dadas como en la Ec. (5.14):
x˙1 =
x2 ,
x˙2 = − BJ x2 −
y
=
M gl
sin
J
x1
N
+
1
u,
J
(5.14)
x1 .
donde x1 y x2 corresponden a los estados, u a la entrada, B coeficiente de fricción
viscosa, J momento de inercia, M masa del brazo, g la gravedad, l distancia del eje del
centro de masa del manipulador y N es el factor de reducción del juego de engranajes.
Los valores de los parámetros para efectos de simulación son M = 0.24, N = 1, J =
4e − 2, B = 0.01, l = 0.25, g = 9.8, con condiciones inı́cialesx10 = 0.01, x20 = 0.01, para
una entrada de u = 0.42, en el punto de operación x1eq = 0.7956.
Los puntos de equilibrio del sistema están dados por
x2 = 0,
−1
x1 = X1 = N sin
U
M gl
,
u = U.
(5.15)
En la Figura 5.3 se muestra la respuesta del sistema no lineal del brazo robótico.
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
62
Sistema no lineal de un brazo robotico
0.9
sistema no lineal brazo robotico
Angulo de giro del brazo (rad)
0.8
0.7
0.6
X: 236.1
Y: 0.4391
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
tiempo (s)
200
250
300
Figura 5.3: Sistema no lineal del brazo robótico
Reescribiendo el sistema, de manera que se encuentra la dependencia no lineal, para
establecer el parámetro variante del sistema, se tiene
" #
x˙1
x˙2
"
=
#" #
1
x1
0
0 − BJ
x2


0
+  M gl sin( x1 )  +
N
−
J
" #
0
1
J
u.
(5.16)
Como se observa la dependencia no lineal, es debida a x1 de forma que el parámetro
variante es ρ = sin XN1 . Correspondiente a una familia de puntos de equilibrio.
Ahora linealizando el sistema basado en la velocidad se tiene
" #
x¨1
x¨2
"
=
0
#" #
x˙1
1
− MJglρ̇ − BJ
x˙2
+
" #
0
1
J
u̇,
ẏ = x˙1 .
ρ̇ =
1
cos
N
X1
N
(5.17)
(5.18)
. Reescribiendo el sistema, tal que, todo quede en función de las
derivadas de primer orden, por lo cual, se hacen los cambios de variable v = u̇,
" #
x˙1
x˙2
"
=
w1
w2
z = ẏ.
#
,
(5.19)
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
"
ẇ1
#
"
=
63
0
#" #
w1
1
− MJglρ̇ − BJ
ẇ2
+
w2
" #
0
1
J
v,
(5.20)
z = w1 .
(5.21)
Como la representación que se obtiene es cuasi-LPV, que es dependiente del
parámetro ρ, que es función de los estados del sistema. Se debe determinar el rango
de variación del parámetro; para este caso, es de − N1 < ρ̇ <
1
.
N
El sistema se evalúa
en los extremos del rango de variación.
Finalmente, se realiza la representación politópica del sistema, dado que solo hay
un parámetro dependiente, el número de combinaciones es 2 y corresponden a
"
A1 =
0
#
;
14.7 −0.25
"
A2 =
1
0
1
B1 =
" #
0
#
−14.7 −0.25
;
B2 =
h
i
C1 = 1 0 ;
;
25
" #
0
25
;
h
i
C2 = 1 0 ,
(5.22)
(5.23)
donde las funciones de ponderación son
ε1 (ρ) =
ρ
+ 0.5,
π
ε2 (ρ) = 0.5 −
ρ
.
π
(5.24)
Realizando la formulación politópica dada en (1.36), las nuevas matrices A, B, C
quedan intactas debido a que la evaluación en los extremos del rango del parámetro
variante, es igual (solo para este caso), por lo cual, se continua en el diseño del
controlador del sistema.
Dado que aparece la derivada de la salida realizamos una extensión del sistema,
ampliándolo un grado más y obteniendo un sistema de orden 3 :
  
   
ẇ1
0
1 0
0
w1
   M glρ̇
   
ẇ2  = −
  1
− BJ 0
  
 w2  +  J  v,
J
ẏ
1
0 0
y
0
(5.25)
donde la nueva salida del sistema extendido es:
z = y.
(5.26)
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
64
Hasta aquı́ se cumple con las condiciones de la linealización basada en la velocidad,
para el diseño del controlador depende de la estrategia de control a utilizar, donde el
diseño se basa en los sistemas LPV.
Se diseña un controlador por realimentación de estados, para ello, se resuelve la
LMI (desigualdades matriciales lineales),que se encargue de estabilizar el sistema en
todo el rango de variación para métrica, consultar Anexo B.2 para más información.
Tomando el criterio de estabilidad de Lyapunov para el sistema (1.25) dado como
ATi P + P Ai < 0
P = P T > 0,
(5.27)
donde P es una matriz simétrica definida positiva y Ai es la matriz de transición de
estados del sistema para cada modelo i, entonces se cierra el lazo del sistema, utilizando
un control por realimentación de estados, obteniendo
(Ai − Bj K)T P + P (Ai − Bj K) < 0.
(5.28)
Para que sea una LMI cada uno de los términos debe tener solo una incógnita, por
lo tanto, reescribiendo y haciendo el cambio Q = P −1 , G = KP −1 = KQ, se obtiene
la LMI siguiente.
QATi + Ai Q − GT BjT − GBj < 0,
(5.29)
La ganancia K del sistema está dada como K = GQ−1 . Para sistemas LPV la LMI
se resuelve para cada modelo generado por la variación de los parámetros.
Finalmente, resolviendo la LMI se encuentran los valores de G y Q, que permiten
obtener la ganancia del sistema.


−0.0285 −0.0053


;
Q=
−0.0285
0.5873
−0.0002


−0.0053 −0.0002 0.5865
0.0026
h
i
G = 0.0228 0.0186 0.0009 .
(5.30)
El vector de ganancias K, esta dado como
h
i
K = 21.2563 1.0648 0.1952 .
(5.31)
5.5 Ejemplo de un manipulador robótico
65
En la Figura (5.4) se muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado.
linealizacion basada en la velocidad de un brazo robotico
0.8
X: 929.6
Y: 0.7954
Angulo de giro del brazo (rad)
0.7
0.6
0.5
0.4
lin. basada en la velocidad del brazo robotico
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
800
tiempo (s)
Figura 5.4: Manipulador Robótico
1000
Capı́tulo 6
Análisis Comparativo
6.1
Introducción
Para comenzar, hasta este punto ya se han dados todas las bases teóricas de cada uno
de los métodos de linealización que se expusieron en los capı́tulos anteriores, ası́ como,
se han dado los requerimientos y condiciones de cada linealización. Empezaremos el
análisis comparativo, señalando los tipos de sistemas no lineales que se aplican para
cada método, luego seguiremos con las condiciones y requerimientos. Y por último, se
realizara el análisis del desempeño de cada linealización, se toma como base un sistema
no lineal, al cual, se le aplicara cada uno de los métodos presentados a lo largo del
documento.
Las diferentes caracterı́sticas se analizan asumiendo que las condiciones para cada
método son cumplidas.
6.2
Requerimientos
y
Condiciones
de
las
linealizaciones
Tomando como referencia todos lo expuesto en los capı́tulos anteriores y las condiciones
de cada linealización, se tiene en la Tabla 6.1, los tipos de sistemas no lineales, para
los cuales se aplica cada técnica :
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
Tipo
de
Sistema
Linealización
No lineal
Linealización
ẋ = f (x, u)
.
y = h(x, u)
Aproximada
Caracterı́sticas
El sistema debe ser continuamente
diferenciable, por lo menos con primera
derivada continua de Lipschtiz,f, h son
funciones suaves.
ẋ = f (x, u)
.
y = h(x, u)
Linealización
Extendida
El sistema debe ser continuamente
diferenciable, por lo menos con primera
derivada continua de Lipschitz, f, h son
funciones suaves, pero adicionalmente
f determina la complejidad a la hora
de obtener el controlador, dado que se
debe resolver la ecuación diferencial en
derivadas parciales.
ẋ = f (x) + g(x)u
. Se debe cumplir con que cada una de las
y = h(x)
funciones f, g y h sean continuamente
Linealización
Exacta
diferenciables y la entrada u es una
función lineal. De acuerdo a la función
que se encuentre en h, puede aparecer
la dinámica de los ceros y la función g,
puede ocasionar que el sistema en lazo
cerrado, no este definido para algunos
valores de estados.
Linealización
Basada
Velocidad
en
la
ẋ = f (x, u)
.
y = h(x, u)
El sistema debe ser continuamente
diferenciable, por lo menos con primera
derivada continua de Lipschitz, f, h son
funciones suaves. No tiene restricciones
con el punto de operación, ya que puede
tomar puntos que no sean de equilibrio.
Tabla 6.1: Tipos de sistemas no lineales
67
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
68
Hasta este punto se puede decir que, para la linealización aproximada, extendida y
basada en la velocidad, el tipo de sistema no lineal es general, caso contrario para la
exacta donde el sistema no lineal es afines a la entrada.
En la Tabla 6.2 se muestran las condiciones y requerimientos de cada tipo de
linealización.
Tipo
de
Requerimientos y Condiciones
linealización
Linealización
Aproximada
• El sistema no lineal debe ser diferenciable con
primera derivada continua.
• La aproximación solo es válida en cercanı́as del
punto de equilibrio.
• Si el punto de equilibrio es diferente de cero el
sistema linealizado debe ser trasladado al origen.
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
69
Requerimientos y Condiciones
linealización
Linealización
Extendida
• El sistema no lineal debe ser diferenciable con
primera derivada continua.
• El controlador no lineal, debe coincidir con
el
controlador
lineal
obtenido
mediante
la
linealización del sistema en el punto de equilibrio.
• El sistema no lineal en lazo cerrado debe tener el
mismo punto de equilibrio del sistema no lineal.
• Los autovalores del sistema linealizado se ubican
en el semiplano izquierdo complejo y deben ser
diferentes a cero.
• La linealización se realiza sobre el punto de
equilibrio parametrizado en función de la entrada.
• Las ganancias de realimentación de estados no
lineales, están calculadas para que el sistema
linealizado en lazo cerrado se localicen en valores
especı́ficos, los cuales son invariantes para todos
los puntos de operación constantes.
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
Requerimientos y Condiciones
linealización
Linealización Exacta
• El sistema no lineal debe ser continuamente
diferenciable.
• El sistema debe poderse transformar a la forma
canónica controlable.
• El grado relativo del sistema debe ser igual al
grado del sistema para que sea completamente
linealizable de forma exacta.
• Se debe hallar una función de salida y, de
las variables de estado cuyas n − 1 derivadas,
sean funcionalmente independientes entre sı́, e
independientes de la variable de control u.
• La n-ésima derivada de la función de salida
y debe depender únicamente de la función del
controlador.
• El sistema linealizado en lazo cerrado debe tener
los autovalores ubicados en el semiplano izquierdo
complejo, diferentes de cero.
• Pueden aparecer valores para los que no está
definido el controlador, reduciendo la zona de
operación del sistema linealizado.
• El sistema únicamente debe poseer una salida.
Aunque puede tener múltiples entradas.
• El sistema linealizado debe ser asintóticamente
estable en cero.
70
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
71
Requerimientos y Condiciones
linealización
Linealización Basada
en la Velocidad
• El sistema debe tener primera derivada continua.
• La variación de los parámetros del sistema son
funciones acotadas en un rango, que pueden
depender de los estados, las entradas o el tiempo.
• La linealización puede tomar cualquier punto de
operación, incluyendo los que no son de equilibrio.
• El sistema linealizado está compuesto de una
familia de sistemas LTI, formada por cada uno de
los modelos obtenidos debido a la variación de los
parámetros.
Tabla 6.2:
Condiciones y requerimientos para la
linealización
Con esta comparación, es evidente que la aproximada tiene menos restricciones,
pero su mayor limitación, es que solo es válida alrededor del punto de equilibrio.
Para la extendida la región es ampliada gracias al controlador y que el sistema esta
parametrizado para el punto de equilibrio (continuos puntos de equilibrio).
En la exacta, la limitación es impuesta por el tipo de sistema no lineal y
adicionalmente a la estructura del controlador, que puede no estar definido para algunos
valores de operación de los estados, también se debe tener cuidado con la selección de la
salida y, ya que esta, también limita la región de validez de la linealización. Sin dejar de
lado, el sistema debe transformarse a la forma canónica controlable y su transformación
inversa debe existir.
Finalmente, la basada en la velocidad, es una alternativa que ofrece una mayor
región de validez, al no estar limitada por los puntos de equilibrio (puede tomar
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
72
cualquier punto que no sea de equilibrio), la región es ampliada debido a que está
conformada por una familia de modelos LTI, para cada valor de los parámetros
variantes, además las no linealidades del sistema se trasladan a los parámetros variantes.
Se resaltan las caracterı́sticas de cada uno de los métodos en la Tabla 6.3).
Tipo
de
Caracterı́sticas para la linealización
linealización
Linealización
Aproximada
• Se aproxima al sistema no lineal alrededor del
punto de equilibrio.
• La linealización se puede utilizar para sistemas de
múltiples entradas y múltiples salidas.
• Ayuda al análisis del comportamiento y diseño de
controladores para el sistema no lineal alrededor
de un punto de equilibrio.
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
Caracterı́sticas para la linealización
linealización
Linealización
Extendida
• Tiene múltiples soluciones para el controlador.
• El punto de equilibrio esta parametrizado en
función de la señal de entrada (es genérico).
• Soporta sistemas de múltiples entradas y múltiples
salidas, añadiendo complejidad al método.
• Está basado en la linealización aproximada, con
la diferencia de que es para continuos puntos de
equilibrio y no para un solo punto de equilibrio
como en la aproximada.
• Permite que el sistema en lazo cerrado pueda
seguir la referencia del sistema.
73
6.2 Requerimientos y Condiciones de las linealizaciones
Tipo
de
Caracterı́sticas para la linealización
linealización
Linealización Exacta
• Está basado en la geometrı́a diferencial (derivada
de Lie, corchete de Lie, gradiente, Jacobiano,
campos vectoriales, etc.. . ).
• Cuando el grado relativo del sistema no está
definido, aparece la dinámica de los ceros, por
lo cual, se debe estudiar la estabilidad de esta
dinámica.
• El significado fisico de las variables de estados
se pueden perder, debido a la transformación del
sistema.
• Permite que el sistema en lazo cerrado pueda
seguir la referencia del sistema.
74
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
Tipo
de
75
Caracterı́sticas para la linealización
linealización
Linealización Basada
en la Velocidad
• La linealización es válida en cualquier punto
de operación (incluyendo los que no son de
equilibrio).
• Adopta la forma de los sistemas LPV o cuasi LPV.
• El sistema puede tener múltiples entradas y
múltiples salidas.
• Le añade robustez al sistema en lazo cerrado.
• La región de operación es ampliada debido a la
variación de los parámetros
• Permite que el sistema en lazo cerrado pueda
seguir la referencia del sistema.
• Único control para una familia de puntos de
operación.
Tabla 6.3: Caracterı́sticas para la linealización
6.3
Linealización de un Sistema no lineal
Sea el sistema no lineal de la Ec. (6.1), descrito como
x˙1 =
x2 ,
x˙2 = − `g2 sin(x1 ) −
y
donde
=
x1 ,
V (t)
cos(x1 )
`
+ u
(6.1)
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
x1
: ángulo alcanzado.
x2
:
Velocidad angular.
g
:
Fuerza de gravedad.
`
:
Longitud de la barra.
76
V (t) : Función variante con respecto al tiempo.
Los valores de los parámetros para efectos de simulación, están dados como: g =
9.8 sm2 , ` = 0.5m, el parámetro variante esta acotado en V (t) = [−5, 15].
Por conveniencia se asume que todos los estados son medibles.
En la Figura 6.1 se muestra la respuesta del sistema no lineal con condiciones
inı́ciales nulas.
sistema 1
1.5
sistema no lineal
Angulo alcanzado (rad)
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
1000
2000
3000
4000 5000
Tiempo (s)
6000
7000
8000
9000
Figura 6.1: Respuesta del sistema no lineal
Controlabilidad y Observabilidad
Basándonos en el Algebra de Lie, se tiene que el sistema escrito como un sistema no
lineal afines al control, en la Ec. (6.2).
"
f (x) =
#
x2
− `g2 sin(x1 ) −
V (t)
cos(x1 )
`
;
g(x) =
" #
0
1
;
h(x) = x1 .
(6.2)
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
77
La controlabilidad (accesibilidad) del sistema, está dada usando los corchetes de
∂g
Lie, como g, ad1f g ,donde ad1f g = ∂f
g − ∂x
f , por lo cual, la matriz de controlabilidad
∂x
del sistema es la de (6.3).
"
0 1
#
.
(6.3)
1 0
Como se observa el rango de la matriz es 2, que es el mismo grado del sistema por
lo tanto el sistema es accesible.
Y para lo observabilidad utilizando la derivada de Lie se obtiene (6.4).
"
x1
0
0
x2
#
.
(6.4)
Lo cual indica que el sistema también es observable, pero solo está definido para
valores de x1 y x2 diferentes de cero.
Linealización Aproximada de un sistema no lineal
Primero se debe aclarar que en este caso el parámetro variante V (t) es constante, con
valor nominal Vn = 0.5.
Sea el punto de equilibrio del sistema (6.1) dado como:
x1 = X1,
x2 = 0,
u=
Vn
g
sin X1 + cos X1.
2
`
`
(6.5)
Linealizando el sistema de manera aproximada se tiene
" # "
x˙1
0
= −g
x˙2
2 cos(X1) +
`
#" #
1 x1
Vn
sin(X1)
`
0
x2
+
" #
0
u.
(6.6)
1
Se elije un controlador por realimentación de estados, dado por
u = k1 x1 − k2 x2 ,
(6.7)
donde el polinomio deseado es: s2 + 2ωn ζs + ωn2 , para wn = 5.5 ζ = 0.3. Las
ganancias del sistema en lazo cerrado están dadas como
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
k1 = ωn2
78
−g
V (t)
sin(X1 ),
cos(X1 ) +
2
`
`
k2 = 2ωn ζ.
(6.8)
Tomando en cuenta que el valor de Vn = 0.5, correspondiente al sistema nominal,
se escoge como punto de equilibrio Pe (X1 , X2 , U ) = ( π4 , 0, 9). La respuesta del sistema
se muestra en la Figura 6.2.
sistema por lin. Aproximada
sistema por lin. Aprox
velocidad Angular (rad/s)
1
0.9
Angulo alcanzado (rad)
0.8
X: 7.139
Y: 0.7044
0.7
0.6
3
2
1
X: 7.58
Y: −7.577e−06
0
−1
5
10
Tiempo (s)
controlador por linealizacion aprox
40
0.5
0
0.4
error
30
0.3
0.1
X: 7.473
Y: 26.17
20
0.2
0
5
Tiempo (s)
10
10
0
5
Tiempo (s)
10
Figura 6.2: Respuesta del sistema linealizado de manera aproximada
Linealización Extendida de un sistema no lineal
Para este caso nuevamente el valor del parámetro V (t) es un valor nominal constante
(Vn = 0.5).
Aplicando una ley de control por realimentación de estados, dada como
u = −K1 x1 − K2 x2 .
(6.9)
Donde las constantes K1 y K2 , son funciones que permiten obtener el controlador
no lineal.
Aplicando la ley de control (6.9) al sistema (6.6), obteniendo
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
" #
x˙1
x˙2
"
=
79
0
−g
cos(X1)
`2
+
Vn
sin(X1)
`
1
− K1 −K2
#" #
x1
.
(6.10)
x2
Su polinomio caracterı́stico está dado como
P c = s2 + K2 s +
g
Vn
cos(X1) − sin(X1) + K1 .
2
`
`
(6.11)
El polinomio deseado para el sistema, se escoge como
P d = s2 + 2ωn ζs + ωn2 .
(6.12)
Igualando (6.11) y (6.12), se tiene que las ganancias K1 y K2 , son
K1 = −ωn2
Vn
g
cos(x1 ) + sin(x1 ),
2
`
`
K2 = 2ωn ζ.
(6.13)
Integrando, para obtener el controlador no lineal, para K2
Z
x2
K2 =
2ωn ζdx2 = 2ωn ζx2 + φ(x1 ).
(6.14)
0
Se integra para K1 , y obtenemos
Z
x1
V (t)
g
cos(x1 ) +
sin(x1 ))dx1 ,
2
`
`
X1
g
Vn
= ωn2 (x1 − X1 ) − 2 (sin(x1 ) − sin(X1 )) − (cos(x1 ) − cos(X1 )).
`
`
φ(x1 ) = K1 =
(ωn2 −
(6.15)
(6.16)
Evaluando en la condición de contorno U = −K(X), se tiene que el controlador del
sistema es
u = −ωn2 (x1 − X1 ) +
g
Vn
sin(x1 ) + cos(x1 ) − 2ωn ζx2 .
2
`
`
(6.17)
Aplicando la ley de control no lineal, obtenido en (6.17), al sistema (6.1), el nuevo
sistema queda como
x˙1 =
x2 ,
x˙2 = −ωn2 (x1 − X1 ) − 2ωn ζx2 .
(6.18)
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
80
Como se puede observar el controlador produce un efecto linealizante sobre el
sistema.
Ahora, para observar la respuesta del sistema se toman los siguientes valores de
ζ = 0.3, para una referencia X1 = π4 , con condiciones inı́ciales
parámetros ωn = 5.5,
x10 = 0.001,
x20 = 0.001, en la Figura 6.3 se muestra la respuesta obtenida por
linealización extendida.
sistema por lin. Extendida
sistema por lin. Extendida
velocidad Angular (rad/s)
1.1
1
X: 7.245
Y: 0.7854
0.8
0.7
2
1
X: 7.101
Y: −1.252e−05
0
−1
5
10
Tiempo (s)
controlador por linealizacion extendida
40
0.6
0.5
0.4
0
30
error
Angulo alcanzado (rad)
0.9
3
0.3
X: 7.367
Y: 28.45
20
0.2
0.1
0
5
Tiempo (s)
10
10
0
5
Tiempo (s)
10
Figura 6.3: Respuesta del sistema por linealización extendida
Linealización Exacta de un sistema no lineal
Se toma el valor V (t) como constante, con valor nominal de Vn = 0.5
Reescribiendo el sistema de la forma dada en (1.2), por lo tanto, cada función está
dada como en la Ec. (6.19)
"
f (x) =
x2
− `g2 sin(x1 ) −
#
Vn
cos(x1 )
`
;
g(x) =
" #
0
1
;
h(x) = x1 .
(6.19)
Aplicando la transformación del sistema por medio del Difeomorfismo, se obtiene
que las derivadas de Lie hasta el orden n del sistema, son (Ec. (6.20))
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
81
L1f h =
x2 ,
L2f h =
− `g2 sin(x1 )
−
V (t)
cos(x1 ).
`
(6.20)
Para verificar que el sistema cumple con las condiciones dadas para
g, adf g, . . . , adn−1
g
f
tal que el sistema sea linealmente independiente e involutivo.
Condición que se estableció en (6.3), donde el sistema es controlable, por lo tanto, es
linealmente independiente.
"
Det
#
0 −1
1
= 1.
(6.21)
0
El controlador del sistema, está dado como (Ec. (6.22))
u=
1
(v
Lg Lfn−1 h(x)
− Lnf h(x)),
(6.22)
por lo cual, se calcula la derivada de Lie en otro campo adicional, obteniendo (Ec.
(6.23))
Lg Lf h = 1,
(6.23)
de manera que el controlador del sistema por linealización exacta, es (Ec. (6.24))
Vn
g
sin(x1 ) + cos(x1 ).
(6.24)
2
`
`
Tomando la misma ley de control por realimentación de estados de (6.9), pero, en
u=v+
este caso para v, se tiene que el controlador por linealización exacta es (Ec. (6.25))
Vn
g
sin(x1 ) + cos(x1 ).
(6.25)
2
`
`
Finalmente, el sistema con el controlador por linealización exacta, queda como
u = −K1 (x1 − X1) − K2 x2 +
x˙1 =
x2 ,
x˙2 = −K1 (x1 − X1) − K2 x2 .
(6.26)
La respuesta del sistema por linealización exacta, se muestra en la Figura 6.4, donde
el valor de las ganancias K1 = 3.2385,
K2 = 3.3, para una referencia de X1 = π4 , con
las condiciones inı́ciales dadas en la linealización extendida.
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
82
sistema por lin. Exacta
velocidad Angular (rad/s)
0.8
X: 8.208
Y: 0.7854
0.6
0.5
0.4
0.2
X: 8.082
Y: −1.951e−06
0
−0.2
5
10
Tiempo (s)
controlador por linealizacion exacta
30
0.4
0
X: 7.974
Y: 28.45
0.3
20
error
Angulo alcanzado (rad)
0.7
Velocidad Angular alcanzado del sistema
0.6
0.2
0.1
10
0
5
Tiempo (s)
0
10
0
5
Tiempo (s)
10
Figura 6.4: Respuesta del sistema por linealización exacta
Linealización Basada en la Velocidad de un sistema no lineal
Uno de los primeros pasos es reescribir el sistema no lineal (6.1), de manera que se
obtengan los parámetros variantes, dado que están relacionados con la parte no lineal
del sistema (esto debido a que la representación es cuasi-LPV). El sistema se reescribe
como se dio en (5.8). También, se aclara que para este caso el parámetro V (t) es
variante.
Reescribiendo el sistema se tiene
" #
x˙1
=
"
#" #
0 0 x1
x˙2
0 0
+
x2
" #
0
"
u+
− `g2 sin(x1 ) −
1
#
0
V (t)
cos(x1 )
`
.
(6.27)
Diferenciando el sistema a ambos lados
x¨1 =
x¨2 =
ẏ
=
x˙2 ,
− `g2 cos(x1 ) +
V (t)
sin(x1 )
`
x˙1 −
V̇ (t)
cos(x1 )
`
+ u̇,
(6.28)
x˙1 .
Haciendo el cambio de variable ẋ = w y v = u̇, donde el parámetro ρ = sin(x1 ) y
ρ̇ = cos(x1 ),antes de continuar por conveniencia, los parámetros variantes se asignan de
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
83
˙ se asume como una perturbación
la siguiente manera, ρ1 = ρ, ρ2 = ρ̇, ρ3 = V (t), V (t)
acotada del sistema dado como d = − V̇ `(t) cos(x1 ), el sistema queda como
ẇ1 =
ẇ2 =
ẏ
w2 ,
2
( gρ
`2
ρ1 ρ3
)w1
`
+
=
(6.29)
+ v + d,
w1 .
Claramente se observa que el sistema resultante es un sistema LPV, de manera que
el rango de variación de los parámetros es −1 < ρ1 < 1, para ρ2 = [−1; 1] y para
ρ3 = [−5; 15].
Para evaluar el sistema en el rango deseado del parámetro, se utiliza la
representación politópica, para sistemas LPV, por lo cual, se evalúa el sistema en
los extremos del rango.
Dado que aparece ρ1 , ρ2 y ρ3 , el numero de combinaciones para el politopo es de 8,
dadas como (ρ1 , ρ2 , ρ3 ) en la Tabla 6.4 se muestra las combinaciones.
ρ1
ρ2
ρ3
-1
-1
-5
-1
-1
15
-1
1
-5
-1
1
15
1
-1
-5
1
-1
15
1
1
-5
1
1
15
Tabla 6.4: Combinación de los parámetros
Por lo tanto, los 8 sistemas están dados como
"
A1 =
#
1
49.2 0
"
A5 =
0
0
#
1
29.2 0
"
;
A2 =
#
1
"
;
9.2 0
"
; A6 =
0
0
#
1
69.2 0
A3 =
#
1
−29.2 0
"
; A7 =
0
0
#
1
−49.2 0
"
; A4 =
;
A8 =
0
#
1
−69.2 0
"
#
0
1
−9.2 0
;
(6.30)
.
6.3 Linealización de un Sistema no lineal
84
Diseño del controlador Robusto por H2
Para mayor información acerca de la metodologı́a, para el diseño del controlador
robusto, consultar el Anexo B.3.
Esta estrategia de control, nos permite, que el sistema sea capaz de rechazar
perturbaciones.
El sistema se modifica de tal manera que se agrega unas entradas y salidas exógenas,
donde se pueda medir las variables que afecta la perturbación, el diseño del controlador
se basa en minimizar justamente ese valor de perturbación en el sistema, se considera
la LMI que se observa en el anexo B.2,para el diseño del controlador.
La estructura del sistema es modificada para ver el efecto de la perturbación.

"
A B
#
A
B1
B2




⇒
C
D
D
11
12  .
 1
C D
C2 D21 D22
(6.31)
Como la matriz D = 0, no se incluye.
El sistema está descrito por (1.30), donde se acomoda para ver el efecto de la
perturbación sobre la salida del sistema. La ley de control, está dada como u = Kw.
Por lo tanto, las ecuaciones del sistema son
"
A=
0
#
1
−39.2ρ2 + 2ρ1 ρ3 0
"
#
1 0
C1 =
;
0 0
;
B1 =
" #
0
;
1
B2 =
" #
0
;
1
(6.32)
h
i
C2 = 1 0 .
Para evaluar la LMI, se deben utilizar todos las 8 combinaciones. Para hallar la
ganancia del controlador K = Y Q−1 , utilizamos la LMI definida en (B.9) del Anexo
B,se tiene que Y y Q, son
"
Y =
0.0936
#
−0.8546
−0.8546 72.0587
,
h
i
Q = −34.2049 −34.8204 .
(6.33)
Finalmente, la ganancia del controlador es
h
i
K = −414.8191 −5.4027 .
(6.34)
6.4 Desempeño del sistema controlado
85
Para implementar el controlador en el sistema no lineal, se integra el controlador a
ambos lados, obteniendo
u = k1 (x1 − yref ) + k2 x2 + ueq .
(6.35)
La respuesta del sistema se muestra en la Figura 6.5.
sistema por lin. b. velocidad
sistema por lin. b. velocidad
velocidad Angular (rad/s)
1.4
1.2
X: 6.657
Y: 0.7854
0.8
10
X: 7.994
Y: −3.033e−06
0
−10
0.6
400
0.4
200
0
5
10
Tiempo (s)
controlador por lin. b. velocidad
error
angulo (rad)
1
20
0.2
0
0
0
5
tiempo (s)
10
−200
X: 7.994
Y: 28.45
0
5
Tiempo (s)
10
Figura 6.5: Controlador robusto mediante H2 para el sistema en estudio
6.4
Desempeño del sistema controlado
En esta sección, se trabajaran distintas comparaciones que se le realizan a cada una de
las linealizaciones, de manera que se puedan ver ventajas, desventajas o caracterı́sticas
de cada una de ellas. Se debe aclarar que las linealizaciones se utilizan para el diseño de
controladores, donde se evalúa el desempeño del sistema en lazo cerrado para cada uno
de los controladores obtenidos por cada método de linealización, debido a la variaci?n
del parámetro V (t).
La simulación se lleva cabo utilizando MATLAB, utilizando la función ode para
realizar la formulación de cada uno de los métodos de linealización.
6.4 Desempeño del sistema controlado
6.4.1
86
Respuesta del sistema ante variación del parámetro V (t)
Para empezar se toma como valor de referencia del sistema en π4 . Donde la respuesta
que se obtiene para las linealizaciones es como se muestra en la Figura 6.6.
Respuesta del sistema
1.4
Lin. Aproximada
Lin Extendida
Lin Exacta
Lin. B. Velocidad
1.2
X: 23.65
Y: 0.937
1
X: 23.56
Y: 0.8028
X: 26.57
Y: 0.7854
Angulo (rad)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
5
10
15
20
tiempo(s)
25
30
35
Figura 6.6: Respuesta del sistema con V (t) variante, para una referencia de
40
π
4
Se observa que la linealización aproximada se ve fuertemente afectada por la
variación del parámetro, oscilando en una banda entre [−0.05, 0.937], por lo cual, no
es capaz de seguir a la referencia, mientras que para la LBV esta banda es peque?a
alrededor de la referencia [0.768, 0.8028], donde los mejores resultados los presenta la
linelización exacta y la extendida.
6.4.2
Respuesta del sistema para V(t) constante con valor
nominal cuando la referencia cambia
Para ver la respuesta ideal, se mantendrá V (t) en su valor nominal V (to ) = 0.5, de
forma que se pueda ver si llega a la referencia cuando esta se cambia, la respuesta se
6.4 Desempeño del sistema controlado
87
muestra en la Figura 6.7.
Respuesta del sistema
10
lin.aprox
lin. exacta
lin. extendida
lin. b. vel.
8
X: 30.2
Y: 6.72
X: 38.68
Y: 5.736
6
X: 39.04
Y: 3.142
4
Angulo (rad)
2
X: 8.01
Y: 0.7325
X: 31.54
Y: 1.571
0
X: 23.41
Y: −1.088e−07
−2
X: 15.56
Y: −1.571
−4
−6
X: 21.72
Y: −5.782
X: 14.35
Y: −6.766
−8
−10
0
5
10
15
20
Tiempo (s)
25
30
35
40
Figura 6.7: Respuesta del sistema con V (to ) nominal ante cambios en la referencia del
sistema
Claramente se observa en la Figura 6.7 como la aproximada no es capaz de alcanzar
los demás valores de referencia, esto debido en gran parte a que el controlador se diseño
alrededor un punto de operación, por lo cual, al salirse de esa vecindad el sistema no
es capaz de llegar al valor deseado de la referencia.
Para las demás linealizaciones el cambio de referencia no influye en el sistema ya
que sigue a la referencia, por lo cual sus regiones de operación, es más amplia que la
de la linealización aproximada.
6.4 Desempeño del sistema controlado
6.4.3
88
Respuesta del sistema ante variación del parámetro V (t)
cuando la referencia cambia
Este análisis tiene como caracterı́stica ver como actúa el sistema cuando el parámetro
variante V (t) cambia con el tiempo y cómo influye este parámetro en el cambio de la
referencia del sistema. La respuesta se muestra en la Figura 6.8.
Respuesta del sistema
5
lin.aprox
lin. exacta
lin. extendida
lin. b. vel.
4
X: 39.66
Y: 3.215
3
Angulo (rad)
2
X: 31.85
Y: 1.571
X: 7.818
Y: 0.7368
1
0
X: 23.77
Y: 0.02344
−1
X: 15.9
Y: −1.571
−2
−3
−4
0
5
10
15
20
Tiempo (s)
25
30
35
40
Figura 6.8: Respuesta del sistema con V (t) variante ante cambios en la referencia del
sistema
Como se observa en la Figura 6.8, la linealización aproximada, se ve afectada por
la variación de V (t), por lo cual, no es capaz de seguir la referencia del sistema, para
las demás linealizaciones, la variación de V (t), no desvı́a tanto al sistema del valor de
referencia deseado, en la LBV hay ligeras desviaciones, pero esta es capaz de seguir la
referencia.
6.4 Desempeño del sistema controlado
6.4.4
89
Desempeño del sistema ante criterios de error
Finalmente, se aplican los criterios ISE y IAE (ver Anexo C), para ver el desempeño del
sistema, para cada uno de los controladores obtenidos por los métodos de linealización.
Para empezar en la Figura 6.9 se muestra el error del sistema.
eror del sistema
4
lin.aprox
lin. exacta
lin. extendida
lin. b. vel.
3
X: 15.91
Y: 2.356
2
X: 23.85
Y: 0.7628
error
1
0
X: 7.682
Y: 0.04801
X: 31.84
Y: −0.7854
−1
X: 39.78
Y: −2.356
−2
−3
−4
0
5
10
15
20
tiempo (s)
25
30
35
40
Figura 6.9: Error del sistema ante cambios en la referencia cuando V (t) es variante
Como se observa en la Figura 6.9, el error producido por la aproximada varı́a
mucho, inclusive se va incrementando para aquellos valores de referencia que no es
capaz de alcanzar tales como
π
, − π2 , π
2
y 0, que son justamente los valores que están
fuera de la región de equilibrio del sistema aproximado, ya que su región de equilibrio
es alrededor de π4 . Esta oscilación en el comportamiento de la aproximada es causada
por la variación del parámetro variante, que la afecta en gran medida, para las otras
linealizaciones el error que se tiene no es producido en gran proporción por el parámetro
variante, sino por la respuesta que se necesita para alcanzar la referencia del sistema.
En la Figura 6.10 se muestra la respuesta para ISE.
6.4 Desempeño del sistema controlado
90
Desempeño para criterio ISE
120
lin.aprox
lin. exacta
lin. extendida
lin. b. vel.
100
error
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
tiempo (s)
25
30
35
40
Figura 6.10: Desempeño del sistema con criterio ISE
En la Figura 6.11 se muestra la respuesta para IAE.
Desempeño para criterio IAE
45
lin.aprox
lin. exacta
lin. extendida
lin. b. vel.
40
35
30
error
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
tiempo (s)
25
30
35
40
Figura 6.11: Desempeño del sistema con criterio IAE
6.4 Desempeño del sistema controlado
91
Una obervación de los criterios de desempeño ISE y IAE, es que la linealización
aproximada y la exacta son las que más errores tienen, con la diferencia que la exacta
compensa al sistema para alcanzar la referencia, no siendo ası́ con la aproximada, que
solo reduce el error para su valor de equilibrio.
En el Anexo A se muestran figuras del desempeño de los controladores obtenidos
por cada uno de los métodos de linealización, para diferentes valores de V (t). Los
valores para V (t) son al azar, lo importante es resaltar como afecta el parámetro en
el desempeńo del sistema, no se trata de buscar el valor optimo de desempeño, esto
debido a que el parámetro no es fijo y está en cambio permanente.
Tipo de linealización
V(t)
-5
0
Linealización
Aproximada
5
10
15
-5
0
Linealización
Extendida
5
10
15
Criterio
Valor
IAE
0.89862
ISE
0.1532
IAE
1.02
ISE
0.1733
IAE
1.188
ISE
0.2078
IAE
1.458
ISE
0.2736
IAE
1.848
ISE
0.4141
IAE
0.3829
ISE
0.1293
IAE
0.3829
ISE
0.1293
IAE
0.3829
ISE
0.1293
IAE
0.3829
ISE
0.1293
IAE
0.3829
ISE
0.1293
6.4 Desempeño del sistema controlado
Tipo de linealización
92
V(t)
-5
0
Linealización
Exacta
5
10
15
-5
0
Linealización B.
Velocidad
5
10
15
Criterio
Valor
IAE
0.9344
ISE
0.4179
IAE
0.9344
ISE
0.4179
IAE
0.9344
ISE
0.4179
IAE
0.9344
ISE
0.4179
IAE
0.9344
ISE
0.4179
IAE
0.2134
ISE
0.0627
IAE
0.2146
ISE
0.06231
IAE
0.2148
ISE
0.06257
IAE
0.215
ISE
0.06281
IAE
0.2159
ISE
0.06308
Tabla 6.5: Criterios de desempeño
Como se observa en la Tabla 6.5, el mejor desempe?o del sistema lo presenta la
linealización basada en la velocidad, que ante cambios en el parámetro su error varia
muy poco, luego le sigue la extendida que su error es constante, sin importar la variación
del parámetro V (t), este mismo comportamiento se observa en la exacta, y finalmente,
esta la aproximada donde su error va en crecimiento a medida que el valor del parámetro
cambia.
Capı́tulo 7
Conclusiones y recomendaciones
Se realizo un análisis comparativo de los diferentes métodos de linealización, donde se
realizo comparaciones en cuanto a los requerimientos, caracterı́sticas y el desempeño del
sistema, se observo que el sistema no lineal es general, para la linealización aproximada,
extendida y la LBV, mientras que para la linealización exacta el sistema no lineal es
afines a la entrada. Además de que el sistema no lineal debe tener primera derivada
continúa para la aproximada, la extendida y la LBV. Las funciones del sistema no
lineal afines a la entrada deben ser continuamente diferenciables para la linealización
exacta.
En cuanto a requerimientos, la aproximada se limita a una región alrededor del
punto de equilibrio, en la extendida la región es para continuos puntos de equilibrio
parametrizados en función de la entrada, donde el sistema no lineal en lazo cerrado debe
tener el mismo punto de operación del sistema no lineal, que a su vez debe coincidir con
el sistema linealizado en lazo cerrado. Para la linealización exacta el sistema debe poder
transformarse a la forma canónica controlable y debe ser invertible también, la función
de salida del sistema no lineal, establece si aparece la dinámica de los ceros o no; el cual
tiene como requisito que la derivada de orden n del sistema depende únicamente de la
función de entrada del sistema no lineal, debe haber una salida solamente. Para la LVB
es válida para cualquier punto de operación, incluso los que no son de equilibrio, está
compuesta de una familia de sistemas LTI, para cada valor del rango de los parámetros
variantes, que dependen de los estados, entradas o son función del tiempo.
7.1 Recomendaciones
94
Para las caracterı́sticas, la aproximada, permite analizar el comportamiento y diseño
de controladores para el sistema no lineal, alrededor del punto de equilibrio. La
extendida permite que haya seguimiento de la referencia del sistema en lazo cerrado,
donde las soluciones para el controlador son múltiples. En la exacta está basada en
la geometrı́a diferencial, es válida en un entorno determinado por las caracterı́sticas
del sistema no lineal, se puede perder el significado fı́sico de las variables de estado,
debido a la transformación del sistema, permite seguir la referencia del sistema en lazo
cerrado. La LBV adopta la forma de los sistemas LPV, le añade robustez al sistema
en lazo cerrado, debido a la variación de los parámetros del sistema, el controlador del
sistema es único, para la familia de puntos de operación del sistema y permite que el
sistema en lazo cerrado siga la referencia.
Para terminar, el desempeño de cada linealización ante la variación del parámetro,
evidencia que la LBV es la que mejores resultados tiene ya que el error es pequeño en
comparación a los demás métodos, para el caso de la aproximada, es la que mas error
presenta y se ve fuertemente afectada por la variación del parámetro. La exacta y la
extendida al contrarrestar el efecto del parámetro variante, el error es constante.
7.1
Recomendaciones
Para futuros trabajos se recomienda emplear diferentes tipos de controladores, ya que
en este trabajo, solo se utilizo el controlador por realimentación de estados, además
de utilizar la linealización basada en la velocidad para resolver un problema práctico,
donde se tenga en cuenta la variación de los parámetros y como afecta al sistema.
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Apéndice A
Criterios de Desempeño para cada
método de linealización
Se muestran las respuestas que se obtuvieron para ver el desempeño de cada controlador
obtenido por cada método de linealización, donde se va cambiando el valor del
parámetro variante V (t), donde se observara como este valor influye en la respuesta
del sistema controlado.
En la Figuras A.1 y A.2 se muestran las respuestas obtenidos para los criterios IAE
y ISE para el controlador por linealización aproximada.
A Criterios de Desempeño para cada método de linealización
101
desempeño lin. aproximada
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
X: 19.78
Y: 1.848
1.8
1.6
X: 19.93
Y: 1.458
error IAE
1.4
X: 19.86
Y: 1.188
1.2
X: 19.92
Y: 1.02
1
X: 19.94
Y: 0.8962
0.8
0.6
14
15
16
17
tiempo (s)
18
19
20
Figura A.1: Desempeño de la lin. Aproximada con el criterio IAE
desempeño lin. aproximada
0.55
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
0.5
0.45
X: 19.98
Y: 0.4141
error ISE
0.4
0.35
X: 19.99
Y: 0.2736
0.3
0.25
X: 19.98
Y: 0.2078
X: 19.98
Y: 0.1733
0.2
0.15
X: 19.98
Y: 0.1531
0.1
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
tiempo (s)
19.7
19.8
19.9
20
Figura A.2: Desempeño de la lin. Aproximada con el criterio ISE
Para la linealización extendida se tiene las Figuras A.3 y A.4.
A Criterios de Desempeño para cada método de linealización
102
desempeño lin. extendida
0.4
X: 19.55
Y: 0.3829
0.35
0.3
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
error IAE
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
10
11
12
13
14
15
tiempo (s)
16
17
18
19
20
Figura A.3: Desempeño de la lin. Extendida con el criterio IAE
desempeño lin. extendida
X: 19.07
Y: 0.1293
0.12
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
0.1
error ISE
0.08
0.06
0.04
0.02
0
10
11
12
13
14
15
tiempo (s)
16
17
18
19
20
Figura A.4: Desempeño de la lin. Extendida con el criterio ISE
Para la linealización exacta, la respuesta se muestra en la Figuras A.5 y A.6.
A Criterios de Desempeño para cada método de linealización
103
desempeño lin. exacta
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
1.2
1
X: 19.53
Y: 0.9344
error IAE
0.8
0.6
0.4
0.2
10
11
12
13
14
15
tiempo (s)
16
17
18
19
20
Figura A.5: Desempeño de la lin. Exacta con el criterio IAE
desempeño lin. exacta
0.45
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
0.44
0.43
0.42
error ISE
X: 18.21
Y: 0.4179
0.41
0.4
0.39
0.38
0.37
0.36
11
12
13
14
15
16
tiempo (s)
17
18
19
20
Figura A.6: Desempeño de la lin. Exacta con el criterio ISE
Y finalmente, para la Linealizacion basada en la velocidad se tienen las Figuras A.7
y A.8.
A Criterios de Desempeño para cada método de linealización
104
desempeño lin. b. vel.
0.216
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
0.2155
X: 20
Y: 0.2159
X: 20
Y: 0.215
0.215
error IAE
X: 20
Y: 0.2148
X: 20
Y: 0.2146
0.2145
0.214
X: 20
Y: 0.2134
0.2135
19.96
19.965
19.97
19.975
19.98
tiempo (s)
19.985
19.99
19.995
Figura A.7: Desempeño de la lin. B. Velocidad con el criterio IAE
desempeño lin. b. vel.
0.0632
0.063
X: 20
Y: 0.06308
V =−5
V=0
V=5
V=10
V=15
X: 20
Y: 0.06281
error ISE
0.0628
X: 20
Y: 0.06257
0.0626
0.0624
X: 20
Y: 0.06231
0.0622
X: 20
Y: 0.06207
19.965
19.97
19.975
19.98
19.985
tiempo (s)
19.99
19.995
20
Figura A.8: Desempeño de la lin. B. Velocidad con el criterio IAE
Apéndice B
Fundamentos de Control Robusto
En este apartado se dan nociones básicas para el diseño de un controlador por H2 .
B.1
Normas
En este sentido, nos referimos a norma como a una medida del espacio de interés, que
cumple con:
1. Si x ∈ E y kxk = 0 entonces x = 0.
2. Si β ∈ R(C), x ∈ E entonces kβxk = |β|kxk.
3. Si x, y ∈ E entonces kx + yk < kxk + kyk
Donde E es el espacio vectorial, y una norma sobre este espacio, se conoce como
un espacio normado.
Generalmente una norma está dada como:
kxkp = (|x1 |p + |x2 |p + |x3 |p + · · · + |xn |p )1/p .
Donde p ∈ [1, ∞), x ∈ C n , por lo tanto, x = (x1 , x2 , · · · , xn ).
Se distinguen 2 normas de interés, como lo son:
• kxk2 conocida como la norma euclidiana o longitud euclidiana del vector.
(B.1)
B.1 Normas
106
• kxk∞ que es el valor máximo de maxi |xi |.
De acuerdo al espacio de interés, se tienen normas para:
• Normas de Vectores.
• Normas de Matrices.
• Normas de Señales.
• Normas de Sistemas
Se profundiza en la norma H2 para sistemas, para mayor información sobre las
normas consultar (Rosales Sánchez, 2003; Cabrera Durán, 2009; Rı́os, 2003).
B.1.1
Calculo de la norma H2
Tomando el sistema visto en (1.30), que denota el modelo general de una planta,
donde Tz w corresponde a la función de transferencia de la perturbación w, a la salida
controlada z.
Si consideramos solo los estados, las salidas medibles del sistema y como afecta la
perturbación al sistema, se tiene el sistema:
ẋ = Ax + Bw,
(B.2)
z = Cx + Dw.
Sea G(s) la función de transferencia de (B.2), dada como:
"
G(s) =
A B
#
.
(B.3)
C D
Y si kG(s)k2 < ∞ se debe cumplir que:
1. D=0.
2. kG(s)k2 =
p
traza(CQC T ) donde Q es el Grammiano de Observabilidad dado
como AT Q + QA + C T C = 0.
3. Una alternativa es utilizar el Grammiano de Controlabilidad, por lo
p
cualkG(s)k2 = traza(B T QB),se resuelve a Q, como AQ + QAT + BB T = 0
B.2 LMI
B.2
107
LMI
Las desigualdades matriciales lineales (LMI) están dadas como:
F (x) ∼
= Fo +
n
X
xi Fi > 0.
(B.4)
i=1
Donde x ∈ R
m
variables, y las matrices simétricas Fi = FiT ∈ Rn×n , i = 0, · · · , m
son dadas, y F (x) es definida positiva, es decir, uT F (x)u > 0 para todo u distinto de
cero ∈ Rn .
Por lo general, una LMI es una restricción convexa en x, para x tal que F (x) > 0
son un conjunto convexo. Cuando las matrices Fi son diagonales, el LMI F (x) > 0
es un conjunto de desigualdades lineales. Las desigualdades convexas no lineales, se
convierten a la forma de LMI usando el complemento de Shur.
Complemento de Shur
Sea:
"
Q(x)
S(x)
#
S(x)T R(x)
> 0.
(B.5)
Donde Q(x) y R(x) son simétricas y S(x) depende de la afinidad de x, que es
equivalente a.
R(x) > 0,
Q(x) − S(x)R(x)− 1S(x)T > 0.
(B.6)
El problema correspondiente a un LMI es encontrar un x factible para F (x) > 0
Cabrera Durán (2009); Rosales Sánchez (2003).
B.3
Control por Realimentación de Estados por H2
Sea el sistema LTI siguiente:
ẋ =
Ax
+
B2 w
+
B1 u,
z = C1 x + D12 w + D11 u.
(B.7)
B.3 Control por Realimentación de Estados por H2
108
Donde x ∈ Rn estados, w ∈ Rr perturbaciones externas, z ∈ Rq son las salidas
manipuladas y u ∈ Rp entradas.
Sea K ∈ Rpxn la matriz de ganancias por realimentación de estados, donde u = Kx,
que forma el siguiente sistema en lazo cerrado:
ẋ =
(A + B1 K)x
+
B2 w,
(B.8)
z = (C1 + D11 K)x + D12 w.
El problema es determinar una ganancia K, que estabiliza el sistema y minimiza la
norma H2 del sistema (B.7). Tomando en consideración que D12 = 0 (Cabrera Durán,
2009). El problema consiste en resolver la optimización para el sistema (B.8) como:
"
AQ + QA + B1 Y + Y B1
B2
B2
−Ir
"
W
#
C1 Q
QC1
Q
Q>0
#
≥ 0;
< 0;
(B.9)
traza(W ) < γ 2 .
Donde Q es simétrica y definida positiva, además de que W y Y satisfacen el
problema de optimización, por lo tanto las ganancias del controlador se obtienen como:
K = Y Q−1 .
(B.10)
p
Y la norma H2 está dada como kGz wk2 < traza(W ). Finalmente el controlador
debe satisfacer que la perturbación sea mı́nima para el sistema, considerando la
limitación de la perturbación por medio de la norma. En (Rosales Sánchez, 2003)
se profundiza acerca de esta metodologı́a de control.
Apéndice C
Algunas Definiciones
Error Estacionario: es la diferencia entre la salida y el valor deseado.
Error Dinámico: Representa la variación del error cuando se presenta un cambio en
la entrada o cuando se produce una perturbación en el sistema. (se pondera
utilizando algún ı́ndice de error integral).
Donde la integral del error cuadrático (ISE) está dada por la Ec. (C.1).
∞
Z
e(t)2 dt.
ISE =
(C.1)
0
Para la integral del error absoluto (IAE) dado en la Ec. (C.2).
∞
Z
|e(t)|dt.
IAE =
(C.2)
0
Y la integral del error absoluto por el tiempo (ITAE) que se establece por la Ec.
(C.3).
Z
IT AE =
∞
t|e(t)|dt.
(C.3)
0
C.0.1
Función Implı́cita
Si en una ecuación del tipo F (x, y, · · · , z) = 0, se dice que esta ecuación define en
el entorno de un punto Po (x0 , yo , · · · , zo ) a z = f (x, y, · · · ), como una función de nvariables si para todo punto P del entorno Po se tiene que F (x, y, · · · , f (x, y)) ≡ 0.
C Algunas Definiciones
110
En general una representación implı́cita está dada por una sola ecuación en función
de la variables (x, y, · · · , z) de la formaF (x, y, · · · , z) = 0.
Teorema C.0.1. Sea una ecuación de n + 1 variables F (x, y, · · · , z) = 0 esta
ecuación define una función implı́cita z = f (x, y, · · · ) en el entorno de un punto
Po (xo , yo , · · · , zo ) si:
1. F (xo , yo , · · · , zo ) = 0 es decir Po satisface la ecuación
2. F (xo , yo , · · · , zo ) : Fx0 , Fy0 , · · · son funciones continuas en el entorno del punto Po
3. Fz0 (xo , yo , · · · , zo ) 6= 0, la derivada respecto de z no se anula.
Para obtener una expresión que nos permita obtener las derivadas parciales de la
función implı́cita, diferenciamos los dos miembros de la ecuación F (x, y, · · · , z) = 0
∂F
∂F
∂F
dx +
dy + · · · +
dz = 0,
∂x
∂y
∂z
(C.4)
despejando dz,
dz = −
∂F
∂x
∂F
∂z
dx −
∂F
∂y
∂F
∂z
dy − · · · .
(C.5)
De manera que se obtiene la derivada implı́cita de la función z = f (x, y, · · · ).
C.0.2
Función definida positiva
Se dice que una función f : R → C es definida positiva si
n
X
f (xj − xk )λi λk ≥ 0,
j,k
para todo n ∈ N, x1 , · · · , xn , ∈ R, x1 , · · · , xn ∈ C.
Teorema C.0.2. Sea f : R → C una función definida positiva, entonces
1. f (0) ≥ 0,
2. f (x) = f (−x)∀x ∈ R,
3. | f (x) |≤ f (0)∀x ∈ R.
Lo que implica que toda función definida positiva es acotada (Ramón, 2012).
(C.6)
C.1 Representación de los Sistemas LPV
C.1
111
Representación de los Sistemas LPV
Aquı́ se describe dos formulaciones.
Formulación dependiente de los parámetros
Formulación adecuada para sistemas polinomiales, aunque se puede usar para cualquier
tipo de sistemas LPV, se representa como (Ec. (C.7))
ẋ(t) = A(ρ)x(t),
(C.7)
donde Ec. (C.8) es
A(ρ) = Ao +
∞
X
Ai ραi .
(C.8)
i
α1 α2
αN
Con αi = [αi1 , · · · , αiN ] y ραi = ρ1 i ρ2 i · · · ρNi como se observa hay una dependencia
polinomial de los parámetros.
Formulación por transformación fraccional lineal (LFT)
Consiste en dividir el sistema en 2 partes, una donde estén los parámetros variantes
del sistema y otra donde estén las constantes; la separación permite que se puedan
manipular las ecuaciones del sistema, considerando que solo la función que depende
del parámetro es variable Reyes (2012).
En la Figura C.1 se ilustra la representación LFT, donde z(t) salidas, w(t) entradas,
H(s) la parte constante del sistema y θ(t) los parámetros variantes del sistema.
Figura C.1: Bloque para LFT
C.1 Representación de los Sistemas LPV
112
Sea Ec. (C.9):
ẋ(t) = A(ρ)x(t),
y(t) =
(C.9)
Cx(t).
Se reescribe el sistema como en la Ec. (C.10), donde se obtiene:
ẋ(t) = Ãx(t) + Bw(t),
(C.10)
z(t) = Cx(t) + Dw(t),
donde (Ec. (C.11))
w(t) =
θ(ρ)z(t),
(C.11)
= θ(ρ)Cx(t) + Dw(t)).
Para todo ρ ∈ [−1; 1]. Por lo cual se obtiene Ec. (C.12).
w(t) = (I − θ(ρ)D)−1 θ(ρ)x(t).
(C.12)
Por lo que finalmente se obtiene Ec. (C.13)
ṫ = (Ã + B(I − θ(ρ)D)−1 θ(ρ)C)x(t).
(C.13)
Mostrando que tenemos (Ec. (C.14))
A(ρ) = Ã +
B(I − θ(ρ))−1 θ(ρ)C,
= Ã + Bθ(ρ)(I − Dθ(ρ))−1 C.
(C.14)
Finalmente, H(s) corresponde a la función de transferencia del sistema y está dada
como
H(s) = C(sI − Ã)−1 B + D.
(C.15)