UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FÍSICA II EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUDRADOS “AÑO DE LA LUCHA CONTRA LA CORRUPCIÓN Y LA IMPUNIDAD” UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE FÍSICA II “EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS” DOCENTE: CHANDUCAS TANTALEAN, Heber Elcano ESTUDIANTES: TOLEDO LEÓN, Deysi CHACÓN EVARISTO, Yaneth MEJÍA BARRETO, Brahan HUERTA YANAC, Leonel Jhulian HUARAZ – PERÚ 2019 UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” I. OBJETIVOS Reconocer el método de los mínimos cuadrados como una herramienta eficaz en el desarrollo de muchos experimentos de laboratorio. Aprender aproximar un conjunto de datos por funciones bastante generales. Aprender a obtener la mejor recta que representa a los puntos dados. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” I. FUNDAMENTO TEÓRICO En un laboratorio se comparan los resultados de los experimentos con las fórmulas teóricas, es decir, se comprueba si las medidas concuerdan con los valores que predice la teoría. Las mediciones siempre están afectadas por errores y para determinar con precisión el grado de concordancia es preciso efectuar cálculos estadísticos Las aplicaciones de las técnicas numéricas a la ciencia y la ingeniería consisten, a menudo, en ajustar una curva a datos experimentales. El problema de ajuste de curvas consiste en encontrar la “mejor” función que pueda usarse para representar los datos, pero que no pase exactamente en todos los puntos ´ dados. La técnica más comúnmente utilizada para resolver este problema se conoce como el método de mínimos cuadrados. 1.1. Método de Mínimos Cuadrados. Aunque una teoría nos asegure que la relación entre dos magnitudes 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 es lineal, en la práctica, la dispersión que causan los errores experimentales hace que no se encuentren exactamente dispuestos a lo largo de una recta como muestra la Fig. 1a. El método de mínimos cuadrados calcula a partir de los N pares de datos experimentales (𝑋𝑖, 𝑌𝑖) los valores de la pendiente b y del punto de corte con el eje a que mejor ajustan los datos a una recta. Como se muestra en la Fig. 1b, se entiende por el mejor ajuste aquella recta que hace mínimas las distancias 𝑑1, 𝑑2, ⋯ , 𝑑𝑁 de los puntos medidos a la recta. Las ecuaciones que hay que utilizar para ajustar mediante el método de mínimos cuadrados un conjunto de 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁 datos experimentales agrupados en parejas (𝑋𝑖 , 𝑌𝑖) de medidas que deberían disponerse a lo largo de la recta 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑥 son: UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Para el cálculo de la desviación estándar utilizaremos las siguientes fórmulas: Para la pendiente (b): Para a: Ejemplo: Supongamos que hemos medido la velocidad de un cuerpo movido por una fuerza constante de modo que tendremos 𝑉(𝑡) = 𝑉𝑜 + 𝐴𝑡 donde Vo es la velocidad inicial y 𝐴 = 𝐹𝑜/𝑚 su aceleración. Nuestras medidas, es decir, los datos de partida serán los siete valores de Fig. 2a con los que queremos determinar Vo y A empleando las fórmulas anteriores, 𝑋𝑖 son los tiempos 𝑡𝑖 y las velocidades 𝑉𝑖(𝑡𝑖) las coordenadas Yi. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” En primer lugar, es aconsejable dibujar los datos para comprobar si aproximadamente se disponen a lo largo de una recta como se muestra en la Fig. 2b puesto que, si no fuese así, tendríamos que repetir las medidas. La aceleración calculada con las fórmulas anteriores no puede ser muy diferente del valor aproximado de 𝐴 ≃ 1,050 × 103 𝑐𝑚/𝑠 obtenido en la figura. Para emplear las fórmulas anteriores hay que calcular los siguientes sumatorios: UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” Con estos datos tenemos finalmente: que es un valor muy aproximado al obtenido mediante el análisis gráfico. Este procedimiento puede extenderse a un conjunto tan grande de datos como sea necesario. 1.2. Ventajas. Es objetivo, sólo depende de los resultados experimentales. Es reproducible, proporciona la misma ecuación, no importa quién realice el análisis. Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales. Proporciona intervalos pequeños de error 1.3. Aplicación del método de los mínimos cuadrados en algunos experimentos. Ecuaciones empíricas. Velocidad-aceleración. Trayectoria de proyectiles. Fuerza: estática. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” II. CONCLUSIONES. Este método será una de las herramientas que nos ayudaran en la elaboración de los informes científicos. Las funciones obtenidas, reprepresentan la función general que se adapta a los datos anotados. Se debe aplicar y efectuar correctamente los procedimientos, ya que si cometemos algún error no se obtendrán los resultados esperados UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” III. BIBLIOGRAFÍA Cimat. (2014). Método de Mínimos Cuadrados. Recuperado https://www.cimat.mx/~angeluh/webpage_ANI/Lecciones/Leccion19.pdf de: Exa. (2008). Método de los mínimos cuadrados. Recuperado http://exa.unne.edu.ar/matematica/metodos/5-3-material-teorico/min-cuadrado.pdf de: Plasmalab. El ajuste de datos por mínimos cuadrados. http://plasmalab.aero.upm.es/~practicasfisica/LabFisicaIIFiles/Ayudas/MC/MinimosCuadrados.pdf de: Recuperado
