363801771-ejercicios-de-ecuaciones-diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Problemas resueltos y propuestos
Joe García
Copyright c 2017 Joe García
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First printing, March 2017
Índice general
0.1
Ecuación diferencial exacta
0.1.1
Método de agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5
0.2
Ejercicios
15
0.3
Factor de integración
19
0.4
Ejercicios
26
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Books
31
Articles
31
0.1 Ecuación diferencial exacta
0.1
5
Ecuación diferencial exacta
Las ecuaciones diferenciales de primer orden que se estudiarán en este capítulo pueden expresarse en la forma derivada
y 0 = f (x, y)
(1)
o la forma diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
(2)
En la forma (1) queda claro a partir de la propia notación, que y es considerado como la variable
dependiente y x como la independiente; pero en la forma (2) podemos considerar realmente
cualquiera de las variables como dependientes y las otras como independientes. Sin embargo, en
este trabajo, en todas las ecuaciones diferenciales de la forma (2) en x y y, consideraremos y como
dependientes y x como independientes, a menos que se establezca lo contrario.
Definición 0.1.1 Sea F una función de dos variables reales tales que F tiene continuas primeras
derivadas parciales en un dominio D. El diferencial total dF de la función F se define por la
fórmula
dF(x, y) =
∂ F(x, y)
∂ F(x, y)
dx +
dy
∂x
∂y
para todo (x, y) 2 D.
Definición 0.1.2 La expresión
M(x, y) dx + N(x, y) dy
(3)
es llamado un diferencial exacto en un dominio D si existe una función F de dos variables reales
tal que esta expresión es igual al diferencial total dF(x, y) para (x, y) 2 D. Es decir, la expresión
(3) es un diferencial exacto en D si existe una función F tal que
∂ F(x, y)
= M(x, y) y
∂x
∂ F(x, y)
= N(x, y)
∂y
para todo (x, y) 2 D.
Si (3) es un diferencial exacto, entonces la ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
se denomina una ecuación diferencial exacta.
Teorema 0.1.1 Considere la ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
(4)
donde M y N tienen continuas primeras derivadas parciales en todos los puntos (x, y) en un
dominio rectangular D.
1. Si la ecuación diferencial (4) es exacta en D, entonces
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
=
∂y
∂x
(5)
6
para todo (x, y) 2 D.
2. Por el contrario, si se cumple (5) para todo (x, y) 2 D, entonces la ecuación diferencial (4)
es exacta en D.
Demostración Parte 1. Si la ecuación diferencial (4) es exacta en D, entonces (3) es un diferencial exacto en D. Por definición de un diferencial exacto, existe una función F tal que
∂ F(x, y)
= M(x, y)
∂x
y
∂ F(x, y)
= N(x, y)
∂y
para todo (x, y) 2 D. Entonces
∂ 2 F(x, y) ∂ M(x, y)
=
∂ y∂ x
∂y
y
∂ 2 F(x, y) ∂ N(x, y)
=
∂ x∂ y
∂x
para todo (x, y) 2 D. Pero, usando la continuidad de las primeras derivadas parciales de M y N,
tenemos
∂ 2 F(x, y) ∂ 2 F(x, y)
=
∂ y∂ x
∂ x∂ y
y por lo tanto
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
=
∂y
∂x
para todo (x, y) 2 D.
Parte 2. Este es el inverso de la Parte 1, partimos de la hipótesis de que
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
=
∂y
∂x
para todo (x, y) 2 D, y se establece para mostrar que M dx + N dy = 0 es exacta en D. Esto significa
que debemos probar que existe una función F tal que
∂ F(x, y)
= M(x, y)
∂x
(6)
∂ F(x, y)
= N(x, y)
∂y
(7)
y
para todo (x, y) 2 D. Ciertamente podemos encontrar F(x, y) que satisfe (6) o (7), pero ¿qué pasa
con ambos? Supongamos que F satisface (6) y proceda. Entonces
F(x, y) =
R
Z
M(x, y)∂ x + f (y),
(8)
donde M(x, y) ∂ x indica una integración parcial con respecto a x, manteniendo y constante, y f
es una función arbitraria de y solamente. Esta f (y) se necesita en (8) para que F(x, y) dada por (8)
represente toda la solución de (6). Corresponde a una constante de integración en el caso de “una
variable". Diferenciando (8) parcialmente con respecto a y, obtenemos
∂ F(x, y)
∂
=
∂y
∂y
Z
M(x, y) ∂ x +
df (y)
.
dy
0.1 Ecuación diferencial exacta
7
Ahora bien, si (7) debe ser satisfecho, debemos tener
∂
N(x, y) =
∂y
Z
M(x, y) ∂ x +
df (y)
.
dy
(9)
y por lo tanto
∂
∂y
df (y)
= N(x, y)
dy
Z
M(x, y) ∂ x.
Dado que f es una función de y solamente, la derivada df /dy también debe ser independiente de x.
Es decir, para que (9) se sostenga,
N(x, y)
∂
∂y
Z
M(x, y) ∂ x
(10)
debe ser independiente de x.
Demostraremos que

Z
∂
∂
N(x, y)
M(x, y) ∂ x = 0.
∂x
∂y
De inmediato tenemos

Z
∂
∂
∂ N(x, y)
N(x, y)
M(x, y) ∂ x =
∂x
∂y
∂x
∂2
∂ x∂ y
Z
M(x, y) ∂ x.
Si (6) y (7) deben ser satisfechos, entonces usando la hipótesis (5), debemos tener
∂2
∂ x∂ y
Z
M(x, y) ∂ x =
Así obtenemos

∂
N(x, y)
∂x
y por lo tanto

∂
N(x, y)
∂x
∂ 2 F(x, y) ∂ 2 F(x, y)
∂2
=
=
∂ x∂ y
∂ y∂ x
∂ y∂ x
∂
∂y
Z
∂ N(x, y)
M(x, y) ∂ x =
∂x
∂
∂y
Z
M(x, y) ∂ x =
∂ N(x, y)
∂x
∂2
∂ y∂ x
Z
Z
M(x, y) ∂ x.
M(x, y) ∂ x.
∂ M(x, y)
.
∂y
Pero por la hipótesis (5),
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
=
.
∂y
∂x
para todo (x, y) 2 D. Así

Z
∂
∂
N(x, y)
M(x, y) ∂ x = 0.
∂x
∂y
para todo (x, y) 2 D, y así (10) es independiente de x. Así podemos escribir
Z 
Z
∂
f (y) =
N(x, y)
M(x, y) ∂ x dy
∂y
8
Sustituyendo esto en la ecuación (8), tenemos
F(x, y) =
Z
M(x, y)∂ x +
Z 
N(x, y)
∂
∂y
Z
M(x, y) ∂ x dy.
(11)
Esta F(x, y) satisface tanto (6) como (7) para todo (x, y) 2 D, por lo que M dx + N dy = 0 es
exacta en D.
Ahora que tenemos una demostración con la que determinar la exactitud, vamos a proceder a
resolver ecuaciones diferenciales exactas. Si la ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es exacta en
un dominio rectangular D, entonces existe una función F tal que
∂ F(x, y)
= M(x, y)
∂x
∂ F(x, y)
= N(x, y) para todo (x, y) 2 D.
∂y
y
Entonces la ecuación puede escribirse
∂ F(x, y)
∂ F(x, y)
dx +
dy = 0
∂x
∂y
o simplemente dF(x, y) = 0.
La relación F(x, y) = c es obviamente una solución de esto, donde c es una constante arbitraria.
Resumimos esta observación en el siguiente teorema.
Teorema 0.1.2 Supongamos que la ecuaciín diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 satisface
los requisitos de diferenciación del Teorema (0.1.1) y es exacta en un dominio rectangular D.
Entonces una familia de soluciones de un parámetro de esta ecuación diferencial está dada por
F(x, y) = c, donde F es una función tal que
∂ F(x, y)
= M(x, y)
∂x
y
∂ F(x, y)
= N(x, y) para todo (x, y) 2 D,
∂y
(12)
y c es una constante arbitraria.
R
⌅
En la práctica, son frecuentes las ecuaciones diferenciales en las que M y N y sus primeras
derivadas parciales son continuas en todo el plano, en cuyo caso son continuas en cualquier
rectángulo del plano.
Ejemplo 0.1 Resuelva la ecuación diferencial:
(1 + y2 sin 2x) dx
2y cos2 x dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
M = 1 + y2 sin 2x )
N = 2y cos2 x )
puesto que
∂M
∂y
=
∂N
∂x ,
∂M
= 2y sin 2x
∂y
∂N
= 2y sin 2x
∂x
la ecuación diferencial es exacta. Utilizando la fórmula (11), encontramos
0.1 Ecuación diferencial exacta
9
F(x, y):
F(x, y) =
Z
= x
= x
= x
= x
Z 
2
2
∂
∂y
Z
(1 + y sin 2x) ∂ x +
2y cos x
(1 + y2 sin 2x) ∂ x dy
✓
◆
Z 
1 2
∂
1 2
2
y cos 2x +
2y cos x
x
y cos 2x
dy
2
∂y
2
Z
1 2
y cos 2x + ( 2y cos2 x + y cos 2x) dy
2
1 2
1 2
y cos 2x
y
2
2
y2 cos2 x.
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x
y2 cos2 x = c.
⌅
⌅
Ejemplo 0.2 Resuelva la ecuación diferencial:
✓
◆
✓
1
sin y + y sin x +
dx + x cos y
x
1
cos x +
y
◆
dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
1
x
1
cos x +
y
M = sin y + y sin x +
)
N = x cos y
)
puesto que
F(x, y):
∂M
∂y
F(x, y) =
=
=
=
=
=
∂N
∂x ,
∂M
= cos y + sin x
∂y
∂N
= cos y + sin x
∂x
la ecuación diferencial es exacta. Utilizando la fórmula (11), encontramos
Z 
Z
1
1 ∂
1
(sin y + y sin x + ) ∂ x +
x cos y cos x +
(sin y + y sin x + ) ∂ x dy
x
y ∂y
x
Z 
1 ∂
x sin y y cos x + ln x +
x cos y cos x +
(x sin y y cos x + ln x) dy
y ∂y
Z 
1
x sin y y cos x + ln x +
x cos y cos x +
x cos y + cos x dy
y
Z
1
x sin y y cos x + ln x +
dy
y
x sin y y cos x + ln x + ln y.
Z
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x sin y
y cos x + ln |xy| = c.
⌅
⌅
Ejemplo 0.3 Resuelva la ecuación diferencial:
(yexy cos 2x
2exy sin 2x + 2x) dx + (xexy cos 2x
3) dy = 0.
10
Solución Realizamos la prueba de exactitud
M = yexy cos 2x
2exy sin 2x + 2x )
N = xexy cos 2x
puesto que
F(x, y):
∂M
∂y
=
∂N
∂x ,
3 )
∂M
= xyexy cos 2x + exy cos 2x 2xexy sin 2x
∂y
∂N
= xyexy cos 2x + exy cos 2x 2xexy sin 2x
∂x
la ecuación diferencial es exacta. Utilizando la fórmula (11), encontramos
Z 
Z
∂
2exy sin 2x + 2x) ∂ x +
xexy cos 2x 3
(yexy cos 2x
∂y
Z 
∂ 2
2
xy
(x + exy cos 2x) dy
= x + e cos 2x +
xexy cos 2x 3
∂y
Z
F(x, y) =
(yexy cos 2x
= x2 + exy cos 2x +
Z
Z
= x2 + exy cos 2x
= x2 + exy cos 2x
(xexy cos 2x
3
2exy sin 2x + 2x) ∂ x dy
xexy cos 2x) dy
3 dy
3y.
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x2 + exy cos 2x
3y = c.
⌅
⌅
Ejemplo 0.4 Resuelva la ecuación diferencial:
✓
1
x
sin
y
y
y
y
cos + 1
2
x
x
◆
✓
1
y
dx +
cos
x
x
x
x 1
sin + 2
2
y
y y
Solución Realizamos la prueba de exactitud
1
x y
y
sin
cos + 1 )
y
y x2
x
1
y x
x 1
N = cos
sin + 2 )
2
x
x y
y y
M=
puesto que
F(x, y):
F(x, y) =
∂M
∂y
=
∂N
∂x ,
Z ✓
y
x
y
= sin
x
y
= sin
x
y
= sin
x
= sin
∂M
x
x
=
cos
∂y
y3
y
∂N
x
x
=
cos
3
∂x
y
y
◆
dy = 0.
1
x y
y
sin + 3 sin
y2
y x
x
1
x y
y
sin + 3 sin
2
y
y x
x
1
y
cos
x2
x
1
y
cos
2
x
x
la ecuación diferencial es exacta. Utilizando la fórmula (11), encontramos
◆
Z 
Z ✓
y
y
1
y x
x 1
∂
1
x
cos + 1 ∂ x +
sin + 2
cos
sin
2
2
x
x
x
x y
y y
∂y
y
y
Z 
x
1
y x
x 1
∂
y
x
cos + x +
cos
sin + 2
(sin
cos + x) dy
2
y
x
x y
y y
∂y
x
y
Z 
x
1
y x
x 1 1
y x
x
cos + x +
cos
sin + 2
cos + 2 sin
dy
2
y
x
x y
y y
x
x y
y
Z
x
1
cos + x +
dy
y
y2
x
1
cos + x
.
y
y
1
x
sin
y
y
◆
y
y
cos + 1 ∂ x dy
x2
x
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
sin
y
x
x
cos + x
y
1
= c.
y
⌅
0.1 Ecuación diferencial exacta
⌅
11
Ejemplo 0.5 Resuelva la ecuación diferencial:
✓
3x2 tan y
2y3
x3
◆
✓
◆
3y2
3
2
3
dx + x sec y + 4y + 2
dy = 0.
x
Solución Realizamos la prueba de exactitud
2y3
x3
3y2
N = x3 sec2 y + 4y3 + 2
x
M = 3x2 tan y
puesto que
F(x, y):
F(x, y) =
=
=
=
=
∂M
∂y
=
∂N
∂x ,
)
)
∂M
= 3x2 sec2 y
∂y
∂N
= 3x2 sec2 y
∂x
6y2
x3
6y2
x3
la ecuación diferencial es exacta. Utilizando la fórmula (11), encontramos
Z ✓
◆
Z 
Z ✓
2y3
3y2
∂
3
2
3
∂
x
+
x
sec
y
+
4y
+
3x2 tan y
x3
x2
∂y
✓
◆
Z 
y3
3y2
∂
y3
3
3
2
3
3
x tan y + 2 +
x sec y + 4y + 2
x tan y + 2
dy
x
x
∂y
x
Z 
y3
3y2
3y2
3
x tan y + 2 +
x3 sec2 y + 4y3 + 2 x3 sec2 y
dy
x
x
x3
Z
y3
3
x tan y + 2 + 4y3 dy
x
y3
x3 tan y + 2 + y4 .
x
3x2 tan y
2y3
x3
◆
∂ x dy
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x3 tan y +
y3
+ y4 = c.
x2
⌅
0.1.1 Método de agrupación
Ahora resolveremos la ecuación diferencial agrupando los términos de tal manera que su
miembro izquierdo aparezca como la suma de ciertos diferenciales exactos. Es evidente que
este procedimiento es mucho más rápido, pero requiere un buen “conocimiento práctico"de los
diferenciales y cierta cantidad de ingenio para determinar cómo se deben agrupar los términos. El
método estándar puede requerir más “trabajo” y toma más tiempo, pero es perfectamente sencillo.
Se recomienda para aquellos que les gusta seguir un patrón y para aquellos que tienen una tendencia
a saltar a conclusiones. Sólo para asegurarnos de que tenemos ambos procedimientos bien en la
mano, consideraremos un problema de valor inicial que implica una ecuación diferencial exacta.
R
Mediante la reordenación de los términos, la multiplicación o la división de funciones
12
adecuadas, se puede determinar un factor de integración utilizando estas fórmulas.
d(xy)
⇣y⌘
d
✓ x◆
x
d
y
⇣
y⌘
d arctan
x
✓
◆
x
d arctan
y
✓
◆
1
2
2
d
ln (x + y )
2
⇣p
⌘
d
x2 ± y2
⌅
y dx + x dt,
y dx + x dy
,
x2
y dx x dy
,
y2
y dx + x dy
,
x2 + y2
y dx x dy
,
x2 + y2
x dx + y dy
,
x2 + y2
x dx ± y dy
p
.
x2 ± y2
=
=
=
=
=
=
=
Ejemplo 0.6 Resuelva el problema de valor inicial:
(2x cos y + 3x2 y) dx + (x3
x2 sin y
y) dy = 0,
y(0) = 2.
Solución Primero observamos que la ecuación es exacta en cada dominio rectangular D, puesto
que ∂∂My = ∂∂Nx para todo real (x, y). Agrupamos los términos de la siguiente manera:
(2x cos y dx
x2 sin y dy) + (3x2 y dx + x3 dy)
y dy = 0.
Así tenemos
2
3
d(x cos y) + d(x y)
d
✓
1 2
y
2
◆
= d(c),
y entonces
1 2
y = c,
2
x2 cos y + x3 y
es una familia de soluciones de un solo parámetro de la ecuación diferencial. Aplicando la condición
inicial y = 2 cuando x = 0, encontramos c = 2. Así, la solución del problema de valor inicial
dado es
1 2
y = 2.
2
x2 cos y + x3 y
⌅
⌅
Ejemplo 0.7 Resuelva la ecuación diferencial:
(x + x2 y + y3 ) dx + (y + x3 + xy2
x2 y2
y4 ) dy = 0.
Solución Agrupamos los términos de la siguiente manera:
[x + (x2 + y2 )] dx + [y + (x2 + y2 )x
entonces
✓
x
+y
2
x + y2
◆
✓
y
dx + 2
+x
x + y2
(x2 + y2 )y2 ] dy = 0,
y
2
◆
dy = 0.
0.1 Ecuación diferencial exacta
Así tenemos
x dx + y dy
+ (y dx + x dy)
x 2 + y2
de donde

1
d
ln (x2 + y2 ) + d(xy)
2
13
y2 dy = 0,
1 3
d(y ) = d(c),
3
y entonces
1
ln (x2 + y2 ) + xy
2
1 3
y = c.
3
⌅
⌅
Ejemplo 0.8 Resuelva la ecuación diferencial:
(3x4 + y) dx + (2x2 y
x) dy = 0.
Solución La ecuación diferencial puede ser reordenada como
x2 (3x2 dx + 2y dy) + (y dx
x dy) = 0.
Dividiendo la ecuación para x2 , tenemos
y dx + x dy
= 0.
x2
3x2 dx + 2y dy
Por lo tanto
d(x3 ) + d(y2 )
d
⇣y⌘
= d(c),
x
y la solución general está dada por
y
x 3 + y2
= c.
x
⌅
⌅
Ejemplo 0.9 Resuelva la ecuación diferencial:
(x + x2 y + y3 ) dx + (y + x3 + xy2
x2 y2
y4 ) dy = 0.
Solución La ecuación diferencial puede ser reordenada como
[x + y(x2 + y2 )] dx + [y + x(x2 + y2 )
y2 (x2 + y2 )] dy = 0.
Dividiendo la ecuación para x2 + y2 , tenemos
✓
◆
✓
◆
x
y
2
+ y dx + 2
+x y
dy = 0.
x2 + y2
x + y2
Reordenar la ecuación conduce a
x dx + y dy
+ (y dx + x dy)
x 2 + y2
Por lo tanto

1
d
ln(x2 + y2 ) + d(xy)
2
y2 dy = 0.
1 3
d(y ) = d(c),
3
y la solución general está dada por
1
ln(x2 + y2 ) + xy
2
1 3
y = c.
3
⌅
14
⌅
Ejemplo 0.10 Resuelva la ecuación diferencial:
p
p
(2x x + x2 + y2 ) dx + 2y x dy = 0.
Solución La ecuación diferencial puede ser reordenada como
p
2 x(x dx + y dy) + (x2 + y2 ) dx = 0.
Dividiendo la ecuación para
2
p 2
x(x + y2 ), tenemos
x dx + y dy
1
+ p dx = 0.
2
2
x +y
x
lo que resulta

p
1
2d
ln(x2 + y2 ) + d(2 x) = d(c),
2
Por lo tanto, la solución general es
p
ln(x2 + y2 ) + 2 x = c.
⌅
⌅
Ejemplo 0.11 Resuelva la ecuación diferencial:
y2 dx + (xy + y2
1) dy = 0.
Solución La ecuación diferencial puede ser reordenada como
y(y dx + x dy) + (y2
1) dy = 0.
Es fácil ver que y = 0 es una solución de la ecuación diferencial. Para y 6= 0, dividiendo la ecuación
por y conduce a
✓
◆
1
y dx + x dy + y
dy = 0,
y
lo que resulta
d(xy) + d
✓
1 2
y
2
◆
d(ln y) = d(c),
Por lo tanto, la solución general es
xy +
1 2
y
2
ln y = c,
y = 0.
⌅
⌅
Ejemplo 0.12 Resuelva la ecuación diferencial:
xy dx
(x2 + x2 y + y3 ) dy = 0.
Solución La ecuación diferencial puede ser reordenada como
x(y dx
x dy)
y(x2 + y2 ) dy = 0.
0.2 Ejercicios
15
Dividiendo la ecuación por x2 + y2 conduce a
x
y dx x dy
x2 + y2
lo que resulta
✓
◆
x
x d arctan
y
y dy = 0,
y dy = d(c).
Es fácil ver que y = 0 es una solución de la ecuación diferencial. Para y 6= 0, dividiendo la ecuación
por y obtenemos
✓
◆
x
x
d arctan
dy = d(c).
y
y
Ya que
✓
◆
 ✓
◆
x
x
1
x2
d arctan
= d ln 1 + 2
.
y
y
2
y
Por lo tanto
 ✓
◆
1
x2
d ln 1 + 2
2
y
dy = d(c).
Por lo tanto, la solución general es
✓
◆
x2
ln 1 + 2
2y = c.
y
⌅
0.2
Ejercicios
1. Demuestre que la ecuación diferencial homogénea
(Ax + By) dx + (Cx + Dy) dy = 0
es exacta si y sólo si B = C. Demuestre que la ecuación diferencial homogénea
(Ax2 + Bxy +Cy2 ) dx + (Dx2 + Exy + Fy2 ) dy = 0
es exacta si y sólo si B = 2D y E = 2C.
2. En los ejercicios se pide determinar si cada una de las ecuaciones dadas es exacta, resolver
las que son exactas:
a)
(6xy + 2y2 5) dx + (3x2 + 4xy 6) dy = 0,
Resp: 3x2 y + 2xy2 5x 6y = c.
b)
(y sec2 x + sec x tan x) dx + (tan x + 2y) dy = 0,
Resp: y tan x + sec x + y2 = c.
16
c)
[y sec2 (xy) + sin x] dx + [x sec2 (xy) + sin y] dy = 0,
Resp: tan (xy) cos x cos y = c.
2x tan y + sin 2y + (x2 sec2 y + 2x cos 2y ey ) y 0 = 0,
Resp: x2 tan (y) + x sin 2y ey = c.
✓
◆
⇣p
⌘
xy
y
p
e)
+ 2xy
dx +
1 + x2 + x2 ln x dy = 0,
x
1 +px2
2
2
Resp: y 1 + x + x y y ln x = c.
✓
◆
✓
◆
sinh y
cosh y
f)
y+
dx + x
+ tanh x dy = 0,
cosh x
cosh x
Resp: y sinh x + x sinh y = c.
d)
g)
y3/2 + 1
dx + (3x1/2 y1/2 1) dy = 0,
x1/2 1 3
1
Resp: 2x 2 y 2 + 2x 2 y = c.
h)
ex sin y2 + xex sin y2 + (2xyex cos y2 + ey ) y 0 = 0,
Resp: xex sin y2 + ey = c.
i)
[2 cos(x + y) 2x sin(x + y)]dx
Resp: 2x cos(x + y) = c.
j)
(2y2 + yexy ) dx + (4xy + xexy + 2y) dy = 0,
Resp: (2x + 1)y2 + exy = c.
2x sin(x + y) dy = 0,
3. Resuelva los problemas de valor inicial:
a)
(3x2 y2 y3 + 2x) dx + (2x3 y 3xy2 + 1) dy = 0,
Resp: x3 y2 + x2 xy3 + y = 1.
b)
(2y sin x cos x + y2 sin x) dx + (sin2 x
Resp: y2 cos x + y cos 2x = 12.
c)
d)
3
x2
Resp:
y
y2 2x
dy = 0,
xy2
3
2
x + y = 2.
dx +
y
x
y( 2) = 1,
2y cos x) dy = 0,
y(0) = 3,
y( 1) = 2,
1 + 8xy2/3
2x4/3 y2/3 x1/3
dx
+
dy = 0,
x2/3 y1/3
y4/3
⇣ ⌘ 13 ⇣
⌘
2
x
3
Resp:
1
+
2xy
= 92 .
y
y(1) = 8,
4. En cada una de las ecuaciones diferenciales, determine la constante a para que sea exacta, y
resuelva la ecuación diferencial exacta resultante:
✓
◆
1
1
ax + 1
a) (x2 + 3xy) dx + (ax2 + 4y) dy = 0,
b)
+
dx +
dy = 0,
2
2
3
3
2
2
x
y
y3
Resp: a = 2 , 2x + 9x y + 12y = c.
Resp: a = 2, yx2 1x 2y12 = c.
0.2 Ejercicios
c)
17
(ax2 y + 2y2 ) dx + (x3 + 4xy) dy = 0, d)
Resp: a = 3, xy(x2 + 2y) = c.
⇣ ay
✓
◆
y⌘
1 1
dx + 2
dy = 0;
3
2
x
x
x
x
Resp: a = 2, y(1 x) = cx2 .
+
5. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine la función más general M(x, y) y N(x, y)
tal que la ecuación sea exacta y encuentre la solución general:
a)
(x3 + xy2 ) dx + N(x, y) dy = 0;
Resp: N(x, y) = x2 y, x2 (2y2 + x2 ) = c.
b)
M(x, y) dx + (2x2 y3 + x4 y) dy = 0;
Resp: M(x, y) = xy4 + 2x3 y2 , x2 y2 (x2 + y2 ) = c.
M(x, y) dx + (2ex y + e3x y2 ) dy = 0;
Resp: M(x, y) = ex y2 + e3x y3 , (e2x y + 3)ex y2 = c.
✓
◆
1
x
d)
+
dx + N(x, y) dy = 0;
x 2 y2 y3
2
Resp: N(x, y) = xy23 3x
, x3 2y = 2cxy3 .
2y4
c)
6. En cada uno de los literales, investigue la exactitud de la ecuación diferencial. Si es exacta,
obtenga una ecuación que defina la solución general:
a)
b)
c)
d)
e)
2xy3 2
;
3x2 y2 + ey
Resp: x2 y3 + 2x + ey = c.
y0 =
cos(xy) + xy sin(xy)
;
x2 sin(xy) + 2y
Resp: x cos(xy) + y2 = c.
y0 =
x
y
+ 2
y 0 = 0;
2
2
x +y
x + y2
Resp: ln (x2 + y2 ) = c.
1
+ y + (3y2 + x) y 0 = 0;
x
Resp: xy + y3 + ln |x| = c.
y + ex + x y 0 = 0;
Resp: xy + ex = c.
f)
cos 4y2 dx 8xy sin 4y2 dy = 0;
Resp: x cos 4y2 = c.
g)
4xy + 2x + (2x2 + 3y2 ) y 0 = 0;
Resp: 2x2 y + x2 + y3 = c.
h)
(4xy + 2x2 y) dx + (2x2 + 3y2 ) dy = 0;
Resp: No es exacta.
i)
ex cos y cos y xex cos y sin y · y 0 = 0;
Resp: ex cos y = c.
j)
(3x2 + 3y) dx + (2y + 3x) dy = 0;
Resp: x3 + 3xy + y2 = c.
7. En cada uno de los literales, demuestre que la ecuación diferencial es exacta, obtenga la
solución general y utilice ésta para hallar una solución del problema de valor inicial:
a)
3y4 1 + 12xy3 y 0 = 0, y(1)=2;
Resp: 3xy4 x = c, 3xy4 x = 47.
b)
x cos(2y x) sin(2y x) 2x cos(2y x) · y 0 = 0,
p
Resp: x sin(x 2y) = c, x sin(2y x) = 24
.
y
p
12
= p8 ;
18
c)
ey + (xey
Resp: xey
d)
2x y sin(xy) + [3y2 x sin(xy)] y 0 = 0, y(0)=2;
Resp: x2 + y3 + cos(xy) = c, x2 + y3 + cos(xy) = 8.
e)
1 + (2ey 3y2 ) y 0 = 0, y(1)=4;
Resp: x y3 + 2ey = c, x y3 + 2ey = 2e4
1) y 0 = 0, y(5)=0;
y = c, xey y = 5.
63.
f)
cosh(x y) + x sinh(x y) x sinh(x y) · y 0 = 0,
Resp: x cosh(x y) = c, x cosh(x y) = 4.
g)
2y y2 sec2 (xy2 ) + [2x 2xy sec2 (xy2 )] y 0 = 0, y(1)=2;
Resp: 2xy tan(xy2 ) = c, 2xy tan(xy2 ) = 4 tan 4.
h)
yexy 8x + (2y + xexy ) y 0 = 0, y(2)=-6;
Resp: y2 4x2 + exy = c, y2 4x2 + exy = 20 + e
y(4)=4;
12 .
8. Utilizando el método de agrupación, obtenga la solución general de las ecuaciones diferenciales:
a)
b)
c)
d)
e)
(x2 + y + y2 ) dx x dy = 0;
Resp: x arctan xy = c.
p
p
(x px2 + y2 ) dx + (y
x2 + y2 ) dy = 0;
2
2
Resp:
x + y x y = c.
p
p
y 1 + y2 dx
+
(x
1 + y2
p
2
Resp: xy
1 + y = c.
y) dy = 0;
y2 dx (xy + x3 ) dy = 0;
2
Resp: 12 xy + y = c.
y dx
Resp:
x dy
2x3 tan
sin xy = ce
x2 .
y
dx = 0;
x
f)
(2x2 y2 + y) dx + (x3 y
Resp: x2 y + ln xy = c.
g)
y2 dx + [xy + tan (xy)] dy = 0;
Resp: y sin (xy) = c.
h)
(2x2 y4 y) dx + (4x3 y3
1
Resp: 2xy2 + xy
= c.
x) dy = 0;
x) dy = 0;
0.3 Factor de integración
0.3
19
Factor de integración
Dada la ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
si
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
=
∂y
∂x
entonces la ecuación es exacta y podemos obtener una familia de soluciones de un parámetro
mediante uno de los procedimientos explicados anteriormente. Pero si
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
6=
∂y
∂x
entonces la ecuación no es exacta y los procedimientos anteriores no se aplican. ¿Qué haremos en tal
caso? Quizás podamos multiplicar la ecuación no exacta por alguna expresión que la transformará
en una ecuación exacta equivalente. Si es así, podemos proceder a resolver la ecuación exacta
resultante mediante uno de los procedimientos anteriores.
Las denominadas ecuaciones separables consideradas en el Capítulo 2 siempre poseen factores
de integración que pueden ser determinados por la inspección inmediata. Si bien es cierto que
algunas ecuaciones no separables también poseen factores de integración que pueden determinarse
“por inspección", rara vez se encuentran tales ecuaciones, excepto en las ecuaciones diferenciales,
en páginas dedicadas a la exposición de este “método"dudoso. Aún así, a menudo se requiere una
cantidad considerable de conocimiento y habilidad.
Intentemos atacar el problema de forma más sistemática. Supongamos que la ecuación
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
(13)
no es exacto que µ(x, y) sea un factor de integración de la misma. Entonces la ecuación
µ(x, y)M(x, y) dx + µ(x, y)N(x, y) dy = 0
(14)
es exacta. Ahora usando el criterio (2.7) para la exactitud, la ecuación (13) es exacta si y sólo si
∂
∂
[µ(x, y)M(x, y)] =
[µ(x, y)N(x, y)].
∂y
∂y
Esta condición se reduce a
∂ µ(x, y)
N(x, y)
∂x

∂ µ(x, y)
∂ M(x, y)
M(x, y)
=
∂y
∂y
∂ N(x, y)
µ(x, y).
∂x
Aquí M y N son funciones conocidas de x y y, pero µ es una función desconocida de x y y que
estamos tratando de determinar. Así escribimos la condición precedente en la forma

∂µ
∂µ
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
N(x, y)
M(x, y)
=
µ.
(15)
∂x
∂y
∂y
∂x
Por lo tanto µ es un factor integrador de la ecuación diferencial (13) si y sólo si es una solución
de la ecuación diferencial (15). La ecuación (15)es una ecuación diferencial parcial para el factor
de integración general µ, y no estamos en posición de intentar resolver tal ecuación. En su lugar,
20
intentamos determinar los factores integrantes de ciertos tipos especiales. Pero, ¿qué tipos especiales
podemos considerar? Recordemos que la ecuación diferencial lineal
y 0 + p(x)y = q(x)
R
siempre posee el factor de integración e p(x) dx , que depende sólo de x. Quizás otras ecuaciones
también tienen factores integrantes que dependen sólo de x. Por lo tanto multiplicamos la ecuación
(13) por µ(x), donde µ depende sólo de x. Obtenemos
µ(x)M(x, y) dx + µ(x)N(x, y) dy = 0.
Esto es exacto si y sólo si
∂
∂
[µ(x)M(x, y)] =
[µ(x)N(x, y)].
∂y
∂x
Ahora M y N son funciones conocidas de x y y, pero aquí el factor de integración µ depende
solamente de x. Así, la condición anterior se reduce a
µ(x)
∂ M(x, y)
∂ N(x, y)
dµ(x)
= µ(x)
+ N(x, y)
∂y
∂x
dx
o
dµ(x)
1
=
µ(x)
N(x, y)

∂ M(x, y)
∂y
∂ N(x, y)
dx.
∂x
(16)
Si

1
N(x, y)
∂ M(x, y)
∂y
∂ N(x, y)
∂x
implica la variable y, esta ecuación implica entonces dos variables dependientes y tenemos de
nuevo dificultades. Sin embargo, si

1
∂ M(x, y) ∂ N(x, y)
N(x, y)
∂y
∂x
depende sólo de x, la ecuación (13) es una ecuación ordinaria separada en la variable independiente
única x y la variable dependiente única µ. En este caso, podemos integrar para obtener el factor de
integración
R
µ(x) = e
1
N(x, y)
h
∂ M(x, y)
∂y
De la misma manera, si

1
∂ N(x, y)
M(x, y)
∂x
∂ N(x, y)
∂x
i
dx
∂ M(x, y)
∂y
depende sólo de y, entonces podemos obtener un factor de integración que depende sólo de y.
Resumimos estas observaciones en el siguiente teorema.
0.3 Factor de integración
21
Teorema 0.3.1 Considere la ecuación diferencial
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.
(17)
Si
1
N(x, y)

∂ M(x, y)
∂y
∂ N(x, y)
∂x
(18)
depende sólo de x, entonces
R
µ(x) = e
1
N(x,y)
h
∂ M(x,y)
∂y
∂ N(x,y)
∂x
i
dx
(19)
es un factor integrante de la ecuación (??). Si

1
∂ N(x, y) ∂ M(x, y)
M(x, y)
∂x
∂y
(20)
depende sólo de y, entonces
µ(y) = e
R
1
M(x,y)
h
∂ N(x,y)
∂x
∂ M(x,y)
∂y
i
dy
(21)
es un factor integrante de la ecuación (17).
R
Si M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 no es exacta, buscamos una función distinta de cero µ(x, y)
tal que µM dx + µN dy = 0 sea exacta. Si F es una función potencial de esta ecuación
exacta, la ecuación F(x, y) = C define de manera implícita la solución general de la ecuación
diferencial original.
Casos especiales:
1.
∂M
∂y
Si
N
∂N
∂x
= f (x), entonces µ · f (x) =
R
tomando C = 1 se tiene µ = e
2.
R
⌅
Similarmente, si
∂M
∂y
∂N
∂x
M
f (x)dx .
dµ
dx
y por tanto
= g(y), entonces µ = e
R
R
f (x)dx =
dµ
µ ,
R
luego µ = Ce
g(y)dy .
En la práctica, la solución de esta ecuación para obtener µ puede ser cuando menos tan
difícil de realizar como la de la ecuación diferencial original. Esto significa que en el sentido
práctico podemos encontrar factores de integración sólo en algunos casos. (Esta es la razón
por la que muchas ecuaciones diferenciales son difíciles de resolver.)
Ejemplo 0.13 Resuelva la ecuación diferencial:
2x(x2
sin y + 1) dx + (x2 + 1) cos y dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
M = 2x(x2
sin y + 1) )
N = (x2 + 1) cos y )
∂M
= 2x cos y
∂y
∂N
= 2x cos y
∂x
f (x)dx ;
22
puesto que ∂∂My 6= ∂∂Nx , la ecuación diferencial es no exacta. Procedemos a encontrar el factor
integrante utilizando la ecuación (19)
R
µ(x) = e
= e
=
1
(x2 +1) cos y
R
( 2x cos y 2x cos y) dx
4x cos y
(x2 +1) cos y
1
(x2 + 1)2
dx
.
Multiplicando la ecuación planteada por µ(x) =
1
,
(x2 +1)2
se transforma en exacta
2x(x2 sin y + 1)
cos y
dx + 2
dy = 0.
(x2 + 1)2
x +1
Utilizando la ecuación (11), encontramos F(x, y):
Z
Z 
Z
2x(x2 sin y + 1)
cos y
∂
2x(x2 sin y + 1)
F(x, y) =
∂
x
+
∂ x dy
(x2 + 1)2
x2 + 1 ∂ y
(x2 + 1)2

✓
◆
Z
sin y
cos y
∂
sin y
= 2
+ ln(x2 + 1) +
+ ln(x2 + 1)
dy
2
x +1
x + 1 ∂ y x2 + 1
Z 
sin y
cos y
cos y
2
= 2
+ ln(x + 1) +
dy
2
x +1
x + 1 x2 + 1
sin y
= 2
+ ln(x2 + 1).
x +1
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
sin y
+ ln(x2 + 1) = c.
x2 + 1
⌅
⌅
Ejemplo 0.14 Resuelva la ecuación diferencial:
y(cos3 x + y sin x) dx + (sin x cos x + 2y) cos x dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
M = y(cos3 x + y sin x) )
N = (sin x cos x + 2y) cos x )
∂M
= 2y sin x + cos3 x
∂y
∂N
= 2y sin x + cos3 x
∂x
2 sin2 x cos x
puesto que ∂∂My 6= ∂∂Nx , la ecuación diferencial es no exacta. Procedemos a encontrar el factor
integrante utilizando la ecuación (19)
R
µ(x) = e
= e2
=
1
(sin x cos x+2y) cos x
R
(2y sin x+cos3 x+2y sin x cos3 x+2 sin2 x cos x) dx
tan x dx
1
.
cos2 x
Multiplicando la ecuación planteada por µ(x) =
1
,
cos2 x
se transforma en exacta
(y cos x + y2 tan x sec x) dx + (sin x + 2y sec x) dy = 0.
0.3 Factor de integración
23
Utilizando la ecuación (11), encontramos F(x, y):
Z
Z 
Z
∂
2
F(x, y) =
y cos x + y tan x sec x ∂ x +
sin x + 2y sec x
(y cos x + y2 tan x sec x) ∂ x dy
∂y
Z 
∂
= y(y sec x + sin x) +
sin x + 2y sec x
(y(y sec x + sin x)) dy
∂y
= y(y sec x + sin x) +
= y(y sec x + sin x).
Z
[sin x + 2y sec x
2y sec x
sin x] dy
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
y(y sec x + sin x) = c.
⌅
⌅
Ejemplo 0.15 Resuelva la ecuación diferencial:
(2xy4 ey + 2xy3 + y) dx + (x2 y4 ey
x2 y2
3x) dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
M = 2xy4 ey + 2xy3 + y )
N = x2 y4 ey
x 2 y2
3x )
∂M
= 2xy4 ey + 8xy3 ey + 6xy2 + 1
∂y
∂N
= 2xy4 ey 2xy2 3
∂x
puesto que ∂∂My 6= ∂∂Nx , la ecuación diferencial es no exacta. Procedemos a encontrar el factor
integrante utilizando la ecuación (21)
µ(y) = e
= e
R
1
2xy4 ey +2xy3 +y
(2xy4 ey 2xy2 3 2xy4 ey 8xy3 ey 6xy2 1) dy
R 8xy2 +8xy3 ey +4
2xy4 ey +2xy3 +y
dy
R 4
y dy
= e
1
= 4.
y
Multiplicando la ecuación planteada por µ(x) =
2xy3 ey + 2xy2 + 1
x 2 y4 ey x 2 y2
dx
+
y3
y4
3x
1
,
y4
se transforma en exacta
dy = 0.
Utilizando la ecuación (11), encontramos F(x, y):
Z
Z  2 4 y
Z
2xy3 ey + 2xy2 + 1
x y e x2 y2 3x ∂
2xy3 ey + 2xy2 + 1
F(x, y) =
∂
x
+
∂ x dy
y3
y4
∂y
y3
✓
◆
Z  2 4 y
x2
x
x y e x2 y2 3x ∂
x2
x
2 y
2 y
= x e + + 3+
dy
x e + + 3
y y
y4
∂y
y y
◆
Z ✓ 2 4 y
x2
x
x y e x2 y2 3x
x2 3x
2 y
2 y
= x e + + 3+
x e + 2 + 4 dy
y y
y4
y
y
2
x
x
= x 2 ey + + 3 .
y y
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
x 2 ey +
x2
x
+ 3 = c.
y y
⌅
24
⌅
Ejemplo 0.16 Resuelva la ecuación diferencial:
2
2
2y(xex + y sin x cos x) dx + (2ex + 3y sin2 x) dy = 0.
Solución Realizamos la prueba de exactitud
2
M = 2y(xex + y sin x cos x) )
2
N = 2ex + 3y sin2 x )
2
∂M
= 2x ex + 2y sin 2x
∂y
2
∂N
= 4x ex + 3y sin 2x
∂x
puesto que ∂∂My 6= ∂∂Nx , la ecuación diferencial es no exacta. Procedemos a encontrar el factor
integrante utilizando la ecuación (21)
µ(y) = e
R
R
= eR
= e
2
1
2
2y(xex +y sin x cos x)
(4xex +3y sin 2x 2xex
2
2xex +y sin 2x
2
2y(xex +y sin x cos x)
dy
1
y
2
2y sin 2x) dy
dy
= y.
Multiplicando la ecuación planteada por µ(x) = y, se transforma en exacta
2
2
2y2 (xex + y sin x cos x) dx + y(2ex + 3y sin2 x) dy = 0.
Utilizando la ecuación (11), encontramos F(x, y):
Z
Z 
Z
2
∂
2
x2
x2
2
F(x, y) =
2y (xe + y sin x cos x) ∂ x +
y(2e + 3y sin x)
2y2 (xex + y sin x cos x) ∂ x dy
∂y
✓
◆
Z 
1 3
∂
1 3
2 x2
x2
2
2 x2
= y e
y cos 2x +
y(2e + 3y sin x)
y e
y cos 2x
dy
2
∂y
2
Z 
2
2
1 3
3
2 x2
= y e
y cos 2x +
y(2ex + 3y sin2 x) 2yex + y2 cos 2x dy
2
2
Z
2
1
3
= y2 ex
y3 cos 2x +
y2 dy
2
2
2
1 3
1
= y2 ex
y cos 2x + y3
2
2
2
= y2 ex + y3 sin2 x.
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
2
y2 ex + y3 sin2 x = c.
⌅
Ejemplo 0.17 Encuentre un factor de integración de la forma µ = f (x + y) y luego solucione la
ecuación diferencial:
✓
◆
✓
◆
1
1
2y +
dx + 3y + x +
dy = 0.
(x + y)2
(x + y)2
⌅
Solución Realizamos la prueba de exactitud
1
(x + y)2
1
N = 3y + x +
(x + y)2
M = 2y +
)
)
∂M
=2
∂y
∂N
=1
∂x
2
(x + y)3
2
(x + y)3
0.3 Factor de integración
25
donde el factor de integración es µ(x, y) = x + y. Multiplicando la ecuación planteada por este
factor de integración
✓
◆
✓
◆
1
1
(x + y) 2y +
dx + (x + y) 3y + x +
dy = 0.
(x + y)2
(x + y)2
puesto que esta ecuación es exacta, utilizando la ecuación (11) encontramos F(x, y):
✓
◆
✓
◆
✓
◆
Z
Z 
Z
1
1
∂
1
F(x, y) =
(x + y) 2y +
∂x+
(x + y) 3y + x +
(x + y) 2y +
∂x d
(x + y)2
(x + y)2
∂y
(x + y)2
✓
◆
Z 
∂
1
= y(x + y)2 + ln |x + y| +
(x + y) 3y + x +
y(x + y)2 + ln |x + y| dy
(x + y)2
∂y
✓
◆
Z 
1
1
2
= y(x + y) + ln |x + y| +
(x + y) 3y + x +
(x + y)2 2(x + y)
dy
2
(x + y)
x+y
= y(x + y)2 + ln |x + y|.
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
y(x + y)2 + ln |x + y| = c.
⌅
Ejemplo 0.18 Encuentre un factor de integración de la forma µ = f (xy) y luego solucione la
ecuación diferencial:
⌅
(x2 y3 + y) dx + (x3 y2
x) dy = 0.
Solución
Realizamos la prueba de exactitud
1
∂M
2
M = 2y +
)
=2
2
(x + y)
∂y
(x + y)3
1
∂N
2
N = 3y + x +
)
=1
2
(x + y)
∂x
(x + y)3
∂ ln µ
d ln µ
=y
,
∂x
dz
(yN
xM)
d ln µ
=2
dz
∂ ln µ
d ln µ
=x
∂y
dz
)
ln µ =
ln z
)
µ=
1
xy
1
el factor de integración es µ(x, y) = xy
. Multiplicando la ecuación planteada por este factor de
integración
1 2 2
1
(x y + 1) dx + (x2 y2 1) dy = 0.
x
y
puesto que esta ecuación es exacta, utilizando la ecuación (11) encontramos F(x, y):
Z 
Z
Z
1 2 2
1 2 2
∂
1 2 2
F(x, y) =
(x y + 1) ∂ x +
(x y 1)
(x y + 1) ∂ x dy
x
y
∂y x
✓
◆
Z 
1 2 2
1 2 2
∂ 1 2 2
=
x y + ln x +
(x y 1)
x y + ln x
dy
2
y
∂y 2
Z 
1 2 2
1 2 2
=
x y + ln x +
(x y 1) x2 y dy
2
y
Z
1 2 2
1
=
x y + ln x
dy
2
y
1 2 2
=
x y + ln x ln y.
2
26
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
1 2 2
x
x y + ln
= c.
2
y
⌅
⌅
Ejemplo 0.19 Dado el factor integrante µ = yex , solucione la ecuación diferencial:
✓
1
sin y
y
2e
x
sin x
◆
dx +
1
(cos y + 2e
y
x
cos x) dy = 0.
Solución Multiplicamos la ecuación por el factor integrante
✓
◆
x 1
x
ye
sin y 2e sin x dx + ex (cos y + 2e x cos x) dy = 0.
y
Realizamos la prueba de exactitud
✓
◆
x 1
x
M = ye
sin y 2e sin x
)
y
N = ex (cos y + 2e
x
cos x) )
∂M
= ex cos y 2 sin x
∂y
∂N
= ex cos y 2 sin x
∂x
puesto que esta ecuación es exacta, utilizando la ecuación (11) encontramos F(x, y):
✓
◆
✓
Z
Z 
Z
1
∂
1
F(x, y) =
yex
sin y 2e x sin x ∂ x +
ex (cos y + 2e x cos x)
yex
sin y
y
∂y
y
Z 
∂ x
x
= e sin y + 2y cos x +
ex (cos y + 2e x cos x)
(e sin y + 2y cos x) dy
∂y
Z ⇥
⇤
= ex sin y + 2y cos x +
ex (cos y + 2e x cos x) ex cos y 2 cos x dy
2e
= ex sin y + 2y cos x.
Como F(x, y) = c, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
ex sin y + 2y cos x = c.
⌅
0.4
Ejercicios
1. En cada uno de los literales, encuentre el factor de integración para que la ecuación diferencial
sea exacta. Determine la solución general:
a)
(2xy2 2y) + (3x2 y
Resp: .
4x) y 0 = 0;
b)
x dy y dx = (6x2
Resp: .
5xy + y2 ) dx;
c)
(cos 2y
Resp: .
2 tan x sin 2y dy = 0;
sin x) dx
x
◆
sin x ∂ x dy
0.4 Ejercicios
27
d)
(3xy3 + 4y) dx + (3x2 y2 + 2x) dy = 0;
Resp: .
e)
2xy ln y dx + (x2 + y2
Resp: .
f)
(2wz2 2z) dw + (3w2 z
Resp: .
g)
x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 )(dx + dy);
Resp: .
h)
x dy y dx = (2x2 + 3y2 )3 (2x dx + 3y dy);
Resp: .
i)
(x cos y
Resp: .
j)
(x2 sin2 y) dx + x sin 2y dy = 0;
Resp: x + 1x sin2 y = c.
k)
y(2x y + 2) dx + 2(x
Resp: yex (2x y) = c.
l)
(4xy + 3y2 x) dx + x(x + 2y) dy = 0;
Resp: 4x4 y + 4x3 y2 x4 = c.
p
y2 + 1) dy = 0;
4w) dz = 0;
y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0;
y) dy = 0;
m)
y dx + x(y2 + ln x) dy = 0;
Resp: 3y ln x + y3 = c.
n)
(x2 + 2x + y) dx + (3x2 y x) dy = 0;
Resp: x + 2 ln x xy + 32 y2 = c.
ñ)
y2 dx + (xy + y2 1) dy = 0;
Resp: xy + 12 y2 ln y = c.
o)
3(x2 + y2 ) dx + x(x2 + 3y2 + 6y) dy = 0;
Resp: xey (x2 + 3y2 ) = c.
p)
2y(x + y + 2) dx + (y2 x2 4x 1) dy = 0;
Resp: x2 + 4x + 2xy + y2 + 1 = cy.
q)
(2 + y2 + 2x) dx + 2y dy = 0;
Resp: ex (2x + y2 ) = c.
r)
(2xy2 y) dx + (y2 + x + y) dy = 0;
Resp: x2 xy + y + ln y = c.
s)
y(x + y) dx + (x + 2y
1) dy = 0;
28
Resp: ex (xy + y2
t)
y) = c.
2x(x2 sin y + 1) dx + (x2 + 1) cos y dy = 0;
y
Resp: ln (x2 + 1) + xsin
2 +1 = c.
2. En cada uno de los literales, encuentre el factor de integración para que la ecuación diferencial
sea exacta. Determine la solución general:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
ex dx + (ex cot y + 2y csc y) dy = 0;
Resp: .
y dx + (2x
Resp: .
yey ) dy = 0;
i)
(xy 1) dx + (x2
Resp: .
y dx + (x2 y
Resp: .
h)
xy) dy = 0;
(2xy e
Resp: .
2x
y dx + (2xy
Resp: .
2x dx + x2 cot y dy = 0;
Resp: .
k)
(7x4 y 3y8 ) + (2x5
Resp: .
l)
y2 cos x + (4 + 5y sin x) y 0 = 0;
Resp: .
) dx + x dy = 0;
m)
e
2y
p
x dx + y dy = 3 x2 + y2 y2 dy;
Resp: .
j)
x) dy = 0;
(3xy + y2 ) + (x2 + xy) y 0 = 0;
Resp: .
(x + y) dx + x ln x dy = 0;
Resp: .
) dy = 0;
y
dx + (y3
x
Resp: .
9xy7 ) y 0 = 0,
ln x) dy = 0;
3. Resuelve cada ecuación diferencial encontrando primero un factor de integración:
a)
(5xy + 4y2 + 1) dx + (x2 + 2xy) dy = 0;
Resp: .
b)
(2x + tan y) dx + (x
Resp: .
c)
[y2 (x + 1) + y] dx + (2xy + 1) dy = 0;
Resp: .
d)
(2xy2 + y) dx + (2y3
Resp: .
e)
3(x2 + y2 ) dx + x(x2 + 3y2 + 6y) dy = 0;
Resp: .
x2 tan y) dy = 0;
x) dy = 0;
4. Considere la ecuación diferencial
(4x + 3y2 ) dx + 2xy dy = 0
a)
Demuestre que esta ecuación no es exacta.
0.4 Ejercicios
b)
c)
29
Encuentre un factor de integración de la forma xn , donde n es un entero positivo.
Multiplicar la ecuación dada por el factor de integración que se encuentra en el paso
(b) y resolver la ecuación exacta resultante.
5. Considere la ecuación diferencial
(y2 + 2xy) dx
x2 dy = 0
a)
b)
Demuestre que esta ecuación no es exacta.
Multiplique la ecuación dada por yn , donde n es un entero, y luego determine n para
que yn sea un factor de integración de la ecuación dada.
c) Multiplicar la ecuación dada por el factor de integración que se encuentra en el paso
(b) y resolver la ecuación exacta resultante.
d) Demuestre que y = 0 es una solución de la ecuación no exacta original pero no es
una solución de la ecuación exacta esencialmente equivalente encontrada en el paso
(c).
e) Grafique varias curvas integrales de la ecuación original, incluyendo todas aquellas
cuyas ecuaciones son (o se pueden escribir) en alguna forma “especial”.
6. Considere la ecuación diferencial de la forma
[y + x f (x2 + y2 )] dx + [y f (x2 + y2 )
a)
x] dy = 0
Demuestre que la ecuación de esta forma es no exacta.
1
Demuestre que 2
es un factor de integración de la ecuación de esta forma.
x + y2
Use el paso (b) para resolver la ecuación
b)
c)
[y + x(x2 + y2 )2 ] dx + [y(x2 + y2 )2
x] dy = 0
7. En cada uno de los ejercicios encuentre un factor de integración de la forma xm yn y resuelva:
a)
(4xy2 + 6y) dx + (5x2 y + 8x) dy = 0,
b)
(8x2 y3
2y4 ) dx + (5x3 y2
8xy3 ) dy = 0.
8. Demuestre que si µ(x, y) y v(x, y) son factores integrantes de
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
tal que
(22)
µ(x, y)
no es constante, entonces
v(x, y)
µ(x, y) = cv(x, y)
es una solución de la ecuación (22) para cada constante c.
9. Demuestre que si la ecuación (22) es homogénea y xM(x, y) + yN(x, y) 6= 0, entonces
1
es un factor de integración de (22).
xM(x, y) + yN(x, y)
10. Demuestre que si la ecuación (22) es a la vez homogénea y exacta y si xM(x, y) + yN(x, y)
no es una constante, entonces la solución de esta ecuación es xM(x, y) + yN(x, y) = c, donde
c es una constante arbitraria.
30
11. Encuentre un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (x + y2 ) para solucionar la ecuación
(3y2
Resp:
x) dx + (2y3
µ(x, y) =
6xy) dy = 0.
1
,
(x+y2 )3
x
y2 = c(x + y2 )2 .
Bibliography
Books
Articles