Subido por Eduardo Fernandez

Burden Issuu

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10a. edición
ANÁLISIS
NUMÉRICO
Richard L. Burden • Douglas J. Faires • Annette M. Burden
Análisis numérico
DÉCIMA EDICIÓN
Richard L. Burden
Youngstown University
J. Douglas Faires
Youngstown University
Annette M. Burden
Youngstown University
Traducción:
Mara Paulina Suárez Moreno
Traductora profesional
Revisión técnica:
Wilmar Alberto Díaz Ossa
Mágister en matemáticas aplicadas
Profesor en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur
Análisis numérico,
10 a. ed.
Richard L. Burden, J. Douglas Faires y
Annette M. Burden
Director Editorial para Latinoamérica:
Ricardo H. Rodríguez
Editora de Adquisiciones para
Latinoamérica:
Claudia C. Garay Castro
Gerente de Manufactura para
Latinoamérica:
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Gerente Editorial de Contenidos
en Español:
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Gerente de Proyectos Especiales:
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Coordinador de Manufactura:
Rafael Pérez González
Editora:
Ivonne Arciniega Torres
Diseño de portada:
Anneli Daniela Torres Arroyo
Imagen de portada:
© theromb/Shutterstock.com
Composición tipográfica:
Tsuki Marketing S.A. de C.V.
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© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,
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en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editorial.
Traducido del libro Numerical Analysis, Tenth Edition
Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden
Publicado en inglés por Cengage Learning
© 2016, 2011, 2005
ISBN: 978-1-305-25366-7
Datos para catalogación bibliográfica:
Burden, Faires y Burden
Análisis numérico, 10a. ed.
ISBN: 978-607-526-411-0
Visite nuestro sitio en:
http://latinoamerica.cengage.com
Contenido
Prefacio
1
2
Preliminares matemáticos y análisis de error 1
1.1
1.2
Revisión de cálculo 2
Errores de redondeo y aritmética computacional 11
1.3
Algoritmos y convergencia
1.4
Software numérico
28
El método de bisección 36
,WHUDFLyQGHSXQWRÀMR Método de Newton y sus extensiones 49
Análisis de error para métodos iterativos 58
Convergencia acelerada 64
Ceros de polinomios y método de Müller 68
Software numérico y revisión del capítulo 76
Interpolación y aproximación polinomial
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4
22
Soluciones de las ecuaciones en una variable 35
2.1
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
vii
Interpolación y el polinomio de Lagrange 78
Aproximación de datos y método de Neville 86
Diferencias divididas 91
Interpolación de Hermite 99
Interpolación de spline cúbico 105
Curvas paramétricas 121
Software numérico y revisión del capítulo 126
Diferenciación numérica e integración
4.1
4.2
4.3
77
127
Diferenciación numérica 128
Extrapolación de Richardson 136
Elementos de integración numérica 142
iii
iv
Contenido
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
5
Problemas de valor inicial para ecuaciones de
diferenciales ordinarias 193
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
6
Teoría elemental de problemas de valor inicial 194
Método de Euler 198
Métodos de Taylor de orden superior 205
Método Runge-Kutta 209
Control de error y método Runge-Kutta-Fehlberg 218
Métodos multipasos 224
Método multipasos de tamaño de paso variable 236
Métodos de extrapolación 241
Ecuaciones de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales 247
Estabilidad 254
Ecuaciones diferenciales rígidas 262
Software numérico 268
Métodos directos para resolver sistemas lineales
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
7
Integración numérica compuesta 150
Integración de Romberg 156
Métodos de cuadratura adaptable 162
Cuadratura gaussiana 168
Integrales múltiples 174
Integrales impropias 186
Software numérico y revisión del capítulo 191
Sistemas de ecuaciones lineales 270
Estrategias de pivoteo 279
Álgebra lineal e inversión de matriz 287
Determinante de una matriz 296
Factorización de matriz 298
Tipos especiales de matrices 306
Software numérico 318
Técnicas iterativas en álgebra de matrices 319
7.1
7.2
7.3
7.7
Normas de vectores y matrices 320
Eigenvalores y eigenvectores 329
Técnicas iterativas de Jacobi y Gauss-Siedel 334
7pFQLFDVGHUHODMDFLyQSDUDUHVROYHUVLVWHPDVOLQHDOHV &RWDVGHHUURU\UHÀQDPLHQWRLWHUDWLYR (OPpWRGRGHJUDGLHQWHFRQMXJDGR Software numérico 366
269
Contenido
8
Teoría de aproximación 369
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
9
Aproximación de eigenvalores 421
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
10
Aproximación por mínimos cuadrados discretos 370
Polinomios ortogonales y aproximación por mínimos cuadrados 378
Polinomios de Chebyshev y ahorro de series de potencia 385
Aproximación de función racional 393
Aproximación polinomial trigonométrica 402
Transformadas rápidas de Fourier 410
Software numérico 419
Álgebra lineal y eigenvalores 422
Matrices ortogonales y transformaciones de similitud 428
El método de potencia 431
Método de Householder 445
El algoritmo QR 452
Descomposición en valores singulares 462
Software numérico 474
Soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones
no lineales 475
3XQWRVÀMRVSDUDIXQFLRQHVGHYDULDVYDULDEOHV 10.2 Método de Newton 482
10.3 Métodos cuasi-Newton 487
10.4 Técnicas de descenso más rápido 492
10.5 Homotopía y métodos de continuación 498
10.6 Software numérico 504
11
Problemas de valor en la frontera para ecuaciones
diferenciales ordinarias 505
11.1 El método de disparo lineal 506
11.2 El método de disparo para problemas no lineales 512
0pWRGRVGHGLIHUHQFLDVÀQLWDVSDUDSUREOHPDVOLQHDOHV 0pWRGRVGHGLIHUHQFLDVÀQLWDVSDUDSUREOHPDVOLQHDOHV 11.5 El método de Rayleigh-Ritz 527
11.6 Software numérico 540
v
vi
Contenido
12
Soluciones numéricas para ecuaciones
diferenciales parciales 541
12.1 Ecuaciones diferenciales parciales elípticas 544
12.2 Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas 551
12.3 Ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas 562
8QDLQWURGXFFLyQDOPpWRGRGHHOHPHQWRVÀQLWRV 12.5 Software numérico 579
Material en línea
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&RQMXQWRVGHHMHUFLFLRV
Preguntas de análisis
Conceptos clave
Revisión de capítulo
Bibliografía
5HVSXHVWDVDHMHUFLFLRVVHOHFFLRQDGRV
Índice
Índice de algoritmos
Glosario de notación
Trigonometría
*UiÀFDVFRPXQHV
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CAPÍTULO
1
Preliminares matemáticos
y análisis de error
Introducción
Al comenzar los cursos de química, estudiamos la ley del gas ideal,
PV = NRT,
que relaciona la presión P, el volumen V, la temperatura T y el número de moles N de un
gas “ideal”. En esta ecuación, R es una contante que depende del sistema de medición.
Suponga que se realizan dos experimentos para evaluar esta ley, mediante el mismo gas
en cada caso. En el primer experimento,
P = 1.00 atm,
V = 0.100 m3 ,
N = 0.00420 mol,
R = 0.08206.
La ley del gas ideal predice que la temperatura del gas es
T =
(1.00)(0.100)
PV
=
= 290.15 K = 17◦ C.
NR
(0.00420)(0.08206)
Sin embargo, cuando medimos la temperatura del gas, encontramos que la verdadera temperatura es 15◦C.
V1
V2
A continuación, repetimos el experimento utilizando los mismos valores de R y N, pero
incrementamos la presión en un factor de dos y reducimos el volumen en ese mismo factor.
El producto PV sigue siendo el mismo, por lo que la temperatura prevista sigue siendo 17◦C.
Sin embargo, ahora encontramos que la temperatura real del gas es 19◦C.
1
2
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
Claramente, se sospecha la ley de gas ideal, pero antes de concluir que la ley es inválida
en esta situación, deberíamos examinar los datos para observar si el error se puede atribuir
a los resultados del experimento. En este caso, podríamos determinar qué tan precisos deberían ser nuestros resultados experimentales para evitar que se presente un error de esta
magnitud.
El análisis del error involucrado en los cálculos es un tema importante en análisis numérico y se presenta en la sección 1.2. Esta aplicación particular se considera en el ejercicio
26 de esa sección.
Este capítulo contiene una revisión breve de los temas del cálculo de una sola variable
que se necesitarán en capítulos posteriores. Un conocimiento sólido de cálculo es fundamental para comprender el análisis de las técnicas numéricas y sería preciso efectuar una revisión más rigurosa para quienes no han estado en contacto con este tema durante un tiempo.
Además, existe una introducción a la convergencia, el análisis de error, la representación
GHQ~PHURVHQOHQJXDMHGHPiTXLQD\DOJXQDVWpFQLFDVSDUDFODVLÀFDU\PLQLPL]DUHOHUURU
computacional.
1.1 Revisión de cálculo
Límites y continuidad
Los conceptos de límite y continuidad de una función son fundamentales para el estudio del
cálculo y constituyen la base para el análisis de las técnicas numéricas.
Definición 1.1
Una función fGHÀQLGDHQXQFRQMXQWRX de números reales que tiene el límite L a x0, escrita
como
lím f (x) = L ,
x→x0
si, dado cualquier número real ε > 0, existe un número real δ > 0, de tal forma que
| f (x) − L| < ε,
siempre que
x∈X y
0 < |x − x0 | < δ.
FRQVXOWHODÀJXUD
Figura 1.1
ε
y
y 5 f (x)
L 1e
L
L 2e
x0 2 d
x0
x0 1 d
x
1.1
Definición 1.2
Los conceptos básicos de
cálculo y sus aplicaciones se
GHVDUUROODURQDÀQDOHVGHOVLJOR
XVII y a principios del XVIII, pero
los conceptos matemáticamente
precisos de límites y continuidad
se describieron hasta la época
de Augustin Louis Cauchy
² +HLQULFK(GXDUG
+HLQH ² \.DUO
:HLHUVWUDVV ² DÀQDOHV
del siglo XIX.
Definición 1.3
Revisión de cálculo
3
Sea f XQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQFRQMXQWRX de números reales y x0 ∈ X. Entonces f es continua en x0 si
lím f (x) = f (x0 ).
x→x0
La función f es continua en el conjunto X si es continua en cada número en X.
El conjunto de todas las funciones que son continuas en el conjunto X se denota como
C(X &XDQGRX es un intervalo de la recta real, se omiten los paréntesis en esta notación. Por
ejemplo, el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b] se denota
como C[a, b]. El símbolo R denota el conjunto de todos los números reales, que también
tiene la notación del intervalo (−∞, ∞ 3RUHVRHOFRQMXQWRGHWRGDVODVIXQFLRQHVTXHVRQ
continuas en cada número real se denota mediante C(R o mediante C(−∞, ∞ El límite de una sucesiónGHQ~PHURVUHDOHVRFRPSOHMRVVHGHÀQHGHPDQHUDVLPLODU
Sea {xn }∞
n=1XQDVXFHVLyQLQÀQLWDGHQ~PHURVUHDOHV(VWDVXFHVLyQWLHQHHOlímite x (converge a x VLSDUDFXDOTXLHU ε 0, existe un entero positivo N(ε) tal que |xn − x| < ε siempre
que n > N(ε /DQRWDFLyQ
lím xn = x,
n→∞
o
xn → x
en
n → ∞,
VLJQLÀFDTXHODVXFHVLyQ{xn }∞
n=1 converge a x.
Teorema 1.4
Si fHVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQFRQMXQWRX de números reales y x0 ∈ X, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
a.
f es continua en x0;
b.
Si {xn }∞
n=1 es cualquier sucesión en X, que converge a x0, entonces
lím n→∞ f (xn ) = f (x0 ).
Se asumirá que las funciones que consideraremos al analizar los métodos numéricos son
continuas porque éste es el requisito mínimo para una conducta predecible. Las funciones
TXHQRVRQFRQWLQXDVSXHGHQSDVDUSRUDOWRSXQWRVGHLQWHUpVORFXDOSXHGHFDXVDUGLÀFXOWDdes al intentar aproximar la solución de un problema.
Diferenciabilidad
/DVVXSRVLFLRQHVPiVVRÀVWLFDGDVVREUHXQDIXQFLyQSRUORJHQHUDOFRQGXFHQDPHMRUHVUHVXOWDGRVGHDSUR[LPDFLyQ3RUHMHPSORQRUPDOPHQWHXQDIXQFLyQFRQXQDJUiÀFDVXDYHVH
comportaría de forma más predecible que una con numerosas características irregulares. La
condición de uniformidad depende del concepto de la derivada.
Definición 1.5
Si f HVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWLHQHx0. La función f es diferenciable en x0 si
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = lím
x→x0
x − x0
existe. El número f (x0 ) recibe el nombre de derivada de f en x0. Una función que tiene una
derivada en cada número en un conjunto X es diferenciable en X.
La derivada de f en x0HVODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHDODJUiÀFDGHf en (x0 , f (x0 )),
FRPRVHPXHVWUDHQODÀJXUD
4
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
Figura 1.2
y
La recta tangente tiene
una pendiente f 9(x0)
f (x 0)
(x 0, f (x 0))
y 5 f (x)
x0
Teorema 1.6
El teorema atribuido a Michel
5ROOH ² DSDUHFLy
en 1691 en un tratado poco
conocido titulado Méthode pour
résoundre les égalites (Método
para resolver las igualdades).
Originalmente, Rolle criticaba
el cálculo desarrollado por Isaac
Newton y Gottfried Leibniz, pero
después se convirtió en uno de
sus defensores.
Teorema 1.7
x
Si la función f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0.
Los siguientes teoremas son de importancia fundamental al deducir los métodos para
estimación del cálculo de error. Las pruebas de estos teoremas y los otros resultados sin referencias en esta sección se pueden encontrar en cualquier texto de cálculo estándar.
El conjunto de todas las funciones que tienen derivadas continuas n en X se denota como
Cn(X y el conjunto de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes en X se denota
como C ∞ (X ). Las funciones polinomial, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica se encuentran en C ∞ (X ), donde X FRQVLVWHHQWRGRVORVQ~PHURVSDUDORVTXHVHGHÀQHQ
las funciones. Cuando X es un intervalo de la recta real, de nuevo se omiten los paréntesis
en esta notación.
(Teorema de Rolle)
Suponga que f ∈ C[a, b] y f es diferenciable en (a, b 6Lf(a = f (b HQWRQFHVH[LVWHXQQ~mero c en (a, b) con f 9(c = &RQVXOWHODÀJXUD
Figura 1.3
y
f 9(c) 5 0
y 5 f (x)
f (a) 5 f(b)
a
Teorema 1.8
c
b
x
(Teorema del valor medio)
Si f ∈ C[a, b] y f es diferenciable en (a, b HQWRQFHV H[LVWH XQ Q~PHUR c en (a, b con
FRQVXOWHODÀJXUD
f (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
1.1
Revisión de cálculo
5
Figura 1.4
y
Líneas paralelas
Pendiente f 9(c)
Pendiente
f (b) 2 f (a)
b2a
c
a
Teorema 1.9
y 5 f (x)
x
b
(Teorema del valor extremo)
Si f ∈ C[a, b], entonces existe c1, c2 ∈ [a, b] con f (c1 ≤ f (x ≤ f (c2 SDUDWRGDVODVx ∈ [a, b].
Además, si f es diferenciable en (a, b HQWRQFHVVHSUHVHQWDQORVQ~PHURVc1 y c2 ya sea en
los extremos de [a, b] o donde f 9HVFHUR &RQVXOWHODÀJXUD
Figura 1.5
y
y 5 f (x)
c2
a
Ejemplo 1
c1
b
x
Encuentre los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de
f (x = 2 − ex + 2x
en los intervalos a >, 1] y b >, 2].
Solución
Comenzamos por derivar f (x SDUDREWHQHU
f v(x = −ex + 2.
f v(x = 0 cuando −ex + 2 = 0 o de forma equivalente, cuando ex = 2. Al tomar el logaritmo
natural de ambos lados de la ecuación obtenemos
ln (ex =OQ Rx =OQ ≈
6
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
a)
Cuando el intervalo es [0, 1], el extremo absoluto debe ocurrir en f , f OQ R
f $OHYDOXDUWHQHPRV
f (0) = 2 − e0 + 2(0) = 1
f (ln (2)) = 2 − eln (2) + 2 ln (2) = 2 ln (2) ≈ 1.38629436112
f (1) = 2 − e + 2(1) = 4 − e ≈ 1.28171817154.
Por lo tanto, el mínimo absoluto de f (x HQ > @ HV f = 1 y el máximo
absoluto es f OQ =OQ b)
Cuando el intervalo es [1, 2], sabemos que f (x) = 0, por lo que el extremo
absoluto se presenta en f \f 3RUORWDQWR f (2) = 2 − e2 + 2(2) = 6 − e2 ≈
.
−1.3890560983
El mínimo absoluto en [1, 2] es 6 − e2 y el máximo absoluto es 1.
Observamos que
máx | f (x)| = |6 − e2 | ≈ 1.3890560983.
0≤x≤2
En general, el siguiente teorema no se presenta en un curso de cálculo básico, pero se
deriva al aplicar el teorema de Rolle sucesivamente a f, f , . . . ,\ÀQDOPHQWHD f (n−1) . Este
resultado se considera en el ejercicio 26.
Teorema 1.10
(Teorema generalizado de Rolle)
Suponga que f ∈ C[a, b] es n veces diferenciable en (a, b 6Lf (x = 0 en los n + 1 números
distintos a a ≤ x0 < x1 < 7 < xn ≤ b, entonces un número c en (x0, xn \SRUORWDQWRHQ a, b existe con f (n (c = 0.
También utilizaremos con frecuencia el teorema del valor intermedio. A pesar de que
esta declaración parece razonable, su prueba va más allá del alcance del curso habitual de
cálculo. Sin embargo, se puede encontrar en muchos textos de análisis (consulte, por ejemSOR>)[email protected] Teorema 1.11
(Teorema del valor intermedio)
Si f ∈ C[a, b] y K es cualquier número entre f(a \f (b HQWRQFHVH[LVWHXQQ~PHURc en
(a, b SDUDHOFXDOf (c = K.
/DÀJXUDPXHVWUDXQDRSFLyQSDUDHOQ~PHURJDUDQWL]DGDSRUHOWHRUHPDGHOYDORU
intermedio. En este ejemplo, existen otras dos posibilidades.
Figura 1.6
y
f (a)
(a, f (a))
y 5 f (x)
K
f (b)
(b, f (b))
a
c
b
x
1.1
Ejemplo 2
Revisión de cálculo
7
Muestre que x5 − 2x +x2 − 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [0, 1].
Solución &RQVLGHUH OD IXQFLyQ GHÀQLGD SRU f (x = x5 − 2x + x2 − 1. La función f es
continua en [0, 1]. Además,
f = −1 < 0
y
0<1=f .
Por lo tanto, el teorema del valor intermedio implica que existe un número c, con 0 , c , 1,
para el cual c5 − 2c +c2 − 1 = 0.
Como se observa en el ejemplo 2, el teorema del valor intermedio se utiliza para determinar cuándo existen soluciones para ciertos problemas. Sin embargo, no provee un medio
HÀFLHQWHSDUDHQFRQWUDUHVWDVVROXFLRQHV(VWHWHPDVHFRQVLGHUDHQHOFDStWXOR
Integración
El otro concepto básico del cálculo que se utilizará ampliamente es la integral de Riemann.
Definición 1.12
George Fredrich Berhard Riemann
² UHDOL]yPXFKRVGH
los descubrimientos importantes
SDUDFODVLÀFDUODVIXQFLRQHV
que tienen integrales. También
realizó trabajos fundamentales en
geometría y la teoría de funciones
complejas y se le considera uno
de los matemáticos prolíferos del
siglo XIX.
La integral de Riemann de la función f en el intervalo [a, b] es el siguiente límite, siempre
y cuando exista:
b
a
n
f (x) d x =
lím
máx xi →0
f (z i
xi ,
i=1
donde los números x0, x1,7 , xn satisfacen a = x0 ≤ x1 ≤ 7 ≤ xn = b, donde 6xi = xi − xi−1,
para cada i = 1, 2,7 , n, y zi se selecciona de manera arbitraria en el intervalo [ xi−1 , xi ].
Una función f que es continua en un intervalo [a, b] es también Riemann integrable en
[a, b]. Esto nos permite elegir, para conveniencia computacional, los puntos xi se separarán
equitativamente en [a, b] para cada i = 1, 2, 7 , n, para seleccionar zi = xi. En este caso,
b
a
b−a
f (x) d x = lím
n→∞
n
n
f (xi ),
i=1
GRQGHORVQ~PHURVPRVWUDGRVHQODÀJXUDFRPRxi, son xi = a + i(b − a n.
Figura 1.7
y
y 5 f (x)
a 5 x 0 x1
x2 . . . x i21 x i
...
x n21 b 5 x n
x
Se necesitarán otros dos resultados en nuestro estudio para análisis numérico. El primero
es una generalización del teorema del valor promedio para integrales.
8
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
Teorema 1.13
(Teorema del valor promedio para integrales)
Suponga que f ∈ C[a, b], la integral de Riemann de g existe en [a, b], y g(x QRFDPELDGH
signo en [a, b]. Entonces existe un número c en (a, b FRQ
b
a
f (x)g(x) d x = f (c)
b
a
g(x) d x.
Cuando g(x ≡HOWHRUHPDHVHOWHRUHPDGHOYDORUPHGLRSDUDLQWHJUDOHVeVWH
proporciona el valor promedio de la función f sobre el intervalo [a, b] como (consulte la
ÀJXUD
f (c) =
1
b−a
b
a
f (x) d x.
Figura 1.8
y
y 5 f (x)
f (c)
a
c
b
x
(QJHQHUDOODSUXHEDGHOWHRUHPDQRVHGDHQXQFXUVREiVLFRGHFiOFXORSHURVH
SXHGHHQFRQWUDUHQPXFKRVWH[WRVGHDQiOLVLV FRQVXOWHSRUHMHPSOR>)[email protected]
Polinomios y series de Taylor
(OWHRUHPDÀQDOHQHVWDUHYLVLyQGHFiOFXORGHVFULEHORVSROLQRPLRVGH7D\ORU(VWRVSROLQRmios se usan ampliamente en el análisis numérico.
Teorema 1.14
%URRN7D\ORU ² describió esta serie en 1715
en el artículo Methodus
incrementorum directa et inversa
(Métodos para incrementos
directos e inversos). Isaac
Newton, James Gregory y
otros ya conocían algunos
casos especiales del resultado
y, probablemente, el resultado
mismo.
(Teorema de Taylor)
Suponga que f ∈ C n [a, b], f (n + existe en [a, b], y x0 ∈ [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], existe un
número ξ(x) entre x0 y x con
f (x) = Pn (x) + Rn (x),
donde
Pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +
n
=
k=0
f (k) (x0 )
(x − x0 )k
k!
f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n
2!
n!
1.1
Revisión de cálculo
9
y
Rn (x) =
&ROLQ0DFODXULQ HV
más conocido como el defensor
del cálculo de Newton cuando
éste fue objeto de los ataques
LPSODFDEOHVGHORELVSR\ÀOyVRIR
irlandés George Berkeley.
Maclaurin no descubrió la
serie que lleva su nombre; los
matemáticos del siglo ya la
conocían desde antes de que él
naciera. Sin embargo, concibió
un método para resolver un
sistema de ecuaciones lineales
que se conoce como regla de
Cramer, que Cramer no publicó
hasta 1750.
Ejemplo 3
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
Aquí Pn(x HV OODPDGR HO n-ésimo polinomio de Taylor para f alrededor de x0 y Rn(x recibe el nombre de residuo (o error de truncamiento UHODFLRQDGRFRQPn(x 3XHVWRTXHHO
número ξ(x) en el error de truncamiento Rn(x GHSHQGHGHOYDORUGHx donde se evalúa el polinomio Pn(x HVXQDIXQFLyQGHODYDULDEOHx. Sin embargo, no deberíamos esperar ser capaces
de determinar la función ξ(x) de manera explícita. El teorema de Taylor simplemente garantiza
que esta función existe y que su valor se encuentra entre x y x0. De hecho, uno de los problemas
comunes en los métodos numéricos es tratar de determinar un límite realista para el valor de
f (n+1) (ξ(x)) cuando xVHHQFXHQWUDHQXQLQWHUYDORHVSHFtÀFR
/DVHULHLQÀQLWDREWHQLGDDOWRPDUHOOtPLWHGHPn(x FRQIRUPH n → ∞ recibe el nombre
de serie de Taylor para f alrededor de x0. En caso de que x0 = 0, entonces al polinomio de
Taylor con frecuencia se le llama polinomio de Maclaurin y a la serie de Taylor a menudo
se le conoce como serie de Maclaurin.
El término error de truncamientoHQHOSROLQRPLRGH7D\ORUVHUHÀHUHDOHUURULPSOLFDGRDOXWLOL]DUXQDVXPDWUXQFDGDRÀQLWDSDUDDSUR[LPDUODVXPDGHXQDVHULHLQÀQLWD
Si f(x = cos x y x0 = 0. Determine
a)
el segundo polinomio de Taylor para f alrededor de x0; y
b)
el tercer polinomio de Taylor para f alrededor de x0.
Solución
Puesto que f ∈ C ∞ (R), el teorema de Taylor puede aplicarse a cualquiera n ≥ 0.
Además,
f (x) = − sen x, f (x) = − cos x, f (x) = sen x, y
f (4) (x) = cos x,
Por lo tanto
f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = −1,
a)
y
f (0) = 0.
Para n = 2 y x0 = 0, obtenemos
cos x = f (0) + f (0)x +
f (0) 2
f (ξ(x)) 3
x +
x
2!
3!
1
1
= 1 − x 2 + x 3 sen ξ(x),
2
6
donde ξ(x)HVDOJ~QQ~PHUR SRUORJHQHUDOGHVFRQRFLGR HQWUH\x &RQVXOWHODÀJXUD
Figura 1.9
y
1
p
22
2
2p
y 5 cos x
p
2
2
p
1
2
y 5 P2(x) 5 1 2 2 x 2
x
10
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
Cuando x = 0.01, esto se convierte en
1
1
10−6
cos 0.01 = 1 − (0.01)2 + (0.01)3 sen ξ(0.01) = 0.99995 +
sen ξ(0.01).
2
6
6
Por lo tanto, la aproximación para cos 0.01 provista por el polinomio de Taylor es 0.99995.
El error de truncamiento, o término restante, relacionado con esta aproximación es
10−6
sen ξ(0.01) = 0.16 × 10−6 sen ξ(0.01),
6
donde la barra sobre el 6 en 0 .16 VHXWLOL]DSDUDLQGLFDUTXHHVWHGtJLWRVHUHSLWHLQGHÀQLGDmente. A pesar de que no existe una forma de determinar sen ξ(0.01), sabemos que todos los
valores del seno se encuentran en el intervalo [−1, 1], por lo que el error que se presenta si
utilizamos la aproximación 0.99995 para el valor de cos 0.01 está limitado por
| cos(0.01) − 0.99995| = 0.16 × 10−6 | sen ξ(0.01)| ≤ 0.16 × 10−6 .
Por lo tanto, la aproximación 0.99995 corresponde por lo menos a los primeros cinco dígitos
de cos 0.01 y
0.9999483 < 0.99995 − 1.6 × 10−6 ≤ cos 0.01
≤ 0.99995 + 1.6 × 10−6 < 0.9999517.
El límite del error es mucho más grande que el error real. Esto se debe, en parte, al escaso límite que usamos para | sen ξ(x)|. En el ejercicio 27 se muestra que para todos los valores
de x, tenemos | sen x| ≤ |x|. Puesto que 0 ≤ ξ < 0.01, podríamos haber usado el hecho de
que | sen ξ(x)| ≤ 0.01 en la fórmula de error, lo cual produce el límite 0.16 × 10−8 .
b) Puesto que f (0) = 0, el tercer polinomio de Taylor con el término restante alrededor de x0 = 0 es
1
1
cos x = 1 − x 2 + x 4 cos ξ̃ (x),
2
24
donde 0 < ξ̃ (x) < 0.01. El polinomio de aproximación sigue siendo el mismo y la aproximación sigue siendo 0.99995, pero ahora tenemos mayor precisión. Puesto que | cos ξ̃ (x)| ≤ 1
para todas las x, obtenemos
1 4
1
x cos ξ̃ (x) ≤
(0.01)4 (1) ≈ 4.2 × 10−10 .
24
24
por lo tanto
| cos 0.01 − 0.99995| ≤ 4.2 × 10−10 ,
y
0.99994999958 = 0.99995 − 4.2 × 10−10
≤ cos 0.01 ≤ 0.99995 + 4.2 × 10−10 = 0.99995000042.
(OHMHPSORLOXVWUDORVGRVREMHWLYRVGHODQiOLVLVQXPpULFR
i)
Encuentre una aproximación a la solución de un problema determinado.
ii)
Determine un límite o cota para la precisión de la aproximación.
/RVSROLQRPLRVGH7D\ORUHQDPEDVSDUWHVSURSRUFLRQDQODPLVPDUHVSXHVWDSDUDL SHURHO
WHUFHURSURYHHXQDUHVSXHVWDPXFKRPHMRUSDUDLL TXHHOVHJXQGR7DPELpQSRGHPRVXWLOL]DU
estos polinomios para obtener aproximaciones de las integrales.
1.2
Ilustración
Errores de redondeo y aritmética computacional
11
Podemos utilizar el tercer polinomio de Taylor y su término restante encontrado en el ejem0.1
SORSDUDDSUR[LPDU 0 cos x d x. Tenemos
0.1
0.1
cos x d x =
0
0
1
1 − x2
2
0.1
1
= x − x3
6
+
0
dx +
1
24
1
1
= 0.1 − (0.1)3 +
6
24
1
24
0.1
0.1
x 4 cos ξ̃ (x) d x
0
x 4 cos ξ̃ (x) d x
0
0.1
x 4 cos ξ̃ (x) d x.
0
Por lo tanto,
0.1
0
1
cos x d x ≈ 0.1 − (0.1)3 = 0.09983.
6
Un límite o cota para el error en esta aproximación se determina a partir de la integral del
término restante de Taylor y el hecho de que | cos ξ̃ (x)| ≤ 1 para todas las x:
1
24
0.1
x 4 cos ξ̃ (x) d x ≤
0
≤
1
24
1
24
0.1
x 4 | cos ξ̃ (x)| d x
0
0.1
0
x4 dx =
(0.1)5
= 8.3 × 10−8 .
120
El valor verdadero de esta integral es
0.1
0
0.1
cos x d x = sen x
= sen 0.1 ≈ 0.099833416647,
0
por lo que el error real para esta aproximación es 8.× 10−8, que se encuentra dentro
del límite del error.
La sección Conjunto de ejercicios 1.1 está disponible en línea. Encuentre la ruta de
acceso en las páginas preliminares.
1.2 Errores de redondeo y aritmética computacional
La aritmética realizada con una calculadora o computadora es diferente a la aritmética que
se imparte en los cursos
√ de álgebra y cálculo. Podría esperarse que declaraciones como
2 +2 = 4, 4·8 = 32, y ( 3)2 = 3 siempre sean verdaderas; sin embargo con la aritmética
computacional, esperamos
resultados exactos para 2 + 2 = 4 y 4 · 8 = 32, pero no obtendre√
mos exactamente ( 3)2 = 3. Para comprender por qué esto es verdadero, debemos explorar
HOPXQGRGHODDULWPpWLFDGHGtJLWRVÀQLWRV
(QQXHVWURPXQGRPDWHPiWLFRWUDGLFLRQDOSHUPLWLPRVQ~PHURVFRQXQDFDQWLGDGLQÀQL√
ta de dígitos. La aritmética que usamos en este mundo GHÀQH 3 como el único número poVLWLYRTXHFXDQGRVHPXOWLSOLFDSRUVtPLVPRSURGXFHHOHQWHUR1RREVWDQWHHQHOPXQGR
computacional, cada número representable sóORWLHQHXQQ~PHURÀMR\ÀQLWRGHGtJLWRV(VWR
VLJQLÀFDTXHSRUHMHPSORVólo los números
racionales, e incluso no todos ellos, se pueden
√
representar de forma exacta. Ya que 3 no es racional, se proporciona una representación
DSUR[LPDGDFX\RFXDGUDGRQRVHUiH[DFWDPHQWHDSHVDUGHTXHHVSUREDEOHTXHHVWpVXÀFLHQWHPHQWHFHUFDGHSDUDVHUDFHSWDEOHHQODPD\RUtDGHODVVLWXDFLRQHV(QWRQFHVHQPXchos casos, esta aritmética mecánica es satisfactoria y pasa sin importancia o preocupación,
pero algunas veces surgen problemas debido a su discrepancia.
12
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
El error debido al redondeo
debería esperarse siempre que se
realizan cálculos con números
que no son potencias de 2.
Mantener este error bajo control
es en extremo importante cuando
el número de cálculos es grande.
El error que se produce cuando se utiliza una calculadora o computadora para realizar
cálculos con números reales recibe el nombre de error de redondeo. Se presenta porque la
DULWPpWLFDUHDOL]DGDHQXQDPiTXLQDLQFOX\HQ~PHURVFRQXQVRORQ~PHURÀQLWRGHGtJLWRV
y esto da como resultado cálculos realizados únicamente con representaciones aproximadas
de los números reales. En una computadora, sólo un subconjunto relativamente pequeño del
sistema de números reales se usa para la representación de todos los números reales. Este
subconjunto sólo contiene números racionales, tanto positivos como negativos, y almacena
la parte fraccionaria, junto con una parte exponencial.
Números de máquina binarios
En 1985, el Instituto para Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE; Institute for ElectriFDODQG(OHFWURQLF(QJLQHHUV SXEOLFyXQUHSRUWHOODPDGRBinary Floating Point Arithmetic
6WDQGDUG ² (VWiQGDU SDUD OD DULWPpWLFD ELQDULD GH SXQWR ÁRWDQWH . En 2008 se
publicó una versión actualizada con el nombre de IEEE 754-2008; la cual proporciona esWiQGDUHV SDUD Q~PHURV GH SXQWR ÁRWDQWH GHFLPDOHV \ ELQDULRV IRUPDWRV SDUD LQWHUFDPELR
de datos, algoritmos para redondear operaciones aritméticas y manejo de excepciones. Se
HVSHFLÀFDFXiOHVVRQORVIRUPDWRVSDUDODVSUHFLVLRQHVLQGLYLGXDOHVGREOHV\DPSOLDGDV\HQ
JHQHUDOWRGRVORVIDEULFDQWHVGHPLFURFRPSXWDGRUDVTXHXWLOL]DQKDUGZDUHGHSXQWRÁRWDQWH
siguen estos estándares.
8QDUHSUHVHQWDFLyQGHELWV GtJLWRELQDULR VHXVDSDUDXQQ~PHURUHDO(OSULPHUELW
es un indicador de signo, denominado s. A éste le sigue un exponente de 11 bits, c, llamado
característica, y una fracción binaria de 52 bits, f, llamada mantisa. La base para el exponente es 2.
Puesto que los 52 dígitos binarios corresponden con dígitos decimales entre 16 y 17,
podemos asumir que un número representado en este sistema tiene por lo menos 16 dígitos
decimales de precisión. El exponente de 11 dígitos binarios provee un rango de 0 a 211 − 1
=6LQHPEDUJRXVDUVyORHQWHURVSRVLWLYRVSDUDHOH[SRQHQWHQRSHUPLWLUtDXQDUHpresentación adecuada de los números con magnitud pequeña. Para garantizar que estos
Q~PHURVVRQLJXDOPHQWHUHSUHVHQWDEOHVVHUHVWDDODFDUDFWHUtVWLFDSRUORTXHHOUDQJR
del exponente en realidad se encuentra entre −\
Para ahorrar almacenamiento y proporcionar una representación única para cada número
GHSXQWRÁRWDQWHVHLPSRQHXQDQRUPDOL]DFLyQ3RUPHGLRGHHVWHVLVWHPDREWHQHPRVXQ
Q~PHURGHSXQWRÁRWDQWHGHODIRUPD
(−1)s 2c−1023 (1 + f ).
Ilustración
Considere el número de máquina
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000000.
El bit más a la izquierda es s = 0, lo cual indica que es un número positivo. Los siguientes
11 bits, 10000000011, proveen la característica y son equivalentes al número decimal
c = 1 · 210 + 0 · 29 + · · · + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 1024 + 2 + 1 = 1027.
La parte exponencial del número es, por lo tanto, 21027−1023 = 24/RVELWVÀQDOHVHVSHFLÀFDQTXHODPDQWLVDHV
f =1·
1
2
1
+1·
1
2
3
+1·
1
2
4
+1·
1
2
5
+1·
1
2
8
+1·
1
2
12
.
1.2
Errores de redondeo y aritmética computacional
13
Como secuencia, este número de máquina representa precisamente el número decimal
(−1)s 2c−1023 (1 + f ) = (−1)0 · 21027−1023 1 +
1 1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
2 8 16 32 256 4096
= 27.56640625.
Sin embargo, el siguiente número de máquina más pequeño es
0 10000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111,
el siguiente número de máquina más grande es
0 10000000011 1011100100010000000000000000000000000000000000000001.
(VWRVLJQLÀFDTXHQXHVWURQ~PHURGHPiTXLQDRULJLQDOQRVóORUHSUHVHQWDVLQR
WDPELpQODPLWDGGHORVQ~PHURVUHDOHVTXHVHHQFXHQWUDQHQWUH\HOVLJXLHQWH
Q~PHURGHPiTXLQDPiVSHTXHxRDVtFRPRODPLWDGGHORVQ~PHURVHQWUH\
el siguiente número de máquina más grande. Para ser preciso, representa cualquier número
>
El número positivo normalizado más pequeño que se puede representar tiene s = 0, c = 1,
y f = 0 y es equivalente
2−1022 · (1 + 0) ≈ 0.22251 × 10−307 ,
y el más grande tiene s = 0, c =\f = 1 − 2−52 y es equivalente a
21023 · (2 − 2−52 ) ≈ 0.17977 × 10309 .
Los números que se presentan en los cálculos que tienen una magnitud menor que
2−1022 · (1 + 0)
resultan en un subdesbordamiento\HQJHQHUDOVHFRQÀJXUDQHQFHUR/RVQ~PHURVVXSHriores a
21023 · (2 − 2−52 )
resultan en desbordamiento y, comúnmente, causan que los cálculos se detengan (a menos
TXH HO SURJUDPD KD\D VLGR GLVHxDGR SDUD GHWHFWDU HVWDV SUHVHQFLDV 2EVHUYH TXH H[LVWHQ
dos representaciones para el número cero: un 0 positivo cuando s = 0, c = 0 y f = 0, y un 0
negativo cuando s = 1, c = 0 y f = 0.
Números de máquina decimales
(OXVRGHGtJLWRVELQDULRVWLHQGHDRFXOWDUODVGLÀFXOWDGHVFRPSXWDFLRQDOHVTXHVHSUHVHQWDQ
FXDQGRVHXVDXQDFROHFFLyQÀQLWDGHQ~PHURVGHPiTXLQDSDUDUHSUHVHQWDUWRGRVORVQ~PHros reales. Para examinar estos problemas, utilizaremos números decimales más familiares
HQOXJDUGHXQDUHSUHVHQWDFLyQELQDULD(QHVSHFtÀFRVXSRQHPRVTXHORVQ~PHURVPiTXLQD
VHUHSUHVHQWDQHQIRUPDWRQRUPDOL]DGRGHSXQWRÁRWDQWHdecimal
±0.d1 d2 . . . dk × 10n ,
1 ≤ d1 ≤ 9,
y
0 ≤ di ≤ 9,
14
CAPÍTULO 1
Preliminares matemáticos y análisis de error
para cada i = 2, . . . , k. Los números de esta forma reciben el nombre de números de
máquina decimales de dígito k.
Cualquier número real positivo dentro del rango numérico de la máquina puede ser
normalizado a la forma
y = 0.d1 d2 . . . dk dk+1 dk+2 . . . × 10n .
El error que resulta de
reemplazar un número con
HVWDIRUPDGHSXQWRÁRWDQWH
se llama error de redondeo,
independientemente de si se
usa el método de redondeo o de
corte.
/DIRUPDGHSXQWRÁRWDQWHGH\TXHVHGHQRWDfl(y , se obtiene al terminar la mantisa de y
en los dígitos decimales de k. Existen dos maneras comunes para realizar esta terminación.
Un método, llamado de corte, es simplemente cortar los dígitos dk+1 dk+2 . . . Esto produce
ODIRUPDGHSXQWRÁRWDQWH
f l(y) = 0.d1 d2 . . . dk × 10n .
El otro método, llamado redondeo, suma 5 × 10n−(k+1) a y y entonces corta el resultado
para obtener un número con la forma
f l(y) = 0.δ1 δ2 . . . δk × 10n .
Para redondear, cuando dk+1 ≥ 5, sumamos 1 a dk para obtener fl(y HVGHFLUredondeamos
hacia arriba. Cuando dk+1 < 5, simplemente cortamos todo, excepto los primeros dígitos
k; es decir, redondeamos hacia abajo. Si redondeamos hacia abajo, entonces δi = di, para
cada i = 1, 2, . . . , k. Sin embargo, si redondeamos hacia arriba, los dígitos (e incluso el
H[SRQHQWH SXHGHQFDPELDU
Ejemplo 1
'HWHUPLQHORVYDORUHVD GHFRUWH\E GHUHGRQGHRGHFLQFRGtJLWRVGHOQ~PHURLUUDFLRQDOπ.
Solución El número πWLHQHXQDH[SDQVLyQGHFLPDOLQÀQLWDGHODIRUPDπ =....
Escrito en una forma decimal normalizada, tenemos
π = 0.314159265 . . . × 101 .
En general, el error relativo es
una mejor medición de precisión
que el error absoluto porque
considera el tamaño del número
que se va a aproximar.
a) (OIRUPDWRGHSXQWRÁRWDQWHGHπ usando el recorte de cinco dígitos es
f l(π ) = 0.31415 × 101 = 3.1415.
b) El sexto dígito de la expansión decimal de π es un 9, por lo que el formato de punto
ÁRWDQWHGHπ con redondeo de cinco dígitos es
f l(π ) = (0.31415 + 0.00001) × 101 = 3.1416.
/DVLJXLHQWHGHÀQLFLyQGHVFULEHWUHVPpWRGRVSDUDPHGLUHUURUHVGHDSUR[LPDFLyQ
Definición 1.15
Suponga que p ∗ es una aproximación a p. El error real es p − p ∗, el error absoluto es
| p − p∗ |
| p − p ∗ |, y el error relativo es
, siempre y cuando p = 0.
| p|
Considere los errores real, absoluto y relativo al representar p con p ∗ en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Determine los errores real, absoluto y relativo al aproximar p con p ∗ cuando
a)
p = 0.3000 × 101 y p ∗ = 0.3100 × 101 ;
b)
p = 0.3000 × 10−3 y p ∗ = 0.3100 × 10−3 ;
c)
p = 0.3000 × 104 y p ∗ = 0.3100 × 104 .
1.2
Solución
a)
b)
A menudo no podemos encontrar
un valor preciso para el error
verdadero en una aproximación.
Por el contrario, encontramos
una cota para el error, lo cual nos
proporciona un error del “peor
caso”.
c)
15
Errores de redondeo y aritmética computacional
Para p =× 101 y p ∗ =× 101, el error real es <0.1, el error absoluto
es 0.1 y el error relativo es 0.3333 × 10−1.
Para p =× 10ï y p ∗ =× 10ï, el error real es <0.1 × 10ï, el error
absoluto es 0.1 × 10ï y el error relativo es 0.3333 × 10−1.
Para p =× 10 y p ∗ =×HOHUURUUHDOHVï× 10, el error absoluto es 0.1 × 10 y, de nuevo, el error relativo es 0.3333 × 10−1 .
Este ejemplo muestra que el mismo error relativo, 0.3333 × 10−1, se presenta para errores
absolutos ampliamente variables. Como una medida de precisión, el error absoluto puede ser
HQJDxRVR\HOHUURUUHODWLYRPiVVLJQLÀFDWLYRGHELGRDTXHHVWHHUURUFRQVLGHUDHOWDPDxR
del valor.
Un límite de error es un número no negativo mayor que el error absoluto. Algunas veces se obtiene con los métodos de cálculo para encontrar el valor absoluto máximo de una
IXQFLyQ(VSHUDPRVHQFRQWUDUHOOtPLWHVXSHULRUPiVSHTXHxRSRVLEOHSDUDHOHUURUDÀQGH
obtener un estimado del error real que es lo más preciso posible.
/D VLJXLHQWH GHÀQLFLyQ XVD HO HUURU UHODWLYR SDUD SURSRUFLRQDU XQD PHGLGD GH GtJLWRV
VLJQLÀFDWLYRVGHSUHFLVLyQSDUDXQDDSUR[LPDFLyQ
Definición 1.16
A menudo, el término dígitos
VLJQLÀFDWLYRV se usa para
describir vagamente el número
de dígitos decimales que parecen
VHUH[DFWRV/DGHÀQLFLyQHVPiV
precisa y provee un concepto
continuo.
Tabla 1.1
Se dice que el número p ∗ se aproxima a p para t GtJLWRVVLJQLÀFDWLYRV RFLIUDV VLt es el
entero no negativo más grande para el que
| p − p∗ |
≤ 5 × 10−t .
| p|
/DWDEODLOXVWUDODQDWXUDOH]DFRQWLQXDGHORVGtJLWRVVLJQLÀFDWLYRVDOHQXPHUDUSDUD
los diferentes valores de p, el límite superior mínimo de | p − p ∗ |, denominado máx. | p − p ∗ |,
cuando p ∗ concuerda con pHQFXDWURGtJLWRVVLJQLÀFDWLYRV
p
0.1
0.5
100
1000
5000
9990
10000
máx | p − p ∗ |
0.00005
0.00025
0.05
0.5
2.5
4.995
5.
Al regresar a la representación de los números de máquina, observamos que la represenWDFLyQGHSXQWRÁRWDQWHf l(y SDUDHOQ~PHURy tiene el error relativo
y − f l(y)
.
y
Si se usan k dígitos decimales y corte para la representación de máquina de
y = 0.d1 d2 . . . dk dk+1 . . . × 10n ,
entonces
y − f l(y)
0.d1 d2 . . . dk dk+1 . . . × 10n − 0.d1 d2 . . . dk × 10n
=
y
0.d1 d2 . . . × 10n
=
0.dk+1 dk+2 . . .
0.dk+1 dk+2 . . . × 10n−k
=
× 10−k .
n
0.d1 d2 . . . × 10
0.d1 d2 . . .
CAPÍTULO
Interpolación y aproximación polinomial
Introducción
Se realiza un censo de la población de Estados Unidos cada 10 años. La siguiente tabla
muestra la población, en miles de personas, desde 1960 hasta 2010, y los datos también se
UHSUHVHQWDQHQODÀJXUD
Año
Población
(en miles)
1960
1970
1980
1990
2000
2010
179 323
203 302
226542
249 633
281 422
308 746
P(t)
3 3 10 8
2 3 10 8
Población
3
1 3 10 8
1960 1970 1980 1990 2000 2010
Año
t
Al revisar estos datos, podríamos preguntar si se podrían usar para efectuar un cálculo
razonable de la población, digamos, en 1975 o incluso en el año 2020. Las predicciones de
este tipo pueden obtenerse por medio de una función que se ajuste a los datos proporcionados. Este proceso recibe el nombre de interpolación y es el tema de este capítulo. Este
problema de población se considera a lo largo del capítulo y en los ejercicios 19 de la sección
3.1, 17 de la sección 3.3 y 24 de la sección 3.5.
77
78
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
3.1 Interpolación y el polinomio de Lagrange
Una de las clases más útiles y conocidas de funciones que mapean el conjunto de números
reales en sí mismo son los polinomios algebraicos, el conjunto de funciones de la forma
Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ,
donde n es un entero positivo y a0, 7, an son constantes reales. Una razón de su importancia
es que se aproximan de manera uniforme a las funciones continuas. Con esto queremos decir
TXHGDGDXQDIXQFLyQGHÀQLGD\FRQWLQXDVREUHXQLQWHUYDORFHUUDGR\DFRWDGRH[LVWHXQ
polinomio que está tan “cerca” de la función dada como se desee. Este resultado se expresa
FRQSUHFLVLyQHQHOWHRUHPDGHDSUR[LPDFLyQGH:HLHUVWUDVV FRQVXOWHODÀJXUD Figura 3.1
y
y 5 f (x) 1
y 5 P (x)
y 5 f (x)
y 5 f (x) 2
a
Teorema 3.1
b
(Teorema de aproximación de Weierstrass)
Suponga que fHVWiGHÀQLGD\HVFRQWLQXDHQ>a, b]. Para cada
P (x), con la propiedad de que
A menudo, se hace referencia a
Karl Weierstrass (1815–1897)
como el padre del análisis
moderno debido a su insistencia
sobre el rigor en la demostración
de resultados matemáticos. Fue
fundamental para el desarrollo
de pruebas de convergencia de
series y para determinar formas
GHGHÀQLUULJXURVDPHQWHORV
números irracionales. Fue el
primero en demostrar que una
función podría ser continua en
todas partes, pero diferenciable
en ninguna parte, un resultado
que escandalizó a algunos de sus
contemporáneos.
x
| f (x) − P(x)|
. 0, existe un polinomio
para todas las x en [a, b].
La prueba de este teorema se puede encontrar en la mayoría de los textos básicos sobre
DQiOLVLVUHDO FRQVXOWHSRUHMHPSOR>%[email protected]² Otra razón importante para considerar la clase de polinomios en la aproximación de
IXQFLRQHVHVTXHODGHULYDGD\ODLQWHJUDOLQGHÀQLGDGHXQSROLQRPLRVRQIiFLOHVGHGHWHUPLnar y también son polinomios. Por esta razón, a menudo se usan polinomios para aproximar
funciones continuas.
Los polinomios de Taylor se presentaron en la sección 1.1, donde se describieron como
uno de los componentes básicos del análisis numérico. Debido a su importancia, se podría
esperar que la aproximación polinomial usará estas funciones en gran medida; sin embargo,
éste no es el caso. Los polinomios de Taylor concuerdan tanto como es posible con una
IXQFLyQGDGDHQXQSXQWRHVSHFtÀFRSHURFRQFHQWUDQVXSUHFLVLyQFHUFDGHHVHSXQWR8Q
buen polinomio de aproximación debe dar precisión relativa sobre un intervalo completo y,
en general, los polinomios de Taylor no lo hacen. Por ejemplo, suponga que calculamos los
3.1
Interpolación y el polinomio de Lagrange
79
primeros seis polinomios de Taylor alrededor de x0 5 0 para f (x) 5 e x. Ya que las derivadas
de f (x) son todas ex, que evaluadas en x0 5 0 dan 1, los polinomios de Taylor son
Se publicó muy poco del trabajo
de Weierstrass durante su vida;
no obstante, sus conferencias,
en especial sobre la teoría de las
IXQFLRQHVLQÁX\HURQGHPDQHUD
VLJQLÀFDWLYDHQXQDJHQHUDFLyQ
completa de estudiantes.
P0 (x) = 1,
P1 (x) = 1 + x,
P4 (x) = 1 + x +
x2
,
2
P2 (x) = 1 + x +
x3
x4
x2
+
+ ,
2
6
24
P3 (x) = 1 + x +
P5 (x) = 1 + x +
y
x3
x2
+ ,
2
6
x3
x4
x5
x2
+
+
+
.
2
6
24 120
/DVJUiÀFDVGHORVSROLQRPLRVVHPXHVWUDQHQODÀJXUD REVHUYHTXHLQFOXVRSDUD
los polinomios de grado más alto, el error empeora progresivamente conforme nos alejamos
de cero).
Figura 3.2
y
20
y 5 P5(x)
y 5 ex
y 5 P4(x)
15
y 5 P3(x)
10
y 5 P2(x)
5
y 5 P1(x)
y 5 P0(x)
21
2
1
x
3
Aunque se obtienen mejores aproximaciones para f (x) 5 e x si se usan polinomios de
Taylor, esto no es verdad para todas las funciones. Considere, como un ejemplo extremo,
usar la expansión en polinomios de Taylor de diferentes grados para f (x) 5 1/ x alrededor de
x0 5 1 para aproximar f (3) 5 1/3. Puesto que
f (x) = x −1 , f (x) = −x −2 , f (x) = (−1)2 2 · x −3 ,
y, en general,
f (k) (x) = (−1)k k!x −k−1 ,
los polinomios de Taylor son
n
Pn (x) =
k=0
f (k) (1)
(x − 1)k =
k!
n
(−1)k (x − 1)k .
k=0
Para aproximar f (3) 5 1/3 mediante P n (3) para valores cada vez mayores de n, obtenemos
los valores en la tabla 3.1 (¡un terrible fracaso!). Cuando aproximamos f (3) 5 1/3 mediante
P n (3) y para valores más grandes de n, la aproximación se vuelve cada vez más imprecisa.
Tabla 3.1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Pn (3)
1
−1
3
−5
11
−21
43
−85
80
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Para los polinomios de Taylor, toda la información que se usa en la aproximación se
concentra en el único número x0, por lo que, en general, éstos darán aproximaciones imprecisas conforme nos alejamos de x0. Esto limita la aproximación de polinomios de Taylor a
situaciones en las que las aproximaciones sólo se necesitan en números cercanos a x0. Para
SURSyVLWRVFRPSXWDFLRQDOHVRUGLQDULRVHVPiVHÀFLHQWHXVDUPpWRGRVTXHLQFOX\DQLQIRUmación en varios puntos. Consideramos esto en el resto del capítulo. El uso principal de los
polinomios de Taylor en el análisis numérico no tiene propósitos de aproximación, sino la
derivación de técnicas numéricas y el cálculo de errores.
Polinomios de interpolación de Lagrange
El problema de determinar un polinomio de grado uno que pasa por diferentes puntos (x0, y0)
y (x1, y1) es igual al de aproximar una función f para la que f(x0 ) 5 y0 y f (x1 ) 5 y1 por medio
de un polinomio de primer grado que se interpola, o que coincida con los valores de f en
los puntos determinados. El uso de estos polinomios para aproximación dentro del intervalo
GHWHUPLQDGRPHGLDQWHSXQWRVÀQDOHVUHFLEHHOQRPEUHGHinterpolación.
'HÀQDODVIXQFLRQHV
L 0 (x) =
x − x1
x0 − x1
y L 1 (x) =
x − x0
.
x1 − x0
El polinomio de interpolación de Lagrange lineal a través de (x0, y0) y (x1, y1) es
P(x) = L 0 (x) f (x0 ) + L 1 (x) f (x1 ) =
x − x1
x − x0
f (x0 ) +
f (x1 ).
x0 − x1
x1 − x0
Observe que
L 0 (x0 ) = 1,
L 0 (x1 ) = 0,
L 1 (x0 ) = 0,
y L 1 (x1 ) = 1,
lo cual implica que
P(x0 ) = 1 · f (x0 ) + 0 · f (x1 ) = f (x0 ) = y0
y
P(x1 ) = 0 · f (x0 ) + 1 · f (x1 ) = f (x1 ) = y1 .
Por lo que P es el único polinomio de grado a lo más 1 que pasa por (x0, y0) y (x1, y1).
Ejemplo 1
Determine el polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por los puntos (2, 4) y (5, 1).
Solución en este caso, tenemos
L 0 (x) =
1
x −5
= − (x − 5) y
2−5
3
L 1 (x) =
1
x −2
= (x − 2),
5−2
3
por lo que
1
4
20 1
2
1
+ x − = −x + 6.
P(x) = − (x − 5) · 4 + (x − 2) · 1 = − x +
3
3
3
3
3
3
/DJUiÀFDGHy 5 P(x VHPXHVWUDHQODÀJXUD
3.1
Interpolación y el polinomio de Lagrange
81
Figura 3.3
y
(2,4)
4
3
2
y 5 P(x) = 2x 1 6
1
1
2
3
4
(5,1)
5
x
Para generalizar el concepto de interpolación lineal, considere la construcción de un
polinomio de grado n que pasa a través de n 1 1 puntos
(x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )), . . . , (xn , f (xn )).
9pDVHODÀJXUD
Figura 3.4
y
y 5 f (x)
y 5 P(x)
x0
x1
x2
xn
x
En este caso, primero construimos, para cada k 5 0, 1, 7, n, una función L n,k (x) con la
propiedad de que Ln,k (xi ) = 0 cuando i = k y L n,k (x k) 5 1. Para satisfacer Ln,k (xi ) = 0 para
cada i = k se requiere que el numerador de L n,k (x) contenga el término
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn ).
Para satisfacer L n,k (x k) 5 1, el denominador de L n,k (x) debe ser el mismo término, pero
evaluado en x 5 xk. Por lo tanto,
L n,k (x) =
(x − x0 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn )
.
(xk − x0 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )
8QERVTXHMRGHODJUiÀFDGHXQDL n,k (cuando n HVSDU VHPXHVWUDHQODÀJXUD
82
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Figura 3.5
L n,k(x)
1
x0
x1
...
x k21
xk
x k11
...
x n21
xn
x
El polinomio de interpolación se describe fácilmente una vez que se conoce la forma
L n,k . Este polinomio, llamado enésimo polinomio de interpolación de Lagrange,VHGHÀQH
en el siguiente teorema.
Teorema 3.2
La fórmula de interpolación
nombrada por Joseph Louis
Lagrange (1736–1813)
probablemente era conocida
por Newton alrededor de 1675,
pero al parecer fue publicada por
primera vez en 1779 por Edward
Waring (1736–1798). Lagrange
escribió mucho sobre el tema de
interpolación y su trabajo tuvo
XQDLQÁXHQFLDVLJQLÀFDWLYDVREUH
los matemáticos posteriores. Él
publicó este resultado en 1795.
Si x0, x1, 7, x n son n 1 1 números distintos y f es una función cuyos valores están determinados en estos números, entonces existe un único polinomio P(x) de grado a lo sumo n con
f (xk ) = P(xk ),
Este polinomio está determinado por
n
P(x) = f (x0 )L n,0 (x) + · · · + f (xn )L n,n (x) =
= a1 ∗ a2 ∗ a3 .
f (xk )L n,k (x),
(3.1)
k=0
donde, para cada k = 0, 1, . . . , n,
L n,k (x) =
El símbolo se usa para escribir
productos de manera compacta y
es similar al símbolo , que se
utiliza para escribir sumas. Por
ejemplo
3
i=0 ai
para cada k = 0, 1, . . . , n.
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn )
(xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )
n
=
i=0
i =k
(3.2)
(x − xi )
.
(xk − xi )
Escribiremos Ln,k (x) simplemente como L k (x) cuando no haya confusión en cuanto a
su grado.
Ejemplo 2
a)
Use los números (llamados nodos)
x0 5 2, x1 5 2.75 y x2 5 4 para encontrar el polinomio de interpolación de Lagrange
de segundo grado para f (x) 5 1/x.
b)
Use este polinomio para aproximar f(3) 5 1/3.
Solución a)3ULPHURGHWHUPLQDPRVORVFRHÀFLHQWHVSROLQyPLFRVL 0 (x), L 1 (x) y L 2 (x). En
forma anidada, estos son
L 0 (x) =
(x − 2.75)(x − 4)
2
= (x − 2.75)(x − 4),
(2 − 2.75)(2 − 4)
3
L 1 (x) =
16
(x − 2)(x − 4)
= − (x − 2)(x − 4),
(2.75 − 2)(2.75 − 4)
15
L 2 (x) =
2
(x − 2)(x − 2.75)
= (x − 2)(x − 2.75).
(4 − 2)(4 − 2.75)
5
y
3.1
Interpolación y el polinomio de Lagrange
83
Además, f (x0 ) = f (2) = 1/2, f (x1 ) = f (2.75) = 4/11, y f (x2 ) = f (4) = 1/4, por lo
que
2
P(x) =
f (xk )L k (x)
k=0
1
64
1
(x − 2.75)(x − 4) −
(x − 2)(x − 4) + (x − 2)(x − 2.75)
3
165
10
49
1 2 35
x − x+ .
=
22
88
44
=
b) Una aproximación para f (3) = 1/3 (véase la figura 3.6) es
f (3) ≈ P(3) =
105 49
29
9
−
+
=
≈ 0.32955.
22
88
44
88
Recuerde que en la sección de apertura de este capítulo (consulte la tabla 3.1), encontramos
que ninguna expansión en polinomios de Taylor alrededor de x0 5 1 se puede usar para
aproximar razonablemente f(x) 5 1/x en x 5 3.
Figura 3.6
y
4
3
2
y 5 f (x)
1
y 5 P(x)
1
2
3
4
5
x
El siguiente paso es calcular un residuo o cota para el error involucrado en la aproximación de una función mediante un polinomio de interpolación.
Teorema 3.3
Existen otras formas de expresar
el término de error para el
polinomio de Lagrange, pero
ésta puede ser la forma más
útil y la que concuerda más
estrechamente con la forma de
error del polinomio estándar
de Taylor.
Suponga x0 , x1 , . . . , xnVRQQ~PHURVGLVWLQWRVHQHOLQWHUYDOR>a, b] y f ∈ C n+1 [a, b]. Entonces, para cada x en >a, b], existe un número ξ(x) (generalmente no conocido) entre mín {x0,
x1, 7, xn} y máx{x0, x1, 7, xn} y, por lo tanto, en (a, b), con
f (x) = P(x) +
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ),
(n + 1)!
(3.3)
donde P(x) es el polinomio de interpolación determinado en la ecuación (3.1).
Demostración Primero observe que si x 5 x k para cualquier k 5 0, 1, 7, n, entonces f(xk ) 5
P(x k ) y al elegir ξ (x k )de manera arbitraria en (a, b) se obtiene la ecuación (3.3).
84
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Si x = xk , para todas las k = 0, 1, . . . , nGHÀQDODIXQFLyQg para tHQ>a, b] mediante
g(t) = f (t) − P(t) − [ f (x) − P(x)]
(t − x0 )(t − x1 ) · · · (t − xn )
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
n
= f (t) − P(t) − [ f (x) − P(x)]
i=0
(t − xi )
.
(x − xi )
Puesto que f ∈ C n+1 [a, b], y P ∈ C ∞ [a, b], se sigue que g ∈ C n+1 [a, b]. Para t = xk ,
tenemos
n
g(xk ) = f (xk ) − P(xk ) − [ f (x) − P(x)]
i=0
(xk − xi )
= 0 − [ f (x) − P(x)] · 0 = 0.
(x − xi )
Además,
n
g(x) = f (x) − P(x) − [ f (x) − P(x)]
i=0
(x − xi )
= f (x) − P(x) − [ f (x) − P(x)] = 0.
(x − xi )
Por lo tanto, g ∈ C n+1 [a, b], y g se anula en los n 1 2 números distintos x, x0 , x1 , . . . , xn.
Por el teorema generalizado de Rolle 1.10, existe un número ξ en (a, b) para el que
g (n+1) (ξ ) = 0.Por lo que,
0 = g (n + 1) (ξ ) = f (n+1) (ξ ) − P (n+1) (ξ ) − [ f (x) − P(x)]
d n+1
dt n+1
n
i=0
(t − xi )
(x − xi )
. (3.4)
t=ξ
Sin embargo, P(x) es un polinomio de grado a lo sumo n, por lo que la derivada (n 1 1),
n
P (n+1) (x), es cero. Además i=0 [(t − xi )/(x − xi )] es un polinomio de grado (n 1 1), por
lo que
n
i=0
(t − xi )
=
(x − xi )
1
n
i=0 (x
− xi )
t n+1 + (términos de menor grado en t),
y
d n+1
dt n+1
n
i=0
(t − xi )
=
(x − xi )
(n + 1)!
.
− xi )
n
i=0 (x
Ahora, la ecuación (3.4) se convierte en
0 = f (n+1) (ξ ) − 0 − [ f (x) − P(x)]
(n + 1)!
,
− xi )
n
i=0 (x
y, después de resolver f (x), tenemos
f (x) = P(x) +
f (n+1) (ξ )
(n + 1)!
n
(x − xi ).
i=0
La fórmula de error en el teorema 3.3 es un resultado teórico importante porque los
polinomios de Lagrange se usan ampliamente para deducir la diferenciación numérica y
los métodos de integración. Las cotas de error para estas técnicas se obtienen a partir de la
fórmula del error de Lagrange.
Observe que la forma del error para el polinomio de Lagrange es bastante similar a la
del polinomio de Taylor. El enésimo polinomio de Taylor alrededor de x0 concentra toda
la información conocida en x0 y tiene un término de error de la forma
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
3.1
Interpolación y el polinomio de Lagrange
85
El polinomio de Lagrange de grado n utiliza información en los distintos números x0, x1,
, xn y, en lugar de (x 2 x0)n su fórmula de error utiliza el producto de los n 1 1 términos
(x − x0 ), (x − x1 ), . . . , (x − xn ):
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ).
(n + 1)!
Ejemplo 3
En el ejemplo 2 encontramos el segundo polinomio de Lagrange para f(x) 5 1/x HQ>@
usando los nodos x0 5 2, x1 5 2.75 y x2 = 4. Determine la forma del error para este polinomio
y el error máximo cuando el polinomio se usa para aproximar f (x) para x ∈ >@
Como f (x) = x −1, tenemos
Solución
f (x) = −x −2 ,
f (x) = 2x −3 ,
y
f (x) = −6x −4 .
En consecuencia, el segundo polinomio de Lagrange tiene el error de la forma
f (ξ(x))
(x− x0 )(x− x1 )(x− x2 ) = − (ξ(x))−4 (x− 2)(x− 2.75)(x− 4), para ξ(x)en(2, 4).
3!
El valor máximo de (ξ(x))−4 en el intervalo es 2−4 = 1/16. Ahora necesitamos determinar el
valor máximo en este intervalo del valor absoluto del polinomio
g(x) = (x − 2)(x − 2.75)(x − 4) = x 3 −
35 2 49
x + x − 22.
4
2
Como
Dx
x3 −
35 2 49
x + x − 22
4
2
= 3x 2 −
49
1
35
x+
= (3x − 7)(2x − 7),
2
2
2
los puntos críticos se presentan en
x=
7
, con g
3
7
3
=
25
,
108
y
x=
7
, con g
2
7
2
=−
9
.
16
Por lo tanto, el error máximo es
1
9
9
f (ξ(x))
|(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )| ≤
≈ 0.03515625.
−
=
3!
16
16
256
El siguiente ejemplo ilustra cómo se puede usar la fórmula del error para preparar una
tabla de datos que garantizará un error de interpolación dentro de una cota establecida.
Ejemplo 4
Suponga que se va a preparar una tabla para la función f (x) = e x , para x en [0, 1]. Imagine
que el número de lugares decimales proporcionado por entrada es d $ 8 y que h, el tamaño
del paso es la diferencia entre valores adyacentes x. ¿Qué tamaño de paso h garantizará que
la interpolación lineal proporcione un error absoluto a lo máximo de 10–6 para todas las x
HQ>@"
Solución
Sean x0, x1, 7 los números en los que se evalúa f y xHVWiHQ>@\VXSRQJDTXHj
satisface xj # x # x j 11. La ecuación (3.3) implica que el error en la interpolación lineal es
| f (x) − P(x)| =
f (2) (ξ )
| f (2) (ξ )|
(x − x j )(x − x j+1 ) =
|(x − x j )||(x − x j+1 )|.
2!
2
Como el tamaño del paso es h, entonces x j = j h, x j+1 = ( j + 1)h, y
| f (x) − P(x)| ≤
| f (2) (ξ )|
|(x − j h)(x − ( j + 1)h)|.
2!
86
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Por lo tanto,
máxξ ∈[0,1] eξ
máx |(x − j h)(x − ( j + 1)h)|
x j ≤x≤x j+1
2
e
≤
máx |(x − j h)(x − ( j + 1)h)|.
2 x j ≤x≤x j+1
| f (x) − P(x)| ≤
Considere la función g(x) = (x − j h)(x − ( j + 1)h), para j h ≤ x ≤ ( j + 1)h. Luego
g (x) = (x − ( j + 1)h) + (x − j h) = 2 x − j h −
h
2
,
el único punto crítico para g se encuentra en x = j h + h/2, con g( j h + h/2) = (h/2)2
= h 2 /4.
Puesto que g( j h) = 0 y g(( j + 1)h) = 0, el valor máximo de |g (x)| en [j h, ( j + 1)h]
se debe presentar en el punto crítico, lo cual implica que (véase el ejercicio 21)
| f (x) − P(x)| ≤
e
2
máx
x j ≤x≤x j+1
|g(x)| ≤
e h2
eh 2
·
=
.
2 4
8
Por consiguiente, para garantizar que el error en la interpolación lineal está acotado por
1026HVVXÀFLHQWHHOHJLUh de tal forma que
eh 2
≤ 10−6 .
8
Esto implica que
h < 1.72 × 10−3 .
Puesto que n 5 (1 2 0)/h debe ser un entero, una selección razonable para el tamaño del
paso es h 5 0.001.
La sección Conjunto de ejercicios 3.1 está disponible en línea. Encuentre la ruta de
acceso en las páginas preliminares.
3.2 Aproximación de datos y método de Neville
En la sección anterior encontramos una representación explícita para los polinomios de Lagrange y su error cuando se aproxima una función sobre un intervalo. El uso frecuente de
estos polinomios implica la interpolación de datos tabulados. En este caso, una representación explícita del polinomio podría no ser necesaria, sólo los valores del polinomio en
SXQWRVHVSHFtÀFRV(QHVWDVLWXDFLyQVHUtDSRVLEOHTXHODIXQFLyQVXE\DFHQWHDORVGDWRVQR
se conozca, por lo que la forma explícita del error no se puede usar. Ahora, ilustraremos una
aplicación práctica de interpolación en dicha situación.
Ilustración
Tabla 3.2
x
f (x)
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
0.7651977
0.6200860
0.4554022
0.2818186
0.1103623
La tabla 3.2 lista los valores de una función f en diferentes puntos. Las aproximaciones para
f (1.5) obtenidas con distintos polinomios de Lagrange que usan estos datos se comparará
para probar y determinar la precisión de la aproximación.
El polinomio lineal más apropiado usa x0 5 1.3 y x1 5 1.6 porque 1.5 se encuentra entre 1.3
y 1.6. El valor del polinomio de interpolación en 1.5 es
P1 (1.5) =
=
(1.5 − 1.3)
(1.5 − 1.6)
f (1.3) +
f (1.6)
(1.3 − 1.6)
(1.6 − 1.3)
(1.5 − 1.3)
(1.5 − 1.6)
(0.6200860) +
(0.4554022) = 0.5102968.
(1.3 − 1.6)
(1.6 − 1.3)
3.2
Aproximación de datos y método de Neville
87
Es posible usar razonablemente dos polinomios de grado dos, uno con x0 5 1.3, x1 5 1.6 y
x2 5 1.9, lo cual nos da
P2 (1.5) =
(1.5 − 1.3)(1.5 − 1.9)
(1.5 − 1.6)(1.5 − 1.9)
(0.6200860) +
(0.4554022)
(1.3 − 1.6)(1.3 − 1.9)
(1.6 − 1.3)(1.6 − 1.9)
+
(1.5 − 1.3)(1.5 − 1.6)
(0.2818186) = 0.5112857,
(1.9 − 1.3)(1.9 − 1.6)
y uno con x0 5 1.0, x1 5 1.3 y x2 5 1.6, lo cual nos da P̂2 (1.5) = 0.5124715.
En el caso de tercer grado, también hay dos opciones razonables para el polinomio, una
con x0 5 1.3, x1 5 1.6, x2 5 1.9 y x3 5 2.2, lo cual nos da P3(1.5) 5 0.5118302. La segunda
aproximación de tercer grado se obtiene con x0 51.0, x1 5 1.3, x2 5 1.6 y x3 5 1.9, lo cual
nos da P̂3 (1.5) = 0.5118127.
El polinomio de Lagrange de cuarto grado usa todas las entradas en la tabla. Con
x0 5 1.0, x1 5 1.3, x2 = 1.6, x3 5 1.9 y x4 5 2.2, la aproximación es P4(1.5) = 0.5118200.
Puesto que P3(1.5), P̂3 (1.5) y P4(1.5) concuerdan con una exactitud de 2 3 1025 unidades, esperamos este grado de precisión para estas aproximaciones. También esperamos que
P4(1.5) sea la aproximación más precisa ya que usa la mayor parte de los datos proporcionados.
/DIXQFLyQTXHHVWDPRVDSUR[LPDQGRHVHQUHDOLGDGODIXQFLyQGH%HVVHOGHSULPHUD
clase de orden cero, cuyo valor en 1.5 se conoce como 0.5118277. Por lo tanto, las verdaderas precisiones de las aproximaciones son las siguientes:
|P1 (1.5) − f (1.5)| ≈ 1.53 × 10−3 ,
|P2 (1.5) − f (1.5)| ≈ 5.42 × 10−4 ,
| P̂2 (1.5) − f (1.5)| ≈ 6.44 × 10−4 ,
|P3 (1.5) − f (1.5)| ≈ 2.5 × 10−6 ,
| P̂3 (1.5) − f (1.5)| ≈ 1.50 × 10−5 ,
|P4 (1.5) − f (1.5)| ≈ 7.7 × 10−6 .
Aunque P3(1.5) es la aproximación más precisa, si no conocemos el valor real de f (1.5),
aceptaríamos P4(1.5) como la mejor aproximación ya que incluye la mayor cantidad de datos sobre la función. El término del error de Lagrange derivado del teorema 3.3 no se puede
aplicar aquí porque no conocemos la cuarta derivada de f. Por desgracia, este casi siempre
es el caso.
Método de Neville
8QDGLÀFXOWDGSUiFWLFDFRQODLQWHUSRODFLyQGH/DJUDQJHHVTXHHOWpUPLQRGHOHUURUHVGLItFLO
de aplicar, por lo que el grado del polinomio que se necesita para la precisión deseada en
general se desconoce hasta que se realizan los cálculos. Una práctica común es calcular los
resultados dados a partir de diferentes polinomios hasta que se obtiene el acuerdo apropiado, como se hizo en la ilustración anterior. Sin embargo, el trabajo efectuado al calcular la
aproximación con el segundo polinomio no disminuye el trabajo necesario para calcular
la tercera aproximación, ni la cuarta aproximación es fácil de obtener una vez que se conoce la
tercera aproximación y así sucesivamente. Ahora, derivaremos estos polinomios de aproximación de una manera que use los cálculos previos para una mayor ventaja.
Definición 3.4
Sea fXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQx0 , x1 , x2 , . . . , xn y suponga que m 1 , m 2 , . . . , m k son k enteros
diferentes, con 0 ≤ m i ≤ n para cada i. El polinomio de Lagrange que concuerda con f(x)
en los puntos k xm 1 , xm 2 , . . . , xm k se denota Pm 1 ,m 2 ,... ,m k (x).
88
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Ejemplo 1
Suponga que x0 5 1, x1 5 2, x2 5 3, x3 5 4, x4 5 6 y f(x) = ex. Determine el polinomio de
interpolación que se denota P1,2,4(x) y use este polinomio para aproximar f(5).
Solución
Éste es el polinomio de Lagrange que concuerda con f(x) en x1 5 2, x2 5 3 y
x4 5 6. Por lo tanto,
P1,2,4 (x) =
(x − 3)(x − 6) 2 (x − 2)(x − 6) 3 (x − 2)(x − 3) 6
e +
e +
e .
(2 − 3)(2 − 6)
(3 − 2)(3 − 6)
(6 − 2)(6 − 3)
por lo que,
f (5) ≈ P(5) =
(5 − 3)(5 − 6) 2 (5 − 2)(5 − 6) 3 (5 − 2)(5 − 3) 6
e +
e +
e
(2 − 3)(2 − 6)
(3 − 2)(3 − 6)
(6 − 2)(6 − 3)
1
1
= − e2 + e3 + e6 ≈ 218.105.
2
2
El siguiente resultado describe un método para generar de forma recursiva las aproximaciones del polinomio de Lagrange.
Teorema 3.5
Sea f GHÀQLGDHQx0, x1, 7, xk y sean xj y xi dos números distintos en este conjunto. Entonces
P(x) =
(x − x j )P0,1,... , j−1, j+1,... ,k (x) − (x − xi )P0,1,... ,i−1,i+1,... ,k (x)
(xi − x j )
es el k-ésimo polinomio de Lagrange que interpola f en los puntos k 1 1 x0, x1, 7, xk.
Para la facilidad de la notación, sea Q ≡ P0,1,... ,i−1,i+1,... ,k y Q̂ ≡ P0,1,... ,
Puesto que Q(x) y Q̂(x) son polinomios de grado k 2 1 o menos, P(x) es de
grado máximo k.
Primero, observe que Q̂(xi ) = f (xi ) implica que
Demostración
j−1, j+1,... ,k .
P(xi ) =
(xi − x j ) Q̂(xi ) − (xi − xi )Q(xi )
(xi − x j )
f (xi ) = f (xi ).
=
xi − x j
(xi − x j )
Similarmente, como Q(x j ) = f (x j ), tenemos que P(x j ) = f (x j ).
Además, si 0 ≤ r ≤ k y r no es i ni j, entonces Q(xr ) = Q̂(xr ) = f (xr ). Por lo tanto,
P(xr ) =
(xr − x j ) Q̂(xr ) − (xr − xi )Q(xr )
(xi − x j )
f (xr ) = f (xr ).
=
xi − x j
(xi − x j )
3HURSRUGHÀQLFLyQP0,1,... ,k (x) es el único polinomio de grado máximo k que concuerda con
f en x0 , x1 , . . . , xk . Por lo tanto P ≡ P0,1,... ,k .
El teorema 3.5 implica que los polinomios de interpolación pueden generarse de manera
recursiva. Por ejemplo, tenemos
P0,1 =
P0,1,2 =
1
[(x − x0 )P1 + (x − x1 )P0 ],
x1 − x0
P1,2 =
1
[(x − x1 )P2 + (x − x2 )P1 ],
x2 − x1
1
[(x − x0 )P1,2 + (x − x2 )P0,1 ],
x2 − x0
y así sucesivamente. Estos se generan de la manera que se muestra en la tabla 3.3, donde
FDGDÀODVHFRPSOHWDDQWHVGHTXHODVÀODVVXFHVLYDVFRPLHQFHQ
3.2
Tabla 3.3
Eric Harold Neville (1889–1961)
DSRUWyHVWDPRGLÀFDFLyQGH
la fórmula de Lagrange en un
DUWtFXORSXEOLFDGRHQ>[email protected]
x0
x1
x2
x3
x4
P0
P1
P2
P3
P4
P0,1
P1,2
P2,3
P3,4
P0,1,2
P1,2,3
P2,3,4
P0,1,2,3
P1,2,3,4
Aproximación de datos y método de Neville
89
P0,1,2,3,4
El procedimiento que usa el resultado del teorema 3.5 para generar recursivamente las
aproximaciones de polinomios de interpolación recibe el nombre de método de Neville. La
notación P que se usa en la tabla 3.3 es pesada debido al número de subíndices que se utilizan
para representar las entradas. Observe, sin embargo, que mientras se construye un arreglo,
sólo se necesitan dos subíndices. El procedimiento hacia abajo en la tabla corresponde al
uso consecutivo de los puntos xi con una i más grande, y el procedimiento hacia la derecha
corresponde al incremento del grado del polinomio de interpolación. Puesto que los puntos
aparecen de manera consecutiva en cada entrada, necesitamos describir sólo un punto de
inicio y el número de puntos adicionales que se usan en la construcción de la aproximación.
Para evitar los múltiples índices, dejamos que Qi,j (x) para 0 ≤ j ≤ i, denote el polinomio
de interpolación de grado j en los números (j + 1) xi− j , xi− j+1 , . . . , xi−1 , xi ; es decir
Q i, j = Pi− j,i− j+1,... ,i−1,i .
Usando esta notación obtenemos el arreglo de notación Q en la tabla 3.4.
Tabla 3.4
Ejemplo 2
Tabla 3.5
x
f (x)
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
0.7651977
0.6200860
0.4554022
0.2818186
0.1103623
x0
x1
x2
x3
x4
P0
P1
P2
P3
P4
=
=
=
=
=
Q 0,0
Q 1,0
Q 2,0
Q 3,0
Q 4,0
P0,1
P1,2
P2,3
P3,4
=
=
=
=
Q 1,1
Q 2,1
Q 3,1
Q 4,1
P0,1,2 = Q 2,2
P1,2,3 = Q 3,2
P2,3,4 = Q 4,2
P0,1,2,3 = Q 3,3
P1,2,3,4 = Q 4,3
P0,1,2,3,4 = Q 4,4
Los valores de diferentes polinomios de interpolación en x 5 1.5 se obtuvieron en la ilustración al inicio de esta sección usando los datos que se muestran en la tabla 3.5. Aplique el
método de Neville a los datos mediante la construcción de una tabla recursiva de la forma
que se observa en la tabla 3.4.
Solución
Sea x0 5 1.0, x1 5 1.3, x2 5 1.6, x3 5 1.9 y x4 = 2.2, entonces Q0,0 5 f (1.0), Q1,0
5 f(1.3), Q2,0 5 f(1.6), Q3,0 5 f(1.9) y Q4,0 5 f(2.2). Estos son los cinco polinomios de grado
cero (constantes) que aproximan f(1.5) y son iguales a los datos que se proporcionan en la
tabla 3.5.
Al calcular la aproximación de primer grado Q1,1 (1.5) obtenemos
Q 1,1 (1.5) =
(x − x0 )Q 1,0 − (x − x1 )Q 0,0
x1 − x0
(1.5 − 1.0)Q 1,0 − (1.5 − 1.3)Q 0,0
1.3 − 1.0
0.5(0.6200860) − 0.2(0.7651977)
= 0.5233449.
=
0.3
=
De igual forma,
Q 2,1 (1.5) =
(1.5 − 1.3)(0.4554022) − (1.5 − 1.6)(0.6200860)
= 0.5102968,
1.6 − 1.3
Q 3,1 (1.5) = 0.5132634,
y
Q 4,1 (1.5) = 0.5104270.
90
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
Se espera que la mejor aproximación lineal sea Q2,1 porque 1.5 se encuentra entre
x1 5 1.3 y x2 5 1.6.
De manera similar, las aproximaciones usando polinomios de grado superior están dadas por
Q 2,2 (1.5) =
(1.5 − 1.0)(0.5102968) − (1.5 − 1.6)(0.5233449)
= 0.5124715,
1.6 − 1.0
Q 3,2 (1.5) = 0.5112857,
Q 4,2 (1.5) = 0.5137361.
y
Las aproximaciones de grado superior se generan de una manera similar y se muestran
en la tabla 3.6.
Tabla 3.6
1.0
1.3
1.6
1.9
2.2
0.7651977
0.6200860
0.4554022
0.2818186
0.1103623
0.5233449
0.5102968
0.5132634
0.5104270
0.5124715
0.5112857
0.5137361
0.5118127
0.5118302
0.5118200
Si la última aproximación Q4,4 QRIXHVXÀFLHQWHPHQWHSUHFLVDVHUtDSRVLEOHVHOHFFLRQDU
otro nodo x5\DxDGLURWUDÀODDODWDEOD
x5
Q 5,0
Q 5,1
Q 5,2
Q 5,3
Q 5,4
Q 5,5 .
Entonces Q4,4, Q5,4 y Q5,5 podrían compararse para determinar la precisión posterior.
/DIXQFLyQHQHOHMHPSORHVODIXQFLyQGH%HVVHOGHSULPHUDFODVHGHRUGHQFHURFX\R
valor en 2.5 es 2\ODVLJXLHQWHÀODGHDSUR[LPDFLRQHVSDUDf(1.5) es
2.5
− 0.0483838
0.4807699
0.5301984
0.5119070
0.5118430
0.5118277.
La última nueva entrada, 0.5118277, es correcta para siete lugares decimales.
Ejemplo 3
Tabla 3.7
i
xi
ln xi
0
1
2
2.0
2.2
2.3
0.6931
0.7885
0.8329
La tabla 3.7 lista los valores de f(x) 5 ln x precisos para los lugares dados. Use el método
de Neville y la aritmética de redondeo de cuatro dígitos para aproximar f (2.1) 5 ln 2.1 al
completar la tabla de Neville.
Solución Puesto que x 2 x0 5 0.1, x 2 x1 5 20.1 y x 2 x2 5 20.2, tenemos Q0,0 5 0.6931,
Q1,0 5 0.7885 y Q2,0 5 0.8329,
Q 1,1 =
1
0.1482
= 0.7410
[(0.1)0.7885 − (−0.1)0.6931] =
0.2
0.2
Q 2,1 =
1
0.07441
= 0.7441.
[(−0.1)0.8329 − (−0.2)0.7885] =
0.1
0.1
y
La aproximación final que podemos obtener a partir de estos datos es
Q 2,1 =
1
0.2276
= 0.7420.
[(0.1)0.7441 − (−0.2)0.7410] =
0.3
0.3
Estos valores se muestran en la tabla 3.8.
Tabla 3.8
i
xi
x − xi
Q i0
Q i1
Q i2
0
1
2
2.0
2.2
2.3
0.1
−0.1
−0.2
0.6931
0.7885
0.8329
0.7410
0.7441
0.7420
3.3
Diferencias divididas
91
En el ejemplo anterior, tenemos f(2.1) 5 ln 2.1 5 0.7419 para cuatro lugares decimales,
por lo que el error absoluto es
| f (2.1) − P2 (2.1)| = |0.7419 − 0.7420| = 10−4 .
Sin embargo, f (x) = 1/x, f (x) = −1/x 2 , y f (x) = 2/x 3, por lo que la fórmula de error
de Lagrange (3.3) en el teorema 3.3 nos da la cota del de error
| f (2.1) − P2 (2.1)| =
=
f (ξ(2.1))
(x − x 0 )(x − x1 )(x − x2 )
3!
1
0.002
(0.1)(−0.1)(−0.2) ≤
= 8.3 × 10−5 .
3
3(2)3
3 (ξ(2.1))
Observe que el error real, 1024, excede la cota del error, 8.3 × 10−5. Esta aparente conWUDGLFFLyQHVXQDFRQVHFXHQFLDGHORVFiOFXORVGHGtJLWRVÀQLWRV1RVRWURVXVDPRVODDULWmética de redondeo de cuatro dígitos, y la fórmula del error de Lagrange (3.3) supone la
DULWPpWLFDGHGtJLWRVLQÀQLWRV(VWRFDXVyTXHQXHVWURVHUURUHVUHDOHVH[FHGLHUDQHOFiOFXOR
de error teórico.
• Recuerde: No puede esperar mayor precisión de la proporcionada por la aritmética.
(ODOJRULWPRFRQVWUX\HSRUÀODVODVHQWUDGDVHQHOPpWRGRGH1HYLOOH
ALGORITMO
3.1
Interpolación iterada de Neville
Para evaluar el polinomio de interpolación P en los diferentes números n 1 1, x0, 7, xn en
el número x para la función f :
ENTRADA números x, x0 , x1 , . . . , xn ; valores f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn ) como la primera
columna Q 0,0 , Q 1,0 , . . . , Q n,0 de Q.
SALIDA
la tabla Q con P(x) = Q n,n .
Paso 1 Para i = 1, 2, . . . , n
para j = 1, 2, . . . , i
haga Q i, j =
(x − xi− j )Q i, j−1 − (x − xi )Q i−1, j−1
.
xi − xi− j
Paso 2 SALIDA (Q);
PARE.
La sección Conjunto de ejercicios 3.2 está disponible en línea. Encuentre la ruta de
acceso en las páginas preliminares.
3.3 Diferencias divididas
La interpolación iterada se usó en la sección previa para generar sucesivamente aproximaFLRQHVSROLQRPLDOHVGHJUDGRVXSHULRUHQXQSXQWRHVSHFtÀFR/RVPpWRGRVGHGLIHUHQFLD
dividida que se presentan en esta sección se usan para generar sucesivamente los polinomios
en sí mismos.
Diferencias divididas
Suponga que Pn(x) es el enésimo polinomio de interpolación que concuerda con la función f
en los diferentes números x0, x1, 7, xn. A pesar de que este polinomio es único, existen re-
92
CAPÍTULO 3
Interpolación y aproximación polinomial
presentaciones algebraicas que son útiles en ciertas situaciones. Las diferencias divididas de
f respecto a x0, x1, 7, xn se usan para expresar Pn(x) en la forma
Pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 ) · · · (x − xn−1 ), (3.5)
para constantes apropiadas a0, a1, 7, an. Para determinar la primera de estas constantes, a0,
observe que si Pn(x) se escribe en la forma de la ecuación (3.5), entonces evaluando Pn(x) en
x0 queda sólo el término constante a0; es decir,
a0 = Pn (x0 ) = f (x0 ).
Como en muchas áreas, Isaac
Newton es prominente en
el estudio de ecuaciones de
diferencia. Desarrolló fórmulas
de interpolación desde 1675,
usando su notación en tablas
de diferencias. Adoptó un
enfoque muy general hacia las
fórmulas de diferencias, por lo
que los ejemplos explícitos que
produjo, incluyendo las fórmulas
de Lagrange, a menudo son
conocidas con otros nombres.
Similarmente, cuando P(x) se evalúa en x1, los únicos términos diferentes de cero en la
evaluación de Pn(x1) son los términos constante y lineal,
f (x0 ) + a1 (x1 − x0 ) = Pn (x1 ) = f (x1 );
por lo que
a1 =
f (x1 ) − f (x0 )
.
x1 − x0
(3.6)
Ahora presentaremos la notación de diferencias divididas, que se relaciona con la notación 2 de Aitkens que se usó en la sección 2.5. La ceroésima diferencia dividida de la
función f respecto a xi, denotada f >xi], es simplemente el valor de f en xi:
f [xi ] = f (xi ).
(3.7)
/DVGLIHUHQFLDVGLYLGLGDVUHVWDQWHVVHGHÀQHQGHPDQHUDUHFXUVLYDODprimera diferencia
dividida de f respecto a xi y xi+1 se denota f [xi , xi+1 ] \VHGHÀQHFRPR
f [xi , xi+1 ] =
f [xi+1 ] − f [xi ]
.
xi+1 − xi
(3.8)
La segunda diferencia dividida, f [xi , xi+1 , xi+2 ], VHGHÀQHFRPR
f [xi , xi+1 , xi+2 ] =
f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi , xi+1 ]
.
xi+2 − xi
De igual forma, después de que las (k 21) -ésimas diferencias divididas,
f [xi , xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k−1 ] y
f [xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k−1 , xi+k ],
se han determinado, la k-ésima diferencia dividida relativa a xi , xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k es
f [xi , xi+1 , . . . , xi+k−1 , xi+k ] =
f [xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k ] − f [xi , xi+1 , . . . , xi+k−1 ]
.
xi+k − xi
(3.9)
El proceso termina con la única enésima diferencia dividida,
f [x0 , x1 , . . . , xn ] =
f [x1 , x2 , . . . , xn ] − f [x0 , x1 , . . . , xn−1 ]
.
xn − x0
Debido a la ecuación (3.6), podemos escribir a1 = f [x0 , x1 ], justo cuando a0 se puede expresar como a0 = f (x0 ) = f [x0 ]. Por lo tanto, el polinomio de interpolación en la ecuación
(3.5) es
Pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 )
+ · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ).
Análisis numérico, 10a. ed., se escribió para que los estudiantes de ingeniería,
matemáticas, ciencias de la computación puedan usarlo en los cursos sobre la teoría
y la aplicación de técnicas de aproximación numérica.
Prácticamente todos los conceptos en el texto están ilustrados con un ejemplo
y contiene más de 2 500 ejercicios probados en clase que van desde aplicaciones
fundamentales de métodos y algoritmos hasta generalizaciones y extensiones de
la teoría. Además, los conjuntos de ejercicios incluyen varios problemas aplicados
de diversas áreas de la ingeniería, así como de la física, la informática, la biología y las ciencias económicas y sociales. Las aplicaciones, seleccionadas de forma
clara y concisa, demuestran la manera en la que las técnicas numéricas se aplican
en situaciones de la vida real.
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