d) e) Rectas y Planos Nivel I 1. Responde verdadero (V) o falso (F): Si una recta forma un ángulo recto con una de tres rectas paralelas también lo formará con las otras dos Por un punto exterior a dos rectascruzadas siempre se puede trazar una recta perpendicular a dichas rectas Si los planos en que se encuentran dos rectas alabeadas no son secantes entonces la distancia entre ellas es perpendicular a ambos planos a) VFV d) FFV b) FVF e) VVF Cuál de las siguiente proposiciones es verdad a) Por una recta cualquiera del espacio siempre se puede pasar un plano paralelo a un plano dado. Por una recta cualquiera del espacio siempre se puede pasar un plano paralelo a una recta dada Si una reta es perpendicular a dos rectas contenidas en el plano es perpendicular al plano Si un plano es perpendicular a dos planos que se cortan, es perpendicular a su intersección Si una recta es perpendicular a dos rectas no paralelas dicha recta será secante con las otras dos c) d) e) 3. a) FVF d) FFV b) FFF e) VFF 4. Responder verdadera cuál a) Si un plano es paralelo a una recta entonces toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada Si dos rectas son paralelas a un plano entonces el plano determinado por dichas rectas es necesariamente paralelo al plano dado Si dos planos son paralelos entonces toda recta contenida en uno de ellos es paralelo al otro plano Si dos rectas son paralelas a un plano entonces dichas rectas son secantes necesariamente Tres rectas perpendiculares a una tercera necesariamente son paralelas c) VVV 2. b) b) c) d) e) es la a) Pueden dos rectas cruzadas pertenecer a dos planos paralelos Si una recta es paralela a uno de dos planos secantes entonces lo será necesariamente el otro Cuando dos planos son perpendiculares toda recta perpendicular a la intersección de ambos debe estar contenida en uno de ellos Cuando dos planos son perpendiculares todos plano perpendicular a una de ellos es necesariamente al otro Cuando dos planos son perpendiculares todas las rectas de uno de ellos son perpendiculares al otro plano b) proposición a) Dadas dos rectas cruzadas y un punto exterior por dicho punto pasa un plano paralelo a las rectas Si una recta es paralela a un plano, entonces toda perpendicular a la recta será secante al plano Por un punto del espacio se puede trazar una recta que corte a las otras dos rectas que no se cortan ni son paralelas c) Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera c) Cuál de las siguientes proposiciones es falsa b) 6. c) VFV 5. Responder V o falso F Si un plano es paralelo a una recta entonces toda perpendicular a la recta será paralelo al plano Si una recta es paralela a un plano entonces toda recta que es perpendicular al plano tendrá que ser perpendicular a la recta Si una recta es paralela a un plano entonces todo plano perpendicular al plano dado será paralelo a la recta dada Por un punto cualquiera del espacio se puede trazar un plano perpendicular a dos planos dados Por un punto cualquiera del espacio se puede trazar un plano perpendicular a otro plano y paralelo a una recta d) e) 7. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa a) Cuando dos planos son perpendiculares, todo plano perpendicular a la intersección es perpendicular a Las proyecciones de dos e) Dados un plano y una recta no paralelas; por un punto exterior a ellos siempre es posible trazar un plano perpendicular al primero y paralelo ala recta dada Si una recta y un plano son perpendiculares todo plano que pasa por la recta es perpendicular al plano Por una recta cualquiera del espacio siempre se puede pasar un plano paralelo a un plano dado Por un punto exterior a dos planos secantes se puede trazar un plano perpendicular a ambos planos Por un punto exterior a dos rectas cruzadas se puede trazar un plano paralelo a ambas rectas d) e) 9. En una circunferencia de centro O, se inscribe el triángulo ABC recto en B, luego se traza BH perpendicular al plano ABC de modo que BH=AC, AB=6 y BC = 8. calcule OH a) 20 b) 5 10 d) 6 5 e) 10 5 c) 5 5 10. En un mismo semi espacio respecto de un plano se ubican los puntos A y B. Si la longitud de la proyección de AB sobre el plano es la mitad de la longitud de AB. Calcule la medida del ángulo entre AB y el plano. a) 30° d) 53°/2 rectas b) 60° e) 37° c) 45° 11. En un mismo semi espacio respecto del siempre paralelas d) a) c) cruzadas sobre cualquier plano son c) Cuál de las siguientes proposiciones es falsa b) ambos planos b) 8. plano se ubican los puntos A y B si la Si dos planos son secantes toda recta paralela a la intersección es paralela a los planos Por una recta oblicua a un plano pasa un plano perpendicular a dicho plano Si una recta es oblicua a un plano entonces será perpendicular a una recta contenida en el plano diferencia de las distancia de A y B hacia el plano P es 7 y la longitud de la proyección de AB en el plano P es 24. Calcule AB. 1 a) 30 b) 28 c) 25 d) 29 e) 32 contenidos en planos perpendiculares. Siendo M el punto medio de AD y la medida del ángulo ADC igual 30°. Calcule la medida del ángulo entre las rectas BM y CD. 12. En uno de los semi espacios respecto de un plano se ubica el punto A de modo que AH es la distancia del punto a) 53° b) 45° c) 60° d) 30° e) 37° A al plano y AB es la distancia del punto A a una recta del plano. Si AB = 13, HB=12. Calcule AH. a) 5 b) 5 2 c) 6 d) 8 e) 10 13. En una semi circunferencia de diámetro AB se ubica el punto Q, luego se traza BP perpendicular al plano que contiene al triangulo ABQ. Siendo M punto medio de AP y BM= BQ. Calcule la medida del ángulo MBQ. a) 45° d) 53° b) 90° e) 75° c) 60° 14. En un triángulo isósceles AOB recto en O, se traza OM perpendicular al plano del triángulo de modo que = OM 6 OA=OB=2. Luego se une M con 17. La medida del ángulo diedro determinado por los planos que contiene al rectángulo ABCD y el cuadrado ABPQ es 30°. Calcule la medida del ángulo determinado por los planos que contiene a los triángulos ABC y APD. a) 30° d) 37° 15° 60° b) 30° e) 75° c) 45° 15. Se tiene CP perpendicular al plano que contiene al rombo ABCD. Calcule la medida del ángulo entre las rectas AP y c) 53° 18. Se tienen los cuadrados ABCD y BDPQ contenidos en planos perpendiculares. Calcule la medida del ángulo determinado por las regiones AQC y ABC. a) 27°/2 d) 15° b) 37° e) 53°/2 c) 30° 19. Sea un cuadrado ABCD cuyo centro es O, se traza AP perpendicular al plano que lo contiene de modo que AP=OC. Calcule la medida del ángulo entre OP A y B. Calcule la medida del diedro AB. a) d) b) 37°/2 e) 53°/2 y CD . a) 30° b) 60° c) 45° d) 53° e) 75° 20. Las regiones cuadrangulares ABCD y ABEF están ubicados en planos perpendiculares si AD = 10 y AF=4. Calcule la distancia del unto medio de FC a AB . BD. a) 82° b) 75° c) 60° d) 90° e) 74° 16. Se tiene un triángulo equilátero ABC y el triángulo rectángulo ACD, recto en C a) 13 b) d) 10 e) 29 29 c) 17 21. En un cuadrado ABCD de centro O se traza OP perpendicular al plano que 2 contiene al cuadrado. Calcule la medida del ángulo determinado por recto. En el plano P se toma el punto A y en el plano Q se toma el punto B. Si P C y BD . AB forma con el plano P un ángulos de 30° y con el plano Q un ángulo de a) 15° d) 60° b) 30° e) 90° c) 45° 22. Sea el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero ABM ubicados en planos perpendicular y si AB=4. Determine la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AD y BM . a) 2 b) 5 c) 4 d) 8 e) 10 23. En uno de los semi espacios respecto al plano P se ubica el punto B, luego en el plano se ubican los puntos A y C, de modo que los ángulos que forman AB y BC con el plano miden 30° y 37° respectivamente, siendo AB = 6 2 . Calcule BC. a) 5 b) 4 c) 10 d) 5 2 e) 10 2 24. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABE son perpendiculares. Calcular el área de la región triangular MOD, siendo M punto medio de AE, “O” centro del cuadrado y AB = 2. a) 15 / 4 d) 5/4 b) 5/2 c) 15 / 2 e) 15/4 25. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se inscribe una circunferencia de centro O. Por O se levanta la perpendicular OK al plano de dicho triángulo si la medida del diedro AC es 45°, AB=3 y BC = 4, calcular BK. a) 1 d) b) 2 2 e) c) 3 3 26. Se tienen dos planos P y Q que se cortan en MN formando un diedro 45° y AB=2 6 , calcular la distancia entre AB y MN. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 3 e) 4 27. Si la figura es un cubo, hallar la medida del ángulo formado por L1 y L2 30º a) 37º b) 45º c) 60º d) 90º L1 L2 28. Si la figura es un cubo, hallar la medida del ángulo formado por L1 y L2 L1 a) 30º L2 b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º 29. Si la figura es un cubo, hallar la medida del ángulo formado por L1 y L2 a) 30º b) 37º c) 45º d) 60º e) 75º L1 L2 30. Si la figura es un cubo, hallar la medida del ángulo formado por L1 y L2 L1 a) 30º b) 37º c) 45º d) 90º e) 120º L2 3
