MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIAS MEDIANA Y MODA ALUMNOS: JONATHAN CÁRDENAS CONDORI PROFESORA: JESUS MATILDE BURGA VARGAS CICLO IV CURSO ESTADÍSTICA FACULTAD CIENCIAS CONTABLES Y FINANCIERAS AÑO 2018 TACNA-PERÚ OMAR MAMANI FLORES SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº1 NOMBRE DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL I. INICIO Área ESTADÍSTICA I Año Ciclo IV Tiempo 25 MINUTOS Tema transversal MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Unidad didáctica Unidad I : media Unidad 2 : Mediana Unidad 3 : Moda Título de la sesión Resolviendo las medidas de tendencia central Capaci Elaborar y usar estrategias dades Conoci Aplicación a las fórmulas de medida central Tema curricular mientos Actitud es Aplicación a las medidas de tendencia central I. CONTENIDOS: 1. medidas de tendencia central: a) Media aritmética. b) Mediana. c) Moda. II. OBJETIVOS: 2. Al término de la Sesión, los alumnos: Realizará cálculos de: o Media aritmética. o Mediana. o Moda. III. PROBLEMATIZACIÓN: ¿A qué se llama medidas de tendencia central? ¿Cómo hallar la media? ¿Cómo hallar la mediana? ¿Cómo hallar la moda? IV. DESARROLLO PROCESOS ESTRATEGIAS / ACTIVIDADES PEDAGÓGICOS TIEM RECURSO PO S Empezaremos a informar o decir a los alumnos una breve introducción INICIO del tema para que se informen un poco más de las medidas de tendencia central - Despertar el Y vayan imaginándose de lo que hablaremos. Motivación, desarrollo y evaluación permanentes de actitudes interés Diapositivas - Recuperar Interrogar: ¿Como se halla una media? ¿Se podrá hallar la moda? ¿cómo 10 saberes en (PPT) se halla una mediana? previos - Estimular el Como hallar las medidas de tendencia central ya sea mediana, media, conflicto moda cognitivo Como aplicar las formulas para encontrar una respuesta lógica al problema. MEDIAS DE TENDENCIA CENTRAL DESARROL LO - Adquirir Definición: MEDIA --- Definición, formulas y gráficos información Diapositivas 10 (PPT) - Aplicar MEDIANA ---- Definición, formulas y gráficos - Transferir lo aprendido MODA ------Definición, formas y gráficos Daremos a conocer algunos ejemplos de como hallar las media, la mediana y moda de las tendencias de medida central. CIERRE Respetar las opiniones de mis compañeros. - Reflexionar Ficha de sobre el Terminar con preguntas si hubo alguna duda y entregar una pequeña proceso de practica 10 aprendizaje para que lo resuelvan. practica INDICE CARATULA 1 SESION DE APRENDIZAJE 2 INDICE 6 INTRODUCCION 7 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 9 CLASIFICACION 10 MEDIA 11 VENTAJAS E INCONVENIENTES 15 MEDIANA 16 VENTAJAS E INCONVENIENTES 20 MODA 21 VENTAJAS E INCONVENIENTES 24 EJERCICIOS 25 CONCLUSIONES 29 ANEXO 30 BIBLIOGRAFIA 31 INTRODUCCION La historia confirma que los primeros procesos de recopilación, procesamiento y análisis de información fueron realizados por los gobernantes de las grandes civilizaciones antiguas con la finalidad de que tuvieran conocimientos de los bienes que el Estado poseía y cómo estaban distribuidos en la población. Desde entonces en muchos Estados se ordenaban estudios que les permitieran tener mayor conocimiento de determinadas características de la población, planificar los impuestos y conocer la cantidad de hombres disponibles para la guerra. Con el transcurso del tiempo ya por el siglo XVII en las sociedades era necesario hacer análisis numéricos relacionados con la salud pública, nacimientos, muertes y actividades propias del comercio, situación que determinó un perfeccionamiento paulatino de los procesos de recopilación y tratamiento de información hasta llegar a la actualidad en que el estudio y análisis de datos no se limita solamente al estudio demográfico y de la Economía. Son medidas estadísticas que se usan para describir cómo se puede resumir la localización de los datos. Ubican e identifican el punto alrededor del cual se centran los datos. Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda. El propósito de las medidas de tendencia central es: 1. Mostrar en qué lugar se ubica el elemento promedio o típica del grupo. 2. Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier valor en relación con el puntaje central o típico. 3. Sirve como un método para comparar el valor adquirido por una misma variable en dos diferentes ocasiones. 4. Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos. MEDIAS DE TENDENCIA CENTRAL (JAURLARITZA, s.f.) Se llama medidas de posición, tendencia central o centralización a unos valores numéricos en torno a los cuales se agrupan, en mayor o menor medida, los valores de una variable estadística. Estas medidas se conocen también como promedios. Para que un valor pueda ser considerado promedio, debe cumplirse que esté situado entre el menor y el mayor de la serie y que su cálculo y utilización resulten sencillos en términos matemáticos. Se distinguen dos clases principales de valores promedio: Las medidas de posición centrales: medias (aritmética, geométrica, cuadrática, ponderada), mediana y moda. Las medidas de posición no centrales: entre las que destacan especialmente los cuantiles. Las medidas de centralización son parámetros representativos de distribuciones de frecuencia como las que ilustra la imagen. SE CLASIFICA EN 3 PARTES: MEDIA (promedio) Suma de datos dividido entre la cantidad de estos. MODA Datos que mas se repite. Si son dos es bimodal, sin son 3 es trimodal. MEDIANA Datos centrales. Si son dos se saca la media de estos. MEDIA (tesis de invetigacion, 2014) Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones. Cuando los valores representan una población la ecuación se define como: Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética para una muestra está determinada como Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de la información; es decir, Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase. Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar su interpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1]. Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a Lo que nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si a estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los valores individuales, obtendríamos que la media es igual a Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debe a que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos. Para evitar estos inconvenientes, SPSS nos permite calcular las Medias, como si se trataran de valores desagrupados, aunque tiene algunos procedimientos para valores agrupados. Es importante resaltar que existe una gran variedad de medias como la Media geométrica, la Media ponderada, la Media cuadrática, etc. Por el momento sólo hacemos énfasis en la media aritmética ya que es la más utilizada, aunque se recomienda a los lectores profundizar en estos temas. La media Es el promedio o medición de tendencia central de uso más común. Se calcula sumando todas las observaciones de una serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrados. La expresión algebraica puede describirse como: Para simplificar la notación se usa convencionalmente el término: donde: = media aritmética de la muestra = sumatoria de todos los valores de Xi Media aritmética para datos no agrupados muestrales Media aritmética para datos no agrupados poblacionales Media aritmética para datos agrupados X: promedio muestral (estadístico). µ: promedio poblacional (parámetro). ∑: signo de sumatoria. N = número de datos de la población. n: número de datos de la muestra. fi: frecuencia absoluta. Xc: Marca de clase o punto medio. VENTAJAS E INCONVENIENTES: - La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la variable. - En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución. - Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados. - Es única. - Su principal inconveniente es que se ve afectada MEDIANA (Aprendiendo administracion, 2018) Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería: Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería, Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a (8 + 10) /2 =9.Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor. La mediana es el valor medio de una secuencia ordenada de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones serán menores y la otra mitad serán mayores. La mediana no se ve afectada por ninguna observación extrema de una serie de datos. Por tanto, siempre que esté presente una observación extrema es apropiada usar la mediana en vez de la media para describir una serie de datos. Para calcular la mediana de una serie de datos recolectados en su forma sin procesar, primero debemos poner los datos en una clasificación ordenada. Después usamos la fórmula de punto de posicionamiento: Para encontrar el lugar de la clasificación ordenada que corresponde al valor de la mediana, se sigue una de las dos reglas: 1. Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana se representa mediante el valor numérico correspondiente al punto de posicionamiento, la observación ordenada es (n+1) /2. 2. Si el tamaño de la muestra es un número par entonces el punto de posicionamiento cae entre las dos observaciones medias de la clasificación ordenada. La mediana es el promedio de los valores numéricos correspondientes a estas dos observaciones medias. En conclusión, la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta por ciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales. La Mediana (Me) para datos no agrupados: 1. Primero se ordenan los datos. 2. Luego se calcula la posición de la mediana con la siguiente formula: (n+1) ÷2 donde, n es el número de datos. a) Por ejemplo, se tiene una muestra de tamaño 5 con los siguientes valores: 46, 54, 42, 48 y 32. Primer paso, ordenar los datos: 32 42 46 48 54 Como la cantidad de datos es impar (5 datos), la mediana es el valor del dato que se encuentra ubicado en la posición (5+1) ÷2=3, la mediana es: Me = 46. b) Se ha obtenido una muestra con los valores de datos: 27, 25, 27, 30, 20 y 26. ¿cómo se determina la mediana en este caso? Primer paso, ordenar los datos de forma ascendente: 20 25 26 27 27 30 Como el número de datos es par (6), la mediana es el promedio de los datos que se encuentran en las posiciones (6+1) ÷1 = 3.5. Por lo tanto, la mediana es: Donde: Li: Límite inferior real de la clase que contiene la mediana. n: tamaño de la muestra. Fi-1 = AFA: Frecuencia acumulada anterior a la clase que contiene la mediana. Fi: frecuencia de clase absoluta de la clase mediana. Para identificar la clase mediana se divide n/2 y la primera clase que contenga una frecuencia acumulada mayor que n/2. n = 32, entonces n/2 = 32/2 = 16. Buscar la primera frecuencia acumulada mayor que 16, esa sera la clase mediana. Ahora se aplica la fórmula: Me = (6.95 + (((32/2 – 8) /9) *(0.9)) = 6.95 + (16 – 8) / 9)*(0.9) Me = (6.95 +(8/9) *(0.9)) = 6.95 +(0.88*0.9) Me = 6.95 + 0.79 Me = 7.75 = 7.8 VENTAJAS E INCONVENIENTES: - Es la medida más representativa en el caso de variables que solo admitan la escala ordinal. - Es fácil de calcular. - En la mediana solo influyen los valores centrales y es insensible a los valores extremos u “outliers ”. - En su determinación no intervienen todos los valores de la variable. MODA La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien sería la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal. La moda o modo es el valor de una serie de datos que aparece con más frecuencia. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. A diferencia de la media aritmética, la moda no se ve afectada por la ocurrencia de los valores extremos. Ejemplo: Los valores siguientes son las calificaciones de un alumno durante todo el año 7; 8; 9; 7; 9; 8; 8; 8; 7; 8 Podemos afirmar entonces que el modo es igual a 8, dado que es el valor que aparece con más frecuencia. En conclusión, las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último, la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos. a) Se tiene una muestra con valores 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30. Mo = 25 es Unimodal b) Se tiene una muestra con valores 20, 20, 23, 24, 25, 25, 26 y 30. Mo= 20 y 25, se dice que es bimodal. c) Se tiene una muestra con valores 20, 23, 24, 25, 25, 26, 30 y 30. Mo= 20, 25 y 30, se dice que es multimodal. En los datos agrupados La Moda es la marca de clase de la clase que contenga la mayor frecuencia absoluta. Mo = 7.4 También se puede calcular a través de la fórmula: donde Lir: límite inferior verdadero de la clase modal. fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi-1 es la frecuencia de clase absoluta anterior a la clase modal fi+1 es la frecuencia de clase absoluta posterior a la de la clase modal. i es el intervalo de clase. La clase modal es aquella que contiene la mayor frecuencia absoluta. d1 = 9 –4=4 d2 = 9 – 7 = 2 Mo = 6.95 + (4 / 4 + 2) * 0.9 = 6.95 + ( 4 / 6) * 0.9 = 6.95 + 0.66 * 0.9 Mo = 6.95 + 0.59 Mo = 7.55 = 7.6 Es mejor utilizar la fórmula para el cálculo de la moda VENTAJAS E INCONVENIENTES: - Su cálculo es sencillo. - Es de fácil interpretación. - Es la única medida de posición central que puede obtenerse en las variables de tipo cualitativo. - En su determinación no intervienen todos los valores de la distribución. EJERCICIOS TEMA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 1. Se tiene las notas de 11 alumnos en un examen de matemática: 10 ; 12 ; 09 ; 12 ; 08 ; 14 ; 12 ; 10 ; 11 ; 12 ; 08 a. ¿Cuál es la moda? A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 9 b. ¿Cuál es la mediana? A) 9 B) 10,5 C) 10 D) 11 E) 12 c. Se elimina la mayor nota. ¿Cuál es la mediana de las notas restantes? A) 10,5 B) 10 C) 11 D) 12 E) 11,5 d. Si el profesor decide desaprobar a los alumnos cuya nota sea menor que la moda. ¿Cuántos aprueban? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3 2. Se tiene los siguientes datos: 08; 04 ; 12 ; 15 ; 20 ; 20 ; 18 ; 06 ; 09 ; 11 Calcule la Media Aritmética, mediana y Moda. Da como respuesta la suma de ellas. A) 43.3 B) 43,8 C) 44 D) 44,6 E) 45 3. Para el siguiente conjunto de datos: 1; 1; 2 ; 3 ; 2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 6 ; 14; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 13 ; 7 ; 8 Determinar el promedio entre la media, moda y mediana. A) 4,12 B) 4,21 C) 5,21 D) 5,12 E) 6,12 4. Se tiene a continuación las edades de 20 alumnos de la I.E.P “NORBERT WIENER” 16 18 20 21 19 19 20 18 17 18 21 16 21 19 16 16 17 18 16 18 Se puede decir entonces que la moda es: A) Unimodal B) Bimodal C) Amodal D) Trimodal E) Multimodal 5. En la IEP “Norbert Wiener” se hizo un estudio sobre las edades de los trabajadores y se obtuvo: ¿Cuál es la media de las edades de los trabajadores? (Aproximadamente) A) 41 B) 41,4 C) 41,7 D) 40,6 E) 42 6. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. SOLUCIÓN: Ordenamos la serie de números: 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8 Moda: Mediana: Mo = 5 Me= 5+5/2 = 10/2 Media aritmética Me = 5 X= 2+2+3+3+4+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+6+6+8+8/20 = 99/20 = 4.95 7. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 14, 18. Calcular la moda, la mediana y la media aritmética. SOLUCIÓN: Ordenamos la serie de números: 13, 14, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 19 Moda: Mediana: Mo = 15 Me= 15 Media aritmética X= 13+14+15+15+15+16+18+18+19/9 = 143/9 = 15.88 8. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3. Hallar la moda, la mediana y la media aritmética. SOLUCIÓN: Ordenamos la serie de números: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Moda: Mediana: Mo = 3 Me= 3+3/2 = 6/2 = 3 Media aritmética 67/24 = 2.79 X= 1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+4+4+4/24 = 9. Las calificaciones de 36 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 8, 2, 10, 5, 6, 10, 4, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. Calcular la moda, la mediana y la media aritmética. SOLUCIÓN: Ordenamos la serie de números: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10. Moda: Mediana: Mo = 5 Me= 5+6/2 = 11/2 = 5.5 Media aritmética X= 1+2+2+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+5+5+5+6+6+6+6+6+6+6+7+7+7+7+7+7+8+9+9+10 +10/36 = 205/36 = 5.69 10. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los envejecientes que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades. 69 73 65 70 71 74 65 69 60 62 SOLUCIÓN: Ordenamos las edades de menor a mayor 60 62 65 65 69 69 70 71 73 74 Media: Me= 69 + 73 + 65 + 70 + 71 + 74 + 65 + 69 + 60 + 62/10 = 678/10 = 67.8 Quiere decir que la edad promedio de los envejecientes del asilo que pueden caminar sin dificultad es de 67.8 Mediana: Elementos intermedios: 69, 69 69 + 69 = 138/2 = 69 Por lo tanto, la mediana es de 69. Moda: Tiene 2 modas, 65 y 69. 11. Se tiene las notas de 11 alumnos en un examen de matemática:10 ; 12 ; 09 ; 12 ; 08 ; 14 ; 12 ; 10 ; 11 ; 12 ; 08. A) ¿Cuál es la moda? a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 9 La respuesta correcta es la d, ya que la nota que más se repite es el 12. B. ¿Cuál es la mediana? a) 9 b) 10,5 c) 10 d) 11 e) 12 La respuesta correcta es la d. Ordenamos los datos: 08, 08, 09, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 14 y por ser 11 datos se escoge la nota del centro que en este caso es el 11. C. Se elimina la mayor nota. ¿Cuál es la mediana de las notas restantes? a) 10,5 b) 10 c) 11 d) 12 e) 11,5 Al eliminar la mayor de las notas quedan 10, y por ser un número par escogemos las dos notas que quedan en el centro, las sumamos y dividimos por dos: Me = (10 + 11) / 2 = 21/2 = 10,5 La respuesta correcta es la a. D. Calcular la media aritmética. Sumamos las notas y el resultado lo dividimos por 11. x= (08+ 08 + 09 + 10 + 10 + 11 + 12 + 12 + 12 +12 + 14) / 11 = 118/11 = 10,72 12. Se tiene a continuación las edades de 20 alumnos de la I.E ROGERIO VELASQUEZ 16 18 20 21 19 19 20 18 17 18 21 16 21 19 16 16 17 18 16 18 se puede decir entonces que la moda es: A) Unimodal B) Bimodal C) Amodal D) Trimodal E) Multimodal Ordenamos los datos: 16 16 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 19 19 19 20 20 21 21 21 y notamos que los datos que más se repiten son el 16 y el 18 por lo tanto la moda es Bimodal ya que tiene dos modas. CONCLUSIONES Las medidas de tendencia central nos permiten identificar los valores mas representativos de los datos, de acuerdo con la manera como se tienden a concentrar. La media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada uno de las cuales cuenta con el cincuenta por ciento de los datos. La moda nos indica el valor que mas se repite dentro de los datos. ANEXO BIBLIOGRAFIA Aprendiendo administracion. (2018). Obtenido de https://aprendiendoadministracion.com/medidas-de-tendencia-central-media-medianamoda-rango-y-eje-medio/ JAURLARITZA, E. (s.f.). hiru.eus. Obtenido de http://www.hiru.eus/es/matematicas/medidas-de-tendencia-central tesis de invetigacion. (17 de 12 de 2014). Obtenido de http://tesisdeinvestig.blogspot.pe/2011/06/medidas-tendencia-central-mediamediana.html
