TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CUAUTLA CÁLCULO VECTORIAL-AGOSTO-DICIEMBRE 2019 PROBLEMARIO UNIDAD 1 VECTORES EN EL ESPACIO Competencias específicas: Conoce y desarrolla las propiedades de las operaciones con vectores para resolver problemas de aplicación en las diferentes áreas de ingeniería. Determina ecuaciones de rectas y planos del entorno para desarrollar la capacidad de modelado matemático. Realice los ejercicios de manera clara y ordenada. Escribir todo el procedimiento. Se realizara en hojas blancas tamaño carta. Suma, resta y multiplicación por un escalar b) Sea 𝑢 =< 2,3 > 𝑦 𝑣 =< −5,4 >. Encuentre a) 3u; b) u+v, c) v-u; d) 2u – 7v a) Sea 𝑢 = −3𝑖 + 2𝑗 𝑦 𝑣 = 4𝑖 + 5𝑗. Encuentre 𝑎) 𝑢 + 𝑣; 𝑏) 𝑢 − 𝑣; 𝑐) 𝑣 − 𝑢; 𝑑) − 2𝑢 + 3𝑣; 𝑒) 2𝑢 − 3𝑣; 𝑓) 𝑢 + 2𝑣. Vectores unitarios En los siguientes ejercicios encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado 𝑎) 𝑣 = 6𝑖 + 10𝑗 𝑏) 𝑣 = 4𝑖 − 6𝑗 𝑐) 𝑣 = 3𝑖 − 10𝑗 𝑑) − 3𝑖 − 8𝑗 𝑒) 𝑣 = 7𝑖 + 9𝑗 Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Dibuje cada par. 𝑎) 𝑢 = 3𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = −6𝑖 − 10𝑗 𝑏) 𝑢 = 2𝑖 − 3𝑗; 𝑣 = −9𝑖 + 6𝑗 𝑐) 𝑢 = 2𝑖 + 3𝑗; 𝑣 = 6𝑖 + 4𝑗 𝑑) 𝑢 = 2𝑖 − 4𝑗; 𝑣 = −𝑖 + 3𝑗 𝑒) 𝑢 = −2𝑖 + 9𝑗; 𝑣 = 6𝑖 + 10𝑗 Producto punto Calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del ángulo. 𝑎) 𝑢 = 𝑖 + 𝑗; 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 𝑏) 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 + 2𝑗 𝑐) 𝑢 = 2𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 − 2𝑗 𝑑) 𝑢 = 4𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 5𝑖 − 4𝑗 𝑒) 𝑢 = 7𝑖 + 9𝑗; 𝑣 = −8𝑖 + 9𝑗 Ángulos entre vectores 1. Calcula los ángulos interiores del triángulo ABC con : A(-3,-3); B(2,-2); C(-4,-6) 2. Se dan los puntos A(2,4); B(5,2); C(7,3) calcular: a) El ángulo formado por los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ b) El ángulo CAB 3. Determine si el ángulo formado por 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ es agudo, obtuso, o si los vectores son ortogonales. a) 𝑎⃗ = (7,3,5), 𝑏⃗⃗ = (8, 4, −2) b) 𝑎⃗ = (1,1, −1), 𝑏⃗⃗ = (0, 1,0) c) 𝑎⃗ = (5,1,3), 𝑏⃗⃗ = (2, 0, −3) d) 𝑎⃗ = (2,1,4), 𝑏⃗⃗ = (0, 2,1) 4. Dados 𝑎⃗ = (5,12)𝑦 𝑏⃗⃗ = (1, 𝑘)., donde k es un escalar, encuentre k tal que la medida en radianes 𝜋 del ángulo entre 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ sea . 3 Producto cruz Dados los s vectores 𝒖 𝒚 𝒗 , hallar el producto vectorial de 𝑢 × 𝑣 𝑎) 𝑢 = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 𝑦 𝑣 = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 𝑏) 𝑢 =< 2, −3, 1 > 𝑦 𝑣 =< 1, −2, 1 > 𝑐) 𝑢 =< −6, −10, 4 > 𝑦 𝑣 =< 3, 5, −2 > 𝑑) 𝑢 = 2𝑖 + 4𝑗 − 5𝑘 𝑦 𝑣 = −3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 𝑒) 𝑢 = 4𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 𝑦 𝑣 = −3𝑖 − 4𝑗 + 𝑘 ÁREA DE UN PARALELOGRAMO 1. Se dan los puntos A(4,1); B(7,3); C(2,3). Hallar un cuarto punto D de manera tal que el cuadrilátero que formen ABCD sea un paralelogramo.(tres soluciones). 2. Tres vértices de un paralelogramo son (-1,2), (3,1), (1,5). Hállense el cuarto vértice ( tres respuestas). 3. Tres vértices de un paralelogramo son (2,-1,3), (5,2,6), (-1,4,2). Hállense el cuarto vértice 4. Encuentre el área del paralelogramo con los vértices adyacentes dados P(-2,1,0), Q(1,4,2) y R(-3,1,5) 5. Calcule el área del paralelogramo con vértices adyacentes P(-2,1,1), Q(2,2,3) y R(-1,-2,4) 6. Calcule el área del paralelogramo con vértices adyacentes P(1,4,-2), Q(-3,1,6) y R(1,-2,3) 7. En las siguientes figuras: a) Verifique que el cuadrilatero dado es un paralelogramo b) Determine el área del paralelogramo 1. VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑅 Y ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑆, donde, P=(2,1,-1), Q=(3,1,4), R(-1,0,2) y S=(-3,-1,5). 2. 3. 4. 5. Determine el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes los vectores dados. u=(1,2,1), v=(-1,-1,0), w=(3,4,-1) Calcule el volumen de paralelepípedo determinado por los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 , donde A(2,1,-1), B(3,0,2), C(4,-2,1), D(5,-3,0). En el siguiente ejercicio, usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes, 𝑢 = 𝑖 + 𝑗, 𝑣 = 𝑗 + 𝑘, 𝑤 = 𝑖 + 𝑘. En el siguiente ejercicio, usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes, 𝑢 =< 1, 3, 1 >, 𝑣 =< 0, 6, 6 >, 𝑤 =< −4, 0, −4 >.
