MATRIZ DE LEONTIEF Y SU INVERSA Y EL PROBLEMA DEL VALOR PROPIO PRESENTADO POR: JOSUE DANIEL MENDOZA ORELLANA GRUPO 01 PROFESOR: JOSÉ DANIEL JUAREZ MORALES MATEMATICA AVANZADA INSTITUCION: UNIVERSIDAD FRANCISCO GRAVIDIA 28 DE SEPTIEMBRE DEL 2019 MATRIZ DE LEONTIEF Y SU INVERSA OBJETIVO MARCO TEORICO Leontief, (1919-1939), realizo la investigación de un sistema analítico: “The Structure of the American economy”, que consistió en un sistema de ecuaciones lineales cuyos elementos deben tener significado económico, esto es, no deben ser negativos. La investigación llegó a las siguientes conclusiones: 1. La matriz de Leontief en su forma insumo-producto contribuiría como una esencial herramienta para representar en forma matricial el equilibrio sectorial entre la oferta y la utilización de los bienes y servicios de una economía. 2. Análisis y cuantificación de niveles de producción sectorial para la satisfacción de determinados niveles de consumo e inversión y de esta forma proyectar necesidades de producción dado un crecimiento de demanda. 3. El modelo económico de Leontief serviría como herramienta en el manejo de un sistema económico. Es por ello que usando el modelo económico de Leontief, se pueden evaluar ciertos parámetros, tales como los precios o niveles de producción, a fin de satisfacer el sistema económico deseado. LA INVERSA DE LEONTIEF Este esquema analítico de la economía de un país fue presentado en “The Structure of the American Economy” y consiste en un sistema de ecuaciones lineales cuyos elementos tienen significado económico y, en consecuencia, no deben ser negativos. El estudio desarrollado por Leontief tenía como objetivo servir instrumento de interpretación y análisis de las interdependencias de los diversos sectores de la economía. Esta teoría debía valer para proporcionar un sistema de cálculo que permitiera analizar y cuantificar todas estas relaciones. Así se podría saber fácilmente las distintas repercusiones que habría en caso de aumento o disminución de la producción o demanda y los cambios necesarios en la producción para compensarlo. Además, sirve como análisis de cuadros de insumo-producto considerando cada sistema económico como un complejo de industrias internacionalizadas y se basa en que las salidas de una industria son las entradas de la otra. de los primeros en presentar las ventajas de la matriz inversa de Leontief fue Goodwin en 1949. Compara el multiplicador keynesiano con la matriz inversa de Leontief, a la que llama matriz de multiplicadores, e indica que dicha inversa representa en forma muy simple el equilibrio general, además, agrega que por medio de dicha matriz se puede determinar cuál es el sentido y limitaciones del multiplicador de Keynes. Posteriormente, sostiene que, si se interpretan las columnas de la inversa de Leontief por separado, se obtiene el multiplicador de cada rama (Goodwin, 1949, pp. 537). Goodwin indica que el modelo de Leontief, el cual expresa como 𝐲 = [𝐈 − 𝐀]−𝟏 (∑𝐣 𝐛𝐢𝐣 ) y es el vector de transacciones (vector de las producciones brutas de cada rama), I, una matriz unitaria, A corresponde a la matriz de coeficientes técnicos y (∑𝐣 𝐛𝐢𝐣 ) correspondería a un vector que el denomina de inyección, y que corresponde a la demanda final, facilita resultados mucho más completos y exactos, lo que según Goodwin proporciona una mayor utilidad, que el multiplicador de Keynes (Goodwin, 1949, pp. 544). Rasmussen, señala que la inversa de Leontief [(𝐈 − 𝐀)−𝟏 = 𝐙], sirve para indicar que la producción de la i-ésima rama debe aumentar en 𝐳𝐢𝐣 (con 𝐳𝐢𝐣 ∈ 𝒁 unidades si la demanda final de la j-ésima Industria aumenta en una unidad (Rasmussen, 1956, pp. 33). Alternativamente, sostiene que los 𝐳𝐢𝐣 pueden también interpretarse en forma marginal como el aumento de la producción de la rama i-ésima, a fin de que la oferta de la j-ésima aumente en una unidad (Rasmussen, op. cit., pp. 42). Por otra parte, desarrolla una extensión del concepto de matriz de multiplicadores, al pasar de la interpretación de un elemento de la matriz inversa de Leontief (𝐳𝐢𝐣 ), a la suma de una columna y fila de la misma. La suma de las columnas que forman la inversa [∑𝒏𝒊=𝟏 𝐳𝐢𝐣 = 𝐳.𝐣 ] debe ser entendida como el aumento de la producción que debe realizar todo el sistema económico, a fin de satisfacer el requerimiento de una unidad por parte de la j-ésima rama (Rasmussen, op. cit., pp. 127). Asimismo, la suma de una fila de la matriz inversa de Leontief [∑𝒏𝒊=𝟏 𝐳𝐢𝐣 = 𝐳𝐢. ], puede ser entendida como el aumento en la producción que debe realizar la i-ésima rama, cuando cada rama del sistema aumenta simultáneamente en una unidad su demanda final (Rasmussen, op. cit., pp. 127). Las anteriores definiciones se han generalizado posteriormente, prueba de ello son las similares interpretaciones que hacen de la matriz inversa de Leontief, Bharat Hazari (1970, pp. 301), Prem Laumas (1976, pp. 308), Michel Boucher (1976, pp. 313), Leroy Jones (1976, pp. 328) y Eric Dietzenbacher (1997, pp. 635). Por su parte Hirschman, tras comparar la propuesta de Rasmussen con la de Chenery y Watanabe (1958), indica que la inversa de Leontief permite calcular las repercusiones directas e indirectas de un aumento en los requerimientos de la demanda final de cualquier industria, lo que haría que la inversa de Leontief sea más útil que la matriz de coeficientes técnicos, ya que esta última sólo incluye las relaciones directas, y no las indirectas (Hirschman, 1958, pp. 113). En este mismo sentido y siguiendo a Muñoz (2000), la utilidad de la matriz inversa de Leontief queda plasmada al multiplicar dicha matriz por la demanda final, lo cual puede ser entendido como las cantidades que precisa una rama del resto, a fin de satisfacer la demanda final solicitada. Consideremos que una forma de calcular la inversa de Leontief es por medio de una serie de potencias, y si se asume inicialmente un sistema de producción igual al presentado en (1.1) al que se le incrementa la demanda en ∆𝐲, se llega a 𝐱 (𝟏) = 𝐀𝐱 + 𝐲 + ∆𝐲 = 𝐱 + ∆𝐲, es decir, la nueva producción (𝐱 (𝟏) ) es igual a la producción inicial (x) más el incremento que se ha producido por la demanda (∆𝐲) En un segundo instante la producción será igual a 𝐱 (𝟐) = 𝐀𝐱 (𝟏) + 𝐲 + ∆𝐲 = 𝐀(𝐱 + ∆𝐲) + 𝐲 + ∆𝐲 = 𝐱 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲, puesto que se ha incrementado la demanda y se debe satisfacer la nueva producción. Si repetimos este proceso, ad infinitum, se tendrá que: 𝐱 (𝟑) = 𝐀𝐱 (𝟐) + 𝐲 + ∆𝐲 donde reemplazando 𝐱 (𝟐) por su valor se obtiene 𝐱 (𝟑) = 𝐀(𝐱 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲) + 𝐲 + ∆𝐲, reemplazando Ax+y por x, lo anterior se puede escribir como 𝐱 (𝟑) = 𝐱 + 𝑨𝟐 ∆𝐲 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲 continuando el proceso, 𝐱 (𝟒) = 𝑨𝒙𝟑 + 𝐲 + ∆𝐲 𝐱 (𝟒) = 𝐀(𝐱 + 𝑨𝟐 ∆𝐲 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲) + 𝐲 + ∆𝐲, Es decir, 𝐱 (𝟒) = 𝐱 + 𝑨𝟑 ∆𝐲 + 𝑨𝟐 ∆𝐲 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲 Lo que en forma generalizada se trasforma en 𝐱 (𝐧) = 𝐱 + 𝑨𝒏−𝟏 ∆𝐲 + 𝑨𝒏−𝟏 ∆𝐲 + 𝑨𝒏−𝟐 ∆𝐲+. . . 𝑨𝟑 ∆𝐲 + 𝑨𝟐 ∆𝐲 + 𝐀∆𝐲 + ∆𝐲, y por lo tanto, ∆𝐱 = 𝒙(𝒏) − 𝐱 = (𝑨𝒏−𝟏 + 𝑨𝒏−𝟐 + 𝑨𝒏−𝟑 +. . . 𝑨𝟑 + 𝑨𝟐 + 𝐀 + 𝐈)∆𝐲 Como puede apreciarse el término que aparece entre paréntesis es la “aproximación de una matriz inversa” calculada mediante una serie de potencias, lo que permite concluir que a medida que se repite el proceso, la matriz A tiende a tomar valores cada vez más pequeños, lo que conduce a: (𝐈 + 𝐀) ∗ (𝐈 + 𝐀 + 𝐀𝟐 + 𝐀𝟑 +. . . 𝐀𝐧−𝟏 ) = (𝐈 − 𝐀)(𝑰 − 𝑨)−𝟏 Ya que, si operamos convenientemente el primer miembro de la expresión anterior, se obtiene: (𝐈 + 𝐀 + 𝐀𝟐 + 𝐀𝟑 +. . . 𝐀𝐧−𝟏 − 𝐀−𝐀𝟐 − 𝐀𝟑 −. … . 𝐀𝐧 ) = (𝐈 − 𝐀𝐧 ) = 𝐈 Resumiendo, cada coeficiente de la inversa, indica las necesidades tanto directas como indirectas de la rama i-ésima para satisfacer el requerimiento que le hace la rama j-ésima, a fin de proporcionar una unidad monetaria de producto a la demanda final. En otras palabras, cada 𝐳𝐢𝐣 representa la cuantía en que debe crecer la rama i-ésima, si se persigue el aumento de en una unidad en la demanda final de la j-ésima. Las sumas de las filas indican en cuánto se deben incrementar los coeficientes, para que la demanda final aumente en una unidad, por tal razón, se denomina multiplicador de expansión uniforme de demanda, ya que su valor indica el aumento directo e indirecto de la producción cuando la demanda final de todas las ramas varía en una unidad monetaria (si se emplea una matriz en valores monetarios). Por su parte, la suma de la j-ésima columna de la inversa de Leontief indica, en cuánto debe aumentar cada elemento de dicha columna, a fin de que la demanda final de esa rama aumente en una unidad, por ello se conoce como el multiplicador de producción. APLICACIÓN DE MATRIZ DE LEONTIEF (MATRIZ INVERSA, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES) Análisis Insumo-Producto: El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los cuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria (vector x) a fin de satisfacer demandas futuras para diversos productos (vector D). Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias. Por ejemplo, un incremento en la demanda de automóviles no solo conducirá a un aumento en los niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los neumáticos, etc. En el modelo original de Leontief, la economía de Estados Unidos aparece dividida en 500 sectores de este tipo que interactúan entre sí. Ejemplo 1: Supóngase que una economía se divide en n industrias, y cada industria produce solamente un tipo de producto final. Usualmente las industrias están relacionadas en el sentido de que cada una de ellas debe usar algunos de los productos de las otras para poder funcionar. Además, una economía debe producir generalmente algunos productos terminados para la demanda final. El análisis de insumo-producto determina la producción de cada una de las industrias si cambia la demanda final, suponiendo que la estructura de la economía no varía. Es conveniente tabular los datos para el análisis insumo-producto, como se muestra en la tabla siguiente: Usuario Demanda Producción final Total b1n d1 x1 ... b2n d2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n bn1 bn2 ... bnn dn xn Productor 1 2 ... 1 b11 b12 ... 2 b21 b22 . . . n En donde bi j es el valor o importe (en unidades monetarias) de los productos producidos por la industria i, consumidos o empleados por la industria j, di es la demanda final para los productos de la industria i , y xi es la producción total de la industria i (es decir, xi= bi1+bi2+...+bin+di). Sea B=[bi j]nxn , D=[di]nx1 (vector demanda) , X=[xi]nx1 (matriz de producción). La estructura económica se puede describir ahora mediante la matriz insumo-producto A=[ai en donde ai j=(bi j/xj) representa la proporción de los insumos consumidos por la industria j]nxn, j, provenientes de la industria i. Por lo tanto, como bi j=ai j.xi , entonces la i-ésima industria debe producir ax1+ai2x2+...+ainxn para satisfacer las demandas de todas las industrias. Por tanto, el vector demanda interindustrial puede plantearse como AX. Además, como la producción de la economía debe ajustarse para satisfacer tanto las necesidades interindustriales como la demanda final, entonces deberá ser: X= AX+D Por lo cual: X-AX=D (I-A)X=D y, finalmente: X=(I-A)-1D En donde (I-A) se conoce como matriz de Leontief. Por ejemplo, considérese una economía hipotética muy sencilla de dos industrias I y II, representadas en la tabla siguiente: Usuario Productor Ind. I Ind. II Demanda Producción Final Total Industria I 500 350 150 1000 Industria II 320 360 120 800 En donde las cifras corresponden a millones de dólares. Se desea determinar cuál deberá ser el vector producción (X) de tal economía, si luego de un estudio de mercado se espera que la demanda final cambie a 200 en el caso de la industria I y a 100 en caso de la industria II. Solución: 500 350 1000 150 , X= , nueva D= 320 360 800 120 B= .......... ..... .......... ...... .......... ..... .......... ...... Como ai j=(bi j/xj), entonces A= .......... ..... .......... ...... .......... ..... .......... ...... I-A= (I-A)-1= .......... ..... .......... ...... .......... ..... .......... ...... .......... ..... .......... ...... 200 .......... ....... = . .......... ..... .......... ...... 100 .......... ...... Entonces, X=(I-A)-1D= Ejemplo 2: Economía hipotética con dos industrias Una economía hipotética simple de dos industrias, I y II, está representada en la siguiente tabla (las cifras son millones de unidades monetarias de productos). Usuario Productor Ind. I Ind. II Demanda Producción Final Total Industria I 150 240 210 600 Industria II 200 120 160 480 Determinar el vector producción que corresponde a la economía, si la demanda final cambia a (a) 100 para I y 200 para II ; (b) 50 para I y 60 para II. Respuestas: a) 442.11 para I y 463.16 para II. B) 170.53 para I y 155.79 para II.
