APLICACIONES DE ALGEBRA MATRICIAL

Métodos cuantitativos en las Finanzas
Ing. William Mendoza
APLICACIONES DE LAS MATRICES
1. Matriz de inventarios (Suma de matrices)
El inventario (en galones) de una pequeña tienda de pinturas al inicio de una semana
está dado por la matriz A.
Negro Blanco Rojo
80 72 45  Re gular
A

50 58 60  De lujo
Sus ventas durante la semana están dadas por la matriz S.
Negro Blanco Rojo
65 70 39  Re gular
S

27 47 35  De lujo
Escriba el inventario al término de la semana.
2. Matriz de producción (Suma de matrices y producto por un escalar)
Una empresa produce dos tipos de café en tres tamaños distintos. La producción (en
miles de unidades) en su planta de la locaclidad A está dada por:
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
20 28 30 
16 22 20 


Tipo1
Tipo2
Mientras que la producción (en miles) en su planta de la localidad B está dada por:
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
20 28 30 
Tipo2 16 22 20 
El gerente de la empresa planea abrir una tercera planta en una localidad C, la cual
tendría una capacidad de un 20% más que la localizada en B. Cuál será la producción
total en las tres localidades?
Tipo1
3. Trabajo e ingresos (producto de matrices)
Susana gana $5 en una hora como institutriz, $6 la hora como mecanógrafa y $1.50 en
una hora como niñera. El número de horas que trabajó en cada tipo de trabajo en un
periodo de 4 semanas está dado por la matriz A.
Semana
I
II
III
IV
15 10 16 12  Institutriz
A   6 4 2 3  Mecanógrafa
 2 7 0 4 
Niñera
1
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Si P  5 6 1.5  denota su matriz de ingresos, determine la patriz PA e interprete
sus elementos.
4. Análisis Insumo-Producto, Matriz de Leontief (matriz inversa, sistemas de
ecuaciones lineales)
El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los cuarenta
por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de
Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las
interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo
del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de
cada industria (vector x) a fin de satisfacer demandas futuras para diversos productos
(vector D). Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes
industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una
industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias. Por ejemplo, un
incremento en la demanda de automóviles no solo conducirá a un aumento en los
niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de
una variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la
industria de los neumáticos, etc. En el modelo original de Leontief, la economía de
Estados Unidos aparece dividida en 500 sectores de este tipo que interactúan entre sí.
Supóngase que una economía se divide en n industrias, y cada industria produce
solamente un tipo de producto final. Usualmente las industrias están relacionadas en el
sentido de que cada una de ellas debe usar algunos de los productos de las otras para
poder funcionar. Además, una economía debe producir generalmente algunos productos
terminados para la demanda final. El análisis de insumo-producto determina la
producción de cada una de las industrias si cambia la demanda final, suponiendo que la
estructura de la economía no varía. Es conveniente tabular los datos para el análisis
insumo-producto, como se muestra en la tabla siguiente:
Productor
1
2
.
.
.
n
1
b11
b21
.
.
.
bn1
Usuario
2
b12
b22
.
.
.
bn2
...
n
...
...
.
.
.
...
b1n
b2n
.
.
.
bnn
Demanda
final
d1
d2
.
.
.
dn
Producción
Total
x1
x2
.
.
.
xn
En donde bi j es el valor o importe (en unidades monetarias) de los productos
producidos por la industria i, consumidos o empleados por la industria j, di es la
demanda final para los productos de la industria i , y x i es la producción total de la
industria i (es decir, xi= bi1+bi2+...+bin+di).
Sea B=[bi j]nxn , D=[di]nx1 (vector demanda) , X=[xi]nx1 (matriz de producción).
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La estructura económica se puede describir ahora mediante la matriz insumo-producto
A=[ai j]nxn,
en donde ai j=(bi j/xj)
representa la proporción de los insumos
consumidos por la industria j, provenientes de la industria i. Por lo tanto, como bi j=ai
j.xi , entonces la i-ésima industria debe producir
ax1+ai2x2+...+ainxn para satisfacer las demandas de todas las industrias. Por tanto, el
vector demanda interindustrial puede plantearse como AX. Además, como la
producción de la economía debe ajustarse para satisfacer tanto las necesidades
interindustriales como la demanda final, entonces deberá ser:
X= AX+D
Por lo cual: X-AX=D
(I-A)X=D
y, finalmente:
X=(I-A)-1D
En donde (I-A) se conoce como matriz de Leontief.
Por ejemplo, considérese una economía hipotética muy sencilla de dos industrias I y II,
representadas en la tabla siguiente:
Usuario
Productor
Ind. I
Ind. II
Demanda
Producción
Final
Total
Industria I
500
350
150
1000
Industria II
320
360
120
800
En donde las cifras corresponden a millones de dólares.
Se desea determinar cuál deberá ser el vector producción (X) de tal economía, si luego
de un estudio de mercado se espera que la demanda final cambie a 200 en el caso de la
industria I y a 100 en caso de la industria II.
Solución:
500 350 
1000
150 
B= 
, X= 
, nueva D= 



320 360 
 800 
120 
............... ................
ai j=(bi j/xj), entonces A= 

............... ................
............... ................
I-A= 

............... ................
Como
(I-A)-1=
............... ................
............... ................


............... ................ 200  .................
Entonces, X=(I-A)-1D= 
 
= 
.
............... ................ 100   ................ 
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Economía hipotética con dos industrias
Una economía hipotética simple de dos industrias, I y II, está representada en la
siguiente tabla (las cifras son millones de unidades monetarias de productos).
Usuario
Productor
Ind. I
Ind. II
Demanda
Producción
Final
Total
Industria I
150
240
210
600
Industria II
200
120
160
480
Determinar el vector producción que corresponde a la economía, si la demanda final
cambia a (a) 100 para I y 200 para II ; (b) 50 para I y 60 para II.
Respuestas: a) 442.11 para I y 463.16 para II. B) 170.53 para I y 155.79 para II.
Trabajo grupal: Resuelva el problema siguiente.
Una economía hipotética simple de tres industrias, A, B y C, está representada en la
siguiente tabla (las cifras son millones de unidades monetarias de productos).
Usuario
Productor
A
B
C
Demanda
Producción
Final
Total
A
80
100
100
40
320
B
80
200
60
60
400
C
80
100
100
20
300
Determinar el vector producción que corresponde a la economía, si la demanda final
cambia a (a) 120 para A, 40 para B y 10 para C; (b) 60 para A, 60 para B y 60 para C.
Respuestas: (a) 481.74 para A, 469.57 para B, y 371.74 para C.
542.61 para B y469.570 para C.
(b) 469.57 para A,
5. Punto de equilibrio del mercado
La ecuación de demanda de cierto producto es p+2x=25 y la ecuación de oferta es
p-3x=5, en donde p es el precio y x es la cantidad demandada o suministrada
(ofrecida), según el caso. Calcule los valores de x y p en el punto de equilibrio.
Utilice técnicas matriciales. Respuesta: x=4, p=17.
6. Asignación de maquinaria
Una empresa produce tres productos, A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El
tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres
máquinas está dado por la matriz:
A
máquina I 3

máquina II 1
máquina III 2
B
1
2
1
C
2
4 
1 
Si dispone de la máquina I por 850 horas, de la
máquina II por 1200 horas y de la máquina III por 550
horas, cuántas unidades de cada producto deberían
producirse con objeto de emplear todo el tiempo
disponible las máquinas? Respuesta: 100, 150 y 200
unidades de A, B, C.
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