revisión de los fundamentos del análisis input

REVISIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS
INPUT-OUTPUT DINÁMICO
Mariano Blanc Díaz1
Carmen Ramos Carvajal 2
(1)
Tfno. 985226383. C/Marqués de Santa Cruz, 14, 1º, 33007, Oviedo.
(2)
Tfno. 985105054. Departamento de Economía Aplicada, Facultad de Ciencias
Económicas, Avda. del Cristo, s/n. 33071, Oviedo
(1)
[email protected]
(2)
[email protected]
RESUMEN
Esta ponencia revisa los fundamentos matemáticos del modelo input-output dinámico,
para concluir que bajo las hipótesis específicas de Leontief es inconsistente.
Probamos primero que el modelo estático no puede ser considerado una versión
particular del dinámico cuando la matriz de coeficientes de capital se compone de
elementos positivos o nulos. Los coeficientes de capital positivos hacen necesariamente
inestable al modelo dinámico. Las soluciones que proporcionan bajo hipótesis similares
difieren.
La estabilidad requiere coeficientes de capital negativos. La identificación exacta de los
dos modelos requiere que la matriz de coeficientes de capital sea la matriz unidad con
signo negativo. Puesto que esto es un contrasentido bajo las hipótesis de Leontief, la
matriz correspondiente tiene que tener, necesariamente, una interpretación diferente a la
que tradicionalmente se le atribuye.
La solución matemática abstracta del modelo dinámico de Leontief lleva a la conclusión
de que los crecimientos que experimenta el modelo no son reflejo de ningún
crecimiento – endógeno o de otra naturaleza – de la realidad representada, sino
consecuencia de la inestabilidad intrínseca de la estructura matemática construida. Su
aplicación a estudios empíricos no puede por tanto aportar resultados útiles.
ABSTRACT
This paper reviews the mathematical foundations of dynamic input-output to conclude
that the solution of the classical model contradicts the interpretation that Leontief
explicitly grants to it.
We prove first that the static model cannot be considered a particular version of the
dynamic one when the matrix of capital coefficients is zero or positive. Positive capital
coefficients make necessarily unstable the dynamic model. Its solution contradicts the
static one.
Stability requests negative capital coefficients, and exact identification of the dynamic
and static versions, requires -I as capital matrix. Since this is a non-sense under
Leontief’s assumptions, the corresponding matrix must admit a different interpretation.
Developing the complete mathematical solution of Leontief´s dynamic model leads to
the conclusion that growth in the model does not reflect any growth- whether
endogenous or of any other kind- of the reality portrayed but is a consequence of the
intrinsic instability of the mathematical structure built. Its straight application to
empirical research cannot therefore bear useful results.
Palabras clave: Análisis input-output dinámico, crecimiento económico, estabilidad del
modelo económico
1
REVISIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS
INPUT-OUTPUT DINÁMICO
1.INTRODUCCIÓN
El enfoque input-output es una herramienta de incuestionable valor en la
realización de estudios económicos, tanto regionales como referentes a una nación, ya
que proporciona información no sólo de las relaciones entre los diferentes sectores, sino
también sobre la demanda final de los mismos.
Como es bien sabido, Leontief (1941) fue uno de los iniciadores de este análisis.
Si consideramos las relaciones por filas de una tabla input-output (TIO), pueden ser
expresadas matricialmente a partir de una expresión como la siguiente:
X=AX+Y
(1)
Donde X es el vector de output, A la matriz de coeficientes técnicos e Y el
vector de demandas finales.
La ecuación anterior también puede ser escrita en los términos siguientes:
X=(I-A)-1Y
(2)
-1
Donde I representa la matriz identidad y (I-A) la matriz inversa de Leontief .
Ambas ecuaciones se refieren al modelo estático. La consideración del tiempo
en el modelo de Leontief supone básicamente modelizar tanto la evolución de los
coeficientes técnicos, como de la demanda. Se trata, en suma, de evolucionar a partir del
modelo estático hacia el dinámico en el que los coeficientes y demanda se determinen a
partir de valores anteriores (o actuales) del sistema. El elemento central del enfoque
dinámico de Leontief es la inversión. Por ello las necesidades de inversión de una
economía se establecen en función del crecimiento de la producción y de una matriz de
coeficientes de capital (B) que determina las inversiones necesarias para garantizar la
capacidad de producción de una economía en el futuro. Por ello los modelos inputoutput dinámicos son considerados como antecedentes en la familia de modelos de
crecimiento. La formulación del modelo dinámico será la siguiente:
X(t)=AX(t)+Y(t)+BX´(t)
(3)
Donde X´(t) representa la derivada del output respecto del tiempo (t). El último
sumando puede ser entendido como la inversión deseada en el momento actual.
La ecuación (3) puede ser reescrita como
X´(t)=MX(t)+NY(t)
(4)
donde M =B-1[I-A] y N=-B-1 . Como es bien sabido, la solución de la ecuación anterior
es:
t
X(t ) = e Mt X(0) + ∫ e M (t −τ ) NY(τ )dτ
(5)
0
A partir de consideraciones matemáticas, concluimos en este trabajo que esta
interpretación tradicionalmente aceptada es difícilmente sostenible. Bajo ciertas
hipótesis puede representar una realidad económica, pero no crecimiento.
2.¿SE PUEDE CONSIDERAR EL MODELO DINÁMICO DE LEONTIEF COMO
UNA GENERALIZACIÓN DEL ESTÁTICO?
En este apartado vamos a analizar la hipótesis tradicionalmente aceptada de que
el modelo dinámico de Leontief puede ser considerado como una generalización del
estático; para ello consideraremos diferentes posibilidades.
2
Aproximación 1. Ambos modelos coincidirán si la matriz B es nula.
Si asumimos que B=0 en la ecuación (3), estaríamos considerando una economía
en la que la producción fluctúa, pero donde el deseo de invertir es nulo; por lo tanto, la
inversión tomará el valor cero. Esta aproximación intenta eliminar la distancia entre los
dos modelos, anulando uno de los dos términos en comparación (B). Sin embargo, si
continuamos con el razonamiento anteriormente expuesto, la ecuación (4) no admitiría
la expresión presentada, ya que al ser B una matriz singular, no tiene inversa; por lo
tanto, no tiene sentido considerar la coincidencia de ambos modelos en este caso.
Aproximación 2. Ambos modelos coincidirán en una economía con deseo de invertir,
pero cuya producción no crece.
Supongamos ahora, que la matriz B es no nula, pero que X´(t) =0 en la ecuación
(3). Entonces podríamos expresar (4) como
MX(t)+NY(t)=0
(6)
esto es,
B-1[I-A]X(t) -B-1Y(t)=0,
(7)
por lo tanto,
[I-A]-1Y (t)= X(t)
(8)
Es decir, en este caso ambos modelos, dinámico y estático, describen la misma
realidad, pero desde dos diferentes puntos de vista. Sin embargo, también es cierto, que
esta aproximación no genera información de interés sobre la dinámica de la economía,
ya que, en este caso estaríamos suponiendo que X(t)=C, donde C representa una
constante, y, por tanto, esto necesariamente implica que Y(t) es también constante (K).
Podemos concluir que la expresión (8) es en realidad:
C=[I-A]-1K
(9)
Lo que no añade nada nuevo a la ya conocida ecuación (2).
Las dos aproximaciones anteriores tienen algo en común, muestran un
acercamiento entre ambos modelos eliminando el término BX´(t). Sin embargo,
nosotros consideramos que este requisito es demasiado restrictivo y planteamos la
consideración de algunas situaciones alternativas.
Aproximación 3. Condiciones de coincidencia en caso de demanda final constante.
Supongamos, ahora, que Y(t)=K. Esta situación representa una economía con
deseo de invertir, donde la producción puede variar mientras que la demanda final
permanece constante. Como veremos, a partir de la ecuación dinámica de Leontief, la
producción puede crecer de forma explosiva cuando la demanda final permanezca
inalterable a lo largo del tiempo. Bajo este supuesto de constancia de la demanda, la
expresión (5) toma la forma
t
X(t ) = e Mt X(0) + ∫ e −Mτ NKdτ
(10)
0
donde
t
∫e
− Mτ
NKdτ = e −Mt [I − A ] K − [I − A ] K
−1
−1
(11)
0
por lo tanto,
X(t)=[I-A]-1K+eMt[X(0)-(I-A)-1K]
(12)
3
Si el segundo sumando, eMt[X(0)-(I-A)-1K], se anulase, la solución de los
modelos estático y dinámico coincidiría. Esta situación puede llegar a ocurrir en dos
supuestos:
Supuesto 1:
Si X(0)=[I-A]-1K
(13)
esto es, cuando la economía está trabajando en el momento inicial siguiendo un patrón
que correspondería en el largo plazo con el estado estacionario. Este caso es una
redefinición de la ecuación (8): coinciden los supuestos en los que ambas expresiones se
basan, a saber, la matriz B es no nula, la demanda final es constante y X´(t)=0, por lo
tanto, X(t)=C. Sin embargo, consideramos que esta aproximación ha enriquecido
nuestra información sobre el equilibrio dinámico, ya que ahora sabemos que la validez
de la expresión (8) implica que tanto la demanda final como los requerimientos
específicos de la situación inicial de la economía han de ser constantes.
Supuesto 2:
Además, otra conclusión interesante es que aunque la igualdad (13) no se verifique y,
por tanto, X´(t) es no nulo, (12) aún es solución del modelo estático si (y sólo si) el
sistema es estable, dado que entonces el segundo término eMt[X(0)-(I-A)-1K] irá
disminuyendo con el transcurso del tiempo hasta hacerse despreciable.
Aproximación 4: Si la demanda crece a ritmo constante ambos modelos también
pueden coincidir
Consideremos que la demanda final crece a un ritmo constante; es decir,
Y(t)=Kt. En este caso, la matriz B es no nula, la demanda final no será constante y X´(t)
es distinta de cero. Observemos, que no se ha impuesto ninguna restricción a las
condiciones iniciales y, sin embargo, la conclusión vuelve a ser la misma: si el sistema
es establei, la solución del modelo dinámico converge al estático y los modelos
proporcionan análogos resultados.
Ahora, la expresión (5) toma puede ser escrita como
t
X(t ) = e Mt X(0) + ∫ e −Mτ NKτ dτ
(14)
0
de donde, operando convenientemente se deriva que
X(t)=[I-A]-1Kt-[I-A]-2K+eMt[X(0)-[I-A]-2K]
(15)
Observemos, que el primer sumando corresponde con la solución del modelo
estático. El segundo término, -[I-A]-2K, puede ser interpretado como un factor de error,
cuyo peso decrece al crecer el primer término. El tercer sumando tenderá a cero si el
modelo es estable.
Por el contrario, si el sistema es inestable, los modelos estático y dinámico
proporcionan soluciones que divergen en el tiempo, aún cuando se consideren análogas
demandas finales.
3. SOBRE LA ESTABILIDAD DEL MODELO DINÁMICO DE LEONTIEF
En este apartado, procederemos a demostrar que el modelo dinámico de
Leontief, tal y como tradicionalmente se ha planteado es inestable.
Efectivamente vamos a demostrar que con coeficientes positivos o nulos, los
valores propios de la matriz nunca pueden tener parte real negativa y que el sistema
exhibe nodos inestables, focos inestables o puntos de ensilladura.
4
Partiremos del caso de dos sectores, por considerarlo representativo y el más
didáctico en la presentación del problema que nos ocupa, y procederemos a determinar
el signo de los valores propios de la matriz M=B-1[I-A]. Esto es,
 b22 (1 − a11 ) + b12 a 21

B
M=
 − b21 (1 − a11 ) − a 21b11

B

− b22 a12 − b12 (1 − a 22 ) 

B

b21 a12 − b11 (1 − a 22 ) 

B

Donde los coeficientes bij son los elementos de la matriz B y los aij los de la
matriz A.
Dado que los valores propios se obtienen de la ecuación λI-M=0, operando
convenientemente se obtendría
(m + m22 ) + ∆
(m + m22 ) − ∆
λ1 = 11
y λ 2 = 11
2
2
donde ∆=(m11+m22)2-4My M =
(1 − a11 )(1 − a 22 ) − a12 a 21
b11b22 − b12 b21
Las condiciones de Hawkins-Simons proporcionan condiciones necesarias para
la existencia de un modelo estático,
o (1-a11)(1-a22) – a12a11>0
o (1-a11)>0 y (1-a22)>0
A partir de ellas analizaremos diferentes posibilidades
A) Consideremos un primer caso en el que todos los coeficientes bij son positivos.
A.1. Cuando b12b21>b11b22, m11+m22<0, entonces el determinante de la matriz M
es negativo y se obtendrán como raíces del polinomio característico dos valores
propios reales. Como ∆ > m11 + m22 se obtendrán valores de distinto signo.
En este caso el sistema presenta un punto de silla.
A.2. Si b12b21<b11b22, entonces m11+m22>0, aquí deberemos considerar dos
posibilidades:
A.2.1. Cuando (m11+m22)2>4M, entonces se obtendrán valores propios
reales y, ya que ∆ < m11 + m22 , ambos tendrán signo positivo; por lo
tanto, el sistema presenta un nodo inestable.
A.2.2. En el caso de que (m11+m22)2<4M, se obtendrán valores
propios complejos con la parte real positiva, de nuevo el modelo muestra
un foco inestable.
B) Consideremos ahora el caso en el que los coeficientes bij sean no negativos.
B.1.Si una fila o columna está formada por coeficientes nulos, B es una matriz
singular, con los problemas que ello conlleva.
B.2. Si uno de los coeficientes de la diagonal principal es cero el determinante
de la matriz M es negativo y estaríamos en el caso A.1.
B.3. Si algún coeficiente de la segunda diagonal es nulo, M>0 y estaríamos
en un caso similar al A.2.
C) Supongamos que los coeficientes bij son negativos. Se nos plantean dos
posibilidades:
5
C.1. Cuando b11b22<b12b21, entonces Mes negativo, y se obtienen dos valores
propios reales y de signos contrarios; por lo que se alcanzará un punto de silla.
C.2. Si b11b22 >b12b21 Mes positivo
C.2.1. Con (m11+m22)2>4M se obtienen valores propios reales de
distinto signo.
C.2.2. Con (m11+m22)2>4Mse obtienen autovalores complejos con la
parte real negativa; en este caso estaríamos ante un foco estable.
C.2.3. Con (m11+m22)2=4Mlos dos valores propios son reales,
negativos e iguales.
De lo anteriormente expuesto se deduce que sólo se obtienen comportamientos
estables si la matriz B de coeficientes toma valores negativos. En la interpretación que
Leontief realiza del modelo los coeficientes negativos no tiene sentido. Ahora bien,
consideramos posible efectuar algunas interpretaciones alternativas: cuando la
producción cae, X’(t) es negativa y si consideramos, también, la matriz B como
negativa podría volver positivo el componente de output, esto es, BX’(t), de este modo
tendría lugar una compensación de la disminución.
Por otro lado, si consideramos que la producción crece, X’(t) tomará valores
positivos y una matriz B de coeficientes negativos produce un efecto corrector de dicha
expansión. Los coeficientes negativos no representan crecimiento, pero quizás sin algún
tipo de política anticíclica, en el corto plazo.
Consideremos la siguiente aproximación: el modelo dinámico de Leontief puede
ser estable si la matriz B coincide con la matriz identidad negativa.
Sea B=-I, la demanda final es constante y la producción varía. La ecuación de
equilibrio del modelo dinámico, recogida en (3) tomará la forma
X’(t)=AX(t)+Y(t)-X(t)
(16)
En el segundo miembro de la igualdad, el término AX(t)+Y(t) representa la
demanda total y el término X(t), el output total de la economía. Por lo tanto, (16) es la
representación de una economía que introduce, en el corto plazo, el concepto de cartera
de pedidos, siguiendo la información recibida sobre el exceso o defecto de demanda
ocurrida en el período anterior.
El modelo estático general puede se reescrito a partir de la ecuación (1) como
0=AX+Y-X
(14)
El modelo estático representa un equilibrio perfecto de oferta y demanda
momento a momento. El modelo dinámico con B=-I recoge no sólo esta posibilidad, si
no también más situaciones generales o desequilibrios temporales.
4.PRINCIPALES CONCLUSIONES:
1- La tradicionalmente aceptada noción que señala que el modelo estático de
Leontief es equivalente al dinámico, sin más que considerar la matriz de
coeficientes de capital nula es incorrecta
2- Si los coeficientes de la matriz B son no negativos, entonces el modelo dinámico
es inestable, por lo que proporciona una descripción del la economía que no se
ajusta a la realidad (crecimientos explosivos). En ninguno de esos casos los
modelos estático y dinámico proporcionan soluciones coherentes. Por lo tanto,
ambos pueden ser considerados como inconsistentes si B>0.
3- Si consideramos el modelo dinámico con una matriz B de coeficientes
negativos, estaremos ante la única aproximación que produce comportamientos
consistentes con el estático. Los coeficientes de esta matriz pueden ser
6
reinterpretados como una expresión de políticas anticíclicas y no como un
agente de crecimiento a largo plazo.
4- El modelo dinámico es la versión general del estático cuando B es la matriz
identidad negativa.
5- La matriz B no puede ser interpretada como una matriz de coeficientes de
capital.
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Como es bien sabido, la existencia de estabilidad precisa que los valores propios de la matriz B-1[I-A]
tengan parte real negativa.
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