141 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
Tema 13
Integral de Riemann
13.1
Sumas inferiores y superiores
13.1.1
Particiones de un intervalo
Definición 261.- Se llama partición de un intervalo cerrado [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos P =
{x0 , x1 , . . . , xn } tales que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Una partición divide al intervalo como unión de
intervalos más pequeños, es decir,
n
[a, b] = [a, x1 ] ∪ [x1 , x2 ] ∪ · · · ∪ [xn−2 , xn−1 ] ∪ [xn−1 , b] = ∪ [xi−1 , xi ]
i=1
La longitud de estos subintervalos se denomina incremento de xi y se representa por ∆xi = xi − xi−1 .
Denotaremos por P[a, b] al conjunto de todas las particiones del intervalo cerrado [a, b]. Considerando en el
conjunto la relación de orden de inclusión, diremos que P2 es más fina que P1 , si P1 ⊆ P2 .
Como P2 tiene todos los puntos de P1 y quizás alguno más, cada subintervalo obtenido con P2 está
contenido en alguno de los dados por P1 , es decir, la partición dada por P2 es más fina que la dada por P1 .
Ejemplo
Sea [0, 1], entonces P =
n
o
0, 14 , 24 , 34 , 1 es una partición de [0, 1], que “parte” el intervalo en 4
1 2
2 3
trozos [0, 1] = [0, 41 ] ∪ [n
[ 34 , 1] , de igual longitud ∆xi =
4, 4] ∪ [4, 4] ∪ o
1 1 2 3
4, 3, 4, 4, 1
1
4
, para i =n1, 2, 3,o
4.
2
es más fina que P y la partición P2 = 0, 4 , 1 es menos fina que la
La partición P1 = 0,
partición P . Es decir, P2 ⊆ P ⊆ P1 . n
o
2(b−a)
(n−1)(b−a)
Sea [a, b], entonces la partición P = a, a + b−a
,
a
+
,
.
.
.
,
a
+
,
b
divide al intervalo [a, b]
n
hn
in
n
(k−1)(b−a)
k(b−a)
∪ a+
, a+ n
.
en n subintervalos de longitud b−a
n : [a, b] = k=1
n
4
13.1.2
Sumas inferiores y superiores
Definición 262.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada y P ∈ P[a, b]. En cada subintervalo [xi−1 , xi ],
considemos el inferior y el superior de f en él:
mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
Llamarenos suma inferior de f para la partición P al valor
y llamaremos suma superior de f para la partición P a
L(f, P ) =
n
P
U (f, P ) =
i=1
Si la función es positiva, gráficamente las sumas inferiores
significan dar una cota por defecto del valor del área que
encierra la función con el eje de abcisas (es la suma de las
áreas de los rectángulos de base ∆xi y altura mi ), y las
sumas superiores una cota por exceso del valor del área.
En la figura de la derecha, el valor de la suma inferior es el
área de la zona gris oscuro y el valor de la suma superior el
de dicha zona más las áreas de los rectángulos superiores.
Puede observarse como el área que encierra la curva está
precisamente entre ambos valores.
Prof: José Antonio Abia Vian
n
P
i=1
mi (xi − xi−1 ) =
Mi (xi − xi−1 ) =
n
P
i=1
n
P
i=1
mi ∆xi
Mi ∆xi .
M
m
a
b
I.T.I. en Electricidad
142 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.2 Integral de una función real de variable real
Ejemplo 263 Si tomamos f : [0, 1] −→ IR donde f (x) = 2x , y la partición P =
[0, 1] = [0, 31 ] ∪ [ 13 , 23 ] ∪ [ 23 , 1] y que ∆x1 = ∆x2 = ∆x3 =
1
3
n
o
0, 31 , 23 , 1 , se tiene que
. Luego
m1 = inf{2x : x ∈ [0, 13 ]} = 0
M1 = sup{2x : x ∈ [0, 31 ]} =
m2 = inf{2x : x ∈ [ 31 , 23 ]} =
M2 = sup{2x : x ∈ [ 31 , 23 ]} =
m3 = inf{2x : x ∈ [ 32 , 1]} =
L(f, P ) = 0 ·
1
3
+
2
3
·
1
3
+
4
3
·
1
3
=
2
3
4
3
2
3
4
3
M3 = sup{2x : x ∈ [ 32 , 1]} = 2
2
3
U (f, P ) =
2
3
·
1
3
+
4
3
·
1
3
+2·
1
3
=
4
3
Como el área encerrada por la función es 1 (es el área de un triángulo de altura 2 y base 1), se verifica que
L(f, P ) = 32 ≤ 1 ≤ 43 = U (f, P ).
4
Propiedades 264.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada.
a) Para toda P ∈ P[a, b], se verifica que
L(f, P ) ≤ U (f, P ).
b) Para todas P1 , P2 ∈ P[a, b] con P1 ⊆ P2 , se verifica que
L(f, P1 ) ≤ L(f, P2 )
c) Para cualesquiera P, Q ∈ P[a, b], se verifica que
y
U (f, P2 ) ≤ U (f, P1 ).
L(f, P ) ≤ U (f, Q).
.
Corolario 265.- Sean f : [a, b] −→ IR una función acotada y P0 ∈ P[a, b]. Entonces, para toda P ∈ P[a, b] con
P0 ⊆ P , se verifica que
0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, P0 ) − L(f, P0 ).
Demostración:
Usando las propiedades b) y a) anteriores, se tiene la cadena de desigualdades
L(f, P0 ) ≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ U (f, P0 ),
entonces, restando entre si los elementos extremos y los centrales, se tiene
0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) ≤ U (f, P0 ) − L(f, P0 ).
13.2
Integral de una función real de variable real
Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada, los conjuntos de números reales
A = {L(f, P ) : P ∈ P[a, b]} y B = {U (f, P ) : P ∈ P[a, b]}
son no vacı́os. Por la propiedad c) de 264, el conjunto A está acotado superiormente (cualquier suma superior
es cota superior de A) y por tanto tiene extremo superior, que denotamos por I , y al que denominaremos
integral inferior de f en [a, b]. Es decir,
n
o
I = sup A = sup L(f, P ) : P ∈ P[a, b] .
Análogamente el conjunto B está acotado inferiormente (cualquier suma inferior es cota inferior de B ) y por
tanto tiene extremo inferior, que denotamos por I , y al que denominaremos integral superior de f en [a, b].
Es decir,
n
o
I = inf B = inf U (f, P ) : P ∈ P[a, b] .
Como cualquier elemento de A es menor o igual que cualquier elemento de B , se tiene que I ≤ I .
Definición 266.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada. Se dice que f es integrable si y sólo si I = I .
El valor I = I = I , se denomina integral de Riemann de la función f en [a, b], y se representa por
Z
f
a
Prof: José Antonio Abia Vian
Z
b
I=
ó
b
I=
f (x) dx
(si se quiere poner énfasis en la variable usada)
a
I.T.I. en Electricidad
143 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.2 Integral de una función real de variable real
Teorema 267.- (Condición de integrabilidad de Riemann)
Una función f : [a, b] −→ IR acotada es integrable Riemann si, y sólo si, para todo ε > 0 existe una partición
Pε ∈ P[a, b] tal que
U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε.
Demostración:
=⇒c Sea f integrable Riemann y sea ε > 0. Como I = I es el inferior de las sumas superiores y I = I es el
superior de las sumas inferiores, existe una partición P1 y existe una partición P2 , tales que
U (f, P1 ) − I <
ε
2
y
ε
.
2
I − L(f, P2 ) <
Tomando Pε = P1 ∪ P2 , se tiene que P1 ⊆ Pε y P2 ⊆ Pε y, por tanto,
U (f, Pε ) ≤ U (f, P1 ) y L(f, P2 ) ≤ L(f, Pε ).
Luego
U (f, Pε ) − I ≤ U (f, P1 ) − I < 2ε
y I − L(f, Pε ) ≤ I − L(f, P2 ) <
y sumando ambas desigualdades
U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε .
ε
2
,
⇐=c
Recı́procamente, supongamos que para cualquier ε > 0 existe una partición Pε ∈ P[a, b] tal que
U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε . Sabemos también que
I ≤ U (f, Pε )
y
L(f, Pε ) ≤ I ,
restando entonces ambas expresiones obtenemos
0 ≤ I − I ≤ U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε,
luego I = I .
Propiedades 268.- Sean f, g: [a, b] −→ IR integrables en [a, b] , λ ∈ IR y a < c < b . Entonces
Z b
Z b
Z b
1.- f + g es integrable en [a, b] y
(f + g) =
f+
g.
a
Z
a
Z
b
2.- λf es integrable en [a, b] y
λf = λ
a
a
b
f.
a
3.- f integrable en [a, b] si, y sólo si, f es integrable en [a, c] y [c, b].
Z b
Z c
Z b
En ese caso,
f=
f+
f.
a
a
.
c
Z
Z
a
Definición 269.- Por convenio,
Z
a
f (x) dx = 0 ;
f (x) dx = −
a
b
b
f (x) dx.
a
Como consecuencia de esta definición la propiedad (3) puede generalizarse a cualquier c ∈ IR , siempre que
la función sea integrable en los intervalos correspondientes, es decir:
Proposición 270.- Sea [a, b] ⊂ IR y c ∈ IR . Entonces
Z
Z
b
Z
c
f (x) dx =
b
f (x) dx +
a
f (x) dx,
a
c
siempre que las integrales existan (es decir, que f sea integrable en los intervalos correspondientes).
Demostración:
Sea a ≤ b ≤ c (análogamente si c ≤ a ≤ b). Si f es integrable en [a, c], por la propiedad (3),
Z c
Z b
Z c
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx,
a
a
b
luego
Z
Z
b
a
Prof: José Antonio Abia Vian
Z
c
f (x) dx =
f (x) dx −
a
Z
c
f (x) dx =
b
Z
c
f (x) dx +
a
b
f (x) dx.
c
I.T.I. en Electricidad
144 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.2.1
13.2 Integral de una función real de variable real
Sumas de Riemann
Definición 271.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada. Para cada partición P ∈ P[a, b] elijamos un
conjunto E = {e1 , e2 , . . . , en } tal que ei ∈ [xi−1 , xi ] para todo i = 1, . . . , n . Se llama suma de Riemann de
la función f para la partición P y el conjunto E al número
S(f, P, E) =
n
X
f (ei )∆xi .
i=1
Observación:
Es claro que para cualquier P y cualquier conjunto E elegido,
L(f, P ) ≤ S(f, P, E) ≤ U (f, P ),
pues, para todo i = 1, . . . , n , se verifica que mi ≤ f (ei ) ≤ Mi para cualquier ei ∈ [xi−1 , xi ].
Mi
f (ei )
mi
Fig. 13.1. Sumas de Riemann.
Lema 272.- Sean f : [a, b] −→ IR acotada y P ∈ P[a, b]. Para cualquier ε > 0 es posible elegir dos conjuntos
E1 y E2 asociados a P de forma que
S(f, P, E1 ) − L(f, P ) < ε
y
U (f, P ) − S(f, P, E2 ) < ε .
Demostración:
Probaremos solamente la primera ya que la segunda se prueba de forma análoga.
Sea ε > 0 . Para cada i = 1, . . . , n, por ser mi = inf{f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} existe ei ∈ [xi−1 , xi ] tal que
ε
f (ei ) − mi < b−a
, y sea E1 el conjunto formado por estos ei . Entonces
S(f, P, E1 ) − L(f, P ) =
n
X
(f (ei ) − mi ) ∆xi <
i=1
n
X
i=1
n
ε
ε X
∆xi =
∆xi = ε.
b−a
b − a i=1
Proposición 273.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada. Entonces f es integrable en [a, b] y el valor de
su integral es I si y sólo si para cada ε > 0 existe Pε ∈ P[a, b] tal que para toda P más fina, Pε ⊆ P , y
cualquier elección del conjunto E asociado a P se cumple que |S(f, P, E) − I| < ε .
.
13.2.2
Otras propiedades de la integral
Z
b
Proposición 274.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b] y tal que f ≥ 0 en [a, b], entonces
f ≥ 0.
a
Demostración:
Z
b
Es claro, pues para cualquier P ∈ P[a, b] se tiene que 0 ≤ L(f, P ) ≤ I =
f.
a
Z
b
f≤
a
Prof: José Antonio Abia Vian
Z
b
Corolario 275.- Sean f y g integrables en [a, b] tales que f ≤ g en [a, b]. Entonces
g.
a
I.T.I. en Electricidad
145 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
Demostración:
Z
Z
b
Como 0 ≤ (g − f ), se tiene 0 ≤
13.2 Integral de una función real de variable real
a
Z
b
(g − f ) =
a
Z
b
g−
a
Z
b
f . Luego
b
f≤
g.
a
a
Proposición 276.- Sea f integrable en [a, b] , entonces |f | es integrable en [a, b] y se verifica que
¯Z
¯ Z
¯ b
¯
b
¯
¯
|f (x)| dx .
¯ f (x) dx¯ ≤
¯ a
¯
a
.
Corolario 277.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b]. Para cualesquiera c, d ∈ [a, b] se verifica que
¯
¯ ¯Z
¯Z
¯
¯ ¯ d
¯ d
¯
¯ ¯
¯
|f (x)| dx¯ .
f (x) dx¯ ≤ ¯
¯
¯
¯ ¯ c
¯ c
Demostración:
En efecto, si c ≤ d es la proposicion 276. Si d ≤ c , se tiene
Z
Z
c
−
|f (x)| dx ≤
d
luego
Z
c
Z
c
f (x) dx ≤
|f (x)| dx =⇒
d
d
Z
d
|f (x)| dx ≤ −
c
Z
d
d
f (x) dx ≤ −
c
|f (x)| dx,
c
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯ d
¯ ¯ d
¯
¯
¯ ¯
¯
|f (x)| dx¯ .
¯ f (x) dx¯ ≤ ¯
¯ c
¯ ¯ c
¯
Proposición 278.- Si f y g son integrables en [a, b] , entonces f g es integrable en [a, b].
13.2.3
.
Algunas funciones integrables
Proposición 279.- Sea f : [a, b] −→ IR una función monótona. Entonces f es integrable en [a, b].
Demostración:
Supongamos que f es monótona creciente (análogo para decreciente). Entonces, para cualquier partición
P ∈ P[a, b] se tiene que mi = f (xi−1 ) y Mi = f (xi ) , para todo i = 1, 2, . . . , n . En particular, si Pn es la
partición equiespaciada de [a, b], con xi = a + i b−a
n , es decir,
©
Pn = a, a +
y ∆xi =
b−a
n
b−a
n ,
b−a
b−a
a + 2 b−a
n , . . . , a + (n − 1) n , a + n n = b
ª
, para todo i , se tiene que
U (f, Pn ) − L(f, Pn ) =
n
X
f (xi )∆xi −
i=1
n
X
f (xi−1 )∆xi =
i=1
n ³
X
i=1
´b − a
f (xi ) − f (xi−1 )
n
n
´
´ b − a³
b − a X³
=
f (b) − f (a) .
f (xi ) − f (xi−1 ) =
n i=1
n
Luego tomando n suficientemente grande para que
U (f, Pn ) − L(f, Pn ) =
b−a
n
<
ε
f (b)−f (a)
, entonces
´
³
´
ε
b − a³
f (b) − f (a) <
f (b) − f (a) = ε.
n
f (b) − f (a)
Teorema 280.- Sea f : [a, b] −→ IR una función continua en [a, b]. Entonces f es integrable en [a, b].
Teorema 281.- Sea f : [a, b] −→ IR una función acotada en [a, b] y continua en [a, b] salvo acaso en una
cantidad numerable de puntos de dicho intervalo. Entonces f es integrable en [a, b].
Prof: José Antonio Abia Vian
I.T.I. en Electricidad
146 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.3
13.3 Integración y derivación
Integración y derivación
Teorema 282.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b], con a < b, y m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] .
Entonces
Z b
1
m≤
f (x) dx ≤ M.
b−a a
Demostración:
Por ser m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], se tiene que
Z
Z
b
m dx ≤
a
Z
b
f (x) dx ≤
a
Z
b
M dx,
a
b
entonces (ver ejercicio 13.166) m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a), luego
a
1
m≤
b−a
Z
Nota: Como
1
b−a
Z
b
f (x) dx =
a
1
a−b
Z
b
f (x) dx ≤ M.
a
Z
a
f (x) dx, también es cierto que m ≤
b
1
a−b
a
f (x) dx ≤ M .
b
Teorema de la media 283.- Sea f : [a, b] −→ IR una función continua en [a, b], entonces existe ξ ∈ [a, b] tal
que
Z b
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
a
Demostración:
Al ser f continua en [a, b], alcanzará el mı́nimo y el máximo en [a, b]. Sean éstos m y M respectivamente.
Z b
1
Por el teorema anterior 282, m ≤ b−a
f (x) dx ≤ M y, por ser f continua, toma todos los valores entre el
a
Z b
1
f (x) dx.
mı́nimo y el máximo; por consiguiente, existe ξ ∈ [a, b] tal que f (ξ) = b−a
a
Definición
Z x284.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b]. La función F : [a, b] −→ IR definida de la forma
F (x) =
f (t) dt recibe el nombre de función integral de la función f .
a
Teorema 285.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b]. Entonces su función integral es continua en [a, b].
Demostración:
Como f está acotada en [a, b], existe M ∈ IR tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ [a, b].
Sea entonces x ∈ [a, b], la función F estará definida en todos los puntos de la forma x + h siempre que
a < x + h < b , luego
Z
Z
x+h
F (x + h) − F (x) =
f (t) dt −
a
Z
x
x+h
f (t) dt =
a
f (t) dt.
x
Como −M ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], por el teorema 282 y la observación posterior, se tiene que
1
−M ≤
h
y, por tanto,
x+h
f (t) dt ≤ M,
x
¯ Z
¯
¯ 1 x+h
¯
¯
¯
|F (x + h) − F (x)| = |h| ¯
f (t) dt¯ ≤ M |h| .
¯h x
¯
Tomando lı́mites, cuando h → 0,
³
´
lı́m F (x + h) − F (x) = 0.
h→0
Prof: José Antonio Abia Vian
Z
h 13.1i
I.T.I. en Electricidad
147 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.3 Integración y derivación
y, por tanto, F es continua en [a, b] .
Z
Teorema fundamental del cálculo 286.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable y F (x) =
x
f (t) dt su función intea
gral. Si f es continua en [a, b], entonces
a) F es derivable en [a, b].
b) F 0 (x) = f (x) , para todo x ∈ [a, b].
Demostración:
Sea x ∈ (a, b). La función F estará definida en todos los puntos de la forma x + h siempre que a < x + h < b,
entonces
Z x+h
f (t) dt
F (x + h) − F (x)
f (ξ)h
lı́m
= lı́m x
= lı́m
= lı́m f (ξ) = f (x),
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
ya que, por el teorema de la media 283, ξ es un punto comprendido entre x y x + h; y f es continua en [a, b] .
Ası́ pues F es derivable para todo x ∈ (a, b) y F 0 (x) = f (x).
Como F y f son continuas en [a, b], F es derivable “por la derecha” en a y “por la izquierda” en b,
verificándose que F 0 (a) = f (a) y F 0 (b) = f (b) .
Regla de Barrow 287.- Sea f : [a, b] −→ IR integrable en [a, b]. Si G: [a, b] −→ IR es una primitiva de f en
[a, b], entonces
Z b
f (x) dx = G(b) − G(a).
a
Demostración:
Sea ε > 0. Por ser f integrable en [a, b] existe Pε ∈ P[a, b], tal que U (f, Pε ) − L(f, Pε ) < ε. Aplicando el
teorema del valor medio de Lagrange a la función G , para cada i = 1, 2, . . . , n existe ei ∈ (xi−1 , xi ) tal que
G(xi ) − G(xi−1 ) = G0 (ei )(xi − xi−1 ) = f (ei )(xi − xi−1 ).
Puesto que mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi } y Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }, se tiene que
mi ≤ f (ei ) ≤ Mi ,
de donde
mi (xi − xi−1 ) ≤ f (ei )(xi − xi−1 ) ≤ Mi (xi − xi−1 )
mi (xi − xi−1 ) ≤ G(xi ) − G(xi−1 ) ≤ Mi (xi − xi−1 )
n
n ³
n
´ X
X
X
mi ∆xi ≤
G(xi ) − G(xi−1 ) ≤
Mi ∆xi
i=1
i=1
i=1
L(f, Pε ) ≤ G(b) − G(a) ≤ U (f, Pε ).
Z
b
f (x) dx ≤ U (f, Pε ), se verifica que
Como también es L(f, Pε ) ≤
a
¯Z
¯
¯ b
³
´¯
¯
¯
f (x) dx − G(b) − G(a) ¯ < ε
¯
¯ a
¯
y, por tanto,
Z
b
f (x) dx = G(b) − G(a).
a
Teorema del Cambio de variable 288.- Sean f : [a, b] −→ IR continua en [a, b] y x = φ(t) siendo φ(t) y φ0 (t)
funciones continuas en [α, β] (ó [β, α] ), con φ(α) = a y φ(β) = b. Entonces:
Z
Z
b
β
f (x) dx =
a
Prof: José Antonio Abia Vian
f (φ(t))φ0 (t) dt.
α
I.T.I. en Electricidad
148 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.4 Ejercicios
Demostración:
f (φ(t))φ0 (t) es también continua, luego las funciones
Z
Z
x
F (x) =
f (u) du
y
t
G(t) =
a
f (φ(v))φ0 (v) dv
α
0
son respectivamente primitivas de f (x) y f (φ(t))φ (t) .
Ahora bién, como F es una primitiva de f , F (φ(t)) es también una primitiva de f (φ(t))φ0 (t), luego
F (φ(t)) = G(t) + C , para todo t ∈ [α, β].
Para t = α se tiene F (φ(α)) = G(α) + C , y como F (φ(α)) = F (a) = 0 y G(α) = 0, entonces C = 0 .
Y para t = β se tiene F (φ(β)) = G(β) , es decir,
Z
Z
b
β
f (x) dx =
a
13.4
f (φ(t))φ0 (t) dt.
α
Ejercicios
13.166 Comprobar que la función f (x) = k , donde k es constante, es integrable en cualquier intervalo [a, b] de
IR y calcular el valor de la integral.
½
1, si x ∈ [0, 1]
13.167 Comprobar que la función f (x) =
es integrable Riemann en [0, 2]. (Utilizar la condición
2, si x ∈ (1, 2]
de integrabilidad de Riemann.)
13.168 Justificar razonadamente la falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) U (f, P1 ) = 4 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y U (f, P2 ) = 5 para P2 = {0, 41 , 1, 23 , 2}.
b) L(f, P1 ) = 5 para P1 = {0, 1, 32 , 2} y L(f, P2 ) = 4 para P2 = {0, 41 , 1, 23 , 2} .
c) Tomando P ∈ P[−1, 1],
(i) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 2 .
Z
1
(ii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y
f (x) dx = 2.
−1
1
Z
(iii) L(f, P ) = 3 y U (f, P ) = 6 y
f (x) dx = 10.
−1
Z
Z
1
13.169 Se sabe que
Z
2
f (x) dx = 6 ,
f (x) dx = 4 y
0
Z
2
Z
5
a)
f (x) dx
Z
a
f (x) dx
1
1+sen2 t
f (x) dx.
1
1
Z
f (t) dt . ¿Es cierto que F 0 (x) =
x
f 0 (t) dt? ¿Por qué?
a
x
5
c)
x
13.170 Sean f derivable y F (x) =
Z
Z
2
b)
0
13.171 Sea f (x) =
f (x) dx = 1 . Hallar el valor de cada una de las
0
siguientes integrales:
5
a
dt. Calcular f (x) y f 0 (x) , indicando sus dominios de definición.
0
13.172 Hallar f (x) , indicando su dominio de definición, para
Z
a)
f (x) =
Z
c)
x3
a
sen x
f (x) =
a
Prof: José Antonio Abia Vian
µZ
1
1+sen2 t dt.
1
1+sen2 t dt.
x
b) f (x) =
¶3
1
1+sen2 t dt
a
Z ¡R x
a
d) f (x) =
a
.
¢
1
dt
1+sen2 t
1
1+sen2 t dt.
I.T.I. en Electricidad
149 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
13.4 Ejercicios
13.173 Hallar el dominio y la expresión de f 0 (x) para cada una de las siguientes funciones:
Z 47
Z sec x
Z cos x
1
1
a) f (x) =
dt
b)
f
(x)
=
dt
c)
f
(x)
=
sen(t2 ) dt
t
t
1
x
x2
Z
x3
x
13.174 Si f es continua, calcular F 0 (x) , siendo F (x) =
xf (t) dt.
0
13.175 Probar que si f : IR −→ IR es continua y periódica de periodo T , entonces
Z a+T
Z T
f (x) dx =
f (x) dx
∀ a ∈ IR.
a
0
13.176 Demostrar que si f : IR −→ IR es continua, entonces
Z x
Z
(x − u)f (u) du =
0
x
µZ
0
13.177 Demostrar que se verifica la igualdad
Z
Z
b
f (x) dx =
a
u
¶
f (t) dt du.
0
b
f (a + b − x) dx.
a
Como consecuencia, probar que si f (a + b − x) = f (x) , entonces
Z
Z b
a+b b
f (x) dx,
xf (x) dx =
2
a
a
Z 3π
4
y usar este resultado para calcular
x sen x dx .
π
4
13.178 Sea f : IR −→ IR estrictamente creciente y continua, con f (0) = 0. Calcular los extremos de la función
Z (x+3)(x−1)
f (t) dt.
0
13.179 Dada la función f estrictamente creciente en IR , con f (0) = 0 , y continua, estudiar el crecimiento,
Z x3 −2x2 +x
decrecimiento y los extremos de F (x) =
f (t) dt .
1
Z
x
Z
0
b
f 2 (x) dx = 1 . Probar que
13.181 Sea f : [a, b] −→ IR de clase 1, tal que f (a) = f (b) = 0 y
Z
2
te−t dt alcanza algún extremo.
13.180 Encontrar los valores de x para los que la función F (x) =
a
b
a
1
xf (x)f 0 (x) dx = − .
2
13.182 Sean f y g funciones reales continuas en [a, b] que verifican que
Z b
Z b
f (x) dx =
g(x) dx.
a
a
Demostrar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c) .
Z 1
13.183 Se define la función beta por B(n, m) =
xn−1 (1 − x)m−1 dx para n, m ∈ IN , n, m > 0.
0
a) Probar que B(n, m) = B(m, n).
n! · 1!
.
(n + 1)!
c) Probar que si n, m ≥ 2, B(n, m) = n−1
m B(n − 1, m + 1) =
n! · m!
.
B(n, m) =
(n + m)!
b) Probar que B(n, 1) = B(1, n) =
Prof: José Antonio Abia Vian
m−1
n B(n + 1, m − 1)
y deducir de ello que
I.T.I. en Electricidad
