IV.Bim.L.M.Algebra.6to.prim

Primaria
Álgebra
ÍNDICE
•
Multiplicación de un monomio por
un polinomio ................................................................ 38
•
División de un polinomio entre un monomio ................ 41
•
Notación polinómica - Valor número ............................. 47
•
Resolución de ecuaciones en Z - I ................................. 50
•
Resolución de ecuaciones en Z - II ................................ 52
•
Resolución de inecuaciones en Z - I .............................. 53
•
Resolución de inecuaciones en Z - II ............................. 55
¿Qué conoces acerca de . . .?
"Los griegos y el álgebra"
Para los griegos los números eran considerados como "medida y esencia
de las cosas materiales", como algo que además no podía desligarse de lo
geométrico. Fue para ellos, al comienzo, imposible pensar siquiera remotamente
en el número como algo con un sentido general.
Es por eso que no podríamos afirmar que en Grecia, inclusive en su época
de oro, existió el álgebra como ciencia, pues si bien es cierto que ellos resolvieron
problemas algebraicos, hallaron sus soluciones siguiendo el camino geométrico.
Ejemplo: Observa la siguiente figura y encuentra 4 igualdades como mínimo.
b
a
b
A1
A2
A1 =
A2 =
a
A3
A4
A3 =
A4 =
Multiplicación de un monomio
por un polinomio
Para resolver esta operación aplicaremos la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma y diferencia.
Ley de signos:
Observa:
(+) (+) =
+
(+) (-)
=
-
(-) (+) =
-
(-)
+
(-)
=
*
Si se multiplica dos cantidades del mismo signo se
obtiene siempre +
*
Si se multiplica dos cantidades de signos contrarios se
obtiene siempre -
Ejemplo: Observa detenidamente cada caso
1
2
3.(7 + 8) = 3.7 + 3.8
5.(6 - 2) = 5.6 - 5.2
= 21 + 24
= 30 - 10
=
=
45
3
20
4
4x2y (2x3y - x3y) = 8x5y2 - 4x5y2
2x.(3x + 5y) = 6x2 + 10xy
¡semejant es!
= 4x5y2
5
6
x2yz3(3xy2z - 7x3y2z4 - 2y4)
3x(4x2 + 5x - 6) = 12x3 +15x2 -18x
3x3y3z4 - 7x
y
z
- 2x
y
z
AHORA HAZLO TÚ
I.
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios en tu cuaderno, si es posible
simplifica cada expresión.
8(3x2 + 7x + 6)
1.
7(10x + 2)
2.
3.
5.
5(x2 - y2) 4.
4(x3 + 2x2 + 3x + 4)
6(x2 + xy + y2)
6. x(x4 - 4x3 + 3x2 - 2x - 2)
7.
2x(3xy2 - 2x2y)
8.
9.
3x(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)
10. (9x(x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
10x(7x2 - 4xy + y2)
11. x2y3(x4 - y4)
12. 2xy3(3x2y2 + 5xy - 7x2y2 - 4xy)
13. 4z3(5z2 + 7z2 - z2 + 5z2)
14. 5z4x2(x2z4 - 10xz + 3z4x2 + 4xz)
15. 6yx(y3 - x3)
II.
Desafíos
1.
Simplificar:
P(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x - 3x2)
2.
Simplificar:
P(x) = x(7x - 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x
3.
Simplificar y luego hallar "P(x) + Q(x)"
si: P(x) = 3x(6x - 8) + 4x(9 - 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 - 2x)
4.
Calcular: "P(x) - Q(x)"
si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 - 3x)
5.
Si: R(x) = 7x 3(5x3 - 3) + 4(2x6 - x3)
hallar la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
III.
Desafíos
1.
Simplificar:
Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x - 3x2)
2.
Simplificar:
Q(x) = x(7x - 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x
3.
Simplificar y luego hallar "P(x) + Q(x)"
si: P(x) = 3x(6x - 8) + 4x(9 - 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 - 2x)
4.
Calcular: "P(x) - Q(x)"
si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 - 3x)
5.
Si: R(x) = 7x3(5x3 - 3) + 4(2x 6 - x3)
hallar la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
6.
Dado: A(x) = (2x2 - 3x3).7x y B(x) = (5x3 - 4x2).8x
calcular: "A(x) + B(x)"
7.
Hallar el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado.
P(x) = 7x2(5x3 + 8x 4) + 8x 5(x 2 - 3x 3)
8.
Calcular el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado.
P(x,y) = 4x2y3(y2 - 2x2y5 - 8x) + 7y8x4
9.
Dado el polinomio: P(x;y;z) definido como:
P(x;y;z) = 8a3 b4 x3 y4 z5 - 4b4a3z5x3y4
encontrar:
a.
GA =
b.
GR(x) =
c.
GR(y) =
d.
GR(z) =
e.
Coeficientes =
10. Hallar el V.N. de P(4;2); si: P(x;y) = 7x(x2 - 3x) - 4x3 + 21x2 + 5x(2x - 3x2)
(sugerencia: primero deberá reducir el polinomio)
División de un polinomio
entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio
entre el monomio.
Ley de signos:
Observa:
(+)  (+) =
+
(+)  (-)
=
-
(-)  (+) =
-
(-)  (-)
+
=
*
Si se dividen dos cantidades del mismo signo el
resultado es siempre +
*
Si se dividen dos cantidades de signos contrarios el
resultado es siempre -
Ejemplo:
a.
b.
c.
d.
x5
x
2
 x 5 2  x 3
12 x 4 y 3
2 2
4x y
 3 x 2 y1  3 x 2 y
 45 x 8 z 9
3
15 z x
 3 x7 z 6
18 x 4y 3 z 9
 6 x 3 y 2 z 8
 3 xyz
Ejemplo:
a.
b.
(18x4 - 9x6 + 6x8 )  (-3x2 ) = -6x2 + 3x4 - 2x6
45 x 2 y 3  18 x 4 y6  27 x 6 y8
9 x 2y2
45 x 2 y 3
18 x 4 y6 27 x 6 y8



9 x2 y2
9 x 2y2
9 x 2y2
= 5y + 2x2y4 - 3x4y6
AHORA HAZLO TÚ
I.
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios en tu cuaderno, si es posible
simplifica cada expresión.
1.
3.
5.
3 x 4y 4
3 x 4y4
25 x 6 z 8 y4
 5 y 2 zx 5
4 x 4 y5  8 x 6 y7  16 x 8 y9
2 x 3y4
7.
40y10 z10 50y 8 z 5



10 y 3 z
20 z7 y7
25 y 5 z 2
8.
(49x4y3 + 7x8y6)  (7x4y3)
9.
(18x8y4z3 - 36z3y4x8)  (6x4zy2)
18 x 4 z 8
2.

4.
25 x 8  50 x 6  75 x 4  100 x 2
6.
6 x4z8
25 x 2
 24 x 6
18 x 9 25 x 4 10 x 8




7
2
4
9x
5x
5 x6
12 x
30y6 z 4
10. (48x100 + 72x1000 - 84x10000)  (12x100)
II
Desafíos
1.
Simplificar:
5 x( 5 x  3 x 2 )  3 x( x 2  3 x )
2x
2.
Simplificar:
x(7 x  7 ) 7 x 2 ( 8  3 x ) 5 x


7
5x
7x
3.
Hallar el grado absoluto del polinomio simplificado.
P( x ) 
4.
5.
4 x( 3 x 2  2 x 3 )  2(7 x 3  5 x 4 )
2 x2
18 x 2 y4  36 xy 2  2 x 2 y4  30 xy 2
Si: P( x ;y ) 
2x
calcular: P(3;2)
Indicar la suma de coeficientes del polinomio simplificado, si:
P( x ;y ;z ) 
6.
3 x 2 y2 z 2
Calcular "A(x) + B(x)", si:
A( x ) 
B( x ) 
7.
3( x 3 y 3 z 4  3 x 6 y6 z 8 )  6 x 3 y 3 z 4
8 x 2 ( 4 x  3 x 2  5 x 3 )
4x2
3 x 5  6 x( 4 x 4  2 x 2  x 3 )
3x3
Hallar el VN de P(1;0)
18 x 6 y8  36
x 8 y6  6 x10 y10

si: P( x ;y ) 
 6 x 5 y5
8.
Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:
P( x ;y ;z ) 
50 x 4 y4  100 x 8 y8 z 6  60 x10 y10 z10
3( x  x 2 )  7 x 2  3 x
calcular:
a.
GA =
b.
GR(z) =
c.
GR(y) =
d.
GR(x) =
e.
Suma de coeficientes =
9.
Calcular el grado relativo respecto de "x", del polinomio simplificado, si:
P( x ) 
16 x 3  8( x 4  3 x 3  2 x 2 )  8 x 4  16 x 2
4x2
7 x 3 ( 5 x 3  3 )  4( 5 x 6  x 3 )

10. Si: R( x ) 
15 x 2  (10 x 2  5 x 2  5 x 2 )
Hallar la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
11. Completar la tabla con "monomios", de tal forma que al sumar las filas,
columnas y diagonales siempre dé como resultado 25x5.
6x5
5x5
x5
3x5
2x5
15x5
12. Representar algebraicamente el perímetro de cada figura que a
continuación se muestra.
a)
b)
2x + 10
x+4
2x
x+4
x+1
P=
P=
2x + 1
3x
c)
5x
P=
4x
d)
2x + 5
P=
13. Hallar la expresión algebraica que represente el área de cada figura.
a)
b)
6x
6x
2
4x2
9x2
2
3x
a)
3x
b)
4x2
3x
5x2
7x
Habilidad operativa
Reemplaza cada letra con su respectivo valor y luego desarrolla tu cálculo mental.
Sean: x = 2; y = 4; z = 3
Considera las siguientes expresiones algebraicas:
a.
3x2
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b.
x2
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c.
z 3 z  xy
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
3xyz - xy
e.
y 2  x 2 y2  x 2

10
3
f.
y2 - x2
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g.
x2 + 2zy + y2
 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Rpta.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notación polinómica Valor numérico
NOTACIÓN POLINÓMICA
Un polinomio cuya única variable es "x" puede ser representado así: P(x)
Se lee:
"P de x" o "P en x"
Significa:Polinomio cuya única variable es "x"
Por lo tanto:
1.
M(x;y) = -2x4y5
será un monomio de variables: "x" e "y"
2.
P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3
será un monomio de variables: "x", "y", "z"
Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del
monomio.
3.
P(x) = 3x4 + 2x3 - 2x2 + x - 7
será un polinomio de 5 términos, cuya variable es "x".
4.
P(x,y) = -x2 + y3x4 - 7x2y7 - m
será un polinomio de 4 términos cuyas variables son "x" e "y"
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)
Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables, por
los valores numéricos que se dan.
Ejemplo:
a.
Si: P(x) = 3x2 + 1; hallar P(2)
Solución: como:
P(x) = 3x2 + 1
entonces: P(2) = 3.(2)2 + 1 = 13
b.
Si: P(x;y) = -x2y + 3x; hallar P(1;2)
Solución: como:
P(x;y) = -x2y + 3x
entonces: P(1;2) = -(1)2(2) + 3(1) = 1
c.
Si: M(x) = 7b2x3; hallar: M(5)
Solución: como:
M(x) = 7b2x3
entonces: M(5) = 7b2(5)3 = 875b2
AHORA HAZLO TÚ
1.
Dados los polinomios
P(x) = 3x2 + 5x + 2
Q(x) = 2x2 + 3x + 1
H(x) = 3x3 + x2
a.
Hallar: P(1); Q(1); H(1); P(0); Q(0); H(0)
b.
Hallar el valor de "A"; si: A = P(1) + Q(2) + H(3)
c.
Hallar el valor de "B", si: B = P(3) - Q(2)
2.
Si: P(x) = 2x + 1, hallar: P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
3.
Calcular: F(3), si: F(x) = 4x - 9
4.
Dado: F(x;y) = 2x2 + xy + y
calcular: F(3;0) + F(0;3)
5.
Si: A(x) = 3x3 + 2x2; B(x) = 2x3 + 3x; C(x) = x3 - x2
hallar: A(1) + B(2) + C(3)
6.
Si se sabe que: F(x) = 3x2 + x - 5; P(x) = x2 + x - 3
calcular: F(1) + P(2) + F(2)
7.
Partiendo del polinomio: P(x;y) = xy + x + y
calcular: P(3;2) + P(2;3) + P(1;4)
8.
Si se conocen:P(x) = 3x2 + 1; F(x) = 2x - 1
hallar: S = F(2) - P(1); dar como respuesta: F(S)
9.
Dado: P(x) = 3x + (x + 1)2; hallar: P(2) + P(3)
10. Si se conoce: F(x;y) = 2x2 + yx + 3y2
calcular: F(1;2) + F(2;1)
11. Sabiendo que el monomio: M(x;y) = 3xn + 1ym + 2
tiene grado relativo respecto de "x" igual a 6 y grado relativo respecto de "y"
igual a 9. Hallar "m + n"
12. Se sabe que el monomio:
N(x;z) = 25xa + 2z2a - 1
es de grado relativo respecto de "x" igual a 12. Hallar el grado relativo
respecto de "z".
13. Sabiendo que el polinomio: P(x) = 2xn + 3 + xn + 2 + x
es de grado absoluto igual a 5. Calcular el valor de "n".
14. Hallar el valor de "a + b" si: GR(x) = 8 y GR(y) = 6, si:
P(x;y) = 2xa + 2 + 3xy3 + b
15. Si el polinomio: P(x) = 3(x2)3(2xn)
es de grado relativo respecto a "x" igual a 13, hallar: 2n + 6.
Resolución de ecuaciones
en Z (I)
Observación: Se siguen los siguientes pasos:
Paso 1 : Se suprimen signos de colección.
Paso 2 : Se transponen términos.
Paso 3 : Se reducen términos semejantes.
Paso 4 : Se despega la incógnita.
AHORA HAZLO TÚ
I.
Resolver:
1.
2x + (15 - 3x) + 6 = 10 + (-5x + 31) - x
2.
3x - (5 + 2x) = 20 - (15x - 7)
3.
2x + (7 - 3x) = 8 + (9 - 6x)
4.
13 + (9x - 8) = 5x + (12x - 19)
5.
7z - (20 - 3z) = 50 + (4z - 10)
6.
4z - (12 - 8z + 3) = 9z - (14 - 2z + 2)
7.
5 - (3y - 8 - 6y) = 7y - (9 - 2y - 16)
8.
3y + (2 - 5y + 10) = 12 - (4y + 5 - 3y)
9.
2m - (3 - 9m + 8) = 35 - (3m - 62 + 4m)
10. 5m + [8 - (7m - 4)] = 36 - [4m + (-8 + 2m)]
11. -13 - [3 (x + 2) + 4] = 11 - [6 (-2x - 2) + 1]
12. 3(x - 4) + 6 = 5(x + 1) - 13
13. 5(x - 4) = 3(x + 6)
14. 3(x + 1) + 4(2x - 1) = 5(x + 5) - 2(x - 3)
15. 12(2x + 1) - 2 = 3(-2x + 8) - 4
II.
Resolver los siguientes problemas:
1.
¿Cuál es el número que aumentado en 8 es igual a 72?
2.
Si del triple de un número se resta dicho número se obtiene 24, ¿cuál es
el número?
3.
Si a un número se le suma el triple del mismo se obtiene 60. ¿Cuál es el
número?
4.
Si de la suma del cuádruplo de un número con el triple del mismo se
resta 8, el resultado es 27. ¿Cuál es el número?
5.
A Jorge le faltan 64 soles para comprar un maletín cuyo precio es el
triple de lo que tiene, ¿cuánto tiene Jorge?
6.
Hallar 5 números enteros consecutivos, sabiendo que la suma es igual
a 35.
7.
Hallar 4 números impares consecutivos, sabiendo que su suma es igual
a 40.
8.
Se tiene 3 ángulos cuya suma es igual a 180º, el segundo es el triple
del primero y el tercero el duplo del segundo. Hallar el valor de cada
ángulo.
9.
Luis tiene la tercera parte de los años de Andrés y Julio cinco veces la
edad de Luis; si la suma de las tres edades es de 54 años. ¿Cuál es la
edad de cada uno?
10. Se pagó 108 soles por un libro, un lapicero y una billetera, la billetera
costó 10 soles más que el libro y 43 soles menos que el lapicero. ¿Cuánto
se pagó por el precio de cada artículo?
Resolución de ecuaciones
en Z (II)
Observación: Se siguen los siguientes pasos:
Paso 1 : Se obtienen el m.c.m. de los denominadores
Paso 2 : Se multiplica a cada uno de los términos de la ecuación por el m.c.m.
Paso 3 : Se reducen términos semejantes.
Paso 4 : Se despeja la incógnita.
AHORA HAZLO TÚ
*
Hallar el valor de "x" en cada caso.
1.
x x 7
 
4 3 2
2.
7 x 4x 5


3
6
4
3.
3x x 5
 
2
6 3
4.
x 7 5 4x
  
2 6 3
9
5.
3x
x
9  8 
4
4
6.
x 1 3 4x
  
5 2 2 5
7.
3x
x
3  5
2
4
8.
3x 1 2x 4
 

7
5
7
5
9.
5 2x 4x 3



3
3 4
4
10.
3x 2x 1 5

 
4
3
8 6
12. 2 x  9 
14.
3x  4 2x 7

2
3
4 x  10 5 x  12 3 x  7


3
6
12
11.
4 x 7 x  5 13 x


3
4
8
13.
2 x  9 x  2 3 x 13


0
2
3
4
15.
7 x 5 3x 2
 

12 7 12 7
Resolución de inecuaciones
en Z (I)
Se siguen los siguientes pasos:
Paso 1 : Se siguen los mismos pasos que para la solución de ecuaciones.
Paso 2 : Se encuentra el conjunto solución "C.S." (conjunto de valores que
satisface la desigualdad)
Debe tener en cuenta:
1.
Si un número entero positivo pasa a dividir de un miembro al otro miembro
de la desigualdad, la desigualdad no se altera.
3x < 12 
4x > 20 
2.
12
3
x<4
x
20
4
x>5
x
Si un número entero negativo pasa a dividir de un miembro al otro miembro
de la desigualdad, la desigualdad cambia de "sentido".
Observa:
15
-3
x > -5
-3x < 15  x >
Observa:
-2x > -6
-6
-2
x<3
 x<
AHORA HAZLO TÚ
I.
Hallar para cada caso el conjunto solución (C.S.) que satisface la
desigualdad.
a.
3x + 12 < x - [5x + 2]
b.
5x + 2x + x < 7x + 1
c.
3(x + 2) + 1 > 22
d.
4(x - 5) + 3 < 7
e.
1 - 2x + 3 - 4x > 2x - 28
f.
3 - [2x + (x + 2)] < 2
g.
-2 - 3x - 4  - 5 - 6x - 7
h.
4x - 5 + x  5x - 4 + x
i.
4(x + 2) + x < 5(x - 1) - x
8x + 7x - 6x - 5x  28
j.
k.
3x + 4x + 5x + 6x  36
l.
3x + 2 + 2x < 7x
m.
12x - 3  4x + 21
n
4 + 3(x + 1) > 5 + 4(x - 1)
o.
8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13
Resolución de inecuaciones
en Z (II)
I.
Hallar, para cada caso, el conjunto solución (C.S.) que satisface la
desigualdad.
a.
1
1
x 2
2
3
b.
3x  2 
x
1
2
c.
1
1 x
x 
6
2 3
d.
(1  x ) x
 1
3
5
e.
(7  2 x )
1 x
4
f.
2
1
2
x  1
3
3
3
g.
5 1
 xx
7 2
h.
x 1 ( x  2)

 3
6
i.
x 2 x
 2
7
5
j.
2x 1
x 3
3
k.
5 x 6x

3
5
2
l.
3x 1 x
 2
4
5
m.
x 2 x 3

5
2
3
n.
x  3 x 1

3
2
2
o.
x 4
2  x
3
p.
3x 1
3  x
2
q.
2x 1
2  x
3
r.
5 x 1
1  x
6
s.
x 2 x 3
   2
3 3 4 4
t.
2x 1 3
3
  x  6
5 4
2
5