Polinomios
Prof. Lucas Tapia Lucero
Grado relativo (G.R.)
El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable.
Ejemplo
(1)
Ejemplo
(2)
• Dado el polinomio:
• Dado el polinomio:
F(x;y;z) 6x 2y 3z 9x3y 4 z6 15xy 5z3
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5
- Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6
P(x;y) = 6x5y 2 9x 4 y3 7x3y 4
Grado absoluto (G.A.)
El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado.
Ejercicio 1
En el polinomio: P( x;y) xm 3yn1 xm 2yn1 xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con
respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12.
Resolución:
• Del enunciado:
P(x;y) xm 3yn1 xm 2yn1 xm 1yn2
Monomio de grado:
m+n+4
* ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2
Monomio de grado:
m+n+3
**) G.A. : m + n + 4 = 12
Monomio de grado:
m+n+3
Ejercicios Resueltos
m + 2 + 4 = 12 m = 6
Sobre polinomios
Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m 2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20.
Resolución:
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):
3m 2n 20
G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1)
7m 2n 80
. M. A. M. 10m = 100
G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80 7m + 2n = 80 . . . (2)
m = 10
Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20
Ejercicio 2
Hallar el coeficiente del monomio:
En el polinomio:
m n 2 m 3
n
1
9 x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7.
3
m
Ejercicio 3
n = 5
Resolución:
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
P( x;y) 4x
y
7xm n5ym 4 13xm n6 ym 2 se ve-rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e
"y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3.
Hallar el grado absoluto del polinomio.
Resolución:
G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1)
• G.R.(x): m +n + 5
G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10
* Del enunciado, planteamos la ecuación;
8m + n = 10
n = 10 - 8m
. . . . . (2)
(m + n + 5) - (m + 2) = 5
Reemplazamos la expresión (2) en (1):
3m + 2 (10 - 8m) = 7
3m + 20 - 16m = 7
n=2
n
m=7
Grado absoluto:
(n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1
2(7) + 2 + 1 = 17
reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos:
2
n=2
Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos:
n 1
Luego, Coeficiente del monomio = 9 ,
3
1
1
Coef. del monomio = 9 9 1
3
9
1
n + 3 = 5;
** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3
13 = 13m m = 1
Ahora en (2): n = 10 - 8(1)
• G.R.(y): m + 2
Grado absoluto del polinomio es 17
Rpta.
Ejercicios de reforzamiento
Sobre polinomios
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejercicio
1
Hallar "m" si el siguiente monomio
Ejercicio
es de segundo grado: 53 3 xm 4
monomio: M(x) 3
A) 6
B) 3
Ejercicio
2
es de grado 11.
A) 5
C) 5
D) 4
C) 3
D) 2
E) 1
1
de sexto grado respecto a "x": 2xm 1yn7
4
B) 3
C) 14
D) 8
E) 21
Ejercicio
4
Calcular el coeficiente del siguiente
monomio, sabiendo que es de octavo grado.
2 a 1 2
A) 375
y
B) 175
C) 215
D) 225
E) 255
Ejercicio
5
Proporcionar "m" si el siguiente
polinomio es de grado absoluto igual a 10.
P( x) 5 8xm 4 6xm 3 .
A) 7
A) 1
B) 6
C) 5
Si: M(x,y) 5a2 .
A) 2
Ejercicio
B) 3
7
D) 4
Ejercicio
14
A) 24
A) 1
C) 4
4
x16 .
5
Ejercicio
B) k
B) 2
k
B) 2
16
Ejercicio
12
E) 54
C) 3
D) 4
E) 5
C) 3
D) 4
E) 5
C) 7
D) 10
E) 11
C) 9
D) 14
E) 11
Calcular "mn", si el polinomio:
B) 19
E) 5
Calcular: (m + n) del monomio:
A) -2
B) 6
Ejercicio
17
A) 2
3
C) 1
D) -1
E) 3
Hallar el coeficiente del monomio:
xn-2 .
4
7
x3n
, si es de 2º grado.
xn1
B) 6
C) 10
D) 14
E) 18
Ejercicio
18 ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio?
A) 2n
D) 27
P( x, y) 4xm 1yn-2 6xm 2yn 2 xm 3yn 2 es tal que:
G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20
A) 9
D) 4
C) 9
Si: G.R.(x)=7 G.R.(y)=8.
B) 12
C) 3
P(x) x 2n1 x 2n 2 x2n3 . . . + x3 x2 x 1
P(x, y) 2xm 1 6xm yn 8yn 2 ¿Cuál es el grado de
P(x,y) ?
A) 10
E) 40
xnk , si es de grado tres.
Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de
modo que su grado sea: G = 5p - 6
B) 9
D) 64
grado relativo a "y" es 4.
E) 9
Ejercicio
9
El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?
11
E) 4
x1m . y 2-n
; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su
x1n . y 2-m
y 15 , ¿GA?
D) 7
C) 32
B) 2
B) 2n+1 C) 3n
P(x,y) 5xm
Ejercicio
D) 6
Ejercicio
15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?
(2x 2y3 5x6 y 2 )(3x4 y 4x5y 4 )?
A) 8
sea de primer grado.
C) 8
B) 48
Ejercicio
A) 1
x5n4
Calcular los valores de "m" y "n" en
Ejercicio
8
¿En cuánto excede el grado relativo
de "x" al grado relativo de "y" en:
A) 1
xn
P(x, y) x y xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado
relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como
respuesta: 2m + 3n.
E) 3
Hallar el coeficiente del siguiente
monomio: P( x) 2nn .
A) 2
6
B) 5
M(x) 2n .
Ejercicio 6
xn1 .
m 5 n 1
Ejercicio
3
Obtener: "mn", si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y
M(x,y) 15a x
Determinar "n" de modo que el
E) 2
Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 ,
B) 4
A) 10
13
C) 80
D) 81
E) 90
D) 2n - 1 E) n
19 Si:
3 m n1 16n
x y y
es un polinomio
4
homogéneo, hallar el valor de: "m+n"
A) 8
Ejercicio
B) 10
C) 7
D) 16
E) 6
20 Calcular la suma de coeficientes
del polinomio: Q(x, y) nxn5 3xnym mxm 3 , si
es homogéneo.
A) 10
Ejercicio
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
21 Si el polinomio:
P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente
nulo, señalar (a + b).
A) 4
Ejercicio
B) 5
C) 15
D) 20
E) 25
23 Si:
2
2x 5x 1 (Ax B)( x 1) C(x2 x 1) , calcular
el valor de: "A + B - C".
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Institución Educativa Jorge Chávez
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