Polinomios Prof. Lucas Tapia Lucero Grado relativo (G.R.) El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable. Ejemplo (1) Ejemplo (2) • Dado el polinomio: • Dado el polinomio: F(x;y;z) 6x 2y 3z 9x3y 4 z6 15xy 5z3 - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3 - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6 P(x;y) = 6x5y 2 9x 4 y3 7x3y 4 Grado absoluto (G.A.) El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado. Ejercicio 1 En el polinomio: P( x;y) xm 3yn1 xm 2yn1 xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12. Resolución: • Del enunciado: P(x;y) xm 3yn1 xm 2yn1 xm 1yn2 Monomio de grado: m+n+4 * ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2 Monomio de grado: m+n+3 **) G.A. : m + n + 4 = 12 Monomio de grado: m+n+3 Ejercicios Resueltos m + 2 + 4 = 12 m = 6 Sobre polinomios Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m 2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20. Resolución: • De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2): 3m 2n 20 G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1) 7m 2n 80 . M. A. M. 10m = 100 G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80 7m + 2n = 80 . . . (2) m = 10 Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20 Ejercicio 2 Hallar el coeficiente del monomio: En el polinomio: m n 2 m 3 n 1 9 x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7. 3 m Ejercicio 3 n = 5 Resolución: • De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: P( x;y) 4x y 7xm n5ym 4 13xm n6 ym 2 se ve-rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3. Hallar el grado absoluto del polinomio. Resolución: G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1) • G.R.(x): m +n + 5 G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10 * Del enunciado, planteamos la ecuación; 8m + n = 10 n = 10 - 8m . . . . . (2) (m + n + 5) - (m + 2) = 5 Reemplazamos la expresión (2) en (1): 3m + 2 (10 - 8m) = 7 3m + 20 - 16m = 7 n=2 n m=7 Grado absoluto: (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1 2(7) + 2 + 1 = 17 reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos: 2 n=2 Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos: n 1 Luego, Coeficiente del monomio = 9 , 3 1 1 Coef. del monomio = 9 9 1 3 9 1 n + 3 = 5; ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3 13 = 13m m = 1 Ahora en (2): n = 10 - 8(1) • G.R.(y): m + 2 Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta. Ejercicios de reforzamiento Sobre polinomios GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicio 1 Hallar "m" si el siguiente monomio Ejercicio es de segundo grado: 53 3 xm 4 monomio: M(x) 3 A) 6 B) 3 Ejercicio 2 es de grado 11. A) 5 C) 5 D) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1 de sexto grado respecto a "x": 2xm 1yn7 4 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21 Ejercicio 4 Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado. 2 a 1 2 A) 375 y B) 175 C) 215 D) 225 E) 255 Ejercicio 5 Proporcionar "m" si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. P( x) 5 8xm 4 6xm 3 . A) 7 A) 1 B) 6 C) 5 Si: M(x,y) 5a2 . A) 2 Ejercicio B) 3 7 D) 4 Ejercicio 14 A) 24 A) 1 C) 4 4 x16 . 5 Ejercicio B) k B) 2 k B) 2 16 Ejercicio 12 E) 54 C) 3 D) 4 E) 5 C) 3 D) 4 E) 5 C) 7 D) 10 E) 11 C) 9 D) 14 E) 11 Calcular "mn", si el polinomio: B) 19 E) 5 Calcular: (m + n) del monomio: A) -2 B) 6 Ejercicio 17 A) 2 3 C) 1 D) -1 E) 3 Hallar el coeficiente del monomio: xn-2 . 4 7 x3n , si es de 2º grado. xn1 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18 Ejercicio 18 ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio? A) 2n D) 27 P( x, y) 4xm 1yn-2 6xm 2yn 2 xm 3yn 2 es tal que: G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20 A) 9 D) 4 C) 9 Si: G.R.(x)=7 G.R.(y)=8. B) 12 C) 3 P(x) x 2n1 x 2n 2 x2n3 . . . + x3 x2 x 1 P(x, y) 2xm 1 6xm yn 8yn 2 ¿Cuál es el grado de P(x,y) ? A) 10 E) 40 xnk , si es de grado tres. Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de modo que su grado sea: G = 5p - 6 B) 9 D) 64 grado relativo a "y" es 4. E) 9 Ejercicio 9 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? 11 E) 4 x1m . y 2-n ; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su x1n . y 2-m y 15 , ¿GA? D) 7 C) 32 B) 2 B) 2n+1 C) 3n P(x,y) 5xm Ejercicio D) 6 Ejercicio 15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? (2x 2y3 5x6 y 2 )(3x4 y 4x5y 4 )? A) 8 sea de primer grado. C) 8 B) 48 Ejercicio A) 1 x5n4 Calcular los valores de "m" y "n" en Ejercicio 8 ¿En cuánto excede el grado relativo de "x" al grado relativo de "y" en: A) 1 xn P(x, y) x y xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como respuesta: 2m + 3n. E) 3 Hallar el coeficiente del siguiente monomio: P( x) 2nn . A) 2 6 B) 5 M(x) 2n . Ejercicio 6 xn1 . m 5 n 1 Ejercicio 3 Obtener: "mn", si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y M(x,y) 15a x Determinar "n" de modo que el E) 2 Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 , B) 4 A) 10 13 C) 80 D) 81 E) 90 D) 2n - 1 E) n 19 Si: 3 m n1 16n x y y es un polinomio 4 homogéneo, hallar el valor de: "m+n" A) 8 Ejercicio B) 10 C) 7 D) 16 E) 6 20 Calcular la suma de coeficientes del polinomio: Q(x, y) nxn5 3xnym mxm 3 , si es homogéneo. A) 10 Ejercicio B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 21 Si el polinomio: P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente nulo, señalar (a + b). A) 4 Ejercicio B) 5 C) 15 D) 20 E) 25 23 Si: 2 2x 5x 1 (Ax B)( x 1) C(x2 x 1) , calcular el valor de: "A + B - C". A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Institución Educativa Jorge Chávez