Introducción Los números han acompañado a la humanidad desde los tiempos más primitivos y siguen hoy al servicio de nuestro progreso, cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, piedras, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico. En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. 1 El sistema de numeración decimal Este sistema fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar. Nuestro sistema de numeración actual es un sistema posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa en el número: el primer 7 del número 2.757 no vale lo mismo que el segundo 7. El valor del segundo 7 es siete unidades, pero el valor del primer 7 es de 700 unidades. El siguiente cuadro muestra la posición de los números: Unidades 1 Decenas 10 Centenas 100 Unidades de Mil 1.000 Decenas de Mil 10.000 Centenas de Mil 100.000 CM DM UM C D U 2 7 5 7 Para leer un número decimal hay que prestar atención a la posición que ocupa cada una de las cifras que componen el número. Es decimal porque diez unidades de un determinado orden equivalen a una unidad del orden superior. Esto se puede ilustrar en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente. Por ello, un número es igual a la suma de los productos de sus cifras por sus valores respectivos. 2 Por ejemplo, el número 75.269 se puede descomponer de la siguiente manera: 75.269 = 70.000 + 5.000 + 200 + 60 + 9 = = 7x10.000 + 5x1.000 + 2x100 + 6x10 + 9 Para representar números menores que la unidad utilizamos las mismas relaciones de equivalencia entre órdenes de unidades, pero ahora en orden decreciente. Surgen así las décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc. También podemos descomponer un número decimal de manera análoga a como lo hemos hecho antes. Por ejemplo, el número 72,483 se puede descomponer de la siguiente manera: 72,483 = 70 + 2 + 0,4 + 0,08 + 0,003 = = 7x10 + 2 + 4x0,1 + 8x0,01 + 3x0,001 3 El sistema de numeración romano La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano, manteniéndose con posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en algunos ámbitos. Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos valores. Los números se escriben como combinaciones de letras. Por ejemplo, el año 2019 se escribe como MMXIX, donde cada M representa 1000 unidades, la X representa 10 unidades más y IX representa 9 unidades más (al ser X, que representa el 10, precedido por I, que representa el 1). Está basado en la numeración etrusca, la cual, a diferencia de la numeración decimal que está basada en un sistema posicional, se basa en un sistema aditivo (cada signo representa un valor que se va sumando al anterior). Posteriormente la numeración romana evolucionó a un sistema sustractivo, en el cual algunos signos en lugar de sumar, restan. Por ejemplo el 4 en la numeración etrusca se representaba como IIII (1+1+1+1), mientras que en la numeración romana moderna se representa como IV (1 restado a 5). En el siguiente cuadro se muestran los símbolos del sistema de numeración romana con sus equivalencias en el sistema decimal: Signo en el Valor en sistema el sistema romano decimal Nombre Origen I 1 VNVS (ūnus) De la numeración etrusca: I V 5 QVINQVE (quinque) De la numeración etrusca: Λ, que en la romana se invirtió X 10 DECEM (decem) De la numeración etrusca: X L 50 QVINQVAGINTA (quinquaginta) Evolución en el etrusco: Ψ → ᗐ → ⊥ →L C 100 CENTVM (centum) Primera letra de CENTVM D 500 QVINGENTI (Quingenti) D es la mitad de Φ (evolución en el etrusco del símbolo mil: ⊕ → Φ) M 1000 MILLE (Mille) Primera letra de MILLE 4 Aunque en textos antiguos se usaban a veces letras minúsculas para representar los números romanos, en la actualidad los números romanos se escriben solo con forma mayúscula. La única excepción son los números romanos usados para numerar apartados o elementos de una lista, que se escriben frecuentemente con minúsculas y reciben el nombre de romanitos. Hay que tener en cuenta que la numeración romana, al no ser un sistema posicional, no requiere del cero. El valor cero (ninguno, nada), al no ser realmente un valor, no se representa en un sistema aditivo como el de la numeración romana. Por este motivo, los romanos desconocían el cero, que fue introducido en Europa posteriormente con la numeración arábiga. Para la notación moderna de los números romanos se utilizan las siguientes normas: Los números se leen de izquierda a derecha empezando por los símbolos con mayor valor, o conjunto de símbolos de mayor valor. Un símbolo seguido de otro de igual o inferior valor, suma (por ejemplo: XXI = 10+10+1 = 21), mientras que si está seguido de otro de mayor valor, ambos símbolos forman un conjunto en el cual debe restarse el valor del primero al valor del siguiente (por ejemplo: XIX = 10+ [10-1] = 19). La unidad (I) y los números con base 10 (X, C y M) pueden repetirse hasta 3 veces consecutivas como sumandos. Los números V, L y D solo se pueden escribir una vez en cada número y no se pueden escribir a la izquierda de otro de mayor valor. La unidad y los símbolos de base 10 también pueden estar restando antes de un símbolo de mayor valor, pero con las siguientes normas: 1. Solo pueden aparecer restando sobre los símbolos con base 5 y 10 de valor inmediatamente superiores, pero no de otros con valores más altos (por ejemplo: IV, IX o XC, pero no IL ni IC ni XM). 2. En el caso de estar restando, no pueden repetirse. Los símbolos con base 5 no pueden utilizarse para restar (por ejemplo: 45 se escribe XLV y no VL). Para números con valores iguales o superiores a 4000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1000. Por ejemplo: 5 Romano Decimal (miles) Nominación V 5.000 cinco mil X 10.000 diez mil L 50.000 cincuenta mil C 100.000 cien mil D 500.000 quinientos mil M 1.000.000 un millón No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble línea para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Por ejemplo: para mostrar un valor de diez millones se haría x. El conjunto de reglas de este sistema de numeración podría especificarse como: Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción. Si un símbolo está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero (por ejemplo: IV=4, IX=9). Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor. Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1. No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5; su duplicado es una letra de tipo 10. Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor. Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta. 6 Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos: 1. El símbolo I sólo puede restar a V y a X. 2. El símbolo X sólo resta a L y a C. 3. El símbolo C sólo resta a D y a M. Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes. 7 El sistema de numeración chino La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema posicional y decimal estricto que usa las unidades y las distintas potencias de 10 y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 o 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este. El sistema de numeración chino utiliza los siguientes símbolos: 8 Los números de varios dígitos se construyen siguiendo un principio multiplicativo: primero el dígito (de 1 a 9), luego el lugar (10, 100...), y después el próximo dígito. Número Estructura Caracteres 60 [6] [10] 六十 200 [2] (èr) o (liǎng) [100] 二百 o 兩百 2000 [2] (liǎng) [1000] 兩千 45 [4] [10] [5] 四十五 2,362 [2] [1,000] [3] [100] [6] [10] [2] 兩千三百六十二 En los siguientes números, del 11 al 19, se suele omitir el primer uno. En algunos dialectos (como el shanghainés), cuando sólo hay dos dígitos significativos en el número, el "uno" a la izquierda (pero nunca la palabra diez, no confundirse) y los ceros se omiten, pero esto no es correcto gramaticalmente. A veces, el uno antes de "diez" en el medio de un número, como 213, se omite, lo cual también es gramaticalmente incorrecto. Por lo que tenemos: Número 14 Chino escrito Estructura Caracteres [10] [4] 十四 12000 [1] [10000] [2] [1000] 114 1158 Uso coloquial [1] [100] [1] [10] [4] Estructura 一萬二千 [1] [10000] [2] o [10000] [2] 一百一十四 [1] [100] [10] [4] [1] [1000] [1] [100] [5] 一千一百五十八 [10] [8] Caracteres 一萬二 o 萬二 一百十四 (nunca se omite nada en números tan grandes como este) El sistema de numeración japonés 9 Los números chinos y los japoneses son bastante similares, la cultura china ha sido una gran influencia para la japonesa y de hecho, los números pequeños serán idénticos en ambos casos. Los números japoneses y sus lecturas: Para los números pequeños, del 1 al 10, podemos decir que los números japoneses serán como los chinos, pero para contar del once hasta el diecinueve, basta con colocar 10 (Juu) y sumarle el número correspondiente. Por ejemplo 11 seria 10 + 1 (Juu Ichi), 12 seria 10 + 2 (Juu Ni), 13 Juu San, 14 Juu Yon, 15 Juu Go, 16 Juu Roku, 17 Juu Shichi, 18 Juu Hachi, 19 Juu Kyuu. En el caso de contar a partir del 20, lo que se tendría que hacer sería colocar el número antes que el decimal y después escribir el 10, y de este modo podemos hacer: 20 que sería 2 x 10 (Ni Juu), 30 que sería 3 x 10 (San Juu), y así sucesivamente. Así podemos decir que: Las decenas entre 20 y 90 son “(dígito)-juu” Las centenas entre 200 y 900 son “(dígito)-hyaku” Las unidades de millar entre 2000 y 9000 son “(dígito)-sen”. Existen modificaciones fonéticas para algunos números, por ejemplo 300 no se pronuncia san-hyaku sino san-byaku 10 En cuanto a los números que son realmente grandes, y por ejemplo a partir del 10.000, hay que decir que los números japoneses serán bastante parecidos a los de occidente, sólo que en lugar de separarlos en grupos de tres (por millares) lo hacen en grupos de cuatro. Otro elemento similar en la numeración japonesa con respecto a la china, será el hecho de representar o escribir los números de un modo distinto para las que son transacciones comerciales y con el fin de evitar que nadie modifique o pueda manipular los números escritos. Por otro lado, y al margen de la representación de estos números, tenemos que añadir que la cultura japonesa es una cultura muy ligada a supersticiones y en el caso de su numerología, el 4, el 7 y el 9 se pronuncian de manera especial ya que su verdadera pronunciación es similar a una palabra de mal augurio. De este modo, si el 4 se debería pronunciar como shi (死) pero esta palabra también se utiliza para decir muerte, se remedia pronunciando el 4 como yon. También es costumbre, aunque no todos los japoneses la siguen, que los hijos se llamen como los números, ya que si se tienen varios es más fácil el hecho de llamarles por el número de hijo que les corresponde. De este modo muchos niños se llaman Ichirō (一郎), Jirō (二郎), Saburō (三郎), Shirō (四郎) y Gorō (五郎) para, respectivamente llamarse como el primer hijo, el segundo, el tercero, el cuarto y el quinto. 11 El sistema de numeración maya La civilización maya fue un pueblo que vivió en la zona del sur de México y zona central de América (Guatemala) desde hace 4000 años hasta el año 800 aproximadamente. Es una cultura que dejó algunas enseñanzas muy avanzadas, que aún hoy despiertan la curiosidad de muchos expertos porque no pueden explicar cómo consiguieron ciertos conocimientos imposibles para aquella época. Sus conocimientos arquitectónicos y astrológicos son un gran misterio, pues eran increíblemente avanzados para su época. Características principales de este sistema: Con solo 2 símbolos y el 0, consiguieron establecer un sistema numérico infinito. Es un sistema de numeración posicional, los símbolos adquieren un valor según la posición en que se encuentren. Su sistema es de base 20, por lo que cuando llegan a esta cantidad, se sube un orden o nivel. Su sistema de numeración es aditivo, o sea, el valor de sus símbolos se va sumando. Pero también es multiplicativo, porque cuando llega a 20, sube un orden, y utiliza una regla para que un símbolo valga 20 (se multiplique por 20). Se establecen distintos órdenes o niveles (20 de uno inferior forman uno superior: 1 – 20 – 400 – 8000 – 160.000), por lo que cuando se llega a ciertos números, estos tienen que agruparse en distintos niveles. Los mayas vinculaban los números del primer orden con los días (kines, en maya k'ino'ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo'ob) y los del tercer orden con los años (tunes, en maya tuno'ob). Establecieron el uso y el concepto de 0 (su transcripción fonética sería HE). Es representado por una especie de concha o caracol (no se sabe exactamente qué representa). Se cree que su sistema estaba más encaminado a usarlo para su calendario y usos astronómicos y astrológicos que para un uso matemático. Esto habría hecho que su sistema tuviera las características que tiene. A pesar de lo que pueda parecer, se han descubierto cálculos complicados con cantidades muy grandes. 12 La traducción de sus símbolos sería algo así (aproximadamente, pues depende de la transcripción fonética): Se han perdido muchos conocimientos sobre esta cultura y su sistema de numeración. Por ejemplo, poco después de la conquista de su imperio, se quemaron la mayoría de escritos de su cultura por los conquistadores españoles. Los mayas también utilizaban otro sistema de numeración. Estaba basado en glifos y se conoce como sistema de numeración de cabezas, pues los distintos símbolos representaban a cabezas de diferentes dioses o divinidades. También era un sistema vigesimal (de base 20). Este sistema constaba de solo 14 símbolos. Para representar cantidades superiores utilizaban el mentón de ciertas cabezas que cumplían funciones sumativas o multiplicativas. Sus avanzadas matemáticas, astrología, arquitectura y cultura, unido a su desaparición, prácticamente sin dejar rastro, hace que sea una civilización enigmática y que encierre algún tipo de conocimiento desconocido para nosotros. Reglas del sistema de numeración maya: Consiste en combinar los 3 símbolos en los distintos órdenes o niveles. Así, vamos a ver cómo se expresan los números en cada orden o nivel. Nivel 1 0 al 19 19x1 = 19 Un punto equivale a 1. Una raya equivale a 5. Cuando se llegue a 4 puntos, se escribe una raya para el 5. Dos rayas = 10. Tres rayas = 15. Así sucesivamente. 13 Al llegar al 20, pasa al siguiente nivel. Ahora los números se escriben en 2 niveles u órdenes: Nivel 2 20 al 399 19x20 + 19x1 = 399 - En el nivel inferior se siguen representando los números del 0 al 19. - En el nivel superior, cada símbolo se multiplica por veinte. Es decir, un punto en este nivel, significa 1x20. Una rayita significará 5x20. Así pues, en el nivel superior tendremos: 20 – 40 – 60 – 80 – 100 – 120 – 140 – 160 - y así sucesivamente hasta el 380. En el nivel inferior tendremos siempre del 1 al 19, que se le sumará al valor del nivel superior. Por ello, en este nivel, podemos representar hasta el 399. 14 Nivel 3 400 al 7.999 19x400 + 19x20 + 19x1 = 399 Ahora los números se escriben en 3 niveles u órdenes. - En el nivel inferior se siguen representando los números del 0 al 19. - En el nivel medio, se representan los valores 20 – 40 – 60 hasta el 380, como hemos descrito más arriba. - En el nivel superior, se representan el 400 (un punto: 1x400), 800 (2 puntos: 2x400), 1.200 (3 puntos: 3x400), y así sucesivamente, hasta el 7.600 (19x400). A ello le podemos sumar 380 del nivel medio (19x20) y 19 (19x1) del nivel inferior. En el nivel inferior tendremos siempre del 1 al 19, que se le sumará al valor del nivel superior. Por ello, en este nivel, podemos representar hasta el 399. 15 El sistema de numeración egipcio El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema decimal desarrollado (numeración de base 10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del Ojo de Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos. Lejos de parecerse a los gráficos que representan los números que nosotros conocemos, los números egipcios eran representados con diversos ideogramas. Descripción de los símbolos: 1(Bastón); 10(Asa o grillete) 100(Cuerda enrollada); 1000(Flor de loto); 10000(Dedo); 100000 (Renacuajo o rana); 1000000(hombre sentado con las manos alzadas). Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario. Por ejemplo, el bajorrelieve de Karnak, que habla del botín de Thutmose III (siglo XV a. C.) (Museo del Louvre, París), muestra el número 4622 como: Está escrito de izquierda a derecha y de arriba abajo pero en el grabado original en piedra están de derecha a izquierda y los signos están invertidos (los signos jeroglíficos podían ser escritos en ambas direcciones, de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, incluso verticalmente). 16 La escritura hierática En contra de lo que pueda parecer, la escritura jeroglífica de los números apenas fue empleada en la vida diaria. La mayor parte de los textos administrativos y contables estaban escritos en papiro o en ostraca en vez de grabarse en piedra y eran textos de numerales escritos en hierático desde el periodo arcaico. Los papiros de Abusir, datados durante el Imperio Antiguo de Egipto, son un conjunto importante de textos que utilizan numerales hieráticos. La notación hierática emplea un sistema numérico diferente, utilizando signos para los números del 1 al 9, para decenas (múltiplos de diez, del 10 al 90), centenas (del 100 al 900) y millares (del mil al nueve mil). Un número grande, como 9999, se podría escribir empleando este sistema con solo cuatro signos, combinando los signos de 9000, 900, 90 y 9, en vez de usar los 36 jeroglíficos. Esta diferencia es más aparente que real ya que estos "signos individuales" eran realmente simples ligaduras. En los más antiguos textos hieráticos los números individuales están escritos de forma clara, pero durante el Imperio Antiguo se desarrollaba una serie de escrituras para grupos de signos que contuvieran más de un numeral. Como la escritura hierática seguía desarrollándose con el tiempo, estos grupos de signos se simplificaron para agilizar la escritura, hasta llegar a la escritura demótica. De cualquier forma, es incorrecto hablar de estas ligaduras como un sistema numérico distinto, como sería también incorrecto hablar de un diferente alfabeto comparando textos jeroglíficos con ligaduras hieráticas, ya que estos "signos individuales" eran realmente simples ligaduras. Desde el tercer milenio a. C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Dos de los más conocidos papiros en escritura hierática son el Papiro matemático de Moscú y el Papiro Rhind. 17 Bibliografía https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal http://www.icarito.cl/2010/03/103-879-9-los-numeros-y-las-civilizaciones.shtml/ https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_china#Numeración_china https://sobrehistoria.com/numeros-japones-1/ http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/21003232/helvia/sitio/upload https://sobrehistoria.com/numeracion-egipcia-y-numeros-egipcios/ 18
