métodos matemáticos para físicos II 5

Métodos Matemáticos para Físicos II
Material de Estudio No 5
CICLO 2018-2
(CF391-A)
Utilizando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, ortogonalice los monomios 1, x, x2 , x3 en el
espacio Lρ2 (a, b), si:
1.
a) a = −1, b = 1, ρ(x) = 1 para todo x
√
b) a = −1, b = 1, ρ(x) = 1/ 1 − x2 .
Se sabe que si los polinomios q0 , q1 , . . . , qn , . . . , ortogonales en el intervalo (−a, a) con peso ρ(x), son
funciones pares, entonces para n impar, los polinomios qn contienen solo potencias impares de la variable
independiente y para n par solo potencias pares, es decir
2.
q2n (x) = sn (x2 ),
q2n−1 (x) = xtn (x2 ),
donde sn y tn son polinomios de grado n. Demostrar que:
√
√
√
a) los polinomios sn (x) = q2n ( x)son ortogonales en el intervalo (0, a2 ) con peso ρ1 (x) = ρ( x)/ x.
√
√
b) los polinomios tn (x) = q2n+1 ( x)/ xson ortogonales en el intervalo (0, a2 ) con peso ρ2 (x) =
√
√
xρ( x).
Utilizando el resultado del problema anterior demostrar que los polinomios H2n (x)1 son proporcionales
−1/2
a los polinomios L−1/2
(x2 )2 , y los polinomios H2n+1 (x) a los polinomios xLn (x2 ).
n
3.
4.
Demostrar que los polinomios de Chevishev de primer gnénero Tn (x)3 son proporcionales a los polinomios
cos(n arc cos x)
5.
Demostrar que:
a) Pn (1) = 1,
b) P2n+1 (0) = 0,
c) Pn0 (1) = n(n + 1)/2,
d) Pn (−1) = (−1)n ,
e) P2n (0) =
6.
(−1)n (2n)!
.
22n (n!)2
Demostrar que para cada x y para todos los t lo sucientemente pequeño se cumple la relación:
∞
X
1 − t2
=
(2n + 1)Pn (x)tn .
3/2
2
(1 − 2tx + t )
n=0
1
Hn (x) Polinomios de Hermite de orden n, con peso ρ(x) = e−x
Ln (x) polinomios de Laguerre con peso ρ(x) = xα e−x
2
2 α
3
1
Tn (x) polinomios ortogonales en el intervalo 8 − 1, 1), con peso ρ(x) = √
1 − x2
7.
Demostrar que si una función f puede ser desarrollada en la serie
f (x) =
∞
X
an Pn (x),
n=0
convergente uniformemente en el intervalo que contiene al punto x = 1, entonces el desarrollo de la integral
de esa función será:
Z
∞ x
1
8.
X
1
f (y)dy = −a0 − a1 +
3
n=1
an−1
an+1
+
2n − 1 2n + 3
Pn (x).
Demuestre la identidad
0
(1 − x) Pn0 (x) + Pn+1
(x) = (n + 1) [Pn (x) − Pn+1 (x)] .
9.
Pruebe la relación de recurrencia para los polinomios de Hermite:
0
Hn (x) = 2xHn−1 (x) − Hn−1
(x),
x2
donde Hn (x) = e
d
−
dx
n
2
e−x .
Deduzca la ecuación diferencial de segundo orden que satisfacen los polinomios de Hermite.
Los profesores