AGRODESIA Dividiendo Terrenos Gerardo Santana TOPOGRAFIA II INDICE DE CONTENIDO Índice AGRODESIA.......................................................................................................................................... 2 METODO NUMERO 1........................................................................................................................... 2 CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL ..................................................................................................... 3 CALCULO DEL ANGULO α .................................................................................................................... 6 CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE .............................................................................................. 7 CALCULO DE LA DISTANCIA 𝐵𝐹 ........................................................................................................... 8 OBTENCIÓN DE COORDENADAS DE “F” ............................................................................................ 10 COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE................................................................................................... 11 1 AGRODESIA Es la parte de la topografía, se puede considerar como una subdivisión de la agrimensura, y trata de los métodos que existen para la división de terrenos en una o varias partes; los métodos a considerar son: 1. Ajuste de una superficie por medio de un triángulo. 2. Ajuste de una superficie por medio de un cuadrilátero o trapecio. METODO NUMERO 1. Con los datos que se tienen a continuación de un levantamiento realizado por el método de ángulos internos y radiaciones se pretende dividirlo en dos partes iguales y cuya línea divisoria tenga uno de sus vértices en el punto “E” de la poligonal. Encontrar las coordenadas del otro punto que dividirá al polígono. Vértice A B C D E coordenadas Y 408.20 740.10 355.40 -76.80 -195.00 X -436.60 335.30 875.50 548.40 95.10 CROQUIS 2 CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL Para calcular la superficie de total de un terreno a partir de las coordenadas que nos arroja la planilla de cálculo utilizamos la siguiente formula general. SUPERFICIE =| ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗ 2 | Esta fórmula se lee como: valor absoluto de sumatoria de productos hacia abajo menos sumatoria de productos hacia arriba entre dos. Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas. Vértice coordenadas Y productos X ↘ 408.20 -436.60 740.10 335.30 355.40 875.50 -76.80 548.40 -195.00 95.10 408.20 -436.60 SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ↘ 𝑌 ∑ ↗) A B C D E A 136869.46 647957.55 194901.36 -7303.68 85137 1057561.69 ↗ -323127.66 119165.62 -67238.40 -106938 38819.82 -339318.62 En la tabla anterior se colocan las coordenadas con sus respectivos vértices repitiendo siempre las coordenadas del primer vértice para cerrar el polígono se hace una multiplicación cruzada con la coordenadas de “Y” por las de “X”, primeramente los productos hacia abajo señalados con una flecha color azul y después los productos hacia arriba señalados con una flecha color rojo. Ahora tenemos la sumatoria de los productos nos queda sustituir esos resultados en la fórmula: SUPERFICIE =| ST =| ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗ 2 (1057561.69)−(−339318.62) 2 |=| | ST= superficie total 1396880.31 2 |=|698440.16| =698440.16 m Tenemos la superficie total (ST) ahora nos pide dividir el terreno en dos partes iguales es decir encontrar la superficie buscada (SB). CALCULO DE LA SUPERFICIE BUSCADA SB= 𝑆𝑇 698440.16 = = 2 2 349200.08 m 3 Ya sabemos la superficie buscada (SB) y el problema al principio nos dice que se tiene que dividir a partir de punto fijo “E”, obviamente podemos observar en la figura y estimar que la mitad de la superficie se puede encontrar en la figura que se forma con los puntos A, B y E ahora procederemos a calcular la superficie A, B y E FIGURA 1.1 Esa superficie podemos calcularla con la tabla de productos o con otra fórmula ya que si vemos tiene la forma de un triángulo y podemos utilizar esta fórmula. (Dará el mismo resultado de las dos maneras) 𝑎.𝑏.𝑠𝑒𝑛 ∝ Superficie = 2 imagen de ejemplo 1.2 Esta fórmula la empleamos para calcular la superficie cuando conocemos dos lados de un triángulo y el ángulo donde intersectan esos dos lados. Para ello calculamos las distancias de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 y ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 de nuestro terreno utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑝1𝑝2 = √(𝑋1 − 𝑋2)2 + (𝑌1 − 𝑌2)2 4 Sustituimos los valores de las coordenadas de los puntos AB en la fórmula para encontrar la distancia. VERTICE COORDENADAS Y 408.20 740.10 -195.00 A B E X -436.60 335.30 95.10 Tenemos ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = √(−436.60 − 335.30)2 + (408.20 − 740.10)2 =√(−771.9)2 + (−331.9)2 =840.23 m (el resultado lo redondeamos a 2 décimas) Tenemos ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = √(−436.60 − 95.10)2 + (408.20 − (−195.00))2 =√(−531.7)2 + (603.2)2 =804.09 m AHORA TENEMOS (el resultado lo redondeamos a 2 décimas) ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 840.23 Y ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = 804.09 Solo falta calcular el ángulo 90° FIGURA 1.3 5 En la (figura 1.3) se muestra como tomamos la superficie A, B y E que es un triángulo y formamos un ángulos de 90° a partir del vértice A para hacer esto es indispensable tomar los lados que tengan coordenadas para formar estos ángulos y hacer los procedimientos que siguen. FIGURA 1.4 En la figura 1.4 vemos de manera más clara el triángulo A, B y C, lo que apreciamos es que estamos representando los catetos de los triángulo con coordenadas de los vértices ya antes mencionados por ejemplo siendo los catetos adyacentes coordenadas en “Y” de A menos las coordenadas en “Y” de E ,siendo así lo mismo para las coordenadas en “x” del lado derecho solo cambia el plano de posición en las “x” ;siendo ahora las coordenadas en “x” de B menos las coordenadas en “X” de A. CALCULO DEL ANGULO α Utilizando la razón trigonométrica de tangente y despejando, y sustituyendo coordenadas tenemos esto: VERTICE COORDENADAS Y 408.20 740.10 -195.00 A B E (−436.60)−(95.10) 𝑋𝐴−𝑋𝐸 α´= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑌𝐴−𝑌𝐸 = 𝑡𝑎𝑛−1 (408.20)−(−195.00) = 𝑡𝑎𝑛−1 α”= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑋𝐵−𝑋𝐴 𝑌𝐴−𝑌𝐵 = 𝑡𝑎𝑛−1 (335.30)−(−436.60) (408.20)−(740.10) X -436.60 335.30 95.10 −531.70 603.20 = 𝑡𝑎𝑛−1 -0.88 = -41° 23´42” 771.9 = 𝑡𝑎𝑛−1 −331.9 = 𝑡𝑎𝑛−1 -2.32 = -66° 44´0.1” 6 Convertir a grados, minutos y segundos el resultado y a eso le sumamos 90° Ahora sumamos los dos ángulos ya con los 90° sumados α= α´+α” α= 48°36´18” + 23°15´0” α= 71°52´12” ángulo alfa Ahora solo aplicamos la formula sustituyendo las distancias y el angulo. 𝑎.𝑏.𝑠𝑒𝑛 ∝ Superficie = 2 S A-B-E = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛 71°52´12" 𝐴𝐵.𝐴𝐸 (840.23)(804.09)𝑠𝑒𝑛 71°52´12" S A-B-E = 2 2 = 321038.98 m² Cabe recordar que podemos utilizar el otro método pero será el que más nos convenga pueden elegir el que sea. CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE La superficie de ajuste (S´) será lo que le falta a la superficie que tenemos para llegar a la superficie buscada (SB) Entonces S´= SB- S A-B-E S´= 349220.08-321038.98 = 28181.10 m² Es una muestra de cuál sería la superficie de ajuste solo que un poco exagerada FIGURA 1.5 7 CALCULO DE LA DISTANCIA ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 ̅̅̅̅ es la que nos dará a cuantos metros a partir del punto B se recorrerá la La distancia 𝐵𝐹 superficie para ajustarse con la superficie buscada (SB). Según esta fórmula para calcular la superficie deducida por el triángulo que se forma con los vértices B, E 𝑦 F ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐵𝐹. 𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑛𝛼 S´= 2 despejamos ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 y obtenemos ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 = (2)(𝑆´) ̅̅̅̅ 𝐵𝐸 .𝑠𝑒𝑛 𝛼 FIGURA 1.6 Esta fórmula siempre nos ayudara a conocer la distancia de ajuste en problemas como este. Para poder utilizar la formula necesitamos conocer la distancia BE y el ángulo alfa que se forma. VERTICE B E COORDENADAS Y 740.10 -195.00 X 335.30 95.10 Primero la distancia ̅̅̅̅ 𝐵𝐸 = √(335.30 − 95.10)2 + (740.10 − (−195.00))2 =√(240.2)2 + (935.1)2 =965.46m En la figura 1.7 vemos un triángulo formado por los puntos B, F y E Y un ángulo alfa que nos ayudara a calcular la distancia ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 Para calcular ese ángulo primero tenemos que formar triángulos Rectángulos con el polígono. FIGURA 1.7 8 Para ello hacemos algo como esto formando triangulos rectangulos internamente como se muestra en la figura 1.8 y como en el ejercicio anterior del triangulo representar los catetos con coordenadas de los puntos en “X” y “Y”. FIGURA 1.8 Nuevamente suponemos que α´+ α” =α y procederemos a calcular cada ángulo de la siguiente manera. 𝑋𝐵−𝑋𝐸 335.30−95.10 240.2 α´=𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑌𝐵−𝑌𝐸 ) =𝑡𝑎𝑛−1 (740.10−(−195.00))=935.1 =𝑡𝑎𝑛−1 (0.26) =14° 24´22” 𝑋𝐶−𝑋𝐵 875.5−335.30 540.2 α”=𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑌𝐵−𝑌𝐶 ) =𝑡𝑎𝑛−1 (740.10−355.40)=384.7 =𝑡𝑎𝑛−1 (1.40) =54° 32´37” Sumamos los dos ángulos: 14° 24´22” + 54° 32´37” = 68° 56´59” ̅̅̅̅ = 𝐵𝐹 (2)(𝑆´) (2)(28181.10 𝑚²) Sustituimos en la formula ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 = = ̅̅̅̅ 965.46𝑚 .𝑠𝑒𝑛 68° 56´59” 𝐵𝐸 .𝑠𝑒𝑛 𝛼 62.55 9 ̅̅̅̅ Y obtendremos nuestra distancia de separación 𝐵𝐹 OBTENCIÓN DE COORDENADAS DE “F” FIGURA 1.9 Para calcular las coordenada de “F” Hacemos un triángulo rectángulo entre los puntos B y F cuyo ángulo ya sabemos que es α” y coordenados los puntos que ya conocemos o sea los de B y para encontrar las coordenadas de F hacemos lo siguiente: YF= YB-Y XF= XB+X Lo siguiente es relacionar alguna función trigonométrica para encontrar X y Y de F 𝑌 Cos α” = 𝐵𝐹 ; Y= ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 . cos α” sustituimos ̅̅̅̅ 𝑋 sen α” = 𝐵𝐹 ; Y= ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 . sen α” sustituimos ̅̅̅̅ Y= 62.55 x cos 54° 32´37” = 36.28 X=62.25 x sen 54°32´37” = 50.95 YF= 740.10 – 36.28 = 703.82 coordenada Y XF= 335.30 + 50.95 = 386.25 coordenada X 10 COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE Ahora bien tenemos las coordenadas del punto F y su distancia de separación ahora nos queda comprobar si la superficie A, B, F y E es igual a la superficie buscada (SB) Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas. Vértice coordenadas Y productos X ↘ 408.20 -436.60 740.10 335.30 703.82 386.25 -195.00 95.10 408.20 -436.60 SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ↘ 𝑌 ∑ ↗) A B F E A SUPERFICIE =| ST =| ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗ 2 (574803.37)−(−123635.74) 2 |=| | 698439.11 2 136869.46 285863.63 66933.28 85137.00 574803.37 ↗ -323127.66 235990.85 -75318.75 38819.82 -123635.74 ST= superficie total |=|349219.56| =349219.56 m² SB= 349200.08 m² La diferencia de 19.48 m² se puede compensar con los esquineros del terreno Convertimos 349200.08 a Hs-As-Cs Dividimos 349200.08 entre 10000 -------------------------- 34.920008 920008 entre 10000--------------------------------------------- 92.0008 0008 entre 100---------------------------------------------------- 0.08 Entonces tenemos 34Hs-92As-0.08Cs que es la superficie buscada expresada en Hs-As-Cs Y para regresar a la cantidad inicial Multiplicamos 34 x 10000-------------------------------------- 340000 Multiplicamos 92 x 100----------------------------------------- 9200 Multiplicamos 0.08 x 1------------------------------------------ 0.08 Resultado----------------------------------------------------------- 349200.08 11
