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AGRODESIA
Dividiendo Terrenos
Gerardo Santana
TOPOGRAFIA II
INDICE DE CONTENIDO
Índice
AGRODESIA.......................................................................................................................................... 2
METODO NUMERO 1........................................................................................................................... 2
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL ..................................................................................................... 3
CALCULO DEL ANGULO α .................................................................................................................... 6
CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE .............................................................................................. 7
CALCULO DE LA DISTANCIA 𝐵𝐹 ........................................................................................................... 8
OBTENCIÓN DE COORDENADAS DE “F” ............................................................................................ 10
COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE................................................................................................... 11
1
AGRODESIA
Es la parte de la topografía, se puede considerar como una subdivisión de la agrimensura,
y trata de los métodos que existen para la división de terrenos en una o varias partes; los
métodos a considerar son:
1. Ajuste de una superficie por medio de un triángulo.
2. Ajuste de una superficie por medio de un cuadrilátero o trapecio.
METODO NUMERO 1.
Con los datos que se tienen a continuación de un levantamiento realizado por el método
de ángulos internos y radiaciones se pretende dividirlo en dos partes iguales y cuya línea
divisoria tenga uno de sus vértices en el punto “E” de la poligonal. Encontrar las
coordenadas del otro punto que dividirá al polígono.
Vértice
A
B
C
D
E
coordenadas
Y
408.20
740.10
355.40
-76.80
-195.00
X
-436.60
335.30
875.50
548.40
95.10
CROQUIS
2
CÁLCULO DE LA SUPERFICIE TOTAL
Para calcular la superficie de total de un terreno a partir de las coordenadas que nos
arroja la planilla de cálculo utilizamos la siguiente formula general.
SUPERFICIE =|
∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗
2
|
Esta fórmula se lee como: valor absoluto de sumatoria de productos hacia abajo menos
sumatoria de productos hacia arriba entre dos.
Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas.
Vértice
coordenadas
Y
productos
X
↘
408.20
-436.60
740.10
335.30
355.40
875.50
-76.80
548.40
-195.00
95.10
408.20
-436.60
SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ↘ 𝑌 ∑ ↗)
A
B
C
D
E
A
136869.46
647957.55
194901.36
-7303.68
85137
1057561.69
↗
-323127.66
119165.62
-67238.40
-106938
38819.82
-339318.62
En la tabla anterior se colocan las coordenadas con sus respectivos vértices repitiendo siempre las
coordenadas del primer vértice para cerrar el polígono se hace una multiplicación cruzada con la
coordenadas de “Y” por las de “X”, primeramente los productos hacia abajo señalados con una
flecha color azul y después los productos hacia arriba señalados con una flecha color rojo.
Ahora tenemos la sumatoria de los productos nos queda sustituir esos resultados en la fórmula:
SUPERFICIE =|
ST =|
∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗
2
(1057561.69)−(−339318.62)
2
|=|
|
ST= superficie total
1396880.31
2
|=|698440.16| =698440.16 m
Tenemos la superficie total (ST) ahora nos pide dividir el terreno en dos partes iguales es
decir encontrar la superficie buscada (SB).
CALCULO DE LA SUPERFICIE BUSCADA
SB=
𝑆𝑇 698440.16
=
=
2
2
349200.08 m
3
Ya sabemos la superficie buscada (SB) y el problema al principio nos dice que se tiene que
dividir a partir de punto fijo “E”, obviamente podemos observar en la figura y estimar que
la mitad de la superficie se puede encontrar en la figura que se forma con los puntos A, B
y E ahora procederemos a calcular la superficie A, B y E
FIGURA 1.1
Esa superficie podemos calcularla con la tabla de productos o con otra fórmula ya que si
vemos tiene la forma de un triángulo y podemos utilizar esta fórmula. (Dará el mismo
resultado de las dos maneras)
𝑎.𝑏.𝑠𝑒𝑛 ∝
Superficie =
2
imagen de ejemplo 1.2
Esta fórmula la empleamos para calcular la superficie cuando conocemos dos lados de un
triángulo y el ángulo donde intersectan esos dos lados.
Para ello calculamos las distancias de ̅̅̅̅
𝐴𝐵 y ̅̅̅̅
𝐴𝐸 de nuestro terreno utilizando la fórmula
de distancia entre dos puntos.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑝1𝑝2
= √(𝑋1 − 𝑋2)2 + (𝑌1 − 𝑌2)2
4
Sustituimos los valores de las coordenadas de los puntos AB en la fórmula para encontrar
la distancia.
VERTICE
COORDENADAS
Y
408.20
740.10
-195.00
A
B
E
X
-436.60
335.30
95.10
Tenemos ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = √(−436.60 − 335.30)2 + (408.20 − 740.10)2
=√(−771.9)2 + (−331.9)2 =840.23 m
(el resultado lo redondeamos a 2 décimas)
Tenemos ̅̅̅̅
𝐴𝐸 = √(−436.60 − 95.10)2 + (408.20 − (−195.00))2
=√(−531.7)2 + (603.2)2 =804.09 m
AHORA TENEMOS
(el resultado lo redondeamos a 2 décimas)
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 840.23 Y ̅̅̅̅
𝐴𝐸 = 804.09
Solo falta calcular el ángulo
90°
FIGURA 1.3
5
En la (figura 1.3) se muestra como tomamos la superficie A, B y E que es un triángulo y formamos
un ángulos de 90° a partir del vértice A para hacer esto es indispensable tomar los lados que
tengan coordenadas para formar estos ángulos y hacer los procedimientos que siguen.
FIGURA 1.4
En la figura 1.4 vemos de manera más clara el triángulo A, B y C, lo que apreciamos es que
estamos representando los catetos de los triángulo con coordenadas de los vértices ya antes
mencionados por ejemplo siendo los catetos adyacentes coordenadas en “Y” de A menos las
coordenadas en “Y” de E ,siendo así lo mismo para las coordenadas en “x” del lado derecho solo
cambia el plano de posición en las “x” ;siendo ahora las coordenadas en “x” de B menos las
coordenadas en “X” de A.
CALCULO DEL ANGULO α
Utilizando la razón trigonométrica de tangente y despejando, y sustituyendo coordenadas
tenemos esto:
VERTICE
COORDENADAS
Y
408.20
740.10
-195.00
A
B
E
(−436.60)−(95.10)
𝑋𝐴−𝑋𝐸
α´= 𝑡𝑎𝑛−1 𝑌𝐴−𝑌𝐸 = 𝑡𝑎𝑛−1 (408.20)−(−195.00) = 𝑡𝑎𝑛−1
α”= 𝑡𝑎𝑛−1
𝑋𝐵−𝑋𝐴
𝑌𝐴−𝑌𝐵
= 𝑡𝑎𝑛−1
(335.30)−(−436.60)
(408.20)−(740.10)
X
-436.60
335.30
95.10
−531.70
603.20
= 𝑡𝑎𝑛−1 -0.88 = -41° 23´42”
771.9
= 𝑡𝑎𝑛−1 −331.9 = 𝑡𝑎𝑛−1 -2.32 = -66° 44´0.1”
6
Convertir a grados, minutos y segundos el resultado y a eso le sumamos 90°
Ahora sumamos los dos ángulos ya con los 90° sumados
α= α´+α”
α= 48°36´18” + 23°15´0”
α= 71°52´12” ángulo alfa
Ahora solo aplicamos la formula sustituyendo las distancias y el angulo.
𝑎.𝑏.𝑠𝑒𝑛 ∝
Superficie =
2
S A-B-E =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛 71°52´12"
𝐴𝐵.𝐴𝐸
(840.23)(804.09)𝑠𝑒𝑛 71°52´12"
S A-B-E =
2
2
= 321038.98 m²
Cabe recordar que podemos utilizar el otro método pero será el que más nos
convenga pueden elegir el que sea.
CALCULO DE LA SUPERFICIE DE AJUSTE
La superficie de ajuste (S´) será lo que le falta a la superficie que tenemos
para llegar a la superficie buscada (SB)
Entonces S´= SB- S A-B-E S´= 349220.08-321038.98 = 28181.10 m²
Es una muestra de cuál sería la superficie de ajuste solo que un poco
exagerada
FIGURA 1.5
7
CALCULO DE LA DISTANCIA ̅̅̅̅
𝐵𝐹
̅̅̅̅ es la que nos dará a cuantos metros a partir del punto B se recorrerá la
La distancia 𝐵𝐹
superficie para ajustarse con la superficie buscada (SB).
Según esta fórmula para calcular la superficie deducida por el triángulo que se forma con
los vértices B, E 𝑦 F
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐵𝐹.
𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑛𝛼
S´=
2
despejamos ̅̅̅̅
𝐵𝐹 y obtenemos ̅̅̅̅
𝐵𝐹 =
(2)(𝑆´)
̅̅̅̅
𝐵𝐸 .𝑠𝑒𝑛 𝛼
FIGURA 1.6
Esta fórmula siempre nos ayudara a conocer la distancia de ajuste en problemas como
este.
Para poder utilizar la formula necesitamos conocer la distancia BE y el ángulo alfa que se
forma.
VERTICE
B
E
COORDENADAS
Y
740.10
-195.00
X
335.30
95.10
Primero la distancia ̅̅̅̅
𝐵𝐸 = √(335.30 − 95.10)2 + (740.10 − (−195.00))2
=√(240.2)2 + (935.1)2 =965.46m
En la figura 1.7 vemos un triángulo formado por los puntos B, F y E
Y un ángulo alfa que nos ayudara a calcular la distancia ̅̅̅̅
𝐵𝐹
Para calcular ese ángulo primero tenemos que formar triángulos
Rectángulos con el polígono.
FIGURA 1.7
8
Para ello hacemos algo como esto formando triangulos rectangulos internamente como se
muestra en la figura 1.8 y como en el ejercicio anterior del triangulo representar los catetos con
coordenadas de los puntos en “X” y “Y”.
FIGURA 1.8
Nuevamente suponemos que α´+ α” =α y procederemos a calcular cada ángulo de la
siguiente manera.
𝑋𝐵−𝑋𝐸
335.30−95.10
240.2
α´=𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑌𝐵−𝑌𝐸 ) =𝑡𝑎𝑛−1 (740.10−(−195.00))=935.1 =𝑡𝑎𝑛−1 (0.26) =14° 24´22”
𝑋𝐶−𝑋𝐵
875.5−335.30
540.2
α”=𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑌𝐵−𝑌𝐶 ) =𝑡𝑎𝑛−1 (740.10−355.40)=384.7 =𝑡𝑎𝑛−1 (1.40) =54° 32´37”
Sumamos los dos ángulos: 14° 24´22” + 54° 32´37” = 68° 56´59”
̅̅̅̅ =
𝐵𝐹
(2)(𝑆´)
(2)(28181.10 𝑚²)
Sustituimos en la formula ̅̅̅̅
𝐵𝐹 =
=
̅̅̅̅
965.46𝑚 .𝑠𝑒𝑛 68° 56´59”
𝐵𝐸 .𝑠𝑒𝑛 𝛼
62.55
9
̅̅̅̅
Y obtendremos nuestra distancia de separación 𝐵𝐹
OBTENCIÓN DE COORDENADAS DE “F”
FIGURA 1.9
Para calcular las coordenada de “F”
Hacemos un triángulo rectángulo entre los puntos B y F cuyo ángulo ya sabemos que es α”
y coordenados los puntos que ya conocemos o sea los de B y para encontrar las
coordenadas de F hacemos lo siguiente:
YF= YB-Y
XF= XB+X
Lo siguiente es relacionar alguna función trigonométrica para encontrar X y Y de F
𝑌
Cos α” = 𝐵𝐹
; Y= ̅̅̅̅
𝐵𝐹 . cos α” sustituimos
̅̅̅̅
𝑋
sen α” = 𝐵𝐹
; Y= ̅̅̅̅
𝐵𝐹 . sen α” sustituimos
̅̅̅̅
Y= 62.55 x cos 54° 32´37” = 36.28
X=62.25 x sen 54°32´37” = 50.95
YF= 740.10 – 36.28 = 703.82 coordenada Y
XF= 335.30 + 50.95 = 386.25 coordenada X
10
COMPROBACIÓN DE LA SUPERFICE
Ahora bien tenemos las coordenadas del punto F y su distancia de separación ahora nos queda
comprobar si la superficie A, B, F y E es igual a la superficie buscada (SB)
Procedemos a calcular la superficie con las coordenadas.
Vértice
coordenadas
Y
productos
X
↘
408.20
-436.60
740.10
335.30
703.82
386.25
-195.00
95.10
408.20
-436.60
SUMATORIA DE PRODUCTOS ( ∑ ↘ 𝑌 ∑ ↗)
A
B
F
E
A
SUPERFICIE =|
ST =|
∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↘ − ∑ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 ↗
2
(574803.37)−(−123635.74)
2
|=|
|
698439.11
2
136869.46
285863.63
66933.28
85137.00
574803.37
↗
-323127.66
235990.85
-75318.75
38819.82
-123635.74
ST= superficie total
|=|349219.56| =349219.56 m²
SB= 349200.08 m²
La diferencia de 19.48 m² se puede compensar con los esquineros del terreno
Convertimos 349200.08 a Hs-As-Cs
Dividimos 349200.08 entre 10000 -------------------------- 34.920008
920008 entre 10000--------------------------------------------- 92.0008
0008 entre 100---------------------------------------------------- 0.08
Entonces tenemos 34Hs-92As-0.08Cs que es la superficie buscada expresada en Hs-As-Cs
Y para regresar a la cantidad inicial
Multiplicamos 34 x 10000-------------------------------------- 340000
Multiplicamos 92 x 100----------------------------------------- 9200
Multiplicamos 0.08 x 1------------------------------------------ 0.08
Resultado----------------------------------------------------------- 349200.08
11
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