solucion-examenes-economicas2013

Estadística Descriptiva
Facultad Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Economía Aplicada
Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
1. Se ha realizado un estudio sobre el consumo de gas (en m3) en las viviendas de una urbanización
durante el mes de enero, obteniéndose los datos que se muestran en la tabla.
Consumo de gas (m3)
50‐100
100‐200
200‐400
400‐500
Viviendas
10
40
60
10
a) Represente el histograma de esta distribución.
b) Calcule el consumo medio de gas de las viviendas. ¿El valor hallado es representativo de la
distribución?
c) Calcule el consumo más frecuente.
d) Averigüe el valor del tercer cuartil de la distribución del consumo de gas y explique su significado
e) Si la factura del gas consiste en una cantidad fija de 20€ más 0,5€ por cada m3 consumido, calcule
la factura media de las viviendas y determine si la factura es más dispersa que el consumo.
Solución:
a)
Consumo gas
amplitud
ci
densidad
ni
hi 
ni
ci
Ni
xi
xi ni
x2i ni
50 ‐ 100
50
10
0,2
10
75
750
56250
100 ‐ 200
100
40
0,4
150
6000
900000
200 ‐ 400
200
60
0,3
300
18000
5400000
400 ‐ 500
100
10
0,1
50
90
110
120
450
4500
2025000
29250
8381250
4
 xi ni
b) El consumo medio de gas de las viviendas: a1  x  i1
N
1

29250
 243,75 m3
120
4
a2 
 x2i ni
i 1
N

8381250
 69843,75
120
s2  a2  a12  69843,75  (243,75) 2  10429,6875
sX  10429,6875  102,1258 m3
C.V 
sX 102,1258

 0,42 (42%)
x
243,75
El consumo medio de gas de las viviendas es de 243,75 m3, con una dispersión del 42%. Con lo cual,
el consumo medio de gas no es muy representativo.
c) El consumo más frecuente se encuentra en el intervalo modal [100‐200), puesto que es en el que
se alcanza la máxima densidad de frecuencia.
Md  Li 
hi  hi 1
(hi  hi 1 )  (hi  hi 1 )
ci  100 
0,4  0,2
3
100  166,67 m
(0,4  0,2)  (0,4  0,3)
Adviértase que si la amplitud de los intervalos fuera constante: Md  Li 
ni  ni 1
(ni  ni 1 )  (ni  ni 1 )
ci
3. N
 Ni1
3. 120
4
d) El tercer cuartil:
 90 , observando en la columna Ni , Q 3  P75  Li 
ci , de donde:
4
Ni  Ni1
Q 3  P75  200 
90  50
3
200  333,33 m
110  50
El 75% de las viviendas que consumen menos, consumen como máximo 333,33 m3 de gas.
e) Según el enunciado del apartado, la factura del gas viene dada por la relación Y  20  0,5. X , por
tanto, hay un cambio de origen y de escala:
La factura media: Y  20  0,5. X  20  0,5. 243,75  141,875 €
s2Y  Var(20  0,5.X)  0,52 .s2X  s Y  0,5.sX  0,5.102,1258  51,063 €
C.V 
S Y 51,063

 0,36 (36%)
y 141,875
La factura del gas está menos dispersa que el consumo.
CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA DE LA MEDIA Y VARIANZA: y  a  bx
k
y
 yi .ni
i1
N
k

 (a  bxi ). ni
i1
N

k
k
i1
i1
a  ni  b  x i .ni
N
k
a
ni
i1
N
2
k
b
 x .n
i1
i
N
i
 abx
 E(y)  E(a  bx)  y  a  b x
La media se ve afectada por el mismo cambio de origen y de escala efectuada sobre la variable.
k
s2y 
 (yi  y) 2 .ni
i 1
N
k

 (a  b xi  (a  b x) 2  . ni
i1
N
k

 (b xi  b x)2 . ni
i1
N
k
 b2
 (x  x) . n
i1
2
i
i
N
 b2 s2x
 Var(a  b x)  b2 . s2x
La varianza no se ve afectada por el cambio de origen pero si por el cambio de escala efectuado sobre
la variable.
2. De una distribución bidimensional (X,Y) se sabe que al aumentar los valores de X aumentan los de
Y. Se ha obtenido la recta de regresión lineal mínimo cuadrática de Y sobre X y se ha comprobado
que la varianza residual, Sry2 vale cero. Se tienen además los valores de los siguientes momentos
respecto al origen:
a10  2
a20  40
a01  10
a02  125
a) Determine la varianza debida a la regresión en la recta de Y/X y el valor de la covarianza.
b) Se hace un cambio de variable de la forma X’= 2X. Si se obtiene la nueva recta de regresión de
Y/X´, ¿será bueno el ajuste? Razone su respuesta.
c) Se decide cambiar la función de ajuste de Y sobre X por una constante, Y = c. Utilizando el método
de mínimos cuadrados, determine el valor de esta constante para nuestro caso.
Solución:
2
2
2
 s  a  a  40  2  36
a) Las varianzas de las variables X e Y, respectivamente, son:  2x 20 210
2
 s y  a02  a01  125  10  25
Siendo sry2  s2y (1  R2 )  0  1  R2  0  R2  1 , existe una dependencia funcional, el ajuste es
perfecto.
Para calcular la covarianza sxy tenemos en cuenta que
R2  b . b' 
sxy sxy
.
 1  s2xy  s2x . s2y  36 . 25  900  s xy  900  30
s2x s2y
b) El coeficiente de determinación R2 es invariante ante un cambio de origen y de escala, con lo que
la bondad del ajuste será idéntico.
c) E(y)  E(c)  y  c
3
INVARIABILIDAD DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL R2: X'  k X


CAMBIO DE ORIGEN:
CAMBIO DE ESCALA:
a'10  x '  E(X')  E(k X)  kE(X)  k x
a'10  x '  E(X')  E(m  X)  m  E(X)  m  x
a'11  E(X'Y)  E (m  X)Y   E(mY)  E(X Y)  m y  a11
a'11  E(X'Y)  E(k X Y)  kE(X Y)  ka11
s x'y  a'11  x 'y  m y  a11  (m  x) y  a11  x y  s xy
sx'y  a'11  x 'y  ka11  k x y  k(a11  x y)  ksxy
a'20  s  Var (m  X)  s
a'20  s2x'  Var (k X)  k 2 Var(X)  k2 s2x
2
x'
c
s x'y
s
2
x'

s xy
s
2
x
R'2  c . c' 
c' 
2
x
s x'y
s
2
y

s xy
s
c
2
y
s xy sxy
s2xy
.

 R2
2
2
2
2
sx s y sx . s y
s x'y
s
2
x'

ksxy
2 2
x
k s
R'2  c . c' 
c' 
s x'y
s
2
y

ks xy
s2y
ksxy ksxy
s2xy
.

 R2
2 2
2
2
2
k sx s y
sx . sy
El coeficiente de determinación R2 es invariante ante un cambio de origen y de escala
3. Abel Grandes Pistado preguntó a sus 31 compañeros de clase qué calificación obtuvieron en el
último examen de estadística. Sólo recuerda que él aprobó con la nota mediana de 5,6667 y su
tocayo Escasi Lopasa tuvo un 4,6 (una de las notas más frecuentes habidas). Y, haciendo memoria,
ha podido completar los siguientes datos:
Nota de
estadística
0‐4
4‐5
5‐7
7‐9
9 ‐ 10
Número de
alumnos
8
n2
n3
6
6
Calcule:
a) ¿Qué proporción de alumnos ha obtenido una nota superior a 5? ¿Cómo es la distribución
respecto a la moda?
b) Estudie la dispersión relativa de las notas a partir del coeficiente de variación de Pearson.
Interprete los resultados.
c) ¿Cómo afecta a la homogeneidad de la distribución que este examen sea un 60 por ciento de la
calificación final?
d) Comente, con base estadística, el grado de concentración de las notas de este examen.
Solución:
4
a)
ni
ci
Ni
4
1
2
8
n2  6 h2  6
8
14
2
2
1
n3  6 h3  3
3
6
6
6
32
20
26
32
L i  L i1
amplitud
0‐4
4‐5
5‐7
7‐9
9 ‐ 10
ci
ni
hi 
m
Ni
%
N
25
43,75
62,50
81,25
100
212,5
Ui
% pi  qi
UN
xi
xi .ni
Ui   x i . ni
x2i .ni
2
4,5
16
27
16
43
32
121,5
8,70
23,37
16,30
20,38
6
8
9,5
36
48
57
184
79
127
184
216
384
541,5
1295
42,93
69,02
100
19,57
12,23
000
68,48
pi 
i 1
qi 
Sabemos que, Me  5,6667 y Md  4 ,6
Para hallar n2 y n3 , podemos recurrir a la moda o a la mediana, a saber.
La moda aproximada cuando existen distintas amplitudes: Md  Li 
4,60  4 
hi 1
hi 1  hi 1
ci
h3
1,2
1  h3 
 3  n3  h3 .c3  3.2  6
2  h3
0,4
siendo, N  32  8  n2  6  6  6  n2  32  26  6
N
 Ni1
La mediana Me  Li  2
ci 
Ni  Ni1
32
 (8  n2 )
 8  n2
2
2  n2  6
5,6667  5 
2  0,6 
n3
(8  n2  n3 )  (8  n2 )

12n2
N  32  20  n2  n3  n3  32  26  6
La proporción de alumnos que obtienen una nota superior a 5. La distribución respecto a la moda.
  xi  5 
666
n n n
 . 100  3 4 5 .100 
.100  56,25 %
p 

32
32
N 

La distribución es bimodal, puesto que h2  h5  6
b) Dispersión relativa de las notas a partir del coeficiente de variación de Pearson. Interpretar los
resultados.
5
a1  x 
 xi ni
i 1
N
5

184
 5,75
32
s2x  a2  a12  40,46875  5,752  7,40625
C.V 
a2 
 x2i ni
i 1
N

1295
 40,46875
32
sx  7,40625  2,72
sx 2,72

 0,4730 (47,30%) , la dispersión es del 47,30 %, es decir, una dispersión media.
x 5,75
c) La homogeneidad de la distribución, cuando el examen es un 60 % de la calificación final.
5
%
CAMBIO DE ESCALA DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON C.V: y  k . x
E(y)  E(k . x)  k . E(x)  k . x
Var (y)  Var (k . x)  k .Var(x)  k . s
2
2
2
x

 s y  k . s  k . sx
2
2
x
C.Vy 
k . sx sx
  C.VX
k.x
x
El Coeficiente de Variación de Pearson es invariante ante un cambio de escala.
C.Vfinal 
s final 2. s x

 0,4730 (47,30%)
xfinal 2 . x
d) Grado de concentración de las notas de este examen.
5 1
El índice de concentración de Gini: IG 
 (pi  qi )
i 1
5 1
 pi

68,48
 0,32 (32 %)
212,5
i 1
La concentración es medio‐baja.
4. Se han obtenido las siguientes expresiones para las rectas de regresión mínimo cuadráticas de una
variable bidimensional (X,Y), donde X es el gasto mensual en ocio e Y el gasto mensual en
transporte de un grupo de amigos:
 Y  4X  2

 Y  2X  10
Sabiendo además que la covarianza entre ambas variables sxy  60 . Se pide:
a)
b)
c)
d)
Identifique cuál es la recta de regresión de Y/X y de X/Y.
Interprete los coeficientes de las rectas de regresión.
Porcentaje de variabilidad explicada y no explicada por la recta.
Calcule la varianza residual en la regresión Y/X. ¿Coincidirá con la varianza residual en la regresión
X/Y? Justifique su respuesta.
Solución:
a) Recta de regresión Y/X: Y  2X  10 , pendiente b  2
Recta de regresión X/Y: Y  4 X  2  4 X  Y  2  X 
1
1
1
, pendiente b' 
Y
4
2
4
La otra opción no puede ocurrir:
Recta de regresión Y/X: Y  4 X  2
Recta de regresión X/Y: Y  2X  10  2X  Y  10  X 
6
1
Y5
2
puesto que R2  b . b'  4 .
1
 2 cuando se sabe que 0  R2  1
2
b) Como las dos pendientes son positivas (2 y 1/4), la recta de regresión de Y/X tiene mayor
pendiente en valor absoluto que la de X/Y
c) El coeficiente de determinación lineal R2  b . b'  2 .
1 1
  0,5
4 2
La recta de regresión de Y sobre X explica el 50% de la variabilidad de la variable dependiente y el
otro 50% es no explicado.
s xy

60
2
 b  s2  2  s2  sx  30

x
x
d) 
 b'  s xy  1  60  s2  240
y

s2y
4 s2y
 sry2  s2x .(1  R2 )  sry2  30 . (1  0,5)  15
Las varianzas residuales:  2
2
2
2
 srx  s y .(1  R )  srx  240 . (1  0,5)  120
5. Sabiendo que x  3 , s2x  6 , s2y  8 y que la recta de regresión de Y sobre X es y  4  0,667. x
Obtener la recta de regresión de X sobre Y.
Solución:
 y  4  0,667. x  4  0,667. 3  2

s xy s xy
Y/X: y  4  0,667. x  
 b   0,667  s2  6  s xy   0,667 . 6   4

x
sxy  4

  0,5
 b'  2 
sy
8
X/Y: x  a' b'y  
 x  a' b' y  3  a' 0,5 . 2  a'  4


x  4  0,5 . y
6. Hallar la recta de regresión de Y sobre X sabiendo que x  4,1 , y  2,3 y la recta pasa por el
punto (5,9 , 3,5)
Solución:
 y  a  b x  2,3  a  4,1 . b
Y/X: y  a  b x  
 por pasar por (5,9 , 3,5)  3,5  a  5,9 . b
7
a  4,1 . b  2,3

a  5,9 . b  3,5
 1,2

 0,667
b 
 1,8

 a  2,3  4,1 . 0,667   0,435



y   0,435  0,667. x
7. La tabla muestra la comprensión lectora (X) de dos grupos de individuos educados en niveles
socioculturales altos (A) y bajos (B).
Intervalos
0‐6
7 ‐ 13
14 ‐ 20
21 ‐ 27
28 ‐ 34
nA
4
6
9
12
9
nB
4
7
9
8
2
Si a partir de la puntuación X  19 se considera una comprensión lectora buena. Se pide:
a)
b)
c)
d)
Porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensión lectora.
¿Entre qué valores de comprensión lectora estará la quinta parte central del Grupo A?
¿Entre qué valores de comprensión del Grupo B se encuentran los 12 centrales?
¿Cuál de los dos grupos presenta mayor variabilidad?
Solución:
a) Adviértase que los intervalos son cerrados, se deben expresar abiertos a la derecha con extremos
reales:
Intervalos
x
ci
nA
NA
x.nA
‐ 0, 5 ‐ 6,5
6,5 ‐ 13, 5
13,5 ‐ 20, 5
20,5 ‐ 27, 5
27,5 ‐ 34,5
3
10
17
24
31
7
7
7
7
7
4
6
9
12
9
4
10
19
31
40
12
60
153
288
279
792
x 2 .nA
36
600
2601
6912
8649
18798
nB
NB
x.nB
4
7
9
8
2
4
11
20
28
30
12
70
153
192
62
489
x 2 .nB
36
700
2601
4608
1922
9867
Se calcula el orden k del percentil que es igual a 19.
Este da el porcentaje de las personas que tienen menos de 19 puntos. La respuesta será su diferencia
hasta 100.

En el Grupo A:
k . 40
 10
7 . (0,4 . k  10)
100
Pk  19  13,5 
. 7  19  13,5 
19  10
9

49,5  2,8 . k  70
k  119,5 / 2,8  42,68
El 57,32% 100  42,68  57,32 tiene una buena comprensión lectora en el Grupo A.
8

En el Grupo B:
k . 30
 11
7 . (0,3 . k  11)
Pk  19  13,5  100
. 7  19  13,5 
20  11
9

49,5  2,1 . k  77
k  126,5 / 2,1  60,24
El 39,76% 100  60,24  39,76 tiene una buena comprensión lectora en el Grupo B.
En consecuencia, el Grupo A tiene una mejor comprensión lectora.
b) La quinta parte representa el 20%. Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 40% al 60%, se
tendrá que calcular el Percentil 40 y el Percentil 60 de la distribución de comprensión lectora del
Grupo A.
P40
P60
40 . 40
 10
16  10
100
 13,5 
. 7  13,5 
. 7  18,17
19  10
19  10
60 . 40
 19
24  19
100
 20,5 
. 7  20,5 
. 7  23,42
31  19
31  19
La quinta parte central del Grupo A se encuentra entre los valores [18,17 ‐ 23,42]
c) Los 12 valores representa el(12 / 30  40%) . Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 30% al
70%, teniendo que calcular el Percentil 30 y el Percentil 70 de la distribución de comprensión
lectora del Grupo B.
P30
P70
30 . 30
4
94
 6,5  100
. 7  6,5 
. 7  11,5
11  4
11  4
70 . 30
 20
21  20
 20,5  100
. 7  20,5 
. 7  21,375
28  20
28  20
Los 12 centrales valores centrales de comprensión del Grupo B se encuentran entre
[11,5 ‐ 21,375]
d) Mayor variabilidad tendrá aquel grupo que posea mayor dispersión entre sus valores, es decir, si
la media aritmética es representativa de las observaciones (no existen valores extremos
exageradamente distanciados de la mayoría).
El estadístico más adecuado para medir la variabilidad relativa entre dos series es el Coeficiente de
Variación de Pearson, entendiendo que un valor mayor indica menor homogeneidad, un valor
menor refleja menor dispersión o variabilidad.
xA 
792
 19,8
40
s2A 
18798
 19,82  77,91
40
sA 
9
77,91  8,83
xB 
489
 16,3
30
CVA 
sB2 
9867
 16,32  63,21
30
8,83
. 100  44,59%
19,8
CVB 
sB 
63,21  7,95
7,95
. 100  48,77%
16,3
El Grupo B presenta mayor variabilidad relativa, en contra de lo obtenido comparando la
desviación típica.
8. A partir de la tabla adjunta, donde N  11 , Y  0
X \ Y
0
1
‐2
0
3
2
0
0
1
n22
1
1
0
n23
0
a) ¿Son independientes las variables estadísticamente?
b) Rectas de regresión de Y/X e X/Y
c) ¿Qué parte de la varianza calculada Y es explicada por la regresión? ¿Qué parte es debida a
causas ajenas?.
Solución:
a)
X \ Y
‐2
0
1
ni 
0
1
0
3
0
0
n23
0
n23
1
2
n j
1
n22
1
2  n22
3
De otra parte, Y 
3  n22  n23
1
5  n22  n23  11
 2 . 3  0  n23
 0  n23  6
11
5  n22  6  11  n22  0
X \ Y
‐2
0
1
ni 
0
1
2
n j
0
3
0
1
0
1
0
6
0
1
9
1
3
2
6
11
Las variables X e Y son independientes
n n  n 
cuando se verifica ij   i    j   i, j
N  N  N 
No son independientes porque no se verifica la relación:
10
1
1
2
x

11 11 11
 n12  n1   n2  
  

 N  N   N 
b)
3 3
  x i y j nij
a11  i1 j1
N

1
  2 . 1. 3  1 . 1. 6  0
11
3
3
 x i ni
 x i ni
2
1.9  0 2.1
a10  x  i1

1
a20  i1
N
11
N
13
2
2
2
s2x  a20  a10
 1 
 sx 
 0,43
11
11
11
3
a01  y 
 y j n j
j1
N
s2y  a02  a201 
3
0
18
18
0 
 sy 
11
11
a02 
 y j n j

1 2
13
1 . 9  22 . 1 
11
11
2
j1
N

1
18
(2)2 . 3  12 . 6  
11
11
18
 1,28
11
covarianza: sxy  a11  a10 . a01  0  1 . 0  0

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta): b 
sxy
s

2
x
0
0
2 / 11
Y abX  0 a 0.1  a 0
Y /X: Y  0

El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta): b' 
sxy
s
2
Y

0
0
18 / 11
X  a'  b' Y  1  a'  0 . 0  a'  1
X / Y: X 1
COEFICIENTE DETERMINACIÓN: r2  b . b'  0  Las rectas son perpendiculares, y en
consecuencia, las variables (X, Y) son INCORRELADAS
VARIANZA RESIDUAL DE Y: sry2  s2y (1  r2 )  sry2 
s2y  s2Y explicada  sr2Y

18
18
 s2Y explicada 

11
11
18
18
(1  0) 
11
11
s2Y explicada  0
11
9. La variable X tiene x  4 y s2x  1 . Determinar el coeficiente de variación de Pearson de las
variables:
W
(X  3)
2
,
Z
(X  2)
3
Solución:

3 1
1
1
 3 1  3
 E(W)  E  2  2 X   2  2 . E(X)  w  2  2 . x  2




2
 Var (W)  Var   3  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1
x
W
x
 2 2  2 

4
2
2

  
C.Vw 
sw 1 / 2

1
w 1/2

2 1
1
2
 2 1  2
 E(Z)  E  3  3 X   3  3 . E(X)  z  3  3 . x  3




2
 Var (Z)  Var   2  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1
x
z
x
 3 3  3
9
3
3

  

C.Vz 
sz 1 / 3 1


z 2/3 2
COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON : CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA
E(Y)  E (a  b . X)  a  b . E(X)  a  b . X
Var (Y)  Var a  b . X   b2 . Var(X)  b2 . s2x  s y  b . s x
C.Vy 
b . sx
sx

a
a  b.X
 X
b
El Coeficiente de Variación de Pearson se encuentra afectado ante un cambio de origen.
12
10. Si s y  sx y r  0 ¿La recta de regresión Y/X tiene mayor pendiente que la de X/Y?
Solución:
RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
b
sxy
b' 
r
 sxy  b . s2x
2
x
s
s xy
s
 s xy  b . s2y
2
y
s xy
sx . sy
 s xy  r. sx . s y
Si s y  sx , r  0  r.
sy
sx
 r.
sx
sy


s

b . s2x  r. sx . s y  b  r. y

sx
 
s

b' . s2y  r. s x . s y  b'  r. x

sy


 b  b'
11. Sean dos variables X e Y, tipificadas e incorreladas. Escribir la recta de regresión de Y sobre X
Solución:
 x  0 sx  1
Por ser (X, Y) variables tipificadas: 
 y  0 sy  1
b  0
Por ser (X, Y) variables incorreladas: sxy  0  
 r2  0
b'
0


 y a  b. x  a y 0
Y/X: y  a  b . x  
b0
Y/X: y  0
12. En una regresión lineal las varianza explicada por la regresión y residual son iguales. ¿Cuánto
vale el coeficiente de determinación?.
Solución:
2
s2y  sry2  sRy
 2sry2
r 1
2
sry2
s
2
y
 r 1
2
sry2
1 1
1 
2sry
2 2
13
Sea ŷi el valor teórico que correspondería a la recta de regresión de Y sobre X  ŷ i  a  b . x i  ,
elevando al cuadrado la descomposición (y i  y)  (yi  yˆ i )  (yˆ i  y) :
2
2
2
 (yi  y)   (yi  yˆ i )  (yˆ i  y)   (yi  yˆ i )   (yˆ i  y)  2  (yi  yˆ i ) (yˆ i  y)

2
0
se observa que,
 (y i  yˆ i ).(yˆ i  y )   (yi  a  bx i ).(a  bx i  y ) 
 a  (yi  a  bx i )  b  x i (y i  a  bx i )  y  (y i  a  bx i )





0
suma
cuadrados total
 (yi  y )
2
Dividiendo por N:
suma cuadrados
residual


 (yi  yˆ i)
2
0
0
suma cuadrados
explicada


2
 (yˆ i  y )
2
2
2
 (yi  y )
 (yi  yˆ i )
 (yˆ i  y )


N  
N
N 


2
2
2
sy
sry
sRy
2
s2y  sry2  sRy

2
 por s2y :
Dividiendo la expresión s2y  sry2  sRy
2
s2y  sry2  sRy
r2 

sry2  s2y (1  r2 )
2
s  s 

 1      Ry2    2
sry2
s  s 


r
1

   y 
s2y

2
ry
2
y
2
 s2y . r2
sRy
13. Determinar si son coherentes los datos:
a) N  100 , x  5 , y  8 , s2x  12,5 , s2y  70 , r2  0,9
b) La suma de residuos al cuadrado correspondientes a una de las posibles rectas de regresión
vale 100
Solución:
Solo son útiles: N  100 , s2x  12,5 , s2y  70 , r2  0,9 ,  (yi  yˆ i )2  100
sry2 
2
 (yi  yˆ i ) 100

1 ó
N
100
srx2 
2
 (x i  xˆ i ) 100

1
N
100
De otra parte,
Y/X: sry2  s2y (1  r2 )  sry2  70 (1  0,9)  7  1
No son coherentes.
X/Y: srx2  s2x (1  r2 )  srx2  12,5 (1  0,9)  1,25  1
14
No son coherentes.
14. Dada la siguiente distribución:
xi
5
10
15
20
25
ni
3
7
5
3
5
a) Calcular la media armónica, geométrica y aritmética
b) Calcular la varianza, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson
c) Hallar la media aritmética y la desviación típica de la variable X tipificada
d) Mediante la transformación y 
x  15
, hallar la media, varianza y desviación típica
5
Solución:
a)
xi
5
10
15
20
25
ni
3
7
5
3
5
23
x i ni
15
70
75
60
125
345
ni
xi
125
10000000
759375
8000
9765625
7,415771484 . 1025
ni
xi
0,6
0,7
0,3333
0,15
0,2
1,9833
x 2i ni
75
700
1125
1200
3125
6225
xA 
N
N
23


 11,597
5 n
n1 n2 n3 n4 n5 1,9833
i
   

i1 x i
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
5
xG  23  xni i  23 xn11 . xn22 . xn33 . xn44 . xn55  23 7,415771484 . 1025  13,329
i 1
5
 x i ni
a1  x  i1
N

345
 15
23
La relación entre las diferentes medias es: xA  xG  x
5
2
 x i ni
6225
 270,652  s2x  a2  a12  270,652  152  45,652
N
23
sx  45,652  6,76
b) a2  i1
CVx 

s x 6,76

 0,45 [45% de dispersión de los datos]
x
15
15
c) La variable X tipifica: zi 
xi  x
sx
xi
5
10
15
20
25
ni
3
7
5
3
5
‐1,479
‐0,740
0
0,740
1,479
‐4,438
‐5,178
0
2,219
7,396
0
z ni
6,565
3,830
0
1,641
10,941
23
yi
‐2
‐1
0
1
2
yi ni
‐6
‐7
0
3
10
0
y 2i ni
12
7
0
3
20
42
xi  x
sx
zi 
zi ni
2
i
5
 zi ni
z  i1
N
5
0
 0
23
2
 zi ni
s2z  i1
d) Con la transformación y 
5
 yi ni
y  i1
N
23
 y i ni
s  i1
2
y
 Toda variable tipificada tiene
23
0 1 
23
 media  0 y varianza  1
 (y)2 
42
42
0
 1,826
23
23
x  15
5
5
0
 0
23
N
 (z)2 
2
N
No son necesarios los cálculos, se conoce:
1
15

 x  15  1
 y  E  5   5 E  x   3  3  5 x  3  5  0





x  15  1
1
45,652
 s2y  Var 
 2 Var  x   s2x 
 1,826


25
25

 5  5
16
sy 
42
 1,35
23
15. Ana acude con su hijo a la consulta de un odontólogo para cuatro restauraciones dentarais,
observando que el doctor aplicaba cantidades de cemento de ionómeros de vidrio con flúor y
composite (Y, en gramos) conforme a los diámetros de perforación de cada pieza dental (X, en
milímetros) como se refleja a continuación:
X \ Y
0‐3
3‐5
5 ‐ 10
0‐1
1‐3
1
3‐6
1
6 ‐ 10
1
1
Se pide:
a) ¿Son independientes estadísticamente ambas variables?. Razone la respuesta.
b) Calcule las rectas de regresión de Y/X e X/Y. Interpretar los resultados.
c) ¿Qué parte de la varianza de las perforaciones habidas (X) es explicada por la cantidad de
ionómeros de vidrio consumida (Y)? ¿Qué parte no es explicada?.
Solución:
a) Las variables X e Y son independientes cuando se verifica
X \ Y
0,5
2
4,5
8
ni 
x i ni
x 2i ni 
1
1
2
1
1,5
8
7,5
2,25
32
56,25
17
90,5
1,5
4
7,5
n j
1
1
1
1
1
4
y j n j
0,50
2
4,50
8
15
0,25
4
20,25
64
88,5
1
2
j
y n j
1
Las variables no son independientes:
n12
N
n  n 
  i    j   i, j
N  N  N 
nij
 1   n1   n2   1   1 

   
 
4  N  N  44
3 4
  x i y j nij
b)
a11  i1 j1
N

1
1,5 . 2 . 1  4 . 0,5 . 1  4 . 4,5 . 1  7,5 . 8 . 1  20,75
4
3
 x i ni
a10  x  i1
N
3

17
 4,25
4
2
 x i ni
a20  i1
N

2
s2x  a20  a10
 22,625  4,252  4,5625  sx 
4
a01  y 
 y j n j
j1
N
4
15
  3,75
4
a02 
 y j n j
90,5
 22,625
4
4,5625  2,136
2
j1
N

17
88,5
 22,125
4
s2y  a02  a201  22,125  3,752  8,0625  s y 
8,0625  2,84
covarianza: sxy  a11  a10 . a01  20,75  4,25 . 3,75  4,8125

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta): b 
sxy
s

2
x
4,8125
 1,055
4,5625
Y  a  b X  3,75  a  1,055 . 4,25  a   0,734
Y / X : Y   0,734  1,055 X

El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta): b' 
sxy
s
2
Y

4,8125
 0,597
8,0625
X  a'  b' Y  4,25  a'  0,597 . 3,75  a'  2,011
X / Y : X  2,011  0,597 Y
c) COEFICIENTE DETERMINACIÓN: r2  b . b'  1,055 . 0,597  0,6298
VARIANZA RESIDUAL DE X: srx2  s2x (1  r2 )  srx2  4,5625 (1  0,6298)  1,689 NO EXPLICADA
s2x 
srx2

varianza residual
no explicada

2
sRx

2
2
 sRx
 s2x  srx2  sRx
 8,0625  1,689  6,3735 EXPLICADA
varianza regresión
explicada
18
16. El salario medio mensual en cientos de euros de 160 obreros se distribuye de la siguiente forma:
Intervalos
ni
4‐8
3
8 ‐ 12
12
12‐ 16
40
16 ‐ 20
47
20 ‐ 24
32
24 ‐ 28
13
28 ‐ 32
9
32 ‐ 36
4
a) Media aritmética, mediana, moda y percentil 75.
b) Coeficiente de asimetría de Fisher.
c) Realizar una redistribución en la que los intervalos tengan una amplitud de 8, y con estos nuevos
intervalos calcular la media aritmética y el coeficiente de variación de Pearson. Comparar los
resultados obtenidos en el apartado (a)
Solución:
a)
Intervalos
xi
4‐8
8 ‐ 12
12‐ 16
16 ‐ 20
20 ‐ 24
24 ‐ 28
28 ‐ 32
32 ‐ 36
6
10
14
18
22
26
30
34
ni
3
12
40
47
32
13
9
4
Ni
3
15
55
102
134
147
156
160
hi  ni / ci
0,75
3
10
11,75
8
3,25
2,25
1
40
x i . ni
18
120
560
846
704
338
270
136
2992
(x i  x)
‐12,7
‐8,7
‐4,7
‐0,7
3,3
7,3
11,3
15,3
(x i  x) ni
‐38,1
‐104,4
‐188
‐32,9
105,6
94,9
101,7
61,2
0
(x i  x)2 ni
483,87
908,28
883,6
23,03
348,48
692,77
1149,21
936,36
5425,60
(x i  x)3 ni
‐6145,149
‐7902,036 ‐4152,92 ‐16,121 1149,984 5057,221 12986,073
8
 x i . ni
a1  x  i1
Md  L i 
N
2992

 18,7
160
hi  hi 1
(hi  hi 1 )  (hi  hi 1 )
14326,308 15303,36
N
 Ni1
80  55
Me  L i  2
ci  Me  16 
. 4  18,13
Ni  Ni1
102  55
ci  Md  16 
Se verifica la relación x  Me  Md 
160
11,75  10
. 4  17,27
(11,75  10)  (11,75  8)
Distribución asimétrica a la derecha o positiva
Adviértase que para calcular la moda, cuando la amplitud de los intervalos es igual, para trabajar con
una escala más pequeña, se puede emplear la expresión:
Md  L i 
ni  ni 1
(ni  ni 1 )  (ni  ni 1 )
ci  Md  16 
47  40
. 4  17,27
(47  40)  (47  32)
75 N
 Ni1
120  102
P75  Li  100
ci  Q 3  P75  20 
. 4  22,25
Ni  Ni1
134  102
19
 g1  0 Asimetría a la derecha o positiva
m3 
b) Coeficiente de asimetría de Fisher: g1  3  g1  0 Simetría
s 
g1  0 Asimetría ala izquierda o negativa
8
2
 (x i  x) .ni
m2  s2  i1
N

5425,60
 33,91 (varianza)
160
s
33,91  5,82 (desviación típica)
8
3
 (x i  x) . ni
m3  i1
g1 
N

15303,36
 95,65
160
m3 95,65

 0,485  0 
s3 5,823
Distribución asimétrica a la derecha o positiva.
c)
Intervalos
xi
4 ‐ 12
8
12 ‐ 20
16
20 ‐ 28
24
28 ‐ 36
32
ni
15
87
45
13
160
x i . ni
120
1392
1080
416
3008
960
22272
25920
13312
62464
2
i
x . ni
4
 x i . ni
a1  x  i1
CV 
N
4

3008
 18,8
160
2
 x i . ni
a2  i1
N

62464
 390,4
160
s2x  a2  a12  390,4  18,82  36,96
36,96
sx

 0,32 (32% de dispersión de los datos)
x
18,8
La media aritmética cambia, se ha transformado la distribución de datos.
20
17. La distribución de salarios de una empresa es la siguiente:
Salario (euros)
3000 ‐ 5000
1000 ‐ 2000
5000 ‐ 9000
2000 ‐ 3000
Empleados
25
100
5
50
a) Estudiar la concentración de salarios
b) ¿Qué porcentaje de empleados percibe el 50% de los salarios?
c) La empresa como política comercial analiza subir los salarios a todos los empleados, con un
incremento del 10%, o bien con un aumento de 200 euros por empleado. ¿Cuál de las dos
opciones sería más equitativa?
d) ¿Cuál es la concentración de salarios si el número de empleados hubiera sido el doble?
Solución:
a) La concentración de salarios se analiza mediante el Índice de Gini, que no varía mediante
cambios de escala (subida porcentual del 10% a los empleados) mientras que queda modificado
con cambios de origen (subida lineal de 200 euros a cada empleado).
Ordenando los salarios en forma creciente:
Salarios
xi
ni
Ni
x i ni
1000 ‐ 2000
2000 ‐ 3000
3000 ‐ 5000
5000 ‐ 9000
1500
2500
4000
7000
100
50
25
5
100
150
175
180
150000
125000
100000
35000
410000
ui  xi n i
acumulada
150000
275000
375000
410000
Ni
.100
N
55,56
x
83,33
97,22
100
236,11
% pi 
% qi 
ui
.100
uk
36,59
50
67,07
91,46
100
195,12
3
 qi
195,12
 0,174 (concentración de salarios del 17,4%)
IG  1  i31  1 
236,11
 pi
i1
b) En la tabla se observa que el 55,56% de los empleados percibe el 36,59% de los salarios, y el
83,33% de los empleados percibe el 67,07% de los salarios. En consecuencia, el 50% de los salarios
estará distribuido entre un conjunto de empleados situado entre el 55,56 y el 83,33%.
Bajo la hipótesis de linealidad, se establece la relación de porcentajes:
27,77 . 13,41
67,07  36,59 50  36,59
30,48
13,41

 x  55,56 


 x  67,78%
83,33  55,56 x  55,56
27,77 x  55,56
30,48
21
c)
SUBIDA DE SALARIOS DEL 10% ‐ Cambio de escala en los salarios
x'i  1,1. xi
ni
Ni
x'i ni
1650
2750
4400
7700
100
50
25
5
100
150
175
180
165000
137500
110000
38500
451000
u'i  x'i n i
acumulada
165000
302500
412500
451000
% pi 
Ni
.100
N
% q'i 
55,56
83,33
97,22
100
236,11
u'i
.100
uk'
36,59
67,07
91,46
100
195,12
3
 qi
195,12
 0,174 (concentración de salarios del 17,4%)
IG  1  i31  1 
236,11
 pi
i1
Adviértase que: q'i 
ui .1,1 ui
  qi
uk .1,1 uk
Con una subida del 10% a cada empleado, la equidistribución no varía.
El cambio de escala en los salarios no afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como Principio
de la Renta relativa.
SUBIDA LINEAL DE SALARIOS DE 200 EUROS ‐ Cambio de origen en los salarios
x 'i  200  x i
ni
Ni
x'i ni
1700
2700
4200
7200
100
50
25
5
100
150
175
180
170000
135000
105000
36000
446000
u'i  x'i n i
acumulada
170000
305000
410000
446000
% pi 
Ni
.100
N
55,56
83,33
97,22
100
236,11
% q'i 
u'i
.100
uk'
38,12
68,39
91,93
100
198,43
3
 qi
198,43
 0,16 (concentración de salarios del 16%)
IG  1  i31  1 
236,11
 pi
i1
Con una subida lineal de 200 euros a cada empleado, la equidistribución de salarios es más
equitativa.
Si por el contrario la empresa hubiera rebajado 50 euros a cada empleado, la equidistribución de
salarios sería menos equitativa.
El cambio de origen en los salarios afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como Principio de
Dalton.
22
d) Concentración salarios si el número de empleados hubiera sido el doble:
SUBIDA LINEAL DE EMPLEADOS ‐ Cambio de escala en la Población
n'i
xi
1500
2500
4000
7000
 2 ni
200
100
50
10
360
N'i
xi n'i
200
300
350
360
300000
250000
200000
70000
820000
u'i  xi n'i
acumulada
300000
550000
750000
820000
%p'i
N'
 i .100
N
% q'i 
55,56
83,33
97,22
100,00
236,11
u'i
.100
uk'
36,59
67,07
91,46
100,00
195,12
3
 qi
195,12
 0,174 (concentración de salarios del 17,4%)
IG  1  i31  1 
236,11
p
 i
i1
El cambio de escala en la población no afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como
Principio de la Población. Es decir, el tamaño de la población no importa, lo que interesa son las
proporciones de individuos de la población que perciben diferentes niveles de salario.
18. Dada la tabla de correlación:
X \ Y
‐1
0
1
‐1
2
2
1
0
1
4
0
1
2
2
1
Estudiar la independencia estadística, calcular las rectas de regresión y la correlación entre ambas
variables.
Solución:
a)
X \ Y
‐1
0
1
ni 
x i .ni 
x 2i . ni 
‐1
0
1
n j
2
2
1
1
4
0
2
2
1
5
8
2
‐5
0
2
5
0
2
5
5
5
N  15
‐3
7
y j . n j
‐5
0
5
0
5
0
5
10
2
j
y . n j
Las variables X e Y son independientes cuando se verifica
n  n 
  i    j   i, j
N  N  N 
nij
Si alguna de las frecuencias absolutas es igual a 0 no son independientes estadísticamente:
23
n32 n3 n2
0
2 5



.
.
N
N N
15 15 15
3 3
  x i . y j .nij
a11  i1 j1
N

1
 1.(1). 2  1. 1. 2  1. (1). 1  1. 1. 1  0
15
3
 x i ni
a10  x  i1
N
3
3
1


15
5
2
 x i ni
a20  i1
3
a01  y 
 y j n j
j1
N
3
0
a02 
N
 y j n j
2

7
15

10
15
2

s2x  a20  a10
7
6
 1 
   
15  5  25
s2Y  a02  a201 
10
10
 0
15
15
2
j1
N
b  0
Rectas regresión perpendiculares
 1 
sxy  a11  a10 . a01  0    . 0  0  
 r2  0  
 5 
 b'  0
 variables INCORRELADAS
Rectas de regresión:
 y a  b. x  a y 0
Y/X: y  a  b . x  
 y0
b0
1

  0,2
 x  a'  b' . y  a'  x 
X/Y: x  a'  b' . y  
5
 b'  0
 x   0,2
19. La variable estadística X tiene x  2 , s x  1 . Determinar la media aritmética, la varianza y el
X 1
coeficiente de variación de Pearson de Y 
2
Solución:

1 1
1
1
 1 1  1
 E(Y)  E  2  2 X   2  2 . E(X)  y  2  2 . x  2




2
 Var (Y)  Var   1  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1
x
Y
x
 2 2  2 
4
2
2

  

C.VY 
sY 1 / 2

1
y 1/2
24
20. La varianza explicada por una regresión lineal simple es el doble de la varianza residual, ¿Cuánto
vale el coeficiente de determinación?
Solución:
2
sRy
 2sry2 
2
s2y  sry2  sRy
 3 sry2
s  s (1  r )  r  1 
2
ry
2
y
2
2
sry2
s
2
y
1
sry2
1 2
1 
3s
3 3
2
ry
21. Dada la distribución:
xi
2
4
8
10
ni
3
4
1
2
a) Calcula los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher, coeficiente de curtosis.
b) Siendo la variable X 
Y 1
, halla los coeficientes de asimetría de Pearson y Fisher de la variable Y
2
c) ¿Tienen el mismo coeficiente de Variación de Pearson las dos variables?
c) Calcula el coeficiente de curtosis de las variables X e Y
Solución:
a)
xi
ni
Ni
x i .ni
xi  x
(x i  x)2
(x i  x)2 . ni
(x i  x)3 . ni
(x i  x)4 . ni
2
4
8
10
3
4
1
2
10
3
7
8
10
6
16
8
20
50
‐3
‐1
3
5
9
1
9
25
27
4
9
50
90
‐81
‐4
27
250
192
243
4
81
1250
1578
4
 x i . ni
x  i1
N
4

50
5
10
Mex  4
2
 (x i  x) . ni
Mdx  4
Coeficiente asimetría de Pearson: APx 
s2x  i1
N

90
9
10
sx  9  3
x  Mdx 5  4

 0,33  0 asimetría a la derecha o positiva
sx
3
4
3
 (x i  x) . ni
Coeficiente de asimetría de Fisher: m3x  i1
g1x 
N

192
 19,2
10
m3x 19,2

 0,71  0 asimetría a la derecha o positiva
s3x
27
25
s3x  33  27
4
Coeficiente de curtosis:
g2x 
b)
4
 (x i  x) . ni
m4x  i1
N

1578
 157,8
10
s4x  34  81
m4x
157,8
3
 3  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA)
4
sx
81
Y  1  2X
Los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher son invariantes ante un cambio de origen y de
escala y, en consecuencia, la distribución Y presenta:
APy  0,33  0 asimetría a la derecha o positiva
g1y  0,71  0 asimetría a la derecha o positiva
Haciendo las operaciones:
yi
ni
Ni
y i .ni
yi  y
(y i  y)2
(y i  y)2 . ni
(yi  y)3 . ni
(yi  y)4 . ni
5
9
17
21
3
4
1
2
10
3
7
8
10
15
36
17
42
110
‐6
‐2
6
10
36
4
36
100
108
16
36
200
360
‐648
‐32
216
2000
1536
3888
64
1296
20000
25248
4
 yi . ni
y  i1
N
4

110
 11
10
Mey  9
Coeficiente asimetría de Pearson: APy 
2
 (y i  y) . ni
Mdy  9
y  Mdy
sy
s2y  i1
N

360
 36
10
s y  36  6
11  9
 0,33  0 asimetría a la derecha o positiva
6

4
3
 (yi  y) . ni
Coeficiente de asimetría de Fisher: m3y  i1
g1y 
m3y
s
3
y

N

1536
 153,6
10
s3y  63  216
153,6
 0,71  0 asimetría a la derecha o positiva
216
c) El coeficiente de variación de Pearson es invariante ante un cambio de escala (Y  2X) pero no
2sx
ante un cambio de origen (Y  1  2X) . En este caso: CVy 
. No tienen, por tanto, el mismo
12x
coeficiente de variación.
Coeficiente de variación de Pearson de X: CVx 
sx 3
  0,6 (60% de dispersión de los datos)
x 5
26
Coeficiente de variación de Pearson de Y: CVy 
2.sx
6
  0,54 (54% de dispersión de los datos)
1  x 11
d) El coeficiente de curtosis o apuntamiento es invariante ante un cambio de origen y de escala
(Y  1  2X) y, en consecuencia:
g2y  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA)
4
4
 (y i  y) . ni 25248
i1


 2524,8
Haciendo operaciones: m4y 
N
10
g2y 
m4y
s
4
y
3
s4y  64  1296
2524,8
 3  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA)
1296
27
PARCIALILLO 22 DE FEBRERO 2013
1. Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 25 años, observándose el número de
hijos de las mismas. El resultado ha sido:
Número de hijos (x i )
0
1
2
3
4
5
6
a)
b)
c)
d)
Número de mujeres (ni )
13
20
25
20
11
7
4
Calcular el número medio de hijos, la mediana, la moda y el tercer cuartil
¿Cuál es el número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen?
Calcular el coeficiente de variación de Pearson
Calcular el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis
Solución:
a)
xi
ni
Ni
0
1
2
3
4
5
6
13
20
25
20
11
7
4
100
13
33
58
78
89
96
100
75
50
fi =
ni
N
Fi =
0,13
0,20
0,25
0,20
0,11
0,07
0,04
1,0
Ni
N
0,13
0,33
0,58
0,78
0,89
0,96
1
x i ni
(x i ‐ x)
(x i ‐ x) 2
(x i ‐ x) 2 ni
(x i ‐ x) 3 ni
(x i ‐ x) 4 ni
0
20
50
60
44
35
24
233
‐2,33
‐1,33
‐0,33
0,67
1,67
2,67
3,67
5,43
1,77
0,11
0,45
2,79
7,13
13,47
70,58
35,38
2,72
8,98
30,68
49,90
53,88
252,11
‐164,44
‐47,05
‐0,90
6,02
51,23
133,24
197,72
175,82
383,15
62,58
0,30
4,03
85,56
355,75
725,65
1617,01
7
Media aritmética: x 
 xi ni
i1
N

233
 2,33
100
Mediana: Me  2 (pasa de la mitad 50%)
Md  2 (n3  25, el más grande)
 100. 3

 75 : Q 3  3 hijos (F4 pasa del 75%)
3º Cuartil 
 4

28
b) El número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen es el Decil 7
(Percentil 70)
Decil 7 ó Percentil 70: 3 hijos (F4 pasa de 0,7)
7
c) Varianza: m2  s 2 
 x  x  2 ni
i1
N
Desviación típica: s 

252,11
 2,5211 hijos 2
100
2,5211  1,59 hijos
Coeficiente de Variación de Pearson: C.V 
S 1,59

 0,6824 una dispersión del 68,24%
x 2,33
d) Coeficiente de asimetría de Fisher:
1 7
 (x i  x) 3 ni 1,76
m3 N i1
g1  3 

 0,4378  0  Asimetría a la derecha o positiva
s
s3
1,59 3

Coeficiente de curtosis:
g2 
m4
3
s4
1
N
7
 (x i  x) 4 ni
i1
s
4

16,17
 3  0,47  0  PLATICÚRTICA
1,59 4
2. Los salarios de los empleados de la cadena de producción de una empresa se distribuyen según la
tabla adjunta:
Salarios
Nº empleados
10 ‐ 20
12000
20 ‐ 40
6000
40 ‐ 50
1000
50 ‐ 100
800
100 ‐ 200
200
¿Qué porcentaje de empleados que percibe el 50% de los salarios? ¿Es equilibrada la distribución de
salarios?
Solución:
Salarios
[L i ‐ L i+1 )
xi
ni
Ni
x i ni
10 ‐ 20
15
12000
12000
180000
acumulada
180000
20 ‐ 40
40 ‐ 50
50 ‐ 100
100 ‐ 200
30
45
75
150
6000
1000
800
200
18000
19000
19800
20000
180000
45000
60000
30000
360000
405000
465000
495000
5
ni  20000
i1
ui = x i n i
5
Ni
.100
N
60
x
90
95
99
100
%pi =
4
 xi ni  495000
pi  344
i1
i1
29
% qi =
ui
.100
uk
36,36
50
72,73
81,82
93,94
100
4
 qi  284,85
i1
En la tabla se observa que el 60% de los empleados percibe el 36,36% de los salarios y que el 90%
de los empleados percibe el 72,73% de los salarios. Para estimar el porcentaje (x) de empleados que
percibe el 50% de los salarios se necesita realizar una interpolación lineal:
x  60
90  60

50  36,36
72,73  36,36

x  60
90  60

13,64
36,37

x  71,25%
4
 qi
IG  1  i41
 pi
1
284,85
 0,17
344
i1
La concentración es pequeña, pudiendo concluir que la distribución de salarios es equilibrada.
3. Sea la distribución bidimensional, donde las variables X e Y son estadísticamente independientes.
X\Y
1
2
Se pide:
3
3
2
4
c
6
a) Calcular las medias y varianzas marginales.
b) Hallar la covarianza y las rectas de regresión.
Solución:
X \ Y
1
2
n•j
ni•
3
3
2
4
c
6
3c
8
5
6c
11  c
Por ser independientes:
c
c
c
18
x

 (3  c).(6  c)  c.(11  c)  c   9
11  c 3  c 6  c
2
30
nij
N

ni n j
.
 i, j
N N
X \ Y
1
2
n•j
MEDIAS Y VARIANZAS MARGINALES:

3
3
2
4
9
6
ni•
5
15
20
12
8
MARGINAL DE LA VARIABLE X:
2
a10  x 
 xi ni 
i1
N
2
1
 1 . 12  2 . 8   1,4
20
a20 
x
i1
2
i
ni
N

1 2
1 . 12  22 . 8   2,2
20

1 2
3 . 5  42 . 15  14,25
20 
2
s2x  a20  a10
 2,2  1,42  0,24

MARGINAL DE LA VARIABLE Y:
2
a01  y 
y n
j
j1
2
j
N
1
 3 . 5  4 . 15  3,75
20
a02 
y
j1
2
j
N
nj
s2y  a02  a201  14,25  3,752  0,1875
b) covarianza: sxy  a11  a10 a01
2
a11 
X \ Y
1
2
n•j
X \ Y
1
2
n j
3
3
2
4
9
6
ni•
5
15
20
12
8
2
 x y n
i1 j1
i
j
ij
N

1.3.3  1.4.9  2.3.2  2.4.6 105

 5,25
20
30
sxy  a11  a10 a01  5,25  1,4 . 3,75  0
Sin calcular la covarianza, se conocía que la covarianza sxy  0 por ser (X, Y) variables independientes.
Si (X,Y) independientes 
Si sxy  0

s XY  0
(X,Y) No son independientes
Por otra parte, se conoce que en las rectas de regresión:
Y/X: Y  a  bX
X/Y: X  a' b'Y
Los coeficientes de regresión respectivos (b, b') dependen de la covarianza sxy , dado que vienen
expresados: b 
sxy
s
2
x
, b' 
sxy
s2y
.
31
Si sxy  0  b  0 , b'  0
 Y /X: Y a
Con lo cual, las rectas de regresión solicitadas son: 
 X / Y : X  a'
Los coeficientes respectivos (a, a') se calculan teniendo en cuenta:
recta regresión Y/X
Y / X : Y  a  bX  Y  a  bX  3,75  a  0 x 1,4  a  3,75 
 Y  3,75
recta regresión X/Y
X / Y : X  a' b'Y  X  a' b'Y  1,4  a'  0 x 3,75  a'  1,4 
 X  1,4
Adviértase que cuando las variables (X, Y) son independientes, la covarianza sxy  0
En consecuencia:




Las coeficientes de regresión b  0 , b'  0
La recta de regresión de Y/X: Y  Y  3,75
La recta de regresión de X/Y: X  X  1,4
El coeficiente de determinación r2  b . b'  0 , es decir, las dos rectas son perpendiculares y las
variables son INCORRELADADAS.
Si (X,Y) independientes 
s XY  0 
4. En una distribución bidimensional se conoce:
r  0,7
Obtener:
sx  1,2
y 4
X / Y : X  0,6  0,44 Y
a) Recta de regresión de Y/X
b) Varianza de Y
Solución:
a) Recta de regresión de X sobre Y:
a'  0,6 , b'  0,44
X  0,6  0,44 Y  
X  0,6  0,44 Y  X  0,6  0,44. 4  2,36
De otra parte, el coeficiente de determinación r2:
r2  b . b'  0,72  b . 0,44  b 
0,72
 1,114
0,44
32
b0


 b'  0
r2  0
La recta de regresión de Y sobre X: Y  a  bX  Y  a  bX  4  a  1,114 . 2,36  a  1,37
Y/X: Y  1,37  1,114 X
b) Varianza de la Y: Sabemos que, sx  1,2
b
sxy
s
2
x

1,114 
sxy
1,22
b'  0,44
b  1,114
 sxy  1,114 . 1,22  1,604
33
EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
GRADO EN ECONOMÍA
14 de Mayo 2013
1. Una institución pública decidió estudiar el gasto mensual en alimentación en una ciudad, para lo
cual se seleccionó un distrito y se tomó muestras cuyo resultado fue el que sigue:
Distrito 1
Gasto ($)
Nº Familias
100 – 200
24
200 – 300
36
300 – 400
20
400 – 500
20
500 – 1000
50
a) Halle el gasto medio y el mediano en alimentación del distrito
b) Si existe un segundo distrito de 120 familias con un gasto medio de 419,4 $ y una desviación
típica de 242,701 $, ¿cuál de los dos tiene un gasto medio más representativo?
c) Halle el gasto medio y la desviación típica del conjunto de los dos distritos.
d) ¿Cuál es el nivel de gasto realizado por un mayor número de familias en el distrito 1?
e) ¿Cuál es el máximo gasto realizado entre las 50 familias con menor gasto del distrito 1?
f) Un índice de Gini de 0,10 en esta distribución ¿qué nos indicaría?
Solución:
a)
[L i  L i1 )
100
200
300
400
500
– 200
– 300
– 400
– 500
– 1000
xi
ni
150
250
350
450
750
24
36
20
20
50
150
x i .ni
x2i .ni
3600
540000
9000 2250000
7000 2450000
9000 4050000
37500 28125000
66100 37415000
Ni
24
60
80
100
150
ni
N
0,16
0,24
0,13
0,13
0,33
fi 
Ni
N
0,16
0,40
0,53
0,66
1
Fi 
ci
di 
100
100
100
100
500
5
x n
i
i
66100
 440,67$
N
150
El Gasto mediano se encuentra en el intervalo 300  400 
Gasto medio: x 
i1

N
150
 Ni1
 60
75  60
 150

Mediana 
ci  300  2
100  300 
100  375 $
 75 : Me  L i  2
Ni  Ni1
80  60
80  60
 2




ni
34
ni
ci
0,24
0,36
0,2
0,2
0,1
b) El coeficiente de variación de Pearson mide el grado de homogeneidad de una distribución
5

x 2i ni


37415000
 s2x  a2  x 2  i1
 x2 
 440,672  55243,28
N
150

Distrito 1 
 s x  55243,28  235,04

s x 235,04
 0,5334 (55,34%)
 CVx  
x 440,67

s y  242,701
 y  419,4

Distrito 2 
s y 242,701
CV


 0,5787 (57,87%)
x

y
419,4

Al tener el Distrito 1 un Coeficiente de Variación de Pearson más pequeño (menor dispersión del
gasto medio) indica que tiene una media más representativa que el Distrito 2.
c) El gasto medio y desviación típica conjunta de los dos distritos:
Distrito 2:
(Y ; n2  120 , y  419,4 , s y  242,701)
Distrito 1:
(X ; n1  150 , x  440,67 , sx  235,04)
N  n1  n2  150  120  270
_______
xy 
n1 x  n2 y 150 . 440,67  120 . 419,4

 431,22 media ponderada
n1  n2
150  120
media ponderada
de las
varianzas
parciales

varianza ponderada
de las
medias parciales


2
varianza
total

s2x1  x2
2
 s2i ni
i1
N 


intra‐grupos

 (x  x) n
2
i1
i
i
N 


entre‐grupos
media ponderada
de las
varianzas
parciales

2
s n
2
i
i1
i

N
n1 s2x  n2 s2y
n1  n2

150 . 235,042  120 . 242,7012
 56870,45
150  120
varianza ponderada
de las
medias parciales

2
 (x  x) n
i1
2
i
i
N

(440,67  431,22)2 . 150  (419,4  431,22)2 . 120
 111,71
270
35
varianza total

s2x  y
 56870,45  111,71  56982,16

sx  y 
56982,16  238,71
d) El intervalo modal es 200  300  por tener mayor densidad de frecuencia d2  0,36
Md  L i 
(d i  d i1 )
(d i  d i1 )  (d i  d i1 )
Intervalo 200  300  : Md  200 
Moda aproximada: Md  L i 
Moda aproximada: Md  L i 
ci
d i1
d i1  d i1
ci
(0,36  0,24)
100  242,86 $
(0,36  0,24)  (0,36  0,2)
d i 1
d i1  d i1
c i  200 
0,2
100  245,45 $
0,24  0,2
e) Máximo gasto realizado entre las 50 familias con menor gasto del distrito 1
33,33 . N
 Ni1
 50

100
ci
 150  0,33 (33,33%)  P33,33  Li 
Ni  Ni1



ni
33,33 . 150
 Ni1
50  24
100
P33,33  L i 
ci  200 
100  272,22 $
Ni  Ni1
60  24



ni
f) Un índice de Gini de 0,10, al ser próximo a cero, indica que el gasto se encuentra bastante bien
repartido entre las familias.
2. Se ha realizado un estudio para determinar la recta de regresión que explique el gasto diario de
los clientes del hotel (Y, medida en €) en función de la edad de los mismos (X, medida en años).
Tras analizar los datos se ha obtenido la siguiente recta de regresión Y/X:
Y  25  2,9 X
a) Interprete los resultados de la recta de regresión.
b) Si se sabe que sx  10 y que s y  30 , determine la bondad del ajuste de esta recta de
regresión a partir del coeficiente de correlación lineal e interprétela.
c) Calcule los parámetros de la regresión de X sobre Y sabiendo que la media de edad de los
clientes es de 30 años.
d) ¿Cuál sería la edad esperada para un huésped que ha gastado diariamente 100 euros? ¿La
predicción será fiable?. Razone la respuesta.
Solución:
a) 2’9 es el coeficiente de regresión lineal. Al ser positivo cuando X crece, Y crece e indica el aumento
de gasto de un cliente cuando su edad aumenta en una unidad.
36
25 euros es el valor de Y para X=0 años. En este caso no tiene sentido.
b) La bondad del ajuste viene dado por el coeficiente de determinación:
a  25
Y/X : Y  25  2,9 X  
b  2,9
 b
Coeficiente determinación: r2  b . b' 
s xy
s2xy
s2x . s2y
s
2
x

 sxy  b . s2x  s xy  2,9 . 102  290
2902
 0,934
102 . 302
La relación lineal es bastante buena ya que el 93,4% de la variabilidad de Y se explica a partir de su
dependencia con la variable X.
c) x  30  y  25  2,9 . x  y  25  2,9 . 30  112 Y  25  2,9 X

r2
0,934
 b' 
 0,322
b' 
X  a'  b' Y 
b
2,9
 x  a'  b' y
 30  a'  0,322 . 112  a'   6,064

Recta de regresión de X/Y: X  a'  b' Y  X   6,064  0,322 . Y
d) Edad esperada para un huésped con un gasto diario de 100 euros
X / Y : para Y  100  X   6,064  0,322 . 100  26,136 euros
La predicción es con una fiabilidad del 93,4% (r2  0,934)
3. Un sector de la economía nacional dispone del valor de producción a precios corrientes de cada
año (miles de euros) y los índices de precios de Laspeyres y Fisher.
Año
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Producción
(precios corrientes)
78.147
91.357
88.854
92.892
101.336
102.578
Lp (%)
Fp (%)
100
104,22
107,25
109,05
114,87
126,35
100
105,34
108,94
111,36
117,67
130,18
Utilizando el deflactor más idóneo, calcular la producción anual en precios constantes de 2007.
Solución:
Para calcular el valor real (precios constantes) de una magnitud se requiere deflactar el valor nominal
(precios corrientes), eliminando la influencia que han experimentado los precios. Para ello, se deflacta
la serie dividiendo el valor nominal entre un índice de precios.
37
(precios corrientes)


Valor Nominal
Valor Real 
 Índice Precios
VtN
V = t . 100
Ip,0
R
t
(precios constantes)
El deflactor más adecuado es el de Paasche, ya que con éste índice de precios se obtiene una relación
entre valores monetarios corrientes y valores monetarios constantes.
n
n
Índice de Paasche: Pp 
pit . qit
i 1
n
pi0 . qit
VtR
i 1
VtN


Pp
pit .qit
i1
n
pit .qit
n
 pi0 .qit
i1
i1
n
pi0 .qit
i1
El índice de precios de Fisher Fp  Lp .Pp  Pp 
(Fp )2
Lp
Año
Producción
(precios corrientes)
VtN
% Lp
% Fp
2007
2008
2009
2010
2011
2012
78.147
91.357
88.854
92.892
101.336
102.578
100
104,22
107,25
109,05
114,87
126,35
100
105,34
108,94
111,36
117,67
130,18
2
38
%Pp 
(Fp )
Lp
100
106,47
110,66
113,72
120,54
134,13
Producción
(precios constantes 2007)
VtN
R
Vt 
Pp
78147
85803,75
80297,04
81685,61
84069,58
76478,78
4. En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros. Halle
la serie desestacionalizada por el método de las medias móviles.
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2008
2
2
3
3
2009
3
4
5
4
2010
2
4
5
4
2011
4
5
7
3
2012
5
6
8
5
Solución:
Se obtienen las medias móviles de tamaño 4 (período de las variaciones estacionales), que al ser un
número par, serán descentradas y corresponderán a los períodos intermedios entre cada dos
trimestres consecutivos:
Y1  Y2  Y3  Y4 2  2  3  3

 2,5
4
4
Y  Y4  Y5  Y6 3  3  3  4
Y4 ,5  3

 3,25
4
4
……………………………………………………………………
Y Y Y Y
3568
Y17,5  16 17 18 19 
 5,5
4
4
Y2  Y3  Y4  Y5 2  3  3  3

 2,75
4
4
Y Y Y Y
334 5
Y5,5  4 5 6 7 
 3,75
4
4
……………………………………………………………………
Y Y Y Y
5685
Y18,5  17 18 19 20 
6
4
4
Y2,5 
SERIE DESCENTRADA
Trimestres \ Años
Primero ‐ Segundo
Segundo ‐ Tercero
Tercero ‐ Cuarto
Cuarto ‐ Primero
2008
‐‐‐‐‐‐
2,5
2,75
3,25
Y3,5 
2009
3,75
4
3,75
3,75
2010
3,75
3,75
4,25
4,5
2011
5
4,75
5
5,25
2012
5,5
6
‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐‐‐
Para corregir la nueva serie de móviles descentrada, a partir de ella se calcula la media aritmética de
cada dos valores sucesivos, asignando este nuevo valor al instante central de los dos periodos
considerados, es decir:
Y2,5  Y3,5
2,5  2,75
 2,625
2
2
……………………………………………………………………
Y Y
5,25  5,5
 5,375
Y17  16,5 17,5 
2
2
Y3 

Y3,5  Y4,5
2,75  3,25
3
2
2
……………………………………………………………………
Y Y
5,5  6
 5,75
Y18  17,,5 18,5 
2
2
Y4 
SERIE CENTRADA: COMPONENTES TENDENCIA Y CÍCLICA
Trimestres \ Años
2008
2009
2010
Primero
‐‐‐‐‐‐
3,5
3,750
Segundo
‐‐‐‐‐‐
3,875
3,750
Tercero
2,625
3,875
4
Cuarto
3
3,750
4,375

2011
4,750
4,875
4,875
5,125
La línea que une los puntos  Y3 , Y4 ,  , Y18  se toma como línea de tendencia.
39
2012
5,375
5,750
‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐‐‐
El inconveniente que presenta el método de las medias móviles es que no permite efectuar
predicciones, puesto que con él no se obtiene la expresión de una fórmula matemática que facilite
obtener el valor de la tendencia para un instante futuro.
Este motivo hace que el método se utilice poco para determinar la tendencia, aunque sí se utiliza en
el cálculo de los índices de variación estacional (IVE).
Al aplicar el método de las medias móviles, en el esquema multiplicativo Yit = Tit .Eit .Cit .A it , lo que
realmente se obtiene es una aproximación de Tit .Cit (componentes tendencia y cíclica), quedando sin
analizar las componentes estacional ( Eit ) y accidental (Ait ).
La tendencia Tit y la componente cíclica Cit se eliminarán dividiendo cada dato de la serie original Yit
por la correspondiente media móvil:
Yit
Tit .Cit
=
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
Tit .Eit .Cit .A it
Tit .Cit
2008
‐‐‐
‐‐‐
3/2,625
3/3
= Eit .A it
2009
3/3,5
4/3,875
5/3,875
4/3,75
COMPONENTES ESTACIONAL Y ACCIDENTAL
Trimestres \ Años
2008
2009
Primero
‐‐‐‐‐‐
0,857
Segundo
‐‐‐‐‐‐
1,032
Tercero
1,143
1,290
Cuarto
1
1,067
quedando la componente estacional y accidental
2010
2/3,75
4/3,75
5/4
4/4,375
2011
4/4,75
5/4,875
7/4,875
3/5,125
2012
5/5,375
6/5,75
‐‐‐
‐‐‐
2010
0,533
1,067
1,250
0,914
2011
0,842
1,026
1,436
0,585
2012
0,930
1,043
‐‐‐‐‐‐
‐‐‐‐‐‐
El Índice Bruto de Variación Estacional (IBVE) se calcula eliminando la componente accidental A i t .
Para ello, se hace el cálculo de las medias aritméticas trimestrales, es decir, la media aritmética de
cada fila de la tabla anterior (donde solo aparecía el producto de Ei t . A i t ):
0,857  0,533  0,842  0,930
 0,791
4
1,143 + 1,290 + 1,250 + 1,436
= 1,280
4
Trim \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
1,032 + 1,067 + 1,026 + 1,043
= 1,042
4
1 + 1,067 + 0,914 + 0,585
= 0,892
4
COMP. ESTACIONAL Y ACCIDENTAL
2008
2009
2010
2011
2012
‐‐‐‐‐‐
0,857 0,533 0,842 0,930
‐‐‐‐‐‐
1,032 1,067 1,026 1,043
1,143 1,290 1,250 1,436
‐‐‐‐‐‐
1
1,067 0,914 0,585
‐‐‐‐‐‐
COMPONENTE ESTACIONAL
IBVE
% IVE
(0,791 / 1,001) . 100  78,990
0,791
(1,042 / 1,001) . 100  104,095
1,042
(1,280 / 1,001) . 100  127,847
1,280
(0,892 / 1,001) . 100  89,067
0,892
1,001
40
400
IBVE 
4,004
 1,001
4
Adviértase que los índices de variación estacional (IVE) tienen que sumar 4 (400%)
Sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional (% IVE ‐100) produce:
1º Trimestre:
2º Trimestre:
3º Trimestre:
4º Trimestre:
(78,990  100)   21,01%
(104,095  100)  4,095 %
(127,847  100)  27,847 %
(89,067  100)   10,933 %
descenso de ventas del 21,01%
aumento de ventas del 4,095%
aumento de ventas del 27,847%
descenso de ventas del 10,933%
La DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la media móvil) consiste en dividir cada
valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente, en porcentaje
Yit
.100
% IVEt
Trimestres \ Años
2008
2009
2010
2011
2012
(3/78,99).100
(2/78,99).100
(4/78,99).100
(5/78,99).100
Primero
(2/78,99).100
(2/104,095).100 (4/104,095).100 (4/104,095).100 (5/104,095).100 (6/104,095).100
Segundo
(3/127,847).100 (5/127,847).100 (5/127,847).100 (7/127,847).100 (8/127,847).100
Tercero
(3/89,067).100 (4/89,067).100 (4/89,067).100 (3/89,067).100 (5/89,067).100
Cuarto
SERIE DESESTACIONALIZADA
Trimestres \ Años
2008
Primero
2,532
Segundo
1,921
Tercero
2,347
Cuarto
3,368
2009
3,798
3,843
3,911
4,491
2010
2,532
3,843
3,911
4,491
41
2011
5,064
4,803
5,475
3,368
2012
6,330
5,764
6,257
5,614
EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
GRADO EN ECONOMÍA
21 de Junio 2013
1. En una fábrica trabajan 20.000 personas en la cadena de producción, cuyos salarios, en miles de
euros, se distribuyen según la tabla adjunta:
Salarios
Nº trabajadores
10 ‐ 20
12.000
40 ‐ 50
1.000
20 ‐ 40
6.000
50 ‐ 100
800
100 ‐ 200
200
a) Determine el grado de concentración de los salarios
b) ¿Qué parte de la nómina percibe el 5% del personal mejor pagado?
c) ¿Qué porcentaje de los trabajadores percibe el 50% de los salarios?
d) Si la empresa hace una reestructuración del 60% de plantilla en cada uno de los tramos de los
salarios, ¿cuál sería el índice de Gini?
Solución:
a) Ordenando los datos de forma creciente:
Salarios
xi
ni
Ni
xi ni
10 ‐ 20
15
12000
12000
180000
20 ‐ 40
40 ‐ 50
50 ‐ 100
100 ‐ 200
30
45
75
150
6000
1000
800
200
18000
19000
19800
20000
180000
45000
60000
30000
%pi 
Ni
.100
N
60
x
90
95
99
‐‐‐‐‐‐
344
Ui  x i n i
acumulada
180000
360000
405000
465000
495000
%qi 
Ui
.100
Uk
36,36
50
72,73
81,82
93,94
‐‐‐‐‐‐
284,85
5
Índice de Gini: IG  1 
q
i 1
5
p
i 1
i
1
284,85
 0,1719 (17,19%)
344
i
b) Comenzando por los salarios más bajos, se observa que el 81,82% de los salarios, es percibido por
el 95% de la plantilla. En consecuencia, el 5% del personal mejor pagado percibe el 18,18%
c) Se observa que el 60% de los trabajadores percibe el 36,36% de los salarios, mientras que el 90%
de los trabajadores percibe el 72,73% de los salarios. Para estimar el porcentaje x de
trabajadores que percibe el 50% de los salarios, se realiza una interpolación lineal:
42
90  60
x  60

 x  71,25 %
72,73  36,36 50  36,36
d) El índice de Gini tiene que ser coherente con el Principio de la Población, es decir, el índice de Gini
no varia cuando el conjunto de individuos con la misma renta se multiplican por un escalar.
En consecuencia, si la empresa hace una modificación de la plantilla del 60% en todos los tramos
de salarios el índice de Gini tiene que ser el mismo: IG  0,1719
2. Dada la tabla de correlación:
X\Y
1
2
0
1
4
3
5
4
6
2
1
a) Hallar las rectas de regresión mínimo cuadráticas asociadas.
b) Hallar la varianza explicada por la regresión y la varianza residual de la recta Y/X, explicando los
resultados.
Solución:
a) Se efectúan los cálculos necesarios para obtener los momentos respecto al origen:
X \ Y
0
3
6
ni
x i ni
x 2i ni
1
2
1
4
5
4
2
1
8
9
8
18
8
36
n j
5
9
3
17
26
44
y j n j
0
27
18
45
y 2j n j
0
81
108
189
2
a10  x 
2
 xi ni
26

 1,53
17
i1
N
a20 
3
a01  y 
2
a11 
j1
i1
j
N
45

 2,65
17
a02 
2
i
ni
N
3
y n
j
x
y
j1
2
i
N
n j

x i y j nij
44
 2,59
17
189

 11,12
17
0
0
15
24
63
2
s2x  a20  a10
 2,59  1,532  0,25
s2y  a02  a201  11,12  2,652  4,1
3
 x y n
i1 j1
N
i
j
ij

63
 3,71
17
sxy  a11  a10 . a01  3,71  1,53 . 2,65   0,34
43
12
12
sxy  0,34

  1,36
b 2 
Recta regresión Y/X: Y  a  b X 
sx
0,25
 y  a  b x  a  y  b x  2,65  1,36 . 1,53  4,73

Y/X: Y  4,73  1,36 X
s xy  0,34

  0,083
 b'  2 
sy
4,1
Recta regresión X/Y: X  a'  b' Y 
 x  a'  b' y  a'  x  b' y  1,53  0,083 . 2,65  1,75

X/Y: X  1,75  0,083 Y
b) Coeficiente de determinación: r2  b . b'  ( 1,36). (  0,083)  0,1129
Varianza residual de Y: sr2y  s2y (1  r2 )  4,1 (1  0,1129)  3,637
s2y  sR2 y  sr2y  sR2 y  s2y  sr2y  4,1  3,637  0,463
Varianza explicada por la regresión: 
sR2 y  s2y . r2  4,1 . 0,1129  0,463

La mayor parte de la variable dependiente Y resulta ser residual, un
3,637
. 100  88,7% .
4,1
En consecuencia, una pequeña parte queda explicada por la regresión:
 r2 . 100  0,1129 . 100  11,29%

 (0,463 / 4,1) . 100  11,29%
Al ser la varianza explicada muy pequeña, el ajuste no es bueno y las rectas de regresión no pueden
utilizarse de manera fiable para hacer predicciones.
44
3. Un trabajador ha recibido los siguientes salarios en los años 2005 y 2006:
Salario 2005 = 18.565 euros
Salario 2006 = 19.005 euros
Esta persona quiere saber si su poder adquisitivo ha aumentado en el año 2006 respecto al 2005. Para
ello dispone de la siguiente información relativa al Índice de Precios de Consumo con base el año 2002
IPC2005
2002  109,93 %
e
IPC2006
2002  113,63 %
a) Interprete el valor de los números índice proporcionados
b) Determine e interprete la tasa de variación que ha sufrido el poder adquisitivo de este asalariado
entre los años 2005 y 2006, en términos nominales y en términos reales (constantes del 2002)
c) Si el salario del trabajador en el año 2002 fue de 16.000 euros, ¿cuál fue la tasa media anual
acumulativa en términos nominales y reales (constantes del 2002) en el periodo 2002‐2006?
Solución:
a)
IPC2005
2002 = 109,93%  En el año 2005 los precios se han incrementado un 9,93% respecto al año 2002
IPC2006
2002 = 113,63%  En el año 2006 los precios se han incrementado un 13,63% respecto al año 2002
b) Para calcular el salario real (precios constantes) se requiere deflactar el salario nominal (precios
corrientes), eliminando la influencia que han experimentado los precios. Para ello, se deflacta la serie
dividiendo el valor nominal entre el IPC
corriente
 cons tante SN2005
18565
precios corrientes 



 16888,02 euros
precios constantes
SR2005
2005

IPC2002
1,0993
Salario nominal

Salario real =
 
t
corriente
IPC2002
 SRcons tante  SN2006  19005  16725,34 euros
6
 2006
1,1363
IPC200
2002

 19005 
2006
Nominal: TV2005   18665  1 . 100  2,37%



Tasas de variación 
 16725,34 
2006
 Real:

 1 . 100   0,963%
TV2005

 16888,02 
En términos nominales el salario ha crecido un 2,37%, aunque en términos reales (eliminado el efecto
de la inflación), el salario ha disminuido un 0,963%.
c) La tasa media anual acumulativa en términos nominales y reales (constantes del 2002) en el
periodo 2002‐2006
corriente

SN2006
19005
I


 1,1878
 salario nominal
SN2002
16000


cons tante
SR2006
16725,34
I


 1,0453
salario real

SR2002
16000
45

Tasa de variación media anual en términos nominales:
TM nominal 

4
I salario nominal  1 
4
1,1878  1  1,04396  1  0,4396 (4,396%)
Tasa de variación media anual en términos reales:
TM real  4 I salario real  1 
1,0453  1  1,0111  1  0,111 (1,11%)
4
4. Tras analizar los datos referentes a un año y medio (desde 2004.1 hasta 2005.2) de una
determinada serie temporal (Y), de periodicidad trimestral, se han obtenido los siguientes
resultados con t = 0, 1, … , 5:
 t = 15
t
2
= 55
ty
t
= 71.950
y
y
= 19.073
t
2
t
= 97.199.705
Los índices de variación estacionales han sido:
IVE1 = 1,033
IVE2 = 0,87
IVE3 = 0,97
IVE4 = 1,127
a) Realice un ajuste lineal de la tendencia de la serie. Determine a partir del coeficiente de
determinación lineal si el ajuste es bueno o malo, y prediga el valor de la serie para el tercer y
cuarto trimestre del año 2005.
b) Interprete estadísticamente los IVEs
Solución:
s ty

b  2
a) Recta de regresión de Y sobre t: Y  a  b.t 
st
 a  y b t

6
6
6
 yt
t
15
  2,5
t
N
6
19073

 3178,83
y
N
6
t 1
i1
a11 
 ty
t 1
N
6
s ty  a11  t . y  11991,67  2,5 . 3178,83  4044,59
s2t 
t
t
i1
6

71950
 11991,67
6
2
 t2 
55
 2,52  2,92
6
4044,59

 1385,13
b 
con lo que, Y = ‐283,99 + 1385,13.t 
2,92
 a  3178,83  1385,13 . 2,5   283,99

El Coeficiente de determinación lineal: R2  b . b'
6
b' 
s ty
s
2
y
s2y 
y
t 1
N
2
t
 y2 
97199705
 3178,832  6094990,66
6
46
b' 
4044,59
 0,00066
6094990,66
R2  b . b'  1385,13 . 0,00066  0,914
El modelo es bueno porque explica el 91,4% ( R2 = 0,914 ) de la variabilidad de Yt en función de t.
Para predecir el tercer (t  6) y cuarto trimestre (t  7) de 2005: Y = ‐283,99 + 1385,13.t
2005.3: Y = ‐283,99 + 1385,13 . 6 = 8026,79
2005.4: Y = ‐283,99 + 1385,13 . 7 = 9411,92
En el esquema multiplicativo Yit = Tit . Eit . Cit . A it  Yit = Tit . IVEh (h  t)
= T2005.3 . IVE3 = 8026,79 . 0,97 = 7785,99
Y
Yit = Tit . IVEh  2005.3
 Y2005.4 = T2005.4 . IVE4 = 9411,92 . 1,127 = 10607,23
b) Los índices de variación estacional muestran el componente estacional en el esquema
multiplicativo. El componente estacional Eit son las oscilaciones que sufre una serie temporal en
periodos inferiores o iguales a un año.
IVE1 = 1,033
IVE2 = 0,87
IVE3 = 0,97
IVE4 = 1,127

IVE1 = 1,033 significa que por el hecho de estar en el primer trimestre, la variable Yit es un 3,3%
mayor que el comportamiento habitual o tendencia de la serie.

IVE2 = 0,87 significa que por el hecho de estar en el segundo trimestre, la variable Yit es un 13%
menor que el comportamiento habitual o tendencia de la serie.
47
.4
EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
28 DE JUNIO 2013
1.‐ Se quieren analizar los accidentes de tráfico en las provincias españolas. Se disponen de los
siguientes datos:
Accidentes de Tráfico (miles)
0 ‐ 15
15 ‐ 35
35 ‐ 50
Nº de Provincias españolas
25
15
10
a) Obtenga el número medio de accidentes por provincia y su valor mediano.
b) La media obtenida en el apartado anterior, ¿es representativa?
c) ¿Se producen en España los accidentes de forma concentrada según provincias? Justifique el indicador
empleado para medir la concentración de los accidentes e interprete los resultados.
d) En Alemania se ha realizado un estudio similar al español. Se ha obtenido un índice de Gini del
0,70. Dibuje las curvas de Lorenz teóricas que representarían los indicadores de concentración de
ambos países y explique la posición de cada una de ellas.
Solución:
a)
[L i  L i1 )
xi
ni
ci
Ni
xi n i
x 2i n i
0 ‐ 15
15 ‐ 35
35 ‐ 50
7,5
25
42,5
25
15
10
15
20
15
15
40
50
187,5
375
425
987,5
1406,25
9375
18062,5
28843,75
3
Número medio accidentes: x 
x n
i1
i
N
i

987,5
 19,75
50
N
50
 Ni1
 15
25  15
ci  15  2
20  15 
20  23
Valor mediano: Me  L i  2
Ni  Ni1
40  15
40  15



ni
b) Para saber si la media obtenida es representativa se calcula el Coeficiente de Variación de
Pearson:
48
3
a2 
x
i1
2
i
ni

N
28843,75
 576,875
50
s2  a2  a12  576,875  19,752  186,8125  s  186,8125  13,67
CV 
s 13,67

 0,6911 (69,11%)
x 19,75
El Coeficiente de Variación de Pearson cuantifica el grado de dispersión (69,11%), que resuelta ser
alto, por lo que la media aritmética no es representativa.
c)
Rentas
[L i  L i1 )
xi
ni
Ni
xi n i
0 ‐ 15
15 ‐ 35
35 ‐ 50
7,5
25
42,5
25
15
10
15
40
50
187,5
375
425
Ui  x i n i
acumulada
187,5
562,5
987,5
%pi 
Ni
N
%qi 
100
50
80
100
987,5
Ui
100
Uk
18,99
56,96
100
75,95
130
% (pi  qi )
31,01
23,04
0
54,05
El grado de concentración de accidentes viene reflejado por el Índice de Gini:
2
IG  1 
 qi
i1
2
p
i1
2
75,95
1
 0,4158 (41,58%)
130
o bien IG 
i
 (p  q )
i
i1
i
2
p
i1

54,05
 0,4158
130
i
Cuanto más próximo a cero se encuentre el Índice de Gini será más equitativo el grado de
concentración de accidentes, siendo de 41,58%, se puede concluir que existe concentración de
accidentes.
d)
 IG (Alemania)  0,70  IG (España)  0,4158 
concluyendo que en Alemania están más
concentrados los accidentes, esto es, al
dibujar las curvas teóricas, la curva de
Lorenz de España se encontraría más
próxima a la diagonal principal.
49
2.‐ A partir de la tabla adjunta, siendo N  11 , Y  0
X \ Y
0
1
‐2
0
3
2
0
0
1
n22
1
1
0
n23
0
a) ¿Son independientes las variables estadísticamente?
b) Rectas de regresión de Y/X e X/Y
c) ¿Qué parte de la varianza calculada Y es explicada por la regresión? ¿Qué parte es debida a
causas ajenas?
Solución:
a)
X \ Y
‐2
0
1
ni 
0
1
0
3
0
0
n23
0
n23
1
2
n j
1
n22
1
2  n22
3
De otra parte, Y 
3  n22  n23
1
5  n22  n23  11
 2 . 3  0  n23
 0  n23  6
11
5  n22  6  11  n22  0
X \ Y
‐2
0
1
ni 
0
1
2
n j
0
3
0
1
0
1
0
6
0
1
9
1
3
2
6
11
Las variables X e Y son independientes
n n  n 
cuando se verifica ij   i    j   i, j
N  N  N 
No son independientes porque no se verifica la relación:
1
1
2

x
11 11 11
 n12  n1   n2  
 


 N  N   N 
b)
3 3
  x i y j nij
a11  i1 j1
N

1
  2 . 1. 3  1 . 1. 6  0
11
3
a10  x 
 x i ni
i1
N
3
1.9  0 2.1

1
11
a20 
50
 x i ni
2
i1
N

1 2
13
1 . 9  22 . 1 
11
11
2
s2x  a20  a10

13
2
1 
 sx 
11
11
2
 0,43
11
3
a01  y 
 y j n j
j1
N
s2y  a02  a201 
3
0
18
18
0 
 sy 
11
11
a02 
 y j n j
2
j1
N

1
18
(2)2 . 3  12 . 6  
11
11
18
 1,28
11
covarianza: sxy  a11  a10 . a01  0  1 . 0  0

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta): b 
sxy
s

2
x
0
0
2 / 11
Y abX  0 a 0.1  a 0
Y /X: Y  0

El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta): b' 
sxy
s
2
Y

0
0
18 / 11
X  a'  b' Y  1  a'  0 . 0  a'  1
X / Y: X 1
COEFICIENTE DETERMINACIÓN: r2  b . b'  0  Las rectas son perpendiculares, y en
consecuencia, las variables (X, Y) son INCORRELADAS
VARIANZA RESIDUAL DE Y: sry2  s2y (1  r2 )  sry2 
s2y  s2Y explicada  sr2Y

18
18
 s2Y explicada 

11
11
18
18
(1  0) 
11
11
s2Y explicada  0
51
3.‐ En la tabla se presenta el valor de importaciones de un país durante los años 2009 y 2010.
Importaciones
Alimentos
Otros bienes de consumo
Bienes de capital
Bienes intermedios
TOTAL
2009
1010
7450
2400
4755
15615
2010
1200
7955
2210
6256
17621
Se sabe que las importaciones tanto de alimentos como de otros bienes de consumo se pagaron un
3% más caras en 2010 que en 2009.
Las importaciones de bienes de capital subieron sus precios un 1,2% y las de bienes intermedios
bajaron un 0,5%.
Se pide:
a) Calcular el índice de precios total de las importaciones en 2010 con base 2009, utilizando Laspeyres
y Paasche.
b) ¿Cuánto crecieron las importaciones en cantidad en 2009 con respecto a 2010?
Solución:
a)
 Utilizando el índice de precios de Laspeyres:
Laspeyres
pi,09 . qi,09
Importaciones
Alimentos
1010
Otros bienes de consumo
7450
Bienes de capital
2400
Bienes intermedios
4755
TOTAL
15615
pi,10 . qi,09
pi,10 . qi,10
1200
7955
2210
6256
17621
1,03 x 1010 = 1040,3
1,03 x 7450 = 7673,5
1,012 x 2400 = 2428,8
0,995 x 4755 = 4731,23
15873,83
4
Lp 
pi,10 .qi,09
i1
4
pi,09 .qi,09
. 100 
15873,83
. 100  101,66 %
15615
i1
 Utilizando el índice de precios de Paasche:
Paasche
Importaciones
Alimentos
Otros bienes de consumo
Bienes de capital
Bienes intermedios
TOTAL
pi,09 . qi,09
pi,10 . qi,10
pi,09 . qi,10
1010
7450
2400
4755
15615
1200
7955
2210
6256
17621
1200/1,03 = 1165,05
52
7955/1,03 = 7723,30
2210/1,012 = 2183,79
6256/0,995 = 6287,44
17359,58
4
Pp 
pit .qit
i1
4
pi0 .qit
. 100 
17621
. 100  101,51%
17359,58
i1
b) Para calcular los índices cuánticos de Laspeyres y Paasche se requiere hallar previamente el índice
de valor de las importaciones entre 2009 con base 2010.
4
10
IV09
V
 10 
V09
pi,10 . qi,10
i1
4
pi,09 . qi,09

17621
 1,1285 (112,85%)
15615
i1
Siendo, IV0t  LP 0t . PQ 0t  PP 0t . L Q 0t
10
 10 IV09
112,85
. 100  111,01%
 PQ 09  10 . 100 
101,66
LP 09


10
 10 IV09
112,85
. 100  111,17 %
 L Q 09  10 . 100 
101,51
PP 09

53
4.‐ En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros.
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2006
1
2
4
3
2007
2
3
5
4
2008
2
4
5
3
2009
3
4
7
6
2010
5
7
8
7
Suponiendo un esquema de agregación multiplicativo en la serie temporal:
a) Desestacionalice la serie de ventas por el método de las medias móviles.
b) Calcule los Índices de Variación Estacional (IVEs) por el método de la tendencia.
Solución:
a) Para calcular la tendencia secular de la serie por el método de las medias móviles, se obtienen
primero medias móviles de tamaño 4 (período de las variaciones estacionales), que al ser un número
par, se pierden 4 datos, resulta una serie descentrada y corresponderán a los períodos intermedios
entre cada dos trimestres consecutivos.
Cálculo de las medias móviles:
12 4 3
 2,5 entre segundo y tercer trimestre de 2006
4
2 4 32
 2,75 entre tercer y cuarto trimestre de 2006
4
4 323
 3 entre cuarto trimestre de 2006 y primer trimestre de 2007
4
323 5
 3,25 entre primer y segundo trimestre de 2007
4
23 5 4
 3,5 entre segundo y tercer trimestre de 2007
4
SERIE DESCENTRADA de medias móviles
Trimestres \ Años
2006
2007
Primero‐Segundo
‐‐‐
3,25
Segundo‐Tercero
2,5
3,5
Tercero‐Cuarto
2,75
3,5
Cuarto‐Primero
3
3,75
2008
3,75
3,5
3,75
3,75
2009
4,25
5
5,5
6,25
2010
6,5
6,75
‐‐‐
‐‐‐
Para centrar la serie hay que calcular la media aritmética de cada dos observaciones sucesivas, de este
modo, las medias que irán apareciendo, respectivamente, serán:
2,5  2,75
 2,625
2
2,75  3
 2,875
2
3  3,25
 3,125
2
3,25  3,5
 3,375
2
3,5  3,5
 3,5
2
3,5  3,75
 3,625
2
3,75  3,75
 3,75
2
3,75  3,5
 3,625
2
3,5  3,75
 3,625
2
3,75  3,75
 3,75
2
54
3,75  4 ,25
4
2
4 ,25  5
 4 ,625
2
5  5,5
 5,25
2
5,5  6,25
 5,875
2
6,25  6,5
 6,375
2
6,5  6,75
 6,625
2
SERIE CENTRADA de las medias móviles:
Trimestres \ Años
2006
2007
Primero
‐‐‐
3,125
Segundo
‐‐‐
3,375
Tercero
2,625
3,5
Cuarto
2,875
3,625
2008
3,75
3,625
3,625
3,75
2009
4
4,625
5,25
5,875
2010
6,375
6,625
‐‐‐
‐‐‐
La línea que se obtiene al representar
gráficamente la serie de la tabla (t , yit ) será la
línea de tendencia, que comienza en el tercer
trimestre de 2006 y finaliza en el segundo
trimestre de 2010.
Al aplicar el método de las medias móviles, en el esquema multiplicativo Yi t  Ti t .Ei t . Ci t . Ai t , lo que
realmente se obtiene en la serie cronológica es una aproximación de Ti t . Ci t , quedando sin analizar las
componentes estacional ( Eit ) y accidental (Ait ).
La tendencia y la componente cíclica se eliminarán dividiendo cada dato de la serie original por la
correspondiente media móvil:
Yi t
Ti t . Ci t

Ti t . Ei t . Ci t . Ai t
Ti t . Ci t
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
 Ei t . Ai t
2006
‐‐‐
‐‐‐
4/2,625
3/2,875
quedando la componente estacional y accidental
2007
2/3,125
3/3,375
5/3,5
4/3,625
2008
2/3,75
4/3,625
5/3,625
3/3,75
SERIE con las componentes estacional y accidental
Trimestres \ Años
2006
2007
2008
Primero
‐‐‐
0,640
0,533
Segundo
‐‐‐
0,889
1,103
Tercero
1,524
1,429
1,379
Cuarto
1,043
1,103
0,8
55
2009
3/4
4/4,625
7/5,25
6/5,875
2010
5/6,375
7/6,625
‐‐‐
‐‐‐
2009
0,750
0,865
1,333
1,021
2010
0,784
1,057
‐‐‐
‐‐‐
Se elimina la componente accidental Ai t con el cálculo de las medias aritméticas trimestrales, es
decir, la media aritmética de cada fila de la tabla anterior (donde solo aparecía el producto de Ei t . Ai t ):
0,640  0,533  0,750  0,784
 0,677
4
0,889  1,103  0,865  1,057
 0,978
4
1,524  1,429  1,379  1,333
 1,416
4
1,043  1,103  0,8  1,021
 0,992
4
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2006
‐‐‐
‐‐‐
1,524
1,043
2007
0,640
0,889
1,429
1,103
Se calcula la media aritmética de los
cuatro valores obtenidos anteriormente
2008
0,533
1,103
1,379
0,8
2009
0,750
0,865
1,333
1,021
IVBE
0,677
0,978
1,416
0,992
1,016
2010
0,784
1,057
‐‐‐
‐‐‐
0,677  0,978  1,416  0,992
 1,016
4
Se calculan los Índices de Variación Estacional, expresando para ello cada uno de los valores
anteriores en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo:
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
IVE (%)
(0,677/1,016) . 100 = 66,63
(0,978/1,016) . 100 = 96,31
(1,416/1,016) . 100 = 139,41
(0,992/1,016) . 100= 97,65
400 %
DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la media móvil).‐ El proceso consiste en
dividir cada valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente:
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2006
1/0,6663
2/0,9631
4/1,3941
3/0,9765
2007
2/0,6663
3/0,9631
5/1,3941
4/0,9765
2008
2/0,6663
4/0,9631
5/1,3941
3/0,9765
Serie desestacionalizada, método a la razón a la media móvil
Trimestres \ Años
2006
2007
2008
Primero
1,501
3,002
3,002
Segundo
2,077
3,115
4,153
Tercero
2,869
3,587
3,587
Cuarto
3,072
4,096
3,072
56
2009
3/0,6663
4/0,9631
7/1,3941
6/0,9765
2010
5/0,6663
7/0,9631
8/1,3941
7/0,9765
2009
4,502
4,153
5,021
6,144
2010
7,504
7,268
5,738
7,168
b) Los Índices de Variación Estacional (IVEs) por el método de la tendencia.
Se calculan las medias anuales y t (medias para cada año de k = 4 subperiodos)
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2006
1
2
4
3
2007
2
3
5
4
2008
2
4
5
3
2009
3
4
7
6
2010
5
7
8
7
y 2006  2,5
y 2007  3,5
y 2008  3,5
y 2009  5
y 2010  6,75
4
y t 
 yi t
i1
4
t  (2006 , 2007 ,  ,2010) medias anuales
La tendencia media anual T t se obtiene ajustando una recta de regresión a los años (t1 , t2 ,  , tn ) y a
las medias anuales y t , donde t  (t1 , t2 ,  , tn ) : T t  ŷ t  a  b . t
(t2006 , t2007 ,  , t2010 )
2006
2007
2008
2009
2010
y t  medias anuales
2,50
3,50
3,50
5,00
6,75
Por el método de los mínimos cuadrados, resulta: a  2003,75 y b  1
con lo que, T t  ŷ t  2003,75  t
t  (t2006 , t2007 ,  , t2010 ) , resulta pues:
Tendencia media anual
(t2006 , t2007 ,  , t2010 )
2006
2007
2008
2009
2010
T t
2,25
3,25
4,25
5,25
6,25
A partir de la tendencia media anual T t se obtiene el valor de la tendencia para los distintos
subperíodos, según la expresión general:
 k  1 b
Ti t  T t  i 
.
2  k

tendencia media anual para los subperíodos k‐ésimos
donde,
t  Año (2006, 2007, ..., 2010)
Subperíodo donde se calcula la tendencia (trimestral i = 1, 2,
i 
3, 4)
k  Número total de subperíodos ( datos trimestrales k = 4)
b  Pendiente de la recta de regresión = 1
4 1 1
.  1,875
2  4

4 1 1
Trimestre Segundo 2006 : Ti2006  2,25  2 
.  2,125
2  4

Trimestre Primero 2006 : Ti2006  2,25  1 
57
4 1 1
.  2,375
2  4

 4 1 1
.  2,875
Ti2007  3,25  1 
2  4

 4 1 1
.  3,875
Ti2008  4 ,25  1 
2  4

 4 1 1
.  4 ,875
Ti2009  4 ,25  1 
2  4

 4 1 1
.  5,875
Ti2010  5,25  1 
2  4

Trimestre Tercero 2006 : Ti2006  2,25  3 
Trimestre Primero 2007 :
Trimestre Primero 2008 :
Trimestre Primero 2009 :
Trimestre Primero 2010 :
SERIE DE LA TENDENCIA
(k=4 trimestres)
i
Primero
1
Segundo
2
Tercero
3
Cuarto
4
t
2006
1,875
2,125
2,375
2,625
2007
2,875
3,125
3,375
3,625
2008
3,875
4,125
4,375
4,625
2009
4,875
5,125
5,375
5,625
2010
5,875
6,125
6,375
6,625
Representación gráfica de la serie con los
datos originales y la serie suavizada de
tendencia
Para eliminar la tendencia y la componente cíclica se divide cada término de la serie original entre el
correspondiente término de la serie teórica de tendencia.
SE ELIMINA LA TENDENCIA Y LA COMPONENTE CÍCLICA DE LA SERIE
Trimestres \ Años
2006
2007
2008
2009
Primero
1/1,875
2/2,875
2/3,875
3/4,875
Segundo
2/2,125
3/3,125
4/4,125
4/5,125
Tercero
4/2,375
5/3,375
5/4,375
7/5,375
Cuarto
3/2,625
4/3,625
3/4,625
6/5,625
2010
5/5,875
7/6,125
8/6,375
7/6,625
Señalar que, en el esquema multiplicativo, al aplicar el método de los mínimos cuadrados, lo que se
obtiene es una aproximación, ya que en el período que se considera (un año) es suficientemente
pequeño, pudiendo suponer que la componente cíclica está incluida en la tendencia secular, puesto
que en un período tan corto no da lugar a que se manifiestes plenamente las variaciones cíclicas.
58
Serie con las COMPONENTES ESTACIONAL y ACCIDENTAL
Trimestres \ Años
2006
2007
2008
Primero
0,533
0,696
0,516
Segundo
0,941
0,960
0,970
Tercero
1,684
1,481
1,143
Cuarto
1,143
1,103
0,649
2009
0,615
0,780
1,302
1,067
2010
0,851
1,143
1,255
1,057
Para eliminar la componente accidental, calculamos para cada trimestre la media aritmética de los
valores obtenidos por trimestres (filas) en la serie anterior con las componentes estacional y
accidental.
0,533  0,696  0,516  0,615  0,851
 0,642
5
0,941  0,96  0,97  0,78  1,143
 0,959
5
1,684  1,481  1,143  1,302  1,255
 1,373
5
1,143  1,103  0,649  1,067  1,057
 1,004
5
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
2006
0,533
0,941
1,684
1,143
2007
0,696
0,960
1,481
1,103
2008
0,516
0,970
1,143
0,649
El promedio anual de las cuatro medias aritméticas:
2009
0,615
0,780
1,302
1,067
2010
0,851
1,143
1,255
1,057
IBVE
0,642
0,959
1,373
1,004
0,994
0,642  0,959  1,373  1,004
 0,994
4
Se calculan los Índices de Variación Estacional, expresando para ello cada uno de las valores obtenidos
(medias aritméticas por trimestres) en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo:
Trimestres \ Años
Primero
Segundo
Tercero
Cuarto
IBVE
0,642
0,959
1,373
1,004
IVE (%)
(0,642/0,944).100 = 64,59
(0,959/0,944).100 = 96,48
(1,373/0,944).100 = 138,13
(1,004/0,944).100 = 101,01
En definitiva, sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional produce:
1º Trimestre: ( 64,59 ‐ 100 = ‐35,41)  un descenso de ventas del 35,41%
2º Trimestre: (96,48 ‐ 100 = ‐3,52)  un descenso de ventas del 3,42%
3º Trimestre: (138,13 ‐ 100 = 38,13)  un aumento de ventas del 38,13%
4º Trimestre: (101,01 ‐ 100 = 1,01)  un aumento de ventas del 1,01%
59