FUNCIONES

Ejercicios de Continuidad de 1º Bcto
Departamento de Matemáticas
Continuidad de Funciones
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© Raúl González Medina
1. Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
1) f ( x) 
x2  x 1
x 1
5) f ( x)  3 x 2 
2
x
 x  1 x  1
 x  1 x  1
2) f ( x) 
x2  1
x 1
3) f ( x) 
6) f ( x) 
1
1
1


x x 1 x  2
7) f ( x) 
3  2 x x  2
 x  1 x  2
9) f ( x)  
 x 2
16) f ( x)  

1
 3x
x  3
2

1
22) f ( x)   x

 2 x
 x 4 1
25) f ( x)   x 3 1
3
 4
x 3
11) f ( x)  
2 x  3 x  3
2
x3
1  x
x0
 x 2  4
x2
x2
  4
x  2
20) f ( x)  
x 1
x  2
2 x0
x0
 4x
 x  2
23) f ( x)   x61
 6x
 x  3
x  1
x2  5x  6 x 

0
x
28) f ( x)  

11
x
 x  4
31) f ( x)  E ( x)
5
2
5
2
5
2
x2
x 1
2
 0 x  0
 1 x  0
12) f ( x)  

3
x5
21) f ( x)   x 5
 7


24) f ( x)  


1  x  3
 0

29) f ( x)  1  x

 1
8) f ( x) 
 0 x  1
3 x x  1
x  1
x3
 2 x 3 9 x 2 12 x  4
26) f ( x)   x 3  2 x 2  4 x  8
3

4
x  1
x 1
x 3  x 2  3x
18) f ( x)  
17) f ( x)  
x 1
4) f ( x) 
 x 2  2 x  1

x  1
15) f ( x)   0

 2  x x  1
x3
 x

14) f ( x)  2 x  1 3  x  5

x5
 4
1  x x  0
19) f ( x)   x 1
3x 2  9
 5 x x  2
x2
 1
10) f ( x)  
x0
x  1

13) f ( x)   2 0  x  2

x2
 x
3x  5
x2  4


x2
27) f ( x)  
x2
x  1
1
2
1
x
1
2
x  2
2 x2
x2
x  6 3
x
3
1

1

x2
x2
30) f ( x)  
1  x  1
x5
 0
x 1
32) f ( x)  Mant ( x)  x  E( x) 33) f ( x)  x · E ( x)
x3
x3
x2
x2
34) f ( x)  (1) E ( x )
2. Calcular k y t para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos que se indican:
 x 2  9
39) f ( x)   x  3
 k
x3
en x  3
x3
 e kx

si x  0
42) f x    x  2
 x 2  2kx  k si x  0

en x=0
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 5 x 4 3 x 3
40) f ( x)   7 x 5  kx 3
2
 5
 kx 4  3 x 3
en x  0 41) f ( x )   7 x 5  3 x 3
x0
  1
x0
e kx
si x  0

43) f x   x  2k si 0  x  2
 x  t si 2  x

en todo R
x0
en x  0
x0
x 2  2
si x  1

44) f x   x  2k si  1  x  1
 x  t si 1  x

en todo R
1
Matemáticas de 1º de Bachillerato
Cálculo de Límites
Departamento de Matemáticas
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1)
2)
x 3  2x 2  4x
lim
(Sol: 1/2)
 5x  2 x 3
x 3  2x 2  x  2
lim
(Sol: 0)
x 2  3x  2
x 2  2x  8
x 
2x 2  5
3x 2  x  1
4) lim
x 
x6  1
5x
5) lim
x 1 x  1
6)
lim
lim
3
x 1
x  
27) lim
x  
(No existe)
(Sol: 2)
lim


x2  4
lim
11) lim
x 3  2x 2  x  2
x 3  x 2  2x
x 3  2x 2  2x  3
x 1
12) lim
x 3  4x 2  4x  3
x 3
x2 1
13) lim
x 1
20) lim
x a
21) lim
22)
2
x  ax  2a
(Sol: 2)

 x 2 3
 3  2x
 10 x
lim 

x  5 x  3 
x 9 3
33) lim
2
2 x4
lim
x3  x2  5
x3  x  3
(Sol: 13/7)
(Sol: 1)
(Sol: 0)
(Sol: 4/3)
x 2 1
 x 3 x

5
34) lim 
2
4 x  4
x 1  2 x
(Sol: 4/9)
4 x 1
x
 2x  3 
35) lim 

x   3x  1


(Sol: 16/81)
3x 2
 2 x  3  x 1
36) lim 

x   2 x  1 
lim x  1
3
x2
(Sol: e 6 )
(Sol: e3)
x 2
2 /16)
3
 x 3  1  x 1

38) lim  2
x 1 x  1 


(Sol: 1/6)
(Sol: 1/3)
 2x 2  3x 

40) lim 
x  2 x 2  5 


(Sol: 4)
2
41)
 x 1

lim  2
x x  8 


(Sol:7)
(Sol: e 2 )
x2
2
x2
 7  x 1
 4x

x    4 x  5 
(Sol: e3/2 )
2x
 5x  2 
39) lim 

x 1  4 x  3 
42) lim 
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(Sol: 0)
x  16  4
x 0
(Sol: 10)
x 2  5)
x 
32)
(Sol:
(Sol: 1/4)
x 
37)
x  x2
x 0
x 1
x 1  2
x 3
x 3
(Sol: +)
(Sol: 2)
x 3  4x 2  x  6
x 2  ax
(Sol:3)
2  x2
2
x 3  6 x 2  11x  6
(Sol: 2 1)
2x 2  1  x 2  1
31) lim  x 2  2x  x 
x 
19) lim
x
(Sol: 24)
(Sol: 1/4)
1 x
x 2
17) lim
x 2 x 2  4
5x
18) lim
x 0 1  x  1
(Sol: +)
1  3x 3
30) lim ( x 2  1 
15) lim ( 4 x 2  x  2 x )
1  2x
4 x 4  3x
(Sol: 0)
(Sol: 0)
x  
(Sol: 10)
29) lim
 x3  1 x 4  x  1

14) lim 

x   x 2
x 3  x 

16) lim

(Sol: 1)
(Sol: 8)
(Sol: 3)

x 
x32
x 1

 5  2 x  3
 27 x 2  1
28) lim 3
x 2
7x 3
10) lim  8x  16 x 2  3x 
x   

2
5x
25) lim
x 0 1  x  1
x  4x  4x  1
x 
9)
x  
(Sol: 0)
2
 4x
24) lim  4 x 2  4 x  2  4 x 2  5x  2  (9/4)
26) lim
x2 1
1 x  1 x
x 0
x
8) lim
x4  x4
7)
(Sol: 1/2)
lim
x  
x  
x 1
3)
23)
2 x 1
(Sol: e 3 )
(Sol: e 9 / 2 )
(Sol: e3)
1
Funciones. Límites y Continuidad
Límites y Continuidad
Departamento de Matemáticas
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1.- Calcula los límites:
x 2  3x  6
x 2
5x  1
b)
d)
lim Cos 3 x
x 
e)
4  16  x
lim
x 0
x
f)
g)
lim 3 x  4
h)
lim
x 3  2x 2  x
x 1
x 1
i)
a)
lim
lim
x 4
x 4
x2  1
x 1
lim Sen( x  a)
c)
Sol: a) 4/9; b)
x

2
25  ( x  1)2
5  ( x  1)
lim
x 4
lim Sen2 x  Cos 2 x
x

2
5 ; c) Cos a d)-1; e)-1/8; f) 0; g) 2; h) 0; i)-1
2.- Calcula los límites:
a)
x 3  2x 2  4x
lim
x  
 5x  2 x
3
b)
lim
i)
3
j)
2
x  3x  2
7x 3
lim
5x
1 x 1
x 0
d)
e)
x  2x  8
x 
2x 2  5
3x 2  x  1
lim
x 
x6  1
5x
lim
x 1 x  1
lim
k)
x 1
l)
m)
g)
h)
lim
x 1
x 1
n)
x 3  4x 2  4x  1
1 x  1 x
x 0
x
lim x  4  x  4
lim
x 

q)
lim
x 3
r)
x 3  x 2  2x
3
x  2x 2  2x  3
s)
x 3  4x 2  4x  3
x2 1
lim
ñ)

o)
t)
u)
lim ( 4 x 2  x  2 x )
v)
x 
x  
lim
x 3  6 x 2  11x  6
x 3  4x 2  x  6
x 2  ax
lim
x 2  ax  2a 2
x a
x  x2
lim
2 x4
x 0
x32
3
x  x2  5
lim 3
x 1 x  x  3
lim
lim  8x  16 x 2  3x 

x   
x 1
x 1
2
f)
lim
x 2
x2  4
lim
x 2
x 3  2x 2  x  2
2
c)
p)
x 2
2
x  2x  x  2
x 1
x2  4
lim
1  2x
w)
1 x2
 x3  1 x 4  x  1

lim 

x    x 2
x 3  x 

lim
x  
 4x
2

 5  2 x  3
lim  4 x 2  4 x  2  4 x 2  5x  2 
x   

Sol: a)1/2; b)0; c)½; d)0; e)No existe; f)2; g)1; h)0; i)24; j)-10; k)2; l)13/7; m)8; n)-7; ñ)¼; o)2; p)
2
; q)+; r)1/6; s) 1/3; t) 4; u) 0; v)3; w) 9/4.
16
3.- Calcula los límites:
a)
5x
1 x 1
lim
x 0
x  
c)
lim
e)
lim
x 
lim
x 3
h)
1  3x 3
x
x  
3
2x 2  1  x 2  1
 27 x 2  1
2  x2
x 1  2
x 3
i)
m)
j)
k)
l)
x 
 x 2 3
 3  2x
lim x  1
3
x2
 10 x
lim 

x  5 x  3 
lim
x 0
x 9 3
x  16  4
3
n)
 x 3  1  x 1

lim  2
x 1 x  1 


ñ)
 5x  2 
lim 

x 1  4 x  3 
o)
 2x 2  3x 

lim 
x  2 x 2  5 


x 2 1
lim ( x 2  1  x 2  5 )
f)
lim  x 2  2x  x 
x 

x 2
4 x 4  3x
lim
b)
d)
g)
 x 3 x
lim 

x 1  2 x  5 
 2x  3 
lim 

x   3x  1


2
4 x  4
4 x 1
x
3x 2
 3  x 1
 2x
lim 

x   2 x  1 
2
p)
q)
2x
 x 1

lim  2
x x  8 


2 x 1
x2
2
x2
 7  x 1
 4x
lim 

x    4 x  5 
Sol: a)10; b) +; c) 2 1; d)3 ; e) ¼ ; f) 0 ; g)1; h) 0 ; i) 4/3; j) 4/9; k) 16/81; l) e 6 ;m) e3; n) e3/2; ñ) 9/49; o) e 3 ;p) e 9 / 2 q) e3
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Funciones. Límites y Continuidad
Límites y Continuidad
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4.- Determinar el valor de a para que: lim
x 
x


xa  x  2
Sol: a=4
5.- Demuestra que la siguiente ecuación tiene solución: 2  x  ln x
6.- Calcular el límite de la función f ( x) 
1  cos x
, en el punto 0, en el punto 1 y en 
x2
Sol: a) 1/; b) 1-cos1; c) 0
 2x  3 
7.- Calcular el siguiente límite: lim 
x  2 x  1 


x
Sol: e2
 x  3
8.- Calcular el valor de la constante c para que lim 

x 
 x 
cx
e
Sol: c=1/3
 ex
si x  0
 x
9.- Estudiar en el cuerpo real la continuidad de la función definida por: f ( x)   e  1
 x 2  1 si x  0

Sol: Así que la función f(x) es una función continua en   0 , donde presenta una discontinuidad de salto.
2
 sen x
ae x  b cos x si x  0
10.- Determinar a y b para que la función definida por f ( x)  
sea continua.
 3a senx  b( x  1) si x  0

x
Sol: No existen a y b, porque en x=0 no está definida.
2
11.- Estudiar la continuidad de la función definida por f ( x) 
x 1
en x=1, e indicar que tipo de discontinuidad
x3  7x  8
presenta.
Sol: La función no está definida en x=1, por tanto no es continua, presenta una discontinuidad evitable.


si
x
 3 senx
2




si
 x
12.- Halla los valores de a y b para que la función f sea continua: f ( x)  a·senx  b
2
2



si
x
cos x
2

Sol: a=-3/2; b=3/2
1
13.- La función f ( x)  2 x  1 cambia de signo en el intervalo [-1,1] y sin embargo no se anula en dicho intervalo.
¿Queda en entredicho el Teorema de Bolzano?
Sol: No.
5
14.- Demuestra que la función f ( x) 
toma el valor 4.
2  Cos x
Sol: Por el Teorema de Valores intermedios en el intervalo (0,  )
15.- Calcular: lim
x 
x

xa  x

Sol: a/2
16.- Demuestra que un polinomio de grado impar, tiene por lo menos una raíz.
Sol: Utilizar el teorema de Bolzano.
17.- Representa la función f ( x)  2 x  1  x  2

2
18.- Calcula los límites: a) lim x ·e
x 0
1
x
1
e x
b)lim 3
x 0 x
2
19.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2 x  3  4

c) lim x 2  x
x 0

1
x
x
 2x  1 
d) lim 
x 0 
x 
Sol: a)  ; b) 0; c) 1; d)
b) x 2  2 x  1
Sol: a) x=-1/2 y x=7/2; b) x=0; x=1; x=2
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