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www.FreeLibros.me www.solucionarios.net www.FreeLibros.me mmmt mBsmmammmmmmammmmmmmmBstmm «¡HgBMBaaB—i i 11 ANALISIS MATEMATICO I SOLUCIONARIO DEMIDOVICH TOMO I OO y ! | i n— 1 n |♦ INTRODUCCIÓN AL ANALISIS \ \♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES j | I !♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA I I í "- i ! i * EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1 i www.FreeLibros.me IMPRESO EN EL PERÚ 15-02-2004 4ta EDICIÓN DERECHOS RESERVADOS Este libro no p u e d e reproducirse to ta l ó p a rc ia lm e n te p or ningún m é to d o gráfico, e le c tró n ic o o m e cá n ico , in clu yen d o los sistemas d e fo to c o p ia , registros m a g n é tico s o d e a lim e n ta ció n d e datos, sin expreso consentim iento del a u to r y Editor. RUC N ° 10070440607 Ley d e Derechos del Autor N ° 13714 Registro co m ercia l N ° 10716 Escritura Publica N °4484 www.FreeLibros.me PROLOGO Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma. El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas. La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer tomo, en su cuarta edición del solucionado del libro problemas y ejercicios de análisis matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a la captación de los diferentes problemas. Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S www.FreeLibros.me INDICE CAPITULO I INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS Concepto de Función 1 Representación G ráfica de las Funciones Elementales 31 Limites 88 Infinitésimos e Infinitos 143 Continuidad de las Funciones 155 CAPITULO II DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Cálculo Directo de Derivadas 173 Derivación por M edio de Tablas 187 Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 259 Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 276 Derivadas de Orden Superior 306 Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 333 Teorema del Valor Medio 349 Fórmula de Taylor 354 Regla de L ’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites indeterminados 361 www.FreeLibros.me CAPITULO III EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES _______ GEOMÉTRICAS DE LASD E R IV A D A S _____ 3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento 374 3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión 423 3.3. Asíntotas 435 3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos Característicos 445 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis C A P IT U L O I INTRODUCCION AL ANALISIS 1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN.Demostrar que si a y b son numero reales. I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b| D esarrollo Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto | a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular: Luego: | a | < | a - b | + | b | => |a|-|b |< |a-b | ... (1) Además: | a - b | = | b - a | > | b | - 1a |, es decir: | a - b | > | b | - 1a | ... (2) Por tanto de (1) y (2) se tiene: por otro lado: ||a|-|b ||< |a-b | ... (3) | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b | de donde: | a - b | < | a | + | b | Luego de (3) y (4) se tiene: ... (4) | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b| Demostrar las siguientes igualdades: b) | a | 2= a 2 a) | a.b | = | a 11 b | c) l?l= b T?T’ | b | b *° www.FreeLibros.me d) 2 Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo a) 1er Caso: Sí a y b > 0 => | a ¡ = a,| b | = b por definición del valor absoluto de donde | a 11 b | = ab Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b Por definición del valor absoluto j •%f ¿4.,? ¡L«,J > ! : wr ’ I Luego | a 11 b | = ab = | ab | 2do. Caso: Sí a > 0 a -■, • ab | b<0 Como: b < 0 Como: - b > 0 | a 11b | = | X%*. />'f => -b > 0 =>| a b | = | -(ab) | = | a(-b) | => por la parte Ira se tiene: I ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | a b | = | a | | b | 3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene | ab | = | a U b | 4to, Caso: Sí a < 0 a b < 0 => - a > 0 a -b>0 entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene: | ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11-b | = | a 11 b | b) por lo tanto | ab | = | a 11 b | |f l |2=<72 \ a \ 2= a 2 Sí a > 0 => | a | = a => SíacO =$ | a | = -a => | a |2= ( - a ) 2 = a 2 Por tanto | a | 2= a 2 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis C) 3 |£ |= i £ l V 1*1 ¡7 1 = 1 b a.(j-) b 1=1 a || -í- 1 por la parte (a) b además | - | = | * l 1 por la parte (b) b LueSo: Como | Í H « | | l N „ | ¡i ¡ = j£j,porlot»nu, \ Í \ M d) J a 2 = | a \ Sí a > 0 => -Ja2 = a a )2 = —a Sí a < 0 => - a > 0 => => a 2 = —a Luego por lo tanto sja2 = \ a | Resolver las inecuaciones. a) | x —1 | < 3 b) | x + 1 | > 2 c) | 2x + 1 | < 1 d) | x - 1 | < | x + 1 | D esarrollo a) Sí | x - 1 | < 3 =>-3 < x de donde - 2 < x < 4 1<3 =* x e <-2,4> www.FreeLibros.me 4 Eduardo Espinoza Ramos b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x+l<-2 ==> x > l ó x < - 3 I -3 La solución es x e c) < -o o t- 3> -1 U <l,+°o> | 2x + 1 ) < 1 <=> -1 < 2x + 1< 1 <=> -2 < 2x < 0 o -1 < x < 0 La solución es x e <-1,0> d) | x —1 | < | x + 1 | =$ | jc—112< |x + l | 2 x 2 - 2x + l < x 2 + 2x +1 => 4x > 0 => x > 0 Luego la solución es x e <0,+°°> Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 1 \ x - 6 D esarrollo Como f ( x ) = x -6jc~ + l l x - 6 / ( - 1 ) = ( - 1 ) 3 - 6 ( - l ) 2 + 11(-1) - 6 - -2 4 /(O ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = - 6 /( 1 ) = ( l) 3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 5 / ( 2 ) = (2 )3 - 6 ( 2 ) 2 + 11(2) - 6 = 0 /(3 ) = (3)3 - 6(3)2 +11(3) - 6 = 0 /( 4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6 5 Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - I - S í f ( x ) = y ¡ ü ^ 4 x f(x) D esarrollo Como f ( x ) = >/l + .v2 entonces /(O ) = V 1+ 02 = 1 ¡25 = 5 4 V 4 V 16 V 16 4 f ( - x ) = y¡\ + ( - x f = / ( >) = c i 7 =4 ± ? x 1 /(•* ) 6 \ x |x | 1_ y¡] + X 2 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( ~ ) < f (l) y f(10) D esarrollo Como f(x) = arc.cos (log x) entonces / (— ) = arccos(log — ) = arccos(- log 10) = arccos(-l) = n www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 6 /(1 ) = arccos(logl) = arccos(O) = n f(10) = árceos (log 10) = árceos (1) = 0 La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3. D esarrollo , »\ ■ .\ 1,\ Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R Luego 2 = - a +b I [ - 3 = 2a + b [/(-!) = 2 1/ ( 2 ) = -3 Resolviendo el sistema se tiene los valores de: i . ---------- ------r, > f(x) = 5x 3 , Ai*f 1 +3 5 a= 3 1 — , 3 b- — o¡ Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1, f( 1) = 0 y f(3) - 5. D esarrollo Si f(x) es función entero y racional de segundo grado f ( x ) = a x 2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse. /(0 ) = 1 1= c /(D = 0 0 = a+h +c / (3) = 5 5 = 9a + 3b + c \a + b = -1 Como i 9fl + 3fc = 4 7 13 Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = ----- 6 Luego como / ( x ) = ax~ + bx + c , se tiene www.FreeLibros.me 6 6 o entonces Introducción a l Análisis 7 Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones). Desarrollo f(x) es lineal =* f(x) = ax + b Í4a + b = - 2 => < resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34 [/(5 ) = 6 [5a+b = t [ / ( 4) = - 2 Como Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34 Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4 10 Escribir una sola fórmula que exprese la función: í0 si x < 0 /(* ) = • r si x > 0 empleando del signo del valor absoluto. Desarrollo 0 si x < 0 Como / ( x) = x si x > 0 Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene Si x > 0 => para f(x) = x se tiene Luego: 11 x+\x\ 2 x+\x\ 2 I 4-Y _. . ¡1xY I+x f ( x ) = — ---- 2 Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones: a) y=ú +l www.FreeLibros.me 8 Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre de dominio de la función. Luego como y = sfx +1 para que esté bien determinado debe cumplirse que x + l > 0 de donde x > -1 => x e [-l,+°°> El campo de existencia de la función es -1 < x < °° b) y = s /x + í D esarrollo Como y = yfx + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego el campo de existencia es: 12 y= -<» < x < +°° 1 — 4-x2 D esarrollo Los valores de x para que y = — 4-x 4 - x 2 *0 est é bien determinado es: =*■ x * ± 2 Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°> 13 a) y = 4x2-2 D esarrollo Para que y = \ l x 2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse: x2 - 2 > 0 x2 > 2 x >\¡2 v x < -y¡2 Luego el campo de existencia es: < - ° ° , —j2]U[>l2,+°o > www.FreeLibros.me Introducción al Análisis b) 9 >■= x \ ]x 2 - 2 Desarrollo Para que y = xy¡x2 - 2 esté definida: 4. A:2 —2 > 0 => X>yÍ2 v x < - y ¡ 2 ‘ también para x = 0, y = X ' lx 2 - 2 está definida x = 0, | x \ > y¡2 Luego el campo de existencia es: 14 y = y¡2 + x - x 2 Desarrollo Para que y = yfe + x - x 2 2 + x - x 1 > 0 , es decir: esté bien x2 - x - 2<0 definida debe (x-2)(x+l)<0 -1 2 Luego el campo de existencia es: [-1,2] 15 1= -J -x - 1 y/2 + X Desarrollo Para que y = \ [ - x + - p L = esté definida, debe cumplirse que: V2 + jc -x > 0 a 2+x> 0, de donde: x< 0 a x > -2 1 -2 cumplirse que 0 Luego el campo de existencia es [-2,0] www.FreeLibros.me 10 16 Eduardo Espinoza Ramos y = yjx —x 3 D esarrollo Para que esté bien definida debe cumplirse que: x - x 3 > 0 => x(x - l)(x + 1) < 0 de donde: -1 0 luego el campo de existencia es: 17 1 <-°°,-l] U [0,1] y = log(-~— ~—) 2 —x D esarrollo Para que y = log( 2+x 2 ~hx ) esté bien definida debe cumplirse que: — >0 2- x 2- x de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2 => (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene: -2 2 Luego el campo de existencia es <-2,2> 18 i ,x 2 - 2 >x + 2 y = log( jc + 1 ) D esarrollo 2 ^ ^^ Para que y = log(---------------) esté bien definida debe cumplirse que: JC+1 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis A-2 - 3a + 2 A+ l li > 0 de donde ( a - 3 a + 2 )( a + 1 ) > 0 para x * - l (x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces: -1 1 2 Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°> 19 >’ = a rc c o s ( - ^ - ) 1+ A D esarrollo y = arccos( 2a ) => eos y 1+ A 2a 1+ A pero se conoce que: -1 < eos y < 1 , de donde -1 < 2x <1 1+ A ■1 S - 2 Í . S 1 „ -1<— 1+ A 1+ A <=> 0 < 2x „ if -s l 1+ A 2.x + 1A ------------1 < 0 1+ A 1+ A ,, 3 a +1 A -l <=> 0-< --------- A <0 1+A A +l <=>•■ 0 < (3x + 1)(1 + x) www.FreeLibros.me a (x - l)(x + 1) < 0, x * - l Eduardo Espinoza Ramos 12 Luego ( < —« > ,—i > t / [ —- i , +00 > a < —1, 1J JC y = arcsen(\og — ) 20 10 D esarrollo v = arcsenflog— ) como - l < s e n y < l y Luego seny = log— => 1 x —< — <e => e 10 => JC JC —l < l o g — <1 además — > 0 10 10 — < jc < 1 0 e e => x>0 10 10 jc e [ — ,10e] e y = ^¡sen 2x 21 D esarrollo Para que y = yjsen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0 Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1 7T 0 < 2x < — de donde se tiene: 2 *■ kit < x < k n + — , donde k = 0, ±1, ±2. ± 3 ,... 2 22 , Sea f ( x ) = 2 x 4 - 3x3 - 5 x 2 + 6x - 10. Hallar: Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 13 /( .v ) = 2 .y4 - 3 a 3 - 5 a 2 + 6 A"- 1 0 Como . Luego: / ( - a ) = 2 a 4 + 3 a3 - 5 a 2 - 6 a - 1 0 <¡9(a ) = Í - [ / ( a ) + / ( - a ) ] = 2 a4 - 5 a 2 - 1 0 I / ( a ) = 2 a4 - 3 a3 - 5 a 2 + 6 a - 1 0 [ / ( - a ) = 2 a 4 + 3 a 3 - 5 a 2 - 6a - 10 ¥ ( * ) = | [ / U ) - / ( - * ) ] = \ í ~ 6x 2 + 12a) 23 La función f(x), determinada en el => y/(x) = - 3 x 3 + 6x campo simétrico -1 < x < 1, se denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí ff-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares: a) f ( x ) = ^ { a x +a~x$ Desarrollo 1. , Como / ( a ) = —(ax +a x) Luego f(x) = f(-x) => b) /(a ) = Vi + a + a 2 1 f ( - x ) = —( a * + a x ) => 1 f ( x ) = —( ax + a x ) es par - y ] 1 -A + A2 Desarrollo / ( a ) = s/l + a + a 2 - - y / l - A + A2 /( - A ) = V l- A + A2 —s I l + X + X2 = -(> / 1 -A + A2 - -\/l + A+ X2 ) = - / ( A ) como: f(-x) = -f(x ) => f(x) es impar www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 14 C) f ( x ) = l ] ( x + l)2 + l j ( x - l )2 D esarrollo Como / ( a ) = yj(x + 1)2 + y¡(x - 1)2 , entonces: f ( - x ) = í ¡ ( - x + 1)2 + V ( - J f - D2 + l j ( x + l )2 = / ( x ) Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par. d) / ( jc) = log(-|——) 1-JC Desarrollo Como / ( x ) = lo g (Ü ^-) 1—A /( - A ) = l o g ( ~ - ) = - l o g ( |Í ^ - ) = - / ( x ) 1+X 1-X Como f(-x) = -f(x) => la función es impar 24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar. Desarrollo A la función f(x) escribiremos así: / ( x) = / ( a ) + —/ ( - a ) ——/ ( -a ) / W = ^ /(•*) + ^ / ( - * ) + ^ / ( * ) " / ( - ■ * ) /(* ) = | ( / W + / (-* ))+ r ( / w - / ( - * » definiremos la función: / ^ a ) = ~ ( / ( x ) + / ( - a ) ) que es par, es decir: www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 15 f \ (- * ) = - ( / ( * ) + / ( - a ) ) = - ( / ( a ) + / ( - a ) ) = / ,( a ) => / , ( * ) espar f 2(~x ) = - ( / ( - * ) - / ( - ( - * ) ) = ~ - ( / U ) ~ / ( - * ) ) = ~ f 2(x) => / 2(a) es impar por lo tanto / (a) = / , (a) + / 2(a) es la suma de una función par y otra impar. 25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar. Desarrollo Sea / ( a ) = / j ( a ) . / 2( a ) donde / | ( a ) y / 2( a ) son funciones pares por demostrar que / ( a ) = / i ( a ) . / 2( a ) es par como / , ( a ) y / 2( a ) son pares. í/i(-J c ) = / i W [y*2(“ -^)= y*2(-^) /( - • * ) = ( / i - f 2 ) ( - x ) = f \ ( - x ) - f 2 (“ *) = f \ (x )- f i (*) = / ( * ) entonces / W = / i ( 4 / 2W es par. Si g(x) = ^ i(a ).^ 2(a) donde ^ ,(a ) y g 2(x) son funciones impares por demostrar que g(x) = g l (x).g2(a) es par g,(-A ) = -^ ,(A ) Como £ ((a ) y g 2(x) son impares => g 2( - x ) = - g 2(x) g ( - x ) = (g\ g 2) ( -X ) = £1 ( x )'g? ( a) = [-# ,(a )1 [~ £ 2(a)] www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 16 g ( - x ) = g i ( x ) . g 2(x) = g( x) 26 => g ( x ) ^ g l ( x) .g2( x) es par La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas. a) f(x)=10sen3x D esarrollo Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T) Como sen x = sen (x + 2n) => 3T = 2n =$ 2n T =— 3 Luego f(x) = 1 0 sen 3x es periódica y T = b) f(x) = a sen(A,x) + b cos(3,x) D esarrollo Sea f(x) = a sen (3.x) + b eos (3.x) entonces: F(x + T) = a sen (3.x + 3.T) + b eos (3.x + 3.T) Como sen x = sen(x + 2ti) y eos x = cos(x + 2n) de donde 3.T = 2jt => 2n T =— A por lo tanto f(x)=a sen(3.x)+ b cos(3,x) www.FreeLibros.me es periódica, donde el periodo Introducción al Análisis C) 17 / ( * ) = yJtgX Desarrollo f ( x ) = yftgx => f ( X + T) = y]tg(X+T) Como tg x = tg(x + Jt) => T = it Para que f(x) = f(x + T), luego: d) f ( x ) = y[tgx es periódica con T = Jt f ( x ) = sen2x Desarrollo Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos Jt + eos x. sen Jt = - sen x De donde s en2 (jc + n ) = sen2x de donde: f(x) = f(x + 7t) entonces la función/ (x) = s en2x es periódica con periodo T = Jt. e) f { x ) = sen(-Jx) Desarrollo Se conoce que J x * yfx + \¡T para T * 0 Luego f (x) = sen(yfx) => f ( x + T) - sen(y/x + T) Por tanto f(x) ^ f(x + T) la función: 27 f (x) = sen( x ) no es periódica Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 18 D Desarrollo En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir: 0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos: bx y - — para 0 < x < c, ahora —= — c b c veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y == b, A AMN - A ADE, de donde: b -x para 0 < x < c luego: y = b para c < x < a ahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c b xy Pero y = —x , reemplazando se tiene: 5 = — c 2 Sic<x<a => be S = b x ~ — , para c < x < a www.FreeLibros.me => S= síO<x<c La gráfica es: Introducción a l Análisis Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AC = /,, AB = 1, en sus porciones CD = l2 y DB = /3, (/, + l2 + lj = /) son respectivamente iguales a: q x , q 2 , q2, expresar la masa m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función. Desarrollo / 1 / 7 A ^------ ■ Y I2 - \ s v\ ¿ \ M X P = ~j~ ^ Consideremos primero: m - lp Luego sí 0 < jc < /, entonces m = x.ql *1 M Sí / , < * < / , + / 2 => m = l¡q¡ + q 2( x - l \ ) 1, C ^1 N— M X ---------- M Sí l x + l 2 < x < l { + l 2 + l 2 entonces: »B Q2 m = l xq¡ + l2q 2 + ( x ~ ( l x + l2))q3 ~ ~ i m = l lq l + l2q 2 + ( * - / , - l 2 )q2 A ♦— 5------• ——• - 28 19 o H -------------------- X a • Resumiendo se tiene: g www.FreeLibros.me • B H Eduardo Espinoza Ramos 20 29 xqy si 0 <x<l¡ i liq ] + ( x ~ l l)qi si /| < at < /, + /2 / , ^ i + / 2 <72 + ( . « - / [ ~ / 2 ) ^ 3 •''í / ] + / 2 < x < / , + / 2 +/■) = / Hallar: tp(\|/(x» y \|/(<p(x)), (p(x) = * , y/(x) = 2 X 06 -♦--- Desarrollo Como y/(x) = 2 X y (p(x) = a 2 entonces: <pO/r(A)) = ( i//( a ))2 = ( 2 0 2 = 22* y 30 Hallar f(f(f(x») sí f ( x ) = ^C«p(x)) = 2 <P(JC) = 2 A l-x-Desarrollo Como / ( a ) = 1—x /(/(* )) = 1 1-/(JC ) !-/(* ) =» / ( / ( / ( * ) ) ) = !-/(/(* )) www.FreeLibros.me ! 1 !-/(* ) -/(* ) Introducción al Análisis 21 es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) = 31 =— X ~TJL = ~ ^ x - LueI ° f(f(f(x))) = x -/( • * ) 1_ -1 1—jc Hallar f ( x + l ) sí y (jr —1) = jc2 v D esarrollo I I -..- ........... **■* i. Como /(jc -1 ) = jc2 =* / ( * +1) = f [ ( x + 2) -1] = (jc + 2 )2 32 Es decir: f ( x + 1) = jc2 +4jc + 4 = (* + 2 )2 Sea la f(n) suma de n miembros de una progresión aritmética. Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0. D esarrollo Como f(n) es la suma de n términos de una progresión aritmética. Entonces: / ( n ) = (2a + ( m - l)r ) ~ donde “a” es el primer término y “r” la razón f i n + 3) = [2a + (n + 2 ) r ] ^ ^ 2 / ( n + 2) = [2a + (n + l ) r ] ^ f l n + \ ) =[ 2a + n r ) r^ 2 > calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) (2a + (n + 2 ) /- ) ^ Í ^ - 3 ( 2 a + (n + l) r ) ^ ~ ^ + 3(2a + H r)-—- - ( 2 a + ( n - l ) r ) — 2 2 2 2 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 22 = —[(2an + 6 a + n 2r + 5 nr + 6 r) - 3(2 an + 4 a + n2r + 3nr + 2 r) + 2 + 3(2an + 2a + n 2r + nr) - (2an + n 2r - m )] = —[(0) + (0) + (0)] = 0 En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0 33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números x , , x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números / ( * i ) . /(■*2 ) y /(■*3 )Desarrollo x ¡ , x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética => X j, x 2 = x x + r , x 3 =X | + 2 r donde r es la razón, probaremos que / ( * , ) , f ( x 2 ) y f ( x 3) constituye una progresión aritmética. Como f(x) = kx + b entonces f ( x l ) = k x] +b f ( x 2 ) = / ( * , + r) = ArfjCj + r) + b = kx¡ + b + kr f ( x 3 ) = /(-*i + 2 r) = ¿(a-! + 2r) + b - k x x + b + 2 kr Luego: kxx +b kx{ +b + kr kxx+b + 2 kr 7?5 constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón. 34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir f ( x ) = a x , (a < 0) y los números x ¡, x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética, los números / ( * i ) , f ( x 2) y f ( x 3) fonna una progresión aritmética. Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 23 Como x , , x 2 y x 3 constituye una progresión aritmética jc, , x 2 = x, + r . x 3 = x, + 2 r donde r es la razón Como f ( x ) = a x entonces: f ( x 2) = / ( x , + r) = a x'+r = a r x¡x' f ( x $) = f ( x x + 2r) = a x’+2r - a 2r x¡x' Luego: a * , a .a 1 , a~ m fí*i) /0 ¡ ¡ ) 7(^) Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a ' . 35 Sea f ( x ) = log(— ~— ) . 1- x Demostrar que / ( x ) + / ( y ) = /(-^— ^—) 1+ xy Desarrollo Como / ( x ) = l o g ( | Í í ) , / ( y ) = l o g ( |Í ^ ) 1 -x 1- y r, , r, . , + , , l + ) \ , ,(l + x)(l + y) f ( x ) + / ( y ) = log() + log() = log(— — 1 -x 1- y (l-x )(l-y ) 1+ x+ y /<£♦£> = i„g(_ L ± 2 >= 1+ xy t ( 1) x+y 1+ xy 1+ x y - x - y , (l + x) + (l + x)y (l + x)(l + y) = log( - ) = log -------------- — 6 (l-x)-(l-x)y (1 —x)(l —y) comparando (1) y (2) se tiene: ... (2) jc + y / (x) + / ( y ) = / ( --------) 1+ xy www.FreeLibros.me 24 36 Eduardo Espinoza Ramos Sea / ( * ) - —(ax +a *) y yr(x) = —(ax - a x ) . Demostrar que: f(x + y) = f(x).f(x) + \|/(x).\|/(y) y v|/(x + y) = f(x).\|/(y) + f(y).\|/(x) D esarrollo f ( x + y ) = ^ ( a x+y+ a - x- y ) = ^ ( a x.ay + a - x.a-y) a x+y a~x~y a~xa y a~xa y a xa~y a xa~y 2 1 = - ( a x.ay + a~x .ay + a'.a~y + a~x .a~y ) + 4 +—{ax.ay - a ~ x.ay - a x .a~y + a~x .a~y) 4 = - ( a x + a - x ) - ( a y + a~y ) + - ( a x - a - x ) - ( a y - a ~ y ) 2 2 2 2 = f(x).f(y)+\|/(x).\|/(y) íarcsen x , para - 1 < x < 0 37 Hallar f(-l), f(0) y f(l) sí: f ( x ) = \arctag x , para 0 < x < +°<= D esarrollo / ( —1) = arcsen(-\) = -arcsen(l) = |7 ( 0 ) = arcsen(0) - 0 / ( 0) = 0 /( 1 ) = arctag( 1) = ^ 4 f a ) = 74 => / ( —1) = —— www.FreeLibros.me 25 Introducción al Análisis 38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si: a) y = 1+ x Desarrollo Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > - l y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1 Luego y < 0, cuando x < -1 b) y = 2 +x - x2 Desarrollo Para que luego: tiene: y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se 2 + x - x 2 >0 x2 - x - 2 < 0 (x - 2)(x + 1) < 0, de donde se tiene: -1 Luego x e < -l,2 > . Entonces: 2 y > 0 cuando x e < -l,2 > y para los valores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 < 0 => x 2 - x - 2 > 0 (x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene: + + -1 www.FreeLibros.me 2 Eduardo Espinoza Ramos 26 Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces: y < 0 cuando x e < -o o ?- l>U<2,+oo> c) y = 1- x + x 2 Desarrollo Para que y = 0 se tiene que 1 - x + x 2 = 0 de donde x = — —, luego 3 x e R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces: l - j c + jc2 > 0 , V x e R d) => y > 0 para -°o< x < +°° y = x3 -3x Desarrollo Para que y = 0, se tiene x 3 —3x = 0 . de donde: x = —\¡3 , x = 0, x - \ ¡ 3 Luego y = 0 cuando x = {—*¡3,0, \ Í3) Para y > 0, se tiene .v3 - 3x > 0 => -S x ( x - \¡3)(x + y¡ 3 ) >0 0 75 Luego x e < - \ ¡ 3 , 0 > V < \¡3, +<» > , entonces: y > 0 cuando x e < —y¡3,0 > U < -j3,+°° > para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x e < —o®, y/3 > U < 0, y¡3 > www.FreeLibros.me x ( x - ^ ) ( x + \Í3) < 0 Introducción a l Análisis 27 S > U < 0 ,7 3 > xe < Luego 0 73 entonces: y < 0 , cuando x e < -«>,73 > U < 0 ,7 3 > e) y = log(-———) 1+ jf Desarrollo Para que y= 0, debe ocurrir: 1+ JC = 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1 2x Para que y > 0 ocurrirá c u a n d o 2x >1 x +l x+1 x-l x+l >0 - 1 > 0 de donde: => (x - l)(x + 1) > 0 luego x e <-«>,-1 > U < l,+ o o > para que y < O debe ocurrir que O < 2x <1 1+ * de donde 0 < 2 x ( l + x ) < ( l + x) . luego x e 0 < 2 x ( l + x) -1 <0,1 > entonces: a x <1 O y < 0 cuando www.FreeLibros.me x e <0,1 > Eduardo Espinoza Ramos 28 39 Hallar la inversa de la función y, sí: y = 2x + 3 b) y - c) y = yj1 - a 3 d) y = log(~) a) e) a2 - 1 y = arctag(3x) ¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas? Desarrollo a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*> < x < +00, despejamos x es decir: 1 jc = —( y - 3 ) , 1 < x < °° como x = —(y —3) => 2 => -OO < y — 3 < + 0 0 Entonces: b) => t -oo < y < + 0 0 A = - ^ ( y - 3 ) , - o o <y <+oo y = x 2 - 1 está definida en -=» < x < +°° a 2 = y +1 => O < - J y +1 ^ para a luego c) - ( y - 3 ) < +00 2 00 a = ±y]y + 1 de donde = -y/y+T se tiene a para a = -^ y + 1 se tiene: < x < +°° < —yjy + l 5 O de donde: .1 < y < +00 = -y/y + 1 y x - -Jy + l para -1 < y < +<*> y = v /l-A 3 , en forma análoga al caso anterior: www.FreeLibros.me a = ^/T- y3 , -® o < y < +00 Introducción al Análisis d) 29 x x y = log(—) está definida para x > O como y = log(—) => x = 2.10' como x > 0 => 2.10v > 0 => 10v >0 -oo < y < +00 entonces: x - 2 . 10' para r°° < y < e) +00 y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores. . • n 1 y = arctg3x => x = -ta g y ; para - — n y < -- { x si x < 0 x~ si jc>0 Desarrollo Sí x < 0 => y = x Si x > 0 =* y = x 2 => x = yfy para í y => x = y para si - 00 <y<0 y>0 < y <0 Luego x = [ ,/y si 0 < y < 41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.). a) y = ( 2 x - 5 ) 10 Desarrollo Como y = (2a - 5)10 => y = u 10 d o n d e u = 2 x - 5 b) y = 2COSJr Desarrollo www.FreeLibros.me 30 Eduardo Espinoza Ramos Como y = 2cos' => y = 2 ", donde u = eos x c) >’ = log(/a,g^) Desarrollo X Como y = log(tog —) => y = log (u) donde u = tg(v) y v = d) X y = arcsen(3~x ) Desarrollo Como y = arcsen(3~x ) 42 => y = arcsen u de donde u = 3 ’ y v = - x 2 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades. a) y = u 2 ; u = sen x Desarrollo Como u = sen x, y = u 2 => y = sen2x b) y = arctg u, u = \ [ v , v = log x D esarrollo Como u - y f v => y - arcig \fv donde v = log x Entonces y = arctg(sjíogx) c) Í2 h si « < 0 y =< [ 0 si u > 0 , u = x “ —1 Desarrollo Para u < 0 = > x2- l < 0 => x 2 < l www.FreeLibros.me -1 < x < 1 => | x | < 1 Introducción al Análisis 31 para u > O => x 2 > 1 => | x | > 1 luego como u = x 2 - 1 se tiene: 2(x2- l ) si | jc | < 1 y = O 43 si | x | > 1 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones: a) x 2 - árceos y = n c) x + | y | = 2y b) 10* + 10y = 10 Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas Desarrollo a) x 1 - árceos y = n => árceos y = x 1 - k y = cos(x2 - k ) = e o s x 2. cosn + senx2.sentí < \ x \ < y Í 2ñ y = - c o s x 2 para b) 1.2. 1 0 ' + 10y = 10 => 10y = 1 0 - 1 0 JC => y = lo g (1 0 -1 0 JÍ) , -o o < x < l REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.-________________________ _____________ La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos. Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones: 1 y] = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 32 2 y 2 = / ( - * ) . que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX. 3 y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a. 4 y 4 = / ( * ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b. Haremos una representación de todo esto. Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta) 44 y = kx sí k =0,l, 2 ,-, 2 Desarrollo Como y = kx Para k = 0 =s y = 0 k= 1 X II k = 2 => y=x X 2 V~ 2 k = -1 y = -x k = -2 => y = -2x www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 45 33 y = x + b, sí b = O, 1, 2, -1, -2 Desarrollo Para b = 0 => y = x b = 1 => y = x + 1 b = 2 => y = x + 2 b = -l => y = x - 1 b = -2 => y = x - 2 46 y = 1.5x + 2 Desarrollo X y 0 2 1 3.5 2 5 Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola). 47 y = a x 2 , sí a = 1, 2, —, —1,—2,0 2 Desarrollo Para a = 1 => y = x 2 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 34 48 X y 0 0 ± 1 i ±2 4 y = x2 +c sí c = 0 ,l,2 ,-l Desarrollo 49 v = (Jr —-x0) 2 , sí *0 I- 2.-1 Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 50 35 y = y 0 + ( * - l ) 2 , si y 0 = 0 , 1, 2,-1 Desarrollo 51 y = a x 2 + bx + c sí: 1 2 a= 1 b = -2 c=3 a = -2 b=6 c=0 Desarrollo 1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2 x + 3 de donde y = U - l ) 2 +2 2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x y = - 2 ( x 2 - 3 j c + —) + — => 4 2 y =- 2 ( x - - f + 2 2 www.FreeLibros.me 36 52 Eduardo Espinoza Ramos y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX. Desarrollo Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x 2 = - x - 2 - 0 los puntos de intersección con el eje X es: => (x - 2)(x + 1) = 0 luego x = -1, 2 CONSTRUIR LAS G RÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO 53 y = x 3 (parábola cúbica) Desarrollo X y 0 0 1 i -1 -i 2 8 -1 -8 www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 54 37 y = 2+ U -l)3 Desarrollo 55 X y 0 i 1 2 -1 -6 y = xi -3 x + 2 56 X y 0 2 1 0 2 4 -1 4 -2 0 -3 -15 3 20 X T Desarrollo y=x Desarrollo X y 0 0 ± 1 i ±2 16 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 38 57 y = 2x2 - x 4 Desarrollo y - 2 x 2 - j r 4 => y = - ( x 4 - 2 x 2 +1) + 1 => y = 1 - (* 2 - 1)2 HOM OGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas) 58 1 3 '= “ x Desarrollo 59 y= X y -1 -i 1 i l-x Desarrollo X 0 y i 1 2 2 3 -1 1 2 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 60 y = jc- 2 x+ 2 Desarrollo >’ = x -2 => x+2 , 4 y = l- x +2 m 61 X -X q Desarrollo 62 2x-3 3jc -+- 2 2x-3 3x + 2 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 40 CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS. 63 1 y = jch— x Desarrollo y = x + —, su dominio es R - (0) y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x asíntota horizontal. X i -1 y 2 -2 64 -3 3 1 1 2 2 5 5 10 10 2 2 3 3 x+l Desarrollo y = x - l + —— , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene x+l y=x +\ asíntota horizontal. X 1 0 1 2 0 1 1 9 2 2 2 3 2 y 1 2 65 -2 2 3 2 -4 9 2 y=Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal. 66 X ± i y i i +— 2 4 ±2 + 3 1 1 4 9 y=- Desarrollo En x = 0 se tiene una asíntota vertical, en horizontal. 10 67 ^ ± 1 ± 1 ±2 ±1 8 ±3 H- y +1 2 ±8 iá h X (curva de Agnesi) x2 +l Desarrollo 68 X 0 ± i ±2 y 10 5 2 y =— (Serpentina de Newton) x +1 www.FreeLibros.me y = 0, se1tiene una así Eduardo Espinozu Ramos 42 Desarrollo 0 ± i y 0 ± i ±2 ±3 -H X 5 69 1 y = x + ~r x Desarrollo En x = 0 se tiene asíntota vertical 70 X i -1 2 -2 y 2 0 9 7 9 2 2 2 +1 2 2 1 y —x H— (Tridente de Newton) x Desarrollo En x = 0 se tiene asíntota vertical X i -i 2 -2 3 -3 y 2 0 9 7 28 2 2 3 ±12 1 1 1 2 3 2 26 9 7 28 28 3 4 4 9 3 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis CONSTRUIR LAS GRAFICAS IRRACIONALES SIGUIENTES: 71 y = y[x Desarrollo y = 4x 72 está determinado para x > 0 X 0 i 4 9 ',6 y . 0 i 2 3 4 y = lfx Desarrollo 73 X 0 ± i ±8 ±27 y 0 ± i ±2 ±3 y =t[7 (parábola de Neil) Desarrollo 74 X 0 ± i ±8 y 0 i 2 y,= ±xy[x (parábola semi-cúbica) Desarrollo www.FreeLibros.me DE LAS FUNCIO Eduardo Espinoza Ramos 44 75 X 0 1 y 0 ± 1 y¡9 ±2 ±3 y = ± —V 2 5 - * 2 (elipse) Desarrollo 76 j = ±-Jx2 - l (hipérbola) Desarrollo ±2 y 0 /= 1 ±3 1+ ± 1 +1 77 X a-2 - $n ’ = ± \lx 2 - 1 y = Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 78 y =± x 14 —x (Cisoide de Diócles) Desarrollo X y 79 0 0 i ■N| 2 3 ±2 y = ±xsl 25 - x 2 (para el estudiante) CONSTRUIR LAS GRAFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOM ÉTRICAS 80 y = sen x Desarrollo 81 y = eos x Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 46 82 83 y = ctg x Desarrollo ±n 0 X +— 2 2 oo y 84 oo 0 0 y = sec x X 0 y i +£ 2 oo ± n ± 2rc -1 1 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 85 y = esc x Desarrollo 86 y = A s e n x , sí ¿4 = 1, 10, —, - 2 2 Desarrollo Si A = 1 => y = sen x, su gráfico es: 0 y 0 + 2 ± 1 ± Jt 0 -H X ± 1 ± 2 ji 0 Si A = 10 => y = 1 0 sen x, su gráfica es: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 48 X y 87 0 0 ± 7t 0 n +— 2 ± 1 3Jt ±— 2 ± 1 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^ Desarrollo Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86, Si n = 2 => y = sen 2x su gráfica es: X 0 fe; 1 +i y 0 ± 1 +— 2 0 ± 71 2 ± 1 0 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis En forma similar para n = 3, — 88 y = sen(x-<p) sí tp = - 0 , — 2 2 4 Desarrollo y = sen (x - <p) = sen x. eos y = sen x. eos tp - eos x. c para n , y = - c< Para cp = — X Su gráfica es: 1 0 ± te 2 y -i Y 0 / / / ± 1 i i 1 ~n \ K VI rt / 2( i i _J \ \ 1 K 3n n —n - — 2 4 y = 5 sen (2x - 3) Desarrollo Sea x ' = x ~ — => N) | U> 89 y' = 5 se n2x ' donde el origen del nuevo sistema es ( Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 50 90 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8 Desarrollo Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es: 0 ± ± 2 y 91 -8 8 ± 6 K ±2n +i X -6 -8 y = sen x + eos x Desarrollo X 0 n 4 y i 7t 4 2 1 y¡2 3/r 0 57T i 3;r In 2 4 2 -1 -V 2 -1 Y www.FreeLibros.me 0 2rc 9n n 4 4 1 V5 0 Introducción al Análisis 92 y = eos" x Desarrollo X 0 ± 71 2 i y 93 0 1 y = x + sen x Desarrollo X 0 y 0 71 7T ~2 ~2 7t n , —+1 2 94 -7t 7T -71 -* -1 2 y = x sen x y 0 ±71 2 95 ±£ 2 0 +— 2 l 0 .. 1e*i X 1 1s=í D esarrollo ± 2ti 371 T 0 y = t g 2x Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 52 X 0 K 0 96 5n +— 2 ±— 1 + 1 4 y n +_ °° ± n 4 0 y = 1 - 2 eos x Desarrollo X y 0 -i i 2 ±n +1 4 97 3 -0.41 y = sen x — sen 3 x 3 Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis -0.717 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 54 99 y = cos(—) x Desarrollo X y i i 3 3 -i 1 1 -1 -1 -1 1 1 4 4 1 1 4 4 Desarrollo y = ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,nj U [2tc,33x] .... [-27t,-7i] www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS 101 y = a x sí a - 2 , e Desarrollo Sí a = 2 => X y =2 ' v 1 0 1 -1 2 2 -2 4 1 1 3 4 1 2 y = Desarrollo 102 X y 0 1 i 1 -1 2 2 2 1 -2 4 4 sí a = Desarrollo 0 => y = www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 56 X y 1 0 10 i 1 -i 10 103 y = sen hx, donde senhx = —(ex - e x ) 2 Desarrollo X y 0 0 1 e-e1 2 7 -1 1 2 104 y = c o sh x ; donde co sh x = —(ex +e x ) 2 Desarrollo X y 0 i 1 e - e -1 2 -1 e + e~x 2 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 105 senhx , y = tg hx, donde tghx - —-----coshx Desarrollo 106 i y = 10x Desarrollo y X 1 10 -1 i 10 100 1 2 1 1 2 100 2 107 y =e (curva de probabilidades) Desarrollo 01y ii ±2 1 4 X ± e e www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 58 108 y = 2 *' D esarrollo —T 1 y = 2 x = —— => 1 y = —— , cuando x —» 0 , y —» 0 2/ 2? X y 0 0 ± i i 2 109 ±2 i ±3 i *2 y ¡2 ±4 i ]y ¡ 2 y = lo g x 2 D esarrollo x2 >0 =) X E <-oo,0> U <0,+oo> X ± i +2 ±3 ±4 y 0 Log 4 Log 9 Log 16 +1 2 +1 3 +i 4 - log 4 - log 9 - log 16 www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 110 y = log2 * D esarrollo y = (lo g * )2 está definida para x > 0 111 X i 2 y 0 (log 2 ) 2 3 1 2 3 (log 3)2 (log 2 ) 2 (log 3)2 1 . y = log (log x) D esarrollo y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1 log* D esarrollo v = —-— está definida para x > 0, x log* www.FreeLibros.me 1 Eduardo Espinoza Ramos 60 x y 113 0.2 -0.625 1 0.5 -3.325 -O O 2 3.32 3 2.09 4 1.66 y —lo g (-) * D esarrollo y - log(—) está definido sí — > 0 => x > 0 x x 114 X i 2 y 0 -0.3 3 -0.47 4 5 0.5 -0.60 -0.69 0.3 y = log (-x) D esarrollo y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0 www.FreeLibros.me 0.4 0.9 Introducción a l Análisis X 1 y -0.3 0 -1 -2 -3 -oo 0 0.3 0.48 2 115 y = log2(l + x) Desarrollo log2(l + ;t) = log2 10. log10(1 + x) -i y -oo 0 0 1 0.9 2 3 4 1.5 1.9 2.3 5 2.5 x í X 116 y = log (eos x) Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 62 y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces . 2 n+ l rr 2 n + l „ x e < 2n n , n > U < — — n , 2n n > n n w, 2>n 5n r, x e < — , — > U < — , — >U... 2 2 11) 2 2 y —2 * sen x Desarrollo X 0 y 0 K 7t 2 0 .3 3 0 + 37r 2 -0 .0 3 8 2n n -Ti -2 ,9 7 www.FreeLibros.me -2 n 2 2 0 37T 0 0 .0 3 8 0 Introducción al Análisis CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOM ETRICAS INVERSAS 118 y = arcsen x Desarrollo El dominio de y = arcsen x es [-1,1] El rango de y = arcsen x es [— Z K, ] x 1 2 2 y 119 -i 0 n 2 2 n 4 0 ñ .2 n 4 7T 2 y = árceos x Desarrollo El dominio de y = árceos x es [-1,1] El rango de y = árceos x es [o,7t] X -1 0 V Jt n 1 2 0 En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico. 120 y = arctg x Desarrollo www.FreeLibros.me 64 1 2 1 Eduardo Espinoza Ram os y = arctg x X 0 y n 2 CX> 0 OO K 1 n 4 122 y = arcsen — x D esarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 1 123 y - arcsen- sen y ■ -1 < sen y < 1 - 1 < —< 1 x => x e U [l,+°°> y = árceos— * Desarrollo 1 y = árceos- 124 eos v = — como -1 < eos y < 1 * y = x + arctg x Desarrollo X y 0 0 X —» +oo X —> -oo y —» +oo X —> + 0 0 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 66 CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 125 y= |x| Desarrollo Se conoce que: 126 X y 0 0 ± 1 i + 2 2 ±3 3 . . í x , x >0 | x |= 0 => | x | = x, Luego y = -^(jc+ |jc|) = ^(jc + x) = jí Six<0=» => y = x | x | = -x, Luego y = -^(jc+ | x |) = ^ ( x - x ) = 0 => y = 0 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 127 a) y=x |x| Desarrollo Si x > 0 =* | x | = x, pero y = .v |x |= x ( x ) = x 2 => y = x 2 para x > 0 y =x \x \-x (-x ) =- x 2 b) => y = - x 2 p a r a x < 0 y = lo g ^ | x | Desarrollo y y = l o g ^ | * | <=> x = (y¡2 )y => | x |= 2 2 y para x > 0 = » | x | = x =¡> x - 2 1 y_ x < 0 => | x | = -x => - x - 2 2 X ± :.... í 1 fv 0 ± 2 2 ±3 0 ln3 ln 2 -2 + 1 2 ± 1 1 -4 4 128 a) y = sen x + | sen x | D esarrollo Se conoce que y = sen x tiene por gráfico: www.FreeLibros.me \ o Eduardo Espinoza Ramos 68 Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,7t] Sí x € [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = O Generalizando para n 6 Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rt] Si n es par | sen x | = sen x Si n es impar | sen x | = - sen x { 2senx para n par cuando r e [nn,(n + l)7r] 0 b) para n impar- cuando x e < n n ,(n + 1)7T] y = sen x - 1sen x | en forma similar el ejemplo (a). www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 7>-x2 para ¡ x | < l 129 y = 2 para | x | > l M D esarrollo Si | x | < 1 => -1 < x < 1 | X | > 1 => x > l v x < - l además x > l => I x | = x a 3 -x Luego y = 2 x 2 130 a) x < - 1 => | x I = -x para - 1 < j c < 1 para x>1 para jc < —1 y = [x], b) y = x - [x] donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei menor o igual a x. D esarrollo a) y = [x] = [n] =» n < x < n + 1, n e Z www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 70 Sí 0 < x < 1 => 1<x<2 => y= 1 2<x<3 => y=2 -1 < x < 0 b) y=0 y = -l -2 < x < -1 => y = -2 -3 < x < -2 => y = -3 y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , n e Z Sí 0 < x < 1 => y = x l<x<2 => y = x - l -3<x<-4=> y=x+3 -4<x<-5=> y=x+4 CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEM A DE COORDENADAS POLARES (r, q>) (r > 0) 131 r = 1 (circunferencia) Desarrollo Se conoce que x = r eos 0 , y = r sen 0 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis r = yjx2 + y 2 , 6 - arctg — x como r = 1 y r - ^ x2+ y2 , luego: -Jx2 (circunferencia) 132 r=^ (espiral de Arquímedes) D esarrollo Y 9 0 1 R 0 1 n 2 n 2 -n 4 n K Tí 2 2 133 r - e 9 (espiral logarítmica) Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 72 134 n r = — (espiral hiperbólica) 4 r 135 ± + ÍL 6 6 H- r = — , de donde r - 2 x r www.FreeLibros.me x 2 + y 2 = 2x Introducción a l Análisis Luego x (a : 136 - 1)2 + -2x+ y v =0 => (x~ - 2x + 1) + y = 1 2 = 1 circunferencia de C(1,0) y radio 1 r=sencp Desarrollo sencp = — r Se conoce que y = r sen cp => n 1 Como r = ------sencp 1 r => r = — =$ r = — y y Como r * 0 => y = 1 137 i cp r - sec — (parabola) Desarrollo 2 <¡P 1 sec — = —— 2 eos 2 r = ---------- = —- de donde r = — 2 cos2 ^ * 2 r2 www.FreeLibros.me x2 - r 74 Eduardo Espinoza Ramos para r * 0 A luego: , además r = yjx2 + y 2 => x 1 + y 2 = r 2 O - jc = y . Sea: x, = x A =$ x¡ = x O además y O = y¡ Entonces: x 2 - a-, = y, i Completando cuadrados se tiene: (*i - 138 :~)2 1 1 - x í +—= y i +— = ( » + ^-) parábola de vértice V ( - i. - ~ ) y se abre hacia arriba r = 10 sen 3cp (rosa de tres pétalos) r 0 0 o 15° 7.05 195° 2 1 0 -7.05 -10 30° 45° 60° 75° 10 7.05 0 ° 225° -2.60 -7 -10 O L/to 0 O O oo 9 r 9 SO Oo D esarrollo -2.60 12 0 ° 0 240° 255° 270° 285° 300° 0 7.05 10 www.FreeLibros.me 7.05 0 135° 150° 165° 7.05 10 7.05 330° 345° 360° -10 -2.60 0 Introducción al Análisis r = a(l + eos 9 ) (a > 0) (Cardioide) D esarrollo 0 o 15° R 2 a 1.97a O O m 9 45° 60° 75° 1.87a 1.71a 1.5a 1.26a 9 90° 105° r a 0.74a 0.5a 0.29a 0 195° 210° 225° 240° 0.3a 0 CX O 0 139 9 r 0 9 285° 300° r 1.26a 1.5a 12 0 ° .1 a 315° 135° 150° 165° .1 a 0.03a 0.29a 0.5a 330° 1.71a 1.87a 255° 270° 0.74a a 345° 360° 1.97a 2 www.FreeLibros.me a 76 Eduardo Espinoza Ramos r 2 = a 2 eos 2(p ( a > 0 ) (Lemniscata) 140 r a a y¡3 a 42 42 45° 0 a 75° a O Cn 15° o 0o O O sO O o m <p a www.FreeLibros.me O L /lo D esarrollo a 120° 135° 150° 165° a a a a Introducción al Análisis CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAM ÉTRICA 141 x = t 3, y = t 2 (parábola Neil) Desarrollo 142 t X y 0 0 0 i 1 1 -1 -1 2 8 -2 -8 x=10cost, i 4 4 y = sen t (elipse) Desarrollo x= 1 0 2 X c o s t => eos t = ----100 y = sen t => s e n 2t = y 2 eos2 1 + sen21 - ^ — + y 2 100 de donde + y2 100 www.FreeLibros.me ' = 1 (elipse) Eduardo Espinoza Ramos 78 143 x - lO cos 3 Z, y = 10senY (astroide) D esarrollo eos 2 / = (— 10 )3 2 sen2t = 2 sen2/ + eos2 1 = (— )3 10 2 1 144 = (— )3 )3 10 )3 2 + (— de donde )3 10 2 + (— (— 2 => 2 x 3 + y3 = x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo) D esarrollo x = íj(cosf + tsent) y = a(sent - t eos t) i _ + i _ = l +t2 a a => x" a2 eos2 1 + 2 r eos/ sent + í 2 sen21 y2 jf sen2t —2t co sí sent + t 2 eos 2 1 x 2 + y 2 = o 2(l + r 2 ) íx = a(cos r + íiení) envolvente (desarrollo de la circunferencia ( [ y = a(sent —t eos í) www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis at 14 5 + r3 ’ 1 D esarrollo at 1 Ü 73 y=- a t2 1 a t x +r at at «A iT ? 1 14 6 jc : sl\ + t 2 a at Luego: — = — x y => t \7 ? Como: jc = + r1 + y= Desarrollo www.FreeLibros.me ax2y *(.c 3 +;y3) Eduardo Espinoz.a Ramos 80 at x= y = VTTT3' t 0 ±1 X a a 0 x = 2 + a ' + ', 2 Vio s + 3a Vio + 2a V5 . 147 a a & y ± 3 ± 2 s/5 y - 2 ' - 2 ' (ra m a d e u n a h ip é rb o la ) Desarrollo t 0 X 2 1 5 -1 2 5 2 y 148 0 - 2 17 17 4 4 3 3 15 15 2 2 4 4 x = 2 eos 2 t ; y = 2se n 21 (segmento de recta) Desarrollo |* = 2 x i — = eos t 2 cos t y = s e n2t — [y = 2 sen^t 1 2 x y 9 9 —+ — = sen~t+ cos t 2 2 www.FreeLibros.me => jc y 2 2 —+ — = 1 => x+y= 2 Introducción a l Análisis 149 2 y -t x=/- r , 2 -t 3 D esarrollo 150 t 0 1 -1 2 -2 3 -3 X 0 0 -2 -2 -6 -6 -1 2 y 0 0 2 -4 12 -18 27 x = a ( 2 co sí - co s“ 2 r ) , y = a ( 2 sen t - sen 2 t) D esarrollo t 0 X a y 0 n 4 a\J2 a \!2 - ..... ♦ K 2 a 2 a C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS FU N C IO N ES DADAS EN FO IM P L ÍC IT A 151 x 2 + y 2 = 2 5 (circunferencia) Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 82 152 xy = 12 (hipérbola) D esarrollo X ± 153 y 1 ± 12 ± 2 ± 6 ±3 ±4 +4 ±3 ± 6 ± 2 0 OO y 2 = 2x (parábola) D esarrollo X > 0 0 1 2 2 9 2 8 154 ± i ±2 ±3 ±4 —— h — = 1 (elipse) 100 64 Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis 155 y 2 = jc2 (100 —jc2 ) D esarrollo Sea w = y 2 , z = x 2 y 2 = IOOjc2 - x 4 iv = 1 0 0 z - z 2 => w = - ( z 2 -1 0 0 z ) completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = —(z + 25) 2 2 156 2 2 jr 3 + y 3 = a 3 (astroide) •a www.FreeLibros.me V(-25,250( Eduardo Espinoza Ramos 84 157 x + y = 10 log y Desarrollo Para y > 0, log y está definida: x= 10 x -i log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0 . 10 - 10 1 i y og2 - i log 2 - 2 2 1 2 158 x 2 = cos y Desarrollo x 2 = eos y [~Z 159 yjx + y y => y = árceos x 2 a r c tg - -e x (espiral logarítmico) Desarrollo x - rc o s d (— ) 2 = eos 2 0 (— ) 2 = sen20 y = rsenO r www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis tgd = — => 9 = arctg — x x f l Como \¡x + y T —e arctg- x r = e 0 en coordenadas polares 160 jc 3 + y 3 - 3xy = 0 (folio de Descartes) D esarrollo Pasando a coordenadas polares se tiene: x = r eos 0 , y = r sen 0 r 3 eos 3 9 + r 3s e n 39 - 3 r 2sen9 eo s9 = 0 r 3 eo s 3 9 + r 3 se n 29 = 3 r2s e n 9 c o s9 r= 161 3sen9 eos 9 í---------eos 9 + sen 9 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr de la función obtenida. D esarrollo Para 0°C => 32°F 100°C => 212°F => (0,32), (100,212) Sea F = me + k => 32 = m(0) + k => k = 32 212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 =* lOOm = 180 =» m = 1 . 8 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos f = 1 .8 c+ 32 En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6 , esta inscrito un rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo. D esarrollo La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente: Area del rectángulo Y es: Y = Bx También en el área del rectángulo “y” se puede expresar: www.FreeLibros.me ... (1) Introducción a l Análisis y= bh 1 2 2 (xh - 2Bx + Bb) como b = 10, h = 6 se tiene: y = 3 0 - - ( 6 x - 2 f í x + 10fi) ...( de (1) se tiene B - —, reemplazando (2) se tiene: x y - 3 0 - —( 6 x - 2 y + - í ^ - ) , de donde y = 0.6(10 - x) 2 x como y = 0.6x(10 - x) => y = -0 .6 x + 6x La gráfica de la función es: El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13 164 Resolver la ecuación: 2a2 -5 x + 2 = 0 D esarrollo 2x 2 - 5x + 2 = 0 x 2 ——jc+ 2 1 = 0 completando cuadrados se tiene: www.FreeLibros.me =» y - 1 3 = - 0 .6 ( x - 5 ) ' Eduardo Espinoza Ramos 88 165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y = 7 D esarrollo Como x + y = 7 => y = 7 - x, además: xy = 10 => x ( 7 - x ) = 1 0 7 x - x 2 - 1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0 (x - 2)(x - 5) = 0, de donde se tiene: x, = 2 , x 2 = 5 1.3. LIMITES.- Io L IM IT E S D E UNA SU C ESIÓ N .- E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j , x 2 ,...,x n ,..., es decir: • 2o lim x„ = a n— >°o o V s >0, 3 N > 0 / | x „ - a | < e V n > N L IM IT E DE UNA FU N C IÓ N .lim / ( x ) = A <=> V e > 0, 3 8 > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 8 x ->a 3o L IM IT E S L A T E R A L E S.Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma manera si /(a - 0 x > a y x —> a, escribiremos x => a + 0 y a los números ) = lim / (x) y f ( a + 0 ) = lim / ( x ) se llaman limites laterales por X—>¿7— 0 X— >í7+0 la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a - 0 ) = f(a+ 0 ) www.FreeLibros.me Introducción al Análisis P R O PIE D A D E S DE L IM IT E S Si existen los lim / , ( x ) x->a y lim f 2 ( x ) . Entonces se tiene: x— 1 lim ( / , (x) ± f 2 (x )) = lim / , (x ) ± lim f 2 (x) x— x—>a x—*a 2 lim / , (x ) . / 2 (x) = lim / , (x). lim f 2 (x) x~>a x— 3 fíxl lim / | W lim — — = -------- donde lim (x)¿0 x^>a f 2(x) lim / 2 (x) '■ x -* a N O T A : Los limites siguientes se usa continuamente. . i lim SenX = 1 y lim ( 1 + —)* = lim ( 1 + a ) a = e jt- > 0 X jt-*~ x o-»o 166 Demostrar que, si n -» °o, el limite de la sucesión 1, — 4 9 ... es i V cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad - - < e (siendc n~ número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para: a) e= 0.1 b) e= 0.01 D esarrollo Probaremos que lim - y = 2 , es decir: dado un e > 0, E N = ? / | — - 0 | < £ V n > N n | - T - 0 |= | J - | = - t < £ => n 2 > —, 77> J Í = A n2 n2 n2 £ Ve www.FreeLibros.me c) e= 0.001 Eduardo Espinoza Ramos 90 lim -^- = 0 n 4 3 N <=> V e > 0 , |-V-0|<£ V n por lo tanto la desigualdad n~ 167 < e se cumple V n > .!— V£ se tiene n > ,. — = V 10 => n > 4 VÍO V o.i a) Para e = b) Para e = 0.01 se tiene n > c) Para e = 0.1 0.001 se tiene n > J \ Demostrar que el limite de la n |xn - í— = 10 (0 . 0 1 = VlOOO => n > 3 2 0.001 sucesión: x = — , ( n = l,2 ,...) , cuando n+1 es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad 1 1 < e (siendo e un número positivo)?. Hallar N para a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e = 0.001 D esarrollo lim x n = lim —— = n— n— H+ 1 1 es por demostrar. Dado e > 0 , 3 N = ? / | j c „ - l | < £ , V n > N U n - M = | ——r - 1 l = l ----- n r l := - ^ T < e n+1 n+l / i +1 =* www.FreeLibros.me n+ l> - £ => n > - - —1 = N £ Introducción a l Análisis Luego: lim ■n =1 <=> V e > 0 . 3i V = —- 1 »-»«> n + 1 e V n |— n+1 168 > — —1 e a) Para e = 0.1, N = - - 1 = 9 E b) Para e = 0.01, N = — - 1 = 99 £ c) Para e = 0.001, N = - - 1 = 999 £ Demostrar que lim x 2 = 4 . ¿Gomo elegir para el número positivo dado i .t — » 2 número positivo 8 de modo que de la desigualdad |x —2 | < 6 se deduzc desigualdad | x 2 - 4 1< £ . Calcular 5, para: a) e= b) 0.1 e= c) 0.01 e= 0.001 D esarrollo limjr=4 <=> V e > 0 , 3 8 > 0 / | j t 2 - 4 | < e x-* 2 Siempre que 0 < |x - 2| < \ x 2 - 4 |<|(.v + 2) (x - 2 8 ) |= |x + 2 1 |x —2 1 < £ Sea |x - 2| < 1 ==> -1 < x -2 < 3 => l < x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| < L u e g o :|x 2 - 4 | = | x + 2||x-2|<5|x-2|<£' www.FreeLibros.me => | jc — 2 1< — = 5 Eduardo Espinoza Ramos 92 Luego es suficiente tomar 8 = — (e < 1) 169 a) £ 1 Para £ = 0.1 se tiene 8 = — = — = 0.2 5 5 b) Para e = 0.01 se tiene 8 - — = 5 5 c) p 0 001 Para £ = 0.001 se tiene 5 = —= — = 0.002 5 5 = 0.02 Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales: a) l i m l n x = ~°° b) lim 2 ' = +°° c) l i m / ( x ) = °° Jt— >■» D esarrollo i Y /y = log x / lim lo g x = -< x- » 0 j. 0 170 X' 1 Hallar los limites de las sucesiones: a) i, ~ ,t - Í 2 3 4 c) >/2 , V ^ , V ( - i r 1- - - n 2 V 2 V 2 ,... b) d) Desarrollo www.FreeLibros.me 2 4 6 1 3 5 2;i 2« + l 0.2, 023, 0.233, 0.2333, Introducción a l Análisis a) ( - 1)""1 Sea xn = -----------, entonceá: 1 Si n es par lim x n = lim — = 0 n n —>°° n —>=» fl Si n es impar lim xn = lim —= 0 n— >°° fi Luego lim x„ = lim ( - l) /J—>00 b) „ Sea x„ = 2n 2 c) „ -i 1 =0 W_ >00 w+ l 2n .. litn — = lim n->~ 2 n + l , entonces: 2 + 2 , —= ------- = 1 2 +0 n i_ a, = V 2 = 2 2 j_ ji 1 ^ a 2, = J 2J 2 = 2 2 .2 4 /— p—^=— a 3 = V2 V 2 V 2 = t1 i1 *1 . . *= 1 fl.n = 1 1 = 2 2+4 2 2 2 4 2 t 11 1 1 1 2 2+4+8 1 -+-T+-T+-+-21 2 2” 2 2 L.1 +-+—+...+—p) 1 1 1 . -( Luego an = 2 2 2 2 2 entonces 1 1 1 1 .. , . + —+ — + ... + —^ - es una progresión geométrica r = ’-é " es igual a: ... (1 ------— = 1 _ I 2 (1 , --------) 2 " ... 2 Reemplazando (2) en (1) tenemos: www.FreeLibros.me 1 an = 2 2 2 =2 2 (2 Eduardo Espinoza Ramos 94 Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el limite del término n-esimo cuando n —» es decir: lim an = lim n— d) 0 2 —) r = 2 1 0 = 2 n— 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es X- =0.23333...3 x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3 „„ , 3 3 3 3 x —0 .2 + (------ 1--------- 1----------- K..H--------- -) 100 x —0 . 2 H 100 1000 10000 7 0.2 + ----- . 100 = lim [0 .2 + — (1 — — )] = 30 10n 0.2 H A L L A R LO S L IM IT E S : 1 2 3 h -1 171--------- l i m(— + — + — + ...H--- —) n n n “ ' ( 1 -t-------1— — + ...4-------r) 10 lo 2 1 0 "”' i - í - 1-)" xn = 0.2 + -— - ( ...... .1 0 — ) = 100 j _ 1 10 lim 100" n Desarrollo www.FreeLibros.me 10 (1 — i - ) 9 = 0.2 +— =— =— 30 30 30 + — (1 —-----) 30 10" Introducción a l Análisis 1 2 3 n- 1 l + 2 + 3 + ... + ( n - l ) l mi ( — + — + — + ... + ——) = lim ------------- — n n n n n~ i-i i „ « (« -!) , -n n 1-0 1 = lim 5— = l i m -0 = lim — — = ------= — tt-»oo ^ n-A°° 2.n~ /t— >oo 2 2 2 ,72 l i m ( ü ± ' X « + ' 2 X » + 3) D esarrollo lim n->» (n + l)(n + 2)(n + 3) n+1 n + 2 n + 3 = lim (------ )(-------)(-------) n-»«. n n n = lim ( 1 + -XI + -XI + - ) = (1 + 0 ) ( 1 + 0X1 + 0 ) = n n n _ 173 lim ( l + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2 n - l ) n+1 2n + l ----- — ) 2 D esarrollo Se conoce que l + 3 + 5 + ... + ( 2 n - l ) = n 2 l + 3 + 5 + 7 + ... + (2n —1) 2n + l n2 2n + l lim (---------------------------------------------) = lim-(----------------- ) «-»«• n+1 2 n-»~ n + 1 2 ' 2n 2 - 2n 2 - 3n —1 3n + l 3 + ñ 3+ 0 = lim — = - lim -------- = - lim ------ —= --------n->~ 2 (n + 1 ) n-»~ 2 n + 2 2 +— 2 + 0 174 lim- n -(-l)” Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 96 _1 Si n es par se tiene: ■• ------« + 1 = ,•lim ------n = -------= 1 +0 1, lim _. Si n es impar se tiene: i- i n- 1 n 1 - 0 lim ------- = lim ----- —= ------ = 1 n->“ n + 1 j 1 + 0 Luego: 2 175 lim «-*» n—>°° tí —1 n— ^ 1 1 —0 lim /l + ^ ^ = 1 n->~n _(_})" ',+i + 3 n+l 2 " +3 Desarrollo 2 n+I + 3 " + 1 2.2" +3.3" . . . . . . f lir a --------------- = lim -----------------, dividiendo entre 3 w->oo 2 ” + 3 " 2 ” + 3” o+ i 176 ' ,•lim (— A i- — 1 1 x + -1 + ... + — ) 2 4 8 2" Desarrollo U sando la suma de una progresión geométrica: primer término y r la razón. www.FreeLibros.me S = —— 1 -r , donde a es el Introducción a l Análisis lini 4 + 4 + ^ + . . . + 4 r ) = lim ( 1 - ( i ) " ) = n—>°° 2 4 8 2 />->« 2 1 - 0 = 1 r, 1 1 ( - 1 )"-1 , 177-------- ,h• m [l —1 + --------+ ... + ------;—] 3 9 27 3 D esarrollo De acuerdo al ejercicio anterior 5 e tiene: . ----i , 1----------' i K..H--------;— . . ( - i » - ' —--------------—-------------‘ - ‘- l ’” 3 - 3 (4 r 3 9 27 3 1 + i 4 3 1 i i lim [l — + 3 9 178 i 27 3 " -1 3 -3 (-V 3 -3 (0 ) _ 3 ] = lim -----------¿— = 4 4 ~ 4 I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 lim -----n3 D esarrollo l 2 + 2 2 + 3 2 + ...+ n 2 = - ( / i + l)(2« + l) I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + /1 2 n(n + l)(2n + l) lim ------------------------ t— = lim -------------------«-*“ n *-*« 6 n 1 n +l 2n + [ 1 = lim - (------)(-------- ) = - lim ( 1 «-><*>6 n n 6 n-»~ 179 lim (>/« +1 ~ sfñ ) n—>oo Desarrollo www.FreeLibros.me 1 + - ) ( 2 n 1 +-) = i(l + 0)(2 +0 ) = | n o 3 Eduardo Espinoza Ramos 98 r , f— 7 V ( a / « + 1 - > /« ) ( V w + 1 + \ f ñ ) lim(V« + l —>Jn) = lim ------------T==---- r ---------n->~ n— y]n + \ + \ / n rt + l - n 1 1 lim p = lim —= = — j= = — = O "-»“ >/n + l + v n yjn + \ + \jn °° 180 n->~ n + 1 D esarrollo V n € Z + , -1 < sen (n!) < 1, como —^ — > 0 n~ + 1 n nsen(n!) n — -— < — -------- < n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 Entonces: lim — n-»« n 2 0 n + 1 nsen(nl) n < lim — < lim n2 + 1 "- >~ n : + l < lim n~+l < o de donde Iim í í 2 í í 2 ñ-»~ n + 1 = 0 Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando x -+ oo, se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor potencia de estos polinomios. También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de fracciones que contienen expresiones irracionales. 181 ,. (x + l f lim Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis ( x + 1 )" x2 + 2 x + l lim — = hm dividimos entre x +1 »-»“ x + 1 2 ,• = lim n~i°° 182 x x2 i + __ x2 1 +0 + 0 - — = 1 + 0 1 lOOOx lim — ----x -1 Desarrollo lOOOx lim — = n —>oo | 1000 . x lint ——— , dividiendo entre n—>oo _ j i = 183 1000 lim — í — = »->«, 1 x2 1000 (— )= 0 1 - 0 lim ^ i± i n-*~ 3x + 7 Desarrollo Dividiendo entre x 2 tenemos: 5 J_ x 2 - 5x +1 x + x2 1 -0 + 0 1 lim = lim — ---- = ----------------- = — , n-»~ 3x + 7 n~n*> 0+0 0 * 184 X2 2x 2 - x + 3 l i m —------------n~*°° x - 8 x + 5 Desarrollo Dividiendo entre x 1 se tiene: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 100 lim2£ l z í ± 3 = H m Í 4 n->°° x n~¥o° — 8jc + 5 ^ ¿ =± ± ^ = 0=0 i ____r _ . _ 2 185 1 -0 + 0 1 3 X X lim i * + 3) (^'v 2)' n->oo JC5 + 5 D esarrollo (2x + 3)3 (3 jc -2 ) 2 72jc5 - 2 0 4 x 4 -562.v3 -261jc2 -174jc + 9 lim ----------—— ---- = lim -------------------------- ----------------------------«-»“ a: + 5 jc + 5 üm «— >03 204 x 562 a- 2 j 261 x3 5 174 9 a4 V 72-0-0-0-0 +0 1 + 0 7 186 lim 2x2 - 3 x - 4 =====— yjx 4 + 1 D esarrollo Dividiendo entre x 2 el num erador y denominador se tiene: lim ^ f^ n_>“ v x 4 10_ 187 lim + 1 .4 = 1 i m - .7 ¿ n^°° j, + 1 =^ ° = v1+ 0 2 2x + 3 D esarrollo Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene: www.FreeLibros.me _ ? 2 Introducción al Análisis 2+ 2x + 3 lim - = = lim n->°°x + yjx »-*» 1+ 3 - * 2 + 0 „ = ------- = 2 1 1 + 0 ' * 2 188 lim 10 + Xy/x Desarrollo Dividiendo el numerador y denoi tinador entre x 2 se tiene: x2 lim =r = lim n- » ~ 1 0 + x \fx « - > “ 1 1' lim ^ íl 10 *2 + IKO 189 1 = —= oo 0 £ + 1 X+ 1 n->°° Desarrollo Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene: 1 lim n-»“ 190 ^ 2 + 1 X+ l 1 * + jc3 _ ^ Ó + 0 = = lim ^ n->~ j + J 1 + 0 0 = 0 1 lim tt—»oo y x + \¡X+ \fx Desarrollo Dividiendo entre Vx al denominador y num erador se tiene: www.FreeLibros.me 102 Eduardo Espinoza Ramos Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q ( x ) * 0 , él limite cuando x —> a de P(x) P (x ) ------Q(x) es A . decir P(x) lim lim------------x^>a Q(x) se encuentra P(x) directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción ^ ^ por el binomio (x - a), una o varias veces. 191 lim x3 x -> -\ x + 1 + 1 D esarrollo x3 + l ( - 1)3 + 1 - 1 + 1 0 „ lim .....= ------ -— = ------- = - = 0 *-»-i*2 + l ( - 1 ) 2 + 1 1 + 1 192 lim *-*5 x 2 - 5 x + 10 ---------x -2 5 D esarrollo hm x~*s 193 x 2 - 5 x + 10 5 2 -5 ( 5 ) + 1 0 0 + 10 10 ■ ....... = -------------------= ----------= — = °° x -2 5 (5) - 2 5 0 0 x2 - l lim x-»-i x 2 + 3 x + 2 D esarrollo lim — X2 -1 + 3 jc + 2 194 ,. (x -l)(x + l) ,. x —1 - 1 - 1 „ = l i m ------------------ = l i m ------- = ----------= - 2 *-*-i(x+l)(x+2) x -> -\ x 2 —2 x lim *-»2 x - 4x + 4 Desarrollo I www.FreeLibros.me x-2 -1 + 2 Introducción a l Análisis x - 2x lim — x -4 a + 4 *->2 a 195 lim *-»t a (a -2 ) , . = l i m ------------------= lim * - * - 2 ( a - 2 ) ( a —2) 2 1 =— * -> 2 a-2 O ^ — 3 jc + 2 x4 - 4a +3 Desarrollo 196 a3 - 3 a + 2 lim-—----------- = l i m— ( a: + 2 ) ( jc —l ) 2 -»->1a +2x + 3)(x-l) lim - - 4 a + 3 = li m— x- * \ x 2 x +2 3 1 6 2 = —= — +2x+ 3 x 2 ~ ( a + l)x + a Desarrollo lim x~ ~{a + X)x + a x - a x - x +a j c ( j c — 1) — a ( j c — 1) -= l i m ------------- ^----- ------ = lim — — ------ -------- x->a x - a x - ,a x - a * -* « x - a (x-a )(x-l) x-l a- 1 =l i m — = lim —------------ = — — *-*a ( x - a ) ( x + a x + a~) x + ax + a 3a ,9 7 A-»o h Desarrollo (x + h)3 - x 3 x 3 + 3 x 2h + 3xh2 + h 3 - x 3 l i m------------------= l i m-----------------------------------/i-»0 h h-tO h 3a h + 3xh +h~ 2 -.i .2x = hm— — = lim(3A +3xh + h ) = h~*0 h h-*0 198 lim(— *-* 1 - x 1 ^ -r) —A ’ Desarrollo www.FreeLibros.me -7 2 3a" 104 Eduardo Espinoza Ramos x 2 —x + 1 - 3 x 2 + x —2 - ) = lim ----------= lim 1 — jc3 *-»« 1 -x 3 jc-»! 1 -x 3 1 lim(-— 3' * - » i 'l - x = lim < ^ ? X J - 1 V = - l i m ^ t ¿ ^ = - ¿ = - l * -» (l-x )(l + x + x ) *-»>l + x + x 3 199 lim -^* 1 •*-»! X — 1 Desarrollo Sea x = y 2 => Vx = y , además cuando x —> 1 , y —> 1 , luego tenemos: a/ x - 1 y —1 . y-1 . 1 lim ---------= lim —-— = lim = hmx—>1 x —1 y —>1 y1- -‘l y—>1 (y —IXy + l) y— »ly + l 200 lim ^ 8 J - » 64 y¡X - 4 Desarrollo Vx = y 2 Seax = y 6 Vx = y 2 a Cuando x —> 64, y —> 2, luego tenemos: Um £ z í = 1¡m ¿ = » = _ | im Q - 2 X y ^ 2 y + 4 ) x —>64 %Jx —4 y-*2y~-4 y->2 ( y - 2 ) ( y + 2) y* + 2 y + 4 4 + 4 + 4 = lim — - ----- = =3 y—*2 y+2 .4 20 1 Vx-1 lim* -* iV * -i Desarrollo S e a x = y 1 2 => Vx = y 4 a </3r = y 3 www.FreeLibros.me 1 2 Introducción a l Análisis cu an ao lim ^ jt— »i V = ,im 4 ^ >'->• x - l y = lim -1 v ^ l ( V _ l ) ( y 2 + y + l) = iim í z ± i K z l ± l > = <2 X2> = í y-*> -»»•> 202 y2 + y + l 3 3 >•m u---------------f á - Z l f x -+ l lim *->i (a —1 ) D esarrollo lim * -> ' Sea V a 2 ’- 2 ^ /I + 1 { V x -1)2 —— - -- lim — ( a — 1) a = _v3 * -* => ^Jx- = y ( a — 1) cuando x - + l , y —> ! , s /? - 2Î +l ( 3 / I - 1 ) 2 ,, ( y - 1)2 lim ------------= lim ---------- — = lim -^ ------ x-> i (a - 1 ) " * -> ' ( x - 1) y - n ( y - l ) 2 lim —= lim 1 T =y - + ¡ ( y - l ) ( y + y + l)~ y-*t(y + y + 1) 9 203 X-*1 x 2 -4 g D esarrollo www.FreeLibros.me luego tenemos: Eduardo Espinoza Ramos 106 204 *-** v x ~ 2 Desarrollo Sea x = y 3 => ifx - y l i m - ^ - = l i m (-V 2 205 lim ^ Jt- * 1 tfx >-*2 2 cuando x -» 8 , y •-> 2, luego tenemos: ) ( r + 2 ^ i ) = l i m( y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12 y- 2 y- * 2 ^ - 1 Desarrollo Sea jc= y 6 => 7 x = y 3 \fx = y 7 a Cuando x -+ 1, y -+ 1. luego tenemos: 7 1 -1 y 3 -1 ( y - l ) ( y 2 + y + l) y2 + y + l 3 hm —f=— = lim d—— = hm = lim — =— x - ^ y x —1 ,v->i y - 1 y-*i ( y - l ) ( y + l) y->i y + 1 2 206 .. 3 —yj5 + X hm '- 4 1 - 7 5 3 ^ Desarrollo hm 3 -\¡5 +x , (3 —7 5 + x)(3 + 7 s + x)(\ + 'J5 —x) 7 = = ----, , 7----- = h m *-*>1-75-* = lim '-*4 ( 1 - 7 5 + x )(1 + 7 5 + x)(3+75 + x) ( 9 - 5 - x) ( 1 + 7 5 - x ) t¡_ ( 4 - * X l + 7 5 ^ ) (1 - 5 + jc)(3 + >J5 + x ) -v~*4 . 1 - = l i m ----------------- r — (jc - 4 )(3+ v 5 + x ) www.FreeLibros.me i:_ 1 + 7 5 ^ 1 = —l i m r— X~+A 3 + v 5 + a: Introducción a l Análisis 207 1¡ x x -> 0 Desarrollo Vi + X —Vi —X (Vi + X —VT—X)(-Jl + X + -Jl —x) lim ---------------------= lim ----------------=====-----= = ---------- - X *-*0 x—*0 x(y]l + X+y¡l-x) l+x-l+x 2 2 = lim - = = ---- = = = lim —¡ = -----===• = ------ = V l + x + v /l - X 208 *->0 V i + X + sil - X 1 1+ 1 lim J x + h - J l h->0 h Desarrollo yjx + h - y j x (yjx + h - y[x)(yjx + h + yfx) lim ----------------- = lim -------------= ---------h-*0 h o h(y¡X + h + y /x ) (x + h ) - x = lim = = = - = lim h~*° h(yjx + h + yfx) * - >0 VX + h + \[x io n 209 y/x + 0 + \[x yfx + h - s í x lim ■ h->o h Desarrollo yjx + h - y f x (y jx+ h - \ f x ) { y l ( x + h ) 2 + %lx(x + h) + yfx2 ) lim ------------------ = lim -------------- . = ---------h~*° h h~*° h ^ l ( x + h )2 + }jx(x + h )+ V ? ) = lim A->0 x + h —x 1 ,---------= = - = lim h(%j(x+h)2 + $jx(x + h) + V ? ) h^ ° \l(x + h )2 + l]x(x + h) + yj 1 yJ(x + 0)2 + ljx(x + 0) + yfx2 1 sfx 2 + V ? + yfx2 www.FreeLibros.me 1 3yfx2 Eduardo Espinoza Ramos 108 210 Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 l i m-----*-»3 x 2 - 4x + 3 Desarrollo Vx 2 - 2 x 4 - 6 - Vx 2 4 - 2x —6 (Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 + 2 x - 6)(Vx2 —2x + 6 + yjx2 + 2 x - 6 ) \Jx2 - 2 x + 6 + \[x2 + 2x - 6 ( x 2 - 2 x + 6) - ( x 2 + 2 x - 6 ) -4at + 12 Vx2 - 2 x 4 - 6 + \ l x 2 4-2.V-6 Vx2 - 2x4-6 4- yjx2 4- 2x - 6 Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 = , ~ ~4 ^ - 3) s/x2 - 2 x 4 - 5 4-s/x2 4- 2 x - 6 -v/x2 - 2 x 4 - 6 —Vx2 4 - 2 x-"ó lim —— *->3 X2 - 4 x 4 -3 .. nm A' ~*3 - 4 ( x —3) (x - 3)(x - 1)( Vx 2 - 2x 4- 6 4- Vx 2 + 2x - 6 ) -4 = lim JC~>3 (x - 1)(Vx2 - 2 x 4 -6 4- V x 2 4- 2x —6) -4 " ( 3 - 1 X V 9 - 6 4 - 6 4 -V 9 4 -6 -6 ) 211 2(34-3) lim (-Jx + a - Vx) * —>+oc. Desarrollo . /-----r\ .. (V x T á - V x ) ( V x + a 4-Vx) lim (yjx + a - v x ) = lim ------------ . p ---------■Jx + a 4-Vx www.FreeLibros.me 12 3 Introducción a l Análisis - lim x+a~x _ a _ °_q yfx + a + yfx yjx + a + yfx °° lim (ylx(x + a ) - j x ) X—>+°o 2 1 2 Desarrollo lim r - — (yjx(x + a )- x )(y ¡x (x + a )+ x ) ■ x(x + a) - x) = lim — 7 ---------------- ^Jx(x + a ) + x x{x + a ) - x 2 = lim jr_>+~ yjx(x + a ) + x ax a = lim — 'y.... ....... = lim x-J>+~‘y¡ x ( x + a ) + x *-»+~ I a V 213 lim ( V ? - 5 a + 6 - a ------2 a a) X —> + o o Desarrollo r / / 2 7 T 7 ,• ( v a 2 - 5 a + 6 - x)(\Jx2 - 5 a + 6 + a ) - ■ ■ ■ -----------------lim (v a - 5a + 6, - a ) = lim . ' ' X- M** V a2 - 5a + a 6+ a 2 - 5 a + 6 - a2 - 5 a+ 6 = lim - = = = = = ------= lim V a 2 —5 a + 6 + a -------- 6 A- = lim -1 , 214 lim a (-\/ a 5 6 , í +7 -5 + 0 - Vl - 2 +1 - a) D esarrollo n — lim a (V a x ._>4-oo í + 1 - a)= lim .t—>+■>= ( V a 2 + 1 - A X V ^ + 1 + A) + 1 + JC www.FreeLibros.me .... m +" v a 2 - 5 a + 6 + a 0 +0 +1 5 2 Eduardo Espinoza Ramos 110 x(x2 + 1 - x2 ) = hm — ■ yjx2 + l + x , . 1 11IT1 *-*+- 1 215 * - * W x 2 + l+ -r = —¡ = ■■■■-------- l X ......... = lim 1 , + —T + 1 1 1 ------= — Vl + o + l 2 lim ( x + >J 1— jc3 ) X—*+oo D esarrollo i/; ( x + y j l - x 2 ) ( a : 2 - x y j l - x 2, + ^ / ( l - . v 3 ) 2 ) j\ lim ( jc+ Vi —jc ) = lim --------------------=====--------------------------- X \ ] l - X 2 +y]( 1 -A '3)2 = lim r’+ l-r3 ,.2 _ x ^ 7 7 + 3//(1_ Jf3)2 = lim ---------- , 1 -----i ¡ — - =—= t-**" X 2 - x l l l - x 2 + y j ( l — X 3 ) 2 °° 0 senx , En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula lim = i.y x—>0 JC además se supone que: lim serve = seria y lim eos x - eos a x —>a 216 ^ a) i hm Jt->2 senx X D esarrollo hm x-*2 b) s enx s en2 = ------ x senx h m -----x www.FreeLibros.me x —*a Introducción al Análisis D esarrollo 1 SCtlX X X Se conoce que -1 < sen x < 1 además: — < de donde: l i m - — < lim senx < |im — x -> “> x x -» ~ X x -> °° X senx lim — — = 217 0 sen3x l i m-------x —>0 X D esarrollo sen3x 3sen3x . lim ---------= lim — —— = 3(1) = 3 x~>o x *->o 3x 218 sen 5x lim -------*->o s e n lx D esarrollo 5sen5x senSx lim = lim „ x— >o sen2x x-*u 2sen2x 2 x ” 2 1 » 5(1) 2 (1 ) 5 =_ 2 lim ■ x->o sen{3nx) D esarrollo t sennxs sen(Kx) *( 1 ) 1 lim ------------- = lim --------- — — = -----------1 = x-Msen(3nx) x->o ^ senQ n x ) 3^(1) 3 3;rx www.FreeLibros.me ==> 0 1 <— X < lim SenX < 0 112 220 Eduardo Espinoza Ramos lim(n.sen —) /l—»oo 11 D esarrollo Sea x = — , cuando n —» °° <=> x —> 0 n lim (usen - ) = lim — «-»■>» n x—>o x 2 2 1 lim ,->0 1 =1 -c o sx — X2 D esarrollo lim x -* o 1 -c o sx (1 -c o s x ) ( l + cosx) 1- eos 2 X — = lim = lim x2 x 2(l + cosx) - * - » 0 x 2(l + cos.v) s e n 2x s e n 2x = lim — -----— = lim — -— . *->0 • t-^ O x O + C O Sx) 222 x" 1 1+ C O SX ,, 1 . 1 1+ 1 2 =-1 (----- ) = — se n x -se n a lim ---------------x -* a x -a D esarrollo se n x -se n a = 2 cos( ,x - a x x+aN 2 ).s e n ( 2 ,x + a s ) ,x - a s ,x + a. .x - a . cos( ).sen( ) cos(— — ).sen(-------) se n x -se n a 2 2 <• 2 2 lim ---------------- = lim ----------- --------------- — = lim -------- ---------------— 2 x->a X —a x-*a .x + a lim cos( ). lim x-*a I • 2 x —ü x->a ,x - a sen ( ) 2 a + a nx — — = eos — :— ( 1 ) = eos a x ~ a 2 www.FreeLibros.me x —a Introducción al Análisis 223 co sx -c o sa lim -—— — x-a x-*<¡ Desarrollo ,x + a , ,x - a s eos x - eos a - - 2sen{ ).sen( ) 2 2 . , x + a. ,x -a . —2sen( ).sen( ) c o sx -c o s a 2 J h m ----------------- = h m -------------~.......... — x -* a x —a x-> 0 x —a ,x + a fx - a -s e n (— - ) .s e n (—- —) = lim ---------- 2 ------------- 2 _ x -a ) x+a 2 = - hm xen( ). lim -------- —— x -* a 2 x~*a X —a = -se n (— 224 2 ).(1) = -s e n a hm ^H +2 x -t-2 X D esarrollo lim ——— = lim 2 jt+2->0 Jf—*—2 X + *-> -2 X + 2 X+ 2 * + 2 -i0 X + . 2 Sea y = x + 2, cuando x —y -2, y —>0 V—>0 t g n y + tg 2 n t g n y + tg 2 n lün i ± i * £ Z Z « 2 l „ |¡m < H 0 + y- » 0 y~ » 0 2 ) |¡m l + » W y —»0 www.FreeLibros.me g 2 » = ]¡m w >->0 y 114 Eduardo Espinoza Ramos senizy n se n jty . 1 ...... = lim — = lim - .( ) = tt(1)(1) = n y-»o y e os n y y-*o n y cosny 225 lim /i—>0 sen(x+ h ) - senx h Desarrollo , 2x + h^ ,x + h - x . sen(x + h ) - senx = 2 cos(-— ■— ).sen(------------) 2 , lim A— »0 2 , 2 x + /i, , s e n ( x + h) —senx h .x + h -x . c o s (------- ).sen(------------) 2 2 = lim -----h-*0 h 2 + 2 ). 2x + h senf y ---- - = lim cos(-— — ). lim ---------n *->o 2 s->o •s I rs = lim cos( a— »o 2* + 0 = cos(— - — )(1) = eos X ... 226 senx - eos x lim ---------------1 -tg x 4 Desarrollo senx —eos x senx —c o s j c lim -----------------= lim ----------------* 11 —tex K 1, ______________ senx t- > — ‘ o -1 *- > — 4 4 * eos* eos x ( s e n x - eos*) .. - e o s x(senx —eos x) lm i-------------------------- = lim ---------------------------eos x —senx senx - eos * 4 rlim - e o s * = eo s— * -= —1 n 4 V2 x —>— 4 www.FreeLibros.me 4 Introducción a l Análisis 227 lim xsen — a) X x —>0 D esarrollo Sea z = —, cuando x —>0, x —» x lim xsen — = lim —senz = lim senz 1 senz 1 Pero - 1 < sen z < 1, además — < ------- < —, de donde z z z 1 1 lim — = lim —= Z~ >°° ? 0 senz , por lo tanto lim —— = ’ —>oo Z—*°° Z 0 £ 1 .. senz n lim xsen — = lim =0 x-»0 x z lim xsen — x->~ x b) D esarrollo Sea y = — , cuando x —> x lim xsen(—) = lim - = x y->o y 228 y —> 0 1 >• /i x n x lim(l - x)tg — x->i 2 D esarrollo „ . KX x->i 2 „ KX lim(l - x)tg —— = - lim (x - l)fg — = - lim ( x x -* i 2 x - i- » o Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0 www.FreeLibros.me 1 KX )tg — 2 116 Eduardo Espinoza Ramos - lim(l - A ) í g ^ - = - lim ( x - \ ) t g ^ .r->l 2 *-l-»0 n =- l i m ytg — (y + l) = - l i m 2 2 tn y n , ysen(— + —) 9 9 — e o s (^ + *) 2 2 , ny n n n. y (se n —^ eos —+ eos —sew—) lim --—. ... - ................— — 2 _ y—»o ny n ny n eos — .e o s----- sen — .sen — 2 C0S lim y— >o 2 .ny. sen( 1 2 229 2 = 2 2 ffy. , 7ry y ( 0 + e o s— ) y eos(— ) jim -------------- 2 — _ jim — _ — 2 v-*o „ ny v-»o ,nj 0 -se n — sen(— 2 2 2 cos( 0 ) 1 2 — =—=— ^ ^ n —( 1 ) — 2 2 ny 2 ' lim c /g 2 x r/g (—- a ) *->0 2 D esarrollo ^ Ctg(— - x) = -/gA => 2 . c/g "Jt-1 Ctg(2x) = — -----------------2 cígx = lim ctg 2x.ctg( *-»o 2 a) c te ‘r - 1 . = lim ------------ .( - / g A ) *->o 2cfg* = - i lim (c/g2jc - l)íg 2.v = 2 230 I »o - 2 1 - s e n (-) lim ---------- jt->* lim (l - f g 2 x) = - ^ ( 1 - 2 *->o n —x www.FreeLibros.me 2 0 )= 2 Introducción a l Análisis D esarrollo 1 lim jc-WT -se n (-) 1 - s e n (-) — = lim — jt - X jc-jt-K) n —x x = y + 7t, además cuando x —>n, y —» 0 Sea y = x - jt lim x—*it l-se n (-) 1- sen(-^ 1- s'en(—+—-) — = lim — = lim --------------- — n —x x-it-t o n - x y~»o n —y , y n 1 2 \ - s e n — .e o s = - lim v—>0 n y 2 1 -co s — = -lim v->0 y (1 - eos —)( 1 + eos —) 2 = - lim y- » 0 2 y(l + eos —) 2 sen 1 lim y—>0 -c o s2 y(l + cos ■ sen 1 2. „ y e o s — .s e n — 2 _ > = _ I ( 1 X -^ -) = - I ( 0 ) = 0 2 1 + 1 2 -f eos y |¡m ! r 2 “ í í ” -3 n i- i3 D esarrollo l - 2 cosx l - 2 cosx lim --------------= lim ------------x-+* x - l * ~>o ti - 3 x 3 Sea y = x 3 3 => x = y + — . Cuando x —> — => y -y 0 3 3 www.FreeLibros.me 2. y 118 Eduardo Espinoza Ramos i -> 1 o ll - 2 cos;t l - 2 cos* lim — ----- = lim = lim 2 n cos(y + —) 3 - l - 2 cos(y + —) , l - 2 (cos v. eo s----- seny.sen —) ■lim -........... •*- = — l im ------------------ —---------------- — y-»o 3y 3 y-»o y l 2 J (cos — lim 3 y-» 0 seny) l - eos y \fise n y ---------= — lim (--------- - + - ------ - ) 3 y—>0 y y — y l , l —eos 2 y pr seny^ = — lim (— — — — + v 3 — - ) 3 y-*o y(l + c o sy ) y 1 seny seny 1 p- seny r- 1 — lim[(— - ) ( - ------— ) + V3 — - ) ] = ——(1(0) + V3) = — T 3y-»o y 1 + co sy y 3 V3 ... 232 lim c o s tn x -c o s n x --------- x ~*° a;2 D esarrollo eos m x - co&nx = - lim x —>0 2 m+n m —n )x sen(-------)x.sen( 2 2 c o sm x -c o sn x 2 X ,m + n . ,m —n. sen(— — )ac sen(------- ).r 2 2 lim . -----X j;->0 = - 2 lim j< - > 0 m +n 2 X ,m + n s , m —n. sen( ) , sen( )x o m +n 2 ....... --— .-------- .---------------m +n 2 m~n x www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis o /m + Wx/,x , m ~ n ^ ,m = - 2 ( — —)(l).(—- —) = - ( 2 2 2 ,,, 233 X K 2 2 x ) = -(« ~m ) 2 tgx —senx lim —— ----x -> 0 x Desarrollo senx - senx tg x - s e n x eos x ,• senxil - c o s x ) - = lim ------------ í—-------- lim —— r------= lim x-->0 *"*0 x = lim ím x (l- ■*->0 jc-*0 x X x e o s x ) ( l + cosx) .v e « x ( l - e o s 2 x ) -----------------------= lim — ----------------(1 + COS x ) •*->0 X" (1 + eos x ) senx.sen x ,senx 3 1 3 1 „ 1 = lim - Y '- -- -'-- l i m ( ^ ^ - ) J (-— ) = ( 1 )J (-J—) = T x->0x (1 + cosx) *-*0 X 1+ co sx 1+ 1 2 234 .. aresenx lim — x~>o x Desarrollo Sea z = arcsen x => x = sen z ; cuando x —» 0. entonces z -+ 0 .. aresenx z 1 1 , lim ----------- = lim ------- = lim ------- = - = 1 x- » 0 x z-*0 senz z-+) senz 1 235 lf a ,2 S S M x— »o sen(3x) Desarrollo arctg( 2 x) ||m « i M x— »o sen( 3 x) = ljm x x->o sen(3x) x arctg 2x _ s e iü x lim x— »o x www.FreeLibros.me 120 Eduardo Espinoza Ramos _ ' , , sen3x Calculando lim — =3 t ->0 x arete 2x _ _ lim ------------= 2 , donde z = arctg 2 x => j— >o x lim 1 x = —tgz 2 a r c tg lx z ... z — = lim ----- = 2 lim — - = 2 x-->0 X z- >0 í g Z z—>0 t gZ T Luego, lim *- >0 sen3x JC „ a r c tg lx . = 3 ; lim — =2 Jr—>0 ... ...(2 ) JC arctg( 2 jc) arctg (2x) Reemplazando (2) en (1) se tiene: lim — :----------= lim *->o ,ce«(3jc) j-»o seit(3x) JC 236 lim jc—* 1 1 - jc2 í e n ( 7 T .r ) D esarrollo I - a-2 ( l - x ) ( l + jr ) lim ----------- = lim ----------------*-»i s e n ( n x ) x - i-* o s e n ( t r x ) Sea z = x - 1 => x = z + 1 ; Cuando x —> 1 => z -> 0, luego: 1 - x 2 ( l - x ) ( l + x) ( l - z - l ) ( l + z + l) lim ----------- = lim ------------------ = lim ------------------------- x-*\ s e n ( n x ) jc—i—*o s e n (ttx ) z->o s e n t z ( z + 1) = - l i m ------------ 2 ( 2 t i ) -----------z-*o s e n t í z eos n + s e n n . eos n z .. z ( 2 + z) 2 + z 2 +0 2 = - lim ----------- = lim -------- -— - = — =— z-»o —s e n t í z >o t i s e n ( t c z ) ttz www.FreeLibros.me n (X ) tt Introducción a l Análisis 237 l i m - * - " * 2*» *-»o x + sen(3x) D esarrollo sen(2x) x — = lim * ->o [ f sen(3x) - x - s e n ( 2x) hm — - = hm jr->0 x + íen(3x) 238 sen(2x) 2x 1 _ 2 1 — = ------- = — x-*o } + ^ sen(3x) 1+ 3 4 3x ,■ nx cos(— ) hm -*L•*-*» 1 —v x D esarrollo cos(— ) (l + 7 x ) c o s ( ^ ) (l + >/x)cos(— ) hm t =~~ 7=---- F=~ = l»ni ------------------ — *->' 1 -V x X-1 -K) (1 —v x )(l + v x ) *-l- » 0 1 -X Sea z = x —1 => x = z+l ; Cuando x -> 1, entonces z —> 0 c o s (-~ ) (1 + a/ x )C 0 S ( — lim t =~~ ^ JC—*1 l —yjx JC-l-tO 1 —x ) (1 + 7 z + l ) C 0 S ?r- ( ¿ + l ) =-lim --------------------- ---------z—>0 —z I ' 7. . T t 7 t (l + v z + l)(co s Js e n — 2 = - hm z- > 0 xz (1 -lim z->o 7T .s e n —) 21 -sen ( — + V z+ T ) ( 0 - sen — ) — = - lim ( l + 7 z + l)(- se n (-) 0 7C I------' K K 2 - . - = a + 7 o T T )(i) (-) = 2 (—) = * lim (l + Vz + 1 ) z—>0 n . . 2 2 2 www.FreeLibros.me ) Eduardo Espinoza Ramos lim *->0 1 - V cosa x ----D esarrollo lim * -» o 1 - Veos A' = lim x2 ( 1 - Vcosa)(1 + Veos a ) ,-----= lim - *->0 1 —eos X x~>° a 2 (1 +V eos a ) a 2 (1 + V c o s a ) ( 1 - c o s a ) ( 1 + COS a ) 1—e o s 2 A __ = limA 2 (1 + Veos A )(1 + eos A ) A 2 (1 + V COS A )(1 + lim — sen2x ,senx i = lim —------- 7 = ---- ■--------- = lim (------- -) . a -^ O jc ü )( ( l + V c O S A ) ( l + C O SA ) a ->0 1 1 1 (1 + VT)(1 + 1) (2)(2) 4 COS a ) ------- 1 (1 + V c o s a )(1 + c o s a ) a Vi + senx - Vi - senx lim ----------------------------x—>0 X D esarrollo Vi + senx —Vi - senx (Vi + senx —Vi —senx)(\¡\ + senx + Vi - senx) lim-----------=-lim ------ -— - p :—7^7=-— ■_ .......----------------*-*0 x *->0 a ( Vi + senx + v i - senx) = lim 1 + senx —(1 - senx) ,---------r--------- = lim (V i + senx + V1—senx ) *->o a ( V i 2senx + senx + Vi — senx) = 2 ( l ) ( - _ = J - _ ) = 2 (1 ) = 1 'J\ + 0 +yj\ —0 Para hallar los limites de la forma: 2 liml<p(A)]',' <x> = c se debe tener presente: www.FreeLibros.me ... (a) Introducción a l Análisis 1 lim cp(x) = A ; x—>a Si existen los limites finitos: c lim i¡f(x) = B , entoi x-Aa =a b 2 lim tp(x) = A * 1 y lim i/r(x) = ±°° , en este caso él limite de (a x-Aa x—>a halla directamente. 3 Sí lim (p(x) = 1 ; lim t//(x) = °o, se supone que (p(x) = 1 + oc(x), de X~Aü X-ACl a(x ) —> 0 , cuando x —> a y por consiguiente: Si i n t r\ n ír im ír í C = lim [(l) + a ( x ) ( *] ( )9( x-Aa lim a(jr).w(jc) Siendo e = 2.718... él número de NEPER. 241 lim (^ V 3 -x *->0 D esarrollo ,. 2 + x <p(x) = — 3 -x 2 => hm tp(x) = —* x->o 3 2 + X .v ,. 1 .2 + X .lim x 2 x0 , Luego lim (-— —) = lim ( y - 0 = (—) = 1 x->o 3 — x *- > 0 3 — x 3 242 l i m ( 4 - i ) * +1 x2 - l D esarrollo lim ( - ^ — ) JC+1 = lim( — ----- ) * + 1 = lim (— )x+l X—>1 —1 ( x -l)(X + l) H lx + l :( h m 1 lim (jc+l) -)x—>\ x +1 1 ? 1 = (-)= 2 4 www.FreeLibros.me Hm[<¡»(jc)—llv't-v) ' = e~‘ = e™ Eduardo Espinoza Ramos 124 243 1 — lim ( - y ) * * 1 Desarrollo 2x 1 2 X ll im - - ~ lim (— )x+l = ( lim — y^~x+i = ( 0 )“ = A'—> ° ° ... 244 X A *— _ 2 . 0 X senx / jt~ -2 .v + 3N— lim (—----------- ) x a -> o x - 3 j c + 2 Desarrollo 7 _ _ j r -2 .v + 3 —- h m ( — ---------------- ) * *-*o x —3jc+ 2 245 senx o _ _ senx x 2 - 2 * + 3i™ — = ( l i m —-----------------) ” ° * ' _ 0 -0 + 2 2 Jf2 + 2 , 2 lim (— ^— )x Desarrollo 246 = . 0 l i m ( l - —)" n—*°o y\ Desarrollo lim ( 1 - —)" = lim ( 1 H— -)" = [(i + - i ) - n](- 1) = e-* = i n—>oo fi n—>oo n n £ 247 lim (1 + —)* X Desarrollo 2 2 1011( 1 + - ) * = lim [(1 h— ) 2 X-*°o X X^>oo X ]2 = e2 www.FreeLibros.me _ 3 *-*>;c2 - 3 j t + 2 , X +2 ^ 2 , x 2+ 2 \m x 2 1 lim (— -— )+- = (lim = (-) x-*™ 2x + 1 2x + 1 2 _ 0 -0 + 3 , Y = - = ( Introducción a l Análisis 248 lim ( - i - ) ' at+1 Desarrollo . X —1 Iim ( ) = lim[(lH ) x-H- x + l x->~ x+l 249 x+\ , - x 4 — --(----- ) _ 1 ] Jt+1 —X lim----- =ze"~x+i - e . -■ lim (-------) *+3 jt-*~ Desarrollo _. , . x+3 -4(x-t-2) lim (—— )x+2 = lim (l + ------)x+2 = lim f(l + — —) "4 i x+3 aí+ 3 ■*-*»> a;+ 3 a:+ 3 , -4(x+2) lira----------- = e‘ " x+i 250 . =e lim (l + —)" n-W” n Desarrollo lim(l+—)" = [ l i m ( l + - ) J']x = e x n 251 n-»~ n limO + senA:)* jr- > 0 Desarrollo 1 1 senx senx lim (l +íenAr)^ = lim[(l + .se/u')1CT“ ] •* = e'~° x - e *-»() t— >o 252 a) lim (eos a:) ^ X —kO Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza ¡ 126 Como lim y/(x) = 1, donde v|t(x) = eos x, entonces .t— >o \j/(x) = 1 + a(x), donde a(x ) -> l|f(x) = 1 + (eos X - , cuando x —> 0 es decir: 0 1) 1 c o sa lim ícosx)* = lim[l + ( c o s x - l) ] * = lim[[l + ( c o s x - 1 )] c08* -'] a—>0 x —>0 l i meos a—l b) a—>0 - i ..i m 1-cosa =e -I * senx senx - lM im U I--------- .. --------------------------------(!)(-) x J+cos-v —£ 2 =e = lim (co sx )v A—> 0 D esarrollo Análogo al caso anterior se tiene: I lim (c o s x )* .*-►0 I = lim [ l + ( c o s x —1)]' x -»0 = e'~° *' 253 I = lim ([1 + ( c o s a —l) ] 00**- 1 ) -r-»0 = e '~*x d+co*4T) _ e lim [ln( 2 x + 1 ) - ln(x + 2 )] X— >oo D esarrollo lim[ln(2A + l) -ln (A + 2)] = lim l n ( + S X— >oo A—>°° X + 2 www.FreeLibros.me 2 —___ Je C U S -T -I * Introducción a l Análisis 254 l i m l o S ( 1 + 1° J) x - >0 X Desarrollo logUjflOx) _ iim j0 g(j + jQx)x = [lo g lim (l + 1 0 x )jr] x-»0 X x->0 x-»0 1 = log[ lim ((1 +1 Ox)>0* ]>° = log <."0 = x->0 255 1 o log e l i m - l n /— x->0 X \ 1- X Desarrollo .. 1 , / 1 + X 1 1 + X^X 1 1+ X ~ 1, ... 1+ x . - . lim —ln /------- = lim —ln( - ) 2 = lim —ln(——-)•* = —ln[lim ( )•*] *0 X \ 1 —X x —»0 X 1 -X x—>0 2 1 -X 2 x->0 1 — X lim (l + x (! +------)] * ) * « _= —ln[lim 1 1 w x-iO = —ln[lim (— (0 + r ] = — lnl 2 x—>o I 2 x—>o i 2 (1 —x)* (1--*)* lim(l-x x~»0 = ^-ln(- 4 ¡-) ~ ^ \ n e 2 = ln e = 2 e - ' 2 e~ 256 1 lim x[ln(x + 1) - lnx] Desarrollo lim x(ln(x + 1 ) - ln x] = lim x ln( x —>°° x—>°° Jt~b 1 x ) = lim ln(l + —)x = ln( lim ( 1 + —)*) = ln é = í X .r— >oo X www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 128 2 5 7 U m !í<££?í> x 2 0 -* ■< Desarrollo Hm lníeosx) _ jjm in^cos x -> 0 = [ln(lim (cosjt)*')] Je—*0 x x —>0 y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene lim x —>0 258 ln(cosjc) , rl. . A , , -4 1, 1 — = ln[hm(cos.x)* ] = ln e 1 = — ln e = — x >o x~ 2 2 ex - \ lim — x -> 0 X Desarrollo Sea y = e x - 1 => e x = y + \ => x = ln ( l+ y ) . cuando x —> 0 entonces y —» 0 hm x-»o 259 ex - l y = lim ------------ = lim x >-»oln(l + y) y->o 1 , —lnU + y) 1 r l 1 1 , = lim ------------ —= =- =1 y->o I lnc 1 ln(l + y )y lim x- - >0 x Desarrollo Sea a = a lim jr- * 0 a —1 x x . - 1 x ln (a + l) „ ------------ . Cuando x —»0, entonces a —>0 ln a a ln a ln a ln a = lim —— = lim - — — = hm - — - = ln a a-»o ln(l + cr) a-»o 1 , ,, , a-*0 1 Ine - j— -ln (l + a ) in ( l+ a ) “ I www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 260 lim n { y [ a - \) , k > n —>©o 0 D esarrollo Sea y = — => n n = — . Cuando n —> y | ^v lim n(y]a~ 1) = lim —(a y - 1 ) = lim v->0 y v—>0 r ay lim n(yja - 1 ) = lim y—>0 y 261 lim*-»() 1 entonces y -> 0 1 de acuerdo al ejercicio 259 y = lila - e bx X D esarrollo eax- e bx lim ------------ = lim x- » 0 x *->o e ^-l eb x - 1 = lim --------- -- lim --------t—>0 x x->0 x x (e a ) x - 1 (ee ) - l = lim ------------- 1 lim ----------t- * 0 x x—*0 x y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene: r e ^ - e 0* (ea)x - 1 (*V-1 lim ------------ = lim -------------lim ------------t-* 0 X >0 .V Jc—>0 X = In e" —ln e h = a \ n e - b \ n e = a - b 262 lim 1 —— se/ur j-“>o Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 130 ex - 1 l-e ~ A ex - l elim = hm = lim — — x->o senx -f— >oexsenx x~>0ex senx ey- l de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: ,,, 263 . a) lim -—-— - lim — = —^— = 1 x->0 senx a >o , senx .. senhx lim A >0 x D esarrollo Se conoce que senhx = — lim a-ao senhx x 1 = —h m ex —e a-->o 2 1 x — e x —l I = —lim ---------2 x-*o xex de acuerdo al ejercicio 259 se tiene: lin t a ^0 b) senhx 1 ,. (e )x —1 . 1 , 1 , 2 , 1 . 1 , . = —lim — --------(— ) =■—lne (— ) = —( 2 lne) = 1 x 2 lim coshA - 1 ----- x -* 0 x‘ a —> 0 x 2 ex e° 2 D esarrollo e +e Se conoce que cosh x = —— — hm jt-*o cosh .r-1 x -1 hm a >0 x ,• e + e ~ 2 ------- = hm — ----------a -)0 www.FreeLibros.me 2x Introducción al Análisis 1 . ex +e~x - 2 1 ,. e2x - 2ex + = —lim --------= —lim --------2 >o x 2 -«-*0 x~e't 1 1 1 ,. (e * -l)2 1= — lim — -----2 *-»o xex ,ex ~ U) 2.—1 = -lim ( 2 ■*—>0 a: g-* de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: = —(1)‘ — = 2 2 e° H A LLA R LO S SIG U IE N T E S L IM IT E S L A T ER A LE S. 264 a) lim iJ x 2 + 1 D esarrollo lim . x _v . - = lim —¡—:— = lim + 1 X^~ °°yjx2 + 1 - a: b) - 1 , - 1 , = -= = = i +JL ^ 1 + 0 V a: 2 - 1 lim D esarrollo lim = lim — = lim , ^ ■ ■■■ = ■ X~”~ 4 x 2 + 1 ^ +°° 7 x 2 + 1 x_>+~ í1 + j l a y x~ 265 a) lim fg/ur Desarrollo t§hx — ex - e ~ x e2x- \ ex +e~x e2x + 1 www.FreeLibros.me = 1 Eduardo Espinoza Ramos 132 ' e 2x- l 0 -1 lim tg h x - lim —------= ------- = -1 x-+ ~ e2x + i 0 + 1 b) lim tglix X— >+°° Desarrollo 2 1 e2x -1 lim tghx = lim — = lim jr-»+~ *-»+«• g2x + 1 x— J ^ 266 a) lim — 2x 1 1 -0 — = ---- = 1 1 + 0 ^ l +ex Desarrollo 1 lim ----- .r— >-oo 1+ e b) 1 1 1 1 , = ---------- = ------ — = ------ = 1 l+« 1 + . 1 1 + 0 lim ----\+ e x Desarrollo lim X —» + © o 1 1 1 - = ---------=— =A 0 _ ] -f- g + ° ° OO \ +ex 267 , a) ln(l + e*) lim -----------Desarrollo lim !^ÍLL£_2- |jm in(l + e t )-t = ln[ lim (l + e*)*] 1 = ln( lim [(1 ex .. ex lim — + e x )e' ] x ) = ln(e‘” x ) = lne° = ln l = www.FreeLibros.me 0 Introducción a l Análisis b) x x-»+~ Desarrollo Análogo al ejercicio (a) es decir: , „ xx ln(l + e ) lim ln ex(l + - - ) ln ex = lim------------- -— = lim jd n £ + ln(l + — ) px = lim ------------------ — = lim X X->+oo 268 v a) .• \senx\ lim ------- - x —>0“ Desarrollo \senx\ senx lim ------- = lim ----------= X x -» 0 “ .. b) .. \senx\ - lim ¡ x-»0* - 1 x-tC T x Desarrollo I to lf ü d .lb n iS í.i x-»0* 269 a) X x-»0* X lim ——— x -» r | x - 1 1 Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 134 b) lim jc - 1 D esarrollo lim —í- = lim — - = lim x -* v \x —1 270 a) jc —1 1 = 1 Ar-»r b) lim -t—>2" JC —2 c lim — _ 2 x-> 2 x ■ D esarrollo a) lim —— x —>2 X — 2 X b) lim *->2 JC- 2 C O N S T R U IR LA G R A FIC A D E LAS FU N C IO N ES 271 y = lim (eos2" jc) n —> 00 D esarrollo y - lim (eos2" jc) = lim (eos 2 Sí x * n, k = 0,±1 ,±2 Sí x = k ji, c o s ' jc jc)" eos 2 x < 1 entonces y = lim (eos 2 .c)" /Í-»oo = 1 entonces y = lim (eos 2 ,c)n = 1 => y = www.FreeLibros.me O y=O Introducción al Análisis 272 Desarrollo Sí 0 < x < 1 => lim x n = 0 Luego: I,— »*» Cuando x = 1 => y = lim +1 « -* -1 Cuando x > 1 => 1 Resumiendo y= 2 y n-i o = lim — = -----+ x" n->“ _L + ] 0 + 1 xn <x<l 1 SI X = 1 — 2 0 273 0 si x > 1 y = lim \jx 2 + a 2 a->0 Desarrollo y = lim \lx 2 + a 2 - y¡x2 + «->0 0 = |x | => y = x y=— x y = lim x si =» y = lim --------= —— 11— »=o1 + x" 1 + 0 y=| www.FreeLibros.me y=o Eduardo Espinazo Ramos 136 274 lim a rctg(nx) n— Desarrollo Sí x < 0 lim a rctg (n x) - a rctg (-o °) = ---/i— »» 2 Sí x = 0 => lim a rctg (n x) = 0 Sí x > 0 lim a rc tg (n x ) - a r c t g (°°) = — n— 2 => ;r => y = 0 t; | <n 27 => y = lim yj\ + x n , (x > 0 ) Desarrollo Sí 0 < x < 1 => lim fj—yao 1 < lim yjl + x" < lim n —>00 n —>«> y = lim yjl + x" Resumiendo: 2' 1 < 1 + x" < 2 0 < .v" < 1 => = 1 y= 2 " => y = 1 si 0 < jc 1 < 1 x si X > 1 Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: Desarrollo www.FreeLibros.me a = 0.13555.. Introducción a l AAálisis 277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada a x 2 + bx + c = 0 . ■ coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes, sie b* 0 ? D esarrollo 2 , „ ~ h ± y]b2 - 4 a c ax + bx + c = 0 => x = --------------------2a - b + yjb2 - 4 ac Para x. = --------------------2 a => .. .. - b + 'Jb2 - 4 ac hm x. = lim ---------------------a->o a—to 2 a ( - b + y]b2 - 4ac )(b+ \fb 2 - 4a c ) b2-A a c -b 2 lim x, = lim --------------------- , = lim a_>0 «-*0 2a(b + yjb2 - 4 a c ) a^ ° 2a(b + \¡b2 - 4 a c ) 2 ac - lim a~,0 a(b. + 'Jb2 - 4 a c ) c b Luego cuando a —> 0, jc, —> —— b - b —^Jb2 - 4 ac Para x , = --------------------2a => .. - b - y j b 2 - 4 ac hm x-, = hm o-> o o 2 a (b + \ b 2 - 4 a c ) ( b - \ b 2 - 4 a c ) h m x , = - h m -----------------------------O_*o a-*> 2 a ( b - \lb 2 - 4 a c ) 4ac c = hm = = = = = a-*) 2a(b+yjb2 -4 a c ) 0 Luego cuando a —» 0, x 2 —» 278 Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —>< Desarrollo www.FreeLibros.me 138 Eduardo Espinoza Ramos La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es: S¡ = n (n - 2) S Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —» °° es decir: i = — n . r t( n - 2 ) O sea: i = n 279 . 7 r(« -2 ) lim i = lim ------------= n ;»—>«» //— >°° n Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n —> D esarrollo Para el caso de los polinomios inscritos se tiene: IR n sen — . 4 Luego n lim IR n se n — para calcular este limite haremos n - — n— >“> n x Luego cuando n —> <*>, x —» 0 tenemos: _ . „ n 2R .. seim x Entonces: lint IR n se n — = lim -— sen n x = 2R n lin t = 2R n oo fl n-> ©o X— >«» 7TJC Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rntg — n Luego lim 2Rn tg — «-»•» « haciendo n = —. n —» x x —>0 lim 2/fn tg — = 2R lim —rg 7rx = 2 R n lim ,^ n x - iR n »->“ n x->°° X x -* 0 7 r x www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis 280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c y = e~x e o s ® trazadas en los puntos x = 0 , 1 ,2 ,....n, sí n —> D esarrollo Para x = 0,l,2 ,...,n los valores de 1_ J b ’ e e 1_ 2 ’ e 3 J e y - e x e o s tdc son: 1_ 4 ’ e 5 Sea S„ = l - I + - L - i - + -L— L + ... + ( - 1) " - L + ... e e~ e e e e es la suma de una progresión geométrica. Además Sn = — —— 1 - r _ Luego: donde “a” es el primer termino y r es la razón. fl(l - r" ) 1 S„ = ------------ donde r = — 1 - r e S „ = — ---------- — r"-reemplazando se tiene: S - —i - -----í— l ~ r 1~ r 1 + 1 1 + 1 e S = lim S n = - ! t — 0 = — n-><* i+ - 281 e e lim S . 6 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva y = 2 * x como bases, donde x = que n —> °° Desarrollo www.FreeLibros.me , ,3,...,n, con la condición 1 2 140 Eduardo Espinosa Ramos El área de cada uno de los cuadrados son: 12— o2 3 — 4 — 5 — -4 2 _ 2 3 4 --- r iS„ —1 "i 1--- H 2 2 2 - n 2 " + 1 n -------2 " - 1 _ _ , 1 2 3 4 n, 5 —2 (— i— —H——4— - + . . . — ) 2 2 2 2 4 2 " „ = 2 1. w(—) 2 J. lim 5„ = lim 2 « ( i ) n = 2(— 2— ) = 4 /!—»«> «— 2 1 ^2 _2 282 Hallar él limite, cuando n —> M q, M del perímetro de la línea quebrada n inscrita en la espiral logarítmica r = e~(p si los vértices de esta n quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares. <p0 = 0 , (pí = — , ...? nn 9n= T D esarrollo Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones iniciales: www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis a) En la espiral r - e 9 , r es un radio vector, V valor de (p. b) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic corresponde un vector. c) Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 vén consecutivos. d) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son radios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi c 2 = a 2 + b 2 - la b eos 6 se aplica la formula: e) A cada vértice M k le corresponde un radio vector rk = e Vl donde f) ipk S k esta comprendida entre El k-ésimo segmento de la quebrada radios vectores rk_x y rk , los cuales forman el k-ésimo: g) (<pk - <pk_t ) Sk : Calcularemos el k-ésimo segmento Simplificando los exponentes y efectuando operaciones n 2 kn , i Sk = yJe-k* ( e * + l) => www.FreeLibros.me : (3) 142 Eduardo Espinoza Ramos h) Calculo del perímetro de al quebrada finita: n n e" +1 Pn=Pn(M o'.A#, = k=\ P" = y _ n P k=I Sk = Ve* + I (v—g + - 42>r- + - J3;r- + ... + —nn + ...)' y *=1 g e 2 V ^+l „ k . e2 1 1 2 — ------------------------- _j---------- — ---- ----------------- k 2n e2 e 2 f 2 1 nn e2 (4) ekn ...(5 ) 2 h ...) Pero la suma de una progresión geométrica. Sn = — —— l-r />„ n i) \leK + 1 , x■ e2 ^ 7T/1 eí ' Ve* + 1 1 - e 2 ^ = ^ i ( A Z f J _ ) e 2 = Z l _ t l a _ e- T } ] ' X X n v ' ÍT e2 e2 —1 e2 - 1 calculo del perímetro llevando él limite para n —» °° P = lim Pn = lim W— n —><*> - e ~ ) = ~~e +- - ( l - 0 ) E e2 EL - 1 n e2 - l I, www.FreeLibros.me e2 - 1 Introducción a l Análisis 1 1 4. INFINITÉSIMOS E INFINITOS.- m) IN F IN IT É S IM O S .- Si 0 lim a(jc) = 0 X— es decir: Si| <x(x) | < e cuar < |x - a| < 5(e), la función a(x ) se llama infinitésii cuando x —» a, en forma similar se determina la función infinitésima a ( cuando x -> oo O B SE R V A C IO N .- La suma y el producto de un número limitado infinitésimo, cuando x —> a, es también un infinitésin cuando x —» a. Si a (x ) y p(x) son infinitésimos, cuando x —> a y lim ct(jc) = c donde c es p (x ) núm ero distinto a cero las funciones a (x ) y (3(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c = 0 , se dice que la función a (x ) es i infinitésima de orden superior respecto a f)(x). La función a (x ) se denom GC(x) infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim ----------- = c , dor [P(x)]n cx(x} 0 < | c | < +o°; Si lim —— = 1 las funciones a (x ) y P(x) se lian *->a p {x ) equivalentes cuando x a: a (x ) ~ (3(x). Él limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes, acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim — — , dor *->a P (x) a(x ) —> 0 y P(x) —> 0 cuando x —> a, el numerador y denominador de fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores. www.FreeLibros.me 144 b) Eduardo Espinoza Ram os\ IN FIN IT O S.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee existe tal 8 (N) se verifica la desigualdad | f(x) | > N. La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —> a, análogamente f(x)| se determina como infinito cuando x 288 senx Demostrar que la función / O ) = -----x x en infinitamente pequeña, cuandd oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £? Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para a) £= b) 0.1 £= c) 0.01 £= 0.001 D esarrollo Por definición se tiene: Si lim a ( x ) = 0 o x —>a lim a (x ) = 0 a (x ) se 11;amj x —>°° infinitésimo. Es decir que debemos dem ostrar que lim —— = 0 , pero se conoce que: x -1 < sen x < 1 senx ■ :=> — < < — y además sabemos que: X X X lim - —< lim - ---- < lim — => x lim senx JC x —>°° >°° x = 0 ==> /( jc) = 0 < lim SenX < 0 X senx x —>°° de donde: x , es infinitamente pequeña. Veremos los valon JC de x para que | f(x) | < e com o / ( jc) = senx ----------- =» www.FreeLibros.me JC | senx 1 X 1 i < | —1 < £ de dom X Introducción a l Análisis 289 =$ a) para e = 0.1 b) para e = 0.01 c) para e = 0.001 |x |> 10 => | x | > 100 => | x | > 1000 Dem ostrar que la función f ( x ) - \ - x 2 , es infinitamente pequeña cuai x —> 1, ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e. Si e es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para: a) e= b) 0.1 e= c) 0.01 6 = 0.001 D esarrollo Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x —> 1 se debe de demosl lim f ( x ) = lim (l - x 2 ) = que: es decir X —>1 => f(x) es infinitamente peque 0 X —>1 determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < e |/ ( x ) | = | l - x 2 | = | l - x | | l + x |< e |x— 1 1 |x + l| < e pero | jc —1 1 < 290 £ |x + l | de donde | x - 1 1 £ < —, puesto que x 2 a) para e = 0.1 => | x —1 | < 0.05 b) para e = 0.01 => | x —1 | < 0.005 Demostrar que la función / ( * ) = — — es infinitamente grande cuando x —» x -2 ¿En qué entorno |x - 2| < 8 se verifica la desigualdad |f(x)| > N. Si N es un número positivo arbitrar; >? Hallar 8 , sí a) N = 10 b) N =100 www.FreeLibros.me c) N =100i Eduardo Espinoza Ran 146 Desarrollo Se procede en forma similar a los casos anteriores. Luego: |/ ( x ) |> ./ V a) Sí N = 10 => =* |— | > ./V => | x - 2 | < -[- = <5 x -2 N 8 = — = 0.1 10 291 b) Sí N = 100 => c) Sí N = 1000 =* 5 = — = 0.01 100 8 = - i - = 0.001 1000 D eterminar el orden infinitesimal: a) De la superficie de una esfera. b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira o r d í ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre aj esta esfera? Desarrollo Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + (¡>(x^ y de donde — = k n . Luego “n” es el orden infinitesimal. xn a) Superficie de la esfera y = 4 n r2 , x = r 4 n r_2 2 -4 n => — = 1 => r 2 = r n Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio. www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis b) 47rr 4 r — = —K => — = 3r" 3 rn Volumen de la esfera: 1 => 3 r => de donde n = 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que: <fr — = ((4 ? r)T l (4 n r ) r” 7 4nrL i = (4 * r‘ 4n 3 4 — r - n 3 _ 3 (4n-r2)" (4'c)n ■nsl« 4 n )nr ' !l(47tr2)n 1 n —— 2 " ~4 n V3 V S r7 2)" \[(4 k)h 3 r" = r 2 de donde n = — 292 Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuyo radio R tiende a c Determinar el orden infinitesimal: a) De la cuerda AB b) c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a . B O www.FreeLibros.me De la flecha del arco C 148 Eduardo Espinoza Ram os D esarrollo a) A C = Rsen En la figura se observa que AB = 2AC además 2 Rsen a 2 a a sen 2R a tx 2 ■_= — 1 cuando a —> 0 a" 2 2 >0 de donde a a a sen — = — 2 b) n= a =a 2 an En la figura se observa que: CD = R( 1- J 1- sen2 y ) de donde R(\- V 1 1 1 - sen —) t ----------------9 1 4 n" = K(— + 4 .. a a" L ■>a 1- s e n — 2 11 - sen 2a 2 _ 1 + a sen a" 1 1 4 a” , -se n 2 — a . . 2_ = ¿ _ J _ an 4 an 1 [ Ta jl-s e n - 2a a" 2 =— 1 pero s e n a —> 0n — 4 2a « » .y => se n a 2 ,a 2 <2 > _ | Por lo tanto: a c) 1 2 a" 4a” Área del AABC = AB.CD = 2/?2sen — 2 www.FreeLibros.me 4 n > 0 A A í a ^ a de Adonde sen(—) =— . 2 2 Introducción a l Análisis «■ .2 ( l - J l - s e n —) Entonces: 2R 2sen — ( l ~ . 2 V 2R ¿ a a , 11 sen —( 2 8(1 + i + sen 2 —) «> . 2 _1 cr 293 2 _ 1 8 2 , 3 8a 2 a" a a seni— ) = — además a —» 0 sen3 — —a" Sen - 1 '1 => a 3= a" => n = 3 8 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -+0, de las funcic siguientes: a) d) 2 x l+ x 1 - eos x b) J x + \fx e) tg x. sen x c) yfx2 —yfx' D esarrollo 2 x i | a) Sea f ( x ) = — — de donde se tiene que: 1 + jc cuando x —» 0 =* x + 1 2x —> 1 entonces — = www.FreeLibros.me = — -------= 2 (l + x )x n xn 2 => xn =x => n - 150 Eduardo Espinoza Ramos b) Sea / (jc ) = de donde se tiene que: yjx+ yfx \jy](x + yfx)2 yjx(x + l + 2yfx) —------------------ = —— ———--------= 1 cuando Xxn 4r iíx , n i1 1 entonces — = 1 => x = x 4 => n - — xn • 4 c) r~ x + \ + 2y/x / (x) = yfx2 -y fx * de donde se tiene que: 2 3 2 X3 - X 2 _J cuando x d) x —» 0 , 5 JC3 ( l - J C 6 ) _ j 0 , 1 - x 6 -» 1 X3 — = entonces 2 n =— => 1 -S-en- - = 1 f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: -—C° SA = -—^ r — yjl —s e n x ~ , ademas \-s e n 2 x l ~ l + se«2x => = 1 x 2 cuando x —> 0 se tiene se n 2x —* x 2 => — = e) f(x) = tg x - sen x de donde se tiene: t g x - s e n x _ se n x ^1 - yfí - s e n 2x ^ eos x cuando x —» 0 => y ¡ l - s e n 2x ~ 1- s e n 'x 1 g x ( \ - \ + s e n 2x ) _ t g x ( s e n 2x ) _ jc " jc " sen * x jc " eos x www.FreeLibros.me _ 1 => n = 2 —> 1 Introducción a l Análisis cuando x —»0, sen x —» x, eos x —> 1 294 x3 — =1 n=3 Dem ostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa. D esarrollo Se debe de considerar a (x ) = lrngitud del arco infinitesimal y (3(x) = Ion de la cuerda tensa; para que a (x ) y P(x) sean equivalentes se debe proba a (x) , . ,, lim = 1 y esto es inmediato. j;-*a P (x) 295 Son equivalentes un segmento infinitésimo y la semi circunfei infinitésima construida sobre el como diámetro? D esarrollo _ oc(x) • nd k n Se conoce que lim = 1 entonces lim = lim — = — x—>a P(x') J-+0 2d d— *o 2 2 Como | ¿ 1 => no son equivalente. ... 296 sen3x.sen5x lim — jr~ > 0 ( x - X 3)2 D esarrollo sen3x.se/i5x senx.sen5x 3sen3x 5sen5x lim ----------——- = lim = lim . = 3(1) .5(1) = 15 *->o ( x - x 3)2 x 2) ^->o 3.v 5x arcsen(,—f J L = ) 297 limx-*o il-x 2 ln(l - x) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 152 D esarrollo arcsen(—¡=?==) lim ------£ 3 *-»0 ll'l(l - x) 298 lim . = un, JE-*0 - X Como ln x = x y = ijm ------ = iim _x^ _ x2 = _j .t->0 _ ^2 1 - x = -x Jt—> 11 - X D esarrollo hm Inx •*->11 — X 299 x = lim — = - 1 Jt—>i —x c o sx -c o s2 x lim -----------------X~*0 1 - c o s x D esarrollo c o s x - c o s 2 x ,, eos x - e o s 2 x + s e n 2x lim — — — — = lim *-»o 1 - c o s x *->o 1 -c o sx - ,.¡imeos x(l - ---------------------------------------------------------------------eos x) + ( 1 - eos x)(l + eos x) x—>0 1 - eos x = lim (cos x +1 + eos x) = 3 . *- >0 300 Demostrar que cuando x —>0, las magnitudes — y -v /í+ x -1 son equivalentes, entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x | es pequeño, se verifica la igualdad aproximada >/l + x = 1+ — (1). Aplicando la formula (1) hallar aproximadamente: a) VTOÓ b) V 097 c) D esarrollo www.FreeLibros.me VÍ 0 d) VÍ 2 0 Introducción a l Análisis Para que a ( x ) = ^ que: lim —— = *->o ¡3(x) y j3(x) = Vl + x - 1 sean equivalentes se debe de prc es decir: lim — — = —.lim * - * 0 Vl + x - l 2 *->o J \ + x 1 - 1 Luego a (x ) y (i(x) son equivalente es decir: a (x ) - P(x) de donde: 2 301 ~ \¡\ + x - l y —+ 1 ~ \IT + x es decir 2 = 1 + 0.03 Vl + x ~ 1 + — 2 a) V l 06 = >/l + 0 .6 =1 + — 2 b) V o97 = V i-0 .0 3 = 1 + c) VÍO = V Í+ 9 = ^9(1 + i ) = 3^1 + i = 3(1 + 0.556) = 3.167 = > => Vl 06 = Vi + 0.6 = 1.03 Vo!97 =1.0296 Demostrar que, cuando x —» 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x 2 . 1 Va + x = a + — , (a > 0 ) 2a a) ------» 1 —x 1 + x c) (1 d) log (1 + x) ~ Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e: b) + x ) ” » 1 + nx (n, es un # natural) fórmulas calcular aproximadamente. ) — 1— 1 - 0 .2 -2 ) . 1 5) 1.04 3 6 1 3) 0.97 ) 0.93 www.FreeLibros.me — 105 7) lo g (l.l) 4) Vlí Eduardo Espinoza Ramos 154 D esarrollo 1 se debe probar que : lim i ü = .t-»o 1- x Para demostrar que — - ==1 - x 1+ x 0 1 Luego: 1 1 y 1 hm ------ = lim *->o 1 - x *->o i _ x =1 En forma similar con los demás ejercicios. 302 . Demostrar que, cuando la p (x ) = a 0x n + a lx n^ + a 2x n ' 2 + ... + a n función (a 0 * 0 ) racional es una entera magnitud infinitésimo, equivalente al término superior a 0x n . D esarrollo Para que sea equivalente se debe probar que: lim = 1 , es decir: a0x n a nx " + a , x n~[ + a -}x " ~ 2 + ... + a n lim -9 -------- !---------- 1--------------- -2.= *->°° a0x n = lim(l+-^-+— O o* + a 0x - ) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1 a 0x n Luego P(x) y a 0x" son equivalentes. 303 Supongamos que x —x °° tomando a x como magnitud infinito de 1er o rd en j determinar el orden de crecimiento de las funciones: a) * 2 - 1 0 0 * - 1 0 0 0 b) c) x+ 2 d) \jx-2x2 Desarrollo www.FreeLibros.me yfx + 7 x Introducción al Análisis De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que: a) el orden de crecimiento 2 . b) el orden de crecim iento< ■ c) el orden de crecimiento — 2 d) el orden de crecimiento 1.5. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.- le ra . D E F IN IC IÓ N D E C O N TIN U ID A D .- La función f(x) es contim x - x 0 (o en el punto jc0 ) sí: 1 Dicha función está determinada en el punto x 0 es decir que existe / 2 Existe y es finito él limite lim f ( x ) x-yxn 3 Este limite es igual al valor de la función en el punto l i m / ( x ) = / ( x 0) jc0 , es ... ( 1 ) haciendo la sustitución ;t = ;to + A x 0 d A.v0 —> 0 , se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma: lim A f( x ) = lim [ / ( x 0 + A x 0 ) - / ( x 0 )] = 0 Aa'q—>0 —>0 Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo. 2do. PU N TO S D E D ISC O N TIN U ID A D DE UNA FU N C IÓ N .Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x 0 , que pertenei campo de existencia de la función f(x) tiene finitos: lim f ( x ) = f ( x 0 x—>.xr0— 0 0 ) y lim / ( * ) = f ( x 0 + 0 ) •jc— >jco-e0 www.FreeLibros.me 156 Eduardo Espinoza Ramos Pero los tres puntos f ( x 0 ) , / ( ; t 0 - 0 ) y / ( x0 + 0) son iguales entre sí, entonces x ü recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular, si / ( x 0 - 0 ) = f ( x 0 + 0 ) , x 0 se llama punto discontinuidad evitable para que la función f(x) sea continua en el punto x 0 , es necesario y suficiente que: f ( x 0) = f ( x o 304 Demostrar que la función 0 )= f(x0 + 0) y =x2 es continua para cualquier valor del argumento x. Desarrollo y = f(x) =x 2 i) f(x) está definida para todo x e R ii) 3 lim f ( x ) = x?¡ x->.x0 iii) lim f ( x ) = f ( x 0) = Xq luego / ( x ) = x 2 es continua en todo valor del argumento x. 305 Demostrar que la función racional entera p( x ) = a 0x" + a 1 x"~I + ... + a n es continua para cualquier valor de x. Desarrollo i) P(x) está definida V x e R ii) 3 lim p ( jc)= lim a 0x" + a lx n~l + ... + an x—*x0 X-*X0 iii) lim p ( x ) = p ( x 0 ) = a 0XQ + a ,.rS _ 1 + ... + «„ Luego p ( x ) = a 0x n + a lx n~l + ... + «„ es continua para cualquier valor de x. www.FreeLibros.me Introducción al Análisis '06 Demostrar que la función racional fraccionaria. afíx " + a .x n '+ ... + a„ R( x) = ------------!---------------- —. l .i, 1 . b0x +bxx + - +. blm Es continua para todos los valores dt excepción de aquellos que anulan el denominador. Desarrollo i) R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0 x m + btx m~l + ... + bn = 0 ¡i) ¡ii) anx n + a ,x n l +... + a„ a,y\n + a ,xñ 1 +... + a„ = - O ------ O ----------------¡ l 3 lim R(x) = lim-- 2 ---------- !-----*-*>V " +bix m l +... + bm b0x £ +b¡X™ x+... + bm n- 1 ■+ Q|—- ■ + V o + ¿ l* 0 + -" + fem lim R(x) = ^ luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador. 307 Demostrar que la función y = yfx es continua para x > 0. Desarrollo i) y = / ( x ) = Vjc está definida para x > ii) 3 lim / ( jc) = J x f ■X-Mfe iii) 308 lim / (jc ) = / ( j^ ) = donde jc0 6 0 [0 ,+°° > yfxff =* y = / (jc ) = yfx es continua V x e [0,+c Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l función / ( jc) = y j f ( x ) también es continua en este intervalo. Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 158 •) /(-*) = \ J f ( x ) está definida que: f(x) ii) lim f ( x ) = I lim f ( x ) = y j f ( x 0) ¡ii) 309 > 0 V x e (a,b) lint f ( x ) = / ( ^ ) = J f ( x 0) => f ( x ) = y j f ( x ) es continua V x e (a,b) Demostrar que la función y = eos x es continua para cualquier valor de x. Desarrollo a) f(x) = eos x está definida para: b) | eos x | < 1, - oo < x < °° lim f ( x ) = f ( x 0) = J f ( x 0 ) = lim x— = lim A i-> 0 sen(X + 2 2 Ax sen — j + Av — .sen(— )A x = (-1) sen x (0) = 0 x 2 2 Luego y = eos x es continua en 310 - 2 Ax —>0 <x< Para qué valores de x serán continuas las funciones: a) tg x b) Desarrollo a) tg x es discontinua en los puntos donde tg x = senx Como tgx = ------- , _ tg x = °o cuando eos x = 0 COSJC www.FreeLibros.me ctg x Introducción al Análisis Cuando x *■ hn ± — , 0 0 tg x es continua en x * h ± — b) co s(x senAx _q + Ax) eos X donde h = 0 , ± 1 , ± 2 ,... ctg x es discontinua en donde ctg x = °° como ctgx = eos x senx = oo <=> sen x = 0 pero sen x = 0 <=>. x = hrc, h e Z lim A.ctgx = lim (ctg(x + A x ) - ctgx) = 0 A*—>0 Ax—>0 entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z 311 Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función. D esarrollo y = |* | = x si jc > -x si x 0 < 0 Para que sea continua debe cumplirse: i) y = | x | está definida en x = ii) 3 lim | x | para esto se tiene lim | x | = lim | x | = 0 0 x -tO x —>0 www.FreeLibros.me => lim 3 1 x \ x —>0 Eduardo Espinoza Ramos 160 iii) lim | x | = /(O ) jc—>0 => 0=0 Por lo tanto es continua V x e R 312 Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua. D esarrollo Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x. Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) | Af ( x ) = J ( f ( x ) + A /( x ))2 - y j f ( x )2 lim Af ( x ) = Af(x)—*0 yJ(f (x) + A f ( x ))2 - y ¡ f ( x )2 lim 0 lim 4 f ( * ) [ 2 /( * ) + A /(x)l &f(x)-*o 2f ( x ) + A f ( x ) x~ - 4 313 Una función está dada por la formula / (x) = , cuando x # 2 x -2 A , cuando x = 2 ¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está form a sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f(x). D esarrollo A = f ( 2) = lim x 2- 4 x->2 X — 2 = lim (x + 2 ) = 4 x -» 2 Luego A = f(2) = 4 es com o debe de elegirse para que sea continua. www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis Luego / U ) = -— x-2 4 x f* + 2 , x de donde f ( x ) = \ # 2 , X= 2 * 2 * “ ' X= 2 Su gráfico es: 314 El segundo de la igualdad / ( x ) = l - x s e n — carece de sentido cuando x x ¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?. D esarrollo Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x / ( 0 ) = lim (l - xsen —) j: - » 0 x —1 —0 = 0 1 Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir: 1 /(* ) = 315 - x s e n — para x * x 1 para x = La función / (x) = arctg 0 0 x -2 carece de sentido cuando x = 2, ¿Pu elegirse el valor de f( 2 ) de tal forma que la función completada sea contir cuando x = 2 ? www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 162 Desarrollo ( 2 ) = lim a r c t g — í— *-»2 jc - 2 continua. / 316 3 ; luego no se puede elegir f( 2 ) de tal manera que sea La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí: a) (n es un # natural). / (jc ) = Desarrollo / ( 0 ) = lim ^ + x->0 r/nV — I JC a + JC)"-l sea 1 + x = a , x = a - 1 , cuando x —> 1 ; a —> 1 a"-l /(O ) = lim ---------------= lim ---------= x-» 0 jc a->i a —1 n = lim ( a n '"1 + a " 2 + ... + 1 ) = 1 + 1 + ... + 1 = rt a-> 1 Luego /(O ) = lim /( jc ) = lim x~*0 b) CCn — 1 =n a -» ! a - 1 1 —eos X f(x) =x2 Desarrollo / ( 0 ) = lim / (jc ) = lim 1 -C O S J C — = lim 1 - c o s 2 jc sen x 1 1 1 = lim — — .(------------) = (1).(— ) = *->0 jc 1 + eos jc 1 + 1 2 www.FreeLibros.me Introducción al Análisis En forma similar para: i- r, v ,• l n ( l + j c ) — l n ( l — j c) „ c) / ( 0 ) = l i m / ( jc) = I n r i ----------------------------------- = 2 A — >0 A ~ » (l JC d) /(O ) = lim / ( x) = lim ------x —>0' e) /(O ) = lim *-»0 a —>0 /(jc ) ■= 2 JC = lim A^íen —= O >0 A' /(O ) = lim x ctgx = 1 f) *-♦0 A V E R IG U A R SI SON C O N TIN U A S LAS SIG U IE N T E S FUNCIONE! 317 y= x -2 D esarrollo La función y = ------ es continua en todo R, menos en x = 2, es decir que x -2 x= 318 es discontinua de 2 da especie. 2 1 y=- +A 1+ A Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 164 y=- +x 1 1 + x)(l - x + x ) (1 \+ x +x y =1- jc , de donde para x ^ - 1 + x 2 , luego la función tiene una discontinuidad en x = -1 evitable. Su gráfica es: 319 yJ l + X - 3 y= JC2 -4 D esarrollo v 7 + x —3 (-n/V + x —3)(>/7 + x + 3) l + x —9 x2 - 4 ( x2 - 4 )(y ¡ l + jc + 3) U 2 -4 )(V 7 + x + 3 ) y= - x -2 1 (x - 2)(x + 2 )(\ll + x + 3) (x + 2)(V7 + x + 3) para x * ± 2 Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable. 320 y= M Desarrollo wt t Sí x > 0 x< 0 |x |= x y= | x | = -x => y = 1 -1 www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis Luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad de pri especie. 321 y = sen — x Desarrollo La función y = sen — cárece de sentido cuando x n lim sen — 3 x-+0 x discontinuidad de 2da especie, puesto que 322 x = 0, pero es y=- X sen x D esarrollo La función en x -- 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evit puesto que: X 1 y( 0 ) = lim --------= lim ------- = *-»o sen x j(-í0 senx x 1 Además en x = krr (k = ±1, ±2,...) son puntos discontinuidad infinita. 323 y = ln(cos x) Desarrollo Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que eos x Luego quitaremos los puntos donde eos x = 0, y además eos x < 0, es dei x = 2 k n ± — (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son: 2 x = 2k n ± - 2 324 (k = 0 , ± 1 , ± 2 ,...) y = ln(/g Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 166 En forma similar el ejercicio 323 se obtiene que los puntos de discontinuidades x = kn (k = 0 , ± 1 ,...) (infinita). 325 1 y = arctg — x Desarrollo La función y = arctg— carece de sentido cuando x - 0, luego la función es x discontinua en x = 0 , de la especie. 326 y = (1 + x).arctg (------- ) l-x Desarrollo La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie. 327 i y = ex+1 Desarrollo La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie. i 328 y =e Desarrollo La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable. 329 1 i l + e ]~x Desarrollo www.FreeLibros.me Introducción al Análisis La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que / (jr0 - 0 ) y f ( x 0 + 0 ), diferentes. 330 X y = . Construir la gráfica de esta función 2 jc+ 1 , * > 3 D esarrollo 4 X Sí x < 3 => y ~ x 1 x>3 331 => y = 2 x + l Demostrar que la irracional e igual a función 1 de Dirichlet X(x), que es igual a cero > cuando x es racional, es discontinua para cada uno de valores de x. D esarrollo Í0, x e I X (x) = ( . Supongamos que es continua; luego [1, x e Q V e > 0, 8 > 0 tal que 0 < | x —a | < 5 = > | f(x) - L | < e tomamos x, e / (Irracional), x, e < 0 - 5 , a + 5 > => | f(x )- L | < e => 10 —L | < e => | L | < e www.FreeLibros.me => L = 0 Eduardo Espinoza Ramos 168 además como x 2 e Q y x 2 e < a - S, a + 8 > => | f(x) - L | < e => 11 - L | < e => 1 - L = 0 es discontinua. Luego L = 1. Llegamos a una contradicción. A V E R IG U A R SI SON CO N TIN U A S Y C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS SIG U IE N T E S FU N C IO N E S 332 y = lim (x > 0) n-*~ ] + x " D esarrollo Luego lim =0 1 333 + xn y = lim (xarctg nx) D esarrollo y - lim (xarctg nx) = x a r c l g ( ° ° ) = n— nx 2 Como y = — la función es continua en todo x. 2 334 a) y = sig(x) b) y = x Sig(x) c) y = Sig(sen x) 1 donde la función Sig.x se determina por la formula: s ig (x )- 0 , x> - 1, Desarrollo www.FreeLibros.me 0 , x =0 * < 0 Introducción al Análisis Y 1 < 0 X >-1 La función en x = O es un punto de discontinuidad de la primera espt 335 a) y = x - E(x) b) y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x. D esarrollo Sí x e [0, l> => E(x) = 0 => y = x xe[l,2> => E(x) = 1 => y = x - l x e [2,3> => H(x) = => y = x - x e [-1,0> => E(x) = -1 => y = x + 1 2 2 x e [-2,-2> => E(x) = 2 => y = x + 2 E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie. www.FreeLibros.me 170 Eduardo Espinoza Ramos 336 Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas puede ser una función continua. D esarrollo Consideremos las funciones / ( a ) = a2 - 9 , . a —3 a2 -4 a + 3 que están án a-3 definidas en x = 3. x2-9 x -4 a + 3 Pero si sumamos: / ( a ) + g (x ) = ---------+ a —3 a-3 t, , , , , f ( x ) + g( x) = ( a - 3 ) ( a + 3) — (a - 3 ) + ( a —1 )( a —3 ) a- 3 , = ( a —3)( x + 3 + a - 1 a- 3 ) = 2a + 2 f(x)+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g)(x) es continua V xeftl 237 Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se puede i poner en Ja igualdad E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1, que se verifica para todos los valores de a , él limite de la cantidad a ? D esarrollo E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1 donde E(1 + a ) = E(x) donde x = 1, lim a = 0 a -* 0 entonces reemplazando: lim a , por el valor de a . a->o www.FreeLibros.me Introducción a l Análisis lim £ ( 1 + a ) = lim E ( 1 - a ) + 1 = a->0 a~>0 £ ( 1 - 0 )+ = £ (1) + 1 1 = 1 + 1 = 2 Luego £(1) * lim £(1) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter a-*0 [ 1 ,2 > entonces no se puede reemplazar a por lim a a-» 0 338 Demostrar que la ecuación a 3 - 3 a + 1= 0 tienen una raíz real en el inter (1,2). Calcular aproximadamente esta raíz. D esarrollo Por fórmula de Cardano se tiene: 4-'4 w además x 3 + px + Luego: 339 a X = A + B, donde +(!> 2 y 1=0 de donde a3 - 3a + 1 = 0 , reemplazando se tiene e (1,2) = Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos i raíz real. D esarrollo Si n = 1 => p (x ) = a 0x + a, = 0 , aa ¿ 0 www.FreeLibros.me => a a. =— «o e sra íz d e P (x ) Eduardo Espinoza Ramos 172 Si n > 3 rx = a + i(3 , ( 3 ^ 0 es una raíz de p(x) => r2 - iP también es raíz de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene. p ( x ) = ( x - r,)(jc —r2) , R(x) = ( x 2 - 2 a x + P 1 + a 2 ) R(x) donde grado de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar. si razonamos por inducir opinamos de que R(x) tiene una raíz real y que también es raíz de P(x). 340 Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales. D esarrollo Si: x e [0,1 > x e [ l,2 > E(x) = 0 => y = x => E(x) = 1 => y = x - l x e [2,3> => E(x) = 2 x e [ - l,0 > = > E(x) = -1 y=x- 2 => y = x + l x e [-2,-l> => E(x) = -2- => y = x + 2 E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones CAPITULO II DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES 1 , 2.1. CÁLCULO DIRECTO D E DERIVADAS.a) IN C R E M E N T O D EL A R G U M E N T O E IN C R E M E N T O DE FU N C IÓ N .Si x, y x 2 son valores de x, mientras que los correspondientes valores de la función y llama el Ay = incremento y2 - y llama i O del sea incremento argumento e y2 y, = / ( a , ) x en = f ( x 2) = f(x), Ax = x 2 - x segmento [ x ,, x 2 Ax = / ( x 2 ) - / ( x , ) = / ( x , + A v ) - / ( x , ) de la función y = f(x) en el mismo segn Ay [x ,, x 2 ]. (En la figura donde Ax = MA y Ay = AN) la razón — = representa el coeficiente angular de la secante MN de la gráfica c función y = f(x) y se llama velocidad media de la función y. e segmento [ x ,, x, + A x ]. X www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 174 b) D ERIV A D A .- dy Derivada y ' - — de la función y = f(x) con respecto dx Av al argumento x se llama él limite de la razón ——, Ax Av . . . . y ' = lim — si dicho limite existe. v->o Ax cuando Ax tiende a cero, es decir: La derivada y' = f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función en el punto x. c) DERIV A D A S L A T E R A L E S.,lm / < * + * » ) - / ( * > A*-»-0 Ax Las expresiones fU x ). y lim Aí-^+0 Av Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función f(x) en el punto x. Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que /_/ (x) = f l ( x ) . d) D ERIV A D A IN FIN IT A .- jr Si en un punto deteiminado tenemos que / ( x + Ax) - f ( x ) lim ---------------------- = Ar—>-*-0 AV se dice que la función continua f(x) tiene derivada infinita en el punto x. 341 Hallar el incremento de la función y - x 2 , correspondiente al paso del] argumento. a) de x = c) dex = l a x | = l + h 1 a x, = 2 b) D esarrollo a) Ay = f(x + Ax) - f(x) donde y = / ( x ) = x 2 www.FreeLibros.me de x, = 1 a x2 = 1-1 Diferenciación de Funciones además Ax = X( - x = 2 - 1 = 1 => Ax = 1 f ( x | + Ax) = /( x , + 1) = (jc, +1)2 / ( x + Ax) = (x + Ax) , reemplazando se tiene: /(I + l) - /( 2 ) = 22 = 4 y f(l)= l Ay = f(l + 1) - f ( l) = f(2) - f( l) = 4 - 1 = 3 . b) Luego Ay = 3 Ay = / (x, + Ax) - / ( x , ) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1 Ay = f(l + 0.1) - f ( l) = f ( l .l ) - f(l) Ay = ( l . l ) 2 —1 = 1.21 —1 -0 .2 1 .'42 Hallar Ay para la función y = $[x sí: a) x = 0. Ax = 0.001 c) x = a, Ax = h b) x = 8 , Ax = -9 D esarrollo a) Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = / ( 0 + 0 .0 0 1 )- / ( 0 ) = f (0.001) = 3/0.001 = 0.1. Luego Ay = 0.1 b) Ay = f( 8 - 9) - f( 8 ) = f(-l) - f( 8 ). Luego Ay = - 1 - 2 = -3 343 ¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento , conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient que para la función y = x 2 no puede hacerse lo mismo? D esarrollo www.FreeLibros.me 176 Eduardo Espinoza Ramos Ay = f(x + 5) - f(x) donde f(x) = 2x + 3 f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2x + 13 por lo tanto f(x) = 2x + 3, luego: Ay = f(x + 5) - f(x) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función y = x 2 se tiene: Ay = f ( x + 5 ) - f ( x ) = (x + 5) 2 - x 2 Ay = f(x + Ax) - f(x) => de donde se tiene: Ay = -10x + 25 Av Hallar el incremento Ay y la razón — para las funciones: Ax a) b) c) y = —— — —, cuando x = 1 y Ax = 0.4 (x —2 ) y = y f x , cuando x = 0 y Ax = 0.0001 y = log x, cuando x = 100,000 y Ax = -90,000 D esarrollo a) Ay = f(x + Ax) - f(x) => f(x ) = Ay = f(l +0.4) - f(l) = f( 1.4) - f(l) => / a .4) = = / ( 1-4) = t(l -4) 2 —2 ] 2 /(!) = (-0 .4 ) 2 = 1 , reemplazando y efectuando tenemos: ( 1- 2)2 www.FreeLibros.me 0.16 Diferenciación de Funciones 21 21 Av 25 _ Ax 0.4 345 ^5 21 ■= ------- , en forma similar para b) y c). 2 10 Av Hallar Ay, — , correspondiente a la variación del argumento desde x 1 Aa x + Ax, para las siguientes funciones: a) y = ax + b b) 3 - y =xi 1 y c) x d) y -y fx e) y = 2* f) y = ln D esarrollo a) Ay = f(x + Ax) - f(x) Como f(x) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b; Ay = f(x + Ax) - f(x) = ax + aAx + b - a x - b => Av de donde se tiene: — = a Ax Ay = a Ax, Ay — =a Ax en forma similar para las demás funciones. 346 Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola y =2 x -x . Si abscisas de los puntos de intersección son: a) x¡ = 1 , x 2 = 2 b) x¡ = 1 , x 2 - 0 . 9 c) x, = 1, x 2 = 1 ■+ Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c si h —» 0 ? Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ram os 178 Ay Coeficiente angular de la secante = — Ax Ay = / ( ; c, + A x ) - f ( x {) donde Ax = x 2 ~ x \ Ay = f(l + 1) - f(l) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2) —f( 1) Como / ( * ) = 2 x - x 2 => f(2) = 4 - 4 = 0 yf( l) = 2 - 1 = 1 Luego Ay = f(2) —f(l) = 0 - 1 = -1 Ay 1 Coeficiente angular de la secante = — = — = -1 Ax 1 Ay — = -1 Ax en forma similar para los demás. 347 ¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x 3 en el segmento 1 < x < 4? D esarrollo Ay La velocidad media de variación es = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 4 - 1 = 3 como / ( x ) = x 3 => f(l + 3 ) = f(4) = 64 y f ( l ) = l Ay = f(4) - f(l) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene: 348 — = — = 21 Ax 3 La ley del movimiento de un punto es S - 2 t 2 + 3t + 5 donde la distancia se daj en centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad medial de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5? i Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones AS La velocidad media = — At AS = S(t + At) - S(t) y At = t 2 - t ¡ es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4 AS = S(1 + 4) - S (l) = S(5) - S ( l ) = 70 - 10 = 60 . Luego: 349 A5 60 , cm — = — = 15— Al 4 seg Hallar la pendiente de la curva y = 2 X en el segmento 1 < x < 5 D esarrollo Pendiente media de la curva = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4 Ay = / ( I + 4 ) - / ( 1 ) = / ( 5 ) - / ( 1 ) = 2 5 - 2 = 2 ( 2 4 - 1 ) 2(2 4 - l ) 24 - 1 15 pendiente media de la curva = ------------= = — = 7.5 4 2 2 350 Hallar la pendiente media de la curva y = f(x) en el segmento fx, x + Ax] Desarrollo Ay Pendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x) Ax i i.• . , / ( x + A x )-/(x ) Luego pendiente media de la curva = ----Ax 351 ¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x? Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 180 Se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x ai limite de la pendiente media de la curva Ax —> 0, el cual denotaremos por /'( jc ) , es j ■ decir: 352 Definir: ív , ,f(x + A x ) - f ( x ) f (x) = l i m ------------— — Av-»o Ax a) La velocidad media de rotación. b) La velocidad instantánea de rotación. D esarrollo Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t. a) La velocidad media de rotación b) La velocidad instantánea de rotación = l i m At a /-> o 353 A(p(t) Ai 3<p(l) = —- — dt Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor, se enfría. ¿Qué debe entenderse por:? a) Velocidad media de enfriamiento. b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado. D esarrollo Sea T = la temperatura en el instante t. a) Velocidad media de enfriamiento = b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado = lim Át a www.FreeLibros.me / -> o At =— dt Diferenciación de Funciones 354 ¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en reacción química? D esarrollo Sea <p(t) = cantidad de sustancia en el instante la velocidad de reacción de A (p(t) sustancia en una reacción química es: lim Ar-»0 At 355 Sea m = f(x) la masa de una barra heterogénea en el segmento [Q,x] que entenderse por: a) Densidad lineal media de la barra en el segmento: [x, x + Ax] b) Densidad lineal de la barra en el punto x? D esarrollo En forma similar' al ejercicio anterior se tiene que: 356 a) Am La densidad lineal media = Ax b) La densidad lineal en el punto x = dx = lim *->o Ax Hallar la razón — , para la función y = — en el punto x = 2: Ai x a) Ax = 1 b) Ax = - 1 c) Ax = 0.C ¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2? D esarrollo Ay = f(x + Ax) - f(x) => 1 Ay = 2 + Ax 1 Ay = f(2 + Ax) - f(2) donde f ( x ) ~ ■ x 1 -A x 2 2(2 + Ax) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 182 —Ax , a) Ay 2(2 + Ax) 1 , , A , , , — = —-1 = ----------------- donde A x = l reemplazando tenemos: Ax Ax 2(2 + Ax) — = Ax b) = -0.166 6 — = --------?------donde Ax = 0.1. — = - — = -0.238 Ax 2(2 + Ax) Ax 21 , Ay J 1 1 ademas y = lim — = lim----------------- — Ax— >o Ax Ax—>0 2(2 + Ax) 4 357 Hallar la derivada de la función y = tg x D esarrollo y ' = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x) A i - » o Ax Ay = tg(x + Ax) - tg x Ay tg (x + A x ) - t g x senAx y — lim — = lim - 2 - 1 2 - = lim Ax— >o Ax Ax->o Ax Ax— >o Ax eos x. cos(x + Ax) Ay senAx 1 1 . 1 2 y — lim — = l i m .------------------------=-1 (-------------- )-= ------~— = sec x Ax— >0Ax Ax-xO Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos x eos X 358 Hallar y '= lim — para las funciones: Ax->0 Ax a) y' = x 3 b) y =\ x* Desarrollo www.FreeLibros.me c) y -sfx d) c tg x diferenciación de Funciones Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = f ( x + A x )3, - x 3 = 3 x 2 (Av) + 3x(Ax ) 2 + (Ax ) 3 Ay 3x“Ax + 3xAx2 + AxJ y ' = lim — = lim -----------:----------- — , en forma similar para los dem¡ a a - » o Ax a *->0 Ax 359 Calcular / ' ( 8 ) sí f ( x ) - ^ í x Desarrollo /•(8), im , lim Ax A t ->0 A í-» 0 Ax ( W + Ax - 2)(V(8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4) = l i m --------------p====k__---------------------------A x(y ( 8 + Ax) 2 + 2^/8+ Ax + 4) Ax 1 = lim ; ' . = lim A*r ~ >0 Ax( ^ / ( 8 + Av) 2 + 2 W + A x + 4) Ajr~ >0 ^ / ( 8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4 \^64 + 2\/8 + 4 360 4+4+4 12 Calcular / '( O ) , / ' ( l ) , / '( 2 ) sí / ( x ) = x ( x - l ) 2 ( x - 2 )3 Desarrollo /X 0 ) = hm Ax—>0 Av lim /JAjOz/CO) Ax A *-*0 A x (A x -l)" (A x -2 ) - 0 = l i m ---------------------------------- = lim (Ax - l)"(A x - 2) = A»—>0 Ax Ax >0 361 -8 En que puntos la derivada de la función / ( x ) = x 3 coincide numéricamc con el valor de la propia función es decir: www.FreeLibros.me f ( x ) = / ' (x) Eduardo Espinoza Ramos 184 D esarrollo ^ y / ( x + A x )-/(x ) (x + Ax) 3 - x 3 / (x) = l i m ----------------------- = l i m -------------------A.V—>o Ax a.t-> o Ax = lim a*3 + 3 x 2A x + 3 x A x 2 + A * 3 - a 3 Ax—>0 _ o como / ( x ) = / '( x ) entonces . . a 2 *>2 = lim 3a + 3 a.Aa + Aa = 3a Aa Ax—>0 x3 =3x2 => x 2 ( x - 3 ) = 0 => x = 0, x = 3 Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3 362 La ley de movimiento de un punto es S = 5 t2 , donde la distancia S viene dado en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el instante t = 3. D esarrollo dS y S(/ + A 0 - S ( / ) S (t)V ( t) = — = l im -------------------di A(— >o At 5(1 + A t)2 - 5(t)2 5 t2 +\0t.At + A t2 - 5 t 2 V{t) = li m ------------------------ = lim A/ - > 0 At A/—>o At V(t) = lim 10/ + At = 10/ => V(3) = 30 m/seg Aí->0 363 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = 0 .1 x 3 , trazada en el punto cuya abscisa es 2 . D esarrollo Coeficiente angular de la tangente es = lim — = y ' | a*->o Ax www.FreeLibros.me 2 Diferenciación de Funciones y ' = ,im a * -» o / ( 2 + A x ) - / ( 2 ) = ]im 0 . 1 ( 2 + Ax) —( 0 . 1 ) 8 Ax aa-->o Ax = lim 1.2 + 0.6Ax + A x 2 =1.2 A i—>o 364 Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu (tt.O). D esarrollo , sen{x+ Ax) —senx senx.eos Ax + eos x.senísx- senx y = l i m -------------------------- = lim A t-> 0 Ax A r-» 0 AX senx(co$ Ax - 1 ) = lim [A x -» 0 Ax y' = senx(0) + e o sx 365 => eos x.senAx, Ax y '= c o s x por lo tanto y'l^ ^ co sT T = - 1 Hallar el valor de la derivada de la función: / ( x ) = — en el punto x = x ( x 0 y- 0 ). D esarrollo 1 l 1- ——--------------------f ( X0 + A x ^ ~ f ( . Xo ) Xn + A x “I /f V(x0)1 = lim = vlim-— ------------Xn2 - = ,• l i m ---------------A v -»0 Ax A x -»0 Ax A i - > 0 x 0 ( x 0 + Ax) A-0(.X()+0) 366 X¿ A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las c u r 1 2 y - — y y = x , en el punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes, x Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 186 1 7 1 Como y = — e y = x , entonces el punto de intersección es: —= x x x 1 y ’U x= 1 - 1 Ay — = - 1 = k\ = a Alim .v— >0- 7 y y' L i = aAlim0 ¡c->o Ay — ~ = 2 = k* tg e = h z h . = ± ± = 3 l + *,lt2 367 1 -2 i 1 Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en los, puntos que se indican: a) y = \[x* en el punto x = 0 b) y = \ / x - 1 en el punto x = 1 c) 2k + \ | eos x | en los puntos x = — - — n (k = 0 ,± l,...) D esarrollo S ,■ % 0 + A.x)2 - 0 f e ? = lim /Vx— >0 Ax 1 = lim —= = <=° Ax->0 ijAx a) / ( 0 ) = hm — A*—>0 _ b) 5/(l + A x ) - l - 0 5 / S .. 1 / ( 1 ) = lim — = lim = lim - 7 = = °° Ax— >0 At Ax-*0 Ax Ax-»0 2 /^ -4 c) , 2* + 1 | cos( / J ( --------n ) ~ lim 2 Ax—>0 At 1 , +1 - . . 7t + Av) | Ax IsenAxI -se n A x , = lim J 1 = lim = 1 Ax—>0 Ax Ax—>0 Ax www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones i ,2*+1 |co s(—— 7t + A í)| .o t + i f j ( —— jt) = lim 2 Ax Ar->0 I senAx I senAx , = lim ---------- - - h m =1 Ax-»0 Ai Ax—>0 A i ,2 * + l , „| 2k + \ Como /_'(■— - — Jt) * f f (—- — Jt) => y = | eos x | no tiene deriva 2k + 1 en los puntos x = ---------, k = O, ± 1 , 2.2. DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.a) REG LA S P R IN C IP A L E S PARA H A LLA R LA DERIV A D A : Sea k una constante, entonces: u = f(x) y v = g(x) dos funciones derivab (k)' = 0 2 3) ( « ± v ) ' = m' ± v' 4) (hu)' = ku' 5) («»') = uv ) (—) = ■ 1 ) + vm 6 ) (x )’= l V 7) b) k s, ( - ) '= v kv' y 7 , v* TABLA DE LAS PR IN C IP A L E S.1 ) 3) v2 0 D ERIV A D A S DE LAS Cx n )' = n x n 2 (senx)' = eos x 4) www.FreeLibros.me ) FU N CIO N (V Í)' = _ J _ (eos x )'= -sen x Eduardo Espinoza RamoS 188 (tgx)' = 5) 7 = se c " x 1 6 1 2 (ctgx) = -------- — - - e o s ec x sen x ) eos x (aresenx)' ■ 7) x < 1 x < 1 VTV 8 (a rc q sx )' = - ) Vi - JC2 1 10 ) (arcctg x ) ' = — -----• x +1 ( a x ) '= a x \na 1 2 ) (ex )' = e x 13) (ln x ) 1 = — , x > 0 x 14) (logfl x ) ' — 15) (senhx)' - cosh x 16) (cosh x)' - - se n h x 17) (tghx)' = cosh" x 18) (ctg hx)'■ 19) (aresenhx)' = (arctg x ) ' - ■ 9) 1 1 1 ) +X" 1 ) 1 senh~x í \ +x 2 0 x ln a (are cosh x )' = - <1 X V xM 2 1 ) (arctg hx ) ' = l-x ¿ 2 2 ) (arcctgh x ) ' = — x2 - l Ix | < => 1 IX I> 1 www.FreeLibros.me l°g a e x Diferenciación de Funciones c) R E G L A PA RA C A L C U L A R LAS FU N C IO N E S C O M PU ESTA S. Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g(x)) donde “y” y “u” derivables, entonces y'x = y'u ,u'x en otras notaciones: dy _ dy du dx du dx esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito funciones. 1 368 FU N C IO N E S A LG EB R A IC A S. ) y-- x 5 - 4 x 3 + 2x- 3 D esarrollo dy dx 369 - y ' = 5x 4 - 1 2 x 2 + 2 y = — ~ — + x 2 - 0 .5 x 4 4 3 D esarrollo y = - dx 370 = - - + 2x - 2x } 3 y = a x 2 + bx + c D esarrollo dy y '= — = dx 371 2 ax + b 5x y= - a Desarrollo dy__ dx 15x a www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 190 372 y = at'" + b tm+" Desarrollo y ' = ^ l = amt'"~x + {m + n)btm+"~l dt 373 ax6 +b y=f a 2 +b2 Desarrollo ,_ d y _ ax J a 2 +b2 * 374 6 y = — + ln 2 * Desarrollo v’_ dy _ 71 2 375 5 y = 3xi - 2 x 2 + x ^ Desarrollo / — y ’ = — = 2x 3 - 5 . * 2 - 4 j T 5 í/jc 376 y = x 2 yfx2 Desarrollo 8 </■ y = x 2sjx2 —x 2x 2 —x 2 , derivando tenemos: y ' = — = —jc dx 3 2 377 y = —^ = ----Desarrollo www.FreeLibros.me 8 Diferenciación de Funciones u a b y = -7 = — xlTx u a =— b 2 4 -z -r . y = ax 1 - b x i , derivando tenemos: 4 r3 v3 , dy 2 -4 4/> - r y = — = — ax 3 + — x 3 rfjc 3 3 378 2 => =* , dy 2a 4b y = — = -------------------dx 3x yfx 2,x247 ~ y « fl + fa c + dx Desarrollo , _ dy _ (c + dx)(a + b x ) ( a + bx)(c + d x ) ' (c + dx) 2 di , _ dy _ (c + dx)b - (a + bx)d _ be - ad di 379 y= (c + dx ) 2 (c + dx ) 2 2x + 3 x2 - 5 x + 5 Desarrollo dy _ (x - 5 x + 5)(2x + 3 ) '- ( 2 x + 3)(x" - 5 x + 5)' di , (x 2 - 5 x + 5 ) 2 dy 2(x 2 - 5 x + 5 ) - ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 5 ) dx (x 2 —5 x + 5 ) 2 dy _ (2x 2 —10x+10) —(4x 2 —4x —15) di 380 (x 2 - 5 x + 5 ) 2 y = — ----- -2 x -l x Desarrollo www.FreeLibros.me , ^ dy - 2 x 2 - 6 x + 2í dx ( x2 - 5 x + 5) Eduardo Espinoza Ramos 192 .•-¿ y _ dx 2 í 2 jr~ i) ' ( 2 jc —l ) 2 ,_ d y _ y 381 dx 1 _ -4 x 2 +4x2 -4 x + l 4 x2 (2 x - l ) 2 _ dy _ 1 - 4x dx x2 (2 x - l ) 2 y= 1 + Vz 1 -V i- -(•*)' x2 x2 (2 x - l ) 2 D esarrollo dz . dy dz 2) 382 (1 - V z ) 2 1- yfz 1+ \fz 2ylz i'I z (1 -V z)2 FU N C IO N E S INVERSAS.- . ^ 1 * V z (l-> /z )2 T R IG O N O M E T R IC A S Y C IR C U L A R E S y = 5 sen x + 3 eos x D esarrollo ,d y y = — = 5 eos A' - 3senx dx 383 y = tg x - ctg x D esarrollo , dy 1 1 sen2x + eos2 x y =— = r— + r- = 5 5— cía; eos x se« x sen~x.eos x www.FreeLibros.me => dy 4 y = — = ---------- 7 dx (se n lx ) Diferenciación de Funciones .... 384 senx - eos x y - senx - eos x Desarrollo , _ dy _ (senx - eos x)(senx + eos x) dx (senx + eos x)(senx - eos x) ’ ( s e n x - eos x) 2 , _ d y _ (senx - eos x)(cos x - senx) - (senx + eos x)(cos x + senx) dx y = (senx - eos x) dy - (s e n x - eos x ) 2 —(senx + eos x)* dx (senx - eos x ) 2 v ' _ d y _ - s e n x + 2s e n x . c o s x - c o s ~ x - s e n ~ x —2senx.cosx —c os''x dx (se n x -e o s x ) 2 _ dy _ - 2( s e n 'x + cos x) dx 385 ( s e n x - c o sx ) 2 -2 ( s e n x - c o sx ) 2 y = 2tsent - ( t 2 - 2) eos t Desarrollo y' = — = 2sent + 2t c o s t - 2tc o s t + (t~ - 2)sent dt y ' = — = 2sent2 + t s e n t - 2sent = t 2sent dt 386 y = arctg x + arcctg x Desarrollo www.FreeLibros.me — = t 2s dx Eduardo Espinoza Ramos 194 387 y = x ctg x Desarrollo , dy y = — = c tg x dx 388 x — sen x y = x arcsen x Desarrollo , d\ e jt M A + i v = ——— = w# arcsenx * x ...... — _ (\ + x 2) a r c t g x - x y 2 Desarrollo , d\ 1 1 y - — - xarctg x + --------= xarctg x dx 2 2 3) 390 => , dv y = — - xarctg x ■ í¿v FU N C IO N E S E X PO N E N C IA L E S Y L O G A R IT M IC A S.- y=*V Desarrollo y ' = — = 7 x 6ex +X1e x —e xx b( l + x) í/x 391 => y = ( x - l)e x Desarrollo y ' = — = ex + ( x - l ) e x — xe dx 392 y = 6 x2 Desarrollo www.FreeLibros.me y ' = — = x V ( x + 7) rf.v Diferenciación de Funciones dy _ x 2(ex ) ' - e x( x 2)' _ x 2e x - 2xe x V ~~dx~ 393 7 dy _ ex ( x - 2) 7 ^ } ~~ dx~ I2 y =— Desarrollo , _ dy_ _ ex (x5) ' - x 5{ex y _ 5 x V l - x ' e x dx 394 q2x , _ dy _ x 4 ( 5 - x) e2x V dx ex f ( x ) = e x cosx Desarrollo / '( x ) = e* (co sx )' + (e x )'c o sx = e x co sx - e x senx , de donde se tiene: f ' ( x ) = e x (eos x - senx) 395 _v = ( x 2 - 2x + 2)ex Desarrollo y' = — = ( 2 x - 2 )c* + ( x 2 ¿v 396 2 x + 2 )c r => v' = — = x2ex </x y = e x are senx Desarrollo . dy X/ 1 y = — = e (aresenx + —7= ) dx V l-x 2 . ^ .V = — = e aresenx + —¡----y l-x 2 397 y=— ln x Desarrollo , _ ¿/y _ (ln x ) 2 x - x dx (ln x ) 2 ,_ ¿y _ x( 2 1 n x - l ) ^ dx www.FreeLibros.me (ln x ) 2 Eduardo Espinoza Ramos 196 398 x3 y = a 3 ln a -----3 D esarrollo , dv _ 2 * 2 2 y = — = 3x l n j r + r - r dx 399 => i dy . 2 1 y = — = 3a ln.v ' dx 1 „, ln a y = — i- 2 ln A*------r x x D esarrollo , dy 1 x(lnjc)'-(ln.v).v' 2 y ~ T x ~ ~ ^ + ~x ,_d y _ dx 400 ^ 1 2 1 ln x x1 x x1 x2 , _ dy _ 2 dx ’V x 2 ln x x2 x2 y = ln.v. l o g x - l n a .l o g a x D esarrollo , _ d y _ log a¿/.x 4) 401 x ln jc ln« dy _ (lnlO)A' .vino d.v ln.v 1 a FU N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S E H IP E R B Ó L IC A S INV ERSA S.- y = x senh (x) D esarrollo y 1 = — = senhx + cosh a dx 402 2 xlnlO y= * cosh A D esarrollo , _ dy _ 2 a cosh a —x~senhx dx cosh 2 a www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 403 y = tgh x - x Desarrollo , dy 1 y = -j- = dx c o s h 'x , l - c o s h 2 .v — cosh x = 1 => , dy senh2x y = - f - = --------- z— = -tgh~> dx cosh x y J j!É E 404 In x Desarrollo n, / 1 s Ictghx 31nx.(-------- r - ) ------ — >■' = — = ??nh.x ------- í — t dc Jonde se tiene: dx (lnx )2 , _ d y _ -3(.vln x + senhx. cosh .v) dx 405 x ln 2 x.senil2x y = arctg x - arctgh x Desarrollo y 406 dy 1 dx l + x2 ( l - x 2) - ( l + x 2) 1 1 -x 2 (l + x 2 ) ( l - x 2) ^ , dy - 2x 2 V dx 1 -x 4 y = (aresen x)(arcsenh x) Desarrollo dy y = — = (aresenx)'arcsenlvc + arcsenx.(arcsenhx)', de donde se tiene: dx , dy arcsenlix aresenx dx sjl-x 2 V I+ x 2 y ' = -X - = — 407 árceos hx y = -----------Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ram os 198 - ■:=■==■ —- árceos ¿uttu» hx r—--X , _ d y _ y A-2 - l _ x - \¡x - 1 . árceos hx dx , y 408 x2 dy _ x - six2 - 1 xl 4 x2- \ . árceos hx X2>Jx2- 1 dx y = arct*hx l-x D esarrollo 1 dy y ' - j dx E) 409 - x2 - — — - ( - 2x)(arcctghx) (1 t ~ 2 --------1 — —x ) 1 => -v ' = - f FU N C IO N E S C O M PU ESTA S.- y - ( 1 + 3 a - 5 a: 2 ) 30 D esarrollo y ' = — dx y 1= — = 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 (1 + 3 a - 5 a 2 ) ’ = 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 ( 3 - 1 0 a ) dx y = (— 410 f C Desarrollo www.FreeLibros.me dx + 2xarcclgh x (I-A 2 )2 Diferenciación de Funciones 411 f ( y ) = (2a + 3by) 2 D esarrollo f ' ( y ) = 2(2a + 3b y)(2a+ 3by)' 412 f ' ( y ) = 6b(2a + 3by) => y = (3 + 2 x 2 ) 4 D esarrollo y ' = — = 4(3 + 2x2)3(3 + 2x2) ' dx 413 3 => >’’ = — = I6x(3 + 2x 2 ) 3 dx 1________________ 1 5 6 ( 2 x - l) 7 24(2x —l ) 6 4 0 (2 * - l ) 5 D esarrollo y = ¿ ( 2* - i r 7 - ¿ ( 2* 56 24 y '=y - = <¿x y , = dy = dx 1)-6 - i - ( 2* - i r 5 40 (2 x ~ D " 8 - 2 - ¿ (-6 X 2 * - 1)”7.2 - i - (-5 )(2 * 24 40 56 -3 1 1 4 (2 * - l ) 8 2(2* - l ) 7 4 (2 * - l ) 6 ----------------------------- 1------------------------------ 1--------------------------- , _ d y _ —3 + 2(2* - 1 ) + (2* - 1) 2 _ ^ 414 <¿* 4 (2 * - l ) 8 4*2 - 4 Desarrollo 2 = (1 x2 - l 4 (2 * - l ) 8 ~ ( 2 * - l ) 8 y = 4 1 -x 2 y = V1 - x _ - x 2 ) 2 , derivando tenemos: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 200 y ' = — = - ( 1 - a 2 ) 2 (1 —jc 2 ) ’ => dx 2 y' =— = dx ~V 2(1- dy x dx J í^ x 2 por lo tanto ' a 2)2 * 415 y = yja + bx 3 Desarrollo i y = \ a + bx 3 = (a + bx3)3 , derivando tenemos: , dy 1 3 3 y = — = —(a + foc ) 3(a + bx ) dx 3 ,_ d y _ dx 2 416 y = (a 3 , dv 3 ¿>a 2 => >> = — = — ------dx 3(a + (?A3 ) 3 bx2 \l a + bx3 2 3 - a3)2 Desarrollo 2 y 1 = — - = —■(a 3 dx 2 2 f~2 y , dy 417 va3 - = - Z . = -------------— dx 1 —A^) 2 yjx a 2 (a 3 2 / 2 — A 3 ) ■ => 7 r~2 3 Va3 - = y' = 2 1 — = — V a 3 - a 3 ( - —a dx 2 3) 3 7 a 3 => - y , = dy dx ,ja ^ = -3 — - l , VX y = (3 —2senx)5 Desarrollo y 1 = — = 5(3 - 2íe«A ) 4 (3 - 2seux)' dx => y ' = - = - l 0 c o s x ( 3 - 2 s e n x )4 dx www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 418 y = t g x ~ t g 3x + j t g 5x Desarrollo >’'= — = — ~2------ls 2x(tg.x)' + tg4x(tgx)' dx eos — ¿X y ' - dy 1 dx eos 2 x 419 tg2x | t8¿>X eos 2 x eos 2 x l - t g 2x + tg4x y ’- ü L d: eos 2 X y = yjctgx —-Jetgee Desarrollo 1 y = d l = (ctg xy_ 0 dx 420 2 ^ cfy _ sen1x dx lyjctgx yjctgx 1 2 sen2Xyjctgx y = 2x + 5 c o s3 x Desarrollo y ' = — = 2 + 15cos2 x (co sx )' dx 421 => y ' = ^ - = 2 dx 15 eos 2 x.senx x = c o se c 2í + sec2 1 Desarrollo x\t) = — = dt 2 eos m .(c o s ec t)'+ 2 sec /.(sec / ) ' x '(/) = — = dt - 2 eos err. eos ect.ctg t + 2 sec t. sec t.tag t www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 202 dx X (t) = — = oí • „ a . dx 2 ( c o n * t - s e n 41 ) X ( D = — = -------------- 3-------- 3-----dt s e n t . eos t =» dx 2(cos2 í + sen2t){cos2 t —sen2t) dt sen^t. eos3 1 (/) = — = — dx X (/) = 2c tg t 2 tg t V + — 1“ eos t dt 2 (cos t - s e n " t ) 16cos2í = -------------------------------------------- = --------------- 7— , sen2t 3 seo32/ 2 422 /(* ) = 6 ( l- 3 c o s a ) 2 D esarrollo 1 / (a ) = ( 1 - 3 cosa) 2 6 (1 -3 c o s a ) , . = ------------------- , derivando se tiene: 6 2(1 - 3 eos a ) 3( 1 - 2 c o s a ) ’ , , / ( a ) = ---------------------------------------------------- , de donde se tiene: / ’(*) = AAA (1 - 3cos a ) 4 (3.yena ) (l-3 c o s a )3 1 3— eos T a~ ~ 4 23 senx 1 cosa D esarrollo y eos 3 a , ,_ i , . -------------(eos a ) , derivando se tiene: , - 3 eos 4 a ( c o s a ) ' y = ------------------------ + eos * a ( c o s a ) 3 => www.FreeLibros.me , senx senx y = ----- ----------- ,— eos a eos x Diferenciación de Funciones se/ix(l - eos 2 x) 4 eos x 424 sen^x eos 4 x 3senx- 2 c o sx y= 5 Desarrollo 13senx - 2 eos x 5---------- =<-------- 5-------> y "V 1 ,3 senx - 2 eos x - r 3senx - 2 eos x ., y - 5 ( y , 3senx - 2 eos x -z I 1 2' , _ 1 3senx - 2 eos x ~ -5 , dy i > 3 eos x + 2senx 5 1 3 c o sx + 2senxs 1 :--------- )5 ¡3 sen x-2 cosx y = .--------- dx 2 y, _ d y _ dx 425 3 eo sx + 2senx 2 \¡ l 5 s e n x - l0 c o s x y = si sen2x + eos x Desarrollo 2 y = sen ^ x + eos - 3 x , derivando se tiene: , dy 2 — _4 y = — = —sen i x .(se n x )- 3 c o s x(cosx) dx 3 www.FreeLibros.me •=> dy 2 co sx y =— =— dx 3 3xei ----eos2 Eduardo Espinoza Ramos 204 246 - y = V í + aresenx Desarrollo , dv ( 1 + aresenx)' , , y = — = — = = = = = , de donde se tiene: dx 2 v l + aresenx 1 v. _ d* 427 sjl-x 2 2 ________ j________ VT+ aresenx 2s l \ - x 2 s¡\ + aresenx y = y¡are tgx —(aresenx)' Desarrollo , dy (arctgx)' ,2 . y = — = — r ....-2___ —3(aresenx) (aresenx) dx 2yjarctgx 1 y ' - — = —^ *- 3(<vrcse/ix) 2 (aresenx) ' dx 2^1arctgx • , _ dy _ dx 428 3(aresenx)2 1 + .v2 ) j arctgx 2(1 \J \-x 2 v = — -— arctgx Desarrollo 1 ,_ d y _ dx 429 (arctgx)' y , _ dy _ (arctgx)2 ' dx y = sjxe* + x Desarrollo www.FreeLibros.me 1 + x2 (arctgx)2 1 (1 + x 2)(arctgx)2 Diferenciación de Funciones , _ dy dx 430 (xex + x )' _ e x + xe' 24 x e ' + x + 1 2 'J~xex + x y = 4 2ex - 2 x +l + ln 5 * D esarrollo ji y = (2e x - 2X + 1 ) 3 + y'= y , dx dy = _ dx 431 ln 4 x , derivando se tiene: - 1 (2ex - 2X + 1) 3 3 (2ex - 2X + 1) '+ 5 ln 4 .v(ln x ) ' 2e x - 2x 51n4 x 3^/(2x _ 2 jr + 1 ) 2 * = — — = = = s s ^ + . y = sen3x +eos ^ + t g 4 x D esarrollo y ' = ~ r = e o s 3x(3x) - $ « 1 (7 X7 ) ’+ — ^ - 7= ( 4 x ) ' dx 5 5 eos f x 4y = 3 c o s3a x —1 sen — x +1 y .= — 5 5 2yfx eos 2 V* 432 y = sen(x2 —5x4- \) + tg — x Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza R am os 206 , dV .. , 2 .s 0 ■y = — (2 a - 5)cos(x —5 jc+ 1)--------------dx 433 f(x) x = eos (a x •> eos 2 a — X + [}) D esarrollo f \ x ) = - s e n ( a x + P ).(a x + P )' 434 f(x) = s e n t. s e n => f'(x) = -asen(ax+ (5) (t + (p) D esarrollo / ' (í) = (sent)' sen(r + (p) + sent.[sen(t + (p)]' / ’(í) = e o s t.s e n (t + (p) + se n t. e o s (t + s e n ( 2 t + (p) s e n ( 2 l + tp) f \ t ) = ------ 1 r J + 2 y 435 (p) => f ' ( t ) = s e n ( 2 t + cp) 1- eos 2 x y = ------------ 1+ eos 2 a D esarrollo , dy _ (1 - e o s 2 x ) ( l + e o s 2 a ) dx ’ (1 + e o s 2 a ) ( 1 - e o s 2 a ) ' ( 1 - eos 2 a )2 , _ d y _ - 2 s e n 2 x ( l - e o s 2 a ) - (1 + e o s 2 x ) 2 s e n 2 x dx (1 —c o s 2 x ) 2 dy -4sen2x -4 se n 2 x , , , y = — = --------------------- —— = ------- -— , de donde se tiene: dx (1 -c o s x + sen x) 4 sen x y , = dy = ----------------- 2senx.cos x ax sen x = - 2 eos x ^ sen x www.FreeLibros.me | Diferenciación de Funciones 436 f ( x ) = a.ctg(~) a Desarrollo f \ x ) = a.( 437 y í )(-)' = — 1 2/ x \ a 2/ x \ sen (—) sen (—) = — —cos(5x2) - —c o s a :2 20 4 Desarrollo y ' = — = — sen(5x2 )(5 x 2)'+ —senx2(x 2) dx 20 4 , dy 1 0 * .. 2x 2 y ~— = sen(5x ) + — xe«x dx 20 4 438 =* , dy x 2 * 2 y = — = —sen5x 4 —senx 2 dx 2 y = arcsen 2x Desarrollo y , _ dy_ __ ( 2 * )' ^ 439 _ \J\-4 x2 2 'J1- 4 x 2 y = arcsen - ~ JC~ Desarrollo 1 , 2 , rfy (p } y = —— — ■■■■• ------ = r x.4 JC 440 2 * 2 -• -— = ------,____ v*4-i *3v* i ,2 / ( x ) = arccos(Vx) Desarrollo www.FreeLibros.me =* -2 , dy y =— =■ :>/x 4 —1 Eduardo Espinoza Ramos 208 . (^ j _ ’ / '( * ) = =_ t¿ L 441 => f X x) = ----------- Jl-x a/i-íTI)2 2yfxJ\^X 2\[x^. y = arctg — x D esarrollo 1 , 1 (-) 2 x y =— r =— f— => 1 . J _ X 1 +1 X x2 r~ 2~~ ... 442 y = arctg( dy dx , y x1 +1 l + -^s ) \-x D esarrollo l +x (1 —-t ) —(i+-y)(—l) y '- dydx O - ^ 2) i+( i^ ) 2 i + íl± £ )l (1 — jc )2 l ~ x , dy y =— = dx , y ~ 443 1 1 +* ( 1 —JC)2 + ( 1 + dy dx - x+ jc) 2 2 , , = ------------------------------ . de donde se nene: 1 — 2 jc -4- JC -4- 1 + 2 1 ~ 1 + x2 v = 5e~*2 Desarrollo y ' = — = 5é~* { - x 2)' = - 1 Oxe- * dx www.FreeLibros.me jc - i- jc Diferenciación de Funciones 444 y =- 1 5 D esarrollo , dy (5X ) ' 2 *5*'ln 5 y - — =---------- ----------T— dx (5*' f 52x' 445 , dy 2*ln 5 „ y =— = — = 2x.5 dx 5X~ => e ln 5 y = x 2102x D esarrollo y ' = ^ = ( x 2) ' 102x + x 2(102x)' dx y ’= — => y' = — = dx 2 x . l 0 2* + * 2 1 0 2jt2 1 n l 0 = 2 A .1 0 2 l (l + A l n l 0 ) dx 446 f{t)-tse n 2 ' D esarrollo f ' ( t ) = sen2 ' + t s e n 2 ' ( 2 ' y 447 => / '( O = sen2 ' + 2 ' t ln 2.sen 2 ' y = are sene* D esarrollo y '= ± =-. dx 448 É’ •e2* y = ln (2x + 7) D esarrollo y , _ d y _ _ { 2x + 7Y _ dx 449 2* + 7 2 2x+7 y = log (sen x) Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 210 , dy (senx)', cosx, v =— = -log<? = loge dx senx senx 450 y = ln(l - , dy , y = — = c tg x. loge ' dx ) D esarrollo dy y = 451 (1 dx - 2x —jc2 ) ’ l-x 2 ' - 2 ■X y = ln 2 x - ln(ln x) D esarrollo 1 dy y =— = dx , y >_ dy _ 2 2 ln dx 452 dy 1 y v = — = 2 1 n x ----------dx a: ln x (ln ln Jt(ln x ) -------------- => ln x x x , 1 x ln x y' = \n(ex + 5 senx - 4 a resenx) D esarrollo ex +r 5 eos x - 4 c , dy (ex + 5 senx —4a re senx) ’ dx e x + 5senx - 4arcsenx y ' = ^ - = -------------------------------------------------------- 453 , => dy y. \- -x ex + 5 s en x -4 a rc se n x y = --------= ---------------------------------------------------- ' , _ dy _ (ex + 5 eos x)sjl —x 2 - 4 dx J \ - x 2 (ex + 5senx - 4aresenx) dx y = arctag (ln x) + ln (arctag x) D esarrollo 1 y , dy (ln x)' . (arctgx)' , = ------ = ---------------------_ H -----------------------------= > dx 1 + (ln x) , dy x dx l + (inx) y = --------- arctgx www.FreeLibros.me , l +x2 - H ----------------- arctgx Diferenciación de Funciones , y ~ 454 dy dx ~ 1 1 x(l + (lnx) ) (1 + x )arctg x --------------— 1------ i---------- y = V lnx + 1 + ln(>/x + l) D esarrollo , dy (ln x + 1 )' 1 y - — = —r L + --------dx V2 ln x + 1 2 ( x + l) => , dy 1 x 1 dx f21nx + l 2(x + l ) v ' = ^L = - _ ¿ =— + --------- , dy 1 1 y = — = — /■ ■ + --------dx 2 x v ln x + l 2 (x + l) 6 455 ) FU N C IO N E S D IV ERSA S: 2* * y = sen 5x.cos — 3 D esarrollo dy 9 x i x x y ' = — = 3sen~5x(sen5x)'cos — + sen 5x.2cos—(eos—) ’ dx 3 3 3 y ' = — = 15.9«?25x.cos5x.cos2(—) — s « r 3 5x.2cos — s e n 2 dx 3 3 3 3 456 11 y=2 (x -2 ) x —2 D esarrollo dx dx 2 2 (x -2) ( jc —2 ) (x -2) (x-2) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 212 dy , y 457 11 4 — rr+ — dx (x -2)3 dy , i :? (x -2)2 11 + 4 ( y = -r = - => dx ' x - 2) (x -2)3 15 ___________ 1 0 ____________ 1 _ y- 4(.v - 3 ) 4 3 (x -3 )3 2(x - 3 )2 D esarrollo y = - ^ (x - 3F 4 - 4 {x - ~ 3 )-3 —i 3 (x - 3)- 2 y ' — —— = 1 5 ( a ' — 3 ) - 5 + 1 0 ( a - 3 ) ~ 4 + ( a - 3 ) ~ 3 dx , dy 15 10 y ~ — —-------------, dx (x -3 ) dy l5 + (a - 3 ) (a - 3 ) 1 0 (x -3 ) + ( x - 3 ) 2 y ~ • ~ ------- — dx 458 1 r H------------ ? ----------------- (x -3)3 , => dy -v = - r r‘ dx v« y 8(1- a 2)4 D esarrollo , _ d y _ _ l [(1 - a 2 ) 4 . 8 a 7 - a 8 .4 (1 - a 2 )3 ( —2 a ) ] ~ dx~ , 459 ( I - a 2 )8 & dy x7( l- x 2)+ x9 dx ( I - a 2 )5 a 7 ( 1 - x 2 )5 \¡2x 2 - 2 a + 1 y = -----------------A Desarrollo www.FreeLibros.me x2 + 4 x (x -3 )5 4a + 3 (a - 2 ) 3 Diferenciación de Funciones , _ d y _ x(y¡2x 2 - 2x + 1 ) dx \¡2x 2 - 2x + \ x~2 x (4 x —2) ■4Íx 2 - 2x + l y ' - dy - 2\¡2x 2 - 2x + \ dx x2 dy x (2x —l ) - ( 2x - 2x + l) y ~ ~ r~ ------ ...............=— x 2^ 2x 2 - 2 460 => dy x —1 y — , ~ * + l dx x 2y¡2x 2 - 2x + \ y= a 24 4 2 4 4 D esarrollo , dy 1 4 a 2 + x 2 - x ( \ / a 2 + x2) ’ y =— =— ( ) , de donde se tiene: d* a ~ a '+ x ' 4a dy y ~ ~r~ — dx 461 + * *2 a2 + x2 —x2 1 t( a 2 f= = ) ^ (a 2 + x 2 )s]a2 + x 2 dy y —~~r~— d x X v= 34 4 + 4 4 D esarrollo , ¿y y ¿A 4” 4 4 7 4 3.v2 1 3 , * 3 (^ ]±/ x4 j :*»2fo l 2 ^ ( 1 + .v2 ) 3 , --------------------- r — 2 ^ ------------------------ > (1 + * 2 )3 www.FreeLibros.me 1 i — - 4 ( 4 4 - x 2 )2 214 Eduardo Espinoza Ramos t, _ d y _ _ 1 3jc2(1+ jc2)3 -3.y4(l + jc2)2^ y ~ dx~ 3 , dy ^ ^ 7 7 7 x 2 ( 1 + .t2) - x 4 dx 462 (i + ., 2 ) 3 , (l + X 2 ) 3 (\ + X 2 ^ dy xz dx 7 ( 1 + ^ 2)3 y = —yfx2 + — x y f x x y f x 2 + — x 2yfx 2 7 5 3 D esarrollo 1 7 5 13 3 = 18 ¿ 9 | 6 -4 y = —x h— a '1 + —x í + — a , derivando se tiene: 2 7 5 13 _1 y' = ^ - ^ x • dx 3 i + 3* í 6 7 +3x3 + 1 => 2 I 2 ¿/y _ 1+ 3*2 + 3X + X2 ^ 463 </a' 1 v3 y = —yJ(l + x 2) * - f ¡ ] ( \ + x 3)5 8 5 D esarrollo i y = —(l + x 8 )3 i ,5 — ( 1 4 -x )3 , derivando se tiene: 5 y . = d ¿ = ¿ (1 + r 3 ) 3 3 x 2 _ 1 ( , + v.3 y dx 3 7 y ' = — = —- + 3 a 6 + 3 a 3 + jc6 dx i *3 3x2 3 y ’ = — = (l + jr3) 3[(l + * 3 )jt 2 - j t 2] dx www.FreeLibros.me y - ^ = A5 7 íT + r 3 ) 2 dx Diferenciación de Funciones ... 464 4 Jx-1 y —— 4i 3 Vx + 2 Desarrollo 4 ^ — ü r , derivando j . , y = —( se tiene: 3 x+2 v•= É L = 1 rjr~ 1W ((-v+ 2)~ ( x ~ l \ dx 3 x+2 (x + 2 )2 x+2 465 y = x 4 ( a —2 x 3 ) 2 Desarrollo , ¿y y ' = J L = 4x 3 (a - 2x 3 ) 2 + 2x 4 (o - 2x 3 ) ( - 6 x 2) dx y ' = — = 4 x 3( í j - 2 x 3 ) ( « - 2 x 3 - 3 x 3 ) =» dx v ' = — = 4 x 3( a - 2 x 3) ( a - 5 .i dx 466 ü -b xn Desarrollo dx >- d y _ dx a -b xn a —bxn * a + bxn ,„_i (o - ¿>x" )«¿>x" 1 - (a + ¿jx” )(-nfax" 1 ) a - bx” (a - bx" ) 2 www.FreeLibros.me 216 Eduardo Espinoza Ramos , dy ,a + b x ' \ m_X/ 2a n b x " ~ \ , dy , y ’ = — = m(---------- ) ( - ) => y - — = 2anmbx dx a -b xn (a —bxn)~ dx 467 9 5 (x + 2) — - T —; y = - 3 2 - (x + 2) (a + bx")m~l ----------------(a ~ b x " )"' 1 ( x +2 Y 2(x + 2f Desarrollo v=-( x + 2r 5 - 3(JC+ 2 + 2(x + 2 ) - 3 - - )^ 5 ( jc + 2 ) ~ 3 2 v' = — ——9(jc + 2 ) ~ 6 + 1 2(x + 2 ) - 5 dx 6 (x + 2 ) ^ + (x + 2 ) “ 3 , dv 9 12 6 1 y = - r = -T — 7 ^ + -— T T - 7 — T T + dx (x + 2 ) (x + 2 ) 5 ( x + 2 ) 4 (x + 2 ) 3 , dv y dx - 9 + 12(x+ 2 ) - 6 ( x + 2) 2 + (x + 2 ) 3 (x + , _ dy_ _ - 9 + 1 2x + 24 - 6 2)6 x 2 - 24x - 24 + x 3 + 2x 2 +12 + 8 dx y 468 (x + 2)6 ' _ dy _ x 3 - 1 dx (x + 2)6 y = (a + x)\Ja —x D esarrollo ' = Va 7 x + (G + x )(-l) 2 \la -x g+ x l = vg2 y ja -x 2(a - x) - (g + x) 2 yja -x www.FreeLibros.me , “* M i ¿v dx “ g -3 x 2s ¡ a - i Diferentiación de Funciones 469 y — yj(x + a)(x + b)(x + c ) D esarrollo (x + a )(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c ) x 2 + (ab + ac + bc)x + abe [(x + a)( x + b)(x + c)]' = 3 x 2 + 2 (a + b + c)x + ab + ac + bc y = yj(x + a)(x + b)(x + c ) , derivando se tiene: , dy [U -t-aK x + fcXAr + c)]' y = — = — t:==z==== t: = = = = = - , de donde se tiene: dx 2^ ( x + a)(x + b')(x + c) , _ dy 3x2 +2(a + b + c)x + ab + ac+ b a dx 470 2y](x + a)(x + b)(x + c) z = Zjy + J y D esarrollo z = ( y + s f y ) 3 , derivando se tiene: 2 dy riz _ 3 2 (y + s[y) H y + y fy Y 2 => < Y =\( y +Jy) dy 3 -y/y + 1 6 \ ] ( y + \[>')2 J y 471 / ( r ) = (2r + l)(3r + 2)^/3t + 2 D esarrollo 4 / ( / ) = (21 + l)(3r + 2 ) 3 , derivando se tiene: www.FreeLibros.me 3 U + tV = -) 2^/y 218 Eduardo Espinoza Ramos I 4 f'(t) = 2(3f + 2 ) ’ + 4 ( 2 f + l)(3 / + 2 ) 3 i_ i / '( / ) = 2(3r+ 2)(3í + 2 ) 3 + 4 (2 í + l)(3/ + 2 ) 3 472 => / ’(/) = 2 (7 f + 4 )3/3/ +2 jc \jla y - y2 D esarrollo dx 1 — — = — ( 2 a y - y 2) 2 ( 2 a v - y )' dy 2 — x = ( 2 a y - y 2) 2 , derivando se tiene: — ( 2 ay —y ) 2(2a - 2 y) = dy 473 2 y j ( 2 a y - y 2) y = \n (sh + e* - l ) - l n ( V l + e A +1) D esarrollo , Jv (V ñ v " - i )' y = — = •■■■-----dx \j\ + ex —\ (V h v - d ' . . , , derivando se tiene: Vl + e ' + l www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 474 1 , , y = — eos x(3cos x - 5 ) D esarrollo y= eos 5 x eos 3 x , . . derivando se tiene: y ' = — = eos 4 x(cos x ) e o s 2 x(cos x ) ' de donde se tiene: dx , dy 4 2 y = — = - eos x.senx + eos" x.senx dx , dy 2 ,, 2 \ y = — = cos x.xe«x(l - eos x) dx ■ dy 3 i 2 dy / 2 y = — = sen'x. eos x dx 475 _ (/g 2 x - l ) ( / g 4x + 1 0 fg 2x + l) 3 /g ^ D esarrollo Efectuando el producto se tiene: tg6x + 9tg4x - 9 t g 2x - l 1 3 „ „ _i 1 ’= * 3 = —t g x + 3tgx - 3tg 1 x - - i 3tg x 3 3 o ^ ^ y ’= tg x . sec x + 3sec x + 3tg y - xen2x 3 3 eos x eos x sen x 2 \ y = — = eos x .se n x (se n x ) dx O O s.sec x + tg A . cos2 x — — + — — + — 2~ + — — sen x , sent>x + 3 s« i 4 x.cos 2 x + 3.v<?h2 x.cos 4 y =xen 4 x.cos 4 x www.FreeLibros.me x *1 . sec x + eos 6 x 3 Eduardo Espinoza Ramos 220 , _ (sen2x + eos 2 x ) 3 _ 1 y ~ 4 4 4 4 sen a . e o s x sen a . c o s x 476 y = tg 25 x D esarrollo dv o y ' = — = 2tg5x.(tg5x)' = 2tg5x.sec" 5 a ( 5 ) dx 477 y' => — = 1 0 íe 5 A .sec ‘ 5 a ¿A y = —senx2 ' 2 D esarrollo y 478 , dy = — 1 = —co sa dx 2 (a 2 vi cosa2 ) = ------------ ( 2 a ) 2 => 2 y , ¿y = — 2 : dx y -se n ~ t3 D esarrollo y ’ = — = 2sent3(sent3)' = 2sent3 e o st 3(t3)' dx dv i y ' = — = 6 1 sent co sí = 3t sen2t ' dx 479 2 y = 3senx. eos" a + sen 3 a D esarrollo y' = dy — = 3 eos 4 a + 3senx.2 cos(-senx) + * 2 3sen~x.cos x dx y' = — = 3 eos3 a - 6 í c / í 2 a . c o s a + 3 í <?« 2 a . c o s a dx www.FreeLibros.me A COS A~ Diferenciación de Funciones dy y.= — = 3o eos 3 * - 3o sen 2a eos * dx y ' = — = 3 eos *(cos2 a - sen2x) = 3 eos x. eos 2 a dx 480 1 3 y = -tg x -tg x + x D esarrollo . dy 2 m 1 , y = — = tg - x ( tg x ) y - +\ dx eos a , _ dy _ tg2x - 1 + eos 2 dx eos 2 , => = dv dx = tg 'x cos~ a A j 2 2 , _ ay _ /£ 2 x —sen 2 x _ se/i 2 x —sen".r.cos a: dx , y 481 eos 2 dy = ~ 7 ~ = dx eos 4 a íe/TAÍl —eos 2 ' a ) ---------- 4 -------------------- = eos cosa 4 osen x 3 a a sen4x eos — 4 = tS x a y = - - — j- + - « ía D esarrollo , —1 sen 3 * (co s* )'—cos*.3sen 2 *(sen*)' 4 y = — (------------------------ 2 -------------------------------5“ ) 3 íen a 3sen a 1 - s e n 4 A -3 c o s 2 x.sen2x. 4 y = - - ( -----------------c--------------)3 sen x 3sen x 1 sen2a + 3cos 2 a s y = ~ ( ----------- 2 -------3 sen4x 4 3sen2x www.FreeLibros.me a 1 eos 2 a 222 Eduardo Espinoza Ramoé 1 sen2x + 3cos 2 x - 4 s e n 2x , ( ) 3 senx 482 , 3cos 2 .v -3 sen2x cos2* y = = — 3sen x sen x =* y = \]a .sen2x + ¡icos2 x D esarrollo ( a sen2x + p eos2 x)' _ 2 a senx.eos x - 2 p senx.eosx 2y]asen2x+ P e o s 2 x y = 48 3 2 yja se n 2x + P eos 2 x (a - P)senx.eos x I sen~x+ ^ yja p~ñeos 2 x 2 y = aresenx + árceos x ^ D esarrollo y -= = _________ — — Vi—jc Vi-*4 vi-*4 vr 4 4! 1 1 =* y = 0 * 4 2 y = —(aresenx) árceos* D esarrollo y ' = arcsenx(arcsenx)' árceos * + —(aresenx)2 (árceos * ) ' 2 , aresenx.árceos * (aresenx)2 . y = ........... —---------------, --- => y = síi^ x 2 i S ^ 2 ■ 1 2 . 2 árceos * - aresenx,. —arcsenx(------- =====-------- ) v rv 2 y = arcsen(^—^ —) * Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 22 , Vi —-X2 + a' árceos .t y = ---------- r - 7 = T ( l - x 2) y l l - x 2 48! , x árceos x - s l l - x 2 >’ = ------------------ 3 — =» y - -j=-arcsen(x.l—) yjb Va D esarrollo yfb \[b L_ x2b j ^ > J2a--Xx Á 2b E= Jb 48 • J a - x 2b vJ nr a » \ I a - x 2b y = V a 2 —x~ 2 +a aresen — * a D esarrollo a ( —) ’ y = -r V a2 - j:2 a —x _ V 9 — [ ? => y - - r 9 = a + - 1 yja - x 2 yja - Xy¡a —x a-2 JC = (a -x)(a + x) 9 JC \¡a2 - x 2 la —x Va -------- , ¡a-x y = j \a +x + jf para a > . 0 a —* + a aresen — a D esarrollo n 2 = Va - jc - x a (—) a 2 s/a 2 - A'2 ll-(-)2 www.FreeLibros.me , 2 a -x 2 V a2 - -x je2 2 a 2 s la 2 - x 2 Diferenciación de Funciones - y _ 491 2a2-2 a2 ■— - r j — 2 Va —x 2 ; a> r, 0 y = arcsen(l —x) + y ¡ 2 x - x 2 Desarrollo , _ d y _ y —— — dx y , dy (2x-x-)' H-----.-■■■■- —— fl-(l-x)2 Isjlx -x 1 -1 = ^ 492 (1 -a )' • - - + yj\-l + 2 x - x 2 r— , 1 -A ‘ - ■ dy -x dx sj 2 a - a 2 y =— =■ = > yjlx-x2 y = ( x - —) ar cs en ( y [ x ) + —y ] x - x 2 2 2 Desarrollo y ’= Q i - ( a - — ) ' a rcs e n yfx + ( a - —)(arcs en V a ) ' + — ( ^X- J L 2 = ) dx 2 2 2 dy— = a r c s e n frx +,w( a y•= — K / ,--------- + - ( ---,----------- ) 4 V T -v 2 2 V T-Tv , dy /— y = — = arcsenfah dx 493 1 l ~ 2x y , —— ) dx 2 a- 1 ¡. ■■■■ H 4 V a -a 2 1 . 2 a ■■ => y , dy r= — = a r c s e n fx 4 V a -a 2 y = ln(arcsen 5x) Desarrollo _ d y _ (arcsen5x ) ' _ ¿a arcsenSx 25a2 ^ arcsenSx www.FreeLibros.me dx 25 a " .a re sen 5 x Eduardo Espinoza Ramos 226 494 y = arcsen (ln x) D esarrollo 1 dy _ d-x 495 (ln x)' _ ^ ¡ l - ( l n x )2 x . , _ dy ^ dx 1—(ln x ) 2 1 X iJ \-( \n x )2 xsena ‘ y = arc/g (----------------) 1 - jc c o s a D esarrollo xsena (1 .., _ dy = ( l- .Y c o s a J dx ^ t xsena 2 - -*eos a)scna. - xsena(~ eos a ) y ' = ^ l = __________( l - x c o s a ) 2 _________ dx ( 1 - x c o s a ) 2 + x 2sen2a l-x c o s a ( l - .v c o s a ) 2 , _ dy _ sena - xsena. eos a + xsena. eos * dx l - 2 x c o s a + x 2 eos2 a + x 2sen2a 2 496 y = —arctg 3 . _ dy _ sena dx l - 2 x c o sa + x2 »*§ +4 ----3 D esarrollo J_ 5/4 y ' = *L = l dx 3 ( +4 , 3 } 5 ;g - + 4 => y' =^ = - ( — 2 dx 3 9 + (5tg — + 4 ) 2 l + (----- 2----- )- 2 -------- 3 9 5(9) y = dy_= 2 (_ ^'v 3 ^ j L ) 9 + 5 (rg ~ + 4 ) 2 ^ y ' = — = —( ^ www.FreeLibros.me 3 I * ----------2 co s2 | ( 9 + ( 5 r g | + 4 ) 2 Diferenciación de Funciones y ' —dy — dx ^ eos 2 ~ (9 + 25 tg 2 ~ + 40tg | + 16) y' = — , de donde se tiene: dx eos 2 ^ (2 5 (1 + /g 2 ~) + 4 0 tg ^ ) y ' = dy dx eos2 —(25sec2 —+ 40/# —) 2 2 2 , dy 1 y = — = --------------------- => dx 5, +l0osen — x e o s— x 2 497 , dv 1 y = -f' dx 5 + 4senx 2 y = 3b 2arctg. — ----- (3b + 2 x )\¡bx~: Vb —x D esarrollo ( /_*_)• _____ yb -x 0 [, 2 ■o \ (bx —x)' y =3b ---- --------------- 2 \ ] b x - x - ( 3 b + 2 x ) — * \2 2s j b x - x 2 , q [ _2 tlX L i 2n£T 7 b -x b (b -x) [J (3¿ 2 + 2 6 x -6 fc v -4 x 2) y =3¿> (-— =====--------- , = - ) - 2\ l b x - x ---------------------T-.-;-------2b f b - x ( b - x y [ x ) 2f b x - x 2 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza R am os 228 ------------------------------------------------------------------------- — 3b2 4(bx - a 2 ) + 3b 2- Abx - 4 a 2 3 s /b - x y [ x l'J b x -x 2 3b2 3 8a2 y jb -x jx 2 r- = 4a 3b2 + 8 a 2 - 3b2 8a2 2- j x s J b - x 2s j b x - x 2 ’ x Va - \fx\Jb -x 498 . 2s i b x - x 2 4 a2 y = -3b2 --------- — .---------- = 4 a , \jb -x \ b —x y = -y¡2arcctg ^¡= - ; V2 D esarrollo (« )’ y' = -V 2 ( ) -l => y' = ^ ( l+( & y¡2 ' 2 see 2 a . , - 1 2 c o s 2 a + 5 é?m 2 a eos 2 499 ■ 2 y V2CO S2 A ) - ! =- 1+ cos2 a 2 + ' s 2-* 1 -co s2a 1+ cos2 a s c h 2a 1+ cos2 a A y = Ve“ D esarrollo , y 500 (em ) ' aeax a 2y[?* 2s¡7* 2 = — r = = — F = = —ve' y=e D esarrollo y ' - e stn x (sen2x)' = 2senx. eos x.esfn * => y'=sen2x.esen ' www.FreeLibros.me s Diferenciación de Funciones 501 F ( x ) = (2tna,nx + b ) p D esarrollo F \ x ) = p i l m a + b)p~l {2m a,nx + b ) ' . derivando se tiene: F ’(x) = p i l m a ™ + b ) p~' 2m 2a"LX ln a F '{ x ) = 2 m 2p i l m a ™ + b ) p- ' a ™ \ n a 502 F(t) - e m eos p t D esarrollo F '(t) = a e ca eos p t - P e m senp t y => F' (/) = e a ( a eos p t - P senP t) _ ( a senP x - P eos p x)eax i Tin D esarrollo , _ ( a eos p x + b 2sen p x)ea* + a eax (a sen p x —¡8 eos x p .*) 504 v= e- X 10 ( 3 s e n 3 x -c o s3 x ) D esarrollo e -X y = 10 e (3sen3x - eos 3x) H-------(9 eos 3x + 3sen3x) e y = ----- i~3sen3x + eos 3a + 9 eos * + 3sen3x) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 230 y ' = — (10cos3x) - e Acos3x 10 505 y = x"a x D esarrollo y'=nx" 506 'a * + x " a x (-2 x ) ln a y' = a x x" '( => y = Veos x.a'^°s~' D esarrollo 1 = _(cos 2 vcosjc senx.a^C0SX y =— 2 Veos x senx.yj eos x .a ^cos 1 ln a 2>/co 5sx \ 1 i Jôix.senx senx ¡------- . . y = — v c o sx .a [—------1-------- .-v/cosxlna] 2 eos x eos x y ' = - ^ Veos x.a ',/cosA(tgx + tgx.yfco sx lna) 1 = — Veos a ^ cos t í^x(l + V cosx. ln a) c tg - 507 y =3 * Desarrollo www.FreeLibros.me - 2 x 2 ln a ) Diferenciación de Funciones 1 -c's - , y = 3 * 3 r = 2 *” i 2 1 1 / x sen — 508 i x ln 3 ctg- ln3 (xsen—) y = ln(ax" + bx + c) D esarrollo y , - 509 (ax~+ bx + c)' 2ax + b ax2 +bx + c a x 2 + bx + ln(x + \¡a 2 + x 2 ) D esarrollo X 1 ). ( x + sl a 2 + x 2 ) ' _ x + sj a 2 + x 2 x + yL 2 + x 2 -\l1a 2 + x 1 si a 2 + x 2 + x 1 si a 2 + x 2 (x + \ la 2 + x 2 ) Vfl2 + x 2 v = x - 2 \[x + 2 ln(l + sfx) 510 D esarrollo , :1 i , 2(1+ s ¡ I y _+ \¡X V = 511 => , , )> =1 \ + \¡X i s/x yj~X + X —(1 + sfx ) 4- 1 F= X . F=-----------= —r=------- r=~ => V x(l + V x) 1 sfx(\ + y[x) y = \n(a + x + yj2ax + x 2 ) Desarrollo www.FreeLibros.me 1 -7= + —F=Jx + x V ' , ^ 1 + sfx 232 Eduardo Espinoza Ramos . (a + x + s¡2ax+ x 2 )' y =~ a + xy¡2 a x + x 2 a +x 1+ 2 ax + x 2 y = _ a + x + j2 a x + x 2 V 2ax + x~ + x + a \¡2ax + x 2 (a + x + 'J2ax + x 2 ) si2ax + x 2 1 512 ln 2 x D esarrollo y ' = —y - - (ln x) ln x => y' = - 2 (ln ;c) (ln x ) ' , de donde se tiene y ' = - 2 k T 3 jc(—) = x 513 jcln 3 x y = ln(cos ——-) x D esarrollo . x —1 -)]' x ,x -l cos( ) X —1 X —1 -sen( )(------ )' ______ x x [cos( cos(----- ) X X , ; c- l . .. 1. , x —\. 1 . y = tg (------ )( 1 — ) = -? # (------ )(— ) => X 514 X X , 1 ,X -\. y = — T-tgi------- ) x - x~ X 5 v —l, n U - 2 ) -- (JC + 1)3 D esarrollo U - 2 )5 y = ln ——-2—= ln(.c —2)3 —ln(jv + 1 ) 3 (x+l ) => www.FreeLibros.me y = 51n(x —2 ) —31n(jt+-l) Diferenciación de Funciones 5 3 2x + \ \ x-2 x+l x -x-2 y =■ 5 ,5 , 2x + l 1 x -x-2 y = l n ^ 1)3(jC- 2) x -3 Desarrollo y - in í í — H i f — 11 - l n ( x - l ) 3 ( x - 2 ) - l n ( x - 3 ) x -3 y = ln(x - l ) 3 + ln(x - 2) - ln(x - 3) => y = 3 ln (x - 1) + ln (x - 2 - ln (x 3 1 1 -H x —1 x - 2 x - 3 516 , y =- => 3x 2 +16x + 19 (x -l)(x -2 )(x -3 ) y = ------ —r—+ ln(ígx) 2 se n 'x Desarrollo y sen 2x = ----- — + ln(rgx) => y = 2 cosx sec2 x y ' = — r - + -------sen x tgx y = , => cosx 1 sen3x senx.co sx 2sen 3x(senx)' (tgx)' -i L + AAjL 2 tgx co sx 1 y’= — r + sen x , cos“ x jg x eos 2 x + sen2x sen3x c o sx V = sen 3 x. cosx 517 y = ^ - J x 2 - a 2 - - ^ - l n (x + slx2 + a 2 ) Desarrollo www.FreeLibros.me s e n x.cosx Eduardo Espinoza Ramos 234 l~2 2 v.g V jL z « .+ . 2 ' 2 l~2 2* x------- _ — ( 2 y f^ - a 2 2 x +J J ^ á 2 2 2 , _ ;t —a + x 2 ^ a V* 2 - a 2 2 ^ \¡x - a ^ +x ^ V * 2 ~ a 2 (x + \l x 2 - a 2 ) lx 2- a 2 a2 2x2 - 2 a2 2sjx2 - a 2 2slx2 - a 2 2slx2 - a 2 >-' = — --------------------- 518 2 — , /“ J 7 =>y = > /* - a " y = ln(ln(3 - 2 jt3)) Desarrollo c 62 2 ln (3 -2 jc3) 519 ^ 6.r2 _ 3 - 2jc3 . [ln(3-2.r3) ] ' _ (3 - 2*3) ln(3 - 2 x 2) In (3 -2 jr3) y = 51n3(aA‘ + b) Desarrollo y'= 151n2(íir + ¿)[ln(a.í + Z>)]' => y' = 151n2(ax + ¿>).— - — ax + b 15flln2( a r + fo) y = -------------: ax + b— Cin 1 . s í x ^ + a 2 +X 520--------- y = l n ( - = = = --- ) \Jx~+ a —x Desarrollo v = lrt( * + ° + JC ) = ln ( s j x 2 + a 2 + x ) - \ n { \ l x 2 + a 2 —x) 2 2 y] x~ + a —x www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones . , (>Jx2 + a 2 + x )' (yjx2 + a 2 - a ) ’ . ................. r ......... , derivando se tiene: y = — 7- slx2 + a 2 + x s¡x2 + a 2 - x = y yjx1 + a 2 Va2 + a 2 \¡x 2 + a 2 + x y f x t + a 2^ —x a +V a2 + a2 x-yjx^+ a2 Va 2 + a 2 (Va 2 + a 2 + a) (Va 2 + a 2 - a)Va2 + a 2 = y 1 1 r+ Va2 + a 2 521 Va2 + a 2 Va2 + a 2 , 2 - a 2\) + — n ln------, y = — ln(A 2 2 a A+ fl D esarrollo y = — ln(A2 - a 2) + — (ln (A -o )-ln (A + a)] 2 , 2a 2a m . 1 n 1 . v = —(—5----- —) + — (-----------------) , de donde se tiene: 2 x~ -a 2a A - a A + a wa n ,A + a - . v + a , y = —— t + t ' (— ^ a -a 2a a —a" V = — A 522 a mx 2 n — H------------------ => -a 2 a 2 -a 2 . V =■ mx + n a 2 -a y = A.jen(ln a - —) 4 Desarrollo www.FreeLibros.me 2 Eduardo Espinoza Ramos 236 TC TC TC 4 4 4 y ' = s e n (\n x —- ) + jccos(lnx---- )(ln x 71 y ' - sen(\n x ) + cos(ln x 4 Tí ) ', derivando se tiene: ) 4 y ' = sen(lnA) eos — -- cos(ln x)sen — + cos(ln x) eos —■+ venOn x)sen — 4 4 4 4 n/ 2 y¡2 y jl s¡2 y ' = — sen(ln x) - — -cos(ln x) + — cos(ln x) + — 5¿/i.(ln x ) , por lo tanto 2 2 2 2 =s/2sen(ln a) 1 , 523 X. , y = -ln (/g 2 2 1 COSA sen2x 2 D esarrollo 1 (í? —) 2 6 2 2 £ 1 se n ~ x (-s e n x )-c o s x .2 se n x c o s x 2 sen4x 2 1 ? -X 3 . ^ 2 i x + 2 cos x.senx , , , de donde se tiene: éi-4 .----------------£ 2sen4A . — COS“ — y - 1 2 i 2 _ o A’ , 2 COS — 1 y 2 ~ 2 2 2 cos x + sen x 9 2sensx £ * ? 2A sec — y = O 4 A COS 2 , 1 A + l - + T— £ 2sen a 6 T =* , sec — 2 COS 2 , , A + l y = ----- —-+ -------- x— 45í;i£ 2sen a ■) www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 1 eos 2 X + 1 -------------- + ---------t — 4 eos - . s e n 2sen x y 2 , y 2 sen3x 2 sew'x 2 524 2 sen x + c o s ' x + \ =* => , 1 eos 2 X + 1 y = ---------+ 2senx 2senx sen}x \ I 2.1 i 1 + V x' + 1 / ( x ) = Vx +1 - ln -------------x D esarrollo Aplicando propiedad de logaritmo / ( x ) = Vx2 + 1 - ln(l + v x 2 + 1 ) + ln x , aplicando la derivada se tiene: x /tx > . , * v/x 2 + l . - £ ¡ L +i l + vx2+l * X X 1 Vx 2 + l ( l + Vx 2 +1) * ./ (x) = - j = = = = ------= = - + - v/x2 + l ~, . x '( l 4 - V x ' + 1 ) ~ X' + V x ' / W (1 + Vx 2 + 1 + 1 (1 + V x ' ■+■1 ) ^ ^ T u T - 1 ) + Vx 2 + 1 ( 1 + V x 2 + 1 ) / ’( * ) = — xV x 2 + í(l + Vx 2 + l ) f\x ) = x - Vx 2 + 1 + Vx 2 + l ( l + V x 2 + 1 ) xv/x2 + l ( l + V x 2 + l) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 238 ,, / ( at) = x2+ 1+ Va2 +1 sfx2+ 1(1+V*2+1) w = -------------- f= = = ----- a(1 + V a 2 +1) => / '( * ) = V a 2 +1 a(1 + V a 2+1) A D esarrollo y = -[ln(A 2 - 2 x + 1 ) - ln(jr2 + a + 1 )] , aplicando la derivada se tiene. 1 ^(a2 - 2 a + 1 ) ' * 3 , 1r2(a v =_[ 3 . (a2 + a + 1 ) ' ^ x 2 - 2x + 1 - 1)(a2 + .v + 1 ) ( a- - 2 a + 1 X a 1 3 ^ 2 x - 2 _____ 2a:+ 1 ^ x2 - 2a: +1 2 a + 1). ] + a+ 1) l r 2(A3 - l ) - ( 2 A 3 -3 .T 2 + l ) 1 3 526 ’ - (2a + 1)(jc2 - y =_[ ' _ x2 + x + 1 ] (a - I X a3 - ! ) ,_1^ 3a2 - 3 ~ 3 (a - 1 ) ( a3 - 1 ) a 2 -1 ( a - 1 ) ( a 3- 1 ) _ a3 A + l -1 a —1 A3 - 1 y = 2 "rcsenix + (1 - árceos3a)2 D esarrollo y '- 2 (arcsen3a )' ln 2 + 2(1 - árceos 3a )(1 - árceos 3a )’ 31n2 v r^ c y ’= 3 + 2(1-á rc e o s 3a ) 2 V i - 9 a2 V-— ( 2arc'm3 r ln 2 + 2(1 - árceos 3a )) V1 - 9 a 2 www.FreeLibros.me a2 + a +1 Diferenciación de Funciones i senax 527 3 sen ax 1 y — 3cosax h— 3 e o s 3 bx D esarrollo senax y - ym ax 3 . + sen ax — , aplicando la derivada se tiene: e o s bx 1 3 senax y =3^ ln X — eos i , . y = (3cosfc* ln 3 + bx ) *+ (— U v \ vw , o sen2ax — )( J C Íl e o s 2 fox , 528 y = —p ln (— ^ eos bx eos )2 (— eos bx )' foxe o s a x + bsenax senbx, eo s2 í g - + 2 -V 3 ) ,g í + 2 + 73 D esarrollo www.FreeLibros.me fox Eduardo Espinoza Ramos 240 . sec 2 - í ( f g ! + y ■= - i —[------- — + V 3 )-se c 2 ^ ( / g ^ + 2 -V 3 ) 1-------1-] 2 (tg& * 2)2 - 3 y _ rz , ' T X 2 x 2>/3sec“ b 2 sec _] =* y = ------------- 2 _ 2V3 (tg± + 2)2 - 3 sec 2 — 9 = ----------- - ......., por lo tanto: , i X . X 2 x x ( t g ~ - + l) + 4 t g ~ sec - + 4ig 9 a y = I = ------ 1------ x +, 4atg . — x 1i +, 4a sen — 2 529 1 + 2 senx 2 y = arctg (ln x) D esarrollo l ~x (ln x )' _ l + ln 2 x l + ln 2 * 1 530 _ _____ 1 y = ln(arcsenx) + —ln x(l + ln 2 x) 2 jc + arcsen(ln x) D esarrollo , (arcsenx)' , „ , (ln .r)' y = ------------ —+ ln x (ln x ) + arcsenx * J l- \ n 2 x 1 sjl - x 2 , ----In x +, ---------1 v , = _i---------+ arcsenx x .^ 1 - ln2 x www.FreeLibros.me 2 = ------------------------------ (tg^ + 2)2 - 3 sec 2 — y'= sec íg2^ + 4rg- + 4 - 3 Diferenciación de Funciones ln x - + —— + V i - x 2arcsenx x xV1—ln2 x 531 y = arcfg(ln —) x D esarrollo ( ln - ) ' X y> 1 i>32 y = + (ln i ) 2 \Í2 3 , , v _ (-in x ) 1+ ln2 * ,x(l + ln2 ;t) x 1. x - l arctg —==+ —ln V2 6 x +1 D esarrollo 3 ¡ + x2 + 6 ■ -_ L , * -1 x + \ . 533 x2- \ 6 ~T ~ 2 , V2 ^ 2 1 y = — (-?r — T )-' 3 V2(2 + * 2) 3(* 2 - l ) y '_ 2+x2 3 1 , 2 ^ - 2 + 2 + x2, ( ^ ) => 3 (x + 2 )(x - 1 ) , 2 1 3(2 + j:2) 3(;c2 -1 ) , 1 3* 2 y '- - h , 3 jt4 +Jr . )- 2 y = ln 1 + + 2a/rí£ V ^ 1- f s e n x D esarrollo y = In(l + 'Jsenx) —ln(l —f senx) + 2 arctgsfseñx www.FreeLibros.me x2 /+ jc 2 - 2 Eduardo Espinoza Ramos 242 (1 + yjsenx)' + yjsenx 1 yjsenx | + y/senx 1 eos x y/senx | yjsenx - -Jsenx 1 + sewx 1 K p = -+ y/senx 2 ( 1 + yfseñx) 1 c o sx \ , \ - y f s e ñ x + \ + y[señx, 1 . [ ~ ( --------- :-------- :--------- )+ yjsenx 2 1 - senx 1 + senx c o sx . ?34 . 1 ......................... ) 2 ( 1 - y js e n x ) \ + senx co sx 1 1 y = - = = [ - --------- + ---------- ] yjsenx 1 - s e n x 1 + senx 2 = —? = = [ y + sertx 2 1 eos* y = 2 ( J senx)' - ' + ----------- eos x 2 1 1— - yjsenx 1 eos x ■_ —yjsenx)' (1 ------ 7 = y yjsenx 1 H , => - s e n 2x => , eos x r 1 + senx + 1 - senx , y = --------- [ — -] yjsenx ( 1 - senx)(l + senx) co sx „ „ 2 y = ■/— (— x -) = yfseñx eos 2 x yjsenx cosx 3, x2 - 1 1 , .x — 1 1 y = - ln( ------ ) + - ln(---- -) + - arctgx 4 x‘ + l 4 x+1 2 D esarrollo y = ^ [ln (x 2 + l ) - l n ( x 2 —l)] + ^ l n ( x - l ) - ^ l n ( x + l) + —arctgx , y 3r 2 x 2 x 1 , 1 1 3 rx 3 - x - x 3 —x , 1 ,x + l - x + l 4‘ 4 „ '= ■?[------ t— — ]+ T C— r— — )+ , 3, 2 x4 - l 2x , x4 - l x2 - l 1 2 (x - 1 ) 1 1 1 2(x 2 +1) 1 2 , (x + 1 ) www.FreeLibros.me „ Diferenciación de Funciones , V -3a = --------------------- 1 a4 - 1 + a 2 —1 . V— 3a a2 a2 - 3 a — -H--------------------= ----------------------a4 - 1 A4 - 1 ---------------- 2( a4 - 1) / ( a ) = —l n ( l 2 + A )- a4 - 1 —ln ( A 2 - x + \) + ^¡=arctg(^ Xr ^) 6 V3 V3 D esarrollo _ 2_ f ' ( x ) = ---- ------------- ^ ---------------------------------2(1 + a ) 6 ( a 2 — A +l) ^ [ 1 ! ( ^ 4C~ ^ ) 2 ] V3 3 ( a 2 - a + 1 ) - ( 2 a - 1 ) ( a + 1) / (•*> = --------------- T ~~------------ + 6(a3 +1) 3 + 4 a 2 —4 a + 1 ( f'(x ) = 3a2 - 3 a + 3 - 2 a 2 -A 6(a3 +1) a2 - 4 a + 4 } 2 4a2 - 4 a + 4 1 v / ’( * ) = — -T--------+ . "■ 6( a3 +1) 2a2 - 2 a + 2 . (a - 4 a + 4 ) ( a + 1 ) + 3 a + 3 / ( * ) = ----------------- i-----------------6 (a + 1 ) / '( * ) = 3 + l - 535 a2 +1 a 2 - 4 a + 4 1 =>/ ' ( A)= 6 ( a 3 + 1) v a - 3 a 2 ( a 2 - a + 1) + 4 + 3 a + 3 => / ( * ) = ------------- -------------6 (a + 1 ) a3- 3 a 2 + 3a + 7 6( a3 +1) Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos \l (arcsen x + —=JL=) y j l - x 2 L \[Í- —a 2 /'(■*) = - 1 Í\X ): -a 2 \I\-X 2 n r/ arcsen x+x ■v/l ■Jl — -x .2 l-x 2 -x ( l - x 2) , , , . \]l —x 2 arcsenx / ( * ) = ------------ ^------( l - x 2) => ... . \ J \ - x 2 are senx f ( x ) = ------------- -------l-x 2 y = senil2 2x Desarrollo y'= 3senh2 2x.cosh2x(2) = 6se«/i 2 2A.cosh2A y = e™ cosh ¡ix Desarrollo y ' - e™ cosh Px + P e™ senhp x => y ' = e ax ( a cosh Px + P senh Px) y - t g 2h 2x Desarrollo y ' - 3tgh2 2x.----- \ — = 6 tg lr 2 x ( l - tgh22 a cosh" 2a y = ln (se n h 2 x ) Desarrollo , (senh2x)' 2cosh2A ' y = ------------- = -------------- —2ctgh 2 a sen h lx senh2x www.FreeLibros.me ) Diferenciación de Funciones 541 x2 y —a r c s e n h ( ~ ) a Desarrollo 2 y'= x 0 2x 2 a_ 2 a 542 2x y = arccosh (ln x) Desarrollo 1 , dy y =-r= dx 543 (ln * )' , , , t sj(lnx)2 - l => dy y =^-=- y¡(\nx)2 - l dx xy¡(lnx)2 - \ y = arctgh (tg x) Desarrollo 1 y ' - dy ~ rf* _ te*)' 1- (tgx) COS2 X l-(tgx) cos2 x a ^ s e n x ) eos X 1 eos 2 x - s e n 2x 544 eos 2 * eos 2 a y = arcctgh (sec x) Desarrollo ,_ d y _ dx 545 i/ y = orctgh{ (se c a )' _ sec 2 a -1 seCA f#A _ tg2x sec a _ tgx 2 a -) 1+ A Desarrollo www.FreeLibros.me 1 senx < _dy _ dx 1 sei Eduardo Espinoza Ramos 246 2x V y' = ^L = dx l + x2 . , §46 dy . dx (1+ r ) - ( 2x í y ~ (l + x - ) 2 - 2 X(2x -i / 2 (\ + x 2)2 - 4 x 2 “ (\ + x 2)2 - * 2 2 + 2x 2 - 4 x 2 —. 1 ~ 2 -2 x2 . a ~ + 2x2 +x4 - 4x2 , ¿ ^ 1 - 2 x2 + x4 y 2(1 (1 - jc2 ) —j t 2 ) 2 \-x 2 y - ^ ( x 2 - \)arctghx + ^ Desarrollo . dy , .¿ -K , 1 „ 1 y = — = xarctgh x + (— — )( j) +~ dx 2 l-x 2 2 , arctghx 547 1 1 f — => 2 2 , dy y = — = xarctghx dx x2 1 „ , x\¡l + x 2 y —(:— h —)arcsenhx —2 4 4 Desarrollo , ,x 2 K y = x arcsenhx + ( 1- —) 2 , 3 4 1 sl\ + x 2 - 2 4 4 yfl + x 2 2-V" 4-1 1 14- x 2 — JC2 4 V l + AT2 4sl\ + X2 ’ = .t arcsenhx 4- (----------) - V = x arcsenhx 4- ( v i- 2 x “ 4- 1 4 ) 1 2a: 4- 1 ===.= 4 s /Ü 7 www.FreeLibros.me , => y - x arcsenhx Diferenciación de Funciones 548 Hallar y' sí: a) y= |x | Desarrollo ■ x si x > 0 Si y = | jc |= ^ derivando y - x si * < 0 Luego y '= 1 , cuando x > 0 y / = - 1 Cuando x < 0 y y' (0) no existe b) y=x |x| Desarrollo y = x |x |= 0 derivando y' | - x 1 si x < 0 549 Hallar y' sí: y = ln | x |, (x * 0) Desarrollo jc’ y = — X 1 =- => X , 1 y =— X 1 550 - x cuando x e~x cuando x Desarrollo 1 / '( * ) = 551 < 0 Hallar f ' ( x ) si: / ( x ) = cuando x < 0 - e ~ x cuando x > Calculo /'( O ) sí: 0 f ( x ) - e * co s3 x Desarrollo www.FreeLibros.me > 0 Eduardo Espinoza Ramos 248 f ' ( x ) = e x (~3sen3x) - e * co s3 * / '( 0 ) = -e °(3 se n 0 + cos0) = - l 552 => f ' ( x ) - = e A(3sen3x + eos 3*) => / '( 0 ) = - l f ( x ) = ln(l + x) + arasen— . Hallar / '( 1 ) Desarrollo 1 9 f \ X) = +-F ± = = l+ x * /-(i)= i+ -L 2 S 553 => =» f \ x ) =— 1 1 .~r = \ 4 ~ / x i ) = —+ — 2 3 y ^ t g * — .H allar ^ 6 dx x -2 Desarrollo , ^ iK x ->nx n n , nx /ta \ 2 y = 2>!g- — .sec“ -— .— = —(/* — .sec— )6 6 6 2 6 6 .i dy 4 ( r ^ .s e c ^ 4 ( ^ .2 ) y 1^ 2 = 7dxx=2 2 3 3 2 554 2 4 (3 )(4 ) = 6^ 2 Hallar //( O ) y /^(O ) para la función / (a) = -<Jsenx2 Desarrollo Por definición / +/ (0 )= lim h —»+o ’' • h .v 7/. ?.(.)■>'■' .( :• i ; Como f (x) = ■<]senx2 , f(0) = 0, f ( 0 + h) = yjsenh2 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones , el/ns i- \ s e n h 2 -O sj senh2 Luego: / ' (0) = h m ---------------- = h m ----------fc- > + 0 h h-* o /i senh / / ( 0 ) — lim h—>+0 V = 1 f L (0 ) = hm ~ A- * - 0 1 = 1 1 = A—>o senh‘ '\jsenh2 /.'(O ) = lim — — = lim ^ h h-*~O /i— o - l ~h 555 h = — /_/ (0) = - l Dada la función / ( x ) = e * . Hallar /(O ) + x / '( O ) D esarrollo Como f { x ) = e~x / ' ( 0) = - l 556 =5» - 1 .j, derivando se tiene f ' ( x ) = - e ~ x Luego /(O ) + x / ’(0) = 1 - x y f(0) = 1. Dada la función f ( x ) = Vi + x . Hallar: / ( 3 ) + ( x - 3 ) / ' (3) D esarrollo Como / ( x ) = Vl + x derivando se tiene / ’(x) = — 2 Vl + x Luego f(3) = 2 y / '( 3 ) = 4 / (3) + (x - 3 ) ./ '(3) = 2 + x -3 x+5 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 250 557 Dadas las funciones f(x) = tg x y <p(x) = ln(l - x). Hallar ^ ^ <p'(0 ) Desarrollo f(x) = tg x => / '( x ) = sec2 x (p(x) = ln(l - x) => 2 f ' ( x ) - sec x j (p \x ) = -----Jt - 1 558 => <p’(x) = - * l-x x- 1 f / '( x ) = l f • Luego: [<¡P'(x) = — 1 /'(O ) 1 —— - = —- = -1 (p (0 ) - 1 JÍX / '( 1 ) = -1 cp(x) - \ - sen(— ) => <p'(x) = —cos(— ) ' 2 2 2 => <p\x) = — (0 ) = 2 0 <P'(D_ 0 _ Q / '( l ) 559 - 1 Demostrar que la derivada de una función par es una función impar y la de una función impar, es par. Desarrollo Sea f(x) una función par, entonces: f(-x) = f(x) / '( - x ) ( - x ) '= f ' ( x ) - f ' ( - x ) = f ' ( x ) => / ' ( - x ) = - / ' ( x ) . Luego f ' ( x ) es impar. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones Si g(x) es impar g(-x) = - g(x) => g ' ( - x ) ( - x ) ' = - g ' ( x ) =>- g '( x ) = - g '\ g '( ~ x ) = g '( x ) . Luego g '(x ) es par 560 La derivada de una función periódica es una función periódica. D esarrollo Sea f(x) una función periódica cuyo periodo sea T, es decir f(x + T) = f(x), f ( x + T )(x + T ) ' = f ' ( x ) f(x ) 561 => f ' ( x + T ) = f ' ( x ) es periódica Demostrar que la función y = xe~x , satisface a la ecuación x y ' = { \ ~ x ) y . y Desarrollo Como y - x e ~ x => y' = e~x - x e ~ x x y '= xe~x 562 - x) =* => y ' - e ~ x (l - x) x y '= { \-x )x e ~ x = { \ - x ) y => x y '= (\-x )y e~ x 2 Demostrar que la función y = — satisface a la ecuación xy' = { \ - x 2 )y Desarrollo e~ * 2 . Como y = — derivando se tiene: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 252 563 Demostrar que la función y = -----------1 + x + ln x satisface a la xy'= y ( y l n x - l ) D esarrollo 1 y = --------------1 + x + ln x , ( 1 + x + ln x ) ' =5> y = ----------------- 7 ( 1 + x + lnx) 1 . + X y = — (1 + x + ln x ) 7 ■ * + ! = ------------------- 7 x(l + x + ln x ) . * + 1 => y = --------- -y x 2 xy' = —(x + l ) y 2 —(1 ) Como y = =* y( 1 + x) = 1 y2 (1 1 - y ln x, de donde se tiene: + x + ln .v + x) = y(l - y ln.v) ...( 2 ) Reemplazando (2) en (1) se tiene: xy'= - y ( l - y ln x ) .% xy' = y (y ln x —1 ) 7) 564 D ER IV A D A L O G A R IT M IC A .- V* f '(x) Sea y = f(x). Entonces (ln y )' = — = . Hallar y ' , sí: y /(* ) 3f ~ 2 y = Vx ^—x 1 - s e n 3 x.cos 2 x +x D esarrollo 2 5 ln y = —ln x - ln(l + x ) + ln(l - x) + 31n senx + 2 lncos x www.FreeLibros.me ecu 2 Diferenciación de Funciones y' 2 2x 3 cosa: 2 senx - + -------------------l +x senx eos x -1 —=— + y 3x l - x 2 1 y . = y ,(-— 3x l - x 565 2x + 3ctgx , - ,Itgx)X l + j^ Hallar y ' , sí y = (senx)* Desarrollo Tomando logaritmos se tiene: y x eos x — = ln( senx) + y senx Ln y = x ln (sen x) =>y ' = y (ln senx + x ctgx) y ' = (senx)* (ln senx + x c t g x ) 566 y = (x + l)(2x + l)(3x + 1) Desarrollo Ln y = ln (x + 1) + ln (2x + 1) + ln (3x + 1) y’ y 1 + A+ l 2 3 2x + \ 3x + 1 ---------- + _ --------- => y , 1 2 3 x+ l 2x + l 3x + l = y ( --------- - + - ---------- + - --------- - ) ’ y' = (2x + l)(3x +1) + 2(x + l)(3x + 1) + 3(x + l)(2x + 1) 567 (x + 2)2 y= (x + 1)3(x + 3) 4 Desarrollo ln y = 2 ln (x + 2) - 3 ln (x + 1) - 4 ln (x + 3) y' = 2 — y x +2 3 4 x+1 jc + 3 . donde , a se tiene: ,• , de www.FreeLibros.me 254 Eduardo Espinoza Ramos 2 ( x + ! ) ( .* + 3 ) - 3 ( jc + 2 .) ( x + 3 ) - 4 ( x + 2 ) ( x + 1) ( jc + 2 ) ( jc + 1 ) ( x + 3 ) -5 x2 - \ 9 x -2 0 •= y y (* + 2 )(* + l)(* + 3) , -= 5 jc 2 + 1 9 * + 2 0 (jc + 3 ) 4 U + 1 )3 ( a + 2 ) ( x + 1 ) ( j: + 3 ) U + 2 ) ( 5 jc2 + 1 9 a: + 2 0 ) y = 568 (x + 2 )2 (a + 1)4(jc + 3 ) 5 p E - j 1) V x-2 D esarrollo Ln y = -^[ln x + ln(x - 1 ) - ln(jc - y' 1 ,/! , y 2 — — — f- 1 ¡x (x -l) V x-2 x-l )] 1 , _ H------------------------ ; x 2 =? y x-2 , y / U - l X J C - 2) +jc(jc- 2) - x ( a c - l ) x = — í ------------------------------------------------------------- ) 2 x(x-\)(x-2 ) 1 x 2 - 3x + 2 + x 2 - 2x - x 2 + j; ’2 jc U -l)U -2 ) y j x ( x - l ) ^ x2 —4 x + 2 ^ 3 569 2y fx ^2 y = x¿- * 2 .r ( * - I) U - 2 ) ^ y - 4 .v + 2 2y¡x(x-l)(x-2) x2 x 2 +1 D esarrollo ln y = ln x + i[ ln x 2 - ln(j ; 2 + 1 )] y' 1 1 2x 2x . — = - + t ( — ---- 2 — } => y x 3 x x +1 y' y 1 1 2 2x . = - + - ( ------- 5 -----) x 3 jc x +1 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones y' 1 y a — , 2 2x 3a 3(a2 +1) 1----------------------------------= > 3 a :2 + 5 y = y ( ----- 5— 3a(a +1) , 2x , 5 3 a: , 5 a:2 + 5 - 2 a 2 „ 3 (a2 +1) J x2 . 3a2 + 5 )=■*? —— (— ^— ) => Va , = y ( ------------------------------------ ) = y ( ---------------------------— ) y +1 3a(a +1) 3 a ( a 2 + 1) , y - 3a 2 + 5 — 5— Desarrollo ln y = 9 1 n (A -2 )-^ [5 1 n (A -l) + 11 ln(A -3)] i ^ = — — I(_ L .+ _ L L ) y a - 2 2 a —1 a - 3 18 ( a - 1 ) ( a - 3) - 5 ( a - 2 ) ( a - 3) - 1 1( a - 2)( a - 1) y = y(----------------------------------------------------------------- ) (a - 2 ) 9 ^ y , V (a - 1 ) 5(a - 3 ) “ y= 2 2(a -1 )(a - 2 ) ( a - 3 ) (a - 2 ) 8(a 2 - 7 a +1) = : ------------------------— ■■■ ( a - 1)(a - 3 ) ^ ( a - 570 2a2 -1 4 a + l)5 (a - — 3) 1 1 Va -1 , , y/(x + 2)2 y/(x + 2)3 Desarrollo ln y = ^ l n ( A - l ) - j l n ( A + 2 ) - ^ l n ( A + 3 ) www.FreeLibros.me v a2 — 3 (a " + 1 ) \ a ~ + 1 \ Z( a - 1 ) 5 ( a - 3 > " 2(a -1 )(a - 2 ) ( a - 3 ) I Eduardo Espinoza Ramos 256 = y ( 2 (x -l) y - 3 (x -2 ) ) 2 x+3 . 3(x + 2)(x + 3) - 4( x - 1)( x + 3) - 9(x - l)(x + 2) ) y( 6 ( x - l ) ( x + 2 )(x + 3 ) •- - 5 x 2 - x + 24 ^Cx + 2) 2 >/ u + 2 )3 ) 3 ( x - l) ( x + 2)(x + 3) 5x2 + x - 2 4 3 ( x - l ) 2(x + 2)3(x + 3) 2 572 y = x* Desarrollo ln y = ln x x = x ln x , derivando y' — = lnx+l => y'= y(lnx + 1) => y'=x*(lnx + l) y 573 y= Desarrollo 2 ^ ln y = ln x * = x ln x , derivando se tiene: — = 2 x l n x + x => y' - y ( 2 x l n x + x) = x x ( 2 x ln x + x ) , de donde se tiene: y / = x * 2 +l( 2 1 n x + l) i 574 y = ífic = X* Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones ln y = ln x x y' 1 -ln x 2 y 575 => JT ln y = x , derivando se tiene: , 1i - m ln x sy = y ( — 2r ~ )7 => , xrx¡~ r1 - il n x . Jy = v x (' — 2r— ) X¿ v = x^ Desarrollo ln y = ln x ^ = Vx ln x y' ln x Vx — = — 7= + y 2Vx x y' = x 576 => , ln x 1 . y '= y (— —+ _ ) 2Vx Vx => , x . 2 + ln x . V' = XVJ(----- = - ) 2Vx sTx-X i 2 ( 1 + —lnx) y = xJ D esarrollo ln y = ln x * = x * ln x , derivando se tiene: — = x^í—) + (x x) ’ln x = ( x A)' = x J'(ln x + 1 ) y - x*(—) + x’t(lnx + l)ln x x => y ’ = y[x*(—+ ln2 x + lnx)] x y ' = x x' x x(— + ln2 x + ln x) x 577 y = x smx Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 258 ln y = ln x senx = senx. ln x , derivando se tiene: y = cos.v.lnjM . senx — y x y 578 = a s e n x ,s e n x ( --------- + X / i a + -----senx ) , de donde se tiene: y . = y(cosA.ln x . . eos X ln a ) y = ( c o s a ) 1*"* Desarrollo ln y = l n ( c o s x ) senx = s m A . l n ( c o s a SCfí X V — = eos x. ln(cos a ) ------------------- = > y eos x ), d e riv a n d o se tiene: y' = y [eos x. ln(cos x) - senx.tgx ] y '- ( e o s a ) 1*"* (eos .v. ln(cos a) - senx.tgx) 579 y= (1 + 1)* A Desarrollo ln >’ = ln(l + —)* = a ln(l + —) , derivando se tiene: A A 1 ( - -=•) -v = ln(l + 1 )+ => A y '= y[lri(l + 1 A 1 A H----X y = y tln (l 580 + --) + A A ( A( A + ) + a *“ ] X + 1 A - 1) =* y ’= ( l + 1 )" ln[(l + 1 ) - y = (arctgx)* www.FreeLibros.me A A -1- ] 1 A + Diferenciación de Funciones D esarrollo ln y = ln(arctgx)x = x\n(arctg x ) , derivando se tiene: y = \n(arctgx) + x - - - - - arctg x => y' - y[ln(arcfg Jt) + x —+ — ] arctgx y' = (arctgx)x [ln(arctg x) + (1 2.3. + x )arctg x DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NO ESTAN Di EXPLICITAMENTE.a) D ERIV A D A S DE LA FU N C IO N IN VERSA.Si la derivada de la función y = f(x) es y[ . , (y ) será. inversa x = / b) 0 , la derivada de la / I dx 1 x v = — , o sea — = y y'x dy dy dx D ERIV A D A S DE FU N C IO N E S EN FO R M A P A R A M E T R IC Si la dependencia entre la función Y y el argumento x viene d< í x = <p(t) medio del parámetro t. i Se tiene y{ = c) x dy en otra notación es: — ■dx dx dt D ERIV A D A DE LA FU N CIÓ N IM P L ÍC IT A : Si la dependencia entre x e y viene dada de forma implícita F(x,y)= para hallar la derivada y'x = y' en los casos mas simples, bastará: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 260 1) Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro de la ecuación (a ) considerando a y como función de x. 581 2) Igualar esta derivada a cero, es decir, suponer que: 3) Resolver la ecuación obtenida con respecto a y ' . Hallar la derivada x y , si: 3x + x 3 ~ y a) Desarrollo dx _ dy y=x b) 1 3 + 3x 2 senx . 2 Desarrollo / _dy eos x y ' = - ¿ - = 1 --------- ' dx 2 dx • dy 2 2 - eos x X c) y = 0 .lx +e 2 Desarrollo www.FreeLibros.me — F (x, y) = 0 dx Diferenciación de Funciones ,,d y C A L C U L A R LA D ERIV A D A y ' = — de las funciones siguientes dad dx forma paramétrica. 582 a = 2/3 y=t 1 Desarrollo a = 2/ - 1 y =r M =2 * . , , derivando tenemos: 3 dv y¡ 312 — = —V = — dx A = - + l t 583 Desarrollo A = - + l ( t+ i r I 2t y = (— Y t+ y, 1 2 (f+ 1 ) 1 dy _ y ' _ (t + l)3 _ dx derivando se tiene: 2í t +1 2at A= - 584 1 +r a(i - t 1) y=- i+ r Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 262 x=- 2a(l -_ñ 2 at a + t 2f -Aat a ( \ - t 2) y=- y',= +, 2 1 (1 + r )2 -Aat dy , yj dx x x[ (1 +V2 ) 2 2 a ( l(1 _ 2 21 1 dx I-f2 / 2 )2 \ - t 2 + f2 ) 2 3at x=■ ñ 7 585 3 a í2 y= 1 +,3 Desarrollo jc 3ar = - = 3 a /(l-2 / ) í7 7 (1 3 a í2 y =1 / + r3 + / 3 )2 3 a t(2 -t ) y' “ d + .! >! 3 a t(2 -n ^ = , y' = (l + < 3 ) 2 r( 2 - / 3) 3«(1—2/ 3 ) 2 1 - 2 /3 (1 + í3 ) 2 586 Desarrollo www.FreeLibros.me dx Vx l - 2 í3 Diferenciación de Funciones \x = J \y = t í y[~ ~ w 1 d y = v ¡ = y ¡ _ _ 3 tft* _ _1 _ 2 .v = V ^ 587 ty= 2yft 3 _ _2_ # 3^ >/f +1 1 V¡r + i D esarrollo x, = r2 + l ,v = t +1 í^ l y' = _ i l L _ +1 (r + 1)2 1 +f <ty = i _ y', _ ( i 2 + D 2 _ ( i + / W i + r _ Í¿Y /(1 (r+ dy _ / _ 1 1)2 +1 d x ~ y* ~ t ( \ + r ) 588 1 aí = a (c o s / + ts e n t) y = a ( s e n t - t cost) Desarrollo www.FreeLibros.me +/ + / 2) 264 Eduardo Espinoza Ramos x = a(cost + t sent) I jc, - a t eos t y = a ( s e n t - t eos t) [y, = a ts e n t dx 589 x x¡ a tse n t _____ sent at eos t eos t í =yx=tgt dy = tg t / L r= a c o s t [ y = bsen t Desarrollo X = ÍJ C O S ' / I y = bsen t *y = y ' = 2 l dx Vx xf. 590 \x¡ = - 2 a sent eos t [y ,7 = 2bsen t eos t I b ts e n t eos t b - 2 a sent eos t a ^ = v / =dx .x - a eos t [y = bsen t D esarrollo x = ¿reos t [y = bsen t I x[ - - 3 a eos 2 t.sen t [y ,7 = 3b sen21.eos t 3b sen tc o s t l l = y l = *- = dx yx XÍ -3 a eos2 1sent x= 591 tg t eos3 1 Veos 2 / sen3t Veos 2 / Desarrollo www.FreeLibros.me dy i b - f = y'x = — t g t dx a Diferenciación de Funciones x= y= 592 eosi t Veos 2/ / eos 4 t.sen t —3cos 2 t.sen3t x, = ------------------= = -------eos 2/.vcos 2í sen3t / _ 3cos 3 t.sen2t - sen41.eos / Veos 21 eos 2r.Vcos 2/ x = árceos V i+ 7 2 y = arcsen D esarrollo x, = zJ. V T w 5’ y = arcsen _ y, y, = - v r+ í2 dx , de donde se tiene: v W = -i sil + r 593 í'= [y = Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 266 594 x = a(\ntg — + cost - sent) y = a(sent + cosí) D esarrollo x = a(ln tg — + cos t - s e n t ) x[ =• a - cos 2 — - a s e n t - a cos t í 2 sen — O => / .1 / , x. = a(—ctg — sent - cos t ) ' y = a(sen t + cos t), derivando se tiene: dy _ y,7 _ V ' 595 2 2 y ,7 = a(cost - sení) a ( c o s í- s e n í) /I ' a(—c t g — s e n t - cos f) 2 2 dy n Calcular — para / ----- , si: dx 2 (x = a ( t - s e n t ) < ly = a ( l- c o s ? ) D esarrollo x = a(t —sent) f a ,7 = a (l - cos t ) y = o ( l- c o s f ) [yr =asent asent *L=y' = 2 l = x¡ a (l-c o s f) d* - 7 1 -co s/ x = /ln r 596 Hallar — para t = 1, si: dx sen sent v_ * Desarrollo www.FreeLibros.me dx <—“z 2 _ ,1 —cos — n 2 -= 1 1 - 0 Diferenciación de Funciones x = l ln / x¡ = ln / + l _ ln i ' / 1 dy = y / ¿V _ - ln t l)l£ -ln / _ r _ 1+ lnr dy 597 y, Jr l-ln (l) dx t=i 1 y< = — 5 - i / 2(l + lní) 1 - 0 l(l + ln(l)) u „ dy Hallar — dx i- h » 1 dy dx i=i = 1 +0 n . \ x - e eo st para I = — , si: < 4 I y = e'sent D esarrollo \ x - e ' eo st I xt - e ' eos t —é sen i I y = e sent [y ,7 = e'sent - e ‘ eos/ dy _ i _ y, _ e ' ( s e n t - e o s t ) _ s e n t - c o s t dx * , dy sen dx 7l> 598 eo s x\ n 4 n 4 e' (eos t - s e n t ) n e o s— 4 V2 — -----------„ 2 0 0 — ** - ~ —=r OO k 7 2 yÍ2 0 se n — 4 9 - 7 Demostrar que jc = 2f + 3 r s¡2 eos t - s e n t la función y, dada por satisfacen a la ecuación: [y = t + 2 t Desarrollo www.FreeLibros.me las ecuaciones dx dx param étr Eduardo Espinoza Ramos 268 \x = 2t + 7>t2 jx¡ = 2+ 6f [y = / 2 + 2 / 3 [y,/ = 2 / + 6 / 2 dy _ y j 2f(l + 3í) _ f <¿c 2(1 + 3/) Á dx 599 Para ^ 2 + 2 ( ^ ) > = ,2 + 2, J = y dx . x = 2 se cumple la igualdad x 2 = 2 x , ¿se deduce de esto que ( x 2 ) '= ( 2 x)' para x = 2 . Desarrollo Si ( x 2)'= (2x)' => 2x = 2, para x = 2, se tiene que 4 = 2, es falso. L u e g o p a ra x = 2 se tiene x 2 = 2 x no se cumple que ( x 2)' = (2x)' para x = 2. 600 Sea y = \Ja 2 - x 2 . Se puede derivar miembro a miembro la desigualdad de x2 + y 2 = a 2. D esarrollo Com o x 2 + y 2 - a 2 => 2x + 2y' = 0 de donde y ' = —— Ahora como y = y f a ^ - x 2 => — = .de donde — = \¡a —x 2 3! % dy Luego se cumple, puesto que es una identidad. Hallar la derivada y ' = — de las siguientes funciones implícitas y. 601 2x - 5y + 10 = 0 Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 2 x -5 y + 1 0 = 602 x2 v2 — + -¿=- = a 2 b2 0 => 2 -5 y ' = 0 de donde y ' 1 Desarrollo 2 x 2 y' — a + ~bá r = 0 603 y =* , b b2 x =* a > = " a2 x3 + y 3 = a 3 Desarrollo x 3 + y 3 = í* 3 604 => 3 x 2 + 3 y 2 y' = 0 => y 2 y' x 3 + x 2y + y 2 = 0 Desarrollo 3 x 2 + 2xy + x 2 y 'x + 2 y y ' = 0 =» ( x 2 + 2 y )y' , 3x*+ 2xy y =— x2 + 2 y 605 \[x + yfy = y/a Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 270 606 sfx* + ^/y2 = sfa2 D esarrollo 1 1 1 jc3 + y 3 = a 3 y y 43y . = -4x 3 => 607 -- 2 — _i —x 3 + ^ y 3y ' = 0 => y' - - —=r i —= tfy tl x => => -1 jc 3 + y 3 - y' = 0 y y .= - ?J/ — \x y3 - * ^ jc+ y D esarrollo -j 2 , 3y y = U + y X l - y ’) - ( * - y X l + y ' ) ; 3 -------------- U +y) 3 y 2 ( jc + y ) 2 y'= 3y (jc + y ) “ y' = V=— 3y 2 (jc + . , Luego y - y = y jc y - (* + + 2 jc - 2.ry' +2 => - jc 2 y 3 y 2 (jc + ■>’)( jc + y) + 2jcy - - y)y* ( jc (3 y (jc + y ) i J-y como y' - — Jc + y z y) y ) y ’—( jc - y ) +-2jc)y'=2.y => 2 3 / \ v ( x + y) = jc - y y2 3(.x - y ) ( x + ty) + 2xy 2y 1 2y2 3y3(x + y)(jc+y) + 2xy 3 {x - y )(x + y) + 2xv 2 y2 3(x 2 - y 2) + 2xy www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 608 y - 0.3 sen y = x D esarrollo y '- 0 .3 c o s y .y '= l ,_ y '( l - 0 .3 c o s y ) = l _ 1 l - 0 .3 c o s y 609 => 10 1 , 1 3 1 0 -2 c o sy eos y 7 10 ,_ _ ^ 10 3 eos y a c o s 2(x + y ) = b D esarrollo 2a cos(jc + y)[—sen(jr + y)(l + y ' )] = 0 , de donde se tiene: - 2 a cos(x + y)sen(x + y)(l + y ') = 0 -asen2(x + y)(l + y') =Q 610 => l+y'=0 tg y = xy D esarrollo sec2 y .y' = y + x y’ . => y _ sec2 y - * 611 (sec2 y - x ) y ’= y y eos 2 y 1- . ícos 2 v X x \ = arctg(~~) y Desarrollo www.FreeLibros.me => y' = - l 10 Eduardo Espinoza Ramos 272 xy y xy+ — T =— 2 ~y x ¿ + y ¿ x ' + y~ x y '(l + x 2 + y 2) = y ( l - x 612 , A + x *+ y2 , ,i-x -y , 2 ) = -v (— 1 2 ) x ¿+ y ¿ x¿ + y ' =* 2 •*?(— - y 2) i 2 y ' = ^ ( — V 1^ ) x 1 + x“ + y => arctg (x + y) = x Desarrollo 1 + > ,,=I l + (x + y )“ 613 => l + y '= l + (x + y ) 2 => y '= ( x + y ) 2 ey =x + y Desarrollo e y .y' = l + y' 614 => e y , y '- y '= 1 => y '( e ;v- l ) = ] => y' = ey - l _r \ nx + e x =c Desarrollo i - 1 — + e x ( - X~V■■■■■—) = x x _í e y ( - x y '+ y) = - x xex + y y = 615 => 0 -x + e x ( - x y '+ y ) 1 => - x y '+ y = - x e * = 0 2 => x y ’ = x e x + y => y ’- e x +- ln v + — = c y Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones — + —— y y* = ( y - x ) y '= - y 616 y => 0 y y '+ y - x y ' = => i ■/ 2 (y - x )y '+ y = 0 0 ==> y ' = - y x-y y' = — — y-x 2\ arctg — - —ln(x~ + y ) x 2 Desarrollo x y '-y x y '-y v2 x + y .y ' — = - Z2 - iLTZ >\2 x +y \+ (-y ~ x x y '- y y ' = x + y 617 íx 2 +2y =* => L x +y ~ Z x + y .y ' = Z x +y ' " (x -y )y ' = x + y L => => xy - y - x + yy' x y ' = ---- — x-y y = c.arctg — x Desarrollo x y'-y x + yy' a:2 x+yy' _ ^ x y '- y l+(^ )2 x \Jx2 + y 2 * 2 - r yjx + y 2 x y '- y x+yy = c .- p = = r ■Jx2 + y 2 => yy[x2 + y 2 - e x + y2 , cxy' cv y y — = = = = — .— i - ^ - x yjx2 + y 2 Vx 2 + y cy + xyjx2 + y 2 y (.---------------------- ■----- ) = —( -------- P - -------------- ) y[x^+ y2 v n 7 sjx2 + y 2 . , n ~x yiy y jx +y -c x ) = -(cy+x-sjx + y ) => -+■ www.FreeLibros.me . cy + x J x 2 + y y" -= ---------y cx-y-Jx2 + y Eduardo Espinoza Ramos 274 618 xy = yx Desarrollo l n x v = ln y x , derivando se tiene: vi , , xy' - + y ' l n x = ln y + — x y => => — + y 'ln x = ln v + — x ' x y ln x -x ^ y 619 y + y 'x l n x x y ln y + xy' - x y 'l n x - — y ' = ln y - — y x x \n y -y x y, Hallar y' en el punto M ( l,l) sí: y^x ln y - y j x y ln x -x 2y = l + xy 3 Desarrollo 2 y ,= y 3 + 3 x y 2y' > _ 620 2 - 3 xy 2 => 2 y '-3 x y 2 y '= y 3 ^ => (2 - 3xy 2 )y '= y 3 ^ yV u )~ 1 Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación en los puntos que se indican: a) (x + y ) 3 = 27(x - y) cuando x = 2 e y = l . Desarrollo 3(x + y ) 2(1 + y ') = 27(1 - y ') =* 3 (x + y ) 2 + 3(x + y ) 2 y '= 27 - 27y’ www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones , (3(x + y ) 2 + 2 1)y '= 2 1 - 3(x + y ) 2 2 7 -3 (x + y )2 3 (x + y ) 2 +27 _ 2 7 - 3 ( 2 + 1) 2 _ 2 7 -3 (9 ) _ O =* y 'U z j ) y P(2,1)" 3(2 + 1) 2 + 27 " 3(9) + 27 " 54 ~ b) y e y = e x+ , cuando x = 0 * 0 e y=l D esarrollo r x+l 4. ye ™ y y »'= e x+l y' e,yy + e ey + yey •I y W » - e+e ~ 2e~ 2 c) 2 -i _ ^ 1 2 y y = x + ln — , cuando x = l e y = l D esarrollo xy-y 2 y y ' = l-i— ----y => 2 y y '- l + ^ V l Z xy =* 2 X ^ 1 _=> 2 y y . y = ,1 -------y x y 'U i.D - i( 2 _ i ) ~ i _ 0 - K) = ------*-i y „iy (--------y x ^ y 'U i ) - ° www.FreeLibros.me - y* yy' = l + — - — jt( 2 > . 2 - n Eduardo Espinoza Ramos 276 2.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVADA.a) E C U A C IO N D E LA TA N G E N T E Y DE LA N O R M A L.La ecuación de la tangente a la curva y = f(x) ó f(x,y) = 0 en el punto M U o J o ) es: y ~ y p - y o ^ ~ x o) donde es el valor de la derivada y' en el punto M ( x 0, y 0 ). La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuación es: ■y-ô + y ó ( y - y o > = ° b) A N G U LO E N T R E CURVAS.E1 ángulo formado en las curvas y = / , ( * ) e y = / 2 (■*) en su punto común M ( x 0, y 0 ) está dada por la fórmula: tgw c) SE G M E N T O S, R E L A C IO N A D O S CO N LA T A N G EN TE Y LA NORM AL, PA RA EL C A SO DE UN SISTEM A DE C O O R D EN A D A S CARTES1ANAS.La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En la figura). t = TM , llamado segmento tangente S, = T K , sub tangente m = NM, segmento normal S„ = KN , subnormal www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones Como K m = |y 0 | y tg<p = y'0 se tiene: t = TM = \ ^ y ¡ l + ( y [ f \ y0 M = N M =\ y J l + i y t f | 5, =7XT|ífe-| ; s H= |y 0yól ?0 d) SE G M E N T O S R ELA C IO N A D O S CO N LA T A N G E N T E Y NORM AL PARA EL CA SO DE UN SIST E M A C O O R D EN A D A S PO LA R ES: Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f ángulo j_t, formado por la tangente MT y el radio polar r = OM (fi 14) se determina por la fórmula tg/i = r ^ - - — . dr r‘ La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio p del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ] O, determinan los cuatros segmentos siguientes: t = MN, segmento de la tangente polar m = MN, segmento de la normal polar S, = O T , subtangente polar S n = ON , subnormal polar; do m = M N = s j r + i r ' ) 2 , S„ = MN = r 2 I =MT - y]r + (r ' ) 2 \r I www.FreeLibros.me S,=°T =f ~ \r I 278 Eduardo Espinoza Ramos 621 ¿Qué ángulos tg tp = l =* tp = 4 5 ° x=0 = (1 - 2x) | ,= 1 - 1 = 0 => (1 - 2x )x . ==1 —2 = —1 => x=\ www.FreeLibros.me tg(p = 0 tgcp = - l => tp = 0 ° => (p= 135° Diferenciación de Funciones 622 ¿Qué ángulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig coordenadas, las sinusoides y = sen x e y = sen 2 x? Desarrollo Sea y = f(x) = sen x y = g(x) = s e n 2 x Luego / '( x)-co sx => .?'(*) = tgcp = / ' (0) = 1 =* ’gtp - g'( 0) = 2 623 => 2 co s2 x => lg tg => / '( 0 ) = 1 g '( 0 ) - 2 (p = 45° => tp = arctg 2 => tg tp = 1 cp = 45° ¿Qué ángulos forma la curva y - e° 5x con la recta x = 2, al cortarse con i Desarrollo Sea tgtp - y |v=2= 0.5ea5j 1 ^ ,= 0.5<? = - t g ( p - — => 625 (p = arctg ~ « 36°21' Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3x 4 + 4.v 3 - I 2 x 2 sean paralelas al eje de abscisas. Desarrollo Sean L, la recta tangente y L el eje de abscisas www.FreeLibros.me 280 Eduardo Espinoza Ramos Como L, IIL => m L , - m L \ pero mL, = 12x 3 + 12x 2 - 24 xy Como m L ,= m L , 1 2 => jc(jc2 + j c - 2 ) = 0 => mL = 0 12x3 + 1 2 x 2 - 2 4 x = 0 => 1 2 x(x + 2 )(x - 1 )=0. Luego: Para x { = 0 , y¡ = 2 0 => P ,(0,20) 626 P ara.v 2 = - 2 => >’2 = 4 Para x 3 =1 => => P2 - ( - 2 , 4 ) y 3 = 15 => P3(l,15) ¿En qué punto la tangente a la parábola y = x 2 - l x + 3 es paralela a la recta 5x + 7y - 3 = 0? D esarrollo Sea L, = ? y L: 5x + y - 3 = 0, tal que L, IIL „ z ,= £ dx o) mL = -5, luego como: L , I I L => m L ,= m L => 2x0 —7 = - 5 como 2x 0 = 2 => x 0 —1 , y 0 = - 3 Luego P( 1,-3) es el punto pedido. 627 Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 + bx + c que es tangente a la recta x = y en el punto ( 1 , 1 ). Desarrollo L, : x — y => mL, = 1 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones !p < i. 1 dy = (2x + b) |^=]= 2 + b = )‘ dx P(i.i) Luego y = x 1 628 = 1 - 1 +c Determinar 1 => b = -l - x + c , pero como es tangente en el punto (1,1) es decir: => c = el y = x“ - * 1 coeficiente x 3 + y 3 - xy - 7 = 0 angular , en el punto de la tangente a + 1 la (1 ,2 ). D esarrollo Coeficiente angular de la tangente, lim — - ^ Ar—+0 A x dx ( 1. 2 ) Como x 3 + y 3 —xy —7 = 0 , entonces: 3a 2 + 3 .v 2 y '-y , y - 3 a" y = — =— 3y - a 629 -x y '= 0 dy => — dx => ( 1, 2 ) (3y2 - * )/= y - 2 -3 1 12-1 1! 3a 2 ¿En qué punto de la curva y ¿ = 2 x 3 la tangente es perpendicular recta 4x - 3y + 2 = 0? D esarrollo Sea L: 4x - 3y + 2 = 0 => inL = — 3 Como y2 = 2 x 3 => 2y.y' = 6 A 2 Sea L,, la recta tangente mL, = y ' = => 3a - www.FreeLibros.me y' = 3a - ( Eduardo Espinoza Ramos 282 Com o L, ± L 1 3x 2 1 3x 2 3 . => mL, = --------= > ------- = —- => —— = — => y = 4a mL y 4 y 4 ( - A x 2 ) 2 = 2.x3 Como y 2 = 2 x 3 2 a 3 ( 8 a - 1 ) = 0 , de donde: x{= 0, Para: y] =0 Ai = —, - 8 630 a => 2 16a4 = 2 x 3 = 0 , x2 = — , 8 => Px(0,0) P2 (—, ——) 2 8 16 y 2 = — — => 2 16 Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = Va en el punto cuya abscisas es x = 4. D esarrollo r = \¡x , 1 => y = — 2 Va => i 1 dy m L ,- — dx 4 L '■ y - y o ~ mL , ( x - x 0 ) como x0 = 4 => y 0 : 'rt '>¿17; ’ ;}- ■ Luego Lt : y - 2 = —( a Como mL, - — => ' 4 - Escribir las ecuaciones y= a 3 + 2 a2 - 4a - => L, : a - 4y + 4 - 0 mL,v = - 4 N Ln : y - A = - 4 ( x - 4 ) 631 4) = 2 3 => LN : 4a + y - 18 = 0 de la tangente y de , en el punto (-2,5). D esarrollo www.FreeLibros.me la normal a la curva Diferenciación de Funciones y '= 3 x 2 + 4 x - 4 => m L ,= — dx = 3 (-2 ) + 4 (-2 ) - 4 = 0 => mL, (- 2 , 5 ) Luego: L, : y - y 0 = mL, ( x - x 0) L, : y - 5 = 0(x + 2) Como mL, = 0 =t> L, : y - 5 = 0 => mLN = °° L n : y - 5 = m LN ( x + 2 ) => LN : 632 y —5 x +2 = co LN : x + 2 = 0 => H allar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 11x - 1 punto ( 1 ,0 ). D esarrollo ' = U x- => 1 L, : y - y 0 y ’ = —r L g como 3</jc—1 = oo entonces X=\ = m L , ( x - x 0) L, : y —0 = °o(x —1) 633 mi.. = — dx =? L, : ———= oo x- 1 => L( : x —1 = 0 Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes cu en los puntos que se indican: a) y = tg 2 x en el origen de coordenadas. b) y = arcsen(X c) y = árceos 3x en el punto de intersección con el eje OY. d) y = ln x en el punto de intersección con el eje X. ) en el punto de intersección con el eje OX. www.FreeLibros.me 284 Eduardo Espinoza Ramos y = e'~x en los puntos de intersección con la recta y = 1 . e) D esarrollo a) y = tg 2 x =i> y '= 2 s e c 2 2x => mL/ = y'¡x=0= 2 L, : y - y 0 = mL, (x - x0 ) => Lt : y - 0 = 2 (x - 0) => L, : 2x ■ y = y = arcsen(—— ) => b) para y = => arcsen( 0 o 1 m L ,± y U = - L , '■ y - y 0 x -1 , )= , . 0 => y = y jlx —x 2 + 3 x -1 ^ 1 = m L , ( x - x 0 ) => L, : y - y 1 en el punto ( 2 ,2 ). Desarrollo Para x = 2 => t = 1 y= 2 => t = 1 0 = —( x - 1 ) , de donde LN : 2 x + y - 2 = 0 +r 3 => x = 1 Escribir las ecuaciones de la tangente y de x=■ „ = 0 ™ L ,= - => L, : x - 2 y - 1 = 0 634 y ' = ¡— =ÜL u -ir 1- 0 1 www.FreeLibros.me la normal a la curva. Diferenciación de Funciones -3 -2 1 y, =■ y'x = ^-j de donde 2 r _ >; _ 2(3 + 2/) ya=2=4 f ( 6 + í) L, ■ y - y r=l ' 10 0 = r n L , ( x - x 0) => L, : y - 2 = — ( x - 2 ) L, : l x - \ 0 y + 6 = 0 y 635 7 L N : l y - r ' r> x -3 5 = 0 Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t eos t, y = t sen t ei origen de coordenadas y en el punto t - — . D esarrollo y[ = sent + t c o s t , x¡ =cos t - t s e n t y, sent + tc o s t mL, = -¿- = x co st-tsen t =0 reemplazando se tiene: (=0 L, : y - 0 = 0 ( x - 0 ) => L, : y = 0 mL, = sent + tco st 4+n c o s t - t s e n t jk 4-n 4 para t= - n n , x —— , y - — reemplazando se tiene: n 4 +n , n. 4 : y » — = ------- ( * -----) n 8 4 -n 8 www.FreeLibros.me 286 636 Eduardo Espinoza Ramos Escribir las ecuaciones je3 + y 3 + y 2 + 2x - 6 de la tangente y de la normal a la curva = 0 en el punto cuya ordenadas es y = 3. D esarrollo Para y = 3 => ;t 3 + 2x + 3 = 0 , de donde x ^ - 1 Luego el punto de tangencia es P(-l,3). « Como mL, = — entonces: 3x~ + 2 y .y +2 = 0 dx ix-1,3) -2 -3 i - — dy mL, dx , 2 - 3x => y = ---------2uy 5 '■ y — yo = mLt (x - * 0) => : y - 3 = - - ( . r + l) de donde se tiene: 6 L, : 5:t + 6 y - 1 3 = 0 Si . Luego: 5 =— 6 , L N : y - y 0 = m h N (jc - .c0 ) L n : y - 3 = —(jc + 1) 63) 6 => wLjy = — 5 =* LN : 6 jc - 5 y + 21 = 0 Escribir la ecuación de la tangente a la curva x 5 + y 5 - 2xy = 0 , en el punto ( 1, 1). D esarrollo Como * 5 + y 5 -2 x y = 0 => 5 x 4 + 5 y 4 y ’- 2 y - 2xy' = 0 2 y —5x4 De donde y 1 = — , además: 5y - 2 x www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones mL _ dy, _ 2 y-5 x dx Pili) _2-5__] 5 y 4 - 2 x \ p(i_d 5 2 Luego L, : y - y 0 = m L , ( x - x n) L, : _ y -l = - ( x - l ) 638 Escribir las => L, : x + y - 2 = 0 ecuaciones de las tangentes y de las normales a curva y = (x - l)(x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje abscisas. D e sa rio ’lo Hallaremos para los puntos de intersección con el eje X de y = 0 => (x - l)(x - 2 )(x -3 ) = 0, de donde: x , = l , x 2 = 2 , x 3 ='. Luego se tiene los puntos P,(1,0), P2 (2 ,0 ), P 3 (3 ,0 ). y = (x - l)(x - 2)(x - 3) => y '= 3 x 2 -1 2 x + l l Li - es y = x 3 - 6 x 2 + 1 \x - 6 mL, = y '\ x~i=2 => y además mL, = 2 y - y o =mL, ( x - x 0) L, : y - 0 = 2 ( x - l ) Como mL, - 2 => Ln : y - 0 = - i ( x - l ) =* L, : 2 x - y - 2 = 0 mLN = - — y L N : y - y 0 = m L N ( x - x 0 ) => Ln : x + 2 y - l = 0 en forma similar para los demás puntos. www.FreeLibros.me 2 K8 639 Eduardo Espinoza Ramos Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y 4 = 4 x 4 + 6 xy en el punto ( 1 ,2 ). D esarrollo 4 y 3 y' = 16,y3 + 6 y + 6xy' y 4 = 4 a 4 + 6 xv (4 y 3 - 6 .v)y’= 16*3 + 6 y => y ’= 2 8 y 3 + 3y 14 =— mL, ~ y l(i.2 )= . 3 , 2y - 3 * (1 .2 ) U : y ~ 2 14 = — ( jc - Como mL, ' : y - y 0 = m L l ( x - x „) y => L, : 14.v - 13y + 12 = 0 1 ) 13 mLN = ~ — y 13 Ln : y - 2 = ~ ( j c - l ) 14 640 y -3.v => Ln : y - y 0 = m L N ( x - x 0 ) L n : 13x + 1 4 y - 4 1 = 0 Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = a 2 , comprendido entre los ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes por el punto de contacto. D esarrollo Por dem ostrar que p es punto medio de A y B para esto hallaremos los puntos A y B, primeramente encontraremos la recta tangente. Como xy = a 2 => y' = ~ =* mL, = y ' | ■ y ~ y o ~ mL, (x - x 0 ) reemplazando se tiene www.FreeLibros.me = -fj. Diferenciación de Funciones V y - y o=~ (* -x o ) xo Hallaremos el punto A para esto y = 0 => x = 2x 0 => A(2x 0 ,0) Para x = 0 => y = 2y0 => B(0,2x0 ) _ A(x,0) + l?(0,y) _ A(2xo,0) + B (0 ,2y0) Pô>v0) : = 2 2 ( 2 xx + 0 . 0 + 2 " ' —= t-ô>.V * => 2 641 2 P(x 0, y Q) es punto medio 2 Dem ostrar que el astroide x 3 + y 3 - a 3 el segmento tangente, comprend entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a. D esarrollo Por demostrar que d(A.B) = a 2 2 2 Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 + y3 = a 3 entonces: —x 3 3 + —y _3y ’ = 3 0 => y ' = Vx. = y ’ U w 0) = ,3/— y Lt ■ y - yo = (* - * 0> *0 A : y - y o = 3 — ( x - x 0) 1 Xn Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene: www.FreeLibros.me 290 Eduardo Espinoza Ramos ¿ 2 x = x 3 (x03 + .y3 ) = x g a 3 1 2 12 A (x¿ a 3 ,0) 2 => Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0 1 2 = >'o O o + y 12 2 )= yo°3 \_ 2 B (0 ' y o a 3) => I I 1 2 n 3 ’l)~ ”+ -i- (( y v ^3 na 33)^ d ( A ,B ) = y(.Vga3 I 2 2 T - ~ - ~ = \\¡x$.a3 r.3 n 3 X = + yv $3as i 3 /"~2 i" = y ( x 3 + y¿ )a 3 = \ a 3.a3 = \ f a ^ - a 642 Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t eos t) son tangentes a la circunferencia x 2 +y 2 2 =a . Desarrollo x ? +y 2 2 =a~ y' = - c t g t => x y =— y m L ,= -c tg t ... ( 1) Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia: www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones x = a(cos t + t sen t) dx — = at eos t dt . y = a(sen t - dy — = at sen t dt 1 eos t) dx dx at eos / m l N = — - = — — = ------------ = - c tg t . Luego dy ay at sent dt mLN = - c t g t ... (2) De (1) y (2) queda dem oc,rado que las normales a: • x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) son tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 643 Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y - 4 + 6x - x 2 . Desarrollo Hallaremos los punto - de intersección como: y - ( x - 2 ) 2 e y - 4 -r 6 .v - x 2 , completando cuadrados {x - 2)1 = - 4 + 6 x —x 1 => de donde X i = l y, = 1 x2 - ^ x 2 = 4, y , = 4 \y(= 6 ~ 2 x y[ (1) = 4 [yl1 = 2 x - 4 y í( l ) - - 2 5x +4=0 Pj (1,1) p 2 (4,4) www.FreeLibros.me y = ( x - 2 )1 292 Eduardo Espinoza Ramos (1) L— Luego tg a = —4— -2 -4 - 6 6 = ---------= — = _ => 1+ 3>Í(1)04(1) 6 tg a = — 644 > -8 -7 7 6 => a - arctg(—) —40°36' ¿Qué ángulo forma entre si las parábolas >’ = x 2 e y = a 3 al cortarse? Desarrollo Encontraremos los puntos de intersección como: y -x a-, 2 e y = xJ = O, y t = O 0 p ] (0 ,0 ) p 2{Id) x , = l , y2 = l U (x)= 2x => x 2 = x 3 => x 2 ( x - l ) = ^ [ y '( x ) = 3x 2 U (0) = 0 |^ ( 0 ) = 0 ,g a = j M ^ ¡ m i + y ¡( 0 i.y ¡( 0 ) ^ =0 = a=0. 1 + 0 esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto p 2 (l,l) U ( x ) = 2x ^ | y( ( 1 ) = j y '( x ) = 3x 2 ^ 1 ^ (1 ) = 3 2 '*/? = ,v2 ( l ) - v í ( l ) = l z l = 1 ^ 1+ y¡ (l ) - > ’2 (1) 1 + 6 7 645 Dem ostrar que las curvas y = 4a2 r¿ /? = - => 7 + 2a - 8 ¡i =arctg — ~S°&' F 7 e y = x3 - a + entre si en el punto (3,34). Ocurrirá lo mismo en (-2,4)? Desarrollo www.FreeLibros.me 10 son tangentes Diferenciación de Funciones 1 -----------------------------Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0. í ‘Ctirí $'ni> • irr • ¡idu? y oJnognfildtn; .itumon Como yq = 4 x 2 + 2 x —8 y 2 = jt3 - . r + => y [ = 8 .v + 2 => ^ = 3 x 2 - 1 10 >2(3)- y (3) tga = — 2 — ------ 1-— l+ iV Í(3 ).^ (3 ) = 26-26 —= 0 y¡ ^ 3 = 26 y '2 1 3 = 2 7 - 1 = 26 => => => tg a = 0 1+ 26 Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a / 0 646 Demostrar que las hipérbolas . . y - a y x —y —b~ se cortan er formando un ángulo recto. D esarrollo Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes ser perpendiculares. Es decir: Si L[ y L, son las rectas tangentes. Luego l!t _L L, demostrar =s ml!r L, = -1 < Como xy = a 2 => mil, = = y' r2 x 2 - y 2 = bI 2 => r x mLj = y t=— a~ x o a2 donde y ' = — pero x y - a “ => y = — y xV a 2 x2 - (— - ) ( — ) = -1 => x a“ l!t _L Lt www.FreeLibros.me => x x2 y y- — - — - mLt ' as i l as i 1 ■=> forma un ángulo recto. 294 647 Eduardo Espinoza Ramos Sea la parábola >>2 = 4 jc, calcular la longitud de los segmentos: tangentes, normal, subtangente y subnormal en el punto ( 1 ,2 ). D esarrollo Longitud de la tangente = t =| — >j\ + ( y'0 )2 y'o Corno y 2 =4x => 2yy' = 4 => y' = — . V |(io) —1 =» y ’ sj____ Reemplazando en la longitud de la tangente se tiene: / =| y v T + 1 1= 2y¡2 n = longitud de la normal - | yoy¡l"+ (y/, ) 2 | => Longitud de la subtangente S, = | — ■| S, = | —¡= 2 => >0 Longitud de la subnormal = S n = | y 0-.vo I =>' 648 n - | 2yf\ +T |= 2 ^ 2 1 = 12(1) ¡= 2 Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2 / en cualquier punto de la misma. D esarrollo S, = Subtangente f = | — | como y = 2* => >'o y ' = 2 x \n2 => y 0, - 2 x° \ n 2 s .I -Ü - I — L ' 649 2M n2 In2 Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la hipérbola equilátera x 2 - y 2 - a 2 es igual al radio de dicho punto. Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones n = longitud de la normal =| Como x 2 - y 2 = a 2 => yoyj\ +(.\q)2 | y ' —~ y - =1 V d i + % 1 = % = Luego la longitud del segmento nonnal es igual al radio polar de dicho p 650 Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hij x 2 - y 2 = a 2 , en un punto cualquiera de la misma, es igual a la absi dicho punto. D esarrollo S„ - longitud de la subnormal = | y 0.y 0 ¡ /-* Como 2 2 2 x - y = a => , X y = — => / yo - y =1 Xn v0 % (— ) 1 = vo >'o 651 x2 y2 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse — + — = 1 y a~ b circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho? D esarrollo Los puntos de abscisas iguales tanto para la elipse como para la circunferencia son p f a f i ) y p 2( - a , 0 ) . Por lo tanto se tiene que: www.FreeLibros.me 296 Eduardo Espinoza Ramos a) de la ecuación de la elipse se tiene: además y'Po = Po b) b / y Po- ~ \ j a 2 2 ~ xo ^ , p 0 (A0 , y 0) 2 / 2 a y/fl '•*o De la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 se tiene: y = yja2 - x 2 => y'p¡¡ = ¡ 2 -y/fl —Xq2 El segmento subtangente de la elipse es: 5 / - I y f t |_ i / I yvy Po I ( fl2 ~ -* q ) i I /7V ax0 II i -* o 2 ax0 Sea p 0( x 0, y 0 ) = p \(a,0) => S, = 0 El segmento de la subtangente de la circunferencia s¡ =, | Za. |= _ | (cr y Po ~ A°~] |=| a ‘. z xo Sea p 0( x 0, y 0 ) = p¡ (a,0) $ | xo => S¡ = 0 En forma similar se hace para p 2 ( - a , 0 ), concluyendo que S t = S ' . De todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene, trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje Yy puesto qué como S, = 0 , esto nos indica que no hay proyección de la tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 652 Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), en un punto cualquiera t = t0 D esarrollo \x, - a - eo st x = a(t - sen t) ; y = a( 1 - cost) 1 - c o s t0 sent,o 2 | _| f l ( l ~ C O S / 0 ) j, | ^ l - C O S / Q ' 2 a(t0 - s e n t 0) t= 653 l-c o s r0 eos t,o t0 - sent,o y, —a sen i \y, - a s e n [y, = a - a c o s t 0 j _ y,0 _ a ( l - c o s / 0) _ yx — x'•n • asent0 => sentn r= ( l- c o s ín ) 2 2 t0 ~ sentó Hallar el ángulo que form an entre sí la tangente a la espiral logarítr r = a e k<í> y el radio polar del punto de contacto. D esarrollo El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por: tgu = r dtp dr r km como r —ae r =— r' dtp dtp _ dr dtp tgu = r —- dr , r{ „ ae — )= ---- — = — akekq>k a e ^ k 1 www.FreeLibros.me 1 akek(f) 1 => tgu = — k y = arctg (—) k 298 E duardo E spinoza R am os 654 H allar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para la lem niscata r 2 = a 2 e o s 2 (p . Desarrollo d (D o 2 Com o tgu = r —— y como r —a eos 2(p derivando se tiene: dr „ 2 r dr „ 2 = - 2 a l sen2(p =* dr a 2senl(p r d ( p r drn , r tgu = r - r = >( s— 1----- ) -~ dr a sen2(p 2 o eos 2(p — “ a sen2cp 655 ^ ctg 2(p d(p r dr r a"sen2(p r2 a sen2(p => tg u = - ctg 2 (p => k U= — 2 H allar las longitudes de los segm entos polares: tangente, normal, subtangente, subnorm al y el ángulo que form a entre sí la tangente y el radio polar del punto de contacto para la espiral de A rquím edes r = atp en el punto de ángulo polar d(p — a reem plazando se tiene: t = — \j a 2(p2 + a 2 = (pa^](p2 +1 => a t = 2na^¡4K 2 +1 para tp = 2tc r2 Longitud de subtangentes 5, = | —- ¡ 2 St 2 = -f— = I r '\ 2 = acp2 para cp= 2tt reem plazando se tiene: a www.FreeLibros.me S, =4a n 2 D iferenciación de F unciones 2 Longitud de la normal = n = \¡r2 + ( r ' ) 2 « = yja2(p2 + a 2 = a\¡47i2 + 1 Longitud de la subnorm al = S„ = | r '| de donde S n = a para r' = a dtp tgu = r — pero r = acp dr reem plazando se tiene: 656 y dr — -a d(p d(p _ ! dr a tgu = (a<p)(—) = tp => tg u = tp ; tg u = 2 n a H allar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario tp = <p0 ; r = r0 . (p D esarro llo a 2 <P =* i r0 ~ a 2 <Po ^ a . a Com o r = — para ( p - ( p 0 se tiene r0 = — 9 r (Po a_ (Po ¡= -r 7]yjr2 + ( r ')2 n ^ y]r2 + ( r ' ) 2 t- a-ijí + <Po % üyjl + <Po (po adem ás tgO ■ tgO = -<¡p0 de donde 0 = arctg(-(p0 ) www.FreeLibros.me Eduardo Espinazo Ram os 300 657 - La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 3r - í 3 . Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t 0 = t2 = 2 0 , /, = 1 y (x se da en centímetros y, t en segundos). Desarrollo V(x) = — = 3 - 3 r dt V(t0) = V( 0) = 3 — seg ; V (í,) = V (l) = 3 - 3 = 0 V(f2) = V(2) = 3 - 3 ( 4 ) = - 9 — seg 658 Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del r . . . movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejaran estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en centímetros y t en segundos)? Desarrollo Para el tiempo del encuentro se tiene que V, = V2 ~ , dx Donde: V, = — = 1 dt => 5 dx , , V0 = — = r , d e donde t = 5 seg. 2 dt z = íVj + tV2 = 5 t + r velocidad con que se aleja = — = (5 + 2í) dt ,=5 tv , z www.FreeLibros.me |,= 5 tv 2 dz =— dt = 5 + 10 = 15 — 1=5 SeS Diferenciación de F unciones 659 Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las reí perpendiculares entre si OX y OY (ver figura). La velocidad desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas. Por pitágoras en el AOBA se tiene: ■x~ + y , de donde para x = 3, z = 5, entonces y - 4. Como z 2 = x 2 + y 2 , derivando se tiene: dz dx dy 2z— = 2x— + 2 y — dt dt dt por lo tanto 660 dy y— =dt dy_ 3 cm dt 2 seg dx x — dt = > t dy „ . 4 — = -3 (2 ) dt La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical 1 Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una velocá inicial V0 viene dada por las formulas (sin tomar en consideración t,2 resistencia del aire), x - V Qt c o s a , y = V0t s e n a - g — , donde t es el tiemp y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determ inar también la magnitud de la velocidad del movimient su dirección. www.FreeLibros.me 302 Eduardo Espinoza Ramo. Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones. x = V0t c o s a x => f = V0 c o s a y = V 0i s e n a - — t 2 2 => y = (rg a )x y = V0se n a (— —— /)- *rs* . , 7 X I U y- . , V ocosa 2 Vq eos" a J x2 2V0 eos a Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0: O ga)x W ’ c o s ' - a j s c . u - e c ’ =<¡ 2V0" eos" a =o = 2V0 eos “ a l 2 / 02 T, 2 eo s 2 a .f g a - gx = V0 s e n l a — g x - „ 0 0 => 2 V02 eos a .s e n a - gx = 0 V'n2se/z2a x = —2 --------- dx Ahora veremos las proyecciones de las velocidades sobre los ejes, es decir — dt dv * , . dx dy „ y — , de donde: — = V0 c o s a , — = V0 s e n a - g t dt dt dt www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones Calcularemos la magnitud de la velocidad, es decir: ^ ( ~ ) 2 + ( ~ ) 2 = JVq2 eos 2 a + Vq sen2a + y 2t2 - 2V0sena = s]Vo + S 2 ? 2 ~2V0sena 661 Un punto se mueve sobre la hipérbola v = — de tal modo, que su abscis x aumenta uniformemente con al velocidad de una unidad por segundo. ¿Con velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5,2)? D esarrollo Por dato se tiene — = 1 dt dy 10 dx dy — =— ) para x = 5, se tiene: — dt x 2 dt 1 dt 1 0 25 ,,. 2 (1) = — = -0 .4 5 Luego decrece a una velocidad de 0.4 por segundo. ¿En qué punto de la parábola y 2 = 18* la ordenada decrece dos veces má prisa que la abscisa? D esarrollo Debe cumplirse que: _ dy „ dx Como — = 2 — dt dt i— 3 = 3v2jc =» — = 2— dt dt =* 9 = 8x de donde y = 3\Í2x =>^ L = —^= — dt yf2x dt 3 dx ^ d x - = — = 2— sj2x dt dt =?> 9 x = — entonces 8 y y=— 2 el punto que cumple las condiciones del problema es: www.FreeLibros.me 9 9 8 2 ) 304 Eduardo Espinoza Ramos 663 Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 cm? Desarrollo Z = diagonal del rectángulo Z = yja2 +b2 => z = VlOO + b 2 , derivando se tiene: dZ db dZ 30 dt /lOO + b 2 dt dt Vi 0 0 + 900 A A A de donde se Ctiene: (4) = 120 10 VlÓ d Z 1 O Cm — = —1=2= = 3.8----dt V1 0 seg la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg. A = ab =» dA d b ..... ,A dA Ancm— = a — 10(4) = 40 => — = 4 0 -----dt dt dt seg El área crece a una velocidad de 40 664 cm seg El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la misma, cuando el radio sea igual a 50 cm? Desarrollo Área de la esfera = A = 4 w dA — = dt 87 dr rr— dt 2 íiA — = 87t(5)(50) dt dt www.FreeLibros.me =2000* ^ seg Diferenciación de Funciones Volumen de la esfera = V = —n r * , derivando se tiene: 3 — = 4nr2— dt dt 665 => — = 47T(50)2(5) = 6 0 0 0 7 r ^ dt seg Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = atp (a = 10 cm m odo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan igual a 6 o por segundo. Determinar la velocidad radio polar r en el instante que r = 25 cm. con que se alarga d ! D esarrollo dr dtp dtp 6 o n, — —a — donde ——= ------- — /seg dt dt dt seg 30 dr — = dt 666 10 (— ) 30 =» dr n cm — * -------dt 3 seg U na baira heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte de de la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall: m asa de toda la b a ñ a AB y la densidad lineal en cualquier punto M d misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B? D esarrollo Condición del problem a m = k x 2 , donde m es la masa y k el factoi proporcionalidad. , Cuando AM = %= 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = k ( 2) www.FreeLibros.me 5 => k = —. 306 Eduardo Espinoza Ramos Luego m { x ) - k x 2 => m (x) = —x 2 La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en ■ , ... din , er cualquier punto de M es: ----- = 5.x2 — dx cm Ahora veremos la densidad en los puntos A y B dm — =0 dx para el punto A: x = 0 => ™ „ dm „ er para el punto B: x = 12 => — = 6 0 — dx cm 2.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.P R IM E R O : D E F IN IC IO N D E LAS D ERIV A D A S DE O R D E N E S S U P E R IO R E S .- A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada segunda de una función. y = f(x), es decir y " = ( y ')' La derivada segundo se designa así: Si x = f(t) d 2y y " o — £ - ,o f " ( x ) dx es la ley del m ovim iento rectilíneo de un punto es la dt aceleración de dicho movimiento. En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada de la derivada de orden (n - 1 ), la derivada enésima se designa por: y (n) ’ o dx ’ / W w www.FreeLibros.me 31 Diferenciación de Funciones SEG U N D O : F Ó R M U L A DE L E IB N IZ .- Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones pueden emplear la formula de Leibniz: ( h v )" TERCERO: = u ny'+ nu n~lv + (n -l)n 1.2 ,(n -2 ) V + ... + U v(n) 1 D ER IV A D A DE O RD EN S U P E R IO R DE FU N CIO N ] DADAS EN FO R M A P A R A M É T R IC A .- \ x = (p{t) Sí < sus derivadas v = i¡r{t) y 1 - — , y'l = dx - Á d x 2 /= yx // =(\yx> / * yxx . puede calcularse sucesivamente por las fórmulas / Jt, /// = 0 ^¡)2 * yxxx » te. Para la derivada de segundo orden se cumple al formula: a) D ER IV A D A S D E O RD EN E X P L IC IT A S .- S U P E R IO R DE LAS FU N CIO N Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes: 667 y = X8 + 7 * 6 - 5a + 4 Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoztt Ram o^ 308 y = jc8 + 7 x b - 5.V.+ 4 , derivando se tiene: / = 8 a' 7 + 42jc5 - 5 668 => y " = 56jr6 + 2 1 0 * 4 y = ex* Desarrollo y =e x2 => . „ y =2xe t 2 y " = 2 e x + 4 x 2e x 669 y " = 2e x (1 + 2 x 2 ) y = sen~ x Desarrollo y = sen2x , derivando se tiene: y'= 2senxcos x = sen2x 670 => y " = 2 eos 2 * y = ln yj\ + x 2 Desarrollo 1 = ln %/Tt-*2" = ln(l + * 2x 671 „ 2 )3 2 = —ln(l + x2) 3 1 + a: 2 - 2 x 2 y - ln(x + 'Ja2 + x 2 ) Desarrollo y = ln(a: + \¡a2 + x 2 ) , derivando se tiene: www.FreeLibros.me „ 2(1 - jc2 ) Diferenciación de Funciones y = 1 ¿ x 2 + a- / ( x ) = (1 + x 2 )arctgx 672 D esarrollo / ( x) = (1 O 1 + JC** + x )arctgx f ‘(x) = 2x arctgx + 1 => f ' ( x ) = 2x.arctgx + \+ x ¿ / “(x) = 2arctgx + => 2x l + x2 y = (aresenx)2 673 D esarrollo => y ' = 2arcsenx( 2 , 2 aresenx y 674 1 + 2x aresenx \ll-x 2 „ ^ y = 1 -x 2 „ " -v = 2 \ l l - x 2 + 2 a arcsen tu Iw y = (aresenx) (l-x ‘) v = acosh — D esarrollo x y = a cosh —, derivando se tiene: a y ' = senh — => a 675 v " = —cosh(—) a a Demostrar que la función y = jc ** + 2 jc + 2 1 + y '2 = 2 y y ,% www.FreeLibros.me satisface a la ecuación diferenc 310 Eduardo Espinoza R am os j D esarrollo x 2 + 2x + 2 y = —-— , , , ■ y = x +1 => y = 1 y + y '2 = \ + ( x + l ) 2 = ( x 2 + 2 x + 2) = 2 y ' y " 676 1 + y'2 = 2 yy" x2 y - — ex satisface a la ecuación diferencial Demostrar que la función y "-2 y '+ y = e x . D esarrollo 2 X r y = — e => 2 2 , t * r y =are + — e 2 x1 y" = ex + x e x + x e x + — ex 7 2 => x1 y ” = ex + 2xex + — ex 2 a: 2 2 jc2 y " - 2 y ,+ y = eA+ 2 *ex + - < ? * - 2 » * - x V + — e* = ex ‘ 2 2 y ”- 2 y ' + y = ex 677 Dem ostrar que la función y = c¡e~x + c 2e~2x para cualquier valor de las constantes c, y c 2 satisface a la ecuación y " + 3 y '+ 2 y = 0 . D esarrollo y = c¡e~x + c2e~2x => y' = —c¡e~x —2 c 2e~2x => y ” —c¡e A+ 4 c 2e 2x y "+ 3y'+ 2y =c¡e x + 4 c 2e~2x —3c¡e~x —6c2e 2x +2c¡e x + 2 c 2e 2x = 3c¡e~x - 3c¡e~x + 6c2e~2x y ''+ 3y'+ 2y = 0 www.FreeLibros.me 6 c 2e~lx = 0 + 0 Diferenciación de Funciones 678 Demostrar que y = e 2xsen5x, la , función satisface la ecuac y " -4 y '+ 2 9 y = 0 . .i ¡ ■ D esarrollo y = e " xsen5x y ' —2 e 2x senSx + 5e2x cos5x => y " = 4 e 2xsenSx + ]0e2x cos5x + I0 e 2x cos5x - 25el x sen5x y " - 20e: ' c o s 5 .r - 2 1 e 2 'cien5x y"-4y’+29y = 2 Oí?2'' c o s 5 x - 2 \ e 2xs e n 5 x —S e 2xs e n 5 x - 2 0 e 2x c o s a + 20 e 2xsent y " - 4 y ’+29y = 20e2x c o s 5 a - 20e2x e o s 5 a + 7a - 2 9 e 2xs e n 5 x + 2 9 e lx s e n x = 0 - y "-4 y '+ 2 9 y = 0 679 Hallar y " ' , sí y = a 3 - 5a2 - 2 D esarrollo y= a 3 - 5a2 y " - 6 a - 10 680 + 2 7 a - =* => y' = 3 a 2 —10a +7 y " '= 6 Hallar / ’"(3 ) sí / ( a ) = (2 a -3 )5 D esarrollo / ( a) = (2 x -3 )5 = * / ’( a ) = 5 ( 2 a - 3 ) 4 (2 ) / " ( a) = 8 0 (2 a -3 )3 => / ’" (a ) = 4 8 0 ( 2 x - 3 ) 2 /" '( 3 ) = 4 8 0 (6 - 3 ) 2 = 480(4) => /'" ( 3 ) = 4320 www.FreeLibros.me 3 12 681 Eduardo Espiitoza Ramos , Hallar y v para la función y = ln(l + x) Desarrollo y ' = —— x+ 1 y = ln(l + x) => yv = — — (l + .t ) 3 682 = > -y' = — (1 ^ + x) 2 =* ' (1 + x)5 Hallar y v para la función y = sen 2x Desarrollo ,y' = y = sen 2 x 2 y ” = -4sen2x cos2 x y " ' - - 8 cos2 x => y v ~ 32 eos 2x 683 y ‘v = \6sen2x y v = -6 4 se n 2 x Demostrar que la función y = e x eos jc , satisface a la ecuación diferencial y iv + 4 y = 0 . Desarrollo y ~ e ~ x co sx => y ' - —e~x c o sx - e~xsenx y " = e~x e o s x +e~*senx + e~xs e n x - e ~ x e o s x y " = 2 e~xsenx y " ' = - 2 e ~ xsenx + 2e~x c o sx y 'v = - ( - 2 e~xsenx + 2e~x co sx ) - 2e~x co sx - 2 e~xsenx y'" =2e~xs e n x - 2 e ~ x c o sx —2e~x c o s x - 2e~x senx y iv + 4 y = - 4 e ~ x c o sx + 4e~x c o sx = 0 www.FreeLibros.me =$ y ' v = - 4 e ~ x co sx y ,v + 4y = 0 Diferenciación de F unciones 684 Hallar / ( 0 ) . / '( 0 ) . / " ( 0 ) , / " ' ( 0 ) , sí f ( x ) = e xsenx D esarrollo f ( x ) - 4%senx => / ( 0 ) = e °(0 ) = 0 ■ti}* f ' ( x ) = e xs e n x + e x c o s x => / '( 0 ) = 1 f " ( x ) = e*senx ■¥ e x c o s x + e x c o sx - e xsenx f " ( x ) = 2 e x cos.x => / " ( 0) = 2 f ( x ) = 2 e x c o s x —2 e xsenx 685 La ecuación del => movimiento / '" ( O ) = de un 2 punto sobre el eje OX x = 100 + 5r - 0 .0 0 I r ’ . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto ¡ los instantes r0 - 0 - 0 = 1 , t2 = 1 0 . D esarrollo y (*<)) = — = 5 —0.003/2 => V (/0 ) = V(0) = 5 di V ( t i ) = V (l) = 5 - 0.003 = 4.991 V (r2) = V(10) = 5 —(0.003)(10)2 = 5 - 0.3 = 4.7 —~~~x~= —0.006/ dr => tí(í0 ) = a ( 0 ) = a (í,) = «(!) = -0 .0 0 6 => a(t 2) = a( 10) = -0.006(10) = -0 .0 6 www.FreeLibros.me 0 114 Eduardo Espinoza Ramos 6X6 Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocidad angular constante W . Hallar la ley del movimiento de su proyección M , sobre el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M 0(a,0) (según figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M , . ¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M¡ en el momento inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas? ¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto M , ? D esarrollo x dx En el AO M xM se tiene cos(vví) = — , de donde x = a eos wt, V = — = - aw a dt es la velocidad en el momento t. a = — —= - aw 2 eos h'í es la aceleración en el momento t. dt2 V ¡,_ 0 = 0 , velocidad inicial a |,=0= - a w 2 , la aceleración inicial. www.FreeLibros.me Diferenciación de F unciones 687 3 Hallar la derivada de orden n-esimo de la función y = (ax + b )" , donde n es numero entero. D esarrollo y = (ax + b )n => y '= n a ( a x + b) n-l y " = ( n - 1 )na2(ax + b)'1 y " ‘- ( n - 2 )(n - l)/ia 3(ax + b)n 3 y (n> = 1.2.3. ...(n —2)(n —l)na n (ax + b)° 688 => y (n> = n ! a n Hallar las derivadas de orden n-esimo de las funciones: a) v = —í— 1 -x b) D esarrollo a) y=- 1 1 -x => y •= 1 (1 - x y = y"' )2 2 (i-x )3 23 - (I-A )4 ,<•> = ni (1 -x )" -1 www.FreeLibros.me y = yfx Eduardo Espinoza Ramos 316 689 Hallar la derivada n-esima de las funciones: a) y = sen d) y = ln (l+ x ) g) b) x y = eos 2x e) y = — — 1 + A y = sen x h) y = ln (a x + b ) D esarrollo a) y = sen x => y ' = eos a = sen(x + y = - s e n x = sen^x -t n ) y = -c o sjc = sen(x + — ) y - senx = sen(x H ) y (n) = s e n ( x + ^ ) b) y = co s2 x => K y ' = - 2 s e n 2 x - 2 c o s ( 2 x + —) 2 y " = - 2 2 eos 2 a - y ”= 2 3 2 2 (cos( 2 a + 2 (^ ))) sen 2 a = 2 J cos( 2 a + -^-) y (n> = 2n cos( 2 x + -^ -) en forma similar para los demás casos. www.FreeLibros.me c) y = e~3‘ 0 1 +A y —-— Diferenciación de Funciones 690 Empleando la formula de Leibniz. Hallar v (n) sí: a) y = xex b) y = x 2e~2x e) y = x 3 lnjc d) c) y = (1 - j c 2 ) c c V-v D esarrollo (uv)M = uM v + roi("_,V + n(n~ 1)u(n- 2)v "+... + uv(n) 1.2 a) y (n) = { e xx ) (n) = ( e x ) (n) x + n (e x ) (n- ' \ x ) ' b) / " > = ( e - 2x.x2 )(n) = y (n) = x e x + n e x => (e~2x)w x 2 + n { e - 2x)(n~[) 2 x + , « ( H - l) 2 x)(n- 2 ) 2 1.2 y ("> = (e~2x.x2 ){n) = ( - 1 ) " 2" e~2xx 2 + (- 1)" n 2 n e~2x + + (-1)” = 2"- ' e - 2x[ 2 ( - \ ) n x 2 + 2 a ( - 1 ) ' ' + / , ( , , ~ 1 ) ( - i n 2 En forma similar para los demás ejercicios. 691 H a l l a r / <n)(0 ), sí / < » = ln(— ) l-x D esarrollo /(jc ) = ln(—i—) => f(x) = -ln( 1 - x ) www.FreeLibros.me n(n - 1)"~2 2e~2x Eduardo Espinoza Ramos 318 f '(•*) = —— 1 - A f"(x)= 1 (1 - a )2 23 f ' v(x) = (1 - a :) 4 r\x )= (\-x )n Luego / (/,) (0) = (« —1)! b) 692 D ERIV A D A S D E O R D E N E S SU P E R IO R E S , D E FU N C IO N E S DADAS EN FO R M A P A R A M E T R IC A Y DE FU N C IO N E S IM PL IC IT A S-- d 1y Hallar — — para las funciones siguientes: d.x~ \x = ln i a) 3 fa b) = arete t 2 [y = ln(l + / ) Desarrollo www.FreeLibros.me , c) í a = aresent ( 1y = s¡\-t2 i Diferenciación de Funciones II "V ( x - ln / t =* i i \ => ii y! - 3/ 2 x" = - — r vi = 6 , ■ - , 6 í —(— v )3 í 2 ^ = -------- ¡ J — * d"\ = ,><6 + 3) = 9 ,’ -> — f = 9 /3 dx2 (í)! t 21 .v = arc/g t X' 1+ r2 b) 21 y = ln(l + / 2) ..// _ ^-y » ~ x»-.v// _ >’« =■ 1 +'2 2 -2 t2 0 + t 2)2 / ,i z 3 d ' n + / 2 )2 1+ r 1 (1 - 2/ + ' 2 )2 .. 2 / ( (l + r ) 2 )(l + r ) ( r V i+ / 2 -2 / „ = Gí 4/ í ^ (1 = 2 _ 2 í2 + 4 ( 2 = 2 ( 2 + 2 + / 2 )3 en forma similar para la c). 693 a) c) í* = a c o s / b) [>> = a.rent \x = a eos 3 / V a' = a(t - sent) d) >>= a ( l - c o s f ) Desarrollo www.FreeLibros.me = asen t x = a(sent - t eo s/) y = a(co s/ + / sent) Eduardo Espinoza Ram os 320 a) x = a eos t Ijc/ = - a sen t I x't't = - a eos t >’ = asen! j yJ - a cos ¡ j y" = - u sen ¡ n _x/l .y '„ -x „ .y , _ - a s e n t ( - a s e n t ) - ( - a cos t)a cos t (x't ) 3 ( - asent ) 3 // _ a 2sen2t + a 2 eos2 1 3;xt “ " - a 3sen3t b) 1 asentí A' = ci eos 3 1 => x[ = -3 a eos 2 t.sent => x¡¡ = 6a c o i t.sen21 - 2 a eos2 t y = asen2t h y¡ = 3asen2t.cost y " = 6a sent. eos2 t - l a s e n 31 _ 4 - y í- 4 - y ', (x¡f 2 3 // •_ -3 a c o s“ t.sent(6asent.cos t - l a s e n t) yxx ~ (-3 a eos 2 t s e n t f 2 o 3 lasen t.cost(6acost.sen~t - l a c o s t) ( - l a eos 2 t.sent ) 3 n -\% a 2sen21.eos4 1 + 9 a 2 eos 2 t.sen4t ---- - 2 7 a 3 eos 6 t.sen3t 18a 2sen4t - eos2 1 - 9 a 2sen21.eos 4 í -2 7 a 3 eos 6 t.sen3t n - 9 a 2sen21.eos4 1 - 9 a 2sen41.eos2 1 - 2 7 a 3 eos 6 t.sen3t y" -'Xt =- - 9 a 2sen21. eos 2 í(cos 2 f + ie n 2 í) 1 - 2 7 a 3 eos6 t.sen3t la eos4 r.jenf www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones x = a(t - sent) ^ [y = a ( l - c o s t ) \x[ - a - a eos t j x ¡:t - a sen t \y '= a s e n t [ y /1, = a eos t u _ x[.y1 , ,1 —x[[.y¡ _ (a - a eos t).ae o st - asent.asent (x¡)3 («( 1 - c o s / ) ) 3 // a 2 eo st - a 2 eos2 1 - a 2sen21 >'« = a ’( l - c o s / ) 3 // _ a 2 eos t - a 2 ( 1 - c o s t) y rr ~ a 3 (l-c o s /) 3 v" = --------- ¿ ¡(l-c o s r ) 2 =_ ± - XX , f l ( l- c o s r ) 3 2 1 n2 1 «sen 4 — a(sen —) 2 2 En forma similar para el siguiente ejercicio: 1 d) y » = - at sen3t x = eos 2 1 694 a) b) 1 y = sen t x[v= D esarrollo a) f x = eos 2t 2 [y = sen t \x[ = - 2 s e n l t =» | 1[y,, - s e n 2 t => \[y , - 2 eos 2t n _ x ^ .y1/ - x 1/. y ¡ _ (-2 .v e/j2 í)-2 co s2 f-(-4 co s 2t).sen2t 'V“ _ (x / ) 3 ~ ( - 2sen2t ) 3 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ram os I 322 í a, J = - a e„~at i [y, = o* II b) i => II J! —a„ 2 e -af Í xlt i y i : = a 2e°' =* J ,,// „2 a r ¡¡ _ xt .yt - x..//t .yt _ ( -a_e - 0 / \)a e —a 2e a i —a e y“ ó?? -at .ae a ( - » « -* / - a 2- a 3 >« = => —7>at a 3e - ia' - = e- 3a, = arctg t i t ; ~ 2 a- = ln / a 695 a) b) 1 y= 1 -/ D esarrollo a = arctg t a) a => r =* ,2 ■ y = ~2 2/ = arctg t - (1 , =7 1 2 SL = ^ - 4 Á = y + . ! l (¿ )3 r 1 Ü ± C )2 = b) 1 => 1 1 - y“ (1 — 0 1 _ 2 d -/r ( // _ x[.y'¡ ~ ^ . y [ (*/)3 .(!.i.f. i - = ( 1 + /2)(3/2 + 1) x•*/" H = ln/ + f +2t ( 1 -+ V / 2 ( - ^ ) 3 1 2 +í a + / 2 )2 K (_ L . s2 f2 1 www.FreeLibros.me 1 -f 2t + ( l - t ) / 2( - / ) 3 _ /(/ + !) 1 "(l-O 3 Diferenciación de Funciones 696 d 2x Jc = e 'c o s / Hallar =— ~ sí \ dy Iy = e 'se n t D esarrollo d 2x _ y j - 4 -y¡¡jcj dy2 de donde se tiene: (y!)3 x - e ' cosí y = e 's e n t x[ = e ‘ c o s t - e ' sen t => => y¡ = e 1sent + e 1 co sí x¡¡ ~ —2 e ‘sen t y /1, = 2e‘ cosí d 2x _ (e'sent + e' c o st).(-2 e 'se n t)- 2 e ' eo st(e' e o st - e ' sent) dy2 (e' cosí + e'sent)3 d 2x _ —2e2' (sen2t +.sentcost + eos 2 t - s e n t cosí) dy2 d x _ dy 2 697 e3' (eos t + sent)3 -2 _ -2 e2 e3'(co st + sent)3 ' e' (cost + sent)3 d"y x = ln(l + í ) Hallar — — para t = 0, sí < dx ¿ \y = t2 D esarrollo ( ■) Lx = ln(l + / ) 1 [y = r 2 ^ ' 2t / X' = ,l + r 2 y => - x*»" = ■ =2t www.FreeLibros.me 2-2t (1 + t 2)2 Eduardo Espinoza Ramos 324 41 d ¿x 2 /(2 y ¡ . x ¡ í - y í í _ l +r ¿V (y! y (1 - +r / ) )2 < rV 1 +/ </2y [4/(2 + / 2 ) - 4 / ( 1 - / 2)](1 + / 2) — f = — ---------------^------ —------- £¿c" 8/ 698 2 rf2y , => — f = l + / “ dx ¿ 2>' = =f — £ d x ' (=0 Demostrar que y, determinada como función de x por x = sen t e ~ d 'y py py y = aeN '+ b e ~ dy ( l - x “) — £ - x — = dx' dx 2 satisface la 1 las ecuaciones ecuación diferencial v , cualquiera que sean las constantes a y b . D esarrollo x - sent x, = c o s / l y ^ a e ' ^ - +be-,'r* , derivando se tiene: y, = yÍ2ae'^' - b y l 2 e ^ x ‘¡ = - s e n / • y '/= 2 a e ^ + 2 b e - ^ - dy__ dx _ y¡ _ h a e ' 41 - b ^ 2 e ~ ' '/i 'x x'. eos / d ' y _ x '.y '1 -x!¡.y[ _ c o s/( 2 «e ' ^ 2 +2be~,sl2) + sent(y¡2aels^ - - J i b e ,^2 ) dx 2 (1 (x' ) 3 eos3 / 2 kd y dy „ - x ) — T ~ x ~~ ~ 2 y dx1 dx www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones (1 2 cost(2ae,sÍ2 +2be~"ñ ) + sent(2ael'ñ - I b e ^ ) - s e n ^ t ) -------------------------eos3 1 sent(y/2ae1'12-by¡2e ' ^ ) --------------------------------------= ¿ae eos t eos t(2ae,'j2 + 2be~"J i ) + s e n t i j i a é ^ - •j2be~,'J Í ) eos t = 2 (oc,j5 +be- , r i )=¡2y eos / dy (/,I - a T ) — -y - 2 C— = 2-i y ¿/x'' «a* 699 J 3y Hallar y " '= — — para las siguientes funciones: dx íx ^ s e c r < 1 y = tg t D esarrollo /// = ( j í r ¿ yxxx / x, donde // uc yxx Jl f\x¡¡.y/ t¡ + x, ( II / ___( xv-7 7 í"tt'SU ' 'l1.yl" '-'líf . / i (x¡ y - x"tlt /".y/ l /l .y/ ’-'ll - x"lt '-'tt 1] ,_ K ^ . y " - ^ ^ ) ^ ) 2- ^ ] U' ) 3 ( ^ ) 6 „ , _ ( ^ Q t '. y f f - - C y , ') - X x ¡ ) 2x'í(x¡y!¡ - x " . y ¡ ) ^ ( y _ ^ , ' v// y _ x ¡ ) 6 - 3 ^ - ^ . y " + 3 ( ^ ) 2y (x!)4 -3 y ^ .y ;+ 3 u "ry ,/ www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 326 ,,,i ¿ yl " “ . g U -3 a,'4 X A ); j (* !f " x = sect => x 1/, = sec 2 ?(1 x¡ —sec t.tg t + tg t) =¡> x['t = s e c 3 1 + sec 2 t.tgt = sec4 1 + 2 sec 2 t.tg ? ( 1 + tg t) => y = tg t => y¡ = s e c 2 t y¡¡ = => y't'l - 4 se c 2 t.tg t + 2 sec 4 t => 2 sec 2 t.tg t y® = 2 se c 2 r(2rg ? + sec 2 f) /// = x ! ( x ! - y " ! - x " ! ) - 3 * "(* ,'. y " - * " . / ) ” <-v')! (le donde al simplificar: y '^ = 700 4- I sen ? jc = e- ' cosí y = e~'sent x = e ~ 'c o s l D esarrollo => x{ = - e ~ ' e o s t - e~'sent x \ —- e ’ (sent + cosr) =s y -e ~ 's e n t => jc^ = 2 e~' sent y ry= - e _ísent + e~' eosf www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones - e ' (sent + e o s t)(-2e ' c o s í) --2e 'sent.e '( e o s t —sent) -e~3t (sent + eos t) // _ 2 e ' [(sentco$t + cos~ t ) - sentco st +sen t] -e ~ 3' (sent + eos í ) 3 " sy xx = - 2 <?' e ' (sent + eo st) (sent + cosí) , // _ ore '(sen í + co s / ) 3 -3 ( s é n t + eost) 2(eost - s e n t)e ', (yxxh —~ A -g j (sent + cosí) , // ^ _ -2 e '( íe /j/ + c o s / - 3 c o s / + 3iert?) {y¡a't ~ 7 72 (sent + cosí) // / _ - 2 e ' ( 4 s e n t - 2 cosí) (Xtx'f — 7 ~4 (sent + eos t) _ ^ / j ¡ j _ - 4 c '( 2 íe n í- c o s í) v^xr'/ 7 72 (sent + eos/) ../// _ (} » )/ _ - 4 e '( 2 i e n r - c o s í ) y xx x ~ 7 i x. 7~ -e 7777 _/// _ 4e 2 '( 2 s e n í- c o s í) TT X a* — (sent + co sí) 7 701 X = r3 D esarrollo jc/ = - e ~ ' y = t 3 => y ,1 = 3 r => =* x'h = e ' y(¡ = 6 t vn _ -r/-y//--r//-y/ .. - g “ i-.,')3 " '.3? 3r - e - 3' www.FreeLibros.me 75 (sent + eost) + ^ = ( 3 r + 6 í)e 2' -2f Eduardo Espinoza Ramos 328 (yíc)', = ( 6 / + 6)e2' + 2 (3 12 + 6t)e2' = e 2 ' ( 6 f 2 + 18r + 6 ) w = (3 ¿ )í. = ¿2<( 6 r + 1 8 f + 6) = _ c3, (6f 2 + ! 8f + 6) XXX j _f y ^ = - 6 e 3 '( r 2 + 3 / + 1 ) 702 d ny [x = \nt Hallar ------ sí < dxn l y = r" Desarrollo Como y x = me™ => y " = m V “ y (n)= m " ena 703 t = e x;y = / m => y = e mx x= ln t => ^ =* y ' L = m \ mx y%> = m " ( e x )m =* Conociendo la función y t f = m nt m y = f(x), hallar las derivadas de x " y x " función inversa x = / " ' (y ) Desarrollo . dy y= dx r/ x =* y = f(X) d 2x _ - f ' \ x ) dy2 [ fX x ) ] 2 dy d ' x _ d_ d ^ x ¿y 3 dx _ dy dy 2 x f ( X)dx — = => dy /" (* ) [/-(jc)1 3 _ d 1 — = f (x) d 2x _ dy2 f'X x ) [ / ’(x)l 3 /" (x ) dy [ /'( jc ) ] 3 [ ( / ’( x ) ) 3 / " U ) ~ / " U ) . 3 ( / ’U ) ) 2 ■ / " U ) l [ / '( x ) ] 6 www.FreeLibros.me dr 'dy de la Diferenciación de Funciones [ / 'U ) 2 ( / ’( U ) / " ’U ) - 3 / " ( x ) 2)] 1 'f\x ) [ / '( x ) ] 6 ¿ 3 x _ 3 [ / " ( x )}2 - / ’( x ) . / ' " ( x ) dy 3 704 [f\x )f Hallar y " sí x 2 + y 2 =1 D esarrollo x2 + y 2 = l => d „ y y = v l-x X2 - 1 - X 2 D E T E R M IN A R derivando se tiene y ' = — . X J l^ x 2 - ( - x) - ^ L „ -- ---------------------- ( 1 - X 2 )2 2 ^ y ■ 1 = 3 ( 1 - X 2 )2 LAS D ERIV A D A S y" DE LAS FU N C IO N E S y = f(x) DADAS D E FO R M A IM P L IC IT A .705 y 2 - 2 px D esarrollo 2yy' = 2 p => y' = — y www.FreeLibros.me S IG U IE M Eduardo Espinoza Ram os 330 D esarrollo 2a 2y , +^ y =0 a b ■■__ b y b2x . ( y - x ( -------)) b__________ ya 2 * 2 a y y-xy 2 a , b~x => y ' = — ya y 2 2 bx2 a2 ,2 , 2 2 , 2 y + ~ r' „ 2 .2 b* y j f + a r y - y = - — (-------3— ) = - — (------- 5-------) a ^ 707 a y 4 a 3 y y 3 2 ay y = x + arctg y Desarrollo y' = l + - i _ 1 => +y -i - ( 1 ----- i — )y' = l 1 +y y .í± £ l + y2 „ y» = - 2 y-3/ = - ^ +, y2 ^ ^ = _4 y3 708 , U y2 (1 ± | 1 ) = _ 1 ± 2 Z 1 y y y d2 ¿/2;t Desde la ecuación y — x + ln y. Hallar — ^ y — dx2 dy2 Desarrollo y = x + ln y => y ' = 1 H y* y => (1 i y ---- )y' = l www.FreeLibros.me => _ y y = -----y-1 Diferenciación de Funciones ,.« = d 2 y = ( y ~ r> y ' - y - y \ dx2 d 2y _ dx 2 709 ( y - 1)2 i -y' ( y - 1)2 ( y )= ( y - 1)2 y y ( y - l)3 - 1 Hallar “y” en el punto (1,1), sí: x 2 + 5xy + y 2 - 2 x + y - 6 = 0 D esarrollo 2 x + 5 y ,+5xy'+ 2yy'-2 + y ’= 0 => ,_ 2 —2 x - 5 y 5x+2y + l ^ (5x + 2y + l)y '= 2 - 2x - 5y (5x + 2 y + i ) ( - 2 - 5 y ') - ( 2 - 2 x - 5 y ) ( 5 + 2 y') ' (5x + 2y + l ) 2 Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene: 710 y " |(1 1 >- ~ Hallar y ” en el punto (0,1) sí x 4 - x y + y 4 = l D esarrollo 4 x 3 - y - xy'+ 4y 3 y' = 0 (4 y 3 - x ) y '= y - 4 x 3 => „ _ (4 y 3 - x ) ( y 12x2) - (y - 4x 3 )(12 y 2 y •V “ (4 y 3 - x =í> y ' = - ■■- — 4y - x 1) )2 y —4x 3 Reemplazando y ' = -— en y " y evaluando en el punto p (0 ,1) se tiene 4 y - jc www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 332 711 a) La función “y” está dada implícitamente x 2 + 2jcy + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar por la ecuación en el punto (1,1). dx b) ii d 2y , 2 Hallar — — si x dx +y 2 = a" D esarrollo a) 2 x + 2 y + 2xy'+2yy'-4 + 2 y' = 0 => (2x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y ,_ _ 4 -2 x -2 y _ y ~ (2x + 2y + 2)2 . ^ ” ( 2 x + 2 y + 2)2(—2 - 2 y ') - (4 - 2x - 2y)2(2.r + 2y + 2)(2 + 2 y ) ' (2 x + 2 y + 2 ) 4 „ (2x + 2 y + 2)(—2 - 2 y " ) - 2(4 - 2x - 2y )(2 + 2 y ') ^ " ( 2 .t + 2 y + 2 ) 3 Simplificando y calculando y " ' , y evaluando en (1,1) se tiene: www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 2.6. DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.a) D IF E R E N C IA L DE P R IM E R O R D E N : Se llama diferencial (de prim er orden) de una función y = f(x) a la principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i la variable independiente x, la diferencial de una función es ig producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen dy = f ' (x ) d x , de aquí, que y ' = — . Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei el punto M (x,y) y PQ = Ax = dx. Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente AT = el segmento AN = Ay. b) P R O PIE D A D E S FU N D A M EN TA LES DE LAS D IFER EN C IA L 1 de = 0 , donde c = constante 2 dx = Ax 3 d(cu) = c du 4 d(u ± v) = du 5 d(uv) = udv + vdu v 7 d (f(u )) = f'(u )d u www.FreeLibros.me v2 334 Eduardo Espinoza Ramos c) A PL IC A C IO N E S D E LA D IFE R E N C IA L PA RA LOS C A L C U L O S A PR O X IM A D O S.Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es aproximadamente iguales entre sí Ay ~ dy. Es decir f ( x + Ax) - f ( x ) ~ f ' ( x ) A x, de donde: f ( x ) + f ( x ) A x = f ( x + Ax) d) D IFE R E N C IA L E S DE O R D EN ES SU PE R IO R E S.Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden d 2y = d ( d y ) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x) y “x” es la variable independiente, se tiene: d 2y = y " ( d x ) 2 d 3y = y " ' ( d x )3 d ny = y in\ d x ) n Cuando y = f(u), donde u = \(/(x) se tiene: d 2 y = y " (du)2 + y ' d 2u d 3y = y ' i'(d u ) 3 + 3 y " d u .d 2u + y ' d 3u 712 Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x 2 para x = 2 y Ax = 0.001 D esarrollo Ay = f(x + Ax) - f(x) =» Ay = f(2 + 0.001) - f(2) www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones Ay = /(2 .0 0 1 ) - / ( 2) = 5(2.001) + (2.001 ) 2 - 1 0 - 4 Ay = 2 .0 0 1 (5 + 2 .0 0 1 )- 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001 dv = y 'd x = (5 + 2x)A x 713 => dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C 1 Sin calcular la derivada, hallar d(\ - x 2) , para x = l1 y Ax Ar = —^ Desarrollo í/(1 —x 3) = —3 x 2dx = —3.v2Av 714 => ¿ ( l - x 3) = - 3 ( l ) ( - - ) = l 3 El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi S - x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir valor geométrico de esta ultima. Desarrollo dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x) 715 &S = (x + A k) 2 —jr 2 => AS - x 2 + 2x.Ax + (A x )2 - x 2 por lo tanto se tiene: AS = Ix .A x + (Av ) 2 Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d( siguientes funciones: a) del área del circulo S -tv c 2 . b) del volumen del cubo v = x Desarrollo a) El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x) AS = n ( x + A x 2) = Irtx.Ax + n .A x 2 Calculemos la diferencial es decir: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 336 dS —S '(x ) d x => dS = 27TX.dx = 2 k x .Ax Como AS = 2nx.Áx + n .A x 2 y dS = 2jt.x.Ax y como Ax -> 0. entonces: AS « dS b) El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x) Av = (x + A x ) 3 - x 3 de donde se tiene: => Av = x 3 + 3 x 2.Ax + 3x.Ax 2 - x 3 Av = 3x 2.Ax + 3x.Ax 2 Calculemos la diferencial es decir: 716 dv = v '(x)dx dv = 3x " d x Como Ax —>0, => Av « dv =>dv = 3x2.Ax .Dem ostrar que cualquiera que sea “x”, el incremento de la función y = 2 x , correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la expresión 2 x Ax. ln 2 , cuando Ax -> 0. D esarrollo Ay = dy como dy = y' d x = y'.Ax y = 2x y' = 2 t ln 2 Ay = dy = y'.Ax = 2 X ln 2.Ax 717 ¿Para qué valor de “x”, la diferencial de la función y - x 1 no equivale al incremento de esta misma función cuando Ax —> 0? D esarrollo Como y - x 1 => dy = 2x.Ax www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones Ay = (x + Ax) 2 - x 2 = 2x.Ax + Av 2 para que Ay * dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0. 718 ¿Tienen diferencial la función y = | x | para x = 0? Desarrollo Como dy = y 'd x luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto no tiene diferencial. 719 720 Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función n . n x - — y Ax = — . 6 36 Desarrollo Como y = c o s x => dy = y'd x dy = - s e n — .— 6 36 => d y - —— = -0.0436 72 y = eos x { => dy = - sen. Ax 2 Hallar la diferencial de la función: y - —f= para x = 9 y Ax =-0.01 vX Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 338 721 Calcular la diferencial de la función y = tg x para x = — y Ax = ----6 y 3 180 D esarrollo y = tg x => dy - sec 2 x.dx = sec 2 x.Ax dy = sec2( - ) . — = — = 0.0698 3 180 45 H A L L A R LAS D IFE R E N C IA L E S DE LAS SIG U IE N T E S FU N C IO N E S PA RA C U A L Q U IE R V A LO R DE LA V A R IA B LE IN D E PE N D IE N T E Y D E SU IN C R E M E N T O . 722 .m X D esarrollo => y=x => dy = - m x -m - 1 . dx x 723 rnuA xm +l x D esarrollo Como dy = y 'd x entonces y ,_ (l- x )-x ( -l) (l-x )2 Luego d y = y ' d x - (l-x ) 724 , => dy —---------- X y = aresen — a Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones x => y = arcsen — 1 - dx como dy = y 'd x = 725 a y .= v = arctg — a D esarrollo X y = ---i+ ( A como dy = y ' Aax 726 n , y = arctg — => => y , — >2 & « 2 + * 2 ü d X -> 2 a +x y = e~x D esarrollo _ Como y - e x _ 2 => _ _ 2 Además d y = y ' d x = - 2 x e x dx 727 2 y' = -2 x e * y = x ln x - x D esarrollo y = x ln x -x => / = ln x + l - l = ln x dy = y'í/x = ln x.rfx 2 => dy = —2xe x dx => dy = ln x.dx www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 340 728 y = ln — 1 + jt D esarrollo y = ln -— —= l n ( l - j r ) - l n ( l + .r) l+ X 1 1 -l-x -\ +x y = ------------------= ----------- -----1 x 1+ x 1 —x como dy - y' dx 729 , 2 y = ------1 -j => dy = - => r = ctg (p + esc (p D esarrollo 2 r= -c sc (p - e s c (p.ctg(p r.= => 1 sen como dr = rd(p 730 + cos (p sen 2 (p l + coscjt) , — d(p sen"(p j => 9 1 C0S S ' - —— — 1+ e dS = S 'd t dS = S ' d t = e'dt — 1 + e2’ Hallar dy sí x 2 + 2 x y - y 2 = a 2 D esarro llo 2 xdx + 2 xdy + 2 ydx - 2 ydy = 0 => ( 2 x + 2 y)dx = ( 2 y - www.FreeLibros.me 2 x)dy Diferenciación de Funciones , 2x + 2 y d y - -----------dx 2 y-2x => x+ y , , x+ y , dy = ------- dx => dy ---------- dx y-x x-y H A L L A R LAS D IF E R E N C IA L E S D E LAS SIG U IE N T E S FU N C IÍ DADA DE F O R M A IM P L IC IT A S 732 (x + y ) 2 ( 2 ;c + y ) 3 =1 D esarrollo 2(x + y)(2 x + y ) 3{dx + dy) + 3(x + y ) 2( 2x + v ) 2 (2 dx + dy) = 0 2(2x + y)(dx + dy) + 3(2dx + dy)(x + y) = 0 2(2x + y)dx + 2(2x + y)dy + 3(x + y)2dx + 3(x + y)dy = 0 (lOx + 8 y)dx + (7x + 5y)dy = 0 => dy _ _ ^ v + ^-v l x + 5y X 733 y =e y D esarrollo y ydx-xdy d y - e y( ) => v dx x v, dy = —e • i" ~ y e dy y y ( l - - ^ —e y )dy = ~ - — dx y , dy = 734 => y ( y 2 - x e y )dv = - v e ydx y ye ydx y.ydx = — r------y -xy y -x .y => y y dy = ------- d x = - ^ — dx y-x x-y ln <Jx2 + y 2 = arel ge — JC Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 342 I ^ y ln J x~ + y~ = arctgc— x xdy - ydx xdx+ydy_ x2 2 2 ~ 7, ^ +y i+( - ) 2 x 1 2 2 V => —ln(x + y ) - a r c t g c — 2 x xdx + ydy _ xdy - ydx 2 2 ~ 2 ’ v +;y * +>' xdx + ydy = xdy - ydx => (y - x)dy = -xdy - xdx (x - y)dy = (x + y)dx => dv = X+ V x- 735 dx V Hallar dy en el punto (1,2) sí y 3 - y = 6 x 2 . Desarrollo Como y 3 - y = 6 x 2 =s> 3 y 2dx - dy = 12xdx \2x , d y - — -— dx 3y - 1 736 => => (3y - l ) d y = l2x.dx J 1 2 dx 12 . ay = -------- = — dx 12-1 11 Hallar el valor aproximado del sen 31° Desarrollo Sea x = arcsen30° = — y Ax = arcsetú ° = ----6 180 Pero / (x + Ax) = / ( x ) + / ' (x)dx íe«31° = í£-n30° + cos30(— ) => 180 sen31° = 0.500 + 0.017 — = 0.515 3 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 737 Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, cale aproximadamente: a) cos 61° d) log 0.9 b) tg 44° c) e 02 e) arctg 1.05 D esarrollo a) cos 61° => x = 60° y x = 1 ° = 180 / ( x + Ax) = / ( x ) + /'( x ) d x cos61° = cos 60° - se/i60°----180 b) tg 44 => => cos61° = i R 2 2 . - ^ - = 0.485 180 Sea x = 45° y Ax = 1° = — — 180 f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f ' ( x ) d x ;?44° = re450- s e c 2 45°(— ) 180 738 => te44° « l - 4 ( — ) = 0.965 180 ¿En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera, si su r¡ r = 1 5 cm, se alarga en 2mm? D esarrollo 4 i V ——n r 3 => , dv = 4jcr dr dv = 4^(1 5 )2(0.2) = 180^ =565 c m 3 www.FreeLibros.me 344 Eduardo Espinoza Ramos 739 Deducir la fórmula aproximada para valores de | Ax | pequeños en comparación con x. yfx + Av = yfx + - ^ - y con ella, hallar los valores aproximados de \¡5 , 2 V-v y f ñ , y/Í0 y \¡640 . D esarrollo Sea / ( x ) = yfx => /(.v + Ax) = J x + A x como f ( x ) = \fx => f \ x ) = — = 2 va* luego f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x ) d x yJx + Ax = yfx + --- = . Como y fí = y¡4 + l => X =4 2yfx f ( x + Av) = / ( x ) + f ' ( x ) d x \Í5 = y ¡ 4 + - ^ = 2Vx 740 => > / 5 = 2 + i = 2.25 4 Deducir la fórmula aproximada: IIx + Ax ~ yfx H— í= r y hallar los valores 3 y]x 2 aproximados de y¡\0 , yflO , yj 200 . D esarrollo Sea f ( x ) = y[x => f \ x ) = —^==: 3\lx Como f ( x + A x) = f ( x ) + f ' ( x ) d x . Como pero %/Í0 se tiene yJ&+ 2 => f ( x ) = y[x www.FreeLibros.me yJx + Ax = y f x + — fy jx 1 Diferenciación de Funciones Luego s/\0 ~ y & + 2 ~ \ ¡ 8 + — y/ÍO ~ 741 2 ry + —— 3(4) 1 =* ^/Í 0 = 2 +- = 2 + 0.16 => UÍO ~ 2.16 6 Hallar los valores aproximados de las funciones: a) y = x 3 ~ 4 x 2 + 5x + 3 para x = 1.03 b) f ( x ) = y/x + 1 para x = 0 .2 c) d) y ~ e {~x para x = 1.05 D esarrollo Usando la fórmula f ( x + Ax) = f ( x ) + f \ x ) d x Como x = 1.03 = 1 +0.3 => Ax = 0.03 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 +5jc + 3 => f '( x ) = 3x2 - /( 1 0 3 ) = / [ I + (0.3)] - / ( l ) + 7 '( l) A r f( 1.03) = 5 - 0(0.03) = 5 => f ( l .03) = 5 742 Hallar el valor aproximado de tg 45°3'20' ’ D esarrollo Sea f(x) = tg x donde x = 45°, Av = 3’20" www.FreeLibros.me 8 x+5 346 Eduardo Espinoza Ramos t f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' { x ) d x tg 45o3'20'' = tg45° + sec 2 45(3'20’’) => 743 rg45°3'20” = 1.0019 Hallar el valor aproximado de arcsen 0.54. D esarrollo Sea f(x) = aresen x donde x = 0.5 y Ax = 0.4 además f '(x) - —= = V\ - x 2 f(x+ A x)= > f ( x ) + f ' ( x ) d x arcsen 0.54 ~ arcsen 0.5 + —= . ? . ' £ ■ arcsen 0.54 = 0.54 sj l - ( 0 . 5 ) 2 744 Hallar el valor aproximado de y j í í D esarrollo Sea f ( ¡x) = s[x donde x = 1 6 , Ax = 1 f ( x ) = \[x => / '(*) = — 7 = , reemplazando a la ecuación: 4 ^ /7 f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x ) d x t f n « </Í6 + - 4 = « 2.03 4yjl6 745 E Dem ostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm I - — , que una pequeña R variación de la intensidad de la com ente, debida a una pequeña variación de la resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula AI = www.FreeLibros.me R AR Diferenciación de Funciones D esarrollo £ Como / = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R. Jr R d E - E d R a/ = R t Luego: 746 di = JT, n pero dE = 0 EdR E dR — = — (— ) R2 R R => A7 A I- / AR R Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2 %, al calcular el áre circulo y la superficie de la esfera. D esarrollo Área del circulo - A = jrr2 Usar la formula siguientes: Superficie de la esfera = S = 4/rr 2 747 Calcular d 2 y , sí y = eos 5x D esarrollo y = eos 5x => dy = -5 sen 5x dx d 2 y = —25 eos 5x(dx)2 748 u = Vi —ec2 , hallar d 2u Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza R am os 348 749 y = árceos x, hallar d 2y D esarrollo dx y = árceos x => dy = — si Y - x 2 750 , => dy = - x(dx)2 l j ( l - x 2)2 y = sen x . Ln x, Hallar d 2y Desarrollo dy - eosx.ln x.dx + l ¡ú )'?:>, ,2 , . d y —(-senx. ln senx , , senx dx => dy = (cosx.lnxh )dx x x cosa: .2 ,x c o s x - s e n x 2 -------- )(dx) + (--------)(dx) X x~ j2 / , 2 co sx senx 2 d y = (-senx. ln x + ----------------r—)(dx) X X 751 z=— x , hallar d 2z Desarrollo , 1 - l n x , dz = — dx x 752 =$ ,2 2x-3 2 d z = — x— (dx) x z = x e x , hallar d z Desarrollo dz. = (2xe~x - x 2e~* )dx => d 2z = - e ~ x ( x 2 - 6 x + 6)(dx)2 „4 753 z ———— «hallar d 4z 2 -x Desarrollo En form a similar a los anteriores d z = 384 (2 - x www.FreeLibros.me r(dx) )5 Diferenciación de Funciones 754 u = 3 sen (2x + 5), Hallar d nu Desarrollo du = 3cos(2x + 5 )dx = 3.2sen(2x + 5 H— )dx 2 d 2u = 3.22 cos(2x + 5 + —){dx)2 = 3.22 j<?/j(2x + 5 + 2(—)){dx)2 2 2 d 3u = 3.23 sen(2x + 5 + 3(—))(dx') 2 d nu = 3.2” sen(2x + 755 5 + n ( — ))(dx)n 2 y - e XQOSXs e n ( x c o s a ) , hallar d ny Desarrollo dy = (co sa.excosase n (x c o sa ) + c o s a e xcosa co s...(x co sa))dx d " y - e xcosasen(xsena + n a )(d x )n 2.7. TEOREMA DEL VALOR MEDIO.a) T E O R E M A D E ROLLE.Sea y = f(x) una función continua en a < x < b y que existe f ' ( x cada x e (a,b) y f(a) = f(b) existe z e (a,b) tal que f ' ( z ) = 0 b) T E O R E M A D E LAG RAN G E.Sea y = f(x) una función continua en [a,b] y que existe /' para cada x e (a,b) => f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( z ) donde a< z< www.FreeLibros.me 350 Eduardo Espinoza Ramos c) T E O R E M A D E CAUCHY.Sean f(x) y F(x) funciones continuas en a < x < b y existe F'(x) para cada x e (a.b) y síf(b)*f(a). f(b)-f(a) f\z) . / ' ( jc) y Entonces: . -------------- = --------, donde a < z < b F(jb)~ F (a) F'(z) 756 Verificar que la función / ( jc) =x- jc3 de Rolle en los segmentos -1 < x satisface a las condiciones de teorema <0 y 0 < x < 1. Hallar los valores correspondientes de z. Desarrollo La función f(x) es continua y derivable para todos los valores de x, y además f(-l) = f(0) = f(l) = 0 Luego el teorema de Rolle se puede aplicar. Ahora hallaremos z para esto /■' ( jc ) = 1— 3jc2 => /'(z ) = l - 3 z 2 =0, de donde: z, = Siendo - l < z 2 <0 y 0<Z[<1 757 La función / (jc ) = y ¡ ( x - 2 ) 2 en los extremos del segmento [0,4] toma valores iguales / ( O) = f ( 4 ) = . ¿Es valido paia esta función el teorema de Rolle en el segmento [0,4]? Desarrollo 2 Comp / ( jc ) = (jc -2 )3 f'(2) 3 Es decir que f(x) no es derivable en (2,4). Luego no es valido el teorema de Rolle. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 758 ¿Se cumple las condiciones del teorema de Rolle para la función f(x) = el segmento [0,rc]? Desarrollo No se cumple, porque f(x) = tg x no es continua en (0,7t) es decir discontinua en x = — . 2 759 Sea f(x) = x(x + l)(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación /'(x ) = tres raíces reales. Desarrollo Como f(x) = x(x + l)(x + 2)(x + 3) => / ( x) = x4 + 6x3 + 1lx 2 + 6 x /'(x ) = 4x3 + 18x2 + 22x + 6 Como /'(x ) = 0 => . 4x3 +18x2 +22x + 6 = 0 De donde 2x3 + 9x2 +1 lx + 3 = 0 y por la formula de Cardano se obtiene las tres raíces reales. 760 La ecuación e x = l + x , evidente tiene una raíz x = 0. Demostrar qi ecuación no puede tener otra raíz real. Desarrollo Sea /(x ) = e x - (1 + x) es continua en todo R. Además es derivable => existe ze R, de tal manera que f ' ( z ) = 0 Como /(x ) = e x - (1 + x ), derivando se tiene: f'(x) = ex - 1 pero f ' ( z ) = 0 =* => f ’(z) = ez -1 ez -1 = 0 => www.FreeLibros.me e z = 1 => z = 0 352 Eduardo Espinoza Ramos 761 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange para la función f ( x ) - x - x 3 en el segmento [-2,1] y hallar el correspondiente valor intermedio z. Desarrollo La función es continua y derivable, entonces: / '( * ) = l - 3 * 2 como f ( b ) - f ( a ) - ( b - a ) f ' ( z ) / ( l ) - / ( 2 ) = [l-(-2 )]/'(z ) l- 3 z 2 = -2 => => -3 z 2 = -3 => 0 - ( - 2 + 8) = 3 /'( z ) => f' (z) = -2 z = ±1 se toma solamente z = -1 puesto que -2 < z < 1 762 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el 4 correspondiente punto intermedio z para la función / (x) = x 3 en el segmento l-U ] Desarrollo 4 f(x) = x3 = x es continua V x e R f ( l ) = l y f ( - l) = l además f ' ( z ) = /(!) — / ( - ! ) _ 1-1 _ Q l-(-l) 2 como como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 763 En el segmento de - la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1 B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB. Desarrollo Sea / '(z) = /'(z) = donde a = 1, b = 3 b-a = 4 como /(z) = z2 =» como /'(z ) = 4 f ' ( z ) = 2x => 2z = 4 => z = 2 Luego el punto será (z, f(z)) = (2,4) 764 Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fóm sen(x + h) - sen x = h cos^ donde x < £ < x + h Desarrollo Sea f(x) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange tiene: / ' (* + h ) - f ( x ) = (.x + h - x ) f ' (£) f ( x + h ) - f ( x ) = hf'(^) donde f \ ^ ) - c o s ^ . s e n ( x + h ) - s e n x = hcos^ donde ^ = a + 0(x - a) y 0 < 0 < 1 caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin. /(* ) = /(O) = xf '(0 )+ ¿ 21 / "(0) +... + (« -!)' donde£ = x y O < 0 < 1 www.FreeLibros.me f in~l) (0) + ^ f (n) ( I ) , ni 354 765 Eduardo Espinoza Ramos -------------------------------------------------a) Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x ) = x 2 + 2 y /(x ) = x3 - 1 , en el segmento [1,2] y hallar £ b) Idem para f(x) = sen x y F(x) = cos x en el segmento [0, Desarrollo , a) „ J ^ u f (b) - f (a) / ' ( £ ) Por el teorema de Cauchy se tiene:-------------- = -----— F{b)-F(a) F\Z) , _s ^ 1 < c, < l f(2) = 6, f(l) = 3 y /•(§) = 2§ f(2) = 7, F(l) = 0 y /'(5 ) = 35 /'(£ ) _ 6 -3 _ 3 F ’(%) 7 - 0 7 b) f(x) = senx =* _2_= 3 3¿; 7 ^ — 9 / '( * ) = cosx F(x) = cosx => F'(x) = - s e n x , 0 < q < ^ 0-1 2.8. 4 FÓRMULA DE TAYLOR.Si una función f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto interior del mismo existe una derivada finita / (Jc) , en este segmento se verifica la fórmula de Taylor. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones / ( x ) = f i a ) + (x - a ) f \ a ) + ^ f \a) + — f '"(a) - (n-1)! 766 n\ Desarrollar el polinomio / ( x ) = x 3 - 2.x2 + 3x + 5 en potencias entera positivas del binomio x -2 . Desarrollo /(x ) = x 3 - 2x2 + 3x + 5 => /'(x ) = 3x2 — 4x + 3 /"(■*) = 6x — 4 , /" '(x ) = 6, / (n)(x) = 0 para n > 4 de donde f(2)= 11, /'(2 ) = 7, / ’"(2) = 8, / " '( 2 ) = 6 /(x) = x3- 2x2 + 3x + 5 = / ( 2 ) + / ’(2)(x - 2) + (x - 2) + (x - 2; - 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x - 2) + 4(x - 2) +... + {x - 2)3 767 Desarrollar la función f ( x ) = e x en potencias del binomio x + 1, hast¡ termino que contenga (x + 1)3. Desarrollo Como f ( x ) = e x => f (n)(x) = e x y / (”>(—1) = — e ex = f ( - l ) + f \ - l ) ( x + l ) + £ ^ - ( x + l ) 2 - ^ ( x + l ) 3+ / ^ > ( x + 1)4 2! x 1 1 , l ( x + l) 2 ex = - + - ( x + l) + — ■^ e e e 2! 3! l ( x + l)3 (x + 1)4 £ -----— + ------ ’— e 4 e 3! donde ^ = -1 + 0(x + 1), 0 < 9 < 1 www.FreeLibros.me 4! 4! 356 Eduardo Espinoza Ramos 768 Desarrollar la función f(x) = ln x en potencias de x - 1, hasta el término con Desarrollo f(x) = ln X =* / '( a ) =- => / "(x ) =\ X => f m(x) = ^ r X- X f(l) = 0, /•(!) = !. / ”(1) = -1, / " ' ( 1) = 2 = G+ + ln x = (x -1) - (* 769 2! donde J. Z. + 2{X |)3 3!£3 = £ donde ^ = 1 + 0(x - 1) y 0 < 6 < 1 Desarrollar la función f(x) = sen x en potencias de x, hasta el término de x 3 y hasta el término x5. Desarrollo * f(x) = sen x , derivando se tiene: /'(x ) = cosx, f " ( x ) = - s e n x , / '" ( x ) = -cosx , f n (x) = senx f v(x) = eos x , / Vl (x) = - senx f(0) = 0, /'(0 ) = 1, / " ( 0 ) = 0, / '"( 0 ) = - l , / ,v(0) = 0, / v(0) = l a) x3 xs senx = x - — + — / v(¿j) donde / v(¿¡) = cos¿;, www.FreeLibros.me =0¡x, O<0,<1 Diferenciación de Funciones x5 5! jc3 b) x7 senx = x - — + — - — f w (£) donde / " "( £ ) = -c o s í 3! 7! donde <!; = 0 2x , O<02 <1 770 Desarrollar la función f ( x ) = e x en potencias de x hasta el término de x n~ Desarrollo f(x) = ex => f (n)(x) = e x => / (n)(0) = l 2! 2 - f ( x ) = e x = l + xHK..H— 2! 771 (n -1)! w-1 n h— e1’ («-!)! ni n! donde <!; = 6bt, y O<0<1 Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h eos a, no es mí 1 de — — ih2 2 Desarrollo Sea “(x) = sen x haciendo el desan'ollo en potencias de x - a ,, , ( x -a ) 2 2! ( x -a ) 3 3! senx = sena + (x - a) eos a ----------- sena ------------ eos a - haciendo x =a + h, de donde se tiene:. sen(a + h) = sena + heos a h2 h3 sena cosa + ... 2! 3! h2 , sen(a + h)~ sena - h eos a - — ( - s e n a 2 h 3 www.FreeLibros.me a h2 12 sena +...+) ...(1) Eduardo Espinoza Ramos 358 h h h2 , , h2 . , h h3 . -sen a — cosan— c o sa+— sena + ... = sena(- 1h------ K..)+cosa(— n— +...) 3 3 12 donde-1+ — + ... <1 12 => 3 20 —— K..<1 12 3 20 además 0 < sen 0 < 1 y 0 < eos 0 < 1 y además cuando sen a —> 1, eos -n a y cuando eos a —> 1, sen —> a se n a {-\ + — + ...) + e o sa (~ —+ — + ...) < 1 12 3 20 ft2 + ...)x+ eos a(— / h +— h* + . ..) < — -h[2s,e n a ,( - ,1+ — 2 12 3 reemplazando (2) en (1) se tiene: 772 20 s ... n (2) 2 sen{a + h ) - s e n a - h e o s a < ^ - Determinar el origen de las formulas aproximadas: a) yj\+x = 1 , |x |< 1 2 b) 8 3 y valorar el error de la fórmula Desarrollo a) lj\ + x ~ 1+ — Mediante el desarrollo de Taylor se tiene: www.FreeLibros.me , |x |< 1 9 Diferenciación de Funciones b) yjl + x - l + ——— + — (— - — —) el error es: 3 9 81 * (1+ S)3 x 5x3 x2 0 + 3_ t + , x x2, 5x3 r > - (1+3 - T > ■ 81(1 + ¿|)3 81(l + <g)3 donde 1; = 9x y 0 < 9 < 1 773 Valorar el error de la fórmula: e = 2+ — + — + — 2! 3! 4! Desarrollo * , x2 x3 x4 x5 = 1+ x + — + — + — + — t ( í ) 2! 3! 4! 5! e x - e cuando x -1 entonces se tiene: ex = 2 + — + - + - + - f v(¿) donde / v(S) = e* 2! 3! 4! 5! Luego el error será: — ’ donde ^ = 9x = 9(1) = 9 Pero 0 < 9 < 1, el máximo error que puede tener ex = 2 + — H---- h— 2! 3! 4! t cuando se toma el mayor % es decir que debe tomarse el máximo valor de ( pero el máximo valor 9 aproximado y siempre menor que 1, entonces tomand e 9 = 1, el error < — donde e < 3. 5! 3 1 Luego redondeando se tiene error < — = — = 0.025 5! 40 www.FreeLibros.me 360 Eduardo Espinoza Ramos 11A Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria y = a cosh — . Demostrar que para valores pequeños de |x |la forma que toma a X 2 el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + — 2a Desarrollo Como |x|es pequeño utilizaremos la formula de M ACLAURIN. Sea / (jc ) = y = acosh(— ) f(0) = a => a x x2 a 2a 4!a /(x) = acosh — = a + Luego x4 1 x4 x6 - + ---- - + ... 4!a 6!a X =■+ ... como |x |es pequeño entonces |x |- 0 o puesto que x2 x4 xn n'.an~1 => o para |x | => 0 x2 Luego acosh— = a-\------1------ - + .. .~ a + — - y a 2a 4 \a 2a x x2 a 2a Por lo tanto a cosh — = a H---- 115 Demostrar que cuando |x |< a, con una precisión hasta de (—)2, se verifica la a igualdad aproximada e a =, "a-x Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones multiplicando ambos miembros se tiene que: X — x ahora haciendo el desarrollo de e a en potencias de — : a ... I de (1) y (2) se tiene que: 2.9. REGLA DE L’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.a) CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS DE LAS FOR 0 OO Consideremos f(x) y g(x) dos funciones derivables para 0 < |x - a sin que la función g(x) se reduzca a cero, si f(x) y g(x) son infinitai pequeño o infinitamente grandes cuando x f(x) a, es decir si la fra representa en el punto x = a, una expresión indeterminada g(x) 0 OO forma — o — , tendremos que: 0 °° lim f(x) x~*a g( x) = lim f\x) a condición que este limite de las derivadas e> *-*<• g \ x ) www.FreeLibros.me 362 Eduardo Espinoza Ramos También esta regla se aplica cuando x => <*>, si la fracción g\x) es una expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla. b) O TR A S F O R M A S IN D ET E R M IN A D A S.Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma 0, se transforma los correspondientes productos j \ ( x ) . f 2 (jc) donde lim / |( x ) = 0 y lim / 2(x) = <*> en la fracción. /lW — 1 ,c ^— ) o. también u-' / 2 W— ,f(forma — ) (forma 0 1 00 / 2W fi(x) Para el caso de las indeterminadas de la forma 00 - 00 se transforma la (x) diferencia /, (x) - f 2(x) en el producto f t (,v)[l— *— -] y se calcula él / 1U ) f (x) f (x) * —— = 1, esta expresión se limite de la fracción —---, si él limite—^ fi( x) /,(*) reduce a la forma: 1- f 2(x ) /iW 0 (forma — ) 1 0 /iW Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma 1” , 0° y 00o. Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el logaritmo. www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones H A L L A R LO S L IM IT E S Q U E SE IN D IC A N D E LA S FU N C IC SIG U IE N T ES: 776 x3- 2 x 2 - x + 2 lim- , *-»i x _7x + 6 Desarrollo hm ___ 777 ,. x3 -2 x 2 - x + 2 x - 7x + 6 = lim x->i 3x2 —4x — 1 3x2 - 7 = 3 -4 -1 3 -7 = -2 -4 1 _ 2 x eos x —.renx lim *-*0 ------JC3 Desarrollo xcos x - s e n x lim---- — - hm •*->0 x —>0 X = lim *->o 778 eos x - x s e n x -cosx ---------3x 1 senx 1 — = — lim — =— 3x2 3 x->o x 3 xsenx lim- 1 X >1 1 KX l - sen — Desarrollo l-x -I 2,. I 2 I lim— = lim------------= — lim = — (—) = < JTX x —Al K T tX J t x —Al KX jt 0 l-sen— — eos— eos — 2 2 2 2 x —íl - 779 coshx — l lim *->o l-c o sx Desarrollo coshx-l senhx e -e e+e 2 hm----------- = lim------- = lim----------- = lim =- =l *->o l —cosx *—>o senx *->o 2senx *->o 2cosx 2 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 364 *->o x - senx Desarrollo tgx-senx sec x -co sx lim------------ = lim---------------jt-»o x - s e n x *->o 1-cosx l-co s3x 1+ cosx+cos2x „ = lim— ------------- = lim--------=3 * - » o eos x(l-cosx) *-»° eos X 781 lim X^ 1 l + cos4x 4 Desarrollo sec2x - 2 tgx 2sec2 x/?x-2sec2x „ ? .• tgx-l — = lim ---------- 2--------------= 2 lim sec x. lim ---------x * l + cos4x x * -4sen4x x_*_ x_il -4sen4x lim 4 4 4 4 pr 2 .. t gx - 1 .. t g x - l sec2x (V2)2 1 = 2(v2) lim — --------= - lim ------= - lim ----------= -------- - = x_>E - 4 s e n 4x *-x_>* se n4 x x 4cos4x 4(-l) 2 4 782 lim x-¿2 4 4 tgx 1 5x ,8 Desarrollo eos x.eos 5x - 5senx.sen5x 0 -5 = lim -------------------------------- - = ----- — = 5 x ^ eos x - sen5x x_ £ -senx.sen5x + 5eos x.cos 5x -1 + 0 tgx lim — — = lim x * tg5x 2 783 2 senx. eos 5x 2 lim ^ r *->” x Desarrollo www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 784 li m 1" * ->” l[x Desarrollo 1 2 = lim ——- - 3 lim — = 3 lim lim ylX X~>°° 1 —— -X 3 -X-+00 X Jt->oo = 3(0) = 0 i X3 3 n 785 lim — — jc-.o nx cts — Desarrollo n nx K2 2 2TX — ntg— — sec — 2 2 lim— - — = lim — =lim — --------— = — (1) — —— jr-»o n x x— *o x *->o 1 2 2 786 x->o ln(senx) Desarrollo «icosmx ln(sentnx)i = lim lim — x-»o Int .senx) *-»o senmx Ss nnu eos x ,• senx._ eos mx m lim-x-,o eos x.senmx senx = m lim x- m 787 tgx tgmx sec2x 1 , = lim — =- =1 x~>o m s c c mx Ôsec iiw 1 = m lim lim(l-cosx)cígx *->0 Desarrollo www.FreeLibros.me sec2x Eduardo Espinoza Ramos 366 (l-cosx)cosx lu T id x -fO 1-cosx - eo sxjctgx = lim -------- —----------= lim -------- — .limcosx x —*o sen x sen x jc-^0 x~>0 = lim — --. lim eos x =(0)(1) = 0 .r-»0eos X Jf—»o 788 lim(l - x)tg — je—>1 2 Desarrollo 7TX j_ x sen— x Y-x .lim sen — = lim ----------(1) lim (l - X) ---------- — = lim je—>1 ’ je.—>1 KX eos— 2 2 >1 KX eos— . 2 x —>1 KX eos — 2 -i 2 1 2 .1 2 = hm-------------= — lun---------- = - ( - ) = — *->1 — n 2 789 nx sen — n k x sen — 2 n l n 2 . lim arcsenx.ctgx *-->0 Desarrollo eos x are senx lim arcsenx.ctgx = lim aresenx.— = lim--------- .lim eos x x->o jc—>0 senx *->o senx * - > o aresenx . . . . . 1 1 , = lim----------.(1) = lim —¡ = = -------= - 7= — = 1 * - » o senx ^ V I - x 2 cosx V i - 0 ( 1 ) 790 lim x"e x , n > 0 A"— >0 Desarrollo lim x ne x - lim x ".lim e x = 0".e 0 = (0)(1) = 0 x—>0 JT-»0 J—>0 www.FreeLibros.me Diferenciación de Funciones 791 lim xsen{—) x Desarrollo a seni — a — 2 cos a lim xsen(—') = lim — — = lim — - — -— — = a lim eos — = a.cos 0 = a.l = a A -> « J JC JC— 1 A I * 792 A' — x2 lim xnsen— , n > 0 X Desarrollo a „ a a a sen— a cos— cos— j lim sen—= lim — — = - lim — -— — = na lim-------= —(—) = 00, para n > x— >°° JC x— x-*oo 2 1~ 1 I" Sí 1 1 = 1 =3 Sí n < 1 => 793 * ~V x— tl-\~1 n 0 ~F lim xsen—- a lim xnsen— = 0 lim lnx. ln (x -l) jc->i Desarrollo lim ln x. ln(x -1) = lim X—»1 X—>1 ln x = 0, por la regla de L ’Hospital 1 ln (x -l) 794 lim(— ------— ) x-*i x -1 lnx Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 368 , x 1 x ln x -x + 1 lnx lim( ) = hm--------------= hm jc-»i x —1 lnx Jt-»1 (x -l)ln x ^ 'l n x l * x = lim — — — = lim - - - ■-■■■ = — = — *~>I ln x + 1 - — +\ 1+ 1 2 x 795 x x lim(———.— y ~ ----- > *-»3 x - 3 x — x —6 Desarrollo hm( * -> 3 1 5 x -3 x —x —6 x2 - 6x + 9 (x-3 ) ) = lim---------= hmjí-*3(x-3Xx - x - 6 ) *-*3(x-3Xx - x - 6 ) x -3 1 1 1 = lim— = hmx —>3x — x —6 *—*32x — 1 6 — 1 5 796 lnn( 1 i— 1 — )x 3(1- l l x ) *-* 2(1- V x ) Desarrollo l + >/x hm( *->i 2(1- x ) 1+ yfx + s[x* 3 + 3x[x - 2 - 2x[x - 2sfx? ) = hm-----------------------------3(1- x ) x-*\ 6(1 - x) - T - lim 2 jc— 797 1 - - —6 _ 2 _ 4 2 _ - 2 3 3 ~ 2___= —6 —6 lim (— ------- — ) x ,* ctgx 2cosx 2 Desarrollo www.FreeLibros.me 2- 1 —6 12 Diferenciación de Funciones .. . .. Ixsenx - n ) = lim ------------2cosx 2cosx .xsenx n lim ( x_yE cosx 2 2 2 s e n x + 2x c o s x 2(1) + 7T(0) = lim -------------------= ------------x ,* -2senx -2(1) 2 798 lim x" A—>0 Desarrollo ln* T* lim'x* = lim e1"*' = lim e*1"-1= lime x *—>0 x—>0 x-»0 *—»0 lim x— >0 —7 * lim - — g i— *0 l 799 lim x-1 A —>oo Desarrollo 1 lim x* = lim e X —> o o + 800 * —»oo + i ln* VT------------------------ 1 ln * lim ------- lim — n = lim e x - e'"~ x = e'"~x = e = 1 jc —>=<,+ lim —7— ---x~>o x + ln x Desarrollo 3 3« , 3 in — — 31nx ——-— hm 31n* lim — = lim e x +lnj: — lim e e +ln* = e ‘~M4+lnx - e *-*o x + ln x -*->0 *->0 801 lim x senx *—>0 Desarrollo www.FreeLibros.me LílS 1 _ x Eduardo Espinoza Ramos 370 l , lim x SÍ',ur = lim e ,nx ;r—>0 , lim J f ii- > i« ---------- = lim e senxlax = <>-««*«* = e« ° -c o s « x ->0 x —>0 sen x senx -h m - lim -tgx . m n o *-*°xcosx — e *-*o x —e~ ~~ € 1 KX 802 lim(l-;t) JC->I cos— 2 Desarrollo lim (l-*) a:—>1 803 cos— , ,« nx .«“t 2 -lim e'n(1-Jc) *-*1 KX . , , =lime jc—>! . cos— .In(l-jt) 2 .. 1im (1 + x 2) x x—>0 Desarrollo lim[(l + * 2) r> ] = e™X - e° = 1 *-»0 804 lim jc1-* *->i Desarrollo i i-* lim *1-* = lim e n* X—>1 X—>1 ln * .. 1 hm - - = lime,_j: = e ~ ' x - e X — >1 KX 805 lim(/£— )'* 2 x-»i 4 Desarrollo www.FreeLibros.me . . =— K X . .. . límeos— .ln(l-jc) = «"* 2 n =e°=l Diferenciación de Funciones EX T tX tg— hm(fg— ) 2 =lime x —>1 2 xx ln(/*— ) 2 KX ' I r r 4 Ki: 7 tx , , tg— W tg — ) = lime 2 JC-»1 4 =e ln(tg —-) lim -----------4— *-.1 E x ctgx-— JC—>1 sec 2(— ) lim -----------------------4--------------,E x ,e , ,EX\ í 2C0“ C ( 2 )Jg( 4 } = e 2 ( lX l) = e ~ l _ £ - \ _ I £ 806 l i m ( c / g x ) lnj: x—>0 Desarrollo -cosecx.crgx 1 j_ lim(c/gx)ln;t = lim x —>0 x —>0 lim-xcosecx ?x-+o 807 lncfgx j.^ In cr^x = lim e lnjc = e ’~*° lnj: = e x —>0 lim . *-*o 1 x 1 — e*-*° senx — g 1= __ l i m ( —)'** x-> 0 x Desarrollo 1 tnr l i m ( — )® x -»0 x ln lnx 1 x in(—)tgx — = lim e * = l i m e c,gx = l i m e c,gx = x —>0 x -»0 x -»0 lim _ e *-».ccosec.clgx _ 808 lim — x 1 1i m—(- cos ecx.ctgx) tex g _ J ( 0) _ o 0 lim (c íg x ) 5 jc —> 0 Desarrollo l i m { c t g x ) senx = l i m e Xn(ctgx)Senx = l i m e senxAn(c,gx) - i im e - « « . i n < * * ) x —>0 x —>0 x ->0 x -*0 www.FreeLibros.me 372 Eduardo Espinoza Ramos lim senx.ln(rgx) ln(,g^ —e - x~ *° —e -lim cosecx ItoJEL = e x- ° c o s e c x = C 809 —£ S S - c o s ecxctxx eos ecx.ctgx 5 ôs2 x — e * -* c o s x — £> 1 _ ^ 0 = j Demostrar que los limites: a) x 2sen — r —=0 x— *o senx .^ lim b) x -se rv e , =1 x— *°° x + senx lim No pueden hallarse por la regla de L ’Hospital - Bemoulli. Hallar estos limites directamente. Desarrollo 1 x 2sen — a) iim senx x -* o 1 xsen— — = lim x-*o senx x 1 n lim xsen — í- = - = 0 lim senx 1 x— >0 donde lim xsen — = 0, puesto que z= — ,cuandox —» 0, z —» x —>0 X X 1 „ . , 1 senz 1 lim —senz = ? =¡> -1 < sen z < 1 => — < <— Z Z Z 1 .. senz . .. 1 _ . senz lim — < lim < lim — => 0 < lim <0 Z b) 2 -» °° Z . . lim senz Z .. x - s e n x lim ---------- = 1 x->~ x + senx senx x-senx r 1-0 ■ , senx « lim = lim----- =— = = 1 donde lim = 0, ver parte a) x~»~ x + senx | senx 1+0 x www.FreeLibros.me _ =0 Diferenciación de Funciones 810 Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu aproximadamente igual a: S = — Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0 Desarrollo Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exact; Ra2 2 por la formula: 5 = — (a - sena ), para demostrar que: S ~ —bh Calculemos lim a-»0 2 y esto debe ser aproximadamente igual a 1. bh Según la figura b = R eos a H = R - b = R (l-e o s a) 2 2 —bh = —R 2 cosa(l-cosa) 3 3 O (a-sena) Luego lim o2 3 - lim “^ A c o s a d - c o s a ) 3 www.FreeLibros.me = lim— (- a-sena « -*4 cosa(l-cosa) ) Eduardo Espinoza Ramos 374 CAPITULO III EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS ___ Ja. e x tr e m o s de" la s fu n c io n e s de jsñ ARGUMENTO.-___________________________________ _____ a) C R E C IM IE N T O Y D E C R E C IM IE N T O D E LA S FUNCIONES.Diremos que la función y = f(x) es creciente en un intervalo determinado sí para cada par de puntos x, y x 2 de dicho intervalo. Se cumple que sí JCj < x 2 => f ( x ,) < f ( x 2) Diremos que la función y = f(x) es decreciente en un determinado intervalo si para cada par de puntos cualesquiera jc, y x 2 de dicho intervalo se cumple que sí x x < x 2 => / ( * , ) > f ( x 2) www.FreeLibros.me Aplicación de las Derivadas Si la función f(x) es continua en el segmento [a,b] y / '( * ) > 0 para a < : la función es creciente. En el segmento [a.b]. Si la función f(x) es continua en el segmento [a, / ' ( x) < 0 para a < x y ’= 0 para los puntos críticos, es decir: -4 - 2x = 0 => x = -2 punto critico. -2 Como y = f(x) Si x < -2, y' > 0 => y '= / '( x ) = - 4 - 2 x => y ’= - 2(x + 2) => f(x) = y, es creciente en <-°°,-2> Si x > -2, y ’< 0 => f(x) = y, es decreciente en <-2,«>> www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 376 812 y = (x-2)2 Desarrollo y = ( a -2 ) 2 =* y'=2(x-2) Como y’=0 para obtener los puntos críticos entonces: 2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico. 2 y'= 2(.r - 2) Si x < 2 => v'<0 => y =f(x) es decreciente en <-°°,2> Si x > 2 => y’> 0 = > 813 y = f(x) es creciente en <2,oo> y = (x + 4)3 Desarrollo y = (x + 4)3 =* y'=3(x + 4)2 Como y'= 0. para obtener los puntos críticos es decir: 3(x + 4)2 = 0 , de donde x = -4 S ix < -4 => y'<0 => f(x) = y es crecimiento en <-°°,-4> y'=3(x + 4)2 Si x > - 4 =s y '> 0 => f(x) = y es crecimiento en <-4,°°> www.FreeLibros.me Aplicación de las Derivadas 814 y = x 2(;c-3 ) Desarrollo y = a2(x — 3) = x 3- 3 a 2 =$ y' = 3x2 - 6x => y' = 0 para obtener los puntos críticos es decir: 3a2 - 6 a = 0 =* 3x(x-6) = 0 => x={0,6} puntos críticos e ----------------- e --------0 6 y'=3x(x-6) Si x < 0, y ' > 0 f(x) = y es creciente en <-°°,0> Si 0 < x < 6, y' < 0 => y = f(x) es decreciente en <0,6> Si x > 6 815 y' > 0 =» y = f(x) es creciente en <6,°o> v = —-— x-2 Desarrollo (.x— 2) — x —2 V' = —-------— = -----:=- — como y' = 0, para obtener los puntos críticos. ( a - 2 )2 Es decir: -2 ( a - 2 )2 =0 . Luego 3 x tal que y' = 0 (■*—2) Además x = 2 es punto de discontinuidad www.FreeLibros.me 378 Eduardo Espinoza Ramos Si x < 2 =* y'<0 Si x > 2 '=> y'< O y = f(x) es decreciente en <-od,2> => y = f(x) es decreciente en <2,°°> 1 816 (*~3)2 Desarrollo -2 V' = ---------^ , para obtener puntos críticos debe ocurrir que y'' = 0 (•*— 3) -2 Como y' — r-,no 3 x, falque y' = 0 (x-3) Además x = 3 es punto de discontinuidad 3 S ix < 3 =* y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <-~,3> Si x > 3 => y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <3,°°> 817 y= jc2 * —6 x - 1 6 Desarrollo , , ( x 2 - 6 x - \ 6 ) ( x ) ' —x ( x 2 - 6 x - l 6 ) (x2 - 6 x - 1 6 ) 2 —x 2 - 1 6 ( x2 - 6 x ~16)2 Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y' = 0 Para que y '- 0 => - x 2 - 1 6 = Q =4> x2 =-16 www.FreeLibros.me Ix e R Aplicación de las Derivadas Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad , rv , (X2+16) (•*) = — ó— y —f (x~ —6x —16) t < x< -2 -2 <x< 8 8 < X < oo /=/’(*)<0 0 o y' = f ' ( x ) < y'=f'(x)< Luego la función y = f(x) es decreciente en: 818 <-2,8>, y = ( x - 3 )\[x Desarrollo Calcularemos su derivada y' = ( x - 3 ) 'y [ x + (x - 3 ) ( s [ x ) ' => y' = yfx + ^ —^r 2\¡x => y '2-Jx Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y '- 0 V 3 y' Si y'= 0 => 3x~3 = 0 => a,=1 puntos críticos Sí 3 y' => 2y[x = 0 => x 2 = 0 0 3(jc —1) " 24~x www.FreeLibros.me 1 Eduardo Espinoza Ramos 380 x < 0, y = (x - 3)V a; no esta definida 0 < x < l , y'<0 => y = * J* es decreciente en <0,1; Vx 1 < x < «>, y' > 0 819 => y - —-=¿- es decreciente en <1 ,°°> Va > = --V A Desarrollo 1 1 Calcularemos la derivada y ' = ------- ¡ = = 3 3V 7 1 3V 7 Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y'=0 y 3 y' Si v'=0 Si 3 y' =» yfx* - 1=0 => x = ± l => 3\[x* = 0 => x = 0 Puntos críticos , _ # r * - l _ (#s + l X # t - l ) y ~ 3V ? " -oo < x < -1, y '< 0 3V ? ’ y = — ~^J~x es creciente en <-«>,-1 > www.FreeLibros.me Aplicación de las Derivadas - l< x < 0 , v'< O y = f(x) es decreciente en <-l,0> 0 < x < l , y’> O => y = f(x) es decreciente en <0,1 > l< x < ° ° => 820 y'>0 => y = f(x) es creciente en <1,°°> y = x + sen x Desarrollo Calculando la derivada y' = 1+ eos x , ahora encontraremos los puntos críi pjua esto debe ocurrir y' = 0 ' ' 3 y' vSi y ' = 0 l+ c o s x = 0 -■* cosx = -l => x = TC(2n+l) ahora veremos si y' > 0 v y' < 0 pero se conoce que -1 < eos x < 1, V x e R sumando 1 se tiene 0 < 1 + eos x < 2, V x € R luego y' > 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en: 821 y = x ln x Desarrollo y" = ln x + 1, luego y' = 0 se tiene: ln x = -1 => x = e~l = — e y para que 3 y ', se tiene x = 0 como la función esta definida para x > 0 entonces: www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 382 Como y' = lnx +1 se tiene: 0 < x < - , y'<0 => y = x ln x, es decreciente en < 0 ,-> t 1 1 =s> y = x ln x, es creciente en [—,oo > e —< x < ° ° , y ' > 0 e " 822 e y = aresen (1 + x) Desarrollo Calculando la derivada y' = de donde y ' = •y/T—(1 + x)2 sjx2 - 2x para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera, que a y . Luego -J—x 2 - 2x = 0 => - jc‘ — 2x = O => -x(x + 2) = O => Xj = O, x 2 = —2 puntos críticos y/-(*2 + 2x) , J - x ( x + 2) -oo < x < -2, 3 y' es decir que no es y'>0 ni y'<0, por lo tanto no hay intervalo de crecimiento y de decrecimiento. -2 < x < O, y'> O => y = aresen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0> 823 y = 2 e x¡~4x Desarrollo www.FreeLibros.me Aplicación de las Derivadas Calcularemos su derivada y ' - 2 e x 4x (2x - 4), luego para hallar los pu: críticos haremos y' = 0 , es decir: 2 e(x ~4jt)(2x - 4) = 0, de donde x = 2 2 y' = 4 e xix- 4>( x - 2 ) - oo < x < 2, y'<0 2<x<°°, y ' > 0 S24 => y = 2 e x ~4r es decreciente en: <-°°,2> => y = 2ex ~ix es creciente en: <2,°°> i y = 2-t_fl Desarrollo -1 — Calcularemos su derivada y 1= e *~a ( —) ln 2 (x-a)2 1 \, O A— rt y 1= — - ln 2 , ahora halaremos los puntos críticos, para esto veremos (x-ay valores de “x”, de tal manera que 3 y’. Luego x - a = 0 => x = a punto critico www.FreeLibros.me 384 Eduardo Espinoza Ramos - °° < x < a, y'< O =* y = 2 x~a es decreciente en: <-°°,a> a<x<°°, v'< O => y - 2 x~a es decreciente en: <a,°°> 825 y=- Desarrollo Calcularemos su derivada y ' = cx (x —1) — ahora hallaremos los puntos críticos, x~ para esto debe ocurrir que: y'=0 V 3 y' Sí >>'= 0 Sí 3 v' => => x=1 e*(x-l) = 0 x = 0 ==> x = 0 y =- -oo < x < 0, y'<0 => y = — x 0 < x < 1, y'< 0 => l< x < ° ° . y'>0 v=— es decreciente en: <-°°,0> es decreciente en: <0,1> x => y = — x es creciente en: <1,°°> www.FreeLibros.me Aplicaciones de las Derivadas Averiguar los extremos de las funciones siguientes: 826 y - x 2 +4x + 6 Desarrollo y ' = 2 x + 4 => y' = 0, para obtener los puntos críticos es decir: y"=2 2x + 4= 0 => y " (-2 )> 0 => x = -2 => x = -2 se tiene un punto mínimo de donde y = 2 827 v= 2+ x -x 2 Desarrollo y' = 1- 2x y” = -2 => y' = 0 => v"(—) <0 2 => 1 - 2x = 0 de donde x = punto critico => en el punto x = — se tiene en máximo 2 9 9 1 de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = — 4 4 2 828 v = * 3- 3 x 2 +3x + 2 Desarrollo y'- 3.v2 - 6x + 3 => y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir: 3.r2 - 6 v + 3 = 0 => x = 1, punto critico y'” = 6.r-6 => y "(l) = 0 => y = a3 - 3x2 + 3x + 2 no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos www.FreeLibros.me 386 829 Eduardo Espinoza Ramos y = 2x3 +3x2 -12x + 5 Desarrollo y' = 6x2 + 6x -12 => y' = 0 para los puntos críticos 6x2 + 6 x -1 2 = 0 de donde: x, - - 2 , x2 = l y"=12x + 6 => y "(-2 )< 0 => en x4 = -2 se tiene un punto máximo de donde y = 25 y " (1)= 18> 0 ^ en x2 = l se tiene un punto mínimo de donde y = -2 830 y = x 2(x - 12)2 Desarrollo y = x 2(x2 - 24x +144) => y = x4 - 24x3 + 144x2, derivando se tiene: y’= 4x3 -7 2 x 2 +288x, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos es decir: 4x3 - 72x2 + 288x = 0 =s x x =0, x2 =6, x3 =12 y "= 12x2 - 144x + 288 y '' (0) = 288 >0 => en Xj = 0 se tiene un mínimo de donde y = 0 y' ’(-6) = -144 <0 y"(12) = 288>0 831 => en x2 = 6 se obtiene un máximo de donde y = 1296 => en x3 =12 se obtiene un mínimo de y = 0 y = x(x - 1 )2(x - 2)3 Desarrollo Hallaremos su derivada y'= (x — 2)2(6x3 - 16x2 + 12x - 2) www.FreeLibros.me Aplicaciones de las Derivadas ahora hallaremos los puntos críticos y para esto: y ' - 0, es decir: (x - 2)*(6x3 - 16x2 + 12x - 2) = 0 de donde: x, = 1, x 2 = 0.23, x3 = 1.43, x4 = 2 y" = 2 ( x - 2 ) ( 6 x 3 - 1 6 x 2 + 1 2 x - 2 ) + ( x - 2 ) 2(18x 2 -3 2 x + 12) y " = 2(x-2)[6x3 -1 6 x 2 + 12x - 2) + (x - 2)(9.v2 -16x + 6)] y"=2(x-2 )(15 x3 -5 0 x 2 +50x-14) v'' (1) = -2 < 0 => hay un punto máximo en: x = l, de donde y = 0 y” (0.23) >0 => hay un punto mínimo en x = 0.23 de donde y = -0.76 y"(1.43)>0 => hay un punto mínimo en x=1.43 de donde y = 0.76 y '' (2) = 0, no hay máximo ni mínimos. 832 y: r3 x+3 Desarrollo , . . , , (x2 +3)3x2 -2 x 4 3x4 +9x2 - 2x4 Calculando su derivada y = = ---(x + 3) (x + 3) . A2(x2 + 9) u y =— — hacemos y = 0 (x-+3)2 para obtener los puntos críticos es decir, A2 (x2 + 9) = 0 de donde x = 0 y "= 2x(x2 + 3)(—x4 - l x \ + 9) y" (0) = 0 => no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 388 v, , 833 y - x2 - 2 x + 2 x-\ Desarrollo Calculando la derivada se tiene: y' x2 — 2x — , hacemos v' = 0 para obtener ( * -l)2 los puntos críticos, es decir: .v2 - 2x - 0 => *, = 0, x 2 = 2 2 (* -l)(-x 2 + 3 x -l) ^ (-v-1)4 y' ’(0) = -2 < 0 y ' ' (2) = 2 > 0 S34 y= . => en jc , = 0 hay un punto máximo de donde y = -2 => en x 2 - 2 hay un punto mínimo de donde y = 2 (*-2 X 8 -*) x Desarrollo Calculando su derivada y = * , haciendo y'= 0 para obtener los puntos críticos es decir: -(10x - 32) = 0 => x = 3.2 y= -(10*-32) * 3— y''(3.2)<0 835 y = „ 20*-96 =*■ y = — 4 * 9 => hay un máximo en el punto x = 3.2 de donde y = — 16 * ( 4 - * 2) Desarrollo www.FreeLibros.me Aplicaciones de las Derivadas y '= , hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos, es deci x (4-x y — 4 ) = 0 => x, = — =r, x2 - —f= 1 6 (3 a ^ £ ' „ y =- 2 £ 1 6 (-1 2 a 7 + 2a 5 -1 2 8 a 3 + 1 2 8 a) A4(4- A 2)4 2 ,— )) < - n 0 => — r Jy — \ n . j ttiene i v i i v uun n imáximo u u a u u u cen - h a¡ — y "(— p = if(x) = — =¡ = r 1de donde y = —3\ £ £ 8,6 y ‘ T T ~ s/a +1 Desarrollo Calculando su derivada y ' = —4* — , haremos y'= 0 ( a 2 + 8)2 para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0 4 ,1 l2* , y = --------------- 7 ( 1 — ^— ) 2 , (a +8)2 a 2 +8 y "(0) = — - c 0 => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = V 2 85 837 y- * x/ a 2 -4 Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 390 x -1 2 Calculando su derivada se tiene: y' = ------------ — , haciendo v' = 0 para 3(.r2-4)2 obtener los puntos críticos, es decir: x*2 —12 = 0 => a, = 2-73 , x2 = -2-73 a(28 -a2) y 5 3(a 2 - 4 ) 2 y"(2>/3)>0 => hay mínimo en xi =2y¡3 de donde y = -73 y "(-273) < 0 => hay un máximo en el punto x2 = -2^3 , de donde y = —73 838 y = lj(x2 - l ) 2 Desarrollo Calculando su derivada se tiene: 4x y ’= ---------------- haciendo y = 0 para 3(x2- l ) ^ obtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 ==> x = 0 4(a 2 -3) y " = ------------ => y"(0) < 0 hay un máximo en x = 0, de donde y = l 9(x 2-1)3 además a 2 - 1= 0 x = ± l son puntos críticos y "(+ l)> 0 => enx = ± I hay un máximo de donde y = 0 839 y = 2 sen 2x + sen 4x Desarrollo y '= 4 eos 2a + 4 eos 4a = 4(cos 2a + eos 4a) y1= 8 eos x eos 3a , haciendo y’= 0 para los puntos críticos, es decir: www.FreeLibros.me Aplicaciones de las Derivadas 8 eos x. eos 3x = 0, de donde: eos x = 0 v eos 3x = 0 O' Si eos x = n 0 nK + n =^s> x = i( n —K )n => x = — 6 2 eos 3x = 0 => x = (n + — ), n = 0,±l,±2 6 y''' = -4 senx. eos 3x - 12 eos x.seiúx 6 )>0 hay un mínimo en: x = — y "(n + — ) < 0 2 - de donde y = —- ¿ =s> hay un máximo en: x = n + — de donde y = 6 6 840 3 KJ |U> 7t y "(n y = 2cos— + 3cos— 2 3 Desarrollo De igual manera que el ejercicio 839 De donde x = 12k7C, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = \2(k ± 2n Hay un máximo de donde y = 5eos: Cuando x = 12(A- ±~)7r hay un mínimo de donde: y = - 5 eos — Cuando x = 6(2k + l)n, hay un mínimo de donde y = 1 841 y = x - ln(l + x) Desarrollo I X 1+ x 1+ x Calculando su derivada se tiene: y ' = 1---------- => y ' www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 392 haciendo y' - 0, para obtener los puntos críticos es decir: x = 0 y " = — -— - => y ' ' (0) > 0 => en x = 0 hay un punto de donde y = 0 (1 + A-)2 842 y = x ln x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y'= ln jc+ 1, haciendo y’=0 , es decir: ln x + l= 0 => x —e 1 =$ x - — y " = — => x y "(—) = e > 0 => en el punto x = — hay un mínimo de donde: e e y' = — ln— = — e 843 e e e cuando x ~ — e y = .vln2x Desarrollo y' = ln 2 x + 2 ln x , haciendoy' = 0 para obtener los puntos críticos ln2 * + 21n.r = 0 =*lnx(lnx+2) = 0 de donde se tiene: ln x = 0 => x = 1 lnx + 2 = 0 => x = e~2 „ 21nx 2 y = ------- + X X y" (1) = 2 > 0 => en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1 www.FreeLibros.me Aplicaciones de las Derivadas y"(e _2 4 2 1 e ~ e" ) = — — + — y < O => en x = — hay un punto máximo de donde e y = -^(lne-2)2 = 4 844 => y - cosh x Desarrollo € —€ Calculando la derivada y' = senhx = ---------- , haciendo y' = 0 2 para obtener los puntos críticos, es decir: t e— = 0 y" = => e 2x -1 = 0 =* x = 0 => y"(0) = l> 0 => en x = 0 hay un punto mínim< donde y =1. 845 y - xe Desarrollo Calculando su derivada y ' - e x + x ex - e xl\ + x) haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir: e x(l + x) = 0 => e x = 0 v l + x = 0, de donde x = -1 y " = e x + e x + xex y" =(2 + x)ex => de donde: y = — y "(l) = e_ I>0 => en el punto x =-1, hayunmíni cuando x = -1 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 394 846 y = x 2 2~x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y'= 2xe x - x 2e x = xe x ( 2 - x ) haciendo 3’’= 0, para obtener los puntos críticos es decir: xe~x (2 - x) = 0 de donde: x ] - 0, x 2 = 2 y " = 2 e ~ x - 2 x e ~ x ¿-2xe~x + x 2e~x y '' (0) — 2 > 0 => y" = ( 2 - 4 x + x 2 )e~x => en el punto x = 0 hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0 y " ( 2) = (2 -8 + 4)e , 2 => >'"(2)-— r-<0 => en el punto x = 2 hay un máximo de donde: y = 4e 2 cuando x = 2 847 x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y ’= ex( x - l ) haciendo y' - 0 para obtener los puntos críticos, es decir: www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada y „ ex (x3- 2x2 + 2x) ----------- 41--------- => X „ e*(x2 - 2 x + 2) y =3 X y ’(i) - £Í !—2 + 2) _ g > Q en ej punt0 x _ j hay un mínimo de d y = O cuando x = 1 848 y = x arctg x Desarrollo y ' = arctgx + — 1+ x2 arctgx + — l + x* haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es de = 0 => (1 + x 2)arctgx + x = 0 => a r c t g x - 1 1+ x2 - 2.r2 1+ x2 (1 + x2)2 .. 1 1 -x 2 y" = x+ TT ' 1+x2 (1 + x2)2 1+ x2 => x - => y”(0)=0 no hay máximo ni mínimo. Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican, mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en toe campo de existencia). 849 y= * 1+ x2 Desarrollo _ . , , , . , . Calculando s*u derivada se tiene: , (l + x“) - 2 x “ y = (1+ x2)2 — 1 -x (1+x2)2 haciendo y'~ 0, para obtener sus puntos críticos, es decir: 1 - x 2 = 0 => x= www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 396 _ (l + * ) 0 - * ) (1+ x2)2 -oo < x < —1, y' < 0| i- =í> existe en x =-1 un mínimo. -1 < jc < 1, y ’ > 0 j Por lo tanto el valor mínimo es y = — - l < K l , y ' >01 , , . , . 1 > => existe x = 1 un máximo y el valor máximo es y —— l<Jt<°o, y '< 0 j 2 850 y = yjx(\0-x) Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y'= , '■ haciendo y' = 0 , para yfx{10- x ) obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: es decir: ^jc(IO-x) =0 =» x 2 = 0 y x3 = 10 0 Como y = y[x(l 0 - jc) 5 10 su campo de existencia es: x(10 - x) > 0 => x(x - 10) < 0 www.FreeLibros.me jc , = 5 , además 3 y' Aplicación de la Derivada O 10 Luego esta definida para el intervalo [0,10] y' = , 5~ * yjx(lO~X) 0 < jc< 5, y '> 0 ] ^ => 5 < a:< 10, y ' < OJ existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5 2 además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x = valor de y = 0. Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci x = 5, es: y = 5 851 y = sen x + eos4 x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y' = 4sen3xcosjr-4cos3x.senx => y '=4 s en xe os x( s e n2x - eos2 x) haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos se tiene: 45e;u cosx(íen2x - c o s 2 x) = 0 de donde se tiene: => -4sen x. eos x. eos 2x = 0 sen 2x. eos 2x= 0 de donde: x —( 2 k + \ ) ^ y x = k (k = 0, ±1, ±2,...) para x = (2k + 1)^~ hay un mínimo y su valor mínimo es: y = — , y ct x = k — hay un valor máximo y su valor es: y = 1 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 398 852 y = árceos x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y '= -7— — haciendo que 3 y' para obtener los puntos críticos es decir: \ ¡ l - x 2 =0 de donde x = ±1, evaluando en la función y(l) = 0, y(-l) = 7t Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x =-1, hay un valor máximo y = Jt 853 y = x 3 en el segmento [-1,3] Desarrollo y' = 3 x 2 tiene: ==> x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se y(0) = 0, y(-l) = -1, y(3) = 27 Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1 y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27 854 y = 2 x 2 + 3a'2 - 12* + 1 a) En el segmento [-1,5] b) En el segmento [-10,12] Desarrollo y'=6a:2 + 6 x -1 2 , y haciendo y' = 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir: 6x2 +6x~12 = 0 => x 2 + x - 2 = 0 de donde x\ = -2 , x 2 = 1, para a) consideremos x 2 = 1, como puntos críticos. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada Luego evaluando se tiene: y(l) = -6, y(-l) = 14, y(5) = 266 Luego cuando x = 1 se tiene un valor mínimo en y = -6 y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266 855 Demostrar que para los valores positivos de “x”, se cumple la desigual x+-> 2 x Desarrollo Por hipótesis se tiene x > 0 => ~Jx y —= están bien expresado, luego: \lx ( \ ¡ x — p ) 2 >0 yjx x - 2 + —> 0 X 856 => x —2 \ f x ( - £ ) + — > 0 V-V X => x + — > 2 X Determinar los'coeficientes “p” y “q” del trinomio cuadrado y = a 2 + px de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d: explicación geométrica del resultado obtenido. Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y ' - 2x + p , haciendo y' = 0 para obtenei , puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 => x = - — por dato se tiene que y cuando x = 1, es decir: —— = 1 =* p = -2 Sí y = 3 cuando x = l => en y = x 2 + p x + q =>3=l-2 + q=>q = Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 400 857 Demostrar la desigualdad: e* > 1+ x para x * 0. Desarrollo Consideremos la función f ( x ) = e x - (1 + x) de esta función se tiene: f(x) > f(0) para x * 0 Como f ( x ) = e x - (1 + x) => ft0) = 0 Como f(x) > f(0) => e* - (1 + x) > 0 => e x > l + x para x * 0 Demostrar las desigualdades: 858 x - — < senx < x para x > 0 6 859 cosx>l-— 860 X~2 x - — < ln(l + jc) < x para x > 0 861 Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, detal forma que su para xÔ producto sea el mayor posible. Desarrollo Sean “x” e “y” los dos sumandos. Luego a = x + y de dondey =a - Además p(x) - xy = ax - x 2 producto de los sumandos Luego p'(x) = a ~ 2x de donde p'(x) = 0 „ . a Se tiene x = — como y = a - x 2 a => y - — ' 2 a Luego cada uno de los sumando debe ser igual a: — www.FreeLibros.me x Aplicación de la Derivada 862 Torcer un trozo de alambre de longitud í, de manera que forme un rectái cuya área sea la mayor posible. Desarrollo = 2x + 2y ; área = xy como t = 2x + 2y i y= - l-2x A Xl Luego A( x)\ - x y - x {— -— ) = — - x2 1 =* A'(:r) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir: A'(x) = - - 2 x / / 4 -2 x = 0 x=— / 4 / v —— 4 x=— A"(x) = - 2 => zT(-) = -2 < 0 4 se obtiene el área mayor posible. 863 ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m area' Desarrollo 2p = x + y + z, donde z = \]x2 + y 2 x + y + yjx2 + y 2 = 2 p => J x 2 + y 2 = 2 p - ( x + y) x2 + y 2 =4p2 -4p(x+y) +x2 +2xy+y2 www.FreeLibros.me 0 -4 p 2-4px-4py +2 Eduardo Espinoza Ramos 402 de donde y ■ 2 A'(x) = 2px-2p~ 2 x-2 p x-2p x-2 p 2 p x 2 —8p~ x ■+■4 p'' A'( jc) = 0 (.v-2 pi para los puntos críticos, es decir: 2 p x 2 -8/>2x + 4p3 => x = 2 p ± y ¡ 2 p es decir x = 2 p + \¡2p , y ~ 2 p - s ¡ 2 p , son los triángulos isósceles 864 Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de 1m. lineales de tela metálica? Desarrollo Pared de piedra 2x + y = f => y = £ - 2 x A(x) = xy - x(l —2x) = xl - 2 x 2 A '(x)-I-4x como y = l - 2 x /4'(jc) = 0, es decir: x ~ — => y = — 2 Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 865 De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en de cruz, así obtenido. Desarrollo Área base = ( a - 2a ) 2 Vol (a - = V (a ) = V(.x) = ( a 2 - 2a)2a 4 a + 4 a 2 )a V ( a ) = 4 a 3 - 4 a 2 + o 2a V^'(a) = 1 2 a 2 - 8 A +a 1 2 a 2 - 8 a + <32 = 0 2 => => a, = — , a2 = — 1 V "(a) = 2 4 a - 8 => es decir: V '(a) = 0 , 6 2 V " ( —) = - 4 < 0 2 e n a, = — h a y u n m á x i m o 6 V "(—) = 4 2 > 0 6 enA = — hay un mínimo 2 Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a — 6 866 Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe ten para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito par fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata? Desarrollo El área lateral = a 2 + 4Ay www.FreeLibros.me ..0 Eduardo Espinoza Ramos 404 V = x y = Volumen y = —V - ( 2) , 4V luego A(x)X= x - + — X X A'(x) = 2 x - ——= 0 => x = l¡2V x por lo tanto y = V y¡2V y x = ------ 1Í4V2 867 ¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total? Desarrollo Vc = nr^h , derivando se tiene: Vc (r ) = x(2rh + r h' ) r pero V/(r) = 0 por ser constante => . 2rh + r"h ' - 0 => h ’ = - 2/2 .. ( 1) r A, = 2jtrh + 2Jtr2 , derivando se tiene ... (2) Af (r) = 2 túi + 4 tct + 2Ttrh' reemplazando (1) en (2) 2 /í At { r ) - 2nh + n r + 2n r ( ----- ) r 2h igualando a cero se tiene: 2nh + 2nr { -----) + Anr - 0 r h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro d(| la base. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 868 Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo Desarrollo Sean r = radio de la base del cilindro 2h = altura del cilindro R = radio de la esfera dh__r pero r 2 + h 2 = R 2 ... (11 ~h y = 2jtr-h dV dr ... (2) 2 dh = 27t(r~---- h2r h ) , reemplazando (1) en (2) dr dv , r „ , dV „ =.2 k ( f- 2rh) como — = 0 dr h dr — 2k ( ----- + 2rh) = 0 h =» r = 2h Como r 2 + h 2 = R 2 => 2h 2 + h 2 = R 2 h = - ^ = => 2/i = ^ ^ x/3 2/? 12 Luego el volumen será máximo cuando 2h = —= y el radio r = R.¡— V3 V3 Hfi't Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie latei posible. Desarrollo Altura del cilindro = 2h www.FreeLibros.me Eduardo Espin >za Ramos 406 r = radio del cilindro r~ + h 2 = R 2 => r = s] r 2 - ¡ A, = 4 nrh =4rchy¡R2 - h 2 Al {h) = 4n(y¡R2 - h 2 — T= = ) => A¡(h) = 47r( y¡R2 - h 2 ' 4 w = w 2 - 2* 2) \[ r 2-/ " ' ' R2 - h 2 - h 2 yjR 2 - h ¿ => A¡ (h) = 0, para obtener los puntos críticos Luego 47T(/? 2 — 2/i2) = 0 => h = 4Í R => 2h = y¡2R Luego la altura del cilindro en <¡2R para que tenga la mayor superficie lateral posible. 870 Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo. Desarrollo Sea h = altura del cono , r = radio del cono x2 = R2 - r2 además x = ( h —R) = h ~ - 2 l i R + R~ x 2 = R 2 - r 2 => R 2 - r 2 = h 2 - 2 h R + R 2 í> r —y]R2 - h 2 por otro lado se tiene: := yjh2 + 2 h r ~ h 2 => z = y¡2Rh www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada AXc-Ttrz => A]c =TCy¡2hr- R2 .\¡2Rh dA] c 'IRyjlRh-h1 y¡2Rh(2R-2h) dh 2yj2Rh 2 y ¡2 Rh- h2 <^ lc =0 V dAlc _ ¿h 4Rzh - 3 R h 2 I I (2Rh)2( 2 R h - h 2) 2 es decir Rh(4R - 3h) = 0 => h = —R 3 dr Luego el volumen es máximo cuando la altura h = —R donde R es el radi< la esfera. 872 Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden? Desarrollo H- Sean H = altura del cono R = radio del cono h = altura del cilindro r = radio del cilindro www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 408 H-h _H r ~ R Vc = - R 2H c- 3 n c Hr R- Vc = - H ( - ^ — )2 c 3 H -h H 3r2 dVc _ n r 2 3h2(H - h ) 2 - H 32(H - h ) dH 3 (H -h)2 dVc - ( 1) H -h (H -h)4 K r2 3h2( H - h ) 2 - H 32 ( H - h ) n como — - = 0 => -----.-------------------- ;-----------= 0 dH 3 (H -hy de donde H = 3h ... ( 2) reemplazando (2) en (1) se tiene R - 3r 3-1 Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es ~-r donde “r” es el radio del cilindro dado. 873 i ¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen? m D esarrollo Por semejanza de triángulo se tiene: www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada Ir R 2 R x2 = h- - 2 h R , í h ^ : \hr hRh~2R A ' \T - -1 n x 2 h , - -1 n h, (, --------kRl ademas V„ f 3 3 h-2R V = n h 2R 2 dVr 3(h-2R) dh n h2R2 - 4 h R 2 ^ . 1 ' 3 (h-2R f dV„ Luego — — = 0 =£■ h 2R 2 - 4 h R 2 = 0 de donde h = 4R dh Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandt altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R S74 Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalmc en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom< para que el canelón tenga la mayor capacidad posible? 0 A - área de la parte sombreada es = ? A = área del sector circular www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 410 Área del A AoB A = - R 2 - R ( ^ ^ - ) - — ((p-sen(p) 2 2 2 dA R1 „ s „ — = — (l-c o s (p ) = 0 d(p 2 => c o s< p = l Luego como 0 < ip < tc Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene cp= 7t 875 De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un | embudo de la mayor capacidad posible. D esarrollo Se observa que la generatriz del cono es el radio del circulo R = g Además r = /f‘ - h~ Volumen del cono =Vh = ir r h como r = R 3 www.FreeLibros.me -h Aplicación de la Derivada => h = V' = - ( R 2 - 3 h 2) = 0 3 876 v3 Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿ dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac geste en hacerlo la menor cantidad de material ? D esarrollo A, = 2nRh + 2nR2 (1 ) 27zRi c = R~h + h= 2nRi h=- 3c-2nR- ... (2) 3nR reemplazando (2) en (1) . 3c-2nRi 2 2c 2 n o2 Aj — 27t R( ---------— )-\t2kR —— h R 37tR2 R 3 / 2c 4nR A¡ = — + — = 0 R¿ , h= 3c-2nRs — 3rtR2 = 6c + 4nRi = 0 => R* 3c-3 c „ — =0 3k R 2 3c reemplazando en , „ => h = 0 La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d tener forma de semi-esfera. www.FreeLibros.me 412 Eduardo Espinoza Ramos 877 Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida MN, de longitud i, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre d < í Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la paredj vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo. El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza de triángulo se tiene: /eos© H = , , , 7J I c o s O - d s de donde H = -------------- = (/c o s 6 - d ) t g Q IsenG ctgd /c o s 0 www.FreeLibros.me i Aplicación de la Derivada dH de 4 = (/ cos0 - í / ) s e c _ 9 + tg9(—lsen9) = O lcos6-d eos 2 0 lsen2G 3 ¿ eos 9 = — , de donde se tiene: eos 9 C O S0 = 3/ H = (J\[d - d ) Jl-ij)1 ‘ f, simplificando se tiene que: 878 H =(sfc2 -yfd2)2 En un plano de coordenadas se da un punto, M 0 (jc0, y 0) , situado en el prim cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la m enor ári posible. D esarrollo Sea L : y - y 0 - t g9( x —x0 ) donde mL = tg 0 Haciendo las intersecciones con los ejes coordenados. y=0 => x —xq —y 0ctg9 ; x=0 =* Y www.FreeLibros.me y - y 0 ~ x 0tg9 Eduardo Espinoza R am os 414 _ (x0 - y0ctg6)(y0 - x0tt>9) _ 2 7 7 2 x0 y0 - x$tg9 - y¿ctgO 2 ~ 7 7 dA xn se c ' 6 yñ eos ec~6 . — = — 2 -------- + Z2 =0 d0 2 2 7 => 7 vá .sen 9 ^ r -= -----— jkj eos ' 6 de donde tgO = ± — reemplazando en la ecuación de la recta L, se tiene: xo L : y - y0 = (x - x0) puesta que tgO = ± — x0 L : x y0 + xy = 2 x 0y 0 879 Ad => L : — +— = 2ô 2>'0 1 j Inscribir en una elipse dado, un rectángulo de la mayor área posible que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse. Desarrollo La ecuación de la elipse es: x y~ — + ——= 1 de donde a2 b2 A = xy = — si a 2 - x 2 derivando tiene que: a www.FreeLibros.me b I 2 2 y = —\ a - x a Aplicación de la Derivada dA b I 2 2 — = —y a - x dx a como y bx -a - a aSa¡~¿ * b I 2 i" ya - x X=^ 72 Luego las dimensiones del rectángulo son: 2 x = 880 72 = 7 2 a , 2y = — = = \ 72 Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la pará y 2 = 2 px cortado por la recta x = 2 a. D esarrollo 1 y2 y3 A = (2a - x) y, como y = 2 / « s e t i e n e : A = ( 2 a - — ) y = 2 a v - ~ 2p — -2a- — = dy 2p 0 => y= ± 2 7— V 3 com o v 2 = 2 px Luego los vértices deben estar en (2 -j,± 2 www.FreeLibros.me 2p 2n 416 881 Eduardo Espinoza Ramos Hallar el punto de la curva y = — 1+ x ángulo de mayor absoluto posible. , en el que la tangente forme el eje OX el Desarrollo La gráfica es simétrica por lo tanto el ángulo esta en el primer cuadrante entonces el ángulo varia entre 0o, 90°. Luego a mayor ángulo será la tangente del mínimo. dx y = — (tangente del ángulo) dx d 2v Luego — — = 0 dx mencionado. nqs da las coordenadas del punto de tangencia del ángulo 1 2x .V = d 2y r y (1 +x ) => — or 1 y = _ 2 t------- 7 d x2 a 8 :2 \ +x 2 = 2(1 + x 2) 4x2 n (l + x 2 ) 3 => x 2 = - 1 3 para x - ± - j = , y = — , por lo tanto el punto es: 882 , 7 t] = 0 => x = ± £ 1 3 P ( ± - ^ —) Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orii de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiempo! posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la orilla), es d. Desarrollo www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada Como e = v.t => t=— V. donde V,„ = velocidad del movimiento V = velocidad del agua Reemplazando t = —— dt — = 0 => d9 883 dt — kv — calculando valores críticos h -2 a a = —(-l)s e n 0 .C O S & dd eos 9 1 sen 6 ksetrO h , 1 \ r, ( --------- — ) = 0 kv v co s 0 = — => k sen 8 0 = árceos — k En el segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe luminoso). D esarrollo A I, = p M - a-x E, = iluminación total = / , + 12 www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 418 dE, _ 0 ¿A- 884 ~ 2 p | «?(2) A3 (a - A - ) 3 Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos é inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz). D esarrollo 3 1 = ( r 2 + x 2) 2 - 3 x 2( r 2 + x 2) 2 - 0 = ( r 2 + x 2)[r2 + x 2 - 3x2] = 0 r 885 de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de sección rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y” deberá tener esta sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible? a) b) a la comprensión. www.FreeLibros.me a la flexión L Aplicación de la Derivada O bservación: La resistencia de la viga a la comprensión es proporciona, área de su sección transversal, mientras que a la flexión es producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de altura. D esarrollo y = \ ¡d 2 - x 2 a) R c = k A 2 = lcxy = k x \ l d 2 - x 2 i Rc = k ( d 2x 2 - x ÍL = 0 4 )2 = J fc (I)(rfV -J c 4) 2( 2 d 2x - 4 x 2) => 0 = -ifc (2¿2jc 4r1) 2 2 d 2x - A x 3 = 0 2 => 2 r/2jc = 4a: 3 , , x = -^=, y = -^ por lo tanto 4 i' b) R F - x y 2 del gráfico se tiene: y 2 = d 2 ~ x 2 R F = k x ( d 2 - jc2) => ^ — - k { d 2 - 3x2) dx => 75 ...( a ) /?F = k(zí2x - jc3 ) , derivando se tiene: d 2 - 3 x 2 de donde x = En (a ) / = d 2 - ( ^ ) 2 => y 2 = d 2 - ^ - 886 „1 ( d 2x 2 - x 4) 2 73 => y =^ d Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de i kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medi de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1 fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramo 420 D esarrollo P ^ A i w 1 1 Q Densidad lineal d = q — de donde d - -pe5° T cm long T MA=0 X Cf => P( = Qa + w(—) , donde w = qx por lo tanto Px = Qa + — x P = Q l +Í x ... (a) .V= dr x2 2 x2 9 2 ... (P) reemplazando (P) en (a) tenemos: Pmin - Qa 2A 887 id 2 Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esfera B, ¡a cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esfera C, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocidad de la esfera C sea la mayor? D esarrollo A con B: Luego B con C www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada Vn = 2Mv — ... (a) x +M 2xv vc = --------------------- •••(P) m +x rse (,a )sy ( p/Qx D ): vc = m +x x +M AxM. 4 M.. (m + x) (M + a ) x 1 + (m + M )x + mM JVC _ ^ dx 17 = -------2 -r 7( 2mv Vc 4 M v(x + x ( m + M ) + m M —x ( 2 x + m + M ) ) (.v2 +{m + M ) x + m M ) 2 jc2 + x(m + M ) + m M = 2 x 2 + (m + M ) x 888 => m M - x 2 => x = \¡Mm Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n ” pilas en serie N después los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensic n de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina por NnE formula: I = --------- — , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten . NR + n - r externa. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de corriente que proporciona la batería. Desarrollo d i _ q _ (NR + n 2r ) - n 2 n r dn N E ( NR + n ' r ) www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 422 NE „ E M . 2NR 889 , => 2 , . * J " 2 \R r Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa, para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si Q = c \ J h - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura (tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes). D esarrollo ^ Q = C y j h - ^ y = C(hy2 - y 3 ) 2 — = 0 - C —( h \ 2 - y3) ^(2/iy - 3 y 2) => 2/iy = 3 y 2 => — = y dy 2 3 890 Si x l , x 2,—, x n , son resultados de mediciones igualmente preciso de la magnitud “x”, su valor más probable será aquel para el cual la suma de los n cuadrados de los errores 5 = V ( x - j c , ) 2 , tenga el valor mínimo. Demostrar i=i que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los resultados de las mediciones. D esarrollo n S = V ( x - x ¡ ) 2 , derivando se tiene: i=i jc n — = 0 = ¿ 2 ( x - x ,.) dx U => n S = ¿ ( x - x ,) 2 í=i www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada n 0 3.2. -xn-^x¡ n => xn = ^ x ¡ DIRECCIÓN DE INFLEXIÓN.Ir a . LA => x CONCAVIDAD.- PUNTOS I __________________________ CO N CA V ID A D DE LA G R Á FIC A D E UNA FU N C IÓ N .Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f " ( x ) > 0 , V x e (a,b) es cóncava hacia abajo en (a,b) sí f " ( x ) < 0 , V x s (a,b). 2do. PU N T O DE IN FL E X IÓ N .E1 punto (x0, f ( x 0)) es punto de inflexión sí / ” (* 0) = 0 H A L L A R LO S IN T E R V A L O S DE CO N C A V ID A D Y LO S PU N TO S I IN FL E X IÓ N D E LAS G R Á FIC A S D E LAS FU N CIO N ES 891 y = x 3 - 6 x 2 +l2x + 4 D esarrollo y'---3x2 - I 2 x + 12 => y' = 0 para obtener los puntos críticos, es decir: 3 x 2 - I 2 x + 12 = 0 >•" = 6 x - 12 => de donde x = y " ( 2 ) = 0 , no hay máximo ni mínimo, hallaremos li puntos de inflexión. _y"=0 es decir 6x - 12 = 0 => x = 2 www.FreeLibros.me 424 Eduardo Espinoza Ramos Intervalos X x> 12 2 Luego en: /" (-v ) Conclusión + - 0 0 + + Cóncava hacia abajo Puntos de inflexión Cóncava hacia arriba / ’U ) 2 II to -« < x < f(x) <-<»,2> es cóncava hacia abajo -v> < 2 ,<x» es punto hacia arriba (2 , 1 2 ) es punto de inflexión además en: 892 y= ( jc + <-°°,2 > y < 2 ,°°> es creciente 1) 4 Desarrollo y' = 4(jc + 1) 3 => y' = 0 para los puntos críticos es decir: 4(;c + 1) 3 = 0 y' = 4(jc + l ) 3 www.FreeLibros.me => x = -l Aplicación de la Derivada -o o < x < -l, y' < - l< x < ° c , y’ > 0 0 existe un punto mínimo en x = punto -1 y su valor es: y = 0 , es decir que (-!,( mínimo y los intervalos <-<*>,-1 > es decreciente y en <-l,eo> creciente. Sea y " = 12(x + 1 )“ y"> 0, V x e R 893 => (-r + 1) = 0 -1 la gráfica es cóncava hacia arriba en: y = - x+3 D esarrollo y =- x= => x = -3 (x + 3)- punto critico no existe máximos ni mínimos www.FreeLibros.me 426 Eduardo Espinoza Ramos -3 < x < -3, y'< O -3 < x < «o, y '< ^ (x + 3 ? -oo<x<-3, => =¡> 0 y"< 0 en -3 < x < oo v" > 0 y = ------ es decreciente en <-°°,-3> x+3 y = ------- es decreciente en <- 3 ,oo> ' x+3 => es cóncava hacia abajo en => y= < - o o ,- 3 > es cóncava hacia arriba sobre <-3,o°> x +3 Luego en: <-oo,-3 > cóncava hacia abajo <- 3 ,oo> cóncava hacia arriba x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 894 y=- r +12 D esarrollo x 2( x 2 , +36) y '= 0 (x +12) para los puntos críticos es decir: x " ( x 2 + 36) = 0 de donde x = 0 < x < 0 , y ’> 0 0 v < x < °°, y’> „ => es creciente en: => es creciente en: < 0 ,<»> 0 2 4 jr ( 3 6 - jr ) ----- — ( jc + 1 2)3 , . ■ y ~ o , para los puntos de inflexión es decir: 24+(36 - x 2 ) = 0 de dondg¿ .v, = - 6 , x 2 = 0 , .v3 = para 9 a, = - 6 , y t = - x2 = 0, y 2 = 0 => P2 (0,0) 9 *3 - 6 , >’3 = 2 9 => ^ 9 ^3 ^’2 ^ puntos de inflexión www.FreeLibros.me 6 Eduardo Espinoza Ramos 428 Si -oo < x < -6 , y " > 0 -6 < x < 0 , y ' ' < 0 895 0 < x < 6 , y" 6 < x <«», y " < es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-6 > => es cóncava hacia abajo sobre <- 6 ,0 > => es cóncava hacia arriba sobre < 0 ,6 > > 0 0 => es cóncava hacia abajo y = x/4x 3 -I2 jc Desarrollo (4x 3 - 1 2x ) 3 para los puntos críticos, es decir: 4 (x 2 - 1 ) = 0 de donde = 1, x 1 - - \ 3 y también sí 3 y' es decir (4x 3 - 1 2 x ) 2 = 0 _ 4(x + 1)(jc —1) y 2 (4.í 3 -12x)3 www.FreeLibros.me => x 3 = 0 , ,r4 = —y¡3 , x5 =y¡3 Aplicación de la Derivada no existe máximo ni mínimo -y¡3 < x < - , y ’> 0 1 existe un máximo en x = -l -1 < x < 0 , y' < 0 -1 < x < 0 , y' < 0 0 < x < 1 , y'< y = 2 => 3 0 y su val /?i (—1,2) no existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei x = 1 y su valor es y = - 2 =* p 2 ( l ,- 2 ) i l < x <y¡3 , yy > o V K x< j3 , y'>0 y¡3 < x < °° , y ’> 0 „ y =- -3 2 (x 2 +1) 3 3 máximo ni mínimo de aquí los puntos de inflexión son: (4.r3 - 1 2 x ) 3 x¡ = 0 , x 2 = -y¡3 , x 2 - y ¡ 3 -3 -~ < x< -j3 , -\Í 3 < x < 0 , y"> 0 y" < 0 de donde (0,0), (—J 3 , 0 ) , (a/3,0) 0 3 => es cóncava hacia arriba sobre < -°°, - \¡ 3 > => es cóncava hacia abajo sobre < www.FreeLibros.me 0> Eduardo Espinoza Ramos 430 y">0 0 < ,< V 3 , V 3 < ;c < o ° , v " < 896 => es cóncava hacia abajo sobre < 0 , > => es cóncava hacia abajo sobre 0 y = eos x D esarrollo y' = senx y' = 0 => para los puntos críticos es decir: sen x = 0 => x = 0, ± 7t, ±2tc, ±3ji, ... y " = - c o s x => y " = 0 para los puntos de inflexión: x = (2k + l ) - , k = 0 , ± 1 , ± 2 ,... de donde y = => 2 0 n (( 2 k + 1 ) —, 0 ) punto de inflexión si (4Jt + l ) — < * < (4 fc + 3)— , 2 2 y"> 0 => . < (4k + 1 )—, (4A: + 3) — > 2 2 www.FreeLibros.me es cóncava hacia arriba sobn Aplicación de la Derivada 4 (4/c + 3 ) — < x < (4k + 5 )— , y"< 0 => es cóncava hacia abajo sol < (4 ¿ + 3 )-,(4 fc + 5 ) - > ^ 2 897 y = x - sen x D esarrollo y' = 1 - cos x => y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir: 1 - cos x = 0 de donde cos x y"=senx => Además para y"(2kn) = 0 2 y ' ' —sen x decir sen x = x = 0 , 2tc, 4 ít, ... no existe máximos ni (2k - 2)jc < x < 2krc, y' > 0 intervalos <( 2 k Como => 1 0 )rc, 2 kn> para k => y" = 0 = 0, ± 1 , ±2 , para los mínimos. es creciente en 1 => ... puntos de inflexión => x = ±Jt, ± 2 i t , ... luego para x = 2 krc, y = 2 k;t => p( 2 kn, 2 k 7t) punto de inflexión -2 tc -jc 0 www.FreeLibros.me k 2n 432 Eduardo Espinoza Ramos 2 k < x < (2 k + 1 ) n, y " > O => es cóncava hacia arriba en los intervalos < 2 kjt, ( 2 k + l)rc> ( 2 k + l) n < x< ( 2 k + 2 )n, y " < 0 => es cóncava hacia abajo en los intervalos. <( 2 k + l) 7t, ( 2 k + 2 )tc> y = x 2 lnx 898 D esarrollo y' - 2 x ln x + x 2 x ln x + x = 0 => y' = 0 para los puntos críticos es decir: => x ( 2 ln x + 1 ) = 0 ==> x, = www.FreeLibros.me 0 no esta definido en: Aplicación de la Derivada y "(- 7 =) = 2 > O => hay un mínimo en x = Ve ve 2 de donde y - — e => 1 2 — ) Ve e y "(— 1=) 3 máximo ni mínimo Ve como y " = 2 ln x + 3 => y " = 0 para los puntos de inflexión tenemos 3 2 1 n x = -3 => x 2 = e ~ 3 => x - e 2 y =e - \ - l ) « ¿>2 899 y = arctg x - x D esarrollo y = arctg x - x => x2 y =— 1 + x2 y " - ------- —Y Y = 0 =* x = 0 (1 + * 2)2 0 x < 0, y " > 0 es cóncava hacia arriba x > 0, y " < 0 es cóncava hacia abajo x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 434 900 y = (l + x 2) e x D esarrollo y ' = 2 x e x -t- (jc2 + l)e* y ’= e x(:r + 1)2 , haciendo y '= 0 , para los puntos críticos, es decir e x ( x + l ) 2 = 0 de donde: x = -l 1 Si x < -1, y '> 0 la función no tiene máximo ni mínimos y además es creciente en los intervalos: < - « v l> y <-l,°°> x > -l, y ’> 0 como y' = e x (x + \ ) 2 => y " = e x ( x + l)(.r + 3) haciendo v” = 0 , obtiene los puntos de inflexión, es decir e x(x + l)(x + 3) = 0 jc , = de donde: —1, x 2 = - 3 . 2 10 Luego p . ( - l , —) , P t ( - 3,— ) punto de inflexión e ~ e5 -3 Si x < -3 , y " > 0 -1 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3> Si -3 < x < -1, y " < 0 Si x > - 1 , y " > 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-1 > es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°°> www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 3.3. ASÍNTOTAS.a) D E FIN IC IO N .Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva. b) A SÍN TO TA V E R T IC A L E S .- (paralelos al eje OY). Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = 00, la recta x = a es asínt vertical. c) A SÍN TO TA O B LIC U A S.- Si existen los limites (respecto a los ejes coordenados) f (-'O lim — = x —>+00 x y lim [ / ( x ) '- ¿ 1jc] = ¿j, la reí x —>+°° y - k ix + bi será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k t = horizontal derecha, paralela al eje OX). Si existen los limites f (x) lim — — - k 2 y lim [ / (x) - k2x ] = b2 la rec y = k 2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k 2 = horizontal izquierdo paralela al eje OX). La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto izquierda (oblicua u horizontal). www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 436 H A L L A R LAS A SIN TO TA S D E LA CURVA: 901 1 y= Cx - 2 ) 2 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es decir: (x - 2 )2 = 0 => x = 2 es una asíntota vertical. Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —>+°° y 1 fc, = lim — = lim ---------- T = 0 *->+<» x x->+™x( x —2)~ bx = lim [ y -/:,jt] = lim -----— 7 = 0 *-*+“> x->+“ (x —2) por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0 902 y = -T - i -----x - 4x + 3 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 —4 x + 3 = 0 de donde x¡ =1 y x 2 =3 asíntotas verticales, ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando- x -» y 1 kl = lim — = lim — ------------= 0 *->+■» x *-»+- x 2 - 4 x + 3 ► x 6, = lim ( y - ¿ j x ) = lim —— ----- 7 = 0 *-»+*" 1 x-»+- x 2 - 4 x + 3 como y = k lx + b] entonces y = 0 es una asíntota horizontal. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada D esarrollo Para obtener las x¡ = - 2 , x 2 - 2 verticales tiene: jc 2 - 4=0 de x — =0 x —>+°° x*" — 4 ¿>! = lim [y - ktx] = lim X —> + o o =1 a como y = k lx + bl 904 se asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas. y = lim — = lim x —»+°o x asíntotas -4 => y = 1 asíntota horizontal. v=-r— a-2 + 9 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales se tiene: que x2 +9 = 0 a 2 +9 = 0 pero por lo tanto no hay asíntota verticales, para obten* asíntotas oblicuas se tiene: k, = lim — -------= lim — ■ — =1 (x + 9)x x +9 x^ b, = lim (— x +9 x) = lim como y = k lx + bl 905 3 xe l v2 —x 2 —9 x --------x +9 => y = x asíntota oblicua a la derecha. y = yjx2 - 1 Desarrollo www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 438 No tiene asíntotas verticales. Veremos para las asíntotas oblicuas: / = lim r y = rlim -----------= V *2-1 kx — 1, *->+«» X .r-»+oo x bx = lim ( y - k xx) = lim (slx2 - 1 - jc) = 0 X— * _ » +c o Como y = k xx + bx => y = x es asíntota oblicua a la derecha i ^2 iy — lim x iyJx2 - l — lim x-+-°o x , —1 b2 = lim (y - &2x) = lim ( v ? —1 + * ) = 0 X — >—oo como y = k 2x + b~, 4 :- 4 - 0 0 =^> y = -x es asíntota oblicua a las derecha. D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene que: x 2 + 3 = 0 pero 3 are R tal que jc2 -t-3 = O por tanto no hay asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas se tiene: y 1 kx = lim — = lim - j =0 *->+~y¡x 2 +3 X bx = lim ( y - k xx ) ~ lim , , x- >+°° \lx 2 + 3 como y = k¡x + bl => y=l asíntota oblicua a la derecha. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada y = lim —j =i = = O k2 - lim — x -* -~ X ’í x ¿ +3 b2 - lim l y - k 2x) = lim x ( - 7 2+2 C o m o y - k 2x + b2 => y = - l 907 y= —0 ) = —1 asíntota oblicua izquierda. x 2 +\ D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene x 2 - 1 = 0 de donde x = -1 son asíntotas verticales ahora'calcularemos las asíntotas oblicuas. k\ = lim - = »+ o o x lim x — * + -■■ = I 2 1, Xy X 1 — X2 +1 = lim ( y - k{x) - lim ( .■ * -> + « • Como y ^ j j c + í?, , y .. k2 = lim — = hm ■x J T -> + » 9 - / ^2 _ -x ) = 0 J => y = x asíntota oblicuas a la derecha. * 2 +l , = -1 x2+ 1 b2 = lim (y —k2x ) — lim ( ¿.......... + x) = yjx 2 - \ 0 como y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua a la izquierda. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 440 908 y =x - 2 + - ^ = \lx z + 9 D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene x 2 + 9 = 0 pero como i r e f i x 2 + 9 = 0 , por lo tanto no tiene asíntotas verticales. Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas: k¡ = lim — = lim (-Í—- + —= L = ) = 2 x x—>+°° x J x - +g 4 x -2 bl = lim ( y - k {x) = lim ( a : - 2 + , ■■~-- 2 x ) = - 2 *-*+~ \¡x2 + 9 como y = k ]x + bl => y = 2 x - 2 asíntota oblicua a la derecha. k2 = .lim — = lim (———+ X b2 = lim *-*— *-»— JC . X ^ 2 +9 ) = 1 -1 = 0 x —'Z x (y -k->x)= lim ( ¥—= = ) = - 2 . '-»-*• x Va:2 + 9 como y = k 2x + b2 => y = -2 asíntota horizontal a la izquierda. 909 y= +2 D esarrollo Como V x e R, e - *2 + 2 > 0 , entonces no tiene asíntotas verticales. Para las asíntotas oblicuas se tiene: v e~* + 2 = lim — = lim (---------- ) = 0 x— >+°° X x— >+°° x www.FreeLibros.me tal que Aplicación de la Derivada 4 b¡ = lim ( y -& ,* ) = lim (e x +2) = 2 X —> + °° x —» + ° o Como y = k lx + b[ => y = 2 asíntota horizontal a la derecha. i i- y i* € kn = lim — = lim (-----------) = 0 x *-»-»> x b2 = lim (y - k 2x) - lim (e~x + 2 ) - 2 X —> - o o como . X —> -«> y = k 2x + b2 => y = 2 asíntota horizontal a la izquierda, por 1 tanto en y = 2 se tiene una asíntota horizontal. 910 v=- J \-ex D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene: \ ~ e x = 0 => ex =i => x = 0 asíntota vertical, para las asíntotas oblicuas. k, = lim — = lim (----)=0 *-»+•» x ¿ (l-e * ) ¿>! = lim ( y - /:,* ) = lim (--------- ) = 0 A '~ > + ° o como y = k ix + bl JC— > + o o \ — £ X => y = 0 asíntota horizontal a la derecha. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 442 como y = k 2x + b2 ==> y=0 asíntota horizontal a la izquierda, por lo tanto en y = 0 se tiene una asíntota horizontal. 911 Desarrollo Para obtener las asíntotas verticales — = x vertical. Para obtener las asíntotas oblicuas. => x = 0, que es una asíntota I k ] = lim — = lim (— ) = 0 *—»+«> x x —>+«» X \_ />, = lim ( y - k {x) = lim (ex ) = 1 como y = k xx + bx y = x asíntota oblicua a la derecha. i k2 = lim — = lim (— ) = 0 x x l b2 - lim ( y - k 2x) = lim ( ex ) = 1 X —>—o o X— como y = k 2x + b2 => y = 1 asíntota horizontal a la izquierda. Desarrollo Para obtener la asíntota vertical se tiene x = 0 y para calcular las asíntota^ oblicuas se tiene: www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada , .. y .. senx k\ - lim — = lim (— —) = O r —> —* + ocoo XV X yJC—>-K»o —^4-00 x senx b} = lim ( y - k lx ) = lim (■ )=1 como y —k y X => y = 1 asíntota horizontal a la derecha + by senx b2 = lim ( y - k 2x ) ~ lim (• )=1 como y = k 2x + b2 => y=l asíntota horizontal a la izquierda, pt tanto en y = 1 se tiene una asíntota horizontal. 913 y = ln(l + x) D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene 1 + x = O de donde x = -1 es una asín vertical, para las asíntotas oblicuas. ■*->+“ x *->+<=» x by = lim ( y - k y x ) = lint (ln(l + jc)) = por lo tanto no tiene asíntota oblicua ni horizontales. 914 x = t, y = t + 2 arctg t D esarrollo Como x = t => y = x + arctg x Como esta definida para todos los reales no tiene asíntotas verticales. www.FreeLibros.me 444 Eduardo Espinoza Ramos Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas. i¡ra X —» + o o it a (i í Í 2 t E ! E ) = , X X -V— >4-00 b{ = lim ( y - k ¡ x ) = \\m { x - l a r c t g x - x ) - n X—>+°° X—>+oo •como y = k ]x + b¡ => y = x + 7 t , asíntota oblicua a la derecha. . y .x + 2 arctgx k-, = lim — = hm (------------— ) = 1 *->—» x *-*— x í >2 = lim (y - k 2x) = lim ( x + larctgx —x ) = - n como y - k 2x + b2 => y = x asíntota oblicua a la izquierda. 915 a Hallar la asíntota de la espiral hiperbólica r = — <*>, (p —» 0 <p->o a(cp) <p~*o eos cp b - lim (/J(<p)-¿a(<p)) = lim — sentp = a (p-+0 <p—>0 (p como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 3.4. CONSTRUCCION DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS. Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada funció puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie decrecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección < concavidad y las asíntotas de la gráfica. 916 y =x3 -3 x 2 D esarrollo Como y = x 3 - 3 x 2 es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R. y - x 2-3 x2 => y'~ 3x2 - 6 x = 0 para los números críticos números críticos. y' = 3 x ( x - 2 ) para x < 0, y ’> 0 Jí 0<x<2, 4* 3 máximo en x = 0, (0,0) v’< 0 3 mínimo en x = 2, (2,-4) 2<x<»o, y'>0 es creciente en <-°°,0> y <2,°°> y decreciente en < 0 ,^ > y' = 3x2 - 6 x => y " = 6jc - 6 = 0 www.FreeLibros.me => {( Eduardo Espinoza Ramos 446 para los puntos de inflexión => x = 1, 6x - 6 = 0 (1,-2) punto de inflexión. / ’= 6( jc- 1 ) Para x < l , y " < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l> Para x > l , y ” > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,<*» No tiene asíntotas. 917 6x2- x4 y=D esarrollo , . . , El campo de existencia de y = s 2 4 OX — X y= 9 y = 6x2 - x4 12x-4x ' =0 . es el conjunto de los números reales. para los números críticos de donde 9 {0,-V 3,V 3} son los críticos. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 4‘ y ' = - - x ( x - 3 ) ( x + 3) para x < - \ ¡ 3 , y ’> 0 + => 3 máximo en x = y/3, (-3,1) —\¡3 < x < O , y'< 0~ O < x < \¡3 , y ’> 0 + ) => 3 mínimo en x = 0, (0,0) => 3 máximo en x = J l , ( J 3 , 1) ■v/3 < x < o° , y'< Oes creciente en los intervalos <0,3> es creciente en los intervalos < —v/3,0 > , <3,°°> , I2x-4x y - — ^— 1 2 para obtener los números críticos, es decir —( 4 - 4 x ) = 0 de donde ' * 3 ■ '" 'V i t 5 .. 5. . . 5, x = i, V « = - , n , - ) , ( - i , - ) m 9 * 9 9 x = -1 , y = —, puntos de inflexión * www.FreeLibros.me 448 Eduardo Espinoza Ramos para x < - l , y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < -v 3 > para -l< x < 1, y " > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < —\¡3, y¡3 > para x > 1, y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < \Í3 , °° > no tiene asíntotas. 918 y = ( x —1)2 ( jc + 2) D esarrollo y = x 3 - 3x + 2 su campo de existencia es y ' - 3 x 2 - 3 = 0 para los númerosj críticos de donde {-1,1} son los números críticos. -1 1 y ’= 3 (x + l ) U - l ) para x < 1, y ’> 0 + -v. -1 < x < 1. y' < 0 ~ vf x > 1, y '> 0 + V 1 ] => máximo en x = -1, (-1,4) => mínimo en x = 1, (1,0) www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada Los intervalos donde es creciente son <-°°,-1>, < 1 ,°°> y dond decreciente es <-1,1 > Como y'=3x2 - 3 => y " = 6x = 0 para los puntos de inflexión, decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión. 0 y ' ' = 6x para x < 0, y " < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0> para x > 0, y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> no tiene asíntota 919 ( x - 2 ) 2( x + 4) " = ¡------D esarrollo Su campo de existencia es todo los números reales y= x3 - 1 2 x + 16 ------- 4 => y , 3x2 - 1 2 = — -A— = o 4 para los números críticos, es decir {-2,2} números críticos. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 450 y' = - ( x + 2)(x -2) 4 para x < -2, y' > O4 3 máximo en x = -2, (-2,8) -2 < x < 2, y '<0~ 3 mínimo, en x = 2, (2,0) 2 < x < oo, / > 0 + la gráfica es creciente en los intervalos < -o o ,-2 > , < 2 ,oo> y es decreciente en el intervalo <-2,2> , 3x - 1 2 como y = y" = — = 0 2 para los puntos de inflexión, es decir x = 0 de donde (0,4) punto de inflexión. y" = — = 0 2 para x < 0 , y " < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-o°,0> para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo no tiene asíntotas. www.FreeLibros.me < 0 ,oo> Aplicación de la Derivada 920 U 2-4 )3 y=- 125 D esarrollo Su campo de existencia es todo los números reales (JC2 —4)3 125 124 para los números críticos de donde: {—J s , 0, \/5 } son números críticos , 6 x( jc2 - 5 ) 2 y =125 para ■ x 3 máximo ni mínimos en x = —JE -y¡5 " v < x < 0 , y'<0~ d => 3 mínimo en x = 0, (0,-1) 0 < x < 5, y ’> 0 + * => 3 máximo ni mínimos en x = \Í5 < x < oo, y ’> 0 + * La gráfica es creciente en < 0,>/5 > , < -j5,°o > y decreciente en los interval < -° ° ,- V 5 > , < - V 5 ,0 > www.FreeLibros.me 452 Eduardo Espinoza Ramos , 6x(x2 - 5 ) 2 Como y = --------------125 y" = - ^ ( jc 2 - 5 ) ( * 2 - l ) = 0 Para los puntos de inflexión se tiene: {—>/5, —1,1,-v/5 > de donde (—\/5 ,0 ), ( _ 1 64 64 ------- \-( i -------- ) 125 125 r (V 5.0) puntos de inflexión. y" = — ( x + y [ 5 ) ( x - \ [ 5 ) ( x + \ ) ( x - \ ) para x < -\Í 5 , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < ~«=, —V5 > para -\¡5 < x < - l , y ” < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre: < -7 5 ,- 1 > para -1 < x < 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe < -1,1 > para \ < x < \ ¡ 5 , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1, yfs > para < °° , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < no tiene asíntotas. -1 www.FreeLibros.me > Aplicación de la Derivada 921 x-2x+ 2 y =- x-l D esarrollo Su campo de existencia es R - {1} _a'2 - 2 x + 2 , x(x-2) y =- x-l =0 para los puntos críticos es decir { U -l)2 números críticos. x(x-2) y =- (x-l)2 para x < 0, y ’> 0 + 3 máximo en x = 0, (0,-2) 0 < x < 1, y'< 0~ => 1 < x < 2, y ’< 0 _ ^ 2 < x < oo, y' > 0 + « 3 m áximo ni mínimo en x = 1 3 mínimo en x = 1, (2,2) la gráfica es creciente en los intervalos <-o°,0>, <2,oo> y decreciente en intervalos <0,1 > y < 1,2>. , x(x-2) Como v = (jc -ir y =- ■= 0 , 3 x e R (x-i y Por lo tanto no hay püfito de inflexión, y " - (x-ly para x < l , y ” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-oo,l> www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 454 para x > 1, y " > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> Calculando las asíntotas para las verticales se tiene: x-l=0 => x = 1 asíntota vertical. Para las oblicuas se tiene: y x2-2 x + 2 kx = lim — = l i m ---------------= 1 *-»+ “ > X * -> + » x ( x - 1) bx = lim (_y-£,jc) = lim ( JT-»+~ —2 x + 2 x —1 x) = - l com o y = k xx + bx => y = x - l es una asíntota oblicuá. «2 y= ^ X D esarrollo Su campo de existencia es todo los reales R - {0} Jt4 - 3 , 3(x4 +1) n 4 , n y = -------- => y ' = — — = 0 para los números críticos, como x + 1 = 0 X X 3 x e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos. www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada , _ 3(x +1) * *2 para x < 0 , y ' > 0 , x > 0 , y ' < 0 Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <-°°,0>, <0,<*» como: , 3(x4 +1) y = — x . => y „ 6(x4 -1 ) n — =0 x para obtener los puntos de inflexión de donde {-1,1} Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión „ _ 6(x2 +l ) ( x + l ) ( x - l ) ^ x3 para x < - l , y ' ' < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,-l> para - l < x < 0 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,0> para 0 < x < l , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 > $ .. -i para 1 < x < y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <1,°°> Calculando las asíntotas se tiene: Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas. www.FreeLibros.me 456 Eduardo Espinoza Ramos y x 4 +3 x, = lim — = lim — -— x —>+« X x no tiene asíntotas 923 y= x4 + 3 D esarrollo Su campo de existencia es todo los reales R - {0} y=- x 4 +3 , 3(jc4 -1 ) y =- = 0 para los números críticos, es decir: numero críticos. www.FreeLibros.me {-1,1} Aplicación de la Derivada para x < -1, y ' > 0 + -1 < x < 0, y ' c O 0 < x < 1, y ’< 0 ) ) => 3 máximo en x = - l, (-1,-4) => 3 máximo ni mínimo en x = 0 => 3 mínimo en x = l , (1,4) 1< x < oo, y ' > 0 + La gráfica es creciente en los intervalos <-<»,-1>, <l,°o> y decreciente er los intervalos <-l,Q>, <0,1 > Para los puntos de inflexión, pero como 3 x e R tal que y " = 0 , 1 gráfica tiene puntos de inflexión. 0 „ 6(x4 +1) >’ = ------i— parr x < 0, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°«,0> para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo> Calculando las asíntotas se tiene: Para las asíntotas verticales, se tiene tenemos: x = 0 y y y X4 + 3 ky — lim — = lim — -— = ©o x —> + o o X X—>+oo X no tiene asíntotas oblicuas. www.FreeLibros.me y para las asíntotas oblici 458 924 Eduardo Espinoza Ramos 2 2 y =x + x D esarrollo Su campo de existencia es todo R - {0} 2(x -1 ) =0 y =■ 2 2 y = x +— x , para los números, es decir x = 1 2(x + jc + 1)(x - 1) =— -i.............. para x < 0, y'< 0 + 3 máximo ni mínimo en x = 0 0 < x < 1, y ' < 0 ” 3 mínimo en x = 1, (1,3) 1 < x < oo, y'> 0 + La gráfica es creciente en el intervalo <l,oo> y decreciente en los intervalos < - o o ,0 > ,< 0 ,1 > www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada 4 , 2(x3- l ) „ 2(*3 + 2 ) y = — 5— = 0 x Como y ' = x Para los pantos de inflexión, es decir: x = - \Í 2 , (-3 /2 ,0 ) punto de inflexic -4 / 2 „ 2(x2 - y¡2x + 4)(x +'3/2) para x < -3 /2 , y ” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < —<», -3 /2 > para -3/2 < x < 0 , v "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < —3/2,0 para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0 y 2 para las asíntotas oblicuas: kl = lim — = lim (x + — ) = °° x no tiene asíntota oblicuas. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 460 925 i y= x2 + 3 D esarrollo El campo de existencia es todo los números reales a 1 -2x 2 + 3 0 r + 3y ■= 0 para obtener los números críticos, es decir x = 0 -2 a y =• (a¿ +3 Y para x < 0, y' > 0 + =» 3 máximo en x = 0, (0,—) 3 x > 0, y < o como y - -2 a => (a2 + 3 ) 2 „ 6( a - 1 ) A v =— - =0 ( a2 + 3 )3 para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego ( -1 ,—) , (1,—) 4 son los puntos de inflexión. 6( a +1)( a - 1 ) ( a 2 + 3)3 www.FreeLibros.me 4 Aplicación de la Derivada 4 para x < - l , y " > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1> para - 1 < x < 1 , >’" < 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-1, 1> para x > 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°> ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales x 2 + 3 = 0, existe. y 1 Para las asíntotas oblicuas se tiene: kx = lim — = lim — ■= 0 x (x + 3) = lim ( y - / : 1x ) = lim x2 +3 =0 como y = k ix + b] => y = 0 asíntota horizontal. Y Jk 1 3 -1 0 1 > X x2 - 4 D esarrollo El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2} 8 -1 6 x = 0 , para los números críticos es decir: x = www.FreeLibros.me 462 Eduardo Espinoza Ramos -2 2 O —16* para x <- 2, y ’> 0 + => 3 máximo ni mínimo en x = -2 -2 < x < 0, y ’> 0 + => 3 máximo en x = 0, (0,-2) 0 < x < 2, y ' < 0 => 2 < x < oo, y'< 0 3 máximo ni mínimo en x = 2 * La gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2> <-2,0> y decreciente en los intervalos <0,2> <2,°°> Para los puntos de inflexión => 3 x 2 + 4 = 0, S x e R punto de inflexión -2 2 x < -2, y " > 0 , cóncava hacia arriba <-«>,-2> - 2 < x < 2 , y " < 0 , cóncava hacia abajo <-2,2> x > 2, y ’'> 0 , cóncava hacia arriba <2,°°> www.FreeLibros.me por lo tanto no hay Aplicación de la Derivada ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = ± : Para las asíntotas oblicuas se tiene: y 8 k = lim — = lim =0 .v-í-h» x x ( x —4) b¡ = lim ( y - k ¡ x ) = lim —-1— = 0 X —A + o o X —>+oo x " - f- 3 com o y .= kx + b => y - 0, es una asíntota horizontal. 927 4x D esarrollo Su campo de existencia es todos los números reales 4.v , 16- 4 x 2 y = ----- 7 => y = ------ r r 4 +x (4 + x" ) co m o y ' = 0 para los números críticos 1 6 - 4 x 2 = 0 de donde x = ±2 número críticos www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos 464 para x < -2, yy' > 0O a => 3 máximo en x = 2, (2,1) < x < «o, y'< 0~ « La gráfica es creciente en el intervalo <-2,2> y decreciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,°°> 1 6 -4 x 2 como y = — — (4 + x ) => „ -8 x (x 2 - 2 x - 1 2 ) y = — -----(4 + ) como y " = 0 para los puntos de inflexión, entonces: -8x(jc2 - 2 x - 1 2 ) = 0 => x x = 0 , x2 = - l - v / Í 3 , x3 = - l + %/l3 Luego ( 0 , 0 ) , ( - l - V l 3 , - 2 + 4V l3) ,( - 1 + Vl3,11 + 5V13) puntos de inflexión. -1 -V 3 0 - 1 + V5 —8jc( jc+1-1- >/l3)(.x:-t-1—>/l3^) y " (ÍT T ? para jc < —1 —%/l3 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo < - o o ,-l -V Í3 > para -1 - V I3 < jc < O , y '' < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-l-VÍ3,0> para 0 < jc< - 1 + VÍ3 > , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo < 0 ,-1 + %/l3 > www.FreeLibros.me Aplicación de la Derivada para - 1 <x<°°, + intervalo < - 1 y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo ei + VÍ3. OO> ahora calcularemos las asíntotas verticales se tiene: 4 + ,v2 = 0 , 3 x e /? k = lim — = lim — ^—5- = JT->+~ x jc->+~ 4 + x~ 0 A y b = l i m ( y - L \ ) = lim .......... X —> + » = com o y = kx + b => y = 928 =0 . r —> + 0 = ¿j. _|_ y f 0 asíntota horizontal. 4 x -1 2 y = ---------- 7 (x-12) D esarrollo El campo de existencia es R - {2} Luego el campo de discontinuidad es x = 2 4 x -1 2 y = ---------- r(x -1 2 ) => , -4 (x - 4) y = -----------— => (x-2)3 , „ „ , y = 0 se tiene x = 4 numero criticc www.FreeLibros.me 466 Eduardo Espinoza Ramos ira x < 2, v ' < 0 _ 3 x = 2 por punto de discontinuidad. < x < 4, / > 0 + * => 3 máximo en x = 4, (4,1) < x < o®, y < o en los * intervalos <-=*>,2>, <4,°°> es creciente y decreciente en el intervalo <2,4> , —4 (x - 4 ) y = t(x-2)3 „ 8 (x -5 ) => y = ---------— => y = 0 (x -2 )4 ' 8^ => x = 5, ( 5 ,- ) punto de 9 inflexión „ y 8(x —5) — T (x-2)4 para x < 2, y' ’< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-°°,2> para 2 < x < 5, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <2,5> para x > 5, y ” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo <5,°°> www.FreeLibros.me 46 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 929 y= x2-4 Desarrollo El campo de discontinuidad es R - {2,2} Los puntos de discontinuidad es x = -2, x = 2 x + 4 y - x2-4 ( x 2 —4)2 =0 para los números críticos, es decir x 2 - 4 - 0 , I x e fí tal que x 2 - 4 = 0 por lo tanto no hay números críticos. x +4 (x 2 - 4 ) 2 para x < - 2 , y ' < 0 , - 2 < x < 2 , y ' < 0 para x > 2, y'< 0 , luego la gráfica es decreciente en <-°°,-2>,<- 2,2>,< 2 ,°°> x +4 y = — 2— (x*-4 Y „ 2x(x + 12) v ={xr-4 Y y " = 0 para los puntos de inflexión => x = 0, (0,0) 2x(x + 12) y -■ (*2 - 4 ) 2 www.FreeLibros.me los intervalo; 468 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s para x< -2, y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°°,-2> para -2<x<0, >’" < ( ) , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-2,0> para 0<x< 2, y ' ' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0,2> para x > 2, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,«=> Asíntotas: Verticales se tiene x = + 2 y i Oblicuas k = lim — = lim — ------= 0 x —y+oo x jc-»+oo _ 4 b = lim ( y - k x ) = lim - ^ — = 0 X--J>+CX> como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal Desarrollo El campo de existencia es R - {0,4} Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 4 www.FreeLibros.me X —4 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 4 16 y=- , x 2( x - 4 ) com o y y' = 0 => 1 6(3x-8) ~ x 3( x - 4 ) x =— 3 x -9 = 0 p u n to critico 16(3 x -8 ) x3(x p ara -4 ) x < 0, y '< 0 a , • 8 8 27 3 3 16 3 máximo en x = - , ( - , ------ ) 8 < x < 44 , — 3 4< X v '<O0 < oo, y'< o en los intervalos <-°o,0>, < —, 4 > , <4,->=> la gráfica es decreciente y en 8 intervalo < 0 , - > es creciente. 3 „ -1 6 (3 x -8 ) -5 1 2 (x -3 ) y x2( x - 4 ) 3 y " = 0 => x = 3, ( x , ~ ^ ) punto de inflexión www.FreeLibros.me 470 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s 0 3 4 _ —512(jy —3) * 20 - 4 ) 3 para x < 0, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <°°,0> para 0 < x < 3, y' '< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,3> para 3 < x < 4, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <3,4> para x > 4, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <4,°°> para las asíntotas: Oblicuas: Verticales se tiene x = 0, x = 4 y 16 k - lim — = lim — =0 jc-»+~ x *-»-*» x (x - 4) lim ( y - f c c ) = lim x —>+o° jc—>+o° jc** ( jc ~ 4 ) Como y = kx + b = ^ > y = 0 A síntota horizontal. www.FreeLibros.me =0 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 931 y = 3.r4 +1 x Desarrollo => el campo de existencia es: R —{0} y = 3x + 4 luego el punto de discontinuidad es x = 0 1 y = 3.r + — y' = 0 => =» jc4 y , - 3 — -1=0 3 3(.r4 -1 ) x 4 X 4 - = -------- - — => {-1,1} puntos críticos -1 y '= 3( jc2 + l)(x + !)(* - 1 ) para x < 1, y ’> 0 + > B máximo en x = - l, (-1,-4) -1 < x < 0, y ’< 0 “ * 0 < x < 1, y '< 0 ” -v 1<X<°°, * .=> 3 mínimo en x = 1, (1,4) yy ’> 0 + La gráfica es creciente en <-°°,-l>, <1,°°> y decreciente en < -l,0> , <1,°°> • 3 Como y ' —3 — x 3 xe R 12 => y" = 4 x tal que y " = 0 , por lo tanto no hay punto de inflexión. www.FreeLibros.me 472 E d u a rd o E s p in o za R a m o s para x < 0 , y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0> para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> para las asíntotas: Oblicuas: Verticales se tiene x = 0 V 3jt4 -f-1 k = lim — = lim-------— = 3 .l - H » X .«-> + “ X b — lim ( y - f c t ) = lim (— - i — —3x) = lim —r = 0 X-^+co A —)+0° como y = kx + b => y = 3x Asíntota oblicuas 932 y - \fx + \ J 4 - x Desarrollo www.FreeLibros.me X * X A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a Para determinar el campo de existencia se tiene: x > 0 a => x > 0 4 - x > 0 a x < 4 0 4 Luego el campo de existencia es [0,4] y’ == V y fx x+ + \Vl 44--Xx 1 =¡> y = 2yfx , y jA -ü C -y fx y = — ■=—= = - = 0 1 2\¡4 - X para los números críticos 2 y J X y l4 - X como y ' = 0 => sj4-x-^fx =0 => x = 2 números críticos 0 para 0 < x < 2, y ’> 0 + máximo en x = 2, (2,2\¡2) 2 < x < 4, y ' < 0 La gráfica es creciente en el intervalo <0,2> y decreciente en el intervalo <2 , y¡A-X-y[x y =— = -= = - = 0 2j x j 4 - x y"= 0 => „ y = ' 1 4 ^ 1 4 ^ (4 para los puntos de inflexión. - i - i ( 4 - x ) 3 + \/r 3) = 0 4^ ^(4 - jc)3 ==> \¡ (4 -x 3) = — www.FreeLibros.me xe R tal que y " = 0 474 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Para x e [0,4], y " < 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre [0,4] No tiene asíntotas Desarrollo Para determinar el campo de existencia se tiene: 8 + x>0 a 8-x>0 => x e [-8,8] Luego el campo de existencia es el intervalo [-8,8] y = y/ñ + x —-\/8 —jc y — 1 2 1 t= + + x 2 \'8 —x . \ S —x -t- sjs f x , y = -------= = = = = — = 0 , para los números críticos 2\¡6x-x2 es decir \ / 8 - x + \/8 + x - 0 =* 3 x e R por lo tanto no hay números críticos para x e [-8,8], y’> 0 la gráfica es creciente V s — X+ >/8 + X „ — yfs —X ) y = ------ ,.................■ =» y = ------------------- 5— 2\/64 2(64 ~ x 2) 2 www.FreeLibros.me i A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a y ' ' para los puntos de inflexión, es decir: \ l S - x + n/8 + x = 0 => -8 y x = 0, (0,0) punto de inflexión 0 8 „ _ 8(^8 + x —\/8 —x ) _ j 2(64 - x 2) 2 para - 8 < x < 0 , }>” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <-8,0> para 0 < x < 8, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <0,8> asíntota no tiene 934 y = x\[x~+ 3 Desarrollo Para determinar el campo de existencia se tiene: x + 3>0 => x > - 3 = > x e [-3,°°> es el campo de existencia I , 3 ( x+2 ) , y - x \ j x + 3 => y = 0 para los números cnticos. . 2V x+3 www.FreeLibros.me 476 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Es decir 3(x + 2) = O => x = -2 y .s * £ ± 2 2 \/x + 3 para - 3 < x < - 2 , y'<0 3 mínimo en x = -2, (-2,-2) -2 < x < oo, y'> 0 * La gráfica es decreciente en <-3,-2> y es creciente en <-2,°°> , _ 3(x + 2) „ 3( x + 4) n y = r =0 2 y Jx + 3 4(x + 3)2 para los puntos de inflexión, es decir: x = -4 i [-3,°°> Luego no hay punto de inflexión Para x e [-3,°°>, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°> No tiene asíntotas. www.FreeLibros.me 4 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 935 3.t DesarroHo Para determinar el campo de existencia se tiene que: x3 -3x> 0 . jc(jc —s/3)(jc -+- 7 3 ) > 0 3(x + l ) ( * - l ) 2-Jx-3x para -3 < x < -1, y'> 0 + 3 máximo en x = -l ( - 1 ,7 2 ) -1 < x < 0, y'< 0 3 < x < oo, y'> 0 + La gráfica es creciente en los intervalos < - 7 3 ,-1 > y < 7 3 , ° ° > decreciente en < -l,0 > , 3(x -1 ) 2\¡x3 - 3 x „ y = (x - 6 x - 3 ) 3 n 4(x3 - 3 x ) 2 inflexión como y" = 0 => x x = ±, , . r—= 0 , para calcular los puntos i - 6 x “ - 3 = 0 de donde se tiene; e [73,0] U [7 3 ,- > por lo tanto no hay’puntos de inflexión www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 1 O -2x ^ 3yJ(l~X2)2 para - ° ° < x < - l , y ’> 0 2 máximo ni mínimo x = -l -1 < x < O, y ’> O ^ 0 < x < 1, y '< O V 1 < x < oo, y’< 0 ^ 3 máximo en x = 0, (0,1) 3 máximo ni mínimo x = 1 La gráfica es creciente en -2x y = — = = = = = => 3^/(1- x 2)2 < -l,0 > y decreciente en <0,1> y <1 ,°°> , 2(3.v - 4 x - 3 ) „ p = ------—0 y — V l-x2 para determinar los puntos de inflexión, es decir: 3x2 —4x - 3 = 0 => x, = 2 3 Luego , 2 - V ñ ,4>/Í3-8x p2 Son los puntos de inflexión www.FreeLibros.me .2 + VÍ3 J - ( 4 + 4 j Í 3 ) \ --------------------------------) 480 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s ¿[3 2 Para x < 2 - Vl3 3 abajo 3 <x< Para x > 2^/3 , y " > 0 , es cóncava < ~ °°,-------> hacia arriba. 3 2+J ñ 2 + VÍ3 3 „ n , 2 - V Í 3 2 + VÍ3 , y < 0 , es cóncava en < -----------,----------- > hacia 3 3 „ „ , 2 + n/ B , y > 0 , es cóncava en < , . > hacia arriba. No tiene asíntotas. 937 Desarrollo El campo de existencia es todos los números reales ■ = $ /n 7 y'= ■ ■ *— = o para los números críticos => x = 0, además 3 y ' , es decir 1 - x por lo tanto los números críticos son {0,1} www.FreeLibros.me =0 = x= 1 41 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a para x < 0 , y ' < 0 0 < x < 1, y ' < 0 3 máximo ni mínimo 1 < x < oo, y ' < 0 La gráfica es decreciente en <-°o,0>, <0,1>, <1,°°> x2 1- x 3)2 2x ^ x /l-.r 3 de donde los puntos de inflexión son (0,1), (1,0) para x < 0 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <-°°,0> para 0 < x < 1, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,1 > para x > 1, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en < l , ° o no tiene asíntotas www.FreeLibros.me 482 938 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s y —2 x + 2 - 3 \ j ( x + \)2 Desarrollo El campo de existencia es todos R y = 2x + 2-3^¡Oc + Í f y' = 2 - 2 . =0 <Jx + l =0 2 - ■■p— => y ' = 2 - ^ X+1^~ para determinar los números críticos. =* x = 0 además 3 y ' , es decir l + x = 0 => x = -1 slx + l por lo tanto los números críticos son ( - 1,0 ) para x < - 1, y '> 0 >. => 3 máximo en x =-1, -1 < x < 0 , y ’>0 * => 3 máximo en x = 0 0 < x < oo, y '>0 V La gráfica es creciente en <-oo,-l>, <0 ,oo>, < -l,0 > = y ' ~ 2 y iri 0 y" = 3^/(1+ jc)4 Para los puntos de inflexión pero 3 r e í ! tal que y" = 0 por lo tanto los puntos de inflexión son en x = - l y e n x = 0 es decir (- 1,0 ) y (0 ,- 1). www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a Asíntotas no existe. 939 y - ^/x+T —%/x-T Desarrollo El campo de existencia es todos los reales 3 r~ 7 3/----7 y =y x + l-\J x -l => . íl( x -l) 2 -ti(x + 1)2 v y =- n =0 ll¿ ~ 1 determinar los números críticos. Es decir: t f ( x - 1)2 - t ] ( x + \)2 = 0 => ( j t - 1)2 = ( x + l )2 => x = 0 además 3 y' es decir x 2 - 1 = 0 x=± 1 Luego los números críticos son {-1,0,1} www.FreeLibros.me 484 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s para para x < - i, 1, yv ’>0 -> u 3 máximo en x = -l -1 < x < 0 , y". y ’>0“ *^ 3 mínimo en x = 0, (0,2) 0 < x < 1, y'< 0 « 1 < x < °o, v’c O ^ 3 máximo en x = 1 La gráfica es creciente en <-«>,- ¡>, <0,1 > y decreciente en los intervalos < -l, 0 > y < 1,°°> 1__________1____ lj(x + 1)2 y como 3 x 6 / ? , ij(x -l)2 2 (l¡(x + l)5 - l j { x - l ) 5 ) } 3 lj( x 2 - l ) 5 tal que y" = 0 por lo tanto para x = ± 1 3 y' entonces en x = ± 1 hay puntos de inflexión, es decir: ( 1, ?/2 ) , ( - 1, 3. 2 ) „ ^ 2 (^/(x + 1) 5 - ^ / ( x - 1)5 ) 3 l¡(x2 - l )5 para x < - 1, y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba -1 < x < 1, y ''< 0 ,e s cóncava hacia abajo para x > 1, y"> 0 , es cóncava hacia arriba Asíntotas Verticales no tiene para las oblicuas se tiene que: www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a b - lim (y - L e ) = \im(y[x + Í - x / x - l ) = 0 X —> ° ° X — >°o Luego y = kx + b => y = 0 es asíntota horizontal. 940 >’ —\j(x + 4)" - l J ( x - 4 ) 2 Pesarrollo El campo de existencia es todo los números reales R 7ÑT 7T 3// y = lJ(x + 4)¿ - l ] ( x - 4 y i 2 \J x -4 -sJx + 4 =* y ' = - ( ............. ) 3 V x2 - 1 6 3 y' para x = ±4 puntos críticos , 2 y [ x - - 4 - yfx + 4 y = 3( h t t *1 para x < -4, y'< 0 -4 < x < 4, y'> 0 + 4• < ■x< y'< 0 3 ) 3 mínimo en x = -4, (-4,-4) 3 máximo en x = 4, (4,4) www.FreeLibros.me 486 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Es creciente en <-4,4> y decreciente en los intervalos, <-°°,-4>, <4,«=> , 2 ,# ¡^ 4 -^ + 4 , v = - ( ------ ............ — ) ' 3 ^ 1 6 => , „ 2\j(x + 4)* ~ y j ( x ~ 4 ) 4 y =-( . 9 ^ 2 -1 6 )4 ) luego y" = 0 se cumple para x = 0, ( 0 ,0 ) es el punto de inflexión para x < 0 , y" > 0 es cóncava hacia arriba 0 < x < <*>, y" < 0 es cóncava hacia abajo Asíntotas verticales no tiene, para las oblicuas. k = lim y¡x + \ —yjx —1 =0 b = lim (y -fc c ) = lim(^/(jr + 4 )2 - l] ( x - 4 )2 ) = 0 X—)oo x—>°° Luego y = kx + b => y - 0 asíntota horizontal 941 y = t](x - 2)2 + ^ /(.v -4 )2 Desarrollo www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a Dominio es todo los números reales 3r 2 T,r 773" y = ÍJ(x-2) + yj(x-4 ) => , 2 A /x —4 +• \Jx —2 y = - ( - 7F= = r7¡= = - ) 3 y J x -2 \/x -4 y'= 0 , 3 y’ para los puntos críticos de donde 2,3,4 son los números críticc para x < 2, y '<0 -v = > 3 mínimo en x = 2, (2,-\/4) 2 < x < 3, y / > 0 + 3 máximo en x = 3, (3,2) 3 < x < 4, y'< O3 mínimo en x = 4, (4 ,y¡4) 4 < x < oo, v' > 0 + ¿ La gráfica es creciente <2,3> y < 4 ,°o> y decreciente en <-«=,2> y <3,4> , V 2 3 y fx ^ -4 +•a/x - 2 3==rr7====~) ^x-2yJx-4 => , y =0 para los puntos de inflexión 3 .ve J? tal que y " = Ü, por lo tanto no hay pun de inflexión. www.FreeLibros.me 488 942 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s v= 4 V4 - j t 2 Desarrollo El campo de existencia 4 - x y = ..... V 4 i 4* y ' - ----- .— 2 => x e <2,2> >0 => y ’= 0 para x = 0 ( 4 - x 2)2 -2 0 2 para -2 < x < 0 , y'< O) 0 < x < 2, / > 0 + => 3 mínimo en x = 0 , ( 0,2) * en <- 2 ,0 > es decreciente y en < 0 ,2 > es creciente. >-= j-=> 4x ( 4 - x 2)2 - 4(2;t2 + 2 ) „ y = ( 4 - .v 2)2 como B x e R,y" = 0 entonces no tiene puntos de inflexión Luego para x e <-2,2>,y " > 0 . la gráfica es cóncava hacia arriba. Tiene como asíntotas verticales: x = -2, x = 2 www.FreeLibros.me 4f A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 943 vyjx 2 - < ■ Desarrollo El campo de existencia es <-°°,-2> u <2,°°> 2(a 2 - 2 ) x -4 A'2(A“ -4 )2 Luego para a = ±\¡2 , y' = 0 no son puntos críticos porque +V2 no están e el campo de existencia. 2 (x2 - 2) a como 3 ( a a - 4 )2 „ 16(3a 4 - 1 0 A3(A 2 a 2 + 16) - 4 )2 e R tal que >■"= (), no hay punto de inflexión, tiene como asíntot vertical a x = ± 2 y como asíntota horizontal a y - 0 . 944 y= Desarrollo El campo de existencia es R -{-1,1) www.FreeLibros.me 490 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s x y=sjx2 - \ , ' x 2 —3 3^/(x - l )4 para x = ± 3, y' = 0 , que son los puntos críticos 3 máximo en jc = V 3, ( —s /3 , — r ¿ ) v2 —>/3 < x < - 1 , y'< 0 3 máximo ni mínimo -1 < x < 1, y '<0 3 máximo ni mínimo l < x < y ¡ 3 , y'< 0 =* 3 mínimo en x = y¡3, (>/3,^(E) y¡2 jc > >/ 3 , y ' > 0 es creciente en < - ° ° , - \ Í 3 > , y decreciente en < - 7 3 ,- 1 > , < -1,1>, < l s Í 3 > x2-3 y 3\¡(x2 - l )4 -2x(x2 -9 ) 'V 9y](x2 - l )7 3 3 entonces para x = 0, x = ±3, y ” = 0 de donde (0,0), (3,—) , ( - 3 ,— ) son los 2 2 puntos de inflexión. Com o asíntotas verticales tiene a x = ± 1 y como asíntotas oblicuas no tiene. www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 945 ^ / u - 2)2 Desarrollo El campo de existencia es <-°°,2> u <2,°o> x V ( x - 2 )2 x -6 , ' para x = 6, y'= 0 3 ^ (x -2 ) para x < 2 , y ’> 0 2 < x < 6 , y'< 0 => 3 mínimo en x = 6 , ( 6 ,—-j=^) n x > 6 , y ’> 0 es creciente en <-°°,2> y < 6,°°> y decreciente en < 2 ,6> *-6 3 tj(x -2 f - 2( x - 12) y 9 \¡ {x ~ 2 ) www.FreeLibros.me para x = 12, 492 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s v" - 0 => ( 12, ,, 12 ) punto de inflexión. 3/100 2 12 Para x < 2, y " > 0 , cóncava hacia arriba 2 < x < 12, y " > 0 , cóncava hacia arriba x > 12, y " < 0 , cóncava hacia abajo 946 y = xe Desarrollo Su campo de existencia todos los números R. y = xe~x y' = e~x ( l - x ) p a r a x = l , y' = 0 punto critico para x < 1, y' > 0 3 máximo en x = 1, (1,—) e 1 < x < <x>, y ’ < 0 www.FreeLibros.me 4' A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a es creciente en y '= e 'r( l - x ) y decreciente en < 1,"°> para x = 2 , y" = 0 =» y " ~ e \ x - 2 ) 2 Luego: ( 2 .-44) punto de inflexión e~ 2 Para x < 2, y " < 0 es cóncava hacia abajo x > 2 , y ’' > 0 es cóncava hacia arriba tiene como asíntota horizontal a y = 0 947 2 * y — (a + ~ )ea a Desarrollo Su campo de existencia es R. 2 i v - ( a + — )e“ a £ 2 p => y' = e a ( ^ - + — + 1) a~ a Luego para x = -a, se tiene y' = 0 www.FreeLibros.me 494 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Pero en x = -a no hay máximo ni mínimo. , e a {x + a)2 a2 para x " < -a, yy' " >0 u máximo ni mínimo x > -a, y '>0 * ¡a curva es creciente en <-°°,-a> y <-a,°°> X , e a (x + a )2 X „ e a (x + a)(x + 3a) para x = -a, x = -3a, se tiene y" = 0 2a x . „ 10a^ , . _ Luego ( - a , — ) y ( - 3 a ,——) son puntos de inflexión -3a -a Para x < -3a, y" > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-3a> Para -3a < x < -a, y " < 0 , es cóncava hacia abajo sobre <-3a,-a> Para x > -a, y " > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-a,°°> No tiene asíntotas verticales Tiene como asíntota horizontal a y = 0 www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a -3a 948 y =e -a 14 Desarrollo Su campo de existencia es R. y = e Sx~x ~H => y' = (8 - 2x )e Sx~x -14, para x = 4, y' - 0 punto critico para x < 4, y' > 0 => 3 máximo en x = 4, (4,e ) x > 4, y'< 0 « La gráfica es creciente en <-°°,4> y decreciente <4,°°> / = ( S - 2 x ) e Sx~x ~14 =e> y" = (Ax1 - 32x + 62)eSx~x^ 14 8 + V2 8-V 2 2 2 y = 0 , cuando x, = ----------, x-, = ---------- . .8 + 7 2 | 8-V 2 | Luego (— - — , e ¿ ) y (— - — , e ¿) punto de inflexión www.FreeLibros.me 496 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s 8-V 2 8 + V2 2 2 Para x < , y ” > O , es cóncava hacia arriba -V 2 8 + V2 „ n , . . . . . y < O, es cóncava hacia abajo 2 2 <x< x > ----------, y" > 0 es cóncava hacia arriba no tiene asíntotas verticales en y = 0 , tiene asíntota horizontal. 949 y = {2 + x 2 )e~xl Desarrollo t Su campo de existencia es todo R y = (2 + x 2)e~t => y'= - 2 x ( x 2 + 2)e~x ' para x = 0 se tiene y'= 0 punto de inflexión www.FreeLibros.me 4' A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a para x < O, y' > O 3 máximo en x = 0, (0,2) x > O, y' < O A’ La gráfica es creciente en <-<*>,0> y decreciente en <0,°<>> y ’= - 2 x ( x 2 + 2)e~x~ => y ' ' = 2e~x' ( 2x 4 - x 2 - 1) 3 3 de donde para x = ± l, y " = 0 punto de inflexión (1 ,-) , ( - 1 ,- ) e e -1 1 para x < -1, y " > O , es cóncava hacia arriba -1 < x < 1, y " < 0 , e s cóncava hacia abajo x > 1, y " > 0 , es cóncava hacia arriba no ti :ne asíntotas verticales, pero en y = 0 tiene asíntota horizontal. www.FreeLibros.me 498 950 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s v —2 1jc | - x 2 Desarrollo El campo de existencia es todo R Para x > 0 , y = 2 x - x 2 => y ' = 2 - 2 x = 0 se tiene x = l x < 0 , y - - 2 x - x 2 => y' = - 2 - 2x = 0 s e t ie n e x = -l Luego los puntos críticos son {-1,0,1} Para x <-1, y ’> 0 >. => 3 máximo en x = -1, (-1,1) -1 < x < 0, y '<0 # 0 < x < 1, y '>0 V => 3 mínimo en x = 0, (0,0) => 3 máximo en x = 1, ( 1, 1) 1 < x < oo, y '<0 « es creciente en <-°°,-l>, < 0,1 > y decreciente en < -l, 0 >, < 1,°°> y ’= 2 - 2x = 0 , para x > 0 y' = - 2 - 2x - 0 , para x < 0 => y ” = 0 , 3 x e R => y" = 0 , 3 x e R por lo tanto no tiene punto de inflexión. Pero en x = 0 no es diferenciable, entonces www.FreeLibros.me A p l i c a c i ó n d e la D e r i v a d a Para x < O, y"< O, es cóncava hacia abajo x > 0 , y" < 0 , es cóncava hacia abajo no tiene asíntotas 9sl y= lnx slx Desarrollo El campo de existencia es <0,°°> para x < e 2 , y ’> 0 >. 1 x > e , y '<0 , , 2 => 3 máximo en x - e ~ , (e ,—) 1 es creciente en el intervalo < 0, e 2 > y decreciente en < e 2,°o > , 2 -ln x y = — rr~ 2y¡7 ,r(31n x-8) =* y = — — 4x 3 www.FreeLibros.me 500 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s para x - e ^ , y " = 0 entonces (e 3, — —) punto de inflexión 3e 3 8 8 para x < e 3 , y" < 0 , es cóncava hacia abajo 8 x > e 3 , y" > 0 , es cóncava hacia arriba tiene asíntota vertical en x = 0 y tiene asíntota horizontal en y = 0 2 a Desarrollo El campo de existencia es todo R y = — ln — => y ' = x(ln—+ —) para x = -^¡=, y' = 0 2 a a 2 de T www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a para x < —= , y' < O ye x ' . a n a , => d mínimo en x = —= , (—p , ------ ) y/e yje Ae x > —= , y > O es creciente en < —p ,° ° > , y decreciente en < ye p > ye /i —+ x —) ^ => y .. = .ln —+ x — 3 y = x(ln a 2 ' a 2 _3 _3 2 para x = ae 2 , y" = 0 , (ae 2, ---- —) punto de inflexión 4e 3a_ 4e3 3a para x < - :— Ae3 3a_¿ Ae 3 y ” > 0 , es cóncava hacia arriba y" < 0 , es cóncava hacia abajo en \ = 0 es asíntota vertical no tiene asíntota horizontal. Y www.FreeLibros.me 502 953 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s lnx Desarrollo El campo de existencia es todo R ' x y = ----Inx => ln jc—1 _ y = — — = 0 , para x = e ln jc para 0 < x < 1, >'<0 => 3 máximo ni mínimo en x = 1 1 < x < e , y '<0 para x < e, y'< y '<00 * -x 3 mínimo x = e, (e,e) x > e,, yy':> o « es decreciente en < 0,1 >, < l,e> y creciente en <e,°o> 2 -ln x ln x - l >’ =- ln 2 x y x ln 3 x para x - e 2 , y" = 0 , Luego (e2, — ) punto de inflexión para x < e 2 , y ' '> 0 , es cóncava hacia arriba x > e 2 , y ''< 0 ,e s cóncava hacia abajo en x = 1, se tiene asíntota vertical, no tiene asíntota horizontal. www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 954 y —(jc + 1) ln (x + l) Desarrollo El campo de existencia es x > - l es decir x e <-l,°°> y = (x + 1)ln2(,v + 1) => y'= ln(x + l)[ln(x + 1) 4- 2] 1 para x = 0, x = —l + — se tiene y' = 0 punto críticos e~ < x < - l + — , / > 0+ P x ' , . , 1 , 1 4 ==> d máximo en x = -1 + — , (-1 + — ) e* e2 V -1 + — < x < 0 , y ' < 0 _ e 3 mínimo en x = 0, (0,0) 0 < X< OO, y'> 0+ www.FreeLibros.me 504 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s La gráfica es creciente en < - l,-l + — > , e~ <0,°=> y decreciente en < - l + 4 r ,0 > e y'= ln(.v + l)[ln(a: + 1) + 2 ] => >"= 2^ln('r+ 1 ) + 1] x +\ para * = - ! + - se tiene _v” = 0 luego (-1 + - , —) es punto de inflexión e e e -1 < x < -1 + —, v " < 0 , es cóncava hacia abajo e -1 + —< x < ° ° , v " > 0 ,e s cóncava hacia arriba e 955 Desarrollo www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a El campo de existencia es x e <-°°,-l> U <1,°°> 1 y = ln(x' - 1) + —----x2 - l , 2x(x - 2 ) => y ' = ----- -U --l)z para x = 0 , x = ± 2 se tiene y' = 0 puntos críticos x = ±y¡2 N para x < - V 2 , y '<0 3 mínimo en x = —J 2 , ( - \ ¡ 2 , 1) —>¡2 < x < - 1 , y ’> 0 * 1 < x < \Í2 , y'< 0 ~ 3 mínimo en x = \¡2 , (V 2 ,l) \¡7 < x < , v' > 0 + La gráfica es < - -O O, - y ¡ 2 , y > y 2x(x - 2) — 0— — U " -i r creciente en < 1, V 2 >’ < —n/ 2 ,—1 >, < V 2 ,° ° > > „ -2 (.r - 3 x - 2 ) (x 2 - l )3 Sí para jc= ± — = ±1.89 se tiene y" = 0 Luego (1.89, 1.33) y (-1.89, 1.33) puntos de inflexión www.FreeLibros.me y decreciente 506 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Para x < -1 .8 9 , y " < 0 , es cóncava hacia abajo - 1.89 < x < - 1, y ” > 0 , es cóncava hacia arriba y " < 0 , es cóncava hacia abajo 1.89 < x < 1 < x < 1.84, y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba tiene asíntotas verticales en x = - l, x = l x Desarrollo El campo de existencia es , Vx 2 + 1-1 y = ln -------------x - (0) , sjx2 + 1-1 =* y = ----------------. x ( x 2 +1 - v x 1 + 1) Luego y' = 0 para x= 0, pero x = 0 e R + - (0) por lo tanto no hay punto de inflexión Para x > 0, y ' > 0 , la gráfica es creciente. www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a x/x 2 + 1 -1 x/x 2 + 1 —3 - 2 x 2 x(x 2 +1 - x/x2 + 1) x / 7 + l(.v2 + l - x / x 2 + 1)2 . 3 x e /? tal que y"= O por lo tanto no hay puntos de inflexión. Luego para x > 0, y"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo. Para x = 0 es una asíntota vertical. , x/x2 + l - l ln -------------A: = lim — = lim — =0 y -> o o X X -A o o X b - lim( v-A x ) = lim ln x— v— X~ + ^— - = 0 JC como y = kx + b => y = 0 es una asíntota horizontal 957 Desarrollo El campo de existencia es todo R. v = ln(l -t-e r) => y ' - ----- — e x +1 www.FreeLibros.me 508 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s 3 x e R , y'-f.) por lo tanto no hay punto de inflexión para x e R. y '< 0 , la gráfica es decreciente. 1 , 3 jce R , y" = 0 (ex + 1)2 e +1 por lo tanto no hay punto de inflexión. Para x e R, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba. No tiene asíntotas verticales. Cuando x —» y=0 y ln(l+ e ' A:) I* I 1VI = 0 k, = lim — = Ilim X X b¡ = lim (y - kx) = lim ln(l + e x ) = 0 X— x —>°° luego y = 0 , x —» +°° y . k2 = lim — = lim x x-*- ln (l + e - ) = -1 = lim - l+el b2 - lim ( y - k 2x) = iim [ln (l + e *) + x] = 0 Luego y = k 2x + b2 => y = -x asíntota oblicua www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 958 y = ln(e + —) x Desarrollo El campo de existencia es < - o o ,- —> U < 0,°° > es decir que no esta defii e pero [ - - , 0 ] e w + —) l - =s y • = — 1 y - ln(e x ' x(ex + 1) 3 x e R tal que y ' - O , no hay puntos críticos ,v< — , v ’<0 es decreciente e x > 0, y ’< 0 es decreciente x{ex+ \) y "=0 2ex +1 y "= — para ,v = x '( e x + l) pero — —e < 2e e > U < 0 ,°° > , inflexión para x < ——, y ”<0 es cóncava hacia abajo e x>0 , y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba www.FreeLibros.me 2e por lo tanto no tiene punto 510 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s asíntota vertical es x = 0 , x = — e y k = lim — = lim •*-*“ x x x — = 0 para L'Hospital b - lim (y - k x ) = lim ln(e + —) = 1 x —>°° x —>°° Luego como 959 X y = kx + b => y = l asíntota vertical y = sen x + cos x Desarrollo El campo de existencia es todo R Como y(x) = y(x + 2rt) la función es periódica con periodo x = 2n y = sen x + c o sx de donde x = —+ => y ' - cos x - senx = 0 => cos x = sen x i 2kK , x=— + 2kn , k = 0, ± 1 ,... www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a O< x < — , y' > O 4 Tí 5k — <x< — , y < O 4 4 -v \ -i - • 5n 5n r- => 3 mínimo en x = — , (— ,-V 2 ) 4 4 5;r — 4 < x <2n , y > O * 3/r y ' - c o s x - s e n x => y " = - s e n x - cos x = O => senx = - cos x => x = :— + 4 3K para x < — , >"<0 es cóncava hacia abajo 4 3/r x > — , y" > 0 , es cóncava hacia arriba 4 37T para (— + Á-;r.O) puntos de inflexión www.FreeLibros.me 512 960 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s senlx y = senx + Desarrollo El campo de existencia es todo R Como y(x) = y(x + l n ) la función es periódica con periodo x = 2n y = senx H senlx y = eos x + eos I x => y '=0 => eos x = -eos 2x => x = — + 2kn , x = — + l k n para k = 0 , ± 1, ± 2 ,... 3 3 3 x = - + 2 k j r , ( ~ + 2kK,— ) 3 3 4 n 5k , — < x < — , y <0 3 3 * -v A d mínimo en x — , „ + x > — , y >0 3 y '= c o s x + c o s 2x y"= 0 => y ' ' = - s e n x - 2sen2x =s> -sen x - 2 sen 2 x = 0 => x = kir 4 www.FreeLibros.me .5k . , 2\Í3. h 2k n , (— + 2k n , -------- ) 3 3 4 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 961 y = c o sx -e o s2x Desarrollo El campo de existencia es todo R y = c o s x - e o s 2 x => y ' - - s e n x -\-2senx.c o s x y' = 0 => - sen x + 2 sen x. eos x = 0 => x = ± — , x = ± 7t 3 como y(x) = y(x + 2t i ) la función es periódica para x < ±it, y' < 0 \ =s en x = ± 7t 3 mínimo (±tc,-2) + y '> n x > ±71, 0 * x < ± — , y '>0 3 ‘ , 7T . 7T 1 =í> x = ± — 3 máximo ( ±— ) 3 3 4 71 , y <0 x> r — 3 y' = - s e n x + 2senx.e o s x => y"= - c o s x + 2 c o s 2x y" —0 => -eos x + 2 eos 2x = 0 => x = ± 0 . 5 7 , x = ±2.2 Luego f(±0.57) = 0.13 :=> (±0.57,0.13) f(±2.2) = -0.95 => (±2.2,-095) con los puntos de inflexión www.FreeLibros.me 514 962 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s y = sen*x + eos 3 x Desarrollo El campo de existencia es todo R. y = sen^x + cos 3 x => y' = 3sen¿x . c o s x - 3 c o s ¿ x.senx y' = 0 => 3sen2x c o s x - 3 c o s 2 x.senx = 0 3 sen x. cos x (sen x - cos x) = 0 . K K 5k 3k de donde x = 0 , x = — ,jc = — , x = rt, x = — , x = — , x = 2Jt 4 2 4 4 como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica con periodo x = 2rc www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a x < O, >■’> 0 *\ j 0 < x < — , v '<0 => 3 máximo en x = 0, (0,1) V A 4 => 3 mínimo en x = — , 4 4 ,— ) 2 => 3 máximo en x = —, (—,1) ? o — < x < n , v'< 0 ~> k < x < — , v ’>0 ^ 4 5/r \ 3n — < x< — , v < 0 4 4 , . 5 n 5n \Í2 , => 3 máximo en x = ——, (— , -------) 4 4 2 J * A , . 37t 3n => d mínimo en x = — , (— , - 1) 2 2 — < x < 2n , y’>0 5 x > 2n, ’ y '<0 Î * = > 3 mínimo en x = 2 rc, ( 2n,l) www.FreeLibros.me 516 963 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s i y =senx + eos x Desarrollo Como y(x) - y(x +2tt) la función es periódica con periodo x = 2n luego los puntos de discontinuidad es — 4 1 para: 4 eos x —senx y =— (senx + eos x) >' = senx + eos x 7t para x = — + 2k n 4 también en x = . A se tiene y = 0 ; x = 3 TZ 4 , r 2kzt se tiene y = °° 3;r x < -------, y ’>0 \ 4 máximo en x = 3n 4 3n s¡2 , (-------+ 2k n , ------- ) 4 2 3tt , ¿ x > -------, y < 0 4 n x < — , y'< 0 4 \ — . , , ir jt . - s/2 => 3 mínimo en x = — , (— + 2k n .— ) 4 4 2 * > - , y'>0 4 www.FreeLibros.me A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 964 senx y= sen(x + —) 4 Desarrollo Como y(x) = y(x + 7t) la gráfica es periódica con periodo x = rc adema puntos de discontinuidad son x = —— , x - — 4 4 senx v= \¡2(senx + cosx) => y = ' 2(senx + eos x) 3 x e R , tal que y' = 0 por lo tanto no hay puntos críticos 2 (senx + eos x)~ y" = 0 y = x/2 (cos x - s e n x ) „ -\¡2 co s2 x — => v = (senx + eos x) (1 + seti2x)~ => eos 2x = 0 => 2x = — 2 x = — => x = — + k n 4 4 K y¡2 Luego los puntos de inflexión: (— + k n , — ) \ www.FreeLibros.me 518 965 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s y = sen x. sen 2x Desarrollo El campo de existencia es todo R. Como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica cuyo periodo es x = 2tc Calculando los extremos en el intervalo [0 ,7t] se tiene: y' = 4senx. eos 2 x - 2se n 3x = 0 de donde: 2 2se/u (3cos x - l ) = 0 =*> x = 0, x = t i, x 1 = arccos(±- 7=) 73 para x < 0 , y' < 0 0 < x < arccos(—7= ), y' > 0 3 mínimo en x = 0, (0,0) ) 73 3 máximo en x = arccos(—= ) , 73 1 1 M. arccos(—=■) < x < arccos(— = ) , y ' > 0 \ J3 .Ix \ 1 4 (árceos - 7= , — = ) . n x .n 3 mínimo en x = arccos(— 7= ). 73 arccos(— j = ) < x < n , y ’>0 1 4 (arccos(— = ) , — = ) \ 73 373 73 3 máximo en x = jt, (7t,0 ) x > tc, y '<0 y ’= Asenx. eos x — 2sen x => y ” = 2 c o sx (2 - 9sen www.FreeLibros.me x) 5 A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a n y j2 para a = — , x = arcsen(-^-) => x —K —arcsen( s il ) se tiene y" = 0 por n V 2 \y ¡ l V 2 4^7 tanto: (—, 0 ) , (arcsen{— ),------ ), ( n - a r c s e n — , -------- ) son los puntos 2 3 27 3 27 inflexión. 966 y = cos x. cos 2x Desarrollo El campo de existencia es todo R. Además y(x) = y(x + 271) la función es periódica x = 2tt Calcularemos los extremos en el intervalo [0 ,7t] y = c o sx . cos 2x => y '= s e A u ( l- 6 cos 2 x) luego para y' = 0 => senx{l - 6 cos x) = 0 de donde: x = 7t, jc = arccos(-4=), x = arccosf— j= ), x = 0 V6 www.FreeLibros.me V6 520 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s Si x < 0, y ’> 0 0 < x < arccos(-7= ), y '<0 3 máximo en x = 0, (0,1) ) A Vó 3 mínimo en x - árceos 76’ árceos -7= < x < arccos(— , y’> 0 V6 Tó (árceos—Lr, — %=) \Í6 3v6 3 máximo en x = arccos(— = ) , 7ó 1 arccos(— = ) < x < n , y'< 0 2 (arccos(— 7=),-— =) V6 3V6 & arccos(— = ) < x < n , y' < 0 76 ) x > n, y '> 0 2 y '= s e n x ( l - 6 cos x) x = arccos, 13 - , v 18 (árceos I— 18 9 V18 => 3 mínimo en x = 7t, ( 7t,-l) y" = c o sx (1 3 - 18cos“ x) x = a r c c o s(-' (arccos(- 18 ) se tiene 13 _ 4 113 18 ’ 9 V18 Y www.FreeLibros.me y" = 0. para ^ x = —, Luego: (—, 0) , 2 ) son los puntos de inflexión. A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a 967 y = x + sen x Desarrollo El campo de existencia es todo R y = x + sen x => y ' = l + cosx de donde y' = 0 1 + eos x = 0 x = 71 como x < 7t, y'> 0 , x > 7t, y ’> 0 nohay máximo ni mínimo, la gráfñ creciente. y' = 1 + co sx => y " = - s e n x = 0 => x = k7t, k = 0, ±1, ±2,... Luego (k7t,k 7t) puntos de inflexión Para x < 7t, y ” < 0 , es cóncava hacia abajo x > 7t, y '' > 0 , es cóncava hacia arriba 968 v = areseni 1 - \[x*) Desarrollo El campo de existencia [-2s¡2,2y¡2] www.FreeLibros.me 522 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s 1 V*2") y = arcsen( - - * ' % V 7 V 2 -V 7 Luego y '= °° cuando x = 0, x = ±2sJ2 Luego x ~ ± 2 \ ¡ 2 son los extremos del campo de existencia de donde (±2n/2,-1.57) Para x < 0,’ yX’> 0 -s x > 0 , v '<0 V => 3 máximo en x = 0, (0,1.57) 2 2(3*3 - 4 ) >’ = --------------- r ~ 9 ^ 7 ( 2 - * 3 )3 -2 v = llx 2 s ¡ 2 -s jx 2 y" = 0 => 3*3 - 4 = 0 => x = ± 1.54 de donde puntos de inflexión. 969 y = Vi - * 2 Desarrollo www.FreeLibros.me (+ 1.54, -0.34) son los A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a aresenx y =— , => y = V i-. \[ { ~ x 2 - xare.senx tal que y' = 0 además y'= "o cuando x = ± l pero estos valore; 3 x e í pertenecen al campo de existencia por lo tanto no tiene máximos ni mínimo , y = Vl y”= 0 - x 2 - xarcsenx „ x(l - .i 2 - arcsenx(3x + J ( \ - x 2 )3 )) =------ => y = --------------------------- — —ü------------3 ( l - x 2)3 V o - * 2) cuando x = 0 de donde ( 0 ,0 ) es punto de inflexión, tiene asín verticales en x = ± 1 1 970 X y = 2x - tg x Desarrollo y = 2x - t g x => y' - -se c x de donde: y' = 0 => 2 - s e c 2 x = 0 => secx = ±V 2 entonces: x = — + k n , x - — + A 4 4 i r -, ^ 2k + \ , no esta definida para x = — , x = —^— tt para k = 0, ± 1, ± 2 ,... www.FreeLibros.me 524 E d u a r d o E s p in o z a R a m o s no esta definida para = Para k = 0, ± 1, ± 2 ,... n , y i> 0 n n para x < — —, , TC . ,71 . 71 3 máximo en x = — + k n , (— hA:7r,— h2 a: —1) 4 4 2 n 3x , „ m. —< x< — , y < 0 \ 4 4 ' ■ 3a- , ,3n , 3tt • 3 mínimo en x = — + k n , (— + ktt, — +1 + 2kK) 4 4 4 3?r , „ .v > — , y > 0 4 y ' = 2 - sen2x => y " = I s e n 2x.tgx para y” = O se tiene x = krc, donde k = 0 , ± 1, ± 2,... por lo tanto (k7t, 2krt) son los puntos de inflexión. www.FreeLibros.me Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura. Catedrático de las principales Universidades de la Capital www.Solucionarios.Net ► ► ► ► ► Solucionario de Análisis Matemático por Demidovich tomo III Solucionario de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II Solucionario de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3 www.FreeLibros.me

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