Análisis dimensional 01

Análisis dimensional 01
El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan
las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para
descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos "Dimensiones", los cuales aparecen
como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.
Fines del análisis dimensional
1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en
términos de las fundamentales.
2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso
del principio de homogeneidad dimensional.
3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas
Empíricas).
Magnitudes y unidades
Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma
especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por
ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.
Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una
misma magnitud puede tener varias unidades de medida.
Clasificación de las magnitudes
Por su origen
a. Fundamentales.
b. Derivadas.
Por su naturaleza
a. Escalares.
b. Vectoriales.
Magnitudes fundamentales:z
Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi
todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás
magnitudes.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud
Símbolo
Unidad Básica (Símbolo)
Longitud.
Metro (m)
L
Masa.
Kilogramo (kg)
M
Tiempo.
Segundo (s)
T
Intensidad de corriente eléctrica.
Ampere o Amperio (A)
I
Intensidad Luminosa.
J
Candela (cd)
Temperatura Termodinámica.

Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia.
N
Mol (mol)
MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O
SUPLEMENTARIAS
Nombre
Unidad Básica (Símbolo)
Ángulo Plano.
Radian (rad).
Ángulo Sólido.
Estereorradián (sr).
Magnitudes derivadas:
En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una
combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se
consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.
Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma:
;
donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.
Ejemplo: área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.
Magnitudes escalares:
Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo
conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.
Ejemplo: área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.
Magnitudes vectoriales:
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita
la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o
determinada.
Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.
Múltiplos y submúltiplos
MÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo
Factor
24
Yotta (Y)
10
Zeta (E)
10 21
Exa (E)
10 18
SUBMÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo
Factor
-1
Deci (d)
10
Centi (c)
10 -2
Mili (m)
10 -3
Peta (P)
10 15
Tera (T)
Giga (G)
Mega (M)
Kilo (k)
Hecto (h)
Deca (da)
10 12
10 9
10 6
1000
100
10
Micro ()
Nano (n)
Pico (p)
Femto (f)
Atto (a)
Zepto (z)
Yocto (y)
10 -6
10 -9
10 -12
10 -15
10 -18
10 -21
10 -24
Ecuaciones dimensionales
Llamadas también "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a
las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas
básicas del álgebra, excepto la suma y resta.
Notación:
A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".
Propiedades de las ecuaciones dimensionales
1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.).
El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación dimensional
serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los
signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD.
Ejemplo:
En la siguiente ecuación:
; luego de aplicar el principio de homogeneidad
dimensional nos debe quedar de la siguiente forma:
2° Términos Adimensionales:
Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las
funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen
dimensiones, pero para los efectos de calculo, se asume que es la unidad, siempre que
vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.
3° No se cumplen la suma y la resta algebraica.
Ejemplo:
[X] + [X] + [X] = [X]
[M] - [M] = [M]
4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca
dejarse como cocientes.
Ejemplo:
El término:
, deberá ser expresado como:
Fórmulas dimensionales (F.D.) más usuales en el S.I.
Magnitud Derivada
Área o Superficie
Volumen o Capacidad
Velocidad lineal
Aceleración lineal
Aceleración de la Gravedad
F.D.
2
L
L3
LT-1
LT-2
LT-2
Fuerza, Peso, Tensión, Reacción MLT-2
Unidad
2
m
m3
m/s
m/s2
m/s2
kg . m/s2 = Newton
(N)
N.m
N . m = Joule (J)
Joule/s = Watt (W)
kg/m3
N/m3
N.s
kg . m/s
N/m2 = Pascal (Pa)
s
s-1 = Hertz (Hz)
rad/s
rad/s2
m3/s
cal/g
Tipo
E
E
V
V
V
V
Torque o Momento
Trabajo, Energía, Calor
Potencia
Densidad
Peso específico
Impulso, ímpetu, Impulsión
Cantidad de Movimiento
Presión
Periodo
Frecuencia Angular
Velocidad Angular
Aceleración Angular
Caudal o Gasto
Calor Latente específico
ML2T-2
ML2T-2
ML2T-3
ML-3
ML-2T-2
MLT-1
MLT-1
ML-1T-2
T
T-1
T-1
T-2
L3T-1
L2T-2
Capacidad Calorífica
ML2T-2-1 cal/°K
E
Calor Específico
L2T-2-1
IT
ML2T-3I-1
cal/g.°K
E
A . s = Coulomb (C)
J/C = Voltio (V)
E
E
Carga Eléctrica
Potencial Eléctrico
V
E
E
E
E
V
V
E
E
E
V
V
E
E
Resistencia Eléctrica
ML2T-3I-2 V/A = Ohm (W)
Intensidad de Campo Eléctrico MLT-3I-1 N/C
Capacidad Eléctrica
M-1L-2T4I2 C/V = Faradio (f)
Nota: E = escalar y V = vectorial
E
V
E
Enunciado
A partir de las relaciones definitorias
Velocidad
Cantidad de
movimiento
Aceleración
Fuerza
Trabajo
Potencia
Momento
cinético
Momento de una
fuerza
determine las ecuaciones dimensionales de estas magnitudes, así como sus unidades en el
SI en función de las unidades básicas de este sistema.
2 Velocidad
La velocidad se define como la derivada de la posición respecto al tiempo. Una derivada no
es más que un cociente entre dos cantidades muy pequeñas y por tanto sus dimensiones
serán las del numerador divididas por las del denominador, esto es,
La unidad en el SI de velocidad es 1 m/s.
3 Cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad, por lo que sus
dimensiones serán las del producto de estas dos cantidades:
La unidad SI de la cantidad de movimiento es 1 kg·m/s.
4 Aceleración
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, por tanto
La unidad de aceleración en el SI será 1 m/s².
5 Fuerza
La fuerza se define como la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo
(aunque también suele expresarse como el producto de la masa por la aceleración). Por ello
La unidad SI de la fuerza es el newton, que equivale a
6 Trabajo
El trabajo se define a partir de una integral, esto es, una suma de muchas cantidades muy
pequeñas. Las dimensiones de la integral son entonces las mismas que las de cada uno de
los sumandos. Cada sumando es un trabajo diferencial, igual al producto escalar de una
fuerza por un desplazamiento. Por ello
Vemos que el trabajo posee dimensiones de masa por velocidad al cuadrado, que son las
mismas de la energía cinética
La unidad de trabajo en el sistema internacional es el julio, equivalente a
7 Potencia
La potencia es el cociente entre un trabajo diferencial y el tiempo diferencial en que se
realiza. Las dimensiones las da también el cociente
La unidad SI de potencia es el vatio, que equivale a
Análisis Dimensional
Una útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está
cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las
matemáticas conocido como análisis dimensional - las matemáticas de las
dimensiones de las cantidades. Aunque se puede argumentar con éxito que
la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican
las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus
métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de
los mismos como tópicos diferentes.
Les métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la
homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una
ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe ser
dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la
ecuación deben ser las mismas.
La investigación adicional de este principio revelará que el mismo
proporciona un medio de determinar las formas de las ecuaciones físicas, a
partir del conocimiento de las variables principales y de sus dimensiones.
Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales
produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis
dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de
problemas que desafían la solucion analítica y que deben ser resueltos
experimentalmente. En este caso, el análisis dimensional entra en su
propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir
de un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio de la
formación de grupos adimensionales, algunos de los cuales son idénticos
con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.
Para ilustrar los pasos matemáticos en un problema dimensional sencillo,
considérese la familiar ecuación de la estática de fluidos,
p = γh
pero supóngase que se conocen las dimensiones de γ y de h, y que las de p
son desconocidas.
Las dimensones de p sóIo pueden ser alguna
combinación de M, L, y T, y esta combinación puede descubrirse escribiendo
la ecuación dimensionalmente como
(Dimensiones de p) = (Dimensiones de γ) * (Dimensiones de h)
0
en la cual a, b, y c son desconocidas. Al aplicarse el principio de la
homogeneidad dimensional, el exponente de cada una, de las dimensienes
fundamentales es el mismo en cada lado de la ecuación, lo que da
a = 1,
b =-2+ 1 = -1,
c=-2
(Dimensiones de p) = ML-1T-2 = M/LT2
Es obvio, Por supuesto que este resultado podria haberse obtenido mas
directamente por la cancelación de L en el miembro derecho de la ecuación,
ya que este ha sido, y continuara siéndolo, el metodo mas usual de obtener
las dimensiones desconocidas de una cantidad.
Para ilustrar otro ejemplo familiar , supongase que se sabe que la potencia,
p que se puede extraer de una turbina hidráulica dependedle regimen de
flujo de la máquina Q, del peso especifico del fluido circulante, γ, y de la
energía mecánica unitaria, E, que cada unidad de peso proporciona al pasar
a través de la máquina. Supóngase que es desconocida la relación entre
estas cuatro variables, pero se sabe que estás son las únicas variables
implicadas. Con este escaso conocimiento, se puede hacer la siguiente
afirmación matemática:
P = f(Q, γ, E)
Es aparente por el principio de la homogeneidad dimensional que las
cantidades implicadas no se pueden sumar o sustraer, ya que sus
dimensiones son diferentes. Este principio limita la ecuación a una
combinación de productos de las potencias de las cantidades implicadas, la
que se puede expresar en la forma general
P = C Qa γb Ec
En la cual C es una constante adirnensional que puede existir en la
ecuación pero que, por supuesto, no se puede obtener por los métodos
dimensíonales. Escribiendo la ecuación en forma dimensional
se obtienen las siguientes ecuaciones en los exponentes de las
dimensiones:
M:
1=b
a= 1,
b=1