Si X es una variable aleatoria que tiene distribución chi–cuadrado con 19 grados de libertad, calcular: a) P (X ≤ 20) b) P (X ≥ 15) c) P (16 ≤ X ≤ 21). ¿Cuántas observaciones son necesarios para asegurar que P (0.618 ≤ S 2 /σ 2 ≤ 1.60) ≥ 0.95? Donde S 2 es la varianza de la muestra, tomada de una variable aleatoria distribuida normalmente con media µ y varianza σ2. La temperatura de encendido de un interruptor controlado termostáticamente se distribuye normalmente con media y varianza desconocidas. Se va a tomar una muestra aleatoria y determinar la varianza muestral. ¿Cuántas observaciones son necesarias para asegurar que P (S 2 /σ 2 ≤ 1.83) ≥ 0.99? Sea T una variable aleatoria que tiene una distribución t Student con r grados de libertad. Calcular: a) P (|T|> 2.228), cuando r = 10. b) P (−1.753 ≤ T ≤ 2.602), cuando r = 15. Hallar P (−1.383 ≤(X̅ − 𝜇) √10 ⁄S ) donde X̅ y S están basadas en 10 observaciones. Si la variable aleatoria F tiene una distribución F , con r1 y r2 grados de libertad, respectivamente. Calcular: a) F0.05,9,7 b) F0.95,7,9. c) P (F ≥ 4.76) con r1 = 3 y r2 = 6. d) P (F ≤ 3.50) con r1 = 7 y r2 = 8. e) Hallar los números a y b tal que P (a < F < b) = 0.98, con r1 = 8 y r2 = 6. Sean X1 , X2 , ..., Xn , Xn+1 , n+1 variables aleatorias independientes de una distribución normal N (µ, σ 2 ) 𝑛 𝑋̅ = 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑋̅−𝑋𝑛+1 Encontrar la constante c tal que c [ 𝑆 ] tenga una distribución t. 𝑛 1 𝑆 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛 2 𝑖=1 La afirmación que la varianza de una población normal es σ 2 = 21.3 se rechaza si la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 15 excede a 39.74 ¿Cuál es la probabilidad de que la afirmación sea rechazada a pesar que σ2 = 21.3? Se halla que la duración de transistores fabricados por una compañı́a tienen media de 2000 horas y una desviación tı́pica de 60 horas. Se seleccionas 10 transistores al azar, determinar la probabilidad que la desviación tı́pica muestral: a) No exceda de 50 horas. b) Se encuentre entre 50 y 70 horas. Jorge Sánchez es responsable de la garantı́a de calidad de Electrónica Integrada. Le ha pedido que cree un proceso de control de la calidad para la fabricación de un mecanismo de control A. La variabilidad de la resistencia eléctrica, expresada en ohmios, es fundamental para este mecanismo. Las normas de fabricación especifican una desviación tı́pica de 3.6 y la distribución poblacional de las medidas de la resistencia es normal. El proceso de control requiere que se obtenga una muestra aleatoria de n= 6 observaciones de la población de mecanismos y que se calcule la varianza muestral. Halle un límite superior de la varianza muestral tal que la probabilidad de que se supere este l´ımite, dada una desviación tı́pica poblacional de 3.6, sea inferior a 0.05. Las tasas mensuales de rendimiento de las acciones de una empresa son independientes de las de otra y siguen una distribución normal que tiene una desviación tı́pica de 1.7. Se toma una muestra de 12 meses. a) Halle la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral sea inferior a 2.5. b) Halle la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral sea superior a 1.0. Se va a realizar a todos los estudiantes de primer año un examen de matemáticas con 100 preguntas de tipo test. Se ha hecho primero un estudio piloto en el que se ha realizado el examen a una muestra aleatoria de 20 estudiantes de primer año. Suponga que la distribución del número de respuestas correctas de la población de todos los estudiantes de primer año es normal con una varianza de 250. a)¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea inferior a 100? b)¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 500? El número de horas que dedican a ver la televisión los estudiantes la semana anterior a los exámenes finales sigue una distribución normal que tiene una desviación tı́pica de 4.5 horas. Se ha tomado una muestra aleatoria de 30 estudiantes. a)¿Es superior a 0.95 la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral sea de más de 3.5 horas? b)¿Es superior a 0.95 la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral sea de menos de 6 horas? Se ha tomado una muestra aleatoria de 10 fondos de inversión. Suponga que las tasas de rendimiento de la población de todos los fondos de inversión siguen una distribución normal. a) La probabilidad de que la varianza muestral sea superior a por ciento de la varianza poblacional es 0.10. b) Halle cualquier par de números, a y b, que completen la frase siguiente: la probabilidad de que la varianza muestral esté comprendida entre a por ciento y b por ciento de la varianza poblacional es de 0.95. c) Suponga que se hubiera tomado una muestra de 20 fondos de inversión. Indique sin hacer los cálculos cómo cambiarı́a eso su respuesta al apartado (b). Una compañı́a farmacéutica produce pı́ldoras que contienen un principio activo. A la compañı́a le preocupa el peso medio de este principio por pı́ldora, pero también quiere que la varianza (en miligramos cuadrados) no sea superior a 1.5. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 píldoras y se observa que la varianza muestral es de 2.05. ¿Qué probabilidad hay de que la varianza muestral sea tan alta o más que ésta si la varianza poblacional es de hecho de 1.5? Suponga que la distribución de la población es normal. Se sabe que las rentas de los suscriptores de una revista siguen una distribución normal que tiene una desviación tı́pica de 6600 $us. Se toma una muestra aleatoria de 25 suscriptores. a)¿Cuál es la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral de sus rentas sea de más de 4000 $us? b)¿Cuál es la probabilidad de que la desviación tı́pica muestral de sus rentas sea de menos de 8000 $us? Si X1 , X2 , ..., X8 son ocho valores aleatorias independientes y normales N (10, 32), calcular la probabilidad de ̅ )2 /8 sea menor o igual que 56.28. que 𝑆 2 = ∑(Xi − X Una variable aleatoria X tiene distribución normal con media igual a 100. a) Si se extrae una muestra aleatoria (m.a.) de 16 elementos de X y se encuentra que la desviación estándar s=12, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 92.194 y 104.023?. b) Si se supone que la desviación estándar de X es igual a 15, ¿Qué tamaño deberı́a tener la muestra para que P (90.2 < X̄ < 109.8) = 0.95?. Supongamos que un punto (X, Y) es elegido al azar en el plano XY, donde X e Y son variables aleatorias independientes y cada una tiene distribución normal estándar. Si un cı́rculo es seleccionado en el plano XY, con centro en el origen. ¿cuál es el menor radio del cı́rculo que puede ser elegido de modo que el punto (X, Y) esté en el interior del cı́rculo con probabilidad de 0.99? Dos muestras aleatorias de tamaños n1 = 20 y n2 = 9 se extraen de dos poblaciones normales homocedásticas (varianzas iguales). Encontrar la probabilidad de que la desviación estándar de la primera muestra sea menor o igual que 0.6 veces que la desviación estándar de la segunda muestra. Un especialista en recreación, al estudiar el tiempo que gastan los turistas con dos tipos de atracciones, examinó una muestra de 10 turistas de cada tipo. El tiempo medio gastado por la muestra de turistas del tipo A fue de 55 minutos y por la muestra de turistas del tipo B, 49 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de observar una diferencia muestral tan grande como esta, si no hay ninguna diferencia en el tiempo promedio y variabilidad verdadero gastado por los turistas en los dos tipos de atracciones y si además la desviación estándar es de 15 minutos para cada muestra?. Suponga que los tiempos que gastan los turistas tiene distribución normal. El gerente de una refinerı́a piensa modificar el proceso para producir kerosene a partir del perı́odo crudo. El gerente hará la modificación sólo si el kerosene promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje de crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en un experimento de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de kerosene promedio del proceso en uso es de 24.6 con una desviación estándar de 2.3 y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias normalmente distribuidos con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso? Una organización independiente está interesada en probar la distancia de frenado a una velocidad de 50 mph, para dos marcas distintas de automóviles. Para la primera marca se seleccionaron 9 automóviles y se probaron en un medio controlado. La media muestral y la desviación estándar fueron de 145 pies y 8 pies, respectivamente. Para la segunda marca se seleccionaron 12 automóviles y la distancia promedio resultó ser de 132 pies y una desviación estándar de 10 pies. Con base en esta evidencia, ¿existe alguna razón para creer que la distancia de frenado para ambas marcas es la misma?. Supóngase que las distancias de frenado son v.a. independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales.
