problemas inferencia

Problemas adicionales sobre estimación
2016
1. El intervalo de confianza del 95 % obtenido para la proporción de artı́culos defectuosos de
un proceso de producción es [0.03 ± 0.01]. Por otra parte, para pasar un control de calidad
se requiere que el porcentaje máximo de defectuosos sea del 3.5 %, con una confianza del
95 %. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
a) Con una confianza del 95 %, el porcentaje de artı́culos defectuosos en la producción se
encuentra entre el 2 % y el 4 %.
b) Con una confiabilidad del 95 % el error máximo que se comete al estimar la proporción
poblacional a través de la proporción muestral es de 0.01.
c) Ante la evidencia de la muestra se concluye con un 95 % de confianza que existe
suficiente evidencia para pasar dicho control de calidad.
2. Analice si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifique.
Si X es una variable aleatoria con distribución normal de parámetros µ y σ
entonces
σ
σ
µ − 1.96 √ , µ + 1.96 √
n
n
es un intervalo de confianza del 95 % para x.
3. Se desea estimar con un error inferior a 6 minutos y un nivel de confianza igual a 0.95 el
tiempo medio en que los alumnos de una Universidad permanecen conectados a Internet.
a) ¿Cuál deberı́a ser el valor (máximo) de la desviación estándar del tiempo de conexión,
para que 97 o más observaciones fueran suficientes?
b) Los siguientes datos corresponden a los tiempos, en minutos, de conexión de 10 estudiantes:
60
62
72
54
35
45
50
48
78
65
1) ¿Son los datos suficientes para inferir que la desviación estándar de los tiempos de
conexión es inferior a 18 minutos?
2) Suponiendo que los tiempos de conexión se distribuyen normalmente con media y
desviación estándar igual a 60 minutos y 15 minutos respectivamente, calcule la
probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 10 haya por lo menos 8
alumnos que permanezcan conectados por un tiempo comprendido entre 30 y 90
minutos.
4. Los errores aleatorios que se cometen en las pesadas, con una cierta balanza, siguen una
distribución normal con media y desviación estándar igual a 0 y 0.95 miligramos respectivamente.
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a) Bajo esta información ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria X: peso con dicha
balanza de un objeto de 10 gramos, cuando se conoce que la balanza no tiene error
sistemático?
b) Realizadas nueve pesadas de un objeto, cuyo peso se conocı́a, se obtuvieron los siguientes errores (en miligramos):
−0.07
−0.10
0.62
0.30
2.00
0.12
1.80
2.30
1.40
¿Permiten los datos inferir con un 90 % de confianza que la balanza tiene un error
sistemático positivo?
5. Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un taladro para hacer agujeros en una
lámina de metal. Cuando el taladro funciona adecuadamente, los diámetros de estos agujeros
tienen una distribución normal, con media y desviación estándar igual a 2 y 0.06 centı́metros.
Periódicamente, se miden los diámetros de una muestra aleatoria de agujeros para controlar
que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que la desviación estándar no varı́a.
Una muestra aleatoria de nueve medidas da un diámetro medio de 1.95 centı́metros.
a) ¿Existe suficiente evidencia para inferir con un 95 % de confianza que la media de los
diámetros es inferior a 2 centı́metros?
b) Determine el tamaño de muestra necesario para estimar el diámetro medio con un
error inferior a 0.02 centı́metros y una confiabilidad de 0.95.
c) Si en el ı́tem 5b se aumenta el nivel de confianza, ¿el tamaño de muestra correspondiente
aumenta o disminuye? Fundamente sin realizar cálculos.
d ) Ejemplifique en el contexto del problema los conceptos de parámetros y estadı́sticos
estableciendo la diferencia.
6. Un ingeniero recolectó los siguientes datos acerca del tiempo, medido en horas, requerido
para producir silenciadores de automóvil:
2.15
2.20
2.87
2.27
2.52
2.62
2.45
2.27
1.90
2.63
2.70
2.43
a) Si se utiliza la media de la muestra para estimar la media poblacional del tiempo
requerido para producir los silenciadores, ¿qué puede afirmar con 95 % de confianza
acerca del error máximo de estimación?
b) Para que sea válido el procedimiento utilizado en 6a ¿qué distribución debe tener la
variable aleatoria T : ((tiempo requerido para producir un silenciador))?
7. Un fabricante de bombas sumergibles afirma que a lo sumo un 30 % de las bombas requieren
reparaciones durante los primeros 5 años de operación. En una muestra aleatoria de 120
bombas, 45 de las mismas requirieron reparaciones dentro de los primero 5 años.
a) ¿Son los datos disponibles suficientes para rechazar la afirmación del fabricante con un
95 % de confianza?
b) En el contexto del problema ejemplifique los conceptos de parámetros y estadı́sticos,
explicando su diferencia.
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8. Una empresa constructora está interesada en estudiar la tensión de ruptura de las barras de
acero que utiliza en las estructuras de hormigón armado. Para ello, selecciona de forma aleatoria treinta barras y las prueba para determinar sus tensiones de ruptura. Los resultados
de la prueba, en kilogramos por centı́metro cuadrado, son:
2244
2345
2033
2185
2490
2150
2147
2001
2208
1792
2132
1960
2240
2191
1699
2033
2070
2086
2342
1810
2037
2112
1917
1824
1951
1995
2087
2001
2015
1869
a) ¿Son los datos de la muestra suficientes para inferir con un 95 % de confianza que no
menos del 90 % de las barras de acero tienen una tensión de ruptura superior a 1800
kilogramos por centı́metro cuadrado?
b) Construya un intervalo del 95 % de confianza para la variancia de la tensión de ruptura.
c) Considere el extremo superior del intervalo obtenido en 8b como el valor de la variancia
de la variable aleatoria tensión a la ruptura de las barras de acero y determine luego
el mı́nimo tamaño de muestra necesario para estimar con un 98 % de confianza y un
error inferior a 70 kilogramos por centı́metro cuadrado la tensión de ruptura media.
9. Una empresa produce piezas de alta precisión. La caracterı́stica de interés es su longitud.
Por experiencia se conoce que esta variable está distribuida normalmente, con desviación
estándar igual a 0.01 Mm. Para satisfacer los requerimientos de un cliente en particular, la
media del proceso debe ser de 6.24 Mm. Para controlar el proceso de fabricación, cada hora
se toma una muestra de 25 piezas y se calcula su media. Si la media de la muestra es 6.245
Mm o mayor, se detiene el proceso y se hace un reajuste del mismo. Cuando el sistema se
desajusta, la lı́nea produce piezas más largas de lo que deberı́a. Nunca se producen errores
en el otro sentido.
a) Calcule la probabilidad que el proceso indique que hay que hacer un ajuste cuando se
está fabricando correctamente con media 6.24 Mm.
b) El proceso se ha desajustado y empieza a fabricar con media igual a 6.25 Mm. Calcule
la probabilidad de que el proceso de control detecte este cambio.
c) Los analistas observan la última muestra de n = 25, la cual arrojó los siguientes valores:
6.227
6.225
6.218
6.238
6.220
6.254
6.263
6.214
6.222
6.247
6.287
6.248
6.245
6.235
6.251
6.215
6.236
6.245
6.246
6.247
6.215
6.231
6.227
6.192
6.246
A partir de la información de la muestra, los analistas sospechan que hubo un aumento
en la variabilidad del proceso. ¿Qué opina usted sobre la sospecha de los analistas?
Sugerencia: Para responder 9a y 9b explicite la distribución de la variable X (media
muestral) en cada caso.
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