INDICE Onda senoidal ......................................................................................................... 6 Expresión general – Valor instantáneo ................................................................ 7 Fase (φ) ............................................................................................................... 8 Período (T) ........................................................................................................... 8 Frecuencia (f) ....................................................................................................... 8 Velocidad angular (ω) .......................................................................................... 9 Valor eficaz (Vef)................................................................................................... 9 Dominio del tiempo y fasores ................................................................................ 10 Representación fasorial ......................................................................................... 11 Forma polar........................................................................................................ 12 Forma binómica ................................................................................................. 13 Conversión de fasores ....................................................................................... 14 Transformación a fasores ...................................................................................... 15 Valor máximo y valor RMS ................................................................................. 16 Impedancia ............................................................................................................ 17 Representación de la impedancia ...................................................................... 17 Triángulo de impedancia .................................................................................... 18 Circuitos resistivos en corriente alterna ................................................................. 20 Impedancia de una resistencia .......................................................................... 20 Comportamiento de los elementos resistivos ..................................................... 20 Tensión y corriente en forma fasorial ................................................................. 21 Circuitos capacitivos en corriente alterna .............................................................. 22 Diferencia entre impedancia y reactancia .......................................................... 23 Comportamiento de circuitos capacitivos puros ................................................. 23 Tensión y corriente en forma fasorial ................................................................. 23 Circuitos inductivos en corriente alterna ................................................................ 23 Comportamiento de circuitos inductivos puros................................................... 25 Tensión y corriente en forma fasorial ................................................................. 25 Impedancia equivalente ........................................................................................ 26 Asociación en serie ............................................................................................ 26 Asociación en paralelo ....................................................................................... 27 Circuitos RLC ........................................................................................................ 28 Ley de Ohm en corriente alterna ........................................................................ 28 Leyes de Kirchhoff para corriente alterna .......................................................... 29 Ley de nodos .................................................................................................. 29 Ley de mallas.................................................................................................. 29 Potencia en corriente alterna................................................................................. 30 Potencia activa, reactiva y aparente .................................................................. 30 Potencia activa (P) .......................................................................................... 30 Potencia reactiva (Q) ...................................................................................... 30 Potencia aparente (S) ..................................................................................... 31 Triángulo de potencia......................................................................................... 31 Capacidad a partir de la potencia .......................................................................... 33 Inductancia a partir de la potencia......................................................................... 34 Factor de potencia................................................................................................. 35 Corrección del factor de potencia .......................................................................... 37 Cómo mejorar el factor de potencia ................................................................... 37 Ejemplo de corrección del factor de potencia .................................................... 38 Solución .......................................................................................................... 38 FEM inducida en una espira girando dentro de un campo .................................... 41 Ejemplo .............................................................................................................. 41 Resonancia ........................................................................................................... 43 Resonancia en serie .......................................................................................... 43 Resonancia en paralelo ..................................................................................... 43 Ejercicios de señal alterna .................................................................................... 44 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 44 Solución: ......................................................................................................... 44 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 45 Solución: ......................................................................................................... 45 Ejercicios de representación fasorial ..................................................................... 47 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 47 Solución .......................................................................................................... 47 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 47 Solución .......................................................................................................... 48 Ejercicio 3 .......................................................................................................... 48 Solución .......................................................................................................... 48 Ejercicio 4 .......................................................................................................... 49 Solución .......................................................................................................... 49 Ejercicios de impedancias de elementos circuitales .............................................. 51 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 51 Solución .......................................................................................................... 51 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 51 Solución .......................................................................................................... 51 Ejercicios de impedancia equivalente ................................................................... 53 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 53 Solución .......................................................................................................... 53 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 54 Solución .......................................................................................................... 54 Ejercicio 3 .......................................................................................................... 56 Solución .......................................................................................................... 56 Ejercicio 4 .......................................................................................................... 59 Ejercicios de circuitos RLC .................................................................................... 63 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 63 Solución .......................................................................................................... 63 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 65 Solución .......................................................................................................... 65 Ejercicio 3 .......................................................................................................... 67 Solución .......................................................................................................... 68 Ejercicios de factor de potencia............................................................................. 71 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 71 Solución .......................................................................................................... 71 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 72 Solución .......................................................................................................... 72 Ejercicios de corrección del factor de potencia ..................................................... 74 Ejercicio 1 .......................................................................................................... 74 Solución .......................................................................................................... 74 Ejercicio 2 .......................................................................................................... 76 Solución .......................................................................................................... 76 Onda senoidal La corriente alterna es una corriente eléctrica cuyo valor y sentido varían continuamente, tomando valores positivos y negativos en distintos instantes de tiempo. La forma más común de corriente alterna es la senoidal y se debe a que los generadores de electricidad más utilizados producen tensiones y corrientes con esa forma. La corriente alterna es más fácil para transportar a lo largo de grandes distancias que la corriente continua, lo cual es una ventaja para su distribución. Otra ventaja importante de la corriente alterna es que puede ser fácilmente convertida entre distintos valores de tensión, ya sea aumentándolos o disminuyéndolos a través de transformadores. En el siguiente gráfico podemos ver la variación de tensión en el tiempo de una señal alterna senoidal. En el gráfico se muestra un solo ciclo completo, pero la señal normalmente repite los ciclos constantemente. A cada instante de tiempo del eje horizontal le corresponde un valor de tensión en el eje vertical. Los instantes de tiempo se representan también mediante un ángulo que es el parámetro de la función seno. Esta relación entre tiempo y ángulo se explica más adelante. Por ahora vemos en el diagrama que para distintos instantes de tiempo hay distintos valores de tensión eléctrica. Expresión general – Valor instantáneo A través de la expresión general de una señal alterna se puede obtener el valor que tiene la tensión en un determinado instante de tiempo o para un determinado ángulo. Esta magnitud se denomina valor instantáneo. El valor instantáneo se calcula como el valor máximo multiplicado por el seno de un ángulo. El ángulo varía continuamente con el tiempo, por lo tanto, para cada instante de tiempo tenemos un ángulo diferente. Dado que la función seno toma valores entre -1 y 1, el valor instantáneo alcanza sus máximos y mínimos cuando el argumento de la función vale 90 y 270 grados respectivamente (½ π radianes y 3/2 π radianes). V(α) = Tensión para un determinado ángulo [V] Vmax = Valor máximo de la tensión [V] α = Ángulo instantáneo [Grados o radianes] El ángulo en un determinado momento se calcula como la velocidad angular (ángulo recorrido por unidad de tiempo) multiplicada por el tiempo. Se suma un valor de fase, que es distinto de cero en los casos en que se tenga un desplazamiento inicial de la función hacia la izquierda o hacia la derecha. Por lo tanto, la expresión completa para calcular el valor instantáneo es la siguiente. V(t) = Tensión para un determinado instante [V] Vmax = Valor máximo de la tensión [V] ω = Velocidad angular [grados / s o rad. / s] t = Tiempo para el cual calculamos la tensión [s] φ = Ángulo de fase inicial [grados o rad.] Fase (φ) Una señal senoidal puede estar desplazada en el eje horizontal, es decir en tiempo. La fase es un valor que representa el ángulo inicial de la señal y se mide en radianes o en grados. En el siguiente ejemplo vemos dos señales con distinta fase (desfasadas entre sí ½ πradianes o 90 grados). Período (T) El período es la duración de un ciclo completo de una señal alterna. Se mide en segundos (con sus prefijos correspondientes). Frecuencia (f) Es la inversa del período y corresponde a la cantidad de ciclos por unidad de tiempo de una señal alterna. Se mide en Hertz. Un Hertz equivale a un ciclo completo en un segundo. Velocidad angular (ω) La velocidad angular o pulsación se calcula como 2 π multiplicado por la frecuencia. Representa la velocidad de variación del ángulo de giro (ver movimiento circular uniforme). ω = Velocidad angular [rad. / s] f = Frecuencia de la señal [Hz] Valor eficaz (Vef) El valor eficaz de una corriente alterna es una de sus magnitudes más importantes. Dado que una señal alterna varía en el tiempo, no entrega la misma energía que entregaría una corriente continua con el mismo valor que el valor máximo de la corriente alterna. El valor eficaz de tensión de una corriente alterna es el equivalente al valor de tensión de una corriente continua que produce el mismo calor (es decir que provee la misma energía) durante un mismo período de tiempo. Si la señal alterna tiene forma senoidal, el valor eficaz se calcula como: VEF = Tensión eficaz [V] VMAX = Tensión máxima [V] Dominio del tiempo y fasores Una forma de analizar circuitos en corriente alterna es utilizando ecuaciones que reciben valores de tiempo como parámetro y que nos permiten, por ejemplo, conocer los valores de tensión o corriente instantáneos para los diferentes elementos de un circuito. Sin embargo, cuando tenemos que analizar circuitos formados por varios elementos, el análisis en el dominio del tiempo resulta algo complicado ya que aparecen ecuaciones con integrales y derivadas. Una forma más sencilla de resolver estos circuitos es mediante un análisis fasorial. Esto se hace considerando a las tensiones y corrientes como fasores (números complejos que giran con una determinada velocidad angular) y considerando como impedancias a los elementos pasivos. Las impedancias también son representadas por números complejos. De esta manera podemos aplicar los mismos conceptos que se utilizan para resolver circuitos resistivos en corriente continua (ley de Ohm, leyes de Kirchhoff, etc.), con la salvedad de que en vez de hacer las cuentas con números reales utilizamos números complejos. Representación fasorial La corriente alterna se puede representar con una flecha girando a velocidad angular ω. Este elemento recibe el nombre de fasor y se representa como un número complejo. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté representando). También se utiliza el valor RMS en lugar del valor máximo (ver transformación a fasores). En ese caso habría que dividir el valor máximo por raíz de 2. El ángulo (corrimiento de la señal sobre el eje horizontal) representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal. En muchas ocasiones, las tensiones y las corrientes de circuitos con corriente alterna, presentan desfasajes entre sí (corrimientos horizontales). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los fasores. En el ejemplo siguiente hay dos señales desfasadas 90° y a la izquierda de las mismas se pueden ver los dos fasores con un ángulo de 90 grados entre sí. En un diagrama fasorial quedarían representadas de la siguiente manera: Al igual que los números complejos, los fasores pueden estar representados en forma binómica o polar (también existen otras como la trigonométrica y la exponencial). En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más simple hacer cuentas con la otra forma. Forma polar Los fasores pueden describirse matemáticamente en forma polar, es decir como un módulo y un ángulo. A continuación, vamos a ver un ejemplo de cómo indicar una tensión alterna con un fasor. Supongamos que tenemos la siguiente expresión de tensión: La expresión anterior se puede representar como un fasor indicando la tensión máxima (15 V en el ejemplo) y el ángulo de desplazamiento (30° en el ejemplo). En forma polar, la tensión anterior queda representada por el siguiente fasor: Gráficamente lo podemos ver de la siguiente forma Como convención, las señales deben estar expresadas con una función coseno y con un valor positivo para realizar un análisis fasorial. En caso de no estar expresadas de esta manera debemos convertirlas. Esto se explica detalladamente en la próxima sección. Forma binómica Otra forma de expresar a un fasor, es la forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte imaginaria. La señal del ejemplo anterior la podemos expresar en base a sus componentes rectangulares como: Gráficamente nos queda el diagrama de la siguiente manera: Conversión de fasores Es posible convertir fácilmente un fasor de la forma polar a la forma binómica y viceversa. Para ello se utilizan los mismos conceptos que para convertir números complejos entre ambas formas de representación. Puede consultarse más sobre la conversión en la sección de números complejos. Transformación a fasores Tal como indicamos en la sección anterior, para poder analizar circuitos en forma fasorial se utiliza como convención la función coseno, es decir que tanto las tensiones como las corrientes deben estar expresadas mediante esta función y tener un valor positivo. Una tensión expresada en forma cosinusoidal y con signo positivo puede ser convertida directamente en un fasor. Esto se hace indicando la tensión y el ángulo de desfasaje. Por ejemplo: Si tenemos tensiones y corrientes expresadas de otra manera, debemos convertirlas a expresiones cosinusoidales positivas antes de expresarlas en forma fasorial. Podemos utilizar las siguientes reglas prácticas. Si la función es seno positivo le restamos 90° Si la función es seno negativo le sumamos 90° Si la función es coseno negativo le sumamos 180° Por ejemplo: Valor máximo y valor RMS Es muy utilizada la representación fasorial indicando el valor RMS de la tensión o corriente en lugar de su valor máximo. En este caso debemos calcular el valor RMS (dividiendo el valor máximo por raíz de 2) y utilizarlo como longitud del fasor. Debido a que en esta página utilizamos la representación fasorial únicamente para realizar el cálculo en el dominio de la frecuencia y luego expresar el resultado nuevamente en el dominio del tiempo (con funciones coseno) utilizamos directamente fasores con el valor máximo para evitar realizar la conversión dos veces. Impedancia Se denomina impedancia a la resistencia al paso de una corriente alterna. Es similar al concepto de resistencia en circuitos de corriente continua pero, a diferencia de la resistencia, la impedancia se representa mediante un número complejo. Las impedancias, al igual que los números complejos, poseen una parte real y una parte imaginaria. La parte real de la impedancia está dada por la resistencia eléctrica y la parte imaginaria está formada por las reactancias que son las resistencias al paso de la corriente de los elementos inductivos y capacitivos. Si tenemos un elemento resistivo puro solamente tendrá parte real (correspondiente a su resistencia), mientras que si tenemos un elemento capacitivo puro o inductivo puro tendrá solamente parte imaginaria (correspondiente a su reactancia). Los elementos con una parte resistiva y otra parte inductiva poseen tanto parte real como parte imaginaria. La impedancia se representa con la letra Z y se expresa de la siguiente manera: R es la parte real de la impedancia y corresponde al valor resistivo del elemento. X es la parte imaginaria y corresponde a la reactancia total, que se calcula como la diferencia de las reactancias inductivas y capacitivas. Representación de la impedancia En los circuitos, la impedancia se representa por un rectángulo. Para resolver un circuito de forma fasorial es necesario conocer las impedancias de sus elementos, de la misma manera que en corriente continua debemos conocer la resistencia. En las próximas secciones se explica cómo calcular la impedancia de los diferentes componentes de un circuito. Triángulo de impedancia El triángulo de impedancia de un elemento o de un circuito se forma representando a la parte real de la impedancia (correspondiente a la resistencia) y a la parte imaginaria (correspondiente a la diferencia entra las reactancias inductiva y capacitiva) en los catetos de un triángulo. La hipotenusa se calcula de la misma forma que el módulo de un número complejo, es decir mediante el teorema de Pitágoras. En circuitos en donde la reactancia total es negativa el triángulo tiene la siguiente forma: En circuitos en donde la reactancia total es positiva el triángulo se representa así: El ángulo observado en el triángulo de impedancias corresponde también al ángulo de desfasaje entre la tensión y corriente y puede calcularse por trigonometría en caso de conocerse el valor de la impedancia. Circuitos resistivos en corriente alterna Impedancia de una resistencia La impedancia (Z) de una resistencia sólo tiene parte real, que es igual al valor de la resistencia (R). Esto es debido a que no hay reactancias (no hay inductores ni capacitores). En forma binómica la impedancia de una resistencia se representa como: En forma polar: Comportamiento de los elementos resistivos El comportamiento de las resistencias o de los circuitos resistivos puros en corriente alterna es bastante similar al comportamiento en corriente continua, pero teniendo en cuenta que la tensión de alimentación es variable con el tiempo según su propia función. La caída de tensión en la resistencia, la corriente, etc., son valores que varían en función del tiempo, tal como lo hace la señal y con la misma fase. Los elementos resistivos no provocan desfasajes entre la tensión y la corriente. En cada instante la corriente es directamente proporcional a la tensión en ese instante e inversamente proporcional a la resistencia. Tensión y corriente en forma fasorial En forma fasorial se ven los fasores de tensión y corriente sobre una misma línea (sin un ángulo de desfasaje). Estos fasores giran en sentido antihorario tantas veces como indica la frecuencia de la señal. Circuitos capacitivos en corriente alterna La impedancia (Z) de un capacitor o de un circuito capacitivo puro se representa por un número complejo con la reactancia capacitiva (XC) cambiada de signo en su parte imaginaria y sin parte real. La impedancia en forma binómica queda expresada como: En forma polar: La reactancia capacitiva (XC) es la resistencia que ofrece un capacitor al paso de la corriente alterna. Es función de la velocidad angular (por lo tanto, de la frecuencia) y de la capacidad. Se calcula con la siguiente expresión: XC = Reactancia capacitiva [Ω] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] C = Capacidad del capacitor [F] Podemos ver en la fórmula que a mayor frecuencia el capacitor presenta menos resistencia al paso de la corriente. Diferencia entre impedancia y reactancia Recordemos que la impedancia es la resistencia que ofrece cualquier elemento al paso de la corriente alterna, mientras que la reactancia capacitiva es la resistencia que ofrecen los capacitores al paso de esa corriente. Por lo tanto, en un elemento capacitivo puro la impedancia está formada únicamente por la reactancia capacitiva. Comportamiento de circuitos capacitivos puros En un capacitor o elemento capacitivo puro la corriente adelanta 90° a la tensión. Tensión y corriente en forma fasorial El desfasaje en forma fasorial lo podemos ver en el siguiente diagrama: Circuitos inductivos en corriente alterna La impedancia (Z) de un inductor o circuito inductivo puro se representa por un número complejo con la reactancia inductiva (XL) en su parte imaginaria y sin parte real. La impedancia en forma binómica se expresa como: En forma polar: La reactancia inductiva (XL) es la resistencia que presentan los inductores puros al paso de la corriente alterna. Es función del coeficiente de autoinducción (L) y de la velocidad angular. Es directamente proporcional a ambos valores y se calcula como: XL = Reactancia inductiva [Ω] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] L = Inductancia [H] Comportamiento de circuitos inductivos puros Tal como pasa con los capacitores, los inductores también almacenan energía eléctrica y producen un desfasaje entre la tensión y la corriente. En los elementos inductivos puros el desfasaje es de 90° en donde la corriente atrasa a la tensión. Tensión y corriente en forma fasorial En el siguiente diagrama fasorial se ve la corriente en atraso 90°. Impedancia equivalente Cuando tenemos un conjunto de elementos pasivos (resistencias, capacitores e inductores) podemos asociarlos de manera simple a través de su impedancia, obteniendo así una impedancia equivalente, tal como obtenemos una resistencia equivalente en los circuitos de corriente continua. Lo que tenemos que hacer para calcular la impedancia equivalente del circuito es obtener la impedancia de cada elemento (que es un número complejo) y luego realizar las asociaciones serie y paralelo tal como si fueran resistencias, pero realizando las operaciones matemáticas correspondientes con números complejos. Asociación en serie La impedancia total se calcula como la suma de las impedancias (de la misma forma que para resistencias en serie, pero utilizando números complejos). Asociación en paralelo La inversa de la impedancia total es igual a la suma de las inversas de las impedancias (de la misma forma que para resistencias en paralelo, pero utilizando números complejos). También podemos utilizar la fórmula que permite calcular resistencias en paralelo tomándolas de a dos. Circuitos RLC En las secciones anteriores vimos que es posible resolver circuitos de corriente alterna formados por resistencias, capacitores e inductores de manera sencilla utilizando fasores. Al utilizar esta representación podemos aplicar los mismos conceptos que se utilizan para resolver circuitos de corriente continua, tales como la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff, etc. pero utilizando números complejos. Ley de Ohm en corriente alterna Por ejemplo, vamos a calcular la corriente del siguiente circuito: Pasamos ambas expresiones a forma polar para realizar la división de manera más simple. Luego aplicamos la ley de Ohm y obtenemos la corriente: Leyes de Kirchhoff para corriente alterna Ley de nodos Ley de mallas Potencia en corriente alterna En corriente alterna existen desfasajes entre la tensión y la corriente debido a las capacidades e inductancias del circuito que crean campos eléctricos y magnéticos. La energía que almacenan temporalmente estos campos se devuelve al circuito (por ejemplo, cuando el capacitor se descarga o el campo magnético del inductor se autoinduce). Esto hace que la potencia total suministrada por la fuente no siempre sea la consumida por el circuito. Una parte de la potencia se utiliza para crear esos campos, pero no se consume. Sin embargo, la fuente debe proveerla para el funcionamiento del circuito. Potencia activa, reactiva y aparente Encontramos en este tipo de circuito tres valores distintos de potencia, denominados potencia activa, potencia reactiva y potencia aparente. Potencia activa (P) Es la potencia consumida en el circuito (por ejemplo, convertida en calor, energía mecánica, etc.). Se mide en watt. Potencia reactiva (Q) Es la potencia necesaria para crear los campos eléctricos y magnéticos. Es una potencia devuelta por el circuito, pero que está presente en el funcionamiento. Se mide en VAR (volt ampere reactivos), una unidad equivalente al watt. Potencia aparente (S) Es la suma (en forma vectorial) de las potencias activa y reactiva. Su valor depende del ángulo de desfasaje. Es la potencia total que debe entregar el generador. Se mide en VA (volt ampere), una unidad equivalente al watt. Triángulo de potencia Podemos representar a las tres potencias en un triángulo rectángulo en donde el cateto horizontal es la potencia activa, el cateto vertical es la potencia reactiva y la hipotenusa es la potencia aparente. El siguiente ejemplo es un triángulo de potencias para un circuito inductivo ya que la potencia reactiva es positiva. El siguiente ejemplo es un triángulo de potencias para un circuito inductivo con menor potencia reactiva que el ejemplo anterior. El siguiente triángulo corresponde a un circuito capacitivo ya que la potencia reactiva es negativa. Capacidad a partir de la potencia Es posible calcular la capacidad que debe tener un capacitor para que genere una determinada potencia reactiva. La expresión es la siguiente: C = Capacidad [F] VRMS = Tensión eficaz [V] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] Inductancia a partir de la potencia Para calcular la inductancia que genera una determinada potencia reactiva utilizamos la siguiente expresión: L = Inductancia [H] VRMS = Tensión eficaz [V] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] Factor de potencia Se denomina factor de potencia a la relación entre la potencia activa y la potencia aparente. Este valor nos indica cuánto de la potencia total entregada por la fuente es aprovechada por el circuito. Si la potencia activa es igual a la potencia aparente, quiere decir que no hay componentes reactivas y por lo tanto el factor de potencia es igual a 1. Por otro lado, un valor menor que 1 nos indica que la potencia entregada por la fuente no es aprovechada en su totalidad por el circuito. El factor de potencia se calcula como: Fp = Factor de potencia [sin unidad] P = Potencia activa [W] S = Potencia aparente [VA] Debido a que en corriente alterna las potencias se representan por un triángulo que tiene como base a la potencia activa y como hipotenusa a la potencia aparente, el factor de potencia también es igual al coseno del ángulo entre estos dos lados del triángulo (es decir igual al coseno del ángulo de desfasaje). Fp = Factor de potencia [sin unidad] Φ = Ángulo de desfasaje [grados o radianes] Corrección del factor de potencia En la sección anterior definimos al factor de potencia como una forma de medir el aprovechamiento de la potencia entregada por una fuente de corriente alterna. Un factor de potencia cercano a uno indicaría un máximo aprovechamiento de la fuente. Para que el factor de potencia se aproxime a uno, la potencia aparente debe ser casi igual a la potencia activa, es decir que debería reducirse la potencia reactiva y de esa forma también el ángulo de desfasaje. En la práctica no se busca el valor uno, ya que en caso de sobrecompensación podrían aparecer otros efectos no deseados y por lo tanto se realizan los cálculos para obtener valores tales como 0,9 o 0,95. Cómo mejorar el factor de potencia La potencia reactiva aparece debido a las cargas capacitivas y fundamentalmente a cargas inductivas (por ejemplo, motores). Como muchas veces no es posible reducir las cargas inductivas, lo que podemos hacer es compensarlas con cargas capacitivas, de tal forma de que la diferencia entre ambas reactancias proporcione menor potencia reactiva y por lo tanto un mejor factor de potencia. Recordemos que la potencia reactiva viene dada por la reactancia total, que se calcula como (XL-XC), es decir como la diferencia entre las reactancias inductiva y capacitiva. Por lo tanto, para reducir la reactancia total, si no podemos eliminar las reactancias inductivas, lo que debemos hacer es tratar de igualarlas, de tal forma que la diferencia sea cercana a cero. Ejemplo de corrección del factor de potencia Una instalación de 220 V y 60 Hz consume una potencia activa de 4,5 kW con un factor de potencia de 0,8 en atraso. Calcular el valor del capacitor que debería conectarse en paralelo con la misma para conseguir un factor de potencia de 0,9. Solución Lo primero que hacemos es calcular el valor del ángulo de desfasaje inicial (Φ 1) a partir del factor de potencia inicial (Fp1). Sabemos que el factor de potencia es igual al coseno del ángulo y por lo tanto el ángulo lo calculamos con la función inversa del coseno. El triángulo de potencia inicial lo podemos representar con la siguiente forma: Calculamos ahora el valor de la potencia reactiva inicial (cateto Q): El ejercicio nos dice que se busca un factor de potencia de 0,9, por lo tanto, calculamos el ángulo deseado. Calculamos la potencia reactiva para este nuevo factor de potencia. Recordemos que la potencia activa no se modifica, por lo tanto, para conseguir el nuevo factor de potencia lo que modificamos es la potencia reactiva. Para conseguir un factor de potencia de 0,9 necesitamos una potencia reactiva de 2,18 kVAR. Sin embargo, la potencia reactiva actual es de 3,38 kVAR. Calculamos la diferencia entre ambas potencias, es decir el número en el que deberíamos reducir la potencia reactiva actual. Para reducir la potencia reactiva en 1,2 kVAR utilizamos un capacitor que genere una potencia reactiva de sentido contrario a la inductiva de la instalación. El valor de la capacidad lo calculamos con la siguiente expresión: Calculamos primero la velocidad angular. Calculamos la capacidad: FEM inducida en una espira girando dentro de un campo Cuando una o varias espiras giran dentro de un campo magnético de forma que el flujo varíe junto con la variación del ángulo sobre el eje, se induce una fuerza electromotriz que puede calcularse como: E = Fuerza electromotriz inducida [V] N = Número de espiras [sin unidad] B = Campo magnético [T] A = Área de la espira [m2] ω = Velocidad angular = 2 π f [rad/s] t = Instante de tiempo [s] Debido a que la tensión inducida es de forma senoidal se deja t para poder reemplazarlo por un tiempo y obtener el valor instantáneo en ese momento. Este es el principio de funcionamiento de los generadores de corriente alterna. Los mismos están compuestos por una parte fija que llamada estator y otra móvil llamada rotor, que gira dentro del estator. El estator genera un campo magnético a través del cual giran espiras que se encuentran en el rotor sobre las que se induce la corriente. Ejemplo Un arrollamiento de 10 espiras de 10 x 20 cm gira dentro de un campo magnético de 1 tesla a 3000 RPM. Calcular la FEM inducida. Primero calculamos la velocidad angular. Para eso, lo que hay que hacer es pasar de RPM (revoluciones por minuto) a RPS (revoluciones por segundo), por lo tanto, dividimos las RPM por 60. La frecuencia será de 50 Hz, por lo tanto, la velocidad angular se calcula como: La superficie de cada espira se calcula como: Aplicamos la fórmula de fuerza electromotriz inducida: La fuerza electromotriz inducida se representa con la siguiente expresión: Resonancia Un circuito está en resonancia cuando las reactancias XL y XC se igualan a una misma frecuencia. Resonancia en serie Si se trata de un circuito RLC en serie, la impedancia total está dada por: Por lo tanto, con valores iguales de XL y XC se anula la parte reactiva siendo la impedancia total igual a la R. Dado que la potencia reactiva se calcula como: También ésta se anula y por lo tanto la potencia aparente es igual a la potencia activa. En este circuito no existe desfasaje entre corriente y tensión. En resonancia la corriente máxima se calcula como se indica a continuación: Resonancia en paralelo También existe la resonancia en paralelo en dónde la impedancia se hace máxima a la frecuencia de resonancia. Ejercicios de señal alterna Ejercicio 1 Dada la siguiente señal: Determinar: Amplitud Frecuencia Fase Velocidad angular Período Solución: Obtenemos la amplitud, la velocidad angular y la fase directamente de la expresión. Despejamos la frecuencia la de la fórmula de velocidad angular: El período lo calculamos como la inversa de la frecuencia: Ejercicio 2 Dada la siguiente señal: Determinar: Amplitud Frecuencia Fase Velocidad angular Período Solución: Obtenemos la amplitud, la velocidad angular y la fase directamente de la expresión. La frecuencia la despejamos de la fórmula de velocidad angular: Calculamos el período como la inversa de la frecuencia: Ejercicios de representación fasorial Ejercicio 1 Expresar en forma fasorial las siguientes tensiones y corrientes utilizando los valores máximos como módulo de cada fasor: Solución Ejercicio 2 Expresar con una función coseno las siguientes tensiones y corrientes: Solución Ejercicio 3 Representar las siguientes tensiones en un mismo diagrama fasorial e indicar el ángulo de desfasaje entre una y otra. Solución En primer lugar, expresamos las señales en forma fasorial. Recordemos que cuando el seno es negativo debemos sumarle 90°. El diagrama nos queda de la siguiente forma: El ángulo de desfasaje es de 140° Ejercicio 4 Representar las siguientes señales en un mismo diagrama fasorial e indicar el ángulo de desfasaje entre una y otra. Solución Expresamos las señales en forma fasorial. Al coseno negativo debemos sumarle 180° y al seno positivo debemos restarle 90°. El diagrama fasorial queda de la siguiente manera: El ángulo de desfasaje es de 30°. Ejercicios de impedancias de elementos circuitales Ejercicio 1 Obtener la impedancia de un capacitor de 2 uF funcionando con una señal de velocidad angular de 1000 rad/s. Solución Obtenemos primero la reactancia capacitiva: Al tratarse de un elemento capacitivo, la impedancia no tiene parte real y solo está formada por la reactancia capacitiva con signo negativo en su parte imaginaria. Ejercicio 2 Obtener la impedancia de un inductor de 100 mH a una frecuencia de 500 Hz. Solución Calculamos primero la velocidad angular: Calculamos la reactancia inductiva: La impedancia no tiene parte resistiva y únicamente está formada por la reactancia inductiva en su parte imaginaria. Ejercicios de impedancia equivalente Ejercicio 1 Hallar la impedancia equivalente del siguiente circuito serie sabiendo que funciona a una frecuencia de 200 Hz. Solución Reemplazamos los componentes por impedancias para luego calcular el valor de la impedancia total equivalente. Calculamos la velocidad angular: A continuación, calculamos el valor de cada impedancia. La impedancia Z 1, por ser resistiva pura, no tiene parte imaginaria y su parte real es igual al valor de la resistencia. Para calcular la impedancia Z2 primero hallamos la reactancia inductiva. La impedancia Z2, por ser inductiva pura, no tiene parte real y solamente está formada por la reactancia inductiva en su parte imaginaria. Por tratarse de una asociación en serie, la impedancia total es igual a la suma en forma compleja de las impedancias individuales. Ejercicio 2 Hallar la impedancia equivalente del siguiente circuito serie sabiendo que funciona a una frecuencia de 200 Hz. Solución Reemplazamos los componentes por impedancias para luego calcular el valor de la impedancia total equivalente. Hallamos la velocidad angular: A continuación, calculamos el valor de cada impedancia. La impedancia Z 1 no tiene parte imaginaria y su parte real es igual al valor de la resistencia. Para calcular la impedancia Z2 primero hallamos la reactancia inductiva. La impedancia Z2 no tiene parte real y solamente está formada por la reactancia inductiva en su parte imaginaria. Para calcular Z3 hallamos primero la reactancia capacitiva. La impedancia Z3 no tiene parte real y por ser capacitiva está formada por la reactancia cambiada de signo. Por tratarse de una asociación en serie, la impedancia total es igual a la suma en forma compleja de las impedancias individuales. Ejercicio 3 Hallar la impedancia equivalente del siguiente circuito sabiendo que la frecuencia a la cual funciona es de 60 Hz. Solución Para resolver este tipo de circuitos reemplazamos por impedancias a cada uno de los componentes y luego las asociamos para obtener la impedancia total. Calculamos primero la velocidad angular a partir de la frecuencia: Luego hallamos el valor de cada impedancia. La impedancia de la resistencia no tiene parte imaginaria y su parte real es igual al valor de la resistencia, por lo tanto, nos queda de la siguiente manera: Calculamos la reactancia del inductor: La impedancia del inductor (Z2) no tiene parte real y solo está formada por la reactancia inductiva, por lo tanto, nos queda: Calculamos la reactancia del capacitor: La impedancia del capacitor (Z3) no tiene parte real y solo está formada por la reactancia capacitiva con signo negativo. El circuito formado por impedancias nos queda de la siguiente forma: Ahora resolvemos la asociación tal como si se tratara de resistencias, con la diferencia de que las operaciones se realizan con números complejos. Calculamos la primera impedancia equivalente asociando en serie Z 1 con Z2. Debido a que están en serie, la impedancia total es la suma de los dos números en forma compleja. Nos queda el siguiente circuito equivalente: Calculamos la asociación en paralelo de Z12 con Z3. Cómo solo son dos impedancias podemos utilizar la fórmula simplificada. Debido a que nos quedó una sola impedancia, Z123 ya es la impedancia total. Ejercicio 4 Calcular la impedancia equivalente del siguiente circuito, sabiendo que su frecuencia de funcionamiento es de 60 Hz. Reemplazamos todos los componentes por impedancias. Calculamos la velocidad angular para luego hallar las reactancias: Calculamos la reactancia del capacitor: Calculamos Z1 que es la impedancia correspondiente al capacitor. La misma no tiene parte real y solo está formada por la reactancia capacitiva con signo negativo. Calculamos la reactancia del inductor: Calculamos Z2 que es la impedancia del inductor. Como solo está formada por la reactancia inductiva, nos queda: Calculamos la impedancia de la resistencia. No tiene parte imaginaria y su valor es igual al de la resistencia. El circuito de impedancias nos queda tal como se indica a continuación. Planteamos la asociación en serie de las impedancias Z 2 y Z3. Nos queda el siguiente circuito: Planteamos la asociación en paralelo de Z1 con Z23. Utilizamos la fórmula simplificada ya que se trata de dos impedancias. Como nos queda una sola impedancia equivalente, ésta ya es la impedancia total. Ejercicios de circuitos RLC Ejercicio 1 Hallar la corriente total que circula por el siguiente circuito. Expresarla con una función coseno. Solución Para resolver este tipo de circuitos, primero reemplazamos cada componente por su impedancia y calculamos la impedancia total. Luego aplicamos la ley de Ohm, tal como si se tratase de un ejercicio de corriente continua, pero realizando los cálculos con números complejos. Reemplazando por impedancias nos queda un circuito con la siguiente forma: Obtenemos primero la velocidad angular de la fuente a partir de su expresión de tensión. La impedancia de la resistencia es igual a su valor y no tiene parte imaginaria. Para calcular Z2 hallamos primero la reactancia inductiva. Z2 no tiene parte real y solo está formada por la reactancia inductiva en su parte imaginaria. Calculamos Z12 como la asociación en serie de Z1 y Z2. Debido a que no hay otras impedancias, ésta ya es la impedancia total. Convertimos la tensión de la fuente a forma fasorial. Como luego debemos obtener una expresión en función del tiempo, utilizamos directamente el valor máximo de tensión como módulo del fasor. Debido a que no hay ángulo de fase, el ángulo del fasor es 0°. Pasamos la impedancia a forma polar. Planteamos la ley de Ohm. Escribimos la corriente con una función coseno a partir del fasor de corriente hallado. Ejercicio 2 Hallar la corriente que circula y expresarla con una función coseno. Solución Reemplazamos todos los componentes por impedancias. Obtenemos primero la velocidad angular de la fuente a partir de su expresión de tensión. La impedancia de la resistencia es igual a su valor y no tiene parte imaginaria. Para calcular Z2 hallamos primero la reactancia capacitiva. Z2 no tiene parte real y solo está formada por la reactancia capacitiva cambiada de signo en su parte imaginaria. Calculamos Z12 como la asociación en serie de Z1 y Z2. Debido a que no hay otras impedancias, ésta ya es la impedancia total. Convertimos la tensión de la fuente a forma fasorial. Utilizamos el valor máximo de tensión como módulo del fasor. Convertimos la impedancia a forma polar. Planteamos la ley de Ohm para corriente alterna. Escribimos la corriente con una función coseno a partir del fasor de corriente hallado. Ejercicio 3 Hallar la expresión de corriente en función del tiempo para el siguiente circuito. Solución Reemplazamos cada uno de los componentes por una impedancia equivalente. Obtenemos la velocidad angular desde la expresión de tensión. Obtenemos la impedancia Z1. Tiene solamente parte real ya que se trata de una resistencia. Calculamos la reactancia inductiva y luego la impedancia Z2, que es igual al valor de la reactancia en la parte imaginaria. Calculamos la reactancia capacitiva y luego la impedancia Z 3, que es igual al valor de la reactancia en la parte imaginaria y con signo negativo. Calculamos la impedancia total. Como se trata de una asociación en serie, sumamos los valores de cada una de las impedancias en forma compleja. Transformamos la impedancia y la tensión de la fuente a expresiones fasoriales. En el caso de la tensión utilizamos el valor máximo ya que luego debemos expresar nuevamente la señal en función del tiempo. Aplicamos la ley de Ohm para corriente alterna y obtenemos la corriente en forma fasorial. Convertimos el resultado a una expresión en función del tiempo. Ejercicios de factor de potencia Ejercicio 1 Una instalación consume una potencia activa de 5,2 kW y una potencia reactiva de 1,1 kVAR en atraso. Calcular el ángulo de desfasaje y el factor de potencia. Solución Sabemos que la corriente se encuentra en atraso, por lo tanto, la potencia reactiva es del tipo inductiva. El triángulo de potencias es similar al siguiente: Calculamos primero la potencia aparente (S). Debido a que se trata de la hipotenusa de un triángulo aplicamos el teorema de Pitágoras. El factor de potencia (que es el coseno del ángulo) lo calculamos como la potencia activa sobre la potencia aparente. El ángulo lo calculamos a través de la función inversa del coseno. Ejercicio 2 Una instalación consume 3,5 kW de potencia activa con un factor de potencia de 0,8. Calcular la potencia reactiva y la potencia aparente. Solución Sabemos que el factor de potencia es igual al coseno del ángulo Φ, por lo tanto podemos hallar el ángulo a través de la función inversa del coseno. El triángulo de potencias nos queda con la siguiente forma: Tanto la potencia reactiva como la potencia aparente la podemos calcular por trigonometría. Para la potencia reactiva plantemos la siguiente relación: Para la potencia aparente planteamos la siguiente relación: Ejercicios de corrección del factor de potencia Ejercicio 1 Una instalación de 220 voltios y 60 Hz consume una potencia activa de 5,2 kW con factor de potencia de 0,8 y corriente en atraso. Calcular la capacidad necesaria a conectar en paralelo para obtener un factor de potencia de 0,95. Solución Calculamos primero ángulo de desfasaje inicial (Φ 1) a partir del factor de potencia dado (Fp1). Sabemos que el factor de potencia es igual al coseno del ángulo y por lo tanto el ángulo lo calculamos con la función inversa del coseno. El triángulo de potencia nos queda con la siguiente forma: Calculamos por trigonometría el valor de la potencia reactiva inicial. Buscamos un factor de potencia de 0,95, por lo tanto, calculamos el ángulo deseado para ese nuevo factor de potencia. Calculamos la potencia reactiva total necesaria para obtener el ángulo hallado con la potencia activa dada. Calculamos la diferencia entre la potencia reactiva de la instalación y la potencia reactiva necesaria para obtener el factor de potencia solicitado. La diferencia entre ambas potencias es el valor de potencia reactiva que debe disminuirse. Debido a que la potencia reactiva de la instalación es del tipo inductiva (ya que se indica que la corriente está atrasada), para reducirla se debe generar una potencia reactiva capacitiva (que es de signo contrario). Para calcular la capacidad utilizamos la siguiente expresión. Calculamos la velocidad angular. Calculamos la capacidad requerida para generar la diferencia de potencia calculada: Ejercicio 2 Una instalación de 220 v y 60 Hz consume una potencia activa de 2500 W con un factor de potencia de 0,75 y corriente en atraso. Calcular la capacidad necesaria a conectar en paralelo para llevar el factor de potencia a 0,9. Solución A partir del factor de potencia dado (Fp1) calculamos el ángulo de desfasaje inicial (Φ1) a través de la función inversa del coseno. El triángulo de potencia nos queda con la siguiente forma: Calculamos el valor de la potencia reactiva inicial (cateto Q) utilizando la función tangente. El factor de potencia buscado es de 0,9, por lo tanto, calculamos el ángulo deseado para ese nuevo factor de potencia. Calculamos la potencia reactiva necesaria para obtener el ángulo hallado. Calculamos la diferencia entre la potencia reactiva de la instalación y la potencia reactiva necesaria para obtener el factor de potencia solicitado. Sabemos que debemos disminuir la potencia reactiva en el valor de la diferencia hallada. Debido a que la instalación tiene una potencia reactiva inductiva (ya que la corriente está en atraso), buscamos un valor de capacidad que genere una potencia reactiva por esa diferencia. Como la potencia reactiva capacitiva es de signo contrario al de la potencia reactiva inductiva, podemos reducir ese valor. Para calcular la capacidad utilizadnos la siguiente expresión: Calculamos la velocidad angular: Calculamos la capacidad:
