Cinemática de una partícula
1. Introducción.
2. El movimiento.
a. Ecuación del movimiento.
b. Trayectoria.
c. La ecuación intrínseca del movimiento.
3. El vector Velocidad.
4. El vector Aceleración.
a. Componentes intrínsecas del vector aceleración.
5. Tipos de movimientos más representativos.
a. Movimientos rectilíneos.
b. Movimientos curvilíneos.
6. Composición de movimientos.
7. Transformaciones de Galileo.
1
1. Introducción
La CINEMÁTICA es la parte de la FÍSICA que se ocupa del estudio del
movimiento de los cuerpos sin atender a las causas que lo produce.
Un análisis cinemático del movimiento es un estudio parcial del movimiento,
pues supone considerar sólo sus características o propiedades.
En este tema estudiaremos la Cinemática
de la Partícula o Punto Material.
Una PARTÍCULA o PUNTO MATERIAL es un ente físico dotado de masa
pero sin dimensiones.
La aproximación del PUNTO MATERIAL es sólo válida cuando las
dimensiones del cuerpo (móvil) son despreciables frente a las del
movimiento general que estamos considerando.
2
2. El movimiento
Para dar la posición de un punto lo primero que necesitamos es determinar desde
donde lo estamos observando. Es decir, necesitamos establecer un sistema de
referencia (S.R.).
• Coordenadas del punto (x, y, z)
Z
Posición
• Vector de posición, r = OP
P (x, y, z)
k
X
r
i
r = x i +y j +z k
z
Y
O j
x
Si las coordenadas o el vector de posición
NO CAMBIAN en el transcurso del tiempo,
decimos que el punto está en REPOSO.
y
Si las coordenadas o el vector de posición CAMBIAN en el transcurso del tiempo
decimos que el punto está en MOVIMIENTO respecto a ese S.R.
3
2.a. La ecuación del movimiento.
La ecuación del movimiento es una función matemática que establece como
varía el vector de posición del móvil con el tiempo.
r = r (t )
Hay, por tanto, dos formas de expresar la ecuación del movimiento:
r (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k
O bien:
x = x (t )
y = y (t )
z = z (t )
Ecuaciones paramétricas del movimiento
Ejemplo. La ecuación del movimiento de un móvil vendrá dada por una ecuación
del tipo:
r (t ) = 2t i + ( 4t − 1) j + 2 k
O bien:
x = 2t
y = 4t − 1
z = 2
4
2.b. La trayectoria del movimiento.
Z
1
2
3
4
5
La trayectoria del movimiento es el lugar
geométrico de los puntos que ocupa el extremo
del vector de posición en el transcurso del
tiempo.
6
Trayectoria
Y
O
¿Es posible conocer la ecuación de la
trayectoria que describe un móvil?
Supongamos, por ejemplo, el caso del movimiento anterior:
X
Y
x = 2t
x
y = 4t − 1 de donde t =
2
z = 2
y, por tanto
y =4
x
2
Trayectoria
del móvil
− 1 = 2x − 1
Obsérvese que el movimiento tiene lugar en
el plano z = 2, y la ecuación de la trayectoria
resulta ser una línea recta de pendiente 2 y
ordenada en el origen -1.
Plano z = 2
O
Z
X
5
2.c. La ecuación intrínseca del movimiento.
Alternativamente, puede describirse el movimiento dando la posición del móvil medida
sobre la trayectoria, s, con respecto a un origen de referencia tomado sobre la propia
trayectoria del móvil, O´.
Z
En tal caso puede expresarse el movimiento del
móvil mediante una ecuación del tipo:
s
O´
s = s (t )
r1
que expresa la posición sobre la trayectoria en
función del tiempo y, que se conoce como la
ecuación intrínseca del movimiento.
r2
Y
O
¿Es posible establecer alguna relación entre
la ecuación
intrínseca del movimiento y la ecuación r = r (t ) ?
X
No, a menos que tomemos ambos orígenes de referencia, O y O´, en el mismo punto
sobre la trayectoria y, además, dicha trayectoria
sea una línea recta. En tal caso, s
coincide con el módulo del vector de posición r .
O´
O
t1=0
∆r
∆s
t2=t
X
En este caso, es evidente que:
∆ r = ∆s i
6
3. El vector velocidad.
Z
∆r
1
2
∆
r
El vector
, que determina el cambio de la
r2
r1
Y
O
X
Consideremos un móvil que, a través de una
determinada trayectoria (línea azul) pasa de
una
posición 1, dada por
el vector de posición r1 , a
otra 2, dada por r2 , en un intervalo de tiempo ∆t.
posición del móvil en el intervalo de tiempo ∆t,
se llama Vector Desplazamiento y viene dado
por:
∆r = r2 − r1
∆r
∆x ∆y ∆z vm =
=
i +
j +
k
Velocidad Media:
∆t
∆t
∆t
∆t
∆r dr
=
Velocidad Instantánea: v = lim
∆t →0 ∆t
dt
dr dx dy dz v =
=
i +
j +
k = vx i + v y j + vz k
dt
dt
dt
dt
Cuyo módulo, vendrá dado por:
v = v x2 + v y2 + vz2
7
¿Qué representa y cómo es el vector velocidad de un móvil? (1)
Consideremos un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t → 0), es decir, un
intervalo infinitesimal de tiempo, que expresamos como dt.
Z
De acuerdo con la definición de velocidad
instantánea, tenemos que:
ds
dr
v =
dt
r1
dr
r2
O
Y
Ahora también representamos en la figura
el cambio de posición medido sobre la
trayectoria que representamos por ds.
Según la regla de la cadena, tenemos que:
X
ds
dt
dr
ds
v =
dr ds dr
=
dt dt ds
Representa el cambio de posición, medido sobre la trayectoria,
en el transcurso del tiempo, y se conoce como rapidez (v) del
móvil.
Representa un vector unitario, τ , tangente a la trayectoria en
cada punto y sentido el del movimiento. Obsérvese
que en el
8
límite (cuando ∆t → 0) ds es el módulo de dr.
¿Qué representa y cómo es el vector velocidad de un móvil? (2)
Resulta, por tanto, que el vector velocidad pude expresarse mediante el
producto de dos términos
v =v τ
Z
v1
v2
r1
v es el módulo de la velocidad y se denomina
rapidez del móvil. Representa el cambio de
la posición medido sobre la trayectoria en el
transcurso del tiempo.
ds
dr
r2
Y
O
v1
X
El vector unitario τ es tangente a la
trayectoria y su sentido es el del
movimiento. Determina la dirección y
sentido del vector velocidad.
v2
Obsérvese que la rapidez v, que es el módulo del
vector velocidad, puede determinarse mediante
la expresión:
v3
v = v x2 + v y2 + vz2
trayectoria
9
4. El vector aceleración.
La aceleración es la magnitud física que nos indica cómo cambia la velocidad en el
transcurso del tiempo. Considerando la situación que venimos analizando
el cambio que
experimenta el vector velocidad en el intervalo de tiempo ∆t es ∆v .
Z
v1
ds
v2
r1
v1
dr
v2
r2
Y
O
∆v
Se emplean dos definiciones:
∆v x ∆v y ∆vz ∆v
Aceleración Media:
=
am =
i +
j +
k
∆t
∆t
∆t
∆t
∆v dv
=
Aceleración Instantánea: a = lim
∆t →0 ∆t
dt
dv dv x dv y dv z a =
=
i +
j +
k = ax i + ay j + az k
X
dt
dt
dt
dt
Cuyo módulo, vendrá dado por:
a = ax2 + ay2 + az2
10
4a. Componentes intrínsecas del vector aceleración.
De acuerdo con la definición de aceleración tenemos que:
a =
dv
ya
que
v
=
v
τ
{
}
dt
d (v τ ) dv dτ
a =
=
τ +v
dt
dt
dt
⇒
Es decir, la aceleración puede considerarse como
la contribución de dos componentes:
• La aceleración tangencial, at , que es tangente a
la trayectoria en cada punto,mide el cambio de
la rapidez (módulo de la velocidad) con el
tiempo.
• La aceleración normal, an , perpendicular en cada
punto a la trayectoria y que mide el cambio de
dirección que experimenta la velocidad con el
tiempo.
at
Puede demostrarse que:
dτ v 2 an = v
= n
dt R
a = at + an
an
dirección
tangente
at
an
a
dirección
normal
Donde R y n son el radio de curvatura y un vector unitario
normal a la trayectoria en cada punto, respectivamente.
a = at2 + an2
11
4a. Componentes intrínsecas del vector aceleración. Otra forma
Consideremos, por ejemplo, un móvil que describe una trayectoria circular de forma que
en un intervalo de tiempo, ∆t, su velocidad cambia de v1 a v2, como indica la figura.
v1
∆vt
∆vn
v2
Si elegimos un sistema de referencia
ligado a la propia trayectoria y
constituido por dos ejes, uno tangente y
otro perpendicular a dicha trayectoria en
cada punto (Sistema de Referencia
Intrínseco) y descomponemos el cambio
del vector velocidad según esos ejes,
tenemos que:
∆v = ∆vt + ∆vn
∆v
v2
De acuerdo con la definición de aceleración,
tenemos que:
∆v
∆vt + ∆vn
a = lim
= lim
=
∆t →0 ∆t
∆t →0
∆t
∆vt
∆vn
= lim
+ lim
= at + an
∆t →0 ∆t
∆t →0 ∆t
12
Ejemplo 1.
Una partícula se mueve en el plano XY de tal manera que las componentes de su velocidad
vienen dadas por:
vx = 4 t 3 + 4 t
v y = 4 t
Si en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición (1, 2),
determinar la ecuación de la trayectoria del movimiento.
Para obtener la ecuación de la trayectoria del móvil es necesario conocer la ecuación del
movimiento. Por tanto:
dx
t4
t2
3
3
vx =
⇒ dx = vx dt = ( 4 t + 4 t ) dt ⇒ ∫ dx = ∫ ( 4 t + 4 t ) dt ⇒ x = 4 + 4 + Cx
dt
4
2
dy
t2
vy =
⇒ dy = v y dt = 4 t dt ⇒ ∫ dy = ∫ 4 t dt ⇒ y = 4 + C y
dt
2
Donde Cx y Cy son dos constantes de integración. Para evaluar estas constantes debemos
tener en cuenta que en el instante inicial la partícula se encuentra el la posición (1, 2).
1 = 04 + 2 ⋅ 02 + C x ⇒ C x = 1
2 = 2 ⋅ 02 + C y ⇒ C y = 2
x = t 4 + 2 t 2 + 1
Por tanto:
y = 2t2 + 2
y−2
y−2
y−2
t2 =
⇒ x=
+
+1
2
2
2
2
2
Eliminando t, se obtiene
y=2 x
13
5. Tipos de movimientos más representativos.
En función de la componente tangencial de la aceleración.
Si at = 0 ⇒ υ = cte, movimiento uniforme (MU)
at > 0, movimiento uniformemente acelerado (MUA)
Si at = cte ≠ 0 ⇒
at < 0, movimiento uniformemente desacelerado (MUD)
Si at ≠ cte ⇒ movimiento variado o no uniforme (MV ó MNU)
En función de la componente normal de la aceleración.
Si R = ∞
( an = 0 )
⇒ movimiento rectilíneo (MR)
Si R = cte
⇒ movimiento circular (MC)
Si R ≠ cte
⇒ movimiento curvilíneo
14
5a. Movimientos rectilíneos.
Se caracterizan porque: R = ∞
⇒
v2
an =
R
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):
Se caracteriza porque:
at = 0
⇒
an = 0
⇒
dv
=0
dt
⇒ Trayectoria rectilínea
⇒ v = cte
Si hacemos coincidir la trayectoria con el eje x, la ecuación del movimiento es: r = x i
dx
v =
dt
⇒
dx = v dt
⇒
x
t
0
0
∫x dx = ∫ v dt
⇒
x = x0 +v t
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA):
Se caracteriza porque: at = cte
at =
dx
v =
dt
⇒
dv
dt
⇒
dv = at dt
dx = v dt
⇒
y como an = 0
⇒
x
∫x
0
v
∫v
0
⇒
t
dv = ∫ at dt
0
dx = ∫ (v 0 + at t ) dt
t
0
a = at
⇒ v = v 0 + at t
⇒
x = x0 +v0 t +
1
at t 2
2
15
5b. Movimientos curvilíneos.
Se caracterizan, en general, porque an ≠ 0, o en otras palabras, el radio de curvatura
de la trayectoria es finito.
R = cte
Movimientos Circulares:
• Magnitudes angulares
Z
ω
Desplazamiento angular:
α
θ=
s
R
[θ ] = 1
Velocidad angular:
R
ϕ
θ
dθ ω=
, ω = ωk
dt
s
[ω ] = t −1
Aceleración angular:
r
dω dω d 2θ α=
,α=
k= 2 k
dt
dt
dt
Y
[α ] = t −2
X
16
Relaciones entre magnitudes lineales y angulares.
a = (α × r ) + (ω ×v ) = at + an
v = ω ×r
at
Z
an
MCU at = 0
ω
α
mov. periódico
R
θ
ϕ
s
θ = θ0 + ω t
MCUA at = cte
r
Y
X
α = 0 ω = 2π / T = cte
v = ω ×r
Periodo → T
⇒
1
Frecuencia → f = T
α = cte
ω = ω0 + α t
1
2
θ = θ 0 + ω0 t + α t 2
17
Ejemplo 2.
La rapidez de una partícula que describe una trayectoria rectilínea viene dada por:
v = 8 − 4t
(S.I.)
Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula se encuentra en el origen de coordenadas,
determinar: a) la ecuación de la posición en función del tiempo, b) el espacio recorrido en los seis
primeros segundos, c) la velocidad media en dicho intervalo de tiempo.
a) De acuerdo con la definición de la rapidez, v, tenemos que:
v =
dx
dt
⇒
dx = (8 − 4 t ) dt
⇒
∫
x
0
dx = ∫ (8 − 4 t ) dt
t
0
⇒
x = 8 t − 2 t 2 ( S.I. )
x (m)
b) Para determinar el espacio recorrido por el móvil es necesario analizar el movimiento, pues es
posible, como ocurre en este caso, que se produzca un cambio en el sentido del movimiento y, en
consecuencia, el espacio recorrido NO coincide con la posición en este instante.
De acuerdo con la gráfica, el espacio recorrido por
el móvil será:
(2, 8)
10
8 + 8 + 24 = 40 m
5
0
0
-5
1
2
3
4
5
t (s)
6
c) Haciendo uso de la definición de velocidad media:
-10
-15
-20
-25
vm =
∆x x − x 0 −24 − 0
=
=
= − 4 m/s
∆t
t − t0
6−0
18
6. Composición de movimientos
Cuando un móvil describe un movimiento que puede considerarse el resultado de dos movimientos
simultáneos e independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente los
movimientos componentes.
Tiro horizontal: Es el típico movimiento que describe un objeto que se lanza horizontalmente con
una determinada velocidad. En este caso el móvil está sometido a un movimiento rectilíneo y
uniforme y otro vertical y uniformemente acelerado, debido a la acción del campo gravitatorio.
y
v0
g
vx = v0
vy
h = y0
Para escribir las ecuaciones del movimiento tomamos, en
primer lugar, un sistema de referencia apropiado y, a
continuación, planteamos la ecuación correspondiente a
cada eje como si no existiera la contribución del otro. Es
decir:
Eje x ( MRU )
v
Eje y ( MRUA)
⇒
⇒
1
y = h − g t 2
2
x = v0 t
dx
= v0
2
2
2
2
dt
⇒
v
=
v
+
v
=
v
+
−
g
t
( )
x
y
0
dy
= −g t
vy =
dt
vx =
O
x
Es necesario destacar que el criterio de signo de las magnitudes vectoriales debe ser coherente con el
sistema de referencia elegido. Por ejemplo, la aceleración de la gravedad es negativa en la ecuación del
eje y porque tiene sentido contrario al de dicho eje en nuestro sistema de referencia. Por el contrario
la velocidad inicial v0 tiene un valor positivo ya que tiene el sentido de las x positivas.
19
Ejemplo 3.
Se dispara un proyectil desde la cima de una montaña que se encuentra a 200 m por encima de una
extensa llanura. La rapidez inicial del proyectil es de 60 m/s y el disparo se realiza formando un
ángulo de 60º sobre la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, determinar donde caerá el
proyectil sobre la llanura tomando como referencia la vertical del punto donde se efectuó el disparo.
Elijamos, en primer lugar, un sistema de referencia
apropiado. En nuestro caso una opción aceptable es situar
el origen de coordenadas como se indica en la figura.
Y
v0 y
A continuación planteamos las ecuaciones del movimiento,
de acuerdo con nuestro sistema de referencia.
x = v0 cosθ ⋅ t
1 2
y = y0 + v0 senθ ⋅ t − g t
2
v0x
Sustituyendo valores tenemos que:
x = 60cos 60º t
Alcance (xmax)
O
X
1
y = 200 + 60sen 60º t − 10 t 2
2
¿Qué condición podemos establecer para determinar el alcance del tiro? Es claro que cuando el
proyectil choque contra el suelo su coordenada y valdrá 0. Por tanto:
0 = 200 + 51,96 t − 5 t 2
Ecuación de segundo grado y, en consecuencia, con dos soluciones:
t1 = 13,381 s
Sustituyendo el único valor con sentido físico en la ecuación del eje x:
t2 = −2,989 s
20
xmax = 60 cos 60º 13,381 = 401,43 m
7. Transformaciones de Galileo.
Consideremos un observador O´que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme y rapidez
v0 con respecto a otro observador O que se encuentra en reposo, como indica la figura.
Z´
Z
P
r
O
X
OO´
O´
X´
r´
v0
Las coordenadas de un punto P para uno u otro
observador (sistema de referencia) son:
x = x´
Transformaciones de Galileo
y = y ´+v 0 t
z = z ´
Y o Y´
¿Qué velocidad mediría cada observador?
Ya que:
r = OO´+ r ´
Tendremos:
v
es la velocidad de P respecto a O
dr
dr ´
=
+
⇒ v = v 0 + v ´ donde v ´ es la velocidad de P respecto a O´
dt
dt
dt
v es la velocidad de O´respecto a O
0
Igualmente, para la aceleración:
Es decir, la aceleración de la partícula P es la misma
dv dv 0 dv ´
=
+
⇒ a = a´
para los dos observadores, y sería la misma para
dt dt
dt
cualquier otro que se mueva con respecto a estos con
0
un MRU → SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES.
d (OO´)
21
