TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLAC

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZACAPOAXTLA
∞
ℒ {()} = ∫  − ()
0
() = ℒ −1 {()}
ECUACIONES DIFERENCIALES
ANGEL VERGARA BETANCOURT
INGENIERÍA MECATRÓNICA
TRANSFORMADA
CUARTO “A”
DIRECTA E INVERSA
DE LAPLACE
EDUARDO SALAZAR HIDALGO
VIERNES 30 DE MAYO 2014
INDICE
1.
RESUMEN .................................................................................................................................... 2
2.
OBJETIVO GENERAL ..................................................................................................................... 2
3.
OBJETIVOS PARTICULARES .......................................................................................................... 2
4.
MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR ................................................................................................. 3
5.
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 3
6.
MODELO TEÓRICO O MATEMÁTICO .......................................................................................... 3
7.
METODOLOGÍA............................................................................................................................ 4
8.
PROCEDIMIENTO ......................................................................................................................... 4
9.
RESULTADOS Y DISCUSION DE RESULTADOS .............................................................................. 4
9.1.
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN .............................................................................................. 4
9.1.1.
TRANSFORMADA DE LAPLACE MEDIANTE USO DE LA DEFINICIÓN ............................ 5
9.1.2.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS ............................................. 7
9.1.3.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DESCRITAS MEDIANTE UNA GRÁFICA
O FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE TRAMOS .......................................................................... 9
9.1.4.
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS ............................ 11
9.1.5.
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE, USO DE FRACCIONES PARCIALES.............. 12
9.2.
SIMULACIÓN POR COMPUTADORA .................................................................................. 16
9.2.1.
TRANSFORMADA DE LAPLACE................................................................................... 16
9.2.2.
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.................................................................... 18
9.3.
ACTIVIDAD PRÁCTICA ........................................................................................................ 21
9.3.1.
ECUACIONES NO HOMOGENEAS MÉTODO DE SUPERPOCISIÓN .............................. 21
9.3.2.
TRANSFORMADA DE LAPLACE................................................................................... 22
9.3.3.
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.................................................................... 23
10.
CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 24
11.
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 24
12.
APENDICE .............................................................................................................................. 24
12.1.
TRANSFORMADAS ELEMENTALES DE LAPLACE ............................................................. 24
1
1. RESUMEN
La Transformada de Laplace (TL) así como la Transformada Inversa de Laplace
(TIL) fueron dos grandes aportes a las matemáticas hechos por el matemático y
astrónomo Francés Pierre Simon Marquis de Laplace. Dichas transformadas nos
permiten resolver ecuaciones diferenciales muy complejas de forma muy práctica.
La idea principal radica en transformar la función con dominio de t (tiempo) a una
función con dominio s (TL) de esta forma se pueden realizar las operaciones
correspondientes para volver a transformar del dominio de s al dominio de t (TIL),
El contenido de esta actividad pretende dar la bases teóricas que permitan conocer
las TL y TIL, de esta forma se resolverán ejercicios para comprender mejor el tema
así como simulación de TL Y TIL en el software MATLAB.
En primer lugar se muestra teoría y tres ejercicios resueltos sobre los temas de:
i. Transformada de Laplace mediante uso de la definición.
ii. Transformada de Laplace de funciones básicas.
iii. Transformada de Laplace de funciones descritas mediante una gráfica o
funciones definidas mediante tramos.
iv. Transformada de inversa Laplace de funciones básicas.
v. Transformada inversa de Laplace mediante uso de fracciones parciales.
A continuación se hace una descripción paso a paso de cómo resolver TL y TIL en
el software MATLAB de la misma forma aparecen algunos ejercicios resueltos en
dicho programa. Finalmente se discuten las conclusiones de lo aprendido sobre el
tema.
2. OBJETIVO GENERAL
Se pretende recabar la información básica sobre TL y TIL, conocer los métodos que
existen para llevar a cabo su resolución y de esta forma resolver los ejercicios
propuestos con el fin de obtener la habilidad suficiente, pues más adelante dichas
expresiones matemáticas serán aplicadas a la vida cotidiana más específicamente
en la ingeniería.
3. OBJETIVOS PARTICULARES
Como se sabe todo proceso conlleva una serie de pasos ordenados que nos
permiten lograr un fin, objetivo o meta. A continuación se presentan los pasos que
se siguieron que nos permitieron llevar a cabo esta actividad.
 Revisión de fuentes bibliográficas (libros, internet).
 Resolución de los ejercicios propuestos.
 Elaboración de una síntesis y presentación de ejemplos de cada uno de los
subtemas.
 Simulación de TL y TIL en el software MATLAB.
2
 Análisis y discusión de los resultados obtenidos.
4. MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR
En esta sección se enlistan las herramientas utilizadas durante la actividad.





Laptop.
Scanner.
Útiles Escolares (Libreta, Lapiceros, Lápices, Goma, Sacapuntas).
Bibliografía (Libros, Internet).
Software Especializado (MATLAB, Microsoft Word, Paint).
5. INTRODUCCIÓN
Durante el siglo XIX estuvo de moda para científicos e ingenieros, encabezados y
motivados por el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside (1850-1925) usar
métodos de operador para resolver varios problemas involucrando ecuaciones
diferenciales. En estos métodos los operadores fueron tratados como símbolos
algebraicos y las ecuaciones resultantes fueron manipuladas de acuerdo a las
reglas del álgebra. Admirablemente, los métodos condujeron a respuestas
correctas. Estos éxitos motivaron a científicos e ingenieros a usar los métodos aún
más. Algunos matemáticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebraicas sí
conducían a resultados correctos razonaron que debería haber alguna manera de
colocar los procedimientos en una base matemática rigurosa. La investigación hacia
este objetivo condujo al poderoso método de las transformadas de Laplace,
(Spiegel, 1983). Llamada así en honor al matemático y astrónomo francés PierreSimon Laplace (1749-1827) considerado como uno de los más grandes científicos
de la historia, a veces referido como el Newton de Francia.
6. MODELO TEÓRICO O MATEMÁTICO
En sí comprender el concepto de Transformadas de Laplace no es muy complicado
pero, es muy importante conocer de dónde surgen estas teorías para tener un
panorama más claro.
Sea () una función dada que esté definida para toda  ≥ 0. Se multiplica () por
 − y se integra con respecto a  de cero a infinito. Entonces, si la integral resultante
existe, será una función de :
∞
() = ∫  − ()
0
3
Esta función () de la variable  se llama transformada de Laplace de la función
original () y se denota por ℒ{()}. Por tanto.
∞
 () = ℒ {()} = ∫  − ()
0
Además, la función original () se llama transformada inversa o inversa de () y
se denota por ℒ −1 {()} es decir:
() = ℒ −1 { ()}
7. METODOLOGÍA
Como primer paso se buscó información sobre Transformadas de Laplace
consultando bibliografía confiable de esta forma se conocieron las bases así como
el origen de dichas teorías, después se resolvieron los ejercicios propuestos
extraídos del libro (Zill & Cullen, 2009) de esta manera se obtuvo la habilidad para
su resolución. A continuación si hizo la simulación de algunos ejercicios en el
software MATLAB para el cual se elaboró un manual que explica paso a paso como
utilizar dicho software para efectuar las transformadas de Laplace, finalmente se
escanearon las hojas de los ejercicios resueltos en clase y de igual forma se
discutieron los resultados obtenidos.
8. PROCEDIMIENTO
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
Revisión bibliográfica.
Resolución de ejercicios propuestos.
Visita de videos en You Tube.
Elaboración de síntesis.
Simulación en MATLAB.
Elaboración de manual para Transformadas de Laplace.
Reunión de los elementos para la elaboración de la Actividad 3.
Conclusiones.
9. RESULTADOS Y DISCUSION DE RESULTADOS
9.1.
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
4
9.1.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE MEDIANTE USO DE LA DEFINICIÓN
∞
Si () está definida cuando  ≥ 0, la integral impropia ∫0 (, )() se define
como un límite:
∞

∫  (, )() = lim ∫  (, )()
→∞ 0
0
La sustitución (, ) =  − proporciona una transformación integral muy
importante.
Entonces se obtiene:
∞
ℒ {()} = ∫  − ()
0
EJEMPLOS:
1. () = 
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
∞
0
ℒ{1} = ∫ 1 − 
0
∞
ℒ{1} = ∫  − 
0
− − ∞
ℒ{1} =
|

0
− −(∞)
− −(0)
ℒ{1} = [
]−[
]


1
ℒ{1} = (0) − (− (1))

ℒ{1} =
1

5
2. () = 
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
ℒ{} =
0
∞
∫0  − 
=
 =  −
 = 
=−
 −

 −
 −
ℒ{} = −
− ∫(−
) 


 −  − ∞
ℒ{} = −
− 2 |


0
 −(∞)  −(∞)
 −(0)  −(0)
ℒ{} = [−(∞)
−
− 2 ]
] − [−(0)

2


ℒ{} =
1
2
3. () = −
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
0
ℒ{
− }
∞
= ∫  −  − 
0
∞
ℒ{ − } = ∫  (−)+(−) 
0
∞
ℒ{ − } = ∫  −− 
0
∞
ℒ{ − } = ∫  −(+) 
0
− −(+) ∞
− }
ℒ{
=
|
+
0
−(∞)(+)
−
− −(0)(+)
− }
ℒ{
=[
]−[
]
+
+
ℒ{ − } =
1
+
6
9.1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
Se presentará la generalización de la resolución de transformadas de Laplace a
partir de las siguientes formulas, se entiende que  tiene las restricciones suficientes
para garantizar la convergencia de la trasformada de Laplace correspondiente. Una
breve lista de funciones elementales importantes y sus transformadas de Laplace
se muestran a continuación, prácticamente todas las transformadas que se
necesitaran pueden obtenerse mediante el uso de algunos teoremas generales
simples.
EJEMPLOS:
1.
{()} =  − 
ℒ{()} = ℒ{4} − ℒ{10}
1
10
ℒ{()} = 4 ( 2 ) −


ℒ{()} =
4 10
−
2

7
2. {()} =  ()
  −  −
ℒ{()} =  (
)
2

1
ℒ{()} = ( 2 −  0 )
2
1
ℒ{()} = ( 2 − 1 )
2
1 1
1
ℒ{()} = (
− )
2 −2 
3. {()} =  ()
ℒ{()} =
1 − cos(2)
2
ℒ{()} =
1
− cos(2)
2
1
1
ℒ{()} = ℒ { } − ℒ { cos(2)}
2
2
1
1
ℒ{()} = ℒ{1} − ℒ{cos(2)}
2
2
1 1
1

ℒ{()} = ( ) − ( 2
)
2 
2  +4
1 1

ℒ{()} = ( − 2
)
2   +4
2 + 4 − 2
ℒ{()} =
( 2 + 4)
ℒ{()} =
4
( 2 + 4)
8
9.1.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DESCRITAS MEDIANTE UNA
GRÁFICA O FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE TRAMOS
En muchas ocasiones nos vamos a encontrar frente al problema de necesitar
encontrar la transformada de Laplace de una función a tramos de la cual no nos dan
su expresión algebraica, sino que tenemos su gráfico del cual debemos determinar
las expresiones algebraicas.
A continuación se presentaran algunos ejemplos de los que ya sea la gráfica o la
función a tramos dados, se debe obtener la transformada de Laplace.
EJEMPLOS:
,  ≤  < 
,  > 
1. () = {
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
0
1
∞
ℒ{()} = ∫ 
−
 + ∫ 1 − 
0
1
=
 =  −
 = 
=−
 −

 −
 −
1
 − ∞
ℒ{()} = [−
− ∫−
] | + [−
]|


0

1
 −  − 1
 − ∞
ℒ{()} = [−
− 2 ] | + [−
]|


0

1
(1) −(1)  −(1)
(0) −(0)  −(0)
− 2 ) − (−
− 2 )]




−(∞)
−(1)


+ [(−
) − (−
)]


ℒ{()} = [(−
 −  − 1  −
ℒ{()} = −
− 2 + 2+




 − 1
ℒ{()} = − 2 + 2


9
2.
() = {
0, 0 <  < 1
,
>1
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
0
1
∞
ℒ{()} = ∫ (0)
−
 + ∫  − 
0
1
=
 =  −
 = 
=−
 −

− −
 −
ℒ{()} =
− ∫−



− −  − ∞
ℒ{()} =
− 2 |


1
−(∞) −(∞)  −(∞)
−(1) −(1)  −(1)
ℒ{()} = [
−
− 2 ]
]−[

2


 −  −
ℒ{()} =
+ 2


3.
0, 0 <  < 
() = { ,  <  < 
0,
>
∞
ℒ{()} = ∫  − ()
0

ℒ{()} = ∫

(0) −
 + ∫ 
0
ℒ{()} = (−

 −

) |
∞
−
 + ∫ (0) − 

ℒ{()} = −
 −

+
 −

10
9.1.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
Anteriormente nos ocupamos del problema de transformar una función () en otra
∞
función () mediante la integral ∫0  − (), su representación simbólica es
ℒ{()} = (). Ahora se invertirá el problema, dada la función () hallar la función
() que corresponde a esa transformación. Se dice que () es la transformada
inversa de Laplace de () y se expresa:
() = ℒ −1 {()}
EJEMPLOS:
1.
− {()} =

 +
8(1)
ℒ −1 {()} = { 2
}
8( + 82 )
1
8
ℒ −1 {()} = ℒ −1 { 2
}
( + 82 )
8
ℒ −1 {()} =
(8)
8
11
2.
− {()} =





−
− +
ℒ −1 {()} =  − 1 +  2
3.
− {()} =

 +
7
5
ℒ −1 {()} = ( 2
)
7  + 72
5
7
ℒ −1 {()} = ( 2
)
7  + 72
ℒ −1 {()} =
5(7)
7
9.1.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE, USO DE FRACCIONES PARCIALES
Cuando se tiene una función de t, racional con denominador factorizable, se puede
expresar esta función en términos de funciones más elementales para poder
encontrar la transformada inversa de Laplace. Para poder llevar esta función a una
suma o resta de funciones elementales se hace uso de la técnica conocida como
fracciones parciales.
Luego, gracias a la propiedad de linealidad de la transformada inversa puede
calcularse término a término.
() = ℒ −1 {()} = ℒ −1 [
1
2

] + ℒ −1 [
] + ⋯ + ℒ −1 [
]
 + 1
 + 2
 + 
En muchas ocasiones encontrar la transformada inversa de Laplace puede implicar
que tengamos que hacer una serie de trucos algebraicos para que podamos utilizar
las fórmulas comunes que conocemos para la transformada de Laplace.
EJEMPLOS:
12
1.
− {()} =
ℒ −1 {()} =

( +)(+)

 + 
+ 2
( + 2) ( + 2)
ℒ −1 {()} = ( 2 + 4) + ( + )( + 2)
ℒ −1 {()} =  2 + 4 +  2 + 2 +  + 2
ℒ −1 {()} =  2 ( + ) + (2 + ) + (4 + 2) = 0 2 +  + 0
1 1 0 0
[ 0 2 1 | 1]
4 0 2 0
=−
1
4
1
4
1
=
2
=
1 1
1

1
1
ℒ −1 {()} = − (
)+ ( 2
)+ ( 2
)
4 +2
4  +4
2  +4
1
1
1

1
1
ℒ −1 {()} = − ℒ −1 (
) + ℒ −1 ( 2
) + ℒ −1 ( 2
)
4
+2
4
 +4
2
 +4
ℒ
−1 {()}
− −2 cos(2) (2)
=
+
+
4
4
4
13
− {()} =
2.
ℒ −1 {()} =

( +)( +)
 + 
 + 
+
( 2 + 1) ( 2 + 4)
ℒ −1 {()} = ( + )( 2 + 4) + ( + )( 2 + 1)
ℒ −1 {()} =  3 + 4 +  2 + 4 +  3 +  +  2 + 
ℒ −1 {()} = 3 ( + ) + 2 ( + ) + (4 + ) + (4 + )
= 03 + 02 + 0 + 1
1
0
4
[0
0
1
0
4
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1]
=0
=
1
3
=0
=−
1
3
ℒ −1 {()} =
(0)
(0)
1
1
1
1
+
+
−
(
)
(
)
( 2 + 1) 3  2 + 1
( 2 + 4) 3  2 + 4
1
1
1
1
ℒ −1 {()} = ℒ −1 ( 2
) − ℒ −1 ( 2
)
3
 +1
3
 +4
ℒ −1 {()} =
() (2)
−
3
6
14
3.
− {()} =
ℒ −1 {()} =

(−)(+)(+)



+
+
( − 1) ( + 2) ( + 4)
ℒ −1 {()} = ( + 2)( + 4) + ( − 1)( + 4) + ( − 1)( + 2)
ℒ −1 {()} = ( 2 + 6 + 8) + ( 2 + 3 − 4) + ( 2 +  − 2)
ℒ −1 {()} =  2 + 6 + 8 +  2 + 3 − 4 +  2 +  − 2
ℒ −1 {()} =  2 ( +  + ) + (6 + 3 + ) + (8 − 4 − 2) = 0 2 + 0 + 1
1 1
1
0
[6 3
1 | 0]
8 −4 −2 1
1
15
1
=−
6
1
=
10
=
ℒ −1 {()} =
1
1
1 1
1
1
(
)− (
)+ (
)
15  − 1
6 +2
10  + 4
ℒ −1 {()} =
1 −1
1
1
1
1
1
ℒ (
) − ℒ −1 (
) + ℒ −1 (
)
15
−1
6
+2
10
+4
ℒ
−1 {()}
   −2  −4
=
−
+
15
6
10
15
9.2.
SIMULACIÓN POR COMPUTADORA
9.2.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. Una vez que se haya abierto el programa nos aparecerá la pantalla principal
ventana de comandos donde trabajaremos para resolver Transformadas de
Laplace.
2. Se declaran las variables que se utilizaran, en este caso serán t y s. Se
escriben directamente al principio de la interfaz utilizando el comando syms.
Se debe dejar un espacio entre cada variable.
3. Definimos la función asignándole una variable, comúnmente se utiliza la
variable f. no se debe olvidar poner * al multiplicar variables y constantes o
una combinación de estas.
16
4. Nuevamente declaramos una variable, la cual guardará el resultado obtenido
en este caso será F, utilizamos el comando laplace y como argumento
introducimos la variable de nuestra función antes declarada y las variables
que de igual forma se declararon al principio, todas en este orden y
separadas por comas.
5. El comando simplify nos permite reducir términos si el resultado arrojado es
muy extenso. Se escribe dicho comando y dentro de los paréntesis a la nueva
variable creada que es la que contiene el resultado.
6. De igual forma el comando pretty acomoda el resultado como si lo
realizáramos a mano, esto con el fin de que la respuesta se vea “mejor”
estéticamente. Como argumento introducimos a ans que es la abreviatura de
answer o respuesta.
De esta forma se obtiene la trasformada de Laplace a partir del dominio de t
pasamos la función al dominio de s.
EJEMPLOS
17
9.2.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Prácticamente son los mismos pasos que utilizamos a la hora de calcular la
trasformada directa de Laplace, la única diferencia radica en que en lugar de
llamar al comando laplace esta vez será sustituido por ilaplace.
1. Se declaran las variables a utilizar.
18
2. Se introduce la función en términos de s que queremos transformar
asignándole a esta una variable, en este caso será F.
3. Se llama al comando ilaplace que transforma a nuestra función y como
argumento introducimos a la variable antes creada.
4. De ser necesario reducimos términos con el comando simplify.
5. Reacomodamos términos con pretty.
19
De esta manera se transforma a la función de términos en s términos en t.
EJEMPLOS
20
9.3.
ACTIVIDAD PRÁCTICA
9.3.1. ECUACIONES NO HOMOGENEAS MÉTODO DE SUPERPOCISIÓN
21
9.3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
22
9.3.3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
23
10.
CONCLUSIONES
Al término de esta actividad se puede concluir que la Transformada de Laplace es
una herramienta muy útil que posteriormente se utilizará para resolver Ecuaciones
Diferenciales, esta idea radica es transformar operadores en símbolos algebraicos
(TL) para manipular fácilmente a dichos símbolos con las reglas algebraicas
convencionales, después la nueva función es transformada para dejarla en términos
y dominio de la función original (TIL). Parece un principio muy sencillo, sin embargo,
tuvieron que pasar varios años de investigación para que esta idea se concretara.
Al parecer su aplicación más común es resolver Ecuaciones Diferenciales aplicando
este principio, en el área de la ingeniería es esencial saber resolver Ecuaciones
Diferenciales y saber manipular Transformadas de Laplace es una gran ventaja que
nos ayudará a resolver problemas con un grado de complejidad muy alto.
11.
BIBLIOGRAFÍA
Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Ecuaciones Diferenciales. Mexico: CENGAGE
Learning.
Spiegel, M. R. (1983). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Mexico: Prentice Hall.
Kreyszig, E. (2003). Matematicas Avanzadas para Ingeniería. Ohio, EUA : Limusa
Wiley.
Penney, D. E., & Edwards, C. H. (2009). Ecuaciones Diferenciales y problemas
con valores en la frontera. Mexico: Pearson Prentice Hall.
Di Prima, B. (2000). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la
frontera. Mexico: Limusa Willey.
www.youtube.com
12.
APENDICE
12.1. TRANSFORMADAS ELEMENTALES DE LAPLACE
24
25
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