Algebra para ingenieros

Capitán de fragata ingeniero
AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES
ÁLGEBRA
PARA
INGENIEROS
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
2
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
ÍNDICE
CAPÍTULO 1
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATRICES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MATRIZ. DEFINICIÓN
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
SUMA DE MATRICES
PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR
PRODUCTO DE DOS MATRICES
MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS
DETERMINANTES
10.
11.
12.
13.
14.
DETERMINANTES. DEFINICIÓN
CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS
CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15.
16.
17.
18.
NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL
SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS
RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS
RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER
Ejercicios
CAPÍTULO 2
ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES
SUBESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE
VECTORES
9. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
10. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL
3
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
11.
12.
13.
14.
15.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO
ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL
EJERCICIO RESUELTO DE LOS APARTADOS 8 AL 14
Ejercicios
CAPÍTULO 3
FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
APLICACIÓN LINEAL
PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL
DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN. RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
CAMBIO DE BASES DE REFERENCIA EN DOS ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicios
CAPÍTULO 4
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
VECTORES EN . MÓDULO Y VECTOR UNITARIO
ADICIÓN Y PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. PRODUCTO INTERIOR
ÁNGULO DE DOS VECTORES
ORTOGONALIDAD
CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES
BASE ORTONORMAL
ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ CUADRADA. DETERMINACIÓN DE LOS
VALORES Y VECTORES PROPIOS
MATRICES SEMEJANTES EN UNA APLICACIÓN LINEAL
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
RAÍCES DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS. REDUCCIÓN
FORMAS CUADRÁTICAS
MATRIZ SIMÉTRICA ASOCIADA A UNA FORMA CUADRÁTICA
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Y REALES
DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
UN PROBLEMA FÍSICO DE APLICACIÓN
Ejercicios
4
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
5
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 1
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATRICES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MATRIZ. DEFINICIÓN
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
SUMA DE MATRICES
PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR
PRODUCTO DE DOS MATRICES
MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS
DETERMINANTES
10.
11.
12.
13.
14.
DETERMINANTES. DEFINICIÓN
CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS
CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES
CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15.
16.
17.
18.
NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL
SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS
RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS
RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER
Ejercicios
6
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 1
MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MATRICES
1. MATRIZ. DEFINICIÓN
Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas
escrito de la siguiente forma:
… … … donde el elemento situado en la fila , columna es el .
Una matriz es rectangular si , y cuadrada si .
La dimensión de una matriz es el producto .
2. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Matriz fila. Sólo tiene una fila. Ejemplo: 1 2 3 4
1
Matriz columna. Sólo tiene una columna. Ejemplo: 5#
9
Matriz triangular. Aquella en la que todos los elementos situados por encima o
por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz transpuesta. $ . Se obtiene cambiando filas por columnas. Ejemplo:
1
Sea la matriz %
5
1 5
2 3
(, entonces $ 2 6#.
6 7
3 7
Algunas propiedades de las matrices transpuestas son:
$ $ ) *$ $ ) *$
+ *$ *$ + $
7
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Matriz simétrica. Aquella que siendo cuadrada tiene los mismos elementos por
encima y por debajo de la diagonal principal. Ejemplo:
1 ,4 5
,4 2 6#
5
6 3
Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Aquella que siendo cuadrada tienen los
mismos elementos por encima y por debajo de la diagonal principal, pero cambiados
de signo. Ejemplo:
1 ,4 5
4
2 6#
,5 ,6 3
Matriz diagonal. Aquella que siendo cuadrada tiene todos los elementos, no
pertenecientes a la diagonal principal, nulos. Ejemplo:
1 0
0 2
0 0
0
0#
3
2 0
0 2
0 0
0
0#
2
Matriz escalar. Aquella matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
principal iguales. Ejemplo:
Matriz unidad, canónica o identidad: /. Aquella matriz escalar con todos los
elementos de la diagonal principal iguales a 1. Por tanto, la matriz identidad de
dimensión 3 3 es:
1 0
0 01 0 1
0 0
0
0#
1
Matriz nula o cero: 2. Aquella matriz que tiene todos sus elementos nulos.
Ejemplo:
3. SUMA DE MATRICES
0
01 %
0
0 0
(
0 0
Para sumar dos matrices y * deben tener la misma dimensión. La suma se
realiza elemento a elemento. Por ejemplo:
%
1
3
,2
(
4
5 6
* %
(
7 8
8
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
)* %
Propiedades
1)5
3)7
,2 ) 6
6
4
(%
(
4)8
10 12
• Asociativa: ) * ) 4 ) * ) 4
• Conmutativa: ) * * ) • Elemento neutro: ) 0 , siendo 0 la matriz nula
4. PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR
El producto de la matriz por el escalar 5 se calcula multiplicando todos los
elementos de la matriz por el escalar. Por ejemplo:
%
1 ,2
(
3 4
55
5+1
1 ,2
5 5 %
(%
3 4
5+3
5 + ,2
5 ,10
(%
(
15 20
5+4
5. PRODUCTO DE DOS MATRICES
El producto de dos matrices se realiza multiplicando filas por columnas como
se muestra en el siguiente ejemplo:
7
9
*;
< ) 6
+ * A7< ) 8
9< ) :
<
=
>
6
8#
:
@
?
= ) 6>
7= ) 8>
9= ) :>
) 6?
7 ) 8? B
9 ) :?
donde tiene dimensión 2 3 mientras que la dimensión de * es 3 2, de manera
que la dimensión de + * es 3 3.
En general, si la dimensión de es , la dimensión de * debe ser C
para poderlas multiplicar, siendo C la dimensión de + *.
Propiedades
• Asociativa: *4 *4
• En general, no cumple la propiedad conmutativa: * *
Premultiplicar es multiplicar por la izquierda y postmultiplicar es hacerlo por la
derecha. Así, en *, premultiplica a *, o * postmultiplica a .
• Si es cuadrada, el elemento neutro del producto es 0: D/ /D D.
9
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
•
•
•
•
•
•
Distributiva respecto de la suma: * ) 4 * ) 4
D + EF EF + DF
Si y * tienen matriz inversa (ver punto 6), entonces: D + EGH EGH + DGH
Si * 4, no es cierto, en general, que * 4.
) * ) * ) * ) * ) 2* ) *
, * , * , * ) * , 2* ) *
) * , * , * ) * , * , *
6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA
Si existe G tal que
+ G G + 0
entonces DGH es la matriz inversa de , y se dice que es invertible o regular. Pero, si
G no existe, entonces es singular.
7. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
Toda matriz de dimensión , leída fila a fila, es también un conjunto de
vectores de dimensión . O, leída columna a columna, un conjunto de vectores de
dimensión . El rango o característica de una matriz es el número de filas o de
columnas (es decir, el número de vectores) linealmente independientes (LI).
Propiedad
• El rango considerando la matriz por filas es igual al rango evaluado por columnas.
8. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS
Las transformaciones de filas o columnas que no modifican el rango son:
•
•
•
•
Permutar dos filas o dos columnas.
Multiplicar o dividir una fila o columna por un número distinto de cero.
Sumar (o restar) a una fila o columna otra paralela.
Suprimir filas o columnas nulas o combinación lineal de otras.
Método de Gauss para determinar el rango de una matriz
A continuación se expone el procedimiento a seguir para determinar el rango,
conocido como método de Gauss o del pivote:
• Se elige como pivote un elemento no nulo.
• Los restantes elementos de su fila (o de su columna) se hacen nulos empleando las
cuatro transformaciones anteriores.
• Se reitera el procedimiento eligiendo como pivote otro elemento no nulo no
perteneciente ni a la fila ni a la columna del pivote anterior.
• Se vuelve a realizar, eligiendo otro pivote no nulo que no pertenezca ni a las filas ni
a las columnas de los pivotes anteriores.
• Así sucesivamente hasta agotar todos los pivotes no nulos.
10
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
El rango es el número de las filas o de las columnas (el menor de los dos) cuyos
elementos no sean todos nulos.
Ejemplo
1
1
Determinar el rango de la matriz 2
0
2
1
2
1
1
0
,1
2
,1
2
.
2
,1
Operando por filas (también se podría por columnas e incluso unas veces por
filas y otras por columnas), se elige como pivote, por ejemplo, el elemento 1.
Empleando la fila del pivote como operadora, se resta la fila 1ª de la 2ª y dos veces la
fila 1ª de la 3ª. La matriz que resulta es:
1
0
0
0
2
1
2
1
1
0
3
2
,1
,3
,4
,1
En esta nueva matriz, se elige como pivote uno que no sea nulo y no
pertenezca ni a la fila 1ª ni a la columna 1ª, por ejemplo el 1. Empleando la fila
del pivote como operadora, se resta dos veces la fila 2ª de la 1ª, dos veces la fila 2ª de
la 3ª y la 2ª de la 4ª. La matriz que resulta es:
,1
0
0
0
0 1 ,5
1 1 ,3
0 ,1 ,2
0 ,1 ,2
,1
0
0
0
0
1
0
0
En esta nueva matriz se elige como pivote uno que no sea nulo y no pertenezca
ni a las filas ni a las columnas de los pivotes anteriores, por ejemplo el ,1. Empleando la fila del pivote como operadora, se suma la fila 1ª con la 3ª, la 2ª con
la 3ª y se resta la 3ª y la 4ª. La matriz que resulta es:
0
0
,1
0
,7
,5
,2
0
El proceso ha finalizado pues no es posible elegir un nuevo pivote no nulo.
En la última matriz se elimina la fila 4ª pues todos sus elementos son nulos. Por
lo tanto, el rango es 3 y las tres primeras filas son vectores LI.
9. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS
Para determinar la inversa de una matriz se procede de la siguiente manera:
se sitúa a su lado la matriz identidad 0 y se sigue el método del epígrafe anterior a la
matriz rectangular constituida por e 0. Tras sucesivas transformaciones se obtiene
G , si existe, según el esquema siguiente:
11
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
0
transformaciones
transformaciones
de filas y columnas de filas y columnas
0
G
1 0 ,1
Calcular la matriz inversa de 1 2 ,2#.
2 ,1 1
Ejemplo
Paso 1º
Paso 2º
Paso 3º
Paso 4º
Paso 5º
1
1
2
1
0
0
0 ,1
2 ,2#
,1 1
0
,2
1
1 0
0 ,2
0 0
,1
1#
,3
,1
1 #
,5
5
0
0
0 ,10 0 #
0
0
,5
1 0
0 1
0 0
0
0#
1
1
1
2
1
1
5
1 0
0 1
0 0
0
0#
1
0
0
,1 0 #
0 ,1
0
0
,1 0 #
,1 ,2
0
1
2
10 ,6 ,2#
5 ,1 ,2
0 1⁄5 2⁄5
,1 3⁄5 1⁄5#
,1 1⁄5 2⁄5
En el paso 1º se elige como pivote el elemento 1. En el paso 2º se resta
la fila 1ª de la 2ª y dos veces la 1ª de la 3ª. Se elige como pivote el elemento
,2. En el paso 3º se suma la fila 2ª con dos veces la 3ª. Se elige como pivote el
elemento ,5. En el paso 4º se resta cinco veces la fila 1ª de la 3ª y se suma
cinco veces la 2ª y la 3ª. En el paso 4º se divide la fila 1ª por 5, la 2ª por ,10 y la
tercera por ,5.
En estas condiciones, la matriz inversa es:
0 1⁄ 5 2 ⁄ 5
1 0 1
AG ,1 3⁄5 1⁄5# ,5 3
5
,5 1
,1 1⁄5 2⁄5
12
2
1#
2
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
DETERMINANTES
10. DETERMINANTES. DEFINICIÓN
El determinante de una matriz cuadrada (se escribe || o det ) es el
número obtenido al sumar todos los productos posibles de sus elementos, de modo
que en cada producto haya un elemento, y sólo uno, de cada fila y cada columna. El
signo de cada producto es alternativamente positivo y negativo, siguiendo un orden
relacionado con la posición de los elementos.
El determinante de la matriz 1 es:
det O
O , El determinante de la matriz 1 es:
det P
P O O , O
O ) O
O
Se ha desarrollando el determinante a través de los elementos de la primera
fila, pero se podría haber empleado cualquier fila o columna, teniendo en cuenta el
signo asociado a cada posición, tal como se representa a continuación para un
determinante de 4 4:
)
Q,
)
,
,
)
,
)
)
,
)
,
,
)Q
,
)
El procedimiento se generaliza para .
Propiedades
det det $
det 0 0
det 0 1
El determinante de una matriz diagonal o triangular es el producto de los
elementos de la diagonal principal.
• Suma de determinantes: Veamos un ejemplo:
•
•
•
•
El ejemplo se ha escrito empleando las primeras filas, pero se podría generalizar a
cualquier fila o columna, pues dos determinantes se pueden sumar si tienen todas
las filas (o las columnas) iguales menos una.
• Para multiplicar un determinante por un escalar basta multiplicar una fila o
columna.
• RSTD + E RSTE + D RST D + RST E, aunque + * * + 13
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
•
•
•
Si se permutan dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo.
Si una fila o columna tiene todos los elementos nulos, el determinante es nulo.
Un determinante es nulo si tiene dos filas o columnas combinación lineal.
Si a una fila o columna se le suma otra paralela multiplicada por un número, el
determinante no varía.
• Si el determinante de orden es nulo, el rango de su matriz es menor que :
det 1 0 U V<W X 11. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS
Empleando el método de Gauss del epígrafe 9 se puede calcular un
determinante teniendo en cuenta que al multiplicar por un número la fila o columna a
reemplazar, hay que dividir el determinante por dicho número. Basta obtener una
matriz triangular, pues su determinante es el producto de la diagonal principal.
También se pueden realizar otros cálculos combinados con el método de Gauss.
1
5
Calcular el determinante de la matriz 2
,1
Ejemplo
3
0
5
2
,2
3
6
3
5
1
.
3
2
Elegido como pivote el elemento 1, multiplicamos por 5 la fila 1ª y
restamos la 2ª para reemplazar esta última; como la fila 2ª ha sido multiplicada por
,1, debemos tener en cuenta este factor. También multiplicamos la fila 1ª por 2 y le
restamos la 3ª para reemplazarla, y hemos de tener presente de nuevo el factor
,1 por el que hemos multiplicado la fila 3ª. Por último, sumamos las filas 1ª y 4ª. La
matriz que resulta es:
1 3 ,2 5
0 15 ,13 24
0 1 ,10 7
0 5
1 7
Factores introducidos: ,1, ,1
Se elige como pivote el 15. Multiplicamos por 15 la fila 3ª y le restamos
la 2ª para reemplazar la 3ª (factor introducido: 15). Multiplicamos por 3 la fila 4ª y le
restamos la 2ª para reemplazar la 4º (factor introducido: 3). No hace falta modificar la
fila 1ª porque se trata de conseguir una matriz triangular. La matriz que resulta es:
1 3 ,2
5
0 15 ,13 24
0 0 ,137 81
0 0
16 ,3
Factores introducidos: 15, 3
Se elige como pivote el ,137. Multiplicamos por 16 la fila 3ª y le
sumamos la 4ª multiplicada por 137 para reemplazarla (factor introducido: 137). No
hace falta modificar las filas superiores. La matriz que resulta es:
14
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
El proceso ha finalizado pues se ha conseguido una matriz triangular superior.
El determinante es:
det 1 + 15 + ,137 + 885
,295
,1 + ,1 + 15 + 3 + 137
12. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA
Se llama determinante adjunto o menor complementario del elemento al
que resulta de eliminar la fila y la columna . La matriz del adjunto se llama cofactor o
matriz complementaria. El signo del adjunto es alternativamente positivo o negativo,
siguiendo el criterio explicado en el epígrafe 10.
Todo determinante es igual a la suma de los elementos de una fila o
columna, multiplicados por sus adjuntos.
Ejemplo
Ejemplo
En el segundo ejemplo se han realizado cálculos por el método de Gauss
combinados con el desarrollo por los elementos de una línea.
13. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ MEDIANTE DETERMINANTES
El rango de una matriz es el correspondiente al de la mayor matriz cofactor
cuyo determinante menor complementario no sea nulo. En pocas palabras: el del
«mayor menor» no nulo.
Sea una matriz 1 formada por vectores de dimensión con Z .
Basta que un determinante de orden sea distinto de cero para que los vectores
sean LI. Si fuese X se analizaría la matriz traspuesta de manera análoga.
Ejemplo
Evaluar la dependencia o independencia lineal de los vectores de [ :
]]^ 1, 1, 2, 0.
\
]^ 1, 3, 0, 7, _^ ,1, 2, ,4, 6 ` a
15
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Calculamos un determinante de tercer orden:
1 3 0
det ,1 2 ,4# 2 0
1 1 2
como es distinto de cero, se puede asegurar que los tres vectores son LI.
14. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE DETERMINANTES
Se llama matriz adjunta de , y se escribe bcd D, a la obtenida al sustituir cada
elemento por su determinante adjunto.
Así, por ejemplo, sea
se puede comprobar que
Se demuestra que:
2
2
3
,2 2
1 0#
,2 2
2 ,4 ,7
8 0 ,2 ,2#
,2 4
6
G 8 $
det De esta expresión se deduce que D es invertible si y sólo si RST D 2.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
15. NOTACIÓN ORDINARIA Y MATRICIAL
La notación ordinaria de un sistema de ecuaciones con incógnitas es:
) ) e ) 6
) ) e ) 6
) ) e ) 6
Si los términos independientes 6 , e , 6 son todos nulos, se dice que el
sistema es homogéneo.
El mismo sistema se puede escribir con notación matricial.
Sea f la matriz de coeficientes:
f 16
… … … ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Sea la matriz ampliada con los términos independientes:
… 6
… 6
g … 6
Sea h la matriz columna de incógnitas:
h Y sea * la matriz columna de términos independientes:
6
6
* 6
La expresión matricial del sistema de ecuaciones es:
f+h *
Premultiplicando esta igualdad por fG , si existe:
por tanto
Ejemplo
fG + f + h fG *
0 + h fG *
h fG *
Resolver el sistema de ecuaciones
La matriz f es:
cuyo determinante es:
) ) 10
2 ) ) 11
) 5 ) 18
1
f 2
1
1 1
1 1#
5 1
89i f 4 0
lo que asegura que f es invertible, de manera que:
17
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
,1
1
0
1⁄ 4 #
fG , 1⁄4 0
9⁄4 ,1 ,1⁄4
por lo tanto
hf
de donde:
G
,1
1
0
10
⁄
⁄
1 4 # 11#
* ,1 4 0
9⁄4 ,1 ,1⁄4 18
es decir, 1, 2, 7.
1
h 2#
7
16. SISTEMAS COMPATIBLES E INCOMPATIBLES, DETERMINADOS E INDETERMINADOS
El criterio de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible, es
decir, tiene solución, si el rango de la matriz de coeficientes f es igual al rango de la
matriz ampliada . Caso contrario, es incompatible, y no tiene solución. Además, un
sistema compatible es determinado si el rango de f (o de ) es igual al número de
incógnitas , y su solución es única; y es indeterminado si el rango es menor que , y
tiene infinitas soluciones.
17. RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN O MÉTODO DE GAUSS
Con el método de reducción o de Gauss lo que se convierte la matriz en una
triangular, para así obtener un sistema de ecuaciones escalonado y equivalente (con
las mismas soluciones que el dado).
Ejemplo
Resolver por el método de Gauss el sistema de ecuaciones f + h *, con:
La matriz es:
1
1
f
1
,1
1
,1
1
1
,1
1
1
1
1
1
1
,1
1
1
,1
1
1
,1
1
1
,1
1
1
1
,8
*A 2 B
6
4
1 ,8
1 2
g ,1 6
1 4
Siguiendo el método del epígrafe 9, se llega a la matriz triangular superior
equivalente:
18
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
1
0
0
0
1
,2
0
0
,1
2
2
0
1 ,8
0 10
g ,2 14
4 ,8
Se trata del siguiente sistema de ecuaciones escalonado:
) , ) [ ,8
,2 ) 2 10
2 , 2[ 14
4 [ ,8
En la 4ª ecuación se calcula [ ,2, cuyo valor se sustituye en la 3ª,
obteniéndose 5. Se procede de manara análoga con la 2ª y 1ª ecuación, de
manera que 0 y ,1.
18. RESOLUCIÓN MEDIANTE DETERMINANTES O MÉTODO DE CRAMER
Se demuestra que la solución de un sistema determinado mediante
determinantes (denominado método de Cramer) consiste en calcular cada incógnita
siguiendo el esquema que se emplea en el siguiente ejemplo, generalizable para
incógnitas:
Ejemplo
Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer
) ) 10
2 ) ) 11
) 5 ) 18
Se trata del mismo sistema ya resuelto a través de la inversa de la matriz f. El
determinante de f es:
det f 4 0
Las incógnitas se calculan como se expresa a continuación:
10 1
det A 11 1
18 5
1 1
det 2 1
1 5
1
1 10 1
1
det A2 11 1B
det A2
1B
1
1 18 1
1
1; 2; 1
1 1 1
1
det 2
det 2 1 1#
1#
1
1
1 5 1
1 10
1 11 B
5 18
7
1 1
1 1#
5 1
Se puede emplear el método de Cramer en sistemas indeterminados,
teniendo ciertas precauciones. Veámoslo con un ejemplo.
Ejemplo
Resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer
19
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
) ) 10
, ) 7
Pasando al segundo miembro:
) 10 , , 7 , la matriz de los coeficientes de y es:
1
f%
1
cuyo determinante es:
1
(
,1
det M ,2 0
Se le da a cualquier valor. Sea 5. Empleando el método de Cramer:
10 , 5 1
1 10 , 5
89i %
(
89i %
(
7
,
5
,1
1 7,5
; 1 1
1 1
89i %
(
89i %
(
1 ,1
1 ,1
Obsérvese que no sería válido resolver el sistema del enunciado pasando al
segundo miembro:
) 10 , ) 7 ) pues en ese caso la matriz f sería:
cuyo determinante es nulo.
1 1
f%
(
1 1
20
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejercicios
1. Se dice que una matriz es ortogonal si su inversa es igual a su transpuesta. Sean y *
dos matrices de orden n invertibles. es simétrica y * ortogonal. Simplificar:
l m* , n$ , *G $ ) ) *G , *$ ) 2. Sean y * dos matrices tales que * 0 (matriz nula). Si es invertible, demostrar
que * tiene que ser la matriz nula.
3. Hallar la inversa de
0
A1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0B
0
1
4. Hallar la matriz h que verifica la identidad h , *h 4 siendo 1 0 3
0
2 ,2 8
* ,5 2 1 # y 4 12 0
1 20 #
4 0 ,3
,33 8 ,1 ,36
5. Calcular el determinante de Vandermonde
6o
6
6
6
o
det 7o
7
7
7
3 2 1
0 3 ,1#,
,5 3 1
8o
8 8
8
Y generalizar el resultado hasta el exponente natural .
,7 ,6
6. Resolver la ecuación det , p0 0 siendo %
( e 0 identidad.
12 10
7. Hallar el rango de la siguiente matriz en función de los valores de sus parámetros:
1
1
1
1
1
1 6
2 6 #
2 2
8. En el dominio de las matrices cuadradas de orden 5, demostrar:
det ) 32 + det 9. Si en el dominio de las matrices cuadradas de orden se satisface que ,0 ,
demostrar que es invertible y que ha de ser par.
5
s1
10. Calcular el rango de r2
3
q4
0
3
6
,6
,3
1
0v
0u
1
1t
21
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
11. Discutir y resolver según los valores de , 6 w el sistema:
) 6` ) x 1
) 6` ) x 6
) 6` ) x 1
1
12. Hallar la potencia n-sima de la matriz f 1
1
1 1
1 1#.
1 1
,2 7 0
5
4 1#, descomponer f en una suma de una matriz simétrica y una
2 ,5 5
antisimétrica.
13. Sea f 14. Demostrar que:
`
det A
x
i
`
i
x
x
i
`
i
x B ) ` ) x ) i ) x , ` , i ) i , ` , x ) ` , x , i
`
1 2
0 1
det 0 1
1 67
det 6 7
1
0
[ det A0
0
2 1
0
7
7
67
6 # det 6
7
6
22
2
1
1
1
6
7
67
1
1
2
1
7
67 #
6
0
1B
1
0
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
23
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 2
ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES
SUBESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE
VECTORES
INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO
ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL
EJERCICIO RESUELTO DE LOS APARTADOS 8 AL 14
Ejercicios
24
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 2
ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
1. ESTRUCTURA DE GRUPO Y CUERPO
Estructura de grupo
Sea y un conjunto y z una operación que se efectúa con sus elementos; en
adelante: y,z; se dice que y,z tiene estructura de grupo si:
a) La operación z es una ley de composición interna
, 6 w y U z 6 w y
b) Se cumple la propiedad asociativa
c) Existe el elemento neutro 9
d) Existe el elemento inverso {
z 6 z 7 z 6 z 7
z9 9z
z { { z 9
Si los elementos de y, además, cumplen la propiedad conmutativa:
z6 6z
entonces y,z es un grupo abeliano.
Estructura de cuerpo
Sean ) y z dos operaciones que se efectúan con los elementos de un conjunto
|; en adelante |, ),z; se dice que |, ),z tiene estructura de cuerpo si:
a) |, ) es un grupo abeliano
b) | , }0~,z es un grupo abeliano, donde }0~ es el elemento neutro de |, ), de
manera que | , }0~ es el conjunto de los elementos de |, excepto el 0.
c) La operación z es distributiva respecto a la operación +:
Ejercicios
•
, 6, 7 w | U z 6 ) 7 z 6 ) z 7
E.1. En el conjunto  de los números enteros se define z de la siguiente manera:
z 6 ) 6 ) 3. Comprobar si ,z tiene estructura de grupo abeliano.
25
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
•
•
E.2. En el conjunto € de los números naturales se define z de la siguiente manera:
z 6 ) 6 ) 3. Comprobar si €,z tiene estructura de grupo abeliano.
E.3. ¿Es , ),z cuerpo? () y z son la suma y el producto conocidos).
E.4 ¿Es , ),z cuerpo? ( el conjunto de los números racionales con ) y z la
suma y el producto conocidos).
2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
Sea ‚ un conjunto no vacío (los elementos de ‚ se llaman vectores). Sea | un
cuerpo (los elementos de | se llaman escalares). Sean ) y z dos operaciones que en
adelante llamaremos suma y producto.
El objeto ‚, ), |,z es un espacio vectorial si:
a) ‚, ) es un grupo abeliano.
b) z es una ley de composición externa en ‚ con escalares u operadores en |
ƒ5 w |; ƒ^ w ‚ U 5 z ^ w ‚
c) Propiedad asociativa mixta
ƒ5, „ w |; ƒ^ w ‚ U 5 z „ z ^ 5 z „ z ^
d) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma en |
ƒ5, „ w |; ƒ^ w ‚ U 5 ) „ z ^ 5 z ^ ) „ z ^
e) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma en ‚
f)
ƒ5 w |; ƒ^, `^ w ‚ U 5 z ^ ) `^ 5 z ^ ) 5 z `^
La unidad del cuerpo es el elemento neutro para el producto
ƒ^ w ‚ U 1 z ^ ^
Nota: En adelante se entenderá que 5 z ^ 5 + ^ 5^
Ejercicios
•
•
E.5. Sean ‚ y | . Sea la adición definida en por , 6 ) 7, 8 ) 7, 6 ) 8. Sea z el producto de números reales por elementos de definido
mediante la expresión 5, 6 5, 56. Demostrar que ( , ), ,z es un
espacio vectorial.
E.6. El mismo enunciado anterior, pero modificando la definición del producto:
5, 6 , . ¿Es ( , ), ,z un espacio vectorial?
26
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
E.7. El mismo enunciado, pero modificando la definición de la suma: , 6 )
7, 8 1⁄2 ) 7, 6 ) 8. ¿Es ( , ), ,z un espacio vectorial?
3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES
a) El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo ]0^
]^
0 + ^ 0
]^ es el vector 0
]^
b) El producto de cualquier escalar por el vector 0
]^
5 + ]0^ 0
]^, entonces el escalar es 0 o
c) Si el producto de un escalar por un vector es el vector 0
el vector es nulo.
d) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto
,5^ ,5^
4. ESPACIOS VECTORIALES DE LAS FUNCIONES Y LAS MATRICES
Se deja como ejercicio demostrar que las funciones sobre el cuerpo de los
números reales constituyen un espacio vectorial; es decir, se cumple:
: ) < : ) <
5: 5 : ƒ, 5 w Se deja como ejercicio demostrar que las matrices reales de dimensión constituyen un espacio vectorial:
:: 1 … | w La función : queda caracterizada por el conjunto:
de manera que se cumple:
…
…
…
…
…
…
… : ) <, :, ) <, ) 6
5:, 5 :, 5
5. SUBESPACIOS VECTORIALES
Dados el espacio vectorial ‚, ), |,z y el conjunto † ‡ ‚, † ˆ, si † es un
espacio vectorial sobre el mismo cuerpo | y con las mismas leyes de composición que
en ‚, decimos que † es un subespacio de ‚.
27
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Propiedades
•
•
•
‚ es subespacio de ‚
]^Š es también
El subconjunto que contiene exclusivamente al vector nulo ‰0
subespacio de ‚. Se denomina subespacio nulo.
]^Š, se llaman subespacios propios.
Los demás subespacios de ‚, distintos de ‚ y ‰0
6. SUBESPACIO VECTORIAL: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
Sea † ‡ ‚, † ˆ, la condición necesaria y suficiente para que † sea
subespacio de ‚ es:
ƒ^, `^ w †; ƒ5, „ w |; 5^ ) „`^ w †
Propiedad
•
]^ debe pertenecer a † para afirmar que † es un subespacio de ‚.
El vector nulo 0
Ejercicios
•
•
•
E.8. Demostrar que ]0^ debe pertenecer a † para afirmar que † es subespacio de ‚.
E.9. En el espacio vectorial , ), ,z con las operaciones conocidas ) y z,
determinar si los subconjuntos † y ‹ son subespacios:
† }, ` w ⁄` 2~
‹ }, ` w ⁄` ) 1~
E.10. En el espacio vectorial , ), ,z con las operaciones conocidas ) y z,
determinar si los subconjuntos siguientes †, ‹, Œ y  son subespacios:
† }, `, x w ⁄x ) `~
‹ }, `, x w ⁄ ) x 0~
Œ }, `, x w ⁄|| |`|~
 }, `, x w ⁄x ) 2~
7. INTERSECCIÓN, UNIÓN Y SUMA DE SUBESPACIOS
•
•
•
La intersección de toda familia de subespacios de ‚ es un subespacio de ‚.
La unión de subespacios de ‚ no, en general, un subespacio de ‚.
Sean Œ y  dos subespacios de ‚, el conjunto † es la suma de Œ y  si:
•
La suma de subespacios de ‚ es un subespacio de ‚. Además, el subespacio Œ )
 es el menor de todos los subespacios que contienen a Œ y a .
Sean Œ y  dos subespacios de ‚, el subconjunto Ž  ‚ es la suma directa de Œ y
, lo que denota escribiendo  ‘’“, si se verifica que Ž Œ )  y
]^Š. Si Ž , los dos subespacios Œ y  se denominan subespacios
Œ ”  ‰0
complementarios.
† Œ )  }^ w ‚, \
]^ w Œ, a
]]^ w ⁄^ \
]^ ) a
]]^~
28
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
8. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO
DE VECTORES.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial. Se llama combinación lineal de los
]^ , … , ‚
]^ w ‚ a todo vector h^ de la forma:
]^ , ‚
vectores ‚
]^ ) 5 ‚
]^ ) e ) 5 ‚
]^ •5 w |
h^ 5 ‚
Si 5 0 la combinación lineal se llama trivial.
SUBESPACIO VECTORIAL GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ Š ‡ ‚, el
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial y sea – ‰‚
]^ ) 5 ‚
]^ ) e ) 5 ‚
]^ •5 w |Š se denomina variedad lineal
subconjunto Ž– ‰5 ‚
generada por el conjunto —.
El conjunto – es un subespacio de ‚ que recibe el nombre de subespacio
]^ , … , ‚
]^ .
]^ , ‚
vectorial generado (o engendrado) por ‚
Propiedades
•
•
•
•
ŽŽ– Ž–
– ‡ Ž–
– ‡ –˜ U Ž– ‡ Ž–˜
Ž– ” – { ‡ Ž– ” Ž– { ‡ Ž– ™ Ž– { ‡ Ž– ™ – { Ejercicios
•
•
E.11. Comprobar si los vectores ,1, 1, 3 y 1, 2, 2 son combinación lineal de los
vectores ,1, 0, 2 y ,1, 2, 4.
E.12. En el espacio vectorial 1 , ), ,z se consideran las matrices 1 0
1 0
0 0
%
(, * %
(y4%
(. Determinar todas las combinaciones lineales
0 1
1 0
1 1
de , *, 4 que permiten obtener la matriz nula.
9. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ Š ‡ ‚, se dice que
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial y sea – ‰‚
– es un sistema linealmente independiente (LI) o sistema libre si la única
combinación lineal (CL) de ellos que vale ]0^ es aquella en la que todos los escalares son
nulos, es decir, es la trivial:
]^ U 5 0
]^ 0
š 5 ‚
Se dice que – es un sistema linealmente dependiente (LD) o sistema ligado si
no es un sistema libre, esto es, si existen algunos escalares no todos nulos tales que:
29
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
]^ U algún 5 0
]^ 0
š 5 ‚
Propiedades
•
•
•
•
•
•
•
•
Todo vector no nulo es un conjunto LI.
El vector nulo es LD.
Todo conjunto al que pertenezca el vector nulo es LD.
Un vector es CL de toda familia que lo contenga.
Un conjunto de vectores es LD si algún vector es CL de los demás.
Un conjunto de vectores es LI si ningún vector es CL de los demás.
Si un sistema † de vectores es LD, entonces también lo es cualquier sistema que
resulte de añadir algún vector a †.
Si un sistema † de vectores es LI, entonces también lo es cualquier sistema que
resulte de prescindir de alguno de los vectores de †.
Para averiguar si un conjunto de vectores es LI o LD basta aplicar el método de
Gauss o del pivote. Si empleando las transformaciones del método es posible
conseguir el vector nulo, entonces el conjunto es LD; en caso contrario es LI.
Propiedades
•
•
En el espacio -dimensional, ) 1 vectores son LD. (Ej. Cuatro vectores de tres
dimensiones son LD).
Un conjunto de vectores -dimensionales es LD si su determinante es nulo.
Ejercicios
•
•
•
•
•
E. 13. En el espacio vectorial , ), ,z, determinar si los siguientes vectores son
LI: a) }1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0~; b) * }1, ,1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 1~.
1
E.14. Demostrar que las matrices %
0
0
0 1
0 0 0
(,%
(,%
(%
0
0 0
1 0 0
0
( son vectores LI.
1
E.15. Demostrar que el espacio vectorial de los polinomios reales sobre el cuerpo
definido por ) ; ¡ ,2 son LI.
]^ √2 y
E.16. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores ‚
]^ √3 en el espacio vectorial , ), ,z y en el espacio vectorial , ), ,z.
‚
E.17. Determinar para que sean LD los vectores 1, ,4, 6, 1, 4, 4 y 0, ,4, .
10. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO O SUBESPACIO VECTORIAL
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ Š  ‚ un subespacio
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial y – ‰‚
vectorial, se dice que los vectores de – son un sistema de generadores (SG) de – si
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ Š. Un SG puede ser LI ó LD.
todo vector de – es CL de ‰‚
30
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejemplo
El conjunto – }1, 0, 0, 1, 1, 1~ es un SG de . En efecto, sea , 6
cualquier vector de ; deben existir escalares 5, „, £ tales que: 51,0 ) „0,1 )
£1, 1 , 6. Es decir5 ) £, „ ) £ , 6.
Para £ >, ƒ> w , 5 , >, „ 6 , >. Por tanto, – es un SG de y
cualquier vector puede expresarse de infinitas maneras como CL de los vectores de –.
Obsérvese, sin embargo, que los vectores de – son LD.
Ejercicio
•
E. 18. Determinar si los vectores 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0 son un SG de .
11. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN
BASE
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ Š un conjunto de vectores del espacio ‚, ), |,z. El
Sea – ‰‚
conjunto – ‡ ‚ es una base de ‚, ), |,z si es un conjunto LI y SG de ‚.
Se llama base canónica de a la formada por los vectores:
Ejemplo
]^H H, 2, 2, … , 2
¤
]^¥ 2, H, 2, … , 2
¤
……………………..
]^¦ 2, 2, 2, … , H
¤
Determinar una base del subespacio de , ), ,z definido de la siguiente
manera: † }, `, x w ⁄x ) `~.
Si , 6, 7 es un vector genérico de †, entonces , 6, 7 , 6, ) 6 , 0, ) 0, 6, 6 1, 0,1 ) 60, 1, 1. De donde se deduce que los vectores
1, 0, 1 y 0, 1, 1 son una base de † pues son SG y LI.
Ejercicio
•
E. 19. Proponer una base en cada caso:
a) , ), ,z
b) 1 , ), ,z
c) [ , ), ,z
d) §, ), ,z. § es el conjunto de los números complejos.
DIMENSIÓN
Sea †  ‚un subespacio de ‚. Todas las bases de † tienen el mismo número
de vectores. Este número se denomina dimensión de † y se representa dim †.
Propiedades
•
La dimensión de un espacio vectorial es la dimensión de cualquiera de sus bases.
31
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
•
•
•
•
•
•
]^Š 0, por definición.
dim‰0
Un conjunto de vectores LI de un espacio vectorial -dimensional es una base.
Todo SG de vectores de un espacio vectorial -dimensional es una base.
Si – es una base de dimensión del espacio vectorial ‚, entonces ) 1 vectores
de ‚ forman un conjunto LD.
Si † es un subespacio de ‚ y dim † dim ‚ entonces † ‚.
La dimensión de un subespacio vectorial † es el número máximo de vectores de †
que son LI. Además, dim † es el número mínimo de vectores de un SG de †.
Fórmula de Grassmann. Si † y † son dos subespacios vectoriales, se verifica:
dim† ) † dim † ) dim † , dim† ª† Ejemplo
•
Determinar la dimensión de la suma de † y † :
† }, `, x w ⁄x ) `~ ; † }, `, x w ⁄x ~.
Si , 6, 7 es un vector genérico de † , entonces , 6, 7 , 6, ) 6 , 0, ) 0, 6, 6 1, 0,1 ) 60, 1, 1.
Por
tanto,
dim † 2.
Si , 6, 7 es un vector genérico de † , entonces , 6, 7 , 6, , 0, ) 0, 6, 0 1, 0,1 ) 60, 1, 0. Por tanto, dim † 2.
Como el vector común a las bases de † y † es 1, 0,1, entonces
dim† ª† 1. De donde se deduce que: dim† ) † dim † )
dim † , dim† ª† 2 ) 2 , 1 3.
Teorema de Steinitz (también llamado teorema de la base incompleta o teorema
de extensión a una base). Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial de dimensión
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^« Š un sistema libre de
, }9^ , 9^ , … , 9^ ~ una base de ‚y el conjunto † ‰‚
vectores de ‚, con C X . Entonces existe algún sistema †˜ de , C vectores de ‚
tal que † ™ †˜ es una base de ‚. Además, los vectores de †˜ se pueden tomar de
entre los de un base cualquiera }9^ , 9^ , … , 9^ ~ de ‚.
12. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE. RANGO
COORDENADAS DE UN VECTOR
Todo vector queda identificado mediante una única CL de los vectores de una
base dada. Estos coeficientes son las coordenadas del vector en la citada base.
]^ como CL de los vectores de una cierta
Se trata, pues, de expresar un vector ‚
]^ , ‚
]^ , … , ‚
]^ , de manera que: ‚
]^ 5‚
]^ ) „ ‚
]^ ) e ) £‚
]^ . Es decir,
base – ‚
]^ 5, „, … , £m¬n
‚
Ejemplo
Sea el conjunto – }1, 2, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 0~. Comprobar que es una base
de y determinar las coordenadas del vector 1, 2, 3 respecto a dicha base.
32
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
El determinante de los vectores de – es: det – ,3, por lo tanto, los tres
vectores son LI y constituyen una base. Calculemos la coordenadas de 1, 2, 3:
1, 2, 3 51, 2, 1 ) „1, 3, 0 ) £1, 0, 0
es decir: 1 5 ) „ ) £; 2 25 ) 3„; 3 5. De donde se deduce que:
5 3, „ , 4⁄3 , £ , 2⁄3
Luego, el vector 1, 2, 3 expresado en la base canónica tiene las coordenadas
3, , 4⁄3 , , 2⁄3 en la base –.
RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES
Se denomina rango de un sistema † de vectores de un espacio vectorial ‚, y se
denota por ­<†, a la dimensión del subespacio que genera †:
­<† dimŽ†
]^ , … , Œ
]^ es libre si su rango es igual
]^ , Œ
Como consecuencia, la familia † Œ
al número de vectores que la forman. Además, en un espacio vectorial de dimensión
un sistema de vectores es generador si su rango es .
13. ECUACIONES PARAMÉTRICAS E IMPLÍCITAS DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial de dimensión . Consideremos el
subespacio vectorial Πgenerado por los vectores }\
]^ , \
]^ , … , \
]^® ~. Si ^ w Œ, entonces
^ 5\
]^ ) „ \
]^ ) e ) £\
]^®
Si cada vector lo referimos a la base }9^ , 9^ , … , 9^ ~ de ‚, podremos escribir:
5\ ) „\ ) e ) £\®
5\ ) „\ ) e ) £\®
5\ ) „\ ) e ) £\®
Estas son las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial ‘.
Eliminando los parámetros 5, „, … , £, obtendremos las ¦ , ¯ relaciones entre
las componentes , , … , llamadas ecuaciones cartesianas o implícitas del
subespacio vectorial ‘.
14. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL
Sea ‚, ), |,z un espacio vectorial de dimensión . Ya que cualquier vector ^
queda determinado de manera única conociendo sus coordenadas respecto de una
base de ‚, si elegimos otra base, ^ tendrá otras coordenadas distintas de las
anteriores. Averigüemos la relación que guardan las coordenadas de ^ respecto de
ambas bases. En definitiva, se trata de encontrar la expresión matricial que permite
expresar un vector, definido en una cierta base, en función de los vectores de otra
base.
33
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejemplo
Hemos visto en el ejemplo anterior que el vector 1, 2, 3 expresado en la base
canónica, tiene las coordenadas 3, , 4⁄3 , , 2⁄3 en la base –. ¿Cuál es la expresión
matricial que permite pasar de 1, 2, 3 a 3, , 4⁄3 , , 2⁄3?
Obsérvese que 1, 2, 3 3 1, 2, 1 , 4⁄3 1, 3, 0 , 2⁄3 1, 0, 0 se puede
poner de la siguiente manera:
3
1
1 1 1
2 # A 2 3 0 B , 4 ⁄ 3#
3
1 0 0 , 2⁄3
Es decir, basta escribir la matriz traspuesta de los vectores de las nueva base. Dicha
matriz se llama matriz de paso o de cambio de base.
En general:
hm°n m°n h±° ² ³
donde m´n es la base ‚; m´{ nes la base ‚˜; µm´n es la matriz columna del vector
expresado en la base m´n; µ±´² ³ es la matriz columna del vector expresado en la
basem´{ n y ¶m´n es la matriz de paso expresada en términos de la base m´n.
15. EJERCICIO RESUELTO DE LOS APARTADOS 8 AL 14
Sea el subespacio vectorial · generado por los siguientes vectores del espacio
vectorial [ : \
]^ 2,3,1,0, \
]^ 1,0,1,0 y \
]^ 0,3, ,1,0. Calcular:
]^ , \
]^ ~ ¿Qué clase de sistema es –? ¿Existe alguna
a) El rango de – }\
]^ , \
relación de dependencia entre los vectores de –?
b) La dimensión y una base de ·.
c) Las coordenadas de los vectores de – respecto de la base obtenida en b).
d) Unas ecuaciones paramétricas de ·.
e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de ·.
f) Otras ecuaciones paramétricas distintas, a partir de las ecuaciones implícitas.
g) ¿El vector 1, 0, 0, 0 pertenece a ·?
h) Una base *z de [ que contenga a los vectores de una base de ·.
i) Las ecuaciones del cambio de la base *z a la base canónica de [ .
j) Las ecuaciones del cambio de la base canónica a la base *z .
k) La expresión del vector canónico 9^ 0, 1, 0, 0 respecto de la base *z .
Solución
a) Empleando el método de Gauss se comprueba que ¸¹— ¥. Por lo tanto, los
tres vectores son LD; se trata de un sistema ligado. Sea \
]^ \
]^ ) 6\
]^ . Se
deduce que 2 y 6 1:
]^H ¥º
]^¥ ) º
]^»
º
]^¥ , º
]^» ~, cuya dimensión es ¥.
b) – es un sistema ligado, una base de · es E¼ }º
34
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
]^H ¥, HmE¼n ; es decir, 2,1 son las
]^ ) \
]^ resulta que º
c) De la relación \
]^ 2\
]^¥ 1\
coordenadas de \
]^ respecto de la base *½ . Entonces, º
]^ ) 0\
]^ ]^» 0\
H, 2mE¼ n y º
]^ ) 1\
]^ 2, HmE¼ n .
d) Como ƒ^ w · ‡ [ se cumple que: ^ 5\
]^ ) „ \
]^ , es decir:
o sea
¾H , ¾¥ , ¾» , ¾¿ ÀH, 2, H, 2 ) Á2, », ,H, 2
¾H
H
2
¾¥
2
A B ÀA B ) ÁA » B
¾»
H
,H
¾¿
2
2
son las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial ·, pues dando valores a
5 y „ se obtienen las coordenadas de todos los vectores de ·. Obsérvese que la
dimensión de ¼ coincide con el número de parámetros que tienen sus ecuaciones
paramétricas.
e) Como se cumple también que:
dim [ dim · ) º
siendo ¦º el número de ecuaciones implícitas, como dim [ 4, dim · 2,
entonces º 2. Basta, pues, encontrar dos relaciones independientes para
eliminar los parámetros 5 y „. Dado que:
10
­<– ­< A0 3 B 2
1,1
00
por el teorema de Rouche-Frobenius se cumple que
­< A
[
1 0
0 3 B2
1 ,1
0 0
luego todos los menores de tercer orden son nulos. Elegimos dos menores:
es decir
P
1
0
1
0
3 P 0; P
,1
[
1
0
0
,»¾H ) ¾¥ ) »¾» 2
¾¿ 2
0
3P 0
0
son unas ecuaciones cartesianas o implícitas de ¼. Obsérvese que si · [ no
habría ecuaciones implícitas para definir ·.
35
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
f)
Para pasar de las ecuaciones cartesianas a las paramétricas basta resolver el
sistema de ecuaciones cartesianas. En este caso, en la ecuación
,3 ) ) 3 0, se despeja una incógnita, por ejemplo :
3 , 3
Dando valores a p y à tenemos otras ecuaciones paramétricas de ·:
¾H
H
2
¾¥
»
,»
A B ÄA B ) ÅA B
¾»
2
H
¾¿
2
2
g) Sustituyendo 1, 0, 0, 0 en las ecuaciones cartesianas ,3 ) ) 3 0 y
[ 0 de ·, vemos que ,3 + 1 ) 0 ) 3 + 0 0, por tanto no pertenece a ·.
h) En el subespacio · ampliamos la base *½ }\
]^ , \
]^ ~ con 1, 0, 0, 0 puesto que
acabamos de ver que no pertenece a ·. Ya tenemos tres vectores LI; basta
conseguir otro, por ejemplo el vector 0, 0, 0, 1, tras comprobar que no
pertenezca a · y que sea también LI. Por tanto, una base de [ es:
i)
Las ecuaciones del cambio de la base *z a la base canónica se obtienen aplicando
la expresión hm°n m°n h±° ² ³ , donde m‚n es la base canónica y m‚ { n es la base *z :
hm°n m°n hmÆz n
j)
Las ecuaciones del cambio de la base canónica a la base *z se calculan
premultiplicando por la matriz inversa de m°n :
por tanto
G
G
m°n
hm°n m°n
m°n hmÆz n
G
hmÆz n m°n
hm°n
¾zH
¾H
1 0 1 0 G 2 H⁄ » H 2
z
¾
¾
⁄
H
»
2 2 A ¥ B
s ¥z v A0 3 0 0B A B 2
¾»
¾»
1 ,1 0 0
H , H⁄» ,H 2
z
¾¿
0 0 01
2 2
2 H
[
q¾¿ t
k) La expresión del vector canónico e]^ 0, 1, 0, 0 respecto de la base B z se obtiene
sustituyéndolo en la expresión del apartado j):
36
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
es decir
z
0 1⁄ 3 1 0
0
z
1⁄ 3 0 0
0
A 1B
z 1 , 1⁄3 ,1 0
0
z
0
0
1
0
[
0
]^z¥ H⁄» , H⁄» , , H⁄» , 2
¤
37
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejercicios
1. Sean ‚ y | . Sea la adición definida en por , 6 ) 7, 8 ) 7, 6 ) 8. Sea z el producto de números reales por elementos de definido
mediante la expresión 5, 6 5 , 5 6. ¿Es ( , ), ,z un espacio vectorial?
2. Demostrar que los vectores }1, 2, ,1, ,2, 2, 3, 0, ,1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, ,1, 0~ son
ligados e indicar su relación de dependencia.
3. Determinar los valores de y para que sea 3 el rango del siguiente sistema de
vectores: }1, 1, 0, , 3, ,1, , ,1, ,3, 5, , ,4~.
4. Demostrar que los vectores † }2, 1, 1, 1, 3, 1, ,2, 1, 3~ forman una base de
. Hallar las coordenadas del vector 1, 1, 2 respecto de esta base.
]^ , \
]^ son base de un espacio vectorial de dimensión 3, el
5. Demostrar que si \
]^ , \
conjunto \
]^ ) \
]^ , \
]^ , \
]^ ) \
]^ , \
]^ ) \
]^ también es una base de dicho espacio.
6. Sea _^ , _^ , _^ la base canónica de . En el mismo espacio vectorial tenemos el
conjunto }\
]^ , \
]^ , \
]^ ~ donde \
]^ 3_^ ) 2_^ , _^ ; \
]^ 4_^ ) _^ ) _^ ; \
]^ 2_^ ,
_^ ) _^ . Se pide: a) Demostrar que \
]^ , \
]^ , \
]^ es una base. b) Hallar la expresión del
cambio de la base canónica a la base \
]^ , \
]^ , \
]^ . c) Calcular las coordenadas del
vector 1, 2, 3 expresado en la base canónica, en términos de la base \
]^ , \
]^ , \
]^ .
7. Sean }1, 1, 1, ,2~ y * }2, 1, 0, 1~ dos bases de . Hallar las
expresiones matriciales de los cambios de base de a * y de * a .
8. Demostrar que el conjunto }5, ,25, 0; 5 w ~ es un subespacio vectorial de .
Obtener una base y determinar la dimensión y las ecuaciones paramétricas e implícitas
del subespacio.
9. Obtener una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 y del
espacio vectorial de las matrices de orden 2 3.
10. Sean _^ 3, 2, ,1; _^ 2, 5, 6 y _^ 1, ,3, ,7. Sea Ž È_^ , _^ , _^ É el
subespacio engendrado por estos tres vectores. Calcular: a) una base de Ž y las
ecuaciones implícitas. b) el vector ,3, ,2, 1, ¿pertenece a Ž? c) el vector 1, 1, 3,
¿pertenece a Ž? d) ¿Para qué valores de el vector , 0, 1 pertenece a Ž?
11. Hallar una base del subespacio engendrado por los vectores 2, ,2, 3, 1 y
,1, 4, ,6, ,2 y ampliar dicha base a una del espacio vectorial de [ .
12. Sea · el subespacio vectorial de engendrado por el vector 1, 1, ,1 y sea
y }, `, x w ⁄3 , ` 0, 2 ) x 0~. a) Demostrar que y es subespacio de
. b) Obtener una base y la dimensión de y. c) Hallar una base, dimensión y las
ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios · ” y y · ) y.
13. Sean los subespacios de : Ž }5 ) „, 2„, „ Ë 5, „ w ~; f }2, , Ë w
y Ì, `, x Ë 2,`,x0;, `, xw. a) ¿Son Ž y f subespacios suplementarios, es
decir, Ž ) f y Ž ” f }0, 0, 0~. b) Hallar una base y la dimensión de
Ž ) f ” Ì.
38
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
14. Consideremos el espacio de y la base * }9^ , 9^ , 9^ ~. Si el conjunto *˜ }\
]^ , \
]^ , \
]^ ~ es tal que: \
]^ 29^ ) 9^ ) 9^ ; \
]^ 9^ ) 29^ ) 9^ ; \
]^ 9^ ) 9^ ) 29^:
]^ , \
]^ ~ forman una base. b) Hallar la matriz de cambio de * a
a) Demostrar que }\
]^ , \
*˜. c) Calcular las coordenadas de un vector _^ en la base * sabiendo que en la base *˜
sus coordenadas son 1, 1, 1.
39
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 3
FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
APLICACIÓN LINEAL
PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL
DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN. RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
CAMBIO DE BASES DE REFERENCIA EN DOS ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicios
40
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 3
FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES
1. RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. A se llama dominio y B es la imagen o
codominio. Se dice que : es una función o aplicación de A en B si : es una relación
entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único representante en B».
Propiedades
•
•
•
Si una relación : es función, la relación inversa : G no necesariamente lo es.
:f ™ Ì :f ™ :Ì
:f ” Ì :f ” :Ì
2. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
Las funciones pueden ser inyectivas, también llamadas unívocas o «uno a
uno», son aquéllas en las que elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B;
sobreyectivas, aquéllas en las que todo elemento de B es imagen de alguno de A; y
biyectivas, también llamadas biunívocas, aquéllas que son inyectivas y sobreyectivas.
Ejemplos
•
•
Sea :: € Í € tal que :x 2x. Esta función asigna a cada número natural su
duplo. Es inyectiva, pero no sobreyectiva pues los elementos impares del
codominio carecen de antecedente en el dominio.
Sea <: € Í P tal que <x 2x donde el codominio se ha restringido al conjunto
de los números pares. Es inyectiva y también sobreyectiva. Por tanto, es biyectiva.
3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
A partir de dos funciones : y < es posible definir, bajo ciertas condiciones, otra
¹ Ð Ñ (léase : compuesta con <, llamada función compuesta.
41
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Propiedades
• En general no se cumple la propiedad conmutativa:< Ð : : Ð <.
• = Ð < Ð : = Ð < Ð :
• La composición de funciones inyectivas es inyectiva.
• La composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva.
• La composición de funciones biyectivas es biyectiva.
pero
• La inyectividad de la composición no implica la de cada función, pero sí la de la
primera.
• Si la composición de dos funciones es sobreyectiva, entonces la segunda es
sobreyectiva.
• Una función admite inversa si es biyectiva, además la función inversa es única.
Ejercicios
•
•
E.1. Sean }1, 2, 3~ y * }2, 3~. Clasificar :: * Í  tal que :, 6 3a ,
6.
E.2. Las funciones ::  Í Q y <: Q Í  son:
:x ⁄ 2 ) 1
< 9i9­ Determinar < Ð :, : Ð < y calcular < Ð : ,2 y : Ð <, 1⁄2.
4. APLICACIÓN LINEAL
Sean ‚, ), |,z y , ), |,z dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo
|. La función :: ‚ Í  es una aplicación lineal, transformación lineal u
homomorfismo si ƒ5, „Ó|; ƒ^, `^ Ó ‚ se cumple:
:5^ ) „ `^ 5:^ ) „ :`^
Ejercicios
•
•
E.3. Demostrar que la función :: Í definida por : , , , ,
, es una aplicación lineal.
E.4. Demostrar que :: Í tal que : , , , , , ) 1
no es una aplicación lineal.
42
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
5. PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES
Propiedades
La imagen de ]0^° (el vector nulo de ‚) es ]0^Ô (el vector nulo de .
La imagen del opuesto de todo vector de ‚ es igual al opuesto de su imagen en .
Basta que : sea una aplicación lineal. No se exige que sea inyectiva, sobreyectiva o
biyectiva o ninguna de las tres. Pero:
- Si : es inyectiva entonces es un monomorfismo.
- Si : es sobreyectiva entonces es un epimorfismo.
- Si : es biyectiva entonces es un isomorfismo.
- Si  ‚ entonces : es un endomorfismo.
- Si  ‚ y :es biyectiva, entonces : es un automorfismo.
Ejercicio
•
•
•
•
E.5. Demostrar que la función :: Í definida por : , , , , ,
es un automorfismo.
6. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL
NÚCLEO
El núcleo Ì: de una aplicación lineal : (también llamado ker) es el conjunto
de los vectores del dominio cuyas imágenes son el vector nulo de .
]^aŠ
Ì: ‰^ w ‚ / : 0
Propiedades
•
•
•
•
Ì : ‡ ‚
]^° 0
]^Ô U ]0^° w Ö:
:0
Ö: es un subespacio de ‚.
En un monomorfismo el único elemento del núcleo es el vector nulo.
IMAGEN
La imagen 0: de una aplicación lineal :: ‚ Í  es el conjunto imagen del
domino, o sea, la totalidad de las imágenes de los vectores del espacio ‚.
0: }:^ / ^ w ‚~
Propiedades
•
•
•
•
0: ‡ 
]0^Ô w 0:
0: es subespacio de .
En una aplicación lineal :: ‚ Í  la imagen de cualquier conjunto de vectores LD
de ‚ es LD en .
43
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
•
Si :: ‚ Í  es una aplicación lineal y _^ , _^ , … , _^ son vectores de ‚ tales que
sus imágenes son LI en , entonces _^ , _^ , … , _^ son LI.
La imagen de todo conjunto LI, dada por cualquier aplicación lineal inyectiva, es un
conjunto LI.
Ejercicios
•
•
•
•
E.6. Determinar el núcleo de :: Í : : , , , , , .
E.7. Determinar el núcleo y la imagen de : × Í 1 tal que :, ` )`
0
;
@.
0
)`
E.8. Determinar el núcleo y la imagen de:: Í tal que : , , )
) , ) .
E. 9. Determinar el núcleo y la imagen de :: Í : : , , 2 .
7. DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN. RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y LA IMAGEN
Sea : × ‚ Í  una aplicación lineal. Se demuestra que:
dim Ì: ) dim 0: dim ‚
Ejemplo
En la aplicación lineal :: [ Í definida por : , , , [ , ,
) [ , 0 calcular: a) Ì :, una base de Ì : y su dimensión. b) La dimensión de
0: y una base de la imagen.
a) Para determinar Ì : calculamos los vectores , , , [ cuyas imágenes
son el vector nulo de . Es decir: : , , , [ 0, 0. O sea
es decir
, , ) [ 0
) , [
por lo tanto, los vectores del núcleo son del tipo:
como
b ) Ø , Ù, b, Ø, Ù Ú ÛÑ
) 6 , 7, , 6, 7 1, 1, 0, 0 ) 61, 0, 1, 0 ) 7,1, 0, 0, 1
]^¥ H, 2, H, 2, ´
]^» ,H, 2, 2, HŠ es
]^H H, H, 2, 2, ´
entonces el conjunto ‰´
un SG de Ì:. Como, además estos tres vectores son LI, constituyen una base,
cuya dimensión es 3. Es decir:
44
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
RÜÝ ÛÑ »
b) De la expresión dim Ì: ) dim 0: dim ‚ deducimos: 3 ) dim 0: 4. Es
decir: RÜÝ /Ñ H. Como
0: } , 6 , 7 ) 8, 0~
si ` , ` w 0: entonces:
o sea
` , ` , 6 , 7 ) 8, 0
` , ` 1,0 , 6 1,0 , 7 1,0 ) 8 1, 0
por lo tanto, el vector H, 2 es una base de /Ñ.
RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL: ¸¹ Ñ
El rango de una aplicación lineal : × ‚ Í  es la dimensión de su imagen.
­<: dim 0:
Si las dimensiones de los espacios ‚ y  son dim ‚ y dim  , como
dim Ì: ) dim 0: dim ‚, entonces:
Propiedades
•
•
•
RÜÝ ÛÑ ) ¸¹Ñ ¦
Si ­<: entonces : es inyectiva y dim Ì: 0.
Si ­<: entonces : es sobreyectiva.
Si ­<: entonces : es biyectiva.
Ejemplos
•
•
Determinar las dimensiones del núcleo y la imagen de la aplicación lineal :: Í
; :, `, x , `, ` , x.
De , `, ` , x 0, 0 se deduce que `, ` x U ` x. Por
tanto, un vector del núcleo es aquel cuyas tres coordenadas sean iguales, por
ejemplo el vector 1, 1, 1, cuya dimensión es 1: RÜÝ ÛÑ H. Como
dim 0: dim , dim Ì: 3 , 1 2. RÜÝ /Ñ ¥. Ya que la dimensión
de la imagen coincide con 2 , es decir, la dimensión del espacio vectorial
 , entonces Ñ es sobreyectiva.
Determinar las dimensiones del núcleo y la imagen de la aplicación lineal :: Í
[ ; :, ` 3 ) 4`, 5 , 2`, ) 7`, 4.
45
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
De 3 ) 4`, 5 , 2`, ) 7`, 4 0, 0, 0, 0 se deduce 0, ` 0. Por
tanto, el único vector del núcleo es 0, 0, cuya dimensión es 0. RÜÝ ÛÑ 2. La
aplicación Ñ es inyectiva. Como dim 0: dim [ , dim Ì:, entonces
RÜÝ /Ñ ¿.
Determinar las dimensiones del núcleo y la imagen de la aplicación lineal :: Í
1
0
0
; :, `, x 0
#
Þ
ß.
1
0
,2 ,4 ,1 x̀
De :, `, x 0,0,0 se deduce 0, ` 0, ,2 , 4` , x 0. Es decir:
` x 0. Por tanto, el único vector del núcleo es 0,0,0, cuya dimensión es
cero. RÜÝ ÛÑ 2. La aplicación : es inyectiva, pero dim 0: dim ,
dim Ì:, entonces RÜÝ /Ñ ». Como ­<: 3 coincide con las
dimensiones de los espacios vectoriales ‚ y  , entonces Ñ es
biyectiva.
8. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Consideremos una aplicación lineal :: ‚ Í , sea m‚n }_^ , _^ … _^ ~ una
base del espacio vectorial ‚ y mn }a
]]^ , a
]]^ … a
]]^ ~ una base del espacio vectorial ,
entonces la aplicación lineal : queda caracterizada por una matriz de paso de
dimensión .
MÉTODO:
Para hallar la matriz D de la aplicación lineal Ñ respecto de las bases m´n y
m“n, se determinan las imágenes dadas por : de los vectores de la base m‚n; a
continuación se expresan estas imágenes en términos de la base mn, o sea, como CL
de los vectores de la base mn: La traspuesta de la matriz de coeficientes es D.
Como consecuencia de este método:
]^m´n del espacio ´ se
«La imagen ]à^m“n en el espacio “ de cualquier vector ]µ
]^m´n respecto de la base
obtiene multiplicando D por la matriz de coordenadas de ]µ
m´n».
]à^m“n D + ]µ
]^m´n
donde:
]^mÔn: Matriz columna del vector imagen expresado en términos de la base mn
á
: Matriz de la aplicación lineal
h^m°n: Matriz columna del vector del dominio expresado en términos de la base m‚n.
Ejemplo gráfico:
Las coordenadas del vector velocidad _^ de un avión en la base m‚n son las de
un sistema de referencia hâ , áâ , ãâ de que navega solidario con el avión, es decir:
_^ _1â , _äâ , _åâ m°n. Pero, se necesitan las coordenadas del mismo vector velocidad
46
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
_^ respecto a otra base mn representada por el sistema de referencia h, á, ã, también
de , con origen en el centro de la Tierra, es decir: _^ _1 , _ä , _å mÔn . Si es la
matriz de la aplicación lineal que permite pasar de la base m‚n a la base mn, entonces
aplicando la expresión anterior:
_^mÔn + _^m°n
_1
_1â
_ä # + _äâ #
_åâ
_å
Obsérvese que en este ejemplo los espacios vectoriales ‚ y  son el mismo
espacio vectorial .
Ejemplo analítico:
En la aplicación lineal :: Í : , , ) , , . a)
Calcular la matriz de : respecto las bases m‚n }1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0~ en y
mn }2, 0, 0, 1~ en . b) Obtener la imagen del vector h^ 1, 2, 3 expresado
en la base canónica.
a)
Mediante : obtenemos las imágenes de los vectores de la base m‚n:
:1, 1, 1 1 ) 1, 1 , 1 2, 0
:1, 1, 0 1 ) 0, 1 , 0 1, 1
:1, 0, 0 1 ) 0, 0 , 0 1, 0
Expresamos dichas imágenes como CL de los vectores de mn:
En donde se deduce que:
2, 0 5 2, 0 ) „ 0, 1
1, 1 5 2, 0 ) „ 0, 1
1, 0 5 2, 0 ) „ 0, 1
47
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
5 1
„ 0
5 1⁄2 5 1⁄2
„ 1
„ 0
Por lo tanto, la matriz de : respecto de las bases m‚n y mn es:
b)
H ¥
H H ⁄ ¥ H⁄ ¥
D%
( %
2
H
2
¥ 2
H H
(
¥ 2
Para obtener la imagen del vector h^ 1, 2, 3, expresado en la base canónica, es
]^ ³.
necesario determinar sus coordenadas respecto a la base de ±‚
1, 2, 3 51, 1, 1 ) „1, 1, 0, )£1, 0, 0
es decir 1 5 ) „ ) £, 2 5 ) „, 3 5. Por lo tanto,
5 3,
]^mÔn :
La imagen de h^m°n es á
„ ,1,
£ ,1
5
3
h^m°n „ # ,1#
£
,1
1
]^mÔn + h^m°n %2
á
2 0
3
1 1
2
( ,1# % (
2 0
,1
,1
]]^m´n ¥, ,H
ѵ
Obsérvese que si aplicamos directamente : a 1, 2, 3:
:1, 2, 3 1 ) 3, 2 , 3 4, ,1
y expresamos esta imagen como CL de los vectores de la base mn:
Obtenemos
4, ,1 2, 0 ) 60, 1
2
6 ,1
es decir, las mismas coordenadas calculadas mediante la aplicación lineal:
:h^m°n 2, ,1
9. CAMBIO DE BASES DE REFERENCIA EN DOS ESPACIOS VECTORIALES
Sea la aplicación lineal :: ‚ Í  y la matriz de : respecto de las bases m‚n y
mn. Si se efectúa un cambio de base en cada espacio vectorial, entonces : está
caracterizada por otra matriz * respecto de las nuevas bases m‚˜n y m˜n, según el
siguiente esquema:
48
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
: Matriz de paso de la base m‚n a la base m‚˜n del espacio vectorial ‚
¡: Matriz de paso de la base mn a la base m˜n del espacio vectorial 
: Matriz de la aplicación lineal : respecto de las bases m‚n y mn
*: Matriz de la aplicación lineal: respecto de las bases m‚˜n y m˜n
Pero, un vector h^m°n en la base m‚n se expresa en la base m‚˜n empleando :
h^m°n + h^±° ² ³
1
]^mÔn ¡ + á
]^±Ô ² ³
á
2
]^mÔn + h^m°n
á
3
]^±Ô ² ³ * + h^±° ² ³
á
4
]^mÔn en la base mn se expresa en la base m˜n empleando ¡:
y un vector á
Pero, mediante la matriz de la aplicación lineal se cumple que:
y también sabemos que con la matriz * se cumple que:
De (2) y (3) deducimos:
]^±Ô ² ³ + h^m°n
¡+á
]^±Ô ² ³ y h^m°n de (4) y (1), obtenemos:
y sustituyendo los valores de á
¡+* + Como ¶ y æ son invertibles por ser matrices de paso, premultiplicamos por ¡ G :
Pero
¡ G + ¡ + * ¡ G + + 49
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
¡ G + ¡ + * 0 + * *
entonces:
E æGH + D + ¶
Ejemplo:
Sea :: Í tal que :, 6, 7 ) 6 , 7, , 6. a) Hallar la matriz de
: respecto de las bases canónicas de ` . b) Calcular las matrices de paso de las
bases canónicas a las bases m‚˜n }0, 1, 1, 1, ,1, ,2, 1, ,1, ,1~ y m˜n }1, 3, 0, ,2~. c) Calcular la matriz * de : respecto del nuevo par de bases.
a) Mediante : obtenemos las imágenes de los vectores de la base canónica de :
:9^ :1, 0, 0 1 ) 0 , 0, 1 , 0 1, 1
:9^ :0, 0, 1 0 ) 1 , 0, 0 , 1 1, ,1
:9^ :0, 0, 1 0 ) 0 , 1, 0 , 0 ,1, 0
Expresamos dichas imágenes como CL de los vectores de la base canónica de :
En donde se deduce que:
1, 1 5 1, 0 ) „ 0, 1
1, ,1 5 1, 0 ) „ 0, 1
,1, 0 5 1, 0 ) „ 0, 1
5 1 5 1 5 ,1
„ 1 „ ,1 „ 0
Por lo tanto, la matriz de : respecto de las bases canónicas es:
H H ,H
D%
(
H ,H 2
b) Para calcular las matrices de paso y ¡ expresamos los vectores de las bases m‚˜n
y m˜n como CL de los vectores de las bases canónicas:
m‚ { n 59^ ) „9^ ) £9^
0,1,1 51, 0, 0 ) „0, 1, 0 ) £0, 0, 1
1, ,1, ,2 5 { 1, 0, 0 ) „ { 0, 1, 0 ) £ { 0, 0, 1
1, ,1, ,1 5 {{ 1, 0, 0 ) „ {{ 0, 1, 0 ) £ {{ 0, 0, 1
donde deducimos:
50
„1
£1
Por tanto la matriz de paso es:
5{ 1
5 {{ 1
„ { ,1 „ { ˜ ,1
£ { ,2 £ {{ ,1
50
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Análogamente:
Es decir
2 H
H
¶ H ,H ,H#
H ,¥ ,H
m { n 59^ ) „9^
1, 3 51, 0 ) „0, 1
0, ,2 5 { 1, 0 ) „ { 0, 1
51
„3
Por lo tanto la matriz de paso ¡ es:
5{ 0
„ { ,2
H
æ%
»
2
(
,¥
c) Para calcular la matriz * empleamos la expresión * ¡ G + + :
d)
0 1
1
1 0 G 1 1 ,1
*%
( +%
( + 1 ,1 ,1#
3 ,2
1 ,1 0
1 ,2 ,1
E
H 2 ¿
%
¥ H ¿
¥
(
H
Ejemplo:
Sea ‚ y  . Sean Œ }1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, ,2, 1~ un conjunto
de vectores de ‚. Sea la aplicación lineal :: Í definida mediante las imágenes
de los vectores de Œ: :1, 1, 0 3, 2, 0; :2, 3, 1 1, ,2, 1 y :0, ,2, 1 4, 0, 1. Sean † }, `, x w ⁄ 0~ y ‹ }, `, x w ⁄ ) 6, ` , x 6. a) Demostrar que Œ es una base de ‚. b) Hallar la matriz asociada a : respecto a la
base canónica. c) Hallar :, `, x. d) Hallar :† ” :‹ y :† ” ‹. e) Hallar la matriz
asociada a : respecto de la base del enunciado.
a) El determinante formado con los vectores de U es det Π3 0, por tanto los
vectores son LI y Œ es una base de ‚ .
b) Determinación de la matriz asociada a ::
]^mòn + h^mòn siendo m9n la base canónica de , entonces:
Como á
3
1
1
2
4
0
2# + 1# ; ,2# + 3# ; 0# + ,2#
0
0
1
1
1
1
expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente:
51
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
por lo tanto:
3
2
0
es decir:
c) La función :, `, x es:
1 4
1
,2 0# + 1
1 1
0
3
2
0
1 4 1
,2 0# 1
1 1 0
D
2 0
3 ,2#
1 1
2 0 G
3 ,2#
1 1
ó ,» ,¥
¿ ,¥ ,¿#
2 2
H
6 ,3 ,2 Ѿ, ô, õ 4 ,2 ,4# Þ ß ó¾ , »ô , ¥õ, ¿¾ , ¥ô , ¿õ, õ
x̀
0 0
1
d) :† ” :‹ y :† ” ‹
Determinación de Ñö:
]^mòn :
Un vector cualquiera de † es 0, `, x. Como :† h^mòn á
,3` , 2x
6 ,3 ,2 0̀
:† + h^mòn 4 ,2 ,4# # ,2` , 4x#
0 0
1
x
x
Cualquier vector , `, x w :† será de la forma:
, `, x ,3` , 2x, ,2` , 4x, x `,3, ,2, 0 ) x,2, ,4, 1
luego , `, x es CL de ,3, ,2, 0 y ,2, ,4, 1; es decir:
x
y z
,3
,2
0ß 0
det Þ
,2 ,4 1
Por lo tanto, la ecuación cartesiana de :† es: 2 , 3` , 8x 0.
Determinación de Ñ÷:
De la definición de ‹ }, `, x w ⁄ ) 6, ` , x 6~ deducimos
]^mòn :
que cualquier vector de ‹ es ` ) x, `, x. Como :‹ h^mòn á
6
:‹ + h^mòn 4
0
3` ) 4x
,3 ,2 ` ) x
ß
,2 ,4# Þ
2` #
x̀
0
1
x
Cualquier vector , `, x w :‹ será de la forma:
52
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
, `, x 3` ) 4x, 2`, x `3, 2, 0 ) x4, 0, 1
luego , `, x es CL de 3, 2, 0 y 4, 0, 1; es decir:
x y
det Þ3 2
4 0
z
0ß 0
1
Por lo tanto, la ecuación cartesiana de :‹ es: 2 , 3` , 8x 0.
Determinación de Ñö ” Ñ÷:
Como se aprecia, 2 , 3` , 8x 0 es tanto la ecuación cartesiana de fS
como de :‹. Es decir, los vectores de :† y :‹ son los mismos, entonces:
Ñö ” Ñ÷ Ñö Ñ÷ }¾, ô, õ⁄¥¾ , »ô , úõ 2~
Cálculo de Ñö ” ÷:
La ecuación cartesiana de † }, `, x w ⁄ 0~ es precisamente 0.
Cualquier vector de ‹ }, `, x w ⁄ ) 6, ` , x 6~ es de la forma:
) 6, , 6 1, 1, 0 ) 61, 0, 1
Luego un vector , `, x w ‹ es CL de 1, 1, 0 y 1, 0, 1; es decir:
x y
det Þ1 1
1 0
z
0ß 0
1
Por lo tanto, la ecuación cartesiana de ‹ es: , ` , x 0.
El conjunto † ” ‹ está formado por los vectores que cumplen, a la vez, las
ecuaciones cartesianas de † y ‹:
es decir:
o
† ” ‹ }, `, x⁄ 0, , ` , x 0~
† ” ‹ }, `, x⁄,` , x 0~
† ” ‹ }, `, x⁄` , x~
Cualquier vector , `, x w † ” ‹ será de la forma:
, `, x 0, >, ,>
]^mòn :h^mòn + h^mòn :
Como á
6
+ h^mòn 4
0
,3 ,2
0
,1
,2 ,4# > # > 2 #
0
1
,>
1
53
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
de donde se deduce que todos los vectores de :† ” ‹ son de la forma:
Ñö ” ÷ ¯,H, ¥, H
e) Determinación de la matriz asociada a f respecto de la base U:
Como * ¡ G , pero ¡ , entonces * G :
1
* 1
0
2 0 G 6
4
3 ,2#
0
1 1
E
,3 ,2 1 2 0
,2 ,4# 1 3 ,2#
0
1
0 1 1
H HH û Hó
,H ,H ,¥#
»
H
¿
û
54
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejercicios
1. Consideremos la aplicación lineal :: Í dada por:
:, `, x ) 3` , x, 2 ) p`, , 2` ) x
a) Determinar los valores de p para los que : es biyectiva.
b) Para p 2, hallar una base, la dimensión y las ecuaciones implícitas del núcleo y la
imagen.
c) Para p 2, hallar la matriz asociada a : cuando se considera en ambos espacios la
base mŒn }1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0~.
d) Para p 2, hallar: G 2, 0, 3.
2. Sea :: Í la aplicación lineal definida por:
:, `, x ) 2` ) 3x, , ) `, ) ` ) 2x
a) Calcular la matriz asociada a : respecto de la base canónica.
b) Hallar una base y las ecuaciones cartesianas del núcleo.
c) Sea † }, `, x w ⁄x , `~. Hallar una base de los subespacios †, :† y
† ) :†.
d) Hallar la matriz asociada a : respecto de la base: }1, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1~.
3. Sea :: Í tal que :1, 1, 0 3, 2, 0; :1, 0, 1 4, ,1, 3 y :0, 1, 1 5, 1,3. Determinar una base y las ecuaciones del núcleo y la imagen.
4. Sea :: Í [ la aplicación lineal definida por:
:, `, x , `, ) 2` ) 3x, 0, ) x
Calcular:
a) La matriz asociada a : respecto a las bases canónicas.
b) La matriz asociada a : respecto a las bases mŒn }1, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1~ y
mn }2, 1, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 3~
5. Sea :: Í la aplicación lineal definida por:
2 1
:, `, x 1 2
1 1
1 1# Þ ß
2 x̀
y † }, `, x w ⁄x , `~. Hallar una base de los subespacios †, :† y
† ) :†.
6. Sea :: Í la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica
es:
0 1
1 0
1 1
a) Hallar la imagen del vector ,1, 3, 0.
55
1
1#
0
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
b) Hallar la base, dimensión y ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen.
c) Sea † }, `, x w ⁄x 0~. Probar que † es un subespacio y hallar una base
del dicho subespacio.
d) Sea mŒn }2, 0, ,1, 0, 3, 0, 1, 4, 2~ una base. Hallar la matriz asociada a :
respecto a dicha base.
7. Sea :: Í [ la aplicación lineal definida por :1, 1, 1 1, 2, 0, 0; :0, 1, 3 1, 1, 0, 1 y :0, 0, ,1 0, 0, 1, 0. Calcular:
a) La expresión matricial de la aplicación respecto a las bases canónicas.
b) Sea m*n }1, 1, 1, 0, 1, 3, 0, 0, ,1~ una base de . Hallar las coordenadas
del vector ^ 3, 5, ,2 respecto a m*n. Hallar una matriz tal que + ^mÆn ^mòn , donde ^mÆn son las coordenadas del vector respecto la base m*n y ^mòn
respecto a la base canónica.
56
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 4
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
VECTORES EN . MÓDULO Y VECTOR UNITARIO
ADICIÓN Y PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. PRODUCTO INTERIOR
ÁNGULO DE DOS VECTORES
ORTOGONALIDAD
CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES
BASE ORTONORMAL
ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE
VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ CUADRADA. DETERMINACIÓN DE LOS
VALORES Y VECTORES PROPIOS
MATRICES SEMEJANTES EN UNA APLICACIÓN LINEAL
POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
RAÍCES DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS. REDUCCIÓN
FORMAS CUADRÁTICAS
MATRIZ SIMÉTRICA ASOCIADA A UNA FORMA CUADRÁTICA
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Y REALES
DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
UN PROBLEMA FÍSICO DE APLICACIÓN
Ejercicios
57
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
CAPÍTULO 4
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS
1. VECTORES EN » . MÓDULO Y VECTOR UNITARIO
En diversas ramas de ciencias que emplean el cálculo vectorial, la base
canónica de se designa con los vectores unitarios ü^ 1, 0, 0, ý^ 0, 1, 0 y
>]^ 0, 0, 1. Así, un vector ·^ cualquiera se expresa en función de sus componentes
cartesianas de la siguiente manera:
·^ ·1 ü^ ) ·ä ý^ ) ·å >]^ ·1 , ·ä , ·å El módulo o norma de ·^ es la medida del vector. Se escribe þ·^ þ o ·:
þ·^ þ · ) ·1 ) ·ä ) ·å
Para calcular un vector unitario (es decir, un vector que mida 1) que tenga la
misma dirección y sentido que ·^ , basta dividir por ·:
\
]^½^ ·^
·
)·1
1
)
·ä
)
·å
·1 , ·ä , ·å 2. ADICIÓN Y PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN »
Adición
]^ 1 ¡1 ü^ ) ä ¡ä ý^ ) å ¡å >]^
]^ ¡
Producto escalar
]^ como el escalar que resulta de multiplicar
Se define el producto escalar ]^ · ¡
los módulos y ¡ por el coseno del ángulo que forman ambos vectores:
]^ ¡ cos ]^ · ¡
]^
Este producto es también el del módulo de ]^ por la componente ¡ cos de ¡
]^
]
^
]
^
según la dirección de , o el del módulo de ¡ por la componente cos de según la
]^.
dirección de ¡
De la definición se deduce que:
luego
ü^ ) ü^ ý^ · ý^ >]^ · >]^ 1
ü^ · ý^ ý^ · ü^ ü^ · >]^ >]^ · ü^ > · ý^ 0
]^ 1 ü^ ) ä ý^ ) >]^ · ¡1 ü^ ) ¡ä ý^ ) ¡ >]^ ]^ · ¡
58
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
]^ ¡ cos 1 ¡1 ) ä ¡ä ) å ¡å
]^ · ¡
además
]^ · ]^ 1 ) ä ) å y
cos 1 ¡1 ) ä ¡ä ) å ¡å
1 ) ä ) å ¡1 ) ¡ä ) ¡å
Ejercicios
•
•
]^ , ` , x y ‚
]^ , ` , x calcular ‚
]^ · ‚
]^ si: a)
E.1. Dados dos vectores ‚
Coinciden en dirección y sentido. b) Forman un ángulo de 60º. c) Son
perpendiculares entre sí. d) Forman un ángulo de 120º. e) Son de la misma
dirección y sentido contrario.
E.2. ¿Cuál es la proyección del vector 1,2,3 sobre el 3,4,5
3. ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. PRODUCTO INTERIOR
]]^, à
]^É define
Sea ‚, ), ,z un espacio vectorial sobre el cuerpo . El símbolo ȵ
]^É es una
]^ de ‚ si Èh^, á
el producto interior (o producto escalar) de los vectores h^ e á
aplicación tal que:
]^, h^É
]^É Èá
a) Èh^, á
]]]^ ã^É ) Èá
]^, ã^É
]]]^ ã^É Èh,
b) Èh^ ) á,
]^É 5Èh^, á
]^É
c) È5h^, á
d) Èh^, h^É 0
e) Èh^, h^É 0 h^ 0
Propiedades
•
•
•
•
•
Todo producto interior asigna a cada par de vectores un único escalar real.
Un espacio vectorial es euclidiano si está dotado con producto interior.
Un producto interior permite establecer los conceptos de distancia entre pares de
vectores, módulo de un vector, ortogonalidad y ángulo entre dos vectores.
El producto interior de cualquier vector por el vector nulo es cero.
El módulo o norma de un vector h^ es la raíz cuadrada no negativa del producto
interior de dicho vector por sí mismo.
h )Èh^, h^É
59
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
]^entre dos vectores h^ e á
]^es el módulo de su diferencia
La distancia 8h^, á
•
]^
es un vector unitario (de módulo 1).
]^þ
þ
]^ þh^ , á
]^þ
8h^, á
•
Se cumple la desigualdad de Schwarz:
•
Se cumple la desigualdad triangular:
]^þ
]^Éþ þh^þþá
þÈh^, á
]^Éþ þh^þ ) þá
]^þ
þÈh^ ) á
`
`
Sean h e á dos vectores de , ), ,z. La función
`
Èh, áÉ h $ á es un producto interior pues satisface las propiedades a), b), c), d) y e).
Ejemplo
Obsérvese que Èh, áÉ h $ á en es el producto escalar usual, pues:
`
`
Èh, áÉ h $ á e ` ) ` ) e ) `
`
Ejercicio
•
1 ,2
(. Se define Ȃ , ‚ É ‚$ + + ‚.
E.3. Sea , ), ,z y la matriz %
,2 5
Demostrar que es un producto interior.
4. ÁNGULO DE DOS VECTORES
Se define:
]^É h á cos Èh^, á
]^.
tal que es el ángulo que forman los vectores h^ e á
5. ORTOGONALIDAD
]^ son ortogonales o perpendiculares si su producto interior
Dos vectores h^ e á
es nulo.
]^É 0 U 90º
Èh^, á
60
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejercicio
•
]^ ,, , 1 sean
E.4. Determinar w para que h^ ,3, ,4,1 e á
ortogonales con el producto interior usual.
6. CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES
El conjunto de vectores ‰h^ , h^ , … , h^ Š es ortogonal si dos vectores
cualesquiera y distintos son ortogonales:
Propiedad
•
]]^d É 2
]]^
, µ
‰h^ , h^ , … , h^ Š es ortogonal d ȵ
Todo conjunto ortogonal de vectores al que no pertenece el vector nulo es LI.
7. BASE ORTONORMAL
m‚n es una base ortonormal si está formada por un conjunto ortogonal de
vectores unitarios. Por tanto, una base ortonormal es tal que:
]]^
, µ
]]^d É 2; ƒ U Ⱦ
]^
, ¾
]^
É H
h^ , h^
w m‚n; ȵ
En , con el producto interior usual, la base canónica es ortonormal.
Ejercicio
•
E.5. Comprobar que la base de formada por los vectores
1, √3
es ortonormal con el producto interior usual.
√3, ,1
y
8. ORTONORMALIZACIÓN DE UNA BASE
]^ , … , ‚
]^ Š una base cualquiera. Para ortonormalizarla se realizan
]^ , ‚
Sea m‚n ‰‚
las siguientes combinaciones lineales:
]]]^ ‚
]^

]]]^ 5 
]]]^ ) ‚
]^

]
]]^ 5 
]]]^ ) 5 
]]]^ ) ‚
]^
]]]^ 5 
]]]^ ) 5 
]]]^ ) e ) ‚
]^

El proceso de ortonormalización se ejecuta en dos pasos: primero se
ortogonaliza la base y después se normaliza:
Primer paso:
Se calculan los coeficientes 5
de manera que se cumpla la condición de
ortogonalidad:
61
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
]]]^ , 
]]]^ É 0
a) ȍ
]]]^ É 0; ƒC, Ë C ]]]^« , 
ȍ
es decir:
]]]^ ) ‚
]^ , 
]]]^ É 0
È5 
]]^
]
]]^
]]]^ É 0
]
]^ , 
5 ȍ ,  É ) Ȃ
]]]^ , 
]]]^ É 0
b) ȍ
]]]^ , 
]]]^ É 0
ȍ
5 ]^ , 
]]]^ É
,Ȃ
| |
es decir:
]]]^ ) 5 
]]]^ ) ‚
]^ , 
]]]^ É 0
È5 
]]]^ ) 5 
]]]^ ) ‚
]^ , 
]]]^ É 0
È5 
De estas dos condiciones se obtienen 5 y 5 .
c) Y así sucesivamente, hasta calcular todos los 5
.
Segundo paso:
]]]^ , … 
]]]^ Š, se normaliza:
]]]^ , 
Determinada la base ortogonal mn ‰
mn Ejemplo
]]]^ 
]]]^
]]]^


,
,…,  

Ortonormalizar la base de formada por h^ 1,1 y h^ ,1,2.
Consideremos definido el producto interior usual. Hacemos:
]]]^ h^

]
]]^ 5
]]]^ ) h^
]]]^ , 
]]]^ É 0
ȍ
calculamos:
]]]^ ) h^ , 
]]]^ É È51,1 ) ,1,2, 1,1É
È5
È5 , 1, 5 ) 2, 1,1É 5 , 1 ) 5 ) 2 0
donde se deduce que:
5 , 1⁄ 2
62
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
por lo tanto:
]]]^ 1,1

]]]^ , 1⁄2 1,1 ) ,1,2 3⁄2 ,1, 1

]]]^ y 
]]]^ son:
Los módulos de 
entonces:
 1 ) 1 √2
 3⁄2 ,1 ) 1 3⁄2 √2
]]]^ 1,1

1
1, 1

√2
√2
]]]^ 3⁄2 ,1, 1

1
,1, 1

3⁄2 √2
√2
La base ortonormalizada es:
Ejercicio
•
1
√2
1, 1,
1
√2
,1, 1
E.6. Demostrar que È , ¡É G ¡8, donde y ¡ son polinomios en ,
es un producto interior. Sea la base m*n }1, , ~ . Ortonormalizarla.
9. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
El escalar Ä es un valor propio (valor característico o autovalor) de la matriz
]]^ w | 1 , llamado vector propio
cuadrada w | 1 si existe un vector no nulo µ
(vector característico o autovector) de la matriz , asociado al valor propio p , tal
que h^ ph^.
]^, entonces p0h^ , h^ 0
]^; por tanto,
De h^ ph^ se deduce que ph^ , h^ 0
para calcular el vector propio asociado a cada p basta resolver el sistema lineal:
]^
p0 , h^ 0
1 0
Veamos los valores y vectores propios de la matriz diagonal A 0 2
0 0
1 0
h^ ph^ 0 2
0 0
0 0# # p #
3 1 · p
2 · p
3 · p
63
(1)
(2)
(3)
0
0#.
3
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
De (1) se deduce p 1; y, para satisfacer simultáneamente (2) y (3) con p 1,
entonces 0. Análogamente, de (2) se deduce p 2; y, para satisfacer
simultáneamente (1) y (3) con p 2, entonces 0. Por último, de (3) se
deduce p 3; y, para satisfacer simultáneamente (1) y (2), entonces 0. Por
tanto:
Valor
Propio
1
2
3
Vector propio
asociado
1,0,0
0,1,0
0,0,1
Propiedades
•
•
•
Los valores propios en una matriz diagonal son los elementos de la diagonal, y los
vectores propios son los «canónicos» si los valores propios son distintos.
Los vectores propios asociados a valores propios «distintos» son LI.
Si p es un valor propio de la matriz entonces el determinante de p0 , es nulo:
detp0 , 0
10. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ CUADRADA. DETERMINACIÓN DE LOS
VALORES Y VECTORES PROPIOS
El polinomio característico p de una matriz w | es el determinante
de la matriz p0 , .
p , p detp0 , Q , ,
, e
p , e , e
,
,
Q
p , Propiedad
•
detp0 , 0 implica que Ä es un valor propio si es raíz o cero del polinomio
característico de D.
Ejemplo nº 1
Sea ,1 2
2
2
2
2 #. Determinar el polinomio característico p.
,3 ,6 ,6
p ) 1 ,2
,2
p detp0 , P ,2 p , 2 ,2 P
3
6
p)6
p p ) 5p ) 6p
La determinación de los valores propios de una matriz, es decir, el cálculo de
las raíces de su polinomio característico, puede ser complicada. En el ejemplo anterior,
64
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
las raíces de p p ) 5p ) 6p (p 0, p ,3 y p ,2) se encuentran
fácilmente. Pero, en una matriz de , el polinomio p será, en general, de grado
; si Z 3 el método de Ruffini permite calcular las raíces enteras, pero suele ser
difícil determinar aquéllas que no pertenezcan al conjunto de los números enteros.
Obsérvese, también, que si es la matriz de orden de una aplicación lineal
entre dos espacios vectoriales ‚ y  definidos sobre un cuerpo | y | es el conjunto
de los números complejos §, entonces tiene valores propios, no así si | es el
conjunto de los números reales . En efecto, p 0 tendrá, en general, ceros
entre raíces reales y parejas de raíces complejas conjugadas. Es decir:
Ejemplo nº 2
p p , 5 p , 5 e p , 5 Determinar los valores propios de p p , 3p ) 4p , 2.
Hacemos p , 3p ) 4p , 2 0 y aplicamos la regla de Ruffini a los divisores
enteros del término independiente. Ensayamos con p 1:
1
o sea:
1
1
,3 4
1 ,2
,2
2
,2
2
0
p p , 1p , 2p ) 2
Las raíces de p , 2p ) 2 0 son p 1 ) y p 1 , . Es decir:
p p , 1mp , 1 ) nmp , 1 , n
Por tanto, los valores propios son p 1 , p 1 ) , p 1 , si el cuerpo
es §, pero el único valor propio sería p 1 si el cuerpo es .
Ejemplo nº 3
Determinar los valores propios de p p ) 4p ) 5p ) 1
En este caso, al aplicar la regla de Ruffini a p ) 4p ) 5p ) 1 0, los
divisores enteros del término independiente 1 y ,1 no son raíces de p.
La dificultad aumenta conforme lo hace el grado de p.
Ejemplo nº 4
2 2
Determinar los valores y vectores propios de %
(
,2 2
Valores propios:
p,2
p detp0 , O
)2
p , 2 ) 4 0
65
,2
O0
p,2
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
es decir:
p 2 ) 2; p 2 , 2
Vectores propios:
• Para p 2 ) 2:
Empleamos la expresión:
es decir:
]^
p0 , h^ 0
0
2 2
0
(,%
( % ( % (
1
,2 2
0
1
2 ) 2 %
0
o sea:
2 , 2 0
2 ) 2 0
por tanto y un vector propio es, por ejemplo:
1
h^ % (
• Para p 2 , 2:
De forma análoga resulta y otro vector propio es, por ejemplo:
h^ % (
1
11. MATRICES SEMEJANTES EN UNA APLICACIÓN LINEAL
Consideremos el endomorfismo : × ‚ Í ‚, entonces el esquema del punto 18
del capítulo anterior se convierte es el de la
figura donde, como se comprueba, se están
empleando cuatros bases m‚n, m‚˜n, mn y m˜n
del mismo espacio vectorial ‚.
En estas condiciones se dice que D y E
son matrices semejantes, y se demuestra que
la expresión * ¡ G se reduce a:
* G 66
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
12. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
Dos matrices semejantes D y E tienen el mismo polinomio característico y,
en consecuencia, los mismos valores propios. Si D y E son matrices semejantes de
una aplicación lineal Ñ × ´ Í ´ su polinomio característico es el de Ñ.
Pero, puede ocurrir que dos matrices tengan el mismo polinomio característico
1 0
1 3
y no sean semejantes. Por ejemplo, las matrices %
(y*%
( tienen los
0 1
0 1
mismos valores propios, pero no son semejantes.
13. RAÍCES DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO Y DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
Propiedad
Si los ¦ valores propios del polinomio característico de D w ¦¦ son
distintos, entonces existe una matriz de paso ¶ w ¦¦ tal que ¶GH D¶ es una
matriz diagonal (se dice que D es diagonalizable). La diagonal de está formada por
los valores propios y las columnas de ¶ son los vectores propios que, además, son LI.
Ejemplo
3 ,2
Determinar los valores y vectores propios de %
( y calcular la
,1 2
matriz de paso que satisface que G sea diagonal.
El cálculo es los valores propios es análogo al del ejemplo nº 4 del punto 10.
1
Las soluciones son: p 1 , y un vector propio es, por ejemplo, h^ % (.
1
,2
Para p 4 ,2, y un vector propio es, por ejemplo, h^ % (.
1
1 ,2
^
^
Como det %
( 0, los vectores propios h y h son LI.
1 1
La matriz diagonalizada se convierte en
1 0
%
(
0 4
con los valores propios en la diagonal principal
Las columnas de la matriz de paso son los vectores propios h^ y h^,
colocados en el mismo orden que los valores propios en :
1 ,2
%
(
1 1
Se puede comprobar que G :
1 ,2 G 3 ,2 1 ,2
1 0
%
( %
(%
(%
(
1 1
,1 2
1 1
0 4
67
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Propiedad
Si el polinomio característico de D w ¦¦ tiene raíces múltiples, D es
diagonalizable si el orden de multiplicidad de cada raíz coincide con la dimensión del
subespacio «solución» que le corresponde. Dicho de otra forma, para que sea
diagonalizable la suma de las dimensiones de los subespacios solución de las raíces del
polinomio característico ha de ser igual a la dimensión del espacio vectorial.
Ejemplos
1 1
1. Comprobar que la matriz 0 1
0 0
0
1# no es diagonalizable.
1
En efecto, su polinomio característico p p , 1 tiene una raíz
p p p 1 cuyo orden de multiplicidad es 3. Los vectores propios
]^, es decir:
asociados deben cumplir p0 , h^ 0
o sea:
0 ,1 0
0
0 0 ,1# # 0#
0
0 0
0
0 , ) 0 0
0 ) 0 , 0
de donde se deduce que 0. Por tanto, cualquier vector propio es
, 0,0; por ejemplo, el vector 1,0,0 y otro será LD del 1,0,0.
Obsérvese que el rango de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones
de , y es 2. Por lo tanto, la dimensión del subespacio solución † es dim
† nº incógnitas – rango 3 , 2 1. Como el orden de multiplicidad de p es
3 1 entonces no es diagonalizable.
,3 0 ,4
4 1 4 # es diagonalizable aunque sus
2 0 3
valores propios no son todos distintos.
2. Comprobar que la matriz En efecto, su polinomio característico p p , 1p , 1 0 tiene una
raíz doble p p 1 y otra simple p ,1.
]^,
Los vectores propios asociados a p p 1 deben cumplir p0 , h^ 0
es decir:
que se reduce a
4 0
,4 0
,2 0
4 0
68
4
0
,4# # 0#
,2 0
4
# 0
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
pues las filas ,4, 0, ,4 y ,2,0, ,2 son CL de 4, 0, 4. Operando:
es decir:
4 ) 0 ) 4 0
,
Por tanto, cualquier vector propio es de la forma , , , :
, , , 1,0, ,1 ) 0,1,0
]^ 0,1,0 son LI y constituyen una base del
]^ 1,0, ,1 y ‚
Los vectores ‚
subespacio solución † de p p 1. La dimensión de esta base es 2 y coincide
con el grado de multiplicidad de p p 1. Otra forma de extraer esta
conclusión es comprobar que el sistema de ecuaciones tiene tres incógnitas , y , pero el rango de la matriz de coeficientes es 1; entonces la dimensión del
subespacio solución † es dim † nº incógnitas – rango 3 , 1 2.
]^ 0,1,0 son dos vectores propios asociados a
]^ 1,0, ,1 y ‚
Luego ‚
p p 1
]^:
El vector propio asociado a p ,1 debe cumplir p0 , h^ 0
es decir:
2
0
4
0
,4 ,2 ,4# Þ ß 0#
3
,2 0 ,4
0
,2
2
Por tanto, cualquier vector propio es de la forma ,2 , 2 , . O sea, un vector
]^ ,2,2,1.
propio asociado a p es, por ejemplo ‚
La forma diagonal de es:
1 0
0 1
0 0
0
0#
,1
con los valores propios p p 1 y p ,1 situados la diagonal principal. La
]^ , ‚
]^ y ‚
]^ dispuestos en columna
matriz está formada por los vectores propios ‚
en el mismo orden que los valores propios en :
1 0 ,2
0 1 2#
,1 0 1
Se puede comprobar la relación G :
1 0 ,2 G ,3 0
4 1
0 1 2#
2 0
,1 0 1
69
,4
1 0 ,2
1 0
4 # 0 1 2 # 0 1
3
,1 0 1
0 0
0
0#
,1
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
14. ECUACIÓN GENERAL DE LAS CÓNICAS. REDUCCIÓN
La elipse, la hipérbola y la parábola son curvas planas, llamadas cónicas, que
responden a la ecuación general
:, ` ` ) *` ) 4 ) ` ) l ) · 0
Reducir una cónica es el proceso de expresar su ecuación en un sistema de
referencia cartesiano ortogonal situado en sus ejes de simetría. A continuación se
resume el camino a seguir: Con los coeficientes de la ecuación general se calcula
* , 44. Este valor permite discriminar el tipo de cónica, así:
•
Si * , 44 X 0 es una elipse
Si * , 44 Z 0 es una hipérbola
Si * , 4 4 0 es una parábola
Reducción de la elipse y de la hipérbola
Primero se determinan las coordenadas de su centro 4 ho , áo resolviendo el sistema de ecuaciones que resulta de anular las derivadas parciales
de :, `:
:
:
0;
0
`
A continuación se trasladan los ejes de coordenadas al centro 4. En estas
condiciones, la ecuación referida a los nuevos ejes h, á se transforma en:
á ) *há ) 4h ) · 0
con
· áo ) *ho áo ) 4ho ) áo ) lho ) ·
en la que no aparecen ya términos lineales en h e á. Por último, se giran los ejes
h, á un ángulo 5 tal que:
tan 25 , *⁄ , 4
Tras el giro desaparece el término en há y la cónica se reduce a:
ॠ) Ûµ¥ ) ¼H 2
con
f 1⁄2 % ) 4 ) * ) , 4 ( ; Ì 1•2 % ) 4 , * ) , 4 (
Ejemplo
Reducir la cónica ` , 4` ) 5 , 6` ) 7 ) 15 0
70
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Como * , 44 ,4 , 4 + 1 + 5 X 0 es una elipse. El centro se
calcula anulando las derivadas parciales:
:⁄ 0:
:⁄` 0:
,4` ) 10 ) 7 0
2` , 4 , 6 0
Las soluciones del sistema de ecuaciones son: ho 5⁄2, áo 8.
Trasladando el origen al centro 4ho , áo , la ecuación se transforma en:
pues
á , 4há ) 5h , 1⁄4 0
· áo , 4ho áo ) 5ho , 6áo ) 7ho ) 15 , 1⁄4
Si se giran los ejes un ángulo 5 tal que:
como
tan 25 , *⁄ , 4 4⁄1 , 5 ,1
25 135º; 5 67º30˜
f 1⁄2 1 ) 5 ) 16 ) 1 , 5 3 ) 2√2
Ì 1⁄2 1 ) 5 , 16 ) 1 , 5 3 , 2√2
entonces
3 ) 2√2á ) 3 , 2√2h ,
1
0
4
que se puede expresarse de la forma
con
•
h h
)
1
6 1⁄2 3 ) 2√2; 6 1⁄2 3 , 2√2
Reducción de la parábola
La ecuación reducida de la parábola es:
con
ॠ) öµ 2
f )4
† 9 5 ) l cos 5
71
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
siendo
tal que
Además, con
sen 5 )4/ ) 4
cos 5 4/ ) 4
Para * Z 0, con Z 0 y 4 Z 0 entonces cos 5 X 0.
Para * X 0, con Z 0 y 4 Z 0 entonces cos 5 X 0
el nuevo origen ho , áo es:
15. FORMAS CUADRÁTICAS
V cos 5 , l sen 5
ho V , 4f·/4f†
áo , V⁄2f
Una forma cuadrática responde a la expresión:
: , , ) ) ) ) ) en la que sólo se han empleado tres coordenadas, pero que, en general, podría ser dimensional.
•
Acabamos de ver que cuando en la elipse ` , 4` ) 5 , 6` ) 7 ) 15 0
se trasladan los ejes de coordenadas hasta su centro en el punto ho , áo 5⁄2 , 8 se reduce a á , 4há ) 5h , 1⁄4 0, es decir:
á , 4há ) 5h 1⁄4
por tanto, es una forma cuadrática.
•
Por otro lado, en el ejercicio propuesto en el punto 3 se pretende demostrar que
Ȃ , ‚ É ‚$ ‚ es un producto interior, siendo % 1 ,2(. Pues bien, sea
,2 5
á
$
‚ ‚ % (. Calculemos Ȃ , ‚ É ‚ ‚:
h
resulta que
Ȃ , ‚ É á h % 1 ,2( %á (
,2 5
h
Ȃ , ‚ É á , 4há ) 5h es la forma cuadrática de la elipse anterior. O sea, podemos afirmar que la matriz
D está asociada a la forma cuadrática á , 4há ) 5h .
72
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
1 ,2
Calculemos los valores y unos vectores propios de %
(.
,2 5
Los valores propios anulan el determinante de p0 , :
detp0 , O
p,1
2
O0
2
p,5
p 3 , 2√2; p 3 ) 2√2
]^ para cada
Los vectores propios son las soluciones del sistema p0 , h^ 0
á
valor propio con h^ % ( (obsérvese que la coordenada á es la superior):
h
Unos vectores propios son:
•
Para p 3 , 2√2
es decir:
1 0
1 ,2
á
0
(,%
( % ( % (
3 , 2√2 %
0 1
,2 5
h
0
h ) á1 , √2 0
por tanto, un vector propio es, por ejemplo, con h ,1:
•
h^ ;,√2 , 1@
,1
Para p 3 ) 2√2
o sea:
1 0
1 ,2
á
0
(,%
( % ( % (
3 ) 2√2 %
0 1
,2 5
h
0
h ) á1 ) √2 0
por tanto, un vector propio es, por ejemplo, con h ,1:
h^ ;√2 , 1@
,1
•
]^H y ]µ
]^¥ son perpendiculares. En efecto,
Obsérvese que los vectores propios ]µ
su producto escalar es nulo h^ · h^ ,√2 , 1, ,1 + √2 , 1, ,1 0. Esta
propiedad se produce cuando la matriz D es «simétrica».
Ahora podemos calcular la matriz diagonal o tal que o oG o .
es diagonalizable porque tiene dos valores propios distintos. La matriz de
paso o se construye con los vectores propios h^ y h^ dispuestos en columna:
73
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
o ;,√2 , 1 √2 , 1@
,1
,1
y la matriz o se forma colocando los valores propios en su diagonal principal:
3 , 2√2
0 @
o ;
0
3 ) 2√2
Se puede comprobar que oG o o :
;,√2 , 1
,1
Obsérvese que:
√2 , 1@ + % 1 ,2( + ;,√2 , 1
,2 5
,1
,1
3 , 2√2
0
;
@
0
3 ) 2√2
G
√2 , 1@
,1
a) Los valores propios coinciden con los coeficientes f y Ì, que, a su vez,
están relacionados con los semiejes y 6 de la elipse:
f p 3 ) 2√2
Ì p 3 , 2√2
á
b) El vector propio h^ ;,√2 , 1@ % (, asociado con el valor propio
h
,1
p 3 , 2√2, forma un ángulo 5 con el eje de abcisas cuyo valor es:
tag 5 á ,√2 , 1
,1
h
5 67º 30˜
Por tanto, el vector propio h^ se encuentra sobre la dirección del nuevo
eje h, situado en el centro de la elipse.
á
c) El vector propio h^ ;√2 , 1@ % (, asociado con el valor propio
h
,1
p 3 ) 2√2, forma un ángulo 5 con el eje de abcisas cuyo valor es:
tag 5 á √2 , 1
h
,1
5 ,22º 30˜
Por tanto, el vector propio h^ se encuentra sobre la dirección del nuevo
eje á, situado en el centro de la elipse.
d) Al diagonalizar la matriz D asociada a la forma cuadrática desaparecen
los términos en µà y sólo se conservan los términos en á y h .
Es decir, los resultados coinciden con los obtenidos siguiendo el método de
reducción de cónicas del punto 15.
74
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
Pero, aunque h^ y h^ son LI, perpendiculares y constituyen una base de , no son
unitarios. Encontremos una base ortonormal asociada a p y p .
Si la ecuación del vector propio asociado a p es h ) á1 , √2 0, basta
imponer la condición de que su módulo sea la unidad, es decir: h ) á 1. De
estas dos ecuaciones se deduce que á 1⁄2 2 ) √2 y h á1 , √2. De
manera que un vector propio unitario es, por ejemplo:
1
1
@
h^ 2 ) √2 ;
2
√2 , 1
Análogamente, si la ecuación del vector propio asociado a p es h )
á1 ) √2 0, con h ) á 1 se deduce que á 1⁄2 2 , √2 y
h ,á1 ) √2. Así pues otro vector propio unitario es, por ejemplo:
•
1
1
@
h^ 2 , √2 ;
,√2 , 1
2
Ahora podemos calcular otra matriz diagonal tal que G . La matriz paso
se construye con los nuevos vectores propios h^ y h^ :
2 ) √2
1
s
2
q√2 , 1 2 ) √2
2 , √2
v
,√2 , 12 , √2t
Compruébese que G es una matriz diagonal ; pero, como cabe esperar, se
cumple que:
o
Además, se produce una curiosidad:
Matriz ortogonal
G $
Una matriz cuadrada es ortogonal si ¶GH ¶F .
Propiedades
•
•
•
Si es ortogonal + $ . Y si es ortogonal diagonal, entonces los elementos
de la diagonal son 1 ó ,1.
Si y ¡ son ortogonales · ¡ es ortogonal.
Siempre es posible encontrar una matriz de paso ¶ ortogonal, asociada a la
matriz D de una forma cuadrática, tal que G $ sea diagonal.
75
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Acabamos de comprobar que tanto la matriz como la o reducen la elipse
` , 4` ) 5 , 6` ) 7 ) 15 0 diagonalizando la matriz , pero mientras que es ortogonal se puede comprobar que o no lo es.
16. MATRIZ SIMÉTRICA ASOCIADA A UNA FORMA CUADRÁTICA
Siguiendo con el ejemplo de la elipse ` , 4` ) 5 , 6` ) 7 ) 15 0 ya
reducida a su forma cuadrática :h, á á , 4há ) 5h , podemos construir la
matriz asociada a dicha forma cuadrática teniendo en cuenta lo siguiente:
a) El orden de la matriz se corresponde con el número de variables de la
forma cuadrática. En este caso dos, h e á, por tanto es de orden 2.
b) La matriz D es simétrica, con los coeficientes de los términos al cuadrado
situados en la diagonal principal:
%1
5
(
c) El coeficiente simétrico respecto de la diagonal principal es la mitad del
coeficiente del término en ΧY. En este caso: ,4⁄2 ,2
1 ,2
%
(
,2 5
Se procede de manera similar para construir la matriz simétrica D asociada a
la forma cuadrática ѾH , ¾¥ , ¾» bH ¾¥H ) b¥ ¾¥¥ ) b» ¾¥» ) bH¥ ¾H ¾¥ ) bH» ¾H ¾» )
b¥» ¾¥ ¾» :
a) El orden de es el número de variables de la forma cuadrática. En este
caso: tres variables: , y b) es simétrica. Los coeficientes , y de los términos al cuadrado se
sitúan en la diagonal principal
c) Simétricamente respecto de la diagonal principal se colocan 5 1⁄2 ,
„ 1⁄2 y £ 1⁄2 , como se indica a continuación:
5
„
5
£
„
£#
: , , h + + h 5
„
En estas condiciones podemos afirmar que, si el vector h^ , , se
expresa en forma de matriz columna h, la forma cuadrática : , , responde a la
expresión:
$
1
1
1
5 ; „ ; £ 2
2
2
76
5
£
„
£ # #
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Y análogamente se procede para construir la matriz simétrica D asociada a
una forma cuadrática ¦-dimensional :h^ en la que h^ w | y | 1 :
:h^ h $ + + h
17. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS Y REALES
De lo expuesto se puede demostrar que se cumplen las siguientes propiedades
en las matrices simétricas y reales:
•
•
•
•
•
Los valores propios de toda matriz simétrica y real son reales.
Toda matriz simétrica y real admite un vector propio.
Los vectores propios de toda matriz simétrica y real, asociados a valores propios
distintos, son perpendiculares entre sí.
Toda matriz simétrica y real es diagonalizable. La matriz diagonal se forma
situando los valores propios en la diagonal principal, de manera que G ,
siendo la matriz de paso constituida con los vectores propios dispuestos en
columna.
Si los vectores propios de una matriz simétrica y real son unitarios, entonces la
matriz de paso es ortogonal: G $ .
Ejercicio
•
E.7. Demostrar: a) el producto de toda matriz por su traspuesta es una matriz
simétrica. b) la suma de toda matriz cuadrada y su traspuesta es una matriz
simétrica.
18. DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
Acabamos de ver que toda forma cuadrática :h^ h $ h está caracterizada
por una matriz simétrica respecto a una base m‚n. Si se considera otra base m‚˜n, el
vector h^ se representa mediante h^˜ tal que h^ h^˜ donde es la matriz de paso.
Sustituyendo:
llamando
:h^ h $ h h { $ h˜ h {$ $ h { h {$ $ h {
se dice que D y E son congruentes y
* $ :h^ h {$ *h˜
Si la matriz de paso de la base m‚n a la base m‚˜n se construye con vectores
propios de , entonces * es diagonal. Y si se construye con vectores propios de unitarios, entonces es ortogonal: G $ . Este proceso se conoce como
diagonalización ortogonal y se dice que Ñ es un operador ortogonal.
77
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
En otras palabras: En toda forma cuadrática se puede encontrar un sistema de
coordenadas (una base) respecto al cual su matriz asociada sea diagonal, de manera
que los valores propios de ocupen la diagonal principal y los vectores propios formen
la base.
Propiedades
•
•
•
•
El operador :: ‚ … ‚ es ortogonal si preserva el producto interior. Es decir:
]^É È:h^, :á
]^É
: W­iW<W? Èh^, á
Si : es ortogonal se conservan las longitudes de los vectores. Como consecuencia:
: transforma los vectores unitarios en vectores unitarios.
Los operadores ortogonales mantienen la ortogonalidad
: 9 W­iW<W? ^ # `^ :^ # :`^
Pero, el recíproco no siempre es cierto.
Si : es ortogonal, es invertible:
: G : $ G $
Ejercicios
•
•
•
E.8. Sea el operador :: … : :, ` cos $ , ` sen $, sen $ ) ` cos $
que representa una rotación plana de ángulo $ y centro en el origen (0,0).
Demostrar que es ortogonal con el producto interior usual.
E.9. Determinar una matriz ortogonal que diagonalice a ;
2 √2
@.
√2 1
E.10. Efectuar una transformación de coordenadas que diagonalice la forma
cuadrática : 3 ) 10 ) 3 .
19. UN PROBLEMA FÍSICO DE APLICACIÓN
El cubo macizo de la figura, de masa y asista ,
gira en torno a un eje M-M diagonal con velocidad angular
%
]^. Hallar la expresión del momento cinético Ž]^ respecto a
los ejes h, á, ã. Hallar el tensor de inercia, la matriz
diagonalizada y las direcciones principales de inercia.
•
Cálculo de los momentos de inercia
011 &` ) x 8 ; 8 '88`8x; ' â
â
â
_ 011 ' & & & ` ) x 88`8x 2⁄3 o
o
o
Por simetría:
78
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
•
011 0ää 0åå 2⁄3 Cálculo de los productos de inercia
â
â
â
01ä & `8 ' & & & `88`8x 1⁄4 o
Por simetría:
•
o
o
01ä 01å 0äå 1⁄4 El tensor o matriz de inercia respecto a los ejes XYZ es:
0(
011
A,01ä
,01å
,01ä
0ää
,0äå
,01å
2⁄ 3 , 1⁄ 4 , 1⁄ 4
,0äå B , 1⁄4 2⁄3 , 1⁄4#
0åå
, 1⁄ 4 , 1⁄ 4 2⁄ 3
8 ,3 ,3
1⁄12 ,3 8 ,3#
,3 ,3 8
•
El vector velocidad angular respecto a los ejes XYZ es:
•
El momento cinético respecto a los ejes XYZ es:
•
Para diagonalizar la matriz de inercia
%
]^( 1⁄√3 %ü^ ) ý^ ) >]^ 011
]Ž^( 0( %
,0
]^( A 1ä
,01å
0( p,8
3
P 3
p,8
3
3
Vectores propios:
-
Para p 2:
,01å
%1
%
,0äå B %ä # ü^ ) ý^ ) >]^ 6√3
%å
0åå
8 ,3 ,3
1
,3 8 ,3# 1⁄12 ‹
12
,3 ,3 8
trabajamos con la matriz ‹:
Valores propios:
,01ä
0ää
,0äå
8 ,3 ,3
‹ ,3 8 ,3#
,3 ,3 8
3
3 P 0; p , 8 , 27p , 8 ) 54 0
p,8
p 2; p p 11
79
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
0
,6 3
3
3 ,6 3 # # 0# 3
3 ,6 0
-
]^ 51,1,1
‚
Para p p 11:
3 3
3 3
3 3
3 0
3# # 0# ) ) 0 , ) 3 0
]^ , , , , ,1,1,0 ) ,1,0,1
‚
]^ „,1,1,0
‚
La matriz 0 diagonalizada es:
]^ £,1,0,1
‚
¥
¥
⁄
/ H H¥ )b 2
2
La matriz de paso es:
con
H
¶ H
H
2
2
HH 2 #
2 HH
,H ,H
H
2#
2
H
/ ¶GH /µà* ¶
Compruébese que ¶GH ¶F .
Análisis de los resultados
]^ 1,1,1 tiene la misma dirección que la diagonal M-M. Y se
El vector propio ‚
cumple que
pero
]^ · ‚
]^ 1,1 ) 1 · 1 ) 1 · 0 0 ‚
]^ # ‚
]^
‚
]^ · ‚
]^ 1,1 ) 1 · 0 ) 1 · 1 0 ‚
]^ # ‚
]^
‚
]^ · ‚
]^ ,1,1 ) 1 · 0 ) 0 · 1 1 0
‚
]^ no es perpendicular a ‚
]^ , pues ‚
]^ y ‚
]^ se han generado con el mismo valor
es decir, ‚
propio. Por tanto, aunque hemos encontrado una base, ésta no está formada por
]^ ya es
vectores ortogonales. Busquemos una nueva base ortogonal: Como ‚
]
^
]
^
]
^
]^ tal que
perpendicular a ‚ , calculemos un vector ‚ \, _, a perpendicular a ‚ y ‚
\ ) _ ) a 0 para satisfacer la condición ) ) 0 impuesta por p p 11.
80
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
]^ ,1,1,0; ‚
]^ \, _, a
]^ 1,1,1; ‚
‚
]^ # ‚
]^ : ‚
]^ · ‚
]^ \ ) _ ) a 0
‚
]^ # ‚
]^ : ‚
]^ · ‚
]^ ,\ ) _ 0
‚
1
2
La condición \ ) _ ) a 0 ya se cumple en (1) otra vez; \ _ se deduce de
]^ es, por ejemplo: ‚
]^ 1,1, ,2.
(2) y, con (1), 2_ ) a 0. Sea _ 1: un vector ‚
La matriz es ahora:
H
¶ H
H
,H H
H
H#
2 ,¥
y se sigue cumpliendo / ¶GH /µà* ¶, pero continua siendo ¶GH ¶F .
Obsérvese que con estamos haciendo un cambio del sistema de
coordenadas de la base canónica m9n }1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1~ al sistema de
]^ , ‚
]^ y ‚
]^ que constituyen la base
coordenadas formado por los vectores ortogonales ‚
m‚n }1, 1, 1, ,1, 1, 0, 1, 1, ,2~, de manera que:
es decir:
por tanto:
•
•
•
m‚n m9n
1
1
,1
0
1
0
]^ 1 # 1# ; ‚
]^ 1 # 0#
]^ 1# 0# ; ‚
‚
1
0
0
0
,2
1
la ecuación Ž]^( 0( %
]^( está referida a los ejes háã de la base m9n, es decir,
]^mòn .
podemos expresarla de la siguiente manera: Ž]^mòn 0( %
]
^
]^ , ‚
]^ y
y podríamos calcular Ž 0+ %
]^, pero refiriéndolo a los ejes señalados por ‚
]^ de la base m‚n, o sea: Ž]^m°n 0+ %
]]]^ en coordenadas
‚
]^m°n. Es decir, basta expresar ,
de la base m´n y multiplicar por / para calcular ]^ en coordenadas de la misma
base m´n.
además, los vectores propios de la base m´n son las direcciones principales de
inercia.
La base m‚n }1, 1, 1, ,1, 1, 0, 1, 1, ,2~ es ortogonal, pero no
ortonormal. Para ortonormalizarla basta dividir cada vector por su módulo:
m‚n ‰1⁄√3 1, 1, 1, 1⁄√2 ,1, 1, 0, 1⁄√6 1, 1, ,2Š
La matriz asociada a la base m‚n es:
H⁄√» , H⁄√¥ H⁄√ó
¶ AH⁄√» H⁄√¥
H⁄√ó B
2
, ¥⁄√ó
H⁄√»
81
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
y se sigue cumpliendo / ¶GH /µà* ¶, pero, ahora sí, ¶GH ¶F .
Comprobemos los resultados:
•
•
Calculemos el valor de Ž]^mòn correspondiente a una velocidad angular %
]^mòn 1,0,0 expresada en la base canónica:
8 ,3 ,3 1
]^mòn 1⁄12 ,3 8 ,3# 0# 1⁄12 8, ,3, ,3
Ž]^mòn 0( %
,3 ,3 8
0
Calculemos ahora el valor de Ž]^m°n correspondiente a la misma velocidad angular
%
]^mòn 1,0,0, pero en la base m‚n. Para ello determinamos las coordenadas de la
velocidad angular en la base m‚n: 1,0,0 51,1,1 ) „,1,1,0 ) £1,1, ,2.
Es decir: 5 1⁄3, „ ,1⁄2 y £ 1⁄6, por tanto:
entonces:
•
%
]^m°n 1⁄3 , ,1⁄2 , 1⁄6
2
Ž]^m°n 0+ %
]^m°n 1⁄2 0
0
1⁄ 3
0
0
2 11 11
11 0 # ,1⁄2# 1⁄12 ; , , , @
3
2 6
0 11
1⁄ 6
Como comprobación, calculemos Ž]^m°n (las coordenadas de Ž]^ en base m‚n) a partir
de Ž]^mòn (con las coordenadas de Ž]^ expresadas en la base m9n):
1⁄12 8, ,3, ,3 1⁄12 m51,1,1 ) „,1,1,0 ) £1,1, ,2n
donde se deduce que 5 2⁄3 , „ ,11⁄2 y £ 11⁄6. Es decir, el mismo
resultado que el obtenido con la expresión Ž]^m°n 0+ %
]^m°n.
82
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
Ejercicios
1. Sea una matriz cuadrada de orden 3 que verifica:
0
0
1⁄√3
1⁄√3
2⁄√6
2⁄√6
A1⁄√2B A1⁄√2B ; A,1⁄√3B 2 A,1⁄√3B ; A 1⁄√6 B , A 1⁄√6 B
1⁄√2
1⁄√2
1⁄√3
1⁄√3
,1⁄√6
,1⁄√6
Hallar: a) La matriz . b) ¿Por qué es diagonalizable? Hallar la matriz diagonal
semejante a y la matriz de paso correspondiente. c) Consideremos la forma
cuadrática de : :, `, x ` ) x , 2` ) 2x. Hallar la matriz asociada.
2. Sea :: Í la aplicación lineal definida por:
:, `, x ) 2` ) 3x, , ) `, ) ` ) 2x
Hallar, si existe, una base en respecto a la cual la matriz asociada a : sea diagonal.
3. Sea :: Í la aplicación lineal definida por:
1 1# Þ ß
2 x̀
2 1
:, `, x 1 2
1 1
Hallar una base en respecto a la cual la matriz asociada a : sea diagonal.
4. Sea :: Í la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica
es:
0 1
1 0
1 1
1
1#
0
Hallar una base ortonormal respecto a la cual la matriz asociada a : sea diagonal.
5. Sea :, `, x ` ) x, ) x, ) `, hallar una base ortonormal respecto a la cual la
matriz de la aplicación lineal admita una expresión diagonal.
6. Sea :: Í la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica
es:
2 1
1 2
,1 1
,1
1#
2
Hallar: a) los autovalores y autovectores. b) Una base de respecto a la cual admite una expresión diagonal. c) La forma cuadrática que tiene a como matriz
asociada.
7. Consideremos la forma cuadrática de :, `, x ) 2` ) x , x. Hallar: a)
La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Una base ortonormal de respecto de la cual la matriz anterior adopta una forma diagonal.
83
ÁLGEBRA PARA INGENIEROS. Agustín E. González Morales
1
8. Sea 2# y sea :: Í la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la
1
base canónica es + $ . Hallar: a) :, `, x. b) Una base de respecto de la cual la
matriz asociada a : sea diagonal. c) La forma cuadrática asociada a la matriz de :.
9. Consideremos la aplicación lineal :: Í dada por:
:1, 1, 1 5, 3, 3; :1, ,1, 1 3, 3, ,1; :1, 1, 0 4, 1, 3
Calcular: a) La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Estudiar si es
diagonalizable y, en caso afirmativo, hallar una base respecto de la cual la matriz
asociada a : en dicha base sea diagonal.
10. Obtener una transformación ortonormal que diagonalice la forma cuadrática
:, ` ) 2√6 ` ) 2` .
11. Hallar una transformación ortogonal para reducir la forma cuadrática :, `, x 4 ) 4` ) 5x , 4x , 8`x a una suma de cuadrados.
84