TEMA 2-ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN 1

TEMA 2-ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
ORDEN 1
2.1 - Ecuaciones diferenciales elementales
2.1.1 - Ecuaciones separables
Denición: Una EDO de orden 1 F (t, y, y 0) se dice separable si puede
ser escrita de la forma
µ
¶
A(t)
A(t)dt = B(y)dy y 0 =
, y 0 = C(t)D(y)
B(y)
Resolución:
Z
Z
A(t)dt = B(y)dy + K
Z t
Z y
A(t)dt =
B(y)dy
t0
y0
Ejercicio: El ritmo al que se enfría un cuerpo caliente es proporcional
a la diferencia de temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley
de enfriamiento de Newton). Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone
al ambiente a una temperatura de 10o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. ¾Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que
se enfríe a 30o C?
2.1.2 - Ecuaciones reducibles a separables
2.1.2.1 - Ecuaciones homogéneas
Denición: f (x, y) es una función homogénea de grado n si
f (λx, λy) = λnf (x, y)
1
Denición: Una EDO de primer orden
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Nota: Deniciones equivalentes a la anterior son:
• y 0 = f (x, y) es homogénea si f (x, y) es homogénea de grado 0
³y ´
0
•y =f
x
y
Resolución: Con el cambio u = se llega a una ecuación diferencial
x
de variables separables.
2.1.2.2 - Ecuaciones reducibles a homogéneas
at + by + c
y0 =
dt + ey + f
µ
µ
y0 = f
at + by + c
dt + ey + f
¶¶
• c = f = 0 es homogénea
• b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables
• ae − bd 6= 0
Resolución: Se hace el cambio
t = x + t0
y = u + y0
donde (t0 , y0 ) es el punto de corte de las rectas at + by + c = 0 y
dt + ey + f = 0
• ae = bd
Resolución: Si b 6= 0 se hace el cambio u = at + by
Si e 6= 0 se hace el cambio u = dt + ey
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2.1.3 - Ecuaciones diferenciales exactas
Denición: Una ecuación diferencial M (t, y)dt+N (t, y)dy = 0 es exacta si existe una función F (t, y), llamada función potencial de la ecuación diferencial, cuya diferencial coincide con M (t, y)dt + N (t, y)dy , es
decir
∂F
∂F
= M (t, y) y
= N (t, y)
∂t
∂y
∂M ∂N
,
son continuas en un rectángulo R del
∂y ∂t
plano, entonces M dt + N dy = 0 es exacta en R si y sólo si
Teorema: Si M , N ,
∂M
∂N
=
en R
∂y
∂t
Resolución: Podemos proceder de dos formas.
1. Si sabemos calcular
R
M (t, y)dt, tendremos
Z
F (t, y) = M (t, y) dt + g(y)
∂
=⇒ g 0(y) = N (t, y) −
∂y
(1)
Z
M (t, y) dt
(2)
Integrando (2) y sustituyendo en (1) obtenemos F (t, y). La solución
de la ecuación es F (t, y) = C .
2. Si sabemos calcular
R
N (t, y) dy , tendremos
Z
F (t, y) = N (t, y) dy + h(t)
∂
=⇒ h0(t) = M (t, y) −
∂t
(3)
Z
N (t, y) dy
(4)
Integrando (4) y sustituyendo en (3) obtenemos F (t, y). La solución
de la ecuación es F (t, y) = C .
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2.1.4 - Ecuaciones reducibles a exactas
Denición: Sea M (t, y)dt + N (t, y)dy = 0 una ecuación diferencial
no exacta, y sea µ(t, y) una función no nula en cada punto de un cierto
rectángulo R y tal que µ(t, y)M (t, y)dt + µ(t, y)N (t, y)dy = 0 es exacta.
Entonces se dice que µ(t, y) es un factor integrante para M (t, y)dt +
N (t, y)dy = 0, y de esta ecuación se dice que es reducible a exacta.
Búsqueda de factores integrantes:
∂ (µM ) ∂ (µN )
=
∂y
∂t
es decir
µ
• µ = µ(t)
∂M
∂µ
∂N
∂µ
+M
=µ
+N
∂y
∂y
∂t
∂t
R
1
µ = e a(t)dt, a(t) =
N
• µ = µ(y)
R
1
µ = e b(y)dy , b(y) =
M
µ
∂M ∂N
−
∂y
∂t
µ
∂N ∂M
−
∂t
∂y
• µ = µ(ν), ν = at + by
∂N ∂M
−
R
∂t
∂y
c(ν)dν
µ=e
, c(ν) =
bM − aN
4
¶
¶
2.2 - Ecuaciones lineales
Denición: Una EDO de primer orden de la forma
dy
= P (t)y + Q(t)
dt
es una ecuación lineal.
Resolución: Se puede encontrar un factor integrante
µ(t) = e
R
−P (t)dt
.
2.3 - Reducción del orden
2.3.1 - Ausencia de variable dependiente
Si no aparece la y , la ecuación es de la forma f (t, y 0 , y 00 ) = 0.
Resolución: Se hace el cambio
dp
dt µ
¶
dp
y la ecuación diferencial queda de la forma f t, p,
= 0.
dt
y 0 = p y 00 =
2.3.2 - Ausencia de variable independiente
Si no aparece t, la ecuación es de la forma f (y, y 0 , y 00 ) = 0.
Resolución: Se hace el cambio
dp dp dy
dp
=
=p
dt dy dt
dy
¶
µ
dp
= 0.
y la ecuación diferencial queda de la forma f y, p, p
dy
y 0 = p y 00 =
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2.4 - Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Denición: Una familia de curvas es una expresión
F (x, y, K) = 0
en la que K es un parámetro arbitrario.
Trayectorias ortogonales
1. Se obtiene la ecuación diferencial y 0 = f (x, y) de la familia de curvas
F (x, y, K) = 0.
2. La familia ortogonal a F (x, y, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
y0 = −
1
.
f (x, y)
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
Trayectorias oblicuas
1. Se obtiene la ecuación diferencial y 0 = f (x, y) de la familia de curvas
F (x, y, K) = 0.
2. La familia oblicua a F (x, y, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
y0 =
f (x, y) + tg(α)
.
1 − f (x, y)tg(α)
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
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Trayectorias ortogonales en coordenadas polares
1. Se obtiene la ecuación diferencial f (θ, ρ, ρ0 ) de la familia de curvas
F (θ, ρ, K) = 0.
2. La familia ortogonal a F (θ, ρ, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
µ
f
ρ2
θ, ρ, − 0
ρ
¶
.
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
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