Función Exponencial. Función Logarítmica. Funciones

Función Exponencial
Función Logarítmica
Funciones Trigonométricas
Matrices
Medicina Veterinaria
Cátedra Matemática
2016
ISBN 978-950-554-993-1
Función exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas, matrices / Silvia
Estela Carando ... [et al.]. - 1a edición para el alumno - San Miguel de Tucumán :
Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Agronomía y Zootecnia, 2016.
Libro digital, PDF
Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-950-554-993-1
1. Matemática. I. Carando , Silvia Estela
CDD 510
Fecha de catalogación: 26 de febrero de 2016
Integrantes de Cátedra:
Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla
Profesora Titular
Mg. Lic. Graciela S. Galindo
Profesora Asociada
Ing. Agr. Alberto M. Manlla
Profesor Adjunto
Lic. Liliana Noemí Isa
Profesora Adjunta
Lic. Norma I. Macchioni de Zamora
Profesora Adjunta
Esp. Lic. Silvia E. Carando
Profesora Adjunta
Lic. Ana M. García
Jefe de Trabajos Prácticos
Lic. María L. Vallejo de Márquez
Jefe de Trabajos Prácticos
Ing. Electr. Adrián J. Gordillo
Auxiliar Docente Graduado
PRÓLOGO
Este material didáctico está destinado a los alumnos de la carrera
de Medicina Veterinaria de la Facultad de Agronomía y Zootecnia
de la Universidad Nacional de Tucumán.
Los contenidos desarrollados, fundamentales para estudiantes de
esta carrera constan de teoría y práctica.
El objetivo propuesto es brindar a los estudiantes las herramientas
necesarias para aplicarlas con fluidez y así afianzar el desarrollo
de sus habilidades matemáticas.
Las autoras
ÍNDICE
Función Exponencial
1
Función Logística
7
Función Logarítmica
12
Funciones Periódicas y Funciones Trigonométricas
20
Matrices
34
Anexo: ¿Cómo resolver un problema?
50
Bibliografía
52
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Función exponencial
La función exponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos
relacionados con el crecimiento y decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de
bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la
economía, la medicina, la química y otras disciplinas.
Definición:
Se llama función exponencial a la expresión de la forma:
y=a
x
con a ∧ x ∈ IR, a > 0 ∧ a ≠ 1
y se lee función exponencial de base a .
Para estudiar la función exponencial consideremos que a > 1 ∧ 0 < a < 1.
Por ejemplo: si a = 2 ⇒ y = 2 x
y
si a = 1/2 ⇒ y = (1/2) x
Confeccionemos las tablas de valores y representemos gráficamente dichas funciones:
x
–2
–1
0
1
2
y=2x
1/4
1/2
1
2
4
La gráfica de y = 2
y = (1/2) x
4
2
1
1/2
1/4
x
se llama curva testigo.
La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota .
Definición:
Asíntota es la recta a la cual se aproxima indefinidamente la gráfica de una función.
Dominio y codominio
Como y = f (x):
El Dominio de la función se expresa: Dom f = IR
El Codominio de la función se expresa: Cod f = (0, ∞ )
Observemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje y.
Página 1
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Características de las gráficas

Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente.

Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente.

Si a > 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje negativo x.

Si 0 < a < 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje positivo x.

La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.

El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función  a.

La imagen de 1 es siempre la base de la función exponencial
f ( 1) = a
a 
(1, a)  G f
Influencia del parámetro b
Consideremos y = b . a x
con a, b, x  IR, a > 0, a  1, b  0.
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar b.
Si b = 1  y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.
x
–2
–1
0
1
2
y=2x
1/4
1/2
1
2
4
y = 2.2 x
1/2
1
2
4
8
y = 3.2 x
3/4
3/2
3
6
12
y=–2x
– 1/4
– 1/2
–1
–2
–4
Observemos que:

Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje x.

Las gráficas se desplazan e intersectan al eje y en el punto (0, b) en lugar del punto
(0, 1) que es la intersección de la gráfica de la curva testigo.
Página 2
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices

Si b > 0 la gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto del eje x.

Si b < 0 la gráfica se encuentra en el semiplano inferior respecto del eje x.

La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.

Dom f = IR

Cod f = (0,  ) si b > 0 y Cod f = (–  , 0) si b < 0
Influencia del parámetro h
Consideremos y = a x + h con a, h, x  IR, a > 0  a  1.
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar h.
Si h = 0  y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.
x
–2
–1
0
1
2
y=2x
1/4
1/2
1
2
4
y=2x+2
9/4
5/2
3
4
6
y=2x–2
– 7/4
– 3/2
–1
0
2
Observemos que:

El parámetro h influye desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva
testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo si h < 0.

El punto (0, 1 + h)  G f , es la intersección con el eje y.

La asíntota es la recta de ecuación y = h.

Dom f = IR  Cod f = (h,  )
Influencia del parámetro c
Consideremos y = a c. x
con a, c, x  IR, a > 0, a  1, c  0.
Página 3
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar c.
Si c = 1  y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo.
y=2x
1/4
1/2
1
2
4
x
–2
–1
0
1
2
y = 2 2.x
1/16
1/4
1
4
16
y = 2 (1/2) . x
1/2
7/10
1
14/10
2
Observemos que:
 El punto (0, 1)  G
f
 Si c > 1 la gráfica se acerca a ambos ejes, es decir, la gráfica se acerca al semieje
negativo x y al semieje positivo y.
 Si 0 < c < 1 la gráfica se aleja de los ejes, es decir, la gráfica se aleja del semieje
negativo x y del semieje positivo y.
 La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.
 Dom f = IR  Cod f = (0,  )
 Si c < 0 no analizamos porque al tener un exponente negativo se invierte la base de la
potencia quedando elevada a un exponente positivo y ya hemos tratado.
Ejemplo: si c = – 1 

y = 2 – x  y = (1/2)
x
Para valores opuestos de c las gráficas son simétricas respecto del eje y.
Expresión general de la función exponencial
Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función exponencial es:
y = b a c. x + h con a, b, c, h, x  IR, a > 0, a  1, b  0, c  0
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejemplo:
Dada y = 3 . 2 2.x – 1/2
a) Represente gráficamente.
b) Explique la influencia de los parámetros en la función.
c) Dé dominio y codominio.
d) Escriba la ecuación de la asíntota.
a)
x
–2
–1
0
1
y = 2 2x
1/16
1/4
1
4
y = 3 . 2 2x
3/16
3/4
3
12
y = 3 . 2 2x – 1/2
– 5/16
1/4
5/2
23/2
b)

a = 2, gráfica de función creciente.

h = – 1/2, desplazamiento vertical de la gráfica de 1/2 unidades hacia abajo respecto a
la de la curva testigo.

c = 2, la gráfica se acerca al semieje positivo y y a la recta de ecuación y = – 1/2.

b = 3, intersecta al eje y en el punto (0, b + h) = (0, 5/2). La gráfica se encuentra en el
semiplano superior respecto de la asíntota.
c) Dom f = IR  Cod f = (– 1/2,  )
d) Ecuación de la asíntota y = – 1/2.
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
La función exponencial se presenta en un gran número de fenómenos de crecimiento animal,
vegetal, de bacterias, económicos, etc. En todos ellos la variable es el tiempo que
denotamos con t.
La expresión será: y = f (t)  f (t) = a t
Problema de aplicación:
En un medio de cultivo de un laboratorio, se tiene que el número de bacterias presentes en
el tiempo está dado por Q (t) = 2.3 t , en donde t se mide en horas y Q (t) en miles de
bacterias.
a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
b) ¿Cuál es el número de bacterias a los 10 minutos?
c) ¿Cuál es el número de bacterias a la hora?
d) Grafique la función Q (t) entre 0 y 1 hora.
a) El número inicial de bacterias corresponde a t = 0  Q (0) = 2.3 0  Q (0) = 2
El número inicial es de 2000 bacterias.
b) Mediante regla de tres simple sacamos la fracción de hora a la que equivalen 10 min.
60’
1h
10’
x = 10/60 = 0,17 h
Entonces
Q (0,17) = 2.3 0,17 
Q (0,17) = 2,4
A los 10 minutos hay 2400 bacterias.
c) Q (1) = 2.3 1  Q (1) = 6
A la hora hay 6000 bacterias.
d)
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Función logística
¿La función exponencial es un modelo válido siempre?
En la práctica, los procesos de crecimiento de poblaciones de seres vivos (animales ó
vegetales) comienzan creciendo en forma exponencial hasta que, a partir de un cierto
punto, el crecimiento comienza a frenarse alcanzando la población un cierto nivel estable.
Este freno en el crecimiento puede ser debido a mala alimentación, epidemias,
depredadores, condiciones sanitarias precarias, guerras, etc.
Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia
en altas tasas de reproducción ó natalidad.
Por ejemplo, en el crecimiento de una población de peces, el valor límite que alcanza esta
población está dado por el ambiente en que se desarrolla el proceso de crecimiento: podría
ser un acuario en el que no pueden vivir más que una determinada cantidad de peces, ó la
superficie de un lago que lo limita, ó la cantidad de alimento en una determinada región, etc.
El modelo adecuado para describir este tipo de crecimiento es el de la función logística,
cuya expresión es:
y
l
1ke
a t
l, k, a
positivos
Comparémosla con la exponencial:
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
En la expresión

l
y
l
1ke
es la población límite ( y =
k
Cuando t   


l
1k
e
se observa que:
a t
es la asíntota cuando t  )
l
 0
at
 1 + k e –at = 1  y =
l
es la población correspondiente a t = 0
Si t es pequeño la función logística es aproximadamente igual a la función exponencial.
Problema de aplicación:
Una cierta población de moscas en función del tiempo está dada por la ecuación:
y
1.000.000
1  999 e
 0,02 t
a) ¿Cuál es la población inicial?
b) ¿Cuál es la población límite?
a) La población inicial la tenemos cuando t = 0 
y
1.000.000
1  999 e
 0,02 . 0

y
1.000.000

1 .000
y = 1.000
La población inicial es de 1.000 moscas.
b) La población límite la tenemos cuando t   
999
e
0,02 t
 0  y = 1.000.000
La población límite es de 1.000.000 de moscas.
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejercicios propuestos
1- Se sabe que un cierto cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 1000
bacterias:
a) Complete la tabla que obtendrá el investigador:
t (tiempo en horas)
N (t) (número de
bacterias)
0
1
2
3
4
5
6
...
...
...
...
...
...
...
b) Determine la función N (t) que describe el crecimiento de la población.
c) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 50 hs?
d) ¿Cuánto tiempo habrá pasado si la población es de 32000 bacterias?
2- Dadas las gráficas, determine:
a) el valor del parámetro a.
b) la ecuación que la representa.
c) dominio y codominio.
2-1)
2-2)
3- Determine el valor de a y b para la función exponencial y = b.a x, sabiendo que la
gráfica de la función pasa por los puntos (1, 3) y (2, 6).
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
4- Encuentre el valor de z para que el punto de coordenadas (1, 2) pertenezca a la gráfica
de la función exponencial:
4-1) y = 10 x + z
4-2) y = 3 x – z
4-3) y = – 2 x + ( z 2 + 3 z )
4-4) y = e x –
5- Represente gráficamente la función f (x) = 3
z
2
x
a) Utilice la gráfica de f para obtener la de F (x) = 3
x
– 2 y la de H (x) = 3
x
+ 1
b) Determine la asíntota, el dominio y el codominio de las funciones F y H.
6- a) Represente la función.
b) Explique la influencia de los parámetros en la representación.
c) Dé dominio y codominio.
d) Escriba la ecuación de la asíntota.
6-1) y =
1
2
.3
x
1
6-2) y =  
3
x
6-3) y = 2 3 x
6-4) y = 2 3 x – 2
6-5) y = e x
6-6) y = e x +
1
2
7- El número de bacterias en un cultivo está dado por la fórmula n ( t) = 500.e
0,45 t
donde t se mide en horas.
a) ¿Cuál es la población inicial del cultivo (en t = 0)?
b) ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo t = 5?
8- Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos
desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la
masa que queda después de t días está dada por la función m (t) = 6.e
-
0,087 t
donde m (t) está dada en gramos.
a) Determine la masa en el tiempo t = 0
b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días?
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
9- Un barril está lleno de agua pura. Si se bombea agua salada, la mezcla resultante se
derrama a la misma velocidad. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada
por Q (t) = 15 (1 – e
-
0,04 t
) donde t se mide en minutos y Q (t) se mide en libras.
a) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 5 minutos?
b) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 minutos?
c) Trace la gráfica de la función Q (t).
d) Determine el valor al que tiende la cantidad de sal en el barril conforme t se
hace grande.
10- Al estudiar la tasa de crecimiento de cierta población a partir del año 2010, se observa
que responde a un modelo exponencial de la forma P(x) = 10000 . 1,02
x
Donde x representa el tiempo en años y P(x) el número de individuos.
a) ¿Cuántos individuos había en el año 2010?
b) ¿Cuántos en el año 2014?
c) ¿En qué año, aproximadamente, la población alcanzará los 11950 individuos?
11- La expresión que relaciona la altura a (en m), con el peso promedio p (en kg) de
niños de 5 a 13 años es p (a) = 2,4 e
1,84 a
a) Estime el peso promedio de niños de 1 m y de 1,50 m.
b) Represente gráficamente.
12- La población de moscas en una isla en función del tiempo t se expresa por:
y=
2000
1  2  0,1 t
a) ¿Cuál es la población inicial?
b) Encuentre la población para t = 10
c) ¿Qué población habrá cuando t  ?
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Función logarítmica
La función exponencial y = a
x
admite función inversa y se denomina función logarítmica.
Definición:
Se llama función logarítmica de base a, a toda expresión de la forma:
y = log a x
con a  x  IR, a > 0, a  1  x > 0
Para estudiar la función logarítmica consideremos que a > 1  0 < a < 1.

Si a > 1, por ejemplo: a = 2  y = log 2 x  2 y = x
A la gráfica de la función y = log 2 x llamaremos curva testigo.
Confeccionemos la tabla de valores y representemos gráficamente:
x
y
1/4
–2
1/2
–1
1
0
2
1
4
2
y = log 2 x es la inversa de y = 2
x
y sus gráficas son simétricas a la primera bisectriz, de
ecuación y = x.

Si 0 < a < 1
Por ejemplo: a = 1/2  y = log
Sabemos que y = log
1/2
1/2
x  (1/2) y = x
x es la inversa de y = (1/2) x.
Confeccionemos la tabla de valores y representemos gráficamente:
Página 12
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
x
y
1/4
2
1/2
1
1
0
2
–1
4
–2
Vemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje x.
La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota.
Definición:
Asíntota es la recta a la cual se aproxima indefinidamente la gráfica de una función.
Dominio y codominio
Como y = f (x):
El dominio de la función se expresa: Dom f = (0,  )
El codominio de la función se expresa: Cod f = IR
Características de las gráficas

Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente.

Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente.

Si a > 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje negativo y.

Si 0 < a < 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje positivo y.

La asíntota es el eje y, de ecuación x = 0.

El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de la función  a.

La imagen de la base es siempre la unidad
f (a) = 1
a 
(a, 1)  G f
Influencia del parámetro b
Consideremos y = b . log a x
con a, b, x  IR, a > 0, a  1, x > 0, b  0
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar b.
Si b = 1  y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.
Confeccionemos la tabla de valores y representemos gráficamente:
Página 13
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
x
y = log 2 x
1/2
y = 2.log 2 x
y = 1/2.log 2 x
y = – log 2 x
–1
–2
– 1/2
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1/2
–1
4
2
4
1
–2
Observemos que:

Dom f = (0,  )  Cod f = IR

El punto (a, b)  G f.

Si b > 1 la curva se aleja de los ejes x e y.

Si 0 < b < 1 la curva se acerca a los ejes x e y.

Si b < 0 la gráfica es la de una función decreciente.

La asíntota es el eje y, de ecuación x = 0.

Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje x.
Influencia del parámetro h
Consideremos y = log a x + h con a, h, x  IR, a > 0, a  1, x > 0
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar h.
Si h = 0  y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.
Confeccionemos la tabla de valores y representemos gráficamente:
Página 14
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
x
y = log 2 x
y = log 2 x + 2
y = log 2 x – 2
1/2
–1
1
–3
1
0
2
–2
2
1
3
–1
4
2
4
0
Observemos que:

El parámetro h influye desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva
testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo si h < 0.

El punto (1, h)  G

Dom f = (0,  )  Cod f = IR

La asíntota es el eje y, de ecuación x = 0.
f
 cambia el punto de intersección con el eje x.
Influencia del parámetro k
Consideremos y = log a (x – k) con a, x, k  IR, a > 0, a  1, (x – k) > 0
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo.
Mantengamos a = 2 y hagamos variar k.
Si k = 0  y = log 2 x, tenemos la gráfica de la curva testigo.
Observemos que x – k > 0  x > k 
Dom f = (k,  )  Cod f = IR
Confeccionemos tablas de valores y representemos gráficamente:
Página 15
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
x
1/2
y = log 2 x
–1
x
y = log 2 (x – 2)
x
y = log 2 (x + 2)
5/2
–1
– 3/2
–1
1
0
3
0
–1
0
2
1
4
1
0
1
4
2
6
2
2
2
Observemos que:

El parámetro k influye desplazando la gráfica horizontalmente respecto a la de la curva
testigo, k unidades hacia arriba la derecha si k > 0 y k unidades hacia la izquierda
si k < 0.

El punto (1 + k, 0)  G f , es la intersección con el eje x.

La asíntota cambia, es la recta de ecuación x = k.
Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función logarítmica es:
y = b . log a (x – k) + h con
a, x, b, k, h  IR, a > 0, a  1, (x – k) > 0, b  0
Ejemplo:
Dado y = (1/2) log 3 (x – 3)
a) Represente la función.
b) Dé dominio y codominio.
c) Explique la influencia de los parámetros en la representación.
d) Escriba la ecuación de la asíntota.
Página 16
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
a)
x – 3 > 0  x > 3  b) Dom f = (3,  )  Cod f = IR
x
y = log 3 (x – 3)
y = (1/2) . log 3 (x – 3)
10/3
–1
– 1/2
4
0
0
6
1
1/2
c)
 a = 3 (a > 1)  f es creciente.
 k = 3 (k > 0)  f se desplaza 3 unidades hacia la derecha respecto de la curva
testigo y el punto (1 + k, 0)  G f  (4, 0)  G f es la intersección de la
gráfica con el eje x.
 b = 1/2 (0 < b < 1)  (a + k, b)  G
f
 (3 + 3, 1/2)  (6, 1/2)  G f. Se acerca
al eje x y a la recta x = 3.
d) Ecuación de la asíntota x = 3.
Ejemplo:
Encuentre el valor de k para que la función y = log (x + k + 2) corte al eje x en 4.
Si la función corta al eje x en 4  (4, 0)  G
f

las coordenadas del punto deben
verificar a la expresión de la función  0 = log (4 + k + 2)  0 = log (k + 6) y aplicando
la definición de logaritmo podremos determinar el valor de k:
0 = log (k + 6)  10 0 = k + 6  1 = k + 6  k = – 5
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejercicios propuestos
1- Dadas las gráficas, determine:
a) el valor del parámetro a.
b) la ecuación que la representa.
c) dominio y codominio.
1-1)
1-2)
2- Encuentre el valor de u para que la función logarítmica corte al eje x en 4:
2-1) y = log 2 x + u
2-2) y = log 4 x – u
2-3) y = log 4 x + (u 2 + 2 u)
2-4) y = log 1/2 x –
u
2
3- Encuentre el valor de v para que la función logarítmica corte al eje x en 5:
3-1) y = log (x – v)
3-2) y = log (x + v – 1)
3-3) y = log (x + v + 1)
3-4) y = log (x – v 2)
4- a) Utilice la gráfica de f (x) = log 2 x para obtener la de g (x) = log 2 x + 1 y la de
h (x) = log 2 (x – 1).
b) Determine la asíntota, el dominio y el codominio de las funciones g y h.
5- a) Represente la función.
b) Explique la influencia de los parámetros en la representación.
c) Dé dominio y codominio.
d) Escriba la ecuación de la asíntota.
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
5-1) y = log 3 x
5-2) y = log
5-3) y = log 3 (x + 3)
5-4) y = 2 . log 3 (x – 2)
5-5) y = ln x
5-6) y = ln x + 2
1/3
x
6- Para estimar la edad t, en años, de un hueso fósil, donde x es el porcentaje (expresado
como decimal) de carbono 14 todavía presente en el fósil, a veces se usa la fórmula:
t = – 810 ln x
a) Estime la edad de un hueso fósil que contiene 4% de carbono 14 que se encuentra
en una cantidad igual de carbono en un hueso en la actualidad.
b) Calcule el porcentaje (%) de carbono 14 presente en un fósil de 10000 años de
antigüedad.
7- La intensidad (L) en decibeles de un sonido de intensidad I se define por:
L  10 log
I
I0
, donde I0 es la mínima intensidad detectada por el oído humano.
Si un auto que tiene sonido con una intensidad I de 3.100.000 veces I0, calcule la
intensidad en decibeles del mismo.
8- Se detectaron en una granja dos animales con un virus. El número de días t que
transcurrieron para que el virus infectara a n animales está dado por:
 10000  n 

t  1.43 ln 
 4998 n 
¿Cuántos días se requiere para que el virus infecte a 5000 animales?
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
FUNCIONES PERIÓDICAS – FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se vieron ya características en funciones y ellas eran inherentes a la situación que se
trataba de representar: funciones simétricas, pares, impares, crecientes, decrecientes,
etc.
Vamos a ver ahora funciones que están vinculadas con un fenómeno cíclico, como la
respiración, el ritmo cardíaco, el día y la noche, las estaciones, etc., muchas de ellas de
gran importancia en el aspecto biológico.
Estas funciones que responden a fenómenos cíclicos y que sus gráficas tienen carácter
repetitivo, se llaman funciones periódicas.
Supongamos tener un electrocardiograma, donde la gráfica del voltaje en el músculo
cardíaco respecto al tiempo, es la siguiente:
V (t)
V (t)
t
t
t0 - T
t0
t0 + T
t0 + 2 T
Vemos que una parte de la curva se repite regularmente y la llamamos ciclo.
También para determinados valores de la variable independiente que difieren entre sí en T,
2T, 3T,…, la función toma el mismo valor.
T es la longitud de los ciclos, es decir, la porción de la curva que se repite.
Definición:
Una función f tal que f (x + T) = f (x)  x  dom f, T  IR  T  0, se dice que es una
función periódica.
El menor valor positivo T se llama período de f.
Página 20
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
En el caso del círculo trigonométrico el período es 2, ya que a partir de él los valores se
repiten.
Muchos fenómenos de la naturaleza se estudian mediante funciones periódicas. Vamos a
detenernos a estudiar las que en biología son más importantes que son las que representan
la onda senoidal, es decir, la función trigonométrica seno.
Definición:
La función seno que le hace corresponder a cada ángulo x un número real, se define como
y = sen x
Consideremos el círculo trigonométrico, (de radio igual a la unidad, y centro en el origen de
coordenadas) y un punto móvil sobre él que partiendo de (1, 0) lo recorre en sentido
positivo; a medida que lo recorre va describiendo un arco de longitud x.
1
P(x, y)
sen x
-1
x
1
x
-1
Cuadrante
I
II
x
0
/2
sen x
0
1
/2
1
III

0

0
IV
3/2
3/2
–1
–1
2
0
La función y = sen x tiene Dom f = IR  Cod f = [– 1, 1].
Vamos a considerar sólo el 1er ciclo, ya que ocurre exactamente lo mismo en los otros ciclos,
y a esta curva llamaremos curva testigo. En ella Dom f = [0, 2], Cod f = [– 1, 1], T = 2.
Su tabla de valores y gráfica correspondiente serán:
x
sen x
0
0
 /2

1
0
3  /2
–1
2
0
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
En el eje horizontal
2  = 6,28
Influencia del parámetro a
Consideremos
y = a sen x
con a, x  IR, a  0.
Comparemos la gráfica de la curva testigo haciendo variar a, consideremos y = 2 sen x;
y = (1/2) sen x; y = – sen x
x
sen x
2 sen x
(1/2) sen x
– sen x
0
0
0
0
0
 /2

1
2
1/2
–1
0
0
0
0
3  /2
–1
–2
–1/2
1
2
0
0
0
0
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
De los gráficos realizados en el mismo sistema de coordenadas observemos que:
Si a > 1 la cresta y el valle son más pronunciados.
Si 0 < a < 1 la cresta y el valle son más amortiguados.
Si a < 0 la gráfica se invierte con respecto a la de la curva testigo.
Además, la gráfica de la función oscila entre – a y a, esta variación de la cresta y el valle
se llama amplitud y por lo tanto la amplitud es la elongación de la onda y se denota a .
Conclusión:
Si a  1 , la amplitud de la onda es mayor que la de la curva testigo.
Si a  1 , la amplitud de la onda es menor que la de la curva testigo. (no se pone 0  a  1
ya que el valor absoluto es una cantidad positiva).
Influencia del parámetro h
Consideremos
y = a sen x + h
con a, h, x  IR, a  0.
Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, consideremos a = 1 y
hagamos variar h, grafiquemos las funciones y = sen x; y = sen x + 2 e y = sen x – 2.
x
sen x
sen x  2
sen x - 2
0
0
2
–2
 /2

1
3
–1
0
2
–2
3  /2
–1
1
–3
2
0
2
–2
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Conclusión:
El parámetro h, respecto a la gráfica de la curva testigo produce un desplazamiento
vertical, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo h < 0.
Influencia del parámetro c
Consideremos
y = a sen c x + h con a, h, c, x  IR, a  0  c  0.
Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, tomaremos para valores
de c > 0. Para estudiar su comportamiento, con respecto a la curva testigo, consideremos
a = 1 y hacemos variar c, graficando las funciones y = sen 2 x e y = sen (1/2) x.
Para facilitar la representación gráfica y ser coherentes con lo que veníamos haciendo, ya
que sabemos calcular el seno de algo, que es un ángulo; siempre llamaremos  al argumento
de la función trigonométrica.
O sea: En
y = sen 2 x   = 2 x  x = /2, para poder escribir en un mismo cuadro
ambas funciones, llamaremos x = x
1.
En y = sen (1/2) x   = (1/2) x  x = 2 , llamaremos x = x 2.

sen 
x1
x2
0
0
0
0
 /2

1
 /4
0
 /2
2

T=
T=2
3  /2
–1
3  /4
3
2
0

4

T=4

Página 24
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
La longitud en que se cumple un ciclo completo se llama período, recordemos que en la curva
testigo el período es 2.
Cuando
c x = 2  x =
Entonces el período es T =
2
c
es el período de y = sen c x.
2
c
En la curva testigo c = 1  T = 2.
El valor de c modifica el período. Si c = 2 el período es  y si c = 1/2 el período es 4.
De la observación de los gráficos se concluye que:
Si c = 2 el período es la mitad del período de la curva testigo.
Si c = 1/2 el período es el doble del período de la curva testigo.
Entonces en el período de la curva testigo puedo tener parte de un ciclo ó más de un ciclo
representado, según el valor de c.
El número de oscilaciones ó ciclos que tienen lugar en el período de la curva testigo (2), se
denomina frecuencia de la onda.
Por lo tanto la frecuencia de y = sen 2 x, es 2, significa que en el período de la curva
testigo hay 2 veces la gráfica de la función y la frecuencia de y = sen (1/2) x, es 1/2,
significa que en el período de la curva testigo se encuentra la mitad de la gráfica de la
función.
Conclusión:
Si c > 1 el período es menor que el de la curva testigo y aumenta la frecuencia.
Si 0 < c < 1 el período es mayor que el de la curva testigo y disminuye la frecuencia.
Si c < 0, por ejemplo
c = – 1  y = sen (– x) = – sen x
ya vimos que en ese caso se
invierte la curva.
Influencia del parámetro k
Consideremos
y = a sen c (x – k) + h
con a, h, c, k, x  IR, a  0  c  0.
Comparemos la gráfica de la curva testigo con las que se obtiene cuando:
a = 1, c = 1, h = 0  k = /4  y = sen (x – /4)
y
a = 1, c = 1, h = 0  k = – /4  y = sen (x + /4)
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Para analizar llamaremos:  = x – /4  x1 =  + /4

sen 
x1
x2
0
0
 /4
–  /4
 /2

1
3  /4
 /4
0
5  /4
3  /4

 = x + /4  x2 =  – /4
3  /2
–1
7  /4
5  /4
2
0
9  /4
7  /4
Conclusión:
El parámetro k, respecto a la gráfica de la curva testigo produce un desplazamiento
horizontal, k unidades hacia la derecha si k > 0 y k unidades hacia la izquierda si k < 0.
Este desplazamiento horizontal se llama desfase de la onda y k se llama ángulo de fase.
El mismo estudio que se realizó para la función seno vale para la función coseno.
Expresión general de la función seno
Con todos los parámetros estudiados, la ecuación general de la función seno es:
y = a sen c (x – k) + h
donde a, c, k, h  IR  a  0  c  0
Ejemplo:
Sin hacer tabla de valores, grafique e indique la influencia de los parámetros con respecto
a y = sen x, con la correspondiente función: y = 3 – sen (–  /2 + x)
Página 26
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices

a = – 1, invierte la gráfica respecto a la de la curva testigo.

c = 1, tiene igual período que la curva testigo. (2)

k = /2, la curva se desplaza /2 unidades hacia la derecha respecto de la de la curva
testigo.

h = 3, la curva se desplaza 3 unidades hacia arriba respecto de la de la curva testigo.
Ejemplo:
Confeccione tabla de valores y represente y = 2 cos (2 x – /3) + 5/2
Como  = 2 x – /3  x = ( + /3)/2

0
/2

3/2
2
cos 
1
0
–1
0
1
2 cos 
2
0
–2
0
2
2 cos  + (5/2)
9/2
5/2
5/2
9/2
x
/6
5/12
11/12
7/6
1/2
2/3
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Problema de aplicación:
En un modelo de predador/presa, la población del predador se modela mediante la función
y (t) = 900 cos (2 t) + 8000
donde t se mide en años.
a) ¿Cuál es la población máxima?
b) Determine el tiempo entre períodos sucesivos de población máxima.
a) La población será máxima cuando cos (2 t) = 1  y
y
máx
máx
= 900 . 1 + 8000

= 8900.
La población máxima es de 8.900 predadores.
b) T =
2
c
 T=
2
2
   T = 3,14
 El tiempo entre períodos sucesivos de población máxima es de 3,14 años.
Página 28
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Página 29
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejercicios propuestos
FUNCIONES PERIÓDICAS
1- Determine si la función cuya gráfica se muestra es periódica. Si es así, calcule el
período.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y
11
2
2
3
3
xx
T
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
2- En una región de pedemonte se registran los promedios mensuales de lluvias durante el
año 2012 y se confecciona una tabla:
Lluvias en el pedemonte - Año 2012
Promedio
mensual
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
400 mm
300 mm
150 mm
510 mm
680 mm
390 mm
400 mm
300 mm
150 mm
510 mm
680 mm
390 mm
2-1) Represente gráficamente.
2-2) ¿Se trata de una función periódica? ¿Por qué?
2-3) ¿Cuántos períodos de lluvia se registraron a lo largo del año 2012? ¿En qué meses?
3- Seleccione la opción que considere correcta.
Función periódica es aquella que cumple con:
a) f (x) = f (x) + T ,
b) f (x) = f (x . T),
c) f (x) = f (x + T),
d) f (x) = f (x / T),
 x  dom f, T  R  T ≠ 0
 x  dom f, T  R  T ≠ 0
 x  dom f, T  R  T ≠ 0
 x  dom f, T  R  T ≠ 0
4- Seleccione la opción que considere correcta.
El período de la función cuya gráfica se da, es:
a)
b)
c)
d)
T=1
T=4
T=3
T=8
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1- Complete el cuadro colocando el valor correspondiente en cada columna
Función
0  x  2
Amplitud
Período
T = 2/ c
Ángulo de
fase
Desplazamiento
vertical
y = 2 sen x + 3
y = – 3 sen 3 x – 2
y = – sen ( x –  / 2)
y = – 3 cos 2 x
y = – 3 cos ( x +  / 2 ) + 1
y = – sen ( 2 x –  / 2 ) – 3
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
2- Sin hacer tabla de valores grafique e indique la influencia de los parámetros con
respecto a y = sen x ó y = cos x, con la correspondiente función:
2-1) y = – 3 sen (2 x –  )
2-3) y = 3 – sen (–  /2 + x)
2-2) y = cos x – 2
2-4) y = – 1 + 3 cos (2x +  /2)
3- Confeccione tabla de valores y represente:
3-1) y = – 3 sen (2 x –  ) (compruebe con 2-1)
3-3) y = – 1/2 sen 2 x + 3
3-5) y = – 3/2 cos (2 x +  )
3-2) y = 2 sen (2 x +  /2)
3-4) y = – 4 cos (2 x –  /4) – 1
3-6) y = 2 cos (2 x –  /3) + 5/2
4- Seleccione la opción que considere correcta.
La gráfica de la expresión y = a sen (x – k), con a > 1 y k < 0 se desplaza hacia:
a) la derecha y disminuye la amplitud
c) la izquierda y aumenta la amplitud
b) arriba y aumenta la amplitud
d) abajo y disminuye la amplitud
5- En el proceso de la respiración se alternan momentos de inhalación y exhalación, que se
pueden describir mediante la función:
f (t) = 0,6 sen (  /2).t
siendo t el tiempo medido en segundos y f (t) el caudal de aire medido en litros por
segundo.
a) Represente la función entre 0 y 4 segundos.
b) ¿Cuánto tiempo dura una inhalación? ¿Y una exhalación?
c) ¿Cuánto vale el período de la función?
d) Indique en que tiempo el caudal de aire es nulo, máximo y mínimo.
6- Al afinar un piano, un técnico golpea un diapasón y produce una onda que viene dada
aproximadamente por:
y (t) = 0,001 sen 880  .t , donde t es el tiempo en segundos.
a) ¿Cuál es el valor de la amplitud?
b) ¿Cuál es el valor del parámetro c?
c) Calcule el período de la función.
7- En un modelo de predador/presa, la población del predador se modela mediante la
función:
y (t) = 900 cos (2 t) + 8000, donde t se mide en años.
Página 32
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
a) ¿Cuál es la población máxima?
b) Determine el tiempo entre períodos sucesivos de población máxima.
8- Cuando una ola pasa por los pilotes fuera de la playa, la altura del agua está modelada
mediante la función:
h (t) = 3 cos (  /10).t , donde h (t) es la altura en pies por arriba del nivel
medio del mar en el tiempo t segundos.
a) Determine el período de la ola.
b) Calcule la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valor mínimo y el
valor máximo.
9- Las estrellas variables son aquellas cuya brillantez varía en forma periódica. Una de las
más visibles es Leónidas R; su brillantez está modelada por la función:
b (t) = 7,9 – 2,1 cos (  /156).t , donde t se mide en días.
a)
b)
c)
d)
Identifique todos los parámetros de la función.
Calcule el período en días.
Determine la brillantez máxima y la mínima.
Grafique la función b(t).
Página 33
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Matrices
El álgebra matricial tiene múltiples aplicaciones ya que permite utilizar una gran cantidad
de datos para organizarlos de manera simple en una tabla que se puede representar
mediante una matriz. Su importancia se pone de manifiesto en la simplicidad con que se
pueden resolver problemas que se presentan en muchas ramas de la matemática. Una de sus
aplicaciones, es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Con el uso de matrices se puede modelar situaciones de la vida real, como el horario de los
distintos medios de transporte que se exponen en sus respectivas terminales, la tabla de
cotización de la Bolsa en cada día de la semana, el registro en milímetros de lluvia caída
durante determinado tiempo, etc.
Supongamos que se dispone del registro de los alumnos de 1er año de la Facultad de
Agronomía y Zootecnia en cierto período lectivo, según carrera y sexo, y se lo detalla en
una tabla:
Varones
Mujeres
245
78
21
37
94
61
Ing.
Agrónomo
Ing.
Zootecnista
Médico
Veterinario
Esta colección de elementos se puede expresar como una matriz de la forma:
 245 78 


A =  21 37 
 94 61 


Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas.
Se denota con una letra mayúscula y sus elementos con letras minúsculas:
 a 11 a 12  a 1 j  a 1n 


 a 21 a 22  a 2 j  a 2n 



 

A=
 a i 1 a i 2  a i j  a in 


 
 
a
a m 2  a m j  a mn 
 m1

Página 34
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ésta es una matriz de orden ó dimensión m x n. Es decir, el orden de una matriz es igual al
número de filas por columnas que posee.
Los aij se denominan elementos y no necesariamente son números reales, pueden ser
también parámetros, funciones, características descriptivas, etc.
El elemento aij está ubicado en la fila i, columna j.
  


A =   a ij  
  


Se denota A = (a i j)
Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y sus elementos
correspondientes son iguales.
Si A = (a i j) y B = (b i j) son del mismo orden, entonces:
A=B  a
ij
= b
ij
i  j
Ejercicio resuelto
Dadas las matices:
1
0

A = 
 1

 3 (  2) 2x2
y
0

B =
3

e
1

2
0


, analice si A = B.

2x2
Para que sea A = B, las matrices deben ser del mismo orden; en este ejercicio, ambas son
de 2x2 y además los elementos correspondientes deben ser iguales, es decir:
a
11
= b 11 = 0
a 21 = b 21 = 3
a
12
= b 12 pues e 0 = 1
a
22
= b 22 pues (– 2) – 1 = –
1
2

A=B
Matriz columna ó vector columna
Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola columna.



A= 




a 11 

a 21 
a 31 

 
a m1 
mx1
El orden de la matriz A es mx1.
Matriz fila ó vector fila
Es la matriz que tiene sus elementos dispuestos en una sola fila.


B = b 11 b 12 b 13  b 1n 1xn
El orden de la matriz B es 1xn.
Página 35
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Matriz cuadrada
Cuando el número de filas es igual al número de columnas, la matriz se dice cuadrada.
 a 11 a 12 a 13

A =  a 21 a 22 a 23
a
 31 a 32 a 33
Los elementos a
i j





de A, tales que i = j constituyen la diagonal principal.
Matriz diagonal
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos 0, excepto los de la diagonal
principal.
 a 11 0
0

A =  0 a 22
0
 0
0
a 33






Ejemplo:
5 0 0


D= 0 1 0
0 0 3


Matriz escalar
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal
principal que son iguales a un mismo escalar k  0.
k 0 0


E= 0 k 0
0 0 k


Ejemplo:
5 0 0


E= 0 5 0
0 0 5


Página 36
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Matriz identidad ó unidad
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos 0, excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1.
1 0 0


I= 0 1 0
0 0 1


Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a
0.
Si A es una matriz triangular inferior, se cumple que a
 a 11
0
0

A =  a 21 a 22
0
a
 31 a 32 a 33
ij
= 0 con i < j.





Ejemplo:
A=
5 0 0


7 1 0
2 4 3


Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por debajo de la diagonal principal
iguales a 0.
Si A es una matriz triangular superior, se cumple que a
 a 11 a 12 a 13

A =  0 a 22 a 23
 0
0
a 33

ij
= 0 con i > j.





Ejemplo:
 1 2 5 


A=  0 9
3
 0 0 6


Matriz simétrica
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos simétricos respecto a la diagonal
principal, iguales. Es decir, los elementos a i j = a
ji
con i  j.
Página 37
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejemplo:
 5 3 7 


S =  3
1 2/3 
 7 2/3 0 


Matriz nula
Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0.
0 0


O =  0 0
 0 0


Matriz opuesta
La matriz opuesta de una matriz es la que se obtiene cambiando el signo a todos los
elementos de la matriz dada.
– A es la matriz opuesta de A.
Si A = (a i j) entonces
– A = (– a i j)
Ejemplo:
  1 1/2 
 1  1/2 




Si A =  7
2 
2  su matriz opuesta es – A =   7
 8
8 0 
0 



Matriz transpuesta
La matriz transpuesta de una matriz es la que se obtiene intercambiando las filas por las
columnas correspondientes.
A
T
es la matriz transpuesta de A.
Ejemplo:
 1 1/2 


 1 4 3
2 
Si A =  4
su matriz transpuesta es A T = 

 1/2 2 0 2x3
3 0 

3x2
Página 38
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Operaciones con matrices
Hemos definido una matriz de orden m x n como un arreglo rectangular de elementos
dispuestos en m filas y n columnas.
En condiciones adecuadas se pueden sumar, restar y multiplicar matrices.
La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas, ya que
tienen un sentido muy preciso e informativo.
El álgebra de matrices fue desarrollada por el matemático inglés Arthur Cayley en 1857.
Suma de matrices
Es posible sólo si las matrices tienen el mismo orden. En tal caso, se suman elemento a
elemento.
Sean
A = (a i j )
y
B = (b
ij
)
dos
matrices del mismo orden
m x n. Entonces
la
suma de
A + B es la matriz C de orden m x n, cuyos elementos están dados por la suma de los
elementos correspondientes.
A + B = (a i j ) + (b
ij)
 a 11 a 12

 a 21 a 22
AB 



 a m1 a m2

 a 11  b 11

 a  b 21
C   21


a  b
m1
 m1
C = (a i j + b i j )

a 1n 
 b 11 b 12


 a 2n 
 b 21 b 22
 







 a
b m 1 b m 2

mn 


a 12  b 12

a 22  b 22



a m2  b m2
 b 1n 

 b 2n 

 

 b mn 

a 1n  b 1n 

a 2n  b 2n 


 a mn  b mn 


Ejercicio resuelto
 1

Dadas las matrices A =  5
3

 1

 5
3

 3
3 
 0


0
y B = 1
 6
4 

3x2
 0


0
+ 1
 6
4 

3x2
3

5
 3 
3x2
3

5
, obtenga la suma.
 3 
3x2
1

= 4
3

0

5
1 
3x2
Página 39
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Propiedades de la suma de matrices

La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A

El elemento neutro de la suma es la matriz nula: A + O = A.

La suma de matrices es asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Producto de un escalar por una matriz
El producto de un número real k, llamado escalar, por una matriz A, es la matriz k . A, que
se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho número.
Sea k un escalar y A = (a i j ) una matriz de orden m x n. Entonces:
k . A = k . (a i j ) = (k . a i j )
 a 11 a 12

 a 21 a 22
k . A k .



 a m1 a m2

 k a 11 k a 12

 k a 21 k a 22
k. A



k a m 1 k a m 2


a 1n 

 a 2n 

 


 a mn 
 k a 1n 

 k a 2n 


 k a mn 



Propiedades del producto de un escalar por una matriz

1.A=A

k . (h . A) = (k . h) . A
Diferencia de matrices
Se define como la suma de una matriz y la opuesta de otra matriz.
O sea: Si A = (a i j ) y B = (b
ij)
son dos matrices del mismo orden m x n . Entonces
A – B = A + (– B) donde – B = (– 1) . B
Escalar
Propiedad de la diferencia de matrices
La suma de una matriz y su opuesta, da el elemento neutro de la suma, es decir la matriz
nula.
A – A = A + (– A) = O
Página 40
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejercicio resuelto
Sea P el vector fila ó matriz de precios de 4 insecticidas (100 50 49 30). Si el
comerciante decide realizar una rebaja del 10 % en dichos productos, calcule la matriz
bonificación B y la matriz precio de venta V.
Matriz de precios:
P = (100
50
La rebaja del 10 % sería: 0,1 . (100
Matriz bonificación:
B = (10
Matriz precio de venta:
5
49
30)
50
49
4,9
3)
P – B = (100 – 10
V = (90
45
30)
50 – 5
44,1
49 – 4,9
30 – 3)
27)
Producto de matrices
Si bien la suma de matrices y el producto por un escalar se define en forma muy sencilla, el
producto de matrices no es tan fácil.
Para darle sentido al producto de matrices, comenzaremos multiplicando dos matrices
especiales: un vector fila (demanda) y un vector columna (precio).
Ejercicio resuelto
Un comerciante desea saber el ingreso que le deja la venta de 4 marcas de plaguicidas de
las que se conoce el precio unitario.
Sea D el vector demanda (nº de plaguicida de cada marca que vende) de 4 plaguicidas
D = (30
20
40
10)
1x4
y P el vector de precio unitario de cada plaguicida
 20 
 
15
P = 
 18 
 
 40  4x1
El ingreso será la suma de la cantidad que vende de cada plaguicida por su precio unitario.
Por lo tanto el comerciante obtendrá el ingreso multiplicando D . P:
 I=D.P
 I =  30 20 40 101x4
I =  30 . 20  20 . 15  40 . 18  10 . 40 
1x1

 20 
 
15
.  
 18 
 
 40  4x1
I = 2020
El orden de la matriz ingreso es 1x1, por lo que el resultado es un escalar.
Por lo tanto la venta de plaguicidas le deja una ganancia de $ 2020.
Página 41
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
 a 11
Generalizando:

 b 11 


 b 21 
.  b 31 


  
b 
 n1 nx1
es:
+ . . . + a 1n b n1 )
1x1
a 12 a 13  a 1n 1xn
A . B = (a 11 b 11 + a 12 b 21 + a
13
b
31
un escalar.
Dos matrices cualesquiera no se pueden multiplicar, salvo que el número de columnas de la
primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
Definición:
Sean A = (a i j )
C = (c i j )
mxn
y B = (b
mxp
i j ) pxn
. Entonces el producto de A . B es una matriz
tal que cada elemento c i j = a
 a 11 a 12

 a 21 a 22
A. B= 
a
a i2
 i1
 a m1 a m2

i1
b 1 j+ a
i2
 a 1p 

 a 2p 
 b 11

 b 21
. 

 a ip

 
 a mp   b p 1
 
i-ésima fila de A
b
2 j+
a
i3
b
3 j
+ . . . +a
ip
b pj
b 12 
b 1 j  b 1n 

b 22  b 2 j  b 2 n 


 
b p2
b pj


b pn 
j-ésima columna de B
 c 11 c 12

c 22
c
  21



c m1 c m2

 c 1n 

 c 2n 

 

 c mn 

Ejercicio resuelto
1 0 
5
 y B =   , determine si se puede realizar el producto
 4 1
3
Dadas las matrices A = 
de A . B y en caso afirmativo encuentre su resultado.
Como el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda
matriz, ellas pueden multiplicarse.
  1 0
5
 ( 1).5  0.3 
 


 

 4 1 2x2  3 2x1  4.5  1.3 2x1
Página 42
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
  5
 
 232x1
Propiedades del producto de matrices
Son válidas siempre que sea posible realizar el producto.

El producto de matrices es asociativa: A . ( B . C ) = ( A . B ) . C

El elemento neutro del producto es la matriz identidad: A . I = A

El producto de matrices es distributivo: A . ( B + C ) = A . B + A . C

El producto de matrices no es conmutativo: A . B  B . A
Si puede realizarse A . B, en general, no puede realizarse B . A;
sólo es posible si las matrices son cuadradas, pero en general : A . B  B . A
Ejercicio resuelto
Sean
 1 3
2 1
 y B
 . Pruebe si se cumple la propiedad conmutativa.
 4 5
  3 2
A
 1 3   2 1 
  11 7 
.
 ; A.B  

 4 5   3 2
  23 14 
A.B  
A.B B.A
  2 1   1 3
2  1
.
 ; B.A  

  3 2  4 5 
5 1 
B.A 
 No se cumple la propiedad conmutativa. Vemos que las matrices resultantes son distintas
porque a pesar de que son cuadradas no coinciden sus correspondientes elementos.
Ejercicio resuelto
En una fábrica de pulguicidas para animales se comercializa el producto en frascos de tres
tamaños: grande, mediano y chico. El costo de cada frasco es: grande $48; mediano $35 y
chico $23. Si se reciben pedidos de tres comercios de acuerdo con la tabla:
Comercio/Frascos
Grande
Mediano
Chico
A
150
80
90
B
100
50
120
C
85
130
100
Página 43
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Calcule cuánto debe abonar cada comprador por el pedido.
Para calcular cuánto debe abonar cada comprador por el pedido se debe multiplicar las
matrices:
 150 80 90 


 100 50 120 
 85 130 100 

3x3
 48
 12.070
 


  9.310 
 35 
 23 


 3x1  10.9303x1
A = 150.48 + 80.35 + 90.23  A = 7200 + 2800 + 2070 = 12.070
B = 100.48 + 50.35 + 120.23  B = 4800 + 1750 + 2760 = 9.310
C = 85.48 + 130.35 + 100.23  C = 4080 + 4550 + 2300 = 10.930
El comercio A abonará $ 12.070, el B $9.310 y el C $10.930.
Página 44
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Ejercicios propuestos
1- Si
4  5
1


7
3
B = 1
1  4 0 


4 0  2
1
A= 

7  2 5 3
 1 


4 

D=
 2


 1 
 6  2


0
C=  3
 4
1 

 2 4

1
0
E= 
 1 2

 2 4
7 0

7 5
F = 1 5  7 0 1
3 8

5 6


H= 



 1 6  5


2
G=  3 7
 1 4 0


1 

9
12 

1 
Indique el orden de cada matriz.
1-1) Escriba los elementos de la diagonal principal de las matrices cuadradas.
1-2) Indique los valores de a21, b33, d14, h12, e42, g22, si existen.
1-3) Escriba – A, CT, FT, 3.E.
2- Determine el valor de las letras para que se verifique la igualdad:
4
5
a


b
3
1
 1  4 c  4


=
5
 1 x4


7 y  6
 1
z  3
4
0 

3- Determine los valores de a y b para que el resultado de la operación:

a2  7 


b

2
0


+
 8 7 


 a b
sea la matriz identidad.
4- Considerando las matrices del ejercicio 1.
4-1) Indique cuáles se pueden sumar y cuáles multiplicar.
Página 45
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
4-2) Calcule:
a) G + B
1
b) D –   H
3
c) 2 B + 3 G
d) C . G
e) E . H
f) E + I
5- La tabla muestra la cantidad de vitaminas V1, V2 y V3 que tiene cada unidad de los
alimentos X e Y.
X
Y
V1
5
0
V2
3
1
V3
4
2
Si se consumen 6 unidades de alimento X y 4 unidades de alimento Y. ¿Qué aporte
de cada una de esas vitaminas recibe? (Resuelva aplicando matrices).
6- Califique con verdadero o falso. Justifique mencionando la propiedad que aplica.
Si A y B son dos matrices cuadradas se verifica que:
6-1) A + B = B + A
6-3) 2 (A + B) = 2 A + 2 B
6-2) A . B = B . A
6-4) (A + B) T = A T + B
T
7- Escriba una matriz A = (aij) de orden 4, tal que A T = A.
8- Escriba una matriz Q = (qij) de orden 2 x 3 tal que qij = i – j.
9- Escriba una matriz simétrica P de orden 4 x 4, sabiendo que la suma de los elementos
de la diagonal principal es 7.
10- Si
11-
2  2 5


1  3  , determine la matriz Q tal que P + Q = O.
P = 0
6 4 0


Indique el nombre característico de:
4 0 0


11-1)  0 4 0 
0 0 4


2 4 5 


11-2)  0 1  7 
0 0
6 

Página 46
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
12-
0
2 0


0
11-3)  0 1
0 0  4


 1 0 0


11-4)  0 1 0 
0 0 1 


 5 6
11-5) 

  8 3
 2 0

1
7
11-6) 
 1 2

 2 4
Si
 2 3

  1 4
A= 
y
0 0

0 0
3 0

5 6
 x y

w z 
B= 
Determine los valores de x, y, y, z para los cuales A. B = I
13-
Dadas las matrices:
1 0
2 3
P= 
3 4 1 1 

7 3  2 0
Q= 

 4 5  1 6
Compruebe la igualdad (P + Q)
14-
T
= PT + Q T
Seleccione la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos
correspondientes.
Dada la matriz
 1  3  5 0


1
1 1,
A = 4
2


0
3
2
4 

A
T
es:
2 5
0
 1


1
1
1
a)   4 
2


0

3  2  4 

3 2
4
0


1
1 1
b)  4
2


1

3 5
0 

4
 1

1
3
c) 
2
1
 5
 0 1

1


1 1
4
2


0
d)  1  3 5
3 2
4 
 0


0

3

2
4 
Página 47
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
15-
0 0 1 


A  0 0 0
0 0 7


Compruebe que si
y
2 7 3


B   1  3 0
0 0 0


entonces, A . B es una matriz nula.
16-
Seleccione la opción que considere correcta, y si fuera necesario, realice los cálculos
correspondientes.
2 1 
 , A2 – 2 A es:
2 3
Dada la matriz A = 
17-
a) – A
b) A – 2 I
c) A (A – 2 I)
d) O
Un fabricante elabora un producto en tres tamaños: grande, mediano y chico. El
costo de cada producto es: grande $3; mediano $2 y chico $1. Si se reciben pedidos
de tres provincias de acuerdo con la tabla:
Provincia/Tipos
A
B
C
Grande
300
200
100
Mediano
300
150
200
Chico
100
150
100
Calcule cuánto debe abonar cada provincia por el pedido.
18-
Una veterinaria vende alimento para perros de 4 marcas: A, B, C y D. Considerando
ese orden, la demanda mensual en cada uno de ellos está dado por la matriz
 41 


39 

H = (30 40 90 25) y la matriz G =
 22 


 51 
indica la ganancia en pesos, por cada
bolsa de alimento. ¿Cuánto dinero gana la veterinaria por mes por dicha venta?
19-
La matriz Q muestra la cantidad promedio de perros, vacas y caballos presentados
en 2 exposiciones A y B de la provincia, en los años 2010 y 2011. El dinero recaudado
por la venta de los animales en los mismos años, se expresa en la matriz P.
Página 48
Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
A B
 34 21  perros


Q =  42 51  vacas
 60 54  caballos


perros vacas
caballos
 3500 21000 60000 2010

 2900 23000 80000 2011
P
19-1) Encuentre el valor de lo recaudado por los caballos en los años señalados.
19-2) ¿Por la venta de qué animales se recaudó menos en 2011?
19-3) ¿Cuál es el valor total de lo recaudado en ambas exposiciones en los 2 años?
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
ANEXO
¿CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA?
El Método de Cuatro Pasos de Polya.
Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece que
la más grande contribución de George Pólya en la enseñanza de las matemáticas es su
Método de Cuatro Pasos para resolver problemas del libro "Cómo Plantear y Resolver
Problemas".
George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la
Universidad de Budapest. Murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las
matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para
resolver problemas.
Paso 1: Entender el Problema.







¿Entiendes todo lo que dice?
¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
¿Distingues cuáles son los datos?
¿Sabes a qué quieres llegar?
¿Hay suficiente información?
¿Hay información extraña?
¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
 ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias?
1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2. Usar una variable.
3. Buscar un Patrón.
4. Hacer una lista.
5. Resolver un problema similar más simple.
6. Hacer una figura.
7. Hacer un diagrama.
8. Usar razonamiento directo.
9. Usar razonamiento indirecto.
10. Usar las propiedades de los Números.
11. Resolver un problema equivalente.
12. Usar casos.
13. Resolver una ecuación.
14. Buscar una fórmula.
15. Usar un modelo.
16. Usar coordenadas.
17. Usar simetría.
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
Paso 3: Ejecutar el Plan.
 Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el
problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
 Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita
una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento.
 No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una
nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
 ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
 ¿Adviertes una solución más sencilla?
 ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
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Función exponencial, Función logarítmica,
Funciones trigonométricas, Matrices
BIBLIOGRAFÍA
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Madrid – España.
 Di Caro, H. – Álgebra y Elementos de Geometría – Tomo I – 1994 – Editorial Reverte
Argentina, S. A. – Argentina.
 Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Álgebra – 1ª edición – 2005 –
Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.
 Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Funciones – 1ª edición – 2005 –
Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.
 Grossman, Stanley – Álgebra Lineal – Segunda Edición – 1987 – Grupo Editorial
Iberoamérica – México.
 Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. – Precálculo - Matemáticas para el cálculo – 5°
edición – 2007– Cengage Learning Editores, S. A. – México D. F.
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