Gráfica - Ecuación y Lugares Geométricos

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
2
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN
Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
16 x 2 − y = 0
Solución:
E(x,y ) : 16 x 2 − y = 0
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
Eje X :
y = 0 ! 16x 2 = 0 !
Eje Y :
x=0 !
y=0
x=0

 !

O = (0,0 )
9
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría:
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) = E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva simétrica sólo
con el eje X
3º. Extensión:
!:
De
y = 16x 2 ;
∀ x∈ú
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
x
0
1
−1
12
−1 2
....
y
0
16
16
4
4
....
6º. Gráfico:
10
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
xy − 2x − 1 = 0
Solución:
E(x, y ) :
xy − 2x − 1 = 0
!
→
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (− 1 2 ,0 )
Eje X :
y=0 !
x = −1 2;
Eje Y :
x = 0 ! ò intercepci ón con el eje X
2º. Simetría:
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) ≠ E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva no simétrica ni con
los ejes ni con el origen
3º. Extensión:
De
!:
xy − 2 x − 1 = 0 !
y=
1 + 2x
;
x
∀x≠0
4º. Asíntotas:
De
!:
1+ 2 x
x
1
x=
;
y−2
y=
!
!
x=0
!
y−2=0 !
y=2
5º. Cuadro de valores:
x
1
2
−1
−2
....
y
3
52
1
32
....
11
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
x3 + y 2 − 4y + 4 = 0
Solución:
E(x, y ) :
x 3 + y 2 − 4y + 4 = 0
!
→
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (− 1.6,0 )
Eje X :
y=0 !
x = −1.6 ;
Eje Y :
x=0 !
y = 2 ; B = (0,2 )
2º. Simetría:
12
Eje X :
E(x,− y ) ≠ E(x, y )
Eje Y :
E(− x, y ) ≠ E(x, y )
Origen :
E(− x,− y ) ≠ E(x, y )





Curva no simétrica ni con
los ejes ni con el origen
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3º. Extensión:
!:
De
y = 2 ± − x3 ;
∀x≤0
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
x
0
−8 5
−1
−2
....
y
2
0
13 10
24 5 , − 4 5
....
6º. Gráfico:
13
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
y2 =
x2 − 1
x2 − 4
Solución:
E(x, y ) :
y2 =
x2 − 1
→
x2 − 4
!
1º. Intercepciones con los ejes:
A = (± 1,0 )
Eje X :
y=0 !
x = ±1;
Eje Y :
x=0 !
y = ± 1 2 ; B = (0,± 1 2 )
2º. Simetría:
Curva simétrica con los ejes y con el origen.
3º. Extensión:
!:
De
y=±
x2 − 1
∀ x ∈ − ∞, − 2
x2 − 4
∪
[− 1,1]
∪
2, + ∞
4º. Asíntotas:
!:
De
!
y=±
!
x=±
x2 − 1
2
x −4
!
4 y2 − 1
!
2
y −1
x2 − 4 = 0 !
x = ±2
y2 − 1 = 0 !
y = ±1
5º. Cuadro de valores:
14
x
1
−1
0
±3
±4
±1 2
.....
y
0
0
±1 2
±1 3
± 11 10
± 24 5
....
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6º. Gráfico:
(
)
y x2 + 1 = 4
Solución:
E(x, y ) :
(
)
y x2 + 1 = 4
→
!
1º. Intercepciones con los ejes:
Eje X :
y = 0 ! ò intercepción con el eje X
Eje Y :
x=0 !
y = 4;
A = (0,4 )
2º. Simetría:
Curva simétrica sólo con el eje Y.
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Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión:
De
!:
y=
2
4
!
x +1
x 2 + 1 = 0;
∀ x∈ú
4º. Asíntotas:
!:
De
4
!
y=
!
x=±
2
x +1
4−y
y
!
x2 + 1 = 0 !
x∉ú
y =0 !
y=0
!
5º. Cuadro de valores:
x
0
±1
±2
±3
....
y
4
2
45 25
....
6º. Gráfico:
16
( Eje
X)
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Una recta pasa por los dos puntos A = (− 2,−3 ) y B = (4,1) . Si un punto
de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?
Solución:
Sea
C = (10, y ) el punto pedido.
Dado que :
AB + BC = AC
36 + 16 + 36 + (y − 1)2 =
!
(10 + 2)2 + (y + 3 )2
=
Efectuando operacione s :
y=5
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos
puntos A = (2,−2) y B = (4,1) es siempre igual a 12.
Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido.
Entonces de la condición del problema tenemos :
!
BP
2
− AP
2
= 12
De donde :
! 

− 

(x − 4)2 + (y − 1)2 

2
−
(x − 2)2 + (y + 2)2 

2
= 12
Luego, efectuando operaciones :
!
4x + 6y + 3 = 0
17
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de
los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece
siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto
medio del segmento.
Solución:
De la condición :
!
PA + PB = 4
(x − x 2)2 + (− y 2)2 +
!
+
(x 2)2 + (y
2 − y )2 = 4
Efectuando operacione s :
!
x 2 + y 2 = 16
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P = (x, y ) , tal que la
distancia de P al punto A = (0,6 ) es igual a la mitad de la distancia de
P al eje X.
Solución:
De la condición :
!
AP =
1
y
2
!
x 2 + (y − 6 )2 =
Luego, efectuando operaciones :
!
18
4x 2 + 3 y 2 − 48 y + 144 = 0
1
y
2