Guia de ejercicios sobre Vectores en el espacio tridimensional

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS
ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES
HOJA DE TRABAJO
UNIDAD: VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Ciclo 02 de 2012
Parte I. Responda las preguntas siguientes:

1) Si
A

es un vector diferente del vector nulo, ¿puedo afirmar que:

3A  3 A ?
2)
¿El vector nulo posee dirección y sentido arbitrarios? Explique
3)
¿El cuadrado de un vector representa el cuadrado de la magnitud del vector? Explique
4)
Si el triple producto vectorial de 3 vectores cualesquiera es igual al vector cero, entonces se dice que los
vectores son linealmente dependientes.
5)
¿Si, no? Explique
Si A  B  12 , entonces ¿podemos afirmar que el ángulo 
  ,  radianes ? Explique.
en el intervalo
 2 
formado entre los vectores
6)
El producto escalar entre dos vectores es una operación cerrada ¿Si, no? Explique
7)
Si
A es paralelo a B entonces A  B = 0 ¿Si, no? Explique
8)
Si
A . B  C  0 entonces podemos afirmar que A , B , y C
9)


Para que los vectores A  m i  3 j  k
debe de ser igual a “ -1” ? Explique
10)
¿ Será
11)
Si
A
como
B  4 i  j  k
yB
son coplanares. ¿Si, no?
y B  2 i  6 j  2k
un vector perpendicular al vector
A y B esta
Explique
sean paralelos, ¿ el valor de “m”
A  2 i  3 j  5 k ? Explique
son dos vectores diferentes al vector nulo, entonces ¿El vector producto cruz se define
A x B  A B sen ,
siendo

el menor ángulo que forman los vectores
A yB
, colocados
con origen común? Explique
PARTE II. A la par de cada proposición, indique su valor de Verdad: falso o verdadero, colocando una F una V en la
línea que aparece a la derecha de cada proposición. Justifique su respuesta.
a) El vector nulo posee dirección y sentido arbitrarios
Justificación:____________________________________________________________________________
b) El cuadrado de un vector representa el cuadrado de la magnitud del vector y se denomina Norma del vector.
Justificación: ____________________________________________________________________________
c)
Si A  B  22
, entonces podemos afirmar que el ángulo


formado entre los vectores
A y B esta

en el intervalo  ,   radianes radianes
2 
Justificación: ____________________________________________________________________________
1
d) Si A es paralelo a B entonces A x B  0
Justificación: ____________________________________________________________________________
e) Si


A x B  C  0 entonces podemos afirmar que A , B , y C
son coplanares
Justificación: ____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
f) Dos vectores
.  A B
A y B son paralelos si y sólo si AB
Justificación: ____________________________________________________________________________
g) Los vectores
C  4 i  j  k
y
R  2i  3 j  5 k
son perpendiculares
Justificación: ____________________________________________________________________________
h) Si
A
yB
como
son dos vectores diferentes al vector nulo, entonces, el vector producto cruz se define
A x B  A B sen ,
siendo

el menor ángulo que forman los vectores
A yB
, colocados
con origen común.
Justificación:____________________________________________________________________________
i) Para que los vectores A  i  t j  k y B  2 i  6 j  2k sean paralelos, el valor de “t”
es igual a “ 3”
Justificación: ____________________________________________________________________________
j)
Un vector paralelo al vector
Magnitud 3 es V  
V  3 i  4 j  5 k , en el mismo sentido que el vector B
y de
3
4
5
i
j
k.
50
50
50
Justificación: ____________________________________________________________________________
Parte III. REALICE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1a) Con respecto a la siguiente figura:
F
H
D
C
E
M
S
P
K
J
b)
c)
C
E, D, F
F en términos de C, D, E
H en términos D, E, J , K, S
Exprese: a)
en términos de
d)
P
en términos de
S, H, F , C, E
2
1b) A partir del siguiente arreglo vectorial, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
E  A  B  C  D
E  A  B  C  D
E  A B  C  D
E  A B C  D
2) Encuentre el ángulo que hace
A = 2 i –3 j + k con el eje de las x.
B  3i 6j 2 k y P  4i 6j 3k .
El tercer lado es la suma de los vectores. Es decir R  B  P .
3) Dos lados de un triángulo son los vectores
Encuentre:
a) El perímetro del triángulo
b) Los ángulos internos del triángulo
B sobre el lado P
d) Verifique que los vectores R , B y P son coplanares
e) Encuentre un vector paralelo al vector B , en el mismo sentido que el vector B
c) La proyección vectorial del lado
y de
magnitud 6 .
T  3i 6j 2 k y B  4i 6j 3k
El tercer lado es la suma de los vectores. Es decir R  T  B .
4) Dos lados de un triángulo son los vectores
Encuentre:
.
a) El perímetro del triángulo
b ) Los ángulos internos del triángulo
B sobre el lado D
d) Verifique que los vectores R , B y D son coplanares
Halle un vector unitario perpendicular a los vectores A  2i  j  3k y B  3i  4 j  5k
5
1
Probar que los puntos A(0,2,2), B(2,0,-1), C(3,4,0) , D( ,2,  ) son coplanares.
2
2
c) La proyección vectorial del lado
5)
6)
7) Encontrar un vector normal al plano determinado por los puntos del literal anterior.
M  3i  j  2k y N  i  3 j  4k .
R  3i  10 j  k y N  2i  5 j  7k
8) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son
9)
Examine si los vectores M  i  3 j  2k ,
a) Son linealmente independientes o linealmente dependientes
b) Si son o no coplanares
10) Dados los vectores
A  2i  j  k, B  i  3 j  2k, C  2i  j  2k, D  2i  j  2k
Hallar los escalares m, n , q de tal manera que se satisfaga la igualdad A  mB  nC  qD 3)
puntos
Dados los
R (3,2,4), S (1 ,5, 7), T ( 2, 2,1 ) . Analice:
a) Si los puntos son coplanares.
b) Si los puntos son coplanares, forme el triángulo RST.
c) Encuentre el área de dicho triángulo
11) Dados los puntos A(0,2,2) , B(2,0,-1) y C(3,4,0) :
a) Forme los vectores AB, BC y AC.
b) Determine si los puntos son o no coplanares y si los puntos forman un triangulo.
c) El perímetro del triangulo.
d) El área del triangulo.
e) Los ángulos internos del triangulo.
f) La proyección escalar de AB en BC.
g) La proyección vectorial de AB en BC.
3
h) Un vector paralelo al vector AC y de magnitud 7.
i) La altura del triángulo.
j) Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector BC.
12) Dados los puntos A (-1, 5, 3) y B (6, -1, 4). Encuentre:
a) Los ángulos directores del vector
AB
b) El ángulo entre los vectores de posición A y B
c) La distancia entre los puntos A y B.
¿Forman los puntos A, B y el origen un triángulo rectángulo?
Justifíquelo mediante un procedimiento
BA , CA y DA , siendo A(1,1,1), B( 0,0,2),
13) Encuentre el volumen del paralelepípedo de aristas
C( 0,3,0) y D (4,0,0).
5
1
, 2,  ) son los vértices de un
2
2
14) Los puntos A ( 0, 2, 2 ), B( 2, 0, 1 ), y C(
a.
b.
c.
d.
El área y el perímetro.
Las alturas
Probar que la suma de los ángulos internos suman
Hallar la proyección del lado AB en AC.

triángulo. Encuentre:
radianes.


e. Hallar el vector proyección del lado AC en AB
f. Hallar las coordenadas del punto de intersección de las medianas.

CB y de magnitud igual a 10 unidades
g. Hallar un vector paralelo a
15) Aplicando propiedades de los productos escalar y vectorial, deducir:
 
A  B C 




16) Dados
 

  B A  C










A =2i + 3j + 5k, B =2i - 3j + 6k, C =-5i + 8j - 10k. Encuentre: A 4 B 5 C  2 A B 3 C

17) Sea
=


A = - i + 2k; B = 2i + j – k y C = i +2j +2k. Encontrar los siguientes productos:

d)


Ax (C x A)
f)

18) Encontrar un vector
B

tal que
A


A
x(B x

x
B


=
C


C)
y

h) ( A x

A.B

A) x B


A =2i – j + 2k y C
= 1; siendo
= 3i +4j – k
19) ¿Son coplanares los siguientes puntos? ( -1, 4, 2); ( 2 , 4, 1); ( -1, 0, 1); ( -2, 6, 3 )

20) Encontrar el coseno del ángulo entre los vectores:

21) ¿ Para que valores de “a” son


A = 2i – 3j + k
y
B = 3i – j – 2k
A = ai - 2j + k y B = 2ai + aj – 4k, perpendiculares ?
22) Hallar la distancia más corta desde el punto ( -6, -4, 4) a la recta que pasa por ( 2, 1, 2) y ( 3, -1, 4)
23) Hállese la proyección del vector
dirección del vector
A
A ; si A = 2, B
= 1, y si el ángulo entre
24) Hállese el producto escalar de los vectores
a) 45°
b) 0°
B , y la proyección del vector B
A y B es de 120°.
sobre la dirección del vector
c) 135°
A
y
B
si
d) 90°
A = 4, B
sobre la
= 6; y el ángulo entre A y B es igual a:
e) 180°
4
25) El ángulo entre dos vectores
a)
A B
b)
A
y
B es igual a 120°. Sabiendo que A = 5, B
( A)2
c)
26) Hállese el valor de n si se sabe que
( A  2B) ( A  2B)
A = ni + 3j + 4k
27) Hállese el valor de m con el cual los vectores
Perpendiculares entre si.
y
( A  2B)2
d)
y
B
A = 3i – 4j + 5k
si
A = 3i – j + 5k y B = i + 2j – 3k. Hállese el vector C
satisfaga las condiciones C  A = 9 y C  B = - 4
B
  65
.
que es perpendicular al eje z y
A , que satisfaga la condición dada:
B  A = 3 b) A = -i + 2j + 2k y B  A  2
A =2i + j – k
y
31) Escribir como una combinación lineal de los vectores unitarios
directores son
A=B
que es paralelo al vector
a)
0
(7 A  B)2
= 2i + mj – k son
29) Se dan dos vectores
30) Hállese el vector
e)
B = 4i + nj – 7k son vectores perpendiculares.
A = 3i – j + m k
28) En el plano xy hállese el vector perpendicular al vector
= 4 calcular:
y
  135
0
i, j , k
a un vector cuyos dos de sus ángulos
.
32) Dados los puntos P(-4,5,6), Q(8,2,1) y R(-3,1,7) (3, 4,5)
a) Dibuje los puntos y forme el triángulo formado por dichos puntos.
b) Formemos los vectores PQ , QR y PR .
c) Halle el área del triangulo
d) Halle el perímetro del triángulo
e) Calculemos el ángulo comprendido entre los vectores PR y QR , y que pertenezca al triángulo
f) Calculemos la proyección vectorial de PQ en QR
g) Calculemos los ángulos directores del vector QP .
h) Calculemos un vector perpendicular al plano donde se encuentra el triángulo.
i) Calcule los ángulos directores del vector PQ . Calcule un paralelo a dicho vector y de magnitud 9
Realizar además lo siguiente:
Libro: Vectores y geometría Analítica. Autor: Eduardo Escapini Peñate:
Ejercicio 2.1 de la página 17)
Ejercicios: 5,6,7,página 88
Ejercicios 11,12,14, 15, página 89
Ejercicios 24 e), 25), 26) b) y c), 27 c) página 91
28 d), 30 c), 31 a) y b), 32 b), página 92
Ejercicio 34, 36,41 página 93
Ejercicio 44, página 94
Ejercicios del 55 al 62) página 96
ESTUDIAR DE LA PÀGINA 1 a la 15, de la página 20 a la 69, de la página 75 a la página 103.
5